किसी निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय। गतिज ऊर्जा परिवर्तन प्रमेय ऊर्जा परिवर्तन प्रमेय

कठोर पिंडों, ब्लॉकों, पुली और एक स्प्रिंग वाले सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करके समस्या को हल करने का एक उदाहरण।

सामग्री

कार्य

यांत्रिक प्रणाली में वज़न 1 और 2, चरण त्रिज्या आर के साथ एक चरणबद्ध चरखी 3 शामिल हैं 3 = 0.3 मीटर, आर 3 = 0.1 मीटरऔर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष परिभ्रमण की त्रिज्या ρ 3 = 0.2 मी, ब्लॉक 4 त्रिज्या आर 4 = 0.2 मीऔर चल ब्लॉक 5. ब्लॉक 5 को एक ठोस सजातीय सिलेंडर माना जाता है। समतल f पर भार 2 का घर्षण गुणांक = 0,1 . सिस्टम के निकाय ब्लॉकों पर फेंके गए धागों और चरखी 3 पर घाव करके एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। धागों के खंड संबंधित विमानों के समानांतर हैं। कठोरता गुणांक c = वाला एक स्प्रिंग चल ब्लॉक 5 से जुड़ा हुआ है 280 एन/एम.

बल F = f के प्रभाव में (एस) = 80(6 + 7 एस) एन, इसके अनुप्रयोग के बिंदु के विस्थापन के आधार पर, सिस्टम आराम की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू कर देता है। गति प्रारंभ होने के समय स्प्रिंग का विरूपण शून्य होता है। चलते समय, चरखी 3 पर एक स्थिर क्षण एम = द्वारा कार्य किया जाता है 1.6 एनएमप्रतिरोध बल (बीयरिंग में घर्षण से)। शरीर का द्रव्यमान: मी 1 = 0 , एम 2 = 5 किग्रा, एम 3 = 6 किग्रा, एम 4 = 0 , एम 5 = 4 किग्रा.

पिंड के द्रव्यमान केंद्र का मान 5 V C ज्ञात कीजिए 5 उस समय जब भार 1 का विस्थापन s के बराबर हो जाता है 1 = 0.2 मी.

टिप्पणी. किसी समस्या का समाधान करते समय, उपयोग करें गतिज ऊर्जा परिवर्तन प्रमेय.

समस्या का समाधान

दिया गया:आर 3 = 0.3 मीटर, आर 3 = 0.1 मीटर, ρ 3 = 0.2 मी, आर 4 = 0.2 मी, एफ = 0,1 , एस = 280 एन/एम, एम 1 = 0 , एम 2 = 5 किग्रा, एम 3 = 6 किग्रा, एम 4 = 0 , एम 5 = 4 किग्रा, एफ = एफ (एस) = 80(6 + 7 एस) एन, एस 1 = 0.2 मी.

खोजो:वी सी 5 .

परिवर्तनशील पदनाम

आर 3 , आर 3- चरखी चरण 3 की त्रिज्या;
ρ 3 - घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी 3 की जड़ता की त्रिज्या;
आर 5 - ब्लॉक त्रिज्या 5;
वी 1 , वी 2 - पिंड 1 और 2 की गति;
ω 3 - चरखी 3 के घूर्णन की कोणीय गति;
वी सी 5 - द्रव्यमान C के केंद्र की गति 5 ब्लॉक 5;
ω 5 - ब्लॉक 5 के घूर्णन की कोणीय गति;
एस 1 , एस 2 - पिंड 1 और 2 की गति;
φ 3 - चरखी रोटेशन कोण 3;
अनुसूचित जाति 5 - द्रव्यमान C के केंद्र की गति 5 ब्लॉक 5;
एस ए, एस बी - गतिमान बिंदु ए और बी।

गतिक संबंध स्थापित करना

आइए हम गतिक संबंध स्थापित करें। चूंकि लोड 1 और 2 एक धागे से जुड़े हुए हैं, उनकी गति बराबर है:
वी 2 = वी 1.
चूँकि भार 1 और 2 को जोड़ने वाला धागा चरखी 3 के बाहरी चरण पर घाव है, चरखी 3 के बाहरी चरण के बिंदु गति वी के साथ चलते हैं 2 = वी 1. तब चरखी के घूमने की कोणीय गति है:
.
द्रव्यमान केन्द्र का वेग V C 5 ब्लॉक 5 चरखी 3 के आंतरिक चरण के बिंदुओं की गति के बराबर है:
.
बिंदु K की गति शून्य है. इसलिए, यह ब्लॉक 5 का तात्कालिक गति केंद्र है। ब्लॉक 5 के घूर्णन का कोणीय वेग:
.
बिंदु B की गति - स्प्रिंग का मुक्त सिरा - बिंदु A की गति के बराबर है:
.

आइए गति को V C के रूप में व्यक्त करें 5 .
;
;
.

अब इंस्टॉल करते हैं शरीर की गतिविधियों और घूर्णन कोणों के बीच संबंधचरखी और ब्लॉक. चूँकि वेग और कोणीय वेग विस्थापन और घूर्णन कोण के समय व्युत्पन्न हैं
,
तब विस्थापन और घूर्णन कोणों के बीच वही संबंध होंगे:
एस 2 = एस 1;
;
;
.

प्रणाली की गतिज ऊर्जा का निर्धारण

आइए निकाय की गतिज ऊर्जा ज्ञात करें। लोड 2 गति V के साथ स्थानान्तरणीय गति करता है 2 . चरखी 3 कोणीय घूर्णन गति ω के साथ घूर्णी गति करती है 3 . ब्लॉक 5 समतल-समानांतर गति करता है। यह कोणीय वेग ω से घूमता है 5 और इसका द्रव्यमान केंद्र V C गति से चलता है 5 . प्रणाली की गतिज ऊर्जा:
.

चूँकि घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी की जड़ता की त्रिज्या दी गई है, घूर्णन अक्ष के सापेक्ष चरखी की जड़ता का क्षण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
जे 3 = एम 3 ρ 2 3.
चूंकि ब्लॉक 5 एक ठोस सजातीय सिलेंडर है, द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष इसकी जड़ता का क्षण बराबर है
.

गतिक संबंधों का उपयोग करके, हम सभी वेगों को वी सी के माध्यम से व्यक्त करते हैं 5 और गतिज ऊर्जा के सूत्र में जड़ता के क्षणों के लिए अभिव्यक्तियाँ प्रतिस्थापित करें।
,
जहां हमने स्थिरांक में प्रवेश किया
किलोग्राम।

इसलिए, हमने द्रव्यमान केंद्र V C की गति पर प्रणाली की गतिज ऊर्जा की निर्भरता पाई है 5 गतिशील ब्लॉक:
, जहां एम = 75 किलोग्राम।

बाह्य बलों के कार्य की मात्रा का निर्धारण

बाहरी ताकतों पर विचार करें, सिस्टम पर कार्य करना।
साथ ही, हम धागों के तनाव बलों पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि धागे अविस्तारित होते हैं और इसलिए, वे कार्य उत्पन्न नहीं करते हैं। इस कारण से, हम शरीर में कार्य करने वाले आंतरिक तनावों पर विचार नहीं करते हैं, क्योंकि वे बिल्कुल ठोस होते हैं।
पिंड 1 (शून्य द्रव्यमान वाला) पर दिए गए बल F द्वारा कार्य किया जाता है।
भार 2 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 2 = एम 2 जी 2 और घर्षण बल एफ टी।
पुली 3 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 3 = एम 3 जी, एन अक्ष दबाव बल 3 और घर्षण का क्षण M को बल देता है।
पुली 4 (शून्य द्रव्यमान के साथ) एन अक्ष के दबाव बल से प्रभावित होती है 4 .
गतिशील ब्लॉक 5 पर गुरुत्वाकर्षण P द्वारा कार्य किया जाता है 5 = एम 5 ग्राम, स्प्रिंग का लोचदार बल F y और बिंदु K पर धागे का तनाव बल T K।

एक छोटे से विस्थापन द्वारा अपने अनुप्रयोग के बिंदु को स्थानांतरित करते समय एक बल जो कार्य करता है वह वैक्टर के स्केलर उत्पाद के बराबर होता है, यानी, बीच के कोण के कोसाइन द्वारा वैक्टर एफ और डीएस के पूर्ण मूल्यों का उत्पाद उन्हें। पिंड 1 पर लगाया गया बल पिंड 1 की गति के समानांतर होता है। इसलिए, जब पिंड 1 दूरी s तक जाता है तो बल द्वारा किया गया कार्य 1 के बराबर है:


जे।

भार 2 पर विचार करें। इस पर गुरुत्वाकर्षण बल P द्वारा कार्य किया जाता है 2 , सतही दबाव बल एन 2 , धागा तनाव बल टी 23 , टी 24 और घर्षण बल एफ टी। चूँकि भार ऊर्ध्वाधर दिशा में नहीं चलता है, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसके त्वरण का प्रक्षेपण शून्य है। इसलिए, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य के बराबर है:
एन 2 - पी 2 = 0;
एन 2 = पी 2 = एम 2 जी.
घर्षण बल:
एफ टी = एफ एन 2 = एफ एम 2 जी.
बल पी 2 और n 2 विस्थापन s के लंबवत 2 , इसलिए वे काम का उत्पादन नहीं करते हैं।
घर्षण बल का कार्य:
जे।

यदि हम लोड 2 को एक पृथक प्रणाली के रूप में मानते हैं, तो हमें थ्रेड टी के तनाव बलों द्वारा उत्पन्न कार्य को ध्यान में रखना होगा। 23 और टी 24 . हालाँकि, हम निकाय 1, 2, 3, 4 और 5 से युक्त संपूर्ण प्रणाली में रुचि रखते हैं। ऐसी प्रणाली के लिए, धागों के तनाव बल आंतरिक बल हैं। और चूँकि धागे अवितापनीय हैं, उनके कार्य का योग शून्य है। लोड 2 के मामले में, आपको पुली 3 और ब्लॉक 4 पर काम करने वाले धागे के तनाव बलों को भी ध्यान में रखना होगा। वे परिमाण में बराबर हैं और बलों टी की दिशा में विपरीत हैं। 23 और टी 24 . इसलिए, लोड 2 पर धागे 23 और 24 के तनाव बलों द्वारा किया गया कार्य चरखी 3 और ब्लॉक 4 पर इन धागों के तनाव बलों द्वारा किए गए कार्य के परिमाण के बराबर और संकेत में विपरीत है। परिणामस्वरूप, की मात्रा धागों के तनाव बलों द्वारा उत्पन्न कार्य शून्य है।

चरखी 3 पर विचार करें। चूँकि इसका द्रव्यमान केंद्र गति नहीं करता है, गुरुत्वाकर्षण P द्वारा किया गया कार्य 3 शून्य के बराबर.
क्योंकि C अक्ष 3 गतिहीन है, तो N अक्ष का दबाव बल 3 कार्य उत्पन्न नहीं करता.
टॉर्क द्वारा किए गए कार्य की गणना बल द्वारा किए गए कार्य के समान ही की जाती है:
.
हमारे मामले में, घर्षण बल के क्षण और चरखी के घूर्णन के कोण के वैक्टर चरखी के घूर्णन की धुरी के साथ निर्देशित होते हैं, लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं। इसलिए, घर्षण बल के क्षण का कार्य:
जे।

आइए ब्लॉक 5 को देखें।
चूँकि बिंदु K की गति शून्य है, बल T K कार्य उत्पन्न नहीं करता है।
ब्लॉक C का द्रव्यमान केंद्र 5 सी की दूरी तय की 5 ऊपर। इसलिए, ब्लॉक के गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य है:
जे।
स्प्रिंग के लोचदार बल द्वारा किया गया कार्य माइनस चिह्न के साथ स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है। चूँकि स्प्रिंग शुरू में विकृत नहीं होता है
जे।

सभी बलों के कार्य का योग:

जे।

किसी निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का अनुप्रयोग

आइए हम निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय को अभिन्न रूप में लागू करें।
.
चूँकि सिस्टम शुरुआत में आराम की स्थिति में था, इसकी गति की शुरुआत में इसकी गतिज ऊर्जा है
टी 0 = 0 .
तब
.
यहाँ से
एमएस।

व्याख्यान 5. गतिज ऊर्जा के परिवर्तन पर प्रमेय

5. 1. बल का कार्य

तुम्हें शक्ति मिले - बिंदु P पर लागू प्रणाली के सभी बलों का परिणाम, और ( डीएक्स, डीवाई, dz) – इसके प्रक्षेपवक्र पी 1 पी 2 के साथ बिंदु पी का प्रारंभिक आंदोलन (चित्र 5.1)। प्राथमिक कार्य डीएबलों को अदिश गुणनफल कहा जाता है

प्रारंभिक कार्य एक अदिश राशि है। यदि बल और विस्थापन की दिशा के बीच का कोण है, तो अभिव्यक्ति (5.1) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

प्रारंभिक विस्थापन की दिशा (या बिंदु वेग की दिशा) पर बल का प्रक्षेपण कहां है।

प्रारंभिक कार्य का चिन्ह कार्य के चिन्ह पर निर्भर करता है। यदि एक न्यून कोण है, तो, यदि एक अधिक कोण है, तो, यदि, तब।

आइए बात को स्पष्ट करें आरएक चाप का वर्णन करते हुए एक स्थिति से दूसरी स्थिति तक अंतिम गति करता है। आइए चाप को विभाजित करें एनमनमाने ढंग से छोटे अनुभाग, संख्या के साथ अनुभाग की लंबाई दर्शाते हैं कके माध्यम से । फिर बल का प्राथमिक कार्य क- अनुभाग बराबर होगा, और सभी तरह से - अलग-अलग अनुभागों में काम की मात्रा

हम सीमा तक जाकर कार्य का सटीक मूल्य प्राप्त करते हैं, बशर्ते कि अनुभागों की संख्या हो एनअनिश्चित काल तक बढ़ता है, और प्रत्येक अनुभाग की लंबाई घटती है:

.

ऐसी सीमा को चाप के अनुदिश पहली तरह का वक्ररेखीय समाकलन कहा जाता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

. (5.3)

एकीकरण का परिणाम संपूर्ण कार्य है एताकत एफपथ के अनुदिश परिमित विस्थापन पर विचार किया गया।

5. 1. 1. गुरुत्वाकर्षण का कार्य

होने देना एम – बिंदु द्रव्यमान, जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. तब

सूत्र (5.1) और (5.3) का उपयोग करके कार्य की गणना करने पर, हमारे पास है

बिंदु के उतरने की ऊंचाई कहां है.

जब बिंदु उठता है, इसलिए,.

5. 1. 2. रैखिक लोचदार बल का कार्य

सामग्री को इंगित करने दीजिए आरअक्ष के अनुदिश गति करता है ओह(चित्र 5.3) स्प्रिंग की क्रिया के तहत जिससे यह जुड़ा हुआ है। मैं मोटा , , तो स्प्रिंग विकृत हो जाती है और बिंदु के छोटे विचलन के लिए हम मान सकते हैं कि स्प्रिंग की तरफ से उस पर एक लोचदार बल लगाया जाता है। फिर विस्थापन पर लोचदार बल का कार्य एक्स 0 एक्स 1 बराबर होगा

. (5.5)

लोचदार बल का कार्य कठोरता गुणांक के आधे उत्पाद और वसंत के प्रारंभिक और अंतिम बढ़ाव (या संपीड़न) के वर्गों के बीच के अंतर के बराबर है।

5. 1. 3. किसी ठोस पिंड पर लगाए गए बलों का प्राथमिक कार्य

आइए एक समतल में किसी पिंड की गति पर विचार करें। होने देना के बारे में– एक ठोस पिंड पर एक मनमाने ढंग से चयनित बिंदु (चित्र 5.4)। चलिए इसे पोल कहते हैं. फिर एक विमान में किसी पिंड की गति को सबसे सरल योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: ध्रुव के साथ-साथ अनुवादात्मक गति और ध्रुव के चारों ओर शरीर का घूमना। फिर, निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष बिंदु की गति दो गति के ज्यामितीय योग के रूप में निर्धारित की जाएगी

ध्रुव की गति कहां है, कठोर पिंड के कोणीय वेग का सदिश है, यूलर गति है, अर्थात ध्रुव के चारों ओर घूमने पर बिंदु की गति है।

हम एक ठोस शरीर को एक यांत्रिक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करेंगे जिसमें शामिल है एनअलग-अलग बिंदु, जिनके बीच की आपसी दूरी नहीं बदलती।

आइए बल के प्रभाव में एक बिंदु के विस्थापन की गणना करें:

तब ।

(5.1) के अनुसार प्रारंभिक कार्य इस प्रकार लिखा जाएगा

सदिशों के मिश्रित उत्पाद के गुणों का उपयोग करना , हम फॉर्म में अंतिम अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं

मान लीजिए कि यह शरीर पर एक बिंदु पर लगाए गए सभी बलों, बाहरी और आंतरिक (चित्र 5.4) का परिणाम है।

.

तब (a) इस प्रकार लिखा जायेगा

(3.1 और 3.2) के अनुसार, सिस्टम के आंतरिक बलों का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण शून्य के बराबर है, हम प्राप्त करते हैं

यहाँ: – मुख्य वेक्टर, – बिंदु के सापेक्ष बाह्य बलों का मुख्य क्षण के बारे में.

विशेष स्थितियां

एक। एक कठोर पिंड की अनुवादात्मक गति. पिंड के सभी बिंदुओं पर परिमाण और दिशा दोनों में समान विस्थापन होता है (चित्र 5.5, ए), तो, (5.6) से, हम प्राप्त करते हैं (यहां):

. (5.7)

बी। किसी कठोर पिंड का एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना. चलो अक्ष जेडध्रुव से होकर गुजरता है के बारे में(चित्र 5.5बी)। तब , ; (5.6) से हम प्राप्त करते हैं

. (5.8)

उदाहरण।कुंडल द्रव्यमान एमऔर त्रिज्या आरनिरंतर बल द्वारा संचालित एफ, बिंदु पर लागू किया गया ए(चित्र 5.6)। रील खुरदुरी सतह पर फिसले बिना दाहिनी ओर घूमती है।

सभी बाह्य बलों के कार्य की गणना करें यदि कुंडल का केंद्र एक दूरी तक चला गया है, - रोलिंग घर्षण गुणांक, - घर्षण बल, आर - कुंडल कोर का त्रिज्या जिस पर बल लगाया जाता है।

समाधान।कुंडली समतल गति में चलती है। चूँकि रोलिंग बिना फिसलन के होती है, गति का तात्कालिक केंद्र विमान के साथ कॉइल के संपर्क के बिंदु पर स्थित होता है, अर्थात। बिंदु पर आर(चित्र 5.6)। आइए S अक्ष को क्षैतिज रूप से दाईं ओर निर्देशित करें। गति की दिशा के अनुसार हम वामावर्त दिशा में घूर्णन कोण की सकारात्मक दिशा लेंगे।

चलो कुंडल का केंद्र साथकी ओर चला जाएगा. इस स्थिति में, कुंडल एक कोण पर घूमेगा। फिर कहाँ से

बात मान ली आरघूर्णन के तात्कालिक अक्ष के लिए, हम सूत्र (5.8) का उपयोग करके प्रारंभिक कार्य की गणना करते हैं:

(ए)

यहां: बलों की कार्रवाई की रेखाएं और एमजीइसलिए, घूर्णन की धुरी को प्रतिच्छेद करें; आगे, कहां एन– सामान्य प्रतिक्रिया की ताकत.

आवश्यक कार्य को निर्धारित करने के लिए, 0 से लेकर की सीमा में (ए) से एक निश्चित अभिन्न अंग लेना बाकी है एसए. हम पाते हैं

5. 2. बल क्षेत्र. ऊर्जा समीकरण। संभावित ऊर्जा

आइए मान लें कि एक बिंदु किसी स्थान में घूम रहा है और उस पर अंतरिक्ष से एक बल कार्य करता है जो इस स्थान में बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है, लेकिन बिंदु की गति की गति पर निर्भर नहीं करता है। इस मामले में उनका कहना है कि जगह दे दी गयी है बल क्षेत्र, और यह भी कि बिंदु एक बल क्षेत्र में चलता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के लिए संबंधित अवधारणाएँ समान हैं।

उनके अनुप्रयोग के बिंदुओं की स्थिति के आधार पर बल अक्सर यांत्रिकी में सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भौतिक बिंदु पर लगाया गया एक लोचदार बल जो स्प्रिंग की क्रिया के तहत एक क्षैतिज रेखा के साथ चलता है। प्रकृति में बल क्षेत्र का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है: किसी दिए गए द्रव्यमान के ग्रह पर सूर्य की क्रिया अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा निर्धारित होती है।

बल क्षेत्र कहलाता है संभावना, यदि कोई अदिश फलन है यू, केवल निर्देशांक पर निर्भर करता है , , सामग्री प्रणाली के बिंदु - बिंदु (संभवतः समय पर भी), जैसे कि

फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है ऊर्जा समीकरण.

आइए बल फलन के गुणों पर विचार करें।

प्राथमिक कार्य (5.1) बल फलन से इस प्रकार संबंधित है

इस प्रकार, संभावित बल क्षेत्र में बल का प्राथमिक कार्य बल फलन के कुल अंतर के बराबर होता हैद्वितीय.

बिंदु से क्षेत्र में बल का कुल कार्य मुद्दे पर (चित्र.5.1)

वे। . (5.10)

प्राप्त भावों से यह निष्कर्ष निकलता है

1. किसी भी बंद पथ के साथ संभावित बल क्षेत्र में बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है;

2. किसी संभावित बल क्षेत्र में बल का कार्य केवल अंतिम और प्रारंभिक की स्थिति पर निर्भर करता है अंक, लेकिन आंदोलन का मार्ग ही मायने नहीं रखता।

संभावित ऊर्जा।संभावित ऊर्जा पीबल क्षेत्र के विचारित बिंदु पर आरकिसी भौतिक बिंदु से गति करने पर उस पर कार्य करने वाले क्षेत्र बलों द्वारा किया गया कार्य है आरशुरुआती बिंदु 1 तक, यानी

पी= या पी=

आइए बल फ़ंक्शन को कनेक्ट करें यूसंभावित ऊर्जा के साथ. हमारे पास है

संभावित ऊर्जा गणना उदाहरण

1. एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र. होने देना एम– बिंदु द्रव्यमान; जी - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण. फिर (चित्र 5.2)

2. लोचदार स्प्रिंग बल क्षेत्र. भौतिक बिंदु को अक्ष के अनुदिश गति करने दें ओह(चित्र 5.3) स्प्रिंग की क्रिया के तहत जिससे यह जुड़ा हुआ है। यदि स्प्रिंग विकृत नहीं है, तो, सूत्र (5.5) में मानते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.

5. 3. गतिज ऊर्जा

5. 3. 1. निकाय की गतिज ऊर्जा। कोएनिग का प्रमेय

किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा उस बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के वर्ग के गुणनफल की आधी होती है, अर्थात। . गतिज ऊर्जा एक धनात्मक अदिश राशि है। एसआई प्रणाली में गतिज ऊर्जा की इकाई जूल है: .

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा प्रणाली में शामिल सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जा का योग है:

(5.11)

सिस्टम (5.1) के बिंदुओं का वेग एक निश्चित संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष निर्धारित किया जाता है।

आइए हम निर्देशांक की उत्पत्ति को सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र के साथ संरेखित करें। आइए मान लें कि यांत्रिक प्रणाली, समन्वय प्रणाली के साथ मिलकर, निश्चित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष अनुवादात्मक रूप से चलती है (चित्र 5.7)। बिंदु - प्रणाली का बिंदु.

फिर, वेगों के योग पर प्रमेय के आधार पर, बिंदु की पूर्ण गति आरक. सिस्टम को पोर्टेबल और सापेक्ष वेगों के वेक्टर योग के रूप में लिखा जाएगा:

, (ए)

गतिमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति की गति कहां है (हस्तांतरणीय गति, यानी सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की गति); -बिंदु गति आरकगतिमान समन्वय प्रणाली के सापेक्ष ओहोजेड (सापेक्ष गति).

(ए) को सूत्र (5.11) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(5.12)

यहाँ संपूर्ण तंत्र का द्रव्यमान है।

गतिमान समन्वय प्रणाली में प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र का त्रिज्या वेक्टर, (2.1) के अनुसार निर्धारित किया जाता है, - , कहाँ , अर्थात। . उत्पत्ति के बाद से के बारे मेंसिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र है, फिर, फिर, यानी। व्यंजक (5.12) में दूसरा योग शून्य के बराबर है।

इस प्रकार, निकाय की गतिज ऊर्जा (5.12) का रूप है

(5.13)

यही समानता तय करती है कोएनिग का प्रमेय.

प्रमेय. किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा उस गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है जो प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र पर स्थित एक भौतिक बिंदु की होती है और जिसका द्रव्यमान प्रणाली के द्रव्यमान के बराबर होता है, और गति की गतिज ऊर्जा होती है द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष प्रणाली।

5. 3. 2. ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा

एक कठोर पिंड एक यांत्रिक प्रणाली का एक विशेष मामला है और इसे लगातार वितरित द्रव्यमान के रूप में माना जाता है, फिर सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति में शामिल सभी योग अभिन्न अंग में चले जाते हैं। इस प्रकार, एक ठोस पिंड के लिए, सूत्र (5.11) का रूप लेगा

. (5.14)

1. आगे बढ़ते हुए किसी कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा।

इस प्रकार की गति से शरीर के सभी बिंदुओं का वेग समान होता है (चित्र 5.8)। सूत्र (5.14) में पूर्णांक चिन्ह निकालने पर हमें प्राप्त होता है

. (5.15)

स्थानान्तरण रूप से गतिमान एक कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान के आधे उत्पाद के बराबर होती हैएमइसकी गति के वर्ग से.

2. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा

स्पीड मॉड्यूल वीएक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर पिंड के किसी भी बिंदु का मान बराबर होता है, जहां कठोर पिंड के कोणीय वेग का मापांक होता है, बिंदु से घूर्णन अक्ष की दूरी होती है जेड(चित्र 5.9)। सूत्र (5.14) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

यहाँ – अक्ष के सापेक्ष किसी ठोस पिंड की जड़ता का क्षण जेड.

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा घूर्णन अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण और शरीर के कोणीय वेग के वर्ग के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

3. समतल-समानांतर गति के दौरान किसी कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा

समतल-समानांतर गति में, शरीर पर किसी भी बिंदु की गति में ध्रुव की गति का ज्यामितीय योग और ध्रुव के चारों ओर घूमने के दौरान बिंदु की गति शामिल होती है। शरीर को एक समतल में सपाट चलने दें ऑक्सी, तब

|| . हम पिंड के द्रव्यमान के केंद्र को ध्रुव के रूप में चुनते हैं, फिर सूत्र (5.13) में, गति बिंदु की गति है कध्रुव (द्रव्यमान का केंद्र) के सापेक्ष घूमने के दौरान शरीर और के बराबर होता है , दूरी कहां है क- ओह पोल की ओर इशारा करो. फिर (5.13) दोबारा लिखा जाएगा

इसे ध्यान में रखते हुए – अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण जेडपोल से गुजर रहा है साथ, अंतिम अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है

, (5.17)

किसी पिंड की समतल-समानांतर गति में, गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के केंद्र के साथ अनुवादित गति की गतिज ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमने और गति के तल के लंबवत गतिज ऊर्जा का योग है।

5. 4. गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

5. 4. 1. किसी बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

आइए काम और गति में बदलाव के बीच संबंध खोजें। मान लीजिए कोई पदार्थ द्रव्यमान के साथ बिंदु है एमअक्ष के अनुदिश गति करता है ओहकिसी बल के प्रभाव में, उदाहरण के लिए निर्देशांक के मूल पर स्थिर एक संपीड़ित या विघटित स्प्रिंग - एक बिंदु के बारे में(चित्र 5.10)। किसी बिंदु की गति के समीकरण का रूप होता है

आइए इसे ध्यान में रखते हुए इस समीकरण के दोनों पक्षों को , और से गुणा करें , हम पाते हैं

. (5.19)

इस समानता के दाईं ओर हम प्रतिस्थापित करते हैं वीएक्ससे और गुणा करें डीटीदाएँ और बाएँ पक्ष। तब

. (5.20)

इस रूप में, समानता का एक बहुत स्पष्ट अर्थ है: जब बिंदु स्थानांतरित हो जाता है डीएक्स, बल कार्य करता है, जिसके परिणामस्वरूप मात्रा बदल जाती है एक बिंदु की गतिज ऊर्जा, एक बिंदु की गति की विशेषता और, विशेष रूप से, इसके वेग का मापांक। यदि कोई बिंदु किसी स्थिति से की ओर बढ़ता है, और उसकी गति से की ओर बदलती है, तो, (5.20) को एकीकृत करते हुए, हमारे पास है

. (5.21)

ध्यान में रख कर , हम अंततः पाते हैं

. (5.22)

किसी भी गति के दौरान किसी भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी गति में बिंदु पर कार्यरत बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।

पिछली सभी प्रक्रियाओं को पूरा करने पर, हमें मिलता है

,

यहां वह चाप है जिसके अनुदिश बिंदु गति करता है (चित्र 5.11)।

5. 4. 2. निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय

द्रव्यमान प्रणाली के बिंदुओं को स्थानांतरित होने दें ताकि जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली में उनके त्रिज्या वैक्टर में वृद्धि हो। आइए जानें कि गतिज ऊर्जा कैसे बदली टीसिस्टम.

(5.11) के अनुसार, निकाय की गतिज ऊर्जा

.

आइए हम सिस्टम की गतिज ऊर्जा के अंतर की गणना करें और परिणामी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें

यहाँ

इसे ध्यान में रखते हुए , जहां बिंदु a का त्वरण है और परिणामी बाहरी और आंतरिक बल बिंदु पर लागू होते हैं, हम अंतिम समानता को इस रूप में फिर से लिखते हैं

इस प्रकार,

. (5.23)

अंतिम समानता एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करती है: सिस्टम की गतिज ऊर्जा का अंतर सिस्टम के सभी बलों के प्रारंभिक कार्य के बराबर है।

विशेष मामला. एक बिल्कुल कठोर शरीर के लिए, सिस्टम के सभी आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य के बराबर है:

.

नतीजतन, एक कठोर शरीर के लिए गतिज ऊर्जा (5.23) में परिवर्तन पर प्रमेय को इस रूप में लिखा जा सकता है

किसी भी प्रारंभिक विस्थापन के दौरान किसी ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, पिंड पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के प्रारंभिक कार्य के बराबर होता है।

यदि (5.24) के दोनों पक्षों को दो स्थितियों - प्रारंभिक और अंतिम, के बीच एकीकृत किया जाता है, जिसमें क्रमशः गतिज ऊर्जा और होती है, तो हम प्राप्त करते हैं

. (5.25)

उदाहरण 1. डिस्क द्रव्यमान एम=5 किग्राऔर त्रिज्या को बिंदु पर लगाए गए निरंतर बल द्वारा गति में सेट किया जाता है ए(चित्र 5.6)। डिस्क खुरदुरी सतह पर बिना फिसले दाहिनी ओर घूमती है। द्रव्यमान के केंद्र की गति निर्धारित करें साथउस समय कुंडल जब यह दूरी तय करता है, फिसलन घर्षण गुणांक, डिस्क के घुमाव की त्रिज्या

समाधान।डिस्क समतल गति में चलती है। आइए हम एक ठोस पिंड के लिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय लिखें

आइए डिस्क की गतिज ऊर्जा की गणना करें। समय के प्रारंभिक क्षण में, डिस्क आराम पर थी, यानी। . डिस्क की अंतिम स्थिति पर गतिज ऊर्जा

यदि हम द्रव्यमान वाले सिस्टम के किसी भी बिंदु पर विचार करें , गति होना , तो इस बिंदु के लिए यह होगा

,

और कहां - किसी बिंदु पर कार्य करने वाली बाहरी और आंतरिक शक्तियों का प्रारंभिक कार्य। सिस्टम के प्रत्येक बिंदु के लिए ऐसे समीकरणों को संकलित करने और उन्हें पद दर पद जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

,

. (2)

समानता प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बारे में प्रमेय को विभेदक रूप में व्यक्त करती है।

यदि परिणामी अभिव्यक्ति प्रारंभिक समय अवधि से संबंधित है जिसके दौरान प्रश्न में आंदोलन हुआ, तो हम प्रमेय के अंतर रूप के लिए दूसरा सूत्रीकरण प्राप्त कर सकते हैं: यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा का समय व्युत्पन्न योग के बराबर है सभी बाहरी () और आंतरिक () बलों की शक्तियाँ, अर्थात्।

गति के अंतर समीकरणों को संकलित करने के लिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूपों का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन ऐसा बहुत कम ही किया जाता है, क्योंकि अधिक सुविधाजनक तरीके हैं।

समानता के दोनों पक्षों (2) को किसी प्रारंभिक स्थिति से सिस्टम की गति के अनुरूप सीमाओं के भीतर एकीकृत करना, जहां गतिज ऊर्जा बराबर है, ऐसी स्थिति में जहां गतिज ऊर्जा का मूल्य बराबर हो जाता है , होगा

परिणामी समीकरण गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय को अंतिम रूप में व्यक्त करता है: किसी गति के दौरान प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रणाली पर लागू सभी बाहरी और आंतरिक बलों के इस गति पर किए गए कार्य के योग के बराबर होता है।

पिछले प्रमेयों के विपरीत, आंतरिक बलों को समीकरणों से बाहर नहीं रखा गया है। वास्तव में, यदि और बिंदुओं और सिस्टम के बीच परस्पर क्रिया की ताकतें हैं (चित्र 51 देखें), तो। लेकिन एक ही समय में, बिंदु, की ओर बढ़ सकता है, और बिंदु - की ओर। तब प्रत्येक बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होगा और कार्य का योग शून्य नहीं होगा। एक उदाहरण रोलबैक की घटना है। आंतरिक बल (दबाव बल), प्रक्षेप्य और लुढ़कने वाले दोनों हिस्सों पर कार्य करते हुए, यहां सकारात्मक कार्य करते हैं। इन कार्यों का योग, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम की गतिज ऊर्जा को शॉट की शुरुआत में मूल्य से अंत में मूल्य में बदल देता है।

एक अन्य उदाहरण: एक स्प्रिंग से जुड़े दो बिंदु। जब बिंदुओं के बीच की दूरी बदलती है, तो बिंदुओं पर लागू लोचदार बल काम करेंगे। लेकिन अगर सिस्टम में बिल्कुल कठोर निकाय होते हैं और उनके बीच के कनेक्शन अपरिवर्तनीय, गैर-लोचदार, आदर्श होते हैं, तो आंतरिक बलों का काम शून्य के बराबर होगा और उन्हें अनदेखा किया जा सकता है और डिज़ाइन आरेख पर बिल्कुल भी नहीं दिखाया जा सकता है।

आइए दो महत्वपूर्ण विशेष मामलों पर विचार करें।

1) अपरिवर्तनीय प्रणाली. अडिगहम एक ऐसी प्रणाली कहेंगे जिसमें प्रणाली के चलने पर आंतरिक बलों के अनुप्रयोग के बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलती है। विशेष रूप से, ऐसी प्रणाली एक बिल्कुल कठोर शरीर या एक अटूट धागा है।

चित्र.51

मान लीजिए एक अपरिवर्तनीय प्रणाली के दो बिंदु (चित्र 51), एक दूसरे पर बल और () के साथ कार्य करते हुए वेग रखते हैं और इस समय। फिर कुछ समय के बाद डीटीये बिंदु प्रारंभिक हलचलें करेंगे और , वैक्टर के साथ निर्देशित और। लेकिन चूंकि खंड अपरिवर्तनीय है, तो, किनेमेटिक्स के प्रसिद्ध प्रमेय के अनुसार, वैक्टर का प्रक्षेपण और , और, इसलिए, खंड का विस्थापन और दिशा दोनों एक दूसरे के बराबर होंगे, यानी। . तब बलों का प्रारंभिक कार्य परिमाण में समान और संकेत में विपरीत होगा और कुल मिलाकर शून्य देगा। यह परिणाम सिस्टम के किसी भी आंदोलन के लिए सभी आंतरिक बलों के लिए मान्य है।

यहां से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं एक अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए, सभी आंतरिक बलों द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य हैऔर समीकरण आकार ले लेते हैं

2) आदर्श कनेक्शन वाला सिस्टम. आइए एक ऐसी प्रणाली पर विचार करें जिस पर ऐसे कनेक्शन लगाए गए हैं जो समय के साथ नहीं बदलते हैं। आइए हम सिस्टम के बिंदुओं पर कार्य करने वाली सभी बाहरी और आंतरिक शक्तियों को विभाजित करें सक्रियऔर कनेक्शन प्रतिक्रियाएँ.तब

,

प्राथमिक कार्य कहां चल रहा है क-बाहरी और आंतरिक सक्रिय बलों की प्रणाली का वां बिंदु, बाहरी और आंतरिक कनेक्शन द्वारा एक ही बिंदु पर लगाई गई प्रतिक्रियाओं का प्राथमिक कार्य है।

जैसा कि हम देखते हैं, सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बंधों के कार्य और सक्रिय बलों और प्रतिक्रियाओं पर निर्भर करता है। हालाँकि, ऐसी "आदर्श" यांत्रिक प्रणालियों की अवधारणा को पेश करना संभव है जिसमें कनेक्शन की उपस्थिति सिस्टम की गति के दौरान गतिज ऊर्जा में परिवर्तन को प्रभावित नहीं करती है। ऐसे कनेक्शन के लिए, निम्नलिखित शर्त स्पष्ट रूप से पूरी होनी चाहिए:

यदि उन कनेक्शनों के लिए जो समय के साथ नहीं बदलते हैं, सिस्टम के प्रारंभिक विस्थापन के दौरान सभी प्रतिक्रियाओं द्वारा किए गए कार्य का योग शून्य के बराबर है, तो ऐसे कनेक्शन कहलाते हैं आदर्श।एक यांत्रिक प्रणाली के लिए जिस पर केवल आदर्श कनेक्शन लगाए जाते हैं जो समय के साथ नहीं बदलते हैं, हमारे पास स्पष्ट रूप से होंगे

इस प्रकार, आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, जो इसके किसी भी आंदोलन के दौरान समय के साथ नहीं बदलता है, सिस्टम के बाहरी और आंतरिक पर लागू इस आंदोलन पर काम के योग के बराबर है। सक्रिय बल.

यांत्रिक प्रणाली को कहा जाता है रूढ़िवादी(इसकी ऊर्जा मानो संरक्षित है और बदलती नहीं है), यदि इसके लिए कोई ऊर्जा अभिन्न अंग है

या (3)

यह वहां है यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम: जब कोई प्रणाली किसी संभावित क्षेत्र में चलती है, तो उसकी यांत्रिक ऊर्जा (संभावित और गतिज का योग) हर समय अपरिवर्तित और स्थिर रहती है।

एक यांत्रिक प्रणाली रूढ़िवादी होगी यदि उस पर कार्य करने वाली ताकतें संभावित हैं, उदाहरण के लिए गुरुत्वाकर्षण, लोचदार बल। रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणालियों में, ऊर्जा अभिन्न का उपयोग गति के अंतर समीकरणों की शुद्धता की जांच के लिए किया जा सकता है। यदि प्रणाली रूढ़िवादी है, और शर्त (3) संतुष्ट नहीं है, तो गति के समीकरणों को संकलित करने में त्रुटि हुई है।

ऊर्जा अभिन्न का उपयोग व्युत्पन्न की गणना किए बिना, दूसरे तरीके से समीकरणों की शुद्धता की जांच करने के लिए किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, गति के समीकरणों का संख्यात्मक एकीकरण करने के बाद, समय के दो अलग-अलग क्षणों के लिए कुल यांत्रिक ऊर्जा के मूल्य की गणना करें, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक और अंतिम। यदि मूल्यों में अंतर गणना त्रुटियों के बराबर हो जाता है, तो यह उपयोग किए गए समीकरणों की शुद्धता को इंगित करेगा।

पिछले सभी प्रमेयों ने गति के समीकरणों से आंतरिक बलों को बाहर करना संभव बना दिया, लेकिन बाहरी कनेक्शन की पहले से अज्ञात प्रतिक्रियाओं सहित सभी बाहरी बलों को समीकरणों में बरकरार रखा गया। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का व्यावहारिक मूल्य यह है कि, आदर्श कनेक्शन जो समय के साथ नहीं बदलते हैं, यह गति के समीकरणों से बाहर करने की अनुमति देगा सभीकनेक्शन की पहले से अज्ञात प्रतिक्रियाएँ।

यांत्रिक प्रणाली

एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जाइसके सभी भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जा का अंकगणितीय योग है

किसी ठोस की गतिज ऊर्जा की गणना

1. आगे बढ़ना

जैसा कि ज्ञात है, स्थानांतरीय गति के दौरान एक ही समय में शरीर के सभी बिंदुओं का वेग बराबर होता है, तो (83) को इस रूप में दर्शाया जा सकता है

. (84)

जब कोई पिंड आगे बढ़ता है, तो उसकी गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के आधे उत्पाद और द्रव्यमान के केंद्र के वेग के वर्ग के बराबर होती है।

2. किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति

पी घूर्णी गति के दौरान, शरीर के प्रत्येक बिंदु की गति

. (85)

आइए (85) को (83) में प्रतिस्थापित करें:

.

(59) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

. (86)

घूर्णी गति के दौरान, गतिज ऊर्जा घूर्णन की धुरी और कोणीय वेग के वर्ग के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण के आधे उत्पाद के बराबर होती है।

3 . सपाट गति

समतल गति को ध्रुव के सापेक्ष घूर्णन (उदाहरण के लिए, द्रव्यमान का केंद्र) और ध्रुव के साथ गति के रूप में दर्शाया जा सकता है, फिर

. (87)

समतल गति में किसी पिंड की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के केंद्र और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष घूर्णी गति के साथ-साथ स्थानान्तरणीय गति से गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।

प्रमेय: एक निश्चित विस्थापन पर एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के सभी आंतरिक और बाह्य बलों द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होता है।

. (88)

टिप्पणियाँ:

1. सिस्टम की गति और गतिज क्षण के विपरीत, सिस्टम की गतिज ऊर्जा का प्रवर्तित मान एक अदिश राशि है। जिसमें:

क्यूघूर्णी गति और आराम के लिए =0;

क हे=0 स्थानांतरीय गति के दौरान या विश्राम के दौरान;

टी

इस प्रकार, संवेग और कोणीय संवेग में परिवर्तन पर प्रमेय के विपरीत, यह प्रमेय किसी भी प्रकार की गति का अध्ययन करने के लिए उपयुक्त है, क्योंकि टी=0 केवल एक स्थिर प्रणाली के लिए।

2. उल्लिखित प्रमेयों के विपरीत, यह प्रमेय प्रणाली की आंतरिक शक्तियों की कार्रवाई को ध्यान में रखता है।

कार्य गणना के कुछ मामले

1. बल के क्षण का कार्यएम जेडअक्ष के सापेक्ष क्षण और घूर्णन कोण के गुणनफल के बराबर है  अक्ष के सापेक्ष शरीर

. (89)

2. आंतरिक शक्तियों के कार्य का योगपूर्णतः कठोर पिंड (गैर-विकृत) का मान सदैव शून्य होता है।

3. रोलिंग घर्षण बलाघूर्ण कार्य
.

,

कहाँ  - रोलिंग घर्षण गुणांक;

आर- सिलेंडर की त्रिज्या;

एस- सतह के साथ द्रव्यमान C के केंद्र द्वारा तय किए गए पथ के खंड के बराबर चाप की लंबाई;


- गति के दौरान सिलेंडर अक्षों के घूर्णन का कोण;

एन- सामान्य सतह प्रतिक्रिया;

पी- गुरुत्वाकर्षण;

एफ टी.आर.- फिसलने वाला घर्षण बल।

किसी कठोर पिंड की स्थानांतरीय, घूर्णी और समतल गति के विभेदक समीकरण

1. आगे बढ़ना

अनुवादात्मक गति के दौरान, शरीर के सभी बिंदु एक ही प्रक्षेप पथ के साथ चलते हैं और एक ही समय में समान त्वरण होता है। फिर, गति का वर्णन करने के लिए, हम द्रव्यमान केंद्र (67) की गति पर प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। हम इस समीकरण को निर्देशांक अक्षों पर प्रक्षेपित करते हैं

सिस्टम (90) एक कठोर पिंड की स्थानांतरीय गति के अंतर समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है।

2. घूर्णी गति

पी एक कठोर पिंड बलों के प्रभाव में एक अक्ष के चारों ओर घूमता है। किसी कठोर पिंड की घूर्णी गति की गतिशील विशेषता गतिज क्षण है क जेड, और किसी बल की घूर्णी क्रिया की विशेषता अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण है। इसलिए, एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड की घूर्णी गति का वर्णन करने के लिए, हम गतिज गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करते हैं (81)

. (91)

घूर्णी गति के दौरान
, तब

,

ध्यान में रख कर मैं जेड= स्थिरांक, अंत में हमें मिलता है

. (92)

समीकरण (92) एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड की घूर्णी गति के लिए एक अंतर समीकरण है।

कोण मिला  किसी भी समय घूर्णी गति करने वाले पिंड की स्थिति निर्धारित करेगा।

3. सपाट गति

किसी भी समय समतल गति करने वाले पिंड की स्थिति ध्रुव की स्थिति और ध्रुव के सापेक्ष पिंड के घूर्णन के कोण से निर्धारित होती है। यदि हम पिंड के द्रव्यमान के केंद्र को ध्रुव के रूप में लेते हैं, तो इसकी गति का समीकरण द्रव्यमान के केंद्र की गति (67) पर प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है, और केंद्र के सापेक्ष घूर्णी गति निर्धारित की जाएगी समीकरण (92), जो द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष प्रणाली की गति के लिए भी मान्य है। तब किसी कठोर पिंड की समतल गति के विभेदक समीकरणों का रूप होता है

किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में उसके सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जाएँ शामिल होती हैं:

इस समानता के प्रत्येक भाग को समय के संदर्भ में विभेदित करने पर हमें यह समानता प्राप्त होती है

गतिशीलता के मूल नियम का उपयोग करना कोसिस्टम का वां बिंदु एम के 2आई के= एफजे, हम समानता पर पहुंचते हैं

इसके अनुप्रयोग के बिंदु पर बल F और वेग v का अदिश गुणनफल कहा जाता है बल शक्तिऔर निरूपित करें आर:

इस नए संकेतन का उपयोग करते हुए, हम (11.6) को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत करते हैं:

परिणामी समानता गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूप को व्यक्त करती है: किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर प्रणाली पर कार्यरत सभी सेमी की jशक्तियों के योग के बराबर होती है।

व्युत्पन्न प्रस्तुत कर रहा हूँ एफ(8.5) भिन्न रूप में - और प्रदर्शन

फिर चरों को अलग करने पर, हमें मिलता है:

कहाँ डीटी-गतिज ऊर्जा अंतर, यानी समय की एक अनंत अवधि में इसका परिवर्तन डॉ, डॉ के = के डीटी -प्राथमिक आंदोलन को-सिस्टम के वें बिंदु, यानी समय में गति डी.टी.

बल F और प्राथमिक विस्थापन का अदिश गुणनफल डॉ.इसके अनुप्रयोग बिंदु कहलाते हैं बुनियादी कामबल और निरूपित करें डीए:

अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करके हम बल के प्राथमिक कार्य को भी रूप में निरूपित कर सकते हैं

यहाँ डीएस = डॉ -बल अनुप्रयोग बिंदु के प्रक्षेपवक्र की चाप लंबाई, इसके प्रारंभिक विस्थापन एस/जी के अनुरूप; ए -बल वेक्टर F और प्राथमिक विस्थापन वेक्टर c/r की दिशाओं के बीच का कोण; एफ„ एफ वाई , एफ,- कार्टेशियन अक्षों पर बल वेक्टर एफ का प्रक्षेपण; डीएक्स, डाई, डीजेड -प्रारंभिक विस्थापन s/g के वेक्टर के कार्टेशियन अक्षों पर प्रक्षेपण।

अंकन (11.9) को ध्यान में रखते हुए, समानता (11.8) को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

वे। सिस्टम की गतिज ऊर्जा का अंतर सिस्टम पर कार्यरत सभी बलों के प्रारंभिक कार्यों के योग के बराबर है।यह समानता, (11.7) की तरह, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के विभेदक रूप को व्यक्त करती है, लेकिन (11.7) से इस मायने में भिन्न है कि यह डेरिवेटिव का नहीं, बल्कि अनंतिम वृद्धि - अंतर का उपयोग करती है।

समानता (11.12) का पद-दर-अवधि एकीकरण करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

जहां निम्नलिखित का उपयोग एकीकरण सीमा के रूप में किया जाता है: 7 0 - समय में एक पल में सिस्टम की गतिज ऊर्जा? 0 ; 7) - समय के क्षण में प्रणाली की गतिज ऊर्जा टीएक्स.

समय के साथ निश्चित अभिन्न अंग या ए(एफ):

नोट 1. कार्य की गणना करने के लिए, कभी-कभी प्रक्षेपवक्र के गैर-चाप पैरामीटरीकरण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है एमएस),और समन्वय करें एम(एक्स(टी), y(/), z(f)). इस मामले में, प्रारंभिक कार्य के लिए प्रतिनिधित्व (11.11) लेना स्वाभाविक है, और इस रूप में वक्रीय अभिन्न का प्रतिनिधित्व करना है:

परिमित विस्थापन पर कार्य के अंकन (11.14) को ध्यान में रखते हुए, समानता (11.13) का रूप लेती है

और एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय के अंतिम रूप का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रमेय 3. जब एक यांत्रिक प्रणाली प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक जाती है तो उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस गति के दौरान प्रणाली के बिंदुओं पर कार्य करने वाले सभी बलों के कार्य के योग के बराबर होता है।

टिप्पणी 2. समता का दाहिना पक्ष (11.16) कार्य को ध्यान में रखता है अपनी पूरी ताकत से, सिस्टम पर बाहरी और आंतरिक दोनों तरह से कार्य करता है। फिर भी, ऐसी यांत्रिक प्रणालियाँ हैं जिनके लिए सभी आंतरिक बलों द्वारा किया गया कुल कार्य शून्य है। अहं तथाकथित अपरिवर्तनीय प्रणालियाँ, जिसमें परस्पर क्रिया करने वाले भौतिक बिंदुओं के बीच की दूरियाँ नहीं बदलतीं। उदाहरण के लिए, घर्षण रहित टिकाओं या लचीले अवितानीय धागों से जुड़े ठोस पिंडों की एक प्रणाली। ऐसी प्रणालियों के लिए, समानता (11.16) में केवल बाहरी ताकतों के काम को ध्यान में रखना पर्याप्त है, अर्थात। प्रमेय (11.16) इस प्रकार है: