साइड एब का समीकरण. त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं

समस्या 1. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). ज्ञात करें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) भुजाओं AB और BC के समीकरण और उनके कोणीय गुणांक; 3) दो अंकों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी; 4) ऊंचाई सीडी और उसकी लंबाई का समीकरण; 5) माध्यिका AE का समीकरण और ऊँचाई CD के साथ इस माध्यिका के प्रतिच्छेदन के बिंदु K के निर्देशांक; 6) भुजा AB के समानांतर बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण; 7) बिंदु एम के निर्देशांक, सीधी रेखा सीडी के सापेक्ष बिंदु ए के सममित रूप से स्थित हैं।

समाधान:

1. बिंदु A(x 1 ,y 1) और B(x 2 ,y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1) को लागू करने पर, हम भुजा AB की लंबाई ज्ञात करते हैं:

2. बिंदु A(x 1 ,y 1) और B(x 2 ,y 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है

(2)

बिंदु A और B के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा AB का समीकरण प्राप्त होता है:

Y के लिए अंतिम समीकरण को हल करने के बाद, हम कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा समीकरण के रूप में भुजा AB का समीकरण पाते हैं:

कहाँ

बिंदु B और C के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त होता है:

या

3. यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं, जिनके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर हैं, के बीच के कोण की स्पर्शरेखा की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

(3)

वांछित कोण B सीधी रेखाओं AB और BC से बनता है, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: (3) लगाने पर, हम प्राप्त करते हैं

या ख़ुशी है.

4. किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दिशा में गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है

(4)

ऊंचाई CD भुजा AB पर लंबवत है। ऊंचाई सीडी का ढलान ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करते हैं। के बाद से (4) में बिंदु सी के निर्देशांक और ऊंचाई के पाए गए कोणीय गुणांक को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पहले बिंदु D के निर्देशांक निर्धारित करते हैं - सीधी रेखाओं AB और CD का प्रतिच्छेदन बिंदु। सिस्टम को एक साथ हल करना:

हम पाते हैं अर्थात डी(8;0).

सूत्र (1) का उपयोग करके हम ऊँचाई CD की लंबाई ज्ञात करते हैं:

5. माध्यिका AE का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम पहले एक खंड को दो समान भागों में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करके बिंदु E के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, जो कि भुजा BC का मध्य है:

(5)

इस तरह,

बिंदु A और E के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम माध्यिका के लिए समीकरण पाते हैं:

ऊंचाई सीडी और माध्यिका एई के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को एक साथ हल करते हैं

हम देखतें है।

6. चूँकि वांछित सीधी रेखा भुजा AB के समानांतर है, इसका कोणीय गुणांक सीधी रेखा AB के कोणीय गुणांक के बराबर होगा। (4) में पाए गए बिंदु K के निर्देशांक और कोणीय गुणांक को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. चूँकि सीधी रेखा AB सीधी रेखा CD पर लंबवत है, वांछित बिंदु M, सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित है, सीधी रेखा AB पर स्थित है। इसके अलावा, बिंदु D, खंड AM का मध्यबिंदु है। सूत्र (5) का उपयोग करके, हम वांछित बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं:

चित्र में xOy निर्देशांक प्रणाली में त्रिभुज ABC, ऊंचाई CD, माध्यिका AE, सीधी रेखा KF और बिंदु M का निर्माण किया गया है। 1.

कार्य 2. उन बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण बनाएं जिनकी किसी दिए गए बिंदु A(4; 0) और दी गई रेखा x=1 से दूरी 2 के बराबर है।

समाधान:

xOy समन्वय प्रणाली में, हम बिंदु A(4;0) और सीधी रेखा x = 1 का निर्माण करते हैं। मान लें कि M(x;y) बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान का एक मनमाना बिंदु है। आइए दी गई रेखा x = 1 पर लंबवत एमबी को कम करें और बिंदु बी के निर्देशांक निर्धारित करें। चूंकि बिंदु बी दी गई रेखा पर स्थित है, इसका भुज 1 के बराबर है। बिंदु बी की कोटि बिंदु एम के कोटि के बराबर है। .इसलिए, B(1;y) (चित्र 2)।

समस्या की स्थितियों के अनुसार |MA|: |MV| = 2. दूरियाँ |एमए| और |एमबी| हम समस्या 1 के सूत्र (1) से पाते हैं:

बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

परिणामी समीकरण एक अतिपरवलय है जिसमें वास्तविक अर्ध-अक्ष a = 2 है, और काल्पनिक अर्ध-अक्ष है

आइए हाइपरबोला की नाभियों को परिभाषित करें। अतिपरवलय के लिए, समानता संतुष्ट होती है। इसलिए, और - अतिशयोक्तिपूर्ण तरकीबें। जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया बिंदु A(4;0) हाइपरबोला का सही फोकस है।

आइए हम परिणामी हाइपरबोला की विलक्षणता निर्धारित करें:

हाइपरबोला अनंतस्पर्शी समीकरणों का रूप और होता है। इसलिए, या और हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख हैं। हाइपरबोला का निर्माण करने से पहले, हम इसके अनंतस्पर्शी का निर्माण करते हैं।

समस्या 3. बिंदु A(4; 3) और सीधी रेखा y = 1 से समदूरस्थ बिंदुओं के बिंदुपथ के लिए एक समीकरण बनाएं। परिणामी समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें।

समाधान:मान लीजिए M(x; y) बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान के बिंदुओं में से एक है। आइए हम बिंदु M से इस सीधी रेखा y = 1 पर लंबवत MB को छोड़ें (चित्र 3)। आइए हम बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करें। स्पष्ट रूप से, बिंदु B का भुज बिंदु M के भुज के बराबर है, और बिंदु B का कोटि 1 के बराबर है, अर्थात B(x; 1)। समस्या की स्थितियों के अनुसार |MA|=|MV| नतीजतन, बिंदुओं के वांछित ज्यामितीय स्थान से संबंधित किसी भी बिंदु M(x;y) के लिए, निम्नलिखित समानता सत्य है:

परिणामी समीकरण बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है। परवलय समीकरण को उसके सरलतम रूप में लाने के लिए, आइए सेट करें और y + 2 = Y, फिर परवलय समीकरण रूप लेता है:

मानक कार्य "एक विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति" से कुछ कार्यों को हल करने का एक उदाहरण

शीर्ष दिए गए हैं,
,
त्रिकोण एबीसी. खोजो:

त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण;

त्रिभुज को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की प्रणाली एबीसी;

शीर्ष से खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई, माध्यिका और समद्विभाजक के समीकरण ए;

त्रिभुज की ऊंचाईयों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु;

ऊँचाई की लंबाई किनारे की ओर कम हो गई अब;

कोना ए;

एक चित्र बनाओ.

माना कि त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं: ए (1; 4), में (5; 3), साथ(3; 6). आइए तुरंत एक चित्र बनाएं:

1. किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण लिखने के लिए, हम निर्देशांक के साथ दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं ( एक्स 0 , य 0 ) और ( एक्स 1 , य 1 ):

=

इस प्रकार, के स्थान पर ( एक्स 0 , य 0 ) बिंदु निर्देशांक ए, और इसके बजाय ( एक्स 1 , य 1 ) बिंदु निर्देशांक में, हमें रेखा का समीकरण मिलता है अब:

परिणामी समीकरण सीधी रेखा का समीकरण होगा अब, सामान्य रूप में लिखा गया है। इसी प्रकार, हम सीधी रेखा का समीकरण पाते हैं एसी:

और सीधी रेखा का समीकरण भी सूरज:

2. ध्यान दें कि त्रिभुज के बिंदुओं का समुच्चय एबीसीतीन अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक अर्ध-तल को एक रैखिक असमानता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। यदि हम दोनों पक्षों का समीकरण लें ∆ एबीसी, उदाहरण के लिए अब, फिर असमानताएँ

और

एक रेखा के विपरीत दिशा में स्थित बिंदुओं को परिभाषित करें अब. हमें उस आधे तल को चुनने की आवश्यकता है जहां बिंदु C स्थित है। आइए इसके निर्देशांक को दोनों असमानताओं में प्रतिस्थापित करें:

दूसरी असमानता सही होगी, जिसका अर्थ है कि आवश्यक बिंदु असमानता से निर्धारित होते हैं

.

हम सीधी रेखा BC, उसके समीकरण के साथ भी ऐसा ही करते हैं
. हम परीक्षण बिंदु के रूप में बिंदु A (1, 1) का उपयोग करते हैं:

इसका मतलब है कि आवश्यक असमानता का रूप है:

.

यदि हम सीधी रेखा AC (परीक्षण बिंदु B) की जाँच करें, तो हमें मिलता है:

इसका मतलब है कि आवश्यक असमानता का स्वरूप होगा

अंततः हमें असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

चिन्ह "≤", "≥" का अर्थ है कि त्रिभुज के किनारों पर स्थित बिंदु भी त्रिभुज बनाने वाले बिंदुओं के समूह में शामिल हैं एबीसी.

3. ए) शीर्ष से गिराई गई ऊंचाई के लिए समीकरण खोजने के लिए एतरफ के लिए सूरज, पक्ष के समीकरण पर विचार करें सूरज:
. निर्देशांक के साथ वेक्टर
किनारे पर लंबवत सूरजऔर इसलिए ऊंचाई के समानांतर। आइए हम एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखें एवेक्टर के समानांतर
:

यह t से हटाई गई ऊँचाई का समीकरण है। एतरफ के लिए सूरज.

ख) भुजा के मध्य के निर्देशांक ज्ञात कीजिए सूरजसूत्रों के अनुसार:

यहाँ
- ये t के निर्देशांक हैं। में, ए
– निर्देशांक टी. साथ. आइए प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

इस बिंदु और बिंदु से होकर गुजरने वाली सीधी रेखा एवांछित माध्यिका है:

ग) हम इस तथ्य के आधार पर समद्विभाजक के समीकरण की तलाश करेंगे कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक शीर्ष से त्रिभुज के आधार तक उतरने वाली ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक बराबर होते हैं। आइए दो वेक्टर खोजें
और
और उनकी लंबाई:

फिर वेक्टर
वेक्टर के समान दिशा है
, और इसकी लंबाई
इसी प्रकार, यूनिट वेक्टर
वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है
वेक्टर योग

एक वेक्टर है जो कोण के समद्विभाजक के साथ दिशा में मेल खाता है ए. इस प्रकार, वांछित समद्विभाजक का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

4) हमने पहले ही एक ऊंचाई के लिए समीकरण बना लिया है। आइए किसी अन्य ऊंचाई के लिए एक समीकरण बनाएं, उदाहरण के लिए, शीर्ष से में. ओर एसीसमीकरण द्वारा दिया गया
तो वेक्टर
सीधा एसी, और इस प्रकार वांछित ऊंचाई के समानांतर। फिर शीर्ष से गुजरने वाली रेखा का समीकरण मेंवेक्टर की दिशा में
(अर्थात लंबवत एसी), का रूप है:

यह ज्ञात है कि त्रिभुज की ऊँचाई एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। विशेष रूप से, यह बिंदु पाई गई ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन है, अर्थात। समीकरणों की प्रणाली को हल करना:

- इस बिंदु के निर्देशांक.

5. मध्य अबनिर्देशांक हैं
. आइए मध्यिका का समीकरण पक्ष में लिखें एबी.यह रेखा निर्देशांक (3, 2) और (3, 6) वाले बिंदुओं से होकर गुजरती है, जिसका अर्थ है कि इसका समीकरण इस प्रकार है:

ध्यान दें कि किसी रेखा के समीकरण में भिन्न के हर में शून्य का मतलब है कि यह रेखा कोटि अक्ष के समानांतर चलती है।

माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करना पर्याप्त है:

त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक होते हैं
.

6. ऊँचाई की लंबाई किनारे की ओर कम हो गई एबी,बिंदु से दूरी के बराबर साथएक सीधी रेखा की ओर अबसमीकरण के साथ
और सूत्र द्वारा पाया जाता है:

7. कोण की कोज्या एसदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है और , जो इन सदिशों के अदिश गुणनफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के अनुपात के बराबर है:

.

समस्या 1 - 20 में त्रिभुज ABC के शीर्ष दिए गए हैं।
ज्ञात करें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) भुजाओं AB और AC के समीकरण और उनके कोणीय गुणांक; 3) 0.01 की सटीकता के साथ रेडियन में आंतरिक कोण ए; 4) सीडी की ऊंचाई और उसकी लंबाई के लिए समीकरण; 5) एक वृत्त का समीकरण जिसकी ऊंचाई सीडी व्यास है; 6) त्रिभुज ABC को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली।

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई:
|एबी| = 15
|एसी| = 11.18
|बीसी| = 14.14
बिंदु M से दूरी d: d = 10
त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) और M 2 (x 2 ; y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

8) एक रेखा का समीकरण
बिंदु A 1 (x 1 ; y 1) और A 2 (x 2 ; y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को समीकरणों द्वारा दर्शाया जाता है:

रेखा AB का समीकरण


या

या
y = -3 / 4 x -7 / 4 या 4y + 3x +7 = 0
लाइन एसी का समीकरण
रेखा का विहित समीकरण:

या

या
y = 1 / 2 x + 9 / 2 या 2y -x - 9 = 0
रेखा BC का समीकरण
रेखा का विहित समीकरण:

या

या
y = -7x + 42 या y + 7x - 42 = 0
3) सीधी रेखाओं के बीच का कोण
सीधी रेखा AB का समीकरण:y = -3 / 4 x -7 / 4
रेखा समीकरण AC:y = 1/2 x + 9/2
कोणीय गुणांक y = k 1 x + b 1 और y 2 = k 2 x + b 2 वाले समीकरणों द्वारा दिए गए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

इन रेखाओं का ढलान -3/4 और 1/2 है। आइए सूत्र का उपयोग करें, और इसका दाहिना ओर मॉड्यूल लें:

टीजी φ = 2
φ = आर्कटान(2) = 63.44 0 या 1.107 रेड।
9) शीर्ष C से होकर ऊँचाई का समीकरण
बिंदु N 0 (x 0 ;y 0) से गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा Ax + By + C = 0 के लंबवत एक दिशा वेक्टर (A;B) है और इसलिए, समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है:



इस समीकरण को दूसरे तरीके से पाया जा सकता है. ऐसा करने के लिए, आइए सीधी रेखा AB का ढलान k 1 ज्ञात करें।
एबी समीकरण: y = -3 / 4 x -7 / 4, यानी। के 1 = -3/4
आइए दो सीधी रेखाओं की लंबवतता की स्थिति से लंबवत का कोणीय गुणांक k ज्ञात करें: k 1 *k = -1।
k 1 के स्थान पर इस रेखा की ढलान को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
-3 / 4 k = -1, जहाँ से k = 4 / 3
चूँकि लम्ब बिंदु C(5,7) से होकर गुजरता है और इसमें k = 4/3 है, हम इसके समीकरण को इस रूप में देखेंगे: y-y 0 = k(x-x 0)।
x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:
y-7 = 4/3 (x-5)
या
y = 4 / 3 x + 1 / 3 या 3y -4x - 1 = 0
आइए रेखा AB के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
पहले समीकरण से हम y व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
हम पाते हैं:
एक्स = -1
y=-1
डी(-1;-1)
9) शीर्ष C से खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई
बिंदु M 1 (x 1 ;y 1) से सीधी रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी d मात्रा के पूर्ण मान के बराबर है:

बिंदु C(5;7) और रेखा AB (4y + 3x +7 = 0) के बीच की दूरी ज्ञात करें


ऊंचाई की लंबाई की गणना एक अन्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जैसे बिंदु C(5;7) और बिंदु D(-1;-1) के बीच की दूरी।
दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्देशांक के रूप में व्यक्त की जाती है:

5) एक वृत्त का समीकरण जिसकी ऊंचाई सीडी व्यास है;
बिंदु E(a;b) पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का समीकरण इस प्रकार है:
(एक्स-ए) 2 + (वाई-बी) 2 = आर 2
चूँकि CD वांछित वृत्त का व्यास है, इसका केंद्र E खंड CD का मध्यबिंदु है। किसी खंड को आधे में विभाजित करने के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:


इसलिए, E(2;3) और R = CD / 2 = 5. सूत्र का उपयोग करके, हम वांछित वृत्त का समीकरण प्राप्त करते हैं: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) त्रिभुज ABC को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली।
रेखा AB का समीकरण: y = -3 / 4 x -7 / 4
रेखा AC का समीकरण: y = 1/2 x + 9/2
रेखा BC का समीकरण: y = -7x + 42