जड़त्व की धुरी. मुख्य अक्ष और जड़त्व के प्रमुख क्षण अनुभाग के प्रमुख अक्ष

मुख्य, तीन परस्पर लंबवत अक्ष c.-l के माध्यम से खींचे गए। पिंड के बिंदु और यह गुण रखते हुए कि यदि उन्हें समन्वय अक्षों के रूप में लिया जाए, तो इन अक्षों के बारे में पिंड की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होंगे। यदि टी.वी. एक बिंदु पर स्थिर एक पिंड को एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन में लाया जाता है, जो किसी दिए गए बिंदु पर यवल है। मुख्य ओ. और., फिर शरीर, बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में, इस धुरी के चारों ओर घूमता रहेगा, जैसे कि एक निश्चित धुरी के आसपास। मुख्य ओ और की अवधारणा। टीवी गतिशीलता में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। शरीर।

भौतिक विश्वकोश शब्दकोश। - एम.: सोवियत विश्वकोश..1983 .

जड़ता की धुरी

मुख्य हैं पीएच.डी. के माध्यम से खींची गई तीन परस्पर लंबवत अक्षें। शरीर का बिंदु, इस बिंदु पर शरीर की जड़ता के दीर्घवृत्त के अक्षों के साथ मेल खाता है। मुख्य ओ. तथा. गुणधर्म है कि यदि इन्हें निर्देशांक अक्षों के रूप में लिया जाए, तो इन अक्षों के बारे में पिंड की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर होंगे। यदि निर्देशांक अक्षों में से एक, उदा. एक्सिस ओह,बिंदु के लिए है के बारे मेंमुख्य O. और., फिर जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण, जिनके सूचकांकों में इस अक्ष का नाम शामिल है, अर्थात। Ixyऔर मैं xz, शून्य के बराबर हैं. यदि एक ठोस पिंड, जो एक बिंदु पर स्थिर है, को एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन में लाया जाता है, तो दिए गए बिंदु पर किनारा मुख्य O. है और, फिर बाहरी की अनुपस्थिति में शरीर। बल इस अक्ष के चारों ओर, एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते रहेंगे।

भौतिक विश्वकोश. 5 खंडों में. - एम.: सोवियत विश्वकोश.प्रधान संपादक ए. एम. प्रोखोरोव.1988 .

अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षणकुल्हाड़ियों के बारे में एक्सऔर पर(अंजीर देखें. 32, ए)रूप के निश्चित अभिन्न अंग कहलाते हैं

जड़ता के अक्षीय क्षणों का निर्धारण करते समय, कुछ मामलों में किसी को अनुभाग की एक और नई ज्यामितीय विशेषता - जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण का सामना करना पड़ता है।

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षणदो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में अनुभाग x y(अंजीर देखें. 32, ए)

जड़ता का ध्रुवीय क्षणउत्पत्ति के सापेक्ष अनुभाग के बारे में(अंजीर देखें. 32, ए)रूप का निश्चित समाकलन कहलाता है

कहाँ आर- निर्देशांक की उत्पत्ति से प्रारंभिक क्षेत्र तक की दूरी डी.ए.

जड़ता के अक्षीय और ध्रुवीय क्षण हमेशा सकारात्मक होते हैं, और केन्द्रापसारक क्षण, अक्षों की पसंद के आधार पर, सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य के बराबर हो सकता है। जड़ता के क्षणों के पदनाम की इकाइयाँ - सेमी 4, मिमी 4।

जड़त्व के ध्रुवीय और अक्षीय क्षणों के बीच निम्नलिखित संबंध है:

सूत्र (41) के अनुसार, दो परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़त्व के अक्षीय क्षणों का योग इन अक्षों (मूल) के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में जड़त्व के ध्रुवीय क्षण के बराबर है।

समानांतर अक्षों के बारे में वर्गों की जड़ता के क्षण, जिनमें से कुछ केंद्रीय हैं (एक्स एस, यूएस)>भावों से निर्धारित होते हैं:

कहाँ और iv-अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र C के निर्देशांक (चित्र 34)।

सूत्र (42), जिनका अत्यधिक व्यावहारिक अनुप्रयोग है, इस प्रकार पढ़े जाते हैं: किसी भी अक्ष के बारे में एक खंड की जड़ता का क्षण उसके समानांतर और खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता के क्षण के बराबर होता है, साथ ही अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र का गुणनफल।

टिप्पणी: निर्देशांक ए और सीऊपर दिए गए सूत्रों (42) में उनके संकेतों को ध्यान में रखते हुए प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

चावल। 34.

सूत्र (42) से यह पता चलता है कि समानांतर अक्षों के बारे में जड़ता के सभी क्षणों में, सबसे छोटा क्षण खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में होगा, यानी, जड़त्व का केंद्रीय क्षण।

किसी संरचना की ताकत और कठोरता को निर्धारित करने के सूत्रों में जड़ता के क्षण शामिल होते हैं, जिनकी गणना उन अक्षों के सापेक्ष की जाती है जो न केवल केंद्रीय हैं, बल्कि प्रमुख भी हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली कौन सी अक्ष मुख्य हैं, किसी को एक निश्चित कोण पर एक दूसरे के सापेक्ष घूमने वाली अक्षों के बारे में जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने में सक्षम होना चाहिए।

निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के दौरान जड़ता के क्षणों के बीच निर्भरता (चित्र 35) के निम्नलिखित रूप हैं:

कहाँ ए- अक्षों के घूर्णन का कोण औरऔर वीकुल्हाड़ियों के बारे में मेंहदीक्रमश। कोण a माना जाता है सकारात्मकयदि अक्षों का घूर्णन औरऔर तुम जा रहे हो वामावर्त।

चावल। 35.

किसी भी परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग उन्हें घुमाने पर नहीं बदलता है:

जब अक्ष मूल बिंदु के चारों ओर घूमते हैं, तो जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण बदल जाता है लगातार, इसलिए, अक्षों की एक निश्चित स्थिति पर, यह शून्य के बराबर हो जाता है।

दो परस्पर लंबवत अक्ष जिनके संबंध में अनुभाग की जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है, कहलाते हैं जड़त्व के प्रमुख अक्ष.

जड़त्व के प्रमुख अक्षों की दिशा निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

सूत्र (43) से प्राप्त कोण के दो मान एएक दूसरे से 90° भिन्न हैं और प्रमुख अक्षों की स्थिति बताइए। जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से छोटा कोण निरपेक्ष मान से अधिक नहीं होता है एल /4.भविष्य में, हम केवल एक छोटे कोण का उपयोग करेंगे। इस कोण पर खींची गई मुख्य धुरी को अक्षर द्वारा दर्शाया जाएगा और।अंजीर पर. 36 इस नियम के अनुसार मुख्य अक्षों के पदनाम के कुछ उदाहरण दिखाता है। प्रारंभिक अक्षों को अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है हे व्

चावल। 36.

झुकने की समस्याओं में, उन प्रमुख अक्षों के सापेक्ष अनुभागों की जड़ता के अक्षीय क्षणों को जानना महत्वपूर्ण है जो अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरते हैं।

अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से गुजरने वाली प्रमुख अक्षों को कहा जाता है मुख्य केंद्रीय अक्ष.निम्नलिखित में, एक नियम के रूप में, संक्षिप्तता के लिए हम इन अक्षों को सरलता से कहेंगे मुख्य अक्ष, "केंद्रीय" शब्द को हटाते हुए।

समतल खंड की समरूपता की धुरी इस खंड की जड़ता की मुख्य केंद्रीय धुरी है, दूसरी धुरी इसके लंबवत है। दूसरे शब्दों में, समरूपता की धुरी और उसके लंबवत कोई भी प्रमुख अक्षों की एक प्रणाली बनाते हैं।

यदि किसी समतल खंड में समरूपता के कम से कम दो अक्ष हैं जो एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं, तो ऐसे खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली सभी अक्ष इसकी जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं। तो, अंजीर में। 37 कुछ प्रकार के खंड (वृत्त, वलय, वर्ग, नियमित षट्भुज, आदि) दिखाता है, जिनमें निम्नलिखित गुण हैं: उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली कोई भी धुरी मुख्य है।

चावल। 37.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गैर-केंद्रीय प्रमुख अक्षों में हमारी कोई रुचि नहीं है।

झुकने के सिद्धांत में, मुख्य केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण सबसे महत्वपूर्ण हैं।

जड़ता के प्रमुख केंद्रीय क्षणया जड़ता के मुख्य क्षणमुख्य केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण हैं। इसके अलावा, मुख्य अक्षों में से एक के सापेक्ष, जड़ता का क्षण अधिकतम, दूसरे के सापेक्ष - कम से कम:

वर्गों की जड़ता के अक्षीय क्षण अंजीर में दिखाए गए हैं। 37, मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष गणना की गई, एक दूसरे के बराबर हैं: जे वाई ,तब: जे यू = जे एक्स कॉस 2 ए + जे वाई सिन ए = जे एक्स .

किसी जटिल खंड की जड़ता के क्षण उसके भागों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर होते हैं। इसलिए, एक जटिल खंड की जड़ता के क्षणों को निर्धारित करने के लिए, हम लिख सकते हैं:

कहाँ eJ xi , J y „ J Xiyi - अनुभाग के अलग-अलग हिस्सों की जड़ता के क्षण।

ध्यान दें: यदि अनुभाग में छेद है, तो इसे नकारात्मक क्षेत्र वाले अनुभाग के रूप में मानना ​​सुविधाजनक है।

भविष्य में ताकत की गणना करने के लिए, हम सीधे मोड़ में काम करने वाली बार की ताकत की एक नई ज्यामितीय विशेषता पेश करते हैं। इस ज्यामितीय विशेषता को प्रतिरोध का अक्षीय क्षण या झुकने में प्रतिरोध का क्षण कहा जाता है।

किसी अक्ष के परितः किसी खंड के जड़त्व आघूर्ण और इस अक्ष से खंड के सबसे दूर बिंदु तक की दूरी के अनुपात को कहा जाता है प्रतिरोध का अक्षीय क्षण:

प्रतिरोध के क्षण का आयाम मिमी 3, सेमी 3 है।

सबसे सामान्य सरल खंडों की जड़ता के क्षण और प्रतिरोध के क्षण तालिका में दिए गए सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। 3.

रोल्ड स्टील बीम (आई-बीम, चैनल बीम, एंगल बीम इत्यादि) के लिए, जड़ता के क्षण और प्रतिरोध के क्षण रोल्ड स्टील के वर्गीकरण की तालिकाओं में दिए गए हैं, जहां, आयामों के अलावा, क्रॉस- अनुभागीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण केंद्रों की स्थिति और अन्य विशेषताएँ दी गई हैं।

अंत में, हम अवधारणा का परिचय देते हैं आवर्तन का अर्ध व्यासनिर्देशांक अक्षों के सापेक्ष अनुभाग एक्सऔर पर - मैं एक्सऔर मैं yजो क्रमशः निम्नलिखित सूत्रों द्वारा निर्धारित किये जाते हैं।

मुख्य अक्ष -ये वे अक्ष हैं जिनके संबंध में जड़ता के अक्षीय क्षण चरम मान लेते हैं: न्यूनतम और अधिकतम।

जड़त्व के प्रमुख केंद्रीय क्षणों की गणना गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाली प्रमुख अक्षों के संबंध में की जाती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1किसी समतल आकृति के अक्षों के परितः जड़त्व के अक्षीय क्षणों का मान ज्ञात कीजिए ओहऔर कहां(चित्र 25.5)।

समाधान

1. अक्ष के परितः जड़त्व का अक्षीय आघूर्ण ज्ञात कीजिए ओह।हम प्रमुख केंद्रीय क्षणों के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं। हम अनुभाग के जड़त्व के क्षण को एक वृत्त और एक आयत के जड़त्व के क्षणों के बीच के अंतर के रूप में दर्शाते हैं।

एक वृत्त के लिए

आयत के लिए

आयताकार अक्ष के लिए ओहसीटी से नहीं गुजरता. एक अक्ष के परितः एक आयत का जड़त्व आघूर्ण ओह:

जहां ए क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है; ए - धुरियों के बीच की दूरी ओहऔर ओ ओ.

अनुभाग की जड़ता का क्षण

उदाहरण 2अक्ष के परितः अनुभाग की जड़ता का मुख्य केंद्रीय क्षण ज्ञात कीजिए ओह(चित्र 25.6)।

समाधान

1. अनुभाग मानक प्रोफाइल से बना है, जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षण GOST तालिकाओं में दिए गए हैं, परिशिष्ट 1 देखें। GOST 8239-89 के अनुसार आई-बीम नंबर 14 के लिए जोक्स 1 = 572 सेमी 4.

GOST 8240-89 के अनुसार चैनल नंबर 16 के लिए जोक्स 2 = 757 सेमी 4.

क्षेत्रफल ए 2 = 18.1 सेमी 2, जो य 2= 63.3 सेमी 4 .

2. अक्ष के सापेक्ष चैनल के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का निर्देशांक निर्धारित करें ओह।किसी दिए गए अनुभाग में, चैनल को घुमाया और उठाया जाता है। इस मामले में, मुख्य केंद्रीय अक्षों ने स्थान बदल दिए हैं।

वाई 2 = (एच 1/2) + डी2-ज़ो 2 , GOST के अनुसार हम पाते हैं एच 1 = 14 सेमी; डी2= 5 मिमी; z o = 1.8 सेमी.

अनुभाग की जड़ता का क्षण चैनलों की जड़ता के क्षणों और अक्ष के बारे में आई-बीम के योग के बराबर है ओह।हम समानांतर अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षणों के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस मामले में

उदाहरण 3किसी दिए गए खंड के लिए (चित्र 2.45), जड़त्व के मुख्य केंद्रीय क्षणों की गणना करें।

समाधान

अनुभाग में समरूपता के दो अक्ष हैं, जो इसके मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं।

हम अनुभाग को दो सरल आकृतियों में विभाजित करते हैं: एक आयत ( मैं) और दो वृत्त (द्वितीय).

अक्ष के परितः अनुभाग की जड़ता का क्षण एक्स

एक्सिस एक्स(अनुभाग का केंद्रीय अक्ष) वृत्त का केंद्रीय अक्ष नहीं है। अतः वृत्त के जड़त्व आघूर्ण की गणना सूत्र द्वारा की जानी चाहिए

मूल्यों को प्रतिस्थापित करना जे एक्स '' , ए, F" सूत्र में, हमें मिलता है

एक्सिस परआयत और वृत्त का केंद्र है. इस तरह,

उदाहरण 4किसी दिए गए खंड के लिए (चित्र 2.46), मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करें और जड़त्व के मुख्य केंद्रीय क्षणों की गणना करें।

समाधान

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ओए अक्ष पर स्थित है, क्योंकि यह अनुभाग की समरूपता की धुरी है। अनुभाग को दो आयतों में विभाजित करना मैं(160 x 100) और द्वितीय(140 x 80) और लघु अक्ष का चयन करें और, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का समन्वय निर्धारित करें वि0सूत्र के अनुसार

कुल्हाड़ियों ओहऔर कहां- अनुभाग के मुख्य केंद्रीय अक्ष ( कहां- समरूपता की धुरी, अक्ष ओहअनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है और लंबवत है ओयू)।

अनुभाग की जड़ता के मुख्य क्षणों की गणना करें जे एक्सऔर जय:

y-अक्ष आयतों के लिए केंद्रीय अक्ष है 1 और 11. इस तरह,

समाधान की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप अनुभाग को दूसरे तरीके से आयतों में विभाजित कर सकते हैं और पुनः गणना कर सकते हैं। परिणामों का संयोग उनकी सत्यता की पुष्टि करेगा।

उदाहरण 5खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणों की गणना करें (चित्र 2.47)।

समाधान

अनुभाग में समरूपता के दो अक्ष हैं, जो इसके मुख्य केंद्रीय अक्ष हैं।

अनुभाग को दो आयतों में विभाजित करें ब*ह= 140 x 8 और दो रोल्ड चैनल। हमारे पास तालिका GOST 8240-72 से चैनल संख्या 16 के लिए है जे एक्स 1 = जे एक्स = 747 सेमी 4; जे वाई 1 = 63, 3 सेमी 9, एफ1= 18.1 सेमी 2, र् 0= 1.8 सेमी.

जे एक्स और जे वाई की गणना करें:

उदाहरण 6मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करें और किसी दिए गए खंड की जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षणों की गणना करें (चित्र 2.48)।

समाधान

हम दिए गए अनुभाग को रोल्ड प्रोफाइल में विभाजित करते हैं: चैनल मैंऔर दो आई-बीम द्वितीय.हम चैनल और आई-बीम की ज्यामितीय विशेषताओं को रोल्ड स्टील GOST 8240-72 और GOST 8239 - 72 की तालिकाओं से लेते हैं।

चैनल नंबर 20 के लिए जेएक्सएल = 113 सेमी 4 (तालिका में जे); जे 1 = 1520 सेमी 4 (तालिका में जेएक्स); एफ1= 23.4 सेमी 2; जी 0 = 2.07 सेमी.

आई-बीम नंबर 18 के लिए जे एक्स 2= 1330 सेमी 4 (तालिका जे एक्स में); ज्य 2= 94.6 सेमी 4 (तालिका जे वाई में); एफ 2 = 23.8 सेमी2.

मुख्य अक्षों में से एक समरूपता का अक्ष है कहां, एक और प्रमुख धुरी ओहपहले के लंबवत खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है।

द्वितीयक अक्ष चुनना औरऔर निर्देशांक निर्धारित करें वि0:

कहाँ v1= 180 + 20.7 = 200.7 मिमी और वी 2= 180/2 = 90 मिमी. गणना जे एक्सऔर जेपर:

प्रश्नों और कार्यों पर नियंत्रण रखें

1. ठोस शाफ्ट का व्यास 2 गुना बढ़ा दिया गया। जड़त्व के अक्षीय क्षण कितनी बार बढ़ेंगे?

2. अनुभाग के अक्षीय क्षण क्रमशः बराबर हैं जे एक्स = 2.5 मिमी 4 और जे य = 6.5 मिमी. अनुभाग का ध्रुवीय क्षण निर्धारित करें।

3. अक्ष के परितः वलय की जड़ता का अक्षीय आघूर्ण ओह जे एक्स = 4 सेमी 4 . मूल्य निर्धारित करें जे पी.

4. किस मामले में जे एक्ससबसे छोटा (चित्र 25.7)?

5.निम्नलिखित में से निर्धारण का सूत्र कौन सा है जे एक्सचित्र में दिखाए गए अनुभाग के लिए उपयुक्त। 25.8?

6. मुख्य केंद्रीय अक्ष के सापेक्ष चैनल संख्या 10 की जड़ता का क्षण जेएक्सक्यू= 174 सेमी 4; क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र 10.9 सेमी 2।

चैनल के आधार से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का अक्षीय क्षण निर्धारित करें (चित्र 25.9)।

7. दो खंडों के ध्रुवीय जड़त्व आघूर्णों की तुलना करें जिनका क्षेत्रफल लगभग समान है (चित्र 25.10)।

8. अक्ष के परितः जड़त्व के अक्षीय क्षणों की तुलना करें ओहसमान क्षेत्रफल वाले आयत और वर्ग (चित्र 25.11)।

जड़त्व के प्रमुख अक्ष और जड़त्व के प्रमुख क्षण।

जब कोण बदलता है, तो Ix1, Iy1 और Ix1y1 के मान बदल जाते हैं। उस कोण का मान ज्ञात करें जिस पर Ix1 और Iy1 का चरम मान है; ऐसा करने के लिए, हम Ix1 या Iy1 के संबंध में पहला व्युत्पन्न लेते हैं और इसे शून्य के बराबर सेट करते हैं: या जहां से (1.28)

यह सूत्र दो अक्षों की स्थिति निर्धारित करता है, जिनमें से एक के सापेक्ष जड़त्व का अक्षीय क्षण अधिकतम है, और दूसरे के सापेक्ष यह न्यूनतम है।

ऐसे अक्षों को प्रधान अक्ष कहा जाता है। मुख्य अक्षों के परितः जड़त्व के क्षणों को प्रमुख जड़त्व के क्षण कहा जाता है।

हम दोहरे कोणों के कार्यों के लिए ज्ञात त्रिकोणमिति सूत्रों का उपयोग करते हुए, सूत्र (1.23) और (1.24) से जड़त्व के मुख्य क्षणों के मान पाते हैं, उन्हें सूत्र (1.28) से प्रतिस्थापित करते हैं।

परिवर्तनों के बाद, हमें जड़ता के मुख्य क्षणों को निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: (1.29)

दूसरे व्युत्पन्न की जांच करके, यह स्थापित किया जा सकता है कि इस मामले के लिए (Ix< Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र से गुजरने वाली मुख्य अक्षों को मुख्य केंद्रीय अक्ष कहा जाता है।

कई मामलों में, मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति तुरंत निर्धारित करना संभव है। यदि आकृति में समरूपता की धुरी है, तो यह मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक है, दूसरा पहले के लंबवत खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरता है। पूर्वगामी इस तथ्य से अनुसरण करता है कि समरूपता की धुरी और इसके लंबवत किसी भी धुरी के संबंध में, जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण शून्य के बराबर है।

यदि खंड की जड़ता के दो मुख्य केंद्रीय क्षण एक दूसरे के बराबर हैं, तो इस खंड के लिए कोई भी केंद्रीय अक्ष मुख्य है, और जड़ता के सभी मुख्य केंद्रीय क्षण समान हैं (वृत्त, वर्ग, षट्भुज, समबाहु षट्भुज) .

9. अनुभागों की बुनियादी ज्यामितीय विशेषताएँ

यहाँ: सी- समतल खंडों का गुरुत्वाकर्षण केंद्र;

ए- संकर अनुभागीय क्षेत्र;

मैं एक्स , मैं य- मुख्य अक्षों के सापेक्ष अनुभाग की जड़ता के अक्षीय क्षण;

मैं क्सी , मैं यी- सहायक अक्षों के सापेक्ष जड़ता के अक्षीय क्षण;

मैं पी- अनुभाग की जड़ता का ध्रुवीय क्षण;

डब्ल्यू एक्स , डब्ल्यू य- प्रतिरोध के अक्षीय क्षण;

डब्ल्यू पी- प्रतिरोध का ध्रुवीय क्षण

आयताकार खंड

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्रॉस सेक्शन

10. शरीर पर कार्य करने वाले मुख्य प्रकार के बल। केंद्र के बारे में बल का क्षण. क्षण गुण.

यांत्रिक समस्याओं पर विचार करते समय, पिंडों पर कार्य करने वाली अधिकांश शक्तियों को तीन मुख्य प्रकारों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है:

गुरुत्वाकर्षण बल;

घर्षण बल;

लोचदार बल.

हमारे आस-पास के सभी पिंड पृथ्वी की ओर आकर्षित होते हैं, यह सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण की शक्तियों की क्रिया के कारण होता है। यदि हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं, तो हम पहले से ही जानते हैं कि सभी पिंड एक ही त्वरण के साथ पृथ्वी पर गिरते हैं - मुक्त गिरावट का त्वरण।

किसी भी वस्तु की तरह, स्प्रिंग पर लटका हुआ पिंड पृथ्वी के आकर्षण के कारण नीचे गिर जाता है, लेकिन जब स्प्रिंग एक निश्चित लंबाई तक खिंच जाता है, तो पिंड रुक जाता है, यानी वह यांत्रिक संतुलन की स्थिति में आ जाता है। हम पहले से ही जानते हैं कि यांत्रिक संतुलन तब होता है जब शरीर पर कार्य करने वाले बलों का योग शून्य होता है। इसका मतलब यह है कि भार पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को स्प्रिंग की तरफ से लगने वाले किसी बल के साथ संतुलित होना चाहिए। गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध निर्देशित और स्प्रिंग की ओर से कार्य करने वाले इस बल को लोचदार बल कहा जाता है।

एक निश्चित दूरी पार करने के बाद पिंड रुक जाता है, पिंड की गति प्रारंभिक मान से घटकर शून्य हो जाती है, अर्थात पिंड का त्वरण ऋणात्मक मान होता है। परिणामस्वरूप, सतह की ओर से पिंड पर एक बल कार्य करता है, जो इस पिंड को रोकने की प्रवृत्ति रखता है, अर्थात यह इसकी गति के विरुद्ध कार्य करता है। इस बल को घर्षण बल कहते हैं।

केंद्र (बिंदु) के बारे में बल का क्षण.

बल का क्षण एफकेंद्र के सापेक्ष (बिंदु) के बारे मेंवेक्टर कहा जाता है एम हे (एफ)बराबर वेक्टर उत्पादवेक्टर त्रिज्या आरकेंद्र से खींचा गया के बारे मेंबिल्कुल एबल वेक्टर पर बल अनुप्रयोग एफ:

जहां कंधा h केंद्र से गिराया गया एक लंबवत है के बारे मेंबल की रेखा F पर.

पल एम हे (एफ)केंद्र (बिंदु) के बारे में बल F के घूर्णी प्रभाव को दर्शाता है के बारे में.

बल के क्षण के गुण:

1. केंद्र के बारे में बल का क्षण बदलना मतशक्ति स्थानांतरित करते समय कार्रवाई की रेखा के साथकिसी भी बिंदु पर;

2. यदि कार्रवाई की रेखाबल गुजरता है केंद्र के माध्यम से के बारे में(h = 0), फिर केंद्र के बारे में बल का क्षण के बारे में शून्य.

वे अक्ष जिनके बारे में केन्द्रापसारक जड़त्व आघूर्ण शून्य है, प्रमुख कहलाते हैं, और इन अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षण जड़त्व के प्रमुख आघूर्ण कहलाते हैं।

आइए ज्ञात त्रिकोणमितीय संबंधों को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.18) को फिर से लिखें:

;

इस रूप में

मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम एक बार प्राप्त होने पर कोण α के संबंध में समानता (2.21) को अलग करते हैं

कोण के एक निश्चित मान पर α=α 0, जड़त्व का केन्द्रापसारक क्षण शून्य हो सकता है. इसलिए, व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए ( वी), जड़ता का अक्षीय क्षण अत्यधिक मान ले लेगा। बराबरी करना

,

हम जड़त्व के मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए एक सूत्र इस प्रकार प्राप्त करते हैं:

(2.22)

सूत्र (2.21) में, हम कोष्ठक से cos2 निकालते हैं α 0 और वहां मान (2.22) प्रतिस्थापित करें और, सुप्रसिद्ध त्रिकोणमितीय निर्भरता को ध्यान में रखते हुए हम पाते हैं:

सरलीकरण के बाद, हम अंततः जड़ता के मुख्य क्षणों के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं:

(2.23)

मुख्य अक्षों के बारे में जड़त्व के क्षण निर्धारित करने के लिए सूत्र (20.1) का उपयोग किया जाता है। सूत्र (2.22) इस प्रश्न का सीधा उत्तर नहीं देता है कि किस अक्ष पर जड़त्व आघूर्ण अधिकतम या न्यूनतम होगा। समतल तनाव स्थिति का अध्ययन करने के सिद्धांत के अनुरूप, हम जड़त्व के प्रमुख अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्र प्रस्तुत करते हैं:

(2.24)

यहां α 1 और α 2 अक्षों की स्थिति निर्धारित करते हैं, जिनके सापेक्ष जड़त्व के क्षण क्रमशः बराबर होते हैं जे 1 और जे 2. इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोणों के मॉड्यूल का योग α 01 और α 02 को π/2 के बराबर होना चाहिए:

स्थिति (2.24) एक समतल खंड के जड़त्व के प्रमुख अक्षों के लिए ऑर्थोगोनलिटी स्थिति है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जड़ता के मुख्य अक्षों की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्र (2.22) और (2.24) का उपयोग करते समय, निम्नलिखित पैटर्न देखा जाना चाहिए:

मुख्य अक्ष, जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होता है, मूल अक्ष के साथ सबसे छोटा कोण बनाता है, जिसके सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है।

उदाहरण 2.2.

मुख्य केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष बीम के समतल खंडों की ज्यामितीय विशेषताएं निर्धारित करें:

समाधान

प्रस्तावित अनुभाग असममित है. इसलिए, केंद्रीय अक्षों की स्थिति दो निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जाएगी, मुख्य केंद्रीय अक्षों को एक निश्चित कोण पर केंद्रीय अक्षों के सापेक्ष घुमाया जाएगा। इसका तात्पर्य मुख्य ज्यामितीय विशेषताओं को निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए ऐसे एल्गोरिदम से है।

1. हम अनुभाग को अपने स्वयं के केंद्रीय अक्षों के बारे में ऐसे क्षेत्रों और जड़ता के क्षणों के साथ दो आयतों में विभाजित करते हैं:

एफ 1 = 12 सेमी 2, एफ 2 = 18 सेमी 2;

2. हम सहायक अक्षों की प्रणाली निर्धारित करते हैं एक्स 0 पर 0 बिंदु से प्रारंभ ए. अक्षों की इस प्रणाली में आयतों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

एक्स 1 =4 सेमी; एक्स 2 =1 सेमी; पर 1 = 1.5 सेमी; पर 2 = 4.5 सेमी.

3. सूत्र (2.4) के अनुसार अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें:

हम केंद्रीय अक्षों को लागू करते हैं (चित्र 2.9 में लाल रंग में)।

4. हम केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़त्व के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षणों की गणना करते हैं एक्सऔर साथ परसी सूत्रों के अनुसार (2.13) जैसा कि समग्र अनुभाग पर लागू होता है:

5. हम सूत्र (2.23) के अनुसार जड़त्व के मुख्य क्षण ज्ञात करते हैं

6. जड़त्व के मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति निर्धारित करें एक्सऔर परसूत्र द्वारा (2.24):

मुख्य केंद्रीय अक्षों को (चित्र 2.9) नीले रंग में दिखाया गया है।

7. आइए निष्पादित गणनाओं की जाँच करें। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित गणनाएँ करेंगे:

मुख्य केंद्रीय और केंद्रीय अक्षों के बारे में जड़ता के अक्षीय क्षणों का योग समान होना चाहिए:

कोणों के मॉड्यूल का योग α एक्सऔर α हाँ,, मुख्य केंद्रीय अक्षों की स्थिति को परिभाषित करना:

इसके अलावा, प्रावधान है कि मुख्य केंद्रीय अक्ष एक्स, जिसके सापेक्ष जड़ता का क्षण जे एक्सइसका अधिकतम मान होता है, उस केंद्रीय अक्ष के साथ एक छोटा कोण बनाता है, जिसके सापेक्ष जड़ता का क्षण अधिक होता है, अर्थात। धुरी के साथ एक्ससाथ।