सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए एफ़िन परिवर्तन। कोऑर्डिनेट स्पेस ट्रांसफॉर्मेशन एफाइन कोऑर्डिनेट ट्रांसफॉर्मेशन

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि परिवर्तन क्या हैं? मान लीजिए कि हमारे पास एक मॉडल है (मान लीजिए कि यह सादगी के लिए एक त्रिकोण है)। और तीन समन्वय रिक्त स्थान: वस्तु (जिसमें यह त्रिभुज वर्णित है), विश्व और कैमरा स्थान। तो, एक परिवर्तन एक अन्य समन्वय प्रणाली (पहले दुनिया एक, और फिर कैमरा एक) के निर्देशांक का उपयोग करके एक समन्वय प्रणाली (वस्तु) में स्थित किसी वस्तु के निर्देशांक की अभिव्यक्ति है।

जैसा कि मैंने पहले लिखा था, विभिन्न समन्वय स्थानों का उपयोग करने से आभासी दुनिया बनाना आसान हो जाता है। ऑब्जेक्ट ऑब्जेक्ट स्पेस में बनाए जाते हैं, और प्रत्येक ऑब्जेक्ट का अपना समन्वय स्थान होता है। विश्व अंतरिक्ष आभासी दुनिया की सभी वस्तुओं को जोड़ता है और आपको बहुत कठिन चीजें करने की अनुमति देता है - बहुत सरल (उदाहरण के लिए, चलती वस्तुएं)। दृश्य बनने और सभी वस्तुओं को स्थानांतरित करने के बाद, विश्व निर्देशांक कैमरे के समन्वय स्थान में बदल जाते हैं। हम केवल एक कैमरे का उपयोग करेंगे, लेकिन वास्तविक स्थितियों में, आप कई कैमरे बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, कई कैमरों का उपयोग सरल गेम अर्थ 2150: एस्केप में किया गया था सेनीला ग्रह।

तो मैं किस बारे में बात कर रहा हूं: एकाधिक समन्वय रिक्त स्थान का उपयोग करने के लिए परिवर्तनों की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, आइए वैक्टर के बारे में कुछ बातें याद रखें। निम्नलिखित आंकड़ा इसमें हमारी मदद करेगा:

हम यहां क्या देखते हैं: विश्व x, y, z अक्षों द्वारा गठित अंतरिक्ष का समन्वय करता है। यूनिट वैक्टर मैं, जे, कविश्व समन्वय अंतरिक्ष के orts या आधार सदिश कहलाते हैं। इन वैक्टरों के योग का उपयोग करके, आप विश्व समन्वय स्थान में कोई भी वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं।

वीएक वेक्टर है जो दुनिया की उत्पत्ति और वस्तु की उत्पत्ति को जोड़ता है। वेक्टर v की लंबाई विश्व मूल और वस्तु मूल के बीच की दूरी के बराबर है। वेक्टर फॉर्म पर विचार करें वी=(5,2,5):

वी= एक्स * मैं+ वाई * जे+ जेड * क = 5*मैं + 2*जे + 5*क

जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है, आधार वैक्टर की मदद से किसी दिए गए स्थान के किसी भी बिंदु (वेक्टर) का प्रतिनिधित्व करना संभव है, जो इस समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

वैक्टर पी,क्यू,आर- ऑब्जेक्ट स्पेस के आधार वैक्टर। ध्यान दें कि मैं,जे,कजरूरी नहीं के बराबर होगा पी,क्यू,आर.

इस दृष्टांत में, मैंने कई विवरणों को छोड़ दिया है: ऑब्जेक्ट कोऑर्डिनेट स्पेस में, तीन बिंदुओं को परिभाषित किया गया है जो एक त्रिकोण बनाते हैं। इसके अलावा, मैंने कैमरे को इंगित नहीं किया है, जो त्रिकोण की ओर निर्देशित है।

मैट्रिसेस का उपयोग करके रैखिक समन्वय परिवर्तन

सबसे पहले, आइए इकाई वैक्टर को देखें मैं,जे,क, जो विश्व अंतरिक्ष के निर्देशांक अक्षों के साथ दिशा में मेल खाते हैं और विश्व अंतरिक्ष के orts या आधार सदिश कहलाते हैं।

आइए इन सदिशों को मैट्रिक्स के रूप में निर्देशांक रूप में लिखें:

मैं= [i x i y i z] = [१ ० ०] जे= [जे एक्स जे वाई जे जेड] = [0 1 0] क= [के एक्स के वाई के जेड] = [0 0 0]

यहाँ सदिशों को 1x3 आव्यूह (पंक्ति आव्यूह) द्वारा दर्शाया जाता है।

हम इन आधार वैक्टर को एक मैट्रिक्स का उपयोग करके लिख सकते हैं:

और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि हम इन वैक्टरों को इस तरह लिख सकते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें 3x3 या 4x4 पहचान मैट्रिक्स मिला है।

ऐसा लगता है, इसमें गलत क्या है? जरा सोचिए, एक मैट्रिक्स में अंतरिक्ष के कुछ बेवकूफ आधार वैक्टर लिखने का अवसर है। लेकिन नहीं, आप "सोचेंगे" नहीं!!! यह वह जगह है जहाँ 3D प्रोग्रामिंग के सबसे गहरे रहस्यों में से एक है।

जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है, आभासी दुनिया में मौजूद किसी भी बिंदु को वेक्टर रूप में लिखा जा सकता है:

वी= एक्स * मैं+ वाई * जे+ जेड * क

कहा पे वी- अंतरिक्ष में बिंदु, x, y, z - बिंदु निर्देशांक वी, ए मैं,जे,क- अंतरिक्ष के आधार वैक्टर। ध्यान दें कि हम यहां एक बिंदु के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन हम एक वेक्टर पर विचार कर रहे हैं। मुझे आशा है कि आपको याद होगा कि एक सदिश और एक बिंदु अनिवार्य रूप से एक ही चीज़ हैं।

उपरोक्त सूत्र को सदिश का सदिश रूप कहते हैं। एक और नाम है - वैक्टर का एक रैखिक संयोजन। यह सच है, वैसे।

आइए अब वेक्टर पर एक और नज़र डालते हैं वी... आइए इसे पंक्ति मैट्रिक्स में लिखें: वी = [ 5 2 5 ]

ध्यान दें कि वेक्टर की लंबाई वीविश्व समन्वय अंतरिक्ष की उत्पत्ति से वस्तु समन्वय स्थान की उत्पत्ति तक की दूरी है।

आइए इस वेक्टर को एक मैट्रिक्स से गुणा करने का प्रयास करें जिसमें विश्व अंतरिक्ष के आधार वैक्टर लिखे गए हैं (मुझे आशा है कि आपको मैट्रिक्स गुणन सूत्र याद होगा):

नतीजतन, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

वीएम = [(xi x + yj x + zk x) (xi y + yj y + zk y) (xi z + yj z + zk z)]

हमें एक वेक्टर मिला। वे। एक मैट्रिक्स द्वारा एक वेक्टर को गुणा करने का परिणाम एक वेक्टर है। इस मामले में, वेक्टर नहीं बदला है। लेकिन अगर मैट्रिक्स के तत्व एक (मुख्य विकर्ण पर) और शून्य (अन्य सभी तत्व) नहीं हैं, लेकिन कुछ अन्य संख्याएं हैं, तो वेक्टर बदल जाएगा। इसलिए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स एम एक समन्वय अंतरिक्ष परिवर्तन करता है। सामान्य सूत्र पर विचार करें:

ए, बी - वैक्टर, एम - समन्वय रिक्त स्थान के परिवर्तन मैट्रिक्स। सूत्र इस तरह पढ़ा जा सकता है: "मैट्रिक्स एम ट्रांसफॉर्म पॉइंट ए टू पॉइंट बी"।

आइए स्पष्टता के लिए एक उदाहरण देखें। हमें निर्देशांक को ऑब्जेक्ट स्पेस (p, q) से वर्ल्ड (i, j) में बदलने की आवश्यकता है:

मैं,जे- विश्व अंतरिक्ष के बुनियादी वैक्टर, पी,क्यू- ऑब्जेक्ट स्पेस के आधार वैक्टर। चित्र में आप देख सकते हैं कि ऑब्जेक्ट समन्वय स्थान z-अक्ष के चारों ओर -45 डिग्री घुमाया गया है (यह चित्र में दिखाई नहीं दे रहा है)। इसके अलावा, वैक्टर क्यू,पी 1.5 गुना अधिक वैक्टर मैं,जे, जिसका अर्थ है कि वस्तु स्थान में परिभाषित वस्तुएं विश्व अंतरिक्ष में डेढ़ गुना छोटी दिखाई देंगी।

यह देखने के लिए कि ऑब्जेक्ट स्पेस मॉडल परिवर्तन के बाद कैसा दिखेगा, आप वैक्टर के लिए एक फ्रेम जोड़ सकते हैं मैं,जे:

आप के लिए एक ही फ्रेम बना सकते हैं पी,क्यू, लेकिन मैंने ड्राइंग को अव्यवस्थित नहीं किया।

अब, मान लें कि हमारे पास ऑब्जेक्ट स्पेस (चित्र ए) में खींचा गया त्रिभुज है। विश्व अंतरिक्ष में, इस त्रिभुज को 45 डिग्री घुमाया जाएगा और एक तिहाई घटाया जाएगा (चित्र B):

अब आइए मोज़ेक के सभी तत्वों को इकट्ठा करें: जैसा कि हम जानते हैं, परिवर्तन एक मैट्रिक्स का उपयोग करके किया जा सकता है। आधार सदिश मैट्रिक्स पंक्तियाँ हैं। विश्व के आधार सदिशों के निर्देशांक वस्तु स्थान में स्थान का समन्वय इस प्रकार हैं:

मैं = [ 0.473 0.473 ] जे = [ -0.473 0.473 ]

हम निर्देशांक कैसे जानते थे? सबसे पहले, हम जानते हैं कि निर्देशांक रिक्त स्थान एक दूसरे के सापेक्ष 45 डिग्री घुमाए जाते हैं। दूसरा, ऑब्जेक्ट स्पेस के बेस वैक्टर वर्ल्ड स्पेस के बेस वैक्टर से 1.5 गुना ज्यादा लंबे होते हैं। यह जानकर, हमने आसानी से वैक्टर के निर्देशांक की गणना की मैं,जे.

नतीजतन, हमें निम्नलिखित परिवर्तन मैट्रिक्स मिलता है (इस मामले में, रोटेशन या रोटेशन):

या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में:

सभी आंकड़े अनुमानित हैं।

यह वस्तु स्थान से जड़त्वीय स्थान में निर्देशांक के परिवर्तन का एक मैट्रिक्स है (मैं आपको याद दिलाता हूं कि जड़त्वीय स्थान के आधार वैक्टर विश्व अंतरिक्ष के आधार वैक्टर के साथ मेल खाते हैं)। किसी त्रिभुज को वस्तु स्थान से जड़त्वीय स्थान में बदलने के लिए, आपको त्रिभुज के सभी बिंदुओं (वैक्टर) को रूपांतरण मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

पिछले उदाहरण में, हमने दो परिवर्तनों का सामना किया: रोटेशन और स्केलिंग। ये दोनों परिवर्तन रैखिक हैं।

अब जब हमने रैखिक परिवर्तनों के उदाहरण देख लिए हैं, तो आप परिभाषा से परिचित हो सकते हैं:

रैखिक परिवर्तन समन्वय परिवर्तन हैं जो रिक्त स्थान को विकृत नहीं करते हैं। वे। सभी समानांतर रेखाएं समानांतर रहती हैं (हालांकि, एक अपवाद है)। या बिल्कुल सरल: रैखिक परिवर्तनों के साथ, एक त्रिभुज कभी भी एक वृत्त या वर्ग में नहीं बदलेगा, बल्कि हमेशा एक त्रिभुज रहेगा।

अब जब हम मोटे तौर पर समझ गए हैं कि रैखिक परिवर्तन क्या हैं, तो विशिष्ट सूत्रों पर विचार करें:

स्केल

के 1, के 2, के 3 - स्केलिंग कारक। यदि k 1 है, तो वस्तुओं में वृद्धि होती है।

रोटेशन या रोटेशन

एक्स-अक्ष के चारों ओर घूर्णन:

y-अक्ष के चारों ओर घूमना:

Z-अक्ष के चारों ओर घूमना:

वैसे, हमने ऊपर इस मैट्रिक्स (z-अक्ष के चारों ओर घूर्णन) का उपयोग किया था।

रोटेशन न केवल समन्वय स्थान बनाने वाली कुल्हाड़ियों के आसपास हो सकता है, बल्कि मनमानी सीधी रेखाओं के आसपास भी हो सकता है। एक मनमानी सीधी रेखा को घुमाने का सूत्र बल्कि जटिल है, हम अभी इस पर विचार करने के लिए तैयार नहीं हैं।

ऊपर से याद रखने वाली सबसे महत्वपूर्ण बात निम्नलिखित है: परिवर्तन मैट्रिक्स की पंक्तियों में नए समन्वय स्थान के आधार वैक्टर होते हैं, जो पुराने समन्वय स्थान के निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। ...

यदि आप इस सरल बात को समझते हैं (कि मैट्रिक्स में नए स्थान के आधार वैक्टर लिखे गए हैं), तो परिवर्तन मैट्रिक्स को देखते हुए, आप आसानी से नए समन्वय स्थान को देख सकते हैं।

और आखिर का:
रैखिक परिवर्तन वस्तुओं को स्थानांतरित नहीं कर सकते। वे। वस्तुओं को बड़ा/घटाया जा सकता है, उन्हें घुमाया जा सकता है, लेकिन वे स्थिर रहती हैं।

एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन

एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन कैरी के साथ लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन हैं। एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन की मदद से आप वस्तुओं को स्थानांतरित कर सकते हैं।

सूत्र बहुत सरल है:

ए = बीएम + वी;

जहां बी मूल है, एम रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स है, ए रूपांतरित बिंदु है, और वी दो रिक्त स्थान को जोड़ने वाला वेक्टर है। या दूसरे शब्दों में, यह एक सदिश है जिसकी लंबाई दो निर्देशांक रिक्तियों के बीच की दूरी के बराबर होती है।

पाठ की शुरुआत में चित्र में, यह एफ़िन परिवर्तन है जिसकी आवश्यकता है: पहले, वस्तु स्थान से जड़त्वीय स्थान में एक रैखिक परिवर्तन, और फिर वेक्टर v का उपयोग करके ऑब्जेक्ट स्पेस के सभी बिंदुओं को विश्व अंतरिक्ष में स्थानांतरित करना।

3D प्रोग्रामिंग में गणना को सरल बनाने के लिए, चार-आयामी वैक्टर, 4x4 मैट्रिक्स और तथाकथित सजातीय निर्देशांक का उपयोग किया जाता है। चौथा आयाम कोई भूमिका नहीं निभाता है, इसे केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए पेश किया जाता है।

एक 4D वेक्टर में, आपने अनुमान लगाया, चार घटक हैं: x, y, z, और w। सदिश के चौथे घटक को समांगी निर्देशांक कहते हैं।

एक सजातीय निर्देशांक को ज्यामितीय रूप से निरूपित करना बहुत कठिन है। इसलिए, हम निर्देशांक (x, y, w) के साथ एक त्रि-आयामी सजातीय स्थान पर विचार करेंगे। कल्पना कीजिए कि द्वि-विमीय तल को बिंदु w = 1 पर परिभाषित किया गया है। तद्नुसार, एक द्विविमीय बिंदु एक समांगी समष्टि में निम्नलिखित निर्देशांकों (x, y, 1) द्वारा निरूपित किया जाता है। अंतरिक्ष में सभी बिंदु जो विमान में नहीं हैं (वे विमानों में हैं, जहां w! = 1) की गणना द्वि-आयामी विमान पर प्रक्षेपण द्वारा की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, आपको इस बिंदु के सभी घटकों को एक सजातीय में विभाजित करने की आवश्यकता है। वे। यदि w! = 1, "भौतिक" में (जहां हम काम करते हैं और जहां w = 1) बिंदु निर्देशांक इस प्रकार होंगे: (x / w, y / w, w / w) या (x / w, y / डब्ल्यू, 1)। तस्वीर को जरा देखिए:

वैक्टर के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

वी १ = [३ ३ ३] वी २ = [३ १ ०] वी ३ = [३ -2 -2]

इन वैक्टरों को "भौतिक" विमान (w = 1) में निम्नानुसार प्रक्षेपित किया जाता है:

वी १ = [१ १ १] वी ३ = [-१.५ १ १]

आंकड़ा तीन वैक्टर दिखाता है। ध्यान दें कि जब कोई बिंदु समतल w = 0 में होता है, तो इस बिंदु को भौतिक तल में प्रक्षेपित नहीं किया जा सकता है (सदिश v 2)।

भौतिक तल के प्रत्येक बिंदु के लिए, एक सजातीय स्थान में अनंत अंक होते हैं।

चार-आयामी अंतरिक्ष में, सब कुछ बिल्कुल समान है। हम भौतिक अंतरिक्ष में काम करते हैं जहां w = 1: (x, y, z, 1)। यदि, गणनाओं के परिणामस्वरूप, w! = 1, तो आपको एक बिंदु के सभी निर्देशांक को एक सजातीय में विभाजित करने की आवश्यकता है: (x / w, y / w, z / w, w / w) या (x / डब्ल्यू, वाई / डब्ल्यू, जेड / डब्ल्यू, १)। एक विशेष स्थिति भी होती है जब w = 0. हम इसे बाद में देखेंगे।

अब अभ्यास के लिए आगे बढ़ते हैं: एक सजातीय समन्वय किसके लिए है?

जैसा कि हमने पहले ही पाया, एक 3x3 मैट्रिक्स एक रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात। इसमें स्थानांतरण (विस्थापन) शामिल नहीं है। स्थानांतरण के लिए एक अलग वेक्टर का उपयोग किया जाता है (और यह पहले से ही एक affine परिवर्तन है):

वी = एएम + बी

वे। हम परिवर्तन मैट्रिक्स एम द्वारा वस्तु के सभी बिंदुओं (वैक्टर) को जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में जाने के लिए गुणा करते हैं (जिसके आधार वैक्टर विश्व समन्वय प्रणाली के आधार वैक्टर के साथ मेल खाते हैं), और फिर हम विश्व अंतरिक्ष का उपयोग करके प्राप्त करते हैं वेक्टर बी. एक अनुस्मारक के रूप में, वेक्टर बी ऑब्जेक्ट स्पेस की उत्पत्ति और विश्व अंतरिक्ष की उत्पत्ति को जोड़ता है।

तो, चार आयामों का उपयोग करके, आप रैखिक परिवर्तन (रोटेशन, स्केलिंग) और अनुवाद दोनों को एक मैट्रिक्स में रटना कर सकते हैं।

कल्पना कीजिए कि चौथा घटक हमेशा एक के बराबर होता है (हालाँकि, हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि ऐसा नहीं है)। रैखिक परिवर्तन को अब 4x4 मैट्रिक्स का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है:

आइए चार-आयामी अंतरिक्ष में परिवर्तन मैट्रिक्स द्वारा वैक्टर को गुणा करने के सूत्र को देखें:

वी x = (xi x + yj x + zk x + w * 0) vy = (xi y + yj y + zk y + w * 0) vz = (xi z + yj z + zk z + w * 0) vw = (x * 0 + y * 0 + z * 0 + w * 1) जैसा कि आप देख सकते हैं, 4x4 मैट्रिक्स का उपयोग करके रूपांतरित वेक्टर के घटक 3x3 मैट्रिक्स का उपयोग करके रूपांतरित वेक्टर के घटकों के बराबर हैं। चौथा घटक, जैसा कि हम सहमत थे, हमेशा एक के बराबर होगा, इसलिए इसे आसानी से त्याग दिया जा सकता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि 3x3 और 3x4 मैट्रिक्स द्वारा किए गए परिवर्तन समतुल्य हैं।

अब आइए ट्रांसफर मैट्रिक्स को देखें:

इस मैट्रिक्स द्वारा ऑब्जेक्ट स्पेस से किसी भी वेक्टर को गुणा करें (पाठ की शुरुआत में चित्र देखें) और आप इस वेक्टर को वर्ल्ड कोऑर्डिनेट स्पेस में व्यक्त कर सकते हैं (यह है कि ऑब्जेक्ट और वर्ल्ड स्पेस के आधार वैक्टर समान हैं)।

ध्यान दें कि यह भी एक रैखिक परिवर्तन है, केवल 4D स्थान में।

मैट्रिक्स उत्पाद का उपयोग करके, हम रोटेशन मैट्रिक्स और अनुवाद मैट्रिक्स को जोड़ सकते हैं:

यह आखिरी मैट्रिक्स वही है जो हमें शुरू से ही चाहिए था। आपको इस बात की अच्छी समझ होनी चाहिए कि इसके सभी तत्वों का वास्तव में क्या मतलब है (चौथे कॉलम को छोड़कर)।

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समन्वय परिवर्तन समस्यानिम्नलिखित में शामिल हैं: पुराने सिस्टम में नए मूल और नए निर्देशांक वैक्टर के निर्देशांक जानना:

, , , (3)

निर्देशांक व्यक्त करें एक्स, वाईअंक एमपुराने समन्वय प्रणाली में, निर्देशांक के माध्यम से नई व्यवस्था में यह बिंदु।

यह सूत्रों (3) से इस प्रकार है कि

; ; . (4)

(त्रिभुज नियम के अनुसार)।

चूंकि , , तो बिंदु के निर्देशांक की परिभाषा के अनुसार , , अर्थात। ; .

फिर, सूत्र (4) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

हम कहाँ पाते हैं:

(5) ;

इस प्रकार निर्देशांक व्यक्त किए जाते हैं एक्स, वाईमनमाना बिंदु एमपुराने सिस्टम में इसके निर्देशांक के माध्यम से नई व्यवस्था में .

सूत्र (5) कहलाते हैं एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए परिवर्तन सूत्र.

गुणांक, पर - पुराने सिस्टम में नए वेक्टर के निर्देशांक; गुणांक, पर - पुरानी प्रणाली में नए वेक्टर के निर्देशांक, मुक्त शर्तें, - पुरानी प्रणाली में नई शुरुआत के निर्देशांक:

बिंदु निर्देशांक एम

नई व्यवस्था में

एन एस

पर

=

=

+

+

+

+

टेबल आधार से आधार तक संक्रमण मैट्रिक्स कहलाता है।

affine परिवर्तन के विशेष मामले

सिस्टम संयोजित करें

1. स्थानांतरण शुरू करें.

इस परिवर्तन के साथ , , ए (अंजीर। 40)।

आइए हम पुरानी प्रणाली में सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें, अर्थात्। , , तथा :

Þ Þ , ;

Þ Þ , .

तब सूत्र (5) रूप लेंगे:

ओ"

चावल। 40

(7)

सूत्र (7) कहलाते हैं निर्देशांक वैक्टर को बदलने के लिए सूत्र.

वैक्टर के बीच एक दिशात्मक कोण की अवधारणा।

आयताकार समन्वय प्रणाली परिवर्तन

वैक्टर के बीच एक निर्देशित कोण की अवधारणा एक उन्मुख विमान पर पेश की जाती है।

चलो और एक निश्चित क्रम में निर्दिष्ट गैर-शून्य वैक्टर बनें (- पहला वेक्टर, - दूसरा वेक्टर)।

अगर || , फिर वेक्टर और वेक्टर के बीच दिशात्मक कोणबुलाया

आकार अगर आधार सही है;

आकार अगर आधार रह गया है।

अगर , फिर दिशात्मक कोणउनके बीच बराबर माना जाता है अगर , तब (चित्र 42)।

दो आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों पर विचार करें और ... रहने दो एम (एक्स; वाई)वी, वी ... चूंकि एक आयताकार समन्वय प्रणाली एक एफ़िन का एक विशेष मामला है, हम 12 से सूत्रों (5) का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन गुणांक,,, अब मनमानी नहीं हो सकती.

आइए पुराने सिस्टम में वैक्टर के निर्देशांक खोजें। आइए दो मामलों पर विचार करें।

1) क्षारक और, समान रूप से उन्मुख होते हैं (चित्र 43)।

ए 1

ए

वी

पहले में

ओ"

चावल। 44

ए

ए

आयताकार त्रिभुज तथा कर्ण और न्यून कोण में बराबर (
, ), इसलिए, तथा .

से हम ढूंढे:

अत, .

अत, ... तब सूत्र (5) रूप लेगा:

ध्यान दें कि संक्रमण मैट्रिक्स के निर्धारक आधार से आधार तक,

.

2) आधार, और, विपरीत दिशा में उन्मुख होते हैं (अंजीर। 45)।

हे

ओ"

चावल। 45

हे

ओ"

वी

पहले में

ए

ए 1

ए

चावल। 46

रहने दो ... आइए हम वैक्टर और सामान्य शुरुआत करें हे(अंजीर। 46)।

केस 1 के समान तर्क देते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

अत, ; .

तब सूत्र (5) रूप लेंगे:

ध्यान दें कि इस मामले में आधार से आधार तक संक्रमण मैट्रिक्स का निर्धारक

सूत्र (8) और (9) को जोड़ा जा सकता है:

, कहां

.

परिवर्तन के विशेष मामले

आयताकार समन्वय प्रणाली

1. शुरुआत का स्थानांतरण: , .

धुवीय निर्देशांक

यदि एक नियम निर्दिष्ट किया जाता है जिसके अनुसार आदेशित जोड़े का उपयोग करके विमान के बिंदुओं की स्थिति निर्धारित की जा सकती है वास्तविक संख्या, तब वे कहते हैं कि समतल पर एक निर्देशांक प्रणाली दी गई है। एफ़िन कोऑर्डिनेट सिस्टम के अलावा, जिसे गणित में धारा 10 में माना गया था, एक प्लेन पर एक पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम अक्सर इस्तेमाल किया जाता है।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली एक उन्मुख विमान पर दर्ज की जाती है।

बिंदु जोड़ी हेऔर यूनिट वेक्टर कहा जाता है ध्रुवीय समन्वय प्रणालीऔर or . द्वारा निरूपित ... दिशात्मक सीधे बुलाया ध्रुवीय अक्ष, बिंदु हे- खंभा(अंजीर। 48)।

इस प्रकार, ... अगर एमके साथ मेल खाता है हे, फिर ... किसी भी बिंदु के लिए एमइसकी ध्रुवीय त्रिज्या

अगर एमध्रुव के साथ मेल खाता है हे, तो j अपरिभाषित है। वैक्टर के बीच निर्देशित कोण की परिभाषा से (§13 देखें) यह इस प्रकार है कि ध्रुवीय कोण

आर

चावल। 51

एम

जे

एम 1

आइए हम ध्रुवीय निर्देशांक से आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक और इसके विपरीत में संक्रमण के लिए सूत्र प्राप्त करें।

आज्ञा देना एक उन्मुख विमान पर एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली हो, , वी. आइए हम ध्रुवीय प्रणाली में वेक्टर के लिए एक इकाई वेक्टर ऑर्थोगोनल जोड़ते हैं ताकि आधार सही हो (चित्र 51)।

, .

रहने दो एम (एक्स; वाई)वी. फिर ; (अंजीर। 51)।

प्राप्त ध्रुवीय निर्देशांक से आयताकार में संक्रमण के सूत्र:

आइए इन समानताओं के दोनों पक्षों को वर्गाकार करें और जोड़ें:

, कहां (रूट को "+" चिन्ह के साथ लिया जाता है, क्योंकि ). Þ Þ
;
.

ए

हे

वी

चावल। 52

टिप्पणी ... आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक से ध्रुवीय निर्देशांक में संक्रमण पर समस्याओं को हल करते समय, केवल खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है या केवल जबसे एक के बाद एक त्रिकोणमितीय फलनध्रुवीय कोण को निर्धारित करना स्पष्ट रूप से असंभव है: अंतराल में एक ही कोज्या वाले दो कोण होते हैं (एक ही ज्या वाले दो कोण) (चित्र 52)। इसलिए, आप सही ढंग से ध्रुवीय कोण j का पता तभी लगा सकते हैं जब आप एक साथ गणना करें तथा .

1 = (एक्स 1, वाई 1), М = (एक्स, वाई)। चूँकि बिंदु M खंड M 0 M 1 को के अनुपात में विभाजित करता है, तो

; (1)

इस affine परिवर्तन के साथ, अंक M 0, M 1, M बिंदु M 0 , M 1 ′, M पर समान निर्देशांक के साथ बिंदु M 0, M 1, M पर जाएंगे, लेकिन केवल समन्वय प्रणाली O में "ई "1 ई" 2. ये निर्देशांक अभी भी संबंधों (1) से संबंधित हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि एम खंड 0 ′ М 1 को के संबंध में विभाजित करता है। यह प्रमेय साबित करता है।

3. affine परिवर्तनों की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति (संक्रमण सूत्र)।

कार्य:दूसरे के सापेक्ष एक प्रणाली के मापदंडों को जानना, दोनों समन्वय प्रणालियों में एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना संभव है (अर्थात एक प्रणाली (पुरानी) से दूसरी नई प्रणाली में संक्रमण के लिए सूत्र कैसे खोजें।

एफाइन कोऑर्डिनेट सिस्टम के लिए परिवर्तन के मामलों पर विचार करें।

1) मान लीजिए कि निकाय R = (O, (e 1, e 2)) दिया गया है और इसमें M = (x, y) R दिया गया है, O (0,0) R मूल के निर्देशांक हैं। ई 1 (1,0) आर, ई 2 (0,1) आर - आधार वैक्टर के निर्देशांक।

2) दूसरी समन्वय प्रणाली R ′ = (О, (е 1 , е 2 )) दें, और पुराने समन्वय प्रणाली के माध्यम से नए आधार और नए मूल को परिभाषित करने वाले पैरामीटर ज्ञात हैं, अर्थात। (x 0, y 0) R, е 1 (С 11, 12) R, е 2 (С 12, 22) R

आइए हम नई समन्वय प्रणाली (एम (एक्स ′, वाई ′) आर ′) में बिंदु एम के निर्देशांक खोजने के लिए समस्या उत्पन्न करते हैं। आइए हम बिंदु (x , y ′) के अज्ञात निर्देशांकों को निरूपित करें।

तीन बिंदुओं के लिए , , М: = О′О + । О′М नए समन्वय प्रणाली में बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि इसके निर्देशांक सिस्टम R ′ (О′М↔М R ′) => में वेक्टर के निर्देशांक के साथ मेल खाएंगे। (x , y ′) R ′ => О′М = x′e 1 ′ + y′e 2 (1) ; निकाय R में बिंदु का त्रिज्या सदिश है, अर्थात। इसके निर्देशांक निर्देशांक O'O↔ O'R => O'O (x 0, y 0) R => O'O = x 0 e 1 + y 0 e 2 के साथ मेल खाएंगे (2) ; आर => = xe १ + तु २ (३)। उस। सदिश = - इस सदिश में प्रतिस्थापन के बाद विस्तार की समानता (1), (2) और (3) का रूप होगा:

x′e 1 + y′e 2 = xe 1 + तु 2 - (x 0 e 1 + y 0 e 2) (4); जबसे शर्त में, पैरामीटर दिए गए हैं जो पुराने आधार के माध्यम से नए आधार वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, हम नए आधार वैक्टर के लिए निम्नलिखित वेक्टर समानता प्राप्त करते हैं:

ई 1 '(सी 11, सी 12) आर => ई 1' = सी 11 ई 1 + सी 21 ई 2;

ई २ (सी १२, सी २२) आर => ई २ = सी १२ ई १ + सी २२ ई २; (५)

(4) के बाईं ओर (5) और आधार वैक्टर е 1 और е 2 के संबंध में समूह को स्थानापन्न करें।

x ′ (सी ११ ई १ + सी २१ ई २) + वाई (सी १२ ई १ + सी २२ ई २) - एक्स १-एक्सई २ + एक्स ० ई १-ये २ + एक्स ० ई १ + वाई ० ई २ = ०.
(x′C 11 + y′C 12 e 1 -x + x 0) e 1 + (x′C 21 + y ′ C 22 -y + y 0) e 2 = 0.

चूंकि (ई 1, ई 2) एक आधार बनाते हैं, तो यह एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली है जिसके लिए अंतिम वेक्टर समानता संतुष्ट है बशर्ते कि बाएं हाथ के सभी गुणांक शून्य के बराबर हों, यानी। इस शर्त पर

(6);

(६) - चर x और y के लिए पुराने सिस्टम R से नए सिस्टम R ′ में संक्रमण के लिए सूत्र।

चूंकि निर्धारक के स्तंभ आधार वैक्टर е 1 और е 2 के निर्देशांक हैं, तो यह निर्धारक कभी गायब नहीं होता है, अर्थात। सिस्टम (6) चर x और y के संबंध में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य है, जो हमेशा आर से आर के प्रतिलोम संक्रमण के लिए एक सूत्र खोजना संभव बनाता है।

सूत्रों (6) के लिए, दो विशेष मामले हैं

1. आधार का प्रतिस्थापन;

2. शुरुआत का स्थानांतरण।

(१) सिस्टम R को सिस्टम R से प्राप्त किया गया है, जबकि मूल R = (О, (е 1, е 2)) → R = (О, (е १ , е २ ) को बनाए रखते हुए आधार को बदलकर प्राप्त किया गया है। ), यानी। O (x 0, y 0) = O (0,0) => x 0 = y 0 = 0, तो आधार परिवर्तन सूत्र रूप लेगा:

(7)

2. मान लीजिए कि सिस्टम R को R से आरंभ को बिंदु O से बिंदु O पर स्थानांतरित करके उसी आधार को बनाए रखते हुए प्राप्त किया जाता है:
R = (О, (е 1, е 2)) → R = (О , (е 1, е 2)) => е 1 (1,0), е 2 (0,1), अर्थात। ओ. फार्मूले का रूप ले लेंगे।