एक समद्विबाहु त्रिभुज को अपनी ओर खींचता है। समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें
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एक सहायक त्रिकोण का उपयोग करके समस्याओं के समूहों को हल करना।
विधि का सार सहायक त्रिकोणों का निर्माण और समस्या के अंतिम समाधान के लिए उनके गुणों और नए प्राप्त तत्वों का उपयोग है।
निर्माण विश्लेषण में निम्नलिखित चरण होते हैं:
अपने विश्लेषण में एक सहायक त्रिकोण की तलाश करें।
यदि नए तत्व दिखाई देते हैं, जिसके साथ आप पहले से ही एबीसी त्रिकोण का निर्माण कर सकते हैं, तो लक्ष्य प्राप्त किया गया है।
यदि ऐसा नहीं होता है, तो शायद आप एक और सहायक त्रिकोण बना सकते हैं जो लापता तत्वों को दे देगा।
आइए हम उदाहरणों का उपयोग करके विधि के सार का विश्लेषण करें।
समस्या 1: एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC बनाएँ ( ख= सी) द्वारा ए, ज ख .
हम एक सहायक त्रिकोण की तलाश कर रहे हैं। जाहिर है, ऐसे त्रिभुज के रूप में सीडीबी के बारे में सोचना सुविधाजनक है।
यह कोण सी देगा, इसलिए कोण एबीसी। तो, ए, कोण बी, कोण सी है, इसलिए आप एक त्रिकोण एबीसी का निर्माण कर सकते हैं। हम इसे योजनाबद्ध रूप से निम्नानुसार लिखेंगे:
(ए, एच बी) → h सीडीबी →< C.
(ए,< B, < C) → Δ ABC.
स्वयं सहायता कार्य:
उपरोक्त के समान तर्क का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित डेटा से एक समद्विबाहु त्रिभुज (b \u003d c) बनाने की सलाह देते हैं:
तथा)< А, h b ;
ख)< В, h с;
घ)< В, h b ;
इ)< С, h b .
समस्या 2: उत्कीर्ण वृत्त, कोण A और कोण B के त्रिज्या r के साथ एक त्रिकोण बनाएँ।
मुझे त्रिभुज ABC में उत्कीर्ण एक वृत्त का केंद्र माना जाता है।
(आर; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(आर; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(- AD | + | BD | \u003d | AB |) → (c)< А, < В) → Δ ABC.
स्वयं सहायता कार्य:
निम्नलिखित तत्वों का उपयोग करके एक त्रिभुज का निर्माण करें:
ए) ए, एच सी, एच बी; बी) ए, एच ए, एच बी; ग) ए, एम ए, एम बी;
घ)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
जी) बी, एच बी, एम बी (जहां एम - मेडियन, एल - बायसेक्टर, एच - हाइट्स)।
अपने आप से:
मुख्य एक के आधार पर समस्याओं के समूहों को हल करना।
मुख्य कार्य:
विकर्ण बीडी और ऊंचाई बी.एम. (→ बीएचडी →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
चार तरफ एक ट्रेपोजॉइड का निर्माण करें।
दो पक्षों के साथ एक त्रिकोण और उनके बीच एक कोण का निर्माण करें।
मुख्य कार्य:
दो पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें।
दो विकर्णों के साथ एक समतल का निर्माण करें।
दो असमान पक्षों के साथ एक आयत का निर्माण करें।
दो विकर्णों और उनके बीच के कोण के साथ एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें।
विकर्णों और उनके बीच के कोण के साथ एक आयत का निर्माण करें।
एक किनारे और दो आसन्न कोनों के साथ एक त्रिकोण बनाएं।
एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
बेस और आसन्न कोने में एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें।
इस कोने के ऊपर से गुजरते हुए कोने और तिरछे के साथ एक समतल जगह बनाएं।
ऊंचाई और शीर्ष कोण में एक समद्विबाहु त्रिकोण का निर्माण।
दिए गए विकर्ण के साथ एक वर्ग का निर्माण करें।
एक कर्ण और एक तीव्र कोण से एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें।
एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
आधार पर पक्ष और कोने के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण पक्ष और शीर्ष कोण के साथ करें।
तीन तरफ एक त्रिकोण का निर्माण।
एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
मुख्य कार्य:
आधार और पक्ष के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें।
पक्ष और विकर्ण के साथ एक ताल का निर्माण करें।
दो असमान पक्षों और एक विकर्ण के साथ एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें।
एक पक्ष और दो विकर्णों के साथ समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें।
पैर और कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें।
एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:
एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण ऊंचाई और भुजा में करें।
एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण आधार के साथ और लम्बवत आधार के अंत से नीचे की तरफ होता है।
आधार, ऊंचाई और विकर्ण के साथ एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें।
ऊंचाई और विकर्ण में एक ताल का निर्माण करें।
पार्श्व पक्ष के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण करें और उससे ऊँचाई कम हो।
आधार, ऊंचाई और पक्ष के आधार पर एक त्रिकोण का निर्माण करें।
साहित्य:
बीआई अरगुनोव, एमबी बाल "विमान पर ज्यामितीय निर्माण", एम, "ज्ञानोदय" 1955।
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समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें? यह एक शासक, पेंसिल और नोटबुक कोशिकाओं के साथ आसानी से किया जा सकता है।
हम आधार से एक समद्विबाहु त्रिकोण का निर्माण शुरू करते हैं। ड्राइंग को समान बनाने के लिए, आधार पर कोशिकाओं की संख्या एक सम संख्या होनी चाहिए।
हम खंड को विभाजित करते हैं - त्रिकोण का आधार - आधे में।
त्रिकोण के शीर्ष को आधार से किसी भी ऊंचाई पर चुना जा सकता है, लेकिन हमेशा मध्य से ठीक ऊपर।
एक तीव्र-कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे करें?
समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण केवल तीव्र हो सकते हैं। समद्विबाहु त्रिभुज को तीव्र-कोण होने के लिए, शीर्ष कोण भी तीव्र होना चाहिए।
ऐसा करने के लिए, आधार से दूर, त्रिकोण के शीर्ष का चयन करें।
उच्चतर शिखर, छोटे शीर्ष कोण। आधार पर कोण तदनुसार बढ़ जाते हैं।
कैसे एक obtuse समद्विबाहु त्रिकोण बनाने के लिए?
जैसे-जैसे समद्विबाहु त्रिभुज का शीर्ष आधार के पास आता है, शीर्ष कोण का माप माप बढ़ता है।
इसलिए, समद्विबाहु तिरछे त्रिभुज का निर्माण करने के लिए, शीर्ष निचले का चयन करें।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज कैसे बनाएँ?
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनाने के लिए, आपको आधे आधार के बराबर दूरी पर शीर्ष का चयन करने की आवश्यकता है (यह समद्विबाहु के गुणों के कारण है सही त्रिकोण).
उदाहरण के लिए, यदि आधार की लंबाई 6 सेल है, तो हम त्रिकोण के शीर्ष को आधार के मध्य से 3 कोशिकाओं की ऊंचाई पर रखते हैं। कृपया ध्यान दें: इस मामले में, आधार पर कोनों पर प्रत्येक कोशिका को तिरछे विभाजित किया गया है।
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का निर्माण ऊपर से शुरू किया जा सकता है।
हम शीर्ष का चयन करते हैं, इसमें से समकोण पर हम समान खंड ऊपर और दाईं ओर रखते हैं। ये त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
आइए उन्हें कनेक्ट करें और एक समद्विबाहु सही त्रिकोण प्राप्त करें।
हम किसी अन्य विषय में डिवीजनों के बिना एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करते हुए एक समद्विबाहु त्रिकोण के निर्माण पर विचार करेंगे।
समद्विबाहु ऐसा है त्रिकोणजिसमें दोनों पक्षों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है।
किसी विषय पर समस्याओं को हल करते समय "समद्विबाहु त्रिकोण" निम्नलिखित ज्ञात का उपयोग करना आवश्यक है गुण:
1.
समान भुजाओं के विपरीत स्थित कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
2.
समान कोणों से खींचे गए बिसेक्टर्स, मेडियंस और हाइट्स एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
3.
द्विध्रुवीय, मध्य और ऊँचाई, समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचा जाता है, एक दूसरे के साथ मेल खाता है।
4.
उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र और परिमित वृत्त का केंद्र ऊँचाई पर स्थित है, और इसलिए मध्य और आधार पर खींचे गए द्विभाजक पर।
5.
समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर कोण हमेशा तेज होते हैं।
एक त्रिकोण समद्विबाहु है यदि इसमें निम्नलिखित हैं संकेत:
1.
त्रिभुज के दो कोण बराबर हैं।
2.
ऊंचाई माध्यिका से मेल खाती है।
3.
द्विभाजक मध्यिका के साथ मेल खाता है।
4.
ऊंचाई द्विभाजक के साथ मेल खाता है।
5.
त्रिभुज की दो ऊँचाइयाँ समान हैं।
6.
एक त्रिभुज के दो द्विभाजक बराबर होते हैं।
7.
त्रिभुज के दो मध्यक बराबर होते हैं।
आइए विषय पर कई कार्यों पर विचार करें "समद्विबाहु त्रिकोण" और उनके लिए एक विस्तृत समाधान दे।
उद्देश्य 1।
समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींची गई ऊँचाई 8 है, और आधार पार्श्व पक्ष को 6: 5 के रूप में संदर्भित करता है। त्रिभुज के शीर्ष से दूरी का पता लगाएं, इसके द्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
फेसला।
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC को दें (चित्र .1).
1) चूंकि AC: BC \u003d 6: 5, AC \u003d 6x और BC \u003d 5x है। BH त्रिभुज ABC के AC के आधार पर खींची गई ऊंचाई है।
चूंकि बिंदु एच एसी (एक समद्विबाहु त्रिभुज की संपत्ति द्वारा) का मध्य है, तो HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 6x \u003d 3x है।
बीसी 2 \u003d बीएच 2 + एचसी 2;
(5x) 2 \u003d 8 2 + (3x) 2;
x \u003d 2, तब
एसी \u003d 6x \u003d 6 2 \u003d 12 और
बीसी \u003d 5x \u003d 5 2 \u003d 10।
3) चूंकि त्रिकोण के द्विभाजक के चौराहे का बिंदु खुदा हुआ सर्कल का केंद्र है, फिर
ओह \u003d आर। एक त्रिभुज ABC में अंकित वृत्त का त्रिज्या सूत्र द्वारा पाया जाता है
4) एस एबीसी \u003d 1/2 * (एसी * बीएच); एस एबीसी \u003d 1/2 * (12 * 8) \u003d 48;
पी \u003d 1/2 (एबी + बीसी + एसी); p \u003d 1/2 (10 + 10 + 12) \u003d 16, फिर OH \u003d r \u003d 48/16 \u003d 3।
इसलिए VO \u003d VN - OH; वीओ \u003d 8 - 3 \u003d 5।
उत्तर: 5
उद्देश्य २।
द्विध्रुवी AD को समद्विबाहु त्रिभुज ABC में खींचा जाता है। त्रिभुज ABD और ADC के क्षेत्र 10 और 12 के बराबर हैं। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो कि इस त्रिभुज की ऊंचाई पर बनाया गया है, जो AC के आधार पर खींचा गया है।
फेसला।
त्रिभुज ABC पर विचार करें - समद्विबाहु, AD - कोण A का द्विभाजक (रेखा चित्र नम्बर 2)।
1) चलो त्रिकोण BAD और DAC के क्षेत्र लिखते हैं:
S BAD \u003d 1/2 AB AD पाप α; S DAC \u003d 1/2 AC AD पाप α।
2) क्षेत्रफल अनुपात ज्ञात करें:
S BAD / S DAC \u003d (1/2 AB AD पाप α) / (1/2 AC AD sin α) \u003d AB / AC।
चूंकि S BAD \u003d 10, S DAC \u003d 12, तब 10/12 \u003d AB / AC;
AB / AC \u003d 5/6, फिर AB \u003d 5x और AC \u003d 6x होने दें।
एएच \u003d 1/2 एसी \u003d 1/2 6x \u003d 3x।
3) त्रिभुज ABN से - पायथागॉरियन प्रमेय AB 2 \u003d AN 2 + BN 2 के अनुसार आयताकार;
25x 2 \u003d वीएन 2 + 9x 2;
4) एस ए वाउ \u003d 1/2 एएस ओएनपीओ; S A B C \u003d 1/2 6x 4x \u003d 12x 2।
चूँकि S A BC \u003d S BAD + S DAC \u003d 10 + 12 \u003d 22, फिर 22 \u003d 12x 2;
x 2 \u003d 11/6; वीएन 2 \u003d 16x 2 \u003d 16 11/6 \u003d 1/3 8 11 \u003d 88/3।
5) वर्ग का क्षेत्रफल BH 2 \u003d 88/3 के बराबर है; 3 88/3 \u003d 88।
उत्तर: 88।
उद्देश्य ३।
समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार 4 है और भुजा 8. है। ऊँचाई का वर्ग ज्ञात कीजिए जो कि भुजा से नीचे हो।
फेसला।
त्रिभुज ABC में - समद्विबाहु BC \u003d 8, AC \u003d 4 (अंजीर। 3)।
1) वीएन - त्रिकोण एबीसी के एसी के आधार पर खींची गई ऊंचाई।
चूँकि बिंदु H, AC के मध्य में (समद्विबाहु त्रिभुज की संपत्ति द्वारा) है, तो HC \u003d 1/2 AC \u003d 1/2 · 1 \u003d 2 है।
2) एक त्रिकोण VNS से \u200b\u200b- पायथागॉरियन प्रमेय वीएस 2 \u003d वीएन 2 + एनएस 2 के अनुसार आयताकार;
64 \u003d बीएच 2 + 4;
3) एस एबीसी \u003d 1/2 (एसी बीएच), साथ ही एस एबीसी \u003d 1/2 (एएम बीसी), फिर हम सूत्रों के दाहिने हाथ की तरफ समान करते हैं, हमें मिलता है
1/2 एसी बीएच \u003d 1/2 एएम बीसी;
एएम \u003d (एसी · बीएच) / बीसी;
एएम \u003d (\u003d60 4) / 8 \u003d (2 415 4) / 8 \u003d √15।
उत्तर: 15
समस्या 4।
समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार और उस पर गिराई गई ऊँचाई 16 के बराबर होती है। इस त्रिभुज के बारे में परिधि वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
फेसला।
त्रिभुज ABC में - समद्विबाहु आधार AC \u003d 16, BH \u003d 16 - AC के आधार पर खींची गई ऊँचाई (अंजीर। 4).
1) एएच \u003d एचसी \u003d 8 (समद्विबाहु त्रिकोण की संपत्ति द्वारा)।
2) एक त्रिकोण VNS से \u200b\u200b- पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार आयताकार
बीसी 2 \u003d बीएच 2 + एचसी 2;
बीसी 2 \u003d 8 2 + 16 2 \u003d (8 2) 2 + 8 2 \u003d 8 2 4 + 8 2 \u003d 8 2 5;
3) एक त्रिभुज ABC पर विचार करें: sines के प्रमेय के अनुसार, 2R \u003d AB / sin C, जहाँ R एक वृत्त की त्रिज्या है जो त्रिभुज ABC के बारे में परिचालित है।
पाप C \u003d BH / BC (साइन की परिभाषा द्वारा VNS त्रिकोण से)।
पाप C \u003d 16 / (8√5) \u003d 2 / then5, फिर 2R \u003d 8 165 / (2 / ;5);
2 आर \u003d (8R5 √5) / 2; आर \u003d 10।
उत्तर: 10
उद्देश्य ५।
समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई 36 है, और खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या 10. है त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
फेसला।
बता दें कि समद्विबाहु त्रिभुज ABC को दिए गए हैं।
1) चूंकि त्रिकोण में खुदा हुआ वृत्त का केंद्र अपने द्विभाजक के चौराहे का बिंदु है, इसलिए ओ ϵ VN और AO कोण A का द्विभाजक है, और वर्तमान OH \u003d r \u003d 10 है (अंजीर। 5).
2) वीओ \u003d वीएन - ओह; बीओ \u003d 36 - 10 \u003d 26।
3) त्रिभुज ABN पर विचार करें। एक त्रिकोण के कोण के द्विभाजक पर प्रमेय द्वारा
AB / AN \u003d VO / OH;
AB / AH \u003d 26/10 \u003d 13/5, फिर AB \u003d 13x और AH \u003d 5x दें।
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एबी 2 \u003d एएन 2 + बीएच 2;
(13x) 2 \u003d 36 2 + (5x) 2;
169x 2 \u003d 25x 2 + 36 2;
144x 2 \u003d (12 3) 2;
144x 2 \u003d 144 9;
x \u003d 3, फिर AC \u003d 2 AH \u003d 10x \u003d 10 3 \u003d 30।
4) एस एबीसी \u003d 1/2 * (एसी * बीएच); एस एबीसी \u003d 1/2 * (36 * 30) \u003d 540;
उत्तर- 540।
टास्क 6।
समद्विबाहु त्रिभुज में, दोनों भुजाएँ 5 और 20 होती हैं। त्रिभुज के आधार पर कोण का द्विभाजक ज्ञात कीजिए।
फेसला।
1) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ 5 हैं और आधार 20 है।
फिर 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (अंजीर। 6)।
2) एलसी \u003d एक्स, फिर बीएल \u003d 20 - एक्स। एक त्रिकोण के कोण के द्विभाजक पर प्रमेय द्वारा
एबी / एसी \u003d बीएल / एलसी;
20/5 \u003d (20 - x) / x,
फिर 4x \u003d 20 - x;
इस प्रकार, एलसी \u003d 4; बीएल \u003d 20 - 4 \u003d 16।
3) हम एक त्रिकोण के कोण के द्विभाजक के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
AL 2 \u003d AB AC - BL LC,
फिर AL 2 \u003d 20 · 5 - 4 · 16 \u003d 36;
उत्तर: 6
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