पाठ “दो चरों वाली असमानताओं की प्रणालियाँ। दो चरों वाली असमानताएँ और उनकी प्रणालियाँ दो चरों वाली असमानताओं को हल करने के उदाहरण

समन्वय तल पर दो चर वाली असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करना अक्सर आवश्यक होता है। दो चर वाली असमानता का समाधान इन चरों के मूल्यों की एक जोड़ी है जो दी गई असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देती है।

2 वर्ष+ Zx< 6.

आइए पहले एक सीधी रेखा खींचें। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को एक समीकरण के रूप में लिखते हैं 2 वर्ष+ Zx = 6 और व्यक्त करें वाईइस प्रकार, हमें मिलता है: y=(6-3एक्स)/2.

यह रेखा निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं के समूह को इसके ऊपर के बिंदुओं और इसके नीचे के बिंदुओं में विभाजित करती है।

प्रत्येक क्षेत्र से एक मेम लें चेकप्वाइंट, उदाहरण के लिए ए (1; 1) और बी (1; 3)

बिंदु A के निर्देशांक दी गई असमानता 2y + 3x को संतुष्ट करते हैं< 6, т. е. 2 . 1 + 3 . 1 < 6.

बिंदु बी निर्देशांक नहींइस असमानता को संतुष्ट करें 2∙3 + 3∙1< 6.

चूँकि यह असमानता रेखा 2y + Zx = 6 पर चिह्न को बदल सकती है, तो असमानता उस क्षेत्र के बिंदुओं के सेट को संतुष्ट करती है जहां बिंदु A स्थित है। आइए इस क्षेत्र को छायांकित करें।

इस प्रकार, हमने असमानता के समाधान के सेट को दर्शाया है 2y + Zx< 6.

उदाहरण

हम समन्वय तल पर असमानता x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 > 0 के समाधान के सेट को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, हम समीकरण x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 \u003d 0 का एक ग्राफ बनाते हैं। हम वृत्त समीकरण को इस समीकरण में विभाजित करते हैं: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 - 4y + 4) = 4, या (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 2 2।

यह बिंदु 0 (-1; 2) और त्रिज्या R = 2 पर केन्द्रित एक वृत्त का समीकरण है। आइए इस वृत्त का निर्माण करें।

चूँकि यह असमानता सख्त है और वृत्त पर स्थित बिंदु स्वयं असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं, हम एक बिंदीदार रेखा से वृत्त का निर्माण करते हैं।

यह जांचना आसान है कि वृत्त के केंद्र O के निर्देशांक इस असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं। अभिव्यक्ति x 2 + 2x + y 2 - 4y + 1 निर्मित वृत्त पर अपना चिह्न बदलता है। फिर असमानता वृत्त के बाहर स्थित बिंदुओं से संतुष्ट होती है। ये बिंदु छायांकित हैं।

उदाहरण

आइए हम निर्देशांक तल पर असमानता के समाधानों के समुच्चय को चित्रित करें

(वाई - एक्स 2) (वाई - एक्स - 3)< 0.

सबसे पहले, हम समीकरण (y - x 2) (y - x - 3) \u003d 0 का एक ग्राफ बनाते हैं। यह एक परवलय y \u003d x 2 और एक सीधी रेखा y \u003d x + 3 है। हम इन पंक्तियों का निर्माण करते हैं और ध्यान दें कि अभिव्यक्ति (y - x 2) (y - x - 3) के चिह्न में परिवर्तन केवल इन पंक्तियों पर होता है। बिंदु A (0; 5) के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का चिह्न निर्धारित करते हैं: (5-3) > 0 (अर्थात, यह असमानता संतुष्ट नहीं है)। अब उन बिंदुओं के समूह को चिह्नित करना आसान है जिनके लिए यह असमानता संतुष्ट है (ये क्षेत्र छायांकित हैं)।

दो चर वाली असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. हम असमानता को f (x; y) के रूप में कम करते हैं< 0 (f (х; у) >0; एफ (एक्स; वाई) ≤ 0; एफ (एक्स; वाई) ≥ 0;)

2. हम समानता f (x; y) = 0 लिखते हैं

3. बाईं ओर दर्ज ग्राफ़ को पहचानें।

4. हम ये ग्राफ बनाते हैं। यदि असमानता सख्त है (f (x; y)< 0 или f (х; у) >0), फिर - स्ट्रोक के साथ, यदि असमानता सख्त नहीं है (f (x; y) ≤ 0 या f (x; y) ≥ 0), तो - एक ठोस रेखा के साथ।

5. निर्धारित करें कि निर्देशांक तल में ग्राफ़िक्स के कितने भाग विभाजित हैं

6. इनमें से किसी एक भाग में एक नियंत्रण बिंदु चुनें। अभिव्यक्ति f (x; y) का चिह्न निर्धारित करें

7. हम विकल्प को ध्यान में रखते हुए विमान के अन्य हिस्सों में संकेतों की व्यवस्था करते हैं (अंतराल की विधि के अनुसार)

8. हम जिस असमानता को हल कर रहे हैं उसके संकेत के अनुसार हमें आवश्यक भागों का चयन करते हैं, और हैचिंग लागू करते हैं

होने देना एफ(एक्स,वाई)और जी(एक्स, वाई)- चर के साथ दो अभिव्यक्तियाँ एक्सऔर परऔर परिभाषा का क्षेत्र एक्स. फिर रूप की असमानताएँ एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई)या एफ(एक्स, वाई) < जी(एक्स, वाई)बुलाया दो चर के साथ असमानता .

चर का अर्थ एक्स, वाईबहुतों से एक्स, जिसके अंतर्गत असमानता वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है, उसे कहा जाता है फ़ैसला और निरूपित किया गया (एक्स, वाई). असमानता का समाधान करें ऐसी जोड़ियों का एक सेट ढूंढना है।

यदि संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा (एक्स, वाई)असमानता के समाधानों के सेट से, पत्राचार में एक बिंदु रखें एम(एक्स, वाई), हम इस असमानता द्वारा दिए गए विमान पर बिंदुओं का सेट प्राप्त करते हैं। उसे बुलाया गया है इस असमानता का ग्राफ . असमानता आलेख आमतौर पर एक समतल पर एक क्षेत्र होता है।

असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करना एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई), निम्नलिखित के रूप में आगे बढ़ें। सबसे पहले, असमानता चिह्न को समान चिह्न से बदलें और एक ऐसी रेखा खोजें जिसमें समीकरण हो एफ(एक्स,वाई) = जी(एक्स,वाई). यह रेखा विमान को कई भागों में विभाजित करती है। उसके बाद, प्रत्येक भाग में एक बिंदु लेना और यह जांचना पर्याप्त है कि इस बिंदु पर असमानता कायम है या नहीं एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई). यदि इसे इस बिंदु पर निष्पादित किया जाता है, तो इसे उस पूरे भाग में भी निष्पादित किया जाएगा जहां यह बिंदु स्थित है। ऐसे भागों को मिलाकर, हमें समाधानों का एक सेट प्राप्त होता है।

काम। य > एक्स.

समाधान।सबसे पहले, हम असमानता चिह्न को समान चिह्न से प्रतिस्थापित करते हैं और एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा बनाते हैं जिसमें समीकरण होता है य = एक्स.

यह रेखा समतल को दो भागों में विभाजित करती है। उसके बाद, हम प्रत्येक भाग में एक बिंदु लेते हैं और जाँचते हैं कि इस बिंदु पर असमानता कायम है या नहीं य > एक्स.

काम।आलेखीय असमानता को हल करें
एक्स 2 + पर 2 £25.

चावल। 18.

समाधान।सबसे पहले, असमानता चिह्न को समान चिह्न से बदलें और एक रेखा खींचें एक्स 2 + पर 2 = 25. यह एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 5 है। परिणामी वृत्त समतल को दो भागों में विभाजित करता है। असमानता की वैधता की जाँच करना एक्स 2 + पर 2 £25 प्रत्येक भाग में, हम पाते हैं कि ग्राफ़ वृत्त के बिंदुओं का समूह और वृत्त के अंदर समतल का भाग है।

मान लीजिए दो असमानताएँ दी गई हैं एफ 1(एक्स, वाई) > जी 1(एक्स, वाई)और एफ 2(एक्स, वाई) > जी 2(एक्स, वाई).

दो चरों वाली असमानताओं के समुच्चय की प्रणालियाँ

असमानताओं की प्रणाली है अपने आप को इन असमानताओं का संयोजन. सिस्टम समाधान क्या कोई मूल्य है? (एक्स, वाई), जो प्रत्येक असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है। बहुत सारे समाधान प्रणाली असमानताएँ दी गई प्रणाली को बनाने वाली असमानताओं के समाधान सेटों का प्रतिच्छेदन है।

असमानताओं का समूह है अपने आप को इनका विच्छेदन असमानताएँ निर्णय निर्धारित करें क्या कोई मूल्य है? (एक्स, वाई), जो सेट में कम से कम एक असमानताओं में से एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाता है। बहुत सारे समाधान समुच्चय असमानताओं के समाधान के सेटों का मिलन एक सेट बनाता है।

काम।असमानताओं की एक प्रणाली को आलेखीय रूप से हल करें

समाधान। वाई = एक्सऔर एक्स 2 + पर 2 = 25. हम सिस्टम की प्रत्येक असमानता को हल करते हैं।

सिस्टम का ग्राफ़ विमान में बिंदुओं का एक सेट होगा, जो पहले और दूसरे असमानताओं के समाधान सेटों का प्रतिच्छेदन (डबल शेडिंग) है।

काम।असमानताओं के एक सेट को आलेखीय रूप से हल करें

समाधान।सबसे पहले, हम असमानता चिह्न को समान चिह्न से प्रतिस्थापित करते हैं और उसी समन्वय प्रणाली में रेखाएँ खींचते हैं वाई = एक्स+ 4 और एक्स 2 + पर 2 = 16. प्रत्येक जनसंख्या असमानता को हल करें। समग्र ग्राफ़ समतल में बिंदुओं का एक समूह होगा, जो पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का संघ है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. ग्राफ़िक रूप से असमानताओं को हल करें: a) पर> 2एक्स; बी) पर< 2एक्स + 3;

वी) एक्स 2+य 2 >9; जी) एक्स 2+य 2 £4.

2. असमानताओं की प्रणाली को ग्राफ़िक रूप से हल करें:

एसी)

, और इससे भी अधिक दो चरों वाली असमानताओं की प्रणालियाँप्रतीतकाफी कठिन कार्य. हालाँकि, एक सरल एल्गोरिदम है जो इस तरह की बहुत जटिल प्रतीत होने वाली समस्याओं को आसानी से और सहजता से हल करने में मदद करता है। आइए इसे जानने का प्रयास करें।

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित में से किसी एक प्रकार के दो चर के साथ असमानता है:

y > f(x); y ≥ f(x); य< f(x); y ≤ f(x).

समन्वय तल पर ऐसी असमानता के समाधानों के सेट को चित्रित करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

1. हम फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ बनाते हैं, जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है।
2. हम प्राप्त क्षेत्रों में से किसी एक को चुनते हैं और उसमें एक मनमाना बिंदु पर विचार करते हैं। हम इस बिंदु के लिए मूल असमानता की संतुष्टि की जाँच करते हैं। यदि, जाँच के परिणामस्वरूप, एक सही संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल असमानता उस पूरे क्षेत्र में संतुष्ट है जिससे चयनित बिंदु संबंधित है। इस प्रकार, असमानता के समाधान का सेट वह क्षेत्र है जिससे चयनित बिंदु संबंधित है। यदि जाँच के परिणामस्वरूप एक गलत संख्यात्मक असमानता प्राप्त होती है, तो असमानता के समाधान का सेट दूसरा क्षेत्र होगा, जिससे चयनित बिंदु संबंधित नहीं है।
3. यदि असमानता सख्त है, तो क्षेत्र की सीमाएं, यानी, फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के बिंदु, समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं और सीमा को एक बिंदीदार रेखा के रूप में दिखाया गया है। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो क्षेत्र की सीमाएँ, अर्थात्, फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ के बिंदु, इस असमानता के समाधान के सेट में शामिल हैं, और इस मामले में सीमा है एक ठोस रेखा के रूप में दिखाया गया है। आइए अब इस विषय पर कुछ समस्याओं पर नजर डालें।

कार्य 1।

असमानता x · y ≤ 4 द्वारा अंकों का कौन सा सेट दिया गया है?

समाधान।

1) हम समीकरण x · y = 4 का एक ग्राफ़ बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले इसे रूपांतरित करते हैं। जाहिर है, इस मामले में x 0 में नहीं बदलता है, अन्यथा हमारे पास 0 · y = 4 होता, जो सत्य नहीं है। तो हम अपने समीकरण को x से विभाजित कर सकते हैं। हमें मिलता है: y = 4/x. इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक हाइपरबोला है। यह पूरे तल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक हाइपरबोला की दो शाखाओं के बीच और एक उनके बाहर।

2) हम पहले क्षेत्र से एक मनमाना बिंदु चुनते हैं, मान लीजिए कि यह बिंदु (4; 2) है। असमानता की जाँच करना: 4 2 ≤ 4 गलत है।

इसका मतलब यह है कि इस क्षेत्र के बिंदु मूल असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि असमानता के समाधान का सेट दूसरा क्षेत्र होगा, जिससे चयनित बिंदु संबंधित नहीं है।

3) चूंकि असमानता सख्त नहीं है, हम एक ठोस रेखा के साथ सीमा बिंदु, यानी फ़ंक्शन y \u003d 4 / x के ग्राफ़ के बिंदु खींचते हैं।

आइए प्रारंभिक असमानता को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के समूह को पीले रंग से रंगें (चित्र 1)।

कार्य 2.

सिस्टम द्वारा निर्देशांक तल पर परिभाषित क्षेत्र बनाएं

समाधान।

आरंभ करने के लिए, हम निम्नलिखित कार्यों के ग्राफ़ बनाते हैं (चित्र 2):

y = x 2 + 2 - परवलय,

y + x = 1 - सीधी रेखा

x 2 + y 2 = 9 एक वृत्त है।

अब हम प्रत्येक असमानता से अलग-अलग निपटते हैं।

1) y > x 2 + 2.

हम बिंदु (0; 5) लेते हैं, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। असमानता की जाँच करना: 5 > 0 2 + 2 सही है।

इसलिए, दिए गए परवलय y = x 2 + 2 के ऊपर स्थित सभी बिंदु सिस्टम की पहली असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें पीला रंग दें.

2) y + x > 1.

हम बिंदु (0; 3) लेते हैं, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। असमानता की जाँच करना: 3 + 0 > 1 सत्य है।

इसलिए, रेखा y + x = 1 के ऊपर के सभी बिंदु सिस्टम की दूसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए इन्हें हरे रंग से रंग दें.

3) x2 + y2 ≤ 9.

हम एक बिंदु (0; -4) लेते हैं, जो वृत्त x 2 + y 2 = 9 के बाहर स्थित है। असमानता की जाँच करें: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 गलत है।

इसलिए, वृत्त x 2 + y 2 = 9 के बाहर के सभी बिंदु सिस्टम की तीसरी असमानता को संतुष्ट नहीं करते हैं। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वृत्त x 2 + y 2 = 9 के अंदर स्थित सभी बिंदु सिस्टम की तीसरी असमानता को संतुष्ट करते हैं। आइए उन्हें बैंगनी रंग से रंगें।

यह न भूलें कि यदि असमानता सख्त है, तो संबंधित सीमा रेखा को बिंदीदार रेखा से खींचा जाना चाहिए। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है (चित्र 3)।

वांछित क्षेत्र वह क्षेत्र है जहां तीनों रंगीन क्षेत्र एक-दूसरे को काटते हैं (चित्र 4)।

सार के लिए प्रश्न

एक असमानता लिखें जिसका समाधान एक वृत्त है और वृत्त के अंदर बिंदु हैं:

वे बिंदु खोजें जो असमानता का समाधान हैं:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

1. दो चर वाली असमानताएँ। दो चर वाली दो असमानताओं की प्रणाली को हल करने की विधियाँ: एक विश्लेषणात्मक विधि और एक ग्राफिकल विधि।

2. दो चर वाली दो असमानताओं की प्रणालियाँ: समाधान के परिणाम को रिकॉर्ड करना।

3. दो चरों वाली असमानताओं का समुच्चय।

दो चर वाली असमानताएँ और असमानताएँ की प्रणालियाँ। फॉर्म f₁(x, y)> का विधेय< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - समुच्चय XxY पर परिभाषित चर x और y वाले व्यंजकों को कहा जाता है दो चर के साथ असमानता (दो अज्ञात के साथ)एक्स और वाई.यह स्पष्ट है कि किसी भी दो-चर असमानता को इस प्रकार लिखा जा सकता है एफ(एक्स, वाई) > 0, хОХ, आप यू. असमानता समाधानदो चर के साथ चर के मानों की एक जोड़ी है जो असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देती है।यह ज्ञात है कि वास्तविक संख्याओं का एक युग्म है (एक्स, वाई)निर्देशांक तल में एक बिंदु को विशिष्ट रूप से परिभाषित करता है। इससे किसी असमानता या दो चर वाली असमानताओं की प्रणाली के समाधान को समन्वय तल पर बिंदुओं के एक निश्चित सेट के रूप में ज्यामितीय रूप से चित्रित करना संभव हो जाता है। यदि समीकरण.

एफ(एक्स, वाई)= 0 निर्देशांक तल पर कुछ रेखा को परिभाषित करता है, फिर तल के बिंदुओं का समूह जो इस रेखा पर नहीं पड़ता है, उसमें क्षेत्रों की एक सीमित संख्या होती है С₁, सी 2 ,..., सी पी(चित्र 17.8)। प्रत्येक क्षेत्र C में, फ़ंक्शन एफ(एक्स, वाई)शून्य से भिन्न है, क्योंकि वे बिंदु जहां एफ(एक्स, वाई)= 0 इन क्षेत्रों की सीमाओं से संबंधित हैं।

समाधान।आइए हम असमानता को रूप में बदलें x > y 2 + 2y - 3. निर्देशांक तल पर एक परवलय की रचना कीजिए एक्स= वाई 2 + 2वाई - 3. यह विमान को दो क्षेत्रों G₁ और G में विभाजित कर देगा 2 (चित्र 17.9)। चूंकि किसी बिंदु का भुज परवलय के दाहिनी ओर स्थित है एक्स= y 2 + 2y- 3, एक बिंदु के भुज से बड़ा जिसकी कोटि समान है लेकिन परवलय पर स्थित है, आदि। असमानता x>y z + 2y -3सख्त नहीं है, तो इस असमानता के समाधान का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व परवलय पर स्थित विमान के बिंदुओं का सेट होगा एक्स= दो पर+ 2 वर्ष - 3 और उसके दाईं ओर (चित्र 17.9)।

चावल। 17.9

चावल। 17.10

उदाहरण 17.15. समन्वय तल पर असमानताओं की प्रणाली के समाधानों का सेट बनाएं

आप > 0,

xy > 5,

एक्स + वाई<6.

समाधान।असमानताओं की प्रणाली के समाधान का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व x > 0, आप > 0 प्रथम निर्देशांक कोण के बिंदुओं का समुच्चय है। असमानता के समाधान का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व एक्स + वाई< 6 या पर< 6 - एक्सरेखा के नीचे और रेखा पर ही बिंदुओं का समूह है, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है आप= 6 - एक्स।असमानता के समाधान का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व xy > 5या क्योंकि एक्स> 0 असमानताएँ y > 5/xफ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में कार्य करने वाले हाइपरबोला की शाखा के ऊपर स्थित बिंदुओं का समूह है y = 5/x.परिणामस्वरूप, हम फ़ंक्शन y \u003d 6 - x के ग्राफ़ के रूप में कार्य करने वाली सीधी रेखा के नीचे पहले समन्वय कोण में स्थित समन्वय विमान के बिंदुओं का एक सेट प्राप्त करते हैं, और हाइपरबोला की शाखा के ऊपर ग्राफ़ के ग्राफ़ के रूप में कार्य करते हैं। कार्यक्रम y = 5x(चित्र 17.10)।

अध्याय III. प्राकृतिक संख्याएँ और शून्य

विषय: समीकरण और असमानताएँ. समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली

पाठ:दो चर वाले समीकरण और असमानताएँ

सामान्य शब्दों में दो चर वाले एक समीकरण और एक असमानता पर विचार करें।

दो चर वाला एक समीकरण;

दो चरों वाली असमानता, असमानता का चिन्ह कोई भी हो सकता है;

यहाँ x और y चर हैं, p एक अभिव्यक्ति है जो उन पर निर्भर करती है

संख्याओं की एक जोड़ी () को ऐसे समीकरण या असमानता का एक विशेष समाधान कहा जाता है, यदि इस जोड़ी को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते समय, हम क्रमशः सही समीकरण या असमानता प्राप्त करते हैं।

समस्या सभी समाधानों के समुच्चय को समतल पर खोजना या प्रस्तुत करना है। आप इस समस्या को दोबारा लिख ​​सकते हैं - बिंदुओं का स्थान (जीएमटी) ढूंढें, एक समीकरण या असमानता बनाएं।

उदाहरण 1 - समीकरण और असमानता को हल करें:

दूसरे शब्दों में, कार्य में GMT खोजना शामिल है।

समीकरण के हल पर विचार करें. इस स्थिति में, वेरिएबल x का मान कोई भी हो सकता है, इसके संबंध में हमारे पास है:

जाहिर है, समीकरण का समाधान उन बिंदुओं का समूह है जो एक सीधी रेखा बनाते हैं

चावल। 1. समीकरण ग्राफ़ उदाहरण 1

दिए गए समीकरण के समाधान, विशेष रूप से, बिंदु (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1) हैं

दी गई असमानता का समाधान रेखा के ऊपर स्थित अर्ध-तल है, जिसमें रेखा भी शामिल है (चित्र 1 देखें)। वास्तव में, यदि हम रेखा पर कोई बिंदु x 0 लेते हैं, तो हमें समानता प्राप्त होती है। यदि हम रेखा के ऊपर आधे तल में एक बिंदु लेते हैं, तो हमारे पास है। यदि हम एक सीधी रेखा के नीचे आधे तल में एक बिंदु लेते हैं, तो यह हमारी असमानता को संतुष्ट नहीं करेगा:।

अब एक वृत्त और एक वृत्त वाली समस्या पर विचार करें।

उदाहरण 2 - समीकरण और असमानता को हल करें:

हम जानते हैं कि दिया गया समीकरण मूल बिंदु पर केन्द्रित और त्रिज्या 1 वाले वृत्त का समीकरण है।

चावल। 2. उदाहरण के लिए चित्रण 2

एक मनमाना बिंदु x 0 पर, समीकरण के दो समाधान हैं: (x 0; y 0) और (x 0; -y 0)।

दी गई असमानता का समाधान वृत्त को ध्यान में न रखते हुए, वृत्त के अंदर स्थित बिंदुओं का समूह है (चित्र 2 देखें)।

मॉड्यूल के साथ एक समीकरण पर विचार करें.

उदाहरण 3 - समीकरण हल करें:

इस मामले में, मॉड्यूल का विस्तार करना संभव होगा, लेकिन हम समीकरण की बारीकियों पर विचार करेंगे। यह देखना आसान है कि इस समीकरण का ग्राफ़ दोनों अक्षों के बारे में सममित है। फिर यदि बिंदु (x 0; y 0) एक समाधान है, तो बिंदु (x 0; -y 0) भी एक समाधान है, बिंदु (-x 0; y 0) और (-x 0; -y 0) ) भी एक समाधान है.

इस प्रकार, ऐसा समाधान ढूंढना पर्याप्त है जहां दोनों चर गैर-नकारात्मक हों और अक्षों के बारे में समरूपता लें:

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण 3

तो, जैसा कि हम देख सकते हैं, समीकरण का हल एक वर्ग है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके तथाकथित क्षेत्र विधि पर विचार करें।

उदाहरण 4 - असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करें:

क्षेत्र विधि के अनुसार सबसे पहले हम बायीं ओर के फलन पर विचार करते हैं, यदि दाहिनी ओर शून्य है। यह दो चरों का एक कार्य है:

अंतराल की विधि के समान, हम अस्थायी रूप से असमानता से हटते हैं और रचित फ़ंक्शन की विशेषताओं और गुणों का अध्ययन करते हैं।

ODZ: जिसका अर्थ है कि x-अक्ष छिद्रित है।

अब हम इंगित करते हैं कि फ़ंक्शन शून्य है जब भिन्न का अंश शून्य है, हमारे पास है:

हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं।

चावल। 4. फ़ंक्शन का ग्राफ़, ODZ दिया गया है

अब फलन की स्थिरता के क्षेत्रों पर विचार करें, वे एक सीधी रेखा और एक टूटी हुई रेखा से बनते हैं। टूटी हुई रेखा के अंदर एक क्षेत्र D 1 है। एक पॉलीलाइन के एक खंड और एक सीधी रेखा के बीच - क्षेत्र डी 2, एक सीधी रेखा के नीचे - क्षेत्र डी 3, एक पॉलीलाइन के एक खंड और एक सीधी रेखा के बीच - क्षेत्र डी 4

प्रत्येक चयनित क्षेत्र में, फ़ंक्शन अपना चिह्न बरकरार रखता है, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक क्षेत्र में एक मनमाना परीक्षण बिंदु की जांच करने के लिए पर्याप्त है।

आइए क्षेत्र में एक बिंदु (0;1) लें। हमारे पास है:

आइए क्षेत्र में एक बिंदु (10;1) लें। हमारे पास है:

इस प्रकार, पूरा क्षेत्र नकारात्मक है और दी गई असमानता को संतुष्ट नहीं करता है।

क्षेत्र में एक बिंदु (0;-5) लें। हमारे पास है:

इस प्रकार, पूरा क्षेत्र सकारात्मक है और दी गई असमानता को संतुष्ट करता है।