சீரற்ற மாறி x விநியோகத்தால் வழங்கப்படுகிறது. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி, விநியோக செயல்பாடு மற்றும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி

4) ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஒரு தனி மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு 0 ஆகும்.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிடுவது ஒரே வழி அல்ல. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி (விநியோக அடர்த்தி) என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை : நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f ( எக்ஸ் ) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X என்பது அதன் பரவல் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும், அதாவது:

நிகழ்தகவு அடர்த்தி செயல்பாடு சில நேரங்களில் வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாடு அல்லது வேறுபட்ட விநியோக சட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவலின் வரைபடம் f(x) எனப்படும் நிகழ்தகவு பரவல் வளைவு .

நிகழ்தகவு அடர்த்தி பரவலின் பண்புகள்:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">DIV_ADBLOCK92"> இல்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8வி;

b) F(x)= ∫ f(x)dx என்று அறியப்படுகிறது

எனவே, x

x≤2 என்றால், F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> 2 6 x 6 6

x>6 எனில், F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

இதனால்,

x≤2 இல் 0,

F(x)= (x-2)2/16 at 2<х≤6,

x>6க்கு 1.

F(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் படம் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 இல் x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π இல் 0<х≤√3,

x>√3க்கு 1.

வேறுபட்ட விநியோக செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் f(x)

தீர்வு: f(x)= F’(x) என்பதால்

DIV_ADBLOCK93">

· கணித எதிர்பார்ப்பு M (X) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

M(X)= ∫ x f(x)dx,

இந்த ஒருங்கிணைப்பு முற்றிலும் ஒன்றிணைகிறது.

· சிதறல் டி ( எக்ஸ் ) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, அல்லது

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· நிலையான விலகல் σ(Х) தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

சிதறிய சீரற்ற மாறிகளுக்கு முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் சிதறலின் அனைத்து பண்புகளும் தொடர்ச்சியானவற்றிற்கும் செல்லுபடியாகும்.

பணி எண் 3.சீரற்ற மாறி X ஆனது f(x) என்ற வேற்றுமைச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

பி(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

சுயாதீன தீர்வுக்கான சிக்கல்கள்.

2.1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

0 இல் x≤0,

x≤ π/6க்கு F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= - π/6 இல் 3x<х≤ π/3,

x> π/3க்கு 1.

f(x) மற்றும் வேறுபட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்

ஆர்(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 இல் 0,

f(x)= c x at 2<х≤4,

x>4க்கு 0.

2.4. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X பரவலான அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

0 இல் x≤0,

f(x)= c √x இல் 0<х≤1,

x>1க்கு 0.

கண்டுபிடி: a) எண் c; b) M(X), D(X).

2.5.

x இல் https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">,

x இல் 0.

கண்டுபிடி: அ) F(x) மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்; b) M(X),D(X), σ(X); c) நான்கு சுயாதீன சோதனைகளில் X இன் மதிப்பு, இடைவெளியைச் சேர்ந்த மதிப்பை விட சரியாக 2 மடங்கு (1;4) எடுக்கும் நிகழ்தகவு.

2.6. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

f(x)= 2(x-2) இல் x,

x இல் 0.

கண்டுபிடி: அ) F(x) மற்றும் அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்; b) M(X),D(X), σ (X); c) மூன்று சுயாதீன சோதனைகளில் X இன் மதிப்பு பிரிவின் மதிப்பை விட சரியாக 2 மடங்கு எடுக்கும் நிகழ்தகவு .

2.7. f(x) செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) செயல்பாடு பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4].

கண்டுபிடி: a) சில சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு அடர்த்தியாக இருக்கும் செயல்பாடு c மாறிலியின் மதிப்பு; b) விநியோக செயல்பாடு F(x).

2.9. ரேண்டம் மாறி X, இடைவெளியில் (3;7) செறிவூட்டப்பட்டது, F(x)= என்ற விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது. அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்

சீரற்ற மாறி X மதிப்பை எடுக்கும்: a) 5 க்கும் குறைவாக, b) 7 க்கு குறையாது.

2.10. ரேண்டம் மாறி X, இடைவெளியில் குவிந்துள்ளது (-1;4),

விநியோக செயல்பாடு F(x)= மூலம் வழங்கப்படுகிறது. அதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்

சீரற்ற மாறி X மதிப்பை எடுக்கும்: a) 2 க்கும் குறைவாக, b) 4 க்கு குறையாது.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

கண்டுபிடி: a) எண் c; b) M(X); c) நிகழ்தகவு P(X> M(X)).

2.12. சீரற்ற மாறியானது வேறுபட்ட விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

கண்டுபிடி: அ) எம்(எக்ஸ்); b) நிகழ்தகவு P(X≤M(X))

2.13. ரெம் விநியோகம் நிகழ்தகவு அடர்த்தியால் வழங்கப்படுகிறது:

x ≥0க்கு https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">.

f(x) உண்மையில் ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பு என்பதை நிரூபிக்கவும்.

2.14. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X இன் நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width="187 height=136" height="136">(படம் 5)

2.16. சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (0;4) (படம் 5) "வலது முக்கோணம்" சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. முழு எண் வரியிலும் நிகழ்தகவு அடர்த்தி f(x)க்கான பகுப்பாய்வு வெளிப்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள்

0 இல் x≤0,

x≤ π/6க்கு f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= 3sin 3x இல் π/6<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤aக்கு 0,

f(x)= ஒரு<х

x≥bக்கு 0.

f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 1

x≤aக்கு https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

பணி எண் 1.சீரற்ற மாறி X பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி f(x) மற்றும் அதை சதி;

b) விநியோக செயல்பாடு F(x) மற்றும் அதைத் திட்டமிடுங்கள்;

c) M(X),D(X), σ(X).

தீர்வு: மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, a=3, b=7 உடன், நாம் காண்கிறோம்:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> இல் 3≤х≤7,

x>7க்கு 0

அதன் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 3):

x≤3 இல் https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">படம் 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x இல் 0<0,

x≥0க்கு f(x)= λе-λх.

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் செயல்பாடு, அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, இது சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width="161" height="119 src="> படம் 6

அதிவேக விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவை முறையே சமம்:

M(X)= , D(X)=, σ (Х)=

எனவே, அதிவேகப் பரவலின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்.

X இடைவெளியில் (a;b) விழும் நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

பி(அ<Х

பணி எண். 2.சாதனத்தின் சராசரி தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரம் 100 மணிநேரம் ஆகும். சாதனத்தின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டு நேரம் அதிவேக விநியோகச் சட்டத்தைக் கொண்டிருப்பதாகக் கருதி:

a) நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தி;

b) விநியோக செயல்பாடு;

c) சாதனத்தின் செயலிழப்பு இல்லாத இயக்க நேரம் 120 மணிநேரத்தை தாண்டுவதற்கான நிகழ்தகவு.

தீர்வு: நிபந்தனையின்படி, கணிதப் பரவல் M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 இல் x<0,

a) f(x)= x≥0க்கு 0.01e -0.01x.

b) F(x)= 0 இல் x<0,

x≥0 இல் 1-e -0.01x.

c) விநியோகச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

பி(X>120)=1-எஃப்(120)=1-(1- இ -1.2)= இ -1.2≈0.3.

§ 3.சாதாரண விநியோக சட்டம்

வரையறை: ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X உள்ளது சாதாரண விநியோக சட்டம் (காஸ் சட்டம்), அதன் பரவல் அடர்த்தி வடிவம் இருந்தால்:

,

இங்கு m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

சாதாரண விநியோக வளைவு அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண அல்லது காஸியன் வளைவு (படம்.7)

சாதாரண வளைவு x=m என்ற நேர்கோட்டுடன் சமச்சீராக உள்ளது, அதிகபட்சம் x=a, சமமாக உள்ளது.

ஒரு சீரற்ற மாறி X இன் பரவல் செயல்பாடு, சாதாரண சட்டத்தின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது, சூத்திரத்தின்படி Laplace செயல்பாடு Ф (x) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

,

Laplace செயல்பாடு எங்கே.

கருத்து: Ф(x) செயல்பாடு ஒற்றைப்படை (Ф(-х)=-Ф(х)), கூடுதலாக, x>5 க்கு நாம் Ф(х) ≈1/2 எனக் கொள்ளலாம்.

விநியோகச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் F(x) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

விலகலின் முழுமையான மதிப்பு நேர்மறை எண் δ ஐ விட குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

குறிப்பாக, m=0க்கு பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது:

"மூன்று சிக்மா விதி"

ஒரு சீரற்ற மாறி X ஆனது m ​​மற்றும் σ அளவுருக்கள் கொண்ட இயல்பான விநியோக விதியைக் கொண்டிருந்தால், அதன் மதிப்பு இடைவெளியில் (a-3σ; a+3σ) இருக்கும் என்பது கிட்டத்தட்ட உறுதியாகிறது, ஏனெனில்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து Ф(х) Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

எனவே, விரும்பிய நிகழ்தகவு:

பி(28

சுயாதீன வேலைக்கான பணிகள்

3.1. சீரற்ற மாறி X இடைவெளியில் (-3;5) சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

b) விநியோக செயல்பாடு F(x);

c) எண்ணியல் பண்புகள்;

ஈ) நிகழ்தகவு பி(4<х<6).

3.2. சீரற்ற மாறி X பிரிவில் ஒரே சீராக விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) விநியோக செயல்பாடு F(x);

c) எண்ணியல் பண்புகள்;

ஈ) நிகழ்தகவு P(3≤х≤6).

3.3. நெடுஞ்சாலையில் ஒரு தானியங்கி போக்குவரத்து விளக்கு உள்ளது, அதில் பச்சை விளக்கு 2 நிமிடங்கள், மஞ்சள் 3 வினாடிகள், சிவப்பு 30 வினாடிகள், முதலியன. ஒரு கார் நெடுஞ்சாலையில் சீரற்ற நேரத்தில் செல்கிறது. ஒரு கார் போக்குவரத்து விளக்கை நிறுத்தாமல் கடந்து செல்லும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.4. சுரங்கப்பாதை ரயில்கள் வழக்கமாக 2 நிமிட இடைவெளியில் இயக்கப்படுகின்றன. ஒரு பயணி சீரற்ற நேரத்தில் நடைமேடைக்குள் நுழைகிறார். ஒரு பயணி ரயிலுக்கு 50 வினாடிகளுக்கு மேல் காத்திருக்க வேண்டிய நிகழ்தகவு என்ன? ரேண்டம் மாறி X இன் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் - ரயிலுக்கான காத்திருப்பு நேரம்.

3.5. பரவல் செயல்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட அதிவேக விநியோகத்தின் மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும்:

F(x)= x இல் 0<0,

x≥0க்கு 1வது-8x.

3.6. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

f(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 0.7 e-0.7x.

a) பரிசீலனையில் உள்ள சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதிக்கு பெயரிடவும்.

b) F(X) பரவல் செயல்பாடு மற்றும் X என்ற சீரற்ற மாறியின் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்.

3.7. நிகழ்தகவு பரவல் அடர்த்தியால் குறிப்பிடப்பட்ட அதிவேக விதியின்படி சீரற்ற மாறி X விநியோகிக்கப்படுகிறது:

f(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 0.4 e-0.4 x.

சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் (2.5;5) மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.8. ஒரு தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி X ஆனது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்பட்ட அதிவேக விதியின்படி விநியோகிக்கப்படுகிறது:

F(x)= x இல் 0<0,

x≥0 இல் 1வது-0.6x

சோதனையின் விளைவாக, X பிரிவில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.9. பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் முறையே 8 மற்றும் 2 ஆகும். கண்டுபிடி:

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) சோதனையின் விளைவாக X இடைவெளியில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு (10;14).

3.10. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக 3.5 என்ற கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் 0.04 மாறுபாட்டுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி:

a) விநியோக அடர்த்தி f(x);

b) சோதனையின் விளைவாக X பிரிவில் இருந்து ஒரு மதிப்பை எடுக்கும் நிகழ்தகவு .

3.11. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=0 மற்றும் D(X)=1 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. நிகழ்வுகளில் எது: |X|≤0.6 அல்லது |X|≥0.6 அதிகமாக இருக்கலாம்?

3.12. சீரற்ற மாறி X ஆனது M(X)=0 மற்றும் D(X)=1 உடன் பொதுவாக விநியோகிக்கப்படுகிறது. எந்த இடைவெளியில் இருந்து (-0.5;-0.1) அல்லது (1;2) ஒரு சோதனையின் போது மதிப்பை எடுக்க அதிக வாய்ப்பு உள்ளது?

3.13. M(X)=10 den உடன் சாதாரண விநியோகச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பங்கின் தற்போதைய விலையை மாதிரியாகக் கொள்ளலாம். அலகுகள் மற்றும் σ (X)=0.3 டென். அலகுகள் கண்டுபிடி:

a) தற்போதைய பங்கின் விலை 9.8 டெனில் இருக்கும் நிகழ்தகவு. அலகுகள் 10.4 நாட்கள் வரை அலகுகள்;

b) "மூன்று சிக்மா விதி"யைப் பயன்படுத்தி, தற்போதைய பங்கு விலை இருக்கும் எல்லைகளைக் கண்டறியவும்.

3.14. பொருள் முறையான பிழைகள் இல்லாமல் எடைபோடப்படுகிறது. சீரற்ற எடையிடல் பிழைகள் சராசரி சதுர விகிதம் σ=5g உடன் சாதாரண சட்டத்திற்கு உட்பட்டது. நான்கு சுயாதீன சோதனைகளில் மூன்று எடைகளில் ஒரு பிழை முழுமையான மதிப்பு 3r இல் ஏற்படாத நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

3.15. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=12.6 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறி இடைவெளியில் (11.4;13.8) விழும் நிகழ்தகவு 0.6826 ஆகும். நிலையான விலகலைக் கண்டறியவும் σ.

3.16. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=12 மற்றும் D(X)=36 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. 0.9973 நிகழ்தகவுடன் சோதனையின் விளைவாக சீரற்ற மாறி X எந்த இடைவெளியில் விழும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

3.17. ஒரு தானியங்கி இயந்திரத்தால் தயாரிக்கப்படும் ஒரு பகுதியானது, அதன் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட அளவுருவின் பெயரளவு மதிப்பில் இருந்து விலகல் X மாடுலோ 2 யூனிட் அளவீட்டைத் தாண்டினால் அது குறைபாடுடையதாகக் கருதப்படுகிறது. சீரற்ற மாறி X பொதுவாக M(X)=0 மற்றும் σ(X)=0.7 உடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கருதப்படுகிறது. இயந்திரம் எந்த சதவீத குறைபாடுள்ள பாகங்களை உருவாக்குகிறது?

3.18. பகுதியின் X அளவுரு பொதுவாக கணித எதிர்பார்ப்பு 2 மற்றும் பெயரளவு மதிப்புக்கு சமம் மற்றும் 0.014 இன் நிலையான விலகலுடன் விநியோகிக்கப்படுகிறது. பெயரளவு மதிப்பில் இருந்து X இன் விலகல் பெயரளவு மதிப்பின் 1% ஐ விட அதிகமாக இருக்காது என்ற நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

பதில்கள்

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) x≤-3க்கு 0,

F(x)= left">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) பி(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

ரேண்டம் மாறிகள்

எடுத்துக்காட்டு 2.1.சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்விநியோக செயல்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது

சோதனையின் விளைவாக நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்இடைவெளியில் (2.5; 3.6) உள்ள மதிப்புகளை எடுக்கும்.

தீர்வு: எக்ஸ்இடைவெளியில் (2.5; 3.6) இரண்டு வழிகளில் தீர்மானிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.2.என்ன அளவுரு மதிப்புகள் ஏமற்றும் INசெயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = A + Be - xஒரு சீரற்ற மாறியின் எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளுக்கான விநியோகச் செயல்பாடாக இருக்கலாம் எக்ஸ்.

தீர்வு:சீரற்ற மாறியின் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகள் என்பதால் எக்ஸ்இடைவெளியைச் சேர்ந்தது, பின்னர் செயல்பாடு ஒரு விநியோகச் செயல்பாடாக இருக்க வேண்டும் எக்ஸ், சொத்து திருப்தியாக இருக்க வேண்டும்:

.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.3.சீரற்ற மாறி X என்பது விநியோகச் செயல்பாட்டால் குறிப்பிடப்படுகிறது

நான்கு சுயாதீன சோதனைகளின் விளைவாக, மதிப்பின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்சரியாக 3 முறை இடைவெளியைச் சேர்ந்த மதிப்பை (0.25;0.75) எடுக்கும்.

தீர்வு:மதிப்பைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்இடைவெளியில் (0.25;0.75) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.4.ஒரு ஷாட் மூலம் பந்து கூடையைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.3 ஆகும். மூன்று வீசுதல்கள் கொண்ட வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- மூன்று ஷாட்களுடன் கூடையில் உள்ள வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்

எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.5.இரண்டு துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் தலா ஒரு இலக்கை நோக்கி சுடுகிறார்கள். முதல் ஷூட்டர் அதைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு 0.5, இரண்டாவது - 0.4. இலக்கின் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்- இலக்கில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை. நிகழ்வானது இலக்கைத் தாக்கும் முதல் துப்பாக்கி சுடும் வீரராக இருக்கட்டும், மேலும் இரண்டாவது துப்பாக்கி சுடும் வீரர் இலக்கைத் தாக்கட்டும், முறையே அவர்களின் தவறிழைக்கட்டும்.

SV இன் நிகழ்தகவு விநியோக விதியை உருவாக்குவோம் எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.6.மூன்று கூறுகள் சோதிக்கப்படுகின்றன, ஒருவருக்கொருவர் சுயாதீனமாக செயல்படுகின்றன. உறுப்புகளின் தோல்வி-இல்லாத செயல்பாட்டின் கால அளவு (மணிநேரங்களில்) ஒரு விநியோக அடர்த்தி செயல்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது: முதல்: எஃப் 1 (டி) =1-மின்- 0,1 டி, இரண்டாவது: எஃப் 2 (டி) = 1-மின்- 0,2 டி, மூன்றாவது: எஃப் 3 (டி) =1-மின்- 0,3 டி. 0 முதல் 5 மணிநேரம் வரையிலான நேர இடைவெளியில் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்: ஒரே ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும்; இரண்டு கூறுகள் மட்டுமே தோல்வியடையும்; மூன்று கூறுகளும் தோல்வியடையும்.

தீர்வு:நிகழ்தகவு உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்தகவு, இதில் முதல் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஏசமம், இரண்டாவது, முதலியன நிகழ்வு ஏசரியாக ஒரு முறை தோன்றும், சக்திகளில் உருவாக்கும் செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தில் குணகத்திற்கு சமம். 0 முதல் 5 மணிநேரம் வரையிலான நேர இடைவெளியில் முறையே முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது உறுப்புகளின் தோல்வி மற்றும் தோல்வியின் சாத்தியக்கூறுகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

உருவாக்கும் செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

இல் குணகம் நிகழ்வின் நிகழ்தகவுக்கு சமம் ஏசரியாக மூன்று முறை தோன்றும், அதாவது, மூன்று கூறுகளின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு; மணிக்கு குணகம் சரியாக இரண்டு கூறுகள் தோல்வியடையும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்; மணிக்கு குணகம் ஒரே ஒரு உறுப்பு தோல்வியடையும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.7.நிகழ்தகவு அடர்த்தி கொடுக்கப்பட்டது f(எக்ஸ்)சீரற்ற மாறி எக்ஸ்:

F(x) விநியோகச் செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

எனவே, விநியோக செயல்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 2.8.சாதனம் மூன்று சுயாதீனமாக செயல்படும் கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பரிசோதனையில் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் தோல்வியின் நிகழ்தகவு 0.1 ஆகும். ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- ஒரு பரிசோதனையில் தோல்வியுற்ற உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எனவே, ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தின் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம் எக்ஸ்:

எடுத்துக்காட்டு 2.9. 6 பாகங்கள் கொண்ட ஒரு தொகுதியில் 4 நிலையானவை உள்ளன. 3 பாகங்கள் சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 1, 2, 3 மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் உள்ளது. நிகழ்தகவுகள் என்று எக்ஸ்

எங்கே -- தொகுப்பில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- ஒரு தொகுப்பில் உள்ள நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் நிலையான பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

எடுத்துக்காட்டு 2.10.சீரற்ற மாறி ஒரு பரவல் அடர்த்தியைக் கொண்டுள்ளது

மற்றும் அறியப்படவில்லை, ஆனால் , a மற்றும் . கண்டுபிடி மற்றும்.

தீர்வு:இந்த வழக்கில், சீரற்ற மாறி எக்ஸ்இடைவெளியில் முக்கோணப் பரவல் (சிம்சன் விநியோகம்) உள்ளது [ a, b]. எண்ணியல் பண்புகள் எக்ஸ்:

எனவே, . இந்த அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், இரண்டு ஜோடி மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்: சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, இறுதியாக எங்களிடம் உள்ளது: .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.11.சராசரியாக, 10% ஒப்பந்தங்களின் கீழ், காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வு தொடர்பாக காப்பீட்டு நிறுவனம் காப்பீட்டுத் தொகையை செலுத்துகிறது. தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட நான்கு ஒப்பந்தங்களில் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் அத்தகைய ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு:சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் காணலாம்:

.

SV இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் (காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வுடன் ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை (நான்கில்)): 0, 1, 2, 3, 4.

காப்பீட்டுத் தொகைகள் செலுத்தப்பட்ட வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான ஒப்பந்தங்களின் (நான்கில்) நிகழ்தகவுகளைக் கணக்கிட பெர்னௌலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

.

IC விநியோகத் தொடர் (காப்பீடு செய்யப்பட்ட நிகழ்வின் நிகழ்வுடன் ஒப்பந்தங்களின் எண்ணிக்கை) படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.12.ஐந்து ரோஜாக்களில் இரண்டு வெள்ளை. ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டில் வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கையை வெளிப்படுத்தும் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியை வரையவும்.

தீர்வு:இரண்டு ரோஜாக்களின் தேர்வில், வெள்ளை ரோஜா இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது ஒன்று அல்லது இரண்டு வெள்ளை ரோஜாக்கள் இருக்கலாம். எனவே, சீரற்ற மாறி எக்ஸ்மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எங்கே -- ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

-- வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

– ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்பட்ட ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை;

-- எடுக்கப்பட்டவற்றில் வெள்ளை ரோஜாக்களின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.13. 15 கூடியிருந்த அலகுகளில், 6 கூடுதல் உயவு தேவைப்படுகிறது. மொத்த எண்ணிக்கையிலிருந்து தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்து அலகுகளில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கைக்கான விநியோகச் சட்டத்தை வரையவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்தில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 0, 1, 2, 3, 4, 5 மற்றும் ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம் உள்ளது. நிகழ்தகவுகள் என்று எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எங்கே -- கூடியிருந்த அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

-- கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

.

.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.14.பழுதுபார்ப்பதற்காக பெறப்பட்ட 10 கடிகாரங்களில், 7 பொறிமுறையின் பொதுவான சுத்தம் தேவைப்படுகிறது. பழுதுபார்க்கும் வகையால் கடிகாரங்கள் வரிசைப்படுத்தப்படவில்லை. மாஸ்டர், சுத்தம் செய்ய வேண்டிய கடிகாரங்களைக் கண்டுபிடிக்க விரும்புகிறார், அவற்றை ஒவ்வொன்றாக ஆராய்ந்து, அத்தகைய கடிகாரங்களைக் கண்டுபிடித்து, மேலும் பார்ப்பதை நிறுத்துகிறார். பார்த்த மணிநேரங்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மதிப்பு எக்ஸ்- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஐந்து அலகுகளில் கூடுதல் உயவு தேவைப்படும் அலகுகளின் எண்ணிக்கை - பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: 1, 2, 3, 4. நிகழ்தகவுகள் எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

.

.

.

.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்:

இப்போது அளவின் எண் பண்புகளை கணக்கிடுவோம்:

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.15.சந்தாதாரர் தனக்குத் தேவையான தொலைபேசி எண்ணின் கடைசி இலக்கத்தை மறந்துவிட்டார், ஆனால் அது ஒற்றைப்படை என்பதை நினைவில் கொள்கிறார். அவர் கடைசி இலக்கத்தை சீரற்ற முறையில் டயல் செய்து, பின்னர் டயல் செய்யப்பட்ட இலக்கத்தை டயல் செய்யவில்லை என்றால், அவர் விரும்பிய எண்ணை அடைவதற்கு முன், அவர் ஒரு தொலைபேசி எண்ணை எத்தனை முறை டயல் செய்தார் என்ற கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:சீரற்ற மாறி பின்வரும் மதிப்புகளை எடுக்கலாம்: . சந்தாதாரர் எதிர்காலத்தில் டயல் செய்யப்பட்ட இலக்கத்தை டயல் செய்யாததால், இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் சமமாக இருக்கும்.

சீரற்ற மாறியின் விநியோகத் தொடரைத் தொகுக்கலாம்:

டயலிங் முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

பதில்:,.

எடுத்துக்காட்டு 2.16.தொடரின் ஒவ்வொரு சாதனத்திற்கும் நம்பகத்தன்மை சோதனைகளின் போது தோல்வியின் நிகழ்தகவு சமமாக இருக்கும் ப. சோதனை செய்யப்பட்டால் தோல்வியடைந்த சாதனங்களின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்புகளைத் தீர்மானிக்கவும் என்சாதனங்கள்.

தீர்வு:டிஸ்க்ரீட் ரேண்டம் மாறி எக்ஸ் என்பது தோல்வியுற்ற சாதனங்களின் எண்ணிக்கை என்சுயாதீன சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் தோல்வியின் நிகழ்தகவு சமம் ப,பினாமி சட்டத்தின் படி விநியோகிக்கப்படுகிறது. ஒரு சோதனையில் நிகழும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவால் பெருக்கப்படும் சோதனைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருசொற் பரவலின் கணித எதிர்பார்ப்பு:

எடுத்துக்காட்டு 2.17.தனித்த சீரற்ற மாறி எக்ஸ் 3 சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுக்கும்: நிகழ்தகவுடன் ; நிகழ்தகவுடன் மற்றும் நிகழ்தகவுடன். கண்டுபிடித்து, M( எக்ஸ்) = 8.

தீர்வு:தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் விநியோக விதியின் வரையறைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.18.தொழில்நுட்பக் கட்டுப்பாட்டுத் துறையானது தரநிலைக்கான தயாரிப்புகளை சரிபார்க்கிறது. தயாரிப்பு தரமானதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.9 ஆகும். ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் 5 தயாரிப்புகள் உள்ளன. சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- 50 தொகுதிகள் ஆய்வுக்கு உட்பட்டிருந்தால், ஒவ்வொன்றும் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

தீர்வு:இந்த வழக்கில், நடத்தப்பட்ட அனைத்து சோதனைகளும் சுயாதீனமானவை, மேலும் ஒவ்வொரு தொகுப்பிலும் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகள் ஒரே மாதிரியானவை, எனவே, கணித எதிர்பார்ப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படலாம்:

,

கட்சிகளின் எண்ணிக்கை எங்கே;

ஒரு தொகுப்பில் சரியாக 4 நிலையான தயாரிப்புகள் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு.

பெர்னோலியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவைக் காண்கிறோம்:

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.19.சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை ஏஇரண்டு சுயாதீன சோதனைகளில், இந்த சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், அது அறியப்படுகிறது எம்(எக்ஸ்) = 0,9.

தீர்வு:பிரச்சனை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படும்.

1) SV இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்: 0, 1, 2. பெர்னோலி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

, , .

பின்னர் விநியோக சட்டம் எக்ஸ்வடிவம் உள்ளது:

கணித எதிர்பார்ப்பின் வரையறையிலிருந்து, நிகழ்தகவை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:

எஸ்.வி.யின் சிதறலைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்:

.

2) நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

.

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 2.20.பொதுவாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு மற்றும் நிலையான விலகல் எக்ஸ்முறையே 20 மற்றும் 5க்கு சமம். சோதனையின் விளைவாக நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்இடைவெளியில் (15; 25) உள்ள மதிப்பை எடுக்கும்.

தீர்வு:ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு எக்ஸ்முதல் பகுதிக்கு லாப்லேஸ் செயல்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 2.21.கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு:

எந்த அளவுரு மதிப்பில் சிஇந்த சார்பு என்பது சில தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் அடர்த்தி ஆகும் எக்ஸ்? ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்.

தீர்வு:ஒரு சார்பு சில சீரற்ற மாறிகளின் பரவல் அடர்த்தியாக இருக்க, அது எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும், மேலும் அது சொத்தை திருப்திப்படுத்த வேண்டும்:

.

எனவே:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணித எதிர்பார்ப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம்:

டி சமம் ப. இந்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு:ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறி X இன் விநியோக விதி - சுயாதீன சோதனைகளில் நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை, ஒவ்வொன்றிலும் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமமாக உள்ளது, இது பைனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பைனோமியல் விநியோகத்தின் கணித எதிர்பார்ப்பு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.25.இலக்கை நோக்கி மூன்று சுயாதீன துப்பாக்கிகள் சுடப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஷாட்டையும் அடிப்பதற்கான நிகழ்தகவு 0.25 ஆகும். மூன்று ஷாட்களுடன் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையின் நிலையான விலகலைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு:மூன்று சுயாதீன சோதனைகள் செய்யப்படுவதால், ஒவ்வொரு சோதனையிலும் நிகழ்வு A (ஒரு வெற்றி) நிகழும் நிகழ்தகவு ஒரே மாதிரியாக இருப்பதால், தனித்துவமான சீரற்ற மாறி X - இலக்கில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை - விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று நாங்கள் கருதுவோம். ஈருறுப்பு சட்டம்.

பைனோமியல் விநியோகத்தின் மாறுபாடு சோதனைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஒரு சோதனையில் நிகழ்வின் நிகழ்வு மற்றும் நிகழாத நிகழ்தகவு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.26. 10 நிமிடங்களில் காப்பீட்டு நிறுவனத்தைப் பார்வையிடும் வாடிக்கையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை மூன்று. அடுத்த 5 நிமிடங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒரு கிளையன்ட் வருவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

5 நிமிடங்களில் வரும் வாடிக்கையாளர்களின் சராசரி எண்ணிக்கை: . .

எடுத்துக்காட்டு 2.29.செயலி வரிசையில் பயன்பாட்டிற்கான காத்திருக்கும் நேரம் சராசரியாக 20 வினாடிகள் கொண்ட அதிவேக விநியோகச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது. அடுத்த (சீரற்ற) கோரிக்கையானது செயலியில் 35 வினாடிகளுக்கு மேல் காத்திருக்கும் நிகழ்தகவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:இந்த எடுத்துக்காட்டில், கணித எதிர்பார்ப்பு , மற்றும் தோல்வி விகிதம் சமம்.

பின்னர் விரும்பிய நிகழ்தகவு:

எடுத்துக்காட்டு 2.30. 15 மாணவர்கள் கொண்ட குழு, தலா 10 இருக்கைகள் கொண்ட 20 வரிசைகள் கொண்ட ஒரு மண்டபத்தில் கூட்டத்தை நடத்துகிறது. ஒவ்வொரு மாணவரும் தோராயமாக மண்டபத்தில் இடம் பெறுகிறார்கள். வரிசையின் ஏழாவது இடத்தில் மூன்று பேருக்கு மேல் இல்லாத நிகழ்தகவு என்ன?

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2.31.

பின்னர், நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறையின்படி:

எங்கே -- தொகுப்பில் உள்ள பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தொகுப்பில் உள்ள தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

– தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பகுதிகளின் எண்ணிக்கை;

-- தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவற்றில் தரமற்ற பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.

பின்னர் சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி பின்வருமாறு இருக்கும்.