वेक्टर: बुनियादी परिभाषाएँ और अवधारणाएँ। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए क्षेत्र। सदिशों पर क्रियाएँ सदिश की लंबाई समानता से निर्धारित होती है

सदिश a → की लंबाई a → द्वारा निरूपित की जाएगी। यह अंकन किसी संख्या के मापांक के समान है, इसलिए किसी सदिश की लंबाई को सदिश का मापांक भी कहा जाता है।

किसी समतल पर किसी सदिश की लंबाई उसके निर्देशांकों से ज्ञात करने के लिए, एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O x y पर विचार करना आवश्यक है। मान लीजिए कि निर्देशांक a x के साथ कुछ सदिश a → इसमें निर्दिष्ट हैं; अय. आइए हम निर्देशांक a x और a y के माध्यम से वेक्टर a → की लंबाई (मापांक) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्रस्तुत करें।

आइए मूल बिंदु से सदिश O A → = a → आलेखित करें। आइए हम निर्देशांक अक्षों पर बिंदु A के संगत प्रक्षेपणों को A x और A y के रूप में परिभाषित करें। अब विकर्ण O A वाले एक आयत O A x A A y पर विचार करें।

पाइथागोरस प्रमेय से समानता O A 2 = O A x 2 + O A y 2 का अनुसरण करती है, जहाँ से O A = O A x 2 + O A y 2 है। एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में वेक्टर निर्देशांक की पहले से ज्ञात परिभाषा से, हम पाते हैं कि O A x 2 = a x 2 और O A y 2 = a y 2, और निर्माण के अनुसार, O A की लंबाई वेक्टर O A की लंबाई के बराबर है → , जिसका अर्थ है O A → = O A x 2 + O A y 2.

इससे यह पता चलता है वेक्टर की लंबाई ज्ञात करने का सूत्रए → = ए एक्स ; a y का संगत रूप है: a → = a x 2 + a y 2।

यदि सदिश a → निर्देशांक सदिश a → = a x i → + a y j → में विस्तार के रूप में दिया गया है, तो इसकी लंबाई की गणना उसी सूत्र a → = a x 2 + a y 2 का उपयोग करके की जा सकती है, इस स्थिति में गुणांक a x और a y किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में वेक्टर a → के निर्देशांक के रूप में हैं।

उदाहरण 1

वेक्टर की लंबाई की गणना करें a → = 7 ; ई, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्दिष्ट।

समाधान

किसी सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम निर्देशांक a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e से सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे।

उत्तर: ए → = 49 + ई.

सदिश की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र a → = a x ; ए वाई ; अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सीज़ में इसके निर्देशांक से एज़, एक विमान पर मामले के सूत्र के समान ही प्राप्त होता है (नीचे चित्र देखें)

इस स्थिति में, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (चूंकि OA एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है), इसलिए O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2। वेक्टर निर्देशांक की परिभाषा से हम निम्नलिखित समानताएँ O A x = a x लिख सकते हैं; हे ए वाई = ए वाई ; हे ए जेड = ए जेड ; , और लंबाई OA उस वेक्टर की लंबाई के बराबर है जिसे हम ढूंढ रहे हैं, इसलिए, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सदिश की लंबाई a → = a x ; ए वाई; a z, a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 के बराबर है।

उदाहरण 2

वेक्टर की लंबाई की गणना करें a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , जहां i → , j → , k → आयताकार समन्वय प्रणाली के इकाई वेक्टर हैं।

समाधान

वेक्टर अपघटन a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → दिया गया है, इसके निर्देशांक a → = 4, - 3, 5 हैं। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके हमें a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 प्राप्त होता है।

उत्तर: ए → = 5 2 .

किसी वेक्टर की लंबाई उसके प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से

उपरोक्त सूत्र निकाले गए हैं जो आपको एक वेक्टर की लंबाई उसके निर्देशांक से ज्ञात करने की अनुमति देते हैं। हमने समतल और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में मामलों पर विचार किया। आइए किसी वेक्टर के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक से उसके निर्देशांक खोजने के लिए उनका उपयोग करें।

तो, दिए गए निर्देशांक A (a x ; a y) और B (b x ; b y) वाले बिंदु दिए गए हैं, इसलिए वेक्टर A B → के निर्देशांक (b x - a x ; b y - a y) हैं, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है: A B → = (बी एक्स - ए एक्स) 2 + (बी वाई - ए वाई) 2

और यदि दिए गए निर्देशांक A (a x ; a y ; a z) और B (b x ; b y ; b z) वाले बिंदु त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए हैं, तो वेक्टर A B → की लंबाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

ए बी → = (बी एक्स - ए एक्स) 2 + (बी वाई - ए वाई) 2 + (बी जेड - ए जेड) 2

उदाहरण 3

यदि आयताकार समन्वय प्रणाली A 1, 3, B - 3, 1 में वेक्टर A B → की लंबाई ज्ञात करें।

समाधान

समतल पर प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक से एक वेक्टर की लंबाई ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग करके, हम A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) प्राप्त करते हैं ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3।

दूसरे समाधान में इन सूत्रों को बारी-बारी से लागू करना शामिल है: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; ए बी → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3। -

उत्तर: ए बी → = 20 - 2 3 .

उदाहरण 4

निर्धारित करें कि वेक्टर A B → की लंबाई किन मानों पर 30 के बराबर है यदि A (0, 1, 2); बी (5 , 2 , λ 2) .

समाधान

सबसे पहले, आइए सूत्र का उपयोग करके वेक्टर A B → की लंबाई लिखें: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

फिर हम परिणामी अभिव्यक्ति को 30 के बराबर करते हैं, यहां से हम आवश्यक λ पाते हैं:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 और λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

उत्तर: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके एक वेक्टर की लंबाई ज्ञात करना

अफसोस, समस्याओं में वेक्टर के निर्देशांक हमेशा ज्ञात नहीं होते हैं, इसलिए हम वेक्टर की लंबाई ज्ञात करने के अन्य तरीकों पर विचार करेंगे।

मान लीजिए कि दो सदिश A B → , A C → और उनके बीच का कोण (या कोण की कोज्या) की लंबाई दी गई है, और आपको सदिश B C → या C B → की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस मामले में, आपको त्रिभुज △ A B C में कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए और भुजा B C की लंबाई की गणना करनी चाहिए, जो वेक्टर की वांछित लंबाई के बराबर है।

आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इस मामले पर विचार करें।

उदाहरण 5

सदिश A B → और A C → की लंबाई क्रमशः 3 और 7 है, और उनके बीच का कोण π 3 है। वेक्टर B C → की लंबाई की गणना करें।

समाधान

इस मामले में वेक्टर B C → की लंबाई त्रिभुज △ A B C की भुजा B C की लंबाई के बराबर है। त्रिभुज की भुजाओं A B और A C की लंबाई स्थिति से ज्ञात होती है (वे संगत सदिशों की लंबाई के बराबर होती हैं), उनके बीच का कोण भी ज्ञात होता है, इसलिए हम कोसाइन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 इस प्रकार, B C → = 37।

उत्तर: बी सी → = 37 .

तो, निर्देशांक से एक वेक्टर की लंबाई ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र हैं a → = a x 2 + a y 2 या a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, वेक्टर के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक से A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 या A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, कुछ मामलों में कोसाइन प्रमेय का उपयोग किया जाना चाहिए .

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सबसे पहले, हमें वेक्टर की अवधारणा को समझने की आवश्यकता है। एक ज्यामितीय वेक्टर की परिभाषा पेश करने के लिए, आइए याद रखें कि एक खंड क्या है। आइए निम्नलिखित परिभाषा का परिचय दें।

परिभाषा 1

खंड एक रेखा का एक भाग है जिसमें बिंदुओं के रूप में दो सीमाएँ होती हैं।

एक खंड में 2 दिशाएँ हो सकती हैं। दिशा को दर्शाने के लिए, हम खंड की एक सीमा को उसकी शुरुआत कहेंगे, और दूसरी सीमा को उसका अंत कहेंगे। खंड के आरंभ से अंत तक दिशा का संकेत दिया गया है।

परिभाषा 2

एक वेक्टर या निर्देशित खंड एक ऐसा खंड होगा जिसके लिए यह ज्ञात हो कि खंड की कौन सी सीमा को शुरुआत माना जाता है और कौन सी इसका अंत है।

पदनाम: दो अक्षरों में: $\overline(AB)$ - (जहां $A$ इसकी शुरुआत है, और $B$ इसका अंत है)।

एक छोटे अक्षर में: $\overline(a)$ (चित्र 1)।

आइए अब हम सीधे सदिश लंबाई की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 3

वेक्टर $\overline(a)$ की लंबाई खंड $a$ की लंबाई होगी।

संकेतन: $|\overline(a)|$

उदाहरण के लिए, वेक्टर लंबाई की अवधारणा दो वैक्टरों की समानता जैसी अवधारणा से जुड़ी है।

परिभाषा 4

हम दो सदिशों को समान कहेंगे यदि वे दो शर्तों को पूरा करते हैं: 1. वे सह-दिशात्मक हैं; 1. उनकी लंबाई बराबर है (चित्र 2)।

वैक्टर को परिभाषित करने के लिए, एक समन्वय प्रणाली दर्ज करें और दर्ज प्रणाली में वेक्टर के लिए निर्देशांक निर्धारित करें। जैसा कि हम जानते हैं, किसी भी वेक्टर को $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ के रूप में विघटित किया जा सकता है, जहां $m$ और $n$ वास्तविक संख्याएं हैं, और $\overline (i )$ और $\overline(j)$ क्रमशः $Ox$ और $Oy$ अक्ष पर इकाई वेक्टर हैं।

परिभाषा 5

हम वेक्टर के विस्तार गुणांक को $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ को प्रस्तुत समन्वय प्रणाली में इस वेक्टर के निर्देशांक कहेंगे। गणितीय रूप से:

$\overline(c)=(m,n)$

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

किसी मनमाना वेक्टर के निर्देशांक दिए जाने पर उसकी लंबाई की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

उदाहरण 1

दिया गया: वेक्टर $\overline(α)$ निर्देशांक $(x,y)$ के साथ। खोजें: इस वेक्टर की लंबाई.

आइए हम समतल पर एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $xOy$ का परिचय दें। आइए हम प्रस्तुत समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से $\overline(OA)=\overline(a)$ को अलग रखें। आइए हम क्रमशः $Ox$ और $Oy$ अक्षों पर निर्मित वेक्टर के प्रक्षेपण $OA_1$ और $OA_2$ का निर्माण करें (चित्र 3)।

हमारे द्वारा बनाया गया वेक्टर $\overline(OA)$ बिंदु $A$ के लिए त्रिज्या वेक्टर होगा, इसलिए, इसमें निर्देशांक $(x,y)$ होंगे, जिसका अर्थ है

$=x$, $[OA_2]=y$

अब हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करके आवश्यक लंबाई आसानी से पा सकते हैं, हमें मिलता है

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

उत्तर: $\sqrt(x^2+y^2)$.

निष्कर्ष:किसी सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए जिसके निर्देशांक दिए गए हैं, इन निर्देशांकों के योग के वर्ग का मूल ज्ञात करना आवश्यक है।

नमूना कार्य

उदाहरण 2

बिंदु $X$ और $Y$ के बीच की दूरी ज्ञात करें, जिनके निम्नलिखित निर्देशांक हैं: क्रमशः $(-1.5)$ और $(7.3)$।

किन्हीं दो बिंदुओं को वेक्टर की अवधारणा से आसानी से जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर $\overline(XY)$ पर विचार करें। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, ऐसे वेक्टर के निर्देशांक प्रारंभिक बिंदु ($X$) के संबंधित निर्देशांक को अंतिम बिंदु ($Y$) के निर्देशांक से घटाकर पाया जा सकता है। हमें वह मिल गया

आख़िरकार, मुझे यह विशाल और लंबे समय से प्रतीक्षित विषय मिल गया। विश्लेषणात्मक ज्यामिति. सबसे पहले, उच्च गणित के इस खंड के बारे में थोड़ा... निश्चित रूप से अब आपको अनगिनत प्रमेयों, उनके प्रमाणों, रेखाचित्रों आदि के साथ स्कूल का ज्यामिति पाठ्यक्रम याद होगा। क्या छुपाया जाए, छात्रों के एक बड़े हिस्से के लिए यह एक अप्रिय और अक्सर अस्पष्ट विषय है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति, विचित्र रूप से पर्याप्त, अधिक दिलचस्प और सुलभ लग सकती है। विशेषण "विश्लेषणात्मक" का क्या अर्थ है? दो घिसे-पिटे गणितीय वाक्यांश तुरंत दिमाग में आते हैं: "ग्राफ़िकल समाधान विधि" और "विश्लेषणात्मक समाधान विधि।" ग्राफ़िकल विधिबेशक, ग्राफ़ और रेखाचित्रों के निर्माण से जुड़ा है। विश्लेषणात्मकवही तरीकासमस्याओं का समाधान शामिल है मुख्य रूप सेबीजीय संक्रियाओं के माध्यम से. इस संबंध में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम सरल और पारदर्शी है; अक्सर यह आवश्यक सूत्रों को सावधानीपूर्वक लागू करने के लिए पर्याप्त है - और उत्तर तैयार है! नहीं, निश्चित रूप से, हम चित्रों के बिना ऐसा करने में सक्षम नहीं होंगे, और इसके अलावा, सामग्री की बेहतर समझ के लिए, मैं उन्हें आवश्यकता से परे उद्धृत करने का प्रयास करूंगा।

ज्यामिति पर पाठों का नया खुला पाठ्यक्रम सैद्धांतिक रूप से पूर्ण होने का दिखावा नहीं करता है; यह व्यावहारिक समस्याओं को हल करने पर केंद्रित है। मैं अपने व्याख्यानों में वही शामिल करूँगा जो, मेरे दृष्टिकोण से, व्यावहारिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है। यदि आपको किसी उपधारा पर अधिक संपूर्ण सहायता की आवश्यकता है, तो मैं निम्नलिखित काफी सुलभ साहित्य की अनुशंसा करता हूं:

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यह माना जाता है कि पाठक बुनियादी ज्यामितीय अवधारणाओं और आकृतियों से परिचित है: बिंदु, रेखा, समतल, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज, घन, आदि। कुछ प्रमेयों को याद रखने की सलाह दी जाती है, कम से कम पाइथागोरस प्रमेय, पुनरावर्तकों को नमस्कार)

और अब हम क्रमिक रूप से विचार करेंगे: एक वेक्टर की अवधारणा, वैक्टर के साथ क्रियाएं, वेक्टर निर्देशांक। मैं आगे पढ़ने की सलाह देता हूं सबसे महत्वपूर्ण लेख वैक्टर का डॉट उत्पाद, और भी वेक्टर और वैक्टर का मिश्रित उत्पाद. एक स्थानीय कार्य - इस संबंध में एक खंड का विभाजन - भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा। उपरोक्त जानकारी के आधार पर आप इसमें महारत हासिल कर सकते हैं एक समतल में एक रेखा का समीकरणसाथ समाधान के सरलतम उदाहरण, जो अनुमति देगा ज्यामिति की समस्याओं को हल करना सीखें. निम्नलिखित लेख भी उपयोगी हैं: अंतरिक्ष में एक विमान का समीकरण, अंतरिक्ष में एक रेखा के समीकरण, एक सीधी रेखा और एक समतल पर बुनियादी समस्याएं, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य अनुभाग। स्वाभाविक रूप से, रास्ते में मानक कार्यों पर विचार किया जाएगा।

वेक्टर अवधारणा. मुक्त वेक्टर

सबसे पहले, आइए वेक्टर की स्कूल परिभाषा को दोहराएं। वेक्टरबुलाया निर्देशितएक खंड जिसके लिए इसकी शुरुआत और अंत दर्शाया गया है:

इस मामले में, खंड की शुरुआत बिंदु है, खंड का अंत बिंदु है। वेक्टर को स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है। दिशायह आवश्यक है, यदि आप तीर को खंड के दूसरे छोर पर ले जाते हैं, तो आपको एक वेक्टर मिलता है, और यह पहले से ही है पूरी तरह से अलग वेक्टर. एक वेक्टर की अवधारणा को भौतिक शरीर की गति के साथ पहचानना सुविधाजनक है: आपको सहमत होना चाहिए, किसी संस्थान के दरवाजे में प्रवेश करना या किसी संस्थान के दरवाजे से बाहर निकलना पूरी तरह से अलग चीजें हैं।

किसी समतल या स्थान के अलग-अलग बिंदुओं को तथाकथित मानना ​​सुविधाजनक है शून्य वेक्टर. ऐसे वेक्टर के लिए, अंत और शुरुआत मेल खाते हैं।

!!! टिप्पणी: यहां और आगे, आप मान सकते हैं कि वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं या आप मान सकते हैं कि वे अंतरिक्ष में स्थित हैं - प्रस्तुत सामग्री का सार विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए मान्य है।

पदनाम:कई लोगों ने तुरंत बिना तीर वाली छड़ी को देखा और कहा, शीर्ष पर भी एक तीर है! सच है, आप इसे एक तीर से लिख सकते हैं:, लेकिन यह भी संभव है वह प्रविष्टि जिसका उपयोग मैं भविष्य में करूंगा. क्यों? जाहिर है, यह आदत व्यावहारिक कारणों से विकसित हुई; स्कूल और विश्वविद्यालय में मेरे निशानेबाज बहुत अलग आकार के और झबरा निकले। शैक्षिक साहित्य में, कभी-कभी वे क्यूनिफॉर्म लेखन से बिल्कुल भी परेशान नहीं होते हैं, लेकिन अक्षरों को मोटे अक्षरों में उजागर करते हैं, जिससे यह पता चलता है कि यह एक वेक्टर है।

वह शैलीविज्ञान था, और अब वेक्टर लिखने के तरीकों के बारे में:

1) वेक्टर को दो बड़े लैटिन अक्षरों में लिखा जा सकता है:
और इसी तरह। इस मामले में, पहला अक्षर अनिवार्य रूप सेवेक्टर के आरंभिक बिंदु को दर्शाता है, और दूसरा अक्षर वेक्टर के अंतिम बिंदु को दर्शाता है।

2) वेक्टर को छोटे लैटिन अक्षरों में भी लिखा जाता है:
विशेष रूप से, हमारे वेक्टर को संक्षिप्तता के लिए एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा पुनः डिज़ाइन किया जा सकता है।

लंबाईया मापांकएक गैर-शून्य वेक्टर को खंड की लंबाई कहा जाता है। शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य है. तार्किक.

वेक्टर की लंबाई मापांक चिह्न द्वारा इंगित की जाती है: ,

हम थोड़ी देर बाद सीखेंगे कि वेक्टर की लंबाई कैसे पता करें (या हम इसे दोहराएंगे, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन है)।

यह वैक्टर के बारे में बुनियादी जानकारी थी, जो सभी स्कूली बच्चों से परिचित थी। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, तथाकथित मुक्त वेक्टर.

अगर सरल शब्द में कहा जाए तो - वेक्टर को किसी भी बिंदु से प्लॉट किया जा सकता है:

हम ऐसे सदिशों को समान कहने के आदी हैं (समान सदिशों की परिभाषा नीचे दी जाएगी), लेकिन विशुद्ध गणितीय दृष्टिकोण से, वे समान सदिश हैं या मुक्त वेक्टर. मुफ़्त क्यों? क्योंकि समस्याओं को हल करने के दौरान, आप इस या उस "स्कूल" वेक्टर को विमान या स्थान के किसी भी बिंदु पर "संलग्न" कर सकते हैं जिसकी आपको आवश्यकता है। यह बहुत बढ़िया सुविधा है! मनमानी लंबाई और दिशा के एक निर्देशित खंड की कल्पना करें - इसे अनंत बार और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर "क्लोन" किया जा सकता है, वास्तव में, यह हर जगह मौजूद है। ऐसा एक छात्र कह रहा है: प्रत्येक व्याख्याता वेक्टर के बारे में लानत देता है। आखिरकार, यह सिर्फ एक मजाकिया कविता नहीं है, सब कुछ लगभग सही है - वहां एक निर्देशित खंड भी जोड़ा जा सकता है। लेकिन खुशी मनाने में जल्दबाजी न करें, अक्सर छात्र स्वयं पीड़ित होते हैं =)

इसलिए, मुक्त वेक्टर- यह गुच्छा समान निर्देशित खंड. वेक्टर की स्कूल परिभाषा, पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई है: "एक निर्देशित खंड को वेक्टर कहा जाता है..." का तात्पर्य है विशिष्टकिसी दिए गए सेट से लिया गया एक निर्देशित खंड, जो समतल या स्थान में एक विशिष्ट बिंदु से बंधा होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भौतिकी के दृष्टिकोण से, एक मुक्त वेक्टर की अवधारणा आम तौर पर गलत है, और आवेदन का बिंदु मायने रखता है। वास्तव में, नाक या माथे पर एक ही बल का सीधा प्रहार, जो मेरे मूर्खतापूर्ण उदाहरण को विकसित करने के लिए पर्याप्त है, के अलग-अलग परिणाम होते हैं। तथापि, मुक्तविश्मत के पाठ्यक्रम में वेक्टर भी पाए जाते हैं (वहां न जाएं :))।

वैक्टर के साथ क्रियाएँ। सदिशों की संरेखता

एक स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में वैक्टर के साथ कई क्रियाएं और नियम शामिल होते हैं: त्रिभुज नियम के अनुसार जोड़, समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार जोड़, सदिश अंतर नियम, किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना, सदिशों का अदिश गुणनफल, आदि।आरंभिक बिंदु के रूप में, आइए दो नियमों को दोहराएँ जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक हैं।

त्रिभुज नियम का उपयोग करके सदिशों को जोड़ने का नियम

दो मनमाने गैर-शून्य वैक्टर पर विचार करें और:

आपको इन सदिशों का योग ज्ञात करना होगा। इस तथ्य के कारण कि सभी सदिशों को स्वतंत्र माना जाता है, हम सदिश को अलग रख देंगे अंतवेक्टर:

सदिशों का योग ही सदिश है। नियम की बेहतर समझ के लिए, इसमें एक भौतिक अर्थ डालने की सलाह दी जाती है: किसी वस्तु को वेक्टर के साथ यात्रा करने दें, और फिर वेक्टर के साथ। फिर सदिशों का योग परिणामी पथ का सदिश है जिसका प्रारंभ प्रस्थान बिंदु पर और अंत आगमन बिंदु पर होता है। किसी भी संख्या में सदिशों के योग के लिए एक समान नियम बनाया गया है। जैसा कि वे कहते हैं, शरीर ज़िगज़ैग के साथ, या शायद ऑटोपायलट पर - योग के परिणामी वेक्टर के साथ बहुत झुक कर अपना रास्ता तय कर सकता है।

वैसे, यदि वेक्टर को स्थगित कर दिया गया है शुरू कर दियावेक्टर, तो हमें समतुल्य प्राप्त होता है समांतर चतुर्भुज नियमवैक्टर का जोड़.

सबसे पहले, सदिशों की संरेखता के बारे में। दो वेक्टर कहलाते हैं समरेख, यदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। मोटे तौर पर, हम समानांतर वैक्टर के बारे में बात कर रहे हैं। परन्तु इनके सम्बन्ध में सदैव "कोलीनियर" विशेषण का प्रयोग किया जाता है।

दो संरेख सदिशों की कल्पना कीजिए। यदि इन सदिशों के तीर एक ही दिशा में निर्देशित हों तो ऐसे सदिश कहलाते हैं सह-निर्देशन किया. यदि तीर अलग-अलग दिशाओं में इंगित करते हैं, तो वेक्टर होंगे विपरीत दिशाओं मे.

पदनाम:वैक्टर की संरेखता सामान्य समानता प्रतीक के साथ लिखी जाती है:, जबकि विवरण संभव है: (वेक्टर सह-निर्देशित होते हैं) या (वेक्टर विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं)।

कामकिसी संख्या पर एक गैर-शून्य वेक्टर एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई बराबर होती है, और वेक्टर सह-निर्देशित होते हैं और विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं।

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के नियम को चित्र की सहायता से समझना आसान है:

आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें:

1 दिशा। यदि गुणक ऋणात्मक है, तो सदिश दिशा बदल देता हैइसके विपरीत.

2) लंबाई. यदि गुणक या के भीतर समाहित है, तो वेक्टर की लंबाई कम हो जाती है. तो, वेक्टर की लंबाई वेक्टर की लंबाई की आधी है। यदि गुणक का मापांक एक से अधिक है, तो वेक्टर की लंबाई बढ़ती हैसमय के भीतर।

3)कृपया ध्यान दें सभी सदिश संरेख हैं, जबकि एक वेक्टर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए,। विपरीत भी सही है: यदि एक वेक्टर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, तो ऐसे वेक्टर आवश्यक रूप से संरेख होते हैं। इस प्रकार: यदि हम किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें संरेख प्राप्त होता है(मूल के सापेक्ष) वेक्टर.

4) सदिश सह-निर्देशित होते हैं। वेक्टर और सह-निर्देशित भी हैं। पहले समूह का कोई भी वेक्टर दूसरे समूह के किसी भी वेक्टर के संबंध में विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

कौन से सदिश समान हैं?

दो वेक्टर समान हैं यदि वे एक ही दिशा में हैं और उनकी लंबाई समान है. ध्यान दें कि सह-दिशात्मकता से तात्पर्य सदिशों की संरेखता से है। यह परिभाषा ग़लत (अनावश्यक) होगी यदि हम कहें: "दो वेक्टर समान हैं यदि वे संरेख, सह-दिशात्मक हैं, और उनकी लंबाई समान है।"

एक मुक्त वेक्टर की अवधारणा के दृष्टिकोण से, समान वेक्टर वही वेक्टर होते हैं, जैसा कि पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई है।

वेक्टर समतल और अंतरिक्ष में समन्वय करता है

पहला बिंदु समतल पर सदिशों पर विचार करना है। आइए हम एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली का चित्रण करें और इसे निर्देशांक की उत्पत्ति से आलेखित करें अकेलावेक्टर और:

वेक्टर और ओर्थोगोनल. ऑर्थोगोनल = लंबवत। मेरा सुझाव है कि आप धीरे-धीरे शब्दों के अभ्यस्त हो जाएं: समानता और लंबवतता के बजाय, हम क्रमशः शब्दों का उपयोग करते हैं समरैखिकताऔर ओर्थोगोनालिटी.

पद का नाम:सदिशों की रूढ़िबद्धता को सामान्य लंबवतता प्रतीक के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए:।

विचाराधीन सदिशों को कहा जाता है सदिशों का समन्वय करेंया ओर्ट्स. ये वैक्टर बनते हैं आधारसतह पर. मुझे लगता है कि आधार क्या है, यह कई लोगों के लिए सहज रूप से स्पष्ट है; अधिक विस्तृत जानकारी लेख में पाई जा सकती है सदिशों की रैखिक (गैर) निर्भरता। सदिशों का आधारसरल शब्दों में, निर्देशांक का आधार और उत्पत्ति संपूर्ण प्रणाली को परिभाषित करती है - यह एक प्रकार की नींव है जिस पर एक पूर्ण और समृद्ध ज्यामितीय जीवन उबलता है।

कभी-कभी निर्मित आधार कहा जाता है ऑर्थोनॉर्मलसमतल का आधार: "ऑर्थो" - क्योंकि निर्देशांक सदिश ऑर्थोगोनल हैं, विशेषण "सामान्यीकृत" का अर्थ इकाई है, अर्थात। आधार सदिशों की लंबाई एक के बराबर होती है।

पद का नाम:आधार आमतौर पर कोष्ठकों में लिखा होता है, जिसके अंदर सख्त क्रम मेंआधार वैक्टर सूचीबद्ध हैं, उदाहरण के लिए:। सदिशों का समन्वय करें यह वर्जित हैपुनर्व्यवस्थित करें

कोईसमतल सदिश एक ही रास्ताइसके रूप में बताया गया:
, कहाँ - नंबरजिन्हें कहा जाता है वेक्टर निर्देशांकइस आधार पर. और अभिव्यक्ति ही बुलाया वेक्टर अपघटनआधार से .

रात्रिभोज परोसा गया:

आइए वर्णमाला के पहले अक्षर से शुरू करें: . चित्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि किसी वेक्टर को आधार में विघटित करते समय, जिन पर अभी चर्चा की गई है उनका उपयोग किया जाता है:
1) किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने का नियम: तथा ;
2) त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का योग: .

अब समतल पर किसी अन्य बिंदु से वेक्टर को मानसिक रूप से आलेखित करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि उसका क्षय "लगातार उसका पीछा करेगा।" यहाँ यह है, वेक्टर की स्वतंत्रता - वेक्टर "सब कुछ अपने साथ ले जाता है।" निःसंदेह, यह गुण किसी भी वेक्टर के लिए सत्य है। यह हास्यास्पद है कि आधार (मुक्त) वैक्टर को मूल से प्लॉट करने की आवश्यकता नहीं है; एक को खींचा जा सकता है, उदाहरण के लिए, नीचे बाईं ओर, और दूसरा ऊपर दाईं ओर, और कुछ भी नहीं बदलेगा! सच है, आपको ऐसा करने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि शिक्षक भी मौलिकता दिखाएगा और आपको अप्रत्याशित स्थान पर "क्रेडिट" देगा।

वेक्टर किसी वेक्टर को किसी संख्या से गुणा करने के नियम को बिल्कुल स्पष्ट करते हैं, वेक्टर आधार वेक्टर के साथ सह-दिशाबद्ध होता है, वेक्टर आधार वेक्टर के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। इन सदिशों के लिए, एक निर्देशांक शून्य के बराबर है; आप इसे सावधानीपूर्वक इस प्रकार लिख सकते हैं:


और वैसे, आधार वैक्टर इस प्रकार हैं: (वास्तव में, वे स्वयं के माध्यम से व्यक्त होते हैं)।

और अंत में: , । वैसे, वेक्टर घटाव क्या है, और मैंने घटाव नियम के बारे में बात क्यों नहीं की? रैखिक बीजगणित में कहीं, मुझे याद नहीं है कि मैंने कहाँ देखा है कि घटाव जोड़ का एक विशेष मामला है। इस प्रकार, वैक्टर "डी" और "ई" के विस्तार को आसानी से योग के रूप में लिखा जाता है: . यह देखने के लिए ड्राइंग का अनुसरण करें कि त्रिभुज नियम के अनुसार सदिशों का अच्छा पुराना जोड़ इन स्थितियों में कितनी स्पष्टता से काम करता है।

फॉर्म के विघटन पर विचार किया गया कभी-कभी इसे वेक्टर अपघटन भी कहा जाता है ऑर्ट सिस्टम में(अर्थात् इकाई सदिशों की एक प्रणाली में)। लेकिन वेक्टर लिखने का यह एकमात्र तरीका नहीं है; निम्नलिखित विकल्प आम है:

या समान चिह्न के साथ:

आधार वैक्टर स्वयं इस प्रकार लिखे गए हैं: और

अर्थात्, वेक्टर के निर्देशांक कोष्ठक में दर्शाए गए हैं। व्यावहारिक समस्याओं में, सभी तीन अंकन विकल्पों का उपयोग किया जाता है।

मुझे संदेह था कि बोलूं या नहीं, लेकिन फिर भी मैं कहूंगा: वेक्टर निर्देशांक को पुनर्व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है. सख्ती से पहले स्थान परहम उस निर्देशांक को लिखते हैं जो इकाई वेक्टर से मेल खाता है, सख्ती से दूसरे स्थान परहम उस निर्देशांक को लिखते हैं जो यूनिट वेक्टर से मेल खाता है। दरअसल, और दो अलग-अलग वेक्टर हैं।

हमने विमान पर निर्देशांक का पता लगाया। आइए अब त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टरों को देखें, यहां लगभग सब कुछ समान है! यह बस एक और समन्वय जोड़ देगा। त्रि-आयामी चित्र बनाना कठिन है, इसलिए मैं खुद को एक वेक्टर तक सीमित रखूंगा, जिसे सरलता के लिए मैं मूल से अलग रखूंगा:

कोई 3डी अंतरिक्ष वेक्टर एक ही रास्ताऑर्थोनॉर्मल आधार पर विस्तार करें:
, इस आधार पर सदिश (संख्या) के निर्देशांक कहां हैं।

चित्र से उदाहरण: . आइए देखें कि वेक्टर नियम यहां कैसे काम करते हैं। सबसे पहले, वेक्टर को एक संख्या से गुणा करें: (लाल तीर), (हरा तीर) और (रास्पबेरी तीर)। दूसरे, यहां कई, इस मामले में तीन, वैक्टर जोड़ने का एक उदाहरण दिया गया है:। योग वेक्टर प्रस्थान के प्रारंभिक बिंदु (वेक्टर की शुरुआत) से शुरू होता है और आगमन के अंतिम बिंदु (वेक्टर के अंत) पर समाप्त होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी वेक्टर, स्वाभाविक रूप से, स्वतंत्र हैं; वेक्टर को किसी अन्य बिंदु से मानसिक रूप से अलग करने का प्रयास करें, और आप समझेंगे कि इसका अपघटन "इसके साथ रहेगा।"

लेखन के अलावा, फ्लैट केस के समान कोष्ठक वाले संस्करण व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं: या तो।

यदि विस्तार में एक (या दो) निर्देशांक सदिश गायब हैं, तो उनके स्थान पर शून्य लगा दिया जाता है। उदाहरण:
वेक्टर (सावधानीपूर्वक ) - चलो लिखते है ;
वेक्टर (सावधानीपूर्वक ) - चलो लिखते है ;
वेक्टर (सावधानीपूर्वक ) - चलो लिखते है ।

आधार वेक्टर इस प्रकार लिखे गए हैं:

यह, शायद, विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक न्यूनतम सैद्धांतिक ज्ञान है। बहुत सारे नियम और परिभाषाएँ हो सकती हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि टीपोट्स इस जानकारी को दोबारा पढ़ें और समझें। और किसी भी पाठक के लिए सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए समय-समय पर मूल पाठ का संदर्भ लेना उपयोगी होगा। संरेखता, ऑर्थोगोनैलिटी, ऑर्थोनॉर्मल आधार, वेक्टर अपघटन - ये और अन्य अवधारणाएं अक्सर भविष्य में उपयोग की जाएंगी। मैं ध्यान देता हूं कि साइट पर सामग्री ज्यामिति पर सैद्धांतिक परीक्षण या बोलचाल को पास करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि मैं सभी प्रमेयों को सावधानीपूर्वक एन्क्रिप्ट करता हूं (और बिना सबूत के) - प्रस्तुति की वैज्ञानिक शैली की हानि के लिए, लेकिन आपकी समझ के लिए एक प्लस है विषय। विस्तृत सैद्धांतिक जानकारी प्राप्त करने के लिए कृपया प्रोफेसर अतानास्यान को प्रणाम करें।

और हम व्यावहारिक भाग की ओर बढ़ते हैं:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएँ।
निर्देशांक में सदिशों के साथ क्रियाएँ

यह सीखना अत्यधिक उचित है कि जिन कार्यों पर पूरी तरह से स्वचालित रूप से विचार किया जाएगा, उन्हें कैसे हल किया जाए, और सूत्र याद, आपको इसे जानबूझकर याद रखने की ज़रूरत नहीं है, वे इसे स्वयं याद रखेंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्रारंभिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय खर्च करना कष्टप्रद होगा . आपकी शर्ट पर ऊपर के बटन बांधने की कोई जरूरत नहीं है, कई चीजें आपको स्कूल से ही पता होती हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम का पालन करेगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। इस कारण से कि सभी सूत्र... आप स्वयं देख लेंगे।

दो बिंदुओं से एक वेक्टर कैसे खोजें?

यदि समतल के दो बिंदु दिए गए हैं, तो वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं, तो वेक्टर के निम्नलिखित निर्देशांक हैं:

वह है, वेक्टर के अंत के निर्देशांक सेआपको संबंधित निर्देशांक घटाने होंगे वेक्टर की शुरुआत.

व्यायाम:समान बिंदुओं के लिए, वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए सूत्र लिखें। पाठ के अंत में सूत्र.

उदाहरण 1

विमान के दो बिंदु दिए गए हैं और। वेक्टर निर्देशांक खोजें

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

वैकल्पिक रूप से, निम्नलिखित प्रविष्टि का उपयोग किया जा सकता है:

सौंदर्यशास्त्री यह तय करेंगे:

व्यक्तिगत रूप से, मैं रिकॉर्डिंग के पहले संस्करण का आदी हूँ।

उत्तर:

शर्त के अनुसार, एक चित्र बनाना आवश्यक नहीं था (जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के लिए विशिष्ट है), लेकिन डमी के लिए कुछ बिंदुओं को स्पष्ट करने के लिए, मैं आलसी नहीं होऊंगा:

आपको जरूर समझने की जरूरत है बिंदु निर्देशांक और वेक्टर निर्देशांक के बीच अंतर:

बिंदु निर्देशांक- ये एक आयताकार समन्वय प्रणाली में सामान्य निर्देशांक हैं। मुझे लगता है कि 5वीं-6वीं कक्षा से हर कोई जानता है कि समन्वय तल पर बिंदु कैसे अंकित किए जाते हैं। प्रत्येक बिंदु का विमान पर एक सख्त स्थान होता है, और उन्हें कहीं भी नहीं ले जाया जा सकता है।

वेक्टर के निर्देशांक- इस मामले में, यह आधार के अनुसार इसका विस्तार है। कोई भी वेक्टर मुफ़्त है, इसलिए यदि वांछित या आवश्यक हो, तो हम इसे आसानी से विमान के किसी अन्य बिंदु से दूर ले जा सकते हैं। यह दिलचस्प है कि वैक्टर के लिए आपको अक्ष या आयताकार समन्वय प्रणाली बनाने की ज़रूरत नहीं है; आपको केवल एक आधार की आवश्यकता है, इस मामले में विमान का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार।

बिंदुओं के निर्देशांक और सदिशों के निर्देशांक के रिकॉर्ड समान प्रतीत होते हैं: , और निर्देशांक का अर्थबिल्कुल अलग, और आपको इस अंतर के बारे में अच्छी तरह से पता होना चाहिए। बेशक, यह अंतर अंतरिक्ष पर भी लागू होता है।

देवियो और सज्जनो, आइए अपना हाथ भरें:

उदाहरण 2

a) अंक और दिए गए हैं. वैक्टर खोजें और।
बी) अंक दिए गए हैं और । वैक्टर खोजें और।
ग) अंक और दिए गए हैं। वैक्टर खोजें और।
घ) अंक दिए गए हैं। वेक्टर खोजें .

शायद इतना ही काफी है. ये आपके लिए स्वयं निर्णय लेने के उदाहरण हैं, इन्हें नज़रअंदाज़ न करने का प्रयास करें, इससे लाभ होगा ;-)। चित्र बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है. पाठ के अंत में समाधान और उत्तर।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति समस्याओं को हल करते समय क्या महत्वपूर्ण है?"दो और दो बराबर शून्य" वाली उत्कृष्ट गलती से बचने के लिए अत्यधिक सावधान रहना महत्वपूर्ण है। अगर मुझसे कहीं कोई गलती हुई हो तो मैं तुरंत माफी मांगता हूं =)

किसी खंड की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

लंबाई, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, मापांक चिह्न द्वारा इंगित की जाती है।

यदि विमान के दो बिंदु दिए गए हैं और, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

यदि अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं, तो खंड की लंबाई की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

टिप्पणी: यदि संबंधित निर्देशांकों की अदला-बदली कर दी जाए तो सूत्र सही रहेंगे: तथा, लेकिन पहला विकल्प अधिक मानक है

उदाहरण 3

समाधान:संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

स्पष्टता के लिए, मैं एक चित्र बनाऊंगा

रेखा खंड - यह कोई वेक्टर नहीं है, और निःसंदेह, आप इसे कहीं भी नहीं ले जा सकते। इसके अलावा, यदि आप पैमाने पर आकर्षित करते हैं: 1 इकाई। = 1 सेमी (दो नोटबुक सेल), फिर परिणामी उत्तर को सीधे खंड की लंबाई मापकर एक नियमित रूलर से जांचा जा सकता है।

हां, समाधान संक्षिप्त है, लेकिन इसमें कुछ और महत्वपूर्ण बिंदु हैं जिन्हें मैं स्पष्ट करना चाहूंगा:

सबसे पहले, उत्तर में हम आयाम डालते हैं: "इकाइयाँ"। शर्त यह नहीं बताती कि यह क्या है, मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर या किलोमीटर। इसलिए, गणितीय रूप से सही समाधान सामान्य सूत्रीकरण होगा: "इकाइयाँ" - जिसे "इकाइयों" के रूप में संक्षिप्त किया गया है।

दूसरे, आइए हम स्कूली सामग्री को दोहराएँ, जो न केवल विचाराधीन कार्य के लिए उपयोगी है:

पर ध्यान दें महत्वपूर्ण तकनीक – गुणक को जड़ के नीचे से हटाना. गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमारे पास एक परिणाम होता है और अच्छी गणितीय शैली में मूल के नीचे से कारक को हटाना शामिल है (यदि संभव हो तो)। अधिक विस्तार से प्रक्रिया इस प्रकार दिखती है: . बेशक, उत्तर को वैसे ही छोड़ना कोई गलती नहीं होगी - लेकिन यह निश्चित रूप से एक कमी होगी और शिक्षक की ओर से विवाद करने का एक वजनदार तर्क होगा।

यहां अन्य सामान्य मामले हैं:

उदाहरण के लिए, अक्सर जड़ काफी बड़ी संख्या उत्पन्न करती है। ऐसे मामलों में क्या करें? कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम जांचते हैं कि क्या संख्या 4 से विभाज्य है:। हाँ, यह पूरी तरह से विभाजित था, इस प्रकार: . या शायद संख्या को फिर से 4 से विभाजित किया जा सकता है? . इस प्रकार: . संख्या का अंतिम अंक विषम है, इसलिए तीसरी बार 4 से विभाजित करने पर स्पष्ट रूप से काम नहीं होगा। आइए नौ से विभाजित करने का प्रयास करें:। नतीजतन:
तैयार।

निष्कर्ष:यदि मूल के नीचे हमें एक संख्या मिलती है जिसे संपूर्ण रूप से नहीं निकाला जा सकता है, तो हम मूल के नीचे से गुणनखंड को हटाने का प्रयास करते हैं - कैलकुलेटर का उपयोग करके हम जांचते हैं कि क्या संख्या विभाज्य है: 4, 9, 16, 25, 36, 49, आदि.

विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर जड़ों का सामना करना पड़ता है; शिक्षक की टिप्पणियों के आधार पर अपने समाधान को अंतिम रूप देने में निचले ग्रेड और अनावश्यक समस्याओं से बचने के लिए हमेशा जड़ के नीचे से कारकों को निकालने का प्रयास करें।

आइए जड़ों और अन्य घातों का वर्ग भी दोहराएँ:

सामान्य रूप में शक्तियों के साथ संचालन के नियम स्कूल बीजगणित की पाठ्यपुस्तक में पाए जा सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि दिए गए उदाहरणों से, सब कुछ या लगभग सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है।

अंतरिक्ष में एक खंड के साथ स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उदाहरण 4

अंक और दिए गए हैं. खंड की लंबाई ज्ञात कीजिए.

समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

वेक्टर की लंबाई कैसे ज्ञात करें?

यदि एक समतल सदिश दिया गया है, तो उसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि कोई स्पेस वेक्टर दिया गया है, तो उसकी लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है .

परिभाषा

अदिश मात्रा- एक मात्रा जिसे किसी संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्रफल, द्रव्यमान, तापमान आदि।

वेक्टरनिर्देशित खंड को $\overline(A B)$ कहा जाता है; बिंदु $A$ शुरुआत है, बिंदु $B$ वेक्टर का अंत है (चित्र 1)।

एक वेक्टर को या तो दो बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है - इसकी शुरुआत और अंत: $\overline(A B)$ या एक छोटे अक्षर से: $\overline(a)$।

परिभाषा

यदि किसी सदिश का आरंभ और अंत संपाती हो तो ऐसा सदिश कहलाता है शून्य. अक्सर, शून्य वेक्टर को $\overline(0)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

वैक्टर कहलाते हैं समरेख, यदि वे या तो एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों (चित्र 2)।

परिभाषा

दो संरेख सदिश $\overline(a)$ और $\overline(b)$ कहलाते हैं सह-निर्देशन किया, यदि उनकी दिशाएँ मेल खाती हैं: $\ओवरलाइन(ए) \अपरो \अपरो \ओवरलाइन(बी)$ (चित्र 3, ए)। दो संरेख सदिश $\overline(a)$ और $\overline(b)$ कहलाते हैं विपरीत दिशा में निर्देशित, यदि उनकी दिशाएँ विपरीत हैं: $\ओवरलाइन(ए) \अपरो \डाउनएरो \ओवरलाइन(बी)$ (चित्र 3, बी)।

परिभाषा

वैक्टर कहलाते हैं समतलीय, यदि वे एक ही तल के समानांतर हैं या एक ही तल में स्थित हैं (चित्र 4)।

दो सदिश सदैव समतलीय होते हैं।

परिभाषा

लंबाई (मॉड्यूल)वेक्टर $\overline(A B)$ इसकी शुरुआत और अंत के बीच की दूरी है: $|\overline(A B)|$

लिंक पर वेक्टर लंबाई के बारे में विस्तृत सिद्धांत।

शून्य वेक्टर की लंबाई शून्य है.

परिभाषा

वह सदिश जिसकी लंबाई एक के बराबर हो, कहलाता है इकाई वेक्टरया ऑर्टोम.

वैक्टर कहलाते हैं बराबर, यदि वे एक या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों; उनकी दिशाएँ मेल खाती हैं और उनकी लंबाई समान है।

लेख के विषय पर आगे बढ़ने से पहले, आइए बुनियादी अवधारणाओं को याद करें।

परिभाषा 1

वेक्टर- एक सीधी रेखा खंड जो एक संख्यात्मक मान और दिशा द्वारा विशेषता है। एक वेक्टर को शीर्ष पर एक तीर के साथ लोअरकेस लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। यदि विशिष्ट सीमा बिंदु हैं, तो वेक्टर पदनाम दो बड़े लैटिन अक्षरों जैसा दिखता है (वेक्टर की सीमाओं को चिह्नित करता है) और शीर्ष पर एक तीर भी होता है।

परिभाषा 2

शून्य सदिश- समतल पर कोई भी बिंदु, शीर्ष पर एक तीर के साथ शून्य के रूप में निर्दिष्ट।

परिभाषा 3

वेक्टर लंबाई- शून्य के बराबर या उससे अधिक का मान जो वेक्टर बनाने वाले खंड की लंबाई निर्धारित करता है।

परिभाषा 4

संरेख सदिश- एक रेखा पर या समानान्तर रेखा पर लेटना। वे सदिश जो इस शर्त को पूरा नहीं करते, असंरेखी कहलाते हैं।

परिभाषा 5

इनपुट: वेक्टर ए →और बी →. उन पर एक अतिरिक्त ऑपरेशन करने के लिए, एक मनमाने ढंग से अपरिभाषित बिंदु से एक वेक्टर को प्लॉट करना आवश्यक है ए बी →, वेक्टर के बराबर ए →; परिणामी बिंदु से अपरिभाषित - वेक्टर बी सी →, वेक्टर के बराबर बी →. अपरिभाषित और C बिंदुओं को जोड़ने पर हमें एक खंड (वेक्टर) मिलता है ए सी →, जो मूल डेटा का योग होगा। अन्यथा, वर्णित वेक्टर जोड़ योजना को कहा जाता है त्रिकोण नियम.

ज्यामितीय रूप से, वेक्टर जोड़ इस तरह दिखता है:

असंरेख सदिशों के लिए:

संरेख (सह-दिशात्मक या विपरीत) वैक्टर के लिए:

ऊपर वर्णित योजना को आधार के रूप में लेते हुए, हमें 2 से अधिक मात्रा में वैक्टर जोड़ने का ऑपरेशन करने का अवसर मिलता है: प्रत्येक बाद के वेक्टर को बारी-बारी से जोड़ना।

परिभाषा 6

इनपुट: वेक्टर ए → , बी → , सी →, डी → . समतल पर एक मनमाना बिंदु A से सदिश के बराबर एक खंड (वेक्टर) आलेखित करना आवश्यक है ए →; फिर परिणामी वेक्टर के अंत से वेक्टर के बराबर एक वेक्टर हटा दिया जाता है बी →; फिर, बाद के वैक्टर को उसी सिद्धांत का उपयोग करके तैयार किया जाता है। अंतिम स्थगित वेक्टर का अंतिम बिंदु बिंदु बी होगा, और परिणामी खंड (वेक्टर) ए बी →- सभी प्रारंभिक डेटा का योग। अनेक सदिशों को जोड़ने की वर्णित योजना को भी कहा जाता है बहुभुज नियम .

ज्यामितीय रूप से यह इस प्रकार दिखता है:

परिभाषा 7

के लिए कार्रवाई की एक अलग योजना वेक्टर घटावनहीं क्योंकि मूलतः एक सदिश अंतर ए →और बी →सदिशों का योग है ए →और - बी → .

परिभाषा 8

किसी वेक्टर को एक निश्चित संख्या k से गुणा करने की क्रिया करने के लिए, निम्नलिखित नियमों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:
- यदि k > 1, तो यह संख्या वेक्टर को k बार खींचे जाने का कारण बनेगी;
- यदि 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 हजार बार;
- यदि के< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- यदि k = 1, तो सदिश वही रहता है;
- यदि कारकों में से एक शून्य वेक्टर या शून्य के बराबर संख्या है, तो गुणन का परिणाम शून्य वेक्टर होगा।

आरंभिक डेटा:
1) वेक्टर ए →और संख्या k = 2;
2) वेक्टर बी →और संख्या k = - 1 3 .

ज्यामितीय रूप से, उपरोक्त नियमों के अनुसार गुणन का परिणाम इस तरह दिखेगा:

ऊपर वर्णित वैक्टरों पर परिचालन में गुण हैं, जिनमें से कुछ स्पष्ट हैं, जबकि अन्य को ज्यामितीय रूप से उचित ठहराया जा सकता है।

इनपुट: वेक्टर ए → , बी → , सी →और मनमानी वास्तविक संख्याएँ λ और μ।

क्रमविनिमेयता और सहबद्धता के गुण किसी भी क्रम में वैक्टर जोड़ना संभव बनाते हैं।

संचालन के सूचीबद्ध गुण आपको सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के समान वेक्टर-संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के आवश्यक परिवर्तनों को पूरा करने की अनुमति देते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से देखें.

उदाहरण 1

काम:व्यंजक को सरल कीजिए a → - 2 · (b → + 3 · a →)
समाधान
- दूसरे वितरण गुण का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- हम गुणन के साहचर्य गुण का उपयोग करते हैं, अभिव्यक्ति निम्नलिखित रूप लेगी: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = ए → - 2 · बी → - 6 ए →
- क्रमविनिमेयता के गुण का उपयोग करते हुए, हम शर्तों की अदला-बदली करते हैं: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- फिर पहली वितरण संपत्ति का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → एक संक्षिप्त संकेतन समाधान इस प्रकार दिखेगा: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
उत्तर:ए → - 2 · (बी → + 3 · ए →) = - 5 · ए → - 2 · बी →

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