பக்கத்தின் சமன்பாடு ab. முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

பிரச்சனை 1. ABC முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). கண்டுபிடி: 1) AB பக்கத்தின் நீளம்; 2) AB மற்றும் BC பக்கங்களின் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் கோண குணகங்கள்; 3) இரண்டு இலக்கங்களின் துல்லியத்துடன் ரேடியன்களில் B கோணம்; 4) உயரம் குறுவட்டு மற்றும் அதன் நீளம் சமன்பாடு; 5) இடைநிலை AE இன் சமன்பாடு மற்றும் உயரம் குறுவட்டுடன் இந்த இடைநிலையின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி K இன் ஆயத்தொலைவுகள்; 6) AB க்கு இணையான புள்ளி K வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு; 7) புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகள், நேர்கோட்டு குறுவட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளி A க்கு சமச்சீராக அமைந்துள்ளது.

தீர்வு:

1. புள்ளிகள் A(x 1 ,y 1) மற்றும் B(x 2 ,y 2) இடையே உள்ள தூரம் d என்பது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

(1) பயன்படுத்துவதன் மூலம், AB பக்கத்தின் நீளத்தைக் காண்கிறோம்:

2. A(x 1 ,y 1) மற்றும் B(x 2 ,y 2) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

(2)

புள்ளிகள் A மற்றும் B இன் ஆயங்களை (2) மாற்றுவதன் மூலம், AB பக்கத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

y க்கான கடைசி சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, AB பக்கத்தின் சமன்பாட்டை கோணக் குணகத்துடன் ஒரு நேர் கோடு சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் காண்கிறோம்:

எங்கே

புள்ளிகள் B மற்றும் C இன் ஆயங்களை (2) மாற்றுவதன் மூலம், BC நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

அல்லது

3. இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு, முறையே சமமாக இருக்கும் கோண குணகங்கள் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது.

(3)

விரும்பிய கோணம் B ஆனது AB மற்றும் BC என்ற நேர் கோடுகளால் உருவாகிறது, இவற்றின் கோண குணகங்கள் காணப்படுகின்றன: விண்ணப்பிக்கும் (3), நாம் பெறுகிறோம்

அல்லது மகிழ்ச்சி.

4. கொடுக்கப்பட்ட திசையில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது

(4)

உயரம் குறுவட்டு பக்க AB க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. உயர குறுவட்டின் சாய்வைக் கண்டுபிடிக்க, கோடுகளின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அன்றிலிருந்து (4) புள்ளி C இன் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் உயரத்தின் காணப்படும் கோணக் குணகம் ஆகியவற்றிற்கு மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

உயரம் குறுவட்டு நீளம் கண்டுபிடிக்க, நாம் முதலில் புள்ளி D இன் ஆயங்களை தீர்மானிக்கிறோம் - நேர் கோடுகள் AB மற்றும் CD இன் வெட்டும் புள்ளி. அமைப்பை ஒன்றாகத் தீர்ப்பது:

நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் அதாவது. டி(8;0).

சூத்திரம் (1) ஐப் பயன்படுத்தி உயர குறுவட்டின் நீளத்தைக் காண்கிறோம்:

5. இடைநிலை AE இன் சமன்பாட்டைக் கண்டறிய, நாம் முதலில் புள்ளி E இன் ஆயத்தொலைவுகளை தீர்மானிக்கிறோம், இது BC பக்கத்தின் நடுவில் உள்ளது, ஒரு பகுதியை இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரிப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி:

(5)

எனவே,

புள்ளிகள் A மற்றும் E இன் ஆயங்களை (2) மாற்றுவதன் மூலம், சராசரிக்கான சமன்பாட்டைக் காணலாம்:

உயரம் குறுவட்டு மற்றும் இடைநிலை AE இன் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை ஒன்றாகத் தீர்க்கிறோம்

கண்டுபிடிக்கிறோம்.

6. விரும்பிய நேர்கோடு AB பக்கத்திற்கு இணையாக இருப்பதால், அதன் கோண குணகம் AB நேர்கோட்டின் கோண குணகத்திற்கு சமமாக இருக்கும். (4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளி K மற்றும் நாம் பெறும் கோணக் குணகத்தின் ஆயங்களை மாற்றுதல்

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. நேர்கோடு AB நேர்கோட்டு CD க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், விரும்பிய புள்ளி M, நேர்கோட்டு CD க்கு தொடர்புடைய புள்ளி A க்கு சமச்சீராக அமைந்துள்ளது, AB நேர்கோட்டில் உள்ளது. கூடுதலாக, புள்ளி D என்பது AM பிரிவின் நடுப்புள்ளியாகும். சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (5), விரும்பிய புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்:

முக்கோணம் ஏபிசி, உயரம் சிடி, மீடியன் ஏஇ, நேர்கோடு கேஎஃப் மற்றும் பாயிண்ட் எம் ஆகியவை படத்தில் உள்ள xOy ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன. 1.

பணி 2. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(4; 0) மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட வரி x=1 ஆகியவற்றுக்கான தூரம் 2 க்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்.

தீர்வு:

xOy ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், புள்ளி A(4;0) மற்றும் நேர்கோடு x = 1 ஆகியவற்றை உருவாக்குகிறோம். M(x;y) என்பது புள்ளிகளின் விரும்பிய வடிவியல் இருப்பிடத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளியாக இருக்கட்டும். கொடுக்கப்பட்ட வரி x = 1 க்கு செங்குத்தாக MB ஐக் குறைப்போம் மற்றும் புள்ளி B இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம். புள்ளி B கொடுக்கப்பட்ட வரியில் இருப்பதால், அதன் abscissa 1 க்கு சமம். புள்ளி B இன் ஆர்டினேட் புள்ளி M இன் ஆர்டினேட்டுக்கு சமம் எனவே, B(1;y) (படம் 2 ).

பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி |MA|: |MV| = 2. தூரங்கள் |MA| மற்றும் |MB| சிக்கல் 1 இன் சூத்திரம் (1) இல் இருந்து நாம் காண்கிறோம்:

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை ஸ்கொயர் செய்து, நாம் பெறுகிறோம்

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு ஒரு ஹைபர்போலா ஆகும், இதில் உண்மையான அரை-அச்சு a = 2, மற்றும் கற்பனை அரை-அச்சு

ஹைப்பர்போலாவின் மையத்தை வரையறுப்போம். ஒரு ஹைபர்போலாவிற்கு, சமத்துவம் திருப்தி அடைகிறது.எனவே, மற்றும் - மிகைப்படுத்தப்பட்ட தந்திரங்கள். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி A(4;0) ஹைப்பர்போலாவின் சரியான கவனம்.

இதன் விளைவாக வரும் ஹைபர்போலாவின் விசித்திரத்தை தீர்மானிப்போம்:

ஹைபர்போலா அசிம்ப்டோட்களின் சமன்பாடுகள் வடிவம் மற்றும் . எனவே, அல்லது மற்றும் அவை ஹைபர்போலாவின் அறிகுறிகளாகும். ஹைப்பர்போலாவைக் கட்டமைக்கும் முன், அதன் அறிகுறிகளை உருவாக்குகிறோம்.

பிரச்சனை 3. புள்ளி A(4; 3) மற்றும் நேர்கோடு y = 1 ஆகியவற்றிலிருந்து சமமான புள்ளிகளின் இருப்பிடத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை அதன் எளிய வடிவத்திற்கு குறைக்கவும்.

தீர்வு: M(x;y) என்பது விரும்பிய வடிவியல் புள்ளிகளின் புள்ளிகளில் ஒன்றாக இருக்கட்டும். புள்ளி M இலிருந்து இந்த நேர் கோட்டிற்கு y = 1 (படம் 3) க்கு செங்குத்தாக MB ஐ விடுவோம். புள்ளி B இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்போம். வெளிப்படையாக, புள்ளி B இன் abscissa புள்ளி M இன் abscissa க்கு சமம், மற்றும் B இன் ஆர்டினேட் 1 க்கு சமம், அதாவது B(x; 1). பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி |MA|=|MV|. இதன் விளைவாக, எந்தப் புள்ளி M(x;y) புள்ளிகளின் விரும்பிய வடிவியல் இருப்பிடத்தைச் சேர்ந்தது, பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு, புள்ளியில் ஒரு உச்சியுடன் ஒரு பரவளையத்தை வரையறுக்கிறது. பரவளைய சமன்பாட்டை அதன் எளிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, y + 2 = Y ஐ அமைப்போம், பின்னர் பரவளைய சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

"ஒரு விமானத்தில் பகுப்பாய்வு வடிவியல்" என்ற நிலையான வேலையிலிருந்து சில பணிகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டு

முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன,
,
முக்கோணம் ஏபிசி. கண்டுபிடி:

ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் சமன்பாடுகள்;

ஒரு முக்கோணத்தை வரையறுக்கும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு ஏபிசி;

உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் உயரம், இடைநிலை மற்றும் இருபக்கத்தின் சமன்பாடுகள் ஏ;

முக்கோணத்தின் உயரங்களின் வெட்டுப்புள்ளி;

முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி;

உயரத்தின் நீளம் பக்கவாட்டில் குறைக்கப்பட்டது ஏபி;

மூலை ஏ;

ஒரு வரைதல் செய்யுங்கள்.

முக்கோணத்தின் முனைகளில் ஆயத்தொலைவுகள் இருக்கட்டும்: ஏ (1; 4), IN (5; 3), உடன்(3; 6). உடனே ஒரு வரைபடத்தை வரைவோம்:

1. ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களின் சமன்பாடுகளையும் எழுத, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளை ஆயத்தொலைவுகளுடன் கடந்து செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம் ( எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) மற்றும் ( எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 ):

=

எனவே, பதிலாக ( எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 ) புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் ஏ, மற்றும் அதற்கு பதிலாக ( எக்ஸ் 1 , ஒய் 1 ) புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் IN, கோட்டின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் ஏபி:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு நேர்கோட்டின் சமன்பாடாக இருக்கும் ஏபி, பொது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டது. இதேபோல், நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்கிறோம் ஏசி:

மேலும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு சூரியன்:

2. முக்கோணத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பு என்பதைக் கவனியுங்கள் ஏபிசிமூன்று அரை-தளங்களின் குறுக்குவெட்டைக் குறிக்கிறது, மேலும் ஒவ்வொரு அரை-தளத்தையும் நேரியல் சமத்துவமின்மையைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம். இரண்டு பக்கங்களின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால் ∆ ஏபிசி, உதாரணத்திற்கு ஏபி, பின்னர் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

மற்றும்

ஒரு கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளை வரையறுக்கவும் ஏபி. புள்ளி C அமைந்துள்ள அரை-தளத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும். அதன் ஒருங்கிணைப்புகளை இரு ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் மாற்றுவோம்:

இரண்டாவது சமத்துவமின்மை சரியாக இருக்கும், அதாவது தேவையான புள்ளிகள் சமத்துவமின்மையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன

.

நாம் நேர்கோடு BC, அதன் சமன்பாட்டுடன் அதையே செய்கிறோம்
. நாங்கள் ஒரு சோதனை புள்ளியாக A (1, 1) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்:

இதன் பொருள் தேவையான சமத்துவமின்மை வடிவம் உள்ளது:

.

நேர் கோடு AC (சோதனை புள்ளி B) ஐச் சரிபார்த்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்:

இதன் பொருள் தேவையான சமத்துவமின்மை வடிவம் கொண்டிருக்கும்

நாம் இறுதியாக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

"≤", "≥" அறிகுறிகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளும் முக்கோணத்தை உருவாக்கும் புள்ளிகளின் தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன. ஏபிசி.

3. அ) உச்சியில் இருந்து இறக்கப்பட்ட உயரத்திற்கான சமன்பாட்டைக் கண்டறியும் பொருட்டு ஏபக்கத்திற்கு சூரியன், பக்கத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் சூரியன்:
. ஆயத்தொலைவுகள் கொண்ட திசையன்
பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக சூரியன்எனவே உயரத்திற்கு இணையாக. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் ஏவெக்டருக்கு இணையாக
:

t இல் இருந்து விடுபட்ட உயரத்திற்கான சமன்பாடு இதுவாகும். ஏபக்கத்திற்கு சூரியன்.

b) பக்கத்தின் நடுப்பகுதியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும் சூரியன்சூத்திரங்களின்படி:

இங்கே
- இவை t இன் ஆயத்தொலைவுகள். IN, ஏ
– ஒருங்கிணைப்புகள் டி. உடன். பதிலீடு செய்து பெறுவோம்:

இந்த புள்ளி மற்றும் புள்ளி வழியாக செல்லும் நேர்கோடு ஏதேவையான சராசரி:

c) ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் உயரம், ஒரு உச்சியில் இருந்து முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதிக்கு இறங்கும் இடைநிலை மற்றும் இருபக்கங்கள் சமம் என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் இருசமயத்தின் சமன்பாட்டைத் தேடுவோம். இரண்டு திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும்
மற்றும் அவற்றின் நீளம்:

பின்னர் திசையன்
வெக்டரின் அதே திசையைக் கொண்டுள்ளது
, மற்றும் அதன் நீளம்
அதேபோல், அலகு திசையன்
திசையன் திசையில் ஒத்துப்போகிறது
திசையன் தொகை

கோணத்தின் இருசமயத்துடன் திசையில் இணைந்த ஒரு திசையன் உள்ளது ஏ. எனவே, விரும்பிய இருசமயத்தின் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம்:

4) உயரங்களில் ஒன்றிற்கான சமன்பாட்டை நாங்கள் ஏற்கனவே உருவாக்கியுள்ளோம். மற்றொரு உயரத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம், எடுத்துக்காட்டாக, உச்சியில் இருந்து IN. பக்கம் ஏசிசமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது
எனவே திசையன்
செங்குத்தாக ஏசி, இதனால் விரும்பிய உயரத்திற்கு இணையாக இருக்கும். பின்னர் உச்சி வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு INதிசையன் திசையில்
(அதாவது செங்குத்தாக ஏசி), வடிவம் உள்ளது:

ஒரு முக்கோணத்தின் உயரங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பது அறியப்படுகிறது. குறிப்பாக, இந்த புள்ளி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட உயரங்களின் குறுக்குவெட்டு ஆகும், அதாவது. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது:

- இந்த புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்.

5. நடுத்தர ஏபிஆய உள்ளது
. இடைநிலையின் சமன்பாட்டை பக்கத்திற்கு எழுதுவோம் ஏபி.இந்த கோடு ஆய (3, 2) மற்றும் (3, 6) புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, அதாவது அதன் சமன்பாடு வடிவம் உள்ளது:

ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாட்டில் ஒரு பகுதியின் வகுப்பில் பூஜ்ஜியம் என்பது இந்த நேர்கோடு ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக இயங்குகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது.

இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க, சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க போதுமானது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலைகளின் வெட்டுப்புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது
.

6. உயரத்தின் நீளம் பக்கவாட்டில் குறைக்கப்பட்டது ஏபி,புள்ளியில் இருந்து தூரத்திற்கு சமம் உடன்ஒரு நேர் கோட்டிற்கு ஏபிசமன்பாட்டுடன்
மற்றும் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

7. கோணத்தின் கோசைன் ஏதிசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம் மற்றும் , இது இந்த திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் விகிதத்திற்கு அவற்றின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

.

சிக்கல்கள் 1 - 20 இல் ABC முக்கோணத்தின் முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
கண்டுபிடி: 1) AB பக்கத்தின் நீளம்; 2) AB மற்றும் AC பக்கங்களின் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் கோண குணகங்கள்; 3) 0.01 துல்லியத்துடன் ரேடியன்களில் உள் கோணம் A; 4) சிடியின் உயரம் மற்றும் அதன் நீளத்திற்கான சமன்பாடு; 5) உயரம் குறுவட்டு விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு; 6) ஏபிசி முக்கோணத்தை வரையறுக்கும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு.

முக்கோணப் பக்கங்களின் நீளம்:
|ஏபி| = 15
|ஏசி| = 11.18
|BC| = 14.14
புள்ளி M இலிருந்து d தூரம்: d = 10
முக்கோணத்தின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம்
M 1 (x 1 ; y 1) மற்றும் M 2 (x 2 ; y 2) புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் d என்பது சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

8) ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு
A 1 (x 1 ; y 1) மற்றும் A 2 (x 2 ; y 2) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோடு சமன்பாடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது:

AB கோட்டின் சமன்பாடு


அல்லது

அல்லது
y = -3 / 4 x -7 / 4 அல்லது 4y + 3x +7 = 0
வரி ஏசியின் சமன்பாடு
கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு:

அல்லது

அல்லது
y = 1 / 2 x + 9 / 2 அல்லது 2y -x - 9 = 0
கோட்டின் சமன்பாடு கி.மு
கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு:

அல்லது

அல்லது
y = -7x + 42 அல்லது y + 7x - 42 = 0
3) நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
நேர் கோட்டின் சமன்பாடு AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
வரி சமன்பாடு AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
y = k 1 x + b 1 மற்றும் y 2 = k 2 x + b 2 ஆகிய கோணக் குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் φ, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

இந்த வரிகளின் சரிவுகள் -3/4 மற்றும் 1/2 ஆகும். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம், அதன் வலது பக்க மாடுலோவை எடுத்துக்கொள்வோம்:

tg φ = 2
φ = ஆர்க்டான்(2) = 63.44 0 அல்லது 1.107 ரேட்.
9) உச்சியின் மூலம் உயரத்தின் சமன்பாடு C
புள்ளி N 0 (x 0 ;y 0) மற்றும் Ax + By + C = 0 என்ற நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக செல்லும் நேர்கோட்டில் ஒரு திசை திசையன் (A;B) உள்ளது, எனவே, சமன்பாடுகளால் குறிக்கப்படுகிறது:



இந்தச் சமன்பாட்டை வேறு வழியிலும் காணலாம். இதைச் செய்ய, AB இன் நேர்கோட்டின் k 1 சாய்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.
AB சமன்பாடு: y = -3 / 4 x -7 / 4, அதாவது. கே 1 = -3 / 4
இரண்டு நேர் கோடுகளின் செங்குத்து நிலையில் இருந்து செங்குத்தாக உள்ள கோண குணகம் k ஐக் கண்டுபிடிப்போம்: k 1 *k = -1.
k 1 க்கு பதிலாக இந்த வரியின் சாய்வை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:
-3 / 4 k = -1, எங்கிருந்து k = 4 / 3
செங்குத்து புள்ளி C(5,7) மற்றும் k = 4 / 3 ஐக் கொண்டிருப்பதால், அதன் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் தேடுவோம்: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 ஆகியவற்றை மாற்றினால் நாம் பெறுகிறோம்:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
அல்லது
y = 4 / 3 x + 1 / 3 அல்லது 3y -4x - 1 = 0
AB கோட்டுடன் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம்:
எங்களிடம் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பு உள்ளது:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் y ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் அதை இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
x = -1
y=-1
டி(-1;-1)
9) சி உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட முக்கோணத்தின் உயரத்தின் நீளம்
புள்ளி M 1 (x 1 ;y 1) இலிருந்து Ax + By + C = 0 என்ற நேர்கோட்டுக்கான தூரம், அளவின் முழுமையான மதிப்புக்கு சமம்:

புள்ளி C(5;7) மற்றும் வரி AB (4y + 3x +7 = 0) இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்


உயரத்தின் நீளத்தை மற்றொரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம், புள்ளி C(5;7) மற்றும் புள்ளி D(-1;-1).
இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் சூத்திரத்தால் ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

5) உயரம் குறுவட்டு விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாடு;
E(a;b) புள்ளியில் மையத்துடன் R ஆரம் கொண்ட வட்டத்தின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
CD என்பது விரும்பிய வட்டத்தின் விட்டம் என்பதால், அதன் மையம் E என்பது பிரிவு குறுவட்டின் நடுப்புள்ளியாகும். ஒரு பகுதியை பாதியாகப் பிரிப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:


எனவே, E(2;3) மற்றும் R = CD / 2 = 5. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் விரும்பிய வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) ஏபிசி முக்கோணத்தை வரையறுக்கும் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் அமைப்பு.
AB கோட்டின் சமன்பாடு: y = -3 / 4 x -7 / 4
வரி ஏசியின் சமன்பாடு: y = 1 / 2 x + 9 / 2
BC கோட்டின் சமன்பாடு: y = -7x + 42