Dve spoľahlivé náhodné a nemožné udalosti. Predmet lekcie: "Náhodné, spoľahlivé a nemožné udalosti. Úlohy priameho výpočtu pravdepodobnosti

1.1. Niektoré informácie z kombinácie

1.1.1. Ubytovanie

Zvážte najjednoduchšie koncepty spojené s výberom a umiestnením určitej sady objektov.
Počítanie počtu metód, ktoré tieto akcie môžu byť vykonané, sa často vyrábajú pri riešení probabilistických úloh.
Definícia. Ubytovanie n. Prvky v k. (k. ≤ N.) Nazývaný ľubovoľný objednaný podmnožina k.prvky súpravy pozostávajúceho z n. rôzne prvky.
Príklad.Nasledujúce sekvencie čísel sú umiestnené 2 prvky 3 súpravy (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Upozornenie, že umiestnenie je charakterizované postupom pre prvky, ktoré sú zahrnuté v nich a ich zloženie. Umiestnenie 12 a 21 obsahuje rovnaké čísla, ale poradie ich umiestnenia je iný. Preto sa tieto ubytovanie považujú za iné.
Počet rôznych ubytovacích zariadení n. Prvky v k. Je indikovaný a vypočítaný vzorcom:
,
Kde n.! = 1∙2∙...∙(n. - 1)∙ N. (čítať " n. - faktoriál ").
Počet dvojciferných čísel, ktoré môžu byť vyrobené z čísel 1, 2, 3 za predpokladu, že sa žiadna číslica opakuje:.

1.1.2. Preskupený

Definícia. Permutácie n. prvky sa nazývajú takéto ubytovanie n. Prvky, ktoré sa líšia len na umiestnení prvkov.
Počet permutácií je n. Prvky Str. Vypočítané vzorcom: Str.=n.!
Príklad.Koľko spôsobov môže existovať fronta 5 ľudí? Počet spôsobov sa rovná počtu permutácií 5 prvkov, t.j.
P. \\ t 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definícia. Ak medzi n. Prvky k. to isté, potom permutácia týchto n.prvky sa nazývajú preskupenia s opakovaním.
Príklad.Nech medzi 6 kníh 2 sú rovnaké. Akékoľvek umiestnenie všetkých kníh na police - preskupenie s opakovaním.
Počet rôznych preskupení s opakovaním (z n. prvky, medzi ktorými k.rovnaký) sa vypočíta vzorcom :.
V našom príklade je počet spôsobov, ktorým je možné umiestniť na poličku, ako aj :.

1.1.3. Kombinácia

Definícia . Kombinácie n. Prvky v k. sa nazývajú také ubytovanie n. Prvky v k.Ktorý z druhého sa líši aspoň jeden prvok.
Počet rôznych kombinácií n. Prvky v k. Uvádza sa a vypočíta sa podľa vzorca :.
Podľa definície 0! \u003d 1.
Pre kombinácie sú platné nasledujúce vlastnosti:
1.
2.
3.
4.
Príklad. K dispozícii je 5 kvetov rôznych farieb. Pre kyticu 3 zvoleného kvetu. Počet rôznych kytice z 3 kvetu z 5 je :.

1.2. Náhodné udalosti

1.2.1. Diania

Znalosť reality v prírodných vedách sa vyskytujú v dôsledku testov (experiment, pozorovania, skúsenosti).
Skúška alebo skúsenosti sa nazývajú implementácia určitého súboru podmienok, ktoré môžu byť reprodukované ľubovoľne veľké množstvo času.
Náhodný Nazýva sa udalosť, ktorá sa môže vyskytnúť alebo sa nestane v dôsledku určitej skúšky (skúsenosti).
Udalosť sa teda považuje za výsledok testu.
Príklad. Hádzacie mince je test. Vzhľad orla pri hádzaní - udalosti.
Udalosti, ktoré nám pozorovali, sa líšia v stupni možnosti ich vzhľadu a povahou ich vzťahu.
Udalosť sa volá spoľahlivý Ak sa to stane nevyhnutne v dôsledku tohto testu.
Príklad. Získanie pozitívneho alebo negatívneho posudzovaného študenta na skúške je spoľahlivá udalosť, ak skúška prebieha podľa obvyklých pravidiel.
Udalosť sa volá nemožný Ak sa nemôže stať v dôsledku tohto testu.
Príklad. Odstránenie bielej gule narodenej, v ktorom sú len farebné (non-syrové) gule, existuje nemožná udalosť. Všimnite si, že za iných podmienok nie je vylúčená skúsenosť vzhľadu bielej gule; Táto udalosť je teda nemožná len v podmienkach našich skúseností.
Ďalej, náhodné udalosti budú označené veľkými latinskými písmenami A, B, C ... Spoľahlivá udalosť bude označená listom Ω, nemožné - Ø.
Nazývajú sa dve alebo viac udalostí rovný V tomto teste, ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nie je možná alebo menej možná ako iné.
Príklad.S jedným hádzaním hracej kosti, vzhľad 1, 2, 3, 4, 5 a 6 bodov - všetky tieto udalosti sú rovnováha. Samozrejme, že hrajúca kosť je vyrobená z homogénneho materiálu a má správnu formu.
Nazývajú sa dve udalosti non-lôžok v tomto teste, ak jeden z nich eliminuje vzhľad inej, a spojenie inak.
Príklad. V poli sú štandardné a neštandardné detaily. Berieme jeden detail pre šťastie. Vzhľad štandardnej časti eliminuje vzhľad neštandardnej časti. Tieto udalosti sú neúplné.
Niekoľko foriem udalostí plná skupina udalostí V tomto teste, ak v dôsledku tohto testu príde aspoň jeden z nich.
Príklad.Udalosti z príkladu tvoria kompletnú skupinu rovnakých a párových neúplných udalostí.
Nazývajú sa dve neúplné udalosti, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí v tomto teste opačné udalosti.
Ak je jeden z nich uvedený A., potom je iná obvyklá, aby sa označil (čítať "nie A.»).
Príklad. Inteligencia a zmeškanie v jednom bode shot - Udalosti sú opačné.

1.2.2. Definícia klasickej pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť udalosti - číselné meradlo možnosti jeho urážky.
Udalosť ALE zavolaný priaznivý Udalosť Na adreseAk sa udalosť vyskytne ALEnastane udalosť Na adrese.
Diania ALE 1 , ALE 2 , ..., ALE N. Formulár schéma prípadov , Ak oni:
1) rovnováha;
2) V pároch sú nekonzistentné;
3) tvoria kompletnú skupinu.
V schéme prípadov (a len v tomto systéme) existuje klasická definícia pravdepodobnosti P. \\ t(A.) diania ALE. Tu sa prípad nazýva každý z udalostí patriacich k pridelenej kompletnej skupine rovnocennosti a párových neúplných udalostí.
Ak n. - počet všetkých prípadov v systéme a m. - počet prípadov vedúcich k udalostiam ALET. pravdepodobnosť udalosti ALE Určené rovnosťou:

Z definície pravdepodobnosti, nasledujúce vlastnosti tok:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti je rovná jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivo, každý prípad v schéme prípadu uprednostňuje udalosť. V tomto prípade m. = n. A preto,

2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, žiadny prípad systému prípad neupravuje udalosť. teda m.\u003d 0

Pravdepodobnosť náhodného udalosti je kladné číslo uzatvorené medzi nulou a jednotkou.
V skutočnosti len časť celkového výskytu v schéme prípadov prispieva k náhodnej udalosti. Preto 0<m.<n., tak, potom 0<m./n.<1 и, следовательно, 0 < P (a) < 1.
Takže pravdepodobnosť akéhokoľvek podujatia spĺňa nerovnosti
0 ≤ P (A) ≤ 1.
V súčasnosti sa vlastnosti pravdepodobnosti určujú vo forme axiómu formulovaného A.N. Kolmogorov
Jednou z hlavných výhod stanovenia klasickej pravdepodobnosti je schopnosť vypočítať pravdepodobnosť podujatia priamo, t.j. Bez uchýlenia sa s experimentmi, ktoré nahrádzajú logické uvažovanie.

Úlohy priameho výpočtu pravdepodobnosti

Úloha 1.1.. Aká je pravdepodobnosť vzniku rovnomerného počtu bodov (udalosť A) s jedným hádzaním hraním kocky?
Rozhodnutie. Zvážte udalosti ALE I. - padol i. okuliare i.\u003d 1, 2, ..., 6. Samozrejme, že tieto udalosti tvoria systém prípadov. Potom počet všetkých prípadov n. \u003d 6. Experiment rovného počtu bodov je uprednostňovaný prípadmi ALE 2 , ALE 4 , ALE 6, t.j. m.\u003d 3. Potom .
Úloha 1.2.. V URN 5 bielych a 10 čiernych guličiek. Lopty sú dôkladne premiešané a potom dážď 1 loptu. Aká je pravdepodobnosť, že odhalená lopta bude biela?
Rozhodnutie. Celkovo existuje 15 prípadov, ktoré tvoria systém prípadov. A očakávaná udalosť ALE - Vzhľad bielej misky, 5 z nich uprednostňuje .
Úloha 1.3.. Dieťa hrá so šiestimi písmenami abecedy: A, A, E, K, R, T. Nájdite pravdepodobnosť, že bude schopný zložiť výzvu vozíka (udalosť A).
Rozhodnutie. Rozhodnutie je komplikované skutočnosťou, že medzi písmenami existuje rovnaké - dva písmená "A". Preto sa počet všetkých možných prípadov v tomto teste rovná počtu permutácií s opakovaním 6 písmen:
.
Tieto prípady sú rovnaké, v pároch sú nekonzistentné a tvoria kompletnú skupinu udalostí, t.j. Formulár. Udalosť uprednostňuje len jeden prípad ALE. teda
.
Úloha 1.4.. Tanya a Vanya súhlasili, že oslavujú nový rok v spoločnosti 10 ľudí. Obaja naozaj chceli sedieť v blízkosti. Aká je pravdepodobnosť ich túžby, ak existuje miesto medzi svojimi priateľmi, aby distribuovali veľa?
Rozhodnutie. Zaznamenaný ALE Udalosť "Vykonávanie túžby Tanya a Vanya". 10 ľudí môže tlačiť pri stole 10! rôzne cesty. Koľko z nich n. \u003d 10! Rovnaké spôsoby sú priaznivé pre Tanya a Vanya? Tanya a Vanya sedí v blízkosti, môžu trvať 20 rôznych pozícií. Zároveň môže osem svojich priateľov sedieť pri stole 8! rôznymi spôsobmi m. \u003d 20 ∙ 8!. Teda,
.
Úloha 1.5.. Skupina 5 žien a 20 mužov si vyberie troch delegátov. Vzhľadom na to, že každý z tých prítomných s rovnakou pravdepodobnosťou možno vybrať, nájsť pravdepodobnosť, že si vyberú dve ženy a jedného muža.
Rozhodnutie. Celkový počet ekvivalentných testov testov sa rovná počtu spôsobov, ktorými si môžete vybrať tri delegáti z 25 ľudí, t.j. . Teraz vypočítame počet výhodných prípadov, t.j. Počet prípadov, v ktorých je udalosť, ktorá nás zaujíma. Delegát môže byť vybraný dvadsať spôsobov. Zostávajúci dvaja delegáti by zároveň mali byť ženy, a môžete si vybrať dve ženy z piatich. Teda. teda
.
Úloha 1.6. Štyri lopty náhodne rozptyľujú na štyroch otvoroch, každá guľa vstupuje do toho, že alebo iní dobre s rovnakou pravdepodobnosťou a bez ohľadu na ostatných (prekážky, aby sa dostali do tej istej a rovnakej studne niekoľkých loptičiek). Nájdite šancu, že tri loptičky budú v jednej z jamiek, na druhú a tam nebude žiadne gule v ostatných ľavých dier.
Rozhodnutie. Celkový počet prípadov n.\u003d 4 4. Počet spôsobov, ako si vybrať jednu dieru, kde sú tri loptičky ,. Počet spôsobov, ako si vybrať dobre, kde jedna guľa bude,. Počet spôsobov, ako si vybrať zo štyroch loptičiek tri, aby ich vložili do prvej diery ,. Celkový počet priaznivých prípadov. Pravdepodobnosť udalosti:
Úloha 1.7.V zásuvke 10 rovnakých guličiek označených číslami 1, 2, ..., 10. Šesť loptičiek sú extrahované pre šťastie. Nájdite pravdepodobnosť, že medzi extrahovanými loptičkami budú: a) guľôčkové číslo 1; b) Balls №1 a №2.
Rozhodnutie. a) Celkový počet možných základných skúšobných výsledkov sa rovná počtu metód, ktoré možno odstrániť šesť loptičiek z desiatich, t.j.
Nájdeme počet výsledkov, ktoré vedú k udalosti, o ktorú máte záujem: medzi vybranými šiestimi loptičkami sú číslo lopty 1, a preto ostatné päť loptičiek majú iné izby. Počet takýchto výsledkov je zjavne rovný počtu spôsobov, ako vybrať päť loptičiek zo zostávajúcej deväť, t.j.
Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná pomeru počtu výsledkov, vedie k posudzovaniu udalosti na celkový počet možných základných výsledkov: \\ t
b) Počet výsledkov vedúcich k udalosti, o ktorú máte záujem (medzi vybranými loptičkami, sú lopty č zostávajúcich osem, tj Pravdepodobnosť

1.2.3. Štatistická pravdepodobnosť

Štatistická definícia pravdepodobnosti sa používa v prípade, že výsledky skúseností nie sú rovnaké.
Frekvencia relatívnej udalosti ALE Určené rovnosťou:
,
Kde m. - počet testov, v ktorých udalosť ALE prišiel n. - celkový počet testov.
Ya. Bernoulli dokázal, že s neobmedzeným zvýšením počtu experimentov sa relatívna frekvencia podujatia takmer líši od určitého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť udalosti. Preto sa prirodzene, relatívna frekvencia udalosti v dostatočne veľkom počte testov sa nazýva štatistická pravdepodobnosť na rozdiel od predtým zavedenej pravdepodobnosti.
Príklad 1.8.. Ako približne nastaviť počet rýb v jazere?
Nechať v jazere h. Ryby. Hodiť sieť a umožnite vám nájsť v ňom n. Ryby. Každý z nich je methm a uvoľnite späť. O niekoľko dní neskôr v tom istom počasí a na tom istom mieste hodíme tú istú sieť. Predpokladajme, že v ňom nájdeme m ryby, medzi ktorými k. označené. Nechajte udalosť ALE - "chytil ryby pani." Potom určiť relatívnu frekvenciu.
Ale ak je v jazere h. Ryby a vydali sme ho n. označené.
Pretože Ročník * (ALE) » Ročník(ALE), Potom.

1.2.4. Operácie na udalostiach. Pravdepodobnosť Prídavné teorem

Sumaalebo združenie, niekoľko udalostí sa nazýva udalosť pozostávajúca v výskyte aspoň jednej z týchto udalostí (v rovnakom teste).
Suma ALE 1 + ALE 2 + … + ALE N. Určil sa takto:
alebo .
Príklad. Dve hranie kostí spech. Nechajte udalosť ALE Skladá sa zo zníženia 4 bodov na 1 kosť a udalosť Na adrese - Pri vypadávaní 5 bodov na inej kosti. Diania ALE a Na adrese spoločne. Preto ALE +Na adrese Skladá sa v páde 4 bodov na prvej kosti alebo 5 bodov na druhej kosti alebo 4 body na prvej kosti a 5 bodov na druhom súčasnom.
Príklad. Udalosť ALE - Vyhrajte 1 úver, udalosť Na adrese - Vyhraní 2 úvery. Potom udalosť A + B. - vyhrať aspoň jeden úver (možno okamžite na dve).
Práca Alebo križovatka viacerých udalostí je udalosť spočívajúca v spoločnom vzhľade všetkých týchto udalostí (v rovnakom teste).
Zloženie Na adrese diania ALE 1 , ALE 2 , …, ALE N. Určil sa takto:
.
Príklad. Diania ALE a Na adrese Pozostáva v úspešnej pasáži prehliadok I a II, resp. Pri vstupe do inštitútu. Potom udalosť ALE× B. Skladá sa v úspešnej pasáži oboch výletov.
Koncepcie sumy a práce udalostí majú vizuálnu geometrickú interpretáciu. Nechajte udalosť ALE V oblasti je bod ALEa udalosť Na adrese - dostať body do oblasti Na adrese. Potom udalosť A + B. Existuje bod od vstupu do kombinácie týchto oblastí (obr. 2.1) a udalosť ALENa adrese V priesečníku týchto oblastí je bod (obr. 2.2).

Obr. 2.1 Obr. 2.2.
Teorem. Ak udalosti A I.(i. = 1, 2, …, n.) V pároch sú nekonzistentné, pravdepodobnosť množstva udalostí sa rovná súčtu pravdepodobnosti týchto udalostí:
.
Nechať ALE a Ā - opačné udalosti, t.j. A + Â. \u003d Ω, kde Ω je spoľahlivá udalosť. Zo prídavného teorem, to vyplýva
P (ω) \u003d Ročník(ALE) + Ročník(Ā ) \u003d 1, tak
Ročník(Ā ) = 1 – Ročník(ALE).
Ak udalosti ALE 1 I. ALE 2 sú spolu, pravdepodobnosť súčtu dvoch spoločných udalostí je:
Ročník(ALE 1 + ALE 2) = Ročník(ALE 1) + Ročník(ALE 2) - p ( ALE 1 × ALE 2).
Pravdepodobnosť Prídavné teoremy vám umožňujú presunúť sa z priameho výpočtu pravdepodobnosti na určenie pravdepodobnosti výskytu zložitých udalostí.
Úloha 1.8.. Strelec vytvára jeden cieľový výstrel. Pravdepodobnosť Knock Out 10 bodov (udalosť ALE), 9 bodov (udalosť Na adrese) a 8 bodov (udalosť S) sú rovnaké, resp. 0,23; 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že s jedným strelcom si vyberie menej ako 8 bodov (udalosť D.).
Rozhodnutie. Zamerajme sa na opačnú udalosť - s jedným strelcom, bude trvať aspoň 8 bodov. Udalosť, ak sa to stane ALE alebo Na adresealebo S. . Od udalostí A, B., S V pároch sú nekonzistentné, potom pridávaním teoremom,
Odkiaľ.
Úloha 1.9.. Z tímu brigády, ktorý sa skladá zo 6 mužov a 4 žien, dvaja ľudia sú vybraní pre konferenciu odborových zväzov. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými aspoň jednou ženou (udalosť ALE).
Rozhodnutie. Ak sa vyskytne udalosť ALEToto sa určite stane jedným z nasledujúcich neúplných udalostí: Na adrese - "Muž a žena zvolená"; S - "Vybrané dve ženy." Preto môžete napísať: A \u003d B + C. Nájdite pravdepodobnosť udalostí Na adrese a S. Dvaja ľudia z 10 môžu byť vybraní spôsobom. Dve ženy od 4 môžu byť zvolené spôsobom. Muž a žena si môžu vybrať 6 × 4 spôsoby. Potom. Od udalostí Na adrese a S nekonzistentné, potom, pridávaním teoremom,
P (a) \u003d p (b + c) \u003d p (b) + p (s) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Úloha 1.10. Na stojane v knižnici v náhodnom poradí sa umiestni 15 učebníc a päť z nich je vo väzbe. Knihovník si vyžaduje prvú učebnicu. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jeden z tantovaných učebníc bude vo väzbe (udalosť ALE).
Rozhodnutie. Prvým spôsobom. Požiadavka je aspoň jedna z troch záväzných učebníc - bude implementovaná, ak sa vyskytne ktorýkoľvek z nasledujúcich troch nekonzistentných udalostí: Na adrese - jeden záväzný tutoriál S - dve záväzné učebnice, D. - tri záväzné učebnice.
Udalosť, o ktorú máte záujem ALE Môžete si predstaviť vo forme množstva udalostí: A \u003d B + C + D. Pridávaním teorem,
P (a) \u003d p (b) + p (c) + p (d). (2.1)
Nájdite pravdepodobnosť udalostí B, C. a D. (Pozri kombinácie systémov):

Prezentácia týchto pravdepodobností do rovnosti (2.1), konečne dostať
P (a)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Druhý spôsob. Udalosť ALE (Aspoň jedna z troch prijatých učebníc je záväzná) a Ā (Žiadna z zamotaných učebníc má väzbu) - naproti P (a) + p (Â) \u003d 1 (súčet pravdepodobností dvoch opačných udalostí je 1). Odtiaľ P (A.) = 1 – P (Â). Pravdepodobnosť vzhľadu podujatia Ā (Žiadne z tantovaných učebníc nemá záväzné)
Pravdepodobnosť
P (A.) = 1 - p (ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Podmienená pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť multiplikácie teorem

Podmienečná pravdepodobnosť P (B./ALE) Nazýva sa pravdepodobnosť udalosti v predpokladu, že udalosť už prišla.
Teorem. Pravdepodobnosť spoločného vzhľadu dvoch podujatí sa rovná produktu pravdepodobnosti jednej z nich na podmienenej pravdepodobnosti druhého, vypočítaná za predpokladu, že prvá udalosť už prišla:
P (A.∙C) \u003d p (a) ∙ p ( Na adrese/ALE). (2.2)
Dvaja udalosti sa nazývajú nezávislé, ak sa vzhľad niektorého z nich nezmení pravdepodobnosť, že druhé, t.j.
P (a) \u003d p (a / in) alebo P (B.) = P (B./ALE). (2.3)
Ak udalosti ALE a Na adrese Nasleduje nezávislé, potom z vzorcov (2.2) a (2.3)
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.). (2.4)
Spravodlivé a reverzné vyhlásenie, t.j. Ak sa vykonáva rovnosť (2.4) pre dve podujatia, tieto udalosti sú nezávislé. V skutočnosti, z vzorcov (2.4) a (2.2) tokov
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.) = P (A.) × P (B./ALE) P (A.) = P (B./ALE).
Vzorec (2.2) priznáva zovšeobecnenie v prípade konečného počtu udalostí ALE 1 , ALE 2 ,…,N.:
P (A. 1 ∙ALE 2 ∙…∙N.)=P (A. 1)∙P (A. 2 /ALE 1)∙P (A. 3 /ALE 1 ALE 2)∙…∙P (a n/ALE 1 ALE 2 …N. -1).
Úloha 1.11. Z URN, v ktorom 5 bielych a 10 čiernych guličiek, vyberte dve loptičky v rade. Nájsť šancu, že biele gule (udalosť ALE).
Rozhodnutie . Zvážte udalosti: Na adrese - prvá odhalená lopta biela; S - druhá odhalovaná lopta. Potom A \u003d Slnko..
Skúsenosti sa môžu konať dvoma spôsobmi:
1) S návratom: Odhalená guľa po upevnení farby sa vráti na URN. V tomto prípade udalosti Na adrese a Snezávislý:
P (a) \u003d p (v)∙P (S.) \u003d 5/15 × 5/15 \u003d 1/9;
2) Bez vrátenia: Miska je uložená na boku. V tomto prípade udalosti Na adrese a S Závisí:
P (a) \u003d p (v)∙P (S./Na adrese).
Pre udalosť Na adrese Bývalé podmienky a pre S Situácia sa zmenila. Stalo Na adresePreto 14 loptičiek zostalo v URN, medzi ktoré sú 4 biele.
Tak,.
Úloha 1.12.. Medzi 50 žiarovkami 3 neštandardné. Nájdite pravdepodobnosť, že dve neštandardné žiarovky prijaté v rovnakom čase.
Rozhodnutie . Zvážte udalosti: ALE - prvé svietidlo je neštandardné, \\ t Na adrese - druhá svietidlo je neštandardné, S - obe žiarovky. Je to jasné C \u003d A.∙Na adrese. Udalosť ALE 3 prípady sú priaznivé od 50 možných, t.j. P (A.) \u003d 3/50. Ak je udalosť ALE už prišiel, potom udalosť Na adrese Dva prípady priaznivo mimo 49 možných, t.j. P (B./ALE) \u003d 2/49. Teda,
.
Úloha 1.13 . Dvaja športovci nezávisle strieľajú jeden cieľ. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvého športovca je 0,7 a druhá je 0,8. Aká je pravdepodobnosť, že cieľ bude prekvapený?
Rozhodnutie . Cieľ bude prekvapený, ak do nej buď prvé šípky, alebo na druhom, alebo spolu, t.j. Udalosť A + B.Kde sa udalosť ALE leží v prvom športovcovi v cieli a udalosť Na adrese - druhá. Potom
P (A.+Na adrese)=P (A.)+P (B.)–P (A.∙Na adrese)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Úloha 1.14.V čitári je šesť učebníc na teóriu pravdepodobností, z ktorých sú tri viazané. Knihovník bahniky trvalo dve učebnice. Nájdite pravdepodobnosť, že dve učebnice budú vo väzbe.
Rozhodnutie. Predstavujeme označenia udalostí : A. - prvý tutoriál má záväznú, Na adrese - druhá učebnica má záväznú. Pravdepodobnosť, že prvý učebnica má záväznú,
P (A.) = 3/6 = 1/2.
Pravdepodobnosť, že druhá učebnica má záväznú, za predpokladu, že prvý tutoriál bol vo väzbe, t.j. Podmienečná pravdepodobnosť udalosti Na adreseTakéto je: P (B./ALE) = 2/5.
Požadovaná pravdepodobnosť, že obe učebnice majú záväznú, na multiplikačnej teorem udalostí udalostí sa rovná
P (ab) = P (A.) ∙ P (B./ALE) \u003d 1/2 · ∙ 2/5 \u003d 0,2.
Úloha 1.15. V dielni je 7 mužov a 3 ženy. Na číslach tabliet boli vybraní traja ľudia. Nájdite pravdepodobnosť, že všetci vybraní jednotlivci budú muži.
Rozhodnutie. Predstavujeme notáciu udalostí: A. - Prvým je muž, Na adrese - druhá je vybraná muža, S - Tretí vybraný človek. Pravdepodobnosť, že človek bude prvý, kto bude vybraný, P (A.) = 7/10.
Pravdepodobnosť, že druhý je vybraný človekom, za predpokladu, že muž bol už prvý, t.j. Podmienečná pravdepodobnosť udalosti Na adrese Ďalšie : P (b / a) = 6/9 = 2/3.
Pravdepodobnosť, že tretina vyberie človek, za predpokladu, že už boli vybraní dvaja muži, t.j. Podmienečná pravdepodobnosť udalosti S Takéto je: P (C./AU) = 5/8.
Požadovanú pravdepodobnosť, že všetci traja vybraní jednotlivci budú muži, P (abc) \u003d p (a) P (B./ALE) P (C./AU) \u003d 7/10 · 2/3 · 5/8 \u003d 7/24.

1.2.6. Vzorec plnej pravdepodobnosti a vzorec Bayes

Nechať B. 1 , B. 2 ,…, B N. - páry neúplných udalostí (hypotézy) a ALE - udalosť, ktorá sa môže stať len spolu s jedným z nich.
Nechajme, okrem toho vieme P (b i) I. P (A./B I.) (i. = 1, 2, …, n.).
Za týchto podmienok sú vzorce platné:
(2.5)
(2.6)
Vzorec (2.5) sa nazýva pravdepodobnosť vzorec . Vypočítava pravdepodobnosť udalosti. ALE (Plná pravdepodobnosť).
Vzorec (2.6) bayes Formula . To vám umožní obnoviť pravdepodobnosti hypotéz, ak je udalosť ALE Stalo.
Pri príprave príkladov je vhodné predpokladať, že hypotéza tvorí kompletnú skupinu.
Úloha 1.16.. V košíku jablká so štyrmi stromami jednej odrody. Z prvého - 15% všetkých jabĺk, od druhej - 35%, od tretieho - 20%, zo štvrtého - 30%. Zrelé jablká sú 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Aká je pravdepodobnosť, že náhodne bude jablko zrelé (udalosť ALE).
b) za predpokladu, že náhodne bolo Apple zrelé, vypočítať pravdepodobnosť, že z prvého stromu.
Rozhodnutie. a) Máme 4 hypotézy:
B 1 - na otrhanom Apple od 1. stromu;
B 2 - na otrhanom Apple z 2. stromu;
B 3 - na otrhanom Apple z 3. stromu;
B 4 - na otrhanom Apple od 4. stromu.
Ich pravdepodobnosti pod podmienkou: P (B. 1) = 0,15; P (B. 2) = 0,35; P (B. 3) = 0,2; P (B. 4) = 0,3.
Podmienka podmieneného pravdepodobnosti ALE:
P (A./B. 1) = 0,99; P (A./B. 2) = 0,97; P (A./B. 3) = 0,98; P (A./B. 4) = 0,95.
Pravdepodobnosť, že hranice prijaté jablko bude zrelé, je v plnom pravdepodobnostnom vzorec:
P (A.)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3)+P (B. 4)∙P (A./B. 4)=0,969.
b) Formulár Bayes pre naše veci má formulár:
.
Úloha 1.17. V URN, obsahujúcej dve loptičky, znížil bielu guľu, potom sa z neho vybrala jedna guľa. Nájdenie pravdepodobnosti, že odstránený loptu bude biely, ak sú všetky možné predpoklady o pôvodnom zložení guličiek (vo farbe) rovnaké.
Rozhodnutie. Zaznamenaný ALE Event - Biela lopta extrahovaná. Na počiatočnom zložení guličiek sú možné tieto predpoklady (hypotézy): B 1. - Žiadne biele gule, Na 2 - Jedna biela guľa Na 3 - dve biele gule.
Vzhľadom k tomu, že sú tu tri hypotézy, a pravdepodobnosť hypotéz je 1 (keďže tvoria kompletnú skupinu udalostí), potom pravdepodobnosť každej z hypotéz je 1/3, to znamená.
P (B. 1) = P (B. 2) \u003d P (b 3) = 1/3.
Podmienená pravdepodobnosť, že biela guľa bude extrahovaná, za predpokladu, že to bolo pôvodne biele gule v URN, P (A./B. 1) \u003d 1/3. Podmienená pravdepodobnosť, že biela guľa bude extrahovaná, za predpokladu, že spočiatku v URN bola jedna biela guľa, P (A./B. 2) \u003d 2/3. Podmienená pravdepodobnosť, že biela guľa bude extrahovaná, za predpokladu, že pôvodné gule boli pôvodne v URN P (A./B. 3)=3/ 3=1.
Požadovaná pravdepodobnosť, že biela guľa bude odstránená, nájdeme vzorec pre úplnú pravdepodobnosť:
Ročník(ALE)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3) \u003d 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 \u003d 2/3 .
Úloha 1.18.. Dva automaty tvoria rovnaké detaily, ktoré prichádzajú do všeobecného dopravníka. Výkon prvého stroja dvojnásobok výkonu druhého. Prvý automatický stroj vytvára v priemere 60% podrobností o vynikajúcej kvalite a druhá je 84%. Zväčšenie z dopravníka, detail sa ukázal byť vynikajúcou kvalitou. Nájdite možnosť, že táto položka je vykonaná prvým strojom.
Rozhodnutie. Zaznamenaný ALE Event - Detail vynikajúcej kvality. Môžete urobiť dve predpoklady: B 1. - Časť je vyrobený prvým automatom, a pretože prvý stroj produkuje dvojnásobok detailov ako druhá) P (A./B. 1) = 2/3; B. 2 - časť je vyrobená druhým automatizátom a P (B. 2) = 1/3.
Podmienená pravdepodobnosť, že položka bude vynikajúca kvalita, ak je vyrobený prvým strojom, P (A./B. 1)=0,6.
Podmienená pravdepodobnosť, že položka bude vynikajúca kvalita, ak je vyrobená druhou automatizáciou, P (A./B. 1)=0,84.
Pravdepodobnosť, že hranica prijatá detailom bude vynikajúca kvalita, podľa vzorca úplnej pravdepodobnosti sa rovná
P (A.)=P (B. 1) ∙P (A./B. 1)+P (B. 2) ∙P (A./B. 2) \u003d 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 \u003d 0,68.
Požadovanú pravdepodobnosť, že vynikajúca položka vykonaná prvým automatom, vzorec Bayes sa rovná

Úloha 1.19. K dispozícii sú tri strany častí pre 20 dielov. Počet štandardných častí v prvom, druhom a tretích stranách sa rovná 20, 15, 10. Z vybranej dávky sa odstráni detail, ktorý sa ukázal byť štandardný. Podrobnosti sa vrátia na párty a druhýkrát z tej istej dávky, podrobnosti sa získava, čo sa tiež ukáže ako štandard. Nájdite pravdepodobnosť, že podrobnosti boli extrahované z tretej strany.
Rozhodnutie. Zaznamenaný ALE Udalosť - V každom z dvoch testov (s návratom) bola načítaná štandardná časť. Môžete vytvoriť tri predpoklady (hypotézy): B. 1 - Podrobnosti sú extrahované z prvej dávky, Na adrese 2 - Podrobnosti sú extrahované z druhej hry, Na adrese 3 - Podrobnosti sú extrahované z tretej strany.
Podrobnosti boli odstránené hranicou z bočnej dávky, preto pravdepodobnosť hypotézy sú rovnaké: P (B. 1) = P (B. 2) = P (B. 3) = 1/3.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P (A./B. 1), t.j. Pravdepodobnosť, že dva štandardné diely budú konzistentne získané z prvej dávky. Táto udalosť je spoľahlivo, pretože V prvej dávke sú všetky detaily štandardné P (A./B. 1) = 1.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P (A./B. 2), t.j. Pravdepodobnosť, že z druhej dávky bude dôsledne extrahovaná (s návratom) Dve štandardné údaje: P (A./B. 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Nájdite podmienenú pravdepodobnosť P (A./B. 3), t.j. Pravdepodobnosť, že z tretej strany bude dôsledne extrahovaná (s návratom) Dve štandardné údaje: P (A./B. 3) \u003d 10/20 · 10/20 \u003d 1/4.
Požadovanú pravdepodobnosť, že obaja extrahované štandardné detaily sú prevzaté z tretej strany, vzorec Bayes sa rovná

1.2.7. Opakované testy

Ak existuje niekoľko testov, pravdepodobnosť udalosti ALEv každom teste nezávisí od výsledkov iných testov, potom sa takéto testy nazývajú nezávislé na udalosti A. V rôznych nezávislých testoch ALEmôže mať buď rôzne pravdepodobnosti alebo rovnakú pravdepodobnosť. Ďalej zváži len takéto nezávislé testy, v ktorých udalosť ALEmá jednu pravdepodobnosť.
Nech je vyrobený strhnúťnezávislé testy v každom z nich je udalosť ALEsa môžu objaviť ani neobjaví. Súhlasiť s tým, že vernosť udalosti ALEv každom teste sa rovnaká, menovite r.V dôsledku toho pravdepodobnosť nejednoznačnej udalosti ALEv každom teste je tiež konštantná a rovná 1- r. Takáto pravdepodobnosová schéma sa nazýva systém Bernoulli. Nastavujeme si úlohu na výpočet pravdepodobnosti strhnúťtesty na udalosti systému Bernoulli ALE Presné rivne k. Raz ( k. - počet úspechov) a preto nebude p- čas. Je dôležité zdôrazniť, že to nie je potrebné ALEpresne k. Raz v určitom poradí. Požadovaná pravdepodobnosť je označená P p (k). Napríklad symbol Ročník (3) znamená pravdepodobnosť, že v piatich testoch sa udalosť objaví presne 3-krát, a preto sa nevyskytuje 2-krát.
Úloha môže byť vyriešená pomocou tzv. bernoulli vzorce ktorý má formulár:
.
Úloha 1.20.Pravdepodobnosť, že spotreba elektrickej energie v pokračovaní jedného dňa neprekročí zavedenú normu, sa rovná ročník\u003d 0,75. Nájdite šancu, že v najbližších 6 dňoch nebude spotreba elektrickej energie na 4 dni prekročiť normu.
Rozhodnutie. Pravdepodobnosť normálnej spotreby elektriny na pokračovanie každého zo 6 dní je konštantná a rovná ročník\u003d 0,75. V dôsledku toho je pravdepodobnosť prepočie elektriny každý deň aj konštantná a rovná q \u003d1–ročník=1–0,75=0,25.
Požadovaná pravdepodobnosť vzoru Bernoulliho je rovná
.
Úloha 1.21. Dvaja ekvivalentné šachové hráči hrajú šach. Čo je pravdepodobnejšie: vyhrať dve šarže zo štyroch alebo troch strán zo šiestich (neberie do úvahy)?
Rozhodnutie. Hrajte ekvivalentné šachové hráči, takže pravdepodobnosť výhru ročník \u003d 1/2, preto pravdepodobnosť straty q. 1/2. Pretože Vo všetkých stranách je pravdepodobnosť výhru konštantná a ľahostajná, v akej sekvencii bude zmluvná strana vyhračená, vzpera Bernoulli sa bude aplikovať.
Pochádzame pravdepodobnosť, že dve strany zo štyroch budú vyhrané:

Pochádzame pravdepodobnosť, že budú vyhrané tri strany zo šiestich rokov:

Pretože P. \\ t 4 (2) > P. \\ t 3), je pravdepodobné, že vyhrá dve strany zo štyroch ako tri šesť.
Jednorazové vidieť, že použitie Bernoulliho vzorec pre veľké hodnoty n. Je to dosť ťažké, pretože vzorec vyžaduje akcie na obrovské čísla, a preto v procese výpočtov sa hromadia chyby; Výsledkom je, že konečný výsledok sa môže výrazne líšiť od skutočného.
Na vyriešenie tohto problému existuje niekoľko limitovaných teoremov, ktoré sa používajú na prípad veľkého počtu testov.
1. Poisson teorem
Pri vykonávaní veľkého počtu testov podľa schémy Bernoulli (keď n. \u003d\u003e ∞) as malým počtom priaznivých výsledkov k. (Predpokladá sa, že pravdepodobnosť úspechu p. \\ t Mala), Bernoulli Formula sa blíži všeobecnému vzoru Poisson
.
Príklad 1.22. Pravdepodobnosť manželstva pri výrobe podnikovej jednotky výrobkov je rovnaká p. \\ t\u003d 0,001. Aká je pravdepodobnosť, že výroba 5 000 jednotiek výrobkov bude menej ako 4 chybná (udalosť ALE Rozhodnutie. Pretože n. Skvelé, používame miestnu Laplace Theorem:

Vypočítať x.:
Funkcia - Aj preto φ (-1,67) \u003d φ (1.67).
Podľa tabuľky dodatku, odsek 1 nájdeme φ (1.67) \u003d 0,0989.
Pravdepodobnosť P. \\ t 2400 (1400) = 0,0989.
3. Integral Laplace Theorem
Ak je pravdepodobnosť ročník Vzhľad udalosti A. V každej skúške podľa konštantnej schémy Bernoulli a odlišnej od nuly a jednotiek, potom s veľkým počtom testov n. pravdepodobnosť P p (k 1 K. 2) Udalosti A. V týchto testoch k. 1 byť k. 2 krát približne rovnaké
P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ ( x "), kde
- funkcia Laplace,

Špecifický integrál v funkcii Laplace nie je vypočítaný na triede analytických funkcií, takže sa používa na výpočet. P.2, zobrazené v aplikácii.
Príklad 1.24.Pravdepodobnosť udalosti v každom zo stoviek nezávislých testov je konštantná a rovná p. \\ t \u003d 0,8. Zistite pravdepodobnosť, že sa udalosť objaví: a) najmenej 75-krát a najviac 90-krát; b) najmenej 75-krát; c) Nie viac ako 74-krát.
Rozhodnutie. Používame Laplace Integral Theorem:
P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ( x "), kde f ( x.) - funkcia Laplace,

a) Pod podmienkou n. = 100, p. \\ t = 0,8, q. = 0,2, k. 1 = 75, k. 2 \u003d 90. výpočet x "" a x " :


Vzhľadom na to, že funkcia Laplace je nepárne, t.j. F (- x.) \u003d - f ( X.), dostaneme
P. \\ t 100 (75; 90) \u003d F (2.5) - F (-1,25) \u003d φ (2.5) + F (1,25).
Tabuľka. P. \\ t Aplikácie nájdu:
F (2.5) \u003d 0,4938; F (1,25) \u003d 0,3944.
Pravdepodobnosť
P. \\ t 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) požiadavka, aby sa udalosť objavovala najmenej 75-krát, naznačuje, že počet udalostí môže byť 75, alebo 76, ... alebo 100. V prípade posudzovaného prípadu by sa malo prijať k. 1 = 75K. 2 \u003d 100. Potom

.
Tabuľka. P. \\ t Aplikácie nájdu F (1,25) \u003d 0,3944; F (5) \u003d 0,5.
Pravdepodobnosť
P. \\ t 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) udalosť - " ALE najmenej 75-krát "a" ALE Nie viac ako 74 krát sa objavilo "naproti, preto je súčet pravdepodobnosti týchto udalostí 1. V dôsledku toho požadovaná pravdepodobnosť
P. \\ t 100 (0;74) = 1 – P. \\ t 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Udalosti, ktoré nám pozorovali (javy), môžu byť rozdelené do nasledujúcich troch typov: spoľahlivé, nemožné a náhodné.

Spoľahlivý Udalosť, ktorá sa určite vyskytne, ak sa nazýva určitá sada podmienok S. Napríklad, ak je v nádobe v nádobe s normálnym atmosférickým tlakom a teplota 20 °, udalosť "voda v nádobe je v kvapalnom stave "Je spoľahlivý. V tomto príklade predstavujú vopred stanovený atmosférický tlak a teplota vody súbor podmienok S.

Nemožný Zavolajte udalosť, ktorá nevedie, či sa budú vykonávať podmienky S.. Napríklad udalosť "Voda v plavidle je v pevnom stave" sa nestane, ak sa vykoná súbor podmienok predchádzajúceho príkladu .

Náhodný Zavolajte udalosť, že pri vykonávaní súboru podmienok môže nastať alebo sa nestane. Napríklad, ak je minca vyhodená, môže spadnúť tak, že na vrchole bude buď náter, alebo nápis. Preto podujatie "pri hádzaní mince," erb "padol - náhodne. Každá náhodná udalosť, najmä "erbom" strata, je dôsledkom mnohých náhodných príčin (v našom príklade: sila, s ktorou je minca hodený, tvar mince a mnoho ďalších). Je nemožné zohľadniť vplyv na výsledok všetkých týchto dôvodov, pretože počet z nich je veľmi veľký a zákony o ich konaní nie sú známe. Preto teória pravdepodobnosti nedáva úlohu predpovedať, nastane alebo nie, - to jednoducho nie je možné urobiť.

To je iné, ak sa zvažujú náhodné udalosti, ktoré môžu byť opakovane pozorované pri realizácii rovnakých podmienok, t.j., ak hovoríme o masovej homogénnej náhodné udalosti. Ukazuje sa, že dostatočne veľký počet homogénnych náhodných udalostí bez ohľadu na ich konkrétnu povahu podlieha určitým vzorom, a to pravdepodobnostným zákonom. Zriadenie týchto vzorov a je zapojený do teórie pravdepodobnosti.

Predmetom teórie pravdepodobnosti je teda štúdium pravdepodobnostných vzorov homogénnych homogénnych náhodných udalostí.

Metódy teórie pravdepodobnosti sú široko používané v rôznych priemyselných odvetviach prírodných vedy a techniky. Teória pravdepodobnosti slúži aj na odôvodnenie matematických a aplikovaných štatistík.

Typy náhodných udalostí. Udalosti non-lôžokAk sa vzhľad jedného z nich eliminuje vznik iných udalostí v rovnakom teste.

Príklad. OMBERED COIN. Vzhľad "erbov" vylučuje vzhľad nápisu. Udalosti "sa objavili náter" a "nápis" sa objavil "- neúplný.

Niekoľko foriem udalostí plná skupinaAk sa aspoň jeden z nich javí ako výsledok testu. Najmä, ak sú udalosti, ktoré tvoria plnú skupinu, nekonzistentné, potom v dôsledku testu sa objaví jedna a len jedna z týchto udalostí. Tento konkrétny prípad je pre nás najväčší záujem, pretože sa používa ďalej.

Príklad 2. Dve vstupenky peňažnej lotérie sa zakúpia. Určite sa to stane jeden a len jeden z nasledujúcich udalostí: "Výhry padli na prvý lístok a nepatrili na druhú stranu," "Víťazstvo nepatrili do prvého lístka a padol na druhý," "víťazstvo padol na oboch vstupeniek, "" na oboch cestovateľkách nepadol. " Tieto udalosti tvoria kompletnú skupinu v pároch neúplných udalostí.

Príklad 3. Šípky urobili záber cieľa. Jeden sa určite stane z nasledujúcich dvoch podujatí: hit, zmešká. Tieto dva neúplné udalosti tvoria kompletnú skupinu.

Udalosti rovnýAk existuje dôvod domnievať sa, že žiadny z nich nie je možnejší ako iný.

PRÍKLAD 4. Vzhľad "omeškania" a vzhľadu nápisu pri hádzaní udalostí vlastnených mincí. V skutočnosti sa predpokladá, že minca je vyrobená z homogénneho materiálu, má správny valcový tvar a prítomnosť naháňania neovplyvňuje stratu jednej alebo druhej strany mince.

SOB - Nazývam veľké písmená Lat.alfavita: A, v, s, .. a 1 a 2 ..

Opačné hovory 2 Jediný možný vzlyk, ktorý tvorí kompletnú skupinu. Ak jedna z dvoch opozície. Udalosti sú označené A, potom Dr. Obaw-Xia.

Príklad 5. Zhodnoťte a skĺznite, keď cieľ je cieľom. SOB-ME.

5. stupeň. Úvod do pravdepodobnosti (4 hodiny)

(Vývoj 4x lekcií na túto tému)

Vzdelávacie ciele : - zadajte definíciu náhodnej, spoľahlivej a nemožnej udalosti;

Bude prvé nápady o riešení kombinatorických úloh: pomocou stromu Versa a pomocou pravidla multiplikácie.

Vzdelávací cieľ: Rozvoj svetového zoznamu študentov.

Rozvojový cieľ : Rozvoj priestorovej predstavivosti, zlepšenie schopnosti pracovať s vládcom.

Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti (2h)

Kombinátorské úlohy (2h)

Spoľahlivé, nemožné a náhodné udalosti.

Prvá hodina

Výpis na vybavenie: hranie kocky, mince, backgammon.

Náš život sa vo veľkej miere pozostáva z nehôd. Tam je taká veda "teória pravdepodobnosti". Použitie jazyka, môžete opísať mnoho javov a situácií.

Ďalší primitívny vodca pochopil, že top desať lovcov "pravdepodobnosť" zasiahne bizont spear viac ako jeden z nich. Preto bol lovený potom kolektívne.

Takýto staroveký veliteľ, ako Alexander Macedonian alebo Dmitry Donskoy, pripravuje sa na bitku, neboli len na Valor a umenie bojovníkov, ale v prípade.

Matematika sú milované pre večné pravdy dvakrát dva vždy štyri, množstvo párnych čísel je dokonca, oblasť obdĺžnika sa rovná produktu svojich susedných strán, atď. V akejkoľvek úlohe, ktorú ste vyriešili, každý dostane tú istú odpoveď - Nemusíte robiť chyby pri riešení.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a jednoznačný. Exhody mnohých javov nie je možné predpovedať vopred. Nie je možné napríklad povedať, že určite, ktorá strana padne na mincu padajúce nahor, keď prvý sneh padá alebo koľko ľudí v meste bude chcieť zavolať telefón v blízkej budúcnosti. Takéto nepredvídateľné javy sa nazývajú náhodný .

Prípad však má tiež svoje vlastné zákony, ktoré sa začínajú prejavovať v opakujúcich sa náhodných javov. Ak hodíte mince 1000 krát, potom "orol" padne asi polovicu prípadov, ktoré nemožno povedať o dvoch alebo dokonca desať hádzaní. "Približne" neznamená polovicu. To môže byť spravidla tak, a možno nebude. Zákon vôbec neschvaľuje nič, ale dáva určitú mieru dôvery, že nastane nejaká náhodná udalosť. Takéto regulanty štúdie špeciálnu časť matematiky - Teória pravdepodobnosti . Pomocou jeho pomoci môžete s väčším stupňom dôvery (ale stále nie je istí), aby ste predpovedali dátum prvého snehu padania a počet telefónnych hovorov.

Pravdepodobnosť teória je neoddeliteľne spojená s naším každodenným životom. To nám dáva úžasnú príležitosť na vytvorenie mnohých pravdepodobnostných zákonov experimentálne opakovaním náhodných experimentov. Materiály pre tieto experimenty budú najčastejšie mať obyčajnú mincu, hranie kocky, súbor domino, backgammon, ruleta alebo dokonca paluby kariet. Každá z týchto položiek nejako je spojená s hrami. Faktom je, že tento prípad sa objaví v najčastejšej forme. A prvé pravdepodobnostné úlohy boli spojené s hodnotením šancí hráčov za víťazstvo.

Moderná pravdepodobnosť teória zanechala hazardné hry, ale ich rekvizity stále zostáva najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom prípadu. Vytváranie s páskovým opatrením a kockou sa dozviete, ako vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, ktoré vám umožnia vyhodnotiť vaše šance na úspech, kontrolovať hypotézy, aby sa optimálne riešenia nielen v hrách a lotériách.

Riešenie probabilistických úloh, byť veľmi pozorný, pokúsiť sa ospravedlniť každý z vášho kroku, pretože žiadna iná oblasť matematiky neobsahuje také množstvo paradoxov. Ako teória pravdepodobnosti. A možno hlavným vysvetlením je jeho vzťah so skutočným svetom, v ktorom žijeme.

Mnohé hry používajú kocku, ktorá má iný počet bodov od 1 do 6. Prehrávanie kocky, pozerá na koľko bodov padol (na tejto tvári, ktorý sa nachádza na vrchole) a robí zodpovedajúci počet ťahov: 1 , 2,3, 4.5, alebo 6. Hádzanie kocky možno považovať za skúsenosť, experiment, testovanie a výsledok je udalosť. Ľudia sú zvyčajne veľmi zaujímavé uhádnuť nástup jedného alebo inej udalosti, predpovedať jeho výsledok. Aké predpovede môžu robiť, keď hodia hranie kocky? Prvá predpoveď: jeden z čísel 1,2,3,4,5, alebo 6. Ako si myslíte, že predpovedaná udalosť prichádza alebo nie? Samozrejme, to určite príde. Udalosť, ktorá v tejto skúsenosti bude nútená, nazvaná spoľahlivú udalosť.

Druhá predpoveď : Digitálne 7 vypadne. Čo si myslíte, že predpovedaná udalosť prichádza alebo nie? Samozrejme, že to neprijde, je to jednoducho nemožné. Udalosť, ktorá nemôže byť použitá v tejto skúsenosti nemožné udalosti.

Tretia predpoveď : Digitálne kvapky 1. Čo si myslíte, že predpovedaná akcia je jesť alebo nie? V plnej dôvere nie sme schopní odpovedať na úplnú dôveru, pretože sa môže vyskytnúť predpovedaná udalosť a nemusí prísť. Udalosť, ktorá sa môže vyskytnúť v tejto skúsenosti, a nemusí prísť, nazvať náhodná udalosť.

Úloha : Popíšte predmetné udalosti v nasledujúcich úlohách. Ako spoľahlivé, nemožné alebo náhodné.

Hodiť mincu. Zdá sa, že srsť ramien. (náhodné)

Hunter zastrelil vlka a dostal sa. (náhodné)

Školák ide chodiť každý večer. Počas prechádzky v pondelok sa stretol s tromi známymi. (náhodné)

Poďme hláskovať ďalší experiment: sklo s vodou sa otáčať hore nohami. Ak sa tento experiment nevykonáva v priestore, ale doma alebo v triede, potom sa voda objaví. (spoľahlivé)

Vyrobili sa tri streľby cieľov. " Vyskytlo sa päť hitov "(nemožné)

Hádzanie kameňa. Kameň zostane visí vo vzduchu. (nemožné)

Písmená slova "antagonizmus" pri náhodnom usporiadaní. Ukazuje sa, že slovo "anachrizmus". (nemožné)

№959. Petya koncipovala prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:

a) Dokončené číslo je koncipované; (náhodné) b) zamýšľané nepárne číslo; (náhodné)

c) zamýšľané číslo, ktoré nie je ani ani nepárne; (nemožné)

d) zamýšľané číslo, ktoré je dokonca alebo nepárne. (spoľahlivé)

№ 961. Petya a tolya porovnávajú svoje narodeniny. Udalosť je nasledovná:

a) ich narodeniny sa nezhodujú; (náhodné) b) ich narodeniny sa zhodujú; (náhodné)

d) Narodeniny oboch pádov na dovolenku - Nový rok (1. január) a Deň nezávislosti Ruska (12. jún). (náhodné)

№ 962. Pri prehrávaní sa používajú dve hracie kocky. Počet ťahov, ktorým účastník robí hru, je určená pridaním čísel na dvoch kusoch kocky, a ak "dvojité" kvapky (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), potom Počet pohybov sa zdvojnásobí. Hádzate kocky a vypočítate koľko pohybov, ktoré musíte urobiť. Udalosť je nasledovná:

a) Musíte urobiť jeden ťah; b) Musíte urobiť 7 pohybov;

c) Musíte urobiť 24 ťahov; D) Musíte urobiť 13 ťahov.

a) - nemožné (1 pohyb môže byť vykonaný, ak kombinácia 1 + 0 vypadá, ale nie sú žiadne čísla 0 v kockách).

b) - Náhodné (ak 1 + 6 alebo 2 + 5 klesá).

c) - Náhodné (ak je kombinácia 6 + 6 klesá).

d) - nemožné (neexistujú žiadne kombinácie čísel od 1 do 6, ktorých súčet sa rovná 13; toto číslo sa nemôže ukázať, keď je "dvojité", pretože je nepárne).

Skontrolujte sa. (Matematická diktácia)

1) Uveďte, ktoré z nasledujúcich udalostí nemožné, ktoré sú spoľahlivé, ktoré sú náhodné:

Futbalový zápas "Spartak" - "Dynamo" skončí v remíze. (náhodné)

Vyhráte, zúčastníte sa v lotérii Win-Win (spoľahlivé)

Na Midnight Snow Falls a po 24 hodinách bude slnko svietiť. (nemožné)

Zajtra bude kontrola v matematike. (náhodné)

Budete usadení predsedom Spojených štátov. (nemožné)

Budete uniknúť predsedom Ruska. (náhodné)

2) Kúpili ste televízor v obchode, do ktorého výrobca poskytuje dvojročnú záruku. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, čo - náhodné, ktoré sú spoľahlivé:

TV nebude prelomiť na jeden rok. (náhodné)

TV sa nebude rozbiť dva roky. (náhodné)

Do dvoch rokov nemusíte platiť za opravu televízora. (spoľahlivé)

Tretí rok sa rozbije. (náhodné)

3) Autobus, v ktorom je 15 cestujúcich jednotiek, aby sa 10 zastávok. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, čo - náhodné, ktoré sú spoľahlivé:

Všetci cestujúci vychádzajú z autobusu v rôznych zastávkach. (nemožné)

Všetci cestujúci vystúpia na jednu zastávku. (náhodné)

Pri každom zastávke aspoň niekto vyjde. (náhodné)

Existuje zastávka, na ktorej nikto nevyjde. (náhodné)

Vo všetkých zastávkach bude existovať párny počet cestujúcich. (nemožné)

Vo všetkých zastávkach bude dôjsť k nepárnemu počtu cestujúcich. (nemožné)

Domáca úloha : § 53 №960, 963, 965 (prísť s dvoma spoľahlivými, náhodnými a nemožnými udalosťami).

Druhá lekcia.

Skontrolujte si domáce úlohy. (orálne)

a) vysvetliť, že taká spoľahlivá, náhodná a nemožná udalosť.

b) špecifikujte, ktorý z nasledujúcich udalostí je spoľahlivý, čo je nemožné, čo je minimum:

Letné prázdniny nebudú. (nemožné)

Sendvič Falls olej dole. (náhodné)

Akademický rok skončí. (spoľahlivé)

Zajtra sa ma pýta na lekciu. (náhodné)

Dnes sa stretnem s čiernou mačkou. (náhodné)

№ 960. Túto tutoriál ste otvorili na ktorejkoľvek stránke a vybrali ste prvé podstatné meno. Udalosť je nasledovná:

a) Zvolené slovo je písomné slovo. ((spoľahlivé)

b) písomne \u200b\u200bzvolené slovo je písmeno "o". (náhodné)

c) Neexistujú žiadne samohlásky písomne \u200b\u200bzvolené slovo. (nemožné)

d) písomne \u200b\u200bzvolené slovo je mäkké znamenie. (náhodné)

№ 963. Hráte Backgammon. Popíšte nasledujúcu udalosť:

a) Hráč musí nie viac ako dva pohyby. (Nemožné - pri kombinácii najmenších čísel 1 + 1 hráč robí 4 ťahy; Kombinácia 1 + 2 poskytuje 3 ťahy; všetky ostatné kombinácie dávajú viac ako 3 ťahy)

b) Hráč musí urobiť viac ako dva ťahy. (Spoľahlivá - Akákoľvek kombinácia poskytuje 3 alebo viac ťahov)

c) Hráč musí nie viac ako 24 ťahov. (Spoľahlivá - kombinácia najvyšších čísel 6 + 6 poskytuje 24 ťahov a všetky ostatné sú menej ako 24 ťahov)

d) Hráč musí urobiť dvojciferný počet ťahov. (Random-napríklad, kombinácia 2 + 3 poskytuje jednoznačný počet ťahov: 5 a spadnutie dvoch štyroch - dvojciferný počet ťahov)

2. Riešenie úloh.

№ 964. Taška leží 10 loptičiek: 3 modrá, 3 biela a 4 červená. Popíšte nasledujúcu udalosť:

a) z vrecka na 4 loptičky a všetky z nich sú modré; (nemožné)

b) z vrecka boli obrátené 4 guľôčky a všetky sú červené; (náhodné)

c) z vrecka na 4 loptičky a všetci sa ukázali byť rôznymi farbami; (nemožné)

d) 4 loptičky boli vyňaté z vrecka, a medzi nimi nebola žiadna čierna misa. (spoľahlivé)

Úloha 1. Box leží 10 červených, 1 zelených a 2 modrých perá. Z krabice náhodne vyberte dve položky. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, ktoré sú náhodné, aké sú nasledovné:

a) dve červené rukoväte sú odstránené (náhodné)

b) sú odstránené dve zelené rukoväte; (nemožné)

c) sú odstránené dve modré rukoväte; (náhodné)

d) odstránené rukoväte dvoch rôznych farieb; (náhodné)

d) dve rukoväte sa odstránia; (spoľahlivé)

e) sú odstránené dve ceruzky. (nemožné)

Úloha 2. Winnie -Puch, prasiatko a všetko - všetky-všetky sedenie pre okrúhly stôl oslavuje narodeniny. S koľkými zo všetkých - všetky - všetky-celá udalosť "Winnie Pú a prasiatko bude sedieť v blízkosti" je spoľahlivý a s čo?

(Ak všetko - všetko - všetko je len 1, ak je udalosť spoľahlivá, ak je viac ako 1, potom - náhodná).

Úloha 3. Medzi 100 vstupeniek charitatívnej lotérie sú 20 víťazstiev koľko lístkov, ktoré potrebujete kúpiť, takže udalosť "nebudete vyhrať nič" bolo nemožné?

Úloha 4. 10 chlapcov a 20 dievčat štúdia v triede. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú pre túto triedu nemožné, ktoré sú náhodné, ktoré sú spoľahlivé

Trieda má dvoch ľudí narodených v rôznych mesiacoch. (náhodné)

Trieda má dvoch ľudí narodených za mesiac. (spoľahlivé)

Trieda má dvoch chlapcov narodených za jeden mesiac. (náhodné)

V triede sú dve dievčatá narodené v jednom mesiaci. (spoľahlivé)

Všetci chlapci sa narodili v rôznych mesiacoch. (spoľahlivé)

Všetky dievčatá sa narodili v rôznych mesiacoch. (náhodné)

Je tu chlapec a dievča narodené za jeden mesiac. (náhodné)

Tam je chlapec a dievča narodené v rôznych mesiacoch. (náhodné)

Úloha 5. V krabici 3 červenej, 3 žltej, 3 zelených misiek. Vytiahnem náhodne 4 loptičky. Zvážte udalosť "Medzi rezačkami guličiek sú presne m balóny." Pre každú m od 1 do 4, určte, akú udalosť je nemožné, spoľahlivé alebo náhodné, a vyplniť tabuľku:

Nezávislá práca.

I. Možnosť

a) počet narodenín vášho priateľa menej ako 32;

c) zajtra bude kontrola v matematike;

d) V budúcom roku bude prvý sneh v Moskve spadnúť v nedeľu.

Hodiť hranie kocky. Popíšte udalosť:

a) kocka, padajúce, stojí na okraji;

b) jeden z čísel klesá: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

c) číslo 6 vypadne;

d) Číslo vypadne 7.

Box leží 3 červené, 3 žlté a 3 zelené misy. Popíšte udalosť:

a) všetky guľôčky rovnakej farby;

b) všetky gule z rôznych farieb;

c) Medzi rezmi loptičiek sú gule rôznych farieb;

c) Medzi rezané gule je červená, žltá a zelená guľa.

II. Možnosť

Popíšte predmetnú udalosť, ako spoľahlivé, nemožné alebo náhodné:

a) Sendvič spadá z tabuľky spadá na podlahu s olejom;

b) v Moskve na Midnight Snow Falls a po 24 hodinách bude slnko svietiť;

c) vyhráte účasťou na lotérii Win-Win;

d) Budúci rok bude v máji vypočutý Jarný hrom.

Všetky dvojciferné čísla sú zaznamenané na kartách. Na handry si vyberte jednu kartu. Popíšte udalosť:

a) karta sa ukázala byť nula;

b) Karta sa ukázala ako číslo, viacnásobné 5;

c) karta sa ukázala ako číslo, viacnásobné 100;

d) Karta sa ukázala ako číslo, väčšie ako 9 a menšie 100.

V poli leží 10 červená, 1 zelená a 2 modrá perá. Z krabice náhodne vyberte dve položky. Popíšte udalosť:

a) sú odstránené dve modré rukoväte;

b) sú odstránené dve červené rukoväte;

c) sú odstránené dve zelené rukoväte;

d) odstránené zelené a čierne rukoväte.

Domáca úloha: 1). Prísť s dvoma spoľahlivými, náhodnými a nemožnými udalosťami.

2). Úloha . V krabici 3 červenej, 3 žltej, 3 zelených misiek. Vytiahnem náhodné natrety. Zvážte udalosť "Medzi kusmi z loptičiek presne tri farby budú." Pre každú n od 1 do 9, určiť, ktorá udalosť je nemožná, spoľahlivá alebo náhodná, a vyplniť tabuľku:

Kombinatorické úlohy.

Prvá hodina

Skontrolujte si domáce úlohy. (orálne)

a) Skontrolujeme úlohy, ktoré študenti vymysleli.

b) dodatočnú úlohu.

Čítal som výňatok z knihy V. Levshina "Tri dni v trpaslíku".

"Najprv, pod zvukmi hladkého čísla Waltz, skupina bola vytvorená: 1+ 3 + 4 + 2 \u003d 10. Potom sa mladí korčuliari začali meniť miesta, tvoriace nové a nové skupiny: 2 + 3 + 4 + 1 \u003d 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 \u003d 10, atď.

Takže trvalo, kým korčuliari sa vrátili do pôvodnej polohy. "

Koľkokrát zmenili miesta?

Dnes, na lekcii, naučíme sa vyriešiť takéto úlohy. Sú nazývaní kombinatoriálne.

3. Študovanie nového materiálu.

Úloha 1. Koľko dvojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1, 2, 3?

Rozhodnutie: 11, 12, 13

31, 32, 33. Celkom 9 čísel.

Pri riešení tejto úlohy sme rozšírili všetky možné možnosti, alebo, ako zvyčajne hovoria v týchto prípadoch. Všetky možné kombinácie. Preto sa nazývajú takéto úlohy kombinatoriálne. Čistenie možných (alebo nemožných) možností v živote majú pomerne často, takže je užitočné zoznámiť sa s kombinatorickými úlohami.

№ 967. Niekoľko krajín sa rozhodlo použiť symbolizmus pre svoju štátnu vlajku vo forme troch horizontálnych pásov rovnakej šírky rôznych farieb - biela, modrá, červená. Koľko krajín môže tento symbolizmus použiť za predpokladu, že každá krajina má vlastnú vlajku?

Rozhodnutie. Predpokladajme, že prvý pás je biely. Potom môže byť druhý pás modrý alebo červený, a tretí pás, resp. Červená alebo modrá. Ukázalo sa, že dve možnosti: biela, modrá, červená alebo biela, červená, modrá.

Teraz nechať prvý pás modrej, potom opäť dostaneme dve možnosti: biela, červená, modrá alebo modrá, červená, biela.

Nechajte prvý pás červenej, potom dve ďalšie možnosti: červená, biela, modrá alebo červená, modrá, biela.

Celkovo 6 možných možností. Takáto vlajka môže použiť 6 krajín.

Takže pri riešení tejto úlohy sme hľadali spôsob hasenia možných možností. V mnohých prípadoch je užitočné získať obrázok obrázku - systémy integrity možností. Toto, najprv, živo, po druhé, umožňuje nám vziať všetko, nie nechať ujsť nič.

Táto schéma sa nazýva aj strom možných možností.

Predná strana

Druhý pásik

Tretí pás

Výsledná kombinácia

№ 968. Koľko dvojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1, 2, 4, 6, 8?

Rozhodnutie. Pre dvojciferné počty záujmu na nás na prvom mieste, ktorékoľvek zo špecifikovaných čísel môže byť na prvom mieste, okrem 0. Ak na prvé miesto nastavíme číslo 2, potom môže byť niektorý zo špecifikovaných čísel druhé miesto. Učína sa päť dvojciferných čísel: 2., 22, 24, 26, 28. Rovnakým spôsobom bude päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 4, päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 6 a Päť dvojciferných čísel s prvou číslicou 8.

Odpoveď: Celkom dostane 20 čísel.

Vytvárame strom možných možností na riešenie tejto úlohy.

Dvojité postavy

Prvá číslica

Druhá číslica

Získané čísla

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

S pomocou budovania stromu možných možností vyriešiť nasledujúce úlohy.

№ 971. Vedenie niektorých krajín sa rozhodla urobiť svoju štátnu vlajku takto: na jednofarebnom obdĺžnikovom pozadí v jednom z rohov je kruh inej farby. ROZHODNUTÉ FARBY sa rozhodli vybrať z troch možných: červená, žltá, zelená. Koľko možností pre takúto vlajku

existujú? Obrázok zobrazuje niektoré možné možnosti.

Odpoveď: 24 možností.

№ 973. a) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z 1,3, 5? (27 čísel)

b) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1.3, 5 za predpokladu, že čísla by sa nemali opakovať? (6 čísel)

№ 979. Moderné petabers boli zapojení do súťaže v piatich športoch dva dni: skákanie, oplotenie, plávanie, streľba, beh.

a) Koľko možností pre postup pre absolvovanie typov hospodárskej súťaže je tam? (120 možností)

b) Koľko možností existuje nejaké objednávky prechádzajúcich súťaží, ak je známe, že by mal byť spustený posledný pohľad? (24 možností)

c) Koľko možností pre postup pre absolvovanie typov súťaže, ak je známe, že by mal byť spustený posledný pohľad, a prvý je skok? (6 možností)

№ 981. V dvoch urnds je päť loptičiek v každej piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každého URN súčasne odstráni jeden krok.

a) Koľko rôznych kombinácií odstránených guličiek (kombinácie typu "biele - červené" a "červené biele" sú považované za rovnaké)?

(15 kombinácií)

b) Koľko kombinácií je tam, v ktorých sú gule jednej farby rezané?

(5 kombinácií)

c) Koľko kombinácií existuje, v ktorých gule z rôznych farieb?

(15 - 5 \u003d 10 kombinácií)

Domáca úloha: § 54, № 969, 972, prichádzajú s kombináciou samotných úloh.

№ 969. Niekoľko krajín sa rozhodlo použiť symbolizmus pre svoju štátnu vlajku vo forme troch vertikálnych pruhov rovnakej šírky rôznych farieb: zelená, čierna, žltá. Koľko krajín môže tento symbolizmus použiť za predpokladu, že každá krajina má vlastnú vlajku?

№ 972. a) Koľko dvojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koľko dvojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1, 3, 5, 7, 9 za predpokladu, že čísla by sa nemali opakovať?

Druhá lekcia

Skontrolujte si domáce úlohy. A) č. 969 a č. 972a) a č. 972b) - na tabuli na vybudovanie stromu možných možností.

b) ústne skontrolujte kompilované úlohy.

Riešenie úloh.

Takže, predtým, sme sa naučili riešiť kombinatorické úlohy pomocou stromových možností. Je to dobrý spôsob? Pravdepodobne áno, ale veľmi ťažkopádne. Vyskúšajte si domáce úlohy 972, aby ste vyriešili mozu. Kto môže uhádnuť, ako sa to môže urobiť?

Odpoveď: Pre každú z piatich farieb, tričiek predstavujú 4 farby nohavičiek. Celkom: 4 * 5 \u003d 20 možností.

№ 980. V Urnech je päť loptičiek v každej piatich rôznych farbách: biela, modrá, červená, žltá, zelená. Z každého URN súčasne odstráni jeden krok. Popíšte nasledujúcu udalosť ako spoľahlivé, náhodné alebo nemožné:

a) vyrezané gule rôznych farieb; (náhodné)

b) odstránené guľôčky rovnakej farby; (náhodné)

c) Čierne a biele gule sa odstránia; (nemožné)

d) Dve gule boli odstránené a obaja sa ukázali byť natreté v jednej z nasledujúcich farieb: biela, modrá, červená, žltá, zelená. (spoľahlivé)

№ 982. Skupina turistov plánuje vykonať výlet na trase Antonovo - Borisovo - Vlasovo - MRIBOVO. Z Antonova v Borisove sa môžete roztaviť pozdĺž rieky alebo chodiť. Borisovo vo Vlasove sa môže držať pešo alebo na bicykle. Z Vlasovo v hubanovi možno ušetriť pozdĺž rieky, pohon bicyklov alebo chodiť pešo. Koľko možností kampane si môže vybrať turistov? Koľko možností pre kampaň si môže vybrať turistov, za predpokladu, že aspoň v jednej z oblastí trasy by mali používať bicykle?

(12 možností trasy, z ktorých 8 - pomocou bicyklov)

Nezávislá práca.

1 možnosť

a) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel: 0, 1, 3, 5, 7?

b) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel: 0, 1, 3, 5, 7 za predpokladu, že čísla by sa nemali opakovať?

ATOS, Portos a Aramis majú len meč, dýku a zbraň.

a) Koľko spôsobov môžete vystúpiť mušketierov?

b) Koľko zbraní je tam, ak by meč mal mať Aramis?

c) Koľko zbraní je tam, ak by mal meč vlastniť Aramis, a pištoľ je Ports?

Worinene niekde Boh poslal kus syra, ako aj syry, klobásy, biely a čierny chlieb. Na smrek z vráte si flock, majú raňajky vôbec, áno, bolo to premyslené: koľko spôsobov môže byť tvorený sendviče z týchto produktov?

Možnosť 2

a) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel: 0, 2, 4, 6, 8?

b) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel: 0, 2, 4, 6, 8 za predpokladu, že čísla by sa nemali opakovať?

Count Monte - Cristo sa rozhodol dať princeznej Gaide náušnice, náhrdelník a náramok. Každá dekorácia musí obsahovať drahé kamene jedného z typov: diamanty, rubíny alebo granáty.

a) Koľko možností je kombinácia dekorácií z drahokamov?

b) Koľko dekorácií existuje, ak by náušnice mali byť diamanty?

c) Koľko dekorácií existuje, ak by náušnice mali byť diamantom a náramok granátového jablka?

Na raňajky si môžete vybrať buchtu, sendvič alebo perník s kávou alebo kefírom. Koľko možností raňajky možno vytvoriť?

Domáca úloha : № 974, 975. (Príprava možností stromu a pomocou pravidla multiplikácie)

№ 974 . a) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 0, 2, 4?

b) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 0, 2, 4 za predpokladu, že čísla by sa nemali opakovať?

№ 975 . a) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z 1,3, 5,7 čísiel?

b) Koľko trojciferných čísel môže byť vyrobené z čísel 1.3, 5.7. Aké údaje by sa nemali opakovať?

Úlohy sú prevzaté z učebnice

"Matematika-5", i.i. ZUBAAREVA, A.G. Mordkovich, 2004.

Téma lekcie: "Random, spoľahlivé a nemožné udalosti"

Lekcia v kurikulum: "Kombinátorika. Náhodné udalosti »5/8 Lekcia

Typ lekcie: Pre vyradenie nových poznatkov

Ciele Lekcia:

Vzdelávacie:

o Zadajte definíciu náhodnej, spoľahlivej a nemožnej udalosti;

o Učiť v skutočnej situácii v procese určovania podmienok teórie pravdepodobnosti: spoľahlivé, nemožné, rovnako presné udalosti;

Rozvoj:

o Podporovať rozvoj logického myslenia

o Kognitívny záujem študentov

o zručnosti na porovnanie a analýzu

Vzdelávacie:

o Vzdelávanie záujmu o učenie matematiky,

o Vývoj svetového zoznamu študentov.

o držanie intelektuálnych zručností a duševných operácií;

Metódy vyučovania: Vysvetľujúce, ilustratívne, reprodukčné, matematické diktát.

UMC: Matematika: Návod na 6 cl. Upravené, et al., Vydavateľstvo "osvietenie", 2008, matematika, 5-6: CN. Pre učiteľa / [, [ ]. - M.: Osvietenie, 2006.

Didaktický materiál: Plagáty na palube.

Literatúra:

1. Matematika: Štúdie. 6 cl. všeobecné vzdelanie. Inštitúcie / a kol.]; Ed. ; \\ T Ros. Acad. Veda, Ros. Acad. Vzdelávanie, vydavateľstvo "osvietenie". - 10. ed. - M.: Osvietenie, 2008.-302 c.: IL. - (učebnica akademickej školy).

2. Matematika, 5-B: KN. pre učiteľa / [,]. - M.: Osvietenie, 2006. - 191 p. : IL.

4. Riešenie úloh podľa štatistiky, kombinácie a teórie pravdepodobnosti. 7-9 tried. / Avt.- Cena. . Ed. 2., kopírovanie. - Volgograd: Učiteľ, 2006. -428 p.

5. Vyučovanie matematiky pomocou informačných technológií. 5-10 tried. Metodická - Príručka s elektronickou aplikáciou / atď 2. ED., Stereotyp. - M.: Vydavateľstvo "globus", 2010. - 266 p. (Súčasná škola).

6. Vyučovanie matematiky v modernej škole. Usmernenia. Vladivostok: pippkro vydavateľ, 2003.

Plán lekcie

I. Organizačný moment.

II. Ústnej práce.

III. Študovať nový materiál.

IV. Tvorbu zručností a zručností.

V. Výsledky lekcie.

V. Domáce úlohy.

Počas tried

1. ORGMOMENT

2. aktualizácia vedomostí

15*(-100)

Orálna práca:

3. Vysvetlenie nového materiálu

Učiteľ: Náš život vo veľkej miere pozostáva z nehôd. Tam je taká veda "teória pravdepodobnosti". Použitie jazyka, môžete opísať mnoho javov a situácií.

Takýto staroveký veliteľ, ako Alexander Macedonian alebo Dmitry Donskoy, pripravuje sa na bitku, neboli len na Valor a umenie bojovníkov, ale v prípade.

Matematika matematika milovala pre večné pravdy dvakrát dva vždy štyri, množstvo párnych čísel je dokonca, oblasť obdĺžnika je rovná produktu svojich susedných strán atď. V akýchkoľvek úlohách, ktoré ste vyriešili, každý dostane to isté Odpoveď - Nemusíte robiť chyby pri riešení.

Skutočný život nie je taký jednoduchý a jednoznačný. Exhody mnohých javov nie je možné predpovedať vopred. Nie je možné napríklad povedať, že určite, ktorá strana padne na mincu padajúce nahor, keď prvý sneh padá alebo koľko ľudí v meste bude chcieť zavolať telefón v blízkej budúcnosti. Takéto nepredvídateľné javy sa nazývajú náhodný .

Prípad však má tiež svoje vlastné zákony, ktoré sa začínajú prejavovať v opakujúcich sa náhodných javov. Ak hodíte mince 1000 krát, potom "orol" padne asi polovicu prípadov, ktoré nemožno povedať o dvoch alebo dokonca desať hádzaní. "Približne" neznamená polovicu. To môže byť spravidla tak, a možno nebude. Zákon vôbec neschvaľuje nič, ale dáva určitú mieru dôvery, že nastane nejaká náhodná udalosť.

Takéto regulanty štúdie špeciálnu časť matematiky - Teória pravdepodobnosti . Pomocou jeho pomoci môžete s väčším stupňom dôvery (ale stále nie je istí), aby ste predpovedali dátum prvého snehu padania a počet telefónnych hovorov.

Pravdepodobnosť teória je neoddeliteľne spojená s naším každodenným životom. To nám dáva úžasnú príležitosť na vytvorenie mnohých pravdepodobnostných zákonov experimentálne opakovaním náhodných experimentov. Materiály pre tieto experimenty budú najčastejšie mať obyčajnú mincu, hranie kocky, súbor domino, backgammon, ruleta alebo dokonca paluby kariet. Každá z týchto položiek je spojená s hrami. Faktom je, že tento prípad sa objaví v najčastejšej forme. A prvé pravdepodobnostné úlohy boli spojené s hodnotením šancí hráčov za víťazstvo.

Moderná pravdepodobnosť teória zanechala hazardné hry, ale ich rekvizity stále zostáva najjednoduchším a najspoľahlivejším zdrojom prípadu. Vytváranie s páskovým opatrením a kockou sa dozviete, ako vypočítať pravdepodobnosť náhodných udalostí v reálnych životných situáciách, ktoré vám umožnia vyhodnotiť vaše šance na úspech, kontrolovať hypotézy, aby sa optimálne riešenia nielen v hrách a lotériách.

Riešenie probabilistických úloh, byť veľmi pozorný, pokúsiť sa ospravedlniť každý z vášho kroku, pretože žiadna iná oblasť matematiky neobsahuje také množstvo paradoxov. Ako teória pravdepodobnosti. A možno hlavným vysvetlením je jeho spojenie so skutočným svetom, v ktorom žijeme.

Mnohé hry používajú kocku, ktorá má iný počet bodov od 1 do 6. Prehrávanie kocky, pozerá na koľko bodov padol (na tejto tvári, ktorý sa nachádza na vrchole) a robí zodpovedajúci počet ťahov: 1 , 2,3, 4.5, alebo 6. Hádzanie kocky možno považovať za skúsenosť, experiment, testovanie a výsledok je udalosť. Ľudia sú zvyčajne veľmi zaujímavé uhádnuť nástup jedného alebo inej udalosti, predpovedať jeho výsledok. Aké predpovede môžu robiť, keď hodia hranie kocky?

Prvá predpoveď: Jeden z čísel 1,2,3,4,5, alebo 6. Ako si myslíte, že predpovedaná udalosť prichádza alebo nie? Samozrejme, to určite príde.

Udalosť, ktorá v tejto skúsenosti bude nútená, nazvaná spoľahlivýudalosť.

Druhá predpoveď : Digitálne 7 vypadne. Čo si myslíte, že predpovedaná udalosť prichádza alebo nie? Samozrejme, že to neprijde, je to jednoducho nemožné.

Udalosť, ktorá nemôže byť použitá v tejto skúsenosti nemožný udalosť.

Tretia predpoveď : Digitálne kvapky 1. Čo si myslíte, že predpovedaná udalosť prichádza alebo nie? V plnej dôvere nie sme schopní odpovedať na úplnú dôveru, pretože sa môže vyskytnúť predpovedaná udalosť a nemusí prísť.

Udalosti, ktoré môžu nastať v rovnakých podmienkach, a nemusia sa vyskytnúť náhodný.

Príklad. Box leží 5 cukríkov v modrom obale a jeden z bielych. Bez toho, aby sa pozrel do krabice, náhodne odstrániť jednu cukrovú. Je možné vopred povedať, akú farbu bude?

Úloha : Popíšte predmetné udalosti v nasledujúcich úlohách. Ako spoľahlivé, nemožné alebo náhodné.

1. Vezmite mincu. Zdá sa, že srsť ramien. (náhodné)

2. Hunter zastrelil vlka a dostal sa. (náhodné)

3. Školák každý večer ide na prechádzku. Počas prechádzky v pondelok sa stretol s tromi známymi. (náhodné)

4. Poďme napriek nasledujúci experiment: sklo s vodou, aby sa otočil hore nohami. Ak sa tento experiment nevykonáva v priestore, ale doma alebo v triede, potom sa voda objaví. (spoľahlivé)

5. Tri výstrel vyrobených cieľov. " Existuje päť hitov " (nemožné)

6. Hádzať kameň. Kameň zostane visí vo vzduchu. (nemožné)

PríkladPetya koncipovala prirodzené číslo. Udalosť je nasledovná:

a) Dokončené číslo je koncipované; (náhodné)

b) je koncipované nepárne číslo; (náhodné)

c) zamýšľané číslo, ktoré nie je ani ani nepárne; (nemožné)

d) zamýšľané číslo, ktoré je dokonca alebo nepárne. (spoľahlivé)

Udalosti, ktoré za týchto podmienok majú rovnaké šance rovný.

Nazývajú sa náhodné udalosti, ktoré majú rovnaké šance rovný alebo rovný .

Umiestnite plagát na tabuľu.

Na ústnej skúške sa študent dostane jeden z rozložených vstupeniek. Šanca na prijatie niektorého zo skúšobných lístkov sú rovnaké. Je to ekvivalentné strate akéhokoľvek počtu bodov od 1 do 6 pri hádzaní hracieho kocky, ako aj "orla" alebo "spech" pri hádzaní mincí.

Ale nie všetky udalosti rovný. Nemusí rozdeliť budík, otočte žiarovku, rozbije autobus, ale za normálnych podmienok nepravdepodobné. Je pravdepodobnejšie, že budík bude zvoniť, svetlo sa rozsvieti, autobus pôjde.

Na niektorých udalostiach šancaexistuje viac, znamená to, že sú pravdepodobnejšie - bližšie k spoľahlivému. A ďalšie šance sú menej, sú menej pravdepodobné - bližšie k nemožniu.

Nemožné udalosti nemajú šancu vyskytnúť a spoľahlivé udalosti majú každú šancu vyskytujúce sa za určitých podmienok, stanú sa.

PríkladPetya a Kolya porovnávajú svoje narodeniny. Udalosť je nasledovná:

a) ich narodeniny sa nezhodujú; (náhodné)

b) ich narodeniny sa zhodujú; (náhodné)

d) Narodeniny oboch pádov na dovolenku - Nový rok (1. január) a Deň nezávislosti Ruska (12. jún). (náhodné)

3. Tvorba zručností a zručností

Úloha učebnice Číslo 000. Ktorá z náhodných udalostí uvedených nižšie sú spoľahlivé, možné:

a) korytnačka sa naučí hovoriť;

b) Voda v kanvici, stojaci na sporáku, varí;

d) vyhráte, zúčastňujete sa na lotérii;

e) Nebudete vyhrať účasťou v lotérii Win-Win;

e) stratíte hru v šachu;

g) Zajtra stretnete cudzincov;

h) budúci týždeň zhoršuje počasie; a) klikli ste na hovor a nevyvolal; k) dnes je štvrtok;

l) Po štvrtok bude piatok; m) po piatok bude štvrtok?

V boxoch leží 2 červená, ja žltá a 4 zelené misy. Z radu náhodne si vezmite tri loptičky. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, náhodné, spoľahlivé:

A: Tri zelené gule budú natiahnuté;

Otázka: Tri červené gule budú natiahnuté;

C: Lopty dvoch farieb budú predĺžené;

D: Podlhovasté sa guličky rovnakej farby;

E: Medzi podlhovastými guľôčkami sú modré;

F: Medzi podlhovastými sú gule troch farieb;

G: Medzi podlhovastými sú dve žlté gule?

Skontrolujte sa. (Matematická diktácia)

1) Uveďte, ktoré z nasledujúcich udalostí nemožné, ktoré sú spoľahlivé, ktoré sú náhodné:

· Spartak futbalový zápas - Dynamo skončí v remíze (náhodné)

· Vyhráte zúčastnením v lotérii win-win ( spoľahlivé)

· Na polnoci snehu padá a po 24 hodinách bude slnko svietiť (nemožné)

· Zajtra bude kontrola v matematike. (náhodné)

· Zabráni vám americký prezident. (nemožné)

· Vyhýbate sa predsedom Ruska. (náhodné)

2) Kúpili ste televízor, na ktorom výrobca poskytuje dvojročnú záruku. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, čo - náhodné, ktoré sú spoľahlivé:

· Televízor sa neznesie po celý rok. (náhodné)

· TV sa nebude rozbiť dva roky . (náhodné)

· Už dva roky nemusíte platiť za opravu televízora. (spoľahlivé)

· Tretí rok sa rozbije. (náhodné)

3) Autobus, v ktorom je 15 cestujúcich jednotiek, aby sa 10 zastávok. Ktoré z nasledujúcich udalostí sú nemožné, čo - náhodné, ktoré sú spoľahlivé:

· Všetci cestujúci vychádzajú z autobusu v rôznych zastávkach. (nemožné)

· Všetci cestujúci vystúpia na jednu zastávku. (náhodné)

· Aspoň niekto vyjde. (náhodné)

{!LANG-7bb2649fb1ed8cd2b3d2247c4ff4aa2e!} (náhodné)

{!LANG-513c349ec1f5f9c4a2e21ff0aaa82937!} (nemožné)

{!LANG-f5074399b42f9f010c51dff61048eb41!} (nemožné)

{!LANG-cc53d703071e9749e925976fb87be72b!}

{!LANG-47881b32a37eaabf26626548fa4f9782!}

{!LANG-f47ce22b7f5399d6345f5ced3760df75!}

{!LANG-14c58429b7909269abcee07395edb817!}

{!LANG-98bcc8dc3e38f478e232d8010f9e6171!}

{!LANG-1fe313901b0dc0cc1a3649babe202135!}

Domáca úloha : {!LANG-3a3bd07cf949bda7c9e88e192a9da2a3!}

{!LANG-b49a39b19547f717099851fefaa0356e!}

{!LANG-c8bb4ba6fec75435ec1d18ac81bbf1ff!}

{!LANG-44bd259b1be3f445148e9471c03a61d6!}

{!LANG-03b100eefdd4a0d32d53057d5d56f7e0!}