Lekcia „Funkcia y \u003d sinx, jej vlastnosti a graf“. Graf funkcie y \u003d sin x Y sin x rastie má najväčšiu hodnotu

Zistili sme, že chovanie trigonometrických funkcií a funkcií y \u003d hriech x najmä na celom číselnom riadku (alebo pre všetky hodnoty argumentu x) je úplne určený jeho správaním v intervale 0 < x < π / 2 .

Preto si v prvom rade zakreslíme funkciu y \u003d hriech x presne v tomto intervale.

Zostavme nasledujúcu tabuľku hodnôt našej funkcie;

Označením zodpovedajúcich bodov na rovine súradníc a ich spojením hladkou čiarou získame krivku zobrazenú na obrázku

Výslednú krivku je možné zostaviť geometricky bez zostavenia tabuľky funkčných hodnôt y \u003d hriech x .

1. Prvá štvrtina kruhu s polomerom 1 je rozdelená na 8 rovnakých častí. Súradnice bodov rozdelenia kruhu sú sínusy zodpovedajúcich uhlov.

2. Prvá štvrtina kruhu zodpovedá uhlom od 0 do π / 2 ... Preto na osi x vezmite segment a rozdeľte ho na 8 rovnakých častí.

3. Nakreslíme priame čiary rovnobežné s osami x, a z bodov rozdelenia obnovíme kolmice na priesečník s vodorovnými čiarami.

4. Priesečníky spojte hladkou čiarou.

Teraz sa obráťme na interval π / 2 < x < π .
Hodnota každého argumentu x z tohto intervalu je možné znázorniť ako

x = π / 2 + φ

kde 0 < φ < π / 2 ... Redukčnými vzorcami

hriech ( π / 2 + φ ) \u003d cos φ \u003d hriech ( π / 2 - φ ).

Osové body x s abscismi π / 2 + φ a π / 2 - φ navzájom symetrické okolo bodu osi x s úsečkou π / 2 a sínusy v týchto bodoch sú rovnaké. Takto môžete získať graf funkcie y \u003d hriech x v intervale [ π / 2 , π ] jednoduchým symetrickým zobrazením grafu tejto funkcie v intervale vzhľadom na priamku x = π / 2 .

Teraz sa používa vlastnosť nepárna funkcia y \u003d hriech x,

hriech (- x) \u003d - hriech x,

je ľahké túto funkciu vykresliť v intervale [- π , 0].

Funkcia y \u003d sin x je periodická s periódou 2π ;. Preto na vykreslenie celého grafu tejto funkcie stačí krivka zobrazená na obrázku, pokračujte pravidelne doľava a doprava s bodkou 2π .

Výsledná krivka sa volá sínusoida ... Je to graf funkcie y \u003d hriech x.

Obrázok dobre ilustruje všetky tieto vlastnosti funkcie. y \u003d hriech x ktoré sme už skôr preukázali. Pripomeňme si tieto vlastnosti.

1) Funkcia y \u003d hriech x definované pre všetky hodnoty x , takže doménou jeho definície je súhrn všetkých reálnych čísel.

2) Funkcia y \u003d hriech x obmedzený. Všetky hodnoty, ktoré získa, sú v rozmedzí od -1 do 1, vrátane týchto dvoch čísel. Preto je rozsah variácií tejto funkcie určený nerovnosťou -1 < o < 1. Kedy x = π / 2 + 2 tis π funkcia má najväčšie hodnoty rovné 1 a pre x \u003d - π / 2 + 2 tis π - najmenšie hodnoty rovnajúce sa - 1.

3) Funkcia y \u003d hriech x je nepárne (sínusoida je symetrická s pôvodom).

4) Funkcia y \u003d hriech x periodicky s obdobím 2 π .

5) V intervaloch 2n π < x < π + 2n π (n je celé číslo) je kladné a v intervaloch π + 2 tis π < x < 2π + 2 tis π (k je celé číslo) je záporné. Pre x \u003d k π funkcia zmizne. Preto tieto hodnoty argumentu x (0; ± π ; ± 2 π ; ...) sa nazývajú nuly funkcie y \u003d hriech x

6) V intervaloch - π / 2 + 2n π < x < π / 2 + 2n π funkcia y \u003d hriech x sa zvyšuje monotónne a v intervaloch π / 2 + 2 tis π < x < 3π / 2 + 2 tis π monotónne klesá.

Venujte zvláštnu pozornosť chovaniu funkcie y \u003d hriech x blízky bod x = 0 .

Napríklad hriech 0,012 ≈ 0,012; hriech (-0,05) ≈ -0,05;

hriech 2 ° \u003d hriech π 2 / 180 \u003d hriech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Zároveň je potrebné poznamenať, že pre akékoľvek hodnoty x

| hriech x| < | x | . (1)

Nech je polomer kruhu zobrazeného na obrázku 1,
a / AОВ \u003d x.

Potom zhrešte x \u003d AC. Ale AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол x... Dĺžka tohto oblúka je samozrejme x, pretože polomer kruhu je 1. Takže pri 0< x < π / 2

hriech x< х.

Preto kvôli zvláštnosti funkcie y \u003d hriech x je ľahké ukázať, že pre - π / 2 < x < 0

| hriech x| < | x | .

Nakoniec o x = 0

| hriech x | \u003d | x |.

Teda pre | x | < π / 2 nerovnosť (1) je dokázaná. V skutočnosti táto nerovnosť platí aj pre | x | > π / 2 vzhľadom na skutočnosť, že | hriech x | < 1, a π / 2 > 1

Cvičenia

1. Funkcia harmonogramu y \u003d hriech x určiť: a) hriech 2; b) hriech 4; c) hriech (-3).

2. na funkciu plánu y \u003d hriech x určiť, ktoré číslo z intervalu
[ - π / 2 , π / 2 ] má sínus rovný: a) 0,6; b) -0,8.

3. Podľa harmonogramu funkcií y \u003d hriech x určiť, ktoré čísla majú sínus,
rovná sa 1/2.

4. Nájdite približne (bez použitia tabuliek): a) hriech 1 °; b) hriech 0,03;
c) hriech (-0,015); d) hriech (-2 ° 30 ").

Lekcia a prezentácia na tému: "Funkcia y \u003d sin (x). Definície a vlastnosti"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, želania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Príručky a simulátory v online obchode Integral pre ročník 10 od 1C
Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne stavebné úlohy pre ročníky 7. – 10
Softvérové \u200b\u200bprostredie „1C: Mathematical Designer 6.1“

Čo budeme študovať:

• Vlastnosti funkcie Y \u003d sin (X).
• Graf funkcií.
• Ako zostaviť graf a jeho mierku.
• Príklady.

Sínusové vlastnosti. Y \u003d hriech (X)

Chlapci, už sme sa oboznámili s trigonometrickými funkciami numerického argumentu. Pamätáš si ich?

Pozrime sa bližšie na funkciu Y \u003d sin (X)

Napíšme niektoré vlastnosti tejto funkcie:
1) Definičná oblasť - množina reálnych čísel.
2) Funkcia je nepárna. Pamätajme na definíciu nepárnej funkcie. Funkcia sa nazýva nepárna, ak platí rovnosť: y (-x) \u003d - y (x). Ako si pamätáme z duchovných vzorcov: sin (-x) \u003d - sin (x). Definícia bola splnená, takže Y \u003d sin (X) je nepárna funkcia.
3) Funkcia Y \u003d sin (X) sa zvyšuje na segmente a klesá na segmente [π / 2; π]. Keď sa pohybujeme po prvej štvrtine (proti smeru hodinových ručičiek), zväčší sa súradnica a keď sa pohybujeme po druhej štvrtine, zmenší sa.

4) Funkcia Y \u003d sin (X) je ohraničená zdola a zhora. Táto vlastnosť vyplýva zo skutočnosti, že
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) Najmenšia hodnota funkcie je -1 (pri x \u003d - π / 2 + πk). Najväčšia hodnota funkcie je 1 (pri x \u003d π / 2 + πk).

Použijme vlastnosti 1-5 na vykreslenie funkcie Y \u003d sin (X). Náš graf vytvoríme postupne a použijeme naše vlastnosti. Začnime zostavovať graf na segmente.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať stupnici. Na súradnici je pohodlnejšie vziať jednotkový segment rovný 2 bunkám a na osi úsečky - vziať jednotkový segment (dve bunky) rovný π / 3 (pozri obrázok).

Vyneste funkciu sínus x, y \u003d hriech (x)

Vypočítajme hodnoty funkcie v našom segmente:

Vytvorme graf na základe našich bodov, berúc do úvahy tretiu vlastnosť.

Prevodná tabuľka pre duchové vzorce

Použime druhú vlastnosť, ktorá hovorí, že naša funkcia je nepárna, čo znamená, že sa môže symetricky odrážať o pôvode:

Poznáme hriech (x + 2π) \u003d hriech (x). To znamená, že na segmente [- π; π] graf vyzerá rovnako ako na segmente [π; 3π] alebo alebo [-3π; - π] a tak ďalej. Ostáva nám opatrne prekresliť graf na predchádzajúcom obrázku na celú os úsečky.

Graf funkcie Y \u003d sin (X) sa nazýva sínusoida.

Napíšme podľa zostaveného grafu ešte niekoľko vlastností:
6) Funkcia Y \u003d sin (X) sa zvyšuje v ktoromkoľvek segmente tvaru: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k je celé číslo a klesá v ktoromkoľvek segmente tvaru: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k je celé číslo.
7) Funkcia Y \u003d sin (X) je spojitá funkcia. Pozrime sa na graf funkcie a uistite sa, že naša funkcia nemá žiadne diskontinuity, čo znamená spojitosť.
8) Rozsah hodnôt: segment [- 1; jeden]. Je to jasne vidieť aj z funkčného grafu.
9) Funkcia Y \u003d sin (X) je periodická funkcia. Pozrime sa znova na graf a uvidíme, že funkcia v určitých intervaloch nadobúda rovnaké hodnoty.

Príklady sínusových problémov

1. Vyriešte rovnicu sin (x) \u003d x-π

Riešenie: Vytvorme 2 grafy funkcie: y \u003d sin (x) a y \u003d x-π (pozri obrázok).
Naše grafy sa pretínajú v jednom bode A (π; 0), toto je odpoveď: x \u003d π

2. Vyneste funkciu y \u003d sin (π / 6 + x) -1

Riešenie: Požadovaný graf sa získa posunutím grafu funkcie y \u003d sin (x) o π / 6 jednotiek doľava a 1 jednotka nadol.

Riešenie: Pozrime sa na funkciu a zvážme náš segment [π / 2; 5π / 4].
Graf funkcie ukazuje, že najväčšie a najmenšie hodnoty sa dosahujú na koncoch segmentu, v bodoch π / 2, respektíve 5π / 4.
Odpoveď: sin (π / 2) \u003d 1 - najväčšia hodnota, sin (5π / 4) \u003d najmenšia hodnota.

Sinusové problémy pre nezávislé riešenie

• Vyriešte rovnicu: sin (x) \u003d x + 3π, sin (x) \u003d x-5π
• Plotová funkcia y \u003d sin (π / 3 + x) -2
• Funkcia vykreslenia y \u003d sin (-2π / 3 + x) +1
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d sin (x) v intervale
• Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie y \u003d sin (x) na segmente [- π / 3; 5π / 6]

Funkciar = hriechx

Funkčný graf je sínusoida.

Úplná neopakujúca sa časť sínusoidy sa nazýva sínusová vlna.

Polvlna sínusovej vlny sa nazýva polvlna sínusovej vlny (alebo oblúka).

Funkčné vlastnostir = hriechx:

3) Toto je nepárna funkcia. 4) Toto je nepretržitá funkcia. - s osou úsečky: (πn; 0), - s osou súradnice: (0; 0). 6) Na segmente [-π / 2; π / 2] funkcia sa zvyšuje na intervale [π / 2; 3π / 2] - klesá. 7) V intervaloch má funkcia kladné hodnoty. V intervaloch [-π + 2πn; 2πn] funkcia má záporné hodnoty. 8) Intervaly zväčšujúcej sa funkcie: [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn]. Znížiť intervaly funkcie: [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn]. 9) Minimálne body funkcie: -π / 2 + 2πn. Maximálny počet bodov funkcie: π / 2 + 2πn najvyššia hodnota je 1.

Na vykreslenie funkcie r \u003d hriech x je vhodné použiť nasledujúce stupnice:

Na hárku v klietke vezmeme dĺžku dvoch buniek ako jednotku segmentu.

Na osi x zmerajte dĺžku π. V tomto prípade je pre uľahčenie 3,14 predstavovaná ako 3 - to znamená bez zlomku. Potom na hárku v bunke bude π 6 buniek (trikrát 2 bunky). A každá bunka dostane svoje vlastné logické meno (od prvého do šiesteho): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. To sú hodnoty x.

Na osi y označte 1, ktorá obsahuje dve bunky.

Zostavme z našich hodnôt tabuľku funkčných hodnôt x:

			√3 - 2		√3 - 2

Ďalej si urobme graf. Dostanete polvlnu, ktorej najvyšší bod je (π / 2; 1). Toto je graf funkcie r \u003d hriech x na segmente. Pridajte do vyneseného grafu symetrickú polvlnu (symetrickú k počiatku, to znamená k segmentu -π). Vrchol tejto polvlny je pod osou x so súradnicami (-1; -1). Výsledkom je vlna. Toto je graf funkcie r \u003d hriech x na segmente [-π; π].

Vo vlne môžete pokračovať tak, že ju postavíte na segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] atď. Na všetkých týchto segmentoch bude graf funkcie vyzerať rovnako ako na segmente [-π; π]. Získate súvislú vlnovku s rovnakými vlnami.

Funkciar = cosx.

Graf funkcie je sínusoida (niekedy sa nazýva kosínus).

Funkčné vlastnostir = cosx:

1) Doménou funkcie je množina reálnych čísel. 2) Rozsah hodnôt funkcie - segment [–1; jeden] 3) Toto je rovnomerná funkcia. 4) Toto je nepretržitá funkcia. 5) Súradnice priesečníkov grafu: - s osou úsečky: (π / 2 + πn; 0), - s osou súradnice: (0; 1). 6) Na segmente funkcia klesá, na segmente [π; 2π] - zvyšuje sa. 7) V intervaloch [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn] funkcia nadobúda kladné hodnoty. V intervaloch [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn] funkcia berie záporné hodnoty. 8) Zvyšujte intervaly: [-π + 2πn; 2πn]. Zostupné intervaly :; 9) Minimálne body funkcie: π + 2πn. Maximálny počet bodov funkcie: 2πn. 10) Funkcia obmedzená zhora a zdola. Najmenšia hodnota funkcie je -1, najvyššia hodnota je 1. 11) Toto je periodická funkcia s periódou 2π (T \u003d 2π)

Funkciar = mf(x).

Zoberme si predchádzajúcu funkciu r \u003d cos x... Ako už viete, jeho graf je sínusová vlna. Ak vynásobíme kosínus tejto funkcie určitým počtom m, potom sa vlna bude tiahnuť od osi x (alebo zmenšiť, v závislosti na hodnote m).
Táto nová vlna bude grafom funkcie y \u003d mf (x), kde m je akékoľvek reálne číslo.

Funkcia y \u003d mf (x) je teda zvyčajná funkcia y \u003d f (x) vynásobená m.

Akm< 1, то синусоида сжимается к оси x podľa faktoram. Akm\u003e 1, potom sa sínusoida natiahne od osix podľa faktoram.

Pri rozťahovaní alebo stláčaní môžete najskôr vytvoriť iba jednu polvlnu sínusoidy a potom dokončiť celý graf.

Funkciay \u003d f(kx).

Ak je funkcia y \u003dmf(x) vedie k natiahnutiu sínusoidy od osi x alebo stlačenie na os x, potom funkcia y \u003d f (kx) vedie k natiahnutiu od osi r alebo stlačenie na os r.

K je akékoľvek reálne číslo.

O 0< k< 1 синусоида растягивается от оси r podľa faktorak. Akk\u003e 1, potom sa sínusoida stlačí smerom k osir podľa faktorak.

Pri vykresľovaní tejto funkcie môžete najskôr vykresliť jednu polvlnu sínusoidy a potom ju použiť na dokončenie celého grafu.

Funkciar = tgx.

Graf funkcií r \u003d tg x je tangentoid.

Stačí vykresliť časť grafu v intervale od 0 do π / 2 a potom v ňom môžete symetricky pokračovať v intervale od 0 do 3π / 2.

Funkčné vlastnostir = tgx:

Funkciar = ctgx

Graf funkcií r \u003d ctg x je tiež tangentoid (niekedy sa nazýva kotangentoid).

Funkčné vlastnostir = ctgx:

V tejto lekcii sa bližšie pozrieme na funkciu y \u003d sin x, jej hlavné vlastnosti a graf. Na začiatku hodiny dáme na súradnicovej kružnici definíciu trigonometrickej funkcie y \u003d sin t a zvážime graf funkcie na kružnici a priamke. Ukážme periodicitu tejto funkcie na grafe a zvážme hlavné vlastnosti funkcie. Na konci hodiny vyriešime niekoľko jednoduchých úloh pomocou grafu funkcie a jej vlastností.

Téma: trigonometrické funkcie

Ponaučenie: Funkcia y \u003d sinx, jej základné vlastnosti a graf

Pri zvažovaní funkcie je dôležité priradiť každú hodnotu argumentu jednej hodnote funkcie. Toto zákon o zhode a nazýva sa funkcia.

Definujme korešpondenčný zákon pre.

Akékoľvek skutočné číslo zodpovedá jednej bodke jednotkový kruh Bod má jedinú súradnicu, ktorá sa nazýva sínus čísla (obr. 1).

Každej hodnote argumentu je priradená jedna hodnota funkcie.

Zjavné vlastnosti vyplývajú z definície sínusu.

Obrázok to ukazuje odkedy toto je súradnica bodu jednotkovej kružnice.

Zvážte graf funkcie. Pripomeňme si geometrickú interpretáciu argumentu. Argumentom je stredový uhol, meraný v radiánoch. Pozdĺž osi budeme odkladať reálne čísla alebo uhly v radiánoch, pozdĺž osi zodpovedajúcej funkčnej hodnote.

Napríklad uhol na jednotkovej kružnici zodpovedá bodu v grafe (obr. 2)

Získali sme graf funkcie na webe. Ale s vedomím periódy sínusu môžeme graf funkcie zobraziť v celej doméne (obr. 3).

Hlavné obdobie funkcie je To znamená, že graf je možné získať na segmente a potom pokračovať do celej definičnej oblasti.

Zvážte vlastnosti funkcie:

1) Rozsah:

2) Rozsah hodnôt:

3) Funkcia je nepárna:

4) Najmenšie kladné obdobie:

5) Súradnice priesečníkov grafu s osou úsečky:

6) Súradnice priesečníka grafu s osou y:

7) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty:

8) Intervaly, v ktorých funkcia nadobúda záporné hodnoty:

9) Vzostupné intervaly:

10) Zostupné intervaly:

11) Minimálne body:

12) Minimálna funkcia:

13) Maximálny počet bodov:

14) Maximálna funkcia:

Preskúmali sme vlastnosti funkcie a jej graf. Vlastnosti sa pri riešení problémov použijú opakovane.

Zoznam referencií

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Výukový program pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) vyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra a počet pre 10. ročník ( návod pre študentov škôl a tried s pokročilým štúdiom matematiky). - M.: Education, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Hĺbkové štúdium algebry a matematická analýza. -M.: Education, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (pod redakciou MI Skanavi). - M .: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraický simulátor. -K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Úlohy v algebre a princípy analýzy (príručka pre študentov 10. - 11. ročníka všeobecných vzdelávacích inštitúcií). - M.: Education, 2003.

8. Karp A.P. Zbierka úloh v algebre a princípy analýzy: učebnica. príspevok na 10 - 11 ročníkov s prehĺbením štúdium matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ďalšie webové zdroje

3. Vzdelávací portál pripraviť sa na skúšky ().