यादृच्छिक चर x वितरण द्वारा दिया गया है। निरंतर यादृच्छिक चर, वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व

4) एक सतत यादृच्छिक चर X के एक अलग मान लेने की प्रायिकता 0 है।

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके निरंतर यादृच्छिक चर निर्दिष्ट करना एकमात्र तरीका नहीं है। आइए हम संभाव्यता वितरण घनत्व (वितरण घनत्व) की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा : संभाव्यता वितरण घनत्व एफ ( एक्स ) एक सतत यादृच्छिक चर का X इसके वितरण फलन का व्युत्पन्न है, अर्थात:

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को कभी-कभी अंतर वितरण फ़ंक्शन या अंतर वितरण कानून कहा जाता है।

संभाव्यता घनत्व वितरण का ग्राफ f(x) कहलाता है संभाव्यता वितरण वक्र .

संभाव्यता घनत्व वितरण के गुण:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width='285' ऊंचाई='141'>DIV_ADBLOCK92"> पर

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> +∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(x-2)dx +∫ 0dx= c∫ (x-2)dx=c(x2/2-2x) =c(36/2-12-(4/ 2-4))=8s;

बी) यह ज्ञात है कि F(x)= ∫ f(x)dx

इसलिए, एक्स

यदि x≤2, तो F(x)= ∫ 0dx=0;

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38 src='> 2 6 x 6 6

यदि x>6, तो F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(x-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(x-2)dx=1/8(x2/2-2x) =

1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8 8=1.

इस प्रकार,

0 x≤2 पर,

F(x)= (x-2)2/16 2 पर<х≤6,

x>6 के लिए 1.

फ़ंक्शन F(x) का ग्राफ चित्र 3 में दिखाया गया है

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width='14' ऊंचाई='62 src='> 0 x≤0 पर,

F(x)= (3 आर्कटान x)/π 0 पर<х≤√3,

x>√3 के लिए 1.

विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x) खोजें

समाधान: चूँकि f(x)= F'(x), तो

DIV_ADBLOCK93">

· गणितीय अपेक्षा एम (एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित होते हैं:

एम(एक्स)= ∫ एक्स एफ(एक्स)डीएक्स,

बशर्ते कि यह अभिन्न अंग पूर्ण रूप से अभिसरण हो।

· फैलाव डी ( एक्स ) निरंतर यादृच्छिक चर X समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

D(X)= ∫ (x-M(x)2) f(x)dx, या

D(X)= ∫ x2 f(x)dx - (M(x))2

· मानक विचलन σ(एक्स) निरंतर यादृच्छिक चर समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

बिखरे हुए यादृच्छिक चर के लिए पहले चर्चा की गई गणितीय अपेक्षा और फैलाव के सभी गुण, निरंतर वाले के लिए भी मान्य हैं।

कार्य क्रमांक 3.यादृच्छिक चर X को अंतर फ़ंक्शन f(x) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" ऊंचाई='38'> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" ऊंचाई='38'>

पी(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.

2.1. एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

0 x≤0 पर,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए,

F(x)= - cos 3x π/6 पर<х≤ π/3,

x> π/3 के लिए 1.

विभेदक वितरण फ़ंक्शन f(x), और भी खोजें

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 x≤2 पर,

f(x)= c x 2 पर<х≤4,

x>4 के लिए 0.

2.4. एक सतत यादृच्छिक चर X वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

0 x≤0 पर,

f(x)= c √x 0 पर<х≤1,

x>1 के लिए 0.

खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स), डी(एक्स)।

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width=”36” ऊंचाई=”39”> x पर,

x पर 0.

खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स); ग) संभावना है कि चार स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मान अंतराल (1;4) से संबंधित मान का ठीक 2 गुना होगा।

2.6. एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है:

f(x)= 2(x-2) x पर,

x पर 0.

खोजें: a) F(x) और इसका ग्राफ बनाएं; बी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ (एक्स); ग) संभावना है कि तीन स्वतंत्र परीक्षणों में एक्स का मूल्य खंड से संबंधित मूल्य का ठीक 2 गुना होगा।

2.7. फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[-√ 3/2; √3/2]।

2.8. फ़ंक्शन f(x) इस प्रकार दिया गया है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width=”45” ऊंचाई=”36 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>[- π /4 ; π /4].

खोजें: ए) स्थिरांक सी का मान जिस पर फ़ंक्शन कुछ यादृच्छिक चर एक्स की संभाव्यता घनत्व होगा; बी) वितरण समारोह एफ(एक्स)।

2.9. यादृच्छिक चर X, अंतराल (3;7) पर केंद्रित है, वितरण फ़ंक्शन F(x)= द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए

यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 5 से कम, b) 7 से कम नहीं।

2.10. यादृच्छिक चर X, अंतराल पर केंद्रित (-1;4),

वितरण फलन F(x)= द्वारा दिया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए

यादृच्छिक चर X मान लेगा: a) 2 से कम, b) 4 से कम नहीं।

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width=”43″ ऊंचाई=”44 src=”> .jpg” width=”16” ऊंचाई=”15”>.

खोजें: ए) संख्या सी; बी) एम(एक्स); सी) संभाव्यता पी(एक्स> एम(एक्स)).

2.12. यादृच्छिक चर को अंतर वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width=”60” ऊंचाई=”38 src=”>.jpg” width=”16 ऊंचाई=15” ऊंचाई=”15”> .

खोजें: ए) एम(एक्स); बी) संभावना P(X≤M(X))

2.13. रेम वितरण संभाव्यता घनत्व द्वारा दिया गया है:

x ≥0 के लिए https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg' width='46' ऊंचाई='37'>।

साबित करें कि f(x) वास्तव में एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है।

2.14. एक सतत यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण घनत्व दिया गया है:

DIV_ADBLOCK96">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image055_3.jpg" width=”187 ऊंचाई=136” ऊंचाई=”136”>(चित्र 5)

2.16. यादृच्छिक चर X को अंतराल (0;4) में "समकोण त्रिभुज" नियम के अनुसार वितरित किया जाता है (चित्र 5)। संपूर्ण संख्या रेखा पर संभाव्यता घनत्व f(x) के लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति खोजें।

जवाब

0 x≤0 पर,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤ π/6 के लिए,

F(x)= 3sin 3x π/6 पर<х≤ π/3, Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.

x≤a के लिए 0,

f(x)= a के लिए<х

x≥b के लिए 0.

फलन f(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width=”14” ऊंचाई=”86”> 0 x≤a के लिए,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width=”30” ऊंचाई=”37”>, D(X)=, σ(X)=.

कार्य क्रमांक 1.यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो:

ए) संभाव्यता वितरण घनत्व एफ (एक्स) और इसे प्लॉट करें;

बी) वितरण फ़ंक्शन एफ(एक्स) और इसे प्लॉट करें;

सी) एम(एक्स),डी(एक्स), σ(एक्स)।

समाधान: ऊपर चर्चा किए गए सूत्रों का उपयोग करते हुए, a=3, b=7 के साथ, हम पाते हैं:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width=”22” ऊंचाई=”39”> 3≤х≤7 पर,

x>7 के लिए 0

आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width='14' ऊंचाई='86 src='> 0 x≤3 पर,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width=”203” ऊंचाई=”119 src=”>चित्र 4

डी(एक्स) ===https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width='37' ऊंचाई='43'>==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width=”14” ऊंचाई=”49 src=”> 0 x पर<0,

f(x)= λе-λх x≥0 के लिए।

घातांकीय नियम के अनुसार वितरित यादृच्छिक चर X का वितरण फलन सूत्र द्वारा दिया गया है:

DIV_ADBLOCK98">

https://pandia.ru/text/78/455/images/image095_4.jpg" width=”161” ऊंचाई=”119 src=”> चित्र 6

घातीय वितरण की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन क्रमशः बराबर हैं:

एम(एक्स)= , डी(एक्स)=, σ (Х)=

इस प्रकार, गणितीय अपेक्षा और घातीय वितरण का मानक विचलन एक दूसरे के बराबर हैं।

X के अंतराल (a;b) में गिरने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

पी(ए<Х

कार्य क्रमांक 2.डिवाइस का औसत विफलता-मुक्त संचालन समय 100 घंटे है। यह मानते हुए कि डिवाइस के विफलता-मुक्त संचालन समय में एक घातीय वितरण कानून है, खोजें:

ए) संभाव्यता वितरण घनत्व;

बी) वितरण समारोह;

ग) संभावना है कि डिवाइस का विफलता-मुक्त संचालन समय 120 घंटे से अधिक होगा।

समाधान: शर्त के अनुसार, गणितीय वितरण M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" ऊंचाई='43 src='> 0 x पर<0,

a) x≥0 के लिए f(x)= 0.01e -0.01x।

बी) एफ(एक्स)= 0 x पर<0,

1-e -0.01x x≥0 पर।

ग) हम वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3. सामान्य वितरण कानून

परिभाषा: एक सतत यादृच्छिक चर X है सामान्य वितरण नियम (गॉस का नियम), यदि इसके वितरण घनत्व का रूप है:

,

जहां m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

सामान्य वितरण वक्र कहलाता है सामान्य या गाऊसी वक्र (चित्र.7)

सामान्य वक्र सीधी रेखा x=m के संबंध में सममित है, x=a पर अधिकतम है, के बराबर।

एक यादृच्छिक चर X का वितरण फ़ंक्शन, सामान्य कानून के अनुसार वितरित, लाप्लास फ़ंक्शन Ф (x) के माध्यम से सूत्र के अनुसार व्यक्त किया जाता है:

,

लाप्लास फ़ंक्शन कहां है.

टिप्पणी: फ़ंक्शन Ф(x) विषम है (Ф(-х)=-Ф(х)), इसके अलावा, x>5 के लिए हम Ф(х) ≈1/2 मान सकते हैं।

वितरण फलन F(x) का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width=”218” ऊंचाई=”33”>

संभावना है कि विचलन का पूर्ण मान एक सकारात्मक संख्या से कम है δ सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

विशेष रूप से, m=0 के लिए निम्नलिखित समानता कायम है:

"तीन सिग्मा नियम"

यदि एक यादृच्छिक चर

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width=”157” ऊंचाई=”57 src=”>a)

ख) आइए सूत्र का उपयोग करें:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width=”369″ ऊंचाई=”38 src=”>

फ़ंक्शन मानों की तालिका से Ф(х) हम Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 पाते हैं।

तो, वांछित संभावना:

पी(28

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

3.1. यादृच्छिक चर X को अंतराल (-3;5) में समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो:

बी) वितरण समारोह एफ(एक्स);

ग) संख्यात्मक विशेषताएँ;

डी) संभाव्यता पी(4<х<6).

3.2. यादृच्छिक चर X को खंड पर समान रूप से वितरित किया जाता है। खोजो:

ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स);

बी) वितरण समारोह एफ(एक्स);

ग) संख्यात्मक विशेषताएँ;

d) प्रायिकता P(3≤х≤6).

3.3. राजमार्ग पर एक स्वचालित ट्रैफिक लाइट होती है, जिसमें हरी बत्ती 2 मिनट के लिए, पीली बत्ती 3 सेकंड के लिए, लाल बत्ती 30 सेकंड के लिए जलती है, आदि। एक कार यादृच्छिक समय पर राजमार्ग पर चलती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक कार बिना रुके ट्रैफिक लाइट से गुजर जाएगी।

3.4. सबवे ट्रेनें नियमित रूप से 2 मिनट के अंतराल पर चलती हैं। एक यात्री यादृच्छिक समय पर प्लेटफार्म में प्रवेश करता है। इसकी क्या संभावना है कि किसी यात्री को ट्रेन के लिए 50 सेकंड से अधिक इंतजार करना पड़ेगा? यादृच्छिक चर X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें - ट्रेन के लिए प्रतीक्षा समय।

3.5. वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिए गए घातांकीय वितरण का विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें:

F(x)= 0 x पर<0,

x≥0 के लिए पहला-8x।

3.6. एक सतत यादृच्छिक चर X संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

x पर f(x)= 0<0,

0.7 e-0.7x x≥0 पर।

ए) विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण कानून का नाम बताइए।

बी) वितरण फ़ंक्शन F(X) और यादृच्छिक चर X की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं।

3.7. यादृच्छिक चर X को संभाव्यता वितरण घनत्व द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है:

x पर f(x)= 0<0,

0.4 e-0.4 x x≥0 पर।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणामस्वरूप X अंतराल (2.5;5) से एक मान लेगा।

3.8. एक सतत यादृच्छिक चर X को वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट घातीय कानून के अनुसार वितरित किया जाता है:

F(x)= 0 x पर<0,

1st-0.6x x≥0 पर

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, परीक्षण के परिणामस्वरूप, X खंड से एक मान लेगा।

3.9. सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान और मानक विचलन क्रमशः 8 और 2 हैं। खोजें:

ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स);

बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स अंतराल (10;14) से एक मान लेगा।

3.10. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः 3.5 की गणितीय अपेक्षा और 0.04 के भिन्नता के साथ वितरित किया जाता है। खोजो:

ए) वितरण घनत्व एफ(एक्स);

बी) संभावना है कि परीक्षण के परिणामस्वरूप एक्स खंड से एक मूल्य लेगा।

3.11. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और D(X)=1 के साथ वितरित किया जाता है। इनमें से कौन सी घटना: |X|≤0.6 या |X|≥0.6 अधिक संभावित है?

3.12. यादृच्छिक चर

3.13. प्रति शेयर मौजूदा कीमत को एम(एक्स)=10 डेन के साथ सामान्य वितरण कानून का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। इकाइयां और σ (X)=0.3 डेन. इकाइयां खोजो:

ए) संभावना है कि मौजूदा शेयर की कीमत 9.8 डेन से होगी। इकाइयां 10.4 दिन तक इकाइयाँ;

बी) "थ्री सिग्मा नियम" का उपयोग करके, उन सीमाओं का पता लगाएं जिनके भीतर वर्तमान स्टॉक मूल्य स्थित होगा।

3.14. पदार्थ को व्यवस्थित त्रुटियों के बिना तौला जाता है। यादृच्छिक वजन त्रुटियां माध्य वर्ग अनुपात σ=5g के साथ सामान्य कानून के अधीन हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चार स्वतंत्र प्रयोगों में तीन भारों में त्रुटि निरपेक्ष मान 3r में नहीं होगी।

3.15. यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=12.6 के साथ वितरित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर के अंतराल (11.4;13.8) में गिरने की संभावना 0.6826 है। मानक विचलन ज्ञात करें σ.

3.16. यादृच्छिक चर

3.17. स्वचालित मशीन द्वारा निर्मित एक भाग को दोषपूर्ण माना जाता है यदि इसके नियंत्रित पैरामीटर का नाममात्र मूल्य से विचलन माप की मॉड्यूलो 2 इकाइयों से अधिक हो। यह माना जाता है कि यादृच्छिक चर X को सामान्यतः M(X)=0 और σ(X)=0.7 के साथ वितरित किया जाता है। मशीन कितने प्रतिशत ख़राब हिस्से बनाती है?

3.18. भाग का एक्स पैरामीटर सामान्य रूप से नाममात्र मूल्य के बराबर 2 की गणितीय अपेक्षा और 0.014 के मानक विचलन के साथ वितरित किया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नाममात्र मूल्य से X का विचलन नाममात्र मूल्य के 1% से अधिक नहीं होगा।

जवाब

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width=”14” ऊंचाई=”110 src=”>

बी) x≤-3 के लिए 0,

एफ(एक्स)=बाएं">

3.10. ए)एफ(एक्स)= ,

बी) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185।

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. ए) पी(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562।

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

यादृच्छिक चर

उदाहरण 2.1.यादृच्छिक मूल्य एक्सवितरण समारोह द्वारा दिया गया

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (2.5; 3.6) में निहित मान लेगा।

समाधान: एक्सअंतराल में (2.5; 3.6) दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है:

उदाहरण 2.2.किस पैरामीटर मान पर एऔर मेंसमारोह एफ(एक्स) = ए + बीई - एक्सयादृच्छिक चर के गैर-नकारात्मक मानों के लिए एक वितरण फ़ंक्शन हो सकता है एक्स.

समाधान:चूँकि यादृच्छिक चर के सभी संभावित मान एक्सअंतराल से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के लिए वितरण फ़ंक्शन होने के लिए एक्स, संपत्ति संतुष्ट होनी चाहिए:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.3.यादृच्छिक चर X वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि, चार स्वतंत्र परीक्षणों के परिणामस्वरूप, मान एक्सठीक 3 बार अंतराल (0.25;0.75) से संबंधित मान लिया जाएगा।

समाधान:किसी मान तक पहुंचने की संभावना एक्सअंतराल (0.25;0.75) में हम सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

उदाहरण 2.4.एक शॉट में गेंद के टोकरी से टकराने की प्रायिकता 0.3 है। तीन थ्रो के साथ हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- तीन शॉट्स के साथ बास्केट में हिट की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3. संभावनाएँ कि एक्स

एक्स:

उदाहरण 2.5.दो निशानेबाज एक लक्ष्य पर एक गोली चलाते हैं। पहले निशानेबाज द्वारा इसे मारने की संभावना 0.5 है, दूसरे की - 0.4। किसी लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:आइए असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम खोजें एक्स- लक्ष्य पर हिट की संख्या. इस घटना को पहले निशानेबाज द्वारा लक्ष्य पर प्रहार करने दें, और दूसरे निशानेबाज को लक्ष्य पर प्रहार करने दें, और क्रमशः उनकी चूक हो जाएं।

आइए एसवी के संभाव्यता वितरण का नियम बनाएं एक्स:

उदाहरण 2.6.तीन तत्वों का परीक्षण किया जाता है, जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। तत्वों के विफलता-मुक्त संचालन के समय की अवधि (घंटों में) का वितरण घनत्व कार्य होता है: पहले के लिए: एफ 1 (टी) =1-इ- 0,1 टी, दूसरे के लिए: एफ 2 (टी) = 1-इ- 0,2 टी, तीसरे के लिए: एफ 3 (टी) =1-इ- 0,3 टी. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में: केवल एक तत्व विफल हो जाएगा; केवल दो तत्व विफल होंगे; सभी तीन तत्व विफल हो जाएंगे.

समाधान:आइए संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें:

संभावना है कि स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से पहले में किसी घटना के घटित होने की संभावना होती है एके बराबर, दूसरे में, आदि, घटना एकी शक्तियों में जनरेटिंग फ़ंक्शन के विस्तार में गुणांक के बराबर, बिल्कुल एक बार दिखाई देता है। आइए 0 से 5 घंटे के समय अंतराल में पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की क्रमशः विफलता और गैर-विफलता की संभावनाएं खोजें:

आइए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन बनाएं:

पर गुणांक उस घटना की प्रायिकता के बराबर है एठीक तीन बार दिखाई देगा, यानी तीनों तत्वों की विफलता की संभावना; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि ठीक दो तत्व विफल हो जाएंगे; गुणांक इस संभावना के बराबर है कि केवल एक तत्व विफल हो जाएगा।

उदाहरण 2.7.संभाव्यता घनत्व को देखते हुए एफ(एक्स)अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स:

वितरण फलन F(x) ज्ञात कीजिए।

समाधान:हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

.

इस प्रकार, वितरण फ़ंक्शन इस प्रकार दिखता है:

उदाहरण 2.8.डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- एक प्रयोग में विफल होने वाले तत्वों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3. संभावनाएँ कि एक्सइन मानों को लेते हुए, हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

इस प्रकार, हमें यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है एक्स:

उदाहरण 2.9. 6 भागों के एक बैच में 4 मानक होते हैं। 3 भागों को यादृच्छिक रूप से चुना गया। चयनित भागों के बीच मानक भागों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित भागों में से मानक भागों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 1, 2, 3 और इसमें हाइपरजियोमेट्रिक वितरण होता है। संभावनाएँ कि एक्स

कहाँ -- बैच में भागों की संख्या;

-- एक बैच में मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित लोगों में मानक भागों की संख्या।

.

.

.

उदाहरण 2.10.यादृच्छिक चर में वितरण घनत्व होता है

और ज्ञात नहीं हैं, लेकिन , ए और . लगता है और।

समाधान:इस मामले में, यादृच्छिक चर एक्सअंतराल पर एक त्रिकोणीय वितरण (सिम्पसन वितरण) है [ ए, बी]. संख्यात्मक विशेषताएँ एक्स:

इस तरह, . इस प्रणाली को हल करने पर, हमें मूल्यों के दो जोड़े प्राप्त होते हैं:। चूँकि समस्या की स्थितियों के अनुसार, अंततः हमारे पास है: .

उत्तर: .

उदाहरण 2.11.औसतन, 10% अनुबंधों के तहत, बीमा कंपनी किसी बीमित घटना के घटित होने के संबंध में बीमा राशि का भुगतान करती है। चार यादृच्छिक रूप से चयनित अनुबंधों के बीच ऐसे अनुबंधों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और फैलाव की गणना करें।

समाधान:गणितीय अपेक्षा और विचरण को सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

.

एसवी के संभावित मान (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या (चार में से): 0, 1, 2, 3, 4।

हम अनुबंधों की विभिन्न संख्या (चार में से) की संभावनाओं की गणना करने के लिए बर्नौली के सूत्र का उपयोग करते हैं जिसके लिए बीमा राशि का भुगतान किया गया था:

.

आईसी वितरण श्रृंखला (बीमाकृत घटना के घटित होने के साथ अनुबंधों की संख्या) का रूप है:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.12.पांच गुलाबों में से दो सफेद हैं। एक साथ लिए गए दो गुलाबों के बीच सफेद गुलाबों की संख्या व्यक्त करने वाले एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम बनाएं।

समाधान:दो गुलाबों के चयन में, या तो सफेद गुलाब नहीं हो सकता है, या एक या दो सफेद गुलाब हो सकते हैं। इसलिए, यादृच्छिक चर एक्समान ले सकते हैं: 0, 1, 2. संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

कहाँ -- गुलाबों की संख्या;

-- सफेद गुलाब की संख्या;

– एक ही समय में लिए गए गुलाबों की संख्या;

-- लिए गए फूलों में सफ़ेद गुलाबों की संख्या।

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.13. 15 एकत्रित इकाइयों में से 6 को अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता होती है। कुल संख्या में से यादृच्छिक रूप से चयनित पांच इकाइयों के बीच अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पांचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 0, 1, 2, 3, 4, 5 और एक हाइपरज्यामितीय वितरण है। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

कहाँ -- एकत्रित इकाइयों की संख्या;

-- उन इकाइयों की संख्या जिन्हें अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता होती है;

– चयनित इकाइयों की संख्या;

-- चयनित इकाइयों के बीच अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या।

.

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

उदाहरण 2.14.मरम्मत के लिए प्राप्त 10 घड़ियों में से 7 को तंत्र की सामान्य सफाई की आवश्यकता है। घड़ियों को मरम्मत के प्रकार के अनुसार क्रमबद्ध नहीं किया जाता है। मास्टर, उन घड़ियों को ढूंढना चाहता है जिन्हें सफाई की आवश्यकता होती है, एक-एक करके उनकी जांच करता है और ऐसी घड़ियां मिलने पर, आगे देखना बंद कर देता है। देखे गए घंटों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता ज्ञात कीजिए।

समाधान:यादृच्छिक मूल्य एक्स- चयनित पाँचों में से अतिरिक्त स्नेहन की आवश्यकता वाली इकाइयों की संख्या - निम्नलिखित मान ले सकती है: 1, 2, 3, 4। संभावनाएँ कि एक्सये मान लेते हैं, हम इसे सूत्र का उपयोग करके पाते हैं:

.

.

.

.

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा:

आइए अब मात्रा की संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.15.ग्राहक उस फ़ोन नंबर का अंतिम अंक भूल गया है जिसकी उसे आवश्यकता है, लेकिन उसे याद है कि यह अजीब है। यदि वह अंतिम अंक को यादृच्छिक रूप से डायल करता है और बाद में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, तो वांछित नंबर तक पहुंचने से पहले वह कितनी बार फोन नंबर डायल करता है, इसकी गणितीय अपेक्षा और भिन्नता का पता लगाएं।

समाधान:यादृच्छिक चर निम्नलिखित मान ले सकता है:। चूंकि ग्राहक भविष्य में डायल किए गए अंक को डायल नहीं करता है, इसलिए इन मूल्यों की संभावनाएं बराबर हैं।

आइए एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला संकलित करें:

आइए डायलिंग प्रयासों की संख्या की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करें:

उत्तर: , ।

उदाहरण 2.16.श्रृंखला में प्रत्येक डिवाइस के लिए विश्वसनीयता परीक्षण के दौरान विफलता की संभावना बराबर है पी. यदि परीक्षण किया गया तो विफल होने वाले उपकरणों की संख्या की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एनउपकरण।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर X विफल उपकरणों की संख्या है एनस्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में विफलता की संभावना बराबर है पी,द्विपद नियम के अनुसार वितरित। द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा एक परीक्षण में घटित होने वाली घटना की संभावना से गुणा किए गए परीक्षणों की संख्या के बराबर है:

उदाहरण 2.17.असतत यादृच्छिक चर एक्स 3 संभावित मान लेता है: संभाव्यता के साथ; संभाव्यता के साथ और संभाव्यता के साथ. खोजें और, यह जानते हुए कि एम( एक्स) = 8.

समाधान:हम गणितीय अपेक्षा की परिभाषा और असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का उपयोग करते हैं:

हम देखतें है: ।

उदाहरण 2.18.तकनीकी नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है। प्रत्येक बैच में 5 उत्पाद होते हैं। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए एक्स- बैचों की संख्या, जिनमें से प्रत्येक में ठीक 4 मानक उत्पाद हैं, यदि 50 बैच निरीक्षण के अधीन हैं।

समाधान:इस मामले में, किए गए सभी प्रयोग स्वतंत्र हैं, और प्रत्येक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद होने की संभावनाएं समान हैं, इसलिए, गणितीय अपेक्षा सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है:

,

पार्टियों की संख्या कहाँ है;

संभावना है कि एक बैच में बिल्कुल 4 मानक उत्पाद हों।

हम बर्नौली के सूत्र का उपयोग करके संभाव्यता ज्ञात करते हैं:

उत्तर: .

उदाहरण 2.19.एक यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स- घटना की घटनाओं की संख्या एदो स्वतंत्र परीक्षणों में, यदि इन परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की संभावनाएँ समान हैं और यह ज्ञात है कि एम(एक्स) = 0,9.

समाधान:समस्या को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

1) एसवी के संभावित मान एक्स: 0, 1, 2. बर्नौली सूत्र का उपयोग करके, हम इन घटनाओं की संभावनाएं निर्धारित करते हैं:

, , .

फिर वितरण कानून एक्सइसका रूप है:

गणितीय अपेक्षा की परिभाषा से, हम संभाव्यता निर्धारित करते हैं:

आइए एसवी का फैलाव ज्ञात करें एक्स:

.

2) आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

.

उत्तर: .

उदाहरण 2.20.सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की अपेक्षा और मानक विचलन एक्सक्रमशः 20 और 5 के बराबर। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परीक्षण के परिणाम के रूप में एक्सअंतराल (15; 25) में निहित मान लेगा।

समाधान:एक सामान्य यादृच्छिक चर से टकराने की संभावना एक्ससे अनुभाग पर लाप्लास फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त किया गया है:

उदाहरण 2.21.दिया गया फ़ंक्शन:

किस पैरामीटर मान पर सीयह फ़ंक्शन कुछ सतत यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व है एक्स? एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए एक्स.

समाधान:किसी फ़ंक्शन के लिए कुछ यादृच्छिक चर का वितरण घनत्व होने के लिए, यह गैर-नकारात्मक होना चाहिए, और इसे संपत्ति को संतुष्ट करना होगा:

.

इस तरह:

आइए सूत्र का उपयोग करके गणितीय अपेक्षा की गणना करें:

.

आइए सूत्र का उपयोग करके विचरण की गणना करें:

टी बराबर है पी. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान:असतत यादृच्छिक चर द्विपद वितरण की गणितीय अपेक्षा परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में घटना ए के घटित होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

.

उदाहरण 2.25.लक्ष्य पर तीन स्वतंत्र गोलियाँ चलाई गईं। प्रत्येक शॉट मारने की संभावना 0.25 है। तीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या का मानक विचलन निर्धारित करें।

समाधान:चूंकि तीन स्वतंत्र परीक्षण किए गए हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए (एक हिट) की घटना की संभावना समान है, हम मान लेंगे कि असतत यादृच्छिक चर एक्स - लक्ष्य पर हिट की संख्या - के अनुसार वितरित की जाती है द्विपद नियम.

द्विपद वितरण का विचरण परीक्षणों की संख्या और एक परीक्षण में किसी घटना के घटित होने और न होने की संभावना के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 2.26.किसी बीमा कंपनी में 10 मिनट में आने वाले ग्राहकों की औसत संख्या तीन है। अगले 5 मिनट में कम से कम एक ग्राहक के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

5 मिनट में पहुंचने वाले ग्राहकों की औसत संख्या: . .

उदाहरण 2.29.प्रोसेसर कतार में किसी एप्लिकेशन के लिए प्रतीक्षा समय 20 सेकंड के औसत मूल्य के साथ एक घातीय वितरण कानून का पालन करता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगला (यादृच्छिक) अनुरोध प्रोसेसर पर 35 सेकंड से अधिक समय तक प्रतीक्षा करेगा।

समाधान:इस उदाहरण में, गणितीय अपेक्षा , और विफलता दर के बराबर है .

फिर वांछित संभावना:

उदाहरण 2.30. 15 छात्रों का एक समूह 10 सीटों वाली 20 पंक्तियों वाले एक हॉल में बैठक करता है। प्रत्येक छात्र यादृच्छिक रूप से हॉल में एक स्थान लेता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पंक्ति के सातवें स्थान पर तीन से अधिक व्यक्ति नहीं होंगे?

समाधान:

उदाहरण 2.31.

फिर, संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:

कहाँ -- बैच में भागों की संख्या;

-- बैच में गैर-मानक भागों की संख्या;

– चयनित भागों की संख्या;

-- चयनित भागों में गैर-मानक भागों की संख्या।

तब यादृच्छिक चर का वितरण नियम इस प्रकार होगा।