तीन बिंदुओं वाली रेखा के मध्य बिंदु के निर्देशांक। मध्य बिंदु निर्देशांक। संपूर्ण पाठ - ज्ञान हाइपरमार्केट

समन्वय विमान से जुड़े कार्यों का एक पूरा समूह (परीक्षा समस्या प्रकारों में शामिल) है। ये सबसे प्राथमिक कार्यों से शुरू होने वाले कार्य हैं, जो मौखिक रूप से हल किए जाते हैं (किसी दिए गए बिंदु के कोर्डिनेट या एब्सिसा का निर्धारण, या एक सममित दिए गए बिंदु, और अन्य), उन कार्यों के साथ समाप्त होते हैं जिनके लिए उच्च गुणवत्ता वाले ज्ञान, समझ और अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है ( एक सीधी रेखा के ढलान से संबंधित कार्य)।

धीरे-धीरे हम उन सभी पर विचार करेंगे। इस लेख में, हम मूल बातें शुरू करेंगे। यह सरल कार्यनिर्धारित करने के लिए: एक बिंदु के भुज और निर्देशांक, एक खंड की लंबाई, एक खंड के मध्य बिंदु, एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण की ज्या या कोज्या।इनमें से अधिकतर कार्य दिलचस्प नहीं होंगे। लेकिन मैं उन्हें पेश करना जरूरी समझता हूं।

तथ्य यह है कि हर कोई स्कूल नहीं जाता है। बहुत से लोग यूनिफाइड स्टेट परीक्षा को पूरा होने के 3-4 साल या उससे अधिक समय बाद लेते हैं, और वे अस्पष्ट रूप से याद करते हैं कि एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट क्या हैं। ब्लॉग को अपडेट करने के लिए हम समन्वय विमान से संबंधित अन्य कार्यों का विश्लेषण करेंगे, चूकें नहीं, सदस्यता लें। अब नहींबहुत सारे सिद्धांत।

आइए निर्माण करें विमान का समन्वयनिर्देशांक x = 6, y = 3 के साथ बिंदु A

वे कहते हैं कि बिंदु A का भुज छह है, बिंदु A की कोटि तीन है।

इसे सीधे शब्दों में कहें, ओह-अक्ष भुजिका अक्ष है, ओह-अक्ष समन्वय रीढ़ है।

अर्थात्, भुज x-अक्ष पर एक बिंदु है जिसमें निर्देशांक तल पर निर्दिष्ट बिंदु प्रक्षेपित होता है; कोटि ओय अक्ष पर वह बिंदु है जिस पर निर्दिष्ट बिंदु प्रक्षेपित होता है।

निर्देशांक तल पर खंड की लंबाई

किसी खंड की लंबाई निर्धारित करने का सूत्र, यदि उसके सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों:

जैसा कि आप देख सकते हैं, खंड की लंबाई बराबर पैरों वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण की लंबाई है

एक्स बी - एक्स ए और वाई बी - वाई ए

* * *

खंड का मध्यबिंदु। उसके निर्देशांक।

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र:

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का सूत्र है:

जहां (x 1; y 1) और (x 2; y 2 ​​.) ) दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक।

सूत्र में निर्देशांक के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, इसे रूप में घटाया जाता है:

वाई = केएक्स + बी, जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है

निर्देशांक तल से संबंधित समस्याओं के दूसरे समूह को हल करते समय हमें इस जानकारी की आवश्यकता होगी। इसके बारे में एक लेख होगा, इसे याद मत करो!

आप और क्या जोड़ सकते हैं?

एक सीधी रेखा (या खंड) के झुकाव का कोण oX अक्ष और इस सीधी रेखा के बीच का कोण है, जो 0 से 180 डिग्री तक होता है।

आइए कार्यों पर विचार करें।

बिंदु (6; 8) से कोटि अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार की कोटि ज्ञात कीजिए।

निर्देशांक अक्ष पर गिराए गए लंब के आधार में निर्देशांक (0; 8) होंगे। क्रमांक आठ है।

उत्तर: 8

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एनिर्देशांक के साथ (6; 8) कोऑर्डिनेट अक्ष पर।

बिंदु A से कोटि की दूरी बिंदु A के भुज के बराबर है।

उत्तर : 6.

ए(6; 8) अक्ष के बारे में ऑक्स.

oX अक्ष के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक (6; - 8) होते हैं।

कोटि माइनस आठ है।

उत्तर :- 8

एक बिंदु के सममित बिंदु की कोटि ज्ञात करें ए(६; ८) मूल के सापेक्ष।

मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु के निर्देशांक होते हैं (- 6; - 8)।

इसकी कोटि है - 8.

उत्तर: -8

बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु का भुज ज्ञात कीजिएहे(0; 0) और ए(6;8).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (0; 0) और (6; 8) हैं।

हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

मिला (3; 4)। भुज तीन के बराबर है।

उत्तर: 3

* एक सेल में एक शीट पर समन्वय विमान पर इस सेगमेंट का निर्माण करके, एक खंड के मध्य बिंदु का भुज सूत्र द्वारा गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है। खंड के मध्य को कोशिकाओं द्वारा निर्धारित करना आसान होगा।

बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु का भुज ज्ञात कीजिए ए(६; ८) और बी(–2;2).

समस्या को हल करने के लिए, खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजना आवश्यक है। हमारे खंड के सिरों के निर्देशांक (-2; 2) और (6; 8) हैं।

हम सूत्र द्वारा गणना करते हैं:

मिला (2; 5)। एब्सिस्सा दो है।

उत्तर: 2

* एक सेल में एक शीट पर समन्वय विमान पर इस सेगमेंट का निर्माण करके, एक खंड के मध्य बिंदु का भुज सूत्र द्वारा गणना किए बिना निर्धारित किया जा सकता है।

बिंदुओं (0; 0) और (6; 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।

इसके सिरों के दिए गए निर्देशांक पर एक खंड की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

हमारे मामले में, हमारे पास ओ (0; 0) और ए (6; 8) है। माध्यम,

* निर्देशांक का क्रम घटाए जाने पर कोई फर्क नहीं पड़ता। बिंदु A के भुज और कोटि को भुज और बिंदु O के कोटि से घटाना संभव है:

उत्तर: 10

बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के ढलान की कोज्या ज्ञात कीजिए हे(0; 0) और ए(६; ८), एब्सिस्सा के साथ।

एक खंड के झुकाव का कोण इस खंड और ओएक्स अक्ष के बीच का कोण है।

बिंदु A से, आइए हम oX अक्ष पर लम्बवत छोड़ते हैं:

अर्थात्, खंड के झुकाव का कोण कोण हैभारतीय खेल प्राधिकरणवी सही त्रिकोणएवीओ।

एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की कोज्या है

आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात

कर्ण का पता लगाना आवश्यक हैओए.

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग टाँगों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

तो ढलान की कोज्या 0.6 . है

उत्तर: 0.6

बिंदु (6; 8) से भुज अक्ष पर एक लंब गिराया जाता है। लम्ब के आधार का भुज ज्ञात कीजिए।

भुज अक्ष के समांतर बिंदु (6; 8) से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है। अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि ज्ञात करें कहां.

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एएब्सिस्सा अक्ष के निर्देशांक (6; 8) के साथ।

बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए एमूल के निर्देशांक (6; 8) के साथ।

बहुत बार C2 समस्या में उन बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है जो खंड को आधे में विभाजित करते हैं। ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों।

तो, खंड को इसके सिरों से परिभाषित करें - अंक ए = (एक्स ए; वाई ए; जेड ए) और बी = (एक्स बी; वाई बी; जेड बी)। फिर खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक - हम इसे बिंदु एच द्वारा निरूपित करते हैं - सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य होते हैं।

· टास्क ... इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता हो। बिंदु K किनारे A 1 B 1 का मध्यबिंदु है। इस बिंदु के निर्देशांक खोजें।

समाधान... चूंकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्यबिंदु है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:

उत्तर: के = (0.5; 0; 1)

· टास्क ... इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को निर्देशांक प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z कुल्हाड़ियों को क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ निर्देशित किया जाए, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता है। खोजें बिंदु L के निर्देशांक जिस पर वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।

समाधान... प्लानिमेट्री कोर्स से यह ज्ञात होता है कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्यबिंदु है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:

उत्तर: एल = (०.५; ०.५; १)

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे सरल समस्याएं।
निर्देशांक में वैक्टर के साथ क्रिया

एक पूर्ण मशीन और सूत्रों पर विचार किए जाने वाले कार्यों को हल करने का तरीका सीखना बेहद वांछनीय है याद, विशेष रूप से याद भी नहीं, वे स्वयं याद किए जाएंगे =) यह बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की अन्य समस्याएं सबसे सरल प्राथमिक उदाहरणों पर आधारित हैं, और मोहरे खाने में अतिरिक्त समय बिताना कष्टप्रद होगा। शर्ट के ऊपर के बटनों को बन्धन करने की कोई आवश्यकता नहीं है, बहुत सी बातें आप स्कूल से जानते हैं।

सामग्री की प्रस्तुति एक समानांतर पाठ्यक्रम में होगी - विमान और अंतरिक्ष दोनों के लिए। जिस वजह से सारे फॉर्मूले... आप खुद देख लीजिए.

अंतरिक्ष में कार्टेशियन निर्देशांक का परिचय। बिंदुओं के बीच की दूरी। मध्य बिंदु निर्देशांक।

पाठ मकसद:

शैक्षिक: एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा पर विचार करें और अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक; निर्देशांक में दूरी के लिए सूत्र प्राप्त करें; खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करें।

विकसित होना: छात्रों की स्थानिक कल्पना के विकास को बढ़ावा देना; समस्या समाधान के विकास और छात्रों की तार्किक सोच के विकास में योगदान।

शैक्षिक: पालना पोसना संज्ञानात्मक गतिविधिजिम्मेदारी की भावना, संचार की संस्कृति, संवाद की संस्कृति।

उपकरण: ड्राइंग आपूर्ति, प्रस्तुति, सीआरसी

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखने का पाठ

पाठ संरचना:

आयोजन का समय।

बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

नई सामग्री सीखना।

नया ज्ञान अपडेट करना

सबक सारांश।

कक्षाओं के दौरान

इतिहास से संदेश " कार्तीय समन्वय प्रणाली "(सिखाने वाला)

एक ज्यामितीय, भौतिक, रासायनिक समस्या को हल करते हुए, आप विभिन्न समन्वय प्रणालियों का उपयोग कर सकते हैं: आयताकार, ध्रुवीय, बेलनाकार, गोलाकार।

सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में, समतल और अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली का अध्ययन किया जाता है। अन्यथा, इसे फ्रांसीसी वैज्ञानिक दार्शनिक रेने डेसकार्टेस (1596 - 1650) के बाद कार्टेशियन समन्वय प्रणाली कहा जाता है, जिन्होंने पहली बार ज्यामिति में निर्देशांक पेश किए थे।

(रेने डेसकार्टेस के बारे में एक छात्र की कहानी।)

रेने डेसकार्टेस का जन्म 1596 में फ्रांस के दक्षिण में लाई शहर में एक कुलीन परिवार में हुआ था। पिता रेने को अफसर बनाना चाहते थे। इसके लिए उन्होंने 1613 में रेने को पेरिस भेजा। कई वर्षों तक डेसकार्टेस को सेना में रहना पड़ा, हॉलैंड, जर्मनी, हंगरी, चेक गणराज्य, इटली में सैन्य अभियानों में भाग लेने के लिए, ला रोशाली के हुगुएनोट किले की घेराबंदी में। लेकिन रेने की दिलचस्पी दर्शनशास्त्र, भौतिकी और गणित में थी। पेरिस पहुंचने के तुरंत बाद, वे वियत के एक छात्र से मिले, जो उस समय के एक प्रमुख गणितज्ञ थे - मर्सन, और फिर फ्रांस के अन्य गणितज्ञों के साथ। सेना में रहते हुए, डेसकार्टेस ने अपना सारा खाली समय गणित के अध्ययन के लिए समर्पित कर दिया। उन्होंने जर्मन बीजगणित, फ्रेंच और ग्रीक गणित का अध्ययन किया।

1628 में ला रोशाली पर कब्जा करने के बाद, डेसकार्टेस ने सेना छोड़ दी। वैज्ञानिक कार्य की व्यापक योजनाओं को साकार करने के लिए वह एकांत जीवन व्यतीत करता है।

डेसकार्टेस अपने समय के सबसे महान दार्शनिक और गणितज्ञ थे। डेसकार्टेस की सबसे प्रसिद्ध कृति उनकी "ज्यामिति" है। डेसकार्टेस ने एक समन्वय प्रणाली की शुरुआत की जिसका उपयोग आज हर कोई करता है। उन्होंने संख्याओं और रेखा खंडों के बीच एक पत्राचार स्थापित किया और इस प्रकार ज्यामिति के लिए बीजीय पद्धति की शुरुआत की। डेसकार्टेस की इन खोजों ने ज्यामिति और गणित और प्रकाशिकी की अन्य शाखाओं दोनों के विकास को एक बड़ा प्रोत्साहन दिया। अब निर्देशांक तल पर मात्राओं की निर्भरता को रेखांकन के रूप में चित्रित करना संभव है, संख्याएँ - खंडों के रूप में और खंडों और अन्य पर अंकगणितीय संचालन करना ज्यामितीय मानसाथ ही विभिन्न कार्य। यह एक पूरी तरह से नई विधि थी, जो सुंदरता, अनुग्रह और सादगी से अलग थी।

दोहराव। समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली।

प्रशन:

समतल पर समन्वय प्रणाली क्या कहलाती है?

समतल पर किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाते हैं?

उत्पत्ति के निर्देशांक क्या हैं?

एक रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक और समतल पर बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र क्या है?

नई सामग्री सीखना:

अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली एक सामान्य मूल के साथ परस्पर लंबवत समन्वय रेखाओं का एक त्रिक है। सामान्य उत्पत्ति पत्र द्वारा इंगित की जाती हैहे.

ओह - एब्सिस्सा अक्ष,

ओए - कोर्डिनेट अक्ष,

हेजेड- अक्ष आवेदन

निर्देशांक ऑक्स और ओए, ओए और ओ . के अक्षों से गुजरने वाले तीन विमानजेड, ओजेडऔर ओह, कोऑर्डिनेट प्लेन कहा जाता है: ऑक्सी, ओएजेड, ओजेडएन.एस.

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु M तीन संख्याओं से जुड़ा होता है - इसके निर्देशांक।

एम (एक्स, वाई,जेड), जहां x भुज है, y कोटि है,जेड- आवेदन करें।

अंतरिक्ष में समन्वय प्रणाली

बिंदु निर्देशांक

बिंदुओं के बीच की दूरी

1 (एक्स 1 आप 1 ज़ू 1 ) और ए 2 (एक्स 2 आप 2 ज़ू 2 )

तब बिंदुओं A . के बीच की दूरी 1 और ए 2 इस तरह गणना की जाती है:

अंतरिक्ष में खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक

दो मनमाना बिंदु हैं A 1 (एक्स 1 आप 1 ज़ू 1 ) और ए 2 (एक्स 2 आप 2 ज़ू 2 ) फिर खंड A . का मध्यबिंदु 1 ए 2 निर्देशांक x, y, z के साथ बिंदु C होगा, जहां

समाधान कौशल प्राप्त करना:

1) बिंदुओं के ओर्थोगोनल अनुमानों के निर्देशांक खोजेंए (१, ३, ४) और

बी (5, -6, 2) से:

एक विमानऑक्सी ; बी) विमानओयज़ू ; ग) अक्षऑक्स ; घ) अक्षआउंस .

उत्तर: ए) (1, 3, 0), (5, -6, 0); बी) (0, 3, 4), (0, -6, 2); ग) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

डी) (0, 0, 4), (0, 0, 2)।

2) बिंदु कितनी दूरी पर हैए (1, -2, 3) निर्देशांक तल से:

ए)ऑक्सी ; बी)ऑक्सज़ू ; वी)ओयज़ू ?

उत्तर: ए) 3; बी) 2; पहले में

3) खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजें:

ए)अब , अगरए (1, 2, 3) औरबी (-1, 0, 1); बी)सीडी , अगरसी (3, 3, 0) औरडी (3, -1, 2).

उत्तर: ए) (1, 1, 2); बी) (3, 1, 1)।

5. गृहकार्य: एवी पोगोरेलोव की पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति 10-11" पृष्ठ 23 - 25, पृष्ठ 53 उत्तर प्रश्न 1 - 3; №7, №10(1)

6. पाठ सारांश।

टेबल

सतह पर

अंतरिक्ष में

परिभाषा। एक समन्वय प्रणाली दो परस्पर समन्वय अक्षों का एक समूह है, जिस बिंदु पर ये अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं - मूल - और प्रत्येक अक्ष पर इकाई खंड

परिभाषा। एक समन्वय प्रणाली तीन समन्वय अक्षों का एक समूह है, जिन बिंदुओं पर ये अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं - निर्देशांक की उत्पत्ति - और प्रत्येक अक्ष पर इकाई खंड

2 धुरी,

- निर्देशांक अक्ष,

- भुज अक्ष

3 धुरी,

- भुज अक्ष,

- निर्देशांक अक्ष,

Z - एप्लीकेटर की धुरी।

OX OA के लंबवत्

OX OA के लंबवत है,

OX, OZ के लंबवत है,

OZ के लंबवत OA

(ओ ओ)

(ओओओ)

दिशा, इकाई खंड

बिंदुओं के बीच की दूरी।

बिंदुओं के बीच की दूरी

मध्य बिंदु निर्देशांक।

मध्यबिंदु निर्देशांक

प्रशन:

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली कैसे पेश की जाती है? इसमें क्या शामिल होता है?

अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाते हैं?

निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक क्या है?

दिए गए बिंदु से मूल बिंदु की दूरी क्या है?

एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक और अंतरिक्ष में बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए सूत्र क्या है?

शिक्षार्थियों का आकलन

7 प्रतिबिंब

सबक पर

मुझे पता चला …

मैंने सीखा…

मुझे यह पसंद है…

मैं घाटे में था...

मेरा मिजाज…

साहित्य।

ए.वी. पोगोरेलोव। ट्यूटोरियल 10-11। एम। "शिक्षा", 2010

है। पेट्राकोव. कक्षा 8-10 में गणित के वृत्त। एम, "शिक्षा", 1987

नीचे दिया गया लेख एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के मुद्दों पर प्रकाश डालेगा यदि प्रारंभिक डेटा के रूप में इसके चरम बिंदुओं के निर्देशांक हैं। लेकिन, इस मुद्दे का अध्ययन शुरू करने से पहले, हम कई परिभाषाओं का परिचय देते हैं।

Yandex.RTB आर-ए-३३९२८५-१ परिभाषा १

अनुभाग- दो मनमाना बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा, जिसे खंड के सिरे कहा जाता है। उदाहरण के तौर पर, इसे अंक ए और बी होने दें और तदनुसार, खंड ए बी।

यदि खंड A B दोनों दिशाओं में बिंदु A और B से जारी रहता है, तो हमें रेखा A B प्राप्त होती है। तब खंड ए बी अंक ए और बी से बंधी परिणामी सीधी रेखा का एक हिस्सा है। खंड ए बी अंक ए और बी को जोड़ता है, जो इसके छोर हैं, साथ ही बीच में स्थित बिंदुओं का एक समूह भी है। यदि, उदाहरण के लिए, हम बिंदु A और B के बीच स्थित कोई मनमाना बिंदु K लेते हैं, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु K खंड A B पर स्थित है।

परिभाषा 2

खंड की लंबाई- दिए गए पैमाने पर खंड के सिरों के बीच की दूरी (इकाई लंबाई का खंड)। खंड ए बी की लंबाई को निम्नानुसार दर्शाया गया है: ए बी।

परिभाषा 3

खंड का मध्यबिंदु- एक खंड पर स्थित एक बिंदु और उसके सिरों से समान दूरी पर। यदि खंड A B के मध्य बिंदु को बिंदु C से निरूपित किया जाए, तो समानता सत्य होगी: A C = C B

प्रारंभिक डेटा: समन्वय रेखा ओ एक्स और उस पर गैर-संयोग बिंदु: ए और बी। ये बिंदु के अनुरूप हैं वास्तविक संख्या एक्स ए और एक्सबी। बिंदु C - खंड A B का मध्यबिंदु: निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है एक्स सी.

चूंकि बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है, इसलिए निम्नलिखित समानता सत्य होगी: | ए सी | = | सी बी | ... बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांक के बीच अंतर के मॉड्यूल द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात।

| ए सी | = | सी बी | ⇔ एक्स सी - एक्स ए = एक्स बी - एक्स सी

तब दो समानताएँ संभव हैं: x C - x A = x B - x C और x C - x A = - (x B - x C)

पहली समानता से हम बिंदु C के निर्देशांक के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं: x C = x A + x B 2 (खंड के सिरों के निर्देशांक का आधा योग)।

दूसरी समानता से हम प्राप्त करते हैं: x A = x B, जो असंभव है, क्योंकि मूल डेटा में - बेमेल अंक। इस प्रकार, खंड ए बी के अंत ए (एक्स ए) और . के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने का सूत्रबी (एक्स बी):

परिणामी सूत्र एक विमान या अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने का आधार होगा।

प्रारंभिक डेटा: ओ एक्स वाई विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली, दिए गए निर्देशांक ए एक्स ए, वाई ए और बी एक्स बी, वाई बी के साथ दो मनमानी गैर-संयोग बिंदु। बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है। बिंदु C के लिए निर्देशांक x C और y C निर्धारित करना आवश्यक है।

आइए विश्लेषण के लिए उस स्थिति को लें जब बिंदु A और B संपाती नहीं होते हैं और एक ही निर्देशांक रेखा या किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। ए एक्स, ए वाई; बी एक्स, बी वाई और सी एक्स, सी वाई - निर्देशांक अक्षों (सीधी रेखाएं ओ एक्स और ओ वाई) पर अंक ए, बी और सी के अनुमान।

रचना के अनुसार, रेखाएँ A A x, B B x, C C x समानांतर हैं; सीधी रेखाएँ भी एक दूसरे के समानांतर होती हैं। इसके साथ में, थेल्स प्रमेय के अनुसार, समानता A C = C B का तात्पर्य समानताएं हैं: A x C x = C x B x और A y C y = C y B y, और वे बदले में इंगित करते हैं कि बिंदु C x है खंड A x B x, और C y का मध्य खंड A y B y का मध्यबिंदु है। और फिर, पहले प्राप्त सूत्र के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 और वाई सी = वाई ए + वाई बी 2

समान सूत्रों का उपयोग उस स्थिति में किया जा सकता है जब बिंदु A और B एक ही समन्वय रेखा पर या किसी एक अक्ष के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित हों। हम इस मामले का विस्तृत विश्लेषण नहीं करेंगे, हम इसे केवल ग्राफिक रूप से मानेंगे:

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, विमान पर खंड ए बी के मध्य बिंदु के निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के साथए (एक्स ए, वाई ए) तथाबी (एक्स बी, वाई बी) के रूप में परिभाषित किया गया है:

(एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2)

प्रारंभिक डेटा: निर्देशांक प्रणाली О x y z और दिए गए निर्देशांक A (x A, y A, z A) और B (x B, y B, z B) के साथ दो मनमाना बिंदु। बिंदु C के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है, जो खंड A B का मध्य बिंदु है।

ए एक्स, ए वाई, ए जेड; बी एक्स, बी वाई, बी जेड और सी एक्स, सी वाई, सी जेड - समन्वय प्रणाली की धुरी पर सभी निर्दिष्ट बिंदुओं के अनुमान।

थेल्स प्रमेय के अनुसार, निम्नलिखित समानताएँ सत्य हैं: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z

इसलिए, बिंदु C x, C y, C z क्रमशः खंड A x B x, A y B y, A z B z के मध्यबिंदु हैं। फिर, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई सी = वाई ए + वाई बी 2, जेड सी = जेड ए + जेड बी 2

प्राप्त सूत्र उन मामलों में भी लागू होते हैं जब बिंदु A और B किसी एक निर्देशांक रेखा पर स्थित होते हैं; कुल्हाड़ियों में से एक के लंबवत सीधी रेखा पर; एक समन्वय विमान में या एक समन्वय विमान में से एक के लंबवत विमान में।

एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक को उसके सिरों के त्रिज्या वैक्टर के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित करना

किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र भी सदिशों की बीजगणितीय व्याख्या के अनुसार प्राप्त किया जा सकता है।

प्रारंभिक डेटा: आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली O x y, दिए गए निर्देशांक A (x A, y A) और B (x B, x B) के साथ बिंदु। बिंदु C खंड A B का मध्यबिंदु है।

वैक्टर पर क्रियाओं की ज्यामितीय परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित समानता सत्य होगी: O C → = 1 2 · O A → + O B →। इस मामले में बिंदु सी वैक्टर ओ ए → और ओ बी → के आधार पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात। विकर्णों के मध्य बिंदु। बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के निर्देशांक बिंदु के निर्देशांक के बराबर हैं, तो समानताएं सत्य हैं: ओए → = (एक्स ए, वाई ए), ओबी → = (एक्स बी, वाई बी) . आइए निर्देशांक में वैक्टर पर कुछ ऑपरेशन करें और प्राप्त करें:

ओ सी → = 1 2 ओ ए → + ओ बी → = एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

इसलिए, बिंदु C के निर्देशांक हैं:

एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2

सादृश्य से, अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एक सूत्र निर्धारित किया जाता है:

सी (एक्स ए + एक्स बी 2, वाई ए + वाई बी 2, जेड ए + जेड बी 2)

एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

ऊपर प्राप्त सूत्रों के उपयोग से जुड़े कार्यों में, दोनों ऐसे हैं जिनमें एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक की गणना करने का प्रश्न सीधे शामिल है, और वे जो इस प्रश्न के लिए दी गई शर्तों को लाते हैं: शब्द "माध्यिका" " अक्सर प्रयोग किया जाता है, लक्ष्य खंड के सिरों से एक के निर्देशांक ढूंढना है, और समरूपता पर सामान्य समस्याएं भी हैं, जिसका समाधान सामान्य रूप से इस विषय का अध्ययन करने के बाद कठिनाइयों का कारण नहीं बनना चाहिए। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

प्रारंभिक आंकड़े:समतल पर - दिए गए निर्देशांक A (- 7, 3) और B (2, 4) वाले बिंदु। खंड ए बी के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम खंड A B के मध्य बिंदु को बिंदु C से निरूपित करें। इसके निर्देशांक को खंड के सिरों के निर्देशांक के आधे योग के रूप में परिभाषित किया जाएगा, अर्थात। अंक ए और बी।

एक्स सी = एक्स ए + एक्स बी 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 वाई सी = वाई ए + वाई बी 2 = 3 + 4 2 = 7 2

उत्तर: खंड ए बी - 5 2, 7 2 के मध्य के निर्देशांक।

उदाहरण 2

प्रारंभिक आंकड़े:त्रिभुज A B C के निर्देशांक ज्ञात हैं: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। माध्यिका A M की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

1. समस्या की परिकल्पना के अनुसार, M माध्यिका है, और इसलिए M खंड B C का मध्यबिंदु है। सबसे पहले, हम खंड बी सी के मध्य बिंदु के निर्देशांक पाते हैं, अर्थात। बिंदु एम:

एक्स एम = एक्स बी + एक्स सी 2 = 3 + 9 2 = 6 वाई एम = वाई बी + वाई सी 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. चूंकि अब हम माध्यिका (अंक A और M) के दोनों सिरों के निर्देशांक जानते हैं, हम बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं और माध्यिका A M की लंबाई की गणना कर सकते हैं:

ए एम = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

उत्तर: 58

उदाहरण 3

प्रारंभिक आंकड़े:त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक समानांतर चतुर्भुज ए बी सी डी ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 दिया जाता है। बिंदु सी 1 (1, 1, 0) के निर्देशांक दिए गए हैं, और बिंदु एम भी परिभाषित किया गया है, जो विकर्ण बी डी 1 का मध्य बिंदु है और इसमें एम (4, 2, - 4) निर्देशांक हैं। बिंदु ए के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों में एक बिंदु पर एक चौराहा होता है, जो सभी विकर्णों का मध्य बिंदु होता है। इस कथन के आधार पर, यह ध्यान में रखा जा सकता है कि बिंदु एम, समस्या की स्थितियों से जाना जाता है, खंड ए सी 1 का मध्य बिंदु है। अंतरिक्ष में एक खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजने के सूत्र के आधार पर, हम बिंदु A के निर्देशांक पाते हैं: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 z A = 2 z M - z सी 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8

उत्तर:बिंदु A (7, 3, - 8) के निर्देशांक।

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• मध्य बिंदु निर्देशांक।

पाठ मकसद

• अवधारणाओं के क्षितिज का विस्तार करें।
• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
• समस्याओं को हल करते समय आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकास करना - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता विकसित करना, तार्किक साेच, गणित भाषण।
• शैक्षिक - पाठ के माध्यम से एक दूसरे के प्रति चौकस रवैया लाने के लिए, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करना।

पाठ मकसद

• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करें।

पाठ योजना

1. परिचय।
2. पहले अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
3. मध्य बिंदु निर्देशांक।
4. तार्किक कार्य।

परिचय

विषय पर ही सामग्री पर आगे बढ़ने से पहले, मैं खंड के बारे में थोड़ी बात करना चाहूंगा, न कि केवल गणितीय परिभाषा के रूप में। कई वैज्ञानिकों ने कोशिश की है खंड को अलग तरह से देखें, उसमें कुछ असामान्य देखा। कुछ प्रतिभाशाली कलाकारों ने ज्यामितीय आकृतियाँ बनाईं, जो मूड और भावनाओं को व्यक्त करती हैं.

रंग हमारे मूड को कैसे प्रभावित करता है और क्यों इसके बारे में कई सिद्धांत हैं।

रंग को महसूस किया जा सकता है, इसका हमारी भावनाओं से गहरा संबंध है। प्रकृति का रंग, वास्तुकला, पौधे, कपड़े जो हमें घेरते हैं, धीरे-धीरे हमारे मूड को प्रभावित करते हैं।

विशेषज्ञों के अनुसार, रंग का पैमाना व्यक्ति को प्रभावित कर सकता है।

• लालरंग खुश कर सकता है, ताकत दे सकता है।
• गुलाबीरंग शांति और शांति का प्रतीक है।
• संतराएक गर्म, बेचैन रंग है जो ऊर्जा और उत्थान देता है।
• शाही चीन में पीलाइतना पवित्र रंग माना जाता था कि केवल सम्राट ही पीले कपड़े पहन सकता था। मिस्रवासी और माया सूर्य को पीला मानते थे और उसकी जीवनदायिनी शक्ति का सम्मान करते थे। जब आप अच्छा महसूस नहीं कर रहे हों तो पीले फूल स्फूर्तिदायक और प्रसन्न हो सकते हैं।
• हरा- उपचार रंग। संतुलन और सद्भाव की भावना प्रदान करता है।
• नीलारचनात्मकता को बढ़ाता है।
• बैंगनी- विचारशीलता, आध्यात्मिकता और शांति का रंग। यह अंतर्ज्ञान और दूसरों के लिए चिंता से जुड़ा है।
• सफेदआमतौर पर शुद्धता और मासूमियत का रंग माना जाता है। यह प्रेरणा, रोशनी, आध्यात्मिकता और प्रेम से भी जुड़ा है।

लेकिन कितने लोगों की इतनी राय है। प्रत्येक का अपना सत्य है।

यह कैसे जुड़ा है इसका एक दिलचस्प सिद्धांत भी है एक रेखा या खंड का आकार उसके चरित्र के साथ.

रूप, रंग की तरह, किसी वस्तु का गुण है। फार्म- ये एक दृश्य वस्तु की बाहरी रूपरेखा हैं, जो इसके स्थानिक पहलुओं को दर्शाती हैं (फॉर्म, लैटिन से अनुवादित - बाहरी दृश्य)। हमारे आस-पास की हर चीज का एक निश्चित आकार होता है। इसकी रचनात्मक संरचना और शब्दार्थ सामग्री को समझना और चित्रित करना कलाकार का कार्य है। और हमें, दर्शकों के रूप में, छवि को पढ़ने, चरित्र और अर्थ को समझने में सक्षम होना चाहिए अलग - अलग रूप... कागज की एक शीट और कंप्यूटर स्क्रीन पर, एक रेखा बंद होने पर एक आकृति बनती है। इसलिए, रूप की प्रकृति उस रेखा की प्रकृति पर निर्भर करती है जिससे यह बनता है।

आप इनमें से कौन सी पंक्ति में शांति, क्रोध, उदासीनता, उत्तेजना, खुशी व्यक्त कर सकते हैं?

इस मामले में कोई निश्चित उत्तर नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक कांटेदार रेखा लापरवाही पर सीमा पर क्रोध, schadenfreude, या हिंसक खुशी व्यक्त कर सकती है।

इनमें से प्रत्येक पंक्ति से कौन सी मनोदशा या भावना मेल खाती है?

आकृति उस रेखा की प्रकृति पर कैसे निर्भर करती है जिससे वह बनती है?

पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति

अंतरिक्ष में

दो मनमाना बिंदु A1 (x 1; y 1; z 1) और A2 (x 2; y 2; z 2) हैं। तब खंड A1A2 का मध्यबिंदु बिंदु होगा साथनिर्देशांक x, y, z, जहाँ . के साथ

दिए गए अनुपात में एक खंड का विभाजन

यदि x 1 और y 1 बिंदु A के निर्देशांक हैं, और x 2 और y 2 बिंदु B के निर्देशांक हैं, तो बिंदु C के x और y निर्देशांक, खंड AB को संबंध में विभाजित करते हुए, सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3) के ज्ञात निर्देशांकों द्वारा सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है।

इस सूत्र से प्राप्त संख्या को निरपेक्ष मान में लिया जाना चाहिए।

उदाहरण 1

रेखाखंड AB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं (१.५; २)

उदाहरण # २।

रेखाखंड AB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

उत्तर:खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक हैं (21; 0)

उदाहरण संख्या 3.

बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि AC = 5.5 और CB = 19.5 है।

ए (1; 7), बी (43; -4)

उत्तर:बिंदु C निर्देशांक (10.24; 4.58)

कार्य

समस्या संख्या १

रेखाखंड DB का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।

समस्या संख्या २।

सीडी खंड के मध्य बिंदु का पता लगाएं।

मूर्तियाँ कैसे बनती हैं।

कई प्रसिद्ध मूर्तिकारों के बारे में कहा जाता है कि जब उनसे पूछा गया कि ऐसी अद्भुत मूर्तियाँ कैसे बनाई जा सकती हैं, तो उनका उत्तर था: "मैं संगमरमर का एक टुकड़ा लेता हूँ और उसमें से अनावश्यक सब कुछ काट देता हूँ।" वी अलग किताबेंइसे माइकल एंजेलो के बारे में, थोरवाल्डसन के बारे में, रॉडिन के बारे में पढ़ा जा सकता है।

इसी तरह आपको कोई भी बाउंडेड फ्लैट मिल सकता है ज्यामितीय आकार: आपको कुछ वर्ग लेने की जरूरत है जिसमें यह निहित है, और फिर सभी अनावश्यक काट लें। हालांकि, यह जरूरी नहीं है कि तुरंत काट दिया जाए, लेकिन धीरे-धीरे, हर कदम पर एक सर्कल के आकार में एक टुकड़े को त्यागें। इस मामले में, सर्कल को ही बाहर फेंक दिया जाता है, और इसकी सीमा - सर्कल - आकृति में बनी रहती है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि इस तरह से केवल एक निश्चित प्रकार की आकृति प्राप्त की जा सकती है। लेकिन पूरी बात यह है कि एक या दो वृत्त नहीं छोड़े जाते हैं, लेकिन एक अनंत, अधिक सटीक, वृत्तों का गणनीय सेट। इस तरह, आप कोई भी आकार प्राप्त कर सकते हैं। इसके प्रति आश्वस्त होने के लिए, यह ध्यान में रखना पर्याप्त है कि वृत्तों का समूह जिसके लिए केंद्र की त्रिज्या और दोनों निर्देशांक परिमेय हैं, गणनीय है।

और अब, किसी भी आकार को प्राप्त करने के लिए, यह (संगमरमर का एक ब्लॉक) युक्त एक वर्ग लेने के लिए पर्याप्त है और उपरोक्त प्रकार के सभी मंडलों को बढ़ा देता है, जिसमें आकार का एक भी बिंदु नहीं होता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है। यदि आप मंडलियों को वर्ग से नहीं, बल्कि पूरे विमान से बाहर फेंकते हैं, तो वर्णित तकनीक से आप असीमित आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं।

प्रशन

1. एक रेखा खंड क्या है?
   
2. खंड में क्या शामिल है?
3. आप एक रेखाखंड का मध्यबिंदु कैसे ज्ञात कर सकते हैं?

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. कुज़नेत्सोव ए.वी., गणित के शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
2. "एकल राज्य परीक्षा 2006. गणित। छात्रों के प्रशिक्षण के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री / रोसोबरनाडज़ोर, आईएसओपी - एम।: बुद्धि-केंद्र, 2006 "
3. के। मजूर "एम। आई। स्कैनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतियोगिता समस्याओं का समाधान"
4. एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव, ई। जी। पॉज़्न्याक, आई। आई। युदीना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

सबक पर काम किया

ए. वी. कुज़नेत्सोव

एस.ए. पोटर्नकी

तातियाना प्रोस्नाकोव