परवलय क्या है? परवलय और उसके गुण कौन सा समीकरण परवलय को परिभाषित करता है

ओपीआर 1.परवलय समतल पर बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान है, जिससे कुछ बिंदु, जिसे फोकस कहा जाता है, और कुछ सीधी रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, की दूरी बराबर होती है।

परवलय के समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली प्रस्तुत करते हैं ताकि x-अक्ष डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत फोकस से होकर गुजरे, और हम इसकी सकारात्मक दिशा को डायरेक्ट्रिक्स से फोकस तक की दिशा मानते हैं। आइए निर्देशांक की उत्पत्ति को फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में रखें। आइए हम चयनित समन्वय प्रणाली में परवलय का समीकरण प्राप्त करें।

मुझे ( एक्स; पर) समतल पर एक मनमाना बिंदु है।

आइए हम इसे निरूपित करें आरबिंदु M से फोकस F तक की दूरी, मान लीजिए आर= एफएम,

के माध्यम से डीबिंदु से नियता तक की दूरी है, और उसके माध्यम से आरफोकस से निर्देशक तक की दूरी.

आकार आरइसे परवलय पैरामीटर कहा जाता है; इसका ज्यामितीय अर्थ नीचे बताया गया है।

बिंदु M किसी दिए गए परवलय पर स्थित होगा यदि और केवल यदि आर = डी.

इस मामले में हमारे पास है

समीकरण

य 2 = 2 पी एक्स

बुलाया विहित परवलय समीकरण .

परवलय के गुण

1. परवलय मूल बिन्दु से होकर गुजरता है, क्योंकि मूल के निर्देशांक परवलय के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

2. परवलय OX अक्ष के प्रति सममित है, क्योंकि निर्देशांक के साथ अंक ( एक्स, य) और ( एक्स, − य) परवलय समीकरण को संतुष्ट करें।

3. यदि आर> 0, तब परवलय की शाखाएँ दाईं ओर निर्देशित होती हैं और परवलय दाएँ आधे तल में होता है।

4. बिंदु O को परवलय का शीर्ष, समरूपता का अक्ष (अक्ष) कहा जाता है ओह) - परवलय की धुरी।

परवलय किसी दिए गए बिंदु F से समान दूरी पर स्थित समतल में बिंदुओं का स्थान है

और एक दी गई सीधी रेखा dd किसी दिए गए बिंदु से नहीं गुजरती है। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है एक परवलय की निर्देशकीय संपत्ति.

परवलय की निर्देशकीय संपत्ति

बिंदु F को परवलय का फोकस कहा जाता है, रेखा d परवलय की नियता है, फोकस से नियता पर डाले गए लम्ब का मध्यबिंदु O परवलय का शीर्ष है, फोकस से नियता तक की दूरी p है परवलय का पैरामीटर है, और परवलय के शीर्ष से उसके फोकस तक की दूरी p2 फोकल लंबाई है। डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत और फोकस से गुजरने वाली सीधी रेखा को परवलय की धुरी (परवलय का फोकल अक्ष) कहा जाता है। परवलय के एक मनमाने बिंदु M को उसके फोकस से जोड़ने वाले खंड FM को बिंदु की फोकल त्रिज्या कहा जाता है

एम. परवलय के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड परवलय की जीवा कहलाता है।

परवलय के एक मनमाने बिंदु के लिए, फोकस की दूरी और नियता की दूरी का अनुपात एक के बराबर होता है। दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के निर्देशकीय गुणों की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं परवलय विलक्षणतापरिभाषा के अनुसार एक के बराबर

परवलय की ज्यामितीय परिभाषा, इसकी निर्देशकीय संपत्ति को व्यक्त करना, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - एक परवलय के विहित समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा:

गुण

• इसमें सममिति का एक अक्ष कहलाता है परवलय की धुरी. अक्ष फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत शीर्ष से होकर गुजरता है।
• ऑप्टिकल संपत्ति. परवलय की धुरी के समानांतर किरणों का एक पुंज, परवलय में परावर्तित होकर, उसके फोकस पर एकत्रित होता है। और इसके विपरीत, फोकस में स्थित स्रोत से प्रकाश एक परवलय द्वारा अपनी धुरी के समानांतर किरणों की किरण में परावर्तित होता है।
• यदि परवलय का फोकस स्पर्शरेखा के सापेक्ष प्रतिबिंबित होता है, तो इसकी छवि डायरेक्ट्रिक्स पर स्थित होगी।
• परवलय की एक मनमानी जीवा के मध्यबिंदु और इस जीवा के सिरों पर स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाला एक खंड नियता के लंबवत होता है, और इसका मध्यबिंदु परवलय पर स्थित होता है।
• परवलय एक रेखा का प्रतिपद है।
• सभी परवलय समान हैं। फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है।

एक वास्तविक चर का कार्य: बुनियादी अवधारणाएँ, उदाहरण।

परिभाषा: यदि संख्यात्मक सेट X का प्रत्येक मान x, नियम f के अनुसार, सेट Y की एकल संख्या से मेल खाता है, तो वे कहते हैं कि संख्यात्मक सेट x का निर्धारण फ़ंक्शन (X) की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल मानों के सेट द्वारा किया जाता है।
इस मामले में, x को तर्क कहा जाता है, और y फ़ंक्शन का मान है। सेट X को फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन कहा जाता है, Y फ़ंक्शन के मानों का सेट है।
यह नियम प्रायः एक सूत्र द्वारा दिया जाता है; उदाहरण के लिए, y = 2x + 5. किसी सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने की इस विधि को विश्लेषणात्मक कहा जाता है।
किसी फ़ंक्शन को ग्राफ़ द्वारा भी निर्दिष्ट किया जा सकता है - फ़ंक्शन y - f(x) का ग्राफ़ समतल में बिंदुओं का समूह है जिसके निर्देशांक x संबंध y = f(x) को संतुष्ट करते हैं।

फॉर्म का एक फ़ंक्शन कहा जाता है द्विघात फंक्शन.

द्विघात फलन का ग्राफ़ – परवलय.

आइए मामलों पर विचार करें:

मेरा मामला, शास्त्रीय परवलय

वह है , ,

निर्माण के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

बिंदुओं को चिह्नित करें (0;0); (1;1); (-1;1), आदि। निर्देशांक तल पर (जितना छोटा कदम हम x मान लेंगे (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेंगे, वक्र उतना ही चिकना होगा), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम केस लेते हैं, यानी, तो हमें एक परवलय मिलता है जो अक्ष (ओह) के बारे में सममित है। समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

द्वितीय मामला, "ए" इकाई से अलग है

, , लेने से क्या होगा ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर में (ऊपर देखें) यह स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि परवलय के लिए तालिका के बिंदु (1;1), (-1;1) को बिंदु (1;4), (1;-4) में बदल दिया गया था। अर्थात्, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क करते हैं।

और जब परवलय, परवलय से अधिक चौड़ा हो जाता है:

आइए संक्षेप में बताएं:

1)गुणांक का चिह्न शाखाओं की दिशा निर्धारित करता है। शीर्षक के साथ='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार" और "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा, उतना संकरा; जितना छोटा |ए|, परवलय उतना ही चौड़ा।

तृतीय मामला, "सी" प्रकट होता है

आइए अब खेल में परिचय दें (अर्थात्, उस स्थिति पर विचार करें जब), हम रूप के परवलयों पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है (आप हमेशा तालिका का संदर्भ ले सकते हैं) कि परवलय चिह्न के आधार पर अक्ष के साथ ऊपर या नीचे स्थानांतरित होगा:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "टूटेगा" और अंततः संपूर्ण समन्वय तल के साथ "चलेगा"? यह बराबर होना कब बंद होगा?

यहां एक परवलय का निर्माण करने के लिए हमें इसकी आवश्यकता है शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो हम पहले से ही कर सकते हैं। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो शीर्ष से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर रखते हैं, एक ऊपर, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम ऊपर हमारा बिंदु है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो शीर्ष से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर की ओर, आदि रखते हैं।

उदाहरण के लिए, परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय पैटर्न के अनुसार एक परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करने के बादनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से जरूर गुजरेंगे . दरअसल, सूत्र में x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (oy) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय कोटि को बिंदु पर काटता है, क्योंकि।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और इसे परवलय की समरूपता अक्ष के सापेक्ष सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (ओह) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विवेचक के आधार पर, हमें एक (, ), दो ( title='Rendered by QuickLaTeX.com) मिलेगा" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, विवेचक का हमारा मूल एक पूर्णांक नहीं है; निर्माण करते समय, हमारे लिए मूल खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि हमारे पास अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे (ओह) (चूंकि title='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया है" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए इसे सुलझाते हैं

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिदम यदि इसे प्रपत्र में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - ऊपर, a<0 – вниз)

2) हम सूत्र का उपयोग करके परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

3) हम मुक्त पद का उपयोग करके अक्ष (ओय) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, परवलय के समरूपता अक्ष के संबंध में इस बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि इसे चिह्नित करना लाभहीन है उदाहरण के लिए, यह बिंदु, क्योंकि मान बड़ा है... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0;0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। यदि शीर्षक='QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत किया गया" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम समीकरण को हल करके अक्ष (oy) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं (यदि वे अभी तक "सतह" नहीं हुए हैं)

उदाहरण 1

उदाहरण 2

टिप्पणी 1.यदि परवलय प्रारंभ में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहां कुछ संख्याएं हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें शीर्ष के निर्देशांक पहले ही दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए एक द्विघात त्रिपद लें और उसमें पूर्ण वर्ग को अलग करें: देखिए, हमें वह मिल गया। आपने और मैंने पहले इसे परवलय का शीर्ष कहा था, अर्थात अब।

उदाहरण के लिए, । हम समतल पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार होता है (के सापेक्ष)। अर्थात्, हम अंक 1 को क्रियान्वित करते हैं; 3; 4; 5 एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिदम से (ऊपर देखें)।

टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसके समान रूप में दिया गया है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया गया है), तो हम तुरंत अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0). बाकी के लिए, हम कोष्ठक खोलते हुए एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं।

पाठ: परवलय या द्विघात फलन का निर्माण कैसे करें?

सैद्धांतिक भाग

परवलय सूत्र ax 2 +bx+c=0 द्वारा वर्णित फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ है।
परवलय बनाने के लिए आपको एक सरल एल्गोरिथम का पालन करना होगा:

1) परवलय सूत्र y=ax 2 +bx+c,
अगर ए>0तब परवलय की शाखाएँ निर्देशित होती हैं ऊपर,
अन्यथा परवलय की शाखाएँ निर्देशित होती हैं नीचे.
स्वतंत्र सदस्य सीयह बिंदु परवलय को ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है;

2), यह सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है x=(-b)/2a, हम पाए गए x को परवलय समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और पाते हैं य;

3)फ़ंक्शन शून्यया, दूसरे शब्दों में, OX अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु, उन्हें समीकरण की जड़ें भी कहा जाता है। मूल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण को 0 के बराबर करते हैं कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0;

समीकरणों के प्रकार:

a) संपूर्ण द्विघात समीकरण का रूप है कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी=0और विवेचक द्वारा हल किया जाता है;
बी) प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0.इसे हल करने के लिए, आपको कोष्ठक से x निकालना होगा, फिर प्रत्येक कारक को 0 के बराबर करना होगा:
कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स=0,
x(ax+b)=0,
x=0 और ax+b=0;
ग) प्रपत्र का अपूर्ण द्विघात समीकरण कुल्हाड़ी 2 +सी=0.इसे हल करने के लिए, आपको अज्ञात को एक तरफ और ज्ञात को दूसरी तरफ ले जाना होगा। x =±√(c/a);

4) फ़ंक्शन के निर्माण के लिए कई अतिरिक्त बिंदु खोजें।

व्यावहारिक भाग

और इसलिए अब, एक उदाहरण का उपयोग करके, हम चरण दर चरण हर चीज़ का विश्लेषण करेंगे:
उदाहरण 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=3 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ a=1 1>0 से ऊपर की ओर देखती हैं।
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 शीर्ष बिंदु (-2;-1) पर है
आइए समीकरण x 2 +4x+3=0 के मूल ज्ञात करें
विवेचक का उपयोग करके हम जड़ें ढूंढते हैं
ए=1 बी=4 सी=3
डी=बी 2 -4एसी=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x = -2 के निकट स्थित हैं

एक्स -4 -3 -1 0
य 3 0 0 3

समीकरण में x के स्थान पर y=x 2 +4x+3 मान रखें
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = -2 के संबंध में सममित है

उदाहरण #2:
y=-x 2 +4x
c=0 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=0 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर देखती हैं क्योंकि a=-1 -1 आइए समीकरण की जड़ें खोजें -x 2 +4x=0
ax 2 +bx=0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण। इसे हल करने के लिए, आपको कोष्ठक से x निकालना होगा, फिर प्रत्येक गुणनखंड को 0 के बराबर करना होगा।
x(-x+4)=0, x=0 और x=4.

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x=2 के निकट स्थित हैं
x 0 1 3 4
य 0 3 3 0
समीकरण में x के स्थान पर y=-x 2 +4x मान रखें
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = 2 के बारे में सममित है

उदाहरण #3
y=x 2 -4
c=4 का अर्थ है कि परवलय OY को बिंदु x=0 y=4 पर काटता है। परवलय की शाखाएँ a=1 1>0 से ऊपर की ओर देखती हैं।
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 शीर्ष बिंदु (0;-) पर है 4 )
आइए समीकरण x 2 -4=0 के मूल ज्ञात करें
ax 2 +c=0 के रूप का अपूर्ण द्विघात समीकरण। इसे हल करने के लिए, आपको अज्ञात को एक तरफ और ज्ञात को दूसरी तरफ ले जाना होगा। x =±√(c/a)
एक्स 2 =4
एक्स 1 =2
x 2 =-2

आइए कई मनमाने बिंदु लें जो शीर्ष x=0 के निकट स्थित हैं
एक्स -2 -1 1 2
य 0 -3 -3 0
समीकरण में x के स्थान पर y= x 2 -4 मान रखें
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
फ़ंक्शन मानों से यह देखा जा सकता है कि परवलय सीधी रेखा x = 0 के बारे में सममित है

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बिंदु को परवलय का फोकस कहा जाता है, सीधी रेखा परवलय की नियता है, फोकस से नियता पर डाले गए लम्ब का मध्य भाग परवलय का शीर्ष है, फोकस से नियता तक की दूरी है परवलय का पैरामीटर, और परवलय के शीर्ष से उसके फोकस तक की दूरी फोकल लंबाई है (चित्र 3.45a)। डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत और फोकस से गुजरने वाली सीधी रेखा को परवलय की धुरी (परवलय का फोकल अक्ष) कहा जाता है। परवलय के एक मनमाने बिंदु को उसके फोकस से जोड़ने वाले खंड को बिंदु की फोकल त्रिज्या कहा जाता है। परवलय के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को परवलय की जीवा कहते हैं।

परवलय के एक मनमाने बिंदु के लिए, फोकस की दूरी और नियता की दूरी का अनुपात एक के बराबर होता है। दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के निर्देशकीय गुणों की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं परवलय विलक्षणता परिभाषा के अनुसार एक के बराबर।

एक परवलय की ज्यामितीय परिभाषा, इसके निर्देशकीय गुण को व्यक्त करते हुए, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - परवलय के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:

(3.51)

दरअसल, आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली का परिचय दें (चित्र 3.45,6)। हम परवलय के शीर्ष को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में लेते हैं; आइए हम डायरेक्ट्रिक्स के लंबवत फोकस से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा को एब्सिस्सा अक्ष (बिंदु से बिंदु तक उस पर सकारात्मक दिशा) के रूप में लें; आइए हम भुज अक्ष पर लंबवत और परवलय के शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा को कोटि अक्ष के रूप में लें (कोर्डिनेट अक्ष पर दिशा इसलिए चुनी जाती है ताकि आयताकार समन्वय प्रणाली सही हो)।

आइए एक परवलय की ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके उसके लिए एक समीकरण बनाएं, जो एक परवलय के निर्देशकीय गुण को व्यक्त करता है। चयनित समन्वय प्रणाली में, हम फोकस और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। परवलय से संबंधित एक मनमाने बिंदु के लिए, हमारे पास है:

डायरेक्ट्रिक्स पर बिंदु का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण कहां है। हम इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखते हैं:

हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: . समान पद लाने पर हमें प्राप्त होता है विहित परवलय समीकरण

वे। चुनी गई समन्वय प्रणाली विहित है।

तर्क को विपरीत क्रम में आगे बढ़ाते हुए, हम दिखा सकते हैं कि वे सभी बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरण (3.51) को संतुष्ट करते हैं, और केवल वे, बिंदुओं के बिंदुपथ से संबंधित होते हैं जिन्हें परवलय कहा जाता है। इस प्रकार, एक परवलय की विश्लेषणात्मक परिभाषा उसकी ज्यामितीय परिभाषा के बराबर होती है, जो एक परवलय की निर्देशकीय संपत्ति को व्यक्त करती है।

आइए हम परवलय के निम्नलिखित गुण प्रस्तुत करें:

संपत्ति 10.10.

परवलय में सममिति का एक अक्ष होता है।

सबूत

चर y समीकरण में केवल दूसरी घात में प्रवेश करता है। इसलिए, यदि बिंदु M (x ; y) के निर्देशांक परवलय समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो बिंदु N (x ; – y) के निर्देशांक इसे संतुष्ट करेंगे। बिंदु N, ऑक्स अक्ष के सापेक्ष बिंदु M के सममित है। इसलिए, ऑक्स अक्ष विहित समन्वय प्रणाली में परवलय की समरूपता का अक्ष है।

सममिति के अक्ष को परवलय का अक्ष कहा जाता है। वह बिंदु जहां परवलय अक्ष को काटता है, परवलय का शीर्ष कहलाता है। विहित समन्वय प्रणाली में परवलय का शीर्ष मूल बिंदु पर होता है।

संपत्ति 10.11.

परवलय अर्ध-तल x ≥ 0 में स्थित है।

सबूत

दरअसल, चूंकि पैरामीटर पी सकारात्मक है, समीकरण केवल गैर-नकारात्मक एब्सिस्सा वाले बिंदुओं से संतुष्ट हो सकता है, यानी आधे विमान x ≥ 0 के बिंदु।

समन्वय प्रणाली को प्रतिस्थापित करते समय, स्थिति में निर्दिष्ट निर्देशांक वाले बिंदु ए में संबंधों से निर्धारित नए निर्देशांक होंगे। इस प्रकार, बिंदु ए में विहित प्रणाली में निर्देशांक होंगे। इस बिंदु को परवलय का फोकस कहा जाता है और इसे द्वारा दर्शाया जाता है पत्र एफ.

नई समन्वय प्रणाली में एक समीकरण द्वारा पुरानी समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट सीधी रेखा एल, छायांकन को छोड़कर देखी जाएगी,

विहित समन्वय प्रणाली में इस रेखा को परवलय की नियता कहा जाता है। इससे फोकस तक की दूरी को परवलय का फोकल पैरामीटर कहा जाता है। जाहिर है यह पी के बराबर है. परिभाषा के अनुसार, परवलय की विलक्षणता को एकता के बराबर माना जाता है, अर्थात ε = k = 1।

अब जिस गुण के माध्यम से हमने परवलय को परिभाषित किया है, उसे नए शब्दों में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: परवलय का कोई भी बिंदु उसके फोकस और नियता से समान दूरी पर होता है।

विहित समन्वय प्रणाली में परवलय की उपस्थिति और इसकी नियता का स्थान चित्र में दिखाया गया है। 10.10.1.

चित्र 10.10.1.

फ़ील्ड P पर, एक रैखिक ऑपरेटर है यदि 1) किसी भी वैक्टर के लिए2) किसी भी वेक्टर के लिए.

1) रैखिक ऑपरेटर मैट्रिक्स:चलो φ-एल.ओ. फ़ील्ड P और V के आधारों में से एक पर वेक्टर समष्टि V: होने देना फिर मैट्रिक्स L.O.φ: 2) विभिन्न आधारों में रैखिक ऑपरेटर मैट्रिक्स के बीच संबंध: एम(φ) - एल.ओ. मैट्रिक्स φ पुराने आधार पर. M1(φ) - L.O. मैट्रिक्स φ नये आधार पर. टी उच्चतम आधार से नए आधार तक संक्रमण मैट्रिक्स है। 2) रैखिक ऑपरेटरों पर कार्रवाई:माना φ और f भिन्न हैं L.O. सदिश समष्टि V. तब φ+f रैखिक संचालकों φ और f का योग है। k·φ - गुणन L.O. अदिश k को. φ·f रैखिक संचालकों φ और f का गुणनफल है। मैं भी एल.ओ. हूं. वेक्टर स्पेस वी.

4) रैखिक ऑपरेटर कर्नेल: d(φ) - L.O. कर्नेल का आयाम। φ (दोष)। 5) एक रैखिक ऑपरेटर की छवि: ranφ - रैंक एल.ओ. φ (आयाम Jmφ). 6) एक रैखिक वेक्टर के आइजनवेक्टर और आइगेनवैल्यू:  माना φ L.O है. फ़ील्ड P और यदि पर वेक्टर समष्टि V - eigenvalue - eigenvector L.O. φ λ के अनुरूप है।  एल.ओ. का अभिलक्षणिक समीकरण φ:  eigenvalue λ के अनुरूप eigenvectors का सेट:  एल.ओ. सदिश समष्टि को L.O कहा जाता है। एक साधारण स्पेक्ट्रम के साथ, यदि φ, यदि φ में बिल्कुल n eigenvalues ​​​​है।  यदि φ L.O है. एक साधारण स्पेक्ट्रम के साथ, तो इसमें आइजेनवेक्टर का आधार होता है, जिसके संबंध में मैट्रिक्स एल.ओ. φ विकर्ण है.

2) अंतरिक्ष में किसी रेखा की स्थिति पूरी तरह से उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर।

एक रेखा के समानान्तर सदिश को कहा जाता है गाइडइस लाइन का वेक्टर.

तो चलो सीधी रेखा एलएक बिंदु से होकर गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1 ), वेक्टर के समानांतर एक रेखा पर स्थित है।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम(एक्स,वाई,जेड)एक सीधी रेखा पर. चित्र से यह स्पष्ट है कि.

सदिश संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर. कारक टीपैरामीटर कहा जाता है. बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को निर्दिष्ट करके एम 1 और एमक्रमशः, और के माध्यम से, हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरएक सीधी रेखा का समीकरण. यह दिखाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान के लिए टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाता है एम, एक सीधी रेखा पर लेटना।

आइए इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखें। ध्यान दें, यहां से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकएक सीधी रेखा के समीकरण.

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक बदल जाते हैं एक्स, यऔर जेडऔर अवधि एमएक सीधी रेखा में चलता है.

प्रत्यक्ष के विहित समीकरण

होने देना एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1 ) - एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु एल, और इसका दिशा सदिश है. आइए फिर से रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स,वाई,जेड)और वेक्टर पर विचार करें.

यह स्पष्ट है कि सदिश संरेख हैं, इसलिए उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होने चाहिए, इसलिए,

– कैनन काएक सीधी रेखा के समीकरण.

टिप्पणी 1.ध्यान दें कि पैरामीटर को हटाकर रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं टी. दरअसल, पैरामीट्रिक समीकरणों से हम या प्राप्त करते हैं .

उदाहरण।रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक रूप में.

चलो निरूपित करें , इस तरह एक्स = 2 + 3टी, य = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

टिप्पणी 2.मान लीजिए कि सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक पर लंबवत है, उदाहरण के लिए अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत होता है बैल, इस तरह, एम=0. परिणामस्वरूप, रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप ले लेंगे

समीकरणों से पैरामीटर को बाहर करना टी, हम प्रपत्र में रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका मतलब है कि सीधी रेखा संबंधित निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

विहित समीकरणों के समान अक्षों पर लंबवत एक सीधी रेखा से मेल खाता है बैलऔर ओएया अक्ष के समानांतर आउंस.

उदाहरण।

विहित समीकरण: .

पैरामीट्रिक समीकरण:

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखें एम 1 (-2;1;3), एम 2 (-1;3;0).

आइए रेखा के विहित समीकरण बनाएं। ऐसा करने के लिए, हम दिशा वेक्टर ढूंढते हैं। तब एल:.

दो तलों के प्रतिच्छेदन रेखाओं के रूप में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनगिनत विमान हैं। उनमें से कोई भी दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। नतीजतन, किन्हीं दो ऐसे विमानों के समीकरण, एक साथ विचार करने पर, इस रेखा के समीकरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक रेखा बनाइए

एक सीधी रेखा बनाने के लिए उसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। सबसे आसान तरीका निर्देशांक तलों वाली एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करना है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम यह मानते हुए सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करने के बाद, हमें बात समझ में आती है एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर य= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों की ओर बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए आपको कोई बिंदु ढूंढ़ना होगा एम 1 एक सीधी रेखा पर और एक सीधी रेखा का निर्देशन सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से किसी एक निर्देशांक को मनमाना मान देकर प्राप्त करते हैं। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, ध्यान दें कि यह वेक्टर सामान्य वेक्टर और दोनों के लंबवत होना चाहिए। इसलिए, दिशा वेक्टर के लिए सीधा एलआप सामान्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में.

आइए एक रेखा पर स्थित एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से किसी एक निर्देशांक को चुनते हैं, उदाहरण के लिए, य= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले तलों के सामान्य सदिशों में निर्देशांक होते हैं। इसलिए, रेखा का दिशा सदिश होगा

. इस तरह, एल: .

1) दो आधारों को रहने दो आर एन .

परिभाषा। संक्रमण मैट्रिक्स आधार से आधार तक मैट्रिक्स C कहा जाता है, जिसके कॉलम वेक्टर के निर्देशांक होते हैं आधार में :

संक्रमण मैट्रिक्स उलटा है क्योंकि आधार वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इसलिए

वेक्टर को दोनों आधारों के वैक्टर के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। विभिन्न आधारों में वेक्टर निर्देशांक के बीच संबंध निम्नलिखित प्रमेय में स्थापित किया गया है।

प्रमेय. अगर

फिर निर्देशांक आधार में वेक्टर , और इसके निर्देशांक आधार में रिश्तों से जुड़ा है

कहाँ - आधार से संक्रमण मैट्रिक्स आधार तक , - वेक्टर-कॉलम वेक्टर के निर्देशांक आधारों में और क्रमश।

2)दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

यदि रेखाएँ समीकरणों द्वारा दी गई हैं तो वे हैं:

1)समानांतर (लेकिन समान नहीं)

2) मिलान

3) प्रतिच्छेद करना

4) परस्पर प्रजनन

यदि तब मामले 1 - 4 घटित होते हैं जब (- शर्त का निषेध संकेत):

3)

4)

दो समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी

निर्देशांक में

दो क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी

निर्देशांक में

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

दो रेखाओं की लंबता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त

या

सीधी रेखा और तल की सापेक्ष स्थिति

सपाट और सीधा

1) प्रतिच्छेद

2) सीधी रेखा समतल में स्थित होती है

3) समानांतर

यदि तब स्थिति 1 - 3 तब घटित होती है जब:

1)

एक रेखा और एक तल की समांतरता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण

एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु

निर्देशांक में:

एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के समीकरण विमान के लंबवत

निर्देशांक में:

1) जाहिर है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स 1 + एक्स 2 + … + एक्स एन

सबूत।

1) यदि कोई समाधान मौजूद है, तो मुक्त पदों का कॉलम मैट्रिक्स ए के कॉलम का एक रैखिक संयोजन है, जिसका अर्थ है इस कॉलम को मैट्रिक्स में जोड़ना, यानी। संक्रमण AA * रैंक न बदलें।

2) यदि RgA = RgA *, तो इसका मतलब है कि उनका मूल अवयव समान है। मुक्त पदों का स्तंभ आधार लघु के स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है, इसलिए उपरोक्त अंकन सही है।

2) अंतरिक्ष में विमान.

आइए सबसे पहले बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण प्राप्त करें एम 0 (एक्स 0 ,य 0 , जेड 0 ) वेक्टर के लंबवत एन = {ए, बी, सी), विमान को सामान्य कहा जाता है। समतल पर किसी भी बिंदु के लिए एम(एक्स, वाई,जेड) वेक्टर एम 0 एम = {एक्स - एक्स 0 , य - य 0 , जेड - जेड 0 ) वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है एन , इसलिए, उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर है:

ए(एक्स - एक्स 0 ) + बी(य - य 0 ) + सी(जेड - जेड 0 ) = 0. (8.1)

एक समीकरण प्राप्त होता है जो किसी दिए गए समतल के किसी भी बिंदु से संतुष्ट होता है - किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण।

समान लाने के बाद, हम समीकरण (8.1) को इस रूप में लिख सकते हैं:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

कहाँ डी = -कुल्हाड़ी 0 -द्वारा 0 -सी.जे 0 . तीन चरों वाला यह रैखिक समीकरण कहलाता है सामान्य समतल समीकरण.

अपूर्ण समतल समीकरण.

यदि संख्याओं में से कम से कम एक ए, बी, सी,डीशून्य के बराबर, समीकरण (8.2) अपूर्ण कहलाता है।

आइए अपूर्ण समीकरणों के संभावित प्रकारों पर विचार करें:

1) डी= 0 – समतल कुल्हाड़ी + द्वारा + Cz= 0 मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

2) ए = 0 – एन = {0,बी, सी} बैल, इसलिए, विमान द्वारा + Cz + डी= 0 अक्ष के समानांतर ओह.

3) में= 0 – समतल कुल्हाड़ी + Cz + डी = 0 अक्ष के समानांतर कहां.

4) साथ= 0 – समतल कुल्हाड़ी + द्वारा + डी= 0 अक्ष के समानांतर के बारे मेंजेड.

5) ए = बी= 0 – समतल Cz + डी ओहो(चूँकि यह अक्षों के समानांतर है ओहऔर कहां).

6) ए = सी= 0 – समतल वू+डी= 0 निर्देशांक तल के समानांतर ओहजेड.

7) बी = सी= 0 – समतल कुल्हाड़ी + डी= 0 निर्देशांक तल के समानांतर कहांजेड.

8) ए =डी= 0 – समतल द्वारा + Cz= 0 अक्ष से होकर गुजरता है ओह.

9) बी = डी= 0 – समतल आह + सीजेड= 0 अक्ष से होकर गुजरता है कहां.

10) सी = डी= 0 - समतल कुल्हाड़ी + द्वारा= 0 अक्ष से होकर गुजरता है आउंस.

11) ए = बी = डी= 0 – समीकरण साथजेड= 0 निर्देशांक तल निर्दिष्ट करता है ओह!

12) ए = सी = डी= 0 - हमें मिलता है वू= 0 – निर्देशांक समतल समीकरण ओहजेड.

13) बी = सी = डी= 0 – समतल ओह= 0 निर्देशांक तल है कहांजेड.

यदि समतल का सामान्य समीकरण पूर्ण है (अर्थात, कोई भी गुणांक शून्य नहीं है), तो इसे इस रूप में घटाया जा सकता है:

बुलाया खंडों में समतल का समीकरण. रूपांतरण विधि व्याख्यान 7. पैरामीटर्स में दिखाई गई है ए,बीऔर साथनिर्देशांक अक्षों पर समतल द्वारा काटे गए खंडों के मान के बराबर हैं।

1) रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली कुल्हाड़ी = 0हमेशा एक साथ। इसमें गैर-तुच्छ (गैर-शून्य) समाधान हैं यदि आर= रैंक ए< n .

सजातीय प्रणालियों के लिए, मूल चर (जिनके गुणांक मूल लघु बनाते हैं) को प्रपत्र के संबंधों द्वारा मुक्त चर के माध्यम से व्यक्त किया जाता है:

तब एन आररैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर समाधान होंगे:

और कोई भी अन्य समाधान उनका एक रैखिक संयोजन है। वेक्टर समाधान एक सामान्यीकृत मौलिक प्रणाली बनाएं।

एक रैखिक स्थान में, रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के समाधान का सेट आयाम का एक उपस्थान बनाता है एन आर; - इस उपस्थान का आधार.