Funkcia grafov vo forme zvierat. Ako nájsť graf funkcie? To sa stalo

Vyberte si systém obdĺžnikového súradnice v lietadle a odložíme hodnoty hodnôt argumentov na osi osi abscissu h.a na ordinácii osi - funkčné hodnoty y \u003d f (x).

Grafový graf y \u003d f (x) Súprava všetkých bodov, v ktorých abscisss patria k funkcii určovania funkcie, a presvedčuje zodpovedajúce hodnoty funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je sada všetkých bodov lietadla, súradnice x, w. ktorý spĺňa vzťah y \u003d f (x).

Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií. y \u003d 2x + 1 a y \u003d x 2 - 2x.

Prísne povedané, graf funkcie by sa mal rozlíšiť (presná matematická definícia, ktorá bola uvedená vyššie) a ťahaná krivka, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt harmonogramu (a potom spravidla, nie Celý harmonogram, ale len jeho časti umiestnené v konečných častiach lietadla). V budúcnosti však zvyčajne budeme hovoriť "harmonogram", a nie "náčrt grafu".

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Je to, ak bod x \u003d A. patrí do oblasti definície poľa y \u003d f (x)Potom nájdete číslo f (a) (t.j. Funkčné hodnoty v mieste x \u003d A.) Mali by ste to urobiť. Potrebujú cez bod osi x \u003d A. Stráviť rovnú, paralelnú osradu; Táto priamka bude prekračovať funkčný graf. y \u003d f (x) V jednom bode; ordinácia tohto bodu a bude na základe harmonogramu rovná f (a) (Obr. 47).

Napríklad pre funkciu f (x) \u003d x 2 - 2x Použitie grafu (obr. 46), nájdeme F (-1) \u003d 3, F (0) \u003d 0, F (1) \u003d -L, F (2) \u003d 0, atď.

Funkčný graf jasne ilustruje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z hľadiska obr. 46 Vymazať túto funkciu y \u003d x 2 - 2x berie pozitívne hodnoty, keď h.< 0 a pre x\u003e 2., negatívne - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x Akceptuje x \u003d 1..

Vytvorenie funkcie grafu f (x)je potrebné nájsť všetky body lietadla, súradnice h., W. ktoré spĺňajú rovnicu y \u003d f (x). Vo väčšine prípadov to nie je možné urobiť, pretože takéto body sú nekonečne veľa. Preto je graf funkcie zobrazený približne s väčšou alebo menej presnosťou. Najjednoduchší je spôsob budovania harmonogramu pre niekoľko bodov. Je to tento argument h. Stlačte tlačidlo konečného počtu hodnôt - povedzme, X 1, X 2, X 3, ..., X K a tvoria tabuľku, v ktorej sú zahrnuté vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:

Vypracovaním takejto tabuľky môžeme načrtnúť niekoľko bodov funkčnej grafiky. y \u003d f (x). Potom sa pripojíte tieto body s hladkou čiarou, dostaneme približný pohľad na funkčnú grafiku y \u003d f (x).

Mal by však poznamenať, že metóda budovania harmonogramu pre niekoľko bodov je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti, správanie grafu medzi zamýšľanými bodmi a správaním mimo segmentu medzi extrémnymi bodmi zostáva neznáma.

Príklad 1.. Vytvorenie funkcie grafu y \u003d f (x) Niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentu a funkcie:

Zodpovedajúce päť bodov sú znázornené na obr. 48.

Na základe umiestnenia týchto bodov dospel k záveru, že graf funkcie je priamka (znázornená na obr. 48 bodkovaný). Je možné zvážiť tento záver spoľahlivý? Ak neexistujú žiadne ďalšie úvahy, ktoré potvrdzujú tento záver, je nepravdepodobné, že by bolo spoľahlivé. spoľahlivé.

Ak chcete zdôvodniť vaše tvrdenie, zvážte funkciu

.

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané v tabuľke nižšie. Graf tejto funkcie však nie je vôbec priamky (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia. y \u003d x + l + sinπx; Jeho hodnoty sú tiež opísané vyššie uvedenej tabuľky.

Tieto príklady ukazujú, že v "čistej" forme je metóda budovania harmonogramu pre niekoľko bodov nespoľahlivý. Preto sa na konštrukciu graf danej funkcie spravidla uplatňujú takto. Po prvé, vlastnosti tejto funkcie študujú, s ktorými môžete vytvoriť náčrt grafiky. Potom, výpočet hodnôt funkcie na niekoľkých bodoch (z ktorých voľba závisí od nastavených vlastností funkcie), nájdite zodpovedajúce body grafu. A konečne, cez konštruované body, krivka sa uskutočňuje pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu, budeme vyzerať neskôr, a teraz budeme analyzovať niektoré z často používaných spôsobov, ako vybudovať grafy.

Plán Funkcia Y \u003d | F (X) |.

Často musíte vytvoriť graf funkcie y \u003d | f (x)|, kde f (x) -Špecifikovaná funkcia. Pripomeňme, ako sa to robí. Podľa definície absolútnej hodnoty čísla môžete písať

To znamená, že funkcia plánu y \u003d | f (x) možno získať z grafiky, funkcií y \u003d f (x) Nasledovne: Všetky body grafickej funkcie y \u003d f (x)ktoré sú negatívne ordináty, by sa mali ponechať nezmenené; Ďalej namiesto bodov grafickej funkcie y \u003d f (x)Mať záporné súradnice, mali by ste vytvoriť vhodnú funkciu funkčného plánu y \u003d -f (x) (t.j. časť funkcie plánu
y \u003d f (x)ktorý leží pod osou x, by sa mali symetricky odrážať v porovnaní s osou h.).

Príklad 2. Zostavte funkciu grafu y \u003d | x |.

Urobíme graf funkcie y \u003d x.(Obr. 50, A) a časť tohto zoznamu, keď h.< 0 (ležiace pod osou h.) symetricky premýšľať o osi h.. V dôsledku toho získame harmonogram funkcie y \u003d | x (Obr. 50, B).

Príklad 3.. Zostavte funkciu grafu y \u003d | x 2 - 2x |.

Najprv zostavte funkčný plán Y \u003d x 2 - 2x. Graf tejto funkcie je paraboly, ktorých vetvy sú nasmerované, pearabol vrchol je súradnice (1; -1), jeho graf prechádza osi osi abscisy v bodoch 0 a 2. v intervale (0; 2), Fuction berie záporné hodnoty, takže je to táto časť grafu symetricky premýšľať vzhľadom na os Abscissu. Obrázok 51 vybudoval graf funkcie y \u003d x 2 -2x |Na základe funkcie plánu y \u003d x 2 - 2x

Funkčný graf y \u003d f (x) + g (x)

Zvážte úlohu budovania grafu y \u003d f (x) + g (x). Ak sú špecifikované grafika funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x).

Všimnite si, že pole určovania funkcie y \u003d | f (x) + g (x) Je to súbor všetkých hodnôt x, pre ktoré sú definované obidve funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x), to znamená, že táto oblasť definície je priesečník oblastí definície, FUNKCIE F (X) A G (X).

Dať bod (x 0, y1) I. (x 0, v 2) Patrí k plánom funkcií y \u003d f (x) a y \u003d g (x), t.j. y 1 \u003d f (x 0), y2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0; y1 + y2) patrí do grafu y \u003d f (x) + g (x) (pre f (x 0) + g (x 0) \u003d y. 1 + y2.), -. \\ T a akýkoľvek bod funkčnej grafiky y \u003d f (x) + g (x) Týmto spôsobom. V dôsledku toho graf funkcie y \u003d f (x) + g (x) možno získať z grafov funkcií y \u003d f (x). a y \u003d g (x) nahradiť každý bod ( x n, u 1) Grafické funkcie y \u003d f (x) Bod (x n, y1 + y2), Kde v 2 \u003d g (x n), t.j. posun každého bodu ( x n, na 1) Funkčná grafika y \u003d f (x) Pozdĺž osi w. Rozsah y1 \u003d g (x n). Toto sa zaoberá iba také body. h. n, pre ktoré sú definované obidve funkcie y \u003d f (x) a y \u003d g (x).

Takáto metóda na vytvorenie grafickej funkcie y \u003d f (x) + g (x) sa nazýva pridanie grafov funkcií y \u003d f (x)a Y \u003d g (x)

Príklad 4.. Na obrázku je graf grafov vybudovaný funkčný plán
y \u003d x + sinx.

Pri budovaní grafu y \u003d x + sinx Verili sme tomu f (x) \u003d x,ale G (x) \u003d SINX.Ak chcete vytvoriť graf funkcie, vyberte si bod s absiskám -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5 ,,,,,,,,, Hodnoty f (x) \u003d x, g (x) \u003d SINX, Y \u003d X + SINXvypočítajte vo vybraných bodoch a výsledky sú zverejnené v tabuľke.

Dĺžka segmentu na osi súradnice je podľa vzorca:

Dĺžka segmentu na rovine súradnice sa vyhľadáva vzorcom:

Ak chcete nájsť dĺžku segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme, použije sa nasledujúci vzorec:

Súradnice stredu segmentu (pre osi súradnice, len prvý vzorec sa používa na koordinovú rovinu - prvé dve vzorce, pre trojrozmerný súradnicový systém - všetky tri vzorce) sú vypočítané vzorcami:

Funkcia - Toto je zodpovedajúci formulár y.= f.(x.) Medzi premennými, na základe ktorých každá považuje za hodnotu určitej variabilnej hodnoty x. (argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej hodnoty premennej, \\ t y. (Závislá premenná, niekedy táto hodnota sa jednoducho nazýva hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia znamená, že jedna hodnota argumentu h. Môže zodpovedať iba jedna hodnota závislej premennej. w.. V tomto prípade rovnaká hodnota w. možno získať s rôznymi h..

Oblasť funkcie - Toto sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne h.), v ktorom je funkcia určená, t.j. Jej hodnota existuje. Označuje oblasť definície D.(y.). Týmto konceptom ste už oboznámení. Funkcia určovania funkcie sa nazýva oblasť prípustných hodnôt, alebo OTZ, ktorú ste už dlho mohli nájsť.

Plocha funkčných hodnôt - Toto sú všetky možné hodnoty závislej premennej tejto funkcie. Označuje E.(w.).

Funkcia sa zvyšuje V intervale, na ktorom vyššia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia sa znižuje V intervale, na ktorom je väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Intervaly funkcie symbolu - Toto sú intervaly nezávislej premennej, na ktorej závislá premenná si zachováva svoje pozitívne alebo negatívne označenie.

Funkcia nulovej funkcie - Toto sú hodnoty argumentu, v ktorom je hodnota funkcie nula. V týchto bodoch sa graf funkcie prekročí os Ascissa (OH). Veľmi často potreba nájsť nuly funkcií znamená potrebu jednoducho vyriešiť rovnicu. Často je často potrebné nájsť intervaly alternatív, čo znamená, že je potrebné jednoducho vyriešiť nerovnosť.

Funkcia y. = f.(x.Povolanie dokonca h.

To znamená, že pre všetky opačné hodnoty argumentu sú hodnoty rovnomernej funkcie rovnaké. Rozvrh integerovej funkcie je vždy symetrický o osi Ordinácie OU.

Funkcia y. = f.(x.Povolanie zvláštnyAk je definovaný na symetrickom súbore a pre všetky h. Rovnosť sa vykonáva z oblasti definície:

To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický na začiatku súradníc.

Súčet koreňov inteligentných a nepárnych funkcií (bodov priesečníka osi os Oh) je vždy nula, pretože Pre každý kladný koreň h. Tam je negatívny koreň - h..

Je dôležité poznamenať: Niektoré funkcie by nemali byť nevyhnutne ani nepárne. Existuje mnoho funkcií, ktoré nie sú ani nepárne. Takéto funkcie sa nazývajú funkcie všeobecného výhľaduA pre nich sa nevykonáva žiadna z rovnosti alebo vlastností vyššie uvedeného.

Lineárna funkcia Zavolajte funkciu, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom:

Graf lineárnej funkcie je priamy a vo všeobecnom prípade je nasledujúci (príklad je uvedený pre prípad, keď k. \u003e 0, v tomto prípade sa funkcia zvyšuje; Pre prípad k. < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Harmonogram kvadratickej funkcie (parabola)

Graf parabola je nastavený kvadratickou funkciou:

Kvadratická funkcia, podobne ako akúkoľvek inú funkciu, prejde os Oh na svojich koreňoch: ( x. jeden; 0) a ( x. 2; 0). Ak nie sú žiadne korene, to znamená, že kvadratická funkcia osy nekročí, ak je koreň jeden, potom v tomto bode ( x. 0; 0) Quadratická funkcia sa vzťahuje len na os OH, ale neprechádza ho. Quadratická funkcia vždy prechádza osou OY v bode so súradnicami: (0; c.). Tabuľka kvadratickej funkcie (parabola) môže vyzerať takto (v príkladoch príkladoch, ktoré sú ďaleko od vyčerpania všetkých možných pohľadov na paraboly):

Kde:

• ak koeficient a. \u003e 0, funkcia y. = sekera. 2 + bx. + c., potom sú vetvy paraboly nasmerované;
• ak a. < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Súradnice vrcholov pearabol sa môžu vypočítať podľa nasledujúcich vzorcov. IKS VERSHINA (p. \\ t - na vyššie uvedených údajoch) paraboly (alebo bod, v ktorom štvorcové tri zníženie dosiahne svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu):

Ferk vershina (q. - na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximum, ak sú vetvy paraboly nasmerované dole ( a. < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a. \u003e 0), hodnota štvorcových tri rozhodne:

Plány iných funkcií

Funkcia napájania

Tu sú niektoré príklady grafov výkonových funkcií:

Inverzne proporcionálna závislosť Funkcia zadaná vzorcom:

V závislosti od počtu čísel k. Graf inverzná proporcionálna závislosť môže mať dve základné možnosti:

Asymptote - Toto je riadok, na ktorú je funkcia funkčného grafu nekonečne blízko, ale nepretiahne sa. Asymptotes pre grafy inverznej proporcionality vyššie uvedeného na obrázku sú osi súradníc, na ktoré je funkčný graf nekonečne blízko, ale nepretiahne ich.

Indikatívna funkcia So základňou ale Funkcia zadaná vzorcom:

a. Graf indikatívnej funkcie môže mať dve základné možnosti (uveďte aj príklady, pozri nižšie):

Logaritmická funkcia Funkcia zadaná vzorcom:

V závislosti od väčšieho alebo menej jednotkového čísla a. Graf logaritmickej funkcie môže mať dve základné možnosti:

Funkcia harmonogramu y. = |x.| nasledovne:

Periodické grafy (trigonometrické) funkcie

Funkcia w. = f.(x.) periodickýAk existuje nerovnaká nula, číslo T., čo f.(x. + T.) = f.(x.), pre hocikoho h. z funkcie určovania funkcie f.(x.). Ak je funkcia f.(x.) je periodicky s obdobím T., potom funkcia:

kde: A., k., b. - konštantné čísla a k. nie je rovná nule, tiež periodicky s obdobím T. 1, ktorý je určený vzorcom:

Väčšina príkladov periodických funkcií sú trigonometrické funkcie. Dávame grafy hlavných trigonometrických funkcií. Nasledujúci obrázok ukazuje časť funkčného plánu. y. Hriech x. (Celý harmonogram je neobmedzený, pokračuje vľavo a vpravo), graf funkcie y. Hriech x. Zavolať sinusoid:

Funkcia harmonogramu y. \u003d Cos. x. zavolaný kosinusoido. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Od sinusového grafu nepretržite pokračuje pozdĺž osi OH, vľavo a vpravo:

Funkcia harmonogramu y. \u003d Tg. x. Zavolať tandesoid. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Podobne ako grafika iných periodických funkcií, tento harmonogram je neobmedzený ďaleko pozdĺž osi OH, vľavo a vpravo.

Nuž, nakoniec, graf funkcie y. \u003d CTG. x. zavolaný kothanzoidy. Tento plán je zobrazený na nasledujúcom obrázku. Podobne ako grafika iných periodických a trigonometrických funkcií, táto tabuľka je neurčito opakovaná ďaleko pozdĺž osy ľavého a pravého.

• späť
• Dopredu

Ako sa úspešne pripraviť na CT vo fyzike a matematike?

Aby sa úspešne pripravili na CT vo fyzike a matematike, okrem iného je potrebné splniť tri najdôležitejšie podmienky:

1. Preskúmať všetky témy a splniť všetky testy a úlohy uvedené v tréningových materiáloch na tejto stránke. Na to potrebujete čokoľvek, a to, aby ste venovali prípravy na CT vo fyzike a matematike, štúdium teórie a riešenie problémov troch alebo štyroch hodín každý deň. Faktom je, že CT je skúška, kde to nestačí na to, aby ste poznali fyziku alebo matematiku, musíte byť schopní rýchlo a bez nedostatkov, aby ste vyriešili veľký počet úloh na rôznych témach a rôznej zložitosti. Môžete sa naučiť len vyriešiť tisíce úloh.
2. Naučiť sa všetky vzorce a zákony vo fyzike a vzorcov a metódach v matematike. V skutočnosti je to tiež veľmi jednoduché vykonávať to, potrebné vzorce vo fyzike je len asi 200 kusov, ale v matematike ešte o niečo menej. V každej z týchto položiek sa nachádzajú asi tucet štandardných metód na riešenie problémov základnej úrovne zložitosti, ktorá sa môže dobre učiť, a teda úplne na stroji a bez problémov vyriešiť v správny okamih väčšinu centrálneho TS . Potom si premýšľate o najťažších úlohách.
3. Navštívte všetky tri etapy testovania na rehearsing vo fyzike a matematike. Každý RT je možné dvakrát navštíviť, aby sa zlomil obe možnosti. Opäť, na CT, okrem schopnosti rýchlo a efektívne riešiť problémy a znalosti vzorcov a metód, je tiež potrebné, aby bolo možné správne naplánovať čas, distribuovať sily a hlavnou vecou je správne vyplniť Formulár na odpoveď, bez zmätku počtu odpovedí a úloh, žiadne priezvisko. Aj počas Tatarstanskej republiky je dôležité zvyknúť si na otázku formulovania otázok v úlohách, ktoré sa na CT môžu zdať veľmi nezvyčajná osoba.

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch položiek, ako aj zodpovednej štúdie konečných skúšok odbornej prípravy vám umožní ukázať veľký výsledok k CT, maximum, čo ste schopní.

Našiel chybu?

Ak si myslíte, že máte chybu v tréningových materiáloch, napíšte o tom e-mailom (). V písmene špecifikujte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo tému alebo test, číslo úloh, alebo miesto v texte (Strana), kde si myslíte, že je chyba. Tiež opisujú, aká je odhadovaná chyba. Váš list nezostane bez povšimnutia, chyba bude opravená, alebo vysvetlíte, prečo to nie je chyba.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia formulára Y \u003d KX + B, kde je premenná nezávislá od X, K a B-akákoľvek čísla.
Graf lineárnej funkcie je rovný.

1. Pridanie funkčného harmonogramu, Potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafiky funkcie. Ak ich chcete nájsť, musíte si vziať dve hodnoty X, nahradiť ich do rovnice funkcie a vypočítať zodpovedajúce hodnoty Y.

Napríklad na vytvorenie grafu funkcie Y \u003d X + 2, je vhodné užívať X \u003d 0 a X \u003d 3, potom sa preslávy týchto bodov budú rovné Y \u003d 2 a Y \u003d 3. Získame body A (0; 2) av (3; 3). Pripojte ich a získajte graf funkcie Y \u003d X + 2:

2. Vo vzorci Y \u003d KX + B sa číslo K nazýva koeficient proporcionality:
Ak k\u003e 0, potom sa zvyšuje funkcia Y \u003d KX + B
Ak K.
Koeficient B ukazuje posunutie funkčného plánu pozdĺž osy OY:
Ak B\u003e 0, potom je funkcia funkcie Y \u003d KX + B získaná z grafu funkcie \u003d KX SHIFT na B jednotky hore pozdĺž osy OY
Ak B.
Nižšie uvedené grafy funkcií Y \u003d 2X + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách koeficient K nad nulou, a funkcie sú zvýšenie. Okrem toho, tým väčšia je hodnota K, tým väčšia je uhol sklonu priamo k pozitívnemu smeru osi oxu.

Vo všetkých funkciách B \u003d 3 - a vidíme, že všetky grafy prechádzajú osou oy v bode (0; 3)

Teraz zvážte grafy funkcií y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficientu K menej ako nula a funkcie zníženie. Koeficient B \u003d 3 a grafiku, ako aj v predchádzajúcom prípade, pretínajú os oy v bode (0; 3)

Zvážte grafy funkcií Y \u003d 2X + 3; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Teraz vo všetkých rovniciach funkcií, koeficienty K sú rovné 2. a máme tri paralelné rovno.

Ale B koeficienty sú odlišné, a tieto grafy prechádzajú osou oy v rôznych bodoch:
Graf funkcie Y \u003d 2X + 3 (B \u003d 3) prechádza osou v bode (0; 3)
Graf funkcie y \u003d 2x (b \u003d 0) prejde os OY v bode (0; 0) - začiatok súradníc.
Graf funkcie Y \u003d 2X-3 (B \u003d -3) prechádza osou OY v bode (0; -3)

Takže, ak poznáme príznaky koeficientov K a B, môžeme si okamžite predstaviť, ako vyzerá graf funkcie Y \u003d KX + B.
Ak k 0

Ak k\u003e 0 a B\u003e 0 , potom je graf funkcie Y \u003d KX + B:

Ak k\u003e 0 a B , potom je graf funkcie Y \u003d KX + B:

Ak k, potom funkcia funkcie Y \u003d KX + B má formulár:

Ak k \u003d 0. Funkcia Y \u003d KX + B sa otáča do funkcie Y \u003d B a jeho grafika je:

Predajmi všetkých bodov funkcie grafu Y \u003d B sa rovná b b \u003d 0. , potom graf funkcie Y \u003d KX (priama proporcionalita) prechádza pôvodom súradnice:

3. Samostatne si všimneme graf rovnice x \u003d a. Graf tejto rovnice je priamka, paralelná os, z ktorých všetky body, ktoré majú abscissu x \u003d a.

Napríklad graf rovnice x \u003d 3 vyzerá takto:
Pozor! Rovnica X \u003d A nie je funkcia, taká hodnota argumentu zodpovedá rôznym hodnotám funkcie, ktorá nezodpovedá definícii funkcie.

4. Stav paralelizmu dvoch rovných čiar:

Plán funkcie Y \u003d K 1 x + B 1 Paralelná grafika funkcie Y \u003d K 2 x + B2, ak K 1 \u003d K 2

5. Podmienka prestavby oboch rovných čiar:

Graf funkcie Y \u003d K 1 x + B1 je prestavaný grafiku funkcie Y \u003d K 2 x + B2, ak K 1 * K 2 \u003d -1 alebo K1 \u003d -1 / K2

6. Body priesečníka grafovej funkcie Y \u003d KX + B s osami súradníc.

S osou OY. Abscissa akéhokoľvek bodu patriaceho osi OY je nula. Preto nájsť priesečník s osou OY, je potrebné nahradiť nulu v rovnici. Dostaneme y \u003d b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0; B).

S osou OH: Ordinácia akéhokoľvek bodu patriaceho k osi OH je rovná nule. Preto nájsť priesečník s osou OH, je potrebné nahradiť nulu v rovnici funkcie namiesto y. Získame 0 \u003d KX + B. Preto x \u003d -b / k. To znamená, že priesečník s osou oxom má súradnice (-B / k; 0):

S úlohou budovania harmonogramu, školákov čelia na samom začiatku štúdie algebry a naďalej ich budovať z roka na rok. Vychádzajúc z grafiky lineárnej funkcie, vybudovať, ktoré potrebujete vedieť len dva body, paraboly, pre ktoré ste už potrebovali 6 bodov, hyperboly a sínusoid. Každý rok sa funkcie stávajú čoraz ťažším a budovaním ich grafov už nie je možná, že šablóna je potrebné vykonať zložitejšie štúdie s použitím derivátov a limitov.

Poďme na to, ako nájsť graf funkcie? Začnime to s najjednoduchšími funkciami, ktorých grafy sú postavené bodmi, a potom zvážte plán na vybudovanie zložitejších funkcií.

Budovanie lineárnej funkčnej grafiky

Ak chcete vytvoriť jednoduché grafy, použite tabuľku hodnôt tabuľky. Graf lineárnej funkcie je rovný. Pokúsme sa nájsť bodové body funkcie y \u003d 4x + 5.

1. Za tým berieme dve ľubovoľné hodnoty premennej X, nahrádzame ich striedavo do funkcie, nájdeme hodnotu premennej Y a priniesť všetko do stola.
2. Vezmite si hodnotu X \u003d 0 a namiesto toho budeme nahradiť X - 0. Získame: Y \u003d 4 * 0 + 5, to znamená, Y \u003d 5 Wrock Túto hodnotu do tabuľky pod 0,1 Podobne berieme X \u003d 0 Získajte y \u003d 4 * 1 + 5, y \u003d 9.
3. Teraz, aby ste vytvorili graf funkcie, musíte sa vzťahovať na rovinu koordinácie týchto bodov. Potom musíte stráviť priame.

Výstavba grafu kvadratickej funkcie

Quadratická funkcia je funkcia formulára Y \u003d AX 2 + BX + C, kde X-premenná, A, B, C - The Čísla (A nie je 0). Napríklad: y \u003d x 2, y \u003d x 2 +5, y \u003d (x-3) 2, y \u003d 2x 2 + 3x + 5.

Na vytvorenie jednoduchej kvadratickej funkcie Y \u003d X2, 5-7 bodov sa zvyčajne užívajú. Vezmite si hodnoty premennej X: -2, -1, 0, 1, 2 a nájdite hodnoty y, ako aj pri budovaní prvého grafu.

Graf kvadratickej funkcie sa nazýva Parabola. Po stavebných grafoch majú študenti nové výzvy spojené s harmonogramom.

Príklad 1: Nájdite abscise funkcie funkcie funkcie y \u003d x 2, ak je ordinácia 9. Na vyriešenie problému je potrebné ho nahradiť do funkcie namiesto y, aby nahradil svoju hodnotu 9. Získať 9 \u003d x 2 a vyriešiť túto rovnicu. x \u003d 3 a x \u003d -3. Toto je možné vidieť na grafe funkcie.

Výskumná funkcia a budovanie jeho harmonogramu

Ak chcete vybudovať grafy zložitejšie funkcie, musíte vykonať niekoľko krokov zameraných na štúdium. Na to potrebujete:

1. Nájdite oblasť definície funkcií. Oblasť definície je všetky hodnoty, ktoré môžu mať premennú x. Z oblasti definície by ste mali vylúčiť tieto body, v ktorých sa denominátor označuje na 0 alebo sa výrazný výraz stáva negatívnym.
2. Nastaviť paritu alebo podivnú funkciu. Pripomeňme, že dokonca je funkcia, ktorá spĺňa stav f (-x) \u003d f (x). Jeho graf je symetrický o ou. Funkcia bude nepárna, ak spĺňa stav f (-x) \u003d - f (x). V tomto prípade je graf symetrický na začiatku súradníc.
3. Nájdite priesečníky s súradnicovými osami. Aby bolo možné nájsť abscisku priesečníckych bodov s osou, je potrebné vyriešiť rovnicu f (x) \u003d 0 (ordinate sa rovná 0). Ak chcete nájsť bod počítania ordinovať s osou ou, je potrebné nahradiť 0 (abscisa je 0) vo funkcii namiesto premennej x.
4. Nájsť Asymptottes Charakteristiky. Asipstota je rovná, na ktorú je plán nekonečne blíži, ale nikdy ho neprekračujte. Poďme zistiť, ako nájsť asymptotes grafickej grafiky.
   • Vertical Asymptota Direct Druh X \u003d A
   • Horizontálna asymptota - Direct Druh y \u003d A
   • Šikmá asymptota - priamy pohľad y \u003d kx + b
5. Nájdite body extrémnych funkcií, medzery zvyšujúcej sa a zostupnej funkcie. Nájdite body extrémnej funkcie. Aby ste to urobili, je potrebné nájsť prvý derivát a rovnotovať ho na 0. To je v týchto bodoch, že funkcia sa môže zmeniť s čoraz klesajúcim. Určite znak derivátu v každom intervale. Ak je derivát pozitívny, potom sa funkčný plán zvyšuje, ak negatívne - znižuje.
6. Nájdite body v inflexe grafiky funkcie, intervaly vydutia hore a dole.

Nájdenie infračkových bodov je teraz jednoduchšie ako jednoduché. Je len potrebné nájsť druhú deriváciu, potom ju prirovnať k nule. V nadväznosti na znamenie druhej derivácie v každom intervale. Ak je pozitívny, potom je graf funkcie konvexný, ak je negatívny.

1. Frakčnou lineárna funkcia a jej plán

Funkcia formulára y \u003d p (x) / q (x), kde p (x) a q (x) sú polynómy, nazývané frakčnú racionálnu funkciu.

S koncepciou racionálnych čísel, už pravdepodobne viete. Podobne racionálne funkcie - Toto sú funkcie, ktoré môžu byť reprezentované ako súkromné \u200b\u200bdva polynómy.

Ak je frakčnej racionálna funkcia je súkromná dva lineárna funkcia - prvý stupeň polynómy, tj Funkcia typu

y \u003d (AX + B) / (CX + D), potom sa nazýva frakčné lineárne.

Všimnite si, že vo funkciách, Y \u003d (ax + b) / (CX + D), C ≠ 0 (inak by sa funkcia stane lineárna Y \u003d AX / D + B / D), a že A / C ≠ B / D (inak konštantná funkcia). Frakčnej lineárnej funkcie sa stanoví s všetkých platných čísel, okrem x \u003d -d / c. Grafy frakčných lineárnych funkcií v tvare sa nelíšia od grafiky známej y \u003d 1 / x. Krivka, ktorá je graf funkcie y \u003d 1 / x, sa nazýva hyperboloický. S neobmedzeným zvýšenie X v absolútnej hodnote, funkcia y \u003d 1 / x je neobmedzene znížil o absolútna hodnota a obe časti grafu sa blíži úsečka os: právo sa blíži zhora, a v ľavom dolnom rohu. Rovno, na ktoré konáre nadsázkou sa blíži, sa nazývajú ju asymptotami.

Príklad 1.

y \u003d (2x + 1) / (x - 3).

Rozhodnutia.

Zvýrazňujeme celé číslo: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3).

Teraz je ľahko zistiť, že plán tejto funkcie je získaný z grafu funkcie Y \u003d 1 / x nasledujúcimi transformáciami: posun 3 jednotlivých segmentov vpravo, natiahnutie pozdĺž osy OY 7-krát a A posunúť na 2 jednotlivé segmenty.

Každá frakcia Y \u003d (AX + B) / (CX + D) môžu byť zaznamenané rovnakým spôsobom, zvýraznenie "celá časť". V dôsledku toho majú grafy všetkých frakčných lineárnych funkcií hyperbola, odlišne sa posunuli pozdĺž súradnicových osí a natiahli pozdĺž osy OY.

Ak chcete vytvoriť graf nejakej ľubovoľnej frakčnej lineárnej funkcie, nie je potrebné transformovať frakciu, ktorá určuje túto funkciu na konverziu. Ako vieme, že graf je hyperbole, stačí nájsť priame, ku ktorému sa jej vetvy blížia - asymptotes hyperbole X \u003d -D / C a Y \u003d A / C.

Príklad 2.

Nájsť Asymptottes Grafické funkcie Y \u003d (3x + 5) / (2x + 2).

Rozhodnutia.

Funkcia nie je definovaná na X \u003d -1. Takže x \u003d -1 priamka slúži ako vertikálne asymptoty. Ak chcete nájsť horizontálne asymptoty, zistite, aké hodnoty funkcie Y (x) sa približujú, keď argument x zvýši v absolútnej hodnote.

Aby sme to urobili, rozdelíme čitateľa a denominátor frakcie na X:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

Na X → ∞ sa frakcia bude snažiť o 3/2. Preto je horizontálna asymptota rovná y \u003d 3/2.

Príklad 3.

Vytvorte graf funkcie y \u003d (2x + 1) / (x + 1).

Rozhodnutia.

Zvýrazňujeme frakciu "celú časť":

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1).

Teraz je ľahké vidieť, že graf tejto funkcie je získaný z funkcie funkcie Y \u003d 1 / x nasledujúcimi transformáciami: posunu o 1 jednotku do ľavého, symetrického mapovania vzhľadom na OX a posun na 2 Single segmenty hore os oy.

Oblasť definície D (Y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Rozsah hodnôt E (Y) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

Bod priesečníka s osami: c oy: (0; 1); C OX: (-1/2; 0). Funkcia sa zvyšuje na každom z intervalov oblasti definície.

Odpoveď: Obrázok 1.

2. Frakčná racionálna funkcia

Zvážte frakčnú racionálnu funkciu formulára y \u003d p (x) / q (x), kde p (x) a q (x) sú polynómy, stupeň nad prvým.

Príklady takýchto racionálnych funkcií:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) alebo y \u003d (X-2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ak je funkcia y \u003d p (x) / q (x) Sú súkromné \u200b\u200bdva polynómy stupňa nad prvým, potom jeho harmonogram bude spravidla zložitejší, a niekedy je ťažké ho stavať so všetkými detaily. Často je však dosť na to, aby aplikovali techniky podobné tým, s ktorými sme už stretli vyššie.

Nechajte frakciu - správne (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P (x) / q (x) \u003d A 1 / (X - K 1) M1 + A 2 / (X - K 1) M1-1 + ... + A M1 / \u200b\u200b(X - K 1) + .. +

L 1 / (X - K S) MS + L2 / (X - K S) MS-1 + ... + L MS / (X - K S) + ... +

+ (B 1 x + C1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + ... + (B m1 x + c m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + .. +

+ (M 1 x + n 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (m m1 x + n m1) / (x 2 + p t x + q t).

Je zrejmé, že graf frakčnej racionálnej funkcie je možné získať ako súčet grafov elementárnych frakcií.

Stavebné grafy frakčných racionálnych funkcií

Zvážte niekoľko spôsobov, ako vybudovať grafy frakčnej racionálnej funkcie.

Príklad 4.

Vytvorte graf funkcie y \u003d 1 / x 2.

Rozhodnutia.

Používanie grafu funkcie Y \u003d X 2 na vytvorenie grafu Y \u003d 1 / x 2 a použite príjem "DIVIČE" grafov.

Oblasť definície d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Región hodnôt E (Y) \u003d (0; + ∞).

Neexistujú žiadne križovatky s osami. Funkcia je dokonca. Zvyšuje sa so všetkými X z intervalu (-∞; 0), znižuje sa s X od 0 do + ∞.

Odpoveď: Obrázok 2.

Príklad 5.

Vytvorte graf funkcie Y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Rozhodnutia.

Oblasť definície D (Y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Tu sme zvyknutí dostávať rozklad na multiplikátoroch, rezy a prinášajú lineárnu funkciu.

Odpoveď: Obrázok 3.

Príklad 6.

Vytvorte graf funkcie y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Rozhodnutia.

Rozloha definovania D (Y) \u003d R. Vzhľadom k tomu, funkcia je dokonca, potom je graf symetrický vzhľadom k osi ordinácie. Pred výstavbou grafu znova konvertujeme výraz prideľovaním celej časti:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Všimnite si, že pridelenie celej časti vo vzorci frakčnej racionálnej funkcie je jedným z hlavných v konštrukcii grafov.

Ak x → ± ∞, potom y → 1, t.j. Direct y \u003d 1 je horizontálna asymptota.

Odpoveď: Obrázok 4.

Príklad 7.

Zvážte funkciu y \u003d x / (x 2 + 1) a pokúste sa presne nájsť najväčšiu hodnotu, t.j. Najvyšší bod pravej polovici grafiky. Ak chcete presne vybudovať tento harmonogram, dnešné vedomosti nestačia. Samozrejme, naša krivka nemôže "stúpať" veľmi vysoké, pretože Dennominátor je pomerne rýchlo začína "predbehnúť" čitateľa. Pozrime sa, či je hodnota funkcie rovná 1. Na to, je potrebné vyriešiť rovnicu x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Táto rovnica nemá platné korene. Takže náš predpoklad nie je pravdivý. Ak chcete nájsť najväčšiu hodnotu funkcie, musíte vedieť, kedy je rovnica a \u003d x / (x 2 + 1) bude mať roztok. Vymeňte pôvodnú rovnicu: AX 2 - X + A \u003d 0. Táto rovnica má roztok, keď 1- 4A 2 ≥ 0. Odtiaľ nájdeme najviac hodnotu A \u003d 1/2.

Odpoveď: Obrázok 5, max y (x) \u003d ½.

Máte otázky? Neviem, ako budovať funkcie grafiky?
Ak chcete získať pomocníka - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.