Štatistické matematické očakávania. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej. Očakávanie partnerov je

Koncept matematického očakávania je možné zvážiť na príklade hádzania kockou. Vypadnuté body sa zaznamenávajú pri každom hode. Na ich vyjadrenie sa používajú prirodzené hodnoty v rozsahu 1 - 6.

Po určitom počte hodov pomocou jednoduchých výpočtov nájdete aritmetický priemer vypadnutých bodov.

Okrem toho, že vypadne z akýchkoľvek hodnôt rozsahu, bude táto hodnota náhodná.

A ak niekoľkokrát zvýšite počet hodov? Pri veľkom počte hodov sa aritmetický priemer bodov priblíži ku konkrétnemu číslu, ktoré sa v teórii pravdepodobnosti nazýva matematické očakávanie.

Matematickým očakávaním sa teda rozumie priemerná hodnota náhodnej premennej. Tento ukazovateľ môže byť tiež prezentovaný ako vážený súčet hodnôt pravdepodobnej hodnoty.

Tento koncept má niekoľko synoným:

• priemer;
• priemerná hodnota;
• ukazovateľ centrálneho trendu;
• prvý moment.

Inými slovami, nie je to nič iné ako číslo, okolo ktorého sú distribuované hodnoty náhodnej premennej.

V rôznych oblastiach ľudskej činnosti sa prístupy k porozumeniu matematického očakávania budú mierne líšiť.

Dá sa na to pozerať ako:

• priemerný prospech získaný z rozhodnutia v prípade, ak sa také rozhodnutie posudzuje z hľadiska teórie veľkých čísel;
• možná výška výhier alebo prehier (teória hazardných hier), vypočítaná v priemere pre každú zo stávok. V slangu znejú ako „výhoda hráča“ (pozitívna pre hráča) alebo „výhoda v kasíne“ (negatívna pre hráča);
• percento zisku získaného z výhier.

Očakávanie sa nevyžaduje pre úplne všetky náhodné premenné. Absentuje pre tých, ktorí majú nesúlad medzi zodpovedajúcim súčtom alebo integrálom.

Vlastnosti matematického očakávania

Ako každý štatistický parameter má matematické očakávanie nasledujúce vlastnosti:

Základné vzorce pre matematické očakávania

Výpočet matematického očakávania je možné vykonať pre náhodné premenné charakterizované kontinuitou (vzorec A) aj diskrétnosťou (vzorec B):

1. M (X) = ∑i = 1nxi⋅pi, kde xi sú hodnoty náhodnej premennej, pi sú pravdepodobnosti:
2. M (X) = ∫ + ∞ - ∞f (x) ⋅xdx, kde f (x) je daná hustota pravdepodobnosti.

Príklady výpočtu očakávanej hodnoty

Príklad A.

Je možné zistiť priemernú výšku trpaslíkov v príbehu o Snehulienke. Je známe, že každý zo 7 trpaslíkov mal určitú výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.

Algoritmus výpočtu je veľmi jednoduchý:

• nájdeme súčet všetkých hodnôt ukazovateľa rastu (náhodná premenná):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• výsledná čiastka sa vydelí počtom škriatkov:
  6,31:7=0,90.

Priemerná výška trpaslíkov v rozprávke je teda 90 cm. Inými slovami, toto je matematické očakávanie rastu trpaslíkov.

Pracovný vzorec - M (x) = 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 = 6

Praktická implementácia matematického očakávania

Výpočet štatistického ukazovateľa matematického očakávania sa používa v rôznych oblastiach praxe. V prvom rade hovoríme o komerčnej sfére. Huygensov zavedenie tohto ukazovateľa je skutočne spojené s určovaním šancí, ktoré môžu byť pre nejakú udalosť priaznivé, alebo naopak nepriaznivé.

Tento parameter sa široko používa na hodnotenie rizík, najmä pokiaľ ide o finančné investície.
V podnikaní teda výpočet matematického očakávania slúži ako metóda na hodnotenie rizika pri výpočte cien.

Tento indikátor je možné použiť aj na výpočet účinnosti určitých opatrení, napríklad na ochranu práce. Vďaka nemu môžete vypočítať pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti.

Ďalšou oblasťou použitia tohto parametra je manažment. Môže sa tiež vypočítať počas kontroly kvality výrobku. Napríklad pomocou podložky. očakávania, môžete vypočítať možný počet výrobných chybných dielov.

Pri štatistickom spracovaní výsledkov získaných v priebehu vedeckého výskumu sa ukazuje, že očakávanie je nevyhnutné. Umožňuje vám vypočítať pravdepodobnosť požadovaného alebo nežiaduceho výsledku experimentu alebo výskumu v závislosti od úrovne dosiahnutia cieľa. Koniec koncov, jeho dosiahnutie môže byť spojené so ziskom a prospechom, a nie jeho dosiahnutie - ako strata alebo strata.

Použitie matematického očakávania na Forexe

Praktické použitie tohto štatistického parametra je možné pri uskutočňovaní transakcií na devízovom trhu. Môže sa použiť na analýzu úspechu obchodných transakcií. Zvýšenie hodnoty očakávania navyše naznačuje zvýšenie ich úspechu.

Je tiež dôležité mať na pamäti, že matematické očakávania by nemali byť považované za jediný štatistický parameter používaný na analýzu výkonnosti obchodníka. Použitie niekoľkých štatistických parametrov spolu s priemernou hodnotou občas zvyšuje presnosť analýzy.

Tento parameter sa osvedčil pri monitorovaní obchodných účtov. Vďaka nemu sa vykonáva rýchle vyhodnotenie práce vykonanej na vkladovom účte. V prípadoch, keď je obchodníkova činnosť úspešná a vyhýba sa stratám, neodporúča sa používať iba výpočet matematického očakávania. V týchto prípadoch sa neberú do úvahy riziká, čo znižuje účinnosť analýzy.

Výskum taktiky obchodníkov vykonaný podľa týchto prieskumov ukazuje, že:

• najefektívnejšie sú taktiky založené na náhodnom vstupe;
• najmenej účinné sú taktiky založené na štruktúrovaných heslách.

Na dosiahnutie pozitívnych výsledkov je rovnako dôležité:

• taktiky riadenia peňazí;
• výstupné stratégie.

Použitím takéhoto ukazovateľa ako matematického očakávania je možné predpokladať, aký bude zisk alebo strata pri investovaní 1 dolára. Je známe, že tento ukazovateľ vypočítaný pre všetky hry hrané v kasíne je v prospech inštitúcie. Práve to vám umožní zarobiť peniaze. V prípade dlhej série hier sa pravdepodobnosť, že klient príde o peniaze, výrazne zvyšuje.

Hry profesionálnych hráčov sú obmedzené na krátke časové intervaly, čo zvyšuje pravdepodobnosť výhry a znižuje riziko prehry. Rovnaký vzorec sa pozoruje pri vykonávaní investičných operácií.

Investor môže v krátkom časovom období zarobiť značnú čiastku s pozitívnym očakávaním a veľkým počtom transakcií.

Očakávanie je možné chápať ako rozdiel medzi percentuálnym podielom zisku (PW) krát priemerným ziskom (AW) a pravdepodobnosťou straty (PL) a priemernou stratou (AL).

Ako príklad zvážte nasledujúce: pozícia - 12,5 tisíc dolárov, portfólio - 100 tisíc dolárov, riziko vkladu - 1%. Ziskovosť transakcií je 40% prípadov s priemerným ziskom 20%. V prípade straty je priemerná strata 5%. Výpočet očakávanej hodnoty pre obchod dáva hodnotu 625 dolárov.

Okrem distribučných zákonov je možné popísať aj náhodné premenné numerické charakteristiky .

Matematické očakávanie M (x) náhodnej premennej sa nazýva jej stredná hodnota.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej sa vypočíta podľa vzorca

kde – hodnoty náhodnej premennej, s ja - ich pravdepodobnosti.

Zvážte vlastnosti očakávanej hodnoty:

1. Matematické očakávanie konštanty sa rovná konštante samotnej

2. Ak sa náhodná premenná vynásobí nejakým číslom k, potom sa matematické očakávania vynásobia rovnakým číslom

M (kx) = kM (x)

3. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní

M (x 1 + x 2 +… + x n) = M (x 1) + M (x 2) +… + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Pre nezávislé náhodné veličiny x 1, x 2, ... x n je matematické očakávanie produktu rovnaké ako súčin ich matematických očakávaní.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Vypočítajme matematické očakávania pre náhodnú premennú z príkladu 11.

M (x) = = .

Príklad 12. Náhodné premenné x 1, x 2 nech sú dané distribučnými zákonmi, respektíve:

x 1 Tabuľka 2

x 2 Tabuľka 3

Vypočítajte M (x 1) a M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Matematické očakávania oboch náhodných premenných sú rovnaké - rovnajú sa nule. Povaha ich distribúcie je však odlišná. Ak sa hodnoty x 1 málo líšia od ich matematického očakávania, potom sa hodnoty x 2 do značnej miery líšia od ich matematického očakávania a pravdepodobnosti takýchto odchýlok nie sú malé. Tieto príklady ukazujú, že z priemernej hodnoty nie je možné určiť, aké odchýlky od nej nastanú, a to nahor aj nadol. Takže pri rovnakom priemernom množstve zrážok v dvoch oblastiach za rok nemožno povedať, že tieto oblasti sú rovnako priaznivé pre poľnohospodársku prácu. Podobne podľa ukazovateľa priemerných miezd nie je možné posúdiť podiel pracovníkov s vysokými a nízkymi mzdami. Preto je zavedená numerická charakteristika - disperzia D (x) , ktorý charakterizuje stupeň odchýlky náhodnej veličiny od jej strednej hodnoty:

D (x) = M (x - M (x)) 2. (2)

Odchýlka je matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej veličiny od matematického očakávania. Pre diskrétnu náhodnú premennú je odchýlka vypočítaná podľa vzorca:

D (x) = = (3)

Z definície rozptylu vyplýva, že D (x) 0.

Disperzné vlastnosti:

1. Rozptyl konštanty je nulový

2. Ak sa náhodná premenná vynásobí nejakým číslom k, potom sa rozptyl vynásobí druhou mocninou tohto čísla

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) - M 2 (x)

4. Pri párových nezávislých náhodných premenných x 1, x 2, ... x x n je rozptyl súčtu rovný súčtu rozptylov.

D (x 1 + x 2 +… + x n) = D (x 1) + D (x 2) +… + D (x n)

Vypočítajme rozptyl pre náhodnú premennú z príkladu 11.

Matematické očakávanie М (x) = 1. Preto podľa vzorca (3) máme:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

Všimnite si, že je jednoduchšie vypočítať rozptyl, ak použijeme vlastnosť 3:

D (x) = M (x 2) - M 2 (x).

Vypočítajme rozptyl náhodných premenných x 1, x 2 z príkladu 12 pomocou tohto vzorca. Matematické očakávania oboch náhodných premenných sa rovnajú nule.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Čím bližšie je hodnota rozptylu k nule, tým menší je rozptyl náhodnej veličiny vzhľadom na priemernú hodnotu.

Množstvo sa nazýva štandardná odchýlka. Náhodný variabilný režim X diskrétny typ Md sa nazýva taká hodnota náhodnej premennej, ktorá zodpovedá najvyššej pravdepodobnosti.

Náhodný variabilný režim X spojitý typ Md, sa nazýva skutočné číslo, definované ako maximálny bod hustoty rozdelenia pravdepodobnosti f (x).

Medián náhodnej premennej X spojitý typ Mn sa nazýva skutočné číslo zodpovedajúce rovnici

Základné numerické charakteristiky diskrétnych a spojitých náhodných premenných: matematické očakávania, rozptyl a štandardná odchýlka. Ich vlastnosti a príklady.

Distribučný zákon (distribučná funkcia a distribučné rady alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a možnú odchýlku od nej), aby bolo možné odpovedať na položenú otázku. Zvážte hlavné numerické charakteristiky diskrétnych náhodných premenných.

Definícia 7.1.Matematické očakávanie diskrétna náhodná premenná je súčet súčinov jej možných hodnôt so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami:

M(NS) = NS 1 R. 1 + NS 2 R. 2 + … + x p p p.(7.1)

Ak je počet možných hodnôt náhodnej premennej nekonečný, potom ak sa výsledný rad absolútne zbieha.

Poznámka 1. Niekedy sa nazýva aj matematické očakávanie Vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pre veľký počet experimentov.

Poznámka 2. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia.

Poznámka 3. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je žiadna náhoda(konštantný. V nasledujúcom texte uvidíme, že to isté platí pre spojité náhodné premenné.

Príklad 1. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej NS- počet štandardných dielov z troch vybraných z dávky 10 dielov, z ktorých 2 sú chybné. Poďme zostaviť distribučnú sériu pre NS... Z vyhlásenia problému vyplýva, že NS môže nadobudnúť hodnoty 1, 2, 3. Potom

Príklad 2. Určte matematické očakávanie náhodnej premennej NS- počet hodov mincou pred prvým výskytom erbu. Táto hodnota môže mať nekonečný počet hodnôt (množina možných hodnôt je množina prirodzených čísel). Jeho distribučná séria je nasledovná:

NS			…	NS	…
R.	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)NS	…

+ (pri výpočte bol dvakrát použitý vzorec pre súčet nekonečne sa znižujúcej geometrickej postupnosti :, odkiaľ).

Vlastnosti matematického očakávania.

1) Matematické očakávanie konštanty sa rovná najstálejšej:

M(S) = S.(7.2)

Dôkaz. Vzhľadom na to S ako diskrétna náhodná premenná, ktorá má iba jednu hodnotu S s pravdepodobnosťou R.= 1, potom M(S) = S?1 = S.

2) Konštantný faktor je možné vyňať zo znamienka matematického očakávania:

M(SH) = CM(NS). (7.3)

Dôkaz. Ak náhodná premenná NS dané distribučnou sériou

Potom M(SH) = Cx 1 R. 1 + Cx 2 R. 2 + … + Cx p p p = S(NS 1 R. 1 + NS 2 R. 2 + … + x p p p) = CM(NS).

Definícia 7.2. Nazývajú sa dve náhodné premenné nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké hodnoty mal druhý. V opačnom prípade náhodné premenné závislý.

Definícia 7.3. Zavolajme súčin nezávislých náhodných premenných NS a Y náhodná premenná XY, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčinom všetkých možných hodnôt NS pre všetky možné hodnoty Y, a zodpovedajúce pravdepodobnosti sa rovnajú súčinom pravdepodobností faktorov.

3) Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dôkaz. Na zjednodušenie výpočtov sa obmedzujeme na prípad, keď NS a Y vezmite iba dve možné hodnoty:

Preto, M(XY) = X 1 r 1 ?p 1 g 1 + X 2 r 1 ?p 2 g 1 + X 1 r 2 ?p 1 g 2 + X 2 r 2 ?p 2 g 2 = r 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + r 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (r 1 g 1 + r 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Poznámka 1. Podobne je možné túto vlastnosť dokázať pre väčší počet možných hodnôt faktorov.

Poznámka 2. Vlastnosť 3 platí pre súčin ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných, čo dokazuje metóda matematickej indukcie.

Definícia 7.4. Definujeme súčet náhodných premenných NS a Y ako náhodná premenná X + Y, ktorých možné hodnoty sa rovnajú súčtom každej možnej hodnoty NS so všetkými možnými hodnotami Y; pravdepodobnosti takýchto súm sa rovnajú súčinom pravdepodobností výrazov (pre závislé náhodné premenné súčiny pravdepodobnosti jedného členu s podmienenou pravdepodobnosťou druhého).

4) Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných (závislých alebo nezávislých) sa rovná súčtu matematických očakávaní výrazov:

M (X + Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dôkaz.

Znova zvážte náhodné premenné dané distribučnou radou uvedenou v dôkaze vlastnosti 3. Potom možné hodnoty X + Y sú NS 1 + o 1 , NS 1 + o 2 , NS 2 + o 1 , NS 2 + o 2. Označme ich pravdepodobnosti ako R. 11 , R. 12 , R. 21 a R. 22. Nájsť M(NS+Y) = (X 1 + r 1)p 11 + (X 1 + r 2)p 12 + (X 2 + r 1)p 21 + (X 2 + r 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + r 1 (p 11 + p 21) + r 2 (p 12 + p 22).

Ukážme to R. 11 + R. 22 = R. 1. Skutočne, udalosť, ktorá X + Y bude mať hodnoty NS 1 + o 1 alebo NS 1 + o 2 a ktorého pravdepodobnosť je R. 11 + R. 22 sa zhoduje s udalosťou, ktorá NS = NS 1 (jeho pravdepodobnosť je R. 1). Podobne je to dokázané p 21 + p 22 = R. 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Prostriedky,

M(X + Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + r 1 g 1 + r 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Komentovať... Z vlastnosti 4 vyplýva, že súčet ľubovoľného počtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní výrazov.

Príklad. Nájdite matematické očakávanie súčtu počtu padnutých bodov hodením piatich kociek.

Nájdeme matematické očakávanie počtu bodov zahodených hodením jednej kocky:

M(NS 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Rovnaké číslo sa rovná matematickému očakávaniu počtu bodov padnutých na akúkoľvek kocku. Preto podľa vlastníctva 4 M(NS)=

Rozptyl.

Aby sme mali predstavu o správaní náhodnej premennej, nestačí poznať iba jej matematické očakávania. Zvážte dve náhodné premenné: NS a Y dané distribučnými radmi formulára

NS
R.	0,1	0,8	0,1

Y
p	0,5	0,5

Nájsť M(NS) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​= 50. Ako vidíte, matematické očakávania oboch veličín sú rovnaké, ale ak pre HM(NS) dobre popisuje správanie náhodnej premennej, ktorá je jej najpravdepodobnejšou možnou hodnotou (okrem toho sa ostatné hodnoty veľmi nelíšia od 50), potom hodnoty Y výrazne ďaleko od M(Y). Spolu s matematickým očakávaním je preto žiaduce vedieť, ako veľmi sa od neho hodnoty náhodnej premennej odchyľujú. Na charakterizáciu tohto indikátora sa používa rozptyl.

Definícia 7.5.Rozptyl (rozptyl) náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny jej odchýlky od matematického očakávania:

D(X) = M (X - M(X)) ². (7,6)

Nájdite rozptyl náhodnej premennej NS(počet štandardných častí medzi vybranými) v príklade 1 tejto prednášky. Vypočítajme hodnoty druhej mocniny odchýlky každej možnej hodnoty od matematického očakávania:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Preto,

Poznámka 1. Pri určovaní rozptylu sa nehodnotí odchýlka od samotného priemeru, ale jeho štvorec. To sa deje tak, že odchýlky rôznych znakov sa navzájom nekompenzujú.

Poznámka 2. Z definície rozptylu vyplýva, že toto množstvo nadobúda iba nezáporné hodnoty.

Poznámka 3. Na výpočet rozptylu existuje pohodlnejší vzorec, ktorého platnosť je dokázaná nasledujúcou vetou:

Veta 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dôkaz.

Pomocou čoho M(NS) je konštanta a vlastnosti matematického očakávania transformujeme vzorec (7.6) na tvar:

D(X) = M(X - M(X))² = M(X² - 2 X? M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), podľa potreby.

Príklad. Vypočítame odchýlky náhodných premenných NS a Y diskutované na začiatku tejto časti. M(NS) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2? 0,5 ​​+ 100²? 0,5) - 50² = 5 000 - 2 500 = 2 500. Rozptyl druhej náhodnej premennej je teda niekoľko tisíckrát väčší ako rozptyl prvej. Aj bez znalosti distribučných zákonov týchto veličín teda môžeme zo známych hodnôt disperzie tvrdiť, že NS sa málo líši od svojho matematického očakávania, zatiaľ čo pre Y táto odchýlka je dosť významná.

Disperzné vlastnosti.

1) Rozptyl konštanty S je nula:

D (C.) = 0. (7.8)

Dôkaz. D(C.) = M((C - M(C.))²) = M((C - C)²) = M(0) = 0.

2) Konštantný faktor možno zo znamienka rozptylu odstrániť tak, že ho zarovnáme:

D(CX) = C.² D(X). (7.9)

Dôkaz. D(CX) = M((CX - M(CX))²) = M((CX - CM(X))²) = M(C.²( X - M(X))²) =

= C.² D(X).

3) Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich odchýlok:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dôkaz. D(X + Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Dôsledok 1. Rozptyl súčtu niekoľkých navzájom nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov.

Dôsledok 2. Rozptyl súčtu konštanty a náhodnej premennej sa rovná rozptylu náhodnej premennej.

4) Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich odchýlok:

D(X - Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dôkaz. D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1) ² D(Y) = D(X) + D(X).

Odchýlka udáva priemer druhej mocniny odchýlky náhodnej veličiny od priemeru; na odhad samotnej odchýlky sa používa veličina nazývaná štandardná odchýlka.

Definícia 7.6.Stredná štvorcová odchýlkaσ náhodnej premennej NS nazýva sa druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V predchádzajúcom prípade štandardné odchýlky NS a Y resp

Matematické očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej

Očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných premenných, vzorka, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, rozptyl, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu

Rozbaliť obsah

Zbaliť obsah

Matematické očakávania sú definícia

Jeden z najdôležitejších konceptov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobnosti náhodnej premennej. Obvykle je vyjadrený ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Je široko používaný v technickej analýze, štúdiu numerických radov, štúdiu spojitých a dlhodobých procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predpovedaní cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a používa sa pri vývoji stratégií a metód taktiky hrania hier v teórii hazardu.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej veličiny, rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny sa zvažuje v teórii pravdepodobnosti.

Matematické očakávanie je miera strednej hodnoty náhodnej veličiny v teórii pravdepodobnosti. Matematické očakávanie náhodnej premennej X označený M (x).

Matematické očakávanie je

Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže táto náhodná veličina nadobúdať.

Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej podľa pravdepodobností týchto hodnôt.

Matematické očakávanie je priemerný prospech z jedného alebo druhého riešenia za predpokladu, že takéto riešenie je možné zvážiť v rámci teórie veľkého počtu a dlhej vzdialenosti.

Matematické očakávanie je v teórii hazardu výška výhier, ktoré môže hráč v priemere získať alebo prehrať za každú stávku. V jazyku hazardných hráčov sa tomu niekedy hovorí „výhoda hráča“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „výhoda kasína“ (ak je pre hráča záporná).

Matematické očakávanie je percento zisku z výhier vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii

Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Uvažujte o súbore náhodných premenných, ktoré sú výsledkami rovnakého náhodného experimentu. Ak - jedna z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorov axiómy. Funkcia definovaná pre akékoľvek možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon o spoločnej distribúcii. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí z. Najmä spoločný zákon rozdelenia náhodných premenných a, ktoré preberajú hodnoty z množiny a, je daný pravdepodobnosťami.

Pojem „matematické očakávanie“ zaviedol Pierre Simon markíz de Laplace (1795) a pochádza z konceptu „očakávanej hodnoty výplaty“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardu v dielach Blaise Pascala. a Christian Huygens. Prvé úplné teoretické pochopenie a hodnotenie tohto konceptu však poskytol Pafnutii Lvovich Chebyshev (polovica 19. storočia).

Distribučný zákon náhodných číselných hodnôt (distribučná funkcia a distribučné rady alebo hustota pravdepodobnosti) úplne popisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a možnú odchýlku od nej), aby bolo možné odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávania, rozptyl, režim a medián.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov jej možných hodnôt so zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Matematický predpoklad sa niekedy nazýva vážený priemer, pretože je približne rovnaký ako aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej pre veľký počet experimentov. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je náhodná (konštantná) hodnota.

Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak je jednotková hmotnosť umiestnená na priamke umiestnením určitej hmotnosti do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo ju „rozmazaním“ s určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie), potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnica „Ťažisko“ je priame.

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „zástupcom“ a nahrádza ju v hrubých približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerný prevádzkový čas žiarovky je rovný 100 hodinám“ alebo „stredný bod nárazu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m vpravo“, uvádzame tým určitú numerickú charakteristiku náhodnej veličiny, ktorá opisuje jeho umiestnenie na číselnej osi, tj „Charakterizácia polohy“.

Z charakteristík polohy v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho stredná hodnota náhodnej premennej.

Zvážte náhodnú premennú NS s možnými hodnotami x1, x2, ..., xn s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pn... Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, pričom vezmeme do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôznu pravdepodobnosť. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi, a každá hodnota xi počas priemerovania by sa mala brať do úvahy s „hmotnosťou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X ktoré budeme označovať M | X |:

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Preto sme v úvahe predstavili jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti - koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčtom súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej podľa pravdepodobností týchto hodnôt.

NS spojené so zvláštnym vzťahom k aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej veličiny s veľkým počtom experimentov. Táto závislosť je rovnakého typu ako závislosť medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou, konkrétne: pri veľkom počte experimentov sa aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej približuje (konverguje v pravdepodobnosti) k jej matematickému očakávaniu. Z prítomnosti spojenia medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou je možné v dôsledku toho vyvodiť prítomnosť podobného spojenia medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním. Skutočne zvážte náhodnú premennú NS charakterizovaný distribučnou sériou:

Nech sa vyrobí N. nezávislé experimenty, v každom z nich hodnota X nadobúda určitý význam. Predpokladajme hodnotu x1 objavil sa m1 krát, hodnota x2 objavil sa m2 krát, vo všeobecnosti xi sa objavil mnohokrát. Vypočítame aritmetický priemer pozorovaných hodnôt X, ktorý je na rozdiel od matematického očakávania M | X | určíme M * | X |:

S nárastom počtu experimentov N. frekvencia pi sa priblíži (konverguje v pravdepodobnosti) k zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho je aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M | X | s nárastom počtu experimentov sa priblíži (konverguje v pravdepodobnosti) k svojmu matematickému očakávaniu. Spojenie medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním formulovaným vyššie je obsahom jednej z foriem zákona veľkých čísel.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že určité priemery sú pre veľký počet experimentov stabilné. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní tej istej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; s dostatočným nárastom počtu experimentov sa stáva „takmer nie náhodným“ a stabilizovaním sa blíži ku konštantnej hodnote - matematickému očakávaniu.

Vlastnosť stability priemerov pri veľkom počte experimentov sa dá experimentálne ľahko overiť. Napríklad vážením tela v laboratóriu na presnej váhe získame v dôsledku váženia vždy novú hodnotu; aby sa znížila chyba pozorovania, niekoľkokrát zvážime telo a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším nárastom počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer reaguje na tento nárast čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Je potrebné poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika polohy náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože zodpovedajúci súčet alebo integrál sa líšia. Pre prax však o tieto prípady nie je veľký záujem. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú spravidla obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.

Okrem najdôležitejšej z charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä režim a medián náhodnej premennej.

Režim náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Termín „najpravdepodobnejšia hodnota“, striktne povedané, sa vzťahuje iba na nesúvislé množstvá; pre spojité množstvo je režim tá hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky ukazujú režim pre diskontinuálne a spojité náhodné premenné.

Ak má distribučný polygón (distribučná krivka) viac ako jedno maximum, distribúcia sa nazýva „polymodálna“.

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede nie maximum, ale minimum. Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“.

Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je distribúcia symetrická a modálna (tj. Má režim) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s režimom a stredom symetrie distribúcie.

Často sa používa aj ďalšia charakteristika polohy - takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa iba pre spojité náhodné premenné, aj keď ju možno formálne definovať pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečka bodu, v ktorom je oblasť ohraničená distribučnou krivkou polovičná.

V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s matematickým očakávaním a režimom.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej - numerická charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Najobecnejším spôsobom je matematické očakávanie náhodnej premennej X (w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R. v pôvodnom pravdepodobnostnom priestore:

Matematické očakávania sa dajú vypočítať ako Lebesgueov integrál z NS rozdelením pravdepodobnosti px magnitúdy X:

Prirodzeným spôsobom môžete definovať koncept náhodnej premennej s nekonečným matematickým očakávaním. Typickým príkladom sú časy návratu pri niektorých náhodných prechádzkach.

Pomocou matematického očakávania sa určí mnoho numerických a funkčných charakteristík distribúcie (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty akéhokoľvek poradia, najmä rozptyl, kovariancia.

Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemernej hodnoty jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako „typický“ distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu - súradníc ťažiska rozloženia hmotnosti - v mechanike. Matematické očakávanie sa líši od ostatných lokalizačných charakteristík, pomocou ktorých je distribúcia opísaná vo všeobecných pojmoch, mediánoch, režimoch tým, že má väčšiu hodnotu, akú má ona a zodpovedajúca charakteristika rozptylu - disperzia - v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. S najväčšou úplnosťou odhaľuje význam matematického očakávania zákon veľkých čísel (Chebyshevova nerovnosť) a posilnený zákon veľkých čísel.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže mať jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi pri takejto hodnote často vzniká otázka: akú hodnotu má „priemer“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových operácií?

Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je výnosné alebo sa na ňom nezúčastniť (alebo dokonca zúčastniť sa opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý výherný tiket, cena je 300 rubľov a cena akéhokoľvek lístka je 100 rubľov. Pri nekonečne veľkom počte účasti sa to stáva. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri prehry budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že pri štyroch účastiach stratíme v priemere 100 rubľov, pri jednej - v priemere 25 rubľov. Priemerná cena našej zrúcaniny bude celkom 25 rubľov na lístok.

Hodíme kockou. Ak to nie je podvádzanie (žiadny posun v ťažisku atď.), Tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Pretože každá možnosť je rovnako pravdepodobná, vezmeme hlúpy aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže je to PRIEMERNÉ, nie je potrebné sa rozhorčovať nad tým, že žiadny konkrétny hod neposkytne 3,5 bodu - táto kocka s takým počtom nemá hranu!

Teraz si zhrňme naše príklady:

Pozrime sa na práve zobrazený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže mať jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Nemôžu existovať žiadne iné hodnoty. Každá možná hodnota nižšie je označená svojou pravdepodobnosťou. Vpravo je vzorec, kde M (X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude priemerná hodnota zodpovedať tomuto veľmi matematickému očakávaniu.

Vráťme sa k tej istej hracej kocke. Matematické očakávanie počtu bodov pri vhadzovaní je 3,5 (vypočítajte sa podľa vzorca, ak neveríte). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Zhodili 4 a 6. V priemere to vyšlo na 5, teda ďaleko od 3,5. Hodili to ešte raz, zhodili 3, to znamená v priemere (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nejako ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte tento bláznivý experiment - kocku hodte 1000 krát! A ak priemer nie je presne 3,5, bude sa k tomu blížiť.

Vypočítajme matematické očakávania pre vyššie opísanú lotériu. Tanier bude vyzerať takto:

Potom bude matematické očakávanie, ako sme stanovili vyššie:

Ďalšou vecou je, že keby bolo viac možností, bolo by ťažké použiť to isté „na prstoch“ bez vzorca. Povedzme, že by bolo 75% stratených tiketov, 20% výherných tiketov a 5% extra výherných tiketov.

Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.

Dokázanie je jednoduché:

Zo znamienka matematického očakávania je možné vyňať konštantný faktor, to znamená:

Toto je zvláštny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.

Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:

to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.

Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, potom:

To sa tiež dá ľahko dokázať) XY sama o sebe je náhodná premenná, pričom ak by počiatočné hodnoty mohli trvať n a m hodnoty potom XY môže nadobúdať hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej z hodnôt sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa znásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:

Matematické očakávanie spojitej náhodnej premennej

Spojité náhodné premenné majú takú charakteristiku ako hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V skutočnosti charakterizuje situáciu, že náhodná premenná preberá niektoré hodnoty zo súboru reálnych čísel častejšie, niektoré menej často. Zoberme si napríklad nasledujúci graf:

Tu X je samotná náhodná premenná, f (x)- hustota distribúcie. Podľa tohto grafu je v experimentoch hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance na prekročenie 3 alebo byť menej -3 skôr čisto teoretické.

Predpokladajme napríklad, že existuje rovnomerné rozdelenie:

To je úplne v súlade s intuitívnym porozumením. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentu |0; 1| potom by mal byť aritmetický priemer asi 0,5.

Aj tu platia vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., Použiteľné pre diskrétne náhodné veličiny.

Vzťah medzi matematickými očakávaniami a inými štatistickými ukazovateľmi

V štatistickej analýze spolu s matematickými očakávaniami existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov odrážajúcich homogenitu javov a stabilitu procesov. Variačné ukazovatele často nemajú nezávislý význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistika.

Stupeň variability alebo stability procesov v štatistickej vede je možné merať pomocou niekoľkých ukazovateľov.

Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Rozptyl, ktorý úzko a priamo súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistickej analýzy (testovanie hypotéz, analýza vzťahov medzi príčinou a následkom a podobne). Rovnako ako lineárny priemer, rozptyl tiež odráža mieru rozloženia údajov okolo priemeru.

Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerný štvorec odchýlok. To znamená, že sa najskôr vypočíta priemer, potom sa vezme rozdiel medzi každým pôvodným a priemerným číslom, vynesie sa na druhú a pridá sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi individuálnou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Je zarovnaný na druhú, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami, a aby sa predišlo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok, keď sú zhrnuté. Potom so štvorcami odchýlok jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemerné - štvorcové - odchýlky. Odchýlky sú na druhú a berie sa do úvahy priemer. Riešenie magického slova „rozptyl“ spočíva iba v troch slovách.

V čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo index, sa však rozptyl nepoužíva. Je to skôr pomocný a stredný ukazovateľ, ktorý sa používa na iné typy štatistickej analýzy. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, toto je druhou mocninou mernej jednotky pôvodných údajov.

Zmerajme náhodnú premennú N. krát napríklad zmeráme desaťkrát rýchlosť vetra a chceme nájsť priemernú hodnotu. Ako priemer súvisí s distribučnou funkciou?

Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré vypadnú na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobúdať akékoľvek prirodzené hodnoty od 1 do 6. Aritmetický priemer padnutých bodov vypočítaný pre všetky hracie kocky je tiež náhodná hodnota, ale pre veľké N. má tendenciu k veľmi konkrétnemu číslu - matematickému očakávaniu Mx... V tomto prípade Mx = 3,5.

Ako vznikla táto hodnota? Vpustiť N. skúškach n1 raz klesol o 1 bod, n2 krát - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, v ktorých klesol jeden bod:

Rovnako tak pre výsledky, keď sú hodené 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.

Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, to znamená, že vieme, že náhodná premenná x môže nadobúdať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pk.

Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x je:

Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemernej mzdy je teda rozumnejšie použiť koncept mediánu, tj takú hodnotu, aby bol počet ľudí, ktorí poberajú menej ako priemernú mzdu a viac, rovnaký.

Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1 / 2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1 / 2, sú rovnaké a rovnajú sa 1/2. Medián nie je jednoznačne určený pre všetky distribúcie.

Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistikách sa nazýva miera, do akej sa pozorovacie údaje alebo súbory odchyľujú od PRIEMERNEJ hodnoty. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka naznačuje, že údaje sú zoskupené okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka naznačuje, že počiatočné údaje sú od nej ďaleko. Štandardná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu štvorcových rozdielov počiatočných údajov odchyľujúcich sa od priemeru. Odchýlka odmocniny náhodnej premennej sa nazýva druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. Za skúšobných podmienok pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej veličiny:

Variácia- variabilita, variabilita hodnoty znaku v jednotkách populácie. Jednotlivé číselné hodnoty znaku, ktoré sa nachádzajú v skúmanej populácii, sa nazývajú hodnotové možnosti. Nedostatok priemernej hodnoty pre kompletnú charakteristiku populácie si vyžaduje doplnenie priemerných hodnôt o ukazovatele, ktoré umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (odchýlky) skúmaného znaku. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

Variácia potiahnutím prsta(R) je rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami znaku v študovanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najobecnejšiu predstavu o variabilite skúmaného znaku, pretože ukazuje rozdiel iba medzi limitnými hodnotami možností. Závislosť na extrémnych hodnotách znaku dáva variabilnému rozsahu nestabilný, náhodný charakter.

Priemerná lineárna odchýlka je aritmetický priemer absolútnych (modulových) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:

Očakávaná hodnota v teórii hazardu

Matematické očakávanie je priemerná suma peňazí, ktorú môže hráč na danej stávke vyhrať alebo prehrať. Toto je pre hráča veľmi dôležitý koncept, pretože je zásadný pre posúdenie väčšiny herných situácií. Očakávanie je tiež optimálnym nástrojom na analýzu základného rozloženia karty a herných situácií.

Povedzme, že hráte mincu s priateľom a stavíte vždy 1 dolár bez ohľadu na to, čo príde. Chvosty - vyhrávate, hlavy - prehrávate. Šanca, že prídete na rad chvosty, je individuálna a stavíte 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože matematicky povedané, nemôžete vedieť, či budete viesť alebo prehrať po dvoch hodoch alebo po 200.

Váš hodinový zisk je nulový. Hodinová výhra je množstvo peňazí, ktoré chcete vyhrať za hodinu. Do hodiny môžete hodiť mincou 500 -krát, ale nevyhráte ani neprehráte, pretože vaše šance nie sú pozitívne ani negatívne. Z pohľadu vážneho hráča nie je takýto stávkový systém zlý. Ale to je jednoducho strata času.

Predpokladajme však, že niekto chce staviť 2 doláre na váš 1 dolár v tej istej hre. Potom od každej stávky okamžite pozitívne očakávate 50 centov. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Vsadíte prvý dolár a prídete o 1 dolár, stavíte o druhé a vyhráte 2 doláre. Stavíte 1 dolár dvakrát a máte o 1 dolár náskok. Takže každá vaša stávka na jeden dolár vám dala 50 centov.

Ak minca 500 -krát vypadne za jednu hodinu, vaše hodinové výhry už budú 250 dolárov, pretože v priemere ste prehrali 1 250 -krát a vyhrali ste 2 250 -krát. 500 dolárov mínus 250 dolárov sa rovná 250 dolárom, čo sú celkové výhry. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je čiastka, ktorú ste v priemere vyhrali pri jednej stávke, je 50 centov. Vyhrali ste 250 dolárov 500 -krát umiestnením stávky na dolár, čo sa rovná 50 centom z vkladu.

Očakávaná hodnota nemá nič spoločné s krátkodobým výsledkom. Váš súper, ktorý sa proti vám rozhodol vsadiť 2 doláre, by vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, keďže máte stávkovú výhodu 2: 1 a všetky ostatné veci sú rovnaké, za každých okolností zarobíte 50 centov Stávka 1 dolár. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, ale iba vtedy, ak máte dostatok peňazí na pokojnú kompenzáciu nákladov. Ak budete pokračovať v tipovaní rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry počas dlhého časového obdobia rovnajú súčtu vašich očakávaní v jednotlivých hodoch.

Zakaždým, keď uzatvoríte stávku s najlepším výsledkom (stávka, ktorá sa môže z dlhodobého hľadiska ukázať ako výnosná), keď sú šance vo váš prospech, určite na nej niečo vyhráte a nezáleží na tom, či prehráte. to alebo nie v tejto ruke. Naopak, ak uzatvoríte stávku s najhorším výsledkom (stávka, ktorá nie je dlhodobo výnosná) a keď kurzy nie sú vo váš prospech, niečo strácate bez ohľadu na to, či v danej hre vyhráte alebo prehráte.

Vsadíte s najlepším výsledkom, ak je vaše očakávanie pozitívne, a pozitívne, ak sú šance na vašej strane. Pri uzatváraní stávky s najhorším výsledkom máte negatívne očakávania, čo sa stáva, keď sú šance proti vám. Vážni hazardní hráči stavia iba s najlepším výsledkom; v najhoršom prípade zahodia. Čo znamenajú šance vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné šance. Skutočná pravdepodobnosť, že prídete na rad, je 1: 1, ale vzhľadom na pomer stávok dostávate 2: 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Rozhodne dosiahnete najlepší výsledok s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.

Tu je komplexnejší príklad očakávanej hodnoty. Váš kamarát napíše čísla od jedna do päť a staví 5 dolárov proti vášmu 1 doláru, že skryté číslo neurčíte. Mali by ste súhlasiť s takouto stávkou? Aké sú tu očakávania?

V priemere sa budete štyrikrát mýliť. Na základe toho sú šance na uhádnutie čísla 4: 1. Šanca, že stratíte dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5: 1, ak môžete prehrať 4: 1. Takže šance sú vo váš prospech, môžete sa staviť a dúfať v lepší výsledok. Ak túto stávku vložíte päťkrát, v priemere prehráte štyrikrát 1 dolár a raz vyhráte 5 dolárov. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár v kladnej očakávanej hodnote 20 centov na stávku.

Hráč, ktorý vyhrá viac, než staví, ako v príklade vyššie, chytá šance. Naopak, ničí šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako staví. Hráč, ktorý uzatvára stávky, môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania, čo závisí od toho, či šance chytí alebo zničí.

Ak stavíte 50 dolárov na výhru 10 dolárov s pravdepodobnosťou výhry 4 na 1, dostanete negatívne očakávania 2 doláre, pretože v priemere vyhráte štyrikrát 10 dolárov a jedenkrát prehráte 50 dolárov, čo ukazuje, že strata jednej stávky je 10 dolárov. Ale ak stavíte 30 dolárov, aby ste vyhrali 10 dolárov, s rovnakými šancami na výhru 4: 1, potom v tomto prípade pozitívne očakávate 2 doláre, pretože znova vyhráte štyrikrát za 10 dolárov a jedenkrát prehráte 30 dolárov so ziskom 10 dolárov. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.

Stredobodom každej hernej situácie je očakávanie. Keď bookmaker povzbudí futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, očakávajú pozitívne 50 centov za každých 10 dolárov. Ak kasíno vyplatí rovnaké peniaze z prechádzajúcej čiary v kockách, potom je kladné očakávanie kasína približne 1,40 dolára na každých 100 dolárov, pretože táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto staví na túto líniu, stratí v priemere 50,7% a vyhrá 49,3% z celkového času. Nepochybne je to toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie, ktoré prináša majiteľom kasín po celom svete kolosálne zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak, „tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhej vzdialenosti zničí najbohatšieho muža na svete“.

Matematické očakávania pri hraní pokru

Pokerová hra je najnázornejším a najnázornejším príkladom z hľadiska použitia teórie a vlastností matematického očakávania.

Očakávaná hodnota v pokri je priemerným prínosom konkrétneho riešenia za predpokladu, že takéto riešenie je možné zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a dlhých vzdialeností. Úspešná pokerová hra je o tom, že budete vždy akceptovať ťahy s pozitívnym očakávaním.

Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru je ten, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, ktoré karty sú v rukách súpera, ktoré karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme zvážiť z hľadiska teórie veľkých čísel, ktorá uvádza, že pri dostatočne veľkej vzorke bude priemerná hodnota náhodnej premennej smerovať k jej matematickému očakávaniu.

Z konkrétnych vzorcov na výpočet matematických očakávaní je v pokri najvhodnejšie použiť nasledujúce:

Pri hraní pokru sa dá vypočítať očakávaná hodnota pre stávky aj hovory. V prvom prípade by sa mala vziať do úvahy fold equity, v druhom - vlastné šance banku. Pri hodnotení matematického očakávania ťahu je potrebné mať na pamäti, že záhyb má vždy nulové očakávania. Vyhodenie kariet bude teda vždy výnosnejšie rozhodnutie ako akýkoľvek negatívny krok.

Očakávanie vám hovorí, čo môžete očakávať (zisk alebo stratu) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú peniaze, pretože matematické očakávania od všetkých hier, ktoré sa v nich praktizujú, sú v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier sa dá očakávať, že klient príde o svoje peniaze, keďže „pravdepodobnosť“ je v prospech kasína. Profesionálni hráči kasína však obmedzujú svoje hry na krátke časové obdobia, čím zvyšujú šance v ich prospech. To isté platí pre investovanie. Ak je vaše očakávanie pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom časovom období. Očakávanie je vaše percento zisku z výhry vynásobené priemerným ziskom mínus vaša pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Na poker sa dá pozerať aj z hľadiska matematického očakávania. Môžete predpokladať, že určitý ťah je výnosný, ale v niektorých prípadoch sa môže ukázať, že nie je ani zďaleka najlepší, pretože iný ťah je výnosnejší. Povedzme, že v pokri s žrebovaním piatich kariet trafíte celý dom. Váš súper staví. Viete, že ak zvýšite svoju ponuku, odpovie. Zdvíhanie preto vyzerá ako najlepšia taktika. Ak však stávku zvýšite, zvyšní dvaja hráči určite zložia. Ale ak zavoláte, budete si úplne istí, že to urobia aj ďalší dvaja hráči po vás. Keď zvýšite stávku, získate jednu jednotku a jednoducho dorovnáte dve. Vyrovnávanie vám teda dáva vyššie pozitívne matematické očakávania a je to najlepšia taktika.

Očakávaná hodnota môže tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré taktiky sú v pokri menej výnosné a ktoré viac. Keď napríklad hráte určitú ruku, veríte, že vaše straty budú v priemere 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto ruku, pretože je to lepšie ako skladanie, keď je ante 1 dolár.

Ďalším dôležitým dôvodom na pochopenie podstaty matematického očakávania je, že vám dáva pocit pokoja, či ste stávku vyhrali alebo nie: ak ste urobili dobrú stávku alebo zložíte včas, budete vedieť, že ste zarobili alebo ušetrili určitú čiastku. peňazí, ktoré slabší hráč nedokázal ušetriť. Oveľa ťažšie je zložiť, ak ste naštvaní, že váš súper na výmene urobil silnejšiu ruku. Pri tom všetkom sa peniaze, ktoré ste ušetrili bez hrania, namiesto stávkovania, pripočítavajú k vašim výhrám za noc alebo za mesiac.

Nezabudnite, že ak by ste zmenili ruky, súper by vás zavolal a ako uvidíte v článku „Základná veta o pokri“, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť radi, keď sa to stane. Dokonca sa môžete naučiť užívať si prehru, pretože viete, že ostatní hráči na vašom mieste by prišli o oveľa viac.

Ako je uvedené v príklade hry s mincami na začiatku, hodinová miera návratnosti súvisí s očakávanou hodnotou a tento koncept je obzvlášť dôležitý pre profesionálnych hráčov. Keď sa chystáte hrať poker, musíte mentálne odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hrania. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete tiež použiť nejakú matematiku. Hráte napríklad draw draw lowball a uvidíte, ako traja hráči stavia 10 dolárov a potom si vymenia dve karty, čo je veľmi zlá taktika. Môžete si myslieť, že zakaždým, keď stavia 10 dolárov, prehrajú asi 2 doláre. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja prídu o 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 dolárov a každý zisk bude 12 dolárov za hodinu. Vaša hodinová sadzba je v tomto prípade jednoducho váš podiel na peniazoch, ktoré za hodinu stratia traja zlí hráči.

Za dlhé časové obdobie je celková výhra hráča súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac budete hrať s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhráte a naopak, čím viac rúk s negatívnym očakávaním budete hrať, tým viac prehráte. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať tie negatívne, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.

Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii

Ak viete, ako počítať karty, môžete mať výhodu nad kasínom, ak to nevidí a vyhodí vás. Kasína milujú opitých hazardných hráčov a neznesú počítadlá kariet. Advantage vám umožní v priebehu času viackrát vyhrať, ako prehrať. Dobrá správa peňazí pomocou výpočtov matematických očakávaní vám môže pomôcť lepšie využiť výhody a znížiť straty. Bez výhody bude lepšie darovať peniaze na charitu. Pri obchodovaní na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára viac ziskov ako strát, cenových rozdielov a provízií. Žiadna správa peňazí nezachráni zlý herný systém.

Pozitívne očakávanie je definované hodnotou vyššou ako nula. Čím vyššie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, bude matematické očakávanie tiež záporné. Čím väčší je modul zápornej hodnoty, tým je situácia horšia. Ak je výsledok nulový, potom sú očakávania zlomené. Vyhrať môžete iba vtedy, ak máte pozitívne matematické očakávania a rozumný systém hry. Hranie intuíciou vedie k katastrofe.

Očakávanie a obchodovanie na burze

Matematické očakávania sú pomerne široko žiadaným a obľúbeným štatistickým ukazovateľom pri implementácii burzového obchodovania na finančných trhoch. Tento parameter sa predovšetkým používa na analýzu úspechu obchodu. Nie je ťažké uhádnuť, že čím je daná hodnota vyššia, tým väčší dôvod je považovať študovaný obchod za úspešný. Analýzu práce obchodníka samozrejme nemožno vykonať iba pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce však môže výrazne zlepšiť presnosť analýzy.

Matematické očakávania sa často vypočítavajú v službách monitorovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Ako výnimku je možné uviesť stratégie, ktoré používajú „vysedávanie“ nerentabilných obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusí dôjsť k žiadnym stratám. V tomto prípade nebude možné navigovať iba podľa očakávania, pretože riziká použité v práci nebudú brané do úvahy.

Pri obchodovaní na trhu sa očakávanie najčastejšie používa pri predikcii ziskovosti obchodnej stratégie alebo pri predpovedaní príjmu obchodníka na základe štatistických údajov o jeho predchádzajúcich obchodoch.

Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnym očakávaním neexistuje schéma riadenia peňazí, ktorá by rozhodne mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete za týchto podmienok naďalej hrať na burze, potom bez ohľadu na to, ako budete hospodáriť so svojimi peniazmi, prídete o celý účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.

Táto axióma neplatí len pre hry alebo obchody s negatívnym očakávaním, platí to aj pre hry s rovnakými kurzami. Jediným prípadom, v ktorom máte šancu dlhodobo ťažiť, je teda uzatvorenie obchodov s pozitívnou očakávanou hodnotou.

Rozdiel medzi negatívnym a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; dôležité je, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto pred zvážením problémov so správou peňazí musíte nájsť hru s pozitívnym očakávaním.

Ak takú hru nemáte, potom vás nezachráni žiadna finančná správa na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich prostredníctvom dobrej správy peňazí premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, ako málo je toto pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký výnosný je systém obchodovania s jednou zmluvou. Ak máte systém, ktorý vyhrá 10 dolárov za zmluvu na jednom obchode (po odpočítaní provízií a sklzu), môžete použiť techniky správy peňazí na zvýšenie zisku ako systém, ktorý ukazuje priemerný zisk 1 000 dolárov na obchod (po odpočítaní) provízií a sklz).

Nie je dôležité, aký výnosný bol systém, ale ako isté je možné povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Preto najdôležitejšou prípravou, ktorú môže obchodník urobiť, je zaistiť, aby systém v budúcnosti vykazoval pozitívne matematické očakávania.

Aby ste v budúcnosti mali pozitívne matematické očakávania, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú v systéme urobíte, zníži počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude konzistentne generovať malé zisky na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký výnosný je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte obchodovaním, budú zarobené prostredníctvom efektívnej správy peňazí.

Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívne matematické očakávania, aby bolo možné používať správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálny zisk) iba na jednom alebo niekoľkých trhoch alebo majú rôzne pravidlá alebo parametre pre rôzne trhy, pravdepodobne nebudú fungovať dostatočne dlho v reálnom čase. Problém väčšiny technicky zdatných obchodníkov je ten, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a hodnôt parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto toho, aby ste míňali energiu a počítačový čas zvyšovaním ziskov obchodného systému, zamerajte svoju energiu na zvýšenie úrovne spoľahlivosti vytvárania minimálneho zisku.

S vedomím, že manažment peňazí je len numerická hra, ktorá vyžaduje použitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať testovať svoju obchodnú metódu, zistiť, ako logicky táto metóda je, či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy riadenia peňazí, ktoré sa uplatňujú na akékoľvek, aj priemerné obchodné metódy, vykonajú zvyšok práce samy.

Aby bol každý obchodník vo svojej práci úspešný, je potrebné vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy :. Zaistite, aby počet úspešných obchodov presahoval nevyhnutné chyby a prepočty; Nastavte si svoj obchodný systém tak, aby možnosť zarábať peniaze bola čo najčastejšie; Na dosiahnutie stability pozitívneho výsledku vašich operácií.

A tu nám, pracujúcim obchodníkom, môže pomôcť matematické očakávanie. Tento termín v teórii pravdepodobnosti je jedným z kľúčových. S jeho pomocou môžete dať priemerný odhad určitej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej premennej je podobné ťažisku, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíme ako body s rôznymi hmotnosťami.

Pri aplikácii na obchodnú stratégiu sa na hodnotenie jej účinnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet produktov daných úrovní zisku a straty a pravdepodobnosti ich výskytu. Vyvinutá obchodná stratégia napríklad predpokladá, že 37% všetkých transakcií prinesie zisk a zvyšok - 63% - bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 dolárov a priemerná strata bude 1,4 dolára. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou nasledujúceho systému:

Čo znamená toto číslo? Hovorí sa v ňom, že podľa pravidiel tohto systému v priemere z každého uzavretého obchodu dostaneme 1,708 dolára. Pretože získaný odhad účinnosti je väčší ako nula, potom je takýto systém možné použiť na skutočnú prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže matematické očakávanie ako negatívne, potom to už hovorí o priemernej strate a takýto obchod povedie ku krachu.

Výška zisku na obchod môže byť vyjadrená aj ako relatívna hodnota vo forme%. Napríklad:

- percento príjmu z 1 transakcie - 5%;

- percento úspešných obchodných operácií - 62%;

- percento straty na 1 obchod - 3%;

- percento neúspešných transakcií - 38%;

To znamená, že priemerný obchod vygeneruje 1,96%.

Je možné vyvinúť systém, ktorý napriek prevalencii nerentabilných obchodov poskytne pozitívny výsledok, pretože jeho MO> 0.

Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V takom prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s úrokom banky. Nech každá transakcia poskytne v priemere iba 0,50 dolára, ale čo keď systém predpokladá 1000 transakcií ročne? V relatívne krátkom čase to bude veľmi vážna čiastka. Z toho logicky vyplýva, že za ďalší rozlišovací znak dobrého obchodného systému možno považovať krátke obdobie držania pozícií.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru - Akademický internetový slovník

mathematics.ru - vzdelávacie miesto v matematike

nsu.ru - vzdelávacia webová stránka Novosibirskej štátnej univerzity

webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.

exponenta.ru vzdelávacia matematická webová stránka

ru.tradimo.com - bezplatná online obchodná škola

crypto.hut2.ru - multidisciplinárny informačný zdroj

poker-wiki.ru - bezplatná encyklopédia pokru

sernam.ru - Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií

reshim.su - webová stránka RIEŠime úlohy súvisiace s ovládaním kurzu

unfx.ru - Forex na UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery

slovopedia.com - Veľký encyklopedický slovník Slovopedie

pokermansion.3dn.ru - Váš sprievodca do sveta pokru

statanaliz.info - informačný blog "Analýza štatistických údajov"

forex-trader.rf-portál Forex-Trader

megafx.ru-aktuálna analytika Forexu

fx-by.com - všetko pre obchodníka

Očakávaná hodnota

Rozptyl spojitá náhodná premenná X, ktorej možné hodnoty patria do celej osi Ox, je určená rovnosťou:

Účel služby... Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby riešila problémy, v ktorých buď hustota distribúcie f (x) alebo distribučná funkcia F (x) (pozri príklad). Obvykle v takýchto úlohách musíte nájsť matematické očakávania, štandardná odchýlka, zostavenie grafov funkcií f (x) a F (x).

Pokyn. Vyberte typ zdrojových údajov: distribúcia hustoty f (x) alebo distribučná funkcia F (x).

Distribučná hustota f (x) je daná:

Distribučná funkcia F (x) je daná:

Spojitá náhodná veličina je daná hustotou pravdepodobnosti
(Rayleighov distribučný zákon - používa sa v rádiovom inžinierstve). Nájdite M (x), D (x).

Nazýva sa náhodná premenná X kontinuálne ak jeho distribučná funkcia F (X) = P (X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribučná funkcia spojitej náhodnej premennej sa používa na výpočet pravdepodobnosti zasiahnutia náhodnej premennej v danom intervale:
P (α< X < β)=F(β) - F(α)
a pre spojitú náhodnú premennú nezáleží na tom, či sú jej hranice zahrnuté v tomto intervale alebo nie:
P (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribúcie spojitá náhodná premenná sa nazýva funkcia
f (x) = F ’(x), derivácia distribučnej funkcie.

Vlastnosti hustoty distribúcie

1. Distribučná hustota náhodnej veličiny nie je záporná (f (x) ≥ 0) pre všetky hodnoty x.
2. Podmienka normalizácie:

Geometrický význam normalizačných podmienok: plocha pod krivkou distribučnej hustoty sa rovná jednej.
3. Pravdepodobnosť zasiahnutia náhodnej premennej X v intervale od α do β sa dá vypočítať podľa vzorca

Geometricky je pravdepodobnosť, že spojitá náhodná veličina X spadne do intervalu (α, β), rovnaká ako plocha krivočarého lichobežníka pod krivkou distribučnej hustoty na základe tohto intervalu.
4. Distribučná funkcia je vyjadrená v hustote nasledovne:

Hodnota distribučnej hustoty v bode x sa nerovná pravdepodobnosti prijatia tejto hodnoty; pre spojitú náhodnú premennú môžeme hovoriť iba o pravdepodobnosti pádu do daného intervalu. Nechaj byť)