हम फार्म में एक प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करेंगे

डिग्री के बहुपद कहाँ हैं पी, निम्नलिखित संपत्ति वाले:

दरअसल, इस मामले में, प्रत्येक नोड पर बहुपद (4.9) एक्स जे, j \u003d 0,1, ... n, फ़ंक्शन के संगत मान के बराबर है य ज, अर्थात। प्रक्षेप है।

आइए हम ऐसे बहुपद का निर्माण करें। चूंकि x \u003d x 0, x 1,… x i -1, x i + 1,… x n के लिए, हम निम्नानुसार फ़ैक्टर कर सकते हैं

जहां सी एक स्थिर है। शर्त से, हम प्राप्त करते हैं

इंटरपोलेशन बहुपद (4.1) रूप में लिखा गया है

को लैग्रेग इंटरपोलेशन बहुपद कहते हैं।

बिंदु पर फ़ंक्शन का अनुमानित मूल्य एक्स *लैग्रेंज बहुपद का उपयोग कर गणना की गई एक अवशिष्ट त्रुटि (4.8) होगी। यदि फ़ंक्शन के मान यी प्रक्षेप नोड्स पर x i लगभग एक ही पूर्ण त्रुटि के साथ सेट किए जाते हैं, फिर सटीक मान के बजाय एक अनुमानित मूल्य की गणना की जाएगी, और

जहां लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद की कम्प्यूटेशनल निरपेक्ष त्रुटि है। अंत में, हमारे पास अनुमानित मूल्य की कुल त्रुटि का निम्नलिखित अनुमान है।

विशेष रूप से, पहली और दूसरी डिग्री के लैगरेंज बहुपदों का रूप होगा

और बिंदु x पर उनकी कुल त्रुटियां

एक ही प्रक्षेप बहुपद (4.1) को लिखने के अन्य रूप हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन प्रक्षेप सूत्र को अलग-अलग मतभेदों के साथ नीचे और इसके वेरिएंट के रूप में माना जाता है। सटीक गणना के लिए, मान Pn (x *)एक ही नोड से निर्मित विभिन्न प्रक्षेप सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं। एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि की उपस्थिति इन सूत्रों से प्राप्त मूल्यों में अंतर करती है। लैग्रेंज रूप में एक बहुपद लिखना एक छोटे कम्प्यूटेशनल त्रुटि के रूप में, एक नियम के रूप में होता है।

प्रक्षेप से उत्पन्न त्रुटियों का अनुमान लगाने के लिए सूत्रों का उपयोग समस्या के निर्माण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, यदि नोड्स की संख्या ज्ञात है, और फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में सही संकेतों के साथ निर्दिष्ट किया गया है, तो गणना की समस्या है च (x *) उच्चतम संभव सटीकता के साथ। यदि, इसके विपरीत, सही संकेतों की संख्या छोटी है, और नोड की संख्या बड़ी है, तो गणना की समस्या च (x *) सटीकता के साथ कि फ़ंक्शन का टेबल मान अनुमति देता है, और इस कार्य के लिए टेबल के रेयरफंक्शन और कॉम्पैक्टिंग दोनों की आवश्यकता हो सकती है।

§4.3। अलग-अलग मतभेद और उनके गुण।

विभाजित अंतर अवधारणा एक सामान्यीकृत व्युत्पन्न अवधारणा है। X x 0, x 1,… x n कार्यों के मानों पर दें f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... पहले-क्रम के अंतर को समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है

दूसरे क्रम के अंतर - समानताएँ,

और अलग-अलग मतभेद क-यह आदेश निम्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

विभाजन अंतर आमतौर पर इस तरह से एक तालिका में रखा जाता है:

x i	च (x i)	विभक्त मतभेद
मैं आदेश	II आदेश	III आदेश	IV आदेश
x 0	य ०
		च
x 1	य १		च
		च		च
x 2	य २		च		च
		च		च
x 3	य ३		च
		च
x 4	य ४

अलग-अलग मतभेदों के निम्नलिखित गुणों पर विचार करें।

1. सभी आदेशों के विभाजित अंतर मूल्यों के रैखिक संयोजन हैं च (x i), अर्थात। निम्नलिखित सूत्र रखता है:

आइए मतभेदों के क्रम पर प्रेरण द्वारा इस सूत्र की वैधता साबित करें। पहले-क्रम के अंतर के लिए

फॉर्मूला (4.12) मान्य है। अब मान लीजिए कि यह सभी ऑर्डर अंतरों के लिए मान्य है।

फिर, (4.11) और (4.12) के अनुसार, ऑर्डर के अंतर के लिए के \u003d एन + १ हमारे पास है

युक्त शब्द च (x 0) तथा f (x n +1), आवश्यक रूप है। युक्त शब्दों पर विचार करें च (x i), i \u003d 1, 2, ..., n... ऐसी दो शर्तें हैं - पहली और दूसरी रकम से:

उन। सूत्र (4.12) ऑर्डर अंतर के लिए मान्य है के \u003d एन + १प्रमाण पूर्ण है।

2. विभाजित अंतर इसके तर्कों x 0, x 1,… x n का एक सममित कार्य है (अर्थात, यह किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए नहीं बदलता है):

यह संपत्ति सीधे समानता (4.12) से चलती है।

3. सरल विभाजन अंतर संबंध च और व्युत्पन्न f (n) (x) निम्नलिखित प्रमेय देता है।

नोड्स x 0, x 1, ... x n खंड के हैं और कार्य करते हैं च (x) इस खंड पर क्रम का एक निरंतर व्युत्पन्न है पी... फिर एक बिंदु है ग्यारहवीं, क्या

आइए हम पहले संबंध की वैधता को साबित करें

(4.12) के अनुसार, वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति है

च।

शेष के लिए अभिव्यक्ति (4.7) के साथ तुलना (4.14) R n (x) \u003d f (x) -L n (x) हम (4.13) प्राप्त करते हैं, प्रमेय सिद्ध होता है।

इस प्रमेय से एक सरल कोरोलरी अनुसरण करती है। बहुपद के लिए पी-थ डिग्री

f (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

आदेश व्युत्पन्न पीजाहिर है कि

और संबंध (4.13) विभाजित अंतर मूल्य के लिए देता है

तो, डिग्री के हर बहुपद पी अलग आदेश मतभेद पी एक स्थिर मूल्य के बराबर हैं - बहुपद के उच्चतम स्तर पर गुणांक। उच्चतर आदेशों के अलग-अलग अंतर
(अधिक पी) स्पष्ट रूप से शून्य के बराबर हैं। हालांकि, यह निष्कर्ष केवल तभी मान्य है जब अलग-अलग मतभेदों के लिए कोई कम्प्यूटेशनल त्रुटि नहीं है।

§4.4। अलग-अलग मतभेदों के साथ इंटरपोलेशन न्यूटन बहुपद

हम निम्नलिखित रूप में लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद लिखते हैं:

कहाँ पे एल 0 (एक्स) \u003d एफ (एक्स 0) \u003d वाई 0, तथा एल के (एक्स) - डिग्री के अंतराल प्रक्षेप बहुपद कनोड्स द्वारा निर्मित x 0, x 1, ..., x k... फिर डिग्री का एक बहुपद है कजिसकी जड़ें बिंदु हैं x 0, x 1, ..., x k -1... इसलिए, इसे कारक बनाया जा सकता है

जहां A एक स्थिर है।

(4.14) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

तुलना करना (४.१६) और (४.१)), हम यह प्राप्त करते हैं (४.१५) रूप भी लेते हैं

जिसे न्यूटन के प्रक्षेप भेद के साथ अलग-अलग बहुपद कहते हैं।

प्रक्षेप बहुपद की इस प्रकार की धारणा अधिक वर्णनात्मक है (एक नोड का जोड़ एक शब्द की उपस्थिति से मेल खाती है) और गणितीय विश्लेषण के बुनियादी निर्माणों के साथ किए गए निर्माणों की सादृश्य को बेहतर ढंग से पता लगाना संभव बनाता है।

न्यूटन के प्रक्षेप बहुपद की अवशिष्ट त्रुटि सूत्र (4.8) द्वारा व्यक्त की गई है, लेकिन इसे ध्यान में रखते हुए (4.13), दूसरे रूप में लिखा जा सकता है

उन। अवशिष्ट त्रुटि का अनुमान बहुपद में पहले अस्वीकृत शब्द के मापांक से किया जा सकता है एन एन (एक्स *)।

कम्प्यूटेशनल त्रुटि एन एन (एक्स *) अलग-अलग मतभेदों की त्रुटियों से निर्धारित होता है। प्रक्षेप मान के निकटतम नोड एक्स *, प्रक्षेप बहुपद पर अधिक प्रभाव पड़ेगा, अधिक दूर लेटा हुआ - कम। इसलिए, यदि संभव हो तो, यह उचित है x 0 तथा x 1 ले आना एक्स * प्रक्षेप नोड्स और पहले इन नोड्स पर रैखिक प्रक्षेप करते हैं। फिर धीरे-धीरे अगले नोड्स को आकर्षित करें ताकि वे संभव के समान सममित हों एक्स *जब तक कि निरपेक्ष मूल्य में अगला पद उसमें शामिल अंतर के पूर्ण त्रुटि से कम नहीं है।

4.3 एक व्यवस्था का प्रक्षेप लैग्रेग बहुपद द्वारा

बहुपद द्वारा एक समारोह को अंजाम देने के लिए एक और दृष्टिकोण पर विचार करें। फ़ंक्शन y \u003d f (x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया जाता है और नोड्स x i 0, i \u003d 0, 1, ..., n की कुछ प्रणाली में इस फ़ंक्शन के मूल्यों को जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ये मान प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त होते हैं जब कुछ बिंदुओं पर या निश्चित समय x 0, x 1, ..., x n पर एक निश्चित मान का अवलोकन किया जाता है। आइए इन मूल्यों को इस प्रकार निरूपित करें: y i \u003d f (x i), i \u003d 0, 1,…, n। डिग्री मीटर के एक बहुपद पी (x) को खोजना आवश्यक है,

P (x) \u003d a 0 + 1 x 1 + 2 x 2 + ... + a m x m, (4.5)

जो नोड्स में x i, i \u003d 0, 1, ..., n मूल फ़ंक्शन y \u003d f (x) के समान मान लेता है, अर्थात।

P (x i) \u003d y i, i \u003d 0, 1, ..., n। (4.6)

बहुपद (4.5) संतोषजनक स्थिति (4.6) को एक प्रक्षेप बहुपद कहते हैं।

दूसरे शब्दों में, कार्य एक कार्य y \u003d P (x) का निर्माण करना है, जिसका ग्राफ दिए गए बिंदुओं (x i, y i), i \u003d 0, 1,…, n (चित्र 4.1) से होकर गुजरता है।

संयोजन (4.5) और (4.6), हमें मिलता है:

एक 0 + 1 एक्स 1 + 2 एक्स + ... + ए एम एक्स \u003d वाई आई, आई \u003d 0, 1, ..., एन। (4.7)

वांछित बहुपद पी (एक्स) में, अज्ञात m +1 गुणांक 0, 1, 1, 2,…, a m हैं। इसलिए, सिस्टम (4.7) को एम +1 अज्ञात के साथ एन +1 समीकरणों की प्रणाली माना जा सकता है। यह ज्ञात है कि इस तरह की प्रणाली के लिए एक अद्वितीय समाधान के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक है कि शर्त पूरी की जाए: m \u003d n। इस प्रकार, सिस्टम (4.7) को विस्तारित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

एक 0 + एक 1 एक्स 0 + एक 2 एक्स + ... + एक एन एक्स \u003d वाई 0

एक 0 + 1 ए 1 एक्स 1 + ए 2 एक्स + ... + ए एन एक्स \u003d वाई 1

एक 0 + 1 x 2 + एक 2 x + ... + एक n x \u003d y 2 (4.8)

एक 0 + 1 एक्स एन + एक 2 एक्स + ... + ए एन एक्स \u003d वाई एन

एक प्रक्षेप बहुपद के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है:

प्रमेय 4.1। डिग्री एन संतोषजनक स्थितियों (4.6) का एक अनूठा प्रक्षेप बहुपद है।

वहां विभिन्न रूप प्रक्षेप बहुपद का रिकॉर्ड। एक व्यापक संकेतन लैग्रेंज बहुपद है

एल एन (एक्स) \u003d = . (4.9)

विशेष रूप से, रैखिक और द्विघात लैट्रेंज प्रक्षेप के लिए, हम निम्नलिखित प्रक्षेप बहुपद प्राप्त करते हैं:

एल 1 (एक्स) \u003d वाई 0+ वाई 1,

एल 2 (एक्स) \u003d वाई 0 + य १ + य 2 .

उदाहरण 4.3।

आइए हम निम्नलिखित डेटा का उपयोग करके एक लैगेंज प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करें:

	0	2	3	5
	1	3	2	5

एन +1 नोड्स के लिए लैग्रेंज बहुपद की डिग्री n है। हमारे उदाहरण के लिए, लैग्रेंज बहुपद तीसरी डिग्री का है। (4.9) के अनुसार

एल 3 (एक्स) \u003d 1 +3 + 2 + 5 \u003d 1 + x - x 2 + x 3।

उदाहरण 4.4।

एक मध्यवर्ती बिंदु पर दिए गए फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करने के लिए Lagrange प्रक्षेप बहुपद का उपयोग करने के एक उदाहरण पर विचार करें। यह समस्या तब उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, जब किसी बड़े चरण के साथ किसी फ़ंक्शन के तालिका मान निर्दिष्ट किए जाते हैं, और आपको एक छोटे चरण के साथ मानों की तालिका बनाने की आवश्यकता होती है।

निम्नलिखित डेटा फ़ंक्शन y \u003d sinx के लिए जाने जाते हैं।

	0	पी / 6	पी / ३	पी / २
	0	½		1

Y (0.25) की गणना करें।

तीसरी डिग्री लग्रोन बहुपद का पता लगाएं:

एल 3 (एक्स) \u003d 0 + +

+ 1.

X \u003d 0.25 के लिए, हमें y (0.25) \u003d sin 0.25 "0.249 मिलता है।

प्रक्षेप त्रुटि। आइए एक ज्ञात फ़ंक्शन f (x) के लिए लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करें। यह पता लगाना आवश्यक है कि यह बहुपद नोड्स के अलावा खंड के बिंदुओं पर एक फ़ंक्शन के कितने करीब है। प्रक्षेप त्रुटि है | f (x) - P n (x) | निम्न प्रमेय के आधार पर त्रुटि का अनुमान प्राप्त किया जा सकता है।

प्रमेय 4.2। बता दें कि फंक्शन (x) इंटरपलेशन नोड्स x i 0, i \u003d 0, 1,…, n वाले अंतराल पर n +1 बार अलग-अलग होता है। फिर, बिंदु x the पर प्रक्षेप त्रुटि के लिए, निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

| f (x) - L n (x) | £ | w n + 1 (x) | | (4.10)

M n + 1 \u003d | f (n + 1) (x) |

w n + 1 (x) \u003d (x - x 0) (x - x 1)…। (x - x n)।

पूरे खंड में अधिकतम प्रक्षेप त्रुटि के लिए, निम्नलिखित अनुमान मान्य है:

| f (x) - L n (x) | £ | w n (x) | (4.11)

उदाहरण ४.५।

चलिए फंक्शन x (116) \u003d बिंदु x \u003d 116 पर और पूरे अंतराल पर त्रुटि का अनुमान लगाते हैं, जहाँ दूसरी डिग्री के लैग्रेग इंटरपोलेशन बहुपद L 2 (x) का उपयोग करते हुए नोड्स x 0 \u003d 100 के साथ निर्मित होता है। x 2 \u003d 144।

फ़ंक्शन का पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न ज्ञात करें f (x):

f "(x) \u003d x - 1/2, f" (x) \u003d - x –3/2, f "" "(x) \u003d x –5/2।

एम 3 \u003d | f "" "(x) | \u003d 100–5/2 \u003d 10–5।

(4.9) के अनुसार, हम बिंदु x \u003d 116 पर त्रुटि का अनुमान प्राप्त करते हैं।

खंड पर चलो समारोह y \u003d f (x) तालिका में सेट किया गया है, अर्थात (x i, y i), (i \u003d 0,1, .., n), कहाँ पे y i \u003d f (x i)। इस फ़ंक्शन को कहा जाता है " जाल».

समस्या का निरूपण: ढूँढ़ने के लिए बीजगणितीय बहुपद (बहुपद):

डिग्री अधिक नहीं n ऐसा है कि

L n (x i) \u003d y i,पर मैं \u003d0,1,,, एन,(5.6)

उन। दिए गए नोड्स पर x i, (मैं=0,1,..,n) ग्रिड फ़ंक्शन के समान मान पर=च (x).

बहुपत्नी ही एल एन (एक्स) बुलाया प्रक्षेप बहुपद, और कार्य है बहुपद प्रक्षेप .

बहुपद L n (x) का पता लगाएं - इसका मतलब इसके गुणांकों को खोजें a 0 , ए 1 ,…, ए एन। इसके लिए है n +1 स्थिति (5.6), जिसे अज्ञात के लिए रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखा गया है मैं,(मैं=0, 1,…,n):

कहाँ पे एक्स मैं और y मैं ( मैं=0,1,…,n) - तर्क और कार्य के तालिका मान।

बीजगणित के पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि इस प्रणाली के निर्धारक को वंडेरमोंडे निर्धारक कहा जाता है:

अशून्य और, इसलिए, सिस्टम (5.7) है केवल निर्णय.

गुणांक निर्धारित करने के बाद ए 0 , ए 1 ,…, ए एन , समाधान प्रणाली (5.7), हम तथाकथित प्राप्त करते हैं लैगरेंज इंटरपोलेशन बहुपद कार्य के लिए च (x):

(5.8)

जो इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यह सिद्ध है कि दिया गया है n+1 फ़ंक्शन मान प्लॉट किए जा सकते हैं एकमात्र लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद(5.8).

व्यवहार में, लैग्रेग इंटरपोलेशन पोलीनोमील्स ऑफ़ द फर्स्ट ( n \u003d1) और दूसरा ( n \u003d2) डिग्री।

कब n \u003dप्रक्षेपित फ़ंक्शन के बारे में 1 जानकारी y \u003d f (x) दो बिंदुओं पर निर्धारित है: (एक्स 0 , वाई 0 ) और (एक्स 1 , वाई 1 ), और लैगरेंज बहुपद का रूप है

के लिये n \u003d2 लैग्रेंज बहुपद का निर्माण तीन-बिंदु तालिका से किया जाता है

फेसला: हम प्रारंभिक डेटा को सूत्र (5.8) में प्रतिस्थापित करते हैं। प्राप्त लैग्रेंज बहुपद की डिग्री तीसरे से अधिक नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन चार मानों द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद का उपयोग करते हुए, आप किसी भी मध्यवर्ती बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्य पा सकते हैं, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए एक्स=4:

= 43

लैग्रेंज इंटरपोलेशन पॉलीओनियम्समें इस्तेमाल किया सीमित तत्व विधि, व्यापक रूप से निर्माण समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है।

अन्य प्रक्षेप सूत्र भी ज्ञात हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन का प्रक्षेप सूत्रविषुव नोड्स या इंटरपोलेशन बहुपद के मामले में प्रक्षेप के लिए उपयोग किया जाता है Hermita.

प्रक्षेप प्रक्षेप... बड़ी संख्या में प्रक्षेप नोड का उपयोग करते समय, एक विशेष तकनीक का उपयोग किया जाता है - टुकड़े की बहुपद प्रक्षेपजब डिग्री की बहुपद द्वारा फ़ंक्शन को प्रक्षेपित किया जाता है टी किसी भी निकटवर्ती ग्रिड नोड्स के बीच।

कार्यों के मूल मतलब वर्ग सन्निकटन

समस्या का निरूपण

जड़ का अर्थ है चौकोर सन्निकटन फ़ंक्शंस के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शंस एक अलग दृष्टिकोण है। ऐसी समस्याओं की एक विशेषता यह है कि कुछ नियमितताओं के निर्माण के लिए प्रारंभिक डेटा स्पष्ट रूप से हैं अनुमानित चरित्र.

ये डेटा कुछ प्रयोग के परिणामस्वरूप या कुछ कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाते हैं। तदनुसार, इन आंकड़ों में प्रयोगात्मक त्रुटियां (उपकरण और स्थितियों को मापने की त्रुटियां, यादृच्छिक त्रुटियां, आदि) या राउंड-ऑफ त्रुटियां हैं।

मान लीजिए कि कुछ घटना या प्रक्रिया की जांच की जा रही है। में सामान्य दृष्टि से आंकड़े में दिखाए गए साइबरनेटिक सिस्टम ("ब्लैक बॉक्स") द्वारा अनुसंधान की वस्तु का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

परिवर्तनशील एक्स एक स्वतंत्र नियंत्रित चर (इनपुट पैरामीटर) है।

परिवर्तनशील Y इनपुट ऑब्जेक्ट के प्रभाव के लिए अनुसंधान वस्तु की प्रतिक्रिया (प्रतिक्रिया) है। यह आश्रित चर है।

मान लीजिए कि इस प्रयोग के परिणामों को संसाधित करते समय, एक निश्चित कार्यात्मक निर्भरता पाई गई थी y \u003d f (x)स्वतंत्र चर के बीच एक्स और आश्रित चर पर। यह निर्भरता तालिका के रूप में प्रस्तुत की जाती है। 5.1 मान x i, y i (i)=1,2,, एन) प्रयोग के दौरान प्राप्त किया।

तालिका 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
यी	y 1	y 2	…	y n

यदि विश्लेषणात्मक कार्य अभिव्यक्ति y \u003d f (x)अज्ञात या बहुत मुश्किल है, तो समस्या फ़ंक्शन को खोजने के लिए उत्पन्न होती है य \u003dजे (एक्स),किसका मान है x \u003d x i, शायद थोड़ा अलग है प्रायोगिक डेटा से यी, (मैं=1,..,n)। इस प्रकार, जांच निर्भरता फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित होती है य \u003dजे (एक्स) खंड पर [ एक्स 1 , एक्स एन]:

च (x) @जे (एक्स). (5.9)

लगभग समारोह य \u003dजे (एक्स) बुलाया अनुभवजन्य सूत्र (EF)या प्रतिगमन समीकरण (RR).

अनुभवजन्य सूत्र प्रकृति के नियमों का ढोंग नहीं करते हैं, बल्कि केवल परिकल्पना है जो प्रयोगात्मक डेटा का पर्याप्त या कम वर्णन करते हैं। हालांकि, उनका महत्व बहुत महान है। विज्ञान के इतिहास में ऐसे मामले हैं जब प्राप्त सफल अनुभवजन्य सूत्र ने महान वैज्ञानिक खोजों का नेतृत्व किया।

अनुभवजन्य सूत्र है पर्याप्त, अगर इसका उपयोग अभ्यास के लिए पर्याप्त सटीकता के साथ अध्ययन के तहत वस्तु का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

इसके लिए क्या लत है?

यदि सन्निकटन (5.9) पाया जाता है, तो यह संभव है:

खंड के बाहर अध्ययन के तहत वस्तु के व्यवहार के बारे में एक भविष्यवाणी करें ( एक्सट्रपलेशन );

चुनें इष्टतम अध्ययन के तहत प्रक्रिया के विकास की दिशा।

प्रतिगमन समीकरण का अध्ययन के तहत वस्तु की विशेषताओं और प्रतिनिधित्व की आवश्यक सटीकता के आधार पर एक अलग रूप और जटिलता का एक अलग स्तर हो सकता है।

ज्यामितीयप्रतिगमन समीकरण के निर्माण की समस्या में वक्र को आरेखित करना शामिल है एल: य \u003dजे (एक्स) « जितना संभव हो सके उतना करीब»प्रायोगिक बिंदुओं की प्रणाली के निकट M i (x i, y i), i \u003d1,2,, एनदी गई तालिका। 5.1 (चित्रा 5.2)।

प्रतिगमन समीकरण (अनुभवजन्य कार्य) के निर्माण में 2 चरण होते हैं:

1. सामान्य दृष्टिकोण का चुनावप्रतिगमन समीकरण,

2. इसके मापदंडों को परिभाषित करना.

सफल पसंदप्रतिगमन समीकरण मोटे तौर पर प्रयोग करने वाले के अनुभव पर निर्भर करता है, एक प्रक्रिया या घटना की जांच करता है।

बहुपद (बहुपद) को अक्सर प्रतिगमन समीकरण के रूप में चुना जाता है:

दूसरा काम, मापदंडों को खोजनेप्रतिगमन समीकरण नियमित तरीकों से हल होते हैं, उदाहरण के लिए, कम से कम दो गुना (ओएलएस), जो व्यापक रूप से टिप्पणियों या प्रयोगों के आधार पर किसी भी नियमितता के अध्ययन में उपयोग किया जाता है।

इस पद्धति का विकास अतीत के प्रसिद्ध गणितज्ञों के नामों के साथ जुड़ा हुआ है - के गौस और ए लीजेंड।

कम से कम चौकोर विधि

मान लेते हैं कि प्रयोग के परिणाम तालिका के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.1। और प्रतिगमन समीकरण फॉर्म (5.11) में लिखा गया है, अर्थात निर्भर करता है ( म+1) पैरामीटर

ये पैरामीटर प्रयोगात्मक बिंदुओं के सापेक्ष प्रतिगमन समीकरण ग्राफ के स्थान को निर्धारित करते हैं M i (x i, y i), i \u003d1,2,, एन (चित्र 5.2)।

हालांकि, ये पैरामीटर विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं हैं। मापदंडों का चयन करना आवश्यक है ताकि प्रतिगमन समीकरण का ग्राफ स्थित हो। जितना संभव हो सके उतना करीब»इन प्रायोगिक बिंदुओं की प्रणाली के लिए।

आइए अवधारणा को पेश करते हैं विचलन तालिका मान से प्रतिगमन समीकरण (5.11) के मान यीके लिये x i : , मैं \u003d1,2,, एन।

विचार करें विचलन के वर्गों का योग, जोनिर्भर करता है( म+1) पैरामीटर

ओएलएस के अनुसार, सबसे अच्छा गुणांक a i(मैं=0,1,..,म) वे हैं जो कम से कम होते हैं विचलन के वर्गों का योग, अर्थात्। समारोह।

का उपयोग करते हुए समारोह के चरम के लिए आवश्यक शर्तें कई चर, हम तथाकथित प्राप्त करते हैं सामान्य प्रणाली अज्ञात गुणांक निर्धारित करने के लिए :

सन्निकटन समारोह (5.11) के लिए, सिस्टम (5.14) अज्ञात के लिए रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली है .

मामले संभव हैं:

1. यदि, तो असीम रूप से कई बहुपद हैं (5.11) फ़ंक्शन को कम करना (5.13)।

2. यदि म \u003d n-1, तब केवल एक बहुपद (5.11) है जो कार्य को कम करता है (5.13)।

कम मअनुभवजन्य सूत्र जितना सरल है, लेकिन यह हमेशा बेहतर नहीं होता है। यह याद रखना चाहिए कि परिणामी अनुभवजन्य सूत्र होना चाहिए पर्याप्त अध्ययन के तहत वस्तु।

प्रक्षेप

गणितीय उपकरण का उपयोग करके प्राकृतिक घटनाओं का अध्ययन करते समय, विभिन्न कार्यों का उपयोग किया जाता है।

कार्यों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उनमें से सबसे सरल एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति का काम है, जो किसी भी मान्य तर्क मानों का उपयोग करके फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना संभव बनाता है। व्यवहार में, ऐसे मामले बहुत दुर्लभ हैं।

कार्यों को अक्सर अनंत पंक्तियों में परिभाषित किया जाता है। एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करके एक फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना एक बल्कि बोझिल ऑपरेशन है जिसे श्रृंखला में अभिसरण और पर्याप्त संख्या में शर्तों की आवश्यकता होती है।

फ़ंक्शन को अनिश्चित अनिश्चित या अंतर समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है।

सभी मामलों में, जब किसी फ़ंक्शन का मान या तो सटीक गणना करना असंभव होता है, या गणना बहुत बोझिल होती है, तो वे फ़ंक्शन के संकलन टेबल का सहारा लेते हैं, अगर यह फ़ंक्शन विभिन्न समस्याओं में होता है। इस प्रकार, हम एक फ़ंक्शन की तालिका सेटिंग पर आते हैं, अर्थात, जब फ़ंक्शन
इसके मूल्यों की तालिका द्वारा निर्धारित किया जाता है दिए गए तर्क मूल्यों के लिए , मैं \u003d 1,2, ... n:

फ़ंक्शन और तर्क तालिका मान कहा जाता है टेबल नोड्स.

तर्क के दो आसन्न मूल्यों के बीच अंतर को कहा जाता है चरण तालिका
... यदि यह अंतर बदलता है, तो तालिका को चर चरण के साथ तालिका कहा जाता है, यदि अंतर अपरिवर्तित है, तो यह एक स्थिर चरण वाली तालिका है। वे एक स्थिर कदम के साथ तालिकाओं का निर्माण करने की कोशिश करते हैं। सामान्यतया, चरण बहुत छोटा नहीं हो सकता है, अन्यथा तालिका का आकार बहुत बढ़ जाता है।

आमतौर पर, तालिका को तैनात किया जाता है ताकि तर्क (उदाहरण के लिए, समय) बढ़े हुए हो।

प्राकृतिक विज्ञान की समस्याओं को हल करते समय, एक नियम के रूप में, ऐसे मामलों से निपटना पड़ता है जब फ़ंक्शन मानों की आवश्यकता होती है न केवल तर्क (नोड्स) के सारणीबद्ध मानों के लिए। उदाहरण के लिए, पृथ्वी के सापेक्ष सूर्य के निर्देशांक को जानना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन हमेशा लगभग 0 h Universal Time पर नहीं, जैसा कि खगोलीय एल्बम में दिया गया है, लेकिन कुछ मध्यवर्ती क्षणों में।

इसलिए, निम्न कार्य महान व्यावहारिक महत्व का है: एक टेबल फ़ंक्शन दिया; तालिका के नोड्स के साथ मेल नहीं खाने वाले तर्क के मनमाने मूल्यों के लिए फ़ंक्शन के मूल्यों को लगभग निर्धारित करने का एक तरीका खोजना आवश्यक है।

इ यदि तर्क तालिका मानों की सीमा के भीतर तर्क मान निर्दिष्ट किया जाता है, तो निर्दिष्ट कार्य को कार्य कहा जाता है प्रक्षेप; यदि तर्क मान तालिकाओं के बाहर निर्दिष्ट किया जाता है, तो वे कहते हैं बहिर्वेशन.

एक टेबल फ़ंक्शन द्वारा प्रक्षेप एक टेबल फ़ंक्शन के सन्निकटन से दूसरे तक कम हो जाता है, आसानी से गणना की गई फ़ंक्शन। इस आसानी से कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग प्रक्षेप के लिए किया जाता है: तर्क के दिए गए मूल्य को इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है और गणना की जाती है।

एक टेबल फ़ंक्शन के लिए एक सन्निकटन का निर्माण एक अपरिभाषित कार्य है और इसके लिए अतिरिक्त सम्मेलनों की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, सन्निकटन के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यों के वर्ग पर सहमत होना आवश्यक है। जाहिर है, तर्क के दिए गए मूल्य के लिए फ़ंक्शन को आसानी से गणना करने में सक्षम होना वांछनीय है। यह शर्त संतुष्ट है बीजगणितीय बहुपद, जो अक्सर सन्निकटन के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि टेबल फ़ंक्शन आवधिक है और पूरे अवधि को कवर करने वाले क्षेत्र में सन्निकटन की आवश्यकता है, तो उपयोग करें त्रिकोणमितीय बहुपद... जब एक आवधिक फ़ंक्शन को केवल अवधि के एक छोटे हिस्से के लिए अनुमानित करने की आवश्यकता होती है, तो आमतौर पर बीजगणितीय बहुपद का उपयोग किया जाता है।

दूसरे, किसी को यह माँग करनी चाहिए कि सन्निकटन सर्वोत्तम संभव है। "सर्वश्रेष्ठ" का क्या अर्थ है? व्यवहार में, सर्वश्रेष्ठ सन्निकटन के विभिन्न मानदंडों का उपयोग किया जाता है। हम इसे ले लेंगे: एक सन्निकटन बहुपद जो तालिका के नोड्स का सही प्रतिनिधित्व करना चाहिए। यही है, प्रक्षेप बहुपद को ग्राफ पर तालिका फ़ंक्शन के सभी बिंदुओं (नोड्स) से गुजरना होगा। इस कारण से, निर्दिष्ट स्थिति के साथ प्रक्षेप कहा जाता है बिंदु प्रक्षेप.

इ यदि कोई मूल्य समय के अनुपात में बदलता है, तो नियमित अंतराल पर मूल्यों में अंतर स्थिर है। इस मामले में, आप सबसे सरल रैखिक प्रक्षेप लागू कर सकते हैं।

यदि 24 घंटे में X का मान समान रूप से value से बदल जाता है, तो पल t घंटे के लिए उसका मान, जो क्षण t 0 के बराबर हो गया है, के बराबर है

.

लेकिन यह लगभग कभी नहीं होता है, तालिका में आसन्न मूल्यों के बीच का अंतर बदलता है, और कभी-कभी जटिल तरीके से। यदि उच्च परिशुद्धता की आवश्यकता नहीं है, तो रैखिक प्रक्षेप को सहन किया जा सकता है। लेकिन अगर नोड्स की तरह ही सटीकता के साथ टेबल फ़ंक्शन का मूल्य प्राप्त करना आवश्यक है, तो, स्वीकृत सम्मेलनों के अनुसार, एक प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करना आवश्यक है।

लैगरेंज इंटरपोलेशन बहुपद

मान लीजिए कि आपके पास एक दो-स्तंभ तालिका है
,
,
... मूल्यों को लेने वाले सबसे कम डिग्री बहुपद को खोजना आवश्यक है प्रत्येक तर्क के लिए :
, अर्थात्, नोड्स में तालिका फ़ंक्शन के मूल्यों के साथ मेल खाना। हम लगभग मान लेंगे कि तर्क टी के किसी भी मूल्य के लिए
,
... इस अनुमानित समानता को एक प्रक्षेप सूत्र कहा जाता है। तो, आपको प्रक्षेप सूत्र को खोजने की आवश्यकता है, और फिर इसकी त्रुटि का अनुमान लगाएं।

आइए, सबसे पहले, एक बहुपद (बहुपद) को खोजें, जो 1 को एक नोडल बिंदु पर और 0 को अन्य सभी पर लेता है। स्पष्ट रूप से सरल कार्य

,

जहां उत्पाद संकेत पर प्रधानमंत्री का मतलब है
, डिग्री n-1 की आवश्यक बहुपद है।

ध्यान दें कि n बिंदुओं के माध्यम से आप विशिष्ट रूप से अधिकतम n-1 पर एक बहुपद की डिग्री खींच सकते हैं, उदाहरण के लिए, 2 बिंदुओं के माध्यम से आप 3 बिंदुओं के माध्यम से स्पष्ट रूप से एक सीधी रेखा (1 क्रम का एक वक्र) खींच सकते हैं, एक परवलय (2 क्रम का एक वक्र), आदि। ...

यह जाँचना आसान है
बराबर 1 अगर
; और 0 जब
... चलो गुणा करें
पर परिणामी बहुपद
अर्थ ग्रहण करता है j-th नोडल बिंदु पर और अन्य सभी नोड्स पर शून्य के बराबर है। इसलिए, ऐसे बहुपद के योग मान लेंगे तर्क के लिए :

,

नोट: j मध्यवर्ती बहुपद की क्रमिक संख्या है
राशि में जो लैग्रेंज बहुपद बनाता है, मैं तालिका में किसी भी नोड की संख्या है।

सामान्य रूप में

यह तालिका के सभी नोड्स से गुजरने वाले डिग्री n-1 का वांछित बहुपद है
:
,
.

लैगरेंज प्रक्षेप बहुपद 1795 में पहली बार प्रकाशित हुआ था।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि यदि n नोडल अंक दिए जाते हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली डिग्री n-1 की संबंधित बहुपद निर्माण विधि और अंकन प्रणाली की परवाह किए बिना विशिष्ट रूप से निर्धारित (राउंड-ऑफ त्रुटियों के भीतर) है। यदि विभिन्न एंकर बिंदुओं का उपयोग किया जाता है, तो, निश्चित रूप से, बहुपद अलग हो सकते हैं, लेकिन एक ही एंकर बिंदुओं को एक ही बहुपद (राउंड-ऑफ त्रुटियों के भीतर) का नेतृत्व करना होगा।

मूल्यों को लेने के लिए बहुपद की आवश्यकता होती है प्रत्येक तर्क के लिए , हम एक Lagrange बहुपद का निर्माण किया है। यदि हमें बहुपद की आवश्यकता है तो केवल नोड्स पर तालिका फ़ंक्शन के मूल्यों को न लें, बल्कि बहुपद का पहला व्युत्पन्न नोड्स पर तालिका फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के बराबर था, फिर हम हरमाइट बहुपद का निर्माण करते हैं।

उदाहरण... एक मेज दी

n \u003d 2। इसके अनुसार
;

इसके अनुसार
;
.

... स्थानापन्न संख्याएँ

.

यह एक 1 क्रम प्रक्षेप बहुपद है - एक सीधी रेखा।

टी \u003d 2, एल \u003d 4.5 के लिए।

उदाहरण... एक मेज दी

लैग्रेंज प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करें और L (2) का मान ज्ञात करें।

n \u003d 3। इसके अनुसार;

इसके अनुसार

.

यह एक दूसरा क्रम प्रक्षेप बहुपद है - एक परवलय।

टी \u003d 2, एल \u003d 7.33 के लिए।

यह आंकड़ा 5 नोड्स में निर्मित एक लैग्रेग बहुपद का एक ग्राफ दिखाता है - एक 4-क्रम बहुपद।

यह आंकड़ा 8 नोड्स पर निर्मित एक लैग्रेंज बहुपद का एक ग्राफ दिखाता है - एक 7 वें क्रम का बहुपद।

यह उन आंकड़ों से देखा जा सकता है कि लैग्रेंज बहुपद द्वारा नोड्स के बीच सारणीबद्ध कार्य के मूल्य असंतोषजनक हैं। इसके अलावा, लैगेंज बहुपद व्यावहारिक उपयोग के लिए असुविधाजनक है। व्यवहार में, परिणाम की आवश्यक सटीकता आमतौर पर ज्ञात है, और उपयोग किए जाने वाले नोड्स की विविधता का चयन किया जा सकता है।