Vzorce fyziky oscilácií. Oscilácie a vlny, zákony a vzorce. Polomer Newtonových tmavých prstencov v odrazenom svetle

Harmonické vibrácie sa vyskytujú podľa zákona:

X = A cos (ω t + φ 0),

kde X- posun častice z rovnovážnej polohy, A- amplitúda vibrácií, ω - uhlová frekvencia, φ 0 - počiatočná fáza, t- čas.

Oscilačné obdobie T = .

Oscilačná rýchlosť častíc:

υ = = – Aω hriech (ω t + φ 0),

zrýchlenie a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Kinetická energia častice vykonávajúcej oscilačný pohyb: E k = =
hriech 2 (ω t+ φ 0).

Potenciálna energia:

E n =
cos 2 (ω t + φ 0).

Periódy oscilácie kyvadla

- jar T =
,

kde m- hmotnosť nákladu, k- koeficient tuhosti pružiny,

- matematický T = ,

kde l- dĺžka zavesenia, g- gravitačné zrýchlenie,

- fyzický T =
,

kde Ja- moment zotrvačnosti kyvadla vzhľadom na os prechádzajúcu bodom zavesenia, m Je hmotnosť kyvadla, l- vzdialenosť od bodu zavesenia k ťažisku.

Znížená dĺžka fyzického kyvadla je daná podmienkou: l np = ,

označenia sú rovnaké ako pre fyzické kyvadlo.

Keď sa spočítajú dve harmonické oscilácie rovnakej frekvencie a jedného smeru, získa sa harmonická oscilácia tej istej frekvencie s amplitúdou:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos (φ 2 - φ 1)

a počiatočná fáza: φ = arktán
.

kde A 1 , A 2 - amplitúdy, φ 1, φ 2 - počiatočné fázy pridaných oscilácií.

Trajektória výsledného pohybu pri sčítaní navzájom kolmých kmitov rovnakej frekvencie:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = sin 2 (φ 2 - φ 1).

Tlmené oscilácie sa vyskytujú podľa zákona:

X = A 0 e - β t cos (ω t + φ 0),

kde β je koeficient tlmenia, význam zostávajúcich parametrov je rovnaký ako pre harmonické kmity, A 0 - počiatočná amplitúda. V momente v čase t amplitúda vibrácií:

A = A 0 e - β t .

Tlmiaci logaritmický pokles sa nazýva:

λ = ln
= β T,

kde T- doba oscilácie: T = .

Faktor kvality oscilačného systému sa nazýva:

Rovnica pohybujúcej sa vlny lietadla má tvar:

r = r 0 cos ω ( t ± ),

kde o- posunutie kolísajúceho množstva z rovnovážnej polohy, o 0 - amplitúda, ω - uhlová frekvencia, t- čas, NS Je súradnica, pozdĺž ktorej sa vlna šíri, υ - rýchlosť šírenia vlny.

Znak „+“ zodpovedá vlne šíriacej sa proti osi X, znak „-“ zodpovedá vlne šíriacej sa pozdĺž osi NS.

Vlnová dĺžka sa nazýva jej priestorová perióda:

λ = υ T,

kde υ - rýchlosť šírenia vĺn, T- Obdobie šírenia kmitov.

Vlnová rovnica môže byť zapísaná:

r = r 0 cos 2π (+).

Stojatá vlna je opísaná rovnicou:

r = (2r 0 cos ) cos ω t.

Amplitúda stojatej vlny je uzavretá v zátvorkách. Body s maximálnou amplitúdou sa nazývajú antinódy,

X n = n ,

body s nulovou amplitúdou - uzly,

X y = ( n + ) .

Príklady riešenia problémov

Úloha 20

Amplitúda harmonických vibrácií je 50 mm, perióda je 4 s a počiatočná fáza ... a) Napíšte rovnicu tejto oscilácie; b) nájdite posunutie oscilačného bodu z rovnovážnej polohy na t= 0 a pre t= 1,5 s; c) nakreslite graf tohto pohybu.

Riešenie

Rovnica oscilácie je zapísaná ako X = a cos ( t+  0).

Podmienkou je známa doba oscilácie. Prostredníctvom neho môžete vyjadriť kruhovú frekvenciu  = . Ostatné parametre sú známe:

a) X= 0,05 cos ( t + ).

b) Posunutie X o t= 0.

X 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

O t= 1,5 s

X 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos  = - 0,05 m.

v ) funkčný graf X= 0,05cos ( t + ) nasledovne:

Definujme polohu niekoľkých bodov. Známy NS 1 (0) a NS 2 (1,5), ako aj periódu oscilácie. Preto prostredníctvom  t= Hodnota 4 s NS opakuje a po  t = 2 c zmení zn. Uprostred medzi vysokými a nízkymi hodnotami v strede je 0.

Úloha 21

Bod vytvára harmonické vibrácie. Perióda oscilácie je 2 s, amplitúda je 50 mm, počiatočná fáza je nulová. Nájdite rýchlosť bodu v čase, keď je jeho posun z rovnovážnej polohy 25 mm.

Riešenie

1 spôsob. Zapíšeme rovnicu oscilácie bodu:

X= 0,05 cos  t, od  = =.

Nájdite rýchlosť v danom čase t:

υ = = – 0,05 pretože  t.

Nájdeme časový okamih, keď je výtlak 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  t 1 ,

preto cos  t 1 = ,  t 1 = . Túto hodnotu nahraďte výrazom pre rýchlosť:

υ = - 0,05  hriech = - 0,05  = 0,136 m / s.

Metóda 2. Celková energia vibračného pohybu:

E =
,

kde a- amplitúda,  - kruhová frekvencia, m – hmotnosť častíc.

V každom časovom okamihu je to súčet potenciálnej a kinetickej energie bodu

E k = , E n = , ale k = m 2, potom E n =
.

Napíšeme zákon zachovania energie:

= +
,

odtiaľto dostaneme: a 2  2 = υ 2 +  2 X 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m / s.

Úloha 22

Amplitúda harmonických vibrácií hmotného bodu A= 2 cm, celková energia E= 3 ∙ 10 -7 J. V akom výtlaku z rovnovážnej polohy sila pôsobí na oscilačný bod F = 2,25 ∙ 10 -5 N?

Riešenie

Celková energia bodu, ktorý vykonáva harmonické kmity, sa rovná: E =
. (13)

Modul pružnej sily je vyjadrený posunom bodov z rovnovážnej polohy X nasledujúcim spôsobom:

F = k x (14)

Vzorec (13) zahŕňa hmotnosť m a uhlová frekvencia  a v (14) - koeficient tuhosti k... Ale kruhová frekvencia súvisí s m a k:

 2 = ,

odtiaľ k = m And 2 a F = m 2 X... Vyjadrovaním m 2 zo vzťahu (13) získame: m 2 = , F = X.

Odkiaľ dostaneme výraz pre výtlak X: X = .

Striedanie číselné hodnoty dáva:

X =
= 1,5 × 10–2 m = 1,5 cm.

Úloha 23

Bod sa zúčastňuje dvoch kmitov s rovnakými periódami a počiatočnými fázami. Amplitúdy oscilácií A 1 = 3 cm a A 2 = 4 cm Nájdite amplitúdu výsledného kmitania, ak: 1) kmitanie prebieha v jednom smere; 2) vibrácie sú navzájom kolmé.

Riešenie

Ak kmitanie prebieha v jednom smere, potom bude amplitúda výsledného kmitania určená ako:

kde A 1 a A 2 - amplitúdy pridaných kmitov,  1 a  2 - počiatočné fázy. Počiatočné fázy sú podľa podmienky rovnaké, čo znamená  2 -  1 = 0 a cos 0 = 1.

Preto:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Ak sú vibrácie navzájom kolmé, potom rovnica výsledného pohybu bude:

cos ( 2 -  1) = sin 2 ( 2 -  1).

Pretože za podmienky  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, bude rovnica zapísaná v tvare:
=0,

alebo
=0,

alebo
.

Výsledný vzťah medzi X a o je možné vykresliť do grafu. Z grafu je vidieť, že výsledné kmitanie bodu na priamke MN... Amplitúda tohto kolísania bude definovaná ako: A =
= 5 cm.

Úloha 24

Tlmená perióda oscilácie T= 4 s, pokles logaritmického tlmenia  = 1,6, počiatočná fáza je nulová. Odsadenie bodu na t = rovná sa 4,5 cm. 1) Napíšte rovnicu tohto kmitania; 2) Zostavte graf tohto pohybu na dve obdobia.

Riešenie

Rovnica tlmených kmitov s nulovou počiatočnou fázou má tvar:

X = A 0 e -  t cos2 .

Nie je dostatok hodnôt počiatočnej amplitúdy na nahradenie číselných hodnôt A 0 a koeficient tlmenia .

Faktor tlmenia je možné určiť z pomeru pre logaritmický pokles tlmenia:

 = T.

Preto  = = = 0,4 s -1.

Počiatočnú amplitúdu je možné určiť nahradením druhej podmienky:

4,5 cm = A 0
pretože 2 = A 0
cos = A 0
.

Odtiaľto nájdeme:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Konečná pohybová rovnica je:

X = 0,0775
náklady.

Úloha 25

Čo je logaritmický útlmový pokles matematické kyvadlo keby pre t = 1 min, amplitúda kmitov sa znížila o polovicu? Dĺžka kyvadla l = 1 m.

Riešenie

Logaritmický pokles útlmu možno nájsť zo vzťahu:  =  T,

kde  je koeficient útlmu, T- obdobie výkyvov. Prirodzená kruhová frekvencia matematického kyvadla:

 0 =
= 3,13 s -1.

Koeficient tlmenia kmitov možno určiť z podmienky: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Od <<  0 , то в формуле  =
v porovnaní s  0 je možné zanedbať a periódu oscilácie možno určiť podľa vzorca: T = = 2c.

Náhradník  a T do výrazu pre logaritmický útlmový dekrement a dostaneme:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Úloha 26

Rovnica trvalých kmitov je uvedená vo forme X= 4 hriechy 600  t cm.

Nájdite posunutie z rovnovážnej polohy bodu nachádzajúceho sa vo vzdialenosti l= 75 cm od zdroja vibrácií, po t= 0,01 s po začiatku oscilácie. Rýchlosť šírenia vibrácií υ = 300 m / s.

Riešenie

Napíšte rovnicu vlny šíriacej sa z daného zdroja: X= 0,04 sin 600  ( t– ).

Nájdite fázu vlny v danom čase na danom mieste:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600  0,0075 = 4,5,

hriech 4,5 = hriech = 1.

Preto ofset bodu X= 0,04 m, t.j. na diaľku l = 75 cm od zdroja v tej dobe t= 0,01 s maximálny posun bodu.

Bibliografia

Volkenstein V.S.... Zbierka úloh pre všeobecný kurz fyziky. - SPb.: SpetsLit, 2001.

Saveliev I.V... Zbierka otázok a problémov zo všeobecnej fyziky. - M.: Nauka, 1998.

Harmonická rovnica

kde NS - posunutie oscilačného bodu z rovnovážnej polohy;
t- čas; A,ω, φ- respektíve amplitúda, uhlová frekvencia,
počiatočná fáza kmitov; - fáza kmitov v súčasnosti t.

Frekvencia uhlových vibrácií

kde ν a T sú frekvencia a perióda kmitov.

Rýchlosť bodu, ktorý vytvára harmonické kmity

Harmonické zrýchlenie

Amplitúda A výsledná oscilácia získaná súčtom dvoch oscilácií s rovnakými frekvenciami, prebiehajúcich pozdĺž jednej priamky, je určená vzorcom

kde a 1 a A 2 - amplitúdy vibračných komponentov; φ 1 a φ 2 sú ich počiatočné fázy.

Počiatočnú fázu φ výslednej oscilácie nájdete zo vzorca

Frekvencia úderov vyplývajúcich z pridania dvoch kmitov prebiehajúcich pozdĺž jednej priamky s rôznymi frekvenciami ν 1 a ν 2 s rôznymi, ale blízkymi hodnotami,

Rovnica trajektórie bodu zúčastňujúceho sa dvoch navzájom kolmých oscilácií s amplitúdami A 1 a A 2 a počiatočných fáz φ 1 a φ 2,

Ak sú počiatočné fázy φ 1 a φ 2 zložiek vibrácií rovnaké, potom rovnica trajektórie má tvar

to znamená, že bod sa pohybuje v priamke.

V prípade, že fázový rozdiel, rovnica
má formu

to znamená, že bod sa pohybuje pozdĺž elipsy.

Diferenciálna rovnica harmonických vibrácií hmotného bodu

Alebo,
kde m je hmotnosť bodu; k - kvázi elastický koeficient sily ( k=Tω 2).

Celková energia hmotného bodu, ktorý vykonáva harmonické vibrácie,

Obdobie kmitania telesa zaveseného na pružine (pružinové kyvadlo),

kde m- telesná hmotnosť; k - jarná sadzba. Vzorec platí pre elastické vibrácie v medziach, v ktorých je splnený Hookeov zákon (s malou hmotnosťou pružiny v porovnaní s hmotnosťou tela).

Obdobie oscilácie matematického kyvadla

kde l- dĺžka kyvadla; g - gravitačné zrýchlenie. Obdobie oscilácie fyzického kyvadla

kde J- moment zotrvačnosti kmitajúceho telesa okolo osi

výkyvy; a- vzdialenosť ťažiska kyvadla od osi oscilácie;

Znížená dĺžka fyzického kyvadla.

Vyššie uvedené vzorce sú presné pre prípad nekonečne malých amplitúd. Pri konečných amplitúdach tieto vzorce poskytujú iba približné výsledky. Pri amplitúdach nepresiahne chyba v hodnote obdobia 1%.

Obdobie torzných vibrácií telesa zaveseného na elastickom vlákne,

kde J - moment zotrvačnosti telesa okolo osi zhodujúci sa s elastickým závitom; k - tuhosť elastického vlákna, rovná sa pomeru elastického momentu, ktorý nastáva pri skrúcaní vlákna do uhla, cez ktorý je niť skrútená.

Diferenciálna rovnica tlmených oscilácií
, alebo,

kde r- koeficient odporu; δ - koeficient útlmu :; ω 0 - prirodzená uhlová frekvencia kmitov *

Rovnica tlmenej oscilácie

kde A (t) - v tejto chvíli amplitúda tlmených kmitov t;ω je ich uhlová frekvencia.

Uhlová frekvencia tlmených kmitov

О Závislosť amplitúdy tlmených kmitov na čase

kde A 0 - momentálne amplitúda vibrácií t=0.

Logaritmický pokles fluktuácií

kde A (t) a A (t + T) - amplitúdy dvoch po sebe nasledujúcich oscilácií v časovom odstupe od seba bodkou.

Diferenciálna rovnica vynútenej oscilácie

kde pôsobí vonkajšia periodická sila
kolísavým materiálnym bodom a spôsobuje nútené
výkyvy; F 0 - jeho hodnota amplitúdy;

Vynútená amplitúda vibrácií

Rezonančná frekvencia a rezonančná amplitúda a

Príklady riešenia problémov

Príklad 1. Pointa osciluje podľa zákona x (t) =, kde A = 2 pozri Určte počiatočnú fázu φ ak

X(0) = cm a NS , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
policajt t=0.

Riešenie. Použime pohybovú rovnicu a vyjadríme posun v danej chvíli t= 0 cez počiatočnú fázu:

Odtiaľto nachádzame počiatočnú fázu:

* V predchádzajúcich vzorcoch harmonických vibrácií bola rovnaká hodnota označená jednoducho ω (bez indexu 0).

Do tohto výrazu nahraďte dané hodnoty X(0) a A:φ=
=. Hodnota argumentu je uspokojivá
dve hodnoty uhla:

Aby bolo možné rozhodnúť, ktorá z týchto hodnôt uhla φ spĺňa
tiež zvyšuje podmienku, najskôr nájdeme:

Nahradením hodnoty v tomto výraze t= 0 a striedavo hodnoty
počiatočných fáz a nachádzame

Ako vždy A> 0 a ω> 0, potom je podmienka splnená iba
na prvú hodnotu počiatočnej fázy.
Teda požadovaný iniciál
fáza

Na základe zistenej hodnoty φ,
im vektorový diagram (obr. 6.1).
Príklad 2. Hmotný bod
omša T= 5 g vykonáva harmonickú
vibrácie s frekvenciou ν = 0,5 Hz.
Amplitúda vibrácií A= 3 cm. Op-
Určte: 1) rýchlosť υ bod v
časový moment, keď je posunutý x =
= 1,5 cm; 2) maximálna pevnosť
F max pôsobiaci na bod; 3)
Ryža. 6,1 plná energia E kolísavý bod
Ki.

a dostaneme vzorec pre rýchlosť tak, že vezmeme prvú deriváciu posunu:

Na vyjadrenie rýchlosti z hľadiska posunu je potrebné vylúčiť čas zo vzorcov (1) a (2). Aby sme to urobili, zarovnáme obe rovnice na druhú a prvú vydelíme A 2, druhý na A 2 ω 2 a pridajte:

Alebo

Riešenie poslednej rovnice pre υ , Nájsť

Vykonaním výpočtov pomocou tohto vzorca získame

Znamienko plus zodpovedá prípadu, keď sa smer rýchlosti zhoduje s kladným smerom osi NS, znamienko mínus - keď sa smer rýchlosti zhoduje so záporným smerom osi NS.

Posun pri harmonických vibráciách, okrem rovnice (1), možno tiež určiť podľa rovnice

Opakovaním rovnakého riešenia s touto rovnicou dostaneme rovnakú odpoveď.

2. Sila pôsobiaca na bod sa zistí podľa druhého Newtonovho zákona:

kde a - zrýchlenie bodu, ktoré získame deriváciou časovej derivácie rýchlosti:

Nahradením výrazu pre zrýchlenie do vzorca (3) získame

Preto je maximálna hodnota sily

Dosadením do tejto rovnice sa použijú hodnoty veličín π, ν, T a A, Nájsť

3. Celková energia kmitajúceho bodu je súčet kinetických a potenciálnych energií vypočítaných pre akýkoľvek časový okamih.

Najľahšie je vypočítať celkovú energiu v okamihu, keď kinetická energia dosiahne maximálnu hodnotu. V tejto chvíli je potenciálna energia nulová. Preto celková energia E oscilačný bod sa rovná maximálnej kinetickej energii

Maximálna rýchlosť je stanovená zo vzorca (2) nastavením
:. Náhrada výrazu za rýchlosť vo formulári
mulica (4), nájsť

Nahradením hodnôt veličín do tohto vzorca a vykonaním výpočtov dostaneme

alebo μJ.

Príklad 3. l= 1 m a hmotnosť m 3 = 400 g malých guličiek obohatených hmotami m 1 = 200 gi m 2 = 300 g. Tyč vibruje okolo horizontálnej osi, kolmo

kolmý na tyč a prechádzajúci jej stredom (bod O na obr. 6.2). Určite obdobie T vibrácie spôsobené tyčou.

Riešenie. Perióda oscilácie fyzického kyvadla, ktorým je tyč s loptičkami, je určená pomerom

Kde J - T - jeho hmotnosť; l С - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi.

Moment zotrvačnosti daného kyvadla sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti guličiek J 1 a J 2 a tyč J 3:

Berúc gule ako materiálne body, vyjadrujeme momenty ich zotrvačnosti:

Pretože os prechádza stredom tyče, potom
moment zotrvačnosti okolo tejto osi J 3 =
= . Nahradenie výsledných výrazov J 1 , J 2 a
J 3 do vzorca (2), nájdeme celkový moment zotrvačnosti
fyzické kyvadlo:

Pri výpočtoch pomocou tohto vzorca nájdeme

Ryža. 6.2 Hmotnosť kyvadla pozostáva z hmotností loptičiek a hmotnosti
tyč:

Vzdialenosť l CŤažisko kyvadla nachádzame od osi kmitov na základe nasledujúcich úvah. Ak os NS nasmerujte pozdĺž pruhu a zarovnajte pôvod s bodom O, potom požadovanú vzdialenosť l je rovná súradnici ťažiska kyvadla, t.j.

Nahradenie hodnôt veličín m 1 , m 2 , m, l a robíme výpočty

Pri výpočtoch podľa vzorca (1) získame periódu oscilácie fyzického kyvadla:

Príklad 4. Fyzické kyvadlo je tyč
dĺžka l= 1 m a hmotnosť 3 T 1 s pripevnené k jednému z jeho koncov
obruč s priemerom a hmotnosťou T 1 . Horizontálna os Oz

kyvadlo prechádza stredom tyče kolmo na ňu (obr. 6.3). Určite obdobie T oscilácie takéhoto kyvadla.

Riešenie. Perióda oscilácie fyzického kyvadla je určená vzorcom

(1)

kde J - moment zotrvačnosti kyvadla vzhľadom na os oscilácie; T - jeho hmotnosť; l C. - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi oscilácie.

Moment zotrvačnosti kyvadla sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti tyče J 1 a obruč J 2:

Moment zotrvačnosti tyče okolo osi,
kolmo na tyč a okolo
prostredníctvom svojho ťažiska je určené tvarom-
le. V tomto prípade t = 3T 1 a

Zistíme moment zotrvačnosti obruče, použite
nazýva sa to Steinerova veta,
kde J - moment zotrvačnosti vzhľadom na
ľubovoľná os; J 0 - moment zotrvačnosti
vzhľadom na os prechádzajúcu ťažiskom
rovnobežne s danou osou; a - vzdialenosť
medzi uvedenými osami. Použitie tohto formulára-
mulica do obruče, dostaneme

Ryža. 6.3

Náhradné výrazy J 1 a J 2 do vzorca (2), nájdeme moment zotrvačnosti kyvadla vzhľadom na os otáčania:

Vzdialenosť l C od osi kyvadla k jeho ťažisku je

Nahrádzanie výrazmi vzorca (1) J, lс a hmotnosťou kyvadla nájdeme periódu jeho oscilácií:

Po výpočte podľa tohto vzorca dostaneme T= 2,17 s.

Príklad 5. Pridajú sa dve vibrácie rovnakého smeru
niya vyjadrená rovnicami; x 2 =
=, kde A 1 = 1 cm, A 2 = 2 cm, s, s, ω =
=. 1. Určte počiatočné fázy φ 1 a φ 2 komponentov

kúpele. 2. Nájdite amplitúdu A a počiatočná fáza φ výsledného kývania. Napíšte rovnicu pre výsledné kolísanie.

Riešenie. 1. Rovnica harmonického kmitania má tvar

Transformujeme rovnice uvedené v problémovom vyhlásení do rovnakej formy:

Z porovnania výrazov (2) s rovnosťou (1) nájdeme počiatočné fázy prvého a druhého oscilácie:

Radosť a radosť.

2. Na určenie amplitúdy A výsledného kolísania je vhodné použiť vektorový diagram uvedený na ryža. 6.4. Podľa kozínovej vety dostaneme

kde je fázový rozdiel zložiek kmitov.
Odvtedy nahradením nájdených
hodnoty φ 2 a φ 1 budú rad.

Ryža. 6.4

Nahraďte hodnoty A 1 , A. 2 a do vzorca (3) a
urobme výpočty:

A = 2,65 cm.

Určuje tangens počiatočnej fázy φ výslednej oscilácie
lim priamo z obr. 6,4: , otku-
áno počiatočná fáza

Nahraďte hodnoty A 1 , A. 2 , φ 1, φ 2 a vykonajte výpočty:

Pretože uhlové frekvencie pridaných vibrácií sú rovnaké,
potom bude mať výsledná vibrácia rovnakú frekvenciu ω. to
umožňuje zapísať rovnicu výslednej oscilácie do formulára
, kde A= 2,65 cm ,, rád.

Príklad 6. Hmotný bod sa súčasne zúčastňuje dvoch navzájom kolmých harmonických oscilácií, ktorých rovnice

kde a 1 = 1 cm, A 2 = 2 cm ,. Nájdite rovnicu trajektórie bodu
Ki. Nakreslite trajektóriu podľa mierky a špecifikujte
smer pohybu bodu.

Riešenie. Aby sme našli rovnicu trajektórie bodu, vylúčime čas t z daných rovníc (1) a (2). Ak to chcete urobiť, použite

Študujeme vzorec. V tomto prípade
, preto

Pretože podľa vzorca (1) , potom rovnica trajektórie
RI

Výsledný výraz je rovnicou paraboly, ktorej os sa zhoduje s osou Oh. Z rovníc (1) a (2) vyplýva, že posunutie bodu pozdĺž súradnicových osí je obmedzené a je v rozsahu od -1 do +1 cm pozdĺž osi Oh a od -2 do +2 cm pozdĺž osi OU.

Na zostrojenie trajektórie nájdeme pomocou rovnice (3) hodnoty y, zodpovedajúce sérii hodnôt NS, pri splnení podmienky si pozrite a zostavte tabuľku:

Aby ste naznačili smer pohybu bodu, sledujte, ako sa jeho poloha v priebehu času mení. V počiatočnom okamihu t= 0 súradníc bodu je rovnakých X(0) = 1 cm a r(0) = 2 cm. V nasledujúcom časovom okamihu, napríklad o t 1 = l s, súradnice bodov sa zmenia a stanú sa rovnakými NS(1) = -1 cm, y ( t )=0. Keď poznáte polohu bodov v počiatočných a následných (blízkych) časových okamihoch, môžete naznačiť smer pohybu bodu pozdĺž trajektórie. Na obr. 6.5 tento smer pohybu je označený šípkou (od bodu A k pôvodu). Potom v tejto chvíli t 2 = 2 s oscilačný bod dosiahne bod D, bude sa pohybovať opačným smerom.

Kinematika harmonických vibrácií

6.1. Rovnica vibrácií bodu má tvar,
kde ω = π s -1, τ = 0,2 s. Určite obdobie T a počiatočná fáza φ
váhanie.

6.2. Určite obdobie T, frekvencia v a počiatočná fáza φ kmitov, daná rovnicou, kde ω = 2,5π s -1,
τ = 0,4 s.

6.3.
kde A x (0) = 2 masové médiá
; 2) x (0) = cm a; 3) x (0) = 2 cm a; 4)
x (0) = u. Vytvorte vektorový diagram pre
moment t=0.

6.4. Bod vibruje. Podľa zákona
kde A= 4 cm. Určte počiatočnú fázu φ, ak: 1) x (0) = 2 masové médiá
; 2) X(0) = cm a; 3) NS(0) = cm a;
4) X(0) = cm a. Vytvorte vektorový diagram pre
moment t=0.

6.5. Bod vibruje podľa zákona,
kde A= 2 cm; ; φ = π / 4 rad. Vytvárajte grafy závislosti
od času: 1) výtlak x (t); 2) rýchlosť; 3) zrýchlenie

6.6. Bod osciluje s amplitúdou A= 4 cm a bodka T = 2 s. Napíšte rovnicu týchto vibrácií za predpokladu, že v
moment t= 0 offset x (0) = 0 a. Určte fázu
pre dva časové body: 1) keď je výtlak x = 1 cm a;
2) keď je rýchlosť = -6 cm / s a X<0.

6.7. Bod sa pohybuje rovnomerne okolo kruhu proti smeru hodinových ručičiek s periódou T = 6 s. Priemer d kruh je 20 cm.Napíšte pohybovú rovnicu priemetu bodu na os NS, prechádzajúci stredom kruhu, ak je v čase považovaný za počiatočný, priemet na os NS je nula. Nájdite ofset NS, rýchlosť a zrýchlenie premietania bodu v danej chvíli t = 1c.

6.8. Určte maximálne hodnoty rýchlosti a zrýchlenia bodu vykonávajúceho harmonické kmity s amplitúdou A = 3 cm a rohová frekvencia

6.9. Bod osciluje podľa zákona, kde A =
= 5 cm; ... Určte zrýchlenie bodu v časovom bode,
keď je jeho rýchlosť = 8 cm / s.

6.10. Bod vykonáva harmonické kmity. Najväčší
zaujatosť X m osových bodov je 10 cm, najvyššia rýchlosť =
= 20 cm / s. Nájdite uhlovú frekvenciu ω kmitov a maximálne zrýchlenie bodu.

6.11. Maximálna rýchlosť bodu, ktorý vykonáva harmonické kmity, je 10 cm / s, maximálne zrýchlenie =
= 100 cm / s 2. Nájdite uhlovú frekvenciu ω kmitov, ich periódu T
a amplitúdy A. Napíšte rovnicu oscilácií tak, aby počiatočná fáza bola rovná nule.

6.12. Pointa osciluje podľa zákona. V určitom časovom období dôjde k posunu NS 1 bod sa ukázal byť 5 cm. Keď sa fáza oscilácie zdvojnásobila, posunutie x sa rovnalo 8 cm. Nájdite amplitúdu A váhanie.

6.13. Pointa osciluje podľa zákona.
V určitom časovom období dôjde k posunu NS bod je 5 cm, jeho rýchlosť
= 20 cm / s a ​​zrýchlenie = -80 cm / s 2. Nájdite amplitúdu A, uhlová frekvencia ω, bodka T oscilácie a fáza v uvažovanom časovom okamihu.

Pridanie vibrácií

6.14. Dve identicky smerované harmonické oscilácie rovnakého obdobia s amplitúdami A 1 = 10 cm a A 2 = 6 cm sčítajte jednu vibráciu s amplitúdou A = 14 cm Nájdite fázový rozdiel pridaných kmitov.

6.15. Dve harmonické oscilácie smerované pozdĺž jednej priamky s rovnakými amplitúdami a periódami predstavujú jednu osciláciu rovnakej amplitúdy. Nájdite fázový rozdiel pridaných vibrácií.

6.16. Určte amplitúdu A a počiatočnú fázu φ výsledku
kmitavé kmitanie vznikajúce sčítaním dvoch kmitov
rovnaký smer a bodka: a
, kde A 1 =A 2 = 1 cm; ω = π s -1; τ = 0,5 s. Nájdite rovnicu výsledného kmitania.

6.17. Bod sa zúčastňuje dvoch rovnako smerovaných oscilácií: a, kde a 1 = 1 cm; A 2 = 2 cm; ω =
= 1 s -1. Určte amplitúdu A výsledné kolísanie,
jeho frekvencia v a počiatočná fáza φ. Nájdite rovnicu tohto pohybu.

6.18. Sčítajú sa dve harmonické vibrácie, každá na jednu
vládne s rovnakými obdobiami T 1 =T 2 = 1,5 s a amplitúdy
A 1 = A 2 = 2 cm. Počiatočné fázy kmitov a. Určte amplitúdu A a počiatočná fáza φ výsledného kývania. Nájdite jeho rovnicu a nakreslite ju v mierke
vektorový diagram sčítania amplitúd.

6.19. Sčítajú sa tri harmonické kmity rovnakého smeru s rovnakými periódami Ti = T2 = T3 = 2 s a amplitúdy A 1 =A 2 =A 3 = 3 cm Počiatočné fázy kmitov sú φ 1 = 0, φ 2 = π / 3, φ 3 = 2π / 3. Zostavte vektorový diagram sčítania amplitúd. Určte amplitúdu z výkresu A a počiatočná fáza φ výsledného kývania. Nájdite jeho rovnicu.

6.20. Pridajte dve rovnaké harmonické vibrácie
frekvencia a rovnaký smer: a X 2 =
=. Nakreslite na chvíľu vektorový diagram
čas t= 0. Analyticky určte amplitúdu A a počiatočné
fáza φ výslednej oscilácie. Odložiť A a φ na vektore
diagram. Nájdite rovnicu výslednej oscilácie (v trigonometrickej forme cez kosínus). Vyriešte problém pre dvoch
prípady: 1) A 1 = 1 cm, φ 1 = π / 3; A 2 = 2 cm, φ 2 = 5π / 6; 2) A 1 = 1 cm,
φ 1 = 2π / 3; A 2 = 1 cm, φ 2 = 7π / 6.

6.21. Zaznejú dve ladičky súčasne. Frekvencie ν 1 a ν 2 ich oscilácií sa rovnajú 440 a 440,5 Hz. Určite obdobie T bije.

6.22. Sčítajú sa dve navzájom kolmé vibrácie,
vyjadrené rovnicami a, kde
a 1 =2 cm, A 2 = 1 cm, τ = 0,5 s. Nájdite rovnicu trajektórie
a postavte ho tak, aby ukazoval smer pohybu bodu.

6.23. Bod vykonáva súčasne dve harmonické oscilácie prebiehajúce vo vzájomne kolmých smeroch
a vyjadrené rovnicami a,
kde a 1 = 4 cm, A 1 = 8 cm ,, τ = 1 s. Nájdite rovnicu trajektórie bodu a zostrojte graf jeho pohybu.

6.24. Bod súčasne vykonáva dve harmonické oscilácie rovnakej frekvencie, ktoré sa vyskytujú vo vzájomne kolmých smeroch vyjadrených rovnicami: 1) a

Nájdite (pre osem prípadov) rovnicu trajektórie bodu, zostrojte ju vzhľadom na mierku a naznačte smer pohybu. Súhlasiť: A = 2 cm, A 1 = 3 cm, A 2 = 1 cm; φ 1 = π / 2, φ 2 = π.

6.25 ... Bod sa súčasne zúčastňuje dvoch navzájom kolmých kmitov, vyjadrených rovnicami a
, kde A 1 = 2 cm, A 2 = 1 cm Nájdite rovnicu trajektórie
namierte a postavte ho, pričom naznačte smer pohybu.

6.26. Bod súčasne vykonáva dve harmonické oscilácie prebiehajúce vo vzájomne kolmých smeroch
a vyjadrené rovnicami a kde A 1 =
= 0,5 cm; A 2 = 2 cm. Nájdite rovnicu trajektórie bodu a zostrojte
ona, pričom naznačuje smer pohybu.

6.27. Pohyb bodu je daný rovnicami a y =
=, kde A 1 = 10 cm, A 2 = 5 cm, ω = 2 s -1, τ = π / 4 s. Nájsť
rovnica trajektórie a rýchlosti bodu v čase t= 0,5 s.

6.28. Hmotný bod sa súčasne zúčastňuje dvoch navzájom kolmých oscilácií vyjadrených rovnicami
a kde A 1 =2 cm, A 2 = 1 cm. Nájdite
trajektóriovú rovnicu a zostrojte ju.

6.29. Bod sa súčasne zúčastňuje dvoch harmonických kmitov, ktoré sa vyskytujú vo vzájomne kolmých smeroch opísaných rovnicami: 1) a

Nájdite rovnicu trajektórie bodu, zostrojte ju vzhľadom na mierku a naznačte smer pohybu. Súhlasiť: A= 2 cm; A 1 = s cm.

6.30. Bod sa zúčastňuje súčasne v dvoch navzájom kolmých
kmity vyjadrené rovnicami a

y = A2 hriech 0,5ω t, kde A 1 = 2 cm, A 2 = 3 cm Nájdite rovnicu trajektórie bodu a zostrojte ju a naznačte smer pohybu.

6.31. Posun svetelného bodu na obrazovke osciloskopu je výsledkom súčtu dvoch navzájom kolmých oscilácií, ktoré sú popísané rovnicami: 1) x = A. hriech 3 ω t a o=A hrešiť 2ω t; 2) x = A. hrešiť 3ω t a r=A pretože 2ω t; 3) x = A. hrešiť 3ω t a y = A pretože ω t.

Pomocou grafickej metódy sčítania a pozorovania mierky zostrojte trajektóriu svetelného bodu na obrazovke. súhlasiť A= 4 cm.

Dynamika harmonických vibrácií. Kyvadlá

6.32. Hmotný bod podľa hmotnosti T= 50 g vykonáva oscilácie, ktorých rovnica má tvar x = A. pretože ω t, kde A= 10 cm, ω = 5 s -1. Nájdite silu F, pôsobiaci na bod, v dvoch prípadoch: 1) v okamihu, keď fáza ω t= π / 3; 2) v polohe najväčšieho bodového posunu.

6.33. Oscilácie hmotného bodu s hmotnosťou T= 0,1 g sa vyskytuje podľa rovnice NS=A pretože ω t, kde A= 5 cm; ω = 20 s -1. Určte maximálne hodnoty vratnej sily F max a kinetickej energie T m ah.

6.34. Nájdite obnovovaciu silu F v okamihu t= 1 s a plná energia E hmotný bod oscilujúci podľa zákona x = A. pretože ω t, kde A = 20 cm; ω = 2π / 3 s -1. Hmotnosť T hmotný bod sa rovná 10 g.

6.35. Oscilácie hmotného bodu nastávajú podľa rovnice x = A. pretože ω t, kde A= 8 cm, ω = π / 6 s -1. Moment, keď obnovujúca sila F po prvýkrát dosiahla hodnotu -5 mN, potenciálna energia bodu P sa rovnala 100 μJ. Nájdite tento okamih v čase t a zodpovedajúca fáza ω t.

6.36. Hmotnosť hmotnosť m= 250 g, zavesené na pružine, vertikálne osciluje s bodkou T = 1s. Určte tuhosť k pružiny.

6.37. Z vinutej pružiny bolo zavesené závažie, v dôsledku ktorého bola pružina natiahnutá x = 9 uvidis ake bude obdobie T kmitanie závažia, ak je trochu stiahnuté a potom uvoľnené?

6.38. Závažie zavesené na pružine vibruje vertikálne s amplitúdou A= 4 cm. Určte celkovú energiu E oscilácie hmotnosti, ak je tuhosť k pružina je 1 kN / m.

6.39. Nájdite pomer dĺžok dvoch matematických kyvadiel, ak je pomer období ich kmitov 1,5.

6.40. l = 1m inštalovaný vo výťahu. Výťah stúpa so zrýchlením a= 2,5 m / s 2. Určite obdobie T oscilácie kyvadla.

6.41. Na koncoch tenkej tyče dĺžky l= 30 cm, sú pripevnené rovnaké závažia, na každom konci jedna. Tyč so závažím vibruje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej bodom d = 10 cm od jedného z koncov tyče. Určte zmenšenú dĺžku L a bodka T oscilácie takéhoto fyzického kyvadla. Ignorujte hmotnosť tyče.

6.42. Na prúte dlhom l= 30 cm sú upevnené dve identické závažia: jedna - v strede tyče, druhá - na jednom z jej koncov. Tyč so závažím osciluje okolo horizontálnej osi, ktorá prechádza voľným koncom tyče. Určte zmenšenú dĺžku L a bodka T vibrácie takéhoto systému. Ignorujte hmotnosť tyče.

6.43. Systém troch závaží spojených tyčovými tyčami l= 30 cm (obr. 6.6), kmitá okolo vodorovnej osi prechádzajúcej bodom O kolmým na rovinu kresby. Nájdite bodku T kolísanie systému. Hmotnosti tyčí zanedbávame, závažia považujeme za materiálne body.

6.44. Tenká obruč zavesená na klinci, vodorovne zatlačená do steny, osciluje v rovine rovnobežnej so stenou. Polomer R. obruč je 30 cm.Vypočítajte bodku T vibrácie obruče.

Ryža. 6.6

Ryža. 6.7

6.45. Homogénny kotúč s polomerom R.= 30 cm osciluje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej jednou z generatríc valcového povrchu disku. Aké je obdobie T jeho zaváhanie?

6.46. Polomer disku R = 24 cm vibruje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej stredom jedného z polomerov kolmých na rovinu disku. Určte zmenšenú dĺžku L a bodka T oscilácie takéhoto kyvadla.

6.47. Z tenkého homogénneho disku s polomerom R.= 20 cm vystrihnite časť, ktorá vyzerá ako kruh s polomerom r = 10 cm, ako je znázornené na obr. 6.7. Zvyšok disku osciluje okolo vodorovnej osi O, ktorá sa zhoduje s jednou z generatríc valcového povrchu disku. Nájdite bodku T oscilácie takéhoto kyvadla.

6.48. Matematická dĺžka kyvadla l 1 = 40 cm a fyzické kyvadlo v podobe tenkej rovnej tyče dlhé l 2 = 60 cm synchrónne kmitá okolo tej istej horizontálnej osi. Určte vzdialenosť aťažisko tyče od osi vibrácií.

6.49. Fyzické kyvadlo vo forme tenkej rovnej tyče s dĺžkou l= 120 cm osciluje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej kolmo na tyč cez bod v určitej vzdialenosti a od ťažiska tyče. V akej hodnote a obdobie T má fluktuácia najmenšiu hodnotu?

6.50. T s pripevnenou malou guľou hmotnosti T. Kyvadlo osciluje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej bodom O na tyči. Určite obdobie T harmonické kmity kyvadla pre prípady a, b, c, d znázornené na obr. 6.8. Dĺžka l tyč sa rovná 1 m. Lopta sa považuje za materiálny bod.

Ryža. 6.9

Ryža. 6.8

6.51. Fyzikálne kyvadlo je tenká homogénna tyč s hmotnosťou T s dvoma malými guličkami hmotností upevnenými na ňom T a 2 T... Kyvadlo osciluje okolo horizontálnej osi prechádzajúcej bodom O na tyči. Určte frekvenciu ν harmonických kmitov kyvadla pre prípady a B C d, znázornené na obr. 6.9. Dĺžka l tyč je rovná 1 m. Lopty sa považujú za materiálne body.

6.52. Telesná hmotnosť T= 4 kg, upevnené na horizontálnej osi, oscilované bodkou T 1 = 0,8 s. Keď bol disk namontovaný na tejto osi tak, aby sa jej os zhodovala s osou vibrácií tela, bodka T 2 kmity sa rovnali 1,2 s. Polomer R. disk sa rovná 20 cm, jeho hmotnosť sa rovná hmotnosti tela. Nájdite moment zotrvačnosti J teleso vzhľadom na os vibrácií.

6.53. Hmotnostný hustomer T= 50 g, s rúrkou s priemerom d= 1 cm, pláva vo vode. Hydrometer bol mierne ponorený do vody a potom ponechaný sám k sebe, v dôsledku čoho začal vykonávať harmonické kmity. Nájdite bodku T tieto výkyvy.

6.54. V U-trubici otvorenej na oboch koncoch s plochou prierezu S= 0,4 cm 2, ortuť sa rýchlo naleje do hmoty T= 200 g. Určte bodku T kolísanie ortuti v trubici.

6.55. Nabehnutá guľatina, ktorej prierez je po celej dĺžke konštantný, sa ponorila zvisle do vody tak, že nad vodou je iba jej malá časť (v porovnaní s dĺžkou). Obdobie T vibrácie guľatiny sú 5 s. Určite dĺžku l denníky.

Tlmené oscilácie

6.56. Amplitúda tlmených kmitov kyvadla v priebehu času t 1= 5 minút skrátených o polovicu. V akom čase t 2, Keď počítame od počiatočného momentu, zníži sa amplitúda osemkrát?

6.57. Počas t= 8 min, amplitúda tlmených kmitov kyvadla klesla trikrát. Určte koeficient útlmu δ .

6.58. Amplitúda oscilácií dĺžky kyvadla l = 1 m za čas t= 10 minút skrátených o polovicu. Určte logaritmický pokles fluktuácií Θ.

6.59. Logaritmický pokles kmitov Θ kyvadla je 0,003. Určite číslo N.úplné oscilácie, ktoré musí kyvadlo urobiť tak, aby bola amplitúda znížená na polovicu.

6.60. Hmotnosť Kettlebell T= 500 g zavesených na vinutej pružine s tuhosťou k= 20 N / m a vykonáva elastické vibrácie v určitom médiu. Logaritmický pokles fluktuácií Θ = 0,004. Určite číslo N. celkové vibrácie, ktoré musí hmotnosť vyvinúť, aby sa amplitúda vibrácií znížila o n= 2 krát. Ako dlho to trvá t dôjde k tomuto zníženiu?

6.61. Telesná hmotnosť T= 5 g vykonáva tlmené kmity. Na istý čas t = V 50. rokoch stratilo telo 60% energie. Určte koeficient odporu b.

6.62. Určite obdobie T tlmené kmity, ak bodka T 0 prirodzené kmity systému sa rovnajú 1 s a logaritmický pokles kmitov Θ = 0,628.

6.64. Telesná hmotnosť T= 1 kg je vo viskóznom médiu s koeficientom odporu b= 0,05 kg / s. S dvoma rovnakými pružinami s tuhosťou k= 50 N / m, každé teleso je držané v rovnováhe, pričom pružiny nie sú zdeformované (obr. 6.10). Telo bolo vytlačené z rovnovážnej polohy a

prepustený. Určte: 1) koeficient tlmenia δ ; 2) frekvencia ν kmitov; 3) logaritmické zníženie fluktuácií Θ; 4) číslo N. oscilácie, po ktorých sa amplitúda zníži faktorom e.

Vynútené vibrácie. Rezonancia

6.65. Pôsobením gravitácie elektrického motora sa konzolový nosník, na ktorom je inštalovaný, ohne h= 1 mm. Pri akej rýchlosti NS môže byť v kotve motora nebezpečenstvo rezonancie?

6.66. Hmotnosť vozňa T= 80 t má štyri pružiny. Tuhosť k pružiny každého prameňa sa rovnajú 500 kN / m. Pri akej rýchlosti sa vagón začne silne hojdať v dôsledku nárazov v kĺboch ​​koľajníc, ak je dĺžka l koľajnica je 12,8 m?

6.67. Oscilačný systém vykonáva tlmené kmity s frekvenciou ν = 1000 Hz. Určte frekvenciu ν 0 prirodzených kmitov, ak rezonančná frekvencia ν pe s = 998 Hz.

6.68. Určte, ako veľmi sa rezonančná frekvencia líši od frekvencie ν 0 = l kHz prirodzených kmitov systému, charakterizovaných koeficientom tlmenia δ = 400 s -1.

6.69. Určte logaritmický pokles kmitov Θ oscilačného systému, pre ktorý je rezonancia pozorovaná pri frekvencii nižšej ako je vlastná frekvencia ν 0 = 10 kHz o Δν = 2 Hz.

6.70. Obdobie T 0 prirodzených kmitov pružinového kyvadla je 0,55 s. Vo viskóznom prostredí bodka T rovnaké kyvadlo sa rovnalo 0,56 s. Určte rezonančnú frekvenciu ν pe kmitov.

6.71. Pružné kyvadlo (tuhosť k pružina je 10 N / m, hmotnosť T zaťaženie sa rovná 100 g) vytvára nútené vibrácie vo viskóznom médiu s koeficientom odporu r= 2,10-2 kg / s. Určte faktor tlmenia δ a rezonančnú amplitúdu A res, ak je hodnota amplitúdy hnacej sily F 0 = 10 mN.

6.72. Telo vytvára nútené vibrácie v médiu s koeficientom odporu r = 1 g / s. Vzhľadom na malé tlmenie určte hodnotu amplitúdy hnacej sily, ak je amplitúda rezonancie A res = 0,5 cm a frekvencia ν 0 prirodzených vibrácií je 10 Hz.

6.73. Amplitúdy vynútených harmonických kmitov na frekvencii ν 1 = 400 Hz a ν 2 = 600 Hz sú navzájom rovnaké. Určte rezonančnú frekvenciu ν pe s. Ignorujte útlm.

6.74. Na vinutú pružinu s tuhosťou k = 10N / m zavesené závažie T= 10 g a celý systém sa ponorí do viskózneho média. Prijatie koeficientu odporu b rovná 0,1 kg / s, určte: 1) frekvenciu ν 0 prirodzených vibrácií; 2) rezonančná frekvencia ν pe s; 3) rezonančná amplitúda A cut, ak sa hnacia sila zmení podľa harmonického zákona a jeho hodnoty amplitúdy F 0 == 0,02 N; 4) pomer rezonančnej amplitúdy k statickému posunu pôsobením sily F 0.

6.75. Koľkokrát bude amplitúda vynútených kmitov menšia ako rezonančná amplitúda, ak je frekvencia zmeny hnacej sily väčšia ako rezonančná frekvencia: 1) o 10%? 2) dvakrát? Koeficient tlmenia δ je v oboch prípadoch rovný 0,1 ω 0 (ω 0 je uhlová frekvencia prirodzených kmitov).

Harmonické vibrácie - vibrácie vykonávané podľa sínusových a kosínusových zákonov. Nasledujúci obrázok ukazuje graf zmeny súradnice bodu v čase podľa kosínusového zákona.

obrázok

Amplitúda vibrácií

Amplitúda harmonických vibrácií je najväčšou hodnotou posunu tela z rovnovážnej polohy. Amplitúda môže nadobúdať rôzne hodnoty. Bude to závisieť od toho, ako veľmi vytlačíme telo v počiatočnom časovom okamihu z rovnovážnej polohy.

Amplitúda je určená počiatočnými podmienkami, to znamená energiou odovzdanou telu v počiatočnom časovom okamihu. Pretože sínus a kosínus môžu nadobúdať hodnoty v rozsahu od -1 do 1, potom rovnica musí mať faktor Xm, ktorý vyjadruje amplitúdu kmitov. Pohybová rovnica pre harmonické vibrácie:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Oscilačné obdobie

Perióda oscilácie je čas na dokončenie jednej úplnej oscilácie. Perióda oscilácie je označená písmenom T. Jednotky periódy zodpovedajú jednotkám času. To znamená, že v SI sú to sekundy.

Frekvencia oscilácií - počet kmitov vykonaných za jednotku času. Frekvencia vibrácií je označená písmenom ν. Frekvenciu kmitania je možné vyjadriť pomocou periódy kmitania.

ν = 1 / T.

Frekvenčné jednotky v SI 1 / s. Táto merná jednotka sa nazýva Hertz. Počet kmitov v čase 2 * pi sekúnd bude rovný:

ω0 = 2 * pi * ν = 2 * pi / T.

Oscilačná frekvencia

Táto hodnota sa nazýva frekvencia cyklických vibrácií. V niektorej literatúre sa nachádza názov kruhová frekvencia. Prirodzená frekvencia oscilačného systému je frekvencia voľných kmitov.

Prirodzená frekvencia sa vypočíta podľa vzorca:

Prirodzená frekvencia závisí od vlastností materiálu a hmotnosti zaťaženia. Čím vyššia je tuhosť pružiny, tým vyššia je vlastná frekvencia. Čím väčšia je hmotnosť bremena, tým nižšia je frekvencia prirodzených vibrácií.

Tieto dva závery sú jasné. Čím je pružina tuhšia, tým viac zrýchlenia poskytne telu, keď je systém nevyvážený. Čím väčšia je hmotnosť tela, tým pomalšie sa bude táto rýchlosť tohto tela meniť.

Voľné obdobie oscilácie:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Je pozoruhodné, že pri malých uhloch vychýlenia nebude doba oscilácie telesa na pružine a doba oscilácie kyvadla závisieť od amplitúdy kmitov.

Zapíšte si vzorce pre periódu a frekvenciu voľných kmitov pre matematické kyvadlo.

potom bude obdobie

T = 2 * pi * √ (l / g).

Tento vzorec bude platný iba pre malé uhly vychýlenia. Zo vzorca vidíme, že perióda oscilácie sa zvyšuje s dĺžkou kyvadlového vlákna. Čím dlhšia je dĺžka, tým pomalšie bude telo kmitať.

Obdobie oscilácií vôbec nezávisí od hmotnosti zaťaženia. Ale to závisí od gravitačného zrýchlenia. Ako g klesá, doba oscilácie sa bude zvyšovať. Táto vlastnosť je v praxi veľmi využívaná. Napríklad na meranie presnej hodnoty voľnej akcelerácie.

Obdobie.

Obdobie T sa nazýva časové obdobie, počas ktorého systém vykoná jednu úplnú osciláciu:

N.- počet úplných kmitov počas t.

Frekvencia.

Frekvencia ν je počet kmitov za jednotku času:

Frekvenčná jednotka - 1 hertz (Hz) = 1 s -1

Cyklická frekvencia:

Rovnica harmonickej oscilácie:

X- posun tela z polohy. X m je amplitúda, to znamená maximálny výtlak (ω t+ φ 0) je fáza oscilácie, Ψ 0 je jej počiatočná fáza.

Rýchlosť.

Pre φ 0 = 0:

Zrýchlenie.

Pre φ 0 = 0:

Voľné vibrácie.

Voľné vibrácie sú vibrácie, ktoré vznikajú v mechanickom systéme (oscilátor) s jednotkovou odchýlkou ​​od rovnovážnej polohy, majúce prirodzenú frekvenciu ω 0, nastavenú iba parametrami systému, a časom tlmiace v dôsledku prítomnosti trenia.

Matematické kyvadlo.

Frekvencia:

l- dĺžka kyvadla, g- gravitačné zrýchlenie.

Kyvadlo má maximálnu kinetickú energiu v okamihu prechodu rovnovážnou polohou:

Jarné kyvadlo.

Frekvencia:

k- tuhosť pružiny, m- hmotnosť nákladu.

Kyvadlo má maximálnu potenciálnu energiu pri maximálnom výtlaku:

Vynútené vibrácie.

Vynútené vibrácie sú vibrácie, ktoré vznikajú v oscilačnom systéme (oscilátore) pod vplyvom periodicky sa meniacej vonkajšej sily.

Rezonancia.

Rezonancia - prudký nárast amplitúdy X m nútených vibrácií, keď sa frekvencia ω hnacej sily zhoduje s frekvenciou ω 0 prirodzených vibrácií systému.

Vlny.

Vlny sú vibrácie hmoty (mechanické) alebo polí (elektromagnetických), ktoré sa v čase šíria v priestore.

Vlnová rýchlosť.

Rýchlosť šírenia vlny υ je rýchlosť prenosu energie vibrácií. V tomto prípade častice média vibrujú okolo rovnovážnej polohy a nepohybujú sa s vlnou.

Vlnová dĺžka.

Vlnová dĺžka λ je vzdialenosť, na ktorú sa oscilácia šíri v jednej perióde:

Jednotka vlnovej dĺžky je 1 meter (m).

Vlnová frekvencia:

Jednotka vlnovej frekvencie je 1 hertz (Hz).

(lat. amplitúda- hodnota) je najväčšia odchýlka kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy.

V prípade kyvadla je to maximálna vzdialenosť, ktorou sa lopta pohybuje zo svojej rovnovážnej polohy (obrázok nižšie). Pri osciláciách s malými amplitúdami možno takú vzdialenosť považovať za dĺžku oblúka 01 alebo 02 a za dĺžku týchto segmentov.

Amplitúda kmitov sa meria v jednotkách dĺžky - metre, centimetre atď. Na oscilačnom grafe je amplitúda definovaná ako maximálna (modulo) súradnica sínusovej krivky (pozri obrázok nižšie).

Obdobie váhania.

Oscilačné obdobie- je to najmenší časový interval, po ktorom sa systém, ktorý vykonáva oscilácie, opäť vráti do rovnakého stavu, v akom bol v počiatočnom časovom okamihu, zvolenom ľubovoľne.

Inými slovami, obdobie oscilácie ( T) Je čas, počas ktorého je dokončená jedna úplná oscilácia. Napríklad na obrázku nižšie je to čas, počas ktorého sa hmotnosť kyvadla pohybuje od krajného pravého bodu cez rovnovážny bod O do bodu úplne vľavo a späť cez bod O späť úplne vpravo.

Telo teda po celú dobu oscilácie prejde dráhou rovnajúcou sa štyrom amplitúdam. Perióda oscilácie sa meria v jednotkách času - sekundy, minúty atď. Periódu oscilácie je možné určiť zo známeho grafu oscilácií (pozri obrázok nižšie).

Pojem „perióda kmitania“, striktne povedané, platí iba vtedy, ak sa hodnoty oscilačnej veličiny presne opakujú po určitom časovom období, to znamená pre harmonické kmity. Tento koncept však platí aj pre prípady približne opakujúcich sa veličín, napríklad pre tlmené kmity.

Oscilačná frekvencia.

Oscilačná frekvencia Je počet vibrácií za jednotku času, napríklad 1 s.

Jednotka frekvencie SI sa nazýva hertz(Hz) na počesť nemeckého fyzika G. Hertza (1857-1894). Ak vibračná frekvencia ( v) rovná sa 1 Hz, potom to znamená, že za každú sekundu sa vykoná jedna oscilácia. Frekvencia a perióda kmitov súvisia so vzťahmi:

V teórii vibrácií tiež používajú koncept cyklické, alebo kruhová frekvencia ω ... Súvisí to s bežnou frekvenciou v a doba oscilácie T pomery:

.

Cyklická frekvencia Je počet kmitov vykonaných počas 2π sekúnd.