x घात के घातांक का व्युत्पन्न। ई से एक्स शक्ति और घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक लघुगणकीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न

घातांक (ई से एक्स पावर) और घातांक फ़ंक्शन (ए से एक्स पावर) के व्युत्पन्न के लिए सूत्रों का प्रमाण और व्युत्पत्ति। e^2x, e^3x और e^nx के व्युत्पन्नों की गणना के उदाहरण। उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव के लिए सूत्र।

सामग्री

यह सभी देखें: घातीय फलन - गुण, सूत्र, ग्राफ़
घातांक, ई से एक्स घात - गुण, सूत्र, ग्राफ

मूल सूत्र

एक घातांक का व्युत्पन्न स्वयं घातांक के बराबर होता है (e से x घात का व्युत्पन्न e से x घात के बराबर होता है):
(1) (ई एक्स )' = ई एक्स.

आधार a के साथ एक घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा गुणा किए गए फ़ंक्शन के बराबर है:
(2) .

घातांक एक घातीय फलन है जिसका आधार संख्या e के बराबर है, जो निम्नलिखित सीमा है:
.
यहां यह या तो प्राकृतिक संख्या या वास्तविक संख्या हो सकती है। इसके बाद, हम घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त करते हैं।

घातीय व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति

घातांक पर विचार करें, ई से एक्स घात:
आप = ई एक्स .
यह फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित है. आइए चर x के संबंध में इसका व्युत्पन्न ज्ञात करें। परिभाषा के अनुसार, व्युत्पन्न निम्नलिखित सीमा है:
(3) .

आइए इस अभिव्यक्ति को ज्ञात गणितीय गुणों और नियमों में परिवर्तित करें। ऐसा करने के लिए हमें निम्नलिखित तथ्यों की आवश्यकता है:
ए)घातांक संपत्ति:
(4) ;
बी)लघुगणक की संपत्ति:
(5) ;
में)लघुगणक की निरंतरता और एक सतत कार्य के लिए सीमा की संपत्ति:
(6) .
यहां एक फ़ंक्शन है जिसकी एक सीमा है और यह सीमा सकारात्मक है।
जी)दूसरी उल्लेखनीय सीमा का अर्थ:
(7) .

आइए इन तथ्यों को अपनी सीमा (3) पर लागू करें। हम संपत्ति का उपयोग करते हैं (4):
;
.

आइए एक प्रतिस्थापन करें. तब ; .
घातांक की निरंतरता के कारण,
.
इसलिए, जब , . परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
.

आइए एक प्रतिस्थापन करें. तब । पर , । और हमारे पास है:
.

आइए लघुगणक गुण (5) लागू करें:
. तब
.

आइए संपत्ति (6) लागू करें। चूँकि एक सकारात्मक सीमा है और लघुगणक निरंतर है, तो:
.
यहां हमने दूसरी उल्लेखनीय सीमा (7) का भी उपयोग किया। तब
.

इस प्रकार, हमने घातांक के अवकलज के लिए सूत्र (1) प्राप्त किया।

एक घातांकीय फलन के अवकलज के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

अब हम घातांक a के आधार वाले घातांक फलन के अवकलज के लिए सूत्र (2) प्राप्त करते हैं। हम ऐसा मानते हैं और. फिर घातांकीय फलन
(8)
सभी के लिए परिभाषित.

आइए सूत्र (8) को रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम घातीय फ़ंक्शन और लघुगणक के गुणों का उपयोग करेंगे।
;
.
इसलिए, हमने सूत्र (8) को निम्नलिखित रूप में बदल दिया:
.

ई से एक्स पावर का उच्च क्रम डेरिवेटिव

अब आइए उच्च ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें। आइए पहले प्रतिपादक को देखें:
(14) .
(1) .

हम देखते हैं कि फलन (14) का अवकलज फलन (14) के ही बराबर है। (1) को विभेदित करने पर, हम दूसरे और तीसरे क्रम के व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:
;
.

इससे पता चलता है कि nवें क्रम का व्युत्पन्न भी मूल फ़ंक्शन के बराबर है:
.

घातीय फलन के उच्च क्रम व्युत्पन्न

अब घातांक के आधार वाले एक घातांकीय फलन पर विचार करें:
.
हमने इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न पाया:
(15) .

(15) को विभेदित करने पर, हमें दूसरे और तीसरे क्रम के व्युत्पन्न प्राप्त होते हैं:
;
.

हम देखते हैं कि प्रत्येक विभेदन से मूल फलन का गुणन होता है। इसलिए, nवें क्रम व्युत्पन्न का निम्नलिखित रूप है:
.

यह सभी देखें:

बुनियादी अवधारणाओं

$x$ की घात के घातांक के अवकलज के प्रश्न की जांच करने से पहले, आइए परिभाषाओं को याद करें

1. कार्य;
2. अनुक्रम सीमा;
3. व्युत्पन्न;
4. प्रदर्शक.

$x$ की घात के घातांक के व्युत्पन्न की स्पष्ट समझ के लिए यह आवश्यक है।

परिभाषा 1

एक फ़ंक्शन दो वेरिएबल्स के बीच एक संबंध है।

आइए $y=f(x)$ लें, जहां $x$ और $y$ वेरिएबल हैं। यहां $x$ को तर्क कहा जाता है और $y$ को फ़ंक्शन कहा जाता है। तर्क मनमाना मान ले सकता है. बदले में, चर $y$ तर्क के आधार पर एक निश्चित कानून के अनुसार बदलता है। अर्थात्, तर्क $x$ स्वतंत्र चर है, और फ़ंक्शन $y$ आश्रित चर है। किसी भी मूल्य $x$ के लिए एक अद्वितीय मूल्य $y$ होता है।

यदि, किसी कानून के आधार पर, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n=1, 2, 3, ...$ एक संख्या $x_n$ से संबद्ध है, तो हम कहते हैं कि संख्याओं का अनुक्रम $x_1,x_2,..., x_n$ परिभाषित है। अन्यथा, ऐसा अनुक्रम $\(x_n\)$ के रूप में लिखा जाता है। सभी संख्याएँ $x_n$ अनुक्रम के सदस्य या तत्व कहलाती हैं।

परिभाषा 2

किसी अनुक्रम की सीमा संख्या रेखा का परिमित या अनंत दूर बिंदु है। सीमा इस प्रकार लिखी गई है: $\lim x_n = \lim\limits_(n\to\infty)x_n = a$. इस संकेतन का अर्थ है कि चर $x_n$ $a$ $x_n\से a$ की ओर प्रवृत्त होता है।

बिंदु $x_0$ पर फ़ंक्शन $f$ के व्युत्पन्न को निम्नलिखित सीमा कहा जाता है:

$\lim\limits_(x\to x_0)\frac(f(x) - f(x_o))(x-x_o)$. इसे $f"(x_0)$ से दर्शाया जाता है।

संख्या $e$ निम्नलिखित सीमा के बराबर है:

$e=\lim\limits_(x\to\infty) (1+\frac(1)(n))\approx2.718281828459045...$

इस सीमा में, $n$ एक प्राकृतिक या वास्तविक संख्या है।

सीमा, व्युत्पन्न और घातांक की अवधारणाओं में महारत हासिल करने के बाद, हम सूत्र $(e^x)"=e^x$ को सिद्ध करना शुरू कर सकते हैं।

$x$ की घात के घातांक के अवकलज की व्युत्पत्ति

हमारे पास $e^x$ है, जहां $x: -\infty

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)$.

घातांक $e^(a+bx)=e^a*e^b$ की संपत्ति द्वारा हम सीमा के अंश को बदल सकते हैं:

$e^(x+\Delta x)-e^x = e^x*e^(\Delta x)-e^x = e^x(e^(\Delta x)-1)$.

अर्थात, $y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(x+\Delta x)-e^x)(\Delta x)=\lim\limits_(\Delta x\ से 0) \frac(e^x(e^(\Delta x)-1))(\Delta x)$.

आइए $t=e^(\Delta x)-1$ को निरूपित करें। हमें $e^(\Delta x)=t+1$ मिलता है, और लघुगणक के गुण से यह पता चलता है कि $\Delta x = ln(t+1)$.

चूँकि घातांक सतत है, हमारे पास $\lim\limits_(\Delta x\to 0) e^(\Delta x)=e^0=1.$ इसलिए, यदि $\Delta x\to 0$, तो $ t\ से 0$.

परिणामस्वरूप, हम परिवर्तन दिखाते हैं:

$y"=\lim\limits_(\Delta x\to 0) \frac(e^(\Delta x)-1)(\Delta x)=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac (t)(ln(t+1))$.

आइए हम $n=\frac (1)(t)$ को निरूपित करें, फिर $t=\frac(1)(n)$। इससे पता चलता है कि यदि $t\to 0$, तो $n\to\infty$।

आइए अपनी सीमा बदलें:

$y"=e^x\lim\limits_(t\to 0)\frac(t)(ln(t+1))=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1) (n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)^n)$.

लघुगणक के गुण से $b\cdot ln c=ln c^b$ हमारे पास है

$n\cdot ln (\frac(1)(n)+1)=ln(\frac(1)(n)+1)^n=ln(1+\frac(1)(n))^n$ .

सीमा इस प्रकार परिवर्तित की गई है:

$y"=e^x\lim\limits_(n\to\infty)\frac(1)(n\cdot ln(\frac(1)(n)+1)) = e^x\lim\limits_( n\to\infty)\frac(1)(ln(\frac(1)(n)+1)^n)= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln (\frac(1)(n)+1)^n)$.

लघुगणक की निरंतरता की संपत्ति और एक निरंतर फ़ंक्शन के लिए सीमा की संपत्ति के अनुसार: $\lim\limits_(x\to x_0)ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, जहां $f(x)$ की सकारात्मक सीमा $\lim\limits_(x\to x_0)f(x)$ है। तो, इस तथ्य के कारण कि लघुगणक निरंतर है और एक सकारात्मक सीमा $\lim\limits_(n\to\infty)(\frac(1)(n)+1)^n$ है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

$\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)(n))^n=ln\lim\limits_(n\to\infty)ln(1+\frac(1)( n))^n=ln e=1$.

आइए दूसरी उल्लेखनीय सीमा $\lim\limits_(n\to\infty)(1+\frac(1)(n))^n=e$ के मान का उपयोग करें। हम पाते हैं:

$y"= e^x\frac(1)(\lim\limits_(n\to\infty) ln(\frac(1)(n)+1)^n) = e^x\cdot\frac(1 )(ln e) = e^x\cdot\frac(1)(1)=e^x$.

इस प्रकार, हमने एक घातांक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त किया है और दावा कर सकते हैं कि $x$ की घात के एक घातांक का व्युत्पन्न $x$ की घात के एक घातांक के व्युत्पन्न के बराबर है:

अन्य सूत्रों और नियमों का उपयोग करके इस सूत्र को प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं।

उदाहरण 1

आइए किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने का एक उदाहरण देखें।

स्थिति: फ़ंक्शन $y=2^x + 3^x + 10^x + e^x$ का व्युत्पन्न खोजें।

समाधान: $2^x, 3^x$ और $10^x$ के लिए हम सूत्र $(a^x)"=a^x\cdot ln a$ लागू करते हैं। व्युत्पन्न सूत्र $(e^x)" के अनुसार =e^x$ चौथा पद $e^x$ नहीं बदलता है।

उत्तर: $y" = 2^x\cdot ln 2 + 3^x\cdot ln 3 + 10^x\cdot ln 10 + e^x$.

इस प्रकार, हमने बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा देते हुए सूत्र $(e^x)"=e^x$ प्राप्त किया है, और एक पद के रूप में एक घातांक के साथ एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के एक उदाहरण का विश्लेषण किया है।

प्राचीन काल में कई संख्याओं ने अपना आकार और अंधविश्वासपूर्ण अर्थ प्राप्त कर लिया। आजकल इनमें नये-नये मिथक जुड़ते जा रहे हैं। संख्या पाई के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं; प्रसिद्ध फाइबोनैचि संख्याएँ भी इससे कम प्रसिद्ध नहीं हैं। लेकिन शायद सबसे आश्चर्यजनक बात संख्या ई है, जिसके बिना वह नहीं कर सकता आधुनिक गणित, भौतिकी और यहां तक ​​कि अर्थशास्त्र भी।

ई का अंकगणितीय मान लगभग 2.718 है। बिल्कुल क्यों नहीं, लेकिन लगभग? क्योंकि यह संख्या अपरिमेय और पारलौकिक है, इसे प्राकृतिक पूर्णांकों वाले भिन्न या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अधिकांश गणनाओं के लिए, 2.718 की निर्दिष्ट सटीकता पर्याप्त है, हालांकि कंप्यूटिंग तकनीक का आधुनिक स्तर इसके मान को एक ट्रिलियन दशमलव स्थानों से अधिक की सटीकता के साथ निर्धारित करने की अनुमति देता है।

संख्या e की मुख्य विशेषता यह है कि इसके घातीय फलन f (x) = e x का व्युत्पन्न फलन e x के मान के ही बराबर है। किसी अन्य गणितीय संबंध में ऐसी असामान्य संपत्ति नहीं है। आइए इस बारे में थोड़ा और विस्तार से बात करते हैं।

सीमा क्या है?

सबसे पहले, आइए सीमा की अवधारणा को समझें। कुछ गणितीय अभिव्यक्ति पर विचार करें, उदाहरण के लिए, i = 1/n। देख सकता हूं, जैसे-जैसे "एन" बढ़ता है", "i" का मान कम हो जाएगा, और जैसे ही "n" अनंत की ओर प्रवृत्त होगा (जिसे चिह्न ∞ द्वारा दर्शाया जाएगा), "i" शून्य के बराबर सीमा मान (जिसे अक्सर सीमा कहा जाता है) की ओर प्रवृत्त होगा। विचाराधीन मामले के लिए सीमा (लिम के रूप में चिह्नित) की अभिव्यक्ति को लिम एन →∞ (1/ एन) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।

अलग-अलग अभिव्यक्तियों के लिए अलग-अलग सीमाएँ हैं। इन सीमाओं में से एक, सोवियत और रूसी पाठ्यपुस्तकों में दूसरी उल्लेखनीय सीमा के रूप में शामिल है, अभिव्यक्ति lim n →∞ (1+1/ n) n है। पहले से ही मध्य युग में यह स्थापित किया गया था कि इस अभिव्यक्ति की सीमा संख्या ई है।

पहली उल्लेखनीय सीमा में अभिव्यक्ति lim n →∞ (Sin n / n) = 1 शामिल है.

ई एक्स का व्युत्पन्न कैसे खोजें - इस वीडियो में।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है

व्युत्पन्न की अवधारणा को समझाने के लिए, हमें याद रखना चाहिए कि गणित में एक फ़ंक्शन क्या है। जटिल परिभाषाओं के साथ पाठ को अव्यवस्थित न करने के लिए, हम एक फ़ंक्शन की सहज गणितीय अवधारणा पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि इसमें एक या अधिक मात्राएं किसी अन्य मात्रा के मूल्य को पूरी तरह से निर्धारित करती हैं यदि वे परस्पर संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, सूत्र S = π ∙ r 2 में एक वृत्त का क्षेत्रफल, त्रिज्या r का मान पूरी तरह से और विशिष्ट रूप से वृत्त S का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।

प्रकार के आधार पर, फ़ंक्शन बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणकीय आदि हो सकते हैं। उनमें दो, तीन या अधिक तर्क आपस में जुड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, S द्वारा तय की गई दूरी, जिसे एक वस्तु ने समान रूप से त्वरित गति से तय किया, को फ़ंक्शन S = 0.5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t द्वारा वर्णित किया गया है, जहां "t" गति का समय है, तर्क "a "त्वरण है (या तो सकारात्मक या नकारात्मक मान हो सकता है) और" वी "गति की प्रारंभिक गति है। इस प्रकार, तय की गई दूरी तीन तर्कों के मूल्यों पर निर्भर करती है, जिनमें से दो ("ए" और "वी") स्थिर हैं।

आइए हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की प्रारंभिक अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए इस उदाहरण का उपयोग करें। यह किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। हमारे उदाहरण में, यह समय के एक विशिष्ट क्षण में वस्तु की गति की गति होगी। निरंतर "ए" और "वी" के साथ, यह केवल समय "टी" पर निर्भर करता है, अर्थात, वैज्ञानिक भाषा में, आपको समय "टी" के संबंध में फ़ंक्शन एस का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है।

इस प्रक्रिया को विभेदन कहा जाता है और यह किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और उसके तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा की गणना करके नगण्य रूप से छोटी मात्रा में की जाती है। व्यक्तिगत कार्यों के लिए ऐसी समस्याओं को हल करना अक्सर कठिन होता है और यहां इस पर चर्चा नहीं की गई है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि कुछ कार्यों में कुछ बिंदुओं पर ऐसी कोई सीमा नहीं होती है।

हमारे उदाहरण में, व्युत्पन्न एससमय के साथ "t" S" = ds/dt = a ∙ t + V का रूप ले लेगा, जिससे यह देखा जा सकता है कि गति S" "t" के आधार पर एक रैखिक नियम के अनुसार बदलती है।

प्रतिपादक की व्युत्पत्ति

एक घातांकीय फलन को घातांकीय फलन कहा जाता है, जिसका आधार संख्या ई है। इसे आमतौर पर एफ (एक्स) = ई एक्स के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, जहां घातांक एक्स एक परिवर्तनीय मात्रा है। इस फ़ंक्शन में वास्तविक संख्याओं की संपूर्ण श्रृंखला पर पूर्ण भिन्नता है। जैसे-जैसे x बढ़ता है, यह लगातार बढ़ता है और हमेशा शून्य से अधिक होता है। इसका व्युत्क्रम कार्य लघुगणक है।

प्रसिद्ध गणितज्ञ टेलर इस फ़ंक्शन को उनके नाम पर एक श्रृंखला में विस्तारित करने में कामयाब रहे e x = 1 + x/1! + x 2/2! + x 3 /3! +… x श्रेणी में - ∞ से + ∞ तक।

इस फ़ंक्शन पर आधारित कानून, को घातीय कहा जाता है। वह वर्णन करता है:

• चक्रवृद्धि बैंक ब्याज दरों में वृद्धि;
• जानवरों की आबादी और वैश्विक आबादी में वृद्धि;
• कठोर मोर्टिस समय और भी बहुत कुछ।

आइए एक बार फिर से इस निर्भरता की उल्लेखनीय संपत्ति को दोहराएं - किसी भी बिंदु पर इसके व्युत्पन्न का मूल्य हमेशा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर होता है, यानी, (ई एक्स)" = ई एक्स।

आइए हम घातांक के सबसे सामान्य मामलों के लिए व्युत्पन्न प्रस्तुत करें:

• (ई कुल्हाड़ी)" = ए ∙ ई कुल्हाड़ी;
• (e f (x))" = f"(x) ∙ e f (x) .

इन निर्भरताओं का उपयोग करके, इस फ़ंक्शन के अन्य विशेष प्रकारों के लिए डेरिवेटिव ढूंढना आसान है।

संख्या ई के बारे में कुछ रोचक तथ्य

इस संख्या के साथ नेपियर, ऑउट्रेड, ह्यूजेन्स, बर्नौली, लीबनिज, न्यूटन, यूलर और अन्य वैज्ञानिकों के नाम जुड़े हुए हैं। उत्तरार्द्ध ने वास्तव में इस संख्या के लिए अंकन ई पेश किया, और गणना के लिए खोजी गई श्रृंखला ई = 1 + 1/1 का उपयोग करके पहले 18 संकेत भी पाए! + 2/2! + 3/3! ...

संख्या ई सबसे अप्रत्याशित स्थानों में प्रकट होती है। उदाहरण के लिए, इसे कैटेनरी समीकरण में शामिल किया गया है, जो अपने वजन के तहत रस्सी की शिथिलता का वर्णन करता है जब इसके सिरे समर्थन के लिए तय होते हैं।

वीडियो

वीडियो पाठ का विषय घातीय फलन का व्युत्पन्न है।

तालिका का पहला सूत्र निकालते समय, हम एक बिंदु पर व्युत्पन्न फ़ंक्शन की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले चलो एक्स- कोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात, एक्स- फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को यहां लिखें:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा चिह्न के तहत अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक अनंत मान नहीं होता है, लेकिन सटीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि सदैव शून्य होती है।

इस प्रकार, एक स्थिर फलन का व्युत्पन्नपरिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में शून्य के बराबर है.

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न.

किसी पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का रूप होता है , जहां प्रतिपादक पी- कोई भी वास्तविक संख्या।

आइए सबसे पहले प्राकृतिक घातांक, अर्थात्, के लिए सूत्र सिद्ध करें पी = 1, 2, 3, ...

हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए हम किसी पावर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं:

इस तरह,

यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए घात फलन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध करता है।

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न.

हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र की व्युत्पत्ति प्रस्तुत करते हैं:

हम अनिश्चितता पर आ गये हैं। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया वेरिएबल पेश करते हैं, और पर। तब । पिछले संक्रमण में, हमने एक नए लघुगणकीय आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया था।

आइए मूल सीमा में स्थानापन्न करें:

यदि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र पर पहुंचते हैं:

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न.

आइए हम सभी के लिए एक लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध करें एक्सपरिभाषा के क्षेत्र और आधार के सभी मान्य मानों से एलोगारित्म व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

जैसा कि आपने देखा, प्रमाण के दौरान परिवर्तन लघुगणक के गुणों का उपयोग करके किए गए थे। समानता दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण सत्य है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न।

त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों के साथ-साथ पहली उल्लेखनीय सीमा को भी याद करना होगा।

हमारे पास साइन फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा है .

आइए ज्या के अंतर सूत्र का उपयोग करें:

पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप एक्सवहाँ है क्योंकि x.

कोज्या के अवकलज का सूत्र बिल्कुल इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्योंकि xवहाँ है -पाप एक्स.

हम विभेदन (अंश का व्युत्पन्न) के सिद्ध नियमों का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के व्युत्पन्न की तालिका के लिए सूत्र प्राप्त करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न.

विभेदीकरण के नियम और डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र हमें हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं।

व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न.

प्रेजेंटेशन के दौरान भ्रम से बचने के लिए, आइए सबस्क्रिप्ट में उस फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा विभेदीकरण किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ(एक्स)द्वारा एक्स.

अब आइये सूत्रीकरण करें व्युत्क्रम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।

चलो कार्य करें वाई = एफ(एक्स)और एक्स = जी(वाई)परस्पर व्युत्क्रम, अंतरालों पर परिभाषित और क्रमशः। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का एक सीमित गैर-शून्य व्युत्पन्न है एफ(एक्स), तो बिंदु पर व्युत्क्रम फलन का एक परिमित व्युत्पन्न होता है जी(वाई), और . एक अन्य पोस्ट में .

इस नियम को किसी के लिए भी दोबारा बनाया जा सकता है एक्सअंतराल से, तब हम पाते हैं .

आइए इन फॉर्मूलों की वैधता की जाँच करें।

आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम फलन खोजें (यहाँ यएक फ़ंक्शन है, और एक्स- तर्क)। इस समीकरण को हल करने के बाद एक्स, हमें (यहाँ) मिलता है एक्सएक फ़ंक्शन है, और य- उसका तर्क)। वह है, और परस्पर विपरीत कार्य।

डेरिवेटिव की तालिका से हम इसे देखते हैं और .

आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजने के सूत्र हमें समान परिणामों तक ले जाते हैं:

विषय का अध्ययन करते समय सुविधा और स्पष्टता के लिए हम एक सारांश तालिका प्रस्तुत करते हैं।

स्थिरवाई = सी पावर फ़ंक्शन y = x p (एक्स पी) " = पी एक्स पी - 1	घातांक प्रकार्यy = कुल्हाड़ी (ए एक्स) " = ए एक्स एलएन ए विशेषकर, जबए = ईहमारे पास है वाई = ई एक्स (ई एक्स) " = ई एक्स
लघुगणकीय कार्य (लॉग ए एक्स) " = 1 एक्स एलएन ए विशेषकर, जबए = ईहमारे पास है y = लॉग x (एलएन एक्स) " = 1 एक्स	त्रिकोणमितीय कार्य (sin x) " = cos x (cos x) " = - पाप x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 पाप 2 x
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (ए आर सी पाप एक्स) " = 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी कॉस एक्स) " = - 1 1 - एक्स 2 (ए आर सी टी जी एक्स) " = 1 1 + एक्स 2 (ए आर सी सी टी जी एक्स) " = - 1 1 + एक्स 2	अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य (एस एच एक्स) " = सी एच एक्स (सी एच एक्स) " = एस एच एक्स (टी एच एक्स) " = 1 सी एच 2 एक्स (सी टी एच एक्स) " = - 1 एस एच 2 एक्स

आइए विश्लेषण करें कि निर्दिष्ट तालिका के सूत्र कैसे प्राप्त किए गए या, दूसरे शब्दों में, हम प्रत्येक प्रकार के फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न सूत्रों की व्युत्पत्ति साबित करेंगे।

एक स्थिरांक का व्युत्पन्न

प्रमाण 1

इस सूत्र को प्राप्त करने के लिए, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा को आधार के रूप में लेते हैं। हम x 0 = x का उपयोग करते हैं, जहाँ एक्सकिसी भी वास्तविक संख्या का मान लेता है, या, दूसरे शब्दों में, एक्सफ़ंक्शन f (x) = C के डोमेन से कोई संख्या है। आइए किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को ∆ x → 0 के रूप में लिखें:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

कृपया ध्यान दें कि अभिव्यक्ति 0 ∆ x सीमा चिह्न के अंतर्गत आती है। यह अनिश्चितता नहीं है कि "शून्य को शून्य से विभाजित किया जाए", क्योंकि अंश में एक अतिसूक्ष्म मान नहीं होता है, बल्कि सटीक रूप से शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फलन की वृद्धि सदैव शून्य होती है।

तो, स्थिर फलन f (x) = C का व्युत्पन्न परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में शून्य के बराबर है।

उदाहरण 1

निरंतर कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = 3, एफ 2 (एक्स) = ए, ए ∈ आर, एफ 3 (एक्स) = 4. 13 7 22 , एफ 4 (एक्स) = 0 , एफ 5 (एक्स) = - 8 7

समाधान

आइए दी गई शर्तों का वर्णन करें। पहले फ़ंक्शन में हम प्राकृतिक संख्या 3 का व्युत्पन्न देखते हैं। निम्नलिखित उदाहरण में, आपको का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है ए, कहाँ ए- कोई भी वास्तविक संख्या. तीसरा उदाहरण हमें अपरिमेय संख्या 4 का व्युत्पन्न देता है। 13 7 22, चौथा शून्य का व्युत्पन्न है (शून्य एक पूर्णांक है)। अंततः, पांचवें मामले में हमारे पास परिमेय भिन्न का अवकलज - 8 7 है।

उत्तर:किसी भी वास्तविक के लिए दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न शून्य हैं एक्स(संपूर्ण परिभाषा क्षेत्र पर)

एफ 1 " (एक्स) = (3) " = 0 , एफ 2 " (एक्स) = (ए) " = 0 , ए ∈ आर , एफ 3 " (एक्स) = 4 . 13 7 22 " = 0 , एफ 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

एक शक्ति फलन का व्युत्पन्न

आइए पावर फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न के सूत्र पर आगे बढ़ें, जिसका रूप है: (x p) " = p x p - 1, जहां घातांक पीक्या कोई वास्तविक संख्या है?

प्रमाण 2

जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या हो तो सूत्र का प्रमाण यहां दिया गया है: पी = 1, 2, 3, ...

हम फिर से व्युत्पन्न की परिभाषा पर भरोसा करते हैं। आइए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र का उपयोग करते हैं:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 +। . . + + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - एक्स पी = = सी पी 1 एक्स पी - 1 ∆ एक्स + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 +। . . + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी

इस प्रकार:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + सी पी 2 एक्स पी - 2 (∆ एक्स) 2 + ... + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 1 + सी पी पी (∆ एक्स) पी) ∆ एक्स = = लिम ∆ एक्स → 0 (सी पी 1 एक्स पी - 1 + सी पी 2 एक्स पी - 2 ∆ एक्स +... + सी पी पी - 1 एक्स (∆ एक्स) पी - 2 + सी पी पी (∆ एक्स) पी - 1) = = सी पी 1 · एक्स पी - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = पी ! 1 ! · (पी - 1) ! · एक्स पी - 1 = पी · एक्स पी - 1

इस प्रकार, जब घातांक एक प्राकृतिक संख्या हो तो हमने घात फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध कर दिया है।

प्रमाण 3

मामले के लिए साक्ष्य उपलब्ध कराने के लिए जब पी-शून्य के अलावा किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, हम लघुगणकीय व्युत्पन्न का उपयोग करते हैं (यहां हमें लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से अंतर को समझना चाहिए)। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का अध्ययन करने और एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समझने की सलाह दी जाती है।

आइए दो मामलों पर विचार करें: कब एक्ससकारात्मक और कब एक्सनकारात्मक।

अतः x > 0. तब: x p > 0 . आइए समानता y = x p को आधार e पर लघुगणक करें और लघुगणक के गुण को लागू करें:

वाई = एक्स पी एलएन वाई = एलएन एक्स पी एलएन वाई = पी · एलएन एक्स

इस स्तर पर, हमने एक अंतर्निहित निर्दिष्ट फ़ंक्शन प्राप्त किया है। आइए इसके व्युत्पन्न को परिभाषित करें:

(एलएन वाई) " = (पी · एलएन एक्स) 1 वाई · वाई " = पी · 1 एक्स ⇒ वाई " = पी · वाई एक्स = पी · एक्स पी एक्स = पी · एक्स पी - 1

अब हम उस मामले पर विचार करते हैं जब एक्स -एक ऋणात्मक संख्या.

यदि सूचक पीएक सम संख्या है, तो पावर फ़ंक्शन x के लिए परिभाषित किया गया है< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

फिर एक्स पी< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

अगर पीएक विषम संख्या है, तो पावर फ़ंक्शन x के लिए परिभाषित किया गया है< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) पी - 1 = पी एक्स पी - 1

अंतिम परिवर्तन इस तथ्य के कारण संभव है कि यदि पीतो, यह एक विषम संख्या है पी - 1या तो एक सम संख्या या शून्य (p = 1 के लिए), इसलिए, ऋणात्मक के लिए एक्ससमानता (- x) p - 1 = x p - 1 सत्य है।

इसलिए, हमने किसी भी वास्तविक पी के लिए पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को सिद्ध कर दिया है।

उदाहरण 2

दिए गए कार्य:

एफ 1 (एक्स) = 1 एक्स 2 3, एफ 2 (एक्स) = एक्स 2 - 1 4, एफ 3 (एक्स) = 1 एक्स लॉग 7 12

उनके व्युत्पन्न निर्धारित करें।

समाधान

हम डिग्री के गुणों के आधार पर दिए गए कुछ कार्यों को सारणीबद्ध रूप y = x p में बदलते हैं, और फिर सूत्र का उपयोग करते हैं:

एफ 1 (एक्स) = 1 एक्स 2 3 = एक्स - 2 3 ⇒ एफ 1 " (एक्स) = - 2 3 एक्स - 2 3 - 1 = - 2 3 एक्स - 5 3 एफ 2 " (एक्स) = एक्स 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x लॉग 7 12 = x - लॉग 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 12 - 1 = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 12 - लॉग 7 7 = - लॉग 7 12 एक्स - लॉग 7 84

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

प्रमाण 4

आइए आधार के रूप में परिभाषा का उपयोग करके व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करें:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a 0

हमें अनिश्चितता मिली. इसका विस्तार करने के लिए, आइए एक नया वेरिएबल z = a ∆ x - 1 (z → 0 को ∆ x → 0 के रूप में) लिखें। इस स्थिति में, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a। अंतिम संक्रमण के लिए, एक नए लघुगणक आधार पर संक्रमण के सूत्र का उपयोग किया गया था।

आइए हम मूल सीमा में स्थानापन्न करें:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a → 0 1 एलएन (जेड + 1) 1 जेड = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन लिम ∆ एक्स → 0 (जेड + 1) 1 जेड

आइए हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद रखें और फिर हम घातीय फलन के अवकलज के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

(ए एक्स) " = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन लिम जेड → 0 (जेड + 1) 1 जेड = ए एक्स · एलएन ए · 1 एलएन ई = ए एक्स · एलएन ए

उदाहरण 3

घातीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = 2 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = 5 3 एक्स, एफ 3 (एक्स) = 1 (ई) एक्स

उनका व्युत्पन्न खोजना आवश्यक है।

समाधान

हम घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और लघुगणक के गुणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

एफ 1 " (एक्स) = 2 3 एक्स " = 2 3 एक्स एलएन 2 3 = 2 3 एक्स (एलएन 2 - एलएन 3) एफ 2 " (एक्स) = 5 3 एक्स " = 5 3 एक्स एलएन 5 1 3 = 1 3 5 3 एक्स एलएन 5 एफ 3 " (एक्स) = 1 (ई) एक्स " = 1 ई एक्स " = 1 ई एक्स एलएन 1 ई = 1 ई एक्स एलएन ई - 1 = - 1 ई एक्स

लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न

प्रमाण 5

आइए हम किसी के लिए लघुगणकीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का प्रमाण प्रदान करें एक्सपरिभाषा के क्षेत्र में और लघुगणक के आधार के किसी भी अनुमेय मान। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम पाते हैं:

(लॉग a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

समानताओं की संकेतित श्रृंखला से यह स्पष्ट है कि परिवर्तन लघुगणक की संपत्ति पर आधारित थे। समानता lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e दूसरी उल्लेखनीय सीमा के अनुसार सत्य है।

उदाहरण 4

लघुगणकीय कार्य दिए गए हैं:

एफ 1 (एक्स) = लॉग एलएन 3 एक्स, एफ 2 (एक्स) = एलएन एक्स

उनके डेरिवेटिव की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए व्युत्पन्न सूत्र लागू करें:

एफ 1 " (एक्स) = (लॉग एलएन 3 एक्स) " = 1 एक्स · एलएन (एलएन 3) ; एफ 2 " (एक्स) = (एलएन एक्स) " = 1 एक्स एलएन ई = 1 एक्स

तो, प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न को एक से विभाजित किया जाता है एक्स.

त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न

प्रमाण 6

आइए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करने के लिए कुछ त्रिकोणमितीय सूत्रों और पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करें।

साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं:

(पाप x) " = लिम ∆ x → 0 पाप (x + ∆ x) - पाप x ∆ x

ज्याओं के अंतर का सूत्र हमें निम्नलिखित क्रियाएं करने की अनुमति देगा:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 पाप (x + ∆ x) - पाप x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 पाप x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 syn ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2

अंत में, हम पहली अद्भुत सीमा का उपयोग करते हैं:

पाप "x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप एक्सइच्छा क्योंकि x.

हम कोज्या के अवकलज का सूत्र भी सिद्ध करेंगे:

क्योंकि x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 पाप - लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 पाप x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - पाप x + 0 2 लिम ∆ x → 0 पाप ∆ x 2 ∆ x 2 = - पाप x

वे। cos x फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा – पाप एक्स.

हम विभेदन के नियमों के आधार पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के व्युत्पन्नों के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

t g " x = पाप x क्योंकि x " = पाप " cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " पाप 2 एक्स = - पाप 2 एक्स + क्योंकि 2 एक्स पाप 2 एक्स = - 1 पाप 2 एक्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न

व्युत्क्रम फलनों के व्युत्पन्न पर अनुभाग आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटैन्जेंट और आर्ककोटैंजेंट के व्युत्पन्नों के सूत्रों के प्रमाण पर व्यापक जानकारी प्रदान करता है, इसलिए हम यहां सामग्री की नकल नहीं करेंगे।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न

साक्ष्य 7

हम विभेदन नियम और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

एस एच " एक्स = ई एक्स - ई - एक्स 2 " = 1 2 ई एक्स " - ई - एक्स " = = 1 2 ई एक्स - - ई - एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 = सी एच एक्स सी एच " एक्स = ई एक्स + ई - एक्स 2 " = 1 2 इ 2 एक्स - एस एच 2 एक्स सी एच 2 एक्स = 1 सी एच 2 एक्स सी टी एच " एक्स = सी एच एक्स एस एच एक्स " = सी एच " एक्स · एस एच एक्स - सी एच एक्स · एस एच " एक्स एस एच 2 एक्स = एस एच 2 एक्स - सी एच 2 एक्स एस एच 2 एक्स = - 1 एस एच 2 एक्स

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