सेवा उद्देश्य... ऑनलाइन कैलकुलेटर को समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए डिज़ाइन किया गया है पुनरावृत्त विधि.

निर्णय वर्ड प्रारूप में किया जाता है।

समारोह प्रवेश नियम

के उदाहरण
एक्स ^ 2 / (1 + एक्स)
cos 2 (2x + ) (cos (2 * x + pi)) ^ 2
≡ एक्स + (एक्स -1) ^ (2/3)

सबसे ज्यादा प्रभावी तरीकेसमीकरणों का संख्यात्मक हल है पुनरावृति विधि... इस विधि का सार इस प्रकार है। मान लीजिए समीकरण f (x) = 0 दिया गया है।
हम इसे तुल्य समीकरण से प्रतिस्थापित करते हैं
आइए हम मूल x 0 का प्रारंभिक सन्निकटन चुनें और इसे समीकरण (1) के दाईं ओर प्रतिस्थापित करें। तब हमें कुछ नंबर मिलते हैं

एक्स १ = (एक्स ०)। (2)

संख्या x 1 के स्थान पर (2) के दाईं ओर अब प्रतिस्थापित करने पर हमें संख्या x 2 = (x 1) प्राप्त होती है। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, हमारे पास संख्याओं का एक क्रम होगा

एक्स एन = φ (एक्स एन -1) (एन = 1,2 ..)। (3)

यदि यह अनुक्रम अभिसारी है, अर्थात एक सीमा है, तो समानता (3) में सीमा तक जाने और फलन (x) को निरंतर मानते हुए, हम पाते हैं

या = (ξ)।
इस प्रकार, सीमा ξ समीकरण (1) का मूल है और किसी भी डिग्री सटीकता के साथ सूत्र (3) द्वारा गणना की जा सकती है।

चावल। 1ए अंजीर। 1बी

चावल। 2.

| (x) |> 1 एक अपसारी प्रक्रिया है

अंजीर में 1a, 1b, जड़ के पड़ोस में | (x) |<1 и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай |φ′(x)|>1, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया भिन्न हो सकती है (चित्र 2 देखें)।

पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्तें

प्रमेय 7.मान लीजिए फलन (x) एक अंतराल पर परिभाषित और अवकलनीय है, और इसके सभी मान φ (x) हैं और चलो | (x) | ≤q<1 при x∈. Тогда процесс итерации x n = φ(x n -1) сходится независимо от начального значения x 0 ∈ и предельное значение является единственным корнем уравнения x= φ(x) на отрезке .
सबूत:दो क्रमिक सन्निकटन x n = φ (x n -1) और x n +1 = φ (x n) पर विचार करें और उनका अंतर x n + 1 -x n = φ (x n) -φ (x n-1) लें। लैग्रेंज के प्रमेय द्वारा, दाहिने हाथ की ओर का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

(एक्स एन) (एक्स एन -एक्स एन -1)

जहां एक्स एन
तब हमें मिलता है

| x n + 1 -x n | (x n) | x n -x n-1 | ≤q | x n -x n-1 |

सेटिंग n = 1,2, ...

| x 2 -x 1 | q | x 1 -x 0 |
| x 3 -x 2 | q | x 2 -x 1 | q² | x 1 -x 0 |
| x n + 1 -x n q n | x 1 -x 0 | (4)

से (4), शर्त q . के आधार पर<1 видно, что последовательность {x n } сходится к некоторому числу ξ, то есть , और इसलिए
(फ़ंक्शन की निरंतरता के कारण (x))
या = (ξ) ch.d.
मूल की त्रुटि के लिए निम्न सूत्र प्राप्त किया जा सकता है।
हमारे पास x n = (x n-1) है।
इसके अलावा, ξ-x n = ξ-φ (x n-1) = φ (ξ) -φ (x n-1) →
अब φ (x n-1) = φ (x n) -φ (c) (x n -x n-1) →
(ξ) -φ (एक्स एन) + (सी) (एक्स एन -एक्स एन -1)
परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

-एक्स एन = (सी 1) (ξ-एक्स एन -1) + (सी) (एक्स एन -एक्स एन -1)
या
| ξ-x n | ≤q | ξ-x n | + q | x n -x n-1 |

यहाँ से

, (5)

जहां से यह देखा जाता है कि q के लिए 1 के करीब अंतर | -x n | हालांकि बहुत बड़ा हो सकता है | x n -x n -1 |<ε, где ε-заданная величина. Для того, чтобы вычислить ξ с точностью ε необходимо обеспечить

. (6)

फिर (6) को (5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं | -x n |<ε.
यदि q बहुत छोटा है, तो (6) के स्थान पर कोई प्रयोग कर सकता है

| एक्स एन-एक्स एन -1 |<ε

पुनरावृत्ति विधि का अभिसरणअभिसरण गुणांक α = q के साथ रैखिक। दरअसल, हमारे पास
-x n = φ (ξ) -φ n-1 = (सी) (ξ-x n-1), इसलिए | ξ-x n | ≤q | ξ-x n-1 |।

टिप्पणी।मान लीजिए कि समीकरण x = (x) के मूल ξ∈ (a, b) के किसी पड़ोस में, व्युत्पन्न φ '(x) एक स्थिर चिह्न और असमानता को बनाए रखता है | ' (x) | ≤q<1. Тогда, если φ’(x) положительна, то последовательные приближения x n = φ(x n -1) сходятся к корню монотонно.
यदि '(x) ऋणात्मक है, तो क्रमिक सन्निकटन मूल के चारों ओर दोलन करते हैं।
समीकरण f (x) = 0 को x = (x) के रूप में निरूपित करने के तरीके पर विचार करें।
फ़ंक्शन (x) को इस तरह निर्दिष्ट किया जाना चाहिए कि | '(x) | जड़ के पास छोटा था।
मान लें कि m 1 ज्ञात है और M 1 व्युत्पन्न f '(x) के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान हैं।
0समीकरण f (x) = 0 को समतुल्य समीकरण से बदलें
एक्स = एक्स - λf (एक्स)।
हम (x) = x- λf (x) डालते हैं। आइए हम पैरामीटर λ चुनें ताकि जड़ के पड़ोस में असमानता

0≤ | (एक्स) | = | 1-λ एफ ′ (एक्स) | ≤q≤1

इसलिए, (7) के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

0≤ | 1-λM 1 | | 1-λm 1 | q

फिर = 1 / M 1 को चुनने पर हमें प्राप्त होता है
क्यू = 1-एम 1 / एम 1< 1.
यदि = 1 / f '(x), तो पुनरावृत्ति सूत्र x n = (x n -1) न्यूटन के सूत्र में बदल जाता है

एक्स एन = एक्स एन -1 - एफ (एक्स एन) / एफ '(एक्स)।

एक्सेल में पुनरावृत्ति विधि

सेल बी 2 में हम अंतराल ए की शुरुआत दर्ज करते हैं, सेल बी 3 में हम अंतराल बी के अंत में प्रवेश करते हैं। तालिका शीर्षक के तहत पंक्ति 4 को अलग रखा गया है। हम पुनरावृत्ति प्रक्रिया को कक्ष A5: D5 में ही व्यवस्थित करते हैं।

पुनरावृति विधि द्वारा किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने की प्रक्रियानिम्नलिखित चरणों के होते हैं:

1. इस सेवा का उपयोग करके एक टेम्पलेट प्राप्त करें।
2. कक्ष B2, B3 में रिक्ति को परिशोधित करें।
3. पुनरावृत्तियों की पंक्तियों को आवश्यक सटीकता (कॉलम डी) में कॉपी करें।

ध्यान दें: कॉलम ए - पुनरावृत्ति संख्या, कॉलम बी - समीकरण एक्स की जड़, कॉलम सी - फ़ंक्शन एफ (एक्स) का मान, कॉलम डी - सटीक ईपीएस।

एक उदाहरण। समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए e -x -x = 0, x = ∈, = 0.001 (8)
समाधान.
हम समीकरण (8) को x = x-λ (e -x -x) के रूप में निरूपित करते हैं।
फलन f (x) = e - x -x के अवकलज का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
अधिकतम एफ (एक्स) = अधिकतम (- (ई-एक्स +1)) ≈ -1.37। अर्थ ... इस प्रकार, हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:
एक्स = एक्स + 0.73 (ई - एक्स -एक्स)
क्रमिक सन्निकटन के मान तालिका में दिए गए हैं।

एन	एक्स मैं	एफ (एक्स मैं)
1	0.0	1.0
2	0.73	-0.2481
3	0.5489	0.0287
4	0.5698	-0.0042
5	0.5668	0.0006

शिक्षा और यूक्रेन के विज्ञान मंत्रालय

सुमस्क स्टेट यूनिवर्सिटी

सूचना विज्ञान विभाग

पाठ्यक्रम कार्य

पाठ्यक्रम द्वारा:

संख्यात्मक तरीके

"गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पुनरावृत्त तरीके"

1. गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके। सामान्य जानकारी

२.१ सरल पुनरावृत्ति विधि

२.२ ऐटकेन परिवर्तन

2.3 न्यूटन की विधि

2.3.1 न्यूटन की विधि के संशोधन

2.3.2 अर्ध-न्यूटोनियन तरीके

२.४ अरेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अन्य पुनरावृत्त विधियाँ

2.4.1 पिकार्ड विधि

2.4.2 ग्रेडिएंट डिसेंट विधि

2.4.3 विश्राम विधि

3. प्रोग्रामेटिक रूप से पुनरावृत्त विधियों का कार्यान्वयन और मेपल गणितीय पैकेज का उपयोग करना

३.१ सरल पुनरावृत्ति विधि

३.२ ग्रेडिएंट डिसेंट विधि

3.3 न्यूटन की विधि

३.४ संशोधित न्यूटन की विधि

प्रयुक्त साहित्य की सूची

1. अरैखिक समीकरणों को हल करने की विधियाँ। सामान्य जानकारी।

आइए हमें समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए, जहां

- कुछ अरेखीय ऑपरेटर: (१.१)

इसे मैट्रिक्स रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

(1.1)

इसके समाधान को ऐसा मान कहा जाता है

जिसके लिए

सिस्टम (1.1) के कुछ या सभी समाधान खोजने की कम्प्यूटेशनल समस्या एनके साथ अरैखिक बीजीय या अनुवांशिक समीकरण एनअनजान।

आइए हम द्वारा निरूपित करें एन एसकॉलम वेक्टर ( एन एस 1 , एन एस 2 , ..., एक्स एन)टीऔर समीकरणों के निकाय को सूत्र (1.2) के रूप में लिखिए: एफ(एन एस) = 0, जहां एफ =(एफ 1 , एफ 2 , ..., एफ n)टी.

समीकरणों की ऐसी प्रणालियाँ प्रत्यक्ष रूप से उत्पन्न हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, भौतिक प्रणालियों के डिजाइन में, या परोक्ष रूप से। इसलिए, उदाहरण के लिए, कुछ फ़ंक्शन को कम करने की समस्या को हल करते समय जी(एन एस) अक्सर उन बिंदुओं को निर्धारित करना आवश्यक होता है जिन पर इस फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट शून्य के बराबर होता है। यह मानते हुए एफ =ग्रैड जी,हमें एक अरेखीय प्रणाली मिलती है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों के विपरीत, जिनके समाधान के लिए उनका उपयोग किया जा सकता है सीधा(या शुद्ध) तथा चलने का(या अनुमानित) विधियाँ, अरैखिक समीकरणों के निकाय का हल केवल अनुमानित, पुनरावृत्त विधियों द्वारा ही प्राप्त किया जा सकता है। वे आपको सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त करने की अनुमति देते हैं

... यदि पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है, तो सीमा मान समीकरणों की दी गई प्रणाली का समाधान है।

सिस्टम का समाधान खोजने के तरीकों की पूरी समझ के लिए, इस तरह की अवधारणा को "अभिसरण की दर" के रूप में स्पष्ट करना आवश्यक है। अगर निरंतरता के लिए एक्स एनसीमा में परिवर्तित एन एस *, सूत्र सत्य है

(कएक सकारात्मक वास्तविक संख्या है), तो ककिसी दिए गए अनुक्रम के अभिसरण की दर कहलाती है।

2. गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियां

२.१ सरल पुनरावृत्ति विधि

सरल पुनरावृत्तियों की विधि (क्रमिक सन्निकटन) कम्प्यूटेशनल गणित में मुख्य विधियों में से एक है और इसका उपयोग समीकरणों की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने के लिए किया जाता है। आइए हम फॉर्म के गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए इस पद्धति का विवरण और औचित्य प्रस्तुत करते हैं

एफ मैं (एक्स 1, एक्स 2, ... एक्स एन) = 0, मैं=1,2,..एन;

आइए हम समीकरणों की प्रणाली को एक विशेष रूप में लाते हैं:

(2.1)

या वेक्टर रूप में

. (2.2)

इसके अलावा, इस प्रणाली में संक्रमण केवल इस शर्त के तहत होना चाहिए कि

एक संकुचन मानचित्रण है।

कुछ प्रारंभिक सन्निकटन का प्रयोग करना X (0) = (एक्स 1 (0), एक्स 2 (0), ... एक्स एन (0))

एक पुनरावृत्तीय प्रक्रिया X (k + 1) = (X (k)) की रचना कीजिए। शर्त पूरी होने तक गणना जारी है

... तब समीकरणों के निकाय का हल मानचित्रण का एक निश्चित बिंदु होता है।

आइए हम एक निश्चित मानदंड में विधि को सही ठहराते हैं

स्थान।

आइए हम एक अभिसरण प्रमेय प्रस्तुत करते हैं, जिसकी शर्तों की पूर्ति प्रणाली का समाधान खोजने की ओर ले जाती है।

प्रमेय (अभिसरण के बारे में)।रहने दो

१) । वेक्टर फ़ंक्शन (х) क्षेत्र में परिभाषित किया गया है

; शर्त संतुष्ट है

3))। असमानता मान्य है

फिर पुनरावृत्ति प्रक्रिया में:

, - समीकरणों की प्रणाली का समाधान; ,

टिप्पणी। स्थिति 2 की असमानता डोमेन में वेक्टर फ़ंक्शन Φ (x) के लिए Lipschitz स्थिति है एसस्थिरांक के साथ

(संपीड़न की स्थिति)। यह बताता है कि एफडोमेन में संपीड़न ऑपरेटर है एस, अर्थात्, निचोड़ा हुआ मानचित्रण का सिद्धांत समीकरण (2.2) पर लागू होता है। प्रमेय के अभिकथन का अर्थ है कि समीकरण (2.2) का हल डोमेन में है एस, और क्रमिक सन्निकटन हर के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम की दर से इस समाधान में अभिसरण करते हैं क्यू.

सबूत... जहां तक ​​कि

, तो धारणा के आधार पर सन्निकटन के लिए 3) हमारे पास है। इसका मतलब है कि । आइए हम दिखाते हैं कि, k = 2,3, ... और पड़ोसी सन्निकटन के लिए असमानता (2.3)

हम प्रेरण द्वारा बहस करेंगे। पर

कथन सत्य है, क्योंकि तथा । मान लीजिए कि सन्निकटन S से संबंधित हैं, और असमानता (2.3) के लिए है। चूंकि, प्रमेय की शर्त 2) को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है।

आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा

गणितीय विधियों द्वारा विभिन्न परिघटनाओं या प्रक्रियाओं का अध्ययन गणितीय मॉडल का उपयोग करके किया जाता है . एक गणितीय मॉडल रैखिक, अरेखीय या अंतर समीकरणों, असमानताओं की प्रणालियों, एक निश्चित अभिन्न, अज्ञात गुणांक वाले बहुपद, आदि की प्रणालियों के माध्यम से अध्ययन के तहत वस्तु का एक औपचारिक विवरण है। गणितीय मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं को शामिल करना चाहिए अध्ययन के तहत वस्तु और उनके बीच संबंधों को दर्शाती है।

गणितीय मॉडल तैयार होने के बाद, कम्प्यूटेशनल समस्या के निर्माण के लिए आगे बढ़ें . उसी समय, यह स्थापित किया जाता है कि गणितीय मॉडल की कौन सी विशेषताएँ प्रारंभिक (इनपुट) डेटा हैं , मॉडल के पैरामीटर क्या हैं , और कौन से आउटपुट डेटा हैं। प्राप्त समस्या का विश्लेषण समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के दृष्टिकोण से किया जाता है।

अगले चरण में, समस्या को हल करने के लिए एक विधि का चयन किया जाता है। कई विशिष्ट मामलों में, समस्या का समाधान स्पष्ट रूप में खोजना संभव नहीं है, क्योंकि यह प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है। ऐसी समस्याओं को केवल लगभग हल किया जा सकता है। कम्प्यूटेशनल (संख्यात्मक) विधियों का अर्थ अनुमानित प्रक्रियाएं हैं जो विशिष्ट संख्यात्मक मानों के रूप में समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं। कम्प्यूटेशनल तरीके, एक नियम के रूप में, कंप्यूटर पर लागू किए जाते हैं। एक ही समस्या को हल करने के लिए, विभिन्न कम्प्यूटेशनल विधियों का उपयोग किया जा सकता है, इसलिए आपको किसी समस्या के लिए विभिन्न विधियों की गुणवत्ता और उनके आवेदन की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने में सक्षम होना चाहिए।

फिर, चुनी गई गणना पद्धति को लागू करने के लिए, एक एल्गोरिथम और एक कंप्यूटर प्रोग्राम तैयार किया जाता है . एक आधुनिक इंजीनियर के लिए यह महत्वपूर्ण है कि वह किसी समस्या को एक ऐसे रूप में परिवर्तित करने में सक्षम हो जो कंप्यूटर पर कार्यान्वयन के लिए सुविधाजनक हो और ऐसी समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम का निर्माण कर सके।

वर्तमान में, वे व्यापक रूप से पैकेज के रूप में उपयोग किए जाते हैं जो समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने के लिए सबसे सामान्य तरीकों को लागू करते हैं (उदाहरण के लिए, मैथकैड,
MatLAB) और पैकेज जो विशेष समस्याओं को हल करने के तरीकों को लागू करते हैं।

गणना परिणामों का विश्लेषण और व्याख्या की जाती है। यदि आवश्यक हो, तो विधि के मापदंडों को समायोजित किया जाता है, और कभी-कभी गणितीय मॉडल, और समस्या को हल करने का एक नया चक्र शुरू होता है।

1.1. समस्या का निरूपण

कुछ फ़ंक्शन दिए जाने दें और इसके लिए सभी या कुछ मानों को खोजना आवश्यक है।

वह मान जिस पर कहा जाता है जड़(या फैसला) समीकरण। एक फ़ंक्शन को अक्सर रूट के पड़ोस में दो बार लगातार भिन्न माना जाता है।

समीकरण की जड़ कहा जाता है सरल,यदि बिंदु पर फलन का प्रथम अवकलज शून्य नहीं है, अर्थात्। यदि, तो जड़ कहलाती है एकाधिक जड़।

ज्यामितीय रूप से, समीकरण की जड़ एब्सिस्सा अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। अंजीर में। 1 चार जड़ों वाले एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है: दो सरल और दो गुणक।

किसी समीकरण को हल करने की अधिकांश विधियाँ सरल मूल ज्ञात करने पर केंद्रित होती हैं।

1.2. समाधान खोजने के मुख्य चरण

समीकरण की जड़ों को लगभग खोजने की प्रक्रिया में, दो चरणों को आमतौर पर प्रतिष्ठित किया जाता है: स्थानीयकरण(या जड़ की शाखा)तथा जड़ शोधन.

जड़ के स्थानीयकरण में एक और केवल एक जड़ वाले खंड को परिभाषित करना शामिल है। कोई सार्वभौमिक रूट स्थानीयकरण एल्गोरिदम नहीं है। कभी-कभी ग्राफ़ या फ़ंक्शन मानों की तालिका का उपयोग करके रूट को स्थानीयकृत करना सुविधाजनक होता है। एक खंड पर एक जड़ की उपस्थिति खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के संकेतों में अंतर से संकेतित होती है। यह निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है।

प्रमेय . यदि कोई फ़ंक्शन किसी सेगमेंट पर निरंतर है और इसके सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है, ताकि सेगमेंट में समीकरण की कम से कम एक जड़ हो।

हालांकि, यहां तक ​​कि बहुलता की जड़ को इस तरह से स्थानीय नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस तरह की जड़ के आसपास के क्षेत्र में फ़ंक्शन का एक निरंतर संकेत होता है। जड़ शोधन के चरण में, जड़ के अनुमानित मूल्य की गणना दी गई सटीकता के साथ की जाती है। विभिन्न पुनरावृत्त विधियों का उपयोग करके जड़ के अनुमानित मूल्य को परिष्कृत किया जाता है। इन विधियों का सार क्रमिक रूप से उन मूल्यों की गणना करना है जो जड़ के सन्निकटन हैं।

1.3. आधा विभाजन विधि

एक अरेखीय समीकरण को हल करने के लिए आधी विधि सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका है। प्रारंभिक विश्लेषण से ज्ञात हो कि समीकरण का मूल अंतराल पर है, अर्थात्, ताकि। फ़ंक्शन को एक खंड पर निरंतर होने दें और खंड के सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लें, अर्थात। ...

खंड को आधा में विभाजित करें। आइए एक बिंदु प्राप्त करें। आइए इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:। यदि, तो आवश्यक जड़ है, और समस्या हल हो गई है। यदि, तब - एक निश्चित चिन्ह की संख्या: या तो। फिर, या तो खंड के सिरों पर, या खंड के सिरों पर, फ़ंक्शन के मानों के अलग-अलग संकेत होते हैं। आइए ऐसे खंड को निरूपित करें। जाहिर है, खंड की लंबाई खंड की लंबाई से दो गुना कम है। हम एक सेगमेंट के साथ भी ऐसा ही करेंगे। परिणामस्वरूप, हमें या तो एक मूल या एक नया खंड, आदि मिलता है। (चित्र 2)।

वें खंड के मध्य। जाहिर है, खंड की लंबाई बराबर होगी, और तब से

समाप्ति मानदंड।संबंध (1) से यह इस प्रकार है कि सन्निकटन की दी गई सटीकता के लिए गणना तब समाप्त होती है जब असमानता या असमानता संतुष्ट हो जाती है। इस प्रकार, पुनरावृत्तियों की संख्या पहले से निर्धारित की जा सकती है। मान को रूट के अनुमानित मान के रूप में लिया जाता है।

उदाहरण।हम इसे लगभग सटीकता के साथ पाएंगे। यह समस्या किसी समीकरण को हल करने या किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के बराबर है। एक खंड को प्रारंभिक खंड के रूप में लें। इस खंड के सिरों पर, फ़ंक्शन विभिन्न संकेतों के साथ मान लेता है:। आइए हम आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक खंड के विभाजनों की संख्या ज्ञात करें। हमारे पास है:

इसलिए, बाद में 6 वें विभाजन के बाद, हम आवश्यक सटीकता के साथ पाते हैं। गणना परिणाम तालिका 1 में प्रस्तुत किए गए हैं।

तालिका एक

	1,0000	1,0000	1,0000	1,1250	1,1250	1,1406	1,1406
	2,0000	1,5000	1,2500	1,2500	1,1875	1,1875	1,1562
	1,5000	1,2500	1,1250	1,1875	1,1406	1,1562	1,1484
Zn	-	-	-	-	-	-	-
Zn	+	+	+	+	+	+	+
	5,5938	0,7585	-0,2959	0,1812	-0,0691	0,0532	-0,0078
-	1,0000	0,5000	0,2500	0,1250	0,0625	0,0312	0,0156

1.4. सरल पुनरावृत्ति विधि

मान लीजिए समीकरण को एक तुल्य समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

आइए किसी तरह से प्रारंभिक सन्निकटन चुनें। आइए हम पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें और परिष्कृत मान ज्ञात करें। आइए अब हम समीकरण (1) में स्थानापन्न करें और एक नया सन्निकटन प्राप्त करें, आदि। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हम मूल के सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त करते हैं:

सूत्र (3) is गणना सूत्रसरल पुनरावृत्ति विधि।

यदि अनुक्रम अभिसरण करता है, अर्थात, मौजूद है

और फ़ंक्शन निरंतर है, फिर, (3) में सीमा से गुजरते हुए और (4) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:।

अत: समीकरण (2) का मूल है।

विधि का अभिसरण।सरल पुनरावृत्ति विधि का अभिसरण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

प्रमेय।मान लें कि फलन एक अंतराल पर परिभाषित और अवकलनीय है, इसके सभी मूल्यों के साथ। फिर, यदि शर्त संतुष्ट है:

1) पुनरावृत्ति प्रक्रिया प्रारंभिक मूल्य की परवाह किए बिना परिवर्तित होती है;

2) सीमित मूल्य खंड पर समीकरण की एकमात्र जड़ है।

सबूत।चूंकि और, आप लिख सकते हैं

माध्य मान प्रमेय द्वारा (यह बताता है कि यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कुछ अंतराल पर निरंतर है, तो बिंदुओं के बीच खींची गई जीवा के ढलान की स्पर्शरेखा और, (यानी, किसी मध्यवर्ती पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है) बिंदु और के बीच स्थित है), अंतिम अभिव्यक्ति में भागफल के बराबर होगा, जहां मूल खोज अंतराल में कुछ मध्यवर्ती बिंदु है।

यदि आप संपूर्ण खोज अंतराल के लिए एक पदनाम दर्ज करते हैं, तो पिछली समानता को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

इसी तरह। तब असमानता के लिए सही होगा: और इसी तरह। इन गणनाओं को आगे जारी रखने के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं, जहां एक प्राकृतिक संख्या है। इस प्रकार, अभिसरण की विधि के लिए, निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए:।

इसलिए यह इस प्रकार है कि एक से कम होना चाहिए। बदले में, अन्य सभी छोटे मूल्यों के लिए, आप लिख सकते हैं:। संख्या अनुपात से निर्धारित होती है। तब असमानता सत्य है (नीचे निष्कर्ष देखें):। यदि हम यह शर्त लगाते हैं कि मूल का वास्तविक मान अनुमानित मान से किसी राशि से भिन्न होना चाहिए, अर्थात। , तो असमानता तक सन्निकटन की गणना की जानी चाहिए

या फिर भी।

असमानता की व्युत्पत्ति दो क्रमिक सन्निकटनों पर विचार करें: और। यहाँ से।

माध्य प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

फिर, शर्त के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

दूसरी ओर, रहने दो। जाहिर सी बात है कि। इसलिए, इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

फिर या।

पिछले सूत्र का उपयोग करके, आप प्राप्त कर सकते हैं:

आइए हम समानता (3) की सीमा तक जाएं, फलन की निरंतरता के कारण, हम प्राप्त करते हैं, अर्थात - समीकरण का मूल (2)। कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, क्योंकि यदि, तब, फिर, कहाँ। शून्य की समानता प्राप्त की जाएगी यदि। अर्थात् - जड़ ही एक है।

प्रमेय सिद्ध होता है।

समीकरण को फॉर्म में कम करना
असमानता को लागू करने के लिए

सामान्य स्थिति में, मूल समीकरण के समतुल्य परिवर्तन करके एक उपयुक्त पुनरावृत्ति रूप प्राप्त करना संभव है, उदाहरण के लिए, इसे गुणांक से गुणा करके:। फिर समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़ने और निरूपित करने के लिए, हमें एक पर्याप्त शर्त की पूर्ति की आवश्यकता हो सकती है। यहां से आवश्यक मूल्य निर्धारित किया जाता है। चूंकि शर्त पूरे खंड पर संतुष्ट होनी चाहिए, तो इस खंड पर सबसे बड़ा मूल्य चयन के लिए इस्तेमाल किया जाना चाहिए, यानी।

यह अनुपात गुणांक के मूल्यों की सीमा को परिभाषित करता है, जो सीमा के भीतर मूल्य को बदलता है।

आमतौर पर लिया।

अंजीर में। चित्र 3-6 रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था और संबंधित पुनरावृत्तीय प्रक्रियाओं के चार मामले दिखाते हैं। चावल। 3 और 4 मामले के अनुरूप हैं, और पुनरावृत्ति प्रक्रिया अभिसरण करती है। इसके अलावा, यदि (चित्र 3), अभिसरण एकतरफा है, और यदि (चित्र 4), अभिसरण दो तरफा, दोलन है। चावल। 5 और 6 मामले के अनुरूप हैं - पुनरावृत्ति प्रक्रिया अलग हो जाती है। इस मामले में, एक तरफा (छवि 5) और दो तरफा (छवि 6) विचलन हो सकता है।

विधि त्रुटि।त्रुटि अनुमान सिद्ध किया गया है (5)।

समाप्ति मानदंड।अनुमान (5) से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना तब तक जारी रहनी चाहिए जब तक कि असमानता संतुष्ट न हो जाए। यदि, तब, मूल्यांकन को सरल बनाया जाता है:।

उदाहरण 1।हम समीकरण को सटीकता के साथ हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते हैं। हम समीकरण को रूप में बदलते हैं:

, अर्थात। .

यह सत्यापित करना आसान है कि समीकरण का मूल खंड पर है। खंड के सिरों पर मूल्यों की गणना करने के बाद, हमें मिलता है:, ए, यानी, खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के अलग-अलग संकेत होते हैं,

इसलिए, खंड के अंदर एक जड़ है। जड़ का स्थान चित्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है। 7.

आइए फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव की गणना करें:

चूंकि एक खंड पर, इस खंड पर व्युत्पन्न नीरस रूप से बढ़ता है और खंड के दाहिने छोर पर अपना अधिकतम मूल्य लेता है, अर्थात बिंदु पर . इसलिए, निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

इस प्रकार, शर्त पूरी हो जाती है, और गणना के अंत के लिए मानदंड का उपयोग किया जा सकता है। टेबल 2 गणना सूत्र द्वारा प्राप्त सन्निकटन को दर्शाता है। मान को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में चुना जाता है।

तालिका 2

		0,8415	0,8861	0,8712	0,8774	0,8765

समाप्ति की कसौटी तब पूरी होती है जब, . अभिसरण दो तरफा है, इस तरह के अभिसरण की गुणात्मक प्रकृति अंजीर में दिखाई गई है। 4. आवश्यक सटीकता के साथ जड़ का अनुमानित मूल्य।

उदाहरण २। 0.025 की सटीकता के साथ एक साधारण पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके एक खंड पर समीकरण को हल करें। हल करने के लिए, मूल समीकरण को रूप में घटाया जाता है। एक मान का चयन करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हैं। फिर गणना सूत्र का रूप है। प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, आप निर्दिष्ट खंड की ऊपरी सीमा का चयन कर सकते हैं।

		0,8	0,78

तब से।

1.5. न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)

गैर-रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि सबसे कुशल विधि है। चलो जड़, यानी। हम मानते हैं कि फलन एक अंतराल पर निरंतर है और एक अंतराल पर लगातार दो बार अवकलनीय है। हम डालते है . आइए एक बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचते हैं (चित्र 8)।

स्पर्शरेखा समीकरण होगा:।

पहला चौराहा अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के भुज को लेकर प्राप्त किया जाता है, अर्थात:।

हम एक बिंदु के साथ भी ऐसा ही करेंगे, फिर एक बिंदु आदि के साथ, परिणामस्वरूप, हमें सन्निकटन का एक क्रम प्राप्त होता है, और

फॉर्मूला (6) is न्यूटन की विधि का गणना सूत्र.

न्यूटन की विधि को सरल पुनरावृत्ति विधि का एक विशेष मामला माना जा सकता है, जिसके लिए।

विधि अभिसरण... न्यूटन की विधि का अभिसरण निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित किया गया है।

प्रमेय।आज्ञा देना समीकरण का एक सरल मूल है और इस मूल के कुछ पड़ोस में फ़ंक्शन दो बार लगातार भिन्न होता है। फिर जड़ का इतना छोटा पड़ोस है कि इस पड़ोस से प्रारंभिक सन्निकटन की मनमानी पसंद के लिए, सूत्र (6) द्वारा परिभाषित पुनरावृत्ति अनुक्रम इस पड़ोस से आगे नहीं जाता है और निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

न्यूटन की विधि का अभिसरण इस बात पर निर्भर करता है कि प्रारंभिक सन्निकटन जड़ के कितना करीब है।

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प।आज्ञा देना एक जड़ युक्त खंड हो। यदि, प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में, हम उस खंड के सिरों में से एक को चुनते हैं जिसके लिए, फिर पुनरावृत्तियों (6) अभिसरण, और नीरस रूप से। चावल। 8 उस मामले से मेल खाता है जब खंड के दाहिने छोर को प्रारंभिक सन्निकटन के रूप में चुना गया था: (यहाँ)।

विधि त्रुटि।अनुमान (7) व्यावहारिक उपयोग के लिए असुविधाजनक है। व्यवहार में, निम्नलिखित त्रुटि अनुमानों का उपयोग किया जाता है:

स्नातक मानदंड . अनुमान (8) हमें न्यूटन की विधि के पुनरावृत्तियों को समाप्त करने के लिए निम्नलिखित मानदंड तैयार करने की अनुमति देता है। किसी दिए गए सटीकता के लिए, असमानता तक गणना की जानी चाहिए

उदाहरण... न्यूटन की विधि का उपयोग करके निकटतम 0.0001 तक समीकरण के ऋणात्मक मूल की गणना करें। रूट को अलग करने के बाद, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि रूट अंतराल में स्थानीयकृत है। इस अंतराल में और. चूंकि और, तब के लिए प्रारंभिक सन्निकटन लिया जा सकता है।

-11		-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. इसीलिए । तो, परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित, और आगे, इसलिए मिलता है।

तब से

सभी लोग स्वाभाविक रूप से ज्ञान के लिए प्रयास करते हैं। (अरस्तू। तत्वमीमांसा)

संख्यात्मक तरीके: गैर-रेखीय समीकरणों को हल करना

अभ्यास में समीकरणों को हल करने की समस्याएं लगातार उत्पन्न होती हैं, उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, व्यवसाय विकसित करना, आप जानना चाहते हैं कि लाभ कब एक निश्चित मूल्य तक पहुंचता है, चिकित्सा में, दवाओं के प्रभाव का अध्ययन करते समय, यह जानना महत्वपूर्ण है कि एकाग्रता कब किसी पदार्थ का एक निश्चित स्तर तक पहुँच जाता है, आदि।

अनुकूलन समस्याओं में, अक्सर उन बिंदुओं को निर्धारित करना आवश्यक होता है जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है, जो एक आवश्यक शर्त है स्थानीयचरम

आँकड़ों में, कम से कम वर्ग विधि या अधिकतम संभावना विधि द्वारा अनुमानों का निर्माण करते समय, गैर-रेखीय समीकरणों और समीकरणों की प्रणालियों को हल करना भी आवश्यक है।

तो, समाधान खोजने से संबंधित समस्याओं का एक पूरा वर्ग उत्पन्न होता है अरेखीयसमीकरण जैसे समीकरण या समीकरण, आदि।

सबसे सरल मामले में, हमारे पास सेगमेंट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है ( ए, बी) और कुछ मूल्यों को मानते हुए।

हर मूल्य के लिए एक्स इस खंड से हम एक संख्या की तुलना कर सकते हैं, यह है कार्यात्मकलत, गणित में एक प्रमुख अवधारणा।

हमें ऐसा मान ज्ञात करने की आवश्यकता है जिस पर इसे फलन का मूल कहा जाता है

नेत्रहीन, हमें फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु को निर्धारित करने की आवश्यकता हैएब्सिस्सा के साथ।

आधा करने की विधि

समीकरण के मूल ज्ञात करने की सबसे सरल विधि है आधान विधि, या विरोधाभास.

यह विधि सहज रूप से स्पष्ट है और किसी समस्या को हल करते समय हर कोई समान तरीके से कार्य करेगा।

एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।

मान लीजिए कि हमें दो बिंदु मिलते हैं और, जैसे कि उनके पास है विभिन्नसंकेत, तो इन बिंदुओं के बीच फ़ंक्शन की कम से कम एक जड़ होती है।

खंड को आधे में विभाजित करें और परिचय दें औसतबिंदु।

तो कोई या .

आइए उस आधे खंड को छोड़ दें जिसके लिए सिरों पर मूल्यों के अलग-अलग संकेत हैं। अब हम इस खंड को फिर से आधे में विभाजित करते हैं और इसके उस हिस्से को छोड़ देते हैं, जिसकी सीमाओं पर फ़ंक्शन के अलग-अलग संकेत होते हैं, और इसी तरह, आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए।

जाहिर है, हम धीरे-धीरे उस क्षेत्र को कम कर देंगे जहां फ़ंक्शन की जड़ स्थित है, और इसलिए, हम इसे कुछ हद तक सटीकता के साथ परिभाषित करेंगे।

ध्यान दें कि वर्णित एल्गोरिदम किसी भी निरंतर फ़ंक्शन पर लागू होता है।

हॉल्टिंग विधि के लाभों में इसकी उच्च विश्वसनीयता और सरलता शामिल है।

इस पद्धति का नुकसान यह है कि इससे पहले कि आप इसका उपयोग करना शुरू करें, आपको दो बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है, फ़ंक्शन के मान जिसमें अलग-अलग संकेत हैं। जाहिर है, यह विधि सम बहुलता वाले मूलों के लिए लागू नहीं होती है और इसे जटिल जड़ों और समीकरणों की प्रणालियों के मामले में भी सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है।

विधि के अभिसरण का क्रम रैखिक है, प्रत्येक चरण में सटीकता दोगुनी हो जाती है, जितनी अधिक पुनरावृत्तियां होती हैं, उतनी ही सटीक जड़ निर्धारित होती है।

न्यूटन की विधि: सैद्धांतिक नींव

शास्त्रीय न्यूटन की विधिया स्पर्शरेखायह है कि अगर समीकरण की जड़ के लिए कुछ सन्निकटन है , तो अगले सन्निकटन को बिंदु पर खींचे गए फलन की स्पर्शरेखा के मूल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक बिंदु पर फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा के समीकरण का रूप है:

स्पर्शरेखा समीकरण में हम डालते हैं और।

फिर न्यूटन की विधि में अनुक्रमिक गणना एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण द्विघात है, अभिसरण का क्रम 2 है।

इस प्रकार, न्यूटन की स्पर्शरेखा विधि का अभिसरण बहुत तेज़ है।

इस अद्भुत तथ्य को याद रखें!

विधि को बिना किसी परिवर्तन के जटिल मामले के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

यदि मूल दूसरे गुणन या उच्चतर का मूल है, तो अभिसरण का क्रम गिरता है और रैखिक हो जाता है।

अभ्यास 1... स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके, खंड (0, 2) पर समीकरण का हल खोजें।

व्यायाम २।स्पर्शरेखा विधि का उपयोग करके, अंतराल (1, 3) पर समीकरण का हल खोजें।

न्यूटन की विधि की कमियों को इसके स्थानीयता के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए, क्योंकि यह एक मनमाना प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण की गारंटी है, यदि स्थिति हर जगह संतुष्ट है , अन्यथा अभिसरण जड़ के कुछ पड़ोस में ही होता है।

न्यूटन की विधि का नुकसान प्रत्येक चरण पर डेरिवेटिव की गणना करने की आवश्यकता है।

न्यूटन की विधि का विज़ुअलाइज़ेशन

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) लागू होती है यदि समीकरण एफ(एक्स) = 0 एक जड़ है, और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

1) समारोह आप= एफ(एक्स) परिभाषित और निरंतर है;

2) एफ(ए)· एफ(बी) < 0 (फ़ंक्शन खंड के सिरों पर विभिन्न संकेतों के मान लेता है [ ए; बी]);

3) डेरिवेटिव एफ "(एक्स) तथा एफ ""(एक्स) खंड पर चिह्न को सुरक्षित रखें [ ए; बी] (अर्थात, फ़ंक्शन एफ(एक्स) खंड पर या तो बढ़ता है या घटता है [ ए; बी], उत्तलता की दिशा बनाए रखते हुए);

विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है: खंड पर [ ए; बी] ऐसी संख्या चुनी जाती है एक्स 0 , जिस पर एफ(एक्स 0 ) के समान चिन्ह है एफ"" (एक्स 0 ), यानी, शर्त एफ(एक्स 0 )· एफ"" (एक्स) > 0 ... इस प्रकार, एब्सिस्सा वाला एक बिंदु चुना जाता है एक्स 0 जहां वक्र के स्पर्शरेखा आप= एफ(एक्स) खंड पर [ ए; बी] अक्ष को पार करता है ऑक्स... प्रति बिंदु एक्स 0 सबसे पहले खंड के सिरों में से किसी एक को चुनना सुविधाजनक होता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण के साथ न्यूटन की विधि पर विचार करें।

आइए हमें एक बढ़ता हुआ कार्य दिया जाए वाई = एफ (एक्स) = एक्स 2 -2,खंड पर निरंतर (0; 2), और होने एफ "(एक्स) = 2 एक्स > 0 तथा एफ "" (एक्स) = 2 > 0 .

चित्रकारी1 ... एफ (एक्स) = एक्स 2 -2

स्पर्शरेखा का समीकरण सामान्य दृष्टि सेएक विचार है:

वाई-वाई 0 = एफ" (एक्स 0) (एक्स-एक्स ०)।

हमारे मामले में: y-y ० = २x ० (x-x ०)।बिंदु x 0 के रूप में, बिंदु का चयन करें बी 1 (बी; एफ (बी)) = (2,2)।फ़ंक्शन के लिए स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु B 1 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें ऑक्सबिंदु एक्स 1... हमें पहली स्पर्शरेखा का समीकरण मिलता है: y-2 = 2 2 (x-2), y = 4x-6।

ऑक्स: एक्स 1 =

चित्रकारी2. पहले पुनरावृत्ति का परिणाम

वाई = एफ (एक्स) ऑक्सबिंदु के माध्यम से एक्स 1, हमें बिंदु मिलता है बी २ = (१.५; ०.२५)... फ़ंक्शन के लिए फिर से स्पर्शरेखा बनाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु В 2 पर, और स्पर्शरेखा और अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें ऑक्सबिंदु एक्स 2.

दूसरी स्पर्शरेखा का समीकरण: आप-0.25=2*1.5(एक्स-1.5), आप = 3 एक्स - 4.25.

स्पर्शरेखा और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु ऑक्स: एक्स 2 =.

चित्रकारी3. न्यूटन की विधि का दूसरा पुनरावृत्ति

तब हम फ़ंक्शन का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं वाई = एफ (एक्स)और अक्ष के लंबवत ऑक्सबिंदु x 2 से हमें बिंदु B 3 मिलता है और इसी तरह।

चित्रकारी4. स्पर्शरेखा विधि का तीसरा चरण

पहला रूट सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

= 1.5.

दूसरा मूल सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

=

तीसरा मूल सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

इस प्रकार , मैं-मूल का सन्निकटन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

गणना तब तक की जाती है जब तक कि दशमलव स्थानों का मिलान नहीं हो जाता है, जो कि उत्तर में आवश्यक हैं, या किसी दिए गए सटीक ई तक पहुंच जाते हैं - जब तक कि असमानता पूरी नहीं हो जाती | ग्यारहवीं- ग्यारहवीं-1 | < इ.

हमारे मामले में, कैलकुलेटर पर गणना किए गए वास्तविक उत्तर के साथ तीसरे चरण में प्राप्त सन्निकटन की तुलना करें:

चित्रा 5. कैलकुलेटर पर गणना की गई 2 की जड़

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही तीसरे चरण में, हमें 0.0000002 से कम त्रुटि मिली।

इस प्रकार, आप किसी भी डिग्री सटीकता के साथ "2 का वर्गमूल" मात्रा के मूल्य की गणना कर सकते हैं। इस अद्भुत विधि का आविष्कार न्यूटन ने किया था और यह आपको बहुत जटिल समीकरणों की जड़ों को खोजने की अनुमति देता है।

न्यूटन की विधि: C++ अनुप्रयोग

इस लेख में, हम सी ++ में एक कंसोल एप्लिकेशन लिखकर समीकरणों की जड़ों की गणना करने की प्रक्रिया को स्वचालित करेंगे। हम इसे विजुअल सी ++ 2010 एक्सप्रेस में विकसित करेंगे, यह एक स्वतंत्र और बहुत सुविधाजनक सी ++ विकास वातावरण है।

आइए विजुअल सी ++ 2010 एक्सप्रेस से शुरू करते हैं। प्रोग्राम की स्टार्ट विंडो दिखाई देगी। बाएं कोने में, "प्रोजेक्ट बनाएं" पर क्लिक करें।

चावल। 1. विजुअल C++ 2010 एक्सप्रेस स्टार्ट पेज

दिखाई देने वाले मेनू में, "Win32 कंसोल एप्लिकेशन" चुनें, एप्लिकेशन का नाम "Newton_Method" दर्ज करें।

चावल। 2. परियोजना निर्माण

// Newton_Method.cpp: कंसोल एप्लिकेशन के प्रवेश बिंदु को परिभाषित करता है #शामिल "stdafx.h" #शामिल नेमस्पेस एसटीडी का उपयोग करना; फ्लोट f (डबल x) // फ़ंक्शन का मान लौटाता है f (x) = x ^ 2-2 फ्लोट डीएफ (फ्लोट एक्स) // व्युत्पन्न का मूल्य लौटाता है फ्लोट d2f (फ्लोट x) // दूसरे व्युत्पन्न का मूल्य int _tmain (int argc, _TCHAR * argv) int निकास = 0, i = 0; // बाहर निकलने और लूप के लिए चर डबल x0, xn; // रूट के लिए परिकलित सन्निकटन डबल ए, बी, ईपीएस; // खंड की सीमाएं और आवश्यक परिशुद्धता अदालत<<"Please input \n=>"; सिनेमा >> ए >> बी; // उस खंड की सीमा दर्ज करें जिस पर हम रूट की खोज करेंगे अदालत<<"\nPlease input epsilon\n=>"; सिनेमा >> ईपीएस; // प्रवेश करना आवश्यक सटीकतागणना अगर (ए> बी) // यदि उपयोगकर्ता खंड की सीमाओं को भ्रमित करता है, तो हम उन्हें स्वैप करते हैं अगर (एफ (ए) * एफ (बी)> 0) // यदि खंड के किनारों पर फ़ंक्शन के संकेत समान हैं, तो कोई रूट नहीं है अदालत<<"\nError! No roots in this interval\n"; अगर (एफ (ए) * डी 2 एफ (ए)> 0) x0 = ए; // शुरुआती बिंदु का चयन करने के लिए f (x0) * d2f (x0)> 0 की जाँच करें? xn = x0-f (x0) / df (x0); // पहले सन्निकटन की गणना करें अदालत<<++i<<"-th iteration = "< जबकि (fabs (x0-xn)> eps) // जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते, तब तक गणना करना जारी रखेंगे xn = x0-f (x0) / df (x0); // सीधे न्यूटन का सूत्र अदालत<<++i<<"-th iteration = "< अदालत<<"\nRoot = "< अदालत<<"\nExit?=>"; ) जबकि (बाहर निकलें! = 1); // जब तक उपयोगकर्ता प्रवेश नहीं करता निकास = 1

आइए देखें कि यह कैसे काम करता है। स्क्रीन के ऊपरी बाएँ कोने में हरे त्रिभुज पर क्लिक करें, या F5 दबाएँ।

यदि एक संकलन त्रुटि होती है "त्रुटि त्रुटि LNK1123: COFF में कनवर्ट करने में विफल: फ़ाइल अमान्य या क्षतिग्रस्त है", तो इसका इलाज या तो पहले सर्विस पैक 1 को स्थापित करके किया जाता है, या प्रोजेक्ट सेटिंग्स में गुण -> लिंकर वृद्धिशील लिंकिंग को अक्षम करता है।

चावल। 4. परियोजना की संकलन त्रुटि का समाधान

हम फ़ंक्शन की जड़ों की खोज करेंगे एफ (एक्स) =x2-2.

सबसे पहले, आइए "गलत" इनपुट डेटा पर एप्लिकेशन के संचालन की जांच करें। खंड पर कोई जड़ें नहीं हैं, हमारे कार्यक्रम को एक त्रुटि संदेश वापस करना चाहिए।

हमारे पास एक एप्लिकेशन विंडो है:

चावल। 5. इनपुट डेटा दर्ज करना

आइए खंड 3 और 5 की सीमाओं का परिचय दें, और सटीकता 0.05 है। कार्यक्रम, जैसा कि होना चाहिए, ने एक त्रुटि संदेश दिया कि इस खंड पर कोई जड़ें नहीं हैं।

चावल। 6. त्रुटि "इस खंड पर कोई जड़ें नहीं हैं!"

हम अभी नहीं जा रहे हैं, इसलिए संदेश "बाहर निकलें?" हम "0" दर्ज करते हैं।

आइए अब सही इनपुट डेटा पर एप्लिकेशन के संचालन की जांच करें। आइए एक खंड और 0.0001 की सटीकता का परिचय दें।

चावल। 7. आवश्यक सटीकता के साथ जड़ की गणना

जैसा कि हम देख सकते हैं, आवश्यक सटीकता पहले से ही चौथे पुनरावृत्ति पर हासिल की गई थी।

एप्लिकेशन से बाहर निकलने के लिए, "बाहर निकलें?" दर्ज करें। => 1.

सुरक्षित विधि

व्युत्पन्न की गणना से बचने के लिए, व्युत्पन्न को पिछले दो बिंदुओं से गणना किए गए अनुमानित मूल्य के साथ बदलकर न्यूटन की विधि को सरल बनाया जा सकता है:

पुनरावृत्ति प्रक्रिया इस प्रकार है:

यह दो चरणों वाली पुनरावृति प्रक्रिया है क्योंकि यह अगले सन्निकटन को खोजने के लिए पिछले दो का उपयोग करती है।

सेकेंट विधि के अभिसरण का क्रम स्पर्शरेखा विधि की तुलना में कम है और एकल मूल के मामले में बराबर है।

इस उल्लेखनीय मूल्य को स्वर्ण अनुपात कहा जाता है:

आइए इसे सुविधा के लिए मानते हुए इसे सत्यापित करें।

इस प्रकार, अतिसूक्ष्म उच्च क्रम तक

शेष को छोड़कर, हम एक पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं, जिसका समाधान स्वाभाविक रूप से रूप में मांगा जाता है।

प्रतिस्थापन के बाद, हमारे पास है: तथा

इसलिए अभिसरण का सकारात्मक होना आवश्यक है।

चूंकि व्युत्पत्ति के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, इसलिए सेकेंट विधि (अभिसरण के निचले क्रम के बावजूद) में समान मात्रा में गणना के साथ, कोई भी स्पर्शरेखा विधि की तुलना में अधिक सटीकता प्राप्त कर सकता है।

ध्यान दें कि जड़ के पास एक छोटी संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और इससे सटीकता का नुकसान होता है (विशेषकर कई जड़ों के मामले में), इसलिए, अपेक्षाकृत छोटी संख्या का चयन करते हुए, प्रदर्शन करने से पहले गणना करें और उन्हें तब तक जारी रखें जब तक कि पड़ोसी सन्निकटन के बीच अंतर का मापांक कम न हो जाए।

जैसे ही विकास शुरू होता है, गणना बंद कर दी जाती है और अंतिम पुनरावृत्ति का उपयोग नहीं किया जाता है।

पुनरावृत्तियों के अंत को निर्धारित करने की इस प्रक्रिया को रिसेप्शन कहा जाता है गारविक।

परवलय विधि

तीन-चरणीय विधि पर विचार करें, जिसमें पिछले तीन बिंदुओं से सन्निकटन निर्धारित किया जाता है, और।

ऐसा करने के लिए, हम, इसी तरह सेकेंट विधि को प्रतिस्थापित करते हैं, एक इंटरपोलेशन परवलय के साथ फ़ंक्शन जो बिंदुओं से गुजरता है, और।

न्यूटन के रूप में, इसका रूप है:

एक बिंदु को इस बहुपद की जड़ों में से एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बिंदु के निरपेक्ष मान के करीब होता है।

परवलय विधि के अभिसरण का क्रम सेकेंट विधि की तुलना में अधिक है, लेकिन न्यूटन की विधि से कम है।

पहले मानी गई विधियों से एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि भले ही वास्तविक के लिए वास्तविक और शुरुआती अनुमानों को वास्तविक चुना जाए, परवलय विधि मूल समस्या की एक जटिल जड़ को जन्म दे सकती है।

उच्च कोटि के बहुपदों के मूल ज्ञात करने के लिए यह विधि बहुत सुविधाजनक है।

सरल पुनरावृत्ति विधि

समीकरणों के समाधान खोजने की समस्या को जड़ों को खोजने की समस्या के रूप में या एक निश्चित बिंदु खोजने की समस्या के रूप में तैयार किया जा सकता है।

रहने दो और - संपीड़न: (विशेष रूप से, तथ्य यह है कि - संपीड़न, जैसा कि देखना आसान है, इसका मतलब है)।

बनच के प्रमेय से, एक अद्वितीय निश्चित बिंदु है

इसे एक साधारण पुनरावृत्ति प्रक्रिया की सीमा के रूप में पाया जा सकता है

जहां प्रारंभिक सन्निकटन अंतराल का एक मनमाना बिंदु है।

यदि फलन अवकलनीय है, तो संपीडन के लिए एक संख्या एक सुविधाजनक मानदंड है। दरअसल, लैग्रेंज के प्रमेय द्वारा

इस प्रकार, यदि व्युत्पन्न एक से कम है, तो यह संपीड़न है।

शर्त आवश्यक है, क्योंकि यदि, उदाहरण के लिए, चालू है, तो कोई निश्चित बिंदु नहीं है, हालांकि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। अभिसरण दर मूल्य पर निर्भर करती है। जितना छोटा, उतनी ही तेजी से अभिसरण।

व्यायाम:

1) पुनरावृति विधि का उपयोग करके, सिस्टम को हल करें

2) न्यूटन की विधि का प्रयोग करके निकाय को हल करें

0.001 की सटीकता के साथ गैर-रेखीय समीकरण।

कार्य संख्या 1 पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करके, 0.001 की सटीकता के साथ गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

सैद्धांतिक भाग।

पुनरावृत्ति विधि ईयह गणितीय समस्याओं को संख्यात्मक रूप से हल करने का एक तरीका है। इसका सार अगले, अधिक सटीक सन्निकटन के वांछित मूल्य के ज्ञात सन्निकटन (अनुमानित मूल्य) द्वारा एक खोज एल्गोरिथ्म को खोजना है। इसका उपयोग उस स्थिति में किया जाता है जब निर्दिष्ट एल्गोरिथम द्वारा सन्निकटन का क्रम अभिसरण करता है।

इस विधि को क्रमिक सन्निकटन की विधि, बार-बार प्रतिस्थापन की विधि, सरल पुनरावृत्तियों की विधि आदि भी कहा जाता है।

न्यूटन की विधिन्यूटन का एल्गोरिथ्म (जिसे स्पर्शरेखा विधि के रूप में भी जाना जाता है) किसी दिए गए फ़ंक्शन के मूल (शून्य) को खोजने के लिए एक पुनरावृत्त संख्यात्मक विधि है। इस पद्धति का प्रस्ताव सबसे पहले अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आइजैक न्यूटन (1643-1727) द्वारा किया गया था। समाधान की खोज क्रमिक सन्निकटन बनाकर की जाती है और यह सरल पुनरावृत्ति के सिद्धांतों पर आधारित है। विधि में द्विघात अभिसरण है। विधि में सुधार जीवाओं और स्पर्शरेखाओं की विधि है। साथ ही, न्यूटन की विधि का उपयोग अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है जिसमें बहुआयामी स्थान के मामले में पहले व्युत्पन्न या ग्रेडिएंट का शून्य निर्धारित करना आवश्यक है। औचित्य

सरल पुनरावृत्ति विधि द्वारा समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए, इसे निम्न रूप में कम किया जाना चाहिए: जहां एक संकुचन मानचित्रण है।

अगले सन्निकटन के बिंदु पर विधि के सर्वोत्तम अभिसरण के लिए, शर्त पूरी होनी चाहिए। इस समीकरण का हल फॉर्म में मांगा जाता है, फिर:

यह मानते हुए कि सन्निकटन बिंदु रूट के "काफी करीब" है, और यह कि दिया गया फ़ंक्शन निरंतर है, इसके लिए अंतिम सूत्र है:

इसे ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन को अभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है:

रूट के पड़ोस में, यह फ़ंक्शन एक संकुचन मानचित्रण करता है, और समीकरण का संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिथ्म को एक पुनरावृत्त गणना प्रक्रिया में घटाया जाता है:

.

नौकरी के विकल्प

№1. 1)
2)

№2. 1)
2)

№3. 1)
2)

№4. 1)
2)

№5. 1)
2)

№6. 1)
2)

№7. 1)
2)

№8. 1)
2)

№9. 1)
2)

№10.1)
2)

№11.1)
2)

№12.1)
2)

№13.1)
2)

№14.1)
2)

№15.1)
2)

№16.1)
2)

№17.1)
2)

№18.1)
2)

№19.1)
2)

№20.1)
2)

№21. 1)
2)

№22. 1)
2)

№23. 1)
2)

№24. 1)
2)

№25. 1)
2)

№26. 1)
2)

№27. 1)
2)

№28. 1)
2)

№29. 1)
2)

№30. 1)
2)

नमूना असाइनमेंट

№1. 1)
2)

पुनरावृत्ति विधि द्वारा गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

आइए इस प्रणाली को इस प्रकार फिर से लिखें:

हम रेखांकन द्वारा जड़ों को अलग करते हैं (चित्र 1)। ग्राफ से हम देखते हैं कि सिस्टम का एक समाधान है, जो क्षेत्र में संलग्न है डी: 0<एन एस<0,3;-2,2<आप<-1,8.

आइए सुनिश्चित करें कि सिस्टम के समाधान को परिष्कृत करने के लिए पुनरावृत्ति विधि लागू है, जिसके लिए हम इसे निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

चूंकि, हमारे पास डोमेन D . में है

+ = ;

+ =

इस प्रकार, अभिसरण शर्तें संतुष्ट हैं।

तालिका 2

एन एस
	0,15	-2	-0,45	-0,4350	-0,4161	-0,1384
	0,1616	-2,035	-0,4384	-0,4245	-0,4477	-0,1492
	0,1508	-2.0245	-0,4492	-0,4342	-0,4382	-0,1461
	0.1539	-2,0342.	-0,4461	-0.4313	-0,4470	-0,1490
	0.1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0,4444	-0.1481
	0,1519	-2,0341	-0,4481	-0,4333	-0,4469	-0,1490
	0,1510	-2.0333	-0.449	-0,4341	-0.4462	-0,1487
	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0,4340	-0,4469	-0.1490
	0.1510	-2,0340

प्रारंभिक सन्निकटन के लिए हम लेते हैं एन एस=0,15, वाई 0 =-2.

(टैब। # 2)। तब उत्तर लिखा जाएगा:

न्यूटन की विधि द्वारा गैर-रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

हम रेखांकन द्वारा जड़ों को अलग करते हैं (चित्र 2)। फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने के लिए, हम फ़ंक्शन मानों की एक तालिका संकलित करेंगे और पहले और दूसरे समीकरण (तालिका I) में शामिल हैं।

x के मान निम्न स्थितियों के आधार पर लिए जा सकते हैं: पहले समीकरण से 1≤1.2x + 0.4≤1, अर्थात। 1.16≤x≤0.5; दूसरे समीकरण से, अर्थात्। ... इस प्रकार, .

सिस्टम के दो समाधान हैं। आइए हम उनमें से एक को स्पष्ट करें, जो डी: 0.4 . क्षेत्र से संबंधित है<एक्स<0,5;

0,76<आप<0,73. За начальное приближение примем Имеем:

टेबल तीन

एक्स	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,2	-0,4		0,2	0,4	0,5
एक्स 2	1.21		0,64	0,36	0,04	0,16		0,04	0.16	0,25
0,8एक्स 2	0,97	0,8	0,51	0,29	0,032	0,13		0,032	0,13	0,2
1 -0,8एक्स 2	0,03	0,2	0,49	0,71	0,97	0,87		0,97	0.87	0,8
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,65	0,58	0,67	0,65	0,58	0.53
	± 0.14	± 0.36	± 0.57	± 0.69	± 0.81	± 0.76	± 0.82	± 0.81	± 0.76	± 0.73
1.2x	-1,32	-1,2	-0.9बी "	-0,72	-0,24	-0,48		0,24	0,48	0,6
0,4+1,2एक्स	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	0,16	-0,08	0,4	0,64	0.88
2एक्स-y	-1.17	-0,93	-0,59	-0,33	0,16	-0,08	0,41	0,69	2.06 1,08	1,57
	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,56	-0,72	-0,41	-0,29	-1,26 -1,28	-0.57

हम न्यूटन की विधि का उपयोग करके जड़ों का शोधन करते हैं:

कहां ; ;

;
;

सभी गणना तालिका 3 . के अनुसार की जाती हैं

टेबल तीन			0,10	0,017	-0,0060	0,0247	-0,0027	-0,0256	0,0001	0,0004
		0,2701	0,0440	-0,0193	0,0794	-0,0080	-0,0764	-0,0003	0,0013
		2,6197	3,2199	2,9827	3,1673
		-0,0208	-2,25	0,1615	-2,199	0,1251	-2,1249	0,1452	-2,2017
		-1,1584	0,64	-1,523	0,8	-1,4502	0,7904	-1,4904	0,7861
		0,1198	-0,0282	-0,0131	0,059	-0,0007	-0,0523	-0,0002	0,0010
		0,9988	0,0208	0,9869	-0,1615	0,9921	-0,1251	-0,9894	-0,1452
	0,55	0,733	1,6963	1,7165
		0,128	0,8438	0,2	0,8059	0,1952	0,7525	0,1931	0,8079
		0,4	0,75	0,50	-0,733	0,4940	-0,7083	0,4913	-0,7339	0,4912	-0,7335	उत्तर: एक्स≈0,491 आप≈ 0,734
एन

नियंत्रण प्रश्न

1) दो अरेखीय समीकरणों के निकाय को हल करने के संभावित मामलों को ग्राफ पर प्रस्तुत करें।

2) n-रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने की समस्या का निरूपण तैयार कीजिए।

3) दो अरेखीय समीकरणों के निकाय के मामले में सरल पुनरावृत्ति विधि के पुनरावृत्त सूत्र दें।

4) न्यूटन की विधि के स्थानीय अभिसरण पर एक प्रमेय तैयार करें।

5) न्यूटन की पद्धति को व्यवहार में लाने में आने वाली कठिनाइयों की सूची बनाइए।

6) बताएं कि आप न्यूटन की विधि को कैसे संशोधित कर सकते हैं।

7) सरल पुनरावृत्ति और न्यूटन की विधियों द्वारा दो अरैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिथम को ब्लॉक आरेख के रूप में बनाएं।

प्रयोगशाला कार्य संख्या 3