வேர்களில் இருந்து சக்திகள் மற்றும் பின்புறம், எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள். சக்திகள் மற்றும் வேர்களுக்கான சூத்திரங்கள் சக்தி மற்றும் சதுர வேர்கள்

பெரும்பாலும், கணித வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கும் எளிமைப்படுத்துவதற்கும் வேர்களில் இருந்து சக்திகளுக்கு நகர்த்துவது மற்றும் நேர்மாறாகவும் தேவைப்படுகிறது. இந்த கட்டுரை ஒரு ரூட்டை ஒரு டிகிரி மற்றும் பின்புறமாக மாற்றுவது எப்படி என்பதைப் பற்றி பேசுகிறது. கோட்பாடு, நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் மிகவும் பொதுவான தவறுகள் விவாதிக்கப்படுகின்றன.

பகுதியளவு அடுக்குகளைக் கொண்ட சக்திகளிலிருந்து வேர்களுக்கு மாறுதல்

ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்தில் ஒரு அடுக்குடன் ஒரு எண் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் - a m n. அத்தகைய வெளிப்பாட்டை ரூட்டாக எழுதுவது எப்படி?

பட்டத்தின் வரையறையிலிருந்தே பதில் பின்வருமாறு!

வரையறை

m n சக்திக்கு நேர்மறை எண் a என்பது a m எண்ணின் n வேர் ஆகும்.

இந்த வழக்கில், பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

a > 0 ; மீ ∈ ℤ ; n ∈ℕ.

பூஜ்ஜியத்தின் பகுதியளவு சக்தியும் இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது, ஆனால் இந்த வழக்கில் m எண் ஒரு முழு எண்ணாக அல்ல, ஆனால் ஒரு இயற்கை எண்ணாக எடுக்கப்படுகிறது, இதனால் 0 ஆல் வகுத்தல் ஏற்படாது:

0 m n = 0 m n = 0 .

வரையறைக்கு இணங்க, a m n என்ற பட்டம் a m n என்ற வேராகக் குறிப்பிடப்படலாம்.

உதாரணமாக: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

இருப்பினும், ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, நிபந்தனைகளைப் பற்றி நாம் மறந்துவிடக் கூடாது: a > 0; மீ ∈ ℤ ; n ∈ℕ.

எனவே, வெளிப்பாடு - 8 1 3 வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட முடியாது - 8 1 3, குறிப்பீடு - 8 1 3 வெறுமனே அர்த்தமற்றது - எதிர்மறை எண்களின் அளவு வரையறுக்கப்படவில்லை. மேலும், ரூட் தன்னை - 8 1 3 அர்த்தமுள்ளதாக.

அடிப்படை மற்றும் பகுதியளவு அடுக்குகளில் வெளிப்பாடுகள் கொண்ட டிகிரிகளில் இருந்து மாற்றம், பட்டத்தின் அடிப்பகுதியில் உள்ள அசல் வெளிப்பாடுகளின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் முழு வரம்பிலும் (இனி VA என குறிப்பிடப்படுகிறது) இதேபோல் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 என்ற வெளிப்பாட்டை x 2 + 2 x + 1 - 4 இன் வர்க்க மூலமாக எழுதலாம். x 2 + x · y · z - z 3 க்கு வெளிப்பாடு - 7 3 என்பது இந்த வெளிப்பாட்டின் ODZ இலிருந்து அனைத்து x, y, z க்கும் x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 ஆகும்.

வேர்களை பவர்களுடன் தலைகீழாக மாற்றுவது, ரூட்டுடன் ஒரு வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக, ஒரு சக்தியுடன் வெளிப்பாடுகள் எழுதப்பட்டால், சாத்தியமாகும். முந்தைய பத்தியில் இருந்து சமத்துவத்தை மாற்றி, பெறுகிறோம்:

மீண்டும், நேர்மறை எண்களுக்கு மாற்றம் தெளிவாக உள்ளது a. எடுத்துக்காட்டாக, 7 6 4 = 7 6 4, அல்லது 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

எதிர்மறை a க்கு வேர்கள் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். உதாரணமாக - 4 2 6, - 2 3. இருப்பினும், இந்த வேர்களை சக்திகளின் வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது சாத்தியமில்லை - 4 2 6 மற்றும் - 2 1 3.

அத்தகைய வெளிப்பாடுகளை அதிகாரங்களுடன் மாற்றுவது கூட சாத்தியமா? ஆம், நீங்கள் சில ஆரம்ப மாற்றங்களைச் செய்தால். எவை என்று சிந்திப்போம்.

சக்திகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் வெளிப்பாட்டை மாற்றலாம் - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

4 > 0 முதல், நாம் எழுதலாம்:

எதிர்மறை எண்ணின் ஒற்றைப்படை மூலத்தில், நாம் எழுதலாம்:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

பின்னர் வெளிப்பாடு - 2 3 வடிவம் எடுக்கும்:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

வெளிப்பாடுகள் அடங்கிய வேர்கள் எவ்வாறு அடித்தளத்தில் இந்த வெளிப்பாடுகளைக் கொண்ட சக்திகளால் மாற்றப்படுகின்றன என்பதை இப்போது புரிந்துகொள்வோம்.

சில வெளிப்பாடுகளை A என்ற எழுத்தால் குறிப்போம். இருப்பினும், A m n வடிவத்தில் A m n ஐப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்த நாங்கள் அவசரப்பட மாட்டோம். இங்கே என்ன அர்த்தம் என்பதை விளக்குவோம். எடுத்துக்காட்டாக, x - 3 2 3 என்ற வெளிப்பாடு, முதல் பத்தியிலிருந்து சமத்துவத்தின் அடிப்படையில், நான் x - 3 2 3 வடிவத்தில் வழங்க விரும்புகிறேன். அத்தகைய மாற்றீடு x - 3 ≥ 0 க்கு மட்டுமே சாத்தியமாகும், மேலும் ODZ இலிருந்து மீதமுள்ள x க்கு இது பொருந்தாது, ஏனெனில் எதிர்மறை a க்கு a m n = a m n சூத்திரம் அர்த்தமற்றது.

எனவே, கருதப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், A m n = A m n வடிவத்தின் மாற்றம் ODZ ஐக் குறைக்கும் ஒரு மாற்றம் ஆகும், மேலும் A m n = A m n சூத்திரத்தின் தவறான பயன்பாடு காரணமாக, பிழைகள் அடிக்கடி நிகழ்கின்றன.

A m n என்ற மூலத்திலிருந்து A m n சக்திக்கு சரியாகச் செல்ல, பல புள்ளிகளைக் கவனிக்க வேண்டும்:

• எண் m முழு எண் மற்றும் ஒற்றைப்படை, மற்றும் n இயற்கையாகவும் சமமாகவும் இருந்தால், A m n = A m n சூத்திரம் முழு ODZ மாறிகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்.
• m என்பது முழு எண் மற்றும் ஒற்றைப்படை, மற்றும் n என்பது இயற்கை மற்றும் ஒற்றைப்படை எனில், A m n என்ற வெளிப்பாடு மாற்றப்படலாம்:
  - A ≥ 0 என்ற மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் A m n இல்;
  - on - - A m n என்பது மாறிகளின் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் A< 0 ;
• m ஒரு முழு எண் மற்றும் இரட்டை, மற்றும் n என்பது ஏதேனும் இயற்கை எண்ணாக இருந்தால், A m n ஐ A m n ஆல் மாற்றலாம்.

இந்த விதிகள் அனைத்தையும் ஒரு அட்டவணையில் சுருக்கி, அவற்றின் பயன்பாட்டிற்கு பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுப்போம்.

x - 3 2 3 என்ற வெளிப்பாட்டிற்கு வருவோம். இங்கே m = 2 ஒரு முழு எண் மற்றும் இரட்டை எண், மற்றும் n = 3 ஒரு இயற்கை எண். அதாவது x - 3 2 3 என்ற வெளிப்பாடு படிவத்தில் சரியாக எழுதப்படும்:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

வேர்கள் மற்றும் சக்திகளுடன் மற்றொரு உதாரணம் தருவோம்.

உதாரணமாக. ஒரு மூலத்தை சக்தியாக மாற்றுதல்

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட முடிவுகளை நியாயப்படுத்துவோம். m எண் முழு எண்ணாகவும் ஒற்றைப்படையாகவும் இருந்தால், n என்பது இயற்கையாகவும் சமமாகவும் இருந்தால், A m n வெளிப்பாட்டில் உள்ள ODZ இலிருந்து அனைத்து மாறிகளுக்கும் A இன் மதிப்பு நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை அல்ல (m > 0 க்கு). அதனால்தான் A m n = A m n .

இரண்டாவது விருப்பத்தில், m ஒரு முழு எண், நேர்மறை மற்றும் ஒற்றைப்படை, மற்றும் n என்பது இயற்கையாகவும் ஒற்றைப்படையாகவும் இருக்கும் போது, ​​A m n இன் மதிப்புகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. ODZ இலிருந்து A எதிர்மறை அல்லாத மாறிகளுக்கு, A m n = A m n = A m n . A எதிர்மறையாக இருக்கும் மாறிகளுக்கு, நாம் A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n ஐப் பெறுகிறோம்.

m என்பது ஒரு முழு எண் மற்றும் சமன், மற்றும் n என்பது ஏதேனும் இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் போது, ​​பின்வரும் வழக்கையும் இதேபோல் கருத்தில் கொள்வோம். A இன் மதிப்பு நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருந்தால், அத்தகைய மாறிகளின் மதிப்புகளுக்கு ODZ A m n = A m n = A m n . எதிர்மறை A க்கு A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n கிடைக்கும்.

எனவே, மூன்றாவது வழக்கில், ODZ இலிருந்து அனைத்து மாறிகளுக்கும் நாம் A m n = A m n என்று எழுதலாம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

பட்டம் சூத்திரங்கள்சமன்பாடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பதில், சிக்கலான வெளிப்பாடுகளைக் குறைத்தல் மற்றும் எளிமைப்படுத்துதல் ஆகியவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எண் cஇருக்கிறது nஒரு எண்ணின் சக்தி அஎப்பொழுது:

டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகள்.

1. ஒரே அடித்தளத்துடன் டிகிரிகளை பெருக்குவதன் மூலம், அவற்றின் குறிகாட்டிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன:

நான்·a n = a m + n.

2. டிகிரிகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன:

3. 2 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் பெருக்கத்தின் அளவு இந்த காரணிகளின் அளவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. ஒரு பகுதியின் அளவு ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் டிகிரிகளின் விகிதத்திற்கு சமம்:

(a/b) n = a n /b n .

5. ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தினால், அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன:

(a m) n = a m n .

மேலே உள்ள ஒவ்வொரு சூத்திரமும் இடமிருந்து வலமாகவும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும்.

உதாரணத்திற்கு. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்.

1. பல காரணிகளின் உற்பத்தியின் மூலமானது இந்த காரணிகளின் வேர்களின் உற்பத்திக்கு சமம்:

2. ஒரு விகிதத்தின் வேர் ஈவுத்தொகையின் விகிதத்திற்கும் வேர்களின் வகுக்கும் விகிதத்திற்கும் சமம்:

3. ஒரு சக்திக்கு ஒரு மூலத்தை உயர்த்தும் போது, ​​இந்த சக்திக்கு தீவிர எண்ணை உயர்த்தினால் போதும்:

4. நீங்கள் ரூட் பட்டம் அதிகரித்தால் nஒரு முறை மற்றும் அதே நேரத்தில் கட்டமைக்க nவது சக்தி ஒரு தீவிர எண், பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

5. நீங்கள் வேரின் அளவைக் குறைத்தால் nஅதே நேரத்தில் வேரை பிரித்தெடுக்கவும் nஒரு தீவிர எண்ணின் -வது சக்தி, பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

எதிர்மறை அடுக்கு கொண்ட பட்டம்.நேர்மறை அல்லாத (முழு எண்) அடுக்கு கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தியானது, நேர்மறை அல்லாத அடுக்குகளின் முழுமையான மதிப்புக்கு சமமான அடுக்குடன் அதே எண்ணின் சக்தியால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

சூத்திரம் நான்: a n = a m - nக்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியாது மீ> n, ஆனால் உடன் மீ< n.

உதாரணத்திற்கு. அ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

சூத்திரத்திற்கு நான்: a n = a m - nஎப்போது நியாயமானது m=n, பூஜ்ஜிய பட்டம் இருப்பது அவசியம்.

பூஜ்ஜிய குறியீட்டுடன் ஒரு பட்டம்.பூஜ்ஜிய அடுக்குடன் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த எண்ணின் சக்தியும் ஒன்றுக்கு சமம்.

உதாரணத்திற்கு. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் பட்டம்.உண்மையான எண்ணை உயர்த்த ஏபட்டத்திற்கு m/n, நீங்கள் ரூட் பிரித்தெடுக்க வேண்டும் nவது பட்டம் மீ-இந்த எண்ணின் சக்தி ஏ.

வாழ்த்துக்கள்: இன்று நாம் வேர்களைப் பார்ப்போம் - 8 ஆம் வகுப்பில் மிகவும் மனதைக் கவரும் தலைப்புகளில் ஒன்று. :)

வேர்களைப் பற்றி பலர் குழப்பமடைகிறார்கள், ஏனெனில் அவை சிக்கலானவை (இதில் மிகவும் சிக்கலானது - ஓரிரு வரையறைகள் மற்றும் இன்னும் இரண்டு பண்புகள்), ஆனால் பெரும்பாலான பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில் வேர்கள் பாடப்புத்தகங்களை எழுதியவர்கள் மட்டுமே காடுகளின் வழியாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த எழுத்தை அவர்களே புரிந்து கொள்ள முடியும். அப்போதும் கூட நல்ல விஸ்கி பாட்டிலுடன் மட்டுமே. :)

எனவே, இப்போது நான் ஒரு ரூட்டின் மிகவும் சரியான மற்றும் மிகவும் திறமையான வரையறையை தருகிறேன் - நீங்கள் உண்மையில் நினைவில் கொள்ள வேண்டிய ஒரே ஒரு வரையறை. பின்னர் நான் விளக்குகிறேன்: இவை அனைத்தும் ஏன் தேவை, அதை நடைமுறையில் எவ்வாறு பயன்படுத்துவது.

ஆனால் முதலில், பல பாடநூல் தொகுப்பாளர்கள் சில காரணங்களுக்காக "மறந்துவிடுகிறார்கள்" என்ற ஒரு முக்கியமான விஷயத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

வேர்கள் சம அளவு (எங்களுக்கு பிடித்த $\sqrt(a)$, அதே போல் அனைத்து வகையான $\sqrt(a)$ மற்றும் $\sqrt(a)$) மற்றும் ஒற்றைப்படை பட்டம் (அனைத்து வகையான $\sqrt) (a)$, $\ sqrt(a)$, முதலியன). மேலும் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறையானது சமமான ஒன்றிலிருந்து சற்றே வித்தியாசமானது.

வேர்களுடன் தொடர்புடைய அனைத்து பிழைகள் மற்றும் தவறான புரிதல்களில் அநேகமாக 95% இந்த ஃபக்கிங்கில் "சற்றே வித்தியாசமாக" மறைக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, சொற்களை ஒருமுறை தெளிவுபடுத்துவோம்:

வரையறை. வேர் கூட n$a$ என்ற எண்ணிலிருந்து ஏதேனும் எதிர்மறை அல்லாத$b$ என்பது $((b)^(n))=a$. அதே எண்ணின் ஒற்றைப்படை மூலமான $a$ பொதுவாக எந்த எண்ணும் $b$ ஆகும், அதற்கு அதே சமத்துவம் உள்ளது: $((b)^(n))=a$.

எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், ரூட் இவ்வாறு குறிக்கப்படுகிறது:

\(அ)\]

அத்தகைய குறியீட்டில் உள்ள எண் $n$ ரூட் அடுக்கு என்றும், $a$ எண் தீவிர வெளிப்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. குறிப்பாக, $n=2$ க்கு, நமது "பிடித்த" வர்க்க மூலத்தைப் பெறுவோம் (இதன் மூலம், இது இரட்டைப் பட்டத்தின் ரூட்), மேலும் $n=3$க்கு ஒரு கன மூலத்தைப் பெறுவோம் (ஒற்றைப்படை அளவு), பெரும்பாலும் சிக்கல்கள் மற்றும் சமன்பாடுகளிலும் காணப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள். சதுர வேர்களின் கிளாசிக் எடுத்துக்காட்டுகள்:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மூலம், $\sqrt(0)=0$, மற்றும் $\sqrt(1)=1$. $(0)^(2))=0$ மற்றும் $(1)^(2))=1$ என்பதால் இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.

கனசதுர வேர்களும் பொதுவானவை - அவற்றைப் பற்றி பயப்பட தேவையில்லை:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

சரி, இரண்டு "கவர்ச்சியான எடுத்துக்காட்டுகள்":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை நிலைக்கு என்ன வித்தியாசம் என்று உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், வரையறையை மீண்டும் படிக்கவும். இது மிகவும் முக்கியமானது!

இதற்கிடையில், வேர்களின் ஒரு விரும்பத்தகாத அம்சத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், இதன் காரணமாக சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அடுக்குகளுக்கு ஒரு தனி வரையறையை அறிமுகப்படுத்த வேண்டியிருந்தது.

வேர்கள் ஏன் தேவைப்படுகின்றன?

வரையறையைப் படித்த பிறகு, பல மாணவர்கள் கேட்பார்கள்: "கணித வல்லுநர்கள் இதைக் கொண்டு வந்தபோது என்ன புகைத்தார்கள்?" உண்மையில்: இந்த வேர்கள் அனைத்தும் ஏன் தேவைப்படுகின்றன?

இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு கணம் ஆரம்ப பள்ளிக்கு திரும்புவோம். நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அந்த தொலைதூர காலங்களில், மரங்கள் பசுமையாகவும், பாலாடை சுவையாகவும் இருந்தபோது, ​​​​எங்கள் முக்கிய அக்கறை எண்களை சரியாகப் பெருக்குவதாகும். சரி, "ஐந்து ஐந்து - இருபத்தைந்து" போன்ற ஒன்று, அவ்வளவுதான். ஆனால் நீங்கள் எண்களை ஜோடிகளாக அல்ல, ஆனால் மும்மடங்குகள், நான்கு மடங்குகள் மற்றும் பொதுவாக முழு தொகுப்புகளில் பெருக்கலாம்:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

எனினும், இது புள்ளி அல்ல. தந்திரம் வேறு: கணிதவியலாளர்கள் சோம்பேறிகள், எனவே அவர்கள் பத்து ஐந்துகளின் பெருக்கத்தை இப்படி எழுதுவதில் சிரமப்பட்டனர்:

அதனால்தான் பட்டங்கள் கொண்டு வந்தார்கள். காரணிகளின் எண்ணிக்கையை ஒரு நீண்ட சரத்திற்குப் பதிலாக மேலெழுதலாக ஏன் எழுதக்கூடாது? இந்த மாதிரி ஏதாவது:

இது மிகவும் வசதியானது! அனைத்து கணக்கீடுகளும் கணிசமாகக் குறைக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் 5,183 என்று எழுதுவதற்கு, காகிதத்தோல் மற்றும் குறிப்பேடுகளின் தொகுப்பை நீங்கள் வீணாக்க வேண்டியதில்லை. இந்த பதிவு ஒரு எண்ணின் சக்தி என்று அழைக்கப்பட்டது; அதில் ஏராளமான பண்புகள் காணப்பட்டன, ஆனால் மகிழ்ச்சி குறுகிய காலமாக மாறியது.

பட்டங்களை "கண்டுபிடிப்பதற்காக" ஏற்பாடு செய்யப்பட்ட ஒரு பிரமாண்டமான மது விருந்துக்குப் பிறகு, குறிப்பாக பிடிவாதமான சில கணிதவியலாளர்கள் திடீரென்று கேட்டார்கள்: "ஒரு எண்ணின் அளவு நமக்குத் தெரிந்தால் என்ன, ஆனால் எண் தெரியவில்லை?" இப்போது, ​​உண்மையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் $b$ என்று நமக்குத் தெரிந்தால், 5 வது சக்திக்கு 243 கொடுக்கிறது, பிறகு $b$ எண் எதற்குச் சமம் என்று எப்படி யூகிக்க முடியும்?

இந்த சிக்கல் முதல் பார்வையில் தோன்றுவதை விட உலகளாவியதாக மாறியது. ஏனென்றால் பெரும்பாலான "ஆயத்த" சக்திகளுக்கு அத்தகைய "ஆரம்ப" எண்கள் இல்லை என்று மாறியது. நீங்களே தீர்ப்பளிக்கவும்:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

$((b)^(3))=50$ என்றால் என்ன? ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று மாறிவிடும், அதை மூன்று முறை பெருக்கினால், நமக்கு 50 கிடைக்கும். ஆனால் இந்த எண் என்ன? 3 3 = 27 என்பதால் இது தெளிவாக 3 ஐ விட அதிகமாக உள்ளது< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. அதாவது இந்த எண் மூன்று மற்றும் நான்கு இடையே எங்காவது உள்ளது, ஆனால் அது எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள மாட்டீர்கள்.

இதனால்தான் கணிதவியலாளர்கள் $n$th வேர்களைக் கொண்டு வந்தனர். அதனால்தான் தீவிர குறியீடு $\sqrt(*)$ அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. $b$ என்ற எண்ணைக் குறிப்பிட, இது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அளவிற்கு நமக்கு முன்னர் அறியப்பட்ட மதிப்பைக் கொடுக்கும்

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

நான் வாதிடவில்லை: பெரும்பாலும் இந்த வேர்கள் எளிதில் கணக்கிடப்படுகின்றன - இதுபோன்ற பல எடுத்துக்காட்டுகளை மேலே பார்த்தோம். இருப்பினும், பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைப் பற்றி யோசித்து, அதிலிருந்து ஒரு தன்னிச்சையான பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க முயற்சித்தால், நீங்கள் ஒரு பயங்கரமான குழப்பத்திற்கு ஆளாக நேரிடும்.

அங்கே என்ன இருக்கிறது! மிகவும் எளிமையான மற்றும் மிகவும் பரிச்சயமான $\sqrt(2)$ ஐ கூட நமது வழக்கமான வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது - ஒரு முழு எண் அல்லது பின்னமாக. நீங்கள் இந்த எண்ணை ஒரு கால்குலேட்டரில் உள்ளிட்டால், நீங்கள் இதைக் காண்பீர்கள்:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தசம புள்ளிக்குப் பிறகு எந்த தர்க்கத்திற்கும் கீழ்ப்படியாத எண்களின் முடிவில்லாத வரிசை உள்ளது. மற்ற எண்களுடன் விரைவாக ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, நிச்சயமாக, இந்த எண்ணைச் சுற்றலாம். உதாரணத்திற்கு:

\[\sqrt(2)=1.4142...\தோராயமாக 1.4 \lt 1.5\]

அல்லது இங்கே மற்றொரு உதாரணம்:

\[\sqrt(3)=1.73205...\தோராயமாக 1.7 \gt 1.5\]

ஆனால் இந்த சுற்றுகள் அனைத்தும், முதலில், மிகவும் கடினமானவை; இரண்டாவதாக, நீங்கள் தோராயமான மதிப்புகளுடன் பணிபுரிய வேண்டும், இல்லையெனில் நீங்கள் வெளிப்படையான பிழைகள் பலவற்றைப் பிடிக்கலாம் (மூலம், ஒப்பீடு மற்றும் ரவுண்டிங் திறன் சுயவிவரம் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் சோதிக்கப்பட வேண்டும்).

எனவே, தீவிர கணிதத்தில் நீங்கள் வேர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது - அவை எல்லா உண்மையான எண்களின் $\mathbb(R)$ தொகுப்பின் அதே சமமான பிரதிநிதிகள், நீண்ட காலமாக நமக்கு நன்கு தெரிந்த பின்னங்கள் மற்றும் முழு எண்களைப் போலவே.

$\frac(p)(q)$ வடிவத்தின் பின்னமாக ஒரு மூலத்தை பிரதிநிதித்துவப்படுத்த இயலாமை என்பது இந்த ரூட் ஒரு விகிதமான எண் அல்ல. அத்தகைய எண்கள் பகுத்தறிவற்றவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் ஒரு தீவிரமான அல்லது இதற்கென பிரத்யேகமாக வடிவமைக்கப்பட்ட மற்ற கட்டுமானங்களின் உதவியுடன் (மடக்கைகள், சக்திகள், வரம்புகள் போன்றவை) தவிர அவற்றை துல்லியமாக குறிப்பிட முடியாது. ஆனால் மற்றொரு முறை அதைப் பற்றி அதிகம்.

அனைத்து கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகும், விகிதாச்சார எண்கள் இன்னும் பதிலில் இருக்கும் பல உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\தோராயமாக 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\தோராயமாக -1.2599... \\ \end(align)\]

இயற்கையாகவே, வேரின் தோற்றத்திலிருந்து தசம புள்ளிக்குப் பிறகு என்ன எண்கள் வரும் என்று யூகிக்க இயலாது. இருப்பினும், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரை நம்பலாம், ஆனால் மிகவும் மேம்பட்ட தேதி கால்குலேட்டர் கூட நமக்கு விகிதாசார எண்ணின் முதல் சில இலக்கங்களை மட்டுமே வழங்குகிறது. எனவே, விடைகளை $\sqrt(5)$ மற்றும் $\sqrt(-2)$ வடிவில் எழுதுவது மிகவும் சரியானது.

அதனால்தான் அவை கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. பதில்களை வசதியாக பதிவு செய்ய.

ஏன் இரண்டு வரையறைகள் தேவை?

எடுத்துக்காட்டுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து வர்க்க மூலங்களும் நேர்மறை எண்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்டவை என்பதை கவனமுள்ள வாசகர் ஏற்கனவே கவனித்திருக்கலாம். சரி, குறைந்தபட்சம் புதிதாக. ஆனால் கனசதுர வேர்களை எந்த எண்ணிலிருந்தும் அமைதியாக பிரித்தெடுக்க முடியும் - அது நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை.

இது ஏன் நடக்கிறது? செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பாருங்கள் $y=((x)^(2))$:

இருபடிச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் இரண்டு வேர்களைக் கொடுக்கிறது: நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை

இந்த வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி $\sqrt(4)$ ஐக் கணக்கிட முயற்சிப்போம். இதைச் செய்ய, $(x)_(1))=2$ மற்றும் $((x )_(2)) =-2$. இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது, ஏனெனில்

முதல் எண்ணுடன் எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது - இது நேர்மறை, எனவே இது ரூட்:

ஆனால் இரண்டாவது புள்ளியை என்ன செய்வது? நான்கிற்கு ஒரே நேரத்தில் இரண்டு வேர்கள் இருப்பது போல? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, −2 என்ற எண்ணை நாம் சதுரமாக்கினால், நமக்கும் 4 கிடைக்கும். பிறகு ஏன் $\sqrt(4)=-2$ என்று எழுதக்கூடாது? ஏன் ஆசிரியர்கள் உங்களைச் சாப்பிட வேண்டும் என்பது போன்ற இடுகைகளைப் பார்க்கிறார்கள்? :)

சிக்கல் என்னவென்றால், நீங்கள் எந்த கூடுதல் நிபந்தனைகளையும் விதிக்கவில்லை என்றால், குவாட் இரண்டு சதுர வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை. மேலும் எந்த நேர்மறை எண்ணிலும் அவற்றில் இரண்டு இருக்கும். ஆனால் எதிர்மறை எண்களுக்கு வேர்கள் இருக்காது - பரவளையமானது அச்சுக்குக் கீழே வராது என்பதால், அதே வரைபடத்திலிருந்து இதைப் பார்க்கலாம். ஒய், அதாவது எதிர்மறை மதிப்புகளை ஏற்கவில்லை.

சம அடுக்கு கொண்ட அனைத்து வேர்களுக்கும் இதே போன்ற சிக்கல் ஏற்படுகிறது:

1. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், ஒவ்வொரு நேர்மறை எண்ணும் $n$ என்ற அடுக்குடன் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
2. எதிர்மறை எண்களிலிருந்து, $n$ கூட உள்ள ரூட் பிரித்தெடுக்கப்படவே இல்லை.

அதனால்தான் $n$ என்ற இரட்டைப் பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறையில், பதில் எதிர்மில்லாத எண்ணாக இருக்க வேண்டும் என்று குறிப்பாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இப்படித்தான் நாம் தெளிவின்மையைப் போக்குகிறோம்.

ஆனால் ஒற்றைப்படை $n$ க்கு அத்தகைய பிரச்சனை இல்லை. இதைப் பார்க்க, $y=((x)^(3))$ செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம்:

ஒரு கனசதுர பரவளையம் எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம், எனவே கனசதுர மூலத்தை எந்த எண்ணிலிருந்தும் எடுக்கலாம்

இந்த வரைபடத்திலிருந்து இரண்டு முடிவுகளை எடுக்கலாம்:

1. ஒரு கன பரவளையத்தின் கிளைகள், வழக்கமான ஒன்றைப் போலல்லாமல், இரு திசைகளிலும் முடிவிலிக்குச் செல்கின்றன - மேலும் கீழும். எனவே, நாம் எந்த உயரத்தில் ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரைந்தாலும், இந்த கோடு நிச்சயமாக நமது வரைபடத்துடன் வெட்டும். இதன் விளைவாக, க்யூப் ரூட் எப்போதும் எந்த எண்ணிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படலாம்;
2. கூடுதலாக, அத்தகைய குறுக்குவெட்டு எப்போதும் தனித்துவமாக இருக்கும், எனவே எந்த எண் "சரியான" ரூட்டாகக் கருதப்படுகிறது மற்றும் எதைப் புறக்கணிக்க வேண்டும் என்பதைப் பற்றி நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. அதனால்தான் ஒற்றைப்படை பட்டத்திற்கான வேர்களைத் தீர்மானிப்பது சமமான பட்டத்தை விட எளிமையானது (எதிர்மறை அல்லாதது தேவை இல்லை).

இந்த எளிய விஷயங்கள் பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களில் விளக்கப்படவில்லை என்பது வருத்தம் அளிக்கிறது. மாறாக, நம் மூளை அனைத்து வகையான எண்கணித வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகளுடன் உயரத் தொடங்குகிறது.

ஆம், நான் வாதிடவில்லை: எண்கணித வேர் என்றால் என்ன என்பதையும் நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இதைப் பற்றி நான் ஒரு தனி பாடத்தில் விரிவாகப் பேசுவேன். இன்று நாம் அதைப் பற்றி பேசுவோம், ஏனென்றால் அது இல்லாமல் $n$-வது பெருக்கத்தின் வேர்கள் பற்றிய அனைத்து எண்ணங்களும் முழுமையடையாது.

ஆனால் முதலில் நான் மேலே கொடுத்த வரையறையை நீங்கள் தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இல்லையெனில், ஏராளமான விதிமுறைகள் காரணமாக, இதுபோன்ற குழப்பம் உங்கள் தலையில் தொடங்கும், இறுதியில் நீங்கள் எதையும் புரிந்து கொள்ள மாட்டீர்கள்.

நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை குறிகாட்டிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, வேர்களைப் பற்றி நீங்கள் உண்மையிலேயே தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் மீண்டும் சேகரிப்போம்:

1. சமமான பட்டத்தின் ரூட் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து மட்டுமே உள்ளது, அது எப்போதும் எதிர்மறை எண்ணாகவே இருக்கும். எதிர்மறை எண்களுக்கு அத்தகைய ரூட் வரையறுக்கப்படவில்லை.
2. ஆனால் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர் எந்த எண்ணிலிருந்தும் உள்ளது மற்றும் அது எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம்: நேர்மறை எண்களுக்கு அது நேர்மறையாகவும், எதிர்மறை எண்களுக்கு, தொப்பி குறிப்பிடுவது போல, அது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

கஷ்டமா? இல்லை, அது கடினம் அல்ல. தெளிவாக உள்ளது? ஆம், அது முற்றிலும் வெளிப்படையானது! எனவே இப்போது நாம் கணக்கீடுகளுடன் சிறிது பயிற்சி செய்வோம்.

அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் வரம்புகள்

வேர்களுக்கு பல விசித்திரமான பண்புகள் மற்றும் வரம்புகள் உள்ளன - இது ஒரு தனி பாடத்தில் விவாதிக்கப்படும். எனவே, இப்போது நாம் மிக முக்கியமான "தந்திரத்தை" மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம், இது ஒரு சமமான குறியீட்டுடன் வேர்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். இந்த சொத்தை ஒரு சூத்திரமாக எழுதுவோம்:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\இடது| x\வலது|\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு எண்ணை ஒரு சம சக்தியாக உயர்த்தி, அதே சக்தியின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தால், அசல் எண்ணைப் பெறுவோம், ஆனால் அதன் மாடுலஸ். இது எளிதில் நிரூபிக்கக்கூடிய எளிய தேற்றம் (எதிர்மறை அல்லாத $x$ என்று தனித்தனியாகவும், எதிர்மறையானவற்றை தனித்தனியாகவும் கருதினால் போதும்). ஆசிரியர்கள் இதைப் பற்றி தொடர்ந்து பேசுகிறார்கள், இது ஒவ்வொரு பள்ளி பாடப்புத்தகத்திலும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகளை (அதாவது, ஒரு தீவிர அடையாளத்தைக் கொண்ட சமன்பாடுகள்) தீர்க்கும் போது, ​​மாணவர்கள் இந்த சூத்திரத்தை ஒருமனதாக மறந்து விடுகிறார்கள்.

சிக்கலை விரிவாகப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு நிமிடம் அனைத்து சூத்திரங்களையும் மறந்துவிட்டு, நேராக இரண்டு எண்களைக் கணக்கிட முயற்சிக்கவும்:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

இவை மிகவும் எளிமையான உதாரணங்கள். பெரும்பாலான மக்கள் முதல் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பார்கள், ஆனால் பலர் இரண்டாவது உதாரணத்தில் சிக்கிக் கொள்கிறார்கள். எந்த பிரச்சனையும் இல்லாமல் அத்தகைய முட்டாள்தனத்தை தீர்க்க, எப்போதும் செயல்முறையை கவனியுங்கள்:

1. முதலில், எண் நான்காவது சக்திக்கு உயர்த்தப்படுகிறது. சரி, இது ஒருவகை எளிது. பெருக்கல் அட்டவணையில் கூட காணக்கூடிய புதிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள்;
2. இப்போது இந்த புதிய எண்ணிலிருந்து நான்காவது மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டியது அவசியம். அந்த. வேர்கள் மற்றும் சக்திகளின் "குறைப்பு" ஏற்படாது - இவை தொடர்ச்சியான செயல்கள்.

முதல் வெளிப்பாட்டைப் பார்ப்போம்: $\sqrt(((3)^(4)))$. வெளிப்படையாக, நீங்கள் முதலில் ரூட்டின் கீழ் வெளிப்பாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும்:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

81 என்ற எண்ணின் நான்காவது மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது எக்ஸ்பிரஷனிலும் அதையே செய்வோம். முதலில், −3 என்ற எண்ணை நான்காவது சக்தியாக உயர்த்துகிறோம், அதற்கு 4 மடங்கு பெருக்க வேண்டும்:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ இடது(-3 \வலது)=81\]

தயாரிப்பில் உள்ள மொத்த மைனஸ்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆக இருப்பதால், எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, மேலும் அவை அனைத்தும் ஒன்றையொன்று ரத்து செய்யும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு மைனஸுக்கு ஒரு கழித்தல் ஒரு கூட்டலைக் கொடுக்கும்). பின்னர் மீண்டும் வேரை பிரித்தெடுக்கிறோம்:

கொள்கையளவில், இந்த வரியை எழுதியிருக்க முடியாது, ஏனென்றால் பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அந்த. அதே சம சக்தியின் இரட்டை வேர், மைனஸ்களை "எரிக்கிறது", மேலும் இதன் விளைவாக வழக்கமான தொகுதியிலிருந்து பிரித்தறிய முடியாது:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\இடது| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\இடது(-3 \வலது))^(4)))=\இடது| -3 \right|=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இந்த கணக்கீடுகள் ஒரு சமமான பட்டத்தின் மூலத்தின் வரையறையுடன் நல்ல உடன்பாட்டில் உள்ளன: முடிவு எப்போதும் எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் தீவிரமான அடையாளமும் எப்போதும் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருக்கும். இல்லையெனில், ரூட் வரையறுக்கப்படவில்லை.

செயல்முறை பற்றிய குறிப்பு

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ என்ற குறியீடானது, முதலில் $a$ எண்ணை வர்க்கப்படுத்தி, அதன் விளைவாக வரும் மதிப்பின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக்கொள்கிறோம். எனவே, ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எப்போதும் எதிர்மறை எண் இல்லை என்பதை உறுதியாக நம்பலாம், ஏனெனில் $((a)^(2))\ge 0$.
2. ஆனால் $(\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ என்ற குறியீடானது, அதற்கு மாறாக, நாம் முதலில் $a$ என்ற குறிப்பிட்ட எண்ணின் மூலத்தை எடுத்து அதன் பிறகுதான் முடிவை வர்க்கப்படுத்துகிறோம். எனவே, எண் $a$ எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது - இது வரையறையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள கட்டாயத் தேவை.

எனவே, எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் ஒருவர் சிந்தனையின்றி வேர்கள் மற்றும் டிகிரிகளை குறைக்கக்கூடாது, இதன் மூலம் அசல் வெளிப்பாட்டை "எளிமைப்படுத்துதல்" என்று கூறப்படுகிறது. ஏனென்றால் ரூட் எதிர்மறை எண்ணைக் கொண்டிருந்தால் மற்றும் அதன் அடுக்கு சமமாக இருந்தால், நமக்கு பல சிக்கல்கள் உள்ளன.

இருப்பினும், இந்த சிக்கல்கள் அனைத்தும் குறிகாட்டிகளுக்கு மட்டுமே பொருத்தமானவை.

ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து கழித்தல் குறியை நீக்குதல்

இயற்கையாகவே, ஒற்றைப்படை அடுக்குகளைக் கொண்ட வேர்களும் அவற்றின் சொந்த அம்சத்தைக் கொண்டுள்ளன, அவை கொள்கையளவில் கூட இல்லை. அதாவது:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

சுருக்கமாக, ஒற்றைப்படை டிகிரிகளின் வேர்களின் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து மைனஸை அகற்றலாம். இது மிகவும் பயனுள்ள சொத்து, இது அனைத்து குறைபாடுகளையும் "வெளியேற்ற" அனுமதிக்கிறது:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

இந்த எளிய சொத்து பல கணக்கீடுகளை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது. இப்போது நீங்கள் கவலைப்படத் தேவையில்லை: ஒரு எதிர்மறை வெளிப்பாடு வேரின் கீழ் மறைந்திருந்தால், ஆனால் ரூட்டில் உள்ள பட்டம் சமமாக மாறினால் என்ன செய்வது? வேர்களுக்கு வெளியே உள்ள அனைத்து மைனஸ்களையும் "வெளியே எறிந்தால்" போதும், அதன் பிறகு அவை ஒன்றோடொன்று பெருக்கலாம், பிரிக்கலாம் மற்றும் பொதுவாக பல சந்தேகத்திற்கிடமான விஷயங்களைச் செய்யலாம், இது "கிளாசிக்கல்" வேர்களின் விஷயத்தில் நம்மை வழிநடத்தும் என்று உத்தரவாதம் அளிக்கப்படுகிறது. ஒரு தவறு.

இங்கே மற்றொரு வரையறை காட்சிக்கு வருகிறது - பெரும்பாலான பள்ளிகளில் அவர்கள் பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளைப் படிக்கத் தொடங்கும் அதே வரையறை. அது இல்லாமல் நமது தர்க்கம் முழுமையடையாது. சந்திப்போம்!

எண்கணித வேர்

மூல அடையாளத்தின் கீழ் நேர்மறை எண்கள் அல்லது தீவிர நிகழ்வுகளில் பூஜ்ஜியம் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று ஒரு கணம் வைத்துக் கொள்வோம். சம/ஒற்றைப்படை குறிகாட்டிகளை மறந்துவிடுவோம், மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து வரையறைகளையும் மறந்துவிடுவோம் - எதிர்மறை எண்களுடன் மட்டுமே செயல்படுவோம். பிறகு என்ன?

பின்னர் நாம் ஒரு எண்கணித மூலத்தைப் பெறுவோம் - இது எங்கள் "நிலையான" வரையறைகளுடன் ஓரளவு மேலெழுகிறது, ஆனால் இன்னும் அவற்றிலிருந்து வேறுபடுகிறது.

வரையறை. எதிர்மறை எண்ணான $a$ இன் $n$வது பட்டத்தின் எண்கணித மூலமானது $((b)^(n))=a$ என்ற எதிர்மறை எண்ணாக $b$ ஆகும்.

நாம் பார்க்க முடியும் என, நாம் இனி சமத்துவத்தில் ஆர்வம் காட்டவில்லை. அதற்கு பதிலாக, ஒரு புதிய கட்டுப்பாடு தோன்றியது: தீவிர வெளிப்பாடு இப்போது எப்போதும் எதிர்மறையானது அல்ல, மேலும் மூலமும் எதிர்மறையானது அல்ல.

எண்கணித மூலமானது வழக்கமான ஒன்றிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள, நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கும் சதுரம் மற்றும் கன பரப்பளவின் வரைபடங்களைப் பாருங்கள்:

எண்கணித மூல தேடல் பகுதி - எதிர்மறை எண்கள் அல்ல

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இனிமேல் நாங்கள் முதல் ஒருங்கிணைப்பு காலாண்டில் அமைந்துள்ள வரைபடங்களின் துண்டுகளில் மட்டுமே ஆர்வமாக உள்ளோம் - $x$ மற்றும் $y$ ஆயத்தொலைவுகள் நேர்மறையாக இருக்கும் (அல்லது குறைந்தபட்சம் பூஜ்ஜியம்). மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணை வைக்க எங்களுக்கு உரிமை இருக்கிறதா இல்லையா என்பதைப் புரிந்து கொள்ள நீங்கள் இனி குறிகாட்டியைப் பார்க்க வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் எதிர்மறை எண்கள் கொள்கையளவில் கருதப்படுவதில்லை.

நீங்கள் கேட்கலாம்: "சரி, நமக்கு ஏன் இப்படி ஒரு நடுநிலையான வரையறை தேவை?" அல்லது: "மேலே கொடுக்கப்பட்ட நிலையான வரையறையை நாம் ஏன் பெற முடியாது?"

சரி, ஒரே ஒரு சொத்தை மட்டும் தருகிறேன், அதனால் புதிய வரையறை பொருத்தமானதாகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, அதிவேகத்திற்கான விதி:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

தயவு செய்து கவனிக்கவும்: நாம் தீவிர வெளிப்பாட்டை எந்த சக்திக்கும் உயர்த்தலாம், அதே நேரத்தில் ரூட் அடுக்குகளை அதே சக்தியால் பெருக்கலாம் - இதன் விளைவாக அதே எண்ணாக இருக்கும்! இங்கே உதாரணங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

அதனால் என்ன பெரிய விஷயம்? இதை ஏன் நம்மால் முன்பே செய்ய முடியவில்லை? ஏன் என்பது இங்கே. ஒரு எளிய வெளிப்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்: $\sqrt(-2)$ - இந்த எண் நமது பாரம்பரிய புரிதலில் மிகவும் சாதாரணமானது, ஆனால் எண்கணித மூலத்தின் பார்வையில் இருந்து முற்றிலும் ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. அதை மாற்ற முயற்சிப்போம்:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதல் வழக்கில் நாம் தீவிரமான கீழ் இருந்து கழித்தல் நீக்கப்பட்டது (எங்களுக்கு ஒவ்வொரு உரிமை உள்ளது, ஏனெனில் அடுக்கு ஒற்றைப்படை உள்ளது), மற்றும் இரண்டாவது வழக்கில் நாம் மேலே சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படும். அந்த. ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எல்லாம் விதிகளின்படி செய்யப்படுகிறது.

WTF?! ஒரே எண் எப்படி நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்க முடியும்? வழி இல்லை. நேர்மறை எண்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சிறப்பாக செயல்படும் அதிவேகத்திற்கான சூத்திரம் எதிர்மறை எண்களின் விஷயத்தில் முழுமையான மதவெறியை உருவாக்கத் தொடங்குகிறது.

இத்தகைய தெளிவின்மையைப் போக்குவதற்காகவே எண்கணித வேர்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. ஒரு தனி பெரிய பாடம் அவர்களுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது, அங்கு அவர்களின் அனைத்து பண்புகளையும் விரிவாகக் கருதுகிறோம். எனவே நாங்கள் இப்போது அவற்றில் வசிக்க மாட்டோம் - பாடம் ஏற்கனவே மிக நீண்டதாக மாறிவிட்டது.

இயற்கணித வேர்: மேலும் அறிய விரும்புவோருக்கு

இந்த தலைப்பை தனி பத்தி போடலாமா வேண்டாமா என்று ரொம்ப நேரம் யோசித்தேன். கடைசியில் அதை இங்கேயே விட்டுவிட முடிவு செய்தேன். இந்த பொருள் வேர்களை இன்னும் சிறப்பாக புரிந்து கொள்ள விரும்புபவர்களுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது - இனி சராசரி "பள்ளி" மட்டத்தில் இல்லை, ஆனால் ஒலிம்பியாட் மட்டத்திற்கு அருகில் உள்ளது.

எனவே: ஒரு எண்ணின் $n$வது மூலத்தின் "கிளாசிக்கல்" வரையறை மற்றும் சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அடுக்குகளாக அதனுடன் தொடர்புடைய பிரிவுக்கு கூடுதலாக, சமநிலை மற்றும் பிற நுணுக்கங்களைச் சார்ந்து இல்லாத ஒரு "வயது வந்தோர்" வரையறை உள்ளது. இது இயற்கணித வேர் எனப்படும்.

வரையறை. எந்த $a$ இன் இயற்கணித $n$வது மூலமானது $((b)^(n))=a$ போன்ற அனைத்து எண்களின் $b$களின் தொகுப்பாகும். அத்தகைய வேர்களுக்கு நிறுவப்பட்ட பதவி எதுவும் இல்லை, எனவே மேலே ஒரு கோடு வைப்போம்:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

பாடத்தின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்ட நிலையான வரையறையிலிருந்து அடிப்படை வேறுபாடு என்னவென்றால், இயற்கணித வேர் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் அல்ல, ஆனால் ஒரு தொகுப்பாகும். நாங்கள் உண்மையான எண்களுடன் வேலை செய்வதால், இந்த தொகுப்பு மூன்று வகைகளில் மட்டுமே வருகிறது:

1. வெற்று தொகுப்பு. எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து ஒரு சமமான பட்டத்தின் இயற்கணித மூலத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டியிருக்கும் போது நிகழ்கிறது;
2. ஒரு தனி உறுப்பு கொண்ட தொகுப்பு. ஒற்றைப்படை சக்திகளின் அனைத்து வேர்களும், பூஜ்ஜியத்தின் சம சக்திகளின் வேர்களும் இந்த வகைக்குள் அடங்கும்;
3. இறுதியாக, தொகுப்பில் இரண்டு எண்கள் இருக்கலாம் - அதே $((x)_(1))$ மற்றும் $(x)_(2))=-((x)_(1))$ வரைபட இருபடி செயல்பாடு. அதன்படி, நேர்மறை எண்ணிலிருந்து இரட்டைப் பட்டத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும்போது மட்டுமே அத்தகைய ஏற்பாடு சாத்தியமாகும்.

கடைசி வழக்கு இன்னும் விரிவான பரிசீலனைக்கு தகுதியானது. வித்தியாசத்தைப் புரிந்துகொள்ள ஓரிரு உதாரணங்களை எண்ணுவோம்.

உதாரணமாக. வெளிப்பாடுகளை மதிப்பிடுங்கள்:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

தீர்வு. முதல் வெளிப்பாடு எளிது:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

இது தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் இரண்டு எண்கள். ஏனெனில் அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு நான்கு கொடுக்கிறது.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ஒரே ஒரு எண்ணைக் கொண்ட ஒரு தொகுப்பை இங்கே காண்கிறோம். ரூட் அடுக்கு ஒற்றைப்படை என்பதால் இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.

இறுதியாக, கடைசி வெளிப்பாடு:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

நாங்கள் ஒரு வெற்று தொகுப்பைப் பெற்றோம். ஏனென்றால், நான்காவது (அதாவது கூட!) சக்திக்கு உயர்த்தப்படும் போது, ​​நமக்கு எதிர்மறை எண்ணான −16ஐக் கொடுக்கும் ஒரு உண்மையான எண் கூட இல்லை.

இறுதி குறிப்பு. தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: நாங்கள் உண்மையான எண்களுடன் வேலை செய்கிறோம் என்பதை எல்லா இடங்களிலும் நான் குறிப்பிட்டது தற்செயலாக அல்ல. சிக்கலான எண்களும் இருப்பதால் - அங்கு $\sqrt(-16)$ மற்றும் பல விசித்திரமான விஷயங்களைக் கணக்கிடுவது மிகவும் சாத்தியம்.

இருப்பினும், நவீன பள்ளிக் கணிதப் பாடங்களில் சிக்கலான எண்கள் ஒருபோதும் தோன்றுவதில்லை. பெரும்பாலான பாடப்புத்தகங்களிலிருந்து அவை அகற்றப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் எங்கள் அதிகாரிகள் தலைப்பை "புரிந்து கொள்ள மிகவும் கடினம்" என்று கருதுகின்றனர்.

அவ்வளவுதான். அடுத்த பாடத்தில், வேர்களின் அனைத்து முக்கிய பண்புகளையும் பார்ப்போம், இறுதியாக பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். :)

சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள். எதிர்மறையுடன் பட்டம் ,

பூஜ்யம் மற்றும் பகுதியளவு காட்டி. எந்த அர்த்தமும் இல்லாத வெளிப்பாடுகள் பற்றி.

டிகிரி கொண்ட செயல்பாடுகள்.

1. ஒரே அடித்தளத்துடன் சக்திகளைப் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கூடுகின்றன:

நான் · a n = a m + n.

2. டிகிரிகளை ஒரே அடித்தளத்துடன் பிரிக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் கழிக்கப்படுகின்றன .

3. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளின் உற்பத்தியின் அளவு இந்த காரணிகளின் அளவுகளின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

(ஏபிசி… ) n = a n· b n · c n…

4. ஒரு விகிதத்தின் அளவு (பின்னம்) ஈவுத்தொகை (எண்) மற்றும் வகுப்பி (வகுப்பு) ஆகியவற்றின் டிகிரிகளின் விகிதத்திற்கு சமம்:

(a/b ) n = a n / b n.

5. ஒரு சக்தியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும் போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் பெருக்கப்படுகின்றன:

(நான் ) n = a m n.

மேலே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் இடமிருந்து வலமாக மற்றும் நேர்மாறாக இரு திசைகளிலும் படிக்கப்பட்டு செயல்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணமாக (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

வேர்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள். கீழே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களிலும், குறியீடு அர்த்தம் எண்கணித வேர்(தீவிர வெளிப்பாடு நேர்மறை).

1. பல காரணிகளின் உற்பத்தியின் வேர் தயாரிப்புக்கு சமம் இந்த காரணிகளின் வேர்கள்:

2. ஒரு விகிதத்தின் வேர் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பியின் வேர்களின் விகிதத்திற்கு சமம்:

3. ஒரு சக்திக்கு வேரை உயர்த்தும் போது, ​​இந்த சக்திக்கு உயர்த்தினால் போதும் தீவிர எண்:

4. நாம் ரூட்டின் அளவை அதிகரித்தால்மீ வரை உயர்த்தமீ வது சக்தி ஒரு தீவிர எண், பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு மாறாது:

5. ரூட்டின் அளவைக் குறைத்தால்மீ ஒரு முறை மற்றும் அதே நேரத்தில் ரூட் பிரித்தெடுக்கமீ ஒரு தீவிர எண்ணின் சக்தி, பின்னர் ரூட்டின் மதிப்பு இல்லைமாறும்:

பட்டத்தின் கருத்தை விரிவுபடுத்துதல். இதுவரை நாம் பட்டங்களை இயற்கை அடுக்குகளுடன் மட்டுமே கருதினோம்;ஆனால் உடன் செயல்கள் டிகிரி மற்றும் வேர்கள் கூட வழிவகுக்கும் எதிர்மறை, பூஜ்யம்மற்றும் பகுதியளவுகுறிகாட்டிகள். இந்த அனைத்து அடுக்குகளுக்கும் கூடுதல் வரையறை தேவைப்படுகிறது.

எதிர்மறை அடுக்கு கொண்ட பட்டம். சில எண்ணின் சக்தி c ஒரு எதிர்மறை (முழு எண்) அடுக்கு ஒரு வகுக்க என வரையறுக்கப்படுகிறது முழுமையான மதிப்புக்கு சமமான அடுக்குடன் அதே எண்ணின் சக்தியால்எதிர்மறை காட்டி:

டிஇப்போது சூத்திரம் நான்: ஒரு= நான் - n க்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியாதுமீ, விட n, ஆனால் உடன் மீ, குறைவாக n .

உதாரணமாக அ 4 :அ 7 = ஏ 4 - 7 = ஏ - 3 .

சூத்திரம் வேண்டுமானால்நான் : ஒரு= நான் - nஎப்போது நியாயமாக இருந்ததுm = n, டிகிரி பூஜ்ஜியத்தின் வரையறை தேவை.

பூஜ்ஜிய குறியீட்டுடன் ஒரு பட்டம். அதிவேக பூஜ்ஜியத்துடன் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணின் சக்தியும் 1 ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள். 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன் பட்டம். உண்மையான எண்ணை உயர்த்தமற்றும் சக்தி m/n , நீங்கள் ரூட் பிரித்தெடுக்க வேண்டும் m இன் n வது சக்தி -இந்த எண்ணின் சக்தி A:

எந்த அர்த்தமும் இல்லாத வெளிப்பாடுகள் பற்றி. இதுபோன்ற பல வெளிப்பாடுகள் உள்ளன.எந்த எண்.

உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு சில எண்ணுக்கு சமம் என்று நாம் கருதினால் எக்ஸ், பின்னர் பிரிவு செயல்பாட்டின் வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது: 0 = 0 · எக்ஸ். ஆனால் இந்த சமத்துவம் எப்போது ஏற்படுகிறது எந்த எண் x, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதாக இருந்தது.

வழக்கு 3.

0 0 - எந்த எண்.

உண்மையில்,

தீர்வு. மூன்று முக்கிய நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1) எக்ஸ் = 0 – இந்த மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யவில்லை

(ஏன்?).

2) எப்போது எக்ஸ்> 0 நாம் பெறுகிறோம்: x/x = 1, அதாவது. 1 = 1, அதாவது

என்ன எக்ஸ்- எந்த எண்; ஆனால் அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது

எங்கள் விஷயத்தில் எக்ஸ்> 0, பதில்எக்ஸ் > 0 ;

3) எப்போது எக்ஸ் < 0 получаем: – x/x= 1, அதாவது ஈ . –1 = 1, எனவே,

இந்த வழக்கில் தீர்வு இல்லை.

இதனால், எக்ஸ் > 0.

மீண்டும் அந்த அடையாளத்தை பார்த்தேன்... மேலும், போகலாம்!

எளிமையான ஒன்றைத் தொடங்குவோம்:

ஒரு நிமிடம். இது, அதாவது நாம் இதை இப்படி எழுதலாம்:

அறிந்துகொண்டேன்? உங்களுக்கான அடுத்தது இதோ:

இதன் விளைவாக வரும் எண்களின் வேர்கள் சரியாக பிரித்தெடுக்கப்படவில்லையா? பிரச்சனை இல்லை - இங்கே சில எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

இரண்டு இல்லை, ஆனால் பல பெருக்கிகள் இருந்தால் என்ன செய்வது? அதே! வேர்களை பெருக்குவதற்கான சூத்திரம் பல காரணிகளுடன் செயல்படுகிறது:

இப்போது முற்றிலும் உங்கள் சொந்த:

பதில்கள்:நல்லது! ஒப்புக்கொள், எல்லாம் மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் பெருக்கல் அட்டவணையை அறிந்து கொள்வது!

வேர் பிரிவு

வேர்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் வரிசைப்படுத்தியுள்ளோம், இப்போது பிரிவின் சொத்துக்கு செல்லலாம்.

பொதுவான சூத்திரம் இப்படி இருக்கும் என்பதை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

அதற்கு பொருள் என்னவென்றால் விகுதியின் மூலமானது வேர்களின் விகுதிக்கு சமம்.

சரி, சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

அறிவியல் அவ்வளவுதான். இங்கே ஒரு உதாரணம்:

முதல் எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல எல்லாம் மென்மையாக இல்லை, ஆனால், நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை.

இந்த வெளிப்பாட்டைக் கண்டால் என்ன செய்வது:

நீங்கள் எதிர் திசையில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

மற்றும் இங்கே ஒரு உதாரணம்:

இந்த வெளிப்பாட்டையும் நீங்கள் காணலாம்:

எல்லாம் ஒன்றுதான், பின்னங்களை எவ்வாறு மொழிபெயர்ப்பது என்பதை இங்கே மட்டுமே நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும் (உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், தலைப்பைப் பார்த்து திரும்பி வாருங்கள்!). உனக்கு நினைவிருக்கிறதா? இப்போது முடிவு செய்வோம்!

நீங்கள் எல்லாவற்றையும் சமாளித்துவிட்டீர்கள் என்று நான் நம்புகிறேன், இப்போது வேர்களை டிகிரிக்கு உயர்த்த முயற்சிப்போம்.

விரிவடைதல்

வர்க்கமூலம் சதுரமாக இருந்தால் என்ன நடக்கும்? இது எளிமையானது, ஒரு எண்ணின் வர்க்க மூலத்தின் அர்த்தத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள் - இது வர்க்க மூலத்திற்கு சமமான எண்.

எனவே, வர்க்கமூலம் சமமாக இருக்கும் எண்ணை நாம் வர்க்கப்படுத்தினால், நமக்கு என்ன கிடைக்கும்?

சரி, நிச்சயமாக,!

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

இது எளிது, இல்லையா? ரூட் வேறு பட்டமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? அது பரவாயில்லை!

அதே தர்க்கத்தைப் பின்பற்றி, டிகிரிகளுடன் பண்புகள் மற்றும் சாத்தியமான செயல்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

"" என்ற தலைப்பில் கோட்பாட்டைப் படியுங்கள், எல்லாம் உங்களுக்கு மிகவும் தெளிவாகிவிடும்.

உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வெளிப்பாடு உள்ளது:

இந்த எடுத்துக்காட்டில், பட்டம் சமமானது, ஆனால் அது ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் என்ன செய்வது? மீண்டும், அடுக்குகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் எல்லாவற்றையும் காரணி செய்யவும்:

இதனுடன் எல்லாம் தெளிவாகத் தெரிகிறது, ஆனால் ஒரு எண்ணின் மூலத்தை ஒரு சக்திக்கு எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது? இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, இது:

மிகவும் எளிமையானது, இல்லையா? பட்டம் இரண்டுக்கு மேல் இருந்தால் என்ன செய்வது? டிகிரிகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அதே தர்க்கத்தை நாங்கள் பின்பற்றுகிறோம்:

சரி, எல்லாம் தெளிவாக இருக்கிறதா? பின்னர் உதாரணங்களை நீங்களே தீர்க்கவும்:

மற்றும் பதில்கள் இங்கே:

வேரின் அடையாளத்தின் கீழ் நுழைகிறது

வேர்களுடன் என்ன செய்ய நாம் கற்றுக்கொள்ளவில்லை! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிடுவதைப் பயிற்சி செய்வதுதான் மிச்சம்!

இது மிகவும் எளிதானது!

எங்களிடம் ஒரு எண் எழுதப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்

அதை வைத்து நாம் என்ன செய்ய முடியும்? சரி, நிச்சயமாக, மூன்றையும் வேரின் கீழ் மறைத்து, மூன்றின் வர்க்கமூலம் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

நமக்கு இது ஏன் தேவை? ஆம், உதாரணங்களைத் தீர்க்கும் போது எங்கள் திறன்களை விரிவாக்குவதற்கு:

வேர்களின் இந்த சொத்தை நீங்கள் எப்படி விரும்புகிறீர்கள்? இது வாழ்க்கையை மிகவும் எளிதாக்குகிறதா? என்னைப் பொறுத்தவரை, அது சரியானது! மட்டுமே வர்க்கமூலக் குறியின் கீழ் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே உள்ளிட முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த உதாரணத்தை நீங்களே தீர்க்கவும் -
சமாளித்தாயா? நீங்கள் எதைப் பெற வேண்டும் என்பதைப் பார்ப்போம்:

நல்லது! ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் எண்ணை உள்ளிட முடிந்தது! சமமான முக்கியமான ஒன்றிற்குச் செல்வோம் - வர்க்க மூலத்தைக் கொண்ட எண்களை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம்!

வேர்களின் ஒப்பீடு

ஒரு வர்க்க மூலத்தைக் கொண்ட எண்களை ஒப்பிட நாம் ஏன் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்?

மிக எளிய. பெரும்பாலும், தேர்வில் எதிர்கொள்ளும் பெரிய மற்றும் நீண்ட வெளிப்பாடுகளில், நாம் ஒரு பகுத்தறிவற்ற பதிலைப் பெறுகிறோம் (இது என்ன என்பதை நினைவில் கொள்க? இதைப் பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம்!)

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க எந்த இடைவெளி பொருத்தமானது என்பதைத் தீர்மானிக்க, பெறப்பட்ட பதில்களை ஒருங்கிணைப்பு வரியில் வைக்க வேண்டும். இங்கே சிக்கல் எழுகிறது: தேர்வில் கால்குலேட்டர் இல்லை, அது இல்லாமல், எந்த எண் பெரியது, எது குறைவு என்பதை நீங்கள் எப்படி கற்பனை செய்யலாம்? அவ்வளவுதான்!

எடுத்துக்காட்டாக, எது பெரியது என்பதை தீர்மானிக்கவும்: அல்லது?

உடனே சொல்ல முடியாது. சரி, ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண்ணை உள்ளிடுவதற்கான பிரிக்கப்பட்ட சொத்தைப் பயன்படுத்தலாமா?

பின்னர் மேலே செல்லுங்கள்:

சரி, வெளிப்படையாக, ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் பெரிய எண், பெரிய ரூட் தன்னை!

அந்த. என்றால், பின்னர்,.

இதிலிருந்து நாம் உறுதியாக முடிவு செய்கிறோம். வேறு யாரும் நம்மை நம்ப வைக்க மாட்டார்கள்!

பெரிய எண்ணிக்கையில் இருந்து வேர்களை பிரித்தெடுத்தல்

இதற்கு முன், ரூட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு பெருக்கியை உள்ளிட்டோம், ஆனால் அதை எவ்வாறு அகற்றுவது? நீங்கள் அதை காரணிகளாகக் கருதி, நீங்கள் பிரித்தெடுப்பதைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும்!

வேறுபட்ட பாதையை எடுத்து மற்ற காரணிகளுக்கு விரிவாக்க முடிந்தது:

மோசமாக இல்லை, இல்லையா? இந்த அணுகுமுறைகளில் ஏதேனும் சரியானது, நீங்கள் விரும்பியபடி முடிவு செய்யுங்கள்.

இது போன்ற தரமற்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது காரணியாக்கம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்:

பயப்படாமல் செயல்படுவோம்! மூலத்தின் கீழ் உள்ள ஒவ்வொரு காரணியையும் தனித்தனி காரணிகளாக சிதைப்போம்:

இப்போது அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (கால்குலேட்டர் இல்லாமல்! இது தேர்வில் இருக்காது):

இது முடிவா? பாதியில் நிறுத்த வேண்டாம்!

அவ்வளவுதான், இது மிகவும் பயமாக இல்லை, இல்லையா?

நடந்ததா? நல்லது, அது சரி!

இப்போது இந்த உதாரணத்தை முயற்சிக்கவும்:

ஆனால் உதாரணம் ஒரு கடினமான நட்டு, எனவே அதை எப்படி அணுகுவது என்பதை உடனடியாக கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஆனால், நிச்சயமாக, நாம் அதை கையாள முடியும்.

சரி, காரணியாக்கத்தை ஆரம்பிக்கலாமா? நீங்கள் ஒரு எண்ணை இதன் மூலம் வகுக்க முடியும் என்பதை உடனடியாக கவனிக்கலாம் (வகுத்தலின் அறிகுறிகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள்):

இப்போது, ​​அதை நீங்களே முயற்சிக்கவும் (மீண்டும், கால்குலேட்டர் இல்லாமல்!):

சரி, அது வேலை செய்ததா? நல்லது, அது சரி!

சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்

1. எதிர்மில்லாத எண்ணின் வர்க்கமூலம் (எண்கணித வர்க்கமூலம்) என்பது எதிர்மில்லாத எண்ணாகும், அதன் வர்க்கம் சமமாக இருக்கும்.
   .
2. நாம் எதையாவது வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொண்டால், எப்போதும் எதிர்மறையான முடிவு ஒன்று கிடைக்கும்.
3. எண்கணித மூலத்தின் பண்புகள்:
4. சதுர வேர்களை ஒப்பிடும் போது, ​​ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் பெரிய எண், ரூட் தன்னை பெரியதாக நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வர்க்கமூலம் எப்படி இருக்கிறது? அனைத்தும் தெளிவாக?

ஸ்கொயர் ரூட் பற்றி தேர்வில் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய அனைத்தையும் சலசலப்பு இல்லாமல் உங்களுக்கு விளக்க முயற்சித்தோம்.

இது உங்கள் முறை. இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கிறதா இல்லையா என்பதை எங்களுக்கு எழுதுங்கள்.

நீங்கள் புதிதாக ஏதாவது கற்றுக்கொண்டீர்களா அல்லது எல்லாம் ஏற்கனவே தெளிவாக இருந்ததா?

கருத்துகளில் எழுதுங்கள் மற்றும் உங்கள் தேர்வுகளுக்கு வாழ்த்துக்கள்!