मान लीजिए कि समतल  पर एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी और कुछ रेखा L दी गई है।

परिभाषा. समीकरण F(x;y)=0 (1)बुलाया रेखा समीकरणएल(किसी दिए गए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष) यदि यह समीकरण रेखा L पर स्थित किसी भी बिंदु के x और y निर्देशांक को संतुष्ट करता है, और रेखा L पर स्थित किसी भी बिंदु के x और y निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करता है।

वह। विमान पर लाइनबिंदुओं का स्थान (M(x;y)) है जिसके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं।

समीकरण (1) रेखा एल को परिभाषित करता है।

उदाहरण। वृत्त समीकरण.

घेरा- किसी दिए गए बिंदु M 0 (x 0, y 0) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह।

बिंदु एम 0 (एक्स 0, वाई 0) - वृत्त केंद्र.

वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु M(x; y) के लिए, दूरी MM 0 =R (R=const)

मिमी 0 ==आर

(x-x 0 ) 2 +(वर्ष-वर्ष 0 ) 2 =आर 2 –(2) – बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण।

पैरामीट्रिक रेखा समीकरण.

मान लीजिए कि रेखा L के बिंदुओं के x और y निर्देशांक को पैरामीटर t का उपयोग करके व्यक्त किया गया है:

(3) - डीएससी में रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

जहां फ़ंक्शन (t) और (t) पैरामीटर t (इस पैरामीटर की भिन्नता की एक निश्चित सीमा में) के संबंध में निरंतर हैं।

समीकरण (3) से पैरामीटर टी को हटाने पर, हमें समीकरण (1) प्राप्त होता है।

आइए हम रेखा L को एक भौतिक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ के रूप में मानें, जो एक निश्चित नियम के अनुसार लगातार चलता रहता है। मान लीजिए कि चर t किसी आरंभिक क्षण से गिने गए समय को दर्शाता है। फिर गति के नियम का कार्य समय t के कुछ निरंतर कार्यों x=(t) और y=(t) के रूप में गतिमान बिंदु के x और y निर्देशांक का कार्य है।

उदाहरण. आइए हम मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या r>0 के एक वृत्त के लिए एक पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करें। मान लीजिए कि M(x, y) इस वृत्त का एक मनमाना बिंदु है, और t त्रिज्या वेक्टर और ऑक्स अक्ष के बीच का कोण है, जिसे वामावर्त गिना जाता है।

फिर x=r क्योंकि x y=r पाप टी। (4)

समीकरण (4) विचारित वृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। पैरामीटर t कोई भी मान ले सकता है, लेकिन बिंदु M(x, y) को एक बार वृत्त के चारों ओर जाने के लिए, पैरामीटर परिवर्तन क्षेत्र आधे-खंड 0t2 तक सीमित है।

समीकरण (4) का वर्ग करने और जोड़ने पर, हमें वृत्त (2) का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है।

2. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (पीएससी)।

आइए हम समतल पर अक्ष L चुनें ( ध्रुवीय अक्ष) और इस अक्ष का बिंदु निर्धारित करें О ( खंभा). समतल का कोई भी बिंदु ध्रुवीय निर्देशांक ρ और φ द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित होता है, जहां

ρ – ध्रुवीय त्रिज्या, बिंदु M से ध्रुव O (ρ≥0) तक की दूरी के बराबर;

φ – कोनावेक्टर दिशा के बीच ॐऔर एल अक्ष ( ध्रुवीय कोण). एम(ρ ; φ )

यूसीएस में रेखा समीकरणलिखा जा सकता है:

ρ=f(φ) (5) पीसीएस में स्पष्ट रेखा समीकरण

F=(ρ; φ) (6) पीसीएस में अंतर्निहित रेखा समीकरण

एक बिंदु के कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध।

(एक्स; वाई) (ρ ; φ ) त्रिभुज OMA से:

tg φ=(कोण की बहालीφ प्रसिद्ध के अनुसारस्पर्शरेखा उत्पन्न होती हैइस बात को ध्यान में रखते हुए कि बिंदु M किस चतुर्थांश में स्थित है)।(ρ ; φ )(एक्स; वाई). x=ρcos φ,y= ρsin φ

उदाहरण . बिंदु M(3;4) और P(1;-1) के ध्रुवीय निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

M:=5, φ=arctg (4/3) के लिए। पी के लिए: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

समतल रेखाओं का वर्गीकरण.

परिभाषा 1.लाइन कहा जाता है बीजगणितीय,यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, यदि इसे समीकरण F(x;y)=0 (1) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) एक बीजगणितीय बहुपद है।

परिभाषा 2.किसी भी गैर-बीजगणितीय रेखा को कहा जाता है उत्कृष्ट.

परिभाषा 3. बीजगणितीय रेखा कहलाती है आदेश की पंक्तिएन, यदि कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा समीकरण (1) द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसमें फ़ंक्शन F(x;y) nवीं डिग्री का एक बीजगणितीय बहुपद है।

इस प्रकार, nवें क्रम की एक रेखा कुछ कार्टेशियन आयताकार प्रणाली में दो अज्ञात के साथ डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित एक रेखा है।

निम्नलिखित प्रमेय परिभाषाओं 1,2,3 की शुद्धता स्थापित करने में मदद करता है।

प्रमेय(पृष्ठ 107 पर दस्तावेज़ीकरण)। यदि किसी कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, तो किसी अन्य कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह रेखा उसी डिग्री n के बीजगणितीय समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है।

बिन्दुओं के बिन्दुपथ के रूप में एक रेखा का समीकरण। एक सीधी रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरण. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का अध्ययन। उसके समीकरण के अनुसार एक सीधी रेखा का निर्माण

रेखा समीकरणचरों वाला समीकरण कहलाता है एक्सऔर य, जो इस रेखा के किसी भी बिंदु के निर्देशांक से और केवल उनसे संतुष्ट होता है।

रेखा समीकरण में चर शामिल हैं एक्सऔर यवर्तमान निर्देशांक कहलाते हैं, और शाब्दिक स्थिरांक पैरामीटर कहलाते हैं।

समान गुण वाले बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में एक रेखा का समीकरण तैयार करने के लिए, आपको चाहिए:

1) एक मनमाना (वर्तमान) बिंदु लें एम(एक्स, य) पंक्तियाँ;
2) सभी बिंदुओं की सामान्य संपत्ति को समानता से लिखें एमपंक्तियाँ;
3) इस समानता में शामिल खंड (और कोण) बिंदु के वर्तमान निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं एम(एक्स, य) और कार्य में डेटा के माध्यम से।

आयताकार निर्देशांक में, एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूपों में से एक में दिया जाता है:

1. ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

य = केएक्स + बी, (1)

कहाँ क- सीधी रेखा का ढलान, यानी उस कोण का स्पर्शरेखा जो सीधी रेखा अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाती है बैल, और यह कोण अक्ष से मापा जाता है बैलएक सीधी रेखा में वामावर्त, बी- y-अक्ष पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंड का मान। पर बी= 0 समीकरण (1) का रूप है य = केएक्सऔर संगत रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है।

समीकरण (1) का उपयोग समतल में किसी भी सीधी रेखा को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जो अक्ष के लंबवत नहीं है बैल.

वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण की अनुमति है य.

2. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0. (2)

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशेष मामले।

1. समतल पर एक रेखा का समीकरण

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी समन्वय प्रणाली में समतल पर कोई भी बिंदु दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित होता है। आधार और उत्पत्ति की पसंद के आधार पर समन्वय प्रणालियाँ भिन्न हो सकती हैं।

परिभाषा। रेखा समीकरण इस रेखा को बनाने वाले बिंदुओं के निर्देशांक के बीच अनुपात y \u003d f (x) है।

ध्यान दें कि रेखा समीकरण को पैरामीट्रिक तरीके से व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात, प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक निर्देशांक को कुछ स्वतंत्र पैरामीटर t के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। एक विशिष्ट उदाहरण एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेप पथ है। इस मामले में, समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है।

2. समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा। समतल में कोई भी सीधी रेखा पहले क्रम के समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दी जा सकती है, और स्थिरांक A , B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं होते हैं, अर्थात।

ए 2 + बी 2 ≠ 0। इस प्रथम-क्रम समीकरण को सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कहा जाता है।

में स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

- रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

सी = 0, ए ≠ 0, बी ≠ 0 (बाय + सी = 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी = 0, ए ≠ 0, सी ≠ 0(एक्स + सी = 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी = सी = 0, ए ≠ 0 - रेखा ओए अक्ष के साथ संपाती है

ए = सी = 0, बी ≠ 0 - रेखा ऑक्स अक्ष के साथ संपाती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

3. एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के संबंध में एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा। कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों (ए, बी) वाला एक वेक्टर समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत होता है

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0.

उदाहरण। सदिश n (3, − 1) के लंबवत बिंदु А(1,2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

A=3 और B=-1 के लिए एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें: 3x - y + C = 0। गुणांक ज्ञात करने के लिए

परिणामी अभिव्यक्ति में दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने से हमें मिलता है: 3 - 2 + C \u003d 0, इसलिए C \u003d -1।

कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 = 0.

4. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो बिंदु M1 (x1 , y1 , z1 ) और M2 (x2, y2 , z2 ) दिए गए हैं, तो एक सीधी रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरना:	एक्स − एक्स1				y - y1				z−z1
			− एक्स				− य				− z

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

समतल पर, ऊपर लिखा सीधी रेखा समीकरण सरल है: y - y 1 = y 2 - y 1 (x - x 1 ) यदि x 2 - x 1

x 1 ≠ x 2 और x = x 1 यदि x 1 = x 2।

भिन्न y 2 - y 1 = k को सीधी रेखा का ढलान कहा जाता है। x2 − x1

5. एक बिंदु और एक ढलान के संदर्भ में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि सीधी रेखा Ax + By + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

ढलान k वाली सीधी रेखा का समीकरण कहलाता है।

6. एक बिंदु और एक दिशा सदिश द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशित वेक्टर को दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर a (α 1 ,α 2 ) जिसके घटक शर्त A α 1 + B α 2 = 0 को संतुष्ट करते हैं, रेखा के निर्देशन वेक्टर कहलाते हैं

एक्स + बाय + सी = 0।

उदाहरण। दिशा सदिश a (1,-1) वाली और बिंदु A(1,2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: Ax + By + C = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांकों को निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा: 1A + (− 1) B = 0, यानी। ए=बी. तब सीधी रेखा समीकरण इस प्रकार दिखती है: Ax + Ay + C = 0 , या x + y + C / A = 0 . x=1, y=2 पर हमें C/A=-3 मिलता है, यानी। वांछित समीकरण: x + y − 3 = 0

7. खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि रेखा Ax + By + C \u003d 0, C ≠ 0 के सामान्य समीकरण में, -С से विभाजित करने पर,

हमें मिलता है: -

x−

y = 1 या

1, जहाँ a = -

बी = -

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a, Ox अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और b, Oy अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है।

8. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

इसे सामान्यीकरण कारक कहा जाता है, तो हमें x cosϕ + y synϕ − p = 0, एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है।

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μC< 0 .

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लम्ब की लंबाई है, और ϕ ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इस लम्ब द्वारा बनाया गया कोण है

9. समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा। यदि दो रेखाएँ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 दी गई हैं, तो इनके बीच का न्यून कोण

यदि k 1 = k 2 हो तो दो रेखाएँ समानांतर होती हैं। दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = − 1/ k 2।

किसी दिए गए रेखा के लंबवत किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा। बिंदु M1 (x1, y1) से गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

y − y = −

(एक्स − एक्स )

10. बिंदु से रेखा की दूरी

यदि एक बिंदु M(x0, y0) दिया गया है, तो रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी

d = के रूप में परिभाषित किया गया है

Ax0 + By0 + C

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण निर्धारित करें: y = − 3x + 7, y = 2x + 1.

के = − 3, के

2tg ϕ =

2 − (− 3)

1;ϕ = π / 4.

1− (− 3)2

उदाहरण। दिखाओ,

कि रेखाएँ 3 x - 5 y + 7 = 0 और 10 x + 6 y - 3 = 0

लंबवत हैं.

हम पाते हैं: k 1 = 3/ 5, k 2 = - 5/3, k 1 k 2 = - 1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण। त्रिभुज A(0 ; 1) , B (6 ; 5) , C (1 2 ; - 1) के शीर्ष दिए गए हैं।

शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई के लिए समीकरण ज्ञात कीजिए।
हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं:	एक्स − 0		य − 1					य − 1		; 4x = 6y − 6
	6 − 0		5 − 1

2x − 3y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.

वांछित ऊंचाई समीकरण का रूप इस प्रकार है: Ax + By + C = 0 या y = kx + bk = − 3 2 फिर

y = − 3 2 x + b . क्योंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: − 1 = − 3 2 12 + b , जहां से b=17. कुल: y = - 3 2 x + 17।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

लक्ष्य:एक समतल पर एक रेखा की अवधारणा पर विचार करें, उदाहरण दें। रेखा की परिभाषा के आधार पर, एक समतल में एक सीधी रेखा के समीकरण की अवधारणा का परिचय दीजिए। सीधी रेखा के प्रकारों पर विचार करें, सीधी रेखा निर्धारित करने के उदाहरण और तरीके बताएं। एक सीधी रेखा के समीकरण को सामान्य रूप से ढलान के साथ "खंडों में" एक सीधी रेखा के समीकरण में अनुवाद करने की क्षमता को समेकित करना।

1. समतल पर एक रेखा का समीकरण.
2. समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. समीकरणों के प्रकार.
3. सीधी रेखा स्थापित करने के तरीके.

1. मान लीजिए x और y दो मनमाने चर हैं।

परिभाषा: F(x,y)=0 के रूप का एक संबंध कहा जाता है समीकरण , यदि यह संख्या x और y के किसी भी जोड़े के लिए मान्य नहीं है।

उदाहरण: 2x + 7y - 1 = 0, x 2 + y 2 - 25 = 0।

यदि समानता F(x,y)=0 किसी भी x, y के लिए है, तो, परिणामस्वरूप, F(x,y) = 0 एक पहचान है।

उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

वे कहते हैं कि x 0 है और y 0 है समीकरण को संतुष्ट करें , यदि, जब उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह वास्तविक समानता में बदल जाता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा एक रेखा के समीकरण की अवधारणा है।

परिभाषा: किसी दी गई रेखा का समीकरण समीकरण F(x,y)=0 है, जो इस रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और इस रेखा पर न पड़ने वाले किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

समीकरण y = f(x) द्वारा परिभाषित रेखा को फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ़ कहा जाता है। चर x और y को वर्तमान निर्देशांक कहा जाता है, क्योंकि वे एक चर बिंदु के निर्देशांक हैं।

कुछ उदाहरणपंक्ति परिभाषाएँ.

1) एक्स - वाई = 0 => एक्स = वाई। यह समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y) (x + y) = 0 => अंक या तो समीकरण x - y = 0, या समीकरण x + y = 0 को संतुष्ट करना चाहिए, जो मेल खाता है प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी जो निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक हैं:

3) x 2 + y 2 = 0. केवल एक बिंदु O (0,0) इस समीकरण को संतुष्ट करता है।

2. परिभाषा: समतल में कोई भी रेखा प्रथम कोटि समीकरण द्वारा दी जा सकती है

आह + वू + सी = 0,

इसके अलावा, स्थिरांक ए, बी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी। ए 2 + बी 2 ¹ 0. इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

स्थिरांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है

ए \u003d 0, बी ¹ 0, सी ¹ 0 (बाय + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए ¹ 0, सी ¹ 0 (एक्स + सी \u003d 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए ¹ 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी ¹ 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

किसी भी प्रारंभिक स्थिति के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है।

ढलान के साथ सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा Ax + Vy + C = 0 का सामान्य समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होता है:

और निरूपित करें, तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण.

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.

यदि सीधी रेखा Ax + Vy + С = 0 С ¹ 0 के सामान्य समीकरण में, -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या , जहां

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ वह गुणांक है ए x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + Wy + C = 0 को एक संख्या से विभाजित किया जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosj + ysinj - p = 0 एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है।

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि m × С< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा पर डाले गए लंबवत की लंबाई है, और j इस लंबवत द्वारा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण है।

3. एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण.

माना सीधी रेखा का ढलान k के बराबर है, सीधी रेखा बिंदु M(x 0, y 0) से होकर गुजरती है। फिर रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा पाया जाता है: y - y 0 \u003d k (x - x 0)

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण.

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि कोई भी हर शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए।

एक समतल पर, ऊपर लिखी सीधी रेखा का समीकरण सरल किया गया है:

यदि x 1 ¹ x 2 और x = x 1, यदि x 1 = x 2।

भिन्न = k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

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विश्लेषणात्मक ज्यामिति

व्याख्यान संख्या 7. विषय 1 : समतल में रेखाएँ और उनके समीकरण

1.1. कार्तीय निर्देशांक में रेखाएँ और उनके समीकरण

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक समतल पर रेखाओं को उन बिंदुओं (जी.एम.टी.) का स्थान माना जाता है जिनकी संपत्ति रेखा के सभी बिंदुओं के लिए समान होती है।

परिभाषा। रेखा समीकरण
दो चर वाला एक समीकरण हैएक्सऔर पर, जो रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है और इस रेखा पर स्थित किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात कोई समीकरणपर

फॉर्म का, आम तौर पर बोलते हुए, कार्टेशियन में

समन्वय प्रणाली (डीएससी) एक रेखा को परिभाषित करती है

एक जी.एम.टी. के रूप में, जिसके निर्देशांक संतुष्ट करते हैं

यह समीकरण.के बारे में एक्स

टिप्पणी 1. प्रत्येक प्रकार का समीकरण एक रेखा को परिभाषित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए
ऐसे कोई बिंदु, निर्देशांक नहीं हैं, जो इस समीकरण को संतुष्ट कर सकें। ऐसे मामलों पर आगे विचार नहीं किया जाएगा.यह तथाकथित काल्पनिक रेखाओं का मामला है।

पी उदाहरण 1।त्रिज्या वाले वृत्त के लिए एक समीकरण लिखेंआर एक बिंदु पर केन्द्रित
.

किसी भी बिंदु पर झूठ बोल रहे हैंपरएम

परिभाषा के अनुसार, एक वृत्त परआर

जी.एम.टी. के समान वृत्त, समान दूरी पर

बिंदु से, हमें समीकरण मिलता हैएक्स

1.2. रेखाओं के पैरामीट्रिक समीकरण

नामक समीकरणों का उपयोग करके समतल पर एक रेखा को परिभाषित करने का एक और तरीका हैपैरामीट्रिक:

उदाहरण 1 रेखा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है

डीएससी में इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

पैरामीटर को छोड़ेंटी . ऐसा करने के लिए, हम इन समीकरणों के दोनों पक्षों को वर्गित करते हैं और जोड़ते हैं

उदाहरण 2 रेखा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी गई है

ए

समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है

डीएससी में यह पंक्ति. —एक ए

चलो वैसा ही करते हैं तो मिलता है

— ए

टिप्पणी 2. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पैरामीटरटी यांत्रिकी में समय है.

1.3. ध्रुवीय निर्देशांक में रेखा समीकरण

डीएससी किसी बिंदु की स्थिति और इसलिए किसी रेखा के समीकरण को निर्धारित करने का एकमात्र तरीका नहीं है। समतल पर, तथाकथित ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (पीएससी) का उपयोग करना अक्सर समीचीन होता है।

पी एक बिंदु निर्दिष्ट कर एससी का निर्धारण किया जाएगाओ - पोल और बीम या इस बिंदु से निकलती है, जिसे ध्रुवीय अक्ष कहते हैं। फिर किसी भी बिंदु की स्थिति दो संख्याओं द्वारा निर्धारित की जाती है: ध्रुवीय त्रिज्या
और ध्रुवीय कोण के बीच का कोण है

ध्रुवीय अक्ष और ध्रुवीय त्रिज्या।

सकारात्मक संदर्भ दिशा

ध्रुवीय अक्ष से ध्रुवीय कोण

वामावर्त गिना गया।

विमान के सभी बिंदुओं के लिए
, या

और ध्रुवीय कोण की विशिष्टता के लिए इसे माना जाता है
.

यदि डीएससी की शुरुआत को इसके साथ जोड़ दिया जाए

ध्रुव, और O अक्ष एक्सइसके द्वारा भेजें

ध्रुवीय अक्ष, इसे सत्यापित करना आसान हैपर

ध्रुवीय और के बीच संबंध में

कार्तीय निर्देशांक:

के बारे में एक्सआर

पीछे,

(1)

यदि डीएससी में रेखा समीकरण का रूप है, तो पीएससी में - फिर इस समीकरण से आप एक समीकरण के रूप में प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण 3 यदि वृत्त का केंद्र ध्रुव पर है तो वृत्त का समीकरण यूसीएस में लिखें।

डीएससी से पीएससी तक संक्रमण सूत्र (1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

पी उदाहरण 4.एक वृत्त के लिए एक समीकरण लिखें

यदि ध्रुव वृत्त और ध्रुवीय अक्ष पर हैपर

व्यास से होकर गुजरता है।

आइये ऐसा ही करें

लगभग 2 आर एक्स

आर

यह समीकरण भी प्राप्त किया जा सकता है

ज्यामितीय निरूपण से (अंजीर देखें)।

पी उदाहरण 5.कथा का आधार

चलिए पीएससी की ओर बढ़ते हैं। समीकरण

रूप ले लेगा
के बारे में

हम इसके साथ लाइन प्लॉट करेंगेए

इसकी समरूपता और ODZ को ध्यान में रखते हुए

विशेषताएँ:

इस लाइन को कहा जाता हैलेम्निस्केट बर्नौली.

1.4. समन्वय प्रणाली परिवर्तन.

नई समन्वय प्रणाली में रेखा समीकरण

1. डीएससी का समानांतर स्थानांतरण.पर

दो डीएससी होने पर विचार करेंएम

कुल्हाड़ियों की एक ही दिशा, लेकिन

विभिन्न उत्पत्ति.

समन्वय प्रणाली मेंके बारे में हूडॉट

सिस्टम के संबंध में
के बारे में एक्स

निर्देशांक हैं
. तो हमारे पास हैं

और

समन्वय रूप में, परिणामी वेक्टर समानता का रूप होता है

या
. (2)

सूत्र (2) "पुरानी" समन्वय प्रणाली से संक्रमण के सूत्र हैंके बारे में हू"नई" समन्वय प्रणाली के लिए और इसके विपरीत।

उदाहरण 5 समन्वय प्रणाली का समानांतर अनुवाद करके एक वृत्त का समीकरण प्राप्त करेंवृत्त के केंद्र तक.

और सूत्र (2) से यह अनुसरण करता है
परऑनपोस्ट नेविगेशन