தோற்றத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் சூத்திரம். தோற்றத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் (குறுகியமானது). ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

இந்த கட்டுரையில், ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தின் வரையறையை நாங்கள் வழங்குவோம், மேலும் முப்பரிமாண இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் ஒருங்கிணைப்பு முறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம். கோட்பாட்டின் விளக்கக்காட்சிக்குப் பிறகு, பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களின் தீர்வுகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் ஒரு வரையறை.

ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி, மற்றொன்று கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் மீது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் திட்டமாகும்.

முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு புள்ளி M 1 மற்றும் ஒரு விமானம் கொடுக்கப்பட வேண்டும். விமானத்திற்கு செங்குத்தாக, புள்ளி M 1 வழியாக ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைவோம். கோடு a மற்றும் விமானம் வெட்டும் புள்ளியை H 1 எனக் குறிப்போம். பிரிவு M 1 H 1 என்று அழைக்கப்படுகிறது செங்குத்தாக, புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது , மற்றும் புள்ளி H 1 - செங்குத்தாக அடித்தளம்.

வரையறை.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்பட்ட ஒரு புள்ளியில் இருந்து அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரம்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தின் வரையறை பின்வரும் வடிவத்தில் மிகவும் பொதுவானது.

வரையறை.

புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்ட நீளம்.

இந்த வழியில் தீர்மானிக்கப்படும் புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் உள்ள தூரங்களில் மிகச் சிறியது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். உண்மையில், புள்ளி H 2 விமானத்தில் இருக்கட்டும் மற்றும் H 1 புள்ளியிலிருந்து வேறுபட்டதாக இருக்கட்டும். வெளிப்படையாக, முக்கோணம் M 2 H 1 H 2 செவ்வகமானது, அதில் M 1 H 1 ஒரு கால், மற்றும் M 1 H 2 என்பது ஹைபோடென்யூஸ், எனவே, . மூலம், பிரிவு M 1 H 2 என்று அழைக்கப்படுகிறது சாய்ந்தபுள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கு வரையப்பட்டது. எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்டது, அதே புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட சாய்ந்ததை விட எப்போதும் குறைவாக இருக்கும்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் - கோட்பாடு, எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள்.

தீர்வின் சில கட்டத்தில் சில வடிவியல் சிக்கல்களுக்கு ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். இதற்கான முறை ஆதாரத் தரவைப் பொறுத்து தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, இதன் விளைவாக பித்தகோரியன் தேற்றம் அல்லது முக்கோணங்களின் சமத்துவம் மற்றும் ஒற்றுமையின் அறிகுறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், ஒருங்கிணைப்பு முறை மீட்புக்கு வருகிறது. கட்டுரையின் இந்த பத்தியில், நாம் அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முதலில், சிக்கலின் நிலையை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் Oxyz முப்பரிமாண இடத்தில், ஒரு புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது , விமானம் மற்றும் புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க இரண்டு வழிகளைப் பார்ப்போம். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் முதல் முறை, புள்ளி H 1 இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது - செங்குத்தாக அடிப்பகுதி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கு கைவிடப்பட்டது, பின்னர் இடையே உள்ள தூரத்தைக் கணக்கிடுகிறது. புள்ளிகள் M 1 மற்றும் H 1 . கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான இரண்டாவது வழி, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கான சாதாரண சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதாகும்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான முதல் வழி விமானத்திற்கு.

புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தாக H 1 ஆக இருக்கட்டும். புள்ளி H 1 இன் ஆயங்களை நாம் தீர்மானித்தால், புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கு தேவையான தூரத்தை புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரமாக கணக்கிடலாம். மற்றும் சூத்திரத்தின் படி. எனவே, புள்ளி H 1 இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய இது உள்ளது.

அதனால், ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறை விமானம் வரைஅடுத்தது:

இரண்டாவது முறை, ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிய ஏற்றது விமானத்திற்கு.

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxyz இல் எங்களுக்கு ஒரு விமானம் வழங்கப்படுவதால், விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டை வடிவத்தில் பெறலாம். பின்னர் புள்ளியில் இருந்து தூரம் விமானம் என்பது சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான இந்த சூத்திரத்தின் செல்லுபடியாகும் தன்மை பின்வரும் தேற்றத்தால் நிறுவப்பட்டுள்ளது.

தேற்றம்.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxyz ஆனது முப்பரிமாண இடத்தில், ஒரு புள்ளியில் நிலையாக இருக்கட்டும் மற்றும் வடிவத்தின் விமானத்தின் இயல்பான சமன்பாடு. புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம், விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் மதிப்பின் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது .

ஆதாரம்.

இந்த தேற்றத்தின் ஆதாரம், ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறிதல் என்ற பிரிவில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள ஒத்த தேற்றத்தின் ஆதாரத்துடன் முற்றிலும் ஒத்திருக்கிறது.

புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம் எண் ப்ரொஜெக்ஷன் M 1 மற்றும் தோற்றத்திலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்திற்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமம் என்பதைக் காண்பிப்பது எளிது, அதாவது, , எங்கே - விமானத்தின் சாதாரண திசையன் , ஒன்றுக்கு சமம், - திசையன் தீர்மானிக்கும் திசையில்.

மற்றும் வரையறையின்படி, ஆனால் ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் உள்ளது. எனவே, மற்றும் நிரூபிக்க வேண்டும்.

இந்த வழியில், புள்ளியிலிருந்து தூரம் விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் x, y மற்றும் z க்கு பதிலாக M 1 புள்ளியின் x 1, y 1 மற்றும் z 1 ஆயங்களை மாற்றி, பெறப்பட்ட மதிப்பின் முழுமையான மதிப்பை எடுத்துக்கொண்டு விமானத்தை கணக்கிடலாம். .

ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் விமானத்திற்கு.

உதாரணமாக.

புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறியவும் விமானத்திற்கு.

தீர்வு.

முதல் வழி.

சிக்கலின் நிலையில், வடிவத்தின் விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு எங்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது, அதில் இருந்து அதைக் காணலாம் இந்த விமானத்தின் சாதாரண திசையன். இந்த திசையன் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். பின்னர் புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விண்வெளியில் ஒரு நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளை எழுதலாம் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு திசை திசையன் உள்ளது, அவை போல் இருக்கும்.

கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிக்க ஆரம்பிக்கலாம் மற்றும் விமானங்கள். அதை H 1 என்று குறிப்போம். இதைச் செய்ய, நாம் முதலில் நேர் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளிலிருந்து இரண்டு வெட்டும் விமானங்களின் சமன்பாடுகளுக்கு மாறுகிறோம்:

இப்போது சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்போம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). நாம் பயன்படுத்த:

இந்த வழியில், .

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு தேவையான தூரத்தை புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரமாகக் கணக்கிட இது உள்ளது மற்றும்:
.

இரண்டாவது தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். இதைச் செய்ய, விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். இயல்பாக்கும் காரணியை தீர்மானித்த பிறகு , விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிட இது உள்ளது மற்றும் பெறப்பட்ட மதிப்பின் தொகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் - இது புள்ளியிலிருந்து விரும்பிய தூரத்தை கொடுக்கும் விமானத்திற்கு:

எனவே இந்தப் பக்கத்தில் ஒன்றைப் படித்தேன் (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

இதில் vP1 என்பது விமானத்தில் ஒரு புள்ளி மற்றும் vNormal என்பது விமானத்திற்கு இயல்பானது. இதன் விளைவாக எப்போதும் 0 ஆக இருக்கும் என்பதால் இது உங்களுக்கு உலகின் தொடக்கத்திலிருந்து தூரத்தை எப்படிக் கொடுக்கிறது என்று எனக்கு ஆர்வமாக உள்ளது. மேலும், தெளிவாக இருக்க வேண்டும் (2D சமன்பாட்டின் D பகுதியில் நான் இன்னும் கொஞ்சம் மங்கலாக இருப்பதால்), d 2டி சமன்பாட்டில் விமானம் தொடங்குவதற்கு முன் கோட்டிலிருந்து உலகின் ஆரம்பம் வரை உள்ள தூரம்?

கணிதம்

3 பதில்கள்

6

பொதுவாக, ஒரு புள்ளி p மற்றும் ஒரு விமானம் இடையே உள்ள தூரத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும்

எங்கே -டாட் தயாரிப்பு செயல்பாடு

= ax*bx + ay*by + az*bz

மற்றும் p0 என்பது விமானத்தில் ஒரு புள்ளியாகும்.

n அலகு நீளத்தைக் கொண்டிருந்தால், வெக்டருக்கு இடையே உள்ள புள்ளிப் பெருக்கமும், அது இயல்பை நோக்கிய திசையன் ப்ரொஜெக்ஷனின் (கையொப்பமிடப்பட்ட) நீளமாகும்.

நீங்கள் புகாரளிக்கும் சூத்திரம் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், அங்கு p புள்ளியின் தோற்றம். இந்த வழக்கில்

தூரம் = = -

இந்த சமத்துவம் தொழில்நுட்ப ரீதியாக தவறானது, ஏனெனில் புள்ளி தயாரிப்பு திசையன்களைப் பற்றியது, புள்ளிகள் அல்ல... ஆனால் இன்னும் எண்ணியல் ரீதியாக உள்ளது. ஒரு வெளிப்படையான சூத்திரத்தை எழுதுவதன் மூலம், நீங்கள் இதைப் பெறுவீர்கள்

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

அது அதே தான்

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

முடிவு எப்போதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது. விமானம் தோற்றம் வழியாக சென்றால் மட்டுமே முடிவு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். (இங்கே, விமானம் தோற்றம் வழியாக செல்லவில்லை என்று வைத்துக்கொள்வோம்.)

அடிப்படையில், விமானத்தின் மூலத்திலிருந்து சில புள்ளி வரை உங்களுக்கு ஒரு கோடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (அதாவது உங்களிடம் தோற்றத்திலிருந்து vP1 வரை ஒரு திசையன் உள்ளது). இந்த வெக்டரில் உள்ள சிக்கல் என்னவென்றால், அது பெரும்பாலும் வளைந்திருக்கும் மற்றும் விமானத்தின் அருகிலுள்ள புள்ளியை விட, விமானத்தில் ஏதேனும் தொலைதூர இடத்திற்குச் செல்கிறது. எனவே நீங்கள் vP1 நீளத்தை எடுத்துக் கொண்டால், நீங்கள் அதிக தூரத்தைப் பெறுவீர்கள்.

நீங்கள் செய்ய வேண்டியது, விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் என்று உங்களுக்குத் தெரிந்த சில வெக்டரில் vP1 இன் ப்ரொஜெக்ஷனைப் பெற வேண்டும். நிச்சயமாக, இது இயல்பானது. எனவே vP1 மற்றும் vNormal இன் புள்ளித் தயாரிப்பை எடுத்து, அதை vNormal இன் நீளத்தால் வகுத்தால், உங்கள் பதில் கிடைக்கும். (ஏற்கனவே ஒரு அளவுள்ள vNormal ஐ உங்களுக்கு வழங்கும் அளவுக்கு அவர்கள் தயவாக இருந்தால், பிரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.)

1

Lagrange பெருக்கிகள் மூலம் இந்த சிக்கலை நீங்கள் தீர்க்கலாம்:

விமானத்தின் அருகிலுள்ள புள்ளி இப்படி இருக்க வேண்டும் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும்:

C=p+v

c என்பது அருகில் உள்ள புள்ளி மற்றும் v என்பது விமானத்தில் உள்ள ஒரு திசையன் ஆகும் (இது சாதாரணமாக n க்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும்). மிகச்சிறிய விதிமுறையுடன் (அல்லது ஸ்கொயர் நெறி) c ஐக் கண்டறிய முயற்சிக்கிறீர்கள். எனவே v என்பது nக்கு ஆர்த்தோகனலாக இருக்கும் வரை டாட்(c,c) ஐ குறைக்க முயற்சிக்கிறீர்கள் (இதனால் dot(v,n) = 0).

இவ்வாறு, லாக்ராஞ்சியனை அமைக்கவும்:

L = dot(c,c) + lambda * (dot(v,n)) L = dot(p+v,p+v) + lambda * (dot(v,n)) L = dot(p,p) + 2*dot(p,v) + dot(v,v) * lambda * (dot(v,n))

மேலும் பெற, v (மற்றும் 0 என அமைக்கவும்) பொறுத்து வழித்தோன்றலை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

மேலே உள்ள சமன்பாட்டில் உள்ள லாம்ப்டாவை புள்ளியிடுவதன் மூலம் நீங்கள் தீர்க்கலாம், பெறுவதற்கு n இல் இரு பக்கங்களையும் உருவாக்கவும்

2 * டாட்(p,n) + 2 * டாட்(v,n) + லாம்ப்டா * டாட்(n,n) = 0 2 * டாட்(p,n) + லாம்ப்டா = 0 லாம்ப்டா = - 2 * டாட்(p,n ))

புள்ளி(n,n) = 1 மற்றும் புள்ளி(v,n) = 0 (v என்பது விமானத்தில் இருப்பதால் n அதற்கு ஆர்த்தோகனல்) என்பதை மீண்டும் கவனியுங்கள். மாற்று லாம்ப்டா பின்னர் பெற திரும்புகிறது:

2 * p + 2 * v - 2 * dot(p,n) * n = 0

மற்றும் v பெறுவதற்கான தீர்வு:

V = புள்ளி(p,n) * n - p

பின் அதை மீண்டும் c = p + v இல் செருகவும்:

C = dot(p,n) * n

இந்த வெக்டரின் நீளம் |dot(p,n)| , மற்றும் புள்ளியானது தோற்றத்தில் இருந்து சாதாரண திசையன் திசையில் உள்ளதா அல்லது தோற்றத்திலிருந்து எதிர் திசையில் உள்ளதா என்பதை அடையாளம் சொல்கிறது.

விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விமானத்திலிருந்து தோற்றத்திற்கு குறுகிய தூரம்

என்னிடம் ax+by+cz=d என்ற விமானச் சமன்பாடு உள்ளது என வைத்துக்கொள்வோம், விமானத்திலிருந்து தோற்றம் வரை மிகக் குறுகிய தூரத்தை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது? நான் இந்தப் பதிவிலிருந்து பின்னோக்கிச் செல்கிறேன். இந்த பதிவில் அவர்கள்...

Kinect ஆழமான படம் தோற்றத்திற்கான தூரத்தை அல்லது XY விமானத்திற்கான தூரத்தை குறிக்கிறதா?

Kinect (0,0,0) இல் அமர்ந்து +Z திசையில் பார்க்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். (1, 1, 1) இல் ஒரு பொருள் இருப்பதாகவும், Kinect ஆழமான படத்தில் உள்ள பிக்சல்களில் ஒன்று அந்தப் பொருளைக் குறிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்....

ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி வரையிலான தூரம்

இரண்டு ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட டேட்டாஃப்ரேம் மூலம் புள்ளிகள் கொடுக்கப்படும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் தொடக்கத்திலிருந்து தூரத்தை சமப்படுத்த விரும்புகிறேன். என்னிடம் எல்லா புள்ளிகளும் உள்ளன: x y 1 0.0 0.0 2 -4.0 -2.8 3 -7.0 -6.5 4 -9.0 -11.1...

கோள ஆயங்கள் - விமானத்திற்கான தூரம்

பின்னணி இங்கே காட்டப்பட்டுள்ளதைப் போன்ற ஒரு கோள ஆய அமைப்பைக் கவனியுங்கள்: ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளிக்கு, நாங்கள்...

முன்னோக்கு ப்ரொஜெக்ஷனுக்கு அருகிலுள்ள கிளிப் பிளேன் தூரத்தை முறையாகத் தேர்ந்தெடுப்பது எப்படி?

என்னிடம் 3D காட்சியும், gluPerspective மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட கேமராவும் உள்ளது. என்னிடம் நிலையான FOV உள்ளது மற்றும் கேமராவிலிருந்து எந்த வடிவவியலின் குறைந்தபட்ச தூரத்தையும் நான் அறிவேன் (இது முதல் நபர் பார்வை, எனவே இது...

3டியில் புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கு தூரத்தை எப்படிப் பெறுவது?

என்னிடம் A, B, C புள்ளிகளுடன் ஒரு முக்கோணமும் விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியும் (P) உள்ளது. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை நான் எப்படிப் பெறுவது? P இலிருந்து விமானத்திற்கான தூரத்தை நான் கணக்கிட வேண்டும், என்...

ஒரு சிஜி புள்ளியை சுழற்றுவது மூலத்திலிருந்து தூரத்தை மாற்றுகிறது

நான் மற்றொரு CGPoint (நீல செவ்வகம்) சுற்றி ஒரு CGPoint (சிவப்பு செவ்வகம்) சுழற்ற வேண்டும் ஆனால் அது தோற்றம் (நீல செவ்வகம்) இருந்து தூரத்தை மாற்றுகிறது...நான் மூலையில் 270 கொடுக்க போது அது உருவாக்கும்...

விமான மையம் X, Y, Z, கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளைப் பெறுங்கள்

நான் விமானம் X, Y, Z, கார்ட்டீசியன் ஆயங்களின் மையத்தைப் பெற வேண்டும். விமானத்தின் நார்மல் மற்றும் அதன் மையப் புள்ளியிலிருந்து தோற்றம் வரையிலான தூரம் என்னிடம் உள்ளது. நான் எங்கும் புள்ளி(களை) வைக்க முடியும் மற்றும்...

ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் ஒரு விமானத்திற்கான தூரம்

கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: புள்ளி (x1, y1, z1) திசை திசையன் (a1, b1, c1) விமானம் ax + by + cz + d = 0 இந்த திசையன் வழியாக புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கு D ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? நன்றி

ஒரு விமானத்தை மற்றொரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாக மாற்றுதல்

சுழற்சி அணி R மற்றும் உலக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய மொழிபெயர்ப்பு T ஆகியவற்றால் வரையறுக்கப்பட்ட கேமரா ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு என்னிடம் உள்ளது. ஒரு விமானம் கேமரா ஒருங்கிணைப்புகளில் ஒரு சாதாரண N மற்றும் அதன் மீது ஒரு புள்ளி P மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரை ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை தீர்மானிப்பது பற்றி பேசுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு முறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம், இது முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும். ஒருங்கிணைக்க, பல பணிகளின் உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு புள்ளிக்கு அறியப்பட்ட தூரத்தின் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது, அவற்றில் ஒன்று கொடுக்கப்பட்டிருக்கும், மற்றொன்று கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் மீது ஒரு திட்டமாகும்.

ஒரு புள்ளி M 1 உடன் ஒரு விமானம் χ விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், அந்த புள்ளியின் வழியாக விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டை வரையலாம். H 1 என்பது அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் பொதுவான புள்ளியாகும். இங்கிருந்து M 1 H 1 என்ற பிரிவு செங்குத்தாக இருப்பதைப் பெறுகிறோம், இது M 1 புள்ளியிலிருந்து விமானம் χ வரை வரையப்பட்டது, அங்கு புள்ளி H 1 என்பது செங்குத்தாக உள்ளது.

வரையறை 1

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் இருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட ஒரு புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக அடிப்பகுதிக்கான தூரத்தை அவர்கள் அழைக்கிறார்கள்.

வரையறையை வெவ்வேறு சூத்திரங்களில் எழுதலாம்.

வரையறை 2

புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்செங்குத்து நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு வரையப்பட்டது.

புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் χ க்கு உள்ள தூரம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் χ க்கு உள்ள தூரம், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து விமானத்தின் எந்தப் புள்ளிக்கும் சிறியதாக இருக்கும். புள்ளி H 2 χ விமானத்தில் அமைந்துள்ளது மற்றும் புள்ளி H 2 க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், M 2 H 1 H 2 வடிவத்தின் வலது முக்கோணத்தைப் பெறுகிறோம். , இது செவ்வகமானது, அங்கு ஒரு கால் M 2 H 1, M 2 H 2 உள்ளது - ஹைப்போடென்யூஸ். எனவே, இது M 1 H 1 என்பதைக் குறிக்கிறது< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 சாய்வாகக் கருதப்படுகிறது, இது புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் χ வரை வரையப்பட்டது. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து ஒரு புள்ளியிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட சாய்ந்ததை விட குறைவாக உள்ளது. கீழே உள்ள படத்தில் இந்த வழக்கைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம் - கோட்பாடு, எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள்

பல வடிவியல் சிக்கல்கள் உள்ளன, அவற்றின் தீர்வுகள் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இதைக் கண்டறிவதற்கான வழிகள் வேறுபட்டிருக்கலாம். தீர்க்க, பித்தகோரியன் தேற்றம் அல்லது முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையைப் பயன்படுத்தவும். நிபந்தனையின் படி, ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை கணக்கிடுவது அவசியம், முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்டால், அவை ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கின்றன. இந்த பத்தி இந்த முறையைக் கையாள்கிறது.

சிக்கலின் நிபந்தனையின்படி, முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) ஆயத்தொலைவுகளுடன் χ விமானத்துடன் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, M 1 இலிருந்து தூரத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். விமானம் χ. தீர்க்க பல தீர்வுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

முதல் வழி

இந்த முறை புள்ளி H 1 இன் ஆயத்தொலைவுகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அவை புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் χ வரை செங்குத்தாக இருக்கும். அடுத்து, நீங்கள் M 1 மற்றும் H 1 இடையே உள்ள தூரத்தை கணக்கிட வேண்டும்.

இரண்டாவது வழியில் சிக்கலைத் தீர்க்க, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரண்டாவது வழி

நிபந்தனையின்படி, எச் 1 என்பது செங்குத்தாக இருக்கும் அடிப்படை, இது புள்ளி M 1 இலிருந்து விமானம் χ க்கு குறைக்கப்பட்டது. பின்னர் H 1 புள்ளியின் ஆயங்களை (x 2, y 2, z 2) தீர்மானிக்கிறோம். M 1 இலிருந்து χ விமானத்திற்கு தேவையான தூரம் M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது, அங்கு M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் H 1 (x 2, y 2, z 2) . தீர்க்க, புள்ளி H 1 இன் ஆயங்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

எச் 1 என்பது விமானம் χ க்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ள புள்ளி M 1 வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டுடன் χ விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும். கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம் என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. அப்போதுதான் H 1 புள்ளியின் ஆயங்களை நாம் தீர்மானிக்க முடியும். கோடு மற்றும் விமானத்தின் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயங்களை கணக்கிடுவது அவசியம்.

M 1 (x 1, y 1, z 1) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளியிலிருந்து χ விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:

வரையறை 3

• ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும் ஒரு புள்ளி M 1 மற்றும் அதே நேரத்தில் கடந்து செல்லும்
• χ விமானத்திற்கு செங்குத்தாக;
• புள்ளிகளான H 1 இன் ஆயத்தொலைவுகளை (x 2, y 2, z 2) கண்டுபிடித்து கணக்கிடவும்
• கோட்டின் குறுக்குவெட்டு a விமானத்துடன் χ ;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி M 1 இலிருந்து χ வரையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடவும்.

மூன்றாவது வழி

கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y z ஒரு விமானம் χ உள்ளது, பின்னர் cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 வடிவத்தின் விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இங்கிருந்து நாம் M 1 H 1 புள்ளியுடன் M 1 (x 1 , y 1 , z 1) விமானத்திற்கு வரையப்பட்ட தூரம் M 1 H 1 = cos x + cos β y + cos சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது γ z-p. இந்த சூத்திரம் செல்லுபடியாகும், ஏனெனில் இது தேற்றத்திற்கு நன்றி நிறுவப்பட்டது.

தேற்றம்

ஒரு புள்ளி M 1 (x 1 , y 1 , z 1) முப்பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், cos α x + cos y + cos γ z - p = 0, வடிவத்தின் χ விமானத்தின் இயல்பான சமன்பாடு பின்னர் புள்ளியில் இருந்து விமானம் M 1 H 1 வரையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுவது M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, x = x 1 , y = y 1 என்ற சூத்திரத்திலிருந்து பெறப்பட்டது , z = z 1 .

ஆதாரம்

தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது. இங்கிருந்து நாம் M 1 இலிருந்து χ விமானத்திற்கான தூரம் என்பது ஆரம் திசையன் M 1 இன் எண் ப்ரொஜெக்ஷனுக்கும், தோற்றத்திலிருந்து χ விமானத்திற்கும் உள்ள தூரத்திற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் ஆகும். பின்னர் எம் 1 எச் 1 = n p n → O M → - p என்ற வெளிப்பாடு கிடைக்கும். விமானம் χ இன் சாதாரண திசையன் வடிவம் n → = cos α , cos β , cos γ , மற்றும் அதன் நீளம் ஒன்றுக்கு சமம், n p n → O M → என்பது திசையன் O M → = (x 1 , y 1 , z 1) திசையன் n → தீர்மானிக்கும் திசையில்.

அளவிடல் திசையன்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். பின்னர் n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , n →, cos α, cos γ = cos α O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . குறியீட்டின் ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, பின்னர் M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos. β · y 1 + cos γ · z 1 - p . தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

புள்ளி M 1 (x 1, y 1, z 1) இலிருந்து விமானம் χ க்கு உள்ள தூரம் cos α x + cos β y + cos என்ற விமானத்தின் சாதாரண சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் மாற்றுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது என்பதை இங்கிருந்து பெறுகிறோம். γ z - p = 0 க்கு பதிலாக x, y, z ஒருங்கிணைப்புகள் x 1 , y 1 மற்றும் z1 M 1 புள்ளியுடன் தொடர்புடையது, பெறப்பட்ட மதிப்பின் முழுமையான மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறது.

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1

புள்ளியிலிருந்து M 1 (5 , - 3 , 10) ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானம் 2 x - y + 5 z - 3 = 0 க்கு தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

பிரச்சனையை இரண்டு வழிகளில் தீர்ப்போம்.

முதல் முறையானது வரியின் திசை வெக்டரைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் தொடங்கும். நிபந்தனையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 என்பது ஒரு பொதுவான விமானச் சமன்பாடு மற்றும் n → \u003d (2, - 1, 5) என்பது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண திசையன். இது கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் a என்ற நேர் கோட்டிற்கு இயக்கும் திசையனாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. M 1 (5, - 3, 10) வழியாகச் செல்லும் இடத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாட்டை 2, - 1, 5 ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு திசை திசையன் மூலம் எழுத வேண்டும்.

சமன்பாடு x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 போல இருக்கும்.

குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் வரையறுக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளை நியதியிலிருந்து இரண்டு வெட்டுக் கோடுகளின் சமன்பாடுகளுக்கு மாற்றுவதற்கான அமைப்பாக மெதுவாக இணைக்கவும். இந்த புள்ளியை H 1 ஆக எடுத்துக்கொள்வோம். நமக்கு அது கிடைக்கும்

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 (y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

பின்னர் நீங்கள் கணினியை இயக்க வேண்டும்

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

காஸின் படி கணினியைத் தீர்ப்பதற்கான விதிக்கு வருவோம்:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

நாம் அந்த H 1 (1, - 1, 0) ஐப் பெறுகிறோம்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். நாங்கள் எம் 1 (5, - 3, 10) மற்றும் எச் 1 (1, - 1, 0) புள்ளிகளை எடுத்து பெறுகிறோம்

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

இரண்டாவது தீர்வு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ஐ சாதாரண வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். நாம் இயல்பாக்கும் காரணியைத் தீர்மானித்து, 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 ஐப் பெறுகிறோம். இங்கிருந்து நாம் 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 என்ற விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 ஐ மாற்றுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் நீங்கள் M 1 (5, - 3, 10) இலிருந்து 2 x - y + வரையிலான தூரத்தை எடுக்க வேண்டும். 5 z - 3 = 0 தொகுதி. நாம் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

பதில்: 2 30 .

விமான வரையறை முறைகள் பிரிவின் முறைகளில் ஒன்றின் மூலம் χ விமானம் வழங்கப்பட்டால், நீங்கள் முதலில் χ விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெற வேண்டும் மற்றும் எந்த முறையைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய தூரத்தைக் கணக்கிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) ஆயத்தொகுதிகள் கொண்ட புள்ளிகள் முப்பரிமாண இடைவெளியில் அமைக்கப்பட்டுள்ளன. M 1 இலிருந்து A B C வரையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை முதலில் M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - ஒன்று) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

சிக்கலுக்கு முந்தையதைப் போன்ற ஒரு தீர்வு உள்ளது என்பதை இது பின்பற்றுகிறது. எனவே, புள்ளி M 1 இலிருந்து A B C விமானத்திற்கான தூரம் 2 30 ஆகும்.

பதில்: 2 30 .

M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஒரு விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து அல்லது அவை இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவது மிகவும் வசதியானது. . விமானங்களின் இயல்பான சமன்பாடுகள் பல படிகளில் பெறப்படுகின்றன என்பதை இங்கிருந்து பெறுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

M 1 (- 3 , 2 , - 7) ஆயத்தொலைவுகளுடன் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து O x y z ஆயத் தளத்திற்கும் 2 y - 5 = 0 சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கும் உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஆய விமானம் O y z x = 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு ஒத்திருக்கிறது. O y z விமானத்தைப் பொறுத்தவரை, இது சாதாரணமானது. எனவே, x \u003d - 3 மதிப்புகளை வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் மாற்றுவது அவசியம் மற்றும் புள்ளியிலிருந்து M 1 (- 3, 2, - 7) ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்திற்கு தூரத்தின் முழுமையான மதிப்பை எடுக்க வேண்டும். . நாம் சமமான மதிப்பைப் பெறுகிறோம் - 3 = 3 .

மாற்றத்திற்குப் பிறகு, 2 y - 5 = 0 என்ற விமானத்தின் இயல்பான சமன்பாடு y - 5 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். பின்னர் M 1 (- 3 , 2 , - 7) ஆயத்தொலைவுகளுடன் புள்ளியில் இருந்து விமானம் 2 y - 5 = 0 க்கு தேவையான தூரத்தைக் கண்டறியலாம். மாற்றீடு மற்றும் கணக்கிடுதல், நாம் 2 - 5 2 = 5 2 - 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

பதில்: M 1 (- 3 , 2 , - 7) இலிருந்து O y z க்கு தேவையான தூரம் 3 க்கும், 2 y - 5 = 0 க்கும் மதிப்பு 5 2 - 2 ஆகும்.

உரையில் பிழை இருப்பதைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்