अनिश्चितकालीन अपने मूल गुणों का अभिन्न। अभिन्न का सरल गुण। स्व-परीक्षण प्रश्न

इस लेख में, हम मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करेंगे समाकलन परिभाषित करें... इनमें से अधिकांश गुण रीमैन और डार्बौक्स के निश्चित अभिन्न की अवधारणाओं के आधार पर सिद्ध होते हैं।

एक निश्चित अभिन्न की परिभाषा अक्सर पहले पांच गुणों का उपयोग करके की जाती है, इसलिए हम आवश्यक होने पर उनका उल्लेख करेंगे। एक निश्चित अभिन्न गुणों के बाकी मुख्य रूप से विभिन्न अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जाता है।

पर जाने से पहले निश्चित अभिन्न के बुनियादी गुणोंआइए हम इस बात से सहमत हैं कि बी से अधिक नहीं है।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए, x \u003d a पर परिभाषित, समानता सत्य है।

अर्थात्, एकीकरण की संयोग सीमाओं के साथ एक निश्चित अभिन्न का मूल्य शून्य है। यह संपत्ति रिमैन अभिन्न की परिभाषा का एक परिणाम है, क्योंकि इस मामले में अंतराल के किसी भी विभाजन के लिए प्रत्येक अभिन्न राशि और अंकों का कोई विकल्प शून्य के बराबर है, इसलिए, इंटीग्रल रकम की सीमा शून्य है।

किसी सेगमेंट में फंक्शन के लिए, .

दूसरे शब्दों में, स्थानों में एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमा को बदलते समय, निश्चित अभिन्न का मूल्य विपरीत में बदल जाता है। एक निश्चित अभिन्न की यह संपत्ति भी रीमैन अभिन्न की अवधारणा से होती है, केवल एक खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x \u003d b से शुरू होनी चाहिए।

एक अंतराल पर y \u003d f (x) और y \u003d g (x) कार्यों के लिए।

साक्ष्य।

हम फ़ंक्शन के अभिन्न योग को लिखते हैं किसी खंड के दिए गए विभाजन और अंकों के दिए गए विकल्प के लिए:

क्रमशः और खंड के दिए गए विभाजन के लिए y \u003d f (x) और y \u003d g (x) फ़ंक्शन के अभिन्न योग हैं।

सीमा पर पासिंग हम प्राप्त करते हैं कि रिमैन अभिन्न की परिभाषा से यह सिद्ध किया जा रहा है कि संपत्ति के दावे के बराबर है।

एक निश्चित अभिन्न के संकेत के बाहर एक निरंतर कारक लिया जा सकता है। यह है, एक समारोह के लिए y \u003d f (x) एक अंतराल पर अंतर और एक मनमाना संख्या k, समानता .

निश्चित अभिन्न की इस संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के समान है:


फ़ंक्शन को y \u003d f (x) अंतराल X पर, और और फिर .

यह संपत्ति दोनों के लिए और उसके लिए सही है।

प्रमाण को निश्चित अभिन्न के पिछले गुणों का उपयोग करके किया जा सकता है।

यदि कोई कार्य किसी खंड पर पूर्णांक है, तो यह किसी भी आंतरिक खंड पर भी पूर्णांक है।

प्रमाण डार्बौक्स रकम की संपत्ति पर आधारित है: यदि खंड के मौजूदा विभाजन में नए अंक जोड़े जाते हैं, तो निचले डार्बोक्स राशि में कमी नहीं होगी, और ऊपरी हिस्से में वृद्धि नहीं होगी।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) एक अंतराल पर और तर्क के किसी भी मूल्य के लिए पूर्णांक है, तो .

यह संपत्ति रिमैन इंटीग्रल की परिभाषा के माध्यम से साबित होती है: अंतराल के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई भी अभिन्न योग और अंक गैर-सकारात्मक (सकारात्मक नहीं) होंगे।

परिणाम।

कार्यों के लिए y \u003d f (x) और y \u003d g (x) एक अंतराल पर पूर्णांक, निम्न असमानताएं रखती हैं:


इस कथन का अर्थ है कि असमानताओं का एकीकरण स्वीकार्य है। हम इस कोरोलरी का उपयोग निम्नलिखित गुणों को साबित करने के लिए करेंगे।

बता दें कि फंक्शन y \u003d f (x) एक अंतराल पर क्रमागत है, फिर असमानता .

साक्ष्य।

यह स्पष्ट है कि ... पिछली संपत्ति में, हमें पता चला कि असमानता को शब्द द्वारा एकीकृत किया जा सकता है, इसलिए, यह सच है ... इस दोहरी असमानता को लिखा जा सकता है .

कार्य y \u003d f (x) और y \u003d g (x) को एक अंतराल पर और किसी भी तर्क के मान के लिए पूर्णांक होने दें, फिर कहाँ पे तथा .

प्रमाण समान है। चूंकि m और M खंड पर फ़ंक्शन y \u003d f (x) के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं, फिर ... Nonnegative function y \u003d g (x) द्वारा दोहरी असमानता को गुणा करते हुए हमें निम्न दोहरी असमानता की ओर ले जाता है। इसे एक खंड पर एकीकृत करते हुए, हम सिद्ध किए जा रहे दावे पर पहुंचते हैं।

अंतरविरोधी कार्य और अनिश्चितकालीन अभिन्न

तथ्य 1. एकीकरण एक क्रिया है जिसका विभेदीकरण होता है, अर्थात्, इस फ़ंक्शन के ज्ञात व्युत्पन्न से एक फ़ंक्शन की बहाली। इस प्रकार समारोह बहाल हो गया एफ(एक्स) कहा जाता है antiderivative कार्य के लिए च(एक्स).

परिभाषा 1. कार्य एफ(एक्स च(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्सयदि सभी मूल्यों के लिए एक्स इस अंतराल से, समानता एफ "(एक्स)=च(एक्स), वह है, यह कार्य च(एक्स) प्रतिपक्षी क्रिया का व्युत्पन्न है एफ(एक्स). .

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन एफ(एक्स) \u003d पाप एक्स कार्य का प्रतिपक्षी है च(एक्स) \u003d cos एक्स एक्स के किसी भी मूल्य के लिए पूरी संख्या लाइन पर (पाप एक्स) "\u003d (कोस एक्स) .

परिभाषा 2. किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग च(एक्स) इसके सभी प्रतिरूपकों का समुच्चय है... इस स्थिति में, रिकॉर्ड का उपयोग किया जाता है

∫

च(एक्स)dx

,

संकेत कहाँ है ∫ को अभिन्न संकेत, कार्य कहा जाता है च(एक्स) अभिन्न है, और च(एक्स)dx - एक अभिन्न।

तो अगर एफ(एक्स) के लिए कुछ मारक है च(एक्स), फिर

∫

च(एक्स)dx = एफ(एक्स) +सी

कहाँ पे सी - एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर)।

एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग के रूप में एक फ़ंक्शन के एंटिडराइटिस के सेट का अर्थ समझने के लिए, निम्नलिखित सादृश्य उपयुक्त है। एक दरवाजा (पारंपरिक लकड़ी का दरवाजा) होने दें। इसका कार्य "द्वार होना" है। दरवाजा किस चीज से बना है? लकड़ी का बना हुआ। इसका मतलब यह है कि इंटीग्रांड के सेट "एक दरवाजा होने के लिए", अर्थात्, इसका अनिश्चित अभिन्न अंग, "एक पेड़ + सी" होने के लिए फ़ंक्शन है, जहां सी एक स्थिर है, जिसका अर्थ इस संदर्भ में हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक पेड़ की प्रजाति। जैसे एक दरवाजा लकड़ी के कुछ औजारों से बना होता है, एक फंक्शन का व्युत्पन्न एक एंटीडिऐक्टिव फ़ंक्शन से "बनाया" होता है वह सूत्र जो हमने व्युत्पन्न का अध्ययन करके सीखा है .

फिर सामान्य वस्तुओं और उनके संबंधित प्रतिरूपकों ("एक दरवाजा होने के लिए" - "एक पेड़ होने के लिए", "एक चम्मच बनने के लिए" - "धातु होने के लिए", आदि) के कार्यों की तालिका बुनियादी अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की तालिका के समान है, जो नीचे दी जाएगी। अनिश्चितकालीन अभिन्नों की तालिका सामान्य क्रियाओं को सूचीबद्ध करती है, जिसमें उन अंतर्विरोधों का संकेत मिलता है जिनसे ये कार्य "किए जाते हैं"। अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की समस्याओं के हिस्से में, ऐसे पूर्णांक दिए गए हैं, जो विशेष विचारों के बिना, सीधे एकीकृत किए जा सकते हैं, अर्थात अनिश्चित इंटीग्रल की तालिका के अनुसार। अधिक जटिल समस्याओं में, इंटीग्रैंड को पहले बदलना होगा ताकि सारणीबद्ध इंटीग्रल्स का उपयोग किया जा सके।

तथ्य 2. जब एक समारोह को एक विरोधी के रूप में बहाल किया जाता है, तो हमें एक मनमाना स्थिरांक (निरंतर) लेना चाहिए सी, और 1 से अनन्त तक विभिन्न स्थिरांक वाली एंटिडराइवर की सूची नहीं लिखने के लिए, आपको एक स्थिरांक के साथ एंटीसाइडराइटिस का एक सेट लिखना होगा। सीइस तरह से: 5 एक्स³ + С. इसलिए, एक मनमाना स्थिरांक (स्थिरांक) पूर्वविरोधी की अभिव्यक्ति में शामिल होता है, क्योंकि प्रतिपक्षी एक कार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए, 5 एक्स5 + 4 या 5 एक्सAny + 3 और भेदभाव 4 या 3, या कोई अन्य निरंतर गायब।

हमें इस समस्या के लिए एकीकरण समस्या का सामना करना पड़ता है च(एक्स) इस तरह के समारोह का पता लगाएं एफ(एक्स), जिसका व्युत्पन्न है बराबरी च(एक्स).

उदाहरण 1।किसी फ़ंक्शन के एंटिडराइटिस के सेट का पता लगाएं

फेसला। इस फंक्शन के लिए, एंटीडाइवरेटिव फंक्शन है

समारोह एफ(एक्स) को फंक्शन के लिए एन्टिडरिवेटिव कहा जाता है च(एक्स) यदि व्युत्पन्न एफ(एक्स) के बराबर है च(एक्स), या, जो एक ही बात है, अंतर एफ(एक्स) के बराबर है च(एक्स) dx, अर्थात।

(2)

इसलिए, एक फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के लिए एक एंटीडाइरेक्टिव है। हालांकि, यह केवल इसके लिए विरोधी नहीं है। वे कार्यों के रूप में भी कार्य करते हैं

कहाँ पे से एक मनमाना स्थिरांक है। यह भेदभाव द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि किसी कार्य के लिए एक प्रतिपक्षी है, तो इसके लिए एक अनंत संख्या में प्रतिपक्षी हैं जो एक स्थिर शब्द से भिन्न होते हैं। किसी फ़ंक्शन के लिए सभी एंटीसाइडरिक्स उपरोक्त रूप में लिखे गए हैं। यह निम्न प्रमेय से निकला है।

प्रमेय (तथ्य 2 का औपचारिक विवरण)।यदि एक एफ(एक्स) समारोह के लिए रोगरोधी है च(एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स, तो किसी भी अन्य के लिए विरोधी च(एक्स) उसी अंतराल पर के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है एफ(एक्स) + सीकहाँ पे सेएक मनमाना स्थिरांक है।

अगले उदाहरण में, हम पहले से ही अभिन्न की तालिका का उल्लेख कर रहे हैं, जो कि अनिश्चित 3 के गुणों के बाद धारा 3 में दिया जाएगा। हम पूरी तालिका पढ़ने से पहले ऐसा करते हैं ताकि ऊपर का सार स्पष्ट हो। और तालिका और गुणों के बाद, हम उन्हें पूर्ण एकीकरण में उपयोग करेंगे।

उदाहरण 2।प्रतिस्वेदक के सेट का पता लगाएं:

फेसला। हम ऐसे एंटीडिविटिव फ़ंक्शंस के सेट ढूंढते हैं जिनसे ये फ़ंक्शंस "किए गए" हैं। अभिन्नों की तालिका से सूत्रों का उल्लेख करते समय, अभी के लिए, बस स्वीकार करें कि ऐसे सूत्र हैं, और हम अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की पूरी तालिका का थोड़ा आगे अध्ययन करेंगे।

1) के लिए अभिन्न की मेज से सूत्र (7) लागू करना n \u003d 3, हमें मिलता है

2) के लिए इंटीग्रल की तालिका से सूत्र (10) का उपयोग करना n \u003d 1/3, हमारे पास है

3) के बाद से

तब सूत्र (7) द्वारा n \u003d -1/4 पाते हैं

अभिन्न स्वयं कार्य नहीं है च , और अंतर द्वारा इसका उत्पाद dx ... यह मुख्य रूप से यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि किस चर को मारक के लिए खोजा जा रहा है। उदाहरण के लिए,

, ;

यहाँ दोनों मामलों में अभिन्न समान है, लेकिन माना मामलों में इसके अनिश्चित इंटीग्रल अलग-अलग हो जाते हैं। पहले मामले में, यह फ़ंक्शन वैरिएबल के फ़ंक्शन के रूप में माना जाता है एक्स , और दूसरे में - के एक समारोह के रूप में z .

किसी फ़ंक्शन के अनिश्चितकालीन अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को उस फ़ंक्शन को एकीकृत करना कहा जाता है।

अनिश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

इसे वक्र खोजने की आवश्यकता है y \u003d F (x) और हम पहले से ही जानते हैं कि इसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा एक दिया गया कार्य है च (x) इस बिंदु की अनुपस्थिति।

व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ के अनुसार, वक्र के दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान का स्पर्शरेखा y \u003d F (x) व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है एफ "(एक्स)... इसलिए, हमें इस तरह के एक समारोह को खोजने की आवश्यकता है एफ (x), जिसके लिए एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स)... कार्य में आवश्यक कार्य एफ (x) का प्रतिपक्षी है च (x)... समस्या की स्थिति एक वक्र द्वारा नहीं, बल्कि घटता परिवार द्वारा संतुष्ट है। y \u003d F (x) इन वक्रों में से एक है, और अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा किसी भी अन्य वक्र को इससे प्राप्त किया जा सकता है ओए.

आइए, प्रतिपक्षी क्रिया के ग्राफ को कहते हैं च (x) अभिन्न वक्र। यदि एक एफ "(एक्स) \u003d एफ (एक्स), फिर फंक्शन का ग्राफ y \u003d F (x) एक अभिन्न वक्र है।

तथ्य 3. अनिश्चितकालीन अभिन्न ज्यामितीय रूप से सभी अभिन्न वक्रों के परिवार द्वारा दर्शाया जाता है जैसा कि नीचे चित्र में है। उत्पत्ति से प्रत्येक वक्र की दूरी एकीकरण के एक मनमाने ढंग से स्थिर (स्थिर) द्वारा निर्धारित की जाती है सी.

अनिश्चितकालीन अभिन्न गुण

तथ्य 4. प्रमेय 1. एक अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पत्ति अभिन्न के बराबर है, और इसका अंतर अभिन्न के बराबर है।

तथ्य 5. प्रमेय 2. किसी कार्य के अंतर का अनिश्चित अभिन्न अंग च(एक्स) फ़ंक्शन के बराबर है च(एक्स) एक निरंतर अवधि तक , अर्थात।

(3)

सिद्धांत 1 और 2 बताते हैं कि भेदभाव और एकीकरण पारस्परिक संचालन हैं।

तथ्य 6. प्रमेय 3. अभिन्न में निरंतर कारक को अनिश्चित अभिन्न संकेत के बाहर ले जाया जा सकता है , अर्थात।

कार्य करने दें y = च(एक्स ) खंड पर परिभाषित किया गया है [ ए, ख ], ए < ख ... चलिए निम्नलिखित ऑपरेशन करते हैं:

1) हम अलग हो गए [ ए, ख ] डॉट्स ए = एक्स 0 < एक्स 1 < ... < एक्स मैं- 1 < एक्स मैं < ... < एक्स n = ख पर n आंशिक रेखा खंड [ एक्स 0 , एक्स 1 ], [एक्स 1 , एक्स 2 ], ..., [एक्स मैं- 1 , एक्स मैं ], ..., [एक्स n- 1 , एक्स n ];

2) प्रत्येक आंशिक खंड में [ एक्स मैं- 1 , एक्स मैं ], मैं = 1, 2, ... n, एक मनमाना बिंदु चुनें और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करें: च(z i ) ;

3) काम करता है च(z i ) · Δ एक्स मैं , जहां आंशिक खंड की लंबाई है [ एक्स मैं- 1 , एक्स मैं ], मैं = 1, 2, ... n;

4) रचना अभिन्न योगसमारोह y = च(एक्स ) खंड पर [ ए, ख ]:

से ज्यामितीय बिंदु देखें, यह योग ang आयतों के क्षेत्रों का योग है, जिनके आधार आंशिक खंड हैं [ एक्स 0 , एक्स 1 ], [एक्स 1 , एक्स 2 ], ..., [एक्स मैं- 1 , एक्स मैं ], ..., [एक्स n- 1 , एक्स n ], और ऊंचाइयां हैं च(z 1 ) , च(z 2 ), ..., च(z n ) क्रमशः (छवि 1)। आइए हम निरूपित करते हैं λ सबसे बड़े आंशिक खंड की लंबाई:

5) इंटीग्रल योग की सीमा ज्ञात करें जब λ → 0.

परिभाषा। यदि अभिन्न राशि (1) की एक सीमित सीमा है और यह खंड की विभाजन विधि पर निर्भर नहीं करता है [ ए, ख ] आंशिक खंडों में, न ही अंकों के चयन से z i उन में, तो यह सीमा कहा जाता है समाकलन परिभाषित करें समारोह से y = च(एक्स ) खंड पर [ ए, ख ] को निरूपित किया जाता है

इस तरह,

इस मामले में, फ़ंक्शन च(एक्स ) कहा जाता है समाकलनीय पर [ ए, ख ]। नंबर ए तथा ख कहा जाता है, क्रमशः, एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएं, च(एक्स ) इंटीग्रांड है, च(एक्स ) dx - एक अभिन्न, एक्स - एकीकरण का चर; अनुभाग [ ए, ख ] को एकीकरण अंतराल कहा जाता है।

प्रमेय १।यदि कार्य y = च(एक्स ) खंड पर जारी है [ ए, ख ], फिर यह इस सेगमेंट पर पूर्णांक है।

समान एकीकरण सीमा के साथ एक निश्चित अभिन्न शून्य है:

यदि एक ए > ख , तो, परिभाषा से, हम डाल दिया

2. निश्चित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

खंड पर चलो [ ए, ख ] एक निरंतर गैर-नकारात्मक कार्य दिया जाता है y = च(एक्स ) . घुमावदार ट्रेपोजॉइडफ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा ऊपर से घिरा हुआ आंकड़ा है y = च(एक्स ), नीचे से - ऑक्सी अक्ष द्वारा, बाईं और दाईं ओर - सीधी रेखाओं द्वारा x \u003d ए तथा x \u003d बी (रेखा चित्र नम्बर 2)।

एक गैर-नकारात्मक कार्य का निश्चित अभिन्न y = च(एक्स ) ज्यामितीय बिंदु से, फ़ंक्शन के ग्राफ द्वारा ऊपर से घिरा एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है y = च(एक्स ), बाईं ओर और दाईं ओर - लाइन सेगमेंट द्वारा x \u003d ए तथा x \u003d बी नीचे, ऑक्स अक्ष के एक खंड द्वारा।

3. एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण

1. निश्चित इंटीग्रल का मूल्य एकीकरण के चर के पदनाम पर निर्भर नहीं करता है:

2. निश्चित अभिन्न के संकेत के बाहर एक स्थिर कारक लिया जा सकता है:

3. दो कार्यों के बीजीय योग का एक निश्चित अभिन्न इन कार्यों के निश्चित अभिन्न बीजीय राशि के बराबर है:

4. यदि समारोह है y = च(एक्स ) पर पूर्णांक है [ ए, ख ] तथा ए < ख < सी फिर

5. (मतलब मूल्य प्रमेय)... यदि कार्य y = च(एक्स ) खंड पर जारी है [ ए, ख ], तो इस सेगमेंट पर एक बिंदु ऐसा है

4. न्यूटन - लाइबनिज सूत्र

प्रमेय २।यदि कार्य y = च(एक्स ) खंड पर जारी है [ ए, ख ] तथा एफ(एक्स) क्या इस सेगमेंट में इसकी कोई भी एंटीडायलेटरीज़ है, तो निम्न सूत्र मान्य है:

इससे कहते है न्यूटन द्वारा - लीबनिज सूत्र। अंतर एफ(ख) - एफ(ए) आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

जहाँ वर्ण को दोहरा वाइल्डकार्ड वर्ण कहा जाता है।

इस प्रकार, सूत्र (2) के रूप में लिखा जा सकता है:

उदाहरण 1। अभिन्न की गणना

फेसला। अभिन्न के लिए च(एक्स ) = एक्स 2 एक मनमाना प्रतिपक्षी का रूप होता है

चूँकि न्यूटन-लिबनिज फॉर्मूले में किसी भी एंटीडिविटिवेटिव का उपयोग किया जा सकता है, इसलिए हम अभिन्न को ले जाने वाले अभिन्न की गणना करते हैं, जिसका सबसे सरल रूप है:

5. एक निश्चित अभिन्न अंग में परिवर्तनशील

प्रमेय ३। कार्य करने दें y = च(एक्स ) खंड पर जारी है [ ए, ख ]। यदि एक:

1) समारोह एक्स = φ ( टी) और इसका व्युत्पन्न ative "( टी) पर निरंतर हैं;

2) फ़ंक्शन के मूल्यों का सेट एक्स = φ ( टी) सेगमेंट के लिए है [ ए, ख ];

3) φ ( ए) = ए, φ ( ख) = ख, फिर सूत्र मान्य है

इससे कहते है एक निश्चित अभिन्न अंग में परिवर्तनशील परिवर्तन सूत्र द्वारा .

इस मामले में अनिश्चितकालीन अभिन्न के विपरीत आवश्यक नहीं एकीकरण के मूल चर पर लौटें - यह एकीकरण की नई सीमाओं को खोजने के लिए पर्याप्त है α और original (इसके लिए चर के संबंध में हल करना आवश्यक है टी समीकरण φ ( टी) = ए और and ( टी) = ख).

प्रतिस्थापन के बजाय एक्स = φ ( टी) आप प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं टी = जी(एक्स )। इस मामले में, चर के संबंध में एकीकरण की नई सीमाएं खोजना टीसरलीकृत: α \u003d जी(ए) , β = जी(ख) .

उदाहरण 2... अभिन्न की गणना

फेसला। आइए सूत्र का उपयोग करके एक नया चर पेश करें। समानता के दोनों किनारों पर, हमें 1 + मिलता है x \u003d टी 2 कहाँ से x \u003d टी 2 - 1, dx = (टी 2 - 1)"डीटी= 2tdt ... हम एकीकरण की नई सीमाएँ पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पुरानी सीमाओं को सूत्र में बदलते हैं x \u003d 3 और x \u003d 8. हमें मिलता है: टी\u003d 2 और α \u003d 2; कहाँ से टी= 3 और and \u003d 3. तो,

उदाहरण 3। गणना

फेसला। रहने दो यू \u003d एलएन एक्स , फिर, v = एक्स ... सूत्र के अनुसार (4)

मुख्य एकीकरण फ़ार्मुलों को व्युत्पत्ति के लिए सूत्रों को सम्मिलित करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए, विचाराधीन विषय का अध्ययन शुरू करने से पहले, आपको मुख्य फ़ंक्शंस के 1 विभेदन फ़ार्मुलों को दोहराना चाहिए (अर्थात डेरिवेटिव की तालिका को याद करें)।

अंतरविरोधी की अवधारणा से परिचित होना, एक अनिश्चित अभिन्न की परिभाषा और भेदभाव और एकीकरण के संचालन की तुलना करना, छात्रों को इस तथ्य पर ध्यान देना चाहिए कि एकीकरण का संचालन बहुस्तरीय है, क्योंकि विचाराधीन खंड पर एंटीसाइडरिट्स का एक अनंत सेट देता है। हालांकि, वास्तव में, केवल एक रोगनिरोधक खोजने की समस्या हल हो गई है, क्योंकि किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीसाइडरेटिव एक दूसरे से एक निरंतर मूल्य से भिन्न होते हैं

कहाँ पे सी - एक मनमाना मान २।

स्व-परीक्षा के लिए प्रश्न।

एक रोगरोधी फ़ंक्शन की परिभाषा दें।

अनिश्चित अभिन्नता किसे कहते हैं?

अभिन्न कार्य क्या है?

अभिन्न क्या है?

एंटीसाइडरिक्स के परिवार के ज्यामितीय अर्थ का संकेत दें।

6. परिवार में, बिंदु के माध्यम से वक्र ढूंढें

2. अनिश्चित अभिन्न के गुण।

SIMPLE INTEGRALS की तालिका

यहां छात्रों को अनिश्चितकालीन अभिन्न के निम्नलिखित गुणों को सीखना चाहिए।

संपत्ति 1. अनिश्चित अभिन्न का व्युत्पन्न 3 फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के बराबर है (परिभाषा के अनुसार)

संपत्ति 2. अभिन्न का अंतर अभिन्न के बराबर है

उन। यदि अंतर का संकेत अभिन्न के संकेत से पहले आता है, तो वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

संपत्ति 3. यदि इंटीग्रल का संकेत अंतर के संकेत के सामने है, तो वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, और फ़ंक्शन में एक मनमाना निरंतर मान जोड़ा जाता है

संपत्ति4. एक ही फ़ंक्शन के दो एंटिडराइटर के बीच अंतर एक निरंतर मूल्य है।

संपत्ति 5. अभिन्न चिन्ह के नीचे से स्थिर कारक को बाहर निकाला जा सकता है

कहाँ पे तथा एक स्थिर संख्या है।

वैसे, इस संपत्ति को आसानी से साबित किया जा सकता है समानता (2.4) के दोनों पक्षों को खाते की संपत्ति 2 में लेते हुए।

संपत्ति 6. किसी फ़ंक्शन के योग (अंतर) का अभिप्राय इन कार्यों के इंटीग्रल्स के योग (अंतर) के बराबर होता है (यदि वे अलग-अलग होते हैं)

यह गुण विभेदन द्वारा भी आसानी से सिद्ध हो जाता है।

संपत्ति का प्राकृतिक सामान्यीकरण 6

. (2.6)

एकीकरण को एक विभेदक के विपरीत क्रिया के रूप में देखते हुए, सरलतम व्युत्पत्ति की तालिका से, कोई भी सबसे सरल अभिन्न की निम्न तालिका प्राप्त कर सकता है।

सरलतम अनिश्चितताओं की तालिका

1., जहां, (2.7)

2., जहां, (2.8)

4., कहाँ ,, (2.10)

9. , (2.15)

10. . (2.16)

सूत्र (२. Form) - (२.१६) सरलतम अनिश्चितताओं को हृदय से सीखना चाहिए। उन्हें जानना आवश्यक है, लेकिन यह सीखने के लिए पर्याप्त है कि कैसे एकीकृत किया जाए। एकीकरण में सतत कौशल पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करके प्राप्त किया जाता है (आमतौर पर विभिन्न प्रकार के लगभग 150-200 उदाहरण)।

नीचे दी गई तालिका से ज्ञात इंटीग्रल्स (2.7) - (2.16) के योग में परिवर्तित करके इंटीग्रल्स को सरल बनाने के उदाहरण हैं।

उदाहरण 1.

.

यह लेख एक निश्चित अभिन्न के मूल गुणों का विवरण देता है। उन्हें रीमैन और डार्बौक्स अभिन्न की अवधारणा का उपयोग करके साबित किया गया है। 5 गुणों के कारण एक निश्चित अभिन्न की गणना होती है। उनमें से बाकी का उपयोग विभिन्न अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है।

एक निश्चित अभिन्न के मूल गुणों के लिए आगे बढ़ने से पहले, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि बी से अधिक नहीं है।

एक निश्चित अभिन्न के बुनियादी गुण

परिभाषा 1

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x \u003d a पर परिभाषित, वैध समानता के समान है a a f (x) d x \u003d 0।

प्रमाण १

यहां से हम देखते हैं कि संयोग सीमाओं के साथ अभिन्न का मूल्य शून्य के बराबर है। यह रिमैन अभिन्न का एक परिणाम है, क्योंकि प्रत्येक अभिन्न योग consequ अंतराल पर किसी भी विभाजन के लिए [ए; a] और अंकों का कोई विकल्प is i शून्य के बराबर है, क्योंकि x i - x i - 1 \u003d 0, i \u003d 1, 2। ... ... , n, जिसका अर्थ है कि अभिन्न कार्यों की सीमा शून्य है।

परिभाषा २

एक फ़ंक्शन के लिए जो खंड पर पूर्णांक है [a; b], शर्त ∫ a b f (x) d x \u003d - f b f (x) d x संतुष्ट है।

प्रमाण २

दूसरे शब्दों में, यदि एकीकरण की ऊपरी और निचली सीमाएं स्थानों में बदली जाती हैं, तो अभिन्न का मूल्य इसके मूल्य को विपरीत में बदल देगा। यह संपत्ति रीमैन अभिन्न से ली गई है। हालांकि, खंड के विभाजन की संख्या बिंदु x \u003d b से आती है।

परिभाषा ३

∫ ए बी एफ एक्स (जी (एक्स) डी एक्स \u003d f ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ± x ए बी जी (एक्स) डी एक्स का उपयोग अंतराल के प्रकार y \u003d f (x) और y \u003d g (x) के अंतराल के कार्यों के लिए किया जाता है [a] ख]।

प्रमाण ३

अंक के दिए गए विकल्प with i: σ \u003d ∑ i \u003d 1 nf ± g ζ i - i xi - xi - 1 \u003d ∑ i \u003d के दिए गए विकल्पों के साथ खंडों में विभाजित करने के लिए फ़ंक्शन y \u003d f (x) x g (x) का अभिन्न योग लिखें। 1 nf (n i) xi - xi - 1 ζ ζ i \u003d 1 ng x i xi - xi - 1 \u003d ζ f σ ζ g

जहाँ s f और are g खंड विभाजन के लिए फ़ंक्शंस y \u003d f (x) और y \u003d g (x) के अभिन्न योग हैं। Λ \u003d m a x i \u003d 1, 2 पर सीमा से गुजरने के बाद,। ... ... , n (x i - x i - 1) → 0 हम उस लिम को प्राप्त करते हैं λ → 0 \u003d लिम λ → 0 σ f σ g \u003d लिम λ → 0 ± g लिम λ → 0। g।

रीमैन की परिभाषा से, यह अभिव्यक्ति समकक्ष है।

परिभाषा ४

एक निश्चित अभिन्न के संकेत से परे एक निरंतर कारक ले जाना। अंतराल से एक पूर्णांक समारोह [ए; b] k के मनमाने मूल्य के साथ फॉर्म की वैध असमानता है b a b k · f (x) d x \u003d k · b a b f (x) d x।

प्रमाण ४

निश्चित अभिन्न की संपत्ति का प्रमाण पिछले एक के समान है:

\u003d \u003d ζ i \u003d 1 nk f x i (xi - xi - 1) \u003d \u003d k f i \u003d 1 nf 1 i (xi - xi - 1) \u003d k ⇒ f ⇒ lim λ → 0 σ \u003d lim λ → 0 (k) f) \u003d k lim λ → 0 ∫ f ⇒ ∫ abk f (x) dx \u003d k f abf (x) dx

परिभाषा ५

यदि फॉर्म y \u003d f (x) का एक फंक्शन a x, b that x के साथ एक अंतराल x पर क्रमागत होता है, तो हम प्राप्त करते हैं कि ∫ a b b (x) d x \u003d c a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x।

प्रमाण ५

संपत्ति को ∈ a के लिए सही माना जाता है; b, c, a और c for b के लिए। प्रमाण पिछले गुणों के समान है।

परिभाषा 6

जब फ़ंक्शन में खंड से पूर्ण होने की क्षमता होती है [a; बी], फिर इसे किसी भी आंतरिक खंड के लिए किया जा सकता है; डी d ए; ख।

प्रमाण ६

प्रमाण डार्बौक्स संपत्ति पर आधारित है: यदि हम खंड के मौजूदा विभाजन में अंक जोड़ते हैं, तो कम डार्बौक्स राशि में कमी नहीं होगी, और ऊपरी हिस्से में वृद्धि नहीं होगी।

परिभाषा 7

जब फ़ंक्शन [ए पर है; b] f (x) ≥ 0 f (x) any 0 से x के किसी भी मान के लिए ∈ a; b, तो हम प्राप्त करते हैं कि ∫ a b f (x) d x ∫ 0 we a b f (x) that 0।

संपत्ति को रिमैन इंटीग्रल की परिभाषा का उपयोग करके साबित किया जा सकता है: खंड के विभाजन बिंदुओं के किसी भी विकल्प के लिए कोई अभिन्न राशि और अंक segment मैं इस शर्त के साथ कि एफ (x) (0 f (x), 0, हम गैर-नकारात्मक प्राप्त करते हैं।

प्रमाण 7

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) और y \u003d g (x) खंड पर पूर्णांक हैं [a; बी], फिर निम्नलिखित असमानताओं को सच माना जाता है:

X ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ∫ ए बी जी (एक्स) डी एक्स, अगर और एफ (एक्स) ∀ जी (एक्स) ∈ एक्स ∈ ए; बी b ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ∫ ए बी जी (एक्स) डी एक्स, अगर और एफ (एक्स) x जी (एक्स) ∈ एक्स ∈ ए; ख

बयान के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि एकीकरण स्वीकार्य है। इस कोरोलरी का उपयोग अन्य गुणों को साबित करने के लिए किया जाएगा।

परिभाषा 8

खंड से एक पूर्णांक फ़ंक्शन y \u003d f (x) के लिए [a; बी] हमारे पास फॉर्म] ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ∫ b ए बी एफ (एक्स) डी एक्स की वैध असमानता है।

प्रमाण 8

हमारे पास वह है - f (x) (f (x) x f (x)। पिछली संपत्ति से, हमने प्राप्त किया कि असमानता को शब्द द्वारा एकीकृत किया जा सकता है और फॉर्म की असमानता से मेल खाता है - (ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ≤ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ∫ ए बी एफ (एक्स) डी एक्स। इस दोहरी असमानता को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है: can ए बी एफ (एक्स) डी एक्स ∫) ए बी एफ (एक्स) डी एक्स।

परिभाषा 9

जब कार्य y \u003d f (x) और y \u003d g (x) खंड से एकीकृत होते हैं [a; बी] जी (एक्स) के लिए for 0 किसी भी एक्स के लिए ∈ ए; बी, हम फॉर्म एम b ए बी जी (एक्स) डी एक्स ∫ ए बी एफ (एक्स) जी (एक्स) डी एक्स ∫ एम b ए बी जी (एक्स) डी एक्स, जहां एम \u003d एम एन एक्स ∈ ए; b f (x) और M \u003d m a x x; a; बी एफ (एक्स)।

प्रमाण ९

प्रमाण को इसी तरह से किया जाता है। एम और एम को सबसे बड़ा और सबसे छोटा माना जाता है फ़ंक्शन y \u003d f (x) सेगमेंट से निर्धारित [a; बी], फिर एम (एफ (एक्स) m एम। फ़ंक्शन y \u003d g (x) द्वारा दोहरी असमानता को गुणा करना आवश्यक है, जो फॉर्म m g (x) (f (x) g (x) g M g (x) के रूप में दोहरी असमानता का मूल्य देगा। खंड पर इसे एकीकृत करना आवश्यक है [ए; बी], फिर हम साबित होने के लिए दावा प्राप्त करते हैं।

परिणाम: जी (एक्स) \u003d 1 के लिए, असमानता एम बी लेती है - ए ∫ x ए बी एफ (एक्स) डी एक्स d एम (बी - ए)।

पहला मतलब मूल्य सूत्र

परिभाषा १०

Y \u003d f (x) के लिए, खंड पर पूर्णांक [a; बी] के साथ एम \u003d एम मैं एन एक्स with ए; b f (x) और M \u003d m a x x; a; b f (x) एक संख्या there m है; M, जो, a b f (x) d x \u003d μ b - a फिट बैठता है।

परिणाम: जब फ़ंक्शन y \u003d f (x) सेगमेंट से निरंतर होता है [a; बी], फिर ऐसी संख्या है ∈ a; b, जो समानता को संतुष्ट करता है which a b f (x) d x \u003d f (c) b - a।

सामान्यीकृत रूप में पहले माध्य मान सूत्र

परिभाषा ११

जब फ़ंक्शन y \u003d f (x) और y \u003d g (x) खंड से पूर्णांक होते हैं [a; बी] के साथ एम \u003d एम मैं एन एक्स with ए; b f (x) और M \u003d m a x x; a; x f के किसी भी मूल्य के लिए b f (x), और g (x)\u003e 0; ख। इसलिए हमारे पास एक संख्या that m है; एम, जो समानता को संतुष्ट करता है ∫ ए बी एफ (एक्स) जी (एक्स) डी एक्स \u003d μ ∫ ए बी जी (एक्स) डी एक्स।

दूसरा मतलब मूल्य सूत्र

परिभाषा 12

जब फंक्शन y \u003d f (x) सेगमेंट से क्रिएट होता है [a; b], और y \u003d g (x) मोनोटोन है, फिर एक संख्या है जो c ∈ a; b, जहाँ हम फॉर्म की वैध समानता प्राप्त करते हैं a a b f (x) g (x) d x \u003d g (a) a a c f (x) d x + g (b) b c b f (x) d x

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