கணித கலைக்களஞ்சியம். கணித கலைக்களஞ்சியம் மற்ற அகராதிகளில் "கணித கலைக்களஞ்சியம்" என்ன என்பதைப் பார்க்கவும்

கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் ஒரு குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வகை கட்டுரைகளுக்கான முக்கிய தேவை, கோட்பாட்டின் தற்போதைய நிலையின் மேலோட்டத்தின் சாத்தியமான முழுமை, விளக்கக்காட்சியின் அதிகபட்ச அணுகல்; இந்தக் கட்டுரைகள் பொதுவாக மூத்த கணித மாணவர்கள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் தொடர்பான துறைகளில் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் - கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பிற அறிவுத் துறைகளில் நிபுணர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களுக்கு பொதுவாக அணுகக்கூடியவை. மேலும், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கணித முறைகள் பற்றிய நடுத்தர அளவிலான கட்டுரைகள் வழங்கப்படுகின்றன; இந்தக் கட்டுரைகள் ஒரு குறுகிய வாசகர்களை நோக்கமாகக் கொண்டவை, எனவே அவை குறைவாக அணுகக்கூடியதாக இருக்கலாம். இறுதியாக, மற்றொரு வகை கட்டுரை சுருக்கமான குறிப்புகள் மற்றும் வரையறைகள். என்சைக்ளோபீடியாவின் கடைசி தொகுதியின் முடிவில் ஒரு பொருள் அட்டவணை இருக்கும், அதில் அனைத்து கட்டுரைகளின் தலைப்புகள் மட்டுமல்ல, பல கருத்துகளும் அடங்கும், அவற்றின் வரையறைகள் முதல் இரண்டு வகைகளின் கட்டுரைகளுக்குள் கொடுக்கப்படும். கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள மிக முக்கியமான முடிவுகளாக. என்சைக்ளோபீடியா கட்டுரைகளில் பெரும்பாலானவை ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் வரிசை எண்களுடன் ஒரு நூலகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது கட்டுரைகளின் உரைகளில் அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கட்டுரைகளின் முடிவில் (ஒரு விதியாக), கட்டுரை ஏற்கனவே வெளியிடப்பட்டிருந்தால் (முக்கியமாக இவை கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியாவில் உள்ள கட்டுரைகள்) ஆசிரியர் அல்லது ஆதாரம் குறிக்கப்படுகிறது. கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வெளிநாட்டு (பழங்காலத்தைத் தவிர) விஞ்ஞானிகளின் பெயர்கள் லத்தீன் எழுத்துப்பிழையுடன் (குறிப்புகளின் பட்டியலுக்கு இணைப்பு இல்லை என்றால்) சேர்ந்துள்ளன.

கணித கலைக்களஞ்சியம், தொகுதி 3, Vinogradov I.M., 1982 ஐ பதிவிறக்கம் செய்து படிக்கவும்

கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் ஒரு குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வகை கட்டுரைகளுக்கான முக்கிய தேவை, கோட்பாட்டின் தற்போதைய நிலையின் மேலோட்டத்தின் சாத்தியமான முழுமை, விளக்கக்காட்சியின் அதிகபட்ச அணுகல்; இந்தக் கட்டுரைகள் பொதுவாக மூத்த கணித மாணவர்கள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் தொடர்பான துறைகளில் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் - கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பிற அறிவுத் துறைகளில் நிபுணர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களுக்கு பொதுவாக அணுகக்கூடியவை. மேலும், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கணித முறைகள் பற்றிய நடுத்தர அளவிலான கட்டுரைகள் வழங்கப்படுகின்றன; இந்தக் கட்டுரைகள் ஒரு குறுகிய வாசகர்களை நோக்கமாகக் கொண்டவை, எனவே அவை குறைவாக அணுகக்கூடியதாக இருக்கலாம். இறுதியாக, மற்றொரு வகை கட்டுரை சுருக்கமான குறிப்புகள் மற்றும் வரையறைகள். என்சைக்ளோபீடியாவின் கடைசி தொகுதியின் முடிவில் ஒரு பொருள் அட்டவணை இருக்கும், அதில் அனைத்து கட்டுரைகளின் தலைப்புகள் மட்டுமல்ல, பல கருத்துகளும் அடங்கும், அவற்றின் வரையறைகள் முதல் இரண்டு வகைகளின் கட்டுரைகளுக்குள் கொடுக்கப்படும். கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள மிக முக்கியமான முடிவுகளாக. என்சைக்ளோபீடியா கட்டுரைகளில் பெரும்பாலானவை ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் வரிசை எண்களுடன் ஒரு நூலகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது கட்டுரைகளின் உரைகளில் அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கட்டுரைகளின் முடிவில் (ஒரு விதியாக), கட்டுரை ஏற்கனவே வெளியிடப்பட்டிருந்தால் (முக்கியமாக இவை கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியாவில் உள்ள கட்டுரைகள்) ஆசிரியர் அல்லது ஆதாரம் குறிக்கப்படுகிறது. கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வெளிநாட்டு (பழங்காலத்தைத் தவிர) விஞ்ஞானிகளின் பெயர்கள் லத்தீன் எழுத்துப்பிழையுடன் (குறிப்புகளின் பட்டியலுக்கு இணைப்பு இல்லை என்றால்) சேர்ந்துள்ளன.

கணித கலைக்களஞ்சியம், தொகுதி 2, Vinogradov I.M., 1979 ஐ பதிவிறக்கம் செய்து படிக்கவும்

கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் ஒரு குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வகை கட்டுரைகளுக்கான முக்கிய தேவை, கோட்பாட்டின் தற்போதைய நிலையின் மேலோட்டத்தின் சாத்தியமான முழுமை, விளக்கக்காட்சியின் அதிகபட்ச அணுகல்; இந்தக் கட்டுரைகள் பொதுவாக மூத்த கணித மாணவர்கள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் தொடர்பான துறைகளில் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் - கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பிற அறிவுத் துறைகளில் நிபுணர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களுக்கு பொதுவாக அணுகக்கூடியவை. மேலும், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கணித முறைகள் பற்றிய நடுத்தர அளவிலான கட்டுரைகள் வழங்கப்படுகின்றன; இந்தக் கட்டுரைகள் ஒரு குறுகிய வாசகர்களை நோக்கமாகக் கொண்டவை, எனவே அவை குறைவாக அணுகக்கூடியதாக இருக்கலாம். இறுதியாக, மற்றொரு வகை கட்டுரை சுருக்கமான குறிப்புகள் மற்றும் வரையறைகள். என்சைக்ளோபீடியாவின் கடைசி தொகுதியின் முடிவில் ஒரு பொருள் அட்டவணை இருக்கும், அதில் அனைத்து கட்டுரைகளின் தலைப்புகள் மட்டுமல்ல, பல கருத்துகளும் அடங்கும், அவற்றின் வரையறைகள் முதல் இரண்டு வகைகளின் கட்டுரைகளுக்குள் கொடுக்கப்படும். கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள மிக முக்கியமான முடிவுகளாக. என்சைக்ளோபீடியா கட்டுரைகளில் பெரும்பாலானவை ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் வரிசை எண்களுடன் ஒரு நூலகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது கட்டுரைகளின் உரைகளில் அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கட்டுரைகளின் முடிவில் (ஒரு விதியாக), கட்டுரை ஏற்கனவே வெளியிடப்பட்டிருந்தால் (முக்கியமாக இவை கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியாவில் உள்ள கட்டுரைகள்) ஆசிரியர் அல்லது ஆதாரம் குறிக்கப்படுகிறது. கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வெளிநாட்டு (பழங்காலத்தைத் தவிர) விஞ்ஞானிகளின் பெயர்கள் லத்தீன் எழுத்துப்பிழையுடன் (குறிப்புகளின் பட்டியலுக்கு இணைப்பு இல்லை என்றால்) சேர்ந்துள்ளன.

கணித கலைக்களஞ்சியம், தொகுதி 1, Vinogradov I.M., 1977 ஐ பதிவிறக்கம் செய்து படிக்கவும்

இயற்கணிதம் முதலில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் அக்கறை கொண்ட கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாக இருந்தது. வடிவவியலைப் போலல்லாமல், இயற்கணிதத்தின் அச்சுக் கட்டுமானம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை இல்லை, இயற்கணிதத்தின் பொருள் மற்றும் தன்மை பற்றிய அடிப்படையில் புதிய பார்வை தோன்றியது. இயற்கணித கட்டமைப்புகள் என்று அழைக்கப்படுபவை பற்றிய ஆய்வில் ஆராய்ச்சி அதிக கவனம் செலுத்தத் தொடங்கியது. இதனால் இரண்டு நன்மைகள் இருந்தன. ஒருபுறம், தனிப்பட்ட கோட்பாடுகள் செல்லுபடியாகும் பகுதிகள் தெளிவுபடுத்தப்பட்டன; மறுபுறம், முற்றிலும் வேறுபட்ட பகுதிகளில் அதே ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமானது. இயற்கணிதத்தின் இந்த பிரிவு 20 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை நீடித்தது மற்றும் இரண்டு பெயர்களின் தோற்றத்தில் பிரதிபலித்தது: "கிளாசிக்கல் அல்ஜீப்ரா" மற்றும் "நவீன இயற்கணிதம்". பிந்தையது மற்றொரு பெயரால் சிறப்பாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது: "சுருக்க இயற்கணிதம்". உண்மை என்னவென்றால், இந்த பகுதி - கணிதத்தில் முதல் முறையாக - முழுமையான சுருக்கத்தால் வகைப்படுத்தப்பட்டது.

சிறிய கணித கலைக்களஞ்சியம், ஃபிரைடு ஈ., பாஸ்டர் ஐ., ரெய்மான் ஐ., ரெவ்ஸ் பி., ருஸ்ஸா ஐ., 1976 ஐ பதிவிறக்கம் செய்து படிக்கவும்

"நிகழ்தகவு மற்றும் கணித புள்ளியியல்" என்பது நிகழ்தகவு கோட்பாடு, கணித புள்ளியியல் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் பல்வேறு துறைகளில் அவற்றின் பயன்பாடுகள் பற்றிய குறிப்பு வெளியீடு ஆகும். கலைக்களஞ்சியம் இரண்டு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது: முதன்மையானது மதிப்பாய்வுக் கட்டுரைகள், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் முறைகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரைகள், அடிப்படைக் கருத்துகளின் வரையறைகளை வழங்கும் சுருக்கமான குறிப்புகள், மிக முக்கியமான கோட்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்கள். கணிசமான இடம் பயன்பாட்டு சிக்கல்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது - தகவல் கோட்பாடு, வரிசை கோட்பாடு, நம்பகத்தன்மை கோட்பாடு, சோதனை திட்டமிடல் மற்றும் தொடர்புடைய பகுதிகள் - இயற்பியல், புவி இயற்பியல், மரபியல், மக்கள்தொகை மற்றும் தொழில்நுட்பத்தின் தனிப்பட்ட கிளைகள். பெரும்பாலான கட்டுரைகள் இந்த பிரச்சினையில் மிக முக்கியமான படைப்புகளின் நூலகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. கட்டுரைகளின் தலைப்புகளும் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இரண்டாவது பகுதி - “நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் கணித புள்ளிவிவரங்கள் பற்றிய தொகுப்பு” கடந்த காலத்தின் உள்நாட்டு கலைக்களஞ்சியங்களுக்காக எழுதப்பட்ட கட்டுரைகளையும், பிற படைப்புகளில் முன்னர் வெளியிடப்பட்ட கலைக்களஞ்சிய பொருட்களையும் கொண்டுள்ளது. கலைக்களஞ்சியமானது நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு மற்றும் கணிதப் புள்ளியியல் ஆகியவற்றில் தலைப்புகளை உள்ளடக்கிய பத்திரிகைகள், பருவ இதழ்கள் மற்றும் தற்போதைய வெளியீடுகளின் விரிவான பட்டியலைக் கொண்டுள்ளது.
என்சைக்ளோபீடியாவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பொருள் இளங்கலை பட்டதாரிகள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் மற்றும் பிற அறிவியல் துறையில் தங்கள் ஆராய்ச்சி மற்றும் நடைமுறை வேலைகளில் நிகழ்தகவு முறைகளைப் பயன்படுத்தும் ஆராய்ச்சியாளர்களுக்கு அவசியம்.

கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் ஒரு குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வகை கட்டுரைகளுக்கான முக்கிய தேவை, கோட்பாட்டின் தற்போதைய நிலையின் மேலோட்டத்தின் சாத்தியமான முழுமை, விளக்கக்காட்சியின் அதிகபட்ச அணுகல்; இந்தக் கட்டுரைகள் பொதுவாக மூத்த கணித மாணவர்கள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் தொடர்பான துறைகளில் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் - கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பிற அறிவுத் துறைகளில் நிபுணர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களுக்கு பொதுவாக அணுகக்கூடியவை. மேலும், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கணித முறைகள் பற்றிய நடுத்தர அளவிலான கட்டுரைகள் வழங்கப்படுகின்றன; இந்தக் கட்டுரைகள் ஒரு குறுகிய வாசகர்களை நோக்கமாகக் கொண்டவை, எனவே அவை குறைவாக அணுகக்கூடியதாக இருக்கலாம். இறுதியாக, மற்றொரு வகை கட்டுரை சுருக்கமான குறிப்புகள் மற்றும் வரையறைகள். முதல் இரண்டு வகையான கட்டுரைகளுக்குள் சில வரையறைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. என்சைக்ளோபீடியா கட்டுரைகளில் பெரும்பாலானவை ஒவ்வொரு தலைப்புக்கும் வரிசை எண்களுடன் ஒரு நூலகத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது கட்டுரைகளின் உரைகளில் அவற்றை மேற்கோள் காட்டுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. கட்டுரைகளின் முடிவில் (ஒரு விதியாக), கட்டுரை ஏற்கனவே வெளியிடப்பட்டிருந்தால் (முக்கியமாக இவை கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியாவில் உள்ள கட்டுரைகள்) ஆசிரியர் அல்லது ஆதாரம் குறிக்கப்படுகிறது. கட்டுரைகளில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள வெளிநாட்டு (பழங்காலத்தைத் தவிர) விஞ்ஞானிகளின் பெயர்கள் லத்தீன் எழுத்துப்பிழையுடன் (குறிப்புகளின் பட்டியலுக்கு இணைப்பு இல்லை என்றால்) சேர்ந்துள்ளன.

கலைக்களஞ்சியத்தில் கட்டுரைகளின் ஏற்பாட்டின் கொள்கை அகரவரிசையில் உள்ளது. கட்டுரையின் தலைப்பு ஒரு ஒத்த சொல்லைக் கொண்ட ஒரு சொல்லாக இருந்தால், பிந்தையது பிரதானத்திற்குப் பிறகு கொடுக்கப்படும். பல சந்தர்ப்பங்களில், கட்டுரைத் தலைப்புகள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சொற்களைக் கொண்டிருக்கும். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், சொற்கள் அவற்றின் மிகவும் பொதுவான வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன, அல்லது மிக முக்கியமான பொருளைக் கொண்ட வார்த்தைக்கு முதலிடம் கொடுக்கப்படுகிறது. ஒரு கட்டுரையின் தலைப்பு சரியான பெயரை உள்ளடக்கியிருந்தால், அது முதலிடத்தில் வைக்கப்படும் (அத்தகைய கட்டுரைகளுக்கான குறிப்புகளின் பட்டியலில், ஒரு விதியாக, சொல்லின் பெயரை விளக்கும் முதன்மை ஆதாரம் உள்ளது). கட்டுரைகளின் தலைப்புகள் முதன்மையாக ஒருமையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

என்சைக்ளோபீடியா மற்ற கட்டுரைகளுக்கான இணைப்புகளின் அமைப்பை பரவலாகப் பயன்படுத்துகிறது, அங்கு வாசகர் கருத்தில் உள்ள தலைப்பில் கூடுதல் தகவல்களைக் காணலாம். கட்டுரையின் தலைப்பில் தோன்றும் வார்த்தைக்கான குறிப்பை வரையறை வழங்கவில்லை.

இடத்தை சேமிப்பதற்காக, கட்டுரைகள் கலைக்களஞ்சியங்களுக்கு சில சொற்களின் வழக்கமான சுருக்கங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன.

தொகுதி 1 இல் பணியாற்றினார்

பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா" கணித ஆசிரியர் குழு - V. I. BITYUTSKOV (எடிட்டோரியல் தலைவர்), M. I. VOITSEKHOVSKY (அறிவியல் ஆசிரியர்), Yu. A. GORBKOV (அறிவியல் ஆசிரியர்), A. B. IVANOV (Scientific Editor), A. B. IVANOV (Scientific Editor), A. B. IVANOV அறிவியல் ஆசிரியர்), T. Y. POPOVA (அறிவியல் ஆசிரியர்), S. A. RUKOVA (மூத்த அறிவியல் ஆசிரியர்), E. G. SOBOLEVSKAYA (ஆசிரியர்), L. V. SOKOLOVA (ஜூனியர் ஆசிரியர்), L. R. HABIB (ஜூனியர் ஆசிரியர்).

பதிப்பக ஊழியர்கள்: E.P. RYABOVA (இலக்கிய ஆசிரியர்கள்). E. I. ZHAROVA, A. M. மார்டினோவ் (நூல் பட்டியல்). A. F. DALKOVSKAYA (டிரான்ஸ்கிரிப்ஷன்). N. A. FEDOROVA (கையகப்படுத்துதல் துறை). 3. ஏ. சுகோவா (விளக்கப்படங்களின் பதிப்பு). E. I. அலெக்ஸீவா, N. Y. KRUZHALOVA (அகராதியின் ஆசிரியர்). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (ப்ரூப் ரீடர்). ஜி.வி. ஸ்மிர்நோவா (தொழில்நுட்ப பதிப்பு).

ஓவியர் ஆர்.ஐ. மலானிச்சேவின் அட்டைப்படம்.

தொகுதி 1 பற்றிய கூடுதல் தகவல்கள்

பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா"

என்சைக்ளோபீடியாக்கள், அகராதிகள், குறிப்பு புத்தகங்கள்

பதிப்பகத்தின் அறிவியல் மற்றும் ஆசிரியர் குழு

ஏ.எம். புரோகோரோவ் (தலைவர்), ஐ.வி. அபாஷிட்ஸே, பி.ஏ. அசிமோவ், ஏ.பி. அலெக்ஸாண்ட்ரோவ், வி. ஏ. அம்பர்ட்சுமியான், ஐ. ஐ. ஆர்டோபோலெவ்ஸ்கி, ஏ.வி. ஆர்டோபோலெவ்ஸ்கி, எம். எஸ். பா. அசிமோவ், எம்.எஸ். பரனோவ், என். என். போகோலியுபோவ், பி.யு. ப்ரோவ்கா, ஒய்.வி. ப்ரோம்லி, பி. இ. பைகோவ்ஸ்கி, வி. எக்ஸ். வசிலென்கோ , எல்.எம். வோலோடர்ஸ்கி, வி. வி. வோல்ஸ்கி, பி.எம். வுல், பி.ஜி. கஃபுரோவ், எஸ்.ஆர். கெர்ஷ்பெர்க், எம்.எஸ். கிலியாரோவ், வி. பி. க்ளூஷ்கோ, வி. எம். க்ளூஷ்கோவ், ஜி.என். கோலிகோவ், ஏ.வி., ஜி.வி., தலைவர். எலுடின், வி. எஸ். எமிலியானோவ், ஈ. எம். ஜுகோவ் , ஏ. ஏ. இம்ஷெனெட்ஸ்கி, என். என். இனோசெம்ட்செவ், எம். ஏ. ஐ. கபச்னிக், எஸ். வி. கலேஸ்னிக், ஜி. ஏ. கரவேவ், கே. கே. கராகீவ், எம். கே. கரடேவ், பி.எம். கெட்ரோவ், ஜி.வி. கேல்ட். எம். கோவலேவ் (முதல் துணைத் தலைவர்), எஃப். வி. கான்ஸ்டான்டினோவ், வி. என். குத்ரியாவ்ட்சேவ் , எம்.ஐ. குஸ்நெட்சோவ் (துணைத் தலைவர்), பி.வி. குகர்கின், வி. ஜி. குலிகோவ், ஐ. ஏ. குடுசோவ், பி.பி. லோபனோவ், ஜி. எம். லோசா, ஒய். இ. மக்சரேவ், பி.ஏ. மார்கோவ், யக். எம். ஜி.வி.ஐ.சி.ஐ. ஒபிச்சின், பி. இ. பாட்டன், வி. எம். போலேவோய், எம்.ஏ. ப்ரோகோபீவ், ஒய்.வி. ப்ரோகோரோவ், என்.எஃப். ரோஸ்டோவ்ட்சேவ், ஏ.எம். ருமியான்ட்சேவ், பி. ஏ. ரைபகோவ், வி.பி. சாம்சன், எம்.ஐ. ஸ்லாட்கோவ்ஸ்கி, வி. ஐ. ஸ்மிர்னோவ், வி. ஐ. ஸ்மிர்னோவ், டி.வி.ஓ.ஒக், தலைவர். என். ஸ்டோலெடோவ், பி. ஐ. ஸ்டுகலின், ஏ. ஏ. சுர்கோவ், எம்.எல். டெரென்டியேவ், எஸ். ஏ. டோக்கரேவ், வி. ஏ. ட்ரபெஸ்னிகோவ், ஈ.கே. ஃபெடோரோவ், எம்.பி. க்ராப்சென்கோ, ஈ.ஐ. சாசோவ், வி.என். செர்னிகோவ்ஸ்கி, ஒய்.இ.ஷ்முஷ்கிஸ், எஸ்.ஐ.யுட்கேவிச். சபையின் செயலாளர் எல்.வி.கிரிலோவா.

மாஸ்கோ 1977

கணித கலைக்களஞ்சியம். தொகுதி 1 (A - D)

தலைமை ஆசிரியர் ஐ.எம்.வினோகிராடோவ்

ஆசிரியர் குழு

எஸ்.ஐ. அட்யன், பி.எஸ். அலெக்ஸாண்ட்ரோவ், என்.எஸ். பக்வலோவ், வி.ஐ. பிட்யூட்ஸ்கோவ் (துணை தலைமையாசிரியர்), ஏ.வி. பிட்சாட்ஸே, எல்.என். போல்ஷேவ், ஏ. ஏ. கோஞ்சார், என்.வி. எஃபிமோவ், ஏ.கே. எஃபிமோவ், வி. எஃபிமோவ், வி. TSEV, B. M. லெவிடன், K. K. மர்ஜானிஷ்விலி, E. F. மிஷ்சென்கோ, எஸ்.பி. நோவிகோவ், ஈ.ஜி. போஸ்னியாக், ஒய்.வி. ப்ரோகோரோவ் (துணை தலைமையாசிரியர்), ஏ.ஜி. ஸ்வேஷ்னிகோவ், ஏ.என். டிகோனோவ், பி.எல். உலியானோவ், ஏ.ஐ.ஐ.

கணித கலைக்களஞ்சியம். எட். பலகை: ஐ.எம். வினோகிராடோவ் (தலைமை ஆசிரியர்) [மற்றும் பிறர்] டி. 1 - எம்., “சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா”, 1977

(என்சைக்ளோபீடியாக்கள். அகராதிகள். குறிப்பு புத்தகங்கள்), தொகுதி. 1. A - G. 1977. 1152 stb. இல்லஸ் இருந்து.

ஜூன் 9, 1976 இல் தட்டச்சு அமைப்பிற்காக சமர்ப்பிக்கப்பட்டது. பிப்ரவரி 18, 1977 அன்று அச்சிட கையொப்பமிடப்பட்டது. பெயரிடப்பட்ட முதல் மாடல் பிரிண்டிங் ஹவுஸில் செய்யப்பட்ட மெட்ரிக்குகளிலிருந்து உரை அச்சிடப்பட்டது. A. A. Zhdanova. "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா" என்ற ரெட் பேனர் ஆஃப் லேபர் பதிப்பகத்தின் ஆணை. 109817. மாஸ்கோ, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 சுழற்சி 150,000 பிரதிகள். ஆணை எண். 418. அச்சிடும் காகித எண். 1. காகித வடிவம் 84xl08 1/14. தொகுதி 36 உடல். பி.எல். ; 60, 48 வழக்கமானது பி.எல். உரை. 101, 82 கல்வி. - பதிப்பு. எல். புத்தகத்தின் விலை 7 ரூபிள். 10 கி.

பப்ளிஷிங், அச்சிடுதல் மற்றும் புத்தக வர்த்தகம், மாஸ்கோ, ஐ - 85, ப்ரோஸ்பெக்ட் மீரா, 105. சோவியத் ஒன்றியத்தின் அமைச்சர்கள் கவுன்சிலின் மாநிலக் குழுவின் கீழ் தொழிலாளர் மாஸ்கோ பிரிண்டிங் ஹவுஸ் எண் 1 "Soyuzpoligrafproma" இன் சிவப்பு பேனரின் ஆணை. 865.

20200 - 004 சந்தா © பப்ளிஷிங் ஹவுஸ் "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா", 1977 007(01) - 77

கணித கலைக்களஞ்சியம்

கணித கலைக்களஞ்சியம்- கணித தலைப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஐந்து தொகுதிகளில் சோவியத் கலைக்களஞ்சியம் வெளியீடு. 1985 இல் "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா" என்ற பதிப்பகத்தால் வெளியிடப்பட்டது. தலைமை ஆசிரியர்: கல்வியாளர் ஐ.எம்.வினோகிராடோவ்.

இது கணிதத்தின் அனைத்து முக்கிய பிரிவுகளிலும் ஒரு அடிப்படை விளக்கப்பட வெளியீடு ஆகும். புத்தகம் தலைப்பில் விரிவான பொருள், பிரபல கணிதவியலாளர்களின் சுயசரிதைகள், வரைபடங்கள், வரைபடங்கள், வரைபடங்கள் மற்றும் விளக்கப்படங்கள் ஆகியவற்றை வழங்குகிறது.

மொத்த தொகுதி: சுமார் 3000 பக்கங்கள். தொகுதி வாரியாக கட்டுரைகள் விநியோகம்:

• தொகுதி 1: அபாகஸ் - ஹ்யூஜென்ஸ் கொள்கை, 576 பக்.
• தொகுதி 2: D'Alembert ஆபரேட்டர் - கூட்டுறவு விளையாட்டு, 552 pp.
• தொகுதி 3: ஆயத்தொலைவுகள் - மோனோமியல், 592 பக்.
• தொகுதி 4: தேற்றத்தின் கண் - சிக்கலான செயல்பாடு, 608 பக்.
• தொகுதி 5: ரேண்டம் மாறி - செல், 623 பக்.
  தொகுதி 5க்கான இணைப்பு: அட்டவணை, குறிப்பிடப்பட்ட எழுத்துப்பிழைகளின் பட்டியல்.

இணைப்புகள்

• "கணித சமன்பாடுகளின் உலகம்" என்ற போர்ட்டலில் கணிதம் பற்றிய பொதுவான மற்றும் சிறப்பு குறிப்பு புத்தகங்கள் மற்றும் கலைக்களஞ்சியங்கள், நீங்கள் கலைக்களஞ்சியத்தை மின்னணு வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்யலாம்.

வகைகள்:

• அகர வரிசைப்படி புத்தகங்கள்
• கணித இலக்கியம்
• கலைக்களஞ்சியங்கள்
• "சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா" பதிப்பகத்தின் புத்தகங்கள்
• சோவியத் ஒன்றியத்தின் கலைக்களஞ்சியங்கள்

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

• கணித வேதியியல்
• குவாண்டம் இயக்கவியலின் கணித அடிப்படைகள்

பிற அகராதிகளில் "கணித கலைக்களஞ்சியம்" என்ன என்பதைக் காண்க:

கணித தர்க்கம்- (கோட்பாட்டு தர்க்கம், குறியீட்டு தர்க்கம்) கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு, இது கணிதத்தின் அடித்தளங்களின் ஆதாரங்கள் மற்றும் கேள்விகளைப் படிக்கிறது. "நவீன கணித தர்க்கத்தின் பொருள் வேறுபட்டது." பி.எஸ். போரெட்ஸ்கியின் வரையறையின்படி, “கணித ... ... விக்கிபீடியா

கலைக்களஞ்சியம்- (புதிய லத்தீன் கலைக்களஞ்சியம் (16 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு முந்தையது அல்ல) பிற கிரேக்க ἐγκύκλιος παιδεία "ஒரு முழு வட்டத்தில் கற்றல்", κύκλος ... κύκλος ...

என்சைக்ளோபீடியா- (கிரேக்கத்தில் இருந்து என்கிக்லியோஸ் பேடீயா பயிற்சியின் முழு அளவிலான அறிவு), அறிவியல். அல்லது அறிவியல் முறைப்படுத்தப்பட்ட தகவல்களைக் கொண்ட பிரபலமான குறிப்பு வெளியீடு. அறிவு உடல். E. இல் உள்ள பொருள் அகர வரிசைப்படி அல்லது முறையாக அமைக்கப்பட்டுள்ளது. கொள்கை (அறிவின் கிளைகளால்).... ... இயற்கை அறிவியல். கலைக்களஞ்சிய அகராதி

கணித தர்க்கம்- இரண்டாவதாக வந்த நவீன தர்க்கத்தின் பெயர்களில் ஒன்று. தரை. 19 தொடக்கம் 20 ஆம் நூற்றாண்டு பாரம்பரிய தர்க்கத்தை மாற்ற வேண்டும். குறியீட்டு தர்க்கம் என்ற சொல் தர்க்க அறிவியலின் வளர்ச்சியில் நவீன நிலைக்கு மற்றொரு பெயராகவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. வரையறை…… தத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

கணித முடிவிலி- சிதைவுக்கான பொதுவான பெயர். கணிதத்தில் முடிவிலியின் யோசனையை செயல்படுத்துதல். கருத்தின் அர்த்தங்களுக்கு இடையில் இருந்தாலும் எம். பி. மற்றும் முடிவிலி என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படும் பிற அர்த்தங்கள், கடினமான வரம்பு எதுவும் இல்லை (இந்த கருத்துக்கள் அனைத்தும் இறுதியில் மிகவும் பிரதிபலிக்கின்றன ... ... தத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

கணித தூண்டல்- முழுமையான கணிதத் தூண்டல் (கணிதத்தில் பெரும்பாலும் முழுமையான தூண்டல் என்று அழைக்கப்படுகிறது; இந்த விஷயத்தில், கணிதம் அல்லாத முறையான தர்க்கத்தில் கருதப்படும் முழுமையான தூண்டல் கருத்தாக்கத்திலிருந்து இந்த கருத்து வேறுபடுத்தப்பட வேண்டும்), - பொது முன்மொழிவுகளை நிரூபிக்கும் ஒரு முறை ... . .. தத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

கணிதக் கருதுகோள்- சமன்பாட்டின் வடிவம், வகை, தன்மை ஆகியவற்றில் ஒரு அனுமான மாற்றம், நிகழ்வுகளின் ஆய்வு செய்யப்பட்ட பகுதியின் சட்டத்தை வெளிப்படுத்துகிறது, இது ஒரு புதிய, இன்னும் படிக்கப்படாத பகுதிக்கு உள்ளார்ந்த சட்டமாக விரிவாக்கும் நோக்கத்துடன். M. g. நவீன காலத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தத்துவார்த்த ....... தத்துவ கலைக்களஞ்சியம்

அரசியல் பொருளாதாரத்தில் கணிதப் பள்ளி- ஆங்கிலம் அரசியல் பொருளாதாரத்தில் கணிதப் பள்ளி; ஜெர்மன் டெர் பாலிடிஸ்சென் ஒகோனோமியில் கணிதம் ஸ்கூல். 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதியில் எழுந்த அரசியல், பொருளாதாரம் ஆகியவற்றின் திசையானது பிரதிநிதிகளால் வழங்கப்பட்டது (எல். வால்ராஸ், வி. பரேட்டோ, ஓ. ஜெவோன்ஸ், முதலியன) ... ... சமூகவியல் கலைக்களஞ்சியம்

சமூகவியலில் கணிதப் பள்ளி- ஆங்கிலம் சமூகவியலில் கணிதப் பள்ளி; ஜெர்மன் டெர் சோஜியோலஜியில் கணிதம் ஸ்கூல். 20 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில் எழுந்த சமூகவியலில் ஒரு போக்கு, சமூகவியலின் நிறுவனர்கள் (A. Zipf, E. Dodd, முதலியன) ஒரு சமூகவியலாளரின் கோட்பாடுகள் நிலை அடையும் என்று நம்பினர்... ... சமூகவியல் கலைக்களஞ்சியம்

கட்டிடங்கள் மற்றும் கட்டமைப்புகளின் கணித மாதிரி- கட்டிடங்கள் மற்றும் கட்டமைப்புகளின் கணித (கணினி) மாதிரி - வடிவமைப்பு, கட்டுமானம் மற்றும் ... ... கட்டிடப் பொருட்களின் விதிமுறைகள், வரையறைகள் மற்றும் விளக்கங்களின் கலைக்களஞ்சியம்

புத்தகங்கள்

• கணித கலைக்களஞ்சியம் (5 புத்தகங்களின் தொகுப்பு), . கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து கிளைகளிலும் ஒரு வசதியான குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இருப்பிடத்தின் கொள்கை...

கணித கலைக்களஞ்சியத்தை 5 தொகுதிகளில் பதிவிறக்கவும்முற்றிலும் இலவசம்.

கோப்பு ஹோஸ்டிங் சேவைகளிலிருந்து புத்தகத்தை இலவசமாகப் பதிவிறக்க, இலவச புத்தகத்தின் விளக்கத்தைத் தொடர்ந்து உடனடியாக இணைப்புகளைக் கிளிக் செய்யவும்.

கணித கலைக்களஞ்சியம் - கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் ஒரு குறிப்பு வெளியீடு. என்சைக்ளோபீடியா கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதிகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஆய்வுக் கட்டுரைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த வகை கட்டுரைகளுக்கான முக்கிய தேவை, கோட்பாட்டின் தற்போதைய நிலையின் மேலோட்டத்தின் சாத்தியமான முழுமை, விளக்கக்காட்சியின் அதிகபட்ச அணுகல்; இந்தக் கட்டுரைகள் பொதுவாக மூத்த கணித மாணவர்கள், பட்டதாரி மாணவர்கள் மற்றும் கணிதம் தொடர்பான துறைகளில் வல்லுநர்கள் மற்றும் சில சந்தர்ப்பங்களில் - கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தும் பிற அறிவுத் துறைகளில் நிபுணர்கள், பொறியாளர்கள் மற்றும் கணித ஆசிரியர்களுக்கு பொதுவாக அணுகக்கூடியவை. மேலும், தனிப்பட்ட குறிப்பிட்ட சிக்கல்கள் மற்றும் கணித முறைகள் பற்றிய நடுத்தர அளவிலான கட்டுரைகள் வழங்கப்படுகின்றன; இந்தக் கட்டுரைகள் ஒரு குறுகிய வாசகர்களை நோக்கமாகக் கொண்டவை, எனவே அவை குறைவாக அணுகக்கூடியதாக இருக்கலாம். இறுதியாக, மற்றொரு வகை கட்டுரை சுருக்கமான குறிப்புகள் மற்றும் வரையறைகள்.

அன்புள்ள வாசகர்களே, இது உங்களுக்காக வேலை செய்யவில்லை என்றால்

கணித கலைக்களஞ்சியத்தை 5 தொகுதிகளில் பதிவிறக்கவும்

கருத்துகளில் இதைப் பற்றி எழுதுங்கள், நாங்கள் நிச்சயமாக உங்களுக்கு உதவுவோம். நீங்கள் புத்தகத்தை விரும்பி படித்து மகிழ்ந்தீர்கள் என நம்புகிறோம். நன்றி தெரிவிக்கும் விதமாக, மன்றம் அல்லது வலைப்பதிவில் எங்கள் வலைத்தளத்திற்கான இணைப்பை நீங்கள் விட்டுவிடலாம் :) 5 தொகுதிகளில் உள்ள மின்னணு புத்தகமான கணித கலைக்களஞ்சியம் காகித புத்தகத்தை வாங்குவதற்கு முன் மதிப்பாய்வு செய்ய மட்டுமே வழங்கப்படுகிறது மற்றும் அச்சிடப்பட்ட வெளியீடுகளுக்கு போட்டியாக இல்லை.

கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்

கணிதம்.கணிதம் பொதுவாக அதன் பாரம்பரிய கிளைகளில் சிலவற்றின் பெயர்களை பட்டியலிடுவதன் மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது. முதலாவதாக, இது எண்கணிதம், இது எண்களின் ஆய்வு, அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகள் மற்றும் இயக்க எண்களுக்கான விதிகள் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது. எண்கணிதத்தின் உண்மைகள் பல்வேறு குறிப்பிட்ட விளக்கங்களுக்கு ஆளாகின்றன; எடுத்துக்காட்டாக, 2 + 3 = 4 + 1 என்ற உறவு இரண்டு மற்றும் மூன்று புத்தகங்கள் நான்கு மற்றும் ஒன்று என பல புத்தகங்களை உருவாக்குகிறது என்ற கூற்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. 2 + 3 = 4 + 1 போன்ற எந்த உறவும், அதாவது. இயற்பியல் உலகில் இருந்து எந்த விளக்கத்தையும் குறிப்பிடாமல் முற்றிலும் கணிதப் பொருட்களுக்கு இடையிலான உறவு சுருக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கணிதத்தின் சுருக்கத் தன்மையானது பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்க அதைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, எண்களின் செயல்பாடுகளைக் கையாளும் அல்ஜீப்ரா, எண்கணிதத்திற்கு அப்பாற்பட்ட சிக்கல்களைத் தீர்க்கும். கணிதத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட கிளை வடிவியல் ஆகும், இதன் முக்கிய பணி பொருட்களின் அளவுகள் மற்றும் வடிவங்களைப் படிப்பதாகும். வடிவியல் முறைகளுடன் இயற்கணித முறைகளின் கலவையானது, ஒருபுறம், முக்கோணவியலுக்கு இட்டுச் செல்கிறது (முதலில் வடிவியல் முக்கோணங்களின் ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டது, மேலும் இப்போது மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களை உள்ளடக்கியது), மறுபுறம், பகுப்பாய்வு வடிவவியலுக்கு, இதில் வடிவியல் உடல்கள் மற்றும் உருவங்கள் இயற்கணித முறைகள் மூலம் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. உயர் இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலின் பல கிளைகள் உள்ளன, அவை அதிக அளவு சுருக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் சாதாரண எண்கள் மற்றும் சாதாரண வடிவியல் புள்ளிவிவரங்களைப் படிப்பதில் ஈடுபடாது; வடிவியல் துறைகளில் மிகவும் சுருக்கமானது இடவியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கணிதப் பகுப்பாய்வானது இடம் அல்லது நேரத்தில் மாறும் அளவுகள் பற்றிய ஆய்வைக் கையாள்கிறது, மேலும் இது இரண்டு அடிப்படைக் கருத்துகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது - செயல்பாடு மற்றும் வரம்பு, அவை கணிதத்தின் மிகவும் அடிப்படைக் கிளைகளில் காணப்படவில்லை. ஆரம்பத்தில், கணித பகுப்பாய்வு வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸைக் கொண்டிருந்தது, ஆனால் இப்போது மற்ற பிரிவுகளை உள்ளடக்கியது.

கணிதத்தில் இரண்டு முக்கிய கிளைகள் உள்ளன - தூய கணிதம், இது துப்பறியும் பகுத்தறிவை வலியுறுத்துகிறது, மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதம். "பயன்பாட்டு கணிதம்" என்ற சொல் சில நேரங்களில் அறிவியலின் தேவைகள் மற்றும் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்வதற்காக உருவாக்கப்பட்ட கணிதத்தின் கிளைகளைக் குறிக்கிறது, மேலும் சில சமயங்களில் கணிதத்தை தீர்க்கும் வழிமுறையாகப் பயன்படுத்தும் பல்வேறு அறிவியல்களின் (இயற்பியல், பொருளாதாரம், முதலியன) பிரிவுகளைக் குறிக்கிறது. அவர்களின் பணிகள். கணிதம் பற்றிய பல பொதுவான தவறான கருத்துக்கள் "பயன்பாட்டு கணிதத்தின்" இந்த இரண்டு விளக்கங்களையும் குழப்புவதால் எழுகின்றன. எண்கணிதம் முதல் அர்த்தத்தில் பயன்பாட்டு கணிதத்திற்கும், இரண்டாவது பொருளில் கணக்கியலுக்கும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

பிரபலமான நம்பிக்கைக்கு மாறாக, கணிதம் தொடர்ந்து வேகமாக முன்னேறி வருகிறது. கணித ஆய்வு இதழ் தோராயமாக வெளியிடுகிறது. சமீபத்திய முடிவுகளைக் கொண்ட கட்டுரைகளின் 8,000 சுருக்கமான சுருக்கங்கள் - புதிய கணித உண்மைகள், பழைய உண்மைகளின் புதிய சான்றுகள் மற்றும் கணிதத்தின் முற்றிலும் புதிய பகுதிகள் பற்றிய தகவல்களும் கூட. கணிதக் கல்வியின் தற்போதைய போக்கு, கணிதக் கற்பித்தலில் முந்தைய நவீன, மிகவும் சுருக்கமான கணித யோசனைகளை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துவதாகும். மேலும் பார்க்கவும்கணித வரலாறு. கணிதம் என்பது நாகரிகத்தின் அடிப்படைக் கற்களில் ஒன்றாகும், ஆனால் இந்த அறிவியலின் தற்போதைய நிலை குறித்து மிகச் சிலருக்கு மட்டுமே யோசனை உள்ளது.

கடந்த நூறு ஆண்டுகளில் கணிதம் அதன் பாடத்திலும் ஆராய்ச்சி முறைகளிலும் மகத்தான மாற்றங்களுக்கு உட்பட்டுள்ளது. இந்த கட்டுரையில், நவீன கணிதத்தின் பரிணாம வளர்ச்சியின் முக்கிய கட்டங்களைப் பற்றிய பொதுவான யோசனையை வழங்க முயற்சிப்போம், இதன் முக்கிய முடிவுகள் ஒருபுறம், தூய மற்றும் பயன்பாட்டு கணிதத்திற்கு இடையிலான இடைவெளியின் அதிகரிப்பு மற்றும் மறுபுறம், கணிதத்தின் பாரம்பரிய பகுதிகளின் முழுமையான மறுபரிசீலனை.

கணித முறையின் வளர்ச்சி

கணிதத்தின் பிறப்பு.

சுமார் 2000 கி.மு 3, 4 மற்றும் 5 அலகுகள் நீளமுள்ள பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தில், கோணங்களில் ஒன்று 90° ஆக இருப்பது கவனிக்கப்பட்டது (இந்தக் கவனிப்பு நடைமுறைத் தேவைகளுக்கு சரியான கோணத்தை உருவாக்குவதை எளிதாக்கியது). 5 2 = 3 2 + 4 2 என்ற விகிதத்தை நீங்கள் கவனித்தீர்களா? இது தொடர்பாக எங்களிடம் எந்த தகவலும் இல்லை. சில நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு, ஒரு பொதுவான விதி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது: எந்த முக்கோணத்திலும் ஏபிசிஉச்சியில் வலது கோணத்துடன் ஏமற்றும் கட்சிகள் பி = ஏசிமற்றும் c = ஏபி, இடையே இந்த கோணம் மூடப்பட்டிருக்கும், மற்றும் எதிர் பக்கம் அ = பொ.ச.விகிதம் செல்லுபடியாகும் அ 2 = பி 2 + c 2. தனிப்பட்ட அவதானிப்புகள் ஒரு பொது விதி மூலம் விளக்கப்படும் போது அறிவியல் தொடங்குகிறது என்று நாம் கூறலாம்; எனவே, "பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்" கண்டுபிடிப்பு உண்மையான அறிவியல் சாதனைக்கான முதல் அறியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகக் கருதப்படலாம்.

ஆனால் பொதுவாக அறிவியலுக்கும் குறிப்பாக கணிதத்திற்கும் மிக முக்கியமானது, ஒரு பொதுச் சட்டத்தை உருவாக்குவதுடன், அதை நிரூபிக்கும் முயற்சிகள் தோன்றும், அதாவது. இது மற்ற வடிவியல் பண்புகளிலிருந்து அவசியம் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் காட்டுகின்றன. கிழக்கு "சான்றுகளில்" ஒன்று அதன் எளிமையில் குறிப்பாக தெளிவாக உள்ளது: இதற்கு சமமான நான்கு முக்கோணங்கள் ஒரு சதுரத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளன. BCDEவரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி. சதுர பகுதி அ 2 மொத்த பரப்பளவைக் கொண்ட நான்கு சம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது கி.முமற்றும் சதுரம் AFGHபகுதி ( பி – c 2 . இதனால், அ 2 = (பி – c) 2 + 2கி.மு = (பி 2 + c 2 – 2கி.மு) + 2கி.மு = பி 2 + c 2. ஒரு படி மேலே சென்று, "முந்தைய" பண்புகள் என்னவாக இருக்க வேண்டும் என்பதை இன்னும் துல்லியமாகக் கண்டுபிடிப்பது அறிவுறுத்தலாகும். மிகத் தெளிவான உண்மை என்னவென்றால் முக்கோணங்கள் என்பதால் BACமற்றும் BEFசரியாக, இடைவெளிகள் அல்லது ஒன்றுடன் ஒன்று இல்லாமல், பக்கங்களிலும் "பொருத்தப்பட்ட" பி.ஏ.மற்றும் பி.எஃப்., இதன் பொருள் இரண்டு உச்சி கோணங்கள் பிமற்றும் உடன்ஒரு முக்கோணத்தில் ஏபிசிஒன்றாக 90° கோணத்தை உருவாக்குகிறது, எனவே அதன் மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° + 90° = 180° ஆகும். மேலே உள்ள "ஆதாரம்" சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்துகிறது ( கி.மு/2) ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு ஏபிசிஉச்சியில் 90° கோணத்துடன் ஏ. உண்மையில், பிற அனுமானங்களும் பயன்படுத்தப்பட்டன, ஆனால் கூறப்பட்டவை போதுமானது, இதனால் கணித ஆதாரத்தின் அத்தியாவசிய வழிமுறையை நாம் தெளிவாகக் காண முடியும் - துப்பறியும் பகுத்தறிவு, இது முற்றிலும் தர்க்கரீதியான வாதங்களைப் பயன்படுத்த அனுமதிக்கிறது (சரியாக தயாரிக்கப்பட்ட பொருளின் அடிப்படையில், எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் - ஒரு சதுரத்தைப் பிரித்தல்) அறியப்பட்ட முடிவுகளிலிருந்து புதிய பண்புகளைக் கண்டறிய, ஒரு விதியாக, கிடைக்கக்கூடிய தரவிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்ற வேண்டாம்.

கோட்பாடுகள் மற்றும் ஆதார முறைகள்.

கணித முறையின் அடிப்படை அம்சங்களில் ஒன்று, கவனமாக கட்டமைக்கப்பட்ட முற்றிலும் தர்க்கரீதியான வாதங்களைப் பயன்படுத்தி, ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த இணைப்பும் முந்தையவற்றுடன் இணைக்கப்பட்ட அறிக்கைகளின் சங்கிலியை உருவாக்கும் செயல்முறையாகும். எந்த ஒரு சங்கிலியிலும் முதல் இணைப்பு இருக்க வேண்டும் என்பதுதான் முதல் தெளிவான கருத்தாகும். 7 ஆம் நூற்றாண்டில் கணித வாதங்களை முறைப்படுத்தத் தொடங்கியபோது கிரேக்கர்களுக்கு இந்தச் சூழல் தெளிவாகத் தெரிந்தது. கி.மு. இந்த திட்டத்தை செயல்படுத்த, கிரேக்கர்களுக்கு தோராயமாக தேவைப்பட்டது. 200 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, மற்றும் எஞ்சியிருக்கும் ஆவணங்கள் அவை எவ்வாறு செயல்பட்டன என்பது பற்றிய தோராயமான யோசனையை மட்டுமே வழங்குகின்றன. ஆராய்ச்சியின் இறுதி முடிவு - பிரபலமானது பற்றி மட்டுமே எங்களிடம் துல்லியமான தகவல்கள் உள்ளன ஆரம்பம்யூக்லிட் (கி.மு. 300). யூக்ளிட் ஆரம்ப நிலைகளை பட்டியலிடுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது, மற்ற அனைத்தும் முற்றிலும் தர்க்கரீதியாக பெறப்பட்டவை. இந்த விதிகள் கோட்பாடுகள் அல்லது போஸ்டுலேட்டுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (இந்த விதிமுறைகள் நடைமுறையில் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை); அவை எந்தவொரு பொருளின் மிகவும் பொதுவான மற்றும் ஓரளவு தெளிவற்ற பண்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, "முழும் பகுதியை விட பெரியது" அல்லது சில குறிப்பிட்ட கணித பண்புகள், எடுத்துக்காட்டாக, எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் அவற்றை இணைக்கும் தனித்துவமான நேர்கோடு உள்ளது. . கிரேக்கர்கள் கோட்பாடுகளின் "உண்மைக்கு" சில ஆழமான அர்த்தம் அல்லது முக்கியத்துவத்தை இணைத்திருக்கிறார்களா என்பது குறித்து எங்களுக்கு எந்த தகவலும் இல்லை, இருப்பினும் சில கோட்பாடுகளை ஏற்றுக்கொள்வதற்கு முன்பு கிரேக்கர்கள் சிறிது நேரம் விவாதித்ததாக சில குறிப்புகள் உள்ளன. யூக்லிட் மற்றும் அவரைப் பின்பற்றுபவர்களில், கோட்பாடுகள் கணிதத்தின் கட்டுமானத்திற்கான தொடக்க புள்ளிகளாக மட்டுமே வழங்கப்படுகின்றன, அவற்றின் இயல்பு பற்றிய எந்த விளக்கமும் இல்லாமல்.

ஆதாரத்தின் முறைகளைப் பொறுத்தவரை, அவை ஒரு விதியாக, முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் நேரடி பயன்பாட்டிற்கு கொதித்தது. இருப்பினும், சில நேரங்களில், பகுத்தறிவின் தர்க்கம் மிகவும் சிக்கலானதாக மாறியது. யூக்ளிட்டின் விருப்பமான முறையை இங்கே குறிப்பிடுவோம், இது கணிதத்தின் அன்றாட நடைமுறையின் ஒரு பகுதியாக மாறிவிட்டது - மறைமுக ஆதாரம் அல்லது முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபணம். முரண்பாட்டின் மூலம் ஒரு நிரூபணத்தின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு, மூலைவிட்டத்தின் எதிர் முனைகளில் அமைந்துள்ள இரண்டு மூலை சதுரங்கள் வெட்டப்பட்ட ஒரு சதுரங்கப் பலகையை டோமினோக்களால் மூட முடியாது, ஒவ்வொன்றும் இரண்டு சதுரங்களுக்கு சமம். (சதுரங்கப் பலகையின் ஒவ்வொரு சதுரமும் ஒரு முறை மட்டுமே மூடப்பட்டிருக்க வேண்டும் என்று கருதப்படுகிறது.) எதிர் ("எதிர்") அறிக்கை உண்மை என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதாவது. பலகையை டோமினோக்களால் மூடலாம். ஒவ்வொரு ஓடு ஒரு கருப்பு மற்றும் ஒரு வெள்ளை சதுரத்தை உள்ளடக்கியது, எனவே டோமினோக்கள் எவ்வாறு அமைக்கப்பட்டிருந்தாலும், அவை சமமான எண்ணிக்கையிலான கருப்பு மற்றும் வெள்ளை சதுரங்களை உள்ளடக்கும். இருப்பினும், இரண்டு மூலை சதுரங்கள் அகற்றப்பட்டதால், சதுரங்கப் பலகை (முதலில் வெள்ளை போன்ற பல கருப்பு சதுரங்களைக் கொண்டிருந்தது) மற்ற நிறத்தின் சதுரங்களை விட ஒரு நிறத்தின் இரண்டு சதுரங்களைக் கொண்டுள்ளது. இதன் பொருள், நமது ஆரம்ப அனுமானம் உண்மையாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் அது ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது. மேலும் ஒன்றுக்கொன்று முரண்படும் முன்மொழிவுகள் ஒரே நேரத்தில் பொய்யாக இருக்க முடியாது என்பதால் (அவற்றில் ஒன்று பொய்யாக இருந்தால், எதிர் உண்மையாக இருக்கும்), நமது ஆரம்ப அனுமானம் உண்மையாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் அதற்கு முரணான அனுமானம் தவறானது; எனவே, குறுக்காக வெட்டப்பட்ட இரண்டு மூலை சதுரங்களைக் கொண்ட சதுரங்கப் பலகையை டோமினோக்களால் மூட முடியாது. எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட அறிக்கையை நிரூபிப்பதற்காக, அது தவறானது என்று நாம் அனுமானிக்க முடியும், மேலும் இந்த அனுமானத்திலிருந்து வேறு சில அறிக்கைகளுடன் முரண்பாட்டைக் கண்டறியலாம், அதன் உண்மை அறியப்படுகிறது.

பண்டைய கிரேக்க கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் மைல்கற்களில் ஒன்றாக மாறிய முரண்பாட்டின் மூலம் ஒரு நிரூபணத்திற்கு ஒரு சிறந்த உதாரணம், விகிதமுறு எண் அல்ல, அதாவது. ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடப்படவில்லை ப/கே, எங்கே பமற்றும் கே- முழு எண்கள். என்றால், 2 = ப 2 /கே 2, எங்கிருந்து ப 2 = 2கே 2. இரண்டு முழு எண்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம் பமற்றும் கே, எதற்காக ப 2 = 2கே 2. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு முழு எண் இருப்பதாகக் கருதுகிறோம், அதன் சதுரம் மற்றொரு முழு எண்ணின் வர்க்கத்தின் இரு மடங்கு ஆகும். எந்த முழு எண்களும் இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால், அவற்றில் ஒன்று மற்ற அனைத்தையும் விட சிறியதாக இருக்க வேண்டும். இந்த எண்களில் சிறியவற்றில் கவனம் செலுத்துவோம். அது ஒரு எண்ணாக இருக்கட்டும் ப. 2 முதல் கே 2 என்பது இரட்டை எண் மற்றும் ப 2 = 2கே 2, பின்னர் எண் ப 2 சமமாக இருக்க வேண்டும். அனைத்து ஒற்றைப்படை எண்களின் சதுரங்களும் ஒற்றைப்படை மற்றும் சதுரம் என்பதால் ப 2 என்பது சமமானது, அதாவது எண்ணே பசமமாக இருக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எண் பசில முழு எண்ணின் இரு மடங்கு அளவு ஆர். ஏனெனில் ப = 2ஆர்மற்றும் ப 2 = 2கே 2, எங்களிடம் உள்ளது: (2 ஆர்) 2 = 4ஆர் 2 = 2கே 2 மற்றும் கே 2 = 2ஆர் 2. கடைசி சமத்துவம் சமத்துவத்தின் அதே வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது ப 2 = 2கே 2, மற்றும் நாம், அதே காரணத்தை மீண்டும் மீண்டும், எண் காட்ட முடியும் கேசமமானது மற்றும் அத்தகைய முழு எண் உள்ளது கள், என்ன கே = 2கள். ஆனால் பின்னர் கே 2 = (2கள்) 2 = 4கள் 2, மற்றும், முதல் கே 2 = 2ஆர் 2, 4 என்று முடிவு செய்கிறோம் கள் 2 = 2ஆர் 2 அல்லது ஆர் 2 = 2கள் 2. இது நமக்கு இரண்டாவது முழு எண்ணைத் தருகிறது, இது அதன் சதுரம் மற்ற முழு எண்ணின் சதுரத்தை விட இரண்டு மடங்கு என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது. ஆனால் பின்னர் பஅத்தகைய சிறிய எண்ணாக இருக்க முடியாது (இருந்து ஆர் = ப/2), இது போன்ற எண்களில் இது மிகச் சிறியது என்று ஆரம்பத்தில் நாங்கள் கருதினோம். எனவே, எங்கள் ஆரம்ப அனுமானம் தவறானது, ஏனெனில் இது ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வழிவகுக்கிறது, எனவே அத்தகைய முழு எண்கள் இல்லை. பமற்றும் கே, எதற்காக ப 2 = 2கே 2 (அதாவது அது போன்றது). இதன் பொருள் எண் பகுத்தறிவு இருக்க முடியாது.

யூக்ளிட் முதல் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பம் வரை.

இந்த காலகட்டத்தில், மூன்று கண்டுபிடிப்புகளின் விளைவாக கணிதம் கணிசமாக மாறியது.

(1) இயற்கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் செயல்பாட்டில், குறியீட்டு குறியீடு முறை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, இது அளவுகளுக்கு இடையிலான சிக்கலான உறவுகளை சுருக்கமான வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்கியது. அப்படிப்பட்ட “சுட்டி எழுத்து” இல்லாவிட்டால் ஏற்படும் அசௌகரியங்களுக்கு உதாரணமாக, அந்த உறவை வார்த்தைகளில் சொல்ல முயற்சிப்போம் ( அ + பி) 2 = அ 2 + 2ab + பி 2: "இரண்டு கொடுக்கப்பட்ட சதுரங்களின் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான பக்கமுள்ள ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அவற்றின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் ஒரு செவ்வகத்தின் இரு மடங்கு பரப்பளவு அதன் பக்கங்களின் பக்கங்களுக்கு சமமாக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட சதுரங்கள்."

(2) 17 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் பாதியில் உருவாக்கம். பகுப்பாய்வு வடிவியல், இது கிளாசிக்கல் வடிவவியலின் எந்தவொரு சிக்கலையும் சில இயற்கணித சிக்கலாகக் குறைப்பதை சாத்தியமாக்கியது.

(3) 1600 முதல் 1800 வரையிலான காலக்கட்டத்தில் எல்லையற்ற கால்குலஸின் உருவாக்கம் மற்றும் வளர்ச்சி, இது வரம்பு மற்றும் தொடர்ச்சியின் கருத்துக்கள் தொடர்பான நூற்றுக்கணக்கான சிக்கல்களை எளிதாகவும் முறையாகவும் தீர்க்க முடிந்தது, அவற்றில் சில மட்டுமே மிகவும் சிரமத்துடன் தீர்க்கப்பட்டன. பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர்களால். கணிதத்தின் இந்த கிளைகள் அல்ஜிப்ரா கட்டுரைகளில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன; பகுப்பாய்வு வடிவியல்; கணித பகுப்பாய்வு; ஜியோமெட்ரி விமர்சனம்.

17 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து. இதுவரை கரையாததாக இருந்த கேள்வி, படிப்படியாக தெளிவாகிறது. கணிதம் என்றால் என்ன? 1800 க்கு முன் பதில் மிகவும் எளிமையானது. அந்த நேரத்தில், பல்வேறு அறிவியல்களுக்கு இடையே தெளிவான எல்லைகள் இல்லை; கணிதம் "இயற்கை தத்துவத்தின்" ஒரு பகுதியாக இருந்தது - மறுமலர்ச்சி மற்றும் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் பெரும் சீர்திருத்தவாதிகள் முன்மொழியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி இயற்கையின் முறையான ஆய்வு. – கலிலியோ (1564–1642), எஃப். பேகன் (1561–1626) மற்றும் ஆர். டெஸ்கார்ட்ஸ் (1596–1650). கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் சொந்த ஆய்வுத் துறையைக் கொண்டுள்ளனர் - எண்கள் மற்றும் வடிவியல் பொருள்கள் - மற்றும் கணிதவியலாளர்கள் சோதனை முறையைப் பயன்படுத்தவில்லை என்று நம்பப்பட்டது. இருப்பினும், நியூட்டனும் அவரைப் பின்பற்றியவர்களும் யூக்ளிட் வடிவவியலை எவ்வாறு முன்வைத்தார்களோ அதைப் போன்றே அச்சோமாடிக் முறையைப் பயன்படுத்தி இயக்கவியல் மற்றும் வானியல் ஆய்வு செய்தனர். மேலும் பொதுவாக, ஒரு பரிசோதனையின் முடிவுகளை எண்கள் அல்லது எண்களின் அமைப்புகளைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிடக்கூடிய எந்தவொரு அறிவியலும் கணிதத்தின் பயன்பாட்டுத் துறையாக மாறும் (இயற்பியலில், இந்த யோசனை 19 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே நிறுவப்பட்டது).

கணித சிகிச்சைக்கு உட்பட்ட சோதனை அறிவியல் துறைகள் பெரும்பாலும் "பயன்பாட்டு கணிதம்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன; இது மிகவும் துரதிர்ஷ்டவசமான பெயர், ஏனெனில், கிளாசிக்கல் அல்லது நவீன தரங்களின்படி, இந்த பயன்பாடுகளில் (கண்டிப்பான அர்த்தத்தில்) உண்மையான கணித வாதங்கள் இல்லை, ஏனெனில் அவற்றில் ஆய்வுப் பொருள் கணிதம் அல்லாத பொருள்கள். சோதனைத் தரவு எண்கள் அல்லது சமன்பாடுகளின் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டவுடன் (அத்தகைய "மொழிபெயர்ப்பு" பெரும்பாலும் "பயன்படுத்தப்பட்ட" கணிதவியலாளரின் தரப்பில் பெரும் வளம் தேவைப்படுகிறது), கணிதக் கோட்பாடுகளை பரவலாகப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமாகும்; இதன் விளைவாக மீண்டும் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு அவதானிப்புகளுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது. இந்த வகையான செயல்முறைக்கு "கணிதம்" என்ற சொல் பயன்படுத்தப்படுவது முடிவில்லாத தவறான புரிதலுக்கான ஆதாரங்களில் ஒன்றாகும். நாம் இப்போது பேசும் "கிளாசிக்கல்" காலங்களில், இந்த வகையான தவறான புரிதல் இல்லை, ஏனெனில் ஒரே நபர்கள் "பயன்படுத்தப்பட்ட" மற்றும் "தூய்மையான" கணிதவியலாளர்கள், ஒரே நேரத்தில் கணித பகுப்பாய்வு அல்லது எண் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள் மற்றும் சிக்கல்களில் வேலை செய்கிறார்கள். இயக்கவியல் அல்லது ஒளியியல். இருப்பினும், அதிகரித்த நிபுணத்துவம் மற்றும் "தூய்மையான" மற்றும் "பயன்படுத்தப்பட்ட" கணிதத்தை பிரிக்கும் போக்கு ஆகியவை முன்னர் இருந்த உலகளாவிய பாரம்பரியத்தை கணிசமாக பலவீனப்படுத்தியது, மேலும் ஜே. வான் நியூமன் (1903-1957) போன்ற விஞ்ஞானிகள் இரண்டிலும் செயலில் அறிவியல் பணிகளை மேற்கொள்ள முடிந்தது. பயன்படுத்தப்பட்டது மற்றும் தூய கணிதத்தில் விதியை விட விதிவிலக்காக மாறிவிட்டது.

கணிதப் பொருட்களின் தன்மை என்ன - எண்கள், புள்ளிகள், கோடுகள், கோணங்கள், மேற்பரப்புகள் போன்றவை, அதன் இருப்பை நாம் சாதாரணமாக எடுத்துக் கொண்டோம்? அத்தகைய பொருள்கள் தொடர்பாக "உண்மை" என்ற கருத்து என்ன? கிளாசிக்கல் காலத்தில் இந்தக் கேள்விகளுக்கு மிகவும் திட்டவட்டமான பதில்கள் கொடுக்கப்பட்டன. நிச்சயமாக, அந்த சகாப்தத்தின் விஞ்ஞானிகள் நமது உணர்வுகளின் உலகில் யூக்ளிட்டின் "எல்லையற்ற நீட்டிக்கப்பட்ட நேர்கோடு" அல்லது "பரிமாணமற்ற புள்ளி" போன்ற விஷயங்கள் எதுவும் இல்லை என்பதை தெளிவாக புரிந்துகொண்டனர், அதே போல் "தூய உலோகங்கள்", "ஒரே வண்ணமுடையவை" ஒளி", "வெப்ப-இன்சுலேட்டட் அமைப்புகள்", முதலியன. இந்த கருத்துக்கள் அனைத்தும் "பிளாட்டோனிக் கருத்துக்கள்", அதாவது. முற்றிலும் மாறுபட்ட தன்மையைக் கொண்டிருந்தாலும், அனுபவக் கருத்துகளின் ஒரு வகையான உருவாக்க மாதிரிகள். ஆயினும்கூட, யோசனைகளின் இயற்பியல் "படங்கள்" கருத்துக்களுக்கு விரும்பிய அளவுக்கு நெருக்கமாக இருக்கலாம் என்று மறைமுகமாக கருதப்பட்டது. கருத்துக்களுக்கு பொருள்கள் அருகாமையில் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் சொல்லக்கூடிய அளவிற்கு, "கருத்துகள்" என்று கூறப்படுவது, இயற்பியல் பொருள்களின் "கட்டுப்பாடு வழக்குகள்" என்று சொல்லப்படுகிறது. இந்தக் கண்ணோட்டத்தில், யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகள் மற்றும் அவற்றிலிருந்து பெறப்பட்ட தேற்றங்கள் "இலட்சிய" பொருட்களின் பண்புகளை வெளிப்படுத்துகின்றன, அவை யூகிக்கக்கூடிய சோதனை உண்மைகள் ஒத்திருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, விண்வெளியில் மூன்று புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் கோணங்களை ஆப்டிகல் முறைகள் மூலம் அளவிடுவது, "சிறந்த வழக்கில்" 180 ° க்கு சமமான தொகையைக் கொடுக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கோட்பாடுகள் இயற்பியல் விதிகளின் அதே மட்டத்தில் வைக்கப்படுகின்றன, எனவே அவற்றின் "உண்மை" இயற்பியல் விதிகளின் உண்மையின் அதே வழியில் உணரப்படுகிறது; அந்த. கோட்பாடுகளின் தர்க்கரீதியான விளைவுகள் சோதனை தரவுகளுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் சரிபார்ப்புக்கு உட்பட்டவை. நிச்சயமாக, அளவிடும் கருவியின் "அபூரணமான" தன்மை மற்றும் அளவிடப்பட்ட பொருளின் "அபூரண இயல்பு" ஆகிய இரண்டிற்கும் தொடர்புடைய பிழையின் வரம்புகளுக்குள் மட்டுமே ஒப்பந்தத்தை அடைய முடியும். இருப்பினும், சட்டங்கள் "உண்மை" என்றால், அளவீட்டு செயல்முறைகளில் மேம்பாடுகள் கொள்கையளவில் அளவீட்டு பிழையை விரும்பிய அளவுக்கு சிறியதாக மாற்றும் என்று எப்போதும் கருதப்படுகிறது.

18 ஆம் நூற்றாண்டு முழுவதும். அடிப்படை கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட அனைத்து விளைவுகளும், குறிப்பாக வானியல் மற்றும் இயக்கவியலில், சோதனை தரவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பதற்கு மேலும் மேலும் சான்றுகள் உள்ளன. அந்த நேரத்தில் இருந்த கணித கருவியைப் பயன்படுத்தி இந்த விளைவுகள் பெறப்பட்டதால், அடையப்பட்ட வெற்றிகள் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளின் உண்மையைப் பற்றிய கருத்தை வலுப்படுத்த பங்களித்தன, இது பிளேட்டோ கூறியது போல், "அனைவருக்கும் தெளிவானது" மற்றும் விவாதத்திற்கு உட்பட்டது அல்ல.

சந்தேகங்கள் மற்றும் புதிய நம்பிக்கைகள்.

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல்.

யூக்ளிட் வழங்கிய போஸ்டுலேட்டுகளில், ஒன்று மிகவும் தெளிவாக இல்லை, சிறந்த கணிதவியலாளரின் முதல் மாணவர்கள் கூட அதை அமைப்பில் பலவீனமான புள்ளியாகக் கருதினர். தொடங்கியது. கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியின் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு கோடு மட்டுமே வரைய முடியும் என்று கேள்விக்குரிய கோட்பாடு கூறுகிறது. பெரும்பாலான ஜியோமீட்டர்கள் இணையான கோட்பாட்டை மற்ற கோட்பாடுகளால் நிரூபிக்க முடியும் என்று நம்பினர், மேலும் யூக்ளிட் அத்தகைய ஆதாரத்தை கொண்டு வர முடியாத காரணத்தால் இணையான அறிக்கையை ஒரு அனுமானமாக உருவாக்கினார். ஆனால், சிறந்த கணிதவியலாளர்கள் இணைகளின் சிக்கலைத் தீர்க்க முயற்சித்த போதிலும், அவர்களில் எவரும் யூக்ளிட்டை விஞ்ச முடியவில்லை. இறுதியாக, 18 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதியில். யூக்ளிட்டின் இணையான கொள்கையை முரண்பாட்டின் மூலம் நிரூபிக்க முயற்சிகள் மேற்கொள்ளப்பட்டன. இணையான கோட்பாடு தவறானது என்று கூறப்படுகிறது. ஒரு முன்னோடி, யூக்ளிட்டின் போஸ்டுலேட் இரண்டு நிகழ்வுகளில் தவறானதாக மாறலாம்: கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு வெளியே ஒரு புள்ளியின் மூலம் ஒரு இணையான கோட்டை வரைய இயலாது என்றால்; அல்லது பல இணையானவற்றை அதன் மூலம் வரைய முடியுமானால். முதல் ஒரு முன்னோடி சாத்தியம் மற்ற கோட்பாடுகளால் விலக்கப்பட்டது என்று மாறியது. இணைகளைப் பற்றிய பாரம்பரிய கோட்பாட்டிற்குப் பதிலாக ஒரு புதிய கோட்பாட்டை ஏற்றுக்கொண்ட பிறகு (கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு வெளியே ஒரு புள்ளியின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு இணையாக பல கோடுகளை வரையலாம்), கணிதவியலாளர்கள் மற்ற கோட்பாடுகளுக்கு முரணான ஒரு அறிக்கையைப் பெற முயன்றனர், ஆனால் தோல்வியடைந்தனர்: இல்லை. புதிய "எதிர்ப்பு யூக்ளிடியன்" அல்லது "யூக்ளிடியன் அல்லாத" கோட்பாட்டிலிருந்து எவ்வளவுதான் விளைவுகளை ஏற்படுத்த முயன்றாலும், ஒரு முரண்பாடு தோன்றவில்லை. இறுதியாக, ஒருவரையொருவர் சாராமல், N.I. லோபசெவ்ஸ்கி (1793-1856) மற்றும் J. Bolyai (1802-1860) ஆகியோர் யூக்ளிடின் இணைகள் பற்றிய கருத்து நிரூபிக்க முடியாதது அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், “யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலில் ஒரு முரண்பாடு தோன்றாது என்பதை உணர்ந்தனர். ”

யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் வருகையுடன், பல தத்துவ சிக்கல்கள் உடனடியாக எழுந்தன. கோட்பாடுகளின் முதன்மைத் தேவைக்கான கூற்று மறைந்துவிட்டதால், அவற்றின் "உண்மையை" சோதிப்பதற்கான ஒரே வழி சோதனையானது. ஆனால், A. Poincaré (1854-1912) பின்னர் குறிப்பிட்டது போல, எந்தவொரு நிகழ்வின் விளக்கத்திலும் பல உடல் அனுமானங்கள் மறைக்கப்பட்டுள்ளன, ஒரு சோதனை கூட ஒரு கணித கோட்பாட்டின் உண்மை அல்லது பொய்யின் உறுதியான ஆதாரங்களை வழங்க முடியாது. மேலும், நமது உலகம் "யூக்ளிடியன் அல்லாதது" என்று நாம் கருதினாலும், யூக்ளிடியன் வடிவியல் அனைத்தும் பொய்யானதா? அறியப்பட்ட வரையில், எந்த ஒரு கணிதவியலாளரும் இத்தகைய கருதுகோளைக் கருத்தில் கொள்ளவில்லை. யூக்ளிடியன் மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல் இரண்டும் முழு அளவிலான கணிதத்திற்கு எடுத்துக்காட்டுகள் என்று உள்ளுணர்வு பரிந்துரைத்தது.

கணித "அரக்கர்கள்".

எதிர்பாராத விதமாக, முற்றிலும் மாறுபட்ட திசையில் இருந்து அதே முடிவுகள் எட்டப்பட்டன - 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர்களை அதிர்ச்சிக்குள்ளாக்கிய பொருள்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன. அதிர்ச்சியடைந்து "கணித அரக்கர்கள்" என்று அழைக்கப்பட்டனர். இந்த கண்டுபிடிப்பு 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் மட்டுமே எழுந்த கணித பகுப்பாய்வின் மிக நுட்பமான சிக்கல்களுடன் நேரடியாக தொடர்புடையது. ஒரு வளைவின் சோதனைக் கருத்துக்கு சரியான கணித ஒப்புமையைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கும்போது சிரமங்கள் எழுந்தன. "தொடர்ச்சியான இயக்கம்" (உதாரணமாக, ஒரு தாளில் நகரும் பேனாவின் புள்ளி) என்ற கருத்தின் சாராம்சம் என்ன என்பது துல்லியமான கணித வரையறைக்கு உட்பட்டது, மேலும் தொடர்ச்சியின் கருத்து கடுமையான கணிதத்தைப் பெற்றபோது இந்த இலக்கு அடையப்பட்டது. பொருள் ( செ.மீ. மேலும்வளைவு). உள்ளுணர்வாக அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள "வளைவு" ஒரு திசையைக் கொண்டிருப்பதாகத் தோன்றியது, அதாவது. பொது வழக்கில், அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்திலும், ஒரு வளைவு ஒரு நேர்கோட்டில் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது. (மறுபுறம், ஒரு வளைவு பலகோணம் போன்ற வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மூலை புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது என்று கற்பனை செய்வது கடினம் அல்ல. கருதப்படுகிறது, மற்றும் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை. சில "சிறப்பு" புள்ளிகளைத் தவிர்த்து, "வளைவு" கிட்டத்தட்ட அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரு தொடுகோடு இருப்பதாக நம்பப்பட்டது. எனவே, எந்த நேரத்திலும் தொடுகோடு இல்லாத "வளைவுகள்" கண்டுபிடிப்பு ஒரு உண்மையான ஊழலை ஏற்படுத்தியது ( செ.மீ. மேலும்செயல்பாட்டுக் கோட்பாடு). (முக்கோணவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலை நன்கு அறிந்த வாசகர் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட வளைவை எளிதாக சரிபார்க்க முடியும். ஒய் = எக்ஸ்பாவம்(1/ எக்ஸ்), தோற்றத்தில் ஒரு தொடுகோடு இல்லை, ஆனால் அதன் எந்தப் புள்ளியிலும் தொடுகோடு இல்லாத வளைவை வரையறுப்பது மிகவும் கடினம்.)

சிறிது நேரம் கழித்து, மிகவும் "நோயியல்" முடிவு பெறப்பட்டது: ஒரு சதுரத்தை முழுமையாக நிரப்பும் ஒரு வளைவின் உதாரணத்தை உருவாக்க முடிந்தது. அப்போதிருந்து, இதுபோன்ற நூற்றுக்கணக்கான "அரக்கர்கள்" "பொது அறிவுக்கு" மாறாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளனர். ஒரு முக்கோணம் அல்லது நீள்வட்டத்தின் இருப்பு போன்ற கண்டிப்பான மற்றும் தர்க்கரீதியாக குறைபாடற்ற அடிப்படைக் கோட்பாடுகளிலிருந்து இத்தகைய அசாதாரண கணிதப் பொருட்களின் இருப்பு பின்பற்றப்படுகிறது என்பதை வலியுறுத்த வேண்டும். ஏனெனில் கணித "அரக்கர்கள்" எந்தவொரு சோதனைப் பொருளுடனும் ஒத்துப்போக முடியாது, மேலும் ஒரே சாத்தியமான முடிவு என்னவென்றால், கணித "யோசனைகளின்" உலகம் ஒருவர் எதிர்பார்ப்பதை விட மிகவும் பணக்காரமானது மற்றும் அசாதாரணமானது, மேலும் அவர்களில் மிகச் சிலரே நமது உலகில் கடிதப் பரிமாற்றங்களைக் கொண்டுள்ளனர். உணர்வுகள். ஆனால் கணித "அரக்கர்கள்" தர்க்கரீதியாக கோட்பாடுகளிலிருந்து பின்பற்றினால், கோட்பாடுகளை இன்னும் உண்மையாகக் கருத முடியுமா?

புதிய பொருள்கள்.

மேலே உள்ள முடிவுகள் இன்னும் ஒரு பக்கத்திலிருந்து உறுதிப்படுத்தப்பட்டன: கணிதத்தில், முக்கியமாக இயற்கணிதத்தில், ஒன்றன் பின் ஒன்றாக, புதிய கணிதப் பொருள்கள் தோன்றத் தொடங்கின, அவை எண்ணின் கருத்தாக்கத்தின் பொதுமைப்படுத்தல்கள். சாதாரண முழு எண்கள் மிகவும் "உள்ளுணர்வு", மேலும் ஒரு பகுதியின் சோதனைக் கருத்துக்கு வருவது கடினம் அல்ல (இருப்பினும் ஒரு அலகு பல சம பாகங்களாகப் பிரித்து அவற்றில் பலவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கும் செயல்பாடு இயற்கையில் வேறுபட்டது என்பதை ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும். எண்ணும் செயல்முறையிலிருந்து). ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னமாக குறிப்பிட முடியாது என்று கண்டுபிடிக்கப்பட்டவுடன், கிரேக்கர்கள் விகிதாசார எண்களைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்பட்டது, பகுத்தறிவு எண்களின் முடிவில்லாத தோராய வரிசையின் மூலம் சரியான நிர்ணயம் மனித மனதின் மிக உயர்ந்த சாதனைகளுக்கு சொந்தமானது, ஆனால் அரிதாகவே நமது இயற்பியல் உலகில் உள்ள உண்மையான எதையும் ஒத்துள்ளது (எந்த அளவீடும் பிழைகளுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும்). ஆயினும்கூட, பகுத்தறிவற்ற எண்களின் அறிமுகம் இயற்பியல் கருத்துகளின் "இலட்சியமயமாக்கல்" உணர்வில் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ நிகழ்ந்தது. எதிர்மறை எண்களைப் பற்றி நாம் என்ன சொல்ல முடியும், இது மெதுவாக, பெரும் எதிர்ப்பை எதிர்கொண்டு, இயற்கணிதத்தின் வளர்ச்சி தொடர்பாக அறிவியல் பயன்பாட்டிற்குள் நுழையத் தொடங்கியது? ஆயத்த இயற்பியல் பொருள்கள் எதுவும் இல்லை என்பதை உறுதியாகக் கூறலாம், அதிலிருந்து தொடங்கி, நேரடி சுருக்கத்தின் செயல்முறையைப் பயன்படுத்தி, எதிர்மறை எண் என்ற கருத்தை உருவாக்க முடியும், மேலும் ஒரு அடிப்படை இயற்கணிதம் பாடத்தை கற்பிப்பதில் நாம் பலவற்றை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும். எதிர்மறை எண்கள் என்ன என்பதை விளக்க துணை மற்றும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகள் (சார்ந்த பிரிவுகள், வெப்பநிலைகள், கடன்கள் போன்றவை). இந்த நிலைமை "அனைவருக்கும் தெளிவானது" என்ற கருத்தாக்கத்திலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது, பிளேட்டோ கணிதத்தின் அடிப்படையிலான கருத்துக்களைக் கோரினார், மேலும் ஒருவர் அடிக்கடி கல்லூரி பட்டதாரிகளை சந்திப்பார், அவர்களுக்கான அறிகுறிகளின் விதி இன்னும் மர்மமாக உள்ளது (- அ)(–பி) = ab. மேலும் பார்க்கவும் NUMBER .

"கற்பனை" அல்லது "சிக்கலான" எண்களில் நிலைமை இன்னும் மோசமாக உள்ளது, ஏனெனில் அவை ஒரு "எண்" நான், அதுபோல் நான் 2 = –1, இது அடையாளம் விதியின் தெளிவான மீறலாகும். ஆயினும்கூட, 16 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் இருந்து கணிதவியலாளர்கள். 200 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு இந்த "பொருட்களை" வரையறுக்கவோ அல்லது துணை கட்டுமானத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றை விளக்கவோ முடியவில்லை என்றாலும், அவை "அர்த்தம்" போல் சிக்கலான எண்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்யத் தயங்க வேண்டாம், எடுத்துக்காட்டாக, அவை இயக்கப்பட்ட பிரிவுகள் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்தி விளக்கப்பட்டன. . (1800 க்குப் பிறகு, சிக்கலான எண்களின் பல விளக்கங்கள் முன்மொழியப்பட்டன, விமானத்தில் திசையன்களைப் பயன்படுத்துவதில் மிகவும் பிரபலமானது.)

நவீன அச்சுவியல்.

புரட்சி 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதியில் நடந்தது. அது உத்தியோகபூர்வ அறிக்கைகளை ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை என்றாலும், உண்மையில் அது ஒரு வகையான "சுதந்திரப் பிரகடனத்தின்" பிரகடனத்தைப் பற்றியது. மேலும் குறிப்பாக, வெளி உலகத்திலிருந்து கணிதத்தின் சுதந்திரத்தின் நடைமுறைப் பிரகடனம் பற்றி.

இந்த கண்ணோட்டத்தில், கணித "பொருள்கள்", அவற்றின் "இருப்பு" பற்றி பேசுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருந்தால், அவை மனதின் தூய படைப்புகள், மேலும் அவை ஏதேனும் "தொடர்புகள்" உள்ளதா மற்றும் இயற்பியல் உலகில் ஏதேனும் "விளக்கம்" அனுமதிக்கின்றனவா? , கணிதம் முக்கியமற்றது (இந்தக் கேள்வி சுவாரஸ்யமாக இருந்தாலும்).

அத்தகைய "பொருள்கள்" பற்றிய "உண்மையான" அறிக்கைகள் கோட்பாடுகளின் அதே தர்க்கரீதியான விளைவுகளாகும். ஆனால் இப்போது கோட்பாடுகள் முற்றிலும் தன்னிச்சையாகக் கருதப்பட வேண்டும், எனவே அவை "வெளிப்படையாக" அல்லது "இலட்சியமயமாக்கல்" மூலம் அன்றாட அனுபவத்திலிருந்து குறைக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. நடைமுறையில், முழு சுதந்திரம் பல்வேறு கருத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. நிச்சயமாக, "கிளாசிக்கல்" பொருள்கள் மற்றும் அவற்றின் கோட்பாடுகள் மாறாமல் உள்ளன, ஆனால் இப்போது அவை கணிதத்தின் ஒரே பொருள்கள் மற்றும் கோட்பாடுகளாக கருதப்பட முடியாது, மேலும் கோட்பாடுகளை தூக்கி எறியும் அல்லது மறுவேலை செய்யும் பழக்கம் அன்றாட நடைமுறையின் ஒரு பகுதியாக மாறிவிட்டது. யூக்ளிடியனில் இருந்து யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலுக்கு மாறிய போது செய்தது போல், அவற்றை வெவ்வேறு வழிகளில் பயன்படுத்தவும். (இவ்வாறுதான் யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் இருந்து வேறுபட்டு, லோபசெவ்ஸ்கி-போலியா வடிவவியலில் இருந்து வேறுபட்ட "யூக்ளிடியன் அல்லாத" வடிவவியலின் பல மாறுபாடுகள் பெறப்பட்டுள்ளன; எடுத்துக்காட்டாக, இணையான கோடுகள் இல்லாத யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியல்கள் உள்ளன.)

கணித "பொருட்களுக்கு" புதிய அணுகுமுறையில் இருந்து பின்பற்றப்படும் ஒரு சூழ்நிலையை நான் குறிப்பாக வலியுறுத்த விரும்புகிறேன்: அனைத்து சான்றுகளும் பிரத்தியேகமாக கோட்பாடுகளின் அடிப்படையில் இருக்க வேண்டும். ஒரு கணித ஆதாரத்தின் வரையறையை நாம் நினைவில் வைத்திருந்தால், அத்தகைய அறிக்கை மீண்டும் மீண்டும் தோன்றலாம். இருப்பினும், கிளாசிக்கல் கணிதத்தில் அதன் பொருள்கள் அல்லது கோட்பாடுகளின் "உள்ளுணர்வு" தன்மை காரணமாக இந்த விதி அரிதாகவே பின்பற்றப்பட்டது. இல் கூட ஆரம்பம்யூக்ளிட், அவற்றின் அனைத்து வெளிப்படையான "கடுமைக்கும்", பல கோட்பாடுகள் வெளிப்படையாகக் கூறப்படவில்லை மற்றும் பல பண்புகள் மறைமுகமாக அனுமானிக்கப்படுகின்றன அல்லது போதுமான நியாயப்படுத்தலின்றி அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. யூக்ளிடியன் வடிவவியலை ஒரு உறுதியான அடிப்படையில் வைக்க, அதன் கொள்கைகளை ஒரு முக்கியமான திருத்தம் தேவைப்பட்டது. ஒரு நிரூபணத்தின் மிகச்சிறிய விவரங்களின் மீது மிதமிஞ்சிய கட்டுப்பாடு என்பது நவீன கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் முடிவுகளில் கவனமாக இருக்க கற்றுக்கொடுக்கும் "அரக்கர்களின்" தோற்றத்தின் விளைவாகும் என்று சொல்வது அரிது. கிளாசிக்கல் பொருள்களைப் பற்றிய மிகவும் பாதிப்பில்லாத மற்றும் "சுய-தெளிவான" அறிக்கை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கோட்டின் எதிர் பக்கங்களில் அமைந்துள்ள ஒரு வளைவு இணைக்கும் புள்ளிகள் இந்த கோட்டை அவசியம் வெட்டுகிறது என்ற அறிக்கைக்கு, நவீன கணிதத்தில் கடுமையான முறையான ஆதாரம் தேவைப்படுகிறது.

எந்த அறிவியலும் எப்படி இருக்க வேண்டும் என்பதற்கு நவீன கணிதம் ஒரு தெளிவான எடுத்துக்காட்டாக விளங்குகிறது என்பது துல்லியமாக கோட்பாடுகளை கடைபிடிப்பதால் தான் என்று சொல்வது முரண்பாடாகத் தோன்றலாம். ஆயினும்கூட, இந்த அணுகுமுறை விஞ்ஞான சிந்தனையின் மிக அடிப்படையான செயல்முறைகளில் ஒன்றின் சிறப்பியல்பு அம்சத்தை விளக்குகிறது - முழுமையற்ற அறிவின் சூழ்நிலையில் துல்லியமான தகவலைப் பெறுதல். ஒரு குறிப்பிட்ட வகை பொருள்களின் விஞ்ஞான ஆய்வு, ஒரு பொருளை மற்றொன்றிலிருந்து வேறுபடுத்துவதை சாத்தியமாக்கும் அம்சங்கள் வேண்டுமென்றே மறதிக்கு அனுப்பப்படுகின்றன, மேலும் பரிசீலனையில் உள்ள பொருட்களின் பொதுவான அம்சங்கள் மட்டுமே பாதுகாக்கப்படுகின்றன. அறிவியலின் பொதுவான வரம்பிலிருந்து கணிதத்தை வேறுபடுத்துவது இந்த திட்டத்தை அதன் அனைத்து புள்ளிகளிலும் கண்டிப்பாக கடைபிடிப்பதாகும். கணிதப் பொருள்கள் அந்த பொருட்களின் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படும் கோட்பாடுகளால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுவதாக கூறப்படுகிறது; அல்லது, Poincaré இன் வார்த்தைகளில், கோட்பாடுகள் அவர்கள் குறிப்பிடும் பொருள்களின் "மாறுவேடமிட்ட வரையறைகளாக" செயல்படுகின்றன.

நவீன கணிதம்

கோட்பாட்டளவில் ஏதேனும் கோட்பாடுகள் இருப்பது சாத்தியம் என்றாலும், ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான கோட்பாடுகள் மட்டுமே இதுவரை முன்மொழியப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. வழக்கமாக, ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோட்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் போது, ​​சில ஆதார வடிவங்கள் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ ஒரே மாதிரியான நிலைமைகளின் கீழ் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுவது கவனிக்கப்படுகிறது. பொதுவான ஆதார திட்டங்களில் பயன்படுத்தப்படும் பண்புகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவுடன், அவை கோட்பாடுகளாக வடிவமைக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் விளைவுகள் ஒரு பொதுவான கோட்பாட்டிற்குள் கட்டமைக்கப்படுகின்றன, இது கோட்பாடுகள் சுருக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட சூழல்களுடன் நேரடி தொடர்பு இல்லை. இந்த வழியில் பெறப்பட்ட பொதுவான கோட்பாடுகள் எந்த கணித சூழ்நிலையிலும் பொருந்தும், அதில் தொடர்புடைய கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்தும் பொருள்களின் அமைப்புகள் உள்ளன. வெவ்வேறு கணித சூழ்நிலைகளில் ஒரே மாதிரியான ஆதாரத் திட்டங்களை மீண்டும் மீண்டும் செய்வது, ஒரே பொதுக் கோட்பாட்டின் வெவ்வேறு விவரக்குறிப்புகளைக் கையாள்வதைக் குறிக்கிறது. இதன் பொருள் சரியான விளக்கத்திற்குப் பிறகு, இந்த கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகள் ஒவ்வொரு சூழ்நிலையிலும் தேற்றங்களாக மாறும். கோட்பாடுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட எந்தவொரு சொத்தும் இந்த எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் செல்லுபடியாகும், ஆனால் ஒவ்வொரு வழக்கிற்கும் தனித்தனி ஆதாரம் தேவையில்லை. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், கணித சூழ்நிலைகள் ஒரே கணித "கட்டமைப்பை" பகிர்ந்து கொள்வதாக கூறப்படுகிறது.

நமது அன்றாட வாழ்வில் ஒவ்வொரு அடியிலும் கட்டமைப்பு என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். தெர்மோமீட்டர் 10 டிகிரி செல்சியஸைப் படித்தால், 5 டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலை உயரும் என்று முன்னறிவிப்பு அலுவலகம் கணித்திருந்தால், எந்தக் கணக்கீடும் இல்லாமல் 15 டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலையை எதிர்பார்க்கிறோம். பக்கம் 10-ல் புத்தகத்தைத் திறந்து, 5 பக்கங்களை மேலும் பார்க்கும்படி கேட்கப்படுகிறோம். , இடைநிலைப் பக்கங்களைக் கணக்கிடாமல், 15வது பக்கத்தில் திறக்க நாங்கள் தயங்குவதில்லை. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், எண்களைச் சேர்ப்பது அவற்றின் விளக்கத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் - வெப்பநிலை அல்லது பக்க எண்களாக சரியான முடிவை அளிக்கிறது என்று நாங்கள் நம்புகிறோம். வெப்பமானிகளுக்கு ஒரு எண்கணிதத்தையும், பக்க எண்களுக்கு மற்றொரு எண்கணிதத்தையும் நாம் கற்றுக்கொள்ள வேண்டியதில்லை (கடிகாரங்களைக் கையாளும் போது ஒரு சிறப்பு எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், அதில் 8 + 5 = 1, கடிகாரங்கள் புத்தகத்தின் பக்கங்களை விட வேறுபட்ட அமைப்பைக் கொண்டிருப்பதால்). கணிதவியலாளர்களுக்கு ஆர்வமுள்ள கட்டமைப்புகள் சற்றே சிக்கலானவை, இந்தக் கட்டுரையின் அடுத்த இரண்டு பிரிவுகளில் விவாதிக்கப்படும் உதாரணங்களிலிருந்து இது எளிதாகக் காணலாம். அவர்களில் ஒருவர் குழுக் கோட்பாடு மற்றும் கட்டமைப்புகள் மற்றும் ஐசோமார்பிஸங்களின் கணிதக் கருத்துகளைப் பற்றி பேசுவார்.

குழு கோட்பாடு.

மேலே விவரிக்கப்பட்ட செயல்முறையை நன்கு புரிந்து கொள்ள, ஒரு நவீன கணிதவியலாளரின் ஆய்வகத்தைப் பார்த்து, அவரது முக்கிய கருவிகளில் ஒன்றைக் கூர்ந்து கவனிப்பதற்கான சுதந்திரத்தை எடுத்துக்கொள்வோம் - குழு கோட்பாடு ( செ.மீ. மேலும்சுருக்க அல்ஜீப்ரா). குழு என்பது பொருள்களின் தொகுப்பு (அல்லது "தொகுப்பு") ஆகும் ஜி, எந்த இரண்டு பொருள்கள் அல்லது உறுப்புகளுடன் பொருந்தக்கூடிய ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது அ, பிஇருந்து ஜி, குறிப்பிட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது (முதலாவது உறுப்பு அ, இரண்டாவது உறுப்பு பி), மூன்றாவது உறுப்பு cஇருந்து ஜிகண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட விதியின்படி. சுருக்கத்திற்கு, இந்த உறுப்பைக் குறிக்கிறோம் அ*பி; நட்சத்திரக் குறியீடு (*) இரண்டு உறுப்புகளின் கலவையின் செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. குழுப் பெருக்கல் என்று அழைக்கப்படும் இந்தச் செயல்பாடு பின்வரும் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

(1) ஏதேனும் மூன்று கூறுகளுக்கு அ, பி, cஇருந்து ஜிஅசோசியேட்டிவிட்டி சொத்து கொண்டுள்ளது: அ* (பி*c) = (அ*பி) *c;

(2) இல் ஜிஅத்தகைய ஒரு உறுப்பு உள்ளது இ, இது எந்த உறுப்புக்கும் அஇருந்து ஜிஒரு உறவு இருக்கிறது இ*அ = அ*இ = அ; இந்த உறுப்பு இஒரு குழுவின் ஒருமை அல்லது நடுநிலை உறுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது;

(3) எந்த உறுப்புக்கும் அஇருந்து ஜிஅத்தகைய ஒரு உறுப்பு உள்ளது அў, தலைகீழ் அல்லது சமச்சீர் என்று அழைக்கப்படுகிறது உறுப்புக்கு அ, என்ன அ*அў = அў* அ = இ.

இந்த பண்புகளை கோட்பாடுகளாக எடுத்துக் கொண்டால், அவற்றின் தர்க்கரீதியான விளைவுகள் (வேறு எந்த கோட்பாடுகள் அல்லது கோட்பாடுகளிலிருந்து சுயாதீனமாக) ஒன்றாக பொதுவாக குழு கோட்பாடு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் குழுக்கள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், இந்த விளைவுகளை ஒருமுறை மற்றும் அனைவருக்கும் பெறுவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருந்தது. ஆயிரக்கணக்கான குழுக்களின் சாத்தியமான எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, எளிமையான சிலவற்றை மட்டுமே நாங்கள் தேர்ந்தெடுப்போம்.

(அ) ​​பின்னங்கள் ப/கே, எங்கே பமற்றும் கே- தன்னிச்சையான முழு எண்கள் i1 (உடன் கே= 1 நாம் சாதாரண முழு எண்களைப் பெறுகிறோம்). பின்னங்கள் ப/கேகுழு பெருக்கத்தின் கீழ் ஒரு குழுவை உருவாக்கவும் ( ப/கே) *(ஆர்/கள்) = (pr)/(qs) பண்புகள் (1), (2), (3) எண்கணிதத்தின் கோட்பாடுகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன. உண்மையில், [( ப/கே) *(ஆர்/கள்)] *(டி/u) = (prt)/(qsu) = (ப/கே)*[(ஆர்/கள்)*(டி/u)]. அலகு உறுப்பு என்பது எண் 1 = 1/1 ஆகும், ஏனெனில் (1/1)*( ப/கே) = (1H ப)/(1எச் கே) = ப/கே. இறுதியாக, உறுப்பு பின்னத்திற்கு நேர்மாறானது ப/கே, ஒரு பின்னம் கே/ப, ஏனெனில் ( ப/கே)*(கே/ப) = (pq)/(pq) = 1.

(ஆ) என கருதுங்கள் ஜிநான்கு முழு எண்களின் தொகுப்பு 0, 1, 2, 3, மற்றும் என அ*பி- பிரிவின் எஞ்சிய அ + பிஇல் 4. இந்த வழியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டின் முடிவுகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 1 (உறுப்பு அ*பிகோட்டின் குறுக்குவெட்டில் நிற்கிறது அமற்றும் நெடுவரிசை பி) பண்புகள் (1)–(3) திருப்திகரமாக உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதானது, மேலும் அடையாள உறுப்பு எண் 0 ஆகும்.

(c) என தேர்வு செய்யலாம் ஜி 1, 2, 3, 4 மற்றும் போன்ற எண்களின் தொகுப்பு அ*பி- பிரிவின் எஞ்சிய ab(சாதாரண தயாரிப்பு) மூலம் 5. இதன் விளைவாக, நாம் அட்டவணையைப் பெறுகிறோம். 2. பண்புகள் (1)–(3) திருப்திகரமாக உள்ளதா, அடையாள உறுப்பு 1 என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது.

(ஈ) நான்கு எண்கள் 1, 2, 3, 4 போன்ற நான்கு பொருள்களை 24 வழிகளில் ஒரு வரிசையில் அமைக்கலாம். ஒவ்வொரு ஏற்பாட்டையும் "இயற்கை" ஏற்பாட்டை கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றாக மாற்றும் மாற்றமாக காட்சிப்படுத்தலாம்; எடுத்துக்காட்டாக, மாற்றம் 4, 1, 2, 3 ஏற்பாடு

எஸ்: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

இது மிகவும் வசதியான வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்

அத்தகைய எந்த இரண்டு மாற்றங்களுக்கும் எஸ், டிநாங்கள் தீர்மானிப்போம் எஸ்*டிதொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் விளைவாக ஏற்படும் மாற்றமாக டி, பின்னர் எஸ். உதாரணமாக, என்றால் , பின்னர் . இந்த வரையறையுடன், அனைத்து 24 சாத்தியமான மாற்றங்களும் ஒரு குழுவை உருவாக்குகின்றன; அதன் அலகு உறுப்பு , மற்றும் உறுப்பு தலைகீழ் எஸ், வரையறையில் உள்ள அம்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்டது எஸ்எதிர்க்கு; உதாரணமாக, என்றால் , பின்னர் .

முதல் மூன்று உதாரணங்களில் இதைப் பார்ப்பது எளிது அ*பி = பி*அ; அத்தகைய சந்தர்ப்பங்களில் குழு அல்லது குழு பெருக்கல் பரிமாற்றம் என்று கூறப்படுகிறது. மறுபுறம், கடைசி எடுத்துக்காட்டில், எனவே டி*எஸ்வேறுபடுகிறது எஸ்*டி.

உதாரணம் (d) இலிருந்து குழு என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. சமச்சீர் குழு, அதன் பயன்பாடுகளில் மற்றவற்றுடன், இயற்கணித சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் மற்றும் அணுக்களின் நிறமாலையில் உள்ள கோடுகளின் நடத்தை ஆகியவை அடங்கும். எடுத்துக்காட்டுகளில் உள்ள குழுக்கள் (b) மற்றும் (c) எண் கோட்பாட்டில் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன; உதாரணமாக (b) எண் 4 ஐ எந்த முழு எண்ணாலும் மாற்றலாம் n, மற்றும் 0 முதல் 3 வரையிலான எண்கள் - 0 முதல் 0 வரையிலான எண்கள் n– 1 (உடன் n= 12 நாம் மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, கடிகார டயல்களில் இருக்கும் எண்களின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்); எடுத்துக்காட்டாக (c) எண் 5 ஐ எந்த பகா எண்ணாலும் மாற்றலாம் ஆர், மற்றும் 1 முதல் 4 வரையிலான எண்கள் - 1 முதல் 4 வரையிலான எண்கள் ப – 1.

கட்டமைப்புகள் மற்றும் ஐசோமார்பிசம்.

ஒரு குழுவை உருவாக்கும் பொருட்களின் தன்மை எவ்வளவு மாறுபட்டதாக இருக்கும் என்பதை முந்தைய உதாரணங்கள் காட்டுகின்றன. ஆனால் உண்மையில், ஒவ்வொரு விஷயத்திலும், எல்லாமே ஒரே சூழ்நிலையில் வரும்: பொருட்களின் தொகுப்பின் பண்புகளில், இந்த தொகுப்பை ஒரு குழுவாக மாற்றுவதை மட்டுமே நாங்கள் கருதுகிறோம் (முழுமையற்ற அறிவின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே!). இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த குழுப் பெருக்கத்தால் கொடுக்கப்பட்ட குழு அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

ஒரு கட்டமைப்பின் மற்றொரு உதாரணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒழுங்கு அமைப்பு. ஒரு கொத்து ஈவரிசையின் கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது அல்லது உறுப்புகளுக்கு இடையில் இருந்தால் வரிசைப்படுத்தப்பட்டது அ è பி, சேர்ந்த ஈ, ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம் ஆர் (அ,பி) (இந்த உறவு எந்த ஜோடி உறுப்புகளுக்கும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்க வேண்டும் ஈ, ஆனால் பொதுவாக இது சில ஜோடிகளுக்கு தவறானது மற்றும் மற்றவர்களுக்கு உண்மை, எடுத்துக்காட்டாக, உறவு 7

(1) ஆர் (அ,அ) அனைவருக்கும் உண்மை ஏ, உரிமை உள்ளது ஈ;

(2) இருந்து ஆர் (அ,பி) மற்றும் ஆர் (பி,அ) அதைப் பின்பற்றுகிறது அ = பி;

(3) இருந்து ஆர் (அ,பி) மற்றும் ஆர் (பி,c) வேண்டும் ஆர் (அ,c).

பலவிதமான வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகளிலிருந்து பல எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

(A) ஈஅனைத்து முழு எண்களையும் கொண்டுள்ளது ஆர் (அ,பி) - உறவு " ஏகுறைவாக அல்லது சமமாக பி».

(ஆ) ஈஅனைத்து முழு எண்களையும் கொண்டுள்ளது >1, ஆர் (அ,பி) - உறவு " ஏபிரிக்கிறது பிஅல்லது சமம் பி».

(c) ஈவிமானத்தில் உள்ள அனைத்து வட்டங்களையும் கொண்டுள்ளது, ஆர் (அ,பி) - உறவு "வட்டம் அஇதில் இருக்கிறது பிஅல்லது ஒத்துப்போகிறது பி».

கட்டமைப்பின் இறுதி எடுத்துக்காட்டு, மெட்ரிக் இடத்தின் கட்டமைப்பைக் குறிப்பிடுவோம்; அத்தகைய அமைப்பு தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது ஈ, ஒவ்வொரு ஜோடி உறுப்புகள் என்றால் அமற்றும் பிசேர்ந்த ஈ, நீங்கள் எண்ணைப் பொருத்தலாம் ஈ (அ,பி) i 0, பின்வரும் பண்புகளை திருப்திப்படுத்துகிறது:

(1) ஈ (அ,பி) = 0 என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டும் அ = பி;

(2) ஈ (பி,அ) = ஈ (அ,பி);

(3) ஈ (அ,c) Ј ஈ (அ,பி) + ஈ (பி,c) கொடுக்கப்பட்ட ஏதேனும் மூன்று கூறுகளுக்கு அ, பி, cஇருந்து ஈ.

மெட்ரிக் இடைவெளிகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை வழங்குவோம்:

(அ) ​​சாதாரண "முப்பரிமாண" இடம், எங்கே ஈ (அ,பி) - சாதாரண (அல்லது "யூக்ளிடியன்") தூரம்;

(b) ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு, எங்கே ஈ (அ,பி) - இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் வட்டத்தின் மிகச்சிறிய வில் நீளம் அமற்றும் பிகோளத்தின் மீது;

(c) ஏதேனும் தொகுப்பு ஈ, எதற்காக ஈ (அ,பி) = 1 என்றால் அ № பி; ஈ (அ,அஎந்த உறுப்புக்கும் ) = 0 அ.

கட்டமைப்பின் கருத்தின் துல்லியமான வரையறை மிகவும் கடினம். விவரங்களுக்குச் செல்லாமல், பலவற்றைப் பற்றி நாம் கூறலாம் ஈதொகுப்பின் உறுப்புகளுக்கு இடையில் இருந்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட வகையின் அமைப்பு குறிப்பிடப்படுகிறது ஈ(மற்றும் சில நேரங்களில் பிற பொருள்கள், எடுத்துக்காட்டாக, துணைப் பாத்திரத்தை வகிக்கும் எண்கள்) உறவுகள் குறிப்பிடப்படுகின்றன, அவை கருத்தில் உள்ள வகையின் கட்டமைப்பை வகைப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன. மேலே நாங்கள் மூன்று வகையான கட்டமைப்புகளின் கோட்பாடுகளை வழங்கினோம். நிச்சயமாக, கோட்பாடுகள் முழுமையாக உருவாக்கப்பட்ட பல வகையான கட்டமைப்புகள் உள்ளன.

பல சுருக்கமான கருத்துக்கள் கட்டமைப்பின் கருத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையவை; மிக முக்கியமான ஒன்றை மட்டும் பெயரிடுவோம் - ஐசோமார்பிசம் என்ற கருத்து. முந்தைய பிரிவில் கொடுக்கப்பட்ட குழுக்களின் (b) மற்றும் (c) உதாரணத்தை நினைவுகூருங்கள். அட்டவணையில் இருந்து அதைச் சரிபார்ப்பது எளிது. 1 அட்டவணைக்கு பொருத்தத்தைப் பயன்படுத்தி 2 வழிசெலுத்தலாம்

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

இந்த வழக்கில், இந்த குழுக்கள் ஐசோமார்பிக் என்று கூறுகிறோம். பொதுவாக, இரண்டு குழுக்கள் ஜிமற்றும் ஜிў குழுவின் உறுப்புகளுக்கு இடையில் இருந்தால் ஐசோமார்பிக் ஆகும் ஜிமற்றும் குழு கூறுகள் ஜிў அத்தகைய ஒருவருக்கு ஒரு கடிதத்தை நிறுவுவது சாத்தியமாகும் அ « அў, என்றால் என்ன c = அ*பி, அந்த cў = அў* பிў தொடர்புடைய உறுப்புகளுக்கு Gў. குழுக் கோட்பாட்டின் எந்தவொரு அறிக்கையும் ஒரு குழுவிற்கு செல்லுபடியாகும் ஜி, குழுவிற்கு செல்லுபடியாகும் ஜிў, மற்றும் நேர்மாறாகவும். இயற்கணித ரீதியாக குழுக்கள் ஜிமற்றும் ஜிў பிரித்தறிய முடியாதது.

அதே வழியில் ஒருவர் இரண்டு ஐசோமார்பிக் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொகுப்புகள் அல்லது இரண்டு ஐசோமார்பிக் மெட்ரிக் இடைவெளிகளை வரையறுக்க முடியும் என்பதை வாசகர் எளிதாகக் காணலாம். ஐசோமார்பிஸத்தின் கருத்து எந்த வகை கட்டமைப்புகளுக்கும் விரிவடைகிறது என்பதைக் காட்டலாம்.

வகைப்பாடு

கணிதத்தின் பழைய மற்றும் புதிய வகைப்பாடுகள்.

முற்றிலும் "தொழில்நுட்பம்" மற்றும் ஒரு தத்துவ மற்றும் வழிமுறைக் கண்ணோட்டத்தில் இருந்து, கட்டமைப்பு மற்றும் பிற தொடர்புடைய கருத்துக்கள் நவீன கணிதத்தில் ஒரு மைய இடத்தைப் பிடித்துள்ளன. முக்கிய வகை கட்டமைப்புகளின் பொதுவான கோட்பாடுகள் கணித "தொழில்நுட்பத்தின்" மிகவும் சக்திவாய்ந்த கருவிகளாக செயல்படுகின்றன. ஒரு கணிதவியலாளர் தான் படிக்கும் பொருள்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை கட்டமைப்பின் கோட்பாடுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதை நிரூபிக்கும் போதெல்லாம், இந்த வகை கட்டமைப்பு கோட்பாட்டின் அனைத்து கோட்பாடுகளும் அவர் படிக்கும் குறிப்பிட்ட பொருட்களுக்கு பொருந்தும் என்பதை நிரூபிப்பார் (இந்த பொதுவான கோட்பாடுகள் இல்லாமல் அவர் அவர்களின் குறிப்பிட்ட விருப்பங்களின் பார்வையை இழக்க நேரிடும் அல்லது தேவையற்ற அனுமானங்களுடன் எனது பகுத்தறிவை சுமக்க வேண்டிய கட்டாயத்தில் இருக்கும்). இதேபோல், இரண்டு கட்டமைப்புகள் ஐசோமார்பிக் என நிரூபிக்கப்பட்டால், தேற்றங்களின் எண்ணிக்கை உடனடியாக இரட்டிப்பாகிறது: ஒரு கட்டமைப்புக்கு நிரூபிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தேற்றமும் உடனடியாக மற்றொன்றுக்கு தொடர்புடைய தேற்றத்தை அளிக்கிறது. எனவே, மிகவும் சிக்கலான மற்றும் கடினமான கோட்பாடுகள் உள்ளன என்பதில் ஆச்சரியமில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, எண் கோட்பாட்டில் "வகுப்பு புலக் கோட்பாடு", இதன் முக்கிய குறிக்கோள் கட்டமைப்புகளின் ஐசோமார்பிஸத்தை நிரூபிப்பதாகும்.

ஒரு தத்துவக் கண்ணோட்டத்தில், கட்டமைப்புகள் மற்றும் ஐசோமார்பிஸங்களின் பரவலான பயன்பாடு நவீன கணிதத்தின் முக்கிய அம்சத்தை நிரூபிக்கிறது - கணித "பொருட்களின்" "இயல்பு" அதிகம் தேவையில்லை, பொருள்களுக்கு இடையிலான உறவுகள் மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்கவை (ஒரு வகையான முழுமையற்ற அறிவின் கொள்கை).

இறுதியாக, கட்டமைப்பு என்ற கருத்து கணிதத்தின் கிளைகளை ஒரு புதிய வழியில் வகைப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்கியுள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடத் தவற முடியாது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி வரை. அவை ஆய்வின் பொருளுக்கு ஏற்ப மாறுபடும். எண்கணிதம் (அல்லது எண் கோட்பாடு) முழு எண்களைக் கையாளுகிறது, வடிவியல் நேர்கோடுகள், கோணங்கள், பலகோணங்கள், வட்டங்கள், பகுதிகள் போன்றவற்றைக் கையாளுகிறது. இயற்கணிதம் கிட்டத்தட்ட எண் சமன்பாடுகள் அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் பற்றியது; பகுப்பாய்வு வடிவியல் வடிவியல் சிக்கல்களை சமமான இயற்கணித சிக்கல்களாக மாற்றுவதற்கான முறைகளை உருவாக்கியது. "கணித பகுப்பாய்வு" என்று அழைக்கப்படும் கணிதத்தின் மற்றொரு முக்கியமான கிளையின் ஆர்வங்களின் வரம்பில் முக்கியமாக வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் மற்றும் அவற்றின் பல்வேறு பயன்பாடுகள் வடிவியல், இயற்கணிதம் மற்றும் கூட எண் கோட்பாடு ஆகியவை அடங்கும். இந்த பயன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை அதிகரித்தது, மேலும் அவற்றின் முக்கியத்துவமும் அதிகரித்தது, இது கணித பகுப்பாய்வை துணைப்பிரிவுகளாக பிரிக்க வழிவகுத்தது: செயல்பாடுகளின் கோட்பாடு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (சாதாரண மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்), வேறுபட்ட வடிவியல், மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் போன்றவை.

பல நவீன கணிதவியலாளர்களுக்கு, இந்த அணுகுமுறை ஆரம்பகால இயற்கையாளர்களின் விலங்குகளின் வகைப்பாட்டின் வரலாற்றை நினைவுபடுத்துகிறது: ஒரு காலத்தில், கடல் ஆமை மற்றும் சூரை இரண்டும் மீன்களாகக் கருதப்பட்டன, ஏனெனில் அவை தண்ணீரில் வாழ்ந்தன மற்றும் ஒத்த அம்சங்களைக் கொண்டிருந்தன. நவீன அணுகுமுறை மேற்பரப்பில் இருப்பதை மட்டும் பார்க்காமல், ஆழமாகப் பார்க்கவும், கணிதப் பொருட்களின் ஏமாற்றும் தோற்றத்திற்குப் பின்னால் இருக்கும் அடிப்படை கட்டமைப்புகளை அடையாளம் காணவும் கற்றுக் கொடுத்துள்ளது. இந்த கண்ணோட்டத்தில், கட்டமைப்புகளின் மிக முக்கியமான வகைகளைப் படிப்பது முக்கியம். இந்த வகைகளின் முழுமையான மற்றும் உறுதியான பட்டியல் எங்களிடம் இருப்பது சாத்தியமில்லை; அவற்றில் சில கடந்த 20 ஆண்டுகளில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் எதிர்காலத்தில் புதிய கண்டுபிடிப்புகளை எதிர்பார்க்க எல்லா காரணங்களும் உள்ளன. எவ்வாறாயினும், பல அடிப்படை "சுருக்க" வகை கட்டமைப்புகளைப் பற்றிய புரிதலை நாங்கள் ஏற்கனவே பெற்றுள்ளோம். (கணிதத்தின் "கிளாசிக்கல்" பொருள்களுடன் ஒப்பிடும்போது அவை "சுருக்கமானவை", இருப்பினும் அவற்றை "கான்கிரீட்" என்று அழைக்க முடியாது; இது சுருக்கத்தின் அளவைப் பற்றியது.)

அறியப்பட்ட கட்டமைப்புகளை அவை கொண்டிருக்கும் உறவுகள் அல்லது அவற்றின் சிக்கலான தன்மையால் வகைப்படுத்தலாம். ஒருபுறம், "இயற்கணித" கட்டமைப்புகளின் ஒரு விரிவான தொகுதி உள்ளது, இது ஒரு சிறப்பு வழக்கு, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குழு அமைப்பு; மற்ற இயற்கணித அமைப்புகளில் நாம் மோதிரங்கள் மற்றும் புலங்களுக்கு பெயரிடுகிறோம் ( செ.மீ. மேலும்சுருக்க அல்ஜீப்ரா). இயற்கணிதக் கட்டமைப்புகளைப் பற்றிய ஆய்வில் தொடர்புடைய கணிதப் பிரிவு, சாதாரண அல்லது கிளாசிக்கல் இயற்கணிதத்திற்கு மாறாக, "நவீன இயற்கணிதம்" அல்லது "சுருக்க இயற்கணிதம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதி, யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவியல் மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலும் புதிய இயற்கணிதத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

பொதுத்தன்மையின் அதே மட்டத்தில் கட்டமைப்புகளின் மற்ற இரண்டு தொகுதிகள் உள்ளன. அவற்றில் ஒன்று, பொது இடவியல் எனப்படும், கட்டமைப்பு வகைகளின் கோட்பாடுகளை உள்ளடக்கியது, இது ஒரு மெட்ரிக் இடத்தின் கட்டமைப்பாகும் ( செ.மீ. கட்டமைப்பியல் ; சுருக்க இடங்கள்). மூன்றாவது தொகுதி ஒழுங்கு கட்டமைப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நீட்டிப்புகளின் கோட்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது. கட்டமைப்பின் "விரிவாக்கம்" என்பது ஏற்கனவே உள்ளவற்றுடன் புதிய கோட்பாடுகளைச் சேர்ப்பதாகும். எடுத்துக்காட்டாக, குழுவின் கோட்பாடுகளில் நான்காவது கோட்பாடாக மாற்றத்தின் சொத்தை சேர்க்கிறோம். அ*பி = பி*அ, பின்னர் நாம் ஒரு பரிமாற்ற (அல்லது அபெலியன்) குழுவின் கட்டமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

இந்த மூன்று தொகுதிகளில், கடைசி இரண்டு சமீப காலம் வரை ஒப்பீட்டளவில் நிலையான நிலையில் இருந்தன, மேலும் "நவீன இயற்கணிதம்" தொகுதி வேகமாக வளர்ந்து வருகிறது, சில நேரங்களில் எதிர்பாராத திசைகளில் (உதாரணமாக, "ஹோமோலாஜிக்கல் அல்ஜீப்ரா" என்று அழைக்கப்படும் ஒரு முழு கிளை உருவாக்கப்பட்டது). என்று அழைக்கப்படும் வெளியே "தூய்மையான" வகை கட்டமைப்புகள் மற்றொரு மட்டத்தில் உள்ளன - "கலப்பு" கட்டமைப்புகள், எடுத்துக்காட்டாக இயற்கணிதம் மற்றும் இடவியல், அவற்றை இணைக்கும் புதிய கோட்பாடுகளுடன். இதுபோன்ற பல சேர்க்கைகள் ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன, அவற்றில் பெரும்பாலானவை "இயற்கணித இயற்கணிதம்" மற்றும் "இயற்கணித இடவியல்" என இரண்டு பரந்த தொகுதிகளாக உள்ளன.

ஒன்றாக எடுத்துக்கொண்டால், இந்தத் தொகுதிகள் அறிவியல் துறையில் மிகவும் கணிசமான "சுருக்கமான" துறையை உருவாக்குகின்றன. பல கணிதவியலாளர்கள் கிளாசிக்கல் கோட்பாடுகளை நன்கு புரிந்துகொள்ளவும் கடினமான சிக்கல்களைத் தீர்க்கவும் புதிய கருவிகளைப் பயன்படுத்துவார்கள் என்று நம்புகிறார்கள். உண்மையில், சரியான அளவிலான சுருக்கம் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தலுடன், பழங்காலத்தவர்களின் பிரச்சினைகள் ஒரு புதிய வெளிச்சத்தில் தோன்றலாம், இது அவர்களின் தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பதை சாத்தியமாக்கும். கிளாசிக்கல் பொருள்களின் பரந்த பகுதிகள் புதிய கணிதத்தின் கீழ் வந்து மற்ற கோட்பாடுகளுடன் மாற்றப்பட்டன அல்லது இணைக்கப்பட்டன. நவீன முறைகள் ஆழமாக ஊடுருவாத பரந்த பகுதிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டுகளில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு மற்றும் எண் கோட்பாட்டின் பெரும்பகுதி ஆகியவை அடங்கும். புதிய வகை கட்டமைப்புகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு முழுமையாக ஆய்வு செய்யப்பட்டவுடன் இந்த பகுதிகளில் குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றம் அடைய வாய்ப்பு உள்ளது.

தத்துவக் கஷ்டங்கள்

பண்டைய கிரேக்கர்கள் கூட கணிதக் கோட்பாடு முரண்பாடுகளிலிருந்து விடுபட வேண்டும் என்பதை தெளிவாகப் புரிந்து கொண்டனர். இதன் பொருள், அறிக்கையின் கோட்பாடுகளிலிருந்து தர்க்கரீதியான விளைவாக பெறுவது சாத்தியமில்லை ஆர்மற்றும் அவரது மறுப்பு இல்லை பி. இருப்பினும், கணிதப் பொருள்கள் நிஜ உலகில் கடிதப் பரிமாற்றங்களைக் கொண்டிருப்பதாக நம்பப்பட்டது, மேலும் கோட்பாடுகள் இயற்கையின் விதிகளின் "இலட்சியப்படுத்தல்கள்" என்பதால், கணிதத்தின் நிலைத்தன்மையை யாரும் சந்தேகிக்கவில்லை. கிளாசிக்கல் கணிதத்திலிருந்து நவீன கணிதத்திற்கு மாறும்போது, ​​நிலைத்தன்மையின் சிக்கல் வேறுபட்ட பொருளைப் பெற்றது. எந்தவொரு கணிதக் கோட்பாட்டின் கோட்பாடுகளையும் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான சுதந்திரம் வெளிப்படையாக நிலைத்தன்மையின் நிபந்தனையால் வரையறுக்கப்பட வேண்டும், ஆனால் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படும் என்பதை ஒருவர் உறுதியாக நம்ப முடியுமா?

தொகுப்பின் கருத்தை ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளோம். இந்தக் கருத்து எப்போதும் கணிதம் மற்றும் தர்க்கத்தில் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ வெளிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இரண்டாம் பாதியில். தொகுப்பின் கருத்தைக் கையாள்வதற்கான அடிப்படை விதிகள் ஓரளவு முறைப்படுத்தப்பட்டன, கூடுதலாக, சில முக்கியமான முடிவுகள் பெறப்பட்டன, அவை அழைக்கப்படும் உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகின்றன. கோட்பாட்டை அமைக்கவும் ( செ.மீ. மேலும் SET தியரி), இது மற்ற அனைத்து கணிதக் கோட்பாடுகளின் அடி மூலக்கூறாக மாறியது. பழங்காலத்தில் இருந்து 19 ஆம் நூற்றாண்டு வரை. எல்லையற்ற தொகுப்புகள் பற்றிய கவலைகள் இருந்தன, எடுத்துக்காட்டாக, ஜெனோ ஆஃப் எலியாட்டிக் (கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டு) பிரபலமான முரண்பாடுகளில் பிரதிபலிக்கிறது. இந்த கவலைகள் ஓரளவு மனோதத்துவ இயல்புடையவை, மேலும் ஓரளவு அளவுகளை (உதாரணமாக, நீளம் அல்லது நேரம்) அளவிடும் கருத்துடன் தொடர்புடைய சிரமங்களால் ஏற்பட்டன. 19 ஆம் நூற்றாண்டிற்குப் பிறகுதான் இந்த சிரமங்களை அகற்ற முடிந்தது. கணித பகுப்பாய்வின் அடிப்படைக் கருத்துக்கள் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. 1895 வாக்கில், அனைத்து அச்சங்களும் அகற்றப்பட்டன, மேலும் கணிதம் செட் கோட்பாட்டின் அசைக்க முடியாத அடித்தளத்தில் தங்கியிருப்பதாகத் தோன்றியது. ஆனால் அடுத்த தசாப்தத்தில், புதிய வாதங்கள் எழுந்தன, அவை செட் கோட்பாட்டின் (மற்றும் மீதமுள்ள கணிதத்தின்) உள் முரண்பாடுகளைக் காட்டுகின்றன.

புதிய முரண்பாடுகள் மிகவும் எளிமையானவை. இவற்றில் முதன்மையானது, ரஸ்ஸலின் முரண்பாடு, முடிதிருத்தும் முரண்பாடு எனப்படும் எளிய பதிப்பில் கருதப்படலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட நகரத்தில், ஒரு முடிதிருத்தும் நபர் தங்களை மொட்டையடிக்காத அனைத்து குடியிருப்பாளர்களையும் ஷேவ் செய்கிறார். முடிதிருத்துபவனுக்கு தானே மொட்டை அடிப்பது யார்? முடிதிருத்துபவர் தன்னை மொட்டையடித்துக் கொண்டால், அவர் தங்களை மொட்டையடித்துக் கொள்ளாத குடியிருப்பாளர்களை மட்டுமல்ல, தன்னை மொட்டையடித்துக்கொள்ளும் ஒரு குடியிருப்பாளரையும் ஷேவ் செய்கிறார்; அவரே மொட்டையடிக்கவில்லை என்றால், தாங்களே மொட்டையடிக்காத நகரவாசிகள் அனைவரையும் அவர் மொட்டையடிக்க மாட்டார். "அனைத்து தொகுப்புகளின் தொகுப்பு" என்ற கருத்து கருதப்படும் போதெல்லாம் இந்த வகையான முரண்பாடு எழுகிறது. இந்த கணிதப் பொருள் மிகவும் இயல்பானதாகத் தோன்றினாலும், அதைப் பற்றிய பகுத்தறிவு விரைவில் முரண்பாடுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது.

பெர்ரியின் முரண்பாடு இன்னும் அதிகமாக வெளிப்படுகிறது. பதினேழு வார்த்தைகளுக்கு மேல் இல்லாத அனைத்து ரஷ்ய சொற்றொடர்களின் தொகுப்பையும் கவனியுங்கள்; ரஷ்ய மொழியில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே அத்தகைய சொற்றொடர்களின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றில் சில முழு எண்ணைத் தனித்துவமாக வரையறுப்பதைத் தேர்ந்தெடுப்போம், எடுத்துக்காட்டாக: "பத்துக்குக் குறைவான பெரிய ஒற்றைப்படை எண்." அத்தகைய சொற்றொடர்களின் எண்ணிக்கையும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது; எனவே, அவர்களால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட முழு எண்களின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாகும். இந்த எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பைக் குறிப்போம் டி. எண்கணிதத்தின் கோட்பாடுகளிலிருந்து, சேராத முழு எண்கள் உள்ளன டி, மற்றும் இந்த எண்களில் ஒரு சிறிய எண் உள்ளது n. இந்த எண் nசொற்றொடரால் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுகிறது: "பதினேழு ரஷ்ய சொற்களுக்கு மேல் இல்லாத சொற்றொடரால் வரையறுக்க முடியாத சிறிய முழு எண்." ஆனால் இந்த சொற்றொடரில் சரியாக பதினேழு வார்த்தைகள் உள்ளன. எனவே, அது எண்ணை தீர்மானிக்கிறது n, சேர்ந்திருக்க வேண்டும் டி, மற்றும் நாம் ஒரு முரண்பாடான முரண்பாட்டிற்கு வருகிறோம்.

உள்ளுணர்வு மற்றும் சம்பிரதாயவாதிகள்.

தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் முரண்பாடுகளால் ஏற்பட்ட அதிர்ச்சி பல்வேறு எதிர்வினைகளுக்கு வழிவகுத்தது. சில கணிதவியலாளர்கள் மிகவும் உறுதியாக இருந்தனர் மற்றும் கணிதம் ஆரம்பத்திலிருந்தே தவறான திசையில் வளர்ச்சியடைந்து வருவதாகவும், முற்றிலும் மாறுபட்ட அடித்தளத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டதாகவும் இருக்க வேண்டும் என்ற கருத்தை வெளிப்படுத்தினர். அத்தகைய "உள்ளுணர்வுவாதிகள்" (அவர்கள் தங்களைத் தாங்களே அழைக்கத் தொடங்கினர்) பார்வையை எந்த துல்லியத்துடன் விவரிக்க முடியாது, ஏனெனில் அவர்கள் தங்கள் கருத்துக்களை முற்றிலும் தர்க்கரீதியான திட்டத்திற்கு குறைக்க மறுத்துவிட்டனர். உள்ளுணர்வாளர்களின் பார்வையில், உள்ளுணர்வாக பிரதிநிதித்துவப்படுத்த முடியாத பொருள்களுக்கு தர்க்கரீதியான செயல்முறைகளைப் பயன்படுத்துவது தவறானது. இயற்கை எண்கள் 1, 2, 3,... மற்றும் இயற்கை எண்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகள், துல்லியமாக குறிப்பிடப்பட்ட விதிகளின்படி "கட்டமைக்கப்பட்ட" மட்டுமே உள்ளுணர்வாக தெளிவான பொருள்கள். ஆனால் அத்தகைய பொருள்களுக்கு கூட, உள்ளுணர்வு வல்லுநர்கள் கிளாசிக்கல் தர்க்கத்தின் அனைத்து விலக்குகளையும் பயன்படுத்த அனுமதிக்கவில்லை. உதாரணமாக, அவர்கள் எந்த அறிக்கைக்காகவும் அதை அங்கீகரிக்கவில்லை ஆர்ஒன்று உண்மை ஆர், அல்லது இல்லை ஆர். அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளால், அவர்கள் எளிதில் "முரண்பாடுகளை" தவிர்த்தனர், ஆனால் அதே நேரத்தில் அவர்கள் அனைத்து நவீன கணிதத்தையும் மட்டுமல்லாமல், கிளாசிக்கல் கணிதத்தின் முடிவுகளின் குறிப்பிடத்தக்க பகுதியையும் தாண்டினர், மேலும் எஞ்சியவர்களுக்கு, புதியதைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். , மிகவும் சிக்கலான சான்றுகள்.

பெரும்பாலான நவீன கணிதவியலாளர்கள் உள்ளுணர்வாளர்களின் வாதங்களுடன் உடன்படவில்லை. உள்ளுணர்வு அல்லாத கணிதவியலாளர்கள் முரண்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் வாதங்கள் சாதாரண கணித வேலைகளில் பயன்படுத்தப்படும் கோட்பாட்டிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுவதைக் கவனித்துள்ளனர், எனவே தற்போதுள்ள கணிதக் கோட்பாடுகளை பாதிக்காமல் அத்தகைய வாதங்கள் சட்டவிரோதமானது என நிராகரிக்கப்பட வேண்டும். மற்றொரு கவனிப்பு என்னவென்றால், "முரண்பாடுகள்" வருவதற்கு முன்பு இருந்த "அப்பாவி" தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், "தொகுப்பு", "சொத்து", "உறவு" என்ற சொற்களின் பொருள் கேள்விக்குட்படுத்தப்படவில்லை - கிளாசிக்கல் வடிவவியலில் "உள்ளுணர்வு" போலவே. சாதாரண வடிவியல் கருத்துகளின் தன்மை குறித்து கேள்வி கேட்கப்படவில்லை. இதன் விளைவாக, வடிவவியலில் இருந்ததைப் போலவே ஒருவர் செயல்படலாம், அதாவது, "உள்ளுணர்வுக்கு" முறையிடும் அனைத்து முயற்சிகளையும் நிராகரித்து, துல்லியமாக வடிவமைக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் அமைப்பைக் கோட்பாட்டின் தொடக்க புள்ளியாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். எவ்வாறாயினும், "சொத்து" அல்லது "உறவு" போன்ற சொற்கள் அவற்றின் சாதாரண அர்த்தத்தை எவ்வாறு இழக்கின்றன என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை; பெர்ரியின் முரண்பாடு போன்ற வாதங்களை நாம் விலக்க விரும்பினால் இது செய்யப்பட வேண்டும். கோட்பாடுகள் அல்லது கோட்பாடுகளை உருவாக்குவதில் சாதாரண மொழியைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்ப்பதில் இந்த முறை உள்ளது; கடுமையான விதிகளின் வெளிப்படையான அமைப்பின்படி கட்டமைக்கப்பட்ட முன்மொழிவுகள் மட்டுமே கணிதத்தில் "பண்புகள்" அல்லது "உறவுகள்" என அனுமதிக்கப்படுகின்றன மற்றும் கோட்பாடுகளின் உருவாக்கத்தில் நுழைகின்றன. இந்த செயல்முறை கணித மொழியின் "முறைப்படுத்தல்" என்று அழைக்கப்படுகிறது (சாதாரண மொழியின் தெளிவின்மையிலிருந்து எழும் தவறான புரிதல்களைத் தவிர்ப்பதற்காக, ஒரு படி மேலே சென்று, முறைப்படுத்தப்பட்ட வாக்கியங்களில் சொற்களை சிறப்பு குறியீடுகளுடன் மாற்றுவது பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, இணைப்புக்கு பதிலாக. "மற்றும்" சின்னத்துடன் &, இணைப்பு "அல்லது" - b குறியீட்டுடன், "உள்ளது" குறியீட்டுடன் $, முதலியன). உள்ளுணர்வாளர்களால் முன்மொழியப்பட்ட முறைகளை நிராகரித்த கணிதவியலாளர்கள் "முறைவாதிகள்" என்று அழைக்கத் தொடங்கினர்.

இருப்பினும், அசல் கேள்விக்கு ஒருபோதும் பதிலளிக்கப்படவில்லை. "ஆக்ஸியோமாடிக் செட் கோட்பாடு" முரண்பாடுகளிலிருந்து விடுபட்டதா? "முறைப்படுத்தப்பட்ட" கோட்பாடுகளின் நிலைத்தன்மையை நிரூபிக்கும் புதிய முயற்சிகள் 1920களில் டி. ஹில்பர்ட் (1862-1943) மற்றும் அவரது பள்ளியால் மேற்கொள்ளப்பட்டன, மேலும் அவை "மெட்டாமேதமேடிக்ஸ்" என்று அழைக்கப்பட்டன. அடிப்படையில், மெட்டாமேதமேடிக்ஸ் என்பது "பயன்படுத்தப்பட்ட கணிதத்தின்" ஒரு பிரிவாகும், இதில் கணித பகுத்தறிவு பயன்படுத்தப்படும் பொருள்கள் ஒரு முறைப்படுத்தப்பட்ட கோட்பாட்டின் முன்மொழிவுகள் மற்றும் சான்றுகளுக்குள் அவற்றின் ஏற்பாடு ஆகும். இந்த வாக்கியங்கள் இந்த குறியீடுகளின் சாத்தியமான "பொருள்" (ஏதேனும் இருந்தால்) எந்த குறிப்பும் இல்லாமல், சில நிறுவப்பட்ட விதிகளின்படி உருவாக்கப்பட்ட சின்னங்களின் பொருள் சேர்க்கைகளாக மட்டுமே கருதப்பட வேண்டும். ஒரு நல்ல ஒப்புமை சதுரங்க விளையாட்டு: சின்னங்கள் காய்களுக்கு ஒத்திருக்கும், வாக்கியங்கள் பலகையில் வெவ்வேறு நிலைகளுக்கு ஒத்திருக்கும், மற்றும் தர்க்கரீதியான முடிவுகள் காய்களை நகர்த்துவதற்கான விதிகளுக்கு ஒத்திருக்கும். முறைப்படுத்தப்பட்ட கோட்பாட்டின் நிலைத்தன்மையை நிறுவ, இந்த கோட்பாட்டில் ஒரு ஆதாரம் கூட 0 எண். 0 என்ற கூற்றுடன் முடிவடையாது என்பதைக் காட்டினால் போதும். இருப்பினும், "மெட்டா-கணித" நிரூபணத்தில் கணித வாதங்களைப் பயன்படுத்துவதை ஒருவர் எதிர்க்கலாம். ஒரு கணிதக் கோட்பாட்டின் நிலைத்தன்மை; கணிதம் சீரற்றதாக இருந்தால், கணித வாதங்கள் அனைத்து சக்தியையும் இழந்துவிடும், மேலும் நாம் ஒரு தீய வட்ட சூழ்நிலையில் இருப்போம். இந்த ஆட்சேபனைகளுக்கு பதிலளிக்க, ஹில்பர்ட் மெட்டாமேட்டிக்ஸில் பயன்படுத்துவதற்கு ஏற்றதாக உள்ளுணர்வு வல்லுநர்கள் கருதும் வகையின் மிகக் குறைந்த கணித பகுத்தறிவை அனுமதித்தார். எவ்வாறாயினும், K. Gödel விரைவில் (1931) எண்கணிதத்தின் நிலைத்தன்மையை அது உண்மையிலேயே சீரானதாக இருந்தால், அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட வழிமுறைகளால் நிரூபிக்க முடியாது என்று காட்டினார் (இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கம் இந்த அற்புதமான முடிவைப் பெற்ற தனித்துவமான முறையை கோடிட்டுக் காட்ட அனுமதிக்கவில்லை, மற்றும் மெட்டாமேட்டிக்ஸ் பற்றிய அடுத்தடுத்த வரலாறு).

சம்பிரதாயக் கண்ணோட்டத்தில் தற்போதைய சிக்கலான சூழ்நிலையை சுருக்கமாகக் கூறினால், அது இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது என்பதை நாம் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். அறியப்பட்ட முரண்பாடுகளைத் தவிர்ப்பதற்காக குறிப்பாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட முன்பதிவுகளால் தொகுப்பின் கருத்தாக்கத்தின் பயன்பாடு வரையறுக்கப்பட்டது, மேலும் புதிய முரண்பாடுகள் அச்சிடப்பட்ட தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் எழாது என்பதற்கு எந்த உத்தரவாதமும் இல்லை. ஆயினும்கூட, அச்சியோமேடிக் செட் கோட்பாட்டின் வரம்புகள் புதிய சாத்தியமான கோட்பாடுகளின் பிறப்பைத் தடுக்கவில்லை.

கணிதம் மற்றும் உண்மையான உலகம்

கணிதத்தின் சுதந்திரம் பற்றிய கூற்றுகள் இருந்தபோதிலும், கணிதமும் இயற்பியல் உலகமும் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதை யாரும் மறுக்க மாட்டார்கள். நிச்சயமாக, கிளாசிக்கல் இயற்பியலின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான கணித அணுகுமுறை செல்லுபடியாகும். கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதியில், அதாவது வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், சாதாரண மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் ஆகியவற்றின் கோட்பாட்டில், இயற்பியல் மற்றும் கணிதத்தின் பரஸ்பர செறிவூட்டல் செயல்முறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதும் உண்மை.

நுண்ணிய உலக நிகழ்வுகளை விளக்குவதற்கு கணிதம் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இருப்பினும், கணிதத்தின் புதிய "பயன்பாடுகள்" கிளாசிக்கல்வற்றிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகின்றன. இயற்பியலின் மிக முக்கியமான கருவிகளில் ஒன்று நிகழ்தகவு கோட்பாடாக மாறியுள்ளது, இது முன்னர் முக்கியமாக சூதாட்டம் மற்றும் காப்பீட்டுக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டது. இயற்பியலாளர்கள் "அணு நிலைகள்" அல்லது "மாற்றங்கள்" ஆகியவற்றுடன் தொடர்புபடுத்தும் கணிதப் பொருள்கள் இயற்கையில் மிகவும் சுருக்கமானவை மற்றும் குவாண்டம் இயக்கவியலின் வருகைக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே கணிதவியலாளர்களால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு ஆய்வு செய்யப்பட்டன. முதல் வெற்றிகளுக்குப் பிறகு, கடுமையான சிரமங்கள் எழுந்தன என்பதைச் சேர்க்க வேண்டும். குவாண்டம் கோட்பாட்டின் மிகவும் நுட்பமான அம்சங்களுக்கு இயற்பியலாளர்கள் கணிதக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்த முயன்ற நேரத்தில் இது நடந்தது; ஆயினும்கூட, பல இயற்பியலாளர்கள் புதிய கணிதக் கோட்பாடுகளை இன்னும் நம்பிக்கையுடன் பார்க்கிறார்கள், அவை புதிய சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவும் என்று நம்புகிறார்கள்.

கணிதம் ஒரு அறிவியலா அல்லது கலையா?

நிகழ்தகவு கோட்பாடு அல்லது கணித தர்க்கத்தை "தூய" கணிதத்தில் சேர்த்தாலும், அறியப்பட்ட கணித முடிவுகளில் 50% க்கும் குறைவாகவே தற்போது மற்ற அறிவியல்களால் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மீதமுள்ள பாதியைப் பற்றி நாம் என்ன நினைக்க வேண்டும்? வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், உடல் சார்ந்த பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் தொடர்பில்லாத கணிதப் பகுதிகளுக்குப் பின்னால் உள்ள நோக்கங்கள் என்ன?

இந்த வகையான தேற்றங்களின் பொதுவான பிரதிநிதியாக எண்ணின் பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நாங்கள் ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளோம். மற்றொரு உதாரணம் J.-L. Lagrange (1736-1813) நிரூபித்த தேற்றம். அதை "முக்கியமானது" அல்லது "அழகானது" என்று அழைக்காத ஒரு கணிதவியலாளர் இல்லை. லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம் ஒன்றுக்கு அதிகமாகவோ அல்லது அதற்கு சமமாகவோ இருக்கும் எந்த முழு எண்ணையும் அதிகபட்சம் நான்கு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் என்று கூறுகிறது; எடுத்துக்காட்டாக, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. தற்போதைய சூழ்நிலையில், எந்தவொரு சோதனைச் சிக்கலையும் தீர்க்க இந்த முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பது நினைத்துப் பார்க்க முடியாதது. இயற்பியலாளர்கள் கடந்த காலத்தை விட இன்று முழு எண்களை அடிக்கடி கையாளுகிறார்கள் என்பது உண்மைதான், ஆனால் அவர்கள் செயல்படும் முழு எண்கள் எப்போதும் குறைவாகவே உள்ளன (அவை அரிதாகவே சில நூறுகளைத் தாண்டுகின்றன); எனவே, லாக்ரேஞ்ச் போன்ற ஒரு தேற்றம் சில எல்லைக்குள் முழு எண்களுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டால் மட்டுமே "பயனுள்ளதாக" இருக்கும். ஆனால் லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தை உருவாக்குவதை நாம் மட்டுப்படுத்தியவுடன், அது உடனடியாக ஒரு கணிதவியலாளருக்கு சுவாரஸ்யமாக இருப்பதை நிறுத்துகிறது, ஏனெனில் இந்த தேற்றத்தின் முழு கவர்ச்சிகரமான சக்தியும் அனைத்து முழு எண்களுக்கும் பொருந்துகிறது. (மிகப்பெரிய எண்களுக்கு கணினிகளால் சரிபார்க்கப்படும் முழு எண்களைப் பற்றி ஏராளமான அறிக்கைகள் உள்ளன; ஆனால் பொதுவான ஆதாரம் எதுவும் கண்டறியப்படாததால், அவை அனுமானமாகவே உள்ளன மற்றும் தொழில்முறை கணிதவியலாளர்களுக்கு எந்த ஆர்வமும் இல்லை.)

வானியல் அல்லது உயிரியல் என எந்தத் துறையிலும் பணிபுரியும் விஞ்ஞானிகளுக்கு உடனடி பயன்பாடுகளிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ள தலைப்புகளில் கவனம் செலுத்துவது அசாதாரணமானது அல்ல. இருப்பினும், சோதனை முடிவைச் செம்மைப்படுத்தலாம் மற்றும் மேம்படுத்தலாம் என்றாலும், கணிதச் சான்று எப்போதும் உறுதியானது. இதனால்தான் கணிதம் அல்லது குறைந்த பட்சம் "யதார்த்தத்துடன்" தொடர்பில்லாத ஒரு பகுதியை ஒரு கலையாகக் கருதுவதற்கான சோதனையை எதிர்ப்பது கடினம். கணிதச் சிக்கல்கள் வெளியில் இருந்து திணிக்கப்படுவதில்லை, மேலும், நவீனக் கண்ணோட்டத்தை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், நமது பொருளைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் நாம் முற்றிலும் சுதந்திரமாக இருக்கிறோம். சில கணிதப் படைப்புகளை மதிப்பிடும் போது, ​​கணிதவியலாளர்களுக்கு "புறநிலை" அளவுகோல்கள் இல்லை மற்றும் அவர்களது சொந்த "ரசனையை" நம்ப வேண்டிய கட்டாயத்தில் உள்ளனர். நேரம், நாடு, மரபுகள் மற்றும் தனிநபர்களைப் பொறுத்து சுவைகள் பெரிதும் மாறுபடும். நவீன கணிதத்தில் ஃபேஷன்கள் மற்றும் "பள்ளிகள்" உள்ளன. தற்போது, ​​இதுபோன்ற மூன்று "பள்ளிகள்" உள்ளன, அவை வசதிக்காக "கிளாசிசிசம்", "நவீனத்துவம்" மற்றும் "சுருக்கவாதம்" என்று அழைப்போம். அவற்றுக்கிடையேயான வேறுபாடுகளை நன்கு புரிந்து கொள்ள, ஒரு தேற்றம் அல்லது தேற்றங்களின் குழுவை மதிப்பிடும் போது கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் வெவ்வேறு அளவுகோல்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

(1) பொதுவான கருத்தின்படி, "அழகான" கணித முடிவு அற்பமானதாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. கோட்பாடுகள் அல்லது முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட கோட்பாடுகளின் வெளிப்படையான விளைவாக இருக்கக்கூடாது; ஆதாரம் சில புதிய யோசனைகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும் அல்லது பழைய யோசனைகளை புத்திசாலித்தனமாகப் பயன்படுத்த வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு கணிதவியலாளருக்கு முக்கியமானது முடிவு அல்ல, ஆனால் அதைப் பெறுவதில் அவர் சந்தித்த சிரமங்களைச் சமாளிப்பதற்கான செயல்முறை.

(2) எந்தவொரு கணிதச் சிக்கலுக்கும் அதன் சொந்த வரலாறு உள்ளது, ஒரு "வம்சாவளி", பேசுவதற்கு, எந்தவொரு அறிவியலின் வரலாறும் அதே பொதுவான முறையைப் பின்பற்றுகிறது: முதல் வெற்றிகளுக்குப் பிறகு, பதிலுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட நேரம் கடக்கக்கூடும். எழுப்பப்பட்ட கேள்வி காணப்படுகிறது. ஒரு தீர்வு கிடைத்தால், கதை அங்கு முடிவடையவில்லை, ஏனென்றால் விரிவாக்கம் மற்றும் பொதுமைப்படுத்தலின் நன்கு அறியப்பட்ட செயல்முறைகள் தொடங்குகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, மேலே குறிப்பிட்டுள்ள லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம், க்யூப்ஸ், நான்காவது, ஐந்தாவது சக்திகள் போன்றவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக எந்த முழு எண்ணையும் குறிக்கும் கேள்விக்கு வழிவகுக்கிறது. இறுதித் தீர்வைப் பெறாத “Waring problem” இப்படித்தான் எழுகிறது. மேலும், நாம் அதிர்ஷ்டசாலியாக இருந்தால், நாம் தீர்க்கும் பிரச்சனை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடிப்படை கட்டமைப்புகளுடன் தொடர்புடையதாக மாறும், மேலும் இது இந்த கட்டமைப்புகள் தொடர்பான புதிய சிக்கல்களுக்கு வழிவகுக்கும். அசல் கோட்பாடு இறுதியில் இறந்தாலும், அது பொதுவாக பல உயிர் தளிர்களை விட்டுச்செல்கிறது. நவீன கணிதவியலாளர்கள் இத்தகைய பரந்த அளவிலான சிக்கல்களை எதிர்கொள்கின்றனர், சோதனை அறிவியலுடனான அனைத்து தொடர்புகளும் தடைபட்டாலும், அவற்றின் தீர்வு இன்னும் பல நூற்றாண்டுகள் எடுக்கும்.

(3) ஒவ்வொரு கணிதவியலாளரும் தனக்கு முன் ஒரு புதிய பிரச்சனை எழும் போது, ​​அதை எந்த வகையிலும் தீர்த்து வைப்பது தனது கடமை என்பதை ஒப்புக்கொள்வார். கிளாசிக்கல் கணிதப் பொருள்களைப் பற்றிய ஒரு சிக்கல் (கிளாசிக் வல்லுநர்கள் பிற வகைப் பொருள்களை அரிதாகவே கையாள்கின்றனர்), கிளாசிக் வல்லுநர்கள் கிளாசிக்கல் வழிகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மற்ற கணிதவியலாளர்கள் பணிக்கு தொடர்புடைய பொதுவான கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கு மேலும் "சுருக்க" கட்டமைப்புகளை அறிமுகப்படுத்துகின்றனர். அணுகுமுறையில் இந்த வேறுபாடு புதிதல்ல. 19 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து. கணிதவியலாளர்கள் "தந்திரோபாயவாதிகள்" என்று பிரிக்கப்படுகிறார்கள், அவர்கள் பிரச்சினைக்கு முற்றிலும் வலிமையான தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மேலும் "மூலோபாயவாதிகள்" சிறிய படைகளால் எதிரிகளை நசுக்குவதை சாத்தியமாக்கும் சுற்று சூழ்ச்சிகளுக்கு ஆளாகிறார்கள்.

(4) தேற்றத்தின் "அழகு" இன் இன்றியமையாத உறுப்பு அதன் எளிமை. நிச்சயமாக, எளிமைக்கான தேடல் அனைத்து விஞ்ஞான சிந்தனைகளின் சிறப்பியல்பு. ஆனால் பிரச்சனை தீர்க்கப்பட்டால் "அசிங்கமான தீர்வுகளை" வைக்க பரிசோதனையாளர்கள் தயாராக உள்ளனர். அதேபோல், கணிதத்தில், கிளாசிக்வாதிகள் மற்றும் சுருக்கவாதிகள் "நோயியல்" முடிவுகளின் தோற்றத்தைப் பற்றி அதிகம் கவலைப்படுவதில்லை. மறுபுறம், நவீனத்துவவாதிகள் கோட்பாட்டின் "நோயியல்" தோற்றத்தில் அடிப்படைக் கருத்துகளின் அபூரணத்தைக் குறிக்கும் ஒரு அறிகுறியைக் காணும் அளவிற்கு செல்கிறார்கள்.