பெட்டியின் உயரமான ah திசையன் ஆய ஆயங்களைக் கண்டறியவும். திசையன்களின் ஆயங்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. இரு பரிமாண சிக்கல்களுக்கான திசையன்களின் ஆயங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம்

இறுதியாக, நான் ஒரு விரிவான மற்றும் நீண்டகாலமாக எதிர்பார்க்கப்பட்ட தலைப்பில் என் கைகளைப் பெற்றேன் பகுப்பாய்வு வடிவியல். முதலில், உயர் கணிதத்தின் இந்த பகுதியைப் பற்றி கொஞ்சம்…. நிச்சயமாக நீங்கள் இப்போது பல கோட்பாடுகள், அவற்றின் சான்றுகள், வரைபடங்கள் போன்றவற்றைக் கொண்ட பள்ளி வடிவியல் பாடத்தை நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள். என்ன மறைக்க வேண்டும், கணிசமான விகிதாச்சாரத்தில் உள்ள மாணவர்களுக்கு விரும்பப்படாத மற்றும் பெரும்பாலும் தெளிவற்ற பாடம். பகுப்பாய்வு வடிவியல், விந்தை போதும், மிகவும் சுவாரசியமாகவும் அணுகக்கூடியதாகவும் தோன்றலாம். "பகுப்பாய்வு" என்ற பெயரடை என்ன அர்த்தம்? இரண்டு முத்திரையிடப்பட்ட கணித திருப்பங்கள் உடனடியாக நினைவுக்கு வருகின்றன: "தீர்வின் கிராஃபிக் முறை" மற்றும் "தீர்வின் பகுப்பாய்வு முறை". கிராஃபிக் முறை, நிச்சயமாக, வரைபடங்கள், வரைபடங்களின் கட்டுமானத்துடன் தொடர்புடையது. பகுப்பாய்வுஅதே முறைசிக்கலைத் தீர்ப்பதை உள்ளடக்கியது முக்கியமாகஇயற்கணித செயல்பாடுகள் மூலம். இது சம்பந்தமாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை எளிமையானது மற்றும் வெளிப்படையானது, பெரும்பாலும் தேவையான சூத்திரங்களைத் துல்லியமாகப் பயன்படுத்தினால் போதும் - பதில் தயாராக உள்ளது! இல்லை, நிச்சயமாக, இது வரைபடங்கள் இல்லாமல் செய்யாது, தவிர, பொருளைப் பற்றிய சிறந்த புரிதலுக்காக, தேவைக்கு அதிகமாக அவற்றைக் கொண்டு வர முயற்சிப்பேன்.

வடிவவியலில் பாடங்களின் திறந்த பாடநெறி கோட்பாட்டு முழுமை என்று கூறவில்லை, இது நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் கவனம் செலுத்துகிறது. எனது பார்வையில், நடைமுறை அடிப்படையில் முக்கியமானவற்றை மட்டுமே எனது விரிவுரைகளில் சேர்ப்பேன். எந்தவொரு துணைப்பிரிவிலும் உங்களுக்கு முழுமையான குறிப்பு தேவைப்பட்டால், பின்வரும் மிகவும் அணுகக்கூடிய இலக்கியங்களைப் பரிந்துரைக்கிறேன்:

1) நகைச்சுவையல்ல, பல தலைமுறைகளுக்குத் தெரிந்த விஷயம்: வடிவவியலில் பள்ளி பாடப்புத்தகம், ஆசிரியர்கள் - எல்.எஸ். அதனஸ்யன் மற்றும் நிறுவனம். பள்ளி லாக்கர் அறையின் இந்த ஹேங்கர் ஏற்கனவே 20 (!) மறு வெளியீடுகளைத் தாங்கியுள்ளது, இது நிச்சயமாக வரம்பு அல்ல.

2) 2 தொகுதிகளில் வடிவியல். ஆசிரியர்கள் எல்.எஸ். அதனஸ்யன், பாசிலேவ் வி.டி.. இது உயர்கல்விக்கான இலக்கியம், உங்களுக்குத் தேவைப்படும் முதல் தொகுதி. எப்போதாவது நிகழும் பணிகள் எனது பார்வைத் துறையில் இருந்து வெளியேறக்கூடும், மேலும் டுடோரியல் விலைமதிப்பற்ற உதவியாக இருக்கும்.

இரண்டு புத்தகங்களும் ஆன்லைனில் பதிவிறக்கம் செய்ய இலவசம். கூடுதலாக, நீங்கள் எனது காப்பகத்தை ஆயத்த தீர்வுகளுடன் பயன்படுத்தலாம், அதை பக்கத்தில் காணலாம் உயர் கணித உதாரணங்களைப் பதிவிறக்கவும்.

கருவிகளில், நான் மீண்டும் எனது சொந்த வளர்ச்சியை வழங்குகிறேன் - மென்பொருள் தொகுப்புபகுப்பாய்வு வடிவவியலில், இது வாழ்க்கையை பெரிதும் எளிதாக்கும் மற்றும் நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

புள்ளி, கோடு, விமானம், முக்கோணம், இணையான வரைபடம், இணையாக, கன சதுரம், முதலியன: அடிப்படை வடிவியல் கருத்துக்கள் மற்றும் புள்ளிவிவரங்களை வாசகர் நன்கு அறிந்திருப்பார் என்று கருதப்படுகிறது. சில தேற்றங்கள், குறைந்தபட்சம் பித்தகோரியன் தேற்றம், ஹலோ ரிப்பீட்டர்களை நினைவில் கொள்வது நல்லது)

இப்போது நாம் தொடர்ச்சியாக கருத்தில் கொள்வோம்: ஒரு திசையன் கருத்து, திசையன்களுடன் செயல்கள், திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள். மேலும் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன் மிக முக்கியமான கட்டுரை திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, அத்துடன் திசையன் மற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. உள்ளூர் பணி மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது - இது சம்பந்தமாக பிரிவின் பிரிவு. மேலே உள்ள தகவலின் அடிப்படையில், உங்களால் முடியும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுஉடன் தீர்வுகளின் எளிய எடுத்துக்காட்டுகள், இது அனுமதிக்கும் வடிவவியலில் சிக்கல்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறியவும். பின்வரும் கட்டுரைகளும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்: விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு, விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகள், கோடு மற்றும் விமானத்தில் அடிப்படை சிக்கல்கள் , பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பிற பிரிவுகள். இயற்கையாகவே, நிலையான பணிகள் வழியில் கருதப்படும்.

ஒரு திசையன் கருத்து. இலவச திசையன்

முதலில், வெக்டரின் பள்ளி வரையறையை மீண்டும் செய்வோம். திசையன்அழைக்கப்பட்டது இயக்கினார்அதன் தொடக்கமும் முடிவும் குறிக்கப்பட்ட ஒரு பிரிவு:

இந்த வழக்கில், பிரிவின் ஆரம்பம் புள்ளி, பிரிவின் முடிவு புள்ளி. திசையன் தன்னை ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. திசையில்இன்றியமையாதது, நீங்கள் பிரிவின் மறுமுனைக்கு அம்புக்குறியை மறுசீரமைத்தால், உங்களுக்கு ஒரு திசையன் கிடைக்கும், இது ஏற்கனவே உள்ளது முற்றிலும் மாறுபட்ட திசையன். ஒரு வெக்டரின் கருத்தை ஒரு உடல் உடலின் இயக்கத்துடன் அடையாளம் காண்பது வசதியானது: ஒரு நிறுவனத்தின் கதவுகளுக்குள் நுழைவது அல்லது ஒரு நிறுவனத்தின் கதவுகளை விட்டு வெளியேறுவது முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயங்கள் என்பதை நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு விமானத்தின் தனிப்பட்ட புள்ளிகள், இடம் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கருத்தில் கொள்வது வசதியானது பூஜ்ஜிய திசையன். அத்தகைய வெக்டருக்கு ஒரே முடிவும் தொடக்கமும் இருக்கும்.

!!! குறிப்பு: இங்கே மற்றும் கீழே, திசையன்கள் ஒரே விமானத்தில் இருப்பதாக நீங்கள் கருதலாம் அல்லது அவை விண்வெளியில் அமைந்துள்ளன என்று நீங்கள் கருதலாம் - வழங்கப்பட்ட பொருளின் சாராம்சம் விமானம் மற்றும் விண்வெளி ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும்.

பதவிகள்:பதவியில் அம்பு இல்லாத ஒரு குச்சியை பலர் உடனடியாக கவனத்தை ஈர்த்து, மேலே ஒரு அம்பு வைத்ததாகக் கூறினார்கள்! அது சரி, நீங்கள் ஒரு அம்புக்குறியுடன் எழுதலாம்: , ஆனால் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மற்றும் நான் பின்னர் பயன்படுத்துவேன் என்று பதிவு. ஏன்? வெளிப்படையாக, அத்தகைய பழக்கம் நடைமுறைக் கருத்தில் இருந்து உருவாகியுள்ளது, பள்ளி மற்றும் பல்கலைக்கழகத்தில் எனது துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் மிகவும் மாறுபட்டவர்களாகவும், கூர்மையாகவும் மாறினர். கல்வி இலக்கியத்தில், சில சமயங்களில் அவர்கள் கியூனிஃபார்மைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை, ஆனால் தடிமனான எழுத்துக்களை முன்னிலைப்படுத்துகிறார்கள்: , இதன் மூலம் இது ஒரு திசையன் என்பதைக் குறிக்கிறது.

அதுதான் பாணி, இப்போது திசையன்களை எழுதும் வழிகளைப் பற்றி:

1) திசையன்களை இரண்டு பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களில் எழுதலாம்:
மற்றும் பல. முதல் கடிதம் போது அவசியம்திசையன் தொடக்கப் புள்ளியைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது எழுத்து திசையன் இறுதிப் புள்ளியைக் குறிக்கிறது.

2) திசையன்கள் சிறிய லத்தீன் எழுத்துக்களிலும் எழுதப்பட்டுள்ளன:
குறிப்பாக, எங்கள் திசையன் ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்து மூலம் சுருக்கமாக மறுவடிவமைப்பு செய்யப்படலாம்.

நீளம்அல்லது தொகுதிபூஜ்ஜியமற்ற திசையன் பிரிவின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பூஜ்ய வெக்டரின் நீளம் பூஜ்ஜியமாகும். தர்க்கரீதியாக.

திசையனின் நீளம் மாடுலோ அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது: ,

ஒரு திசையனின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது, சிறிது நேரம் கழித்து (அல்லது மீண்டும் ஒருவருக்கு எப்படி) கற்றுக்கொள்வோம்.

இது திசையன் பற்றிய ஆரம்ப தகவல், அனைத்து பள்ளி மாணவர்களுக்கும் தெரிந்திருக்கும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலில், அழைக்கப்படுகிறது இலவச திசையன்.

இது மிகவும் எளிமையானது என்றால் - திசையன் எந்த புள்ளியிலிருந்தும் வரையப்படலாம்:

நாம் அத்தகைய திசையன்களை சமம் என்று அழைக்கிறோம் (சம திசையன்களின் வரையறை கீழே கொடுக்கப்படும்), ஆனால் முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இது ஒரே திசையன் அல்லது இலவச திசையன். ஏன் இலவசம்? ஏனெனில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​உங்களுக்குத் தேவையான விமானம் அல்லது இடத்தின் எந்தப் புள்ளியிலும் ஒன்று அல்லது மற்றொரு "பள்ளி" திசையன் "இணைக்க" முடியும். இது மிகவும் அருமையான சொத்து! தன்னிச்சையான நீளம் மற்றும் திசையின் இயக்கப்பட்ட பகுதியை கற்பனை செய்து பாருங்கள் - இது எண்ணற்ற முறை "குளோன்" செய்யப்படலாம் மற்றும் விண்வெளியில் எந்த இடத்திலும், உண்மையில், அது எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது. அத்தகைய ஒரு மாணவரின் பழமொழி உள்ளது: ஒவ்வொரு விரிவுரையாளரும் வெக்டரில் f ** u. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு நகைச்சுவையான ரைம் மட்டுமல்ல, எல்லாம் கிட்டத்தட்ட சரியானது - ஒரு இயக்கப்பட்ட பகுதியையும் அங்கு இணைக்கலாம். ஆனால் மகிழ்ச்சியடைய அவசரப்பட வேண்டாம், மாணவர்களே அடிக்கடி பாதிக்கப்படுகிறார்கள் =)

அதனால், இலவச திசையன்- இது ஒரு கொத்து ஒரே மாதிரியான திசை பிரிவுகள். ஒரு திசையன் பள்ளி வரையறை, பத்தியின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: "ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு ஒரு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது ...", குறிக்கிறது குறிப்பிட்டகொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட ஒரு இயக்கிய பிரிவு, இது விமானம் அல்லது இடத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

இயற்பியலின் பார்வையில், இலவச வெக்டரின் கருத்து பொதுவாக தவறானது மற்றும் பயன்பாட்டின் புள்ளி முக்கியமானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். உண்மையில், மூக்கில் அல்லது நெற்றியில் அதே சக்தியை நேரடியாக அடித்தால் போதும், எனது முட்டாள்தனமான உதாரணம் வெவ்வேறு விளைவுகளை ஏற்படுத்துகிறது. எனினும், இலவசம் இல்லைவைஷ்மத்தின் போக்கில் வெக்டார்களும் காணப்படுகின்றன (அங்கு செல்ல வேண்டாம் :)).

திசையன்களுடன் செயல்கள். திசையன்களின் கூட்டுத்தன்மை

பள்ளி வடிவவியல் பாடத்தில், திசையன்களுடன் பல செயல்கள் மற்றும் விதிகள் கருதப்படுகின்றன: முக்கோண விதியின்படி கூட்டல், இணையான வரைபட விதியின்படி கூட்டல், திசையன்களின் வேறுபாட்டின் விதி, ஒரு திசையன் ஒரு எண்ணால் பெருக்குதல், திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு போன்றவை.ஒரு விதையாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு குறிப்பாக பொருத்தமான இரண்டு விதிகளை நாங்கள் மீண்டும் செய்கிறோம்.

முக்கோண விதியின்படி திசையன்களின் கூட்டல் விதி

இரண்டு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களைக் கவனியுங்கள்:

இந்த திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய வேண்டியது அவசியம். அனைத்து திசையன்களும் இலவசம் என்று கருதப்படுவதால், திசையனை நாங்கள் ஒத்திவைக்கிறோம் முடிவுதிசையன்:

திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை திசையன் ஆகும். விதியைப் பற்றி நன்கு புரிந்துகொள்ள, அதில் ஒரு உடல் அர்த்தத்தை வைப்பது நல்லது: சில உடல்கள் திசையன் வழியாக ஒரு பாதையை உருவாக்கட்டும் , பின்னர் திசையன் வழியாக . பின்னர் திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையானது, புறப்படும் இடத்தில் தொடங்கி, வந்தடையும் இடத்தில் முடிவடையும் பாதையின் திசையன் ஆகும். வெக்டார்களின் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகைக்கு இதேபோன்ற விதி உருவாக்கப்படுகிறது. அவர்கள் சொல்வது போல், உடல் அதன் வழியில் வலுவாக ஜிக்ஜாக் செல்லலாம் அல்லது தன்னியக்க பைலட்டில் இருக்கலாம் - இதன் விளைவாக வரும் தொகை திசையன் வழியாக.

மூலம், திசையன் இருந்து ஒத்திவைக்கப்பட்டால் தொடங்குதிசையன் , பிறகு நாம் சமமானதைப் பெறுகிறோம் இணை வரைபடம் விதிதிசையன்கள் சேர்த்தல்.

முதலில், வெக்டார்களின் கோலினரிட்டி பற்றி. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர்அவை ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால். தோராயமாக, நாம் இணை திசையன்களைப் பற்றி பேசுகிறோம். ஆனால் அவற்றைப் பொறுத்தவரை, "கோலினியர்" என்ற பெயரடை எப்போதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரண்டு கோலினியர் திசையன்களை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த திசையன்களின் அம்புகள் ஒரே திசையில் இயக்கப்பட்டால், அத்தகைய திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இணை திசை. அம்புகள் வெவ்வேறு திசைகளில் பார்த்தால், திசையன்கள் இருக்கும் எதிர்மாறாக இயக்கப்பட்டது.

பதவிகள்:திசையன்களின் கூட்டுத்தன்மை வழக்கமான இணைநிலை ஐகானுடன் எழுதப்பட்டுள்ளது: , விவரம் சாத்தியமாகும் போது: (திசையன்கள் இணை இயக்கப்படும்) அல்லது (திசையன்கள் எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகின்றன).

வேலைஒரு எண்ணின் மூலம் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், அதன் நீளம் சமமாக இருக்கும், மற்றும் திசையன்கள் மற்றும் இணை இயக்கப்பட்டு எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது.

ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான விதியை படம் மூலம் புரிந்துகொள்வது எளிது:

நாங்கள் இன்னும் விரிவாக புரிந்துகொள்கிறோம்:

1) திசை. பெருக்கி எதிர்மறையாக இருந்தால், திசையன் திசையை மாற்றுகிறதுஎதிர்.

2) நீளம். காரணி அல்லது க்குள் இருந்தால், திசையன் நீளம் குறைகிறது. எனவே, திசையன் நீளம் திசையன் நீளத்தை விட இரண்டு மடங்கு குறைவாக உள்ளது. மாடுலோ பெருக்கி ஒன்றுக்கு மேல் இருந்தால், திசையன் நீளம் அதிகரிக்கிறதுநேரத்தில்.

3) தயவுசெய்து கவனிக்கவும் அனைத்து திசையன்களும் கோலினியர், ஒரு திசையன் மற்றொரு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, . தலைகீழ் உண்மையும் கூட: ஒரு திசையன் மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுமானால், அத்தகைய திசையன்கள் கண்டிப்பாக கோலினியர் ஆகும். இதனால்: ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால், கோலினியர் கிடைக்கும்(அசல் தொடர்பானது) திசையன்.

4) திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன. திசையன்கள் மற்றும் இணை திசையில் உள்ளன. முதல் குழுவின் எந்த வெக்டரும் இரண்டாவது குழுவின் எந்த திசையனுக்கும் எதிர் திசையில் செலுத்தப்படுகிறது.

எந்த திசையன்கள் சமம்?

இரண்டு திசையன்கள் இணைதிசை மற்றும் ஒரே நீளம் இருந்தால் சமமாக இருக்கும். திசையன்கள் கோலினியர் என்பதை இணை திசை குறிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். "இரண்டு திசையன்கள் கோலினியர், இணை இயக்கு மற்றும் ஒரே நீளம் கொண்டவையாக இருந்தால் சமம்" என்று நீங்கள் கூறினால், வரையறை துல்லியமாக இருக்காது (தேவையற்றது).

இலவச வெக்டரின் கருத்தின் பார்வையில், சம திசையன்கள் அதே திசையன் ஆகும், இது ஏற்கனவே முந்தைய பத்தியில் விவாதிக்கப்பட்டது.

திசையன் விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் ஒருங்கிணைக்கிறது

முதல் புள்ளி ஒரு விமானத்தில் திசையன்களை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை வரைந்து, தோற்றத்திலிருந்து ஒதுக்கி வைக்கவும் ஒற்றைதிசையன்கள் மற்றும்:

திசையன்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல். ஆர்த்தோகனல் = செங்குத்தாக. சொற்களை மெதுவாகப் பயன்படுத்துமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: இணை மற்றும் செங்குத்தாகப் பதிலாக, முறையே சொற்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் ஒற்றுமைமற்றும் ஆர்த்தோகனாலிட்டி.

பதவி:திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி வழக்கமான செங்குத்து அடையாளத்துடன் எழுதப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக: .

கருதப்படும் திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள்அல்லது orts. இந்த திசையன்கள் உருவாகின்றன அடிப்படையில்மேற்பரப்பில். அடிப்படை என்ன, பலருக்கு உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது என்று நான் நினைக்கிறேன், மேலும் விரிவான தகவல்களை கட்டுரையில் காணலாம் திசையன்களின் நேரியல் (அல்லாத) சார்பு. திசையன் அடிப்படைஎளிமையான வார்த்தைகளில், ஆயங்களின் அடிப்படை மற்றும் தோற்றம் முழு அமைப்பையும் வரையறுக்கிறது - இது ஒரு முழுமையான மற்றும் பணக்கார வடிவியல் வாழ்க்கை கொதிக்கும் ஒரு வகையான அடித்தளமாகும்.

சில நேரங்களில் கட்டப்பட்ட அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது ஆர்த்தோநார்மல்விமானத்தின் அடிப்படை: "ortho" - ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்பதால், "இயல்புபடுத்தப்பட்ட" என்ற பெயரடை அலகு, அதாவது. அடிப்படை திசையன்களின் நீளம் ஒன்றுக்கு சமம்.

பதவி:அடிப்படை பொதுவாக அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்படுகிறது, அதன் உள்ளே கடுமையான வரிசையில்அடிப்படை திசையன்கள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக: . திசையன்களை ஒருங்கிணைக்கவும் அது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளதுஇடங்களை மாற்றவும்.

ஏதேனும்விமான திசையன் ஒரே வழிவெளிப்படுத்தப்பட்டது:
, எங்கே - எண்கள், என்று அழைக்கப்படும் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்இந்த அடிப்படையில். ஆனால் வெளிப்பாடு தானே அழைக்கப்பட்டது திசையன் சிதைவுஅடிப்படையில் .

இரவு உணவு பரிமாறப்பட்டது:

எழுத்துக்களின் முதல் எழுத்தில் தொடங்குவோம்: . அடிப்படையின் அடிப்படையில் திசையனை சிதைக்கும் போது, ​​இப்போது கருதப்பட்டவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை வரைபடம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது:
1) வெக்டரை எண்ணால் பெருக்கும் விதி: மற்றும் ;
2) முக்கோண விதியின்படி திசையன்களைச் சேர்த்தல்: .

இப்போது விமானத்தில் வேறு எந்த புள்ளியிலிருந்தும் திசையன் மனதளவில் ஒதுக்கி வைக்கவும். அவரது ஊழல் "ஓயாமல் அவரைப் பின்தொடரும்" என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. இங்கே அது, திசையன் சுதந்திரம் - திசையன் "உங்களுடன் எல்லாவற்றையும் கொண்டு செல்கிறது." இந்த சொத்து, நிச்சயமாக, எந்த திசையன்களுக்கும் பொருந்தும். அடிப்படை (இலவச) திசையன்களை தோற்றத்திலிருந்து ஒதுக்கி வைக்க வேண்டியதில்லை என்பது வேடிக்கையானது, ஒன்றை வரையலாம், எடுத்துக்காட்டாக, கீழ் இடதுபுறத்திலும், மற்றொன்று மேல் வலதுபுறத்திலும், இதிலிருந்து எதுவும் மாறாது! உண்மை, நீங்கள் இதைச் செய்யத் தேவையில்லை, ஏனென்றால் ஆசிரியரும் அசல் தன்மையைக் காண்பிப்பார் மற்றும் எதிர்பாராத இடத்தில் "பாஸ்" எடுப்பார்.

திசையன்கள், ஒரு எண்ணால் ஒரு திசையன் பெருக்குவதற்கான விதியை சரியாக விளக்கவும், திசையன் அடிப்படை திசையனுடன் இணைந்து இயக்கப்படுகிறது, திசையன் அடிப்படை திசையனுக்கு எதிரே இயக்கப்படுகிறது. இந்த திசையன்களுக்கு, ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதை பின்வருமாறு துல்லியமாக எழுதலாம்:


மற்றும் அடிப்படை திசையன்கள், இது போன்றது: (உண்மையில், அவை தாங்களாகவே வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன).

இறுதியாக: , . சொல்லப்போனால், திசையன் கழித்தல் என்றால் என்ன, கழித்தல் விதி பற்றி நான் ஏன் சொல்லவில்லை? நேரியல் இயற்கணிதத்தில் எங்கோ, எங்கே என்று எனக்கு நினைவில் இல்லை, கழித்தல் என்பது கூட்டலின் சிறப்பு என்று குறிப்பிட்டேன். எனவே, "de" மற்றும் "e" திசையன்களின் விரிவாக்கங்கள் அமைதியாக ஒரு தொகையாக எழுதப்பட்டுள்ளன: . இந்த சூழ்நிலைகளில் முக்கோண விதியின்படி வெக்டார்களின் பழைய சேர்ப்பு எவ்வளவு நன்றாக வேலை செய்கிறது என்பதைப் பார்க்க, வரைபடத்தைப் பின்தொடரவும்.

படிவத்தின் சிதைவு என்று கருதப்படுகிறது சில நேரங்களில் திசையன் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது அமைப்பு ort இல்(அதாவது அலகு திசையன்களின் அமைப்பில்). ஆனால் திசையன் எழுதுவதற்கான ஒரே வழி இதுவல்ல, பின்வரும் விருப்பம் பொதுவானது:

அல்லது சமமான அடையாளத்துடன்:

அடிப்படை திசையன்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளன: மற்றும்

அதாவது, வெக்டரின் ஆய அடைப்புக்குறிக்குள் குறிக்கப்படுகிறது. நடைமுறை பணிகளில், மூன்று பதிவு விருப்பங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நான் பேசலாமா என்று சந்தேகப்பட்டேன், ஆனால் நான் இன்னும் சொல்கிறேன்: திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளை மறுசீரமைக்க முடியாது. கண்டிப்பாக முதல் இடத்தில்அலகு வெக்டருடன் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பை எழுதுங்கள், கண்டிப்பாக இரண்டாவது இடத்தில்அலகு வெக்டருடன் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பை எழுதுங்கள். உண்மையில், மற்றும் இரண்டு வெவ்வேறு திசையன்கள்.

விமானத்தில் உள்ள ஆயங்களை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். இப்போது முப்பரிமாண இடத்தில் திசையன்களைக் கவனியுங்கள், இங்கே எல்லாம் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கிறது! மேலும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மட்டுமே சேர்க்கப்படும். முப்பரிமாண வரைபடங்களைச் செய்வது கடினம், எனவே நான் ஒரு திசையனுக்கு வரம்பிடுவேன், எளிமைக்காக நான் தோற்றத்திலிருந்து ஒத்திவைப்பேன்:

ஏதேனும் 3d விண்வெளி திசையன் ஒரே வழிஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் விரிவாக்குங்கள்:
, கொடுக்கப்பட்ட அடிப்படையில் திசையன் (எண்) ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே.

படத்திலிருந்து உதாரணம்: . இங்கே திசையன் செயல் விதிகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். முதலில், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்: (சிவப்பு அம்பு), (பச்சை அம்பு) மற்றும் (மெஜந்தா அம்பு). இரண்டாவதாக, பலவற்றைச் சேர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே, இந்த வழக்கில் மூன்று, திசையன்கள்: . கூட்டுத் திசையன் புறப்படும் தொடக்கப் புள்ளியில் (திசையியலின் ஆரம்பம்) தொடங்கி, வருகையின் இறுதிப் புள்ளியில் (வெக்டரின் முடிவு) முடிவடைகிறது.

முப்பரிமாண இடத்தின் அனைத்து திசையன்களும், நிச்சயமாக, இலவசம், வேறு எந்த புள்ளியிலிருந்தும் திசையன் மனதளவில் ஒத்திவைக்க முயற்சி செய்யுங்கள், மேலும் அதன் விரிவாக்கம் "அதனுடன் உள்ளது" என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

இதேபோல் விமான வழக்கு, எழுத்து கூடுதலாக அடைப்புக்குறிகளுடன் கூடிய பதிப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: ஒன்று .

விரிவாக்கத்தில் ஒன்று (அல்லது இரண்டு) ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் இல்லை என்றால், அதற்கு பதிலாக பூஜ்ஜியங்கள் போடப்படும். எடுத்துக்காட்டுகள்:
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதுங்கள்;
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதுங்கள்;
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதவும்.

அடிப்படை திசையன்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளன:

இங்கே, ஒருவேளை, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேவையான அனைத்து குறைந்தபட்ச தத்துவார்த்த அறிவும் உள்ளது. ஒருவேளை பல விதிமுறைகள் மற்றும் வரையறைகள் உள்ளன, எனவே இந்த தகவலை மீண்டும் படிக்கவும் புரிந்துகொள்ளவும் டம்மீஸ் பரிந்துரைக்கிறேன். மேலும் எந்தவொரு வாசகரும் பொருளின் சிறந்த ஒருங்கிணைப்புக்கு அவ்வப்போது அடிப்படை பாடத்தை குறிப்பிடுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். கோலினியரிட்டி, ஆர்த்தோகனாலிட்டி, ஆர்த்தோநார்மல் பேஸ், வெக்டார் சிதைவு - இவை மற்றும் பிற கருத்துக்கள் பெரும்பாலும் பின்வருவனவற்றில் பயன்படுத்தப்படும். நான் அனைத்து கோட்பாடுகளையும் (ஆதாரங்கள் இல்லாமல்) கவனமாக குறியாக்கம் செய்வதால், கோட்பாட்டு சோதனை, வடிவவியலில் கலந்தாலோசிக்க, தளத்தின் பொருட்கள் போதுமானதாக இல்லை என்பதை நான் கவனிக்கிறேன் - விளக்கக்காட்சியின் விஞ்ஞான பாணிக்கு தீங்கு விளைவிக்கும், ஆனால் உங்கள் புரிதலுக்கு ஒரு பிளஸ். பொருளின். விரிவான கோட்பாட்டுத் தகவலுக்கு, பேராசிரியர் அதனஸ்யனை வணங்குமாறு கேட்டுக்கொள்கிறேன்.

இப்போது நடைமுறை பகுதிக்கு செல்லலாம்:

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் எளிமையான சிக்கல்கள்.
ஆயத்தொலைவுகளில் திசையன்களுடன் செயல்கள்

பரிசீலிக்கப்படும் பணிகள், அவற்றை எவ்வாறு முழுமையாக தானாகத் தீர்ப்பது, மற்றும் சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றைக் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் விரும்பத்தக்கது. மனப்பாடம், வேண்டுமென்றே கூட நினைவில் இல்லை, அவர்களே அதை நினைவில் வைத்துக் கொள்வார்கள் =) இது மிகவும் முக்கியமானது, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பிற சிக்கல்கள் எளிமையான அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, மேலும் சிப்பாய்களை சாப்பிடுவதற்கு கூடுதல் நேரத்தை செலவிடுவது எரிச்சலூட்டும். உங்கள் சட்டையின் மேல் பொத்தான்களை நீங்கள் கட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை, பல விஷயங்கள் பள்ளியிலிருந்து உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கும்.

பொருளின் விளக்கக்காட்சி ஒரு இணையான போக்கைப் பின்பற்றும் - விமானத்திற்கும் விண்வெளிக்கும். எல்லா ஃபார்முலாக்களும்... நீங்களே பார்ப்பீர்கள் என்பதற்காக.

இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்ட வெக்டரை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், திசையன் பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், திசையன் பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

அது, திசையன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்துநீங்கள் தொடர்புடைய ஆயங்களை கழிக்க வேண்டும் திசையன் தொடக்கம்.

உடற்பயிற்சி:அதே புள்ளிகளுக்கு, திசையன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரங்களை எழுதுங்கள். பாடத்தின் முடிவில் சூத்திரங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1

விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டது மற்றும் . திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்

தீர்வு:தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

மாற்றாக, பின்வரும் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

அழகியல் வல்லுநர்கள் இப்படி முடிவு செய்வார்கள்:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் பதிவின் முதல் பதிப்பில் பழகிவிட்டேன்.

பதில்:

நிபந்தனையின் படி, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (இது பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது), ஆனால் சில புள்ளிகளை டம்மிகளுக்கு விளக்க, நான் மிகவும் சோம்பேறியாக இருக்க மாட்டேன்:

புரிந்து கொள்ள வேண்டும் புள்ளி ஆய மற்றும் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு:

புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள்ஒரு செவ்வக ஆய அமைப்பில் வழக்கமான ஆயங்கள். தரம் 5-6 முதல் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் புள்ளிகளை எவ்வாறு திட்டமிடுவது என்பது அனைவருக்கும் தெரியும் என்று நினைக்கிறேன். ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் விமானத்தில் ஒரு கண்டிப்பான இடம் உள்ளது, மேலும் அவற்றை எங்கும் நகர்த்த முடியாது.

அதே வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள்இந்த விஷயத்தில் அடிப்படையைப் பொறுத்து அதன் விரிவாக்கம் ஆகும். எந்தவொரு திசையனும் இலவசம், எனவே, விரும்பினால் அல்லது தேவைப்பட்டால், விமானத்தின் வேறு சில புள்ளிகளிலிருந்து அதை எளிதாக ஒத்திவைக்கலாம். சுவாரஸ்யமாக, திசையன்களுக்கு, நீங்கள் அச்சுகளை உருவாக்க முடியாது, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, உங்களுக்கு ஒரு அடிப்படை மட்டுமே தேவை, இந்த விஷயத்தில், விமானத்தின் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படை.

புள்ளி ஆயங்கள் மற்றும் திசையன் ஆயங்களின் பதிவுகள் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது: , மற்றும் ஆய உணர்வுமுற்றிலும் வெவ்வேறு, மற்றும் இந்த வேறுபாட்டை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். இந்த வேறுபாடு, நிச்சயமாக, விண்வெளிக்கும் பொருந்தும்.

பெண்களே, நாங்கள் எங்கள் கைகளை நிரப்புகிறோம்:

உதாரணம் 2

a) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் . திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
b) புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் . திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
c) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும் . திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
ஈ) புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களைக் கண்டறியவும் .

ஒருவேளை போதுமானது. இவை ஒரு சுயாதீனமான முடிவிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், அவற்றை புறக்கணிக்க வேண்டாம், அது பலனளிக்கும் ;-). வரைபடங்கள் தேவையில்லை. பாடத்தின் முடிவில் தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் முக்கியமானது என்ன?தலைசிறந்த "இரண்டு கூட்டல் இரண்டு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" பிழையைத் தவிர்க்க மிகவும் கவனமாக இருப்பது முக்கியம். நான் தவறு செய்திருந்தால் முன்கூட்டியே மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்கிறேன் =)

ஒரு பிரிவின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நீளம், ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, மாடுலஸ் அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்

குறிப்பு: தொடர்புடைய ஆயங்கள் மாற்றப்பட்டால் சூத்திரங்கள் சரியாக இருக்கும்: மற்றும் , ஆனால் முதல் விருப்பம் மிகவும் நிலையானது

எடுத்துக்காட்டு 3

தீர்வு:தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

தெளிவுக்காக, நான் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவேன்

கோட்டு பகுதி - அது ஒரு திசையன் அல்ல, மற்றும் நீங்கள் அதை எங்கும் நகர்த்த முடியாது, நிச்சயமாக. கூடுதலாக, நீங்கள் வரைபடத்தை ஸ்கேல் செய்ய முடித்தால்: 1 அலகு. \u003d 1 செமீ (இரண்டு டெட்ராட் செல்கள்), பின்னர் பிரிவின் நீளத்தை நேரடியாக அளவிடுவதன் மூலம் பதிலை வழக்கமான ஆட்சியாளருடன் சரிபார்க்கலாம்.

ஆம், தீர்வு குறுகியது, ஆனால் அதில் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகள் உள்ளன, நான் தெளிவுபடுத்த விரும்புகிறேன்:

முதலில், பதிலில் நாம் பரிமாணத்தை அமைக்கிறோம்: "அலகுகள்". அது என்ன, மில்லிமீட்டர்கள், சென்டிமீட்டர்கள், மீட்டர்கள் அல்லது கிலோமீட்டர்கள் என்று நிபந்தனை கூறவில்லை. எனவே, பொது உருவாக்கம் கணித ரீதியாக திறமையான தீர்வாக இருக்கும்: "அலகுகள்" - "அலகுகள்" என்று சுருக்கமாக.

இரண்டாவதாக, பள்ளிப் பொருளை மீண்டும் செய்வோம், இது கருதப்படும் சிக்கலுக்கு மட்டுமல்ல பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

கவனம் செலுத்த முக்கியமான தொழில்நுட்ப தந்திரம் – வேரின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை வெளியே எடுப்பது. கணக்கீடுகளின் விளைவாக, எங்களுக்கு முடிவு கிடைத்தது மற்றும் நல்ல கணித பாணியானது மூலத்தின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை வெளியே எடுப்பதை உள்ளடக்கியது (முடிந்தால்). செயல்முறை இன்னும் விரிவாக இதுபோல் தெரிகிறது: . நிச்சயமாக, பதிலைப் படிவத்தில் விட்டுவிடுவது தவறல்ல - ஆனால் இது நிச்சயமாக ஒரு குறைபாடு மற்றும் ஆசிரியரின் தரப்பில் நிதானமான வாதம்.

பிற பொதுவான வழக்குகள் இங்கே:

எடுத்துக்காட்டாக, மூலத்தின் கீழ் பெரும்பாலும் போதுமான பெரிய எண் பெறப்படுகிறது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் எப்படி இருக்க வேண்டும்? கால்குலேட்டரில், எண் 4 ஆல் வகுபடுமா என்று சரிபார்க்கிறோம். ஆம், முழுமையாக பிரித்து, இவ்வாறு: . அல்லது எண்ணை மீண்டும் 4 ஆல் வகுக்கலாமா? . இதனால்: . எண்ணின் கடைசி இலக்கம் ஒற்றைப்படை, எனவே மூன்றாவது முறையாக 4 ஆல் வகுக்க முடியாது. ஒன்பதால் வகுக்க முயற்சி: . அதன் விளைவாக:
தயார்.

முடிவுரை:ரூட்டின் கீழ் முற்றிலும் பிரித்தெடுக்க முடியாத எண்ணைப் பெற்றால், ரூட்டின் கீழ் இருந்து காரணியை எடுக்க முயற்சிக்கிறோம் - கால்குலேட்டரில் எண் 4, 9, 16, 25, 36, 49, முதலியன

பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​​​வேர்கள் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன, குறைந்த மதிப்பெண்ணைத் தவிர்க்கவும், ஆசிரியரின் கருத்துப்படி உங்கள் தீர்வுகளை இறுதி செய்வதில் தேவையற்ற சிக்கல்களைத் தவிர்க்கவும் எப்போதும் வேரின் கீழ் இருந்து காரணிகளைப் பிரித்தெடுக்க முயற்சிக்கவும்.

வேர்கள் மற்றும் பிற சக்திகளின் சதுரத்தை ஒரே நேரத்தில் மீண்டும் செய்வோம்:

ஒரு பொது வடிவத்தில் டிகிரி கொண்ட செயல்களுக்கான விதிகள் இயற்கணிதம் குறித்த பள்ளி பாடப்புத்தகத்தில் காணப்படுகின்றன, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து எல்லாம் அல்லது கிட்டத்தட்ட அனைத்தும் ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளன என்று நான் நினைக்கிறேன்.

விண்வெளியில் ஒரு பகுதியுடன் ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான பணி:

எடுத்துக்காட்டு 4

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் மற்றும். பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

பாடத்தின் முடிவில் தீர்வு மற்றும் பதில்.

திசையன் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு விமான திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

விண்வெளி திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது .

வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டறிவது கணிதத்தில் உள்ள பல பிரச்சனைகளுக்கு மிகவும் பொதுவான நிபந்தனையாகும். வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியும் திறன், இதே போன்ற தலைப்புகளில் உள்ள மற்ற சிக்கலான சிக்கல்களில் உங்களுக்கு உதவும். இந்த கட்டுரையில், ஒரு திசையன் மற்றும் பல பணிகளைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு திசையன் ஆயங்களை கண்டறிதல்

விமானம் என்றால் என்ன? விமானம் என்பது இரு பரிமாண இடைவெளி, இரு பரிமாணங்களைக் கொண்ட ஒரு இடம் (பரிமாணம் x மற்றும் பரிமாணம் y). உதாரணமாக, காகிதம் தட்டையானது. மேசையின் மேற்பரப்பு தட்டையானது. எந்த அளவற்ற உருவமும் (சதுரம், முக்கோணம், ட்ரேபீசியம்) ஒரு விமானம். எனவே, சிக்கலின் நிலையில் ஒரு விமானத்தில் இருக்கும் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியமானால், உடனடியாக x மற்றும் y ஐ நினைவுபடுத்துகிறோம். அத்தகைய வெக்டரின் ஆயங்களை நீங்கள் பின்வருமாறு காணலாம்: திசையன் = (xB - xA; yB - xA) AB ஆயத்தொகுப்புகள். தொடக்கப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் இறுதிப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதை சூத்திரத்திலிருந்து பார்க்கலாம்.

உதாரணமாக:

• குறுவட்டு திசையன் தொடக்க (5; 6) மற்றும் முடிவு (7; 8) ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது.
• வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.
• மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• இவ்வாறு, குறுவட்டு திசையன் = (2; 2) ஆயத்தொலைவுகள்.
• அதன்படி, x ஆய இரண்டுக்கு சமம், y ஒருங்கிணைப்பும் இரண்டு.

விண்வெளியில் ஒரு திசையன் ஆயங்களை கண்டறிதல்

விண்வெளி என்றால் என்ன? விண்வெளி ஏற்கனவே முப்பரிமாண பரிமாணமாக உள்ளது, இதில் 3 ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: x, y, z. விண்வெளியில் இருக்கும் ஒரு திசையன் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், சூத்திரம் நடைமுறையில் மாறாது. ஒரே ஒரு ஒருங்கிணைப்பு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. திசையனைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் தொடக்க ஆயங்களை இறுதி ஆயங்களிலிருந்து கழிக்க வேண்டும். AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

உதாரணமாக:

• திசையன் DF ஆனது ஆரம்ப (2; 3; 1) மற்றும் இறுதி (1; 5; 2) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.
• மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்: திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• நினைவில் கொள்ளுங்கள், ஆய மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம், அதில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை.

வெக்டார் ஆயங்களை ஆன்லைனில் எவ்வாறு கண்டறிவது?

சில காரணங்களால் ஆயங்களை நீங்களே கண்டுபிடிக்க விரும்பவில்லை என்றால், நீங்கள் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம். முதலில், திசையன் பரிமாணத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். ஒரு திசையன் பரிமாணம் அதன் பரிமாணங்களுக்கு பொறுப்பாகும். பரிமாணம் 3 என்றால் திசையன் விண்வெளியில் உள்ளது, பரிமாணம் 2 என்றால் அது விமானத்தில் உள்ளது. அடுத்து, புள்ளிகளின் ஆயங்களை பொருத்தமான புலங்களில் செருகவும், நிரல் திசையனின் ஆயங்களை தீர்மானிக்கும். எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது.

பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம், பக்கம் தானாகவே கீழே உருட்டும் மற்றும் தீர்வு படிகளுடன் சரியான பதிலை உங்களுக்கு வழங்கும்.

இந்த தலைப்பை நன்கு படிக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் ஒரு திசையன் கருத்து கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்பியலிலும் காணப்படுகிறது. தகவல் தொழில்நுட்ப பீடத்தின் மாணவர்களும் திசையன்களின் தலைப்பைப் படிக்கிறார்கள், ஆனால் மிகவும் சிக்கலான மட்டத்தில்.

பகுப்பாய்வு வடிவியல்

		வாரம்	புள்ளிகளில் தொகுதிக்கான தரம்
		தொகுதி கட்டுப்பாடு
			அதிகபட்சம்		குறைந்தபட்சம்
செமஸ்டர் 1
DZ எண் 1, பகுதி 1
DZ எண் 1, பகுதி 2
மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 1
வெகுமதி புள்ளிகள்
மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 2
வெகுமதி புள்ளிகள்

கட்டுப்பாட்டு நடவடிக்கைகள் மற்றும் அவற்றை செயல்படுத்தும் நேரம் தொகுதி 1

1. DZ எண். 1 பகுதி 1 "வெக்டர் அல்ஜீப்ரா" வெளியீட்டின் காலக்கெடு 2 வாரங்கள், காலக்கெடு - 7 வாரங்கள்

2. DZ எண். 1 பகுதி 2 "கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள்"

டெலிவரி காலம் 1 வாரம், டெலிவரி காலம் - 9 வாரங்கள்

3. மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 1 (RK எண். 1) "வெக்டார் அல்ஜீப்ரா, கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள்." காலக்கெடு - 10 வாரங்கள்

1. DZ எண். 2 "வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள் 2 வது ஆர்டர் "வெளியீட்டு காலம் 6 வாரங்கள், விநியோக காலம் - 13 வாரங்கள்

5. சோதனை "வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள் 2வது ஆர்டர். காலக்கெடு - 14 வாரங்கள்

6. மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 2 (ஆர்.கே. எண். 2) "மெட்ரிக்குகள் மற்றும் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்"

காலக்கெடு - 16 வாரங்கள்

தற்போதைய கட்டுப்பாட்டு விருப்பங்களை உருவாக்குவதில் பயன்படுத்தப்படும் வழக்கமான பணிகள்

1. வீட்டுப்பாடம் எண் 1. "வெக்டர் இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவியல்"

கொடுக்கப்பட்டவை: புள்ளிகள் A (0;3;2), B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0) ; எண்கள் a 30,				b1; மூலையில்
1. வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் |		n | , என்றால்			p aq,	n bp q	மற்றும் p, q ஆகியவை அலகு

திசையன்கள், இவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சமம்.

2. திசையன் AB ஐ ஒரு :1 ஐப் பொறுத்து பிரிக்கும் புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

3. வெக்டர்களில் இது சாத்தியமா எனச் சரிபார்க்கவும் AB மற்றும் AD ஒரு இணையான வரைபடத்தை உருவாக்குகின்றன. ஆம் எனில், இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

4. ABCD இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

5. இணையான ஏபிசிடி பகுதியைக் கண்டறியவும்.

6. திசையன்களை உறுதிப்படுத்தவும் AB, AD, AA 1 நீங்கள் ஒரு இணையான பைப்பை உருவாக்கலாம். இந்த parallelepiped தொகுதி மற்றும் அதன் உயரம் நீளம் கண்டுபிடிக்க.

7. திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும் AH, இணையான ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 இன் உயரத்துடன் இயக்கப்பட்டது, A புள்ளியில் இருந்து A 1 B 1 C 1 D 1 அடிப்படைத் தளத்திற்கு வரையப்பட்டது.

புள்ளி H இன் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் திசையன் AH உடன் திசையில் இணைந்திருக்கும் அலகு வெக்டரின் ஆயத்தொகுப்புகள்.

8. திசையன் சிதைவைக் கண்டறியவும் AB, AD, AA 1 ஆகிய திசையன்களால் AH.

9. வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும் AH முதல் திசையன் AA 1 வரை.

10. விமானங்களின் சமன்பாடுகளை எழுதுங்கள்: a) A, B, D புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் P;

b) P1 புள்ளி A மற்றும் வரி A1 B1 வழியாக செல்கிறது;

c) P2 விமானம் P க்கு இணையான புள்ளி A1 வழியாக செல்கிறது; ஈ) AD மற்றும் AA1 கோடுகள் கொண்ட P3 ;

e) P4 புள்ளிகள் A மற்றும் C1 மூலம் விமானம் P க்கு செங்குத்தாக செல்கிறது.

11. AB மற்றும் CC விளிம்புகள் இருக்கும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும் 1 ; அவற்றுக்கு செங்குத்தாக பொதுவானவற்றின் நியமன மற்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதவும்.

12. புள்ளி A 2 ஐக் கண்டறியவும், அடித்தளத்தின் விமானத்தைப் பொறுத்து புள்ளி A1 க்கு சமச்சீர்

13. மூலைவிட்டமான A இருக்கும் கோட்டிற்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும் 1 சி, மற்றும் அடிப்படை விமானம் ஏபிசிடி.

14. ஏபிசி விமானங்களுக்கு இடையே கடுமையான கோணத்தைக் கண்டறியவும் 1 D (விமானம் P) மற்றும் ABB1 A1 (விமானம் P1 ).

2. வீட்டுப்பாடம் #2. "இரண்டாம் வரிசையின் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள்"

சிக்கல்கள் 1-2 இல், இரண்டாம் வரிசைக் கோட்டின் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டு, வளைவு OXY ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டமைக்கப்படுகிறது.

IN பணி 3, கொடுக்கப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, OXY ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வளைவின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும். பணிகளுக்காக 1-3 குறிக்கிறது:

1) வரி சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம்;

2) நியமன வடிவத்திற்கு வழிவகுக்கும் இணை பரிமாற்ற மாற்றம்;

3) ஒரு நீள்வட்டத்தின் விஷயத்தில்: அரைஅக்ஸ்கள், விசித்திரத்தன்மை, மையம், செங்குத்துகள், குவியங்கள், புள்ளி C இலிருந்து foci வரையிலான தூரங்கள்; ஒரு ஹைபர்போலா வழக்கில்: semiaxes, eccentricity, centre, vertices, foci, புள்ளி C இலிருந்து foci வரையிலான தூரங்கள், அசிம்ப்டோட் சமன்பாடுகள்; ஒரு பரவளையத்தின் விஷயத்தில்: அளவுரு, உச்சி, கவனம், டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு, புள்ளி C இலிருந்து ஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் வரையிலான தூரங்கள்;

4) புள்ளி Cக்கு, கொடுக்கப்பட்ட வகை வளைவுகளை புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக வகைப்படுத்தும் பண்புகளை சரிபார்க்கவும்.

IN சிக்கல் 4 இல், கொடுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு சமன்பாட்டை நியமன வடிவம், மேற்பரப்பு சமன்பாட்டின் நியமன வடிவம் மற்றும் மேற்பரப்பின் வகைக்கு குறைக்கும் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மாற்றத்தைக் குறிக்கவும். நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான OXYZ இல் ஒரு மேற்பரப்பை உருவாக்கவும்.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	பரவளையமானது y 1 0 என்ற நேர்கோட்டைப் பொறுத்தமட்டில் சமச்சீராக உள்ளது, கவனம் செலுத்துகிறது							; 1 ,
	புள்ளி C இல் OX அச்சைக் கடக்கிறது				; 0 , மற்றும் அதன் கிளைகள் அரை விமானத்தில் உள்ளன	x 0
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 1 “வெக்டர் அல்ஜீப்ரா. பகுப்பாய்வு வடிவியல்"

1. திசையன்களின் வலது மற்றும் இடது மூன்று மடங்கு. திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் வரையறை. திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளை உருவாக்குதல். ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறவும்.

திசையன்கள்

ஒரு m n,

m n,

1, மீ, என்

இருக்கலாம்,

திசையன் சிதைவு

c 3 i

12j6k

திசையன்கள்

3 ஜே 2 கே மற்றும் பி 2 ஐ 3 ஜே 4 கே.

விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்

M 1 5, 1, 4 புள்ளிகளைக் கடந்து

எம் 2 2, 3.1 மற்றும்

விமானத்திற்கு செங்குத்தாக

6x 5y 4z 1 0. நியமன சமன்பாடுகளை அமைக்கவும்

M 0 0, 2,1 புள்ளி மற்றும் ஆர்த்தோகனல் வழியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செல்லும் ஒரு நேர்கோடு.

"இரண்டாம் வரிசையின் வளைவுகள் மற்றும் பரப்புகளை" சோதிக்கவும்

1. புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக நீள்வட்டத்தின் வரையறை. செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல். வளைவின் முக்கிய அளவுருக்கள்.

2. மேற்பரப்பு சமன்பாடு x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 நியமனத்திற்கு வழிவகுக்கும்

மனம். நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும். இந்த மேற்பரப்பின் பெயரைக் குறிப்பிடவும்.

3. சமபங்கு ஹைப்பர்போலாவின் மையம் O 1 1, 1 மற்றும் அதன் foci F 1 3, 1 ஆகியவற்றில் ஒன்று தெரிந்தால் அதற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும். ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 2 “இரண்டாவது வரிசையின் வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகள். நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் மெட்ரிக்குகள் மற்றும் அமைப்புகள் »

1. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் (SLAE). ஒரே மாதிரியான SLAE எழுதுவதற்கான வடிவங்கள். ஒரே மாதிரியான SLAE இன் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வுகள் இருப்பதற்கான அளவுகோலின் ஆதாரம்.

2. அணி சமன்பாடு AX B ஐ தீர்க்கவும்,

ஒரு காசோலை செய்யுங்கள்.

3. a) SLAE ஐ தீர்க்கவும். b) தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகளின் ஒரு சாதாரண அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறியவும், ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு; இந்த ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை அவற்றின் மூலம் எழுதுங்கள்:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

தொகுதிக் கட்டுப்பாடுகள், சோதனைகள், சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராவதற்கான கேள்விகள்

1. வடிவியல் திசையன்கள். இலவச திசையன்கள். கோலினியர் மற்றும் கோப்லனர் திசையன்களின் வரையறை. திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் மீதான நேரியல் செயல்பாடுகள்.

2. திசையன்களின் நேரியல் சார்பு மற்றும் நேரியல் சுதந்திரத்தின் வரையறை. நேரியல் சார்பு நிலைகளுக்கான சான்று 2 மற்றும் 3 திசையன்கள்.

3. திசையன்களின் இடைவெளிகளில் ஒரு அடிப்படையின் வரையறை V1, V2, V3. ஒரு அடிப்படையின் அடிப்படையில் ஒரு திசையன் விரிவாக்கத்தின் இருப்பு மற்றும் தனித்தன்மை பற்றிய தேற்றத்தின் ஆதாரம். வெக்டார்களின் மீது நேரியல் செயல்பாடுகள் அவற்றின் ஆய அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

4. திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை, ஒரு அச்சில் திசையன் ஆர்த்தோகனல் திட்டத்துடன் அதன் இணைப்பு. அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள், அவற்றின் ஆதாரம். திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்.

5. ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையின் வரையறை. ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஒரு திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் இந்த அடிப்படையின் திசையன்கள் மீதான அதன் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளுக்கும் இடையிலான உறவு. ஒரு திசையன் நீளம், அதன் திசை கோசைன்கள், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஆகியவற்றை ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றல்.

6. திசையன்களின் வலது மற்றும் இடது மூன்று மடங்கு. திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் வரையறை, அதன் இயந்திர மற்றும் வடிவியல் பொருள். குறுக்கு தயாரிப்பு பண்புகள் (இல்லாதது doc-va). ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறுக்கு உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்.

7. திசையன்களின் கலப்பு உற்பத்தியின் வரையறை. கோப்லானர் அல்லாத வெக்டார்களில் கட்டப்பட்ட இணைக் குழாய் மற்றும் பிரமிட்டின் அளவு. மூன்று திசையன்களுக்கான இணக்க நிலை. ஒரு கலப்பு பொருளின் பண்புகள். ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கலப்புப் பொருளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்.

8. செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் வரையறை. பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் எளிய சிக்கல்களுக்கான தீர்வு.

9. ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் பல்வேறு வகையான சமன்பாடு: திசையன், அளவுரு, நியமனம். திசை திசையன் நேராக உள்ளது.

10. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

11. ஒரு விமானத்தில் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடு ஒரு நேர் கோட்டை வரையறுக்கிறது என்ற தேற்றத்தின் ஆதாரம். ஒரு நேர் கோட்டின் சாதாரண திசையன் வரையறை.

12. சாய்வு குணகம் கொண்ட சமன்பாடு, "பிரிவுகளில்" ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு. சமன்பாடுகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அளவுருக்களின் வடிவியல் பொருள். இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். இரண்டு கோடுகளின் இணையான நிலை மற்றும் செங்குத்தாக அவற்றின் பொது அல்லது நியதிச் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

13. ஒரு விமானத்தில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்.

14. விண்வெளியில் ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடு ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கிறது என்ற தேற்றத்தின் ஆதாரம். விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு. விமானத்தின் சாதாரண திசையன் வரையறை. கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல். "பிரிவுகளில்" விமானத்தின் சமன்பாடு.

15. விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணம். இரண்டு விமானங்களின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக நிலைகள்.

16. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்.

17. விண்வெளியில் ஒரு நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகள். விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோட்டின் திசையன், நியதி மற்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்.

18. விண்வெளியில் இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம், இரண்டு நேர் கோடுகளின் இணையான நிலை மற்றும் செங்குத்தாக. இரண்டு கோடுகள் ஒரே விமானத்திற்குச் சொந்தமானதாக இருக்க வேண்டிய நிபந்தனைகள்.

19. ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம், ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் இணையான நிலை மற்றும் செங்குத்தாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் நேர் கோட்டிற்குச் சொந்தமான நிலை.

20. வெட்டும் அல்லது இணையான கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்.

21. புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக நீள்வட்டத்தின் வரையறை. நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

22. புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக ஹைப்பர்போலாவின் வரையறை. ஹைப்பர்போலாவின் நியதிச் சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

23. புள்ளிகளின் இருப்பிடமாக ஒரு பரவளையத்தின் வரையறை. நியமன பரவளைய சமன்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.

24. ஒரு உருளை மேற்பரப்பு வரையறை. உருளை மேற்பரப்புகளின் நியமன சமன்பாடுகள் 2வது ஆர்டர்.

25. புரட்சியின் மேற்பரப்பு பற்றிய கருத்து. நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையத்தின் சுழற்சியால் உருவாகும் மேற்பரப்புகளின் நியதிச் சமன்பாடுகள்.

26. ஒரு நீள்வட்டம் மற்றும் கூம்பு ஆகியவற்றின் நியதிச் சமன்பாடுகள். பிரிவு முறை மூலம் இந்த மேற்பரப்புகளின் வடிவத்தை ஆய்வு செய்தல்.

27. ஹைப்பர்போலாய்டுகளின் நியமன சமன்பாடுகள். பிரிவுகளின் முறை மூலம் ஹைப்பர்போலாய்டுகளின் வடிவத்தை ஆய்வு செய்தல்.

28. பரபோலாய்டுகளின் நியமன சமன்பாடுகள். பிரிவுகளின் முறையின் மூலம் பரபோலாய்டுகளின் வடிவத்தை ஆய்வு செய்தல்.

29. ஒரு மேட்ரிக்ஸின் கருத்து. மெட்ரிக்குகளின் வகைகள். மேட்ரிக்ஸ் சமத்துவம். மெட்ரிக்குகள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள் மீதான நேரியல் செயல்பாடுகள். மேட்ரிக்ஸ் இடமாற்றம்.

30. மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல். மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்தின் செயல்பாட்டின் பண்புகள்.

31. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் வரையறை. தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸின் தனித்தன்மைக்கான சான்று. தலைகீழ் அணி தேற்றத்தின் ஆதாரம் இரண்டு தலைகீழ் அணிகளின் பெருக்கத்திற்கு.

32. தலைகீழ் அணி இருப்பதற்கான அளவுகோல். தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸின் கருத்து, தலைகீழ் அணியுடன் அதன் இணைப்பு.

33. சிதைவடையாத சதுர மேட்ரிக்ஸுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்கான க்ரேமரின் சூத்திரங்களின் வழித்தோன்றல்.

34. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்பு மற்றும் நேரியல் சுதந்திரம். வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் சார்புக்கான அளவுகோலின் ஆதாரம்.

35. மேட்ரிக்ஸ் மைனரின் வரையறை. அடிப்படை சிறியது. அடிப்படை சிறு தேற்றம் (டோகுவா இல்லாமல்). சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கான அதன் தொடர்ச்சிக்கான சான்று.

36. மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிவதற்கான ஃபிரிங்கிங் மைனர்ஸ் முறை.

37. மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) அடிப்படை மாற்றங்கள். அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையால் தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிதல்.

38. மேட்ரிக்ஸ் அடிப்படை மாற்றங்களின் கீழ் மாறாத தேற்றத்தை தரவரிசைப்படுத்துகிறது. அடிப்படை மாற்றங்களின் முறையால் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசையைக் கண்டறிதல்.

39. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் (SLAE). SLAE எழுதும் பல்வேறு வடிவங்கள். கூட்டு மற்றும் கூட்டு அல்லாத SLAE. SLAE இணக்கத்தன்மையின் க்ரோனெக்கர்-கபேலி அளவுகோலின் ஆதாரம்.

40. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் (SLAE). அவற்றின் தீர்வுகளின் பண்புகள்.

41. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் (SLAE) ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பின் (FSR) வரையறை. ஒரே மாதிரியான SLAE இன் பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பின் தேற்றம். FSR இன் கட்டுமானம்.

42. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புகள் (SLAE). ஒரு ஒத்திசைவற்ற SLAE இன் பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பில் உள்ள தேற்றத்தின் ஆதாரம்.

கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வு	பணிகளின் எண்ணிக்கை	பணிக்கான புள்ளிகள்
DZ எண் 1, பகுதி 1
புள்ளிகள் பெற்றனர்
கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வு	பணிகளின் எண்ணிக்கை	பணிக்கான புள்ளிகள்
DZ எண் 1, பகுதி 2
புள்ளிகள் பெற்றனர்

கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வு				பணிகளின் எண்ணிக்கை			பணிக்கான புள்ளிகள்
மாடுலோ கட்டுப்பாடு எண். 1				1 கோட்பாடு மற்றும் 3 சிக்கல்கள்			கோட்பாடு - 0; 3; 6
							பணிகள் - 0; 1; 2
			புள்ளிகள் பெற்றனர்
கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வு				பணிகளின் எண்ணிக்கை			பணிக்கான புள்ளிகள்
	புள்ளிகள் பெற்றனர்
கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வு				பணிகளின் எண்ணிக்கை			பணிக்கான புள்ளிகள்
				1 கோட்பாடு மற்றும் 3 சிக்கல்கள்			கோட்பாடு - 0; 3; 6
							பணிகள் - 0; 1; 2
			புள்ளிகள் பெற்றனர்
						01 கோட்பாடு மற்றும் 3 சிக்கல்கள்			கோட்பாடு - 0; 3; 6
		பணிகள் - 0; 1; 2
			புள்ளிகள் பெற்றனர்

ஜர்னல் மதிப்பெண் விதிகள்

1. DZ க்கான புள்ளிகள். DZ க்கான புள்ளிகள் தொடர்புடைய அட்டவணையின்படி, நிலுவைத் தேதிக்குப் பிறகு அடுத்த வாரத்தில் அமைக்கப்படும். காலக்கெடுவிற்கு முன் சரிபார்ப்புக்காக தனிப்பட்ட பணிகளைச் சமர்ப்பிக்கவும், தேவையான ஆலோசனையைப் பெறும்போது ஆசிரியரால் குறிப்பிடப்பட்ட பிழைகளை சரிசெய்யவும் மாணவர் உரிமை உண்டு. DZ ஐ சமர்ப்பிப்பதற்கான காலக்கெடுவிற்குள், மாணவர் சிக்கலுக்கான தீர்வை சரியான விருப்பத்திற்கு கொண்டுவந்தால், இந்த பணிக்கு அதிகபட்ச மதிப்பெண் அவருக்கு வழங்கப்படும். DZ ஐச் சமர்ப்பிப்பதற்கான காலக்கெடுவிற்குப் பிறகு, DZக்கான குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்ணைப் பெறாத ஒரு மாணவர், வேலையைத் தொடரலாம். அதே நேரத்தில், வெற்றிகரமான வேலை வழக்கில், மாணவர் DZ க்கான குறைந்தபட்ச மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது.

2. CRக்கான புள்ளிகள். ஒரு மாணவர் CR க்கான குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்ணை சரியான நேரத்தில் எட்டவில்லை என்றால், செமஸ்டரின் போது அவர் இந்த வேலையை இரண்டு முறை மீண்டும் எழுதலாம். நேர்மறையான முடிவுடன் (நிறுவப்பட்ட குறைந்தபட்சத்தை விடக் குறைவான புள்ளிகளின் தொகுப்பு), மாணவருக்கு KR க்கு குறைந்தபட்ச மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது.

3. "மாடுலோ கட்டுப்பாடு"க்கான புள்ளிகள்.ஒரு "மாடுலோ கட்டுப்பாடு" என, ஒரு எழுதப்பட்ட வேலை முன்மொழியப்பட்டது, இதில் தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை பகுதிகள் உள்ளன. கட்டுப்பாட்டு தொகுதியின் ஒவ்வொரு பகுதியும் தனித்தனியாக மதிப்பிடப்படுகிறது. கட்டுப்பாட்டின் ஒரு பகுதியில் குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்ணுக்குக் குறையாத மதிப்பெண் பெற்ற மாணவர், இந்தப் பகுதியைத் தேர்ச்சி பெற்றதாகக் கருதப்பட்டு, எதிர்காலத்தில் அதைச் செயல்படுத்துவதில் இருந்து விடுவிக்கப்படுவார். ஆசிரியரின் விருப்பப்படி, பணியின் தத்துவார்த்த பகுதியில் ஒரு நேர்காணல் நடத்தப்படலாம். ஒரு மாணவர் வேலையின் ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் குறைந்தபட்ச மதிப்பெண் பெறவில்லை என்றால், செமஸ்டரின் போது அவர் நிலைமையை சரிசெய்ய ஒவ்வொரு பகுதிக்கும் இரண்டு முயற்சிகள் செய்கிறார். நேர்மறையுடன்

இதன் விளைவாக (நிறுவப்பட்ட குறைந்தபட்சத்தை விடக் குறையாத புள்ளிகளின் தொகுப்பு), மாணவருக்கு "தொகுதிக் கட்டுப்பாடு"க்கான குறைந்தபட்ச மதிப்பெண் வழங்கப்படுகிறது.

4. ஒரு தொகுதிக்கு கிரேடு.மாணவர் தொகுதியின் தற்போதைய அனைத்து கட்டுப்பாட்டு நடவடிக்கைகளையும் முடித்திருந்தால் (குறைந்தது நிறுவப்பட்ட குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்ணையாவது அடித்திருந்தால்),

பின்னர் தொகுதிக்கான மதிப்பீடு என்பது தொகுதியின் அனைத்து கட்டுப்பாட்டு நடவடிக்கைகளுக்கான புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும் (இந்த விஷயத்தில், மாணவர் தானாகவே குறைந்தபட்ச வரம்பை மதிப்பெண் பெறுகிறார்). அனைத்து கட்டுப்பாட்டு நடவடிக்கைகளும் முடிந்த பிறகு, தொகுதிக்கான இறுதி புள்ளிகள் பத்திரிகையில் உள்ளிடப்படுகின்றன.

5. மொத்த மதிப்பெண். இரண்டு தொகுதிகளுக்கான புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை.

6. மதிப்பீடு. இறுதிச் சான்றிதழ் (தேர்வு, வேறுபடுத்தப்பட்ட சோதனை, சோதனை) மாணவர் திட்டமிடப்பட்ட அளவு ஆய்வுப் பணிகளை முடித்து, ஒவ்வொரு தொகுதிக்கும் குறைந்தபட்சம் நிறுவப்பட்டதை விடக் குறைவாக இல்லாத மதிப்பீட்டைப் பெற்ற பிறகு, செமஸ்டரில் பணியின் முடிவுகளின் அடிப்படையில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. விடாமுயற்சிக்கான மதிப்பெண்கள் உட்பட, அனைத்து தொகுதிகளுக்கும் அதிகபட்ச மதிப்பெண் 100, குறைந்தபட்சம் 60. அனைத்து தொகுதிகளுக்கான மதிப்பெண்களின் கூட்டுத்தொகை செமஸ்டருக்கான ஒழுக்கத்திற்கான மதிப்பீடு மதிப்பெண்ணை உருவாக்குகிறது. அனைத்து கட்டுப்பாட்டு நடவடிக்கைகளிலும் தேர்ச்சி பெற்ற ஒரு மாணவர், செமஸ்டருக்கான ஒழுக்கத்தில், அளவின்படி இறுதி தரத்தைப் பெறுகிறார்:

		தேர்வு தரம்,	ஆஃப்செட்டில் மதிப்பீடு
		வேறுபட்ட நிலைகள்
		திருப்திகரமாக
		திருப்தியற்ற

உங்கள் மதிப்பீட்டை நீங்கள் அதிகரிக்கலாம், இதன் விளைவாக, இறுதித் தேர்வில் தேர்வு தரம் (ஒட்டுமொத்தமாக ஒழுக்கத்தின் பொருள் குறித்த எழுதப்பட்ட வேலை தேர்வு அமர்வின் போது மேற்கொள்ளப்படுகிறது), அதிகபட்ச மதிப்பெண் 30, குறைந்தபட்சம் -16. இந்த புள்ளிகள் ஒழுக்கத்தில் உள்ள அனைத்து தொகுதிகளுக்கும் பெறப்பட்ட புள்ளிகளுடன் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. அதே நேரத்தில், தேர்வுக்கான தரத்தை "நல்லதாக" அதிகரிக்க, மாணவர் குறைந்தபட்சம் 21 புள்ளிகள், "சிறந்த" ─ குறைந்தபட்சம் 26 புள்ளிகளைப் பெற வேண்டும். ஒழுங்குமுறை மூலம் கடன் வழங்கப்படும் சிறப்புகளுக்கு, மதிப்பீடு அதிகரிக்கப்படாது. பரீட்சை அமர்வின் தொடக்கத்தில் 0-59 வரம்பில் மதிப்பீட்டைக் கொண்டிருக்கும் மாணவர்கள், தனித் தொகுதிகளில் முன்னர் வரவு வைக்கப்படாத கட்டுப்பாட்டு நிகழ்வுகளை மீண்டும் பெறுவதன் மூலம், ஒழுக்கத்தில் நேர்மறை தரத்தைப் பெறுவதற்குத் தேவையான குறைந்தபட்சத்தைப் பெறுவார்கள். அதே நேரத்தில், சரியான காரணம் இல்லாத மாணவர்கள் இறுதியில் (தேர்வு அமர்வின் முடிவில்) "திருப்திகரமான" தரத்தை விட உயர்ந்த தரத்தைப் பெறலாம்.

அப்சிஸ்ஸா மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்புகள் திசையன். திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் பொதுவாக வடிவத்தில் குறிக்கப்படுகின்றன (x, y), மற்றும் திசையன் தானே: = (x, y).

இரு பரிமாண சிக்கல்களுக்கான திசையன்களின் ஆயங்களை நிர்ணயிப்பதற்கான சூத்திரம்.

இரு பரிமாணச் சிக்கலின் போது, ​​அறியப்பட்ட ஒரு திசையன் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் A(x 1; y 1)மற்றும் பி(எக்ஸ் 2 ; ஒய் 2 ) கணக்கிட முடியும்:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

இடஞ்சார்ந்த சிக்கல்களுக்கான திசையன்களின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம்.

ஒரு இடஞ்சார்ந்த பிரச்சனையில், அறியப்பட்ட ஒரு திசையன் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்ஏ (x 1; y 1;z 1 ) மற்றும் பி (எக்ஸ் 2 ; ஒய் 2 ; z 2 ) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

= (எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் 1 ; ஒய் 2 - ஒய் 1 ; z 2 - z 1 ).

ஆயத்தொலைவுகள் திசையன் பற்றிய விரிவான விளக்கத்தை அளிக்கின்றன, ஏனெனில் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து திசையனை உருவாக்க முடியும். ஆயங்களை அறிந்துகொள்வது, கணக்கிடுவது எளிது திசையன் நீளம். (சொத்து 3 கீழே).

திசையன் ஒருங்கிணைப்பு பண்புகள்.

1. ஏதேனும் சம திசையன்கள்ஒற்றை ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ளது சம ஆயத்தொலைவுகள்.

2. ஆயத்தொலைவுகள் கோலினியர் திசையன்கள்விகிதாசார. எந்த திசையன்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.

3. எந்த வெக்டரின் நீளத்தின் சதுரமும் அதன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் ஒருங்கிணைப்புகள்.

4.ஆபரேஷன் போது திசையன் பெருக்கல்அன்று உண்மையான எண்அதன் ஒவ்வொரு ஆயமும் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

5. திசையன் கூட்டலின் செயல்பாட்டின் போது, ​​தொடர்புடைய தொகையை கணக்கிடுகிறோம் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்.

6. ஸ்கேலர் தயாரிப்புஇரண்டு திசையன்கள் அந்தந்த ஆயங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.