दशमलव। सामान्य भिन्न सामान्य भिन्न और दशमलव के बीच क्या अंतर है?

विषय: दशमलव भिन्न की अवधारणा।

दशमलव पढ़ना और लिखना.

1. 
   पाठ का उद्देश्य: दशमलव भिन्नों को लिखने और पढ़ने के कौशल का निर्माण, 10, 100, 1000, आदि हर के साथ साधारण भिन्नों का अनुवाद करने की क्षमता। दशमलव में.

1. 
   कार्य:

- सिखाने के लिए शैक्षिकदशमलव भिन्न पढ़ना और लिखना;

- विकसित होना -शैक्षिक गतिविधियों के आत्म-मूल्यांकन और आत्म-विश्लेषण के कौशल विकसित करना, छात्रों के गणितीय भाषण को विकसित करना;

- शैक्षिक -गणितीय सोच की संस्कृति, स्वतंत्र रूप से कार्य करने की क्षमता विकसित करना।
3. पाठ का प्रकार -ज्ञान समेकन पाठ
4. शिक्षण विधियाँ: मौखिक, दृश्य, व्यावहारिक
5. विद्यार्थी कार्य के स्वरूप -ललाट, व्यक्तिगत, समूह

6. आवश्यक तकनीकी उपकरण -मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, कंप्यूटर, स्क्रीन

7. शैक्षिक और पद्धति संबंधी समर्थन: पाठ्यपुस्तक "गणित 5", आई. आई. जुबरेवा, ए. जी. मोर्दकोविच

पाठ संरचना:

1. 
   संगठन. पल।
2. 
   पिछले विषयों की पुनरावृत्ति, मौखिक कार्य।
3. 
   गणितीय श्रुतलेख.
4. 
   फ़िज़कल्टपौज़ा।
5. 
   मुख्य हिस्सा।
6. 
   प्रतिबिंब।
7. 
   गृहकार्य।

कक्षाओं के दौरान:

1. 
   संगठन. पल।

• 
  शिक्षक एवं विद्यार्थियों का परस्पर अभिवादन।
• 
  नौकरियों की जाँच करना.
• 
  पाठ योजना के बारे में छात्रों को संचार।

- हैलो दोस्तों!

यह अच्छा है कि मैं आपके पास आया। मुझसे कहा गया कि आप मेरी जांच में जरूर मदद करेंगे.

मेरी जांच समिति को दो ड्राइवरों से शिकायत मिली जो एक यातायात दुर्घटना में भागीदार बने।

आइए केस फ़ाइल की ओर मुड़ें।

^ पीड़ितों की जानकारी.

दो बिंदु A और B से, एक कार और एक ट्रक एक दूसरे की ओर चले गए। एक कार की गति 60 किमी/घंटा है और एक ट्रक की गति 40 किमी/घंटा है। यदि बिंदुओं के बीच की दूरी 350 किमी है तो उन्हें मिलने में कितना समय लगेगा?

- समाधान पर विचार करें .

1) 40 + 60 = 100 (किमी/घंटा) - कारों की कुल गति (अभिसरण गति)

2) 350: 100 = 35 (एच)

उत्तर: कारें 35 घंटे में मिलेंगी।
- दोस्तों, सभी आंकड़ों पर ध्यान दें और उत्तर दें: "क्या यह परिणाम आपको संदेह में डालता है?"
- हां, इसमें संदेह है, इस समस्या में समय 35 घंटे नहीं हो सकता।
- तो, ​​निर्णय के परिणामस्वरूप, एक गलती हुई। हम जांच करके और सभी तथ्यों, दस्तावेजों और सबूतों की जांच करके पता लगाएंगे कि जवाब क्या होना चाहिए।'
- हमारी जांच के लिए, मैंने एक आवर्धक कांच, तराजू और किताबें लीं।

पहला कार्य. (प्रमाण एक)
इन नंबरों से हटाएं:

• 
  पूर्णांकों
• 
  उचित भिन्न
• 
  अनुचित भिन्न
• 
  मिश्रित संख्याएँ

8 45/1000; 1000; 12; 3/2; 0,12; 1/6; 15/15; 30/24; 12/1000; 21,032; 1 2/3.

कौन से नंबर बचे हैं?

नए तरीके से लिखी गई संख्याएँ हमारे गणितीय क्षितिज पर दिखाई दीं। ये दशमलव हैं.
- आइए वैज्ञानिक दस्तावेजों की ओर मुड़ें।

^ एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न से इस मायने में भिन्न होता है कि उसका हर एक बिट इकाई होता है।

उदाहरण के लिए:

^ दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों से अलग करके एक अलग रूप दिया जाता है।
दाहिनी ओर दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग में कितनी भी संख्या में शून्य जोड़े जा सकते हैं, इससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।

^ दशमलव अंश का आंशिक भाग अंतिम महत्वपूर्ण अंक द्वारा पढ़ा जाता है।

उदाहरण के लिए:
0.3 - तीन दसवां हिस्सा
0.75 - पचहत्तर सौवाँ
0.000005 - पाँच मिलियनवाँ।

दशमलव के पूर्णांक भाग को पढ़ना प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के समान है।

उदाहरण के लिए:
27.5 - सत्ताईस...;
1.57 - एक...

दशमलव अंश के पूर्णांक भाग के बाद "संपूर्ण" शब्द का उच्चारण किया जाता है।

उदाहरण के लिए:
10.7 - दस दशमलव सात

0.67 - शून्य दशमलव सड़सठ सौवां।

दशमलव भिन्नात्मक अंक हैं. भिन्नात्मक भाग को अंकों द्वारा नहीं (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) पढ़ा जाता है, बल्कि समग्र रूप से पढ़ा जाता है, इसलिए दशमलव भिन्न का भिन्नात्मक भाग निर्धारित किया जाता है दाहिनी ओर अंतिममहत्वपूर्ण पद.

गणना में पहले तीन अंकों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। दशमलव अंशों के भिन्नात्मक भाग की बड़ी बिट गहराई का उपयोग केवल ज्ञान की विशिष्ट शाखाओं में किया जाता है, जहाँ अनंत मानों की गणना की जाती है।

• 
  दशमलव बिंदु के बाद पहला स्थान - दसवां स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद दूसरा स्थान - सौवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद तीसरा स्थान - हजारवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद चौथा स्थान - दस हजारवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद पाँचवाँ स्थान - सौ-हजारवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद छठा स्थान - दसवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद 7वाँ स्थान - दस लाखवाँ स्थान
• 
  दशमलव बिंदु के बाद आठवाँ स्थान - एक सौ करोड़वाँ स्थान

आपको हमारे अध्ययन के विषय के बारे में क्या जानकारी मिली?

आइए अभिलेखीय सामग्रियों की ओर मुड़ें।
ऐतिहासिक साक्ष्यों का अन्वेषण करें। ये भिन्न पहले कैसे लिखे जाते थे?

5वीं शताब्दी में, चीनी वैज्ञानिक त्सज़ी-चुन-ज़ी ने फॉर्म 2.135436 का एक अंश इस प्रकार दर्ज किया:

2 ची, 1 क्यून, 3 शेयर, 5 ऑर्डिनल्स, 4 बाल, 3 बेहतरीन, 6 गॉसमर।

किताब में उज़्बेक वैज्ञानिक जेमशीद गियासेद्दीन अल-काशी

"अंकगणित की कुंजी" (1424) ने दशमलव प्रणाली में संख्याओं के साथ एक पंक्ति में एक अंश की रिकॉर्डिंग दिखाई।

रिकॉर्डिंग के लिए, उन्होंने ऊर्ध्वाधर रेखा का उपयोग किया,

स्याही काली और लाल है.

फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. विएटा (1540-1603) की पुस्तक "मैथमैटिकल कैनन" में दशमलव अंश इस प्रकार लिखा गया है 2 135436 - भिन्नात्मक भाग को रेखांकित किया गया और संख्या के पूर्णांक भाग की रेखा के ऊपर लिखा गया

1571 जी। - जोहान्स केप्लरदशमलव भिन्नों के लिए एक आधुनिक संकेतन का प्रस्ताव रखा, अर्थात्। अल्पविराम के पूरे भाग को अलग करना.

उनके सामने अन्य विकल्प भी थे:

3,7 को 3(0)7 या 3\ 7 के रूप में या पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को अलग-अलग स्याही में लिखा गया था।
- तो, अब वर्णन करें कि दशमलव भिन्न कैसा दिखता है।
^ हम जांच कार्रवाई जारी रखेंगे.
दूसरा कार्य. (दो साक्ष्य)
संख्या का सबसे छोटा महत्वपूर्ण अंक निर्दिष्ट करें और इसे पढ़ें:

1,25 12, 54 3,06 1410,05

तीसरा कार्य. (साक्ष्य तीन)
दशमलव कैसे लिखे जाते हैं?

46,5 80,35 4,65 8,035 40,065 83,05 0,465 0,0835

^ आइए एक खोजी प्रयोग करें।
गणितीय श्रुतलेख.
- अगले कार्य के लिए, हमें एक आवर्धक लेंस की आवश्यकता है, क्योंकि हमें संख्याओं में अल्पविराम खोजने की आवश्यकता है।
4735,62 123,456 54,5454 230,032 74635,2

अपने सहकर्मियों के साथ काम का आदान-प्रदान करें और जांचें

भौतिक मिनट.

^ मुख्य भाग।

आइए गवाहों की गवाही सुनें:

माँ ने 2¼ किलो सेब और 3.5 किलो नाशपाती खरीदी। माँ ने कितने किलोग्राम फल खरीदे?
दस्तावेज़ में कौन से अंश पाए जाते हैं? ( साधारणऔर दशमलव)

क्या आपको लगता है कि इन भिन्नों को जोड़ना संभव है? ( नहीं)

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? ( साधारण अथवा दशमलव भिन्नों में गणना करें).

ऐसा करने के लिए, आपको एक भिन्न को दूसरे भिन्न में बदलना होगा। यहीं पर मुझे तराजू की जरूरत है।

तराजू किसलिए हैं? ( तौलना, तुलना करना, बराबर करना)

अपने गणितीय पैमाने पर, हम एक बिट इकाई में दशमलव स्थानों की संख्या (भिन्नात्मक भाग में) और शून्य की तुलना करेंगे।
^ ए)। संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त करें:

0,13 6,013 0, 05 14,007 51, 3 830,0026

(प्रत्येक समूह को एक नंबर मिलता है। कार्य पूरा करने के बाद, वे अपने उत्तर का बचाव करते हैं, अपने स्वयं के उदाहरण के साथ पूरक करते हैं)।

बी)। संख्या को दशमलव के रूप में व्यक्त करें:

1 1 / 10 , 25 / 100 , 98 3 / 10 , 2 56 / 1000 , 75 108 / 10000

आर बी ओ ए बी
सामान्य भिन्नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

वाहवाही
4. प्रतिबिम्ब.
हमारी जांच ख़त्म हो रही है. मामले की सभी सामग्रियों पर विचार किया गया, तथ्यों की तुलना की गई, दस्तावेजों का अध्ययन किया गया।
- हमारे उल्लंघन पर वापस जाएँ।
- सही उत्तर पाने के लिए समस्या में कौन सी संख्या होनी चाहिए? "इस संख्या में क्या खो गया है?" (अल्पविराम)
- सही उत्तर क्या है?
आप उत्तर को भिन्न के रूप में कैसे लिखते हैं?
- घंटों और मिनटों में कनवर्ट करें?
- धन्यवाद, शाबाश। मैं आपसे बेहद प्रभावित हूं। हमने कार्य का सामना किया।

5. होमवर्क।

विषयों पर संदेश तैयार करें:

"दशमलव भिन्नों का इतिहास"

दशमलव का प्रयोग कहाँ होता है?
पाठ के लिए धन्यवाद.

सभी विज्ञानों की रानी - गणित का अध्ययन करते समय, किसी न किसी बिंदु पर हर किसी को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। हालाँकि यह अवधारणा (जैसे स्वयं भिन्नों के प्रकार या उनके साथ गणितीय संक्रियाएँ) बिल्कुल भी कठिन नहीं है, इसे सावधानी से व्यवहार किया जाना चाहिए, क्योंकि स्कूल के बाहर वास्तविक जीवन में यह बहुत उपयोगी होगा। तो, आइए भिन्नों के बारे में अपने ज्ञान को ताज़ा करें: वे क्या हैं, वे किस लिए हैं, वे किस प्रकार के हैं और उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे करें।

महामहिम अंश: यह क्या है

गणित में भिन्न संख्याएँ होती हैं, जिनमें से प्रत्येक में इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं। ऐसे भिन्नों को साधारण या सरल भी कहा जाता है। एक नियम के रूप में, उन्हें दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है, जो एक क्षैतिज या स्लैश बार द्वारा अलग की जाती हैं, इसे "फ्रैक्शनल" कहा जाता है। उदाहरण के लिए: ½, ¾.
इन संख्याओं में सबसे ऊपर, या पहला, अंश है (यह दर्शाता है कि संख्या के कितने अंश लिए गए हैं), और नीचे, या दूसरा, हर है (यह दर्शाता है कि इकाई को कितने भागों में विभाजित किया गया है)।
भिन्नात्मक पट्टी वास्तव में एक विभाजन चिह्न के रूप में कार्य करती है। उदाहरण के लिए, 7:9=7/9
परंपरागत रूप से, सामान्य भिन्न एक से कम होते हैं। जबकि दशमलव इससे बड़ा हो सकता है.

भिन्न किस लिए हैं? हाँ, हर चीज़ के लिए, क्योंकि वास्तविक दुनिया में, सभी संख्याएँ पूर्णांक नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, कैफेटेरिया में दो स्कूली छात्राओं ने मिलकर एक स्वादिष्ट चॉकलेट बार खरीदा। जब वे मिठाई बांटने वाले थे, तो उनकी मुलाकात एक दोस्त से हुई और उन्होंने उसे भी मिठाई खिलाने का फैसला किया। हालाँकि, अब चॉकलेट बार को सही ढंग से विभाजित करना आवश्यक है, यह देखते हुए कि इसमें 12 वर्ग हैं।
सबसे पहले, लड़कियाँ सब कुछ समान रूप से साझा करना चाहती थीं, और फिर प्रत्येक को चार टुकड़े मिलते थे। लेकिन, इस पर विचार करने के बाद, उन्होंने अपनी गर्लफ्रेंड को 1/3 नहीं, बल्कि 1/4 चॉकलेट देने का फैसला किया। और चूंकि स्कूली छात्राओं ने भिन्नों का अच्छी तरह से अध्ययन नहीं किया, इसलिए उन्होंने इस बात पर ध्यान नहीं दिया कि ऐसी स्थिति में, परिणामस्वरूप, उनके पास 9 टुकड़े होंगे जो बहुत खराब तरीके से दो भागों में विभाजित होंगे। यह अपेक्षाकृत सरल उदाहरण दिखाता है कि किसी संख्या के भाग को सही ढंग से ढूंढने में सक्षम होना कितना महत्वपूर्ण है। लेकिन जिंदगी में ऐसे और भी कई मामले आते हैं।

भिन्नों के प्रकार: साधारण और दशमलव

सभी गणितीय भिन्नों को दो बड़े अंकों में विभाजित किया गया है: साधारण और दशमलव। उनमें से पहले की विशेषताओं का वर्णन पिछले पैराग्राफ में किया गया था, इसलिए अब दूसरे पर ध्यान देना उचित है।
दशमलव किसी संख्या के अंश का एक स्थितिगत अंकन है, जो बिना किसी डैश या स्लैश के अल्पविराम से अलग किए गए अक्षर में तय होता है। उदाहरण के लिए: 0.75, 0.5.
वास्तव में, एक दशमलव भिन्न एक साधारण अंश के समान होता है, हालाँकि, इसका हर हमेशा एक होता है और उसके बाद शून्य होता है - इसलिए इसका नाम।
दशमलव बिंदु से पहले की संख्या पूर्णांक भाग है, और दशमलव बिंदु के बाद की सभी संख्या भिन्नात्मक भाग है। किसी भी साधारण भिन्न को दशमलव में बदला जा सकता है। तो, पिछले उदाहरण में दर्शाए गए दशमलव अंशों को सामान्य अंशों के रूप में लिखा जा सकता है: ¾ और ½।
यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव और साधारण भिन्न दोनों धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं। यदि उनके पहले "-" चिह्न है, तो यह अंश ऋणात्मक है, यदि "+" - तो सकारात्मक है।

साधारण भिन्नों की उप-प्रजातियाँ

इस प्रकार के सरल भिन्न होते हैं।

सही। इनका अंश सदैव हर से छोटा होता है। उदाहरण के लिए: 7/8. यह एक उचित भिन्न है क्योंकि अंश 7, हर 8 से छोटा है। ग़लत। ऐसे भिन्नों में, या तो अंश और हर एक दूसरे के बराबर होते हैं (8/8), या निचली संख्या का मान ऊपरी संख्या (9/8) से कम होता है। मिला हुआ। यह एक पूर्णांक के साथ लिखी गई उचित भिन्न का नाम है: 8 ½। इसे इस संख्या और भिन्न के योग के रूप में समझा जाता है। वैसे, किसी अनुचित भिन्न को उसके स्थान पर प्रदर्शित करना काफी आसान है। ऐसा करने के लिए, 8 को 16/2+1/2=17/2 के रूप में लिखा जाना चाहिए। यौगिक। जैसा कि नाम से पता चलता है, उनमें कई भिन्नात्मक विशेषताएं शामिल हैं: ½ / ¾। रिड्यूसिबल / इर्रिड्यूसिबल। इनमें उचित और अनुचित दोनों भिन्न शामिल हो सकते हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है या नहीं। उदाहरण के लिए, 6/9 एक घटा हुआ अंश है, क्योंकि इसके दोनों घटकों को 3 से विभाजित किया जा सकता है और आपको 2/3 मिलता है। लेकिन 7/9 अघुलनशील है, क्योंकि 7 और 9 अभाज्य संख्याएँ हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है और इन्हें घटाया नहीं जा सकता।

दशमलव अंश की उप-प्रजातियाँ

एक साधारण के विपरीत, दशमलव अंश केवल 2 प्रकारों में विभाजित होता है।

अंतिम - इसका नाम इस तथ्य के कारण पड़ा कि दशमलव बिंदु के बाद इसमें अंकों की एक सीमित (सीमित) संख्या होती है: 19.25। एक अनंत भिन्न एक संख्या होती है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 10 को 3 से विभाजित करने पर परिणाम एक अनंत भिन्न 3.333 होगा...

भिन्नों का योग

भिन्नों के साथ विभिन्न अंकगणितीय जोड़-तोड़ करना सामान्य संख्याओं की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है। हालाँकि, यदि आप बुनियादी नियम सीख लेते हैं, तो उनके साथ किसी भी उदाहरण को हल करना मुश्किल नहीं होगा।
इसलिए, भिन्नों को एक साथ जोड़ने के लिए, सबसे पहले, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि दोनों पदों के हर समान हों। ऐसा करने के लिए, आपको वह सबसे छोटी संख्या ढूंढनी होगी जिसे योग के हरों द्वारा बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सके।
उदाहरण के लिए: 2/3+3/4. उनके लिए लघुत्तम समापवर्तक 12 होगा, इसलिए यह आवश्यक है कि यह संख्या प्रत्येक हर में हो। ऐसा करने के लिए, हम पहले अंश के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, यह 8/12 निकलता है, हम दूसरे पद के साथ भी ऐसा ही करते हैं, लेकिन केवल 3 - 9/12 से गुणा करते हैं। अब आप उदाहरण को आसानी से हल कर सकते हैं: 8/12+9/12= 17/12। परिणामी भिन्न एक गलत मान है क्योंकि अंश हर से बड़ा है। इसे 17:12 = 1 और 5/12 से विभाजित करके सही मिश्रित में परिवर्तित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए।
यदि मिश्रित भिन्नों को जोड़ा जाता है, तो पहले क्रियाएँ पूर्णांकों के साथ की जाती हैं, और फिर भिन्नात्मकों के साथ।
यदि उदाहरण में एक दशमलव भिन्न और एक साधारण भिन्न है, तो यह आवश्यक है कि दोनों सरल हो जाएँ, फिर उन्हें एक ही हर में लाएँ और जोड़ें। उदाहरण के लिए 3.1+1/2. संख्या 3.1 को 3 और 1/10 के मिश्रित अंश के रूप में या अनुचित - 31/10 के रूप में लिखा जा सकता है। पदों के लिए सामान्य हर 10 होगा, इसलिए आपको अंश और हर को 1/2 से 5 से गुणा करना होगा, यह 5/10 निकलता है। फिर आप आसानी से हर चीज़ की गणना कर सकते हैं: 31/10+5/10=35/10। प्राप्त परिणाम एक अनुचित संकुचन योग्य अंश है, हम इसे 5: 7/2=3 और 1/2, या दशमलव - 3.5 तक कम करके सामान्य रूप में लाते हैं।
2 दशमलव जोड़ते समय यह महत्वपूर्ण है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या समान हो। यदि यह मामला नहीं है, तो आपको बस शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है, क्योंकि दशमलव अंश में यह दर्द रहित तरीके से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3.5+3.005. इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले नंबर में 2 शून्य जोड़ने होंगे और फिर बारी-बारी से जोड़ना होगा: 3.500 + 3.005 = 3.505।

भिन्नों का घटाव

भिन्नों को घटाते समय, जोड़ने के समान ही करना उचित है: एक सामान्य हर को कम करें, एक अंश को दूसरे से घटाएँ, यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को मिश्रित भिन्न में बदलें।
उदाहरण के लिए: 16/20-5/10. उभयनिष्ठ हर 20 होगा। आपको इस हर में दूसरा अंश लाना होगा, इसके दोनों भागों को 2 से गुणा करना होगा, आपको 10/20 मिलेगा। अब आप उदाहरण हल कर सकते हैं: 16/20-10/20= 6/20। हालाँकि, यह परिणाम कम करने योग्य भिन्नों पर लागू होता है, इसलिए दोनों भागों को 2 से विभाजित करना उचित है और परिणाम 3/10 है।

भिन्नों का गुणन

भिन्नों का विभाजन और गुणन जोड़ और घटाव की तुलना में बहुत सरल कार्य हैं। तथ्य यह है कि इन कार्यों को करते समय किसी सामान्य भाजक की तलाश करने की आवश्यकता नहीं होती है।
भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको बस बारी-बारी से दोनों अंशों को और फिर दोनों हरों को एक साथ गुणा करना होगा। यदि भिन्न का मान कम हो तो परिणामी परिणाम को कम करें।

उदाहरण के लिए: 4/9x5/8. वैकल्पिक गुणन के बाद, परिणाम 4x5/9x8=20/72 है। ऐसे भिन्न को 4 से कम किया जा सकता है, इसलिए उदाहरण में अंतिम उत्तर 5/18 है।

भिन्नों को कैसे विभाजित करें

भिन्नों को विभाजित करना भी एक सरल क्रिया है, वास्तव में यह अभी भी उन्हें गुणा करने तक ही सीमित है। एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको दूसरे को पलटना होगा और पहले से गुणा करना होगा।

उदाहरण के लिए, भिन्नों का विभाजन 5/19 और 5/7। उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के हर और अंश को बदलना होगा और गुणा करना होगा: 5/19x7/5=35/95। परिणाम को 5 से कम किया जा सकता है - यह 7/19 निकलता है।
यदि आपको किसी भिन्न को अभाज्य संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो तकनीक थोड़ी अलग है। प्रारंभ में, इस संख्या को एक अनुचित भिन्न के रूप में लिखना और फिर उसी योजना के अनुसार विभाजित करना उचित है। उदाहरण के लिए, 2/13:5 को 2/13:5/1 के रूप में लिखा जाना चाहिए। अब आपको 5/1 पलटना होगा और परिणामी भिन्नों को गुणा करना होगा: 2/13x1/5= 2/65।
कभी-कभी आपको मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। आपको उनसे निपटने की ज़रूरत है, जैसे कि पूर्णांकों के साथ: उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलें, भाजक को पलटें और हर चीज़ को गुणा करें। उदाहरण के लिए, 8 ½: 3. हर चीज़ को अनुचित भिन्नों में बदलना: 17/2: 3/1। इसके बाद 3/1 फ्लिप और गुणन होता है: 17/2x1/3= 17/6। अब आपको अनुचित भिन्न को सही - 2 पूर्णांक और 5/6 में बदलना चाहिए।
इसलिए, यह पता लगाने के बाद कि भिन्न क्या हैं और आप उनके साथ विभिन्न अंकगणितीय ऑपरेशन कैसे कर सकते हैं, आपको इसके बारे में न भूलने की कोशिश करने की आवश्यकता है। आख़िरकार, लोग हमेशा किसी चीज़ को जोड़ने के बजाय भागों में विभाजित करने के लिए अधिक इच्छुक होते हैं, इसलिए आपको इसे सही तरीके से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

सामान्य अंश

क्वार्टरों

1. सुव्यवस्था. एऔर बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >'या' = '। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर इस प्रकार तैयार किया गया है: दो गैर-नकारात्मक संख्याएं और दो पूर्णांक और के समान संबंध से संबंधित हैं; दो गैर-सकारात्मक संख्याएँ एऔर बीदो गैर-नकारात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एगैर-नकारात्मक, और बी- फिर नकारात्मक ए > बी. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png' border='0'>

   

   भिन्नों का योग

2. अतिरिक्त ऑपरेशन.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया जोड़नंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम का निम्नलिखित रूप है: .
3. गुणन संक्रिया.किसी भी तर्कसंगत संख्या के लिए एऔर बीवहाँ एक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ तर्कसंगत संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एऔर बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया भी कहलाती है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की परिवर्तनशीलता.परिमेय संख्याओं के किसी त्रिक के लिए ए , बीऔर सीअगर एकम बीऔर बीकम सी, वह एकम सी, और अगर एके बराबर होती है बीऔर बीके बराबर होती है सी, वह एके बराबर होती है सी. 6435">जोड़ की क्रमविनिमेयता। तर्कसंगत पदों के स्थान बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की संबद्धता.तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 0 है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 आता है।
8. गुणन की क्रमविनिमेयता.तर्कसंगत कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता.जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति.एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिकों की उपस्थिति.किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन की वितरणशीलता।गुणन संक्रिया वितरण नियम के माध्यम से जोड़ संक्रिया के अनुरूप है:
13. जोड़ की संक्रिया के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही तर्कसंगत संख्या को तर्कसंगत असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में जोड़ा जा सकता है। अधिकतम-चौड़ाई: 98% ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png' border='0'>
14. आर्किमिडीज़ का अभिगृहीत.परिमेय संख्या जो भी हो ए, आप इतनी अधिक इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा ए. शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src='/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png' border='0'>

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, आम तौर पर बोलते हुए, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु. ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं. उनमें से केवल कुछ को उद्धृत करना यहां समझ में आता है।

शैली='अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;' src='/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png' border='0'>

गणनीयता निर्धारित करें

तर्कसंगत संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके सेट की प्रमुखता ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, एक एल्गोरिदम देना पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, यानी, तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इनमें से सबसे सरल एल्गोरिदम इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की जाती है मैं-प्रत्येक में पंक्ति जेजिसका स्तम्भ एक अंश है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से क्रमांकित किया गया है। तालिका कक्षों को दर्शाया गया है , जहां मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर.

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिदम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मिलान से अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

ऐसे बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। अर्थात्, भिन्न 1/1 को संख्या 1 दी गई है, भिन्न 2/1 को संख्या 2 दी गई है, आदि। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल अप्रासंगिक भिन्न को क्रमांकित किया जाता है। अपरिवर्तनीयता का एक औपचारिक संकेत भिन्न के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक में से एक की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करके, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ यह है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। सकारात्मक और नकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट के बीच एक आक्षेप स्थापित करना आसान है, बस प्रत्येक परिमेय संख्या को इसके विपरीत निर्दिष्ट करके। वह। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चय के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक परिमित समुच्चय के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ हैरानी का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में किसी को यह आभास होता है कि यह प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी तर्कसंगत संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तर्कसंगत संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

प्रपत्र 1 की तर्कसंगत संख्या / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्राएँ मापी जा सकती हैं। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा पैदा करता है कि तर्कसंगत संख्याएँ सामान्य रूप से किसी भी ज्यामितीय दूरी को माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। वह। एक इकाई पैर वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई बराबर होती है, यानी, एक संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम मान लें कि संख्या किसी परिमेय संख्या द्वारा निरूपित होती है, तो ऐसा एक पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, जो, इसके अलावा, अंश अप्रासंगिक है, अर्थात, संख्याएँ एमऔर एनसहअभाज्य हैं.

तो अगर , अर्थात। एम 2 = 2एन 2. इसलिए, संख्या एम 2 सम है, लेकिन दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम है, जिसका अर्थ है कि संख्या ही एमभी स्पष्ट. तो एक प्राकृतिक संख्या है क, जैसे कि संख्या एमके रूप में दर्शाया जा सकता है एम = 2क. संख्या वर्ग एमकिस अर्थ में एम 2 = 4क 2 लेकिन दूसरी ओर एम 2 = 2एन 2 का मतलब 4 है क 2 = 2एन 2, या एन 2 = 2क 2. जैसा कि पहले संख्या के लिए दिखाया गया है एम, जिसका अर्थ है कि संख्या एन- बिल्कुल वैसा ही एम. लेकिन तब वे सहअभाज्य नहीं हैं, क्योंकि दोनों आधे-आधे विभाज्य हैं। परिणामी विरोधाभास साबित करता है कि यह एक परिमेय संख्या नहीं है।

पहले से ही प्राथमिक विद्यालय में, छात्रों को भिन्नों का सामना करना पड़ता है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। इन नंबरों के साथ कार्यों को भूलना असंभव है। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सारी जानकारी जानना आवश्यक है। ये अवधारणाएँ सरल हैं, मुख्य बात यह है कि हर चीज़ को क्रम से समझना है।

भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?

हमारे चारों ओर की दुनिया संपूर्ण वस्तुओं से बनी है। इसलिए, शेयरों की कोई आवश्यकता नहीं है. लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।

उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं। उस स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों से बनी है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। यह अच्छे से तीन हिस्सों में बंटा होगा. लेकिन पाँचों चॉकलेट के स्लाइस की पूरी संख्या नहीं दे पाएंगे।

वैसे, ये टुकड़े पहले से ही भिन्न हैं। और उनके आगे के विभाजन से अधिक जटिल संख्याएँ सामने आती हैं।

"अंश" क्या है?

यह एक संख्या है जिसमें एक के भाग होते हैं। बाह्य रूप से, यह क्षैतिज या स्लैश द्वारा अलग की गई दो संख्याओं जैसा दिखता है। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। सबसे ऊपर (बायीं ओर) लिखी संख्या को अंश कहा जाता है। नीचे (दाएं) वाला हर है।

वास्तव में, भिन्नात्मक पट्टी एक विभाजन चिन्ह बन जाती है। अर्थात् अंश को भाज्य और हर को भाजक कहा जा सकता है।

भिन्न क्या हैं?

गणित में, ये केवल दो प्रकार के होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चे प्रारंभिक कक्षाओं में सबसे पहले आने वाले अंशों से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। दूसरा 5वीं कक्षा में पढ़ता है। तभी ये नाम सामने आते हैं.

सामान्य भिन्न वे सभी भिन्न हैं जिन्हें एक बार द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 4/7. दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में एक स्थितिगत अंकन होता है और पूर्णांक से अल्पविराम से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4.7. छात्रों को यह स्पष्ट होना चाहिए कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग-अलग संख्याएँ हैं।

प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा विपरीत रूप में भी सत्य होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।

इस प्रकार के भिन्नों की कौन सी उप-प्रजातियाँ होती हैं?

कालानुक्रमिक क्रम में शुरू करना बेहतर है, क्योंकि उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य भिन्न पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।

सही। इसका अंश सदैव हर से छोटा होता है।

गलत। इसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है।

कम करने योग्य / अपरिवर्तनीय। यह सही या ग़लत दोनों हो सकता है. एक और बात महत्वपूर्ण है कि क्या अंश और हर में सामान्य गुणनखंड हैं। यदि हैं तो उन्हें भिन्न के दोनों भागों को बाँटना अर्थात् घटाना होता है।

मिला हुआ। एक पूर्णांक को उसके सामान्य सही (गलत) भिन्नात्मक भाग को सौंपा गया है। और यह हमेशा बायीं ओर खड़ा होता है।

समग्र। यह दो अंशों को एक दूसरे में विभाजित करने से बनता है। अर्थात् इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक विशेषताएँ होती हैं।

दशमलव में केवल दो उप-प्रजातियाँ होती हैं:

अंतिम, अर्थात, जिसमें भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);

अनंत - एक संख्या जिसके अंक दशमलव बिंदु के बाद समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन रूप से लिखा जा सकता है)।

दशमलव को साधारण में कैसे बदलें?

यदि यह एक सीमित संख्या है, तो नियम के आधार पर एक संघ लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यानी, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की ज़रूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।

आवश्यक हर के बारे में संकेत के रूप में, याद रखें कि यह हमेशा एक और कुछ शून्य होता है। उत्तरार्द्ध को प्रश्न में संख्या के आंशिक भाग में अंकों के बराबर लिखा जाना चाहिए।

दशमलव भिन्नों को साधारण अंशों में कैसे बदलें यदि उनका पूरा भाग गायब है, यानी शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05. निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन इसका संकेत नहीं दिया गया है. यह केवल भिन्नात्मक भागों को लिखना बाकी है। पहली संख्या के लिए, हर 10 होगा, दूसरे के लिए - 100। यानी, संकेतित उदाहरणों में उत्तर के रूप में संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, बाद वाले को 5 से कम करना संभव हो जाता है। इसलिए, इसका परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।

दशमलव से साधारण भिन्न कैसे बनाएं यदि उसका पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न हो? उदाहरण के लिए, 5.23 या 13.00108. दोनों उदाहरण पूर्णांक भाग को पढ़ते हैं और उसका मान लिखते हैं। पहले मामले में, यह 5 है, दूसरे में, 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। उनके साथ भी यही ऑपरेशन करना जरूरी है। पहले नंबर में 23/100 है, दूसरे में 108/100000 है। दूसरे मान को फिर से कम करने की जरूरत है। उत्तर मिश्रित भिन्न है: 5 23/100 और 13 27/25000।

अनंत दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश को हमेशा अंतिम या आवधिक में परिवर्तित किया जाता है।

ऐसे अंश के साथ केवल एक ही काम करने की अनुमति है, वह है इसे गोल करना। लेकिन तब दशमलव लगभग उस अनंत के बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन विपरीत प्रक्रिया: दशमलव में कनवर्ट करना - कभी भी प्रारंभिक मान नहीं देगा। अर्थात्, अनंत गैर-आवधिक भिन्नों का सामान्य भिन्नों में अनुवाद नहीं किया जाता है। इसे याद रखना चाहिए.

एक अनंत आवर्त भिन्न को साधारण के रूप में कैसे लिखें?

इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या अधिक अंक आते हैं, जिन्हें दोहराया जाता है। इन्हें पीरियड्स कहा जाता है. उदाहरण के लिए, 0.3(3). यहाँ अवधि में "3"। उन्हें तर्कसंगत के रूप में वर्गीकृत किया गया है, क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित किया जा सकता है।

जिन लोगों ने आवधिक भिन्नों का सामना किया है वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि तुरंत अल्पविराम से शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग किसी भी संख्या से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।

वह नियम जिसके द्वारा आपको एक अनंत दशमलव को साधारण भिन्न के रूप में लिखना है, इन दोनों प्रकार की संख्याओं के लिए अलग-अलग होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। अंतिम वाले की तरह, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और संख्या 9 हर होगी, अवधि में जितने अंक हों उतनी बार दोहराते हुए।

उदाहरण के लिए, 0,(5). संख्या में पूर्णांक भाग नहीं है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग पर आगे बढ़ने की आवश्यकता है। अंश में 5 लिखें और हर में 9 लिखें। यानी उत्तर भिन्न 5/9 होगा।

एक सामान्य दशमलव भिन्न जो एक मिश्रित भिन्न है, को कैसे लिखा जाए इस पर एक नियम।

अवधि की लंबाई देखें. इतना 9 का हर होगा.

हर को लिखें: पहले नौ, फिर शून्य।

अंश ज्ञात करने के लिए आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक अवधि सहित कम कर दिए जाएंगे। घटावयोग्य - यह बिना किसी अवधि के होता है।

उदाहरण के लिए, 0.5(8) - आवधिक दशमलव भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें। आवर्त से पहले का भिन्नात्मक भाग एक अंक का होता है। तो शून्य एक होगा. आवर्त में भी एक ही अंक है - 8. अर्थात् नौ ही एक है। यानी आपको हर में 90 लिखना होगा.

58 से अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 5 घटाना होगा। परिणाम 53 होगा। उदाहरण के लिए, आपको उत्तर के रूप में 53/90 लिखना होगा।

सामान्य भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है?

सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100, इत्यादि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगा दिया जाता है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100 आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करना पर्याप्त है। केवल हर को ही नहीं, बल्कि अंश को भी एक ही संख्या से गुणा करना आवश्यक है।

अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम काम आएगा: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।

सामान्य भिन्नों के साथ संक्रियाएँ

जोड़ना और घटाना

छात्र उन्हें दूसरों की तुलना में पहले जान लेते हैं। और सबसे पहले भिन्नों के हर समान होते हैं, और फिर अलग-अलग होते हैं। ऐसी योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।

हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

सभी साधारण भिन्नों के अतिरिक्त गुणनखंड लिखिए।

अंशों और हरों को उनके लिए परिभाषित गुणनखंडों से गुणा करें।

भिन्नों के अंशों को जोड़ें (घटाएँ) और सामान्य हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

यदि मीनुएंड का अंश उपट्रेंड से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि क्या हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित भिन्न है।

पहले मामले में, पूर्णांक भाग को एक लेने की आवश्यकता है। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करो.

दूसरे में - छोटी संख्या से बड़ी संख्या में घटाने का नियम लागू करना आवश्यक है। अर्थात्, सबट्रेंड के मापांक से मीनुएंड के मापांक को घटाएं, और प्रतिक्रिया में "-" चिह्न लगाएं।

जोड़ (घटाने) के परिणाम को ध्यान से देखिये। यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो यह पूरे भाग का चयन करने के लिए माना जाता है। अर्थात् अंश को हर से भाग दें।

गुणन और भाग

उनके कार्यान्वयन के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करना आसान हो जाता है. लेकिन फिर भी उन्हें नियमों का पालन करना होगा.

साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, अंश और हर में संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो उन्हें कम किया जा सकता है।

अंशों को गुणा करें.

हरों को गुणा करें.

यदि आपको एक कम करने योग्य अंश मिलता है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।

विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणन से और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम से बदलना होगा (अंश और हर को बदलें)।

फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (चरण 1 से शुरू करके)।

उन कार्यों में जहां आपको पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, बाद वाले को अनुचित भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। यानी, 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ें।



दशमलव के साथ संचालन

जोड़ना और घटाना

बेशक, आप दशमलव को हमेशा सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उनके जोड़-घटाव के नियम बिल्कुल एक जैसे होंगे.

संख्या के भिन्नात्मक भाग में, अर्थात् दशमलव बिंदु के बाद, अंकों की संख्या को बराबर करें। इसमें शून्य की लुप्त संख्या निर्दिष्ट करें।

भिन्नों को इस प्रकार लिखें कि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे रहे।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाएँ)।

अल्पविराम हटाएँ.

गुणन और भाग

यह महत्वपूर्ण है कि आपको यहां शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। जैसा कि उदाहरण में दिया गया है, भिन्नों को छोड़ दिया जाना चाहिए। और फिर योजना के अनुसार चलें.

गुणन के लिए आपको अल्पविरामों पर ध्यान न देते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखना होगा।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह गुणा करें.

उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाएँ छोर से उतने अंक गिनें जितने दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।

विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को परिवर्तित करना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाना होगा। अर्थात्, भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100 आदि से गुणा करें।

लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।

दशमलव को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें।

उत्तर में उस समय अल्पविराम लगाएं जब पूरे भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।



यदि एक ही उदाहरण में दोनों प्रकार की भिन्नें हों तो क्या होगा?

हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण मिलते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं के दो संभावित समाधान हैं। आपको निष्पक्ष रूप से संख्याओं को तौलना होगा और सर्वोत्तम को चुनना होगा।

पहला तरीका: साधारण दशमलवों को निरूपित करें

यह उपयुक्त है यदि, विभाजित करने या परिवर्तित करने पर, अंतिम अंश प्राप्त होते हैं। यदि कम से कम एक संख्या आवधिक भाग देती है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, भले ही आपको साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद न हो, फिर भी आपको उन्हें गिनना होगा।

दूसरा तरीका: दशमलव भिन्नों को साधारण के रूप में लिखें

यदि दशमलव बिंदु के बाद वाले भाग में 1-2 अंक हों तो यह तकनीक सुविधाजनक है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो एक बहुत बड़ा साधारण अंश प्राप्त किया जा सकता है और दशमलव प्रविष्टियाँ आपको कार्य की तेजी से और आसानी से गणना करने की अनुमति देंगी। इसलिए, कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करना और सबसे सरल समाधान विधि चुनना हमेशा आवश्यक होता है।

एक दशमलव भिन्न एक साधारण भिन्न से इस मायने में भिन्न होता है कि उसका हर एक बिट इकाई होता है।

उदाहरण के लिए:

दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों से अलग करके एक अलग रूप दिया गया है, जिससे इन भिन्नों की तुलना, जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के अपने स्वयं के नियम बन गए हैं। सिद्धांत रूप में, आप साधारण भिन्नों के नियमों के अनुसार दशमलव भिन्नों के साथ काम कर सकते हैं। दशमलव भिन्नों को परिवर्तित करने के अपने नियम गणना को सरल बनाते हैं, और साधारण भिन्नों को दशमलवों में बदलने के नियम, और इसके विपरीत, इस प्रकार के भिन्नों के बीच एक कड़ी के रूप में कार्य करते हैं।

दशमलव अंशों को लिखने और पढ़ने से आप प्राकृतिक संख्याओं के संचालन के नियमों के समान नियमों के अनुसार उन्हें लिख सकते हैं, तुलना कर सकते हैं और उन पर काम कर सकते हैं।

पहली बार, दशमलव भिन्नों की प्रणाली और उन पर संक्रियाओं का वर्णन 15वीं शताब्दी में किया गया था। समरकंद के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जमशेद इब्न-मसुदल-काशी की पुस्तक "द की टू द आर्ट ऑफ अकाउंटिंग" में।

दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है, कुछ देशों (यूएसए) में वे एक अवधि डालते हैं। यदि दशमलव अंश में कोई पूर्णांक भाग न हो तो दशमलव बिंदु से पहले संख्या 0 लगाएं।

दाहिनी ओर दशमलव भिन्न के भिन्नात्मक भाग में कितनी भी संख्या में शून्य जोड़े जा सकते हैं, इससे भिन्न का मान नहीं बदलता है। दशमलव अंश का आंशिक भाग अंतिम महत्वपूर्ण अंक द्वारा पढ़ा जाता है।

उदाहरण के लिए:
0.3 - तीन दसवां हिस्सा
0.75 - पचहत्तर सौवाँ
0.000005 - पाँच मिलियनवाँ।

दशमलव के पूर्णांक भाग को पढ़ना प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के समान है।

उदाहरण के लिए:
27.5 - सत्ताईस...;
1.57 - एक...

दशमलव अंश के पूर्णांक भाग के बाद "संपूर्ण" शब्द का उच्चारण किया जाता है।

उदाहरण के लिए:
10.7 - दस दशमलव सात

0.67 - शून्य दशमलव सड़सठ सौवां।

दशमलव भिन्नात्मक अंक हैं। भिन्नात्मक भाग को अंकों द्वारा नहीं (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) पढ़ा जाता है, बल्कि समग्र रूप से पढ़ा जाता है, इसलिए दशमलव अंश का भिन्नात्मक भाग दाईं ओर के अंतिम महत्वपूर्ण अंक द्वारा निर्धारित किया जाता है। दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग की बिट प्रणाली प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में कुछ भिन्न होती है।

• व्यस्त के बाद पहला अंक - दसवां अंक
• दशमलव बिंदु के बाद दूसरा स्थान - सौवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद तीसरा स्थान - हजारवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद चौथा स्थान - दस हजारवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद पाँचवाँ स्थान - सौ-हजारवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद छठा स्थान - दसवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद 7वाँ स्थान - दस लाखवाँ स्थान
• दशमलव बिंदु के बाद आठवां स्थान सौ करोड़वाँ स्थान है

गणना में पहले तीन अंकों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। दशमलव अंशों के भिन्नात्मक भाग की बड़ी बिट गहराई का उपयोग केवल ज्ञान की विशिष्ट शाखाओं में किया जाता है, जहाँ अनंत मानों की गणना की जाती है।

दशमलव से मिश्रित भिन्न रूपांतरणइसमें निम्नलिखित शामिल हैं: दशमलव बिंदु से पहले की संख्या को मिश्रित भिन्न के पूर्णांक भाग के रूप में लिखें; दशमलव बिंदु के बाद की संख्या उसके भिन्नात्मक भाग का अंश है, और भिन्नात्मक भाग के हर में, दशमलव बिंदु के बाद जितने अंक हैं उतने शून्य के साथ एक लिखें।