திசையன்கள்: அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் கருத்துக்கள். கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான திசையன்கள். திசையன்கள் மீதான செயல்கள் ஒரு திசையன் நீளம் சமத்துவத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது

திசையன் a → இன் நீளம் a → ஆல் குறிக்கப்படும். இந்த குறியீடானது எண்ணின் மாடுலஸைப் போன்றது, எனவே ஒரு திசையனின் நீளம் ஒரு திசையன் மாடுலஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு திசையன் அதன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து நீளத்தைக் கண்டறிய, செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y ஐக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். சில திசையன் a → ஆயத்தொகுப்புகளுடன் a x அதில் குறிப்பிடப்படட்டும்; ஏய். a x மற்றும் a y ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் a → திசையன் நீளத்தை (மாடுலஸ்) கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

O A → = a → திசையன் மூலத்திலிருந்து வரைவோம். ஆய அச்சுகளின் மீது புள்ளி A இன் தொடர்புடைய கணிப்புகளை A x மற்றும் A y என வரையறுப்போம். இப்போது மூலைவிட்ட O A உடன் O A x A A y ஒரு செவ்வகத்தைக் கவனியுங்கள்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து O A 2 = O A x 2 + O A y 2 என்ற சமத்துவத்தைப் பின்பற்றுகிறது, எங்கிருந்து O A = O A x 2 + O A y 2 . செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட வரையறையிலிருந்து, O A x 2 = a x 2 மற்றும் O A y 2 = a y 2 மற்றும் கட்டுமானத்தின் மூலம், O A இன் நீளம் O A → திசையன் நீளத்திற்குச் சமம். , அதாவது O A → = O A x 2 + O A y 2.

இதிலிருந்து அது மாறிவிடும் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் a → = a x ; a y க்கு தொடர்புடைய வடிவம் உள்ளது: a → = a x 2 + a y 2 .

திசையன் a → ஒரு → = a x i → + a y j → ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களில் விரிவாக்க வடிவில் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நீளத்தை அதே சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம் a → = a x 2 + a y 2, இந்த வழக்கில் குணகங்கள் a x மற்றும் a y என்பது திசையன் a → ஒரு கொடுக்கப்பட்ட ஆய அமைப்பில் உள்ள ஆயங்களாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

திசையன் நீளத்தை கணக்கிடவும் a → = 7 ; e, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு

ஒரு திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறிய, a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறியும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

பதில்: a → = 49 + e.

ஒரு திசையன் நீளத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் a → = a x ; ஒரு ஒய்; விண்வெளியில் உள்ள கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான Oxyz இல் உள்ள அதன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து ஒரு z, ஒரு விமானத்தில் உள்ள வழக்குக்கான சூத்திரத்தைப் போலவே பெறப்பட்டது (கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்)

இந்த வழக்கில், O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (OA என்பது ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய்களின் மூலைவிட்டம் என்பதால்), எனவே O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளின் வரையறையிலிருந்து பின்வரும் சமத்துவங்களை நாம் எழுதலாம் O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z; , மற்றும் நீளம் OA என்பது நாம் தேடும் வெக்டரின் நீளத்திற்கு சமம், எனவே, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

இது திசையன் நீளம் a → = a x ; ஒரு ஒய்; a z என்பது a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 க்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

திசையன் நீளத்தை கணக்கிடவும் a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , i → , j → , k → ஆகியவை செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்களாகும்.

தீர்வு

திசையன் சிதைவு a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் a → = 4, - 3, 5 ஆகும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 ஐப் பெறுகிறோம்.

பதில்: a → = 5 2 .

ஒரு திசையன் அதன் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் அதன் நீளம்

ஒரு திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரங்கள் மேலே பெறப்பட்டன. ஒரு விமானத்திலும் முப்பரிமாண இடத்திலும் உள்ள வழக்குகளை நாங்கள் கருதினோம். ஒரு வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளை அதன் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து கண்டுபிடிக்க அவற்றைப் பயன்படுத்துவோம்.

எனவே, A (a x ; a y) மற்றும் B (b x ; b y) ஆகிய ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே திசையன் A B → ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (b x - a x ; b y - a y) அதாவது அதன் நீளத்தை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்க முடியும்: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

மேலும் A (a x ; a y ; a z) மற்றும் B (b x ; b y ; b z) ஆகிய ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகள் முப்பரிமாண இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், A B → என்ற வெக்டரின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

எடுத்துக்காட்டு 3

செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் A 1, 3, B - 3, 1 இல் இருந்தால் A B → திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

விமானத்தின் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து திசையன் நீளத்தைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

இரண்டாவது தீர்வு பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

பதில்: A B → = 20 - 2 3 .

எடுத்துக்காட்டு 4

A (0, 1, 2) என்றால் திசையன் A B → இன் நீளம் 30 க்கு சமம் என்பதை தீர்மானிக்கவும்; பி (5 , 2 , λ 2) .

தீர்வு

முதலில், A B → வெக்டரின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதுவோம்: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை 30 க்கு சமன் செய்கிறோம், இங்கிருந்து தேவையான λ ஐக் காண்கிறோம்:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 மற்றும் λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

பதில்: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி திசையன் நீளத்தைக் கண்டறிதல்

ஐயோ, சிக்கல்களில் திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் எப்போதும் அறியப்படுவதில்லை, எனவே திசையன் நீளத்தைக் கண்டறிய பிற வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

A B → , A C → ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணம் (அல்லது கோணத்தின் கொசைன்) கொடுக்கப்பட வேண்டும், மேலும் நீங்கள் திசையன் B C → அல்லது C B → நீளத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். இந்த வழக்கில், நீங்கள் முக்கோணத்தில் உள்ள கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் △ A B C மற்றும் பக்க B C இன் நீளத்தைக் கணக்கிட வேண்டும், இது திசையன் விரும்பிய நீளத்திற்கு சமம்.

பின்வரும் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

A B → மற்றும் A C → திசையன்களின் நீளம் முறையே 3 மற்றும் 7 ஆகும், மேலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் π 3 ஆகும். திசையன் B C → நீளத்தைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு

இந்த வழக்கில் திசையன் B C → இன் நீளம் முக்கோணத்தின் B C பக்கத்தின் நீளத்திற்கு சமம் △ A B C . முக்கோணத்தின் A B மற்றும் A C பக்கங்களின் நீளம் நிபந்தனையிலிருந்து அறியப்படுகிறது (அவை தொடர்புடைய திசையன்களின் நீளத்திற்கு சமம்), அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் அறியப்படுகிறது, எனவே நாம் கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 இவ்வாறு, B C → = 37 .

பதில்: பி சி → = 37 .

எனவே, ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து ஒரு திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறிய, பின்வரும் சூத்திரங்கள் உள்ளன a → = a x 2 + a y 2 அல்லது a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , திசையனின் தொடக்க மற்றும் இறுதிப் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 அல்லது A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, சில சமயங்களில் கொசைன் தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும் .

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

முதலில், ஒரு திசையன் என்ற கருத்தை நாம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். வடிவியல் திசையன் வரையறையை அறிமுகப்படுத்த, ஒரு பிரிவு என்றால் என்ன என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பின்வரும் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒரு பிரிவு என்பது புள்ளிகளின் வடிவத்தில் இரண்டு எல்லைகளைக் கொண்ட ஒரு கோட்டின் ஒரு பகுதியாகும்.

ஒரு பிரிவில் 2 திசைகள் இருக்கலாம். திசையைக் குறிக்க, பிரிவின் எல்லைகளில் ஒன்றை அதன் ஆரம்பம் என்றும், மற்ற எல்லையை அதன் முடிவு என்றும் அழைப்போம். திசை அதன் தொடக்கத்திலிருந்து பிரிவின் இறுதி வரை குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 2

ஒரு திசையன் அல்லது இயக்கப்பட்ட பிரிவு என்பது ஒரு பிரிவாக இருக்கும், அந்த பிரிவின் எல்லைகளில் எது தொடக்கமாக கருதப்படுகிறது மற்றும் அதன் முடிவு எது என்பதை அறியலாம்.

பதவி: இரண்டு எழுத்துக்களில்: $\overline(AB)$ – (இங்கு $A$ அதன் ஆரம்பம் மற்றும் $B$ அதன் முடிவு).

ஒரு சிறிய கடிதத்தில்: $\overline(a)$ (படம் 1).

திசையன் நீளங்களின் கருத்தை இப்போது நேரடியாக அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 3

திசையன் $\overline(a)$ இன் நீளம் $a$ பிரிவின் நீளமாக இருக்கும்.

குறிப்பு: $|\overline(a)|$

திசையன் நீளத்தின் கருத்து தொடர்புடையது, எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு திசையன்களின் சமத்துவம் போன்ற ஒரு கருத்துடன்.

வரையறை 4

இரண்டு நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் இரண்டு திசையன்களை சமம் என்று அழைப்போம்: 1. அவை இணைதிசை; 1. அவற்றின் நீளம் சமம் (படம் 2).

திசையன்களை வரையறுக்க, ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உள்ளிட்டு, உள்ளிட்ட கணினியில் திசையன்களுக்கான ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும். நமக்குத் தெரிந்தபடி, எந்த திசையனையும் $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ வடிவில் சிதைக்க முடியும், இங்கு $m$ மற்றும் $n$ உண்மையான எண்கள் மற்றும் $\overline (i )$ மற்றும் $\overline(j)$ ஆகியவை முறையே $Ox$ மற்றும் $Oy$ அச்சில் உள்ள யூனிட் வெக்டர்கள்.

வரையறை 5

$\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ இன் விரிவாக்க குணகங்களை அறிமுகப்படுத்திய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் என்று அழைப்போம். கணித ரீதியாக:

$\overline(c)=(m,n)$

திசையன் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் அதன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டு அதன் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெற, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

கொடுக்கப்பட்டவை: திசையன் $\overline(α)$ ஆயத்தொலைவுகளுடன் $(x,y)$. கண்டுபிடி: இந்த திசையன் நீளம்.

விமானத்தில் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை $xOy$ அறிமுகப்படுத்துவோம். அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றத்திலிருந்து $\overline(OA)=\overline(a)$ ஐ ஒதுக்கி வைப்போம். $Ox$ மற்றும் $Oy$ அச்சுகளில் கட்டமைக்கப்பட்ட திசையன்களின் $OA_1$ மற்றும் $OA_2$ ஆகியவற்றை முறையே உருவாக்குவோம் (படம் 3).

நாங்கள் உருவாக்கிய $\overline(OA)$ என்பது $A$ புள்ளிக்கான ஆரம் வெக்டராக இருக்கும், எனவே, இது $(x,y)$ ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது

$=x$, $[OA_2]=y$

இப்போது பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தேவையான நீளத்தை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்கலாம்

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

பதில்: $\sqrt(x^2+y^2)$.

முடிவுரை:ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தைக் கண்டறிய, இந்த ஆயத்தொகையின் வர்க்கத்தின் மூலத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

மாதிரி பணிகள்

எடுத்துக்காட்டு 2

$(-1.5)$ மற்றும் $(7.3)$, முறையே பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்ட $X$ மற்றும் $Y$ புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் ஒரு வெக்டரின் கருத்துடன் எளிதாக இணைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் $\overline(XY)$ ஐக் கவனியுங்கள். நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, அத்தகைய வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளை இறுதிப் புள்ளியின் ($Y$) ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கப் புள்ளியின் ($X$) தொடர்புடைய ஆயங்களைக் கழிப்பதன் மூலம் கண்டறியலாம். நமக்கு அது கிடைக்கும்

இறுதியாக, இந்த பரந்த மற்றும் நீண்டகாலமாக எதிர்பார்க்கப்பட்ட தலைப்பில் நான் என் கைகளைப் பெற்றேன். பகுப்பாய்வு வடிவியல். முதலில், உயர் கணிதத்தின் இந்த பகுதியைப் பற்றி கொஞ்சம் ... நிச்சயமாக நீங்கள் இப்போது பல கோட்பாடுகள், அவற்றின் சான்றுகள், வரைபடங்கள் போன்றவற்றைக் கொண்ட பள்ளி வடிவியல் பாடத்தை நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள். என்ன மறைக்க வேண்டும், கணிசமான விகிதாச்சாரத்தில் உள்ள மாணவர்களுக்கு விரும்பப்படாத மற்றும் பெரும்பாலும் தெளிவற்ற பாடம். பகுப்பாய்வு வடிவியல், விந்தை போதும், மிகவும் சுவாரசியமாகவும் அணுகக்கூடியதாகவும் தோன்றலாம். "பகுப்பாய்வு" என்ற பெயரடை என்ன அர்த்தம்? இரண்டு கிளிச் செய்யப்பட்ட கணித சொற்றொடர்கள் உடனடியாக நினைவுக்கு வருகின்றன: "வரைகலை தீர்வு முறை" மற்றும் "பகுப்பாய்வு தீர்வு முறை." வரைகலை முறை, நிச்சயமாக, வரைபடங்கள் மற்றும் வரைபடங்களின் கட்டுமானத்துடன் தொடர்புடையது. பகுப்பாய்வுஅதே முறைசிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை உள்ளடக்கியது முக்கியமாகஇயற்கணித செயல்பாடுகள் மூலம். இது சம்பந்தமாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் அனைத்து சிக்கல்களையும் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை எளிமையானது மற்றும் வெளிப்படையானது; பெரும்பாலும் தேவையான சூத்திரங்களை கவனமாகப் பயன்படுத்தினால் போதும் - பதில் தயாராக உள்ளது! இல்லை, நிச்சயமாக, வரைபடங்கள் இல்லாமல் இதை எங்களால் செய்ய முடியாது, தவிர, பொருளைப் பற்றிய சிறந்த புரிதலுக்காக, தேவைக்கு அப்பால் அவற்றை மேற்கோள் காட்ட முயற்சிப்பேன்.

வடிவவியலில் புதிதாகத் திறக்கப்பட்ட பாடங்கள் கோட்பாட்டுரீதியாக முழுமையடைந்ததாகக் காட்டிக் கொள்ளவில்லை; இது நடைமுறைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் கவனம் செலுத்துகிறது. எனது பார்வையில், நடைமுறை அடிப்படையில் முக்கியமானவற்றை மட்டுமே எனது விரிவுரைகளில் சேர்ப்பேன். எந்தவொரு துணைப்பிரிவிலும் உங்களுக்கு முழுமையான உதவி தேவைப்பட்டால், பின்வரும் மிகவும் அணுகக்கூடிய இலக்கியங்களைப் பரிந்துரைக்கிறேன்:

1) நகைச்சுவை இல்லை, பல தலைமுறைகளுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு விஷயம்: வடிவவியலில் பள்ளி பாடப்புத்தகம், ஆசிரியர்கள் - எல்.எஸ். அதனஸ்யன் மற்றும் நிறுவனம். இந்த பள்ளி லாக்கர் அறை ஹேங்கர் ஏற்கனவே 20 (!) மறுபதிப்புகளுக்கு உட்பட்டுள்ளது, இது நிச்சயமாக வரம்பு அல்ல.

2) 2 தொகுதிகளில் வடிவியல். ஆசிரியர்கள் எல்.எஸ். அதனஸ்யன், பாசிலேவ் வி.டி.. இது உயர்நிலைப் பள்ளிக்கான இலக்கியம், உங்களுக்குத் தேவைப்படும் முதல் தொகுதி. அரிதாக எதிர்கொள்ளும் பணிகள் என் பார்வையில் இருந்து விழக்கூடும், மேலும் டுடோரியல் விலைமதிப்பற்ற உதவியாக இருக்கும்.

இரண்டு புத்தகங்களையும் ஆன்லைனில் இலவசமாக பதிவிறக்கம் செய்யலாம். கூடுதலாக, நீங்கள் எனது காப்பகத்தை ஆயத்த தீர்வுகளுடன் பயன்படுத்தலாம், அதை பக்கத்தில் காணலாம் உயர் கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பதிவிறக்கவும்.

கருவிகளில், நான் மீண்டும் எனது சொந்த வளர்ச்சியை முன்மொழிகிறேன் - மென்பொருள் தொகுப்புபகுப்பாய்வு வடிவவியலில், இது வாழ்க்கையை பெரிதும் எளிதாக்கும் மற்றும் நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

புள்ளி, கோடு, விமானம், முக்கோணம், இணையான வரைபடம், இணையாக, கன சதுரம், முதலியன: அடிப்படை வடிவியல் கருத்துக்கள் மற்றும் புள்ளிவிவரங்களை வாசகர் நன்கு அறிந்திருப்பார் என்று கருதப்படுகிறது. சில கோட்பாடுகளை நினைவில் கொள்வது நல்லது, குறைந்தபட்சம் பித்தகோரியன் தேற்றம், ரிப்பீட்டர்களுக்கு வணக்கம்)

இப்போது நாம் தொடர்ச்சியாக கருத்தில் கொள்வோம்: ஒரு திசையன் கருத்து, திசையன்களுடன் செயல்கள், திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள். மேலும் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன் மிக முக்கியமான கட்டுரை திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, மேலும் திசையன் மற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. ஒரு உள்ளூர் பணி - இந்த வகையில் ஒரு பிரிவின் பிரிவு - மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது. மேலே உள்ள தகவல்களின் அடிப்படையில், நீங்கள் தேர்ச்சி பெறலாம் ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுஉடன் தீர்வுகளின் எளிய எடுத்துக்காட்டுகள், இது அனுமதிக்கும் வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள். பின்வரும் கட்டுரைகளும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்: விண்வெளியில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு, விண்வெளியில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடுகள், ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தில் அடிப்படை சிக்கல்கள், பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பிற பிரிவுகள். இயற்கையாகவே, நிலையான பணிகள் வழியில் கருதப்படும்.

திசையன் கருத்து. இலவச திசையன்

முதலில், வெக்டரின் பள்ளி வரையறையை மீண்டும் செய்வோம். திசையன்அழைக்கப்பட்டது இயக்கினார்அதன் தொடக்கமும் முடிவும் குறிக்கப்பட்ட ஒரு பிரிவு:

இந்த வழக்கில், பிரிவின் ஆரம்பம் புள்ளி, பிரிவின் முடிவு புள்ளி. திசையன் தன்னை ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. திசையில்அவசியம் முற்றிலும் மாறுபட்ட திசையன். ஒரு உடல் உடலின் இயக்கத்துடன் ஒரு திசையன் கருத்தை அடையாளம் காண்பது வசதியானது: நீங்கள் ஒப்புக் கொள்ள வேண்டும், ஒரு நிறுவனத்தின் கதவுகளுக்குள் நுழைவது அல்லது ஒரு நிறுவனத்தின் கதவுகளை விட்டு வெளியேறுவது முற்றிலும் வேறுபட்ட விஷயங்கள்.

ஒரு விமானம் அல்லது இடத்தின் தனிப்பட்ட புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கருத்தில் கொள்வது வசதியானது பூஜ்ஜிய திசையன். அத்தகைய வெக்டருக்கு, முடிவும் தொடக்கமும் ஒத்துப்போகின்றன.

!!! குறிப்பு: இங்கே மேலும் மேலும், திசையன்கள் ஒரே விமானத்தில் இருப்பதாக நீங்கள் கருதலாம் அல்லது அவை விண்வெளியில் அமைந்துள்ளன என்று நீங்கள் கருதலாம் - வழங்கப்பட்ட பொருளின் சாராம்சம் விமானம் மற்றும் விண்வெளி ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும்.

பதவிகள்:பதவியில் அம்பு இல்லாத குச்சியை பலர் உடனடியாகக் கவனித்தனர், மேலும் மேலே ஒரு அம்பு உள்ளது! உண்மை, நீங்கள் அதை அம்புக்குறியுடன் எழுதலாம்: , ஆனால் அதுவும் சாத்தியமாகும் எதிர்காலத்தில் நான் பயன்படுத்தும் நுழைவு. ஏன்? வெளிப்படையாக, இந்த பழக்கம் நடைமுறை காரணங்களுக்காக வளர்ந்தது; பள்ளி மற்றும் பல்கலைக்கழகத்தில் என் துப்பாக்கி சுடும் வீரர்கள் மிகவும் வித்தியாசமான மற்றும் ஷாகியாக மாறினர். கல்வி இலக்கியத்தில், சில சமயங்களில் அவர்கள் கியூனிஃபார்ம் எழுத்தைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை, ஆனால் தடிமனான எழுத்துக்களை முன்னிலைப்படுத்துகிறார்கள்: , இதன் மூலம் இது ஒரு திசையன் என்பதைக் குறிக்கிறது.

அது ஸ்டைலிஸ்டிக்ஸ், இப்போது திசையன்களை எழுதுவதற்கான வழிகளைப் பற்றி:

1) திசையன்களை இரண்டு பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களில் எழுதலாம்:
மற்றும் பல. இந்த வழக்கில், முதல் கடிதம் அவசியம்திசையன் தொடக்கப் புள்ளியைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது எழுத்து திசையன் இறுதிப் புள்ளியைக் குறிக்கிறது.

2) திசையன்கள் சிறிய லத்தீன் எழுத்துக்களிலும் எழுதப்பட்டுள்ளன:
குறிப்பாக, எங்கள் திசையன் ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்து மூலம் சுருக்கமாக மறுவடிவமைப்பு செய்யப்படலாம்.

நீளம்அல்லது தொகுதிபூஜ்ஜியமற்ற திசையன் பிரிவின் நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பூஜ்ஜிய வெக்டரின் நீளம் பூஜ்ஜியமாகும். தருக்க.

திசையனின் நீளம் மாடுலஸ் அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது: ,

ஒரு திசையனின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம் (அல்லது யாரைப் பொறுத்து அதை மீண்டும் செய்வோம்) சிறிது நேரம் கழித்து.

இது திசையன்களைப் பற்றிய அடிப்படைத் தகவலாகும், இது அனைத்துப் பள்ளி மாணவர்களுக்கும் தெரிந்திருக்கும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலில், அழைக்கப்படுகிறது இலவச திசையன்.

எளிமையாகச் சொன்னால் - திசையன் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் வரையலாம்:

நாம் அத்தகைய திசையன்களை சமமாக அழைக்கப் பழகிவிட்டோம் (சம திசையன்களின் வரையறை கீழே கொடுக்கப்படும்), ஆனால் முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அவை ஒரே திசையன் அல்லது இலவச திசையன். ஏன் இலவசம்? ஏனெனில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​உங்களுக்குத் தேவையான விமானம் அல்லது இடத்தின் எந்தப் புள்ளியிலும் இந்த அல்லது அந்த "பள்ளி" திசையன் "இணைக்க" முடியும். இது மிகவும் அருமையான அம்சம்! தன்னிச்சையான நீளம் மற்றும் திசையின் இயக்கப்பட்ட பிரிவை கற்பனை செய்து பாருங்கள் - இது எண்ணற்ற முறை "குளோன்" செய்யப்படலாம் மற்றும் விண்வெளியில் எந்த புள்ளியிலும், உண்மையில், அது எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது. அத்தகைய ஒரு மாணவர் கூறுகிறார்: ஒவ்வொரு விரிவுரையாளரும் வெக்டரைப் பற்றித் திகைக்கிறார்கள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஒரு நகைச்சுவையான ரைம் மட்டுமல்ல, எல்லாம் கிட்டத்தட்ட சரியானது - ஒரு இயக்கப்பட்ட பகுதியையும் அங்கு சேர்க்கலாம். ஆனால் மகிழ்ச்சியடைய அவசரப்பட வேண்டாம், பெரும்பாலும் பாதிக்கப்படுவது மாணவர்களே =)

அதனால், இலவச திசையன்- இது ஒரு கொத்து ஒரே மாதிரியான இயக்கப்பட்ட பிரிவுகள். ஒரு திசையன் பள்ளி வரையறை, பத்தியின் தொடக்கத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: "ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு ஒரு திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது..." குறிக்கிறது குறிப்பிட்டகொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட ஒரு இயக்கிய பிரிவு, இது விமானம் அல்லது விண்வெளியில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

இயற்பியலின் பார்வையில், இலவச வெக்டரின் கருத்து பொதுவாக தவறானது மற்றும் பயன்பாட்டின் புள்ளி முக்கியமானது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். உண்மையில், மூக்கு அல்லது நெற்றியில் அதே சக்தியின் நேரடி அடி, எனது முட்டாள்தனமான உதாரணத்தை உருவாக்க போதுமானது, வெவ்வேறு விளைவுகளை ஏற்படுத்துகிறது. எனினும், சுதந்திரமற்றதிசையன்கள் வைஷ்மத்தின் போக்கிலும் காணப்படுகின்றன (அங்கு செல்ல வேண்டாம் :)).

திசையன்களுடன் செயல்கள். திசையன்களின் கூட்டுத்தன்மை

ஒரு பள்ளி வடிவியல் பாடநெறி திசையன்களுடன் பல செயல்கள் மற்றும் விதிகளை உள்ளடக்கியது: முக்கோண விதியின்படி கூட்டல், இணையான வரைபட விதியின்படி கூட்டல், திசையன் வேறுபாடு விதி, ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல், திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு போன்றவை.ஒரு தொடக்க புள்ளியாக, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு குறிப்பாக பொருத்தமான இரண்டு விதிகளை மீண்டும் செய்வோம்.

முக்கோண விதியைப் பயன்படுத்தி திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதி

இரண்டு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களைக் கவனியுங்கள்:

இந்த திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அனைத்து திசையன்களும் இலவசம் என்று கருதப்படுவதால், திசையனை ஒதுக்கி வைப்போம் முடிவுதிசையன்:

திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை திசையன் ஆகும். விதியை நன்கு புரிந்து கொள்ள, அதில் ஒரு உடல் அர்த்தத்தை வைப்பது நல்லது: சில உடல்கள் திசையன் வழியாகவும், பின்னர் திசையன் வழியாகவும் பயணிக்கட்டும். பின்னர் திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையானது, புறப்படும் புள்ளியில் தொடக்கம் மற்றும் வருகைப் புள்ளியில் முடிவடையும் பாதையின் திசையன் ஆகும். வெக்டார்களின் எண்ணிக்கையின் கூட்டுத்தொகைக்கு இதேபோன்ற விதி உருவாக்கப்படுகிறது. அவர்கள் சொல்வது போல், உடல் ஒரு ஜிக்ஜாக் வழியாக மிகவும் சாய்ந்து செல்லலாம் அல்லது தன்னியக்க பைலட்டில் இருக்கலாம் - இதன் விளைவாக வரும் தொகையின் திசையன் வழியாக.

மூலம், திசையன் இருந்து ஒத்திவைக்கப்பட்டால் தொடங்கியதுதிசையன், பின்னர் நாம் சமமானதைப் பெறுகிறோம் இணை வரைபடம் விதிதிசையன்கள் சேர்த்தல்.

முதலாவதாக, திசையன்களின் கூட்டுத்தன்மை பற்றி. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர், அவர்கள் ஒரே கோட்டில் அல்லது இணையான கோடுகளில் இருந்தால். தோராயமாக, நாம் இணை திசையன்களைப் பற்றி பேசுகிறோம். ஆனால் அவற்றைப் பொறுத்தவரை, "கோலினியர்" என்ற பெயரடை எப்போதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இரண்டு கோலினியர் திசையன்களை கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த திசையன்களின் அம்புகள் ஒரே திசையில் இயக்கப்பட்டால், அத்தகைய திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இணைந்து இயக்கினார். அம்புகள் வெவ்வேறு திசைகளில் சுட்டிக்காட்டினால், திசையன்கள் இருக்கும் எதிர் திசைகள்.

பதவிகள்:திசையன்களின் கூட்டுத்தன்மை வழக்கமான இணையான குறியீட்டைக் கொண்டு எழுதப்படுகிறது: , விவரம் சாத்தியமாகும் போது: (திசையன்கள் இணை இயக்கப்பட்டவை) அல்லது (திசையன்கள் எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகின்றன).

வேலைஒரு எண்ணின் மீது பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் என்பது ஒரு திசையன் ஆகும், அதன் நீளம் சமமாக இருக்கும், மற்றும் திசையன்கள் மற்றும் இணை இயக்கப்பட்டு எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது.

ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான விதியை ஒரு படத்தின் உதவியுடன் புரிந்துகொள்வது எளிது:

அதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

1) திசை. பெருக்கி எதிர்மறையாக இருந்தால், திசையன் திசையை மாற்றுகிறதுஎதிர்.

2) நீளம். பெருக்கி அல்லது க்குள் இருந்தால், திசையன் நீளம் குறைகிறது. எனவே, திசையன் நீளம் திசையன் நீளத்தின் பாதி. பெருக்கியின் மாடுலஸ் ஒன்றுக்கு மேல் இருந்தால், வெக்டரின் நீளம் அதிகரிக்கிறதுநேரத்தில்.

3) தயவுசெய்து கவனிக்கவும் அனைத்து திசையன்களும் கோலினியர், ஒரு திசையன் மற்றொரு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, . தலைகீழ் என்பதும் உண்மை: ஒரு வெக்டரை மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்த முடியும் என்றால், அத்தகைய திசையன்கள் கண்டிப்பாக கோலினியர் ஆகும். இதனால்: ஒரு வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்கினால், கோலினியர் கிடைக்கும்(அசல் தொடர்பானது) திசையன்.

4) திசையன்கள் இணைந்து இயக்கப்படுகின்றன. திசையன்கள் மற்றும் இணை இயக்குனரும். முதல் குழுவின் எந்த வெக்டரும் இரண்டாவது குழுவின் எந்த திசையனையும் பொறுத்து எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகிறது.

எந்த திசையன்கள் சமம்?

இரண்டு திசையன்கள் ஒரே திசையில் மற்றும் ஒரே நீளம் இருந்தால் சமமாக இருக்கும். இணைதிசை என்பது வெக்டார்களின் கோலினரிட்டியைக் குறிக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. "இரண்டு திசையன்கள் கோலினியர், கோ டைரக்ஷனல் மற்றும் ஒரே நீளம் கொண்டவையாக இருந்தால் சமமாக இருக்கும்" என்று நாம் கூறினால், வரையறை தவறானதாக (தேவையற்றதாக) இருக்கும்.

இலவச வெக்டரின் கருத்தின் பார்வையில், முந்தைய பத்தியில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, சம திசையன்கள் அதே திசையன் ஆகும்.

திசையன் விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் ஒருங்கிணைக்கிறது

முதல் புள்ளி விமானத்தில் திசையன்களை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும். கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை சித்தரிப்போம் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து அதைத் திட்டமிடுவோம் ஒற்றைதிசையன்கள் மற்றும்:

திசையன்கள் மற்றும் ஆர்த்தோகனல். ஆர்த்தோகனல் = செங்குத்தாக. நீங்கள் விதிமுறைகளுடன் மெதுவாகப் பழகுமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன்: இணை மற்றும் செங்குத்தாகப் பதிலாக, நாங்கள் முறையே சொற்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் ஒற்றுமைமற்றும் ஆர்த்தோகனாலிட்டி.

பதவி:திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி வழக்கமான செங்குத்து சின்னத்துடன் எழுதப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக: .

பரிசீலனையில் உள்ள திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள்அல்லது orts. இந்த திசையன்கள் உருவாகின்றன அடிப்படையில்மேற்பரப்பில். ஒரு அடிப்படை என்ன, பலருக்கு உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது என்று நான் நினைக்கிறேன்; மேலும் விரிவான தகவல்களை கட்டுரையில் காணலாம் திசையன்களின் நேரியல் (அல்லாத) சார்பு. திசையன்களின் அடிப்படைஎளிமையான வார்த்தைகளில், ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படை மற்றும் தோற்றம் முழு அமைப்பையும் வரையறுக்கிறது - இது ஒரு முழுமையான மற்றும் பணக்கார வடிவியல் வாழ்க்கை கொதிக்கும் ஒரு வகையான அடித்தளமாகும்.

சில நேரங்களில் கட்டப்பட்ட அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது ஆர்த்தோநார்மல்விமானத்தின் அடிப்படை: "ortho" - ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்பதால், "இயல்புபடுத்தப்பட்ட" என்ற பெயரடை அலகு, அதாவது. அடிப்படை திசையன்களின் நீளம் ஒன்றுக்கு சமம்.

பதவி:அடிப்படை பொதுவாக அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்படுகிறது, அதன் உள்ளே கடுமையான வரிசையில்அடிப்படை திசையன்கள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக: . திசையன்களை ஒருங்கிணைக்கவும் அது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளதுமறுசீரமைக்கவும்.

ஏதேனும்விமான திசையன் ஒரே வழிவெளிப்படுத்தப்பட்டது:
, எங்கே - எண்கள்என்று அழைக்கப்படுகின்றன திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்இந்த அடிப்படையில். மற்றும் வெளிப்பாடு தன்னை அழைக்கப்பட்டது திசையன் சிதைவுஅடிப்படையில் .

இரவு உணவு பரிமாறப்பட்டது:

எழுத்துக்களின் முதல் எழுத்தில் தொடங்குவோம்: . ஒரு திசையனை ஒரு அடிப்படையாக சிதைக்கும் போது, ​​இப்போது விவாதிக்கப்பட்டவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை வரைபடம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது:
1) ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குவதற்கான விதி: மற்றும் ;
2) முக்கோண விதியின்படி திசையன்களைச் சேர்த்தல்: .

இப்போது விமானத்தின் வேறு எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் திசையன்களை மனதளவில் திட்டமிடுங்கள். அவரது சிதைவு "இடைவிடாமல் அவரைப் பின்தொடரும்" என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. இங்கே அது, திசையன் சுதந்திரம் - திசையன் "எல்லாவற்றையும் தன்னுடன் கொண்டு செல்கிறது." இந்த சொத்து, நிச்சயமாக, எந்த திசையன்களுக்கும் பொருந்தும். அடிப்படை (இலவச) திசையன்கள் தோற்றத்திலிருந்து திட்டமிடப்பட வேண்டியதில்லை என்பது வேடிக்கையானது; ஒன்றை வரையலாம், எடுத்துக்காட்டாக, கீழ் இடதுபுறத்திலும், மற்றொன்று மேல் வலதுபுறத்திலும், எதுவும் மாறாது! உண்மை, நீங்கள் இதைச் செய்யத் தேவையில்லை, ஏனெனில் ஆசிரியரும் அசல் தன்மையைக் காண்பிப்பார் மற்றும் எதிர்பாராத இடத்தில் உங்களுக்கு "கிரெடிட்" தருவார்.

திசையன்கள் ஒரு எண்ணால் ஒரு திசையனை பெருக்குவதற்கான விதியை சரியாக விளக்குகின்றன, திசையன் அடிப்படை திசையனுடன் இணை திசையில் உள்ளது, திசையன் அடிப்படை திசையனுக்கு எதிர் திசையில் உள்ளது. இந்த திசையன்களுக்கு, ஆயத்தொகுப்புகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்; நீங்கள் இதைப் போன்ற நுணுக்கமாக எழுதலாம்:


மற்றும் அடிப்படை திசையன்கள், இது போன்றது: (உண்மையில், அவை தாங்களாகவே வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன).

இறுதியாக: , . மூலம், திசையன் கழித்தல் என்றால் என்ன, கழித்தல் விதி பற்றி நான் ஏன் பேசவில்லை? நேரியல் இயற்கணிதத்தில் எங்காவது, எங்கே என்று எனக்கு நினைவில் இல்லை, கழித்தல் என்பது கூட்டலின் சிறப்பு வழக்கு என்று குறிப்பிட்டேன். எனவே, திசையன்கள் "de" மற்றும் "e" விரிவாக்கங்கள் எளிதாக ஒரு தொகையாக எழுதப்படுகின்றன: , . இந்த சூழ்நிலைகளில் முக்கோண விதியின்படி வெக்டார்களின் நல்ல பழைய கூட்டல் எவ்வளவு தெளிவாக வேலை செய்கிறது என்பதைப் பார்க்க, வரைபடத்தைப் பின்தொடரவும்.

படிவத்தின் கருதப்படும் சிதைவு சில நேரங்களில் திசையன் சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது ort அமைப்பில்(அதாவது அலகு திசையன்களின் அமைப்பில்). ஆனால் இது ஒரு திசையன் எழுதுவதற்கான ஒரே வழி அல்ல; பின்வரும் விருப்பம் பொதுவானது:

அல்லது சம அடையாளத்துடன்:

அடிப்படை திசையன்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளன: மற்றும்

அதாவது, வெக்டரின் ஆய அடைப்புக்குறிக்குள் குறிக்கப்படுகிறது. நடைமுறை சிக்கல்களில், மூன்று குறிப்பு விருப்பங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நான் பேசலாமா என்று சந்தேகப்பட்டேன், ஆனால் நான் எப்படியும் சொல்கிறேன்: திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளை மறுசீரமைக்க முடியாது. கண்டிப்பாக முதல் இடத்தில்அலகு வெக்டருடன் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் எழுதுகிறோம், கண்டிப்பாக இரண்டாவது இடத்தில்அலகு வெக்டருடன் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பை நாங்கள் எழுதுகிறோம். உண்மையில், மற்றும் இரண்டு வெவ்வேறு திசையன்கள்.

விமானத்தில் உள்ள ஆயங்களை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். இப்போது முப்பரிமாண இடத்தில் உள்ள திசையன்களைப் பார்ப்போம், கிட்டத்தட்ட எல்லாமே இங்கே ஒரே மாதிரியானவை! இது இன்னும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பை சேர்க்கும். முப்பரிமாண வரைபடங்களை உருவாக்குவது கடினம், எனவே நான் ஒரு திசையனுக்கு வரம்பிடுவேன், எளிமைக்காக நான் தோற்றத்திலிருந்து ஒதுக்கி வைப்பேன்:

ஏதேனும் 3D விண்வெளி திசையன் ஒரே வழிஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் விரிவாக்குங்கள்:
, இந்த அடிப்படையில் வெக்டரின் (எண்) ஆயத்தொலைவுகள் எங்கே.

படத்திலிருந்து உதாரணம்: . இங்கே திசையன் விதிகள் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். முதலில், வெக்டரை ஒரு எண்ணால் பெருக்குதல்: (சிவப்பு அம்பு), (பச்சை அம்பு) மற்றும் (ராஸ்பெர்ரி அம்பு). இரண்டாவதாக, பலவற்றைச் சேர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே, இந்த வழக்கில் மூன்று, திசையன்கள்: . தொகை திசையன் புறப்படும் ஆரம்ப புள்ளியில் (திசையியலின் ஆரம்பம்) தொடங்கி, வருகையின் இறுதிப் புள்ளியில் (வெக்டரின் முடிவில்) முடிவடைகிறது.

முப்பரிமாண இடத்தின் அனைத்து திசையன்களும் இயற்கையாகவே இலவசம்; வேறு எந்த புள்ளியிலிருந்தும் திசையன் மனதளவில் ஒதுக்கி வைக்க முயற்சி செய்யுங்கள், அதன் சிதைவு "அதனுடன் இருக்கும்" என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

எழுத்துக்கு கூடுதலாக, பிளாட் கேஸைப் போன்றது அடைப்புக்குறிகளுடன் கூடிய பதிப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: ஒன்று .

விரிவாக்கத்தில் ஒன்று (அல்லது இரண்டு) ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் இல்லை என்றால், பூஜ்ஜியங்கள் அவற்றின் இடத்தில் வைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டுகள்:
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதுவோம்;
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதுவோம்;
திசையன் (கவனமாக ) - எழுதுவோம்.

அடிப்படை திசையன்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளன:

இது, ஒருவேளை, பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேவையான குறைந்தபட்ச தத்துவார்த்த அறிவு. நிறைய விதிமுறைகள் மற்றும் வரையறைகள் இருக்கலாம், எனவே டீபாட்கள் இந்த தகவலை மீண்டும் படித்து புரிந்து கொள்ளுமாறு நான் பரிந்துரைக்கிறேன். எந்தவொரு வாசகரும் அவ்வப்போது அடிப்படைப் பாடத்தை மேற்கோள் காட்டுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். கோலினியரிட்டி, ஆர்த்தோகனாலிட்டி, ஆர்த்தோநார்மல் பேஸ், வெக்டார் சிதைவு - இவை மற்றும் பிற கருத்துக்கள் பெரும்பாலும் எதிர்காலத்தில் பயன்படுத்தப்படும். விளக்கக்காட்சியின் விஞ்ஞான பாணிக்கு தீங்கு விளைவிக்கும் வகையில், அனைத்து கோட்பாடுகளையும் (மற்றும் சான்றுகள் இல்லாமல்) நான் கவனமாக குறியாக்கம் செய்வதால், வடிவவியலில் கோட்பாட்டு சோதனை அல்லது பேச்சுவழக்கில் தேர்ச்சி பெற தளத்தில் உள்ள பொருட்கள் போதுமானதாக இல்லை என்பதை நான் கவனிக்கிறேன், ஆனால் உங்கள் புரிதலுக்கு கூடுதல் பொருள். விரிவான கோட்பாட்டுத் தகவல்களைப் பெற, பேராசிரியர் அதனஸ்யனை வணங்கவும்.

நாங்கள் நடைமுறை பகுதிக்கு செல்கிறோம்:

பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் எளிமையான சிக்கல்கள்.
ஆயத்தொலைவுகளில் திசையன்களுடன் செயல்கள்

முழுமையாக தானாகவே கருதப்படும் பணிகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது மற்றும் சூத்திரங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது மிகவும் நல்லது. மனப்பாடம், நீங்கள் அதை வேண்டுமென்றே நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டியதில்லை, அவர்களே அதை நினைவில் கொள்வார்கள் =) இது மிகவும் முக்கியமானது, ஏனெனில் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பிற சிக்கல்கள் எளிமையான அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, மேலும் சிப்பாய்களை சாப்பிடுவதற்கு கூடுதல் நேரத்தை செலவிடுவது எரிச்சலூட்டும். . உங்கள் சட்டையின் மேல் பொத்தான்களை கட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை; பல விஷயங்கள் பள்ளியிலிருந்து உங்களுக்குத் தெரிந்திருக்கும்.

பொருளின் விளக்கக்காட்சி ஒரு இணையான போக்கைப் பின்பற்றும் - விமானத்திற்கும் விண்வெளிக்கும். எல்லா ஃபார்முலாக்களும்... நீங்களே பார்ப்பீர்கள் என்பதற்காக.

இரண்டு புள்ளிகளில் இருந்து திசையன் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், திசையன் பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், திசையன் பின்வரும் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது:

அது, திசையன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்துநீங்கள் தொடர்புடைய ஆயங்களை கழிக்க வேண்டும் திசையன் ஆரம்பம்.

உடற்பயிற்சி:அதே புள்ளிகளுக்கு, திசையன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரங்களை எழுதுங்கள். பாடத்தின் முடிவில் சூத்திரங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் . திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்

தீர்வு:பொருத்தமான சூத்திரத்தின் படி:

மாற்றாக, பின்வரும் உள்ளீட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

அழகியல் இதை தீர்மானிக்கும்:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் பதிவின் முதல் பதிப்பைப் பழகிவிட்டேன்.

பதில்:

நிபந்தனையின் படி, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (இது பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது), ஆனால் டம்மிகளுக்கான சில புள்ளிகளை தெளிவுபடுத்த, நான் சோம்பேறியாக இருக்க மாட்டேன்:

நீங்கள் கண்டிப்பாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும் புள்ளி ஆய மற்றும் திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு:

புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள்- இவை ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள சாதாரண ஆயங்கள். 5-6 ஆம் வகுப்பிலிருந்து ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் புள்ளிகளை எவ்வாறு திட்டமிடுவது என்பது அனைவருக்கும் தெரியும் என்று நினைக்கிறேன். ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் விமானத்தில் ஒரு கண்டிப்பான இடம் உள்ளது, மேலும் அவற்றை எங்கும் நகர்த்த முடியாது.

வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள்- இது அடிப்படையின் படி அதன் விரிவாக்கம், இந்த விஷயத்தில். எந்த வெக்டரும் இலவசம், எனவே விரும்பினால் அல்லது தேவைப்பட்டால், விமானத்தில் உள்ள வேறு சில புள்ளிகளிலிருந்து அதை எளிதாக நகர்த்தலாம். திசையன்களுக்கு நீங்கள் அச்சுகள் அல்லது செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்க வேண்டியதில்லை என்பது சுவாரஸ்யமானது; உங்களுக்கு ஒரு அடிப்படை மட்டுமே தேவை, இந்த விஷயத்தில் விமானத்தின் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படை.

புள்ளிகளின் ஆயப் பதிவுகள் மற்றும் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் ஒத்ததாகத் தெரிகிறது: , மற்றும் ஆயங்களின் பொருள்முற்றிலும் வெவ்வேறு, மற்றும் இந்த வேறுபாட்டை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும். இந்த வேறுபாடு, நிச்சயமாக, விண்வெளிக்கும் பொருந்தும்.

தாய்மார்களே, நம் கைகளை நிரப்புவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2

a) புள்ளிகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
b) புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன மற்றும் . திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
c) புள்ளிகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களைக் கண்டுபிடி மற்றும் .
ஈ) புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களைக் கண்டறியவும் .

ஒருவேளை அது போதும். நீங்கள் சொந்தமாக முடிவு செய்வதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இவை, அவற்றை புறக்கணிக்காமல் இருக்க முயற்சி செய்யுங்கள், அது பலனைத் தரும் ;-). வரைபடங்கள் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. பாடத்தின் முடிவில் தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்.

பகுப்பாய்வு வடிவியல் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது என்ன முக்கியம்?தலைசிறந்த "இரண்டு கூட்டல் இரண்டு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்" என்ற தவறை தவிர்க்க மிகவும் கவனமாக இருப்பது முக்கியம். நான் எங்காவது தவறு செய்திருந்தால் உடனடியாக மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்கிறேன் =)

ஒரு பிரிவின் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

நீளம், ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, மாடுலஸ் அடையாளத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.

விமானத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால் மற்றும் , பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், பிரிவின் நீளத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்

குறிப்பு: தொடர்புடைய ஆயங்கள் மாற்றப்பட்டால் சூத்திரங்கள் சரியாக இருக்கும்: மற்றும் , ஆனால் முதல் விருப்பம் மிகவும் நிலையானது

எடுத்துக்காட்டு 3

தீர்வு:பொருத்தமான சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

தெளிவுக்காக, நான் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவேன்

கோட்டு பகுதி - இது ஒரு திசையன் அல்ல, மற்றும், நிச்சயமாக, நீங்கள் அதை எங்கும் நகர்த்த முடியாது. கூடுதலாக, நீங்கள் அளவுகோலுக்கு வரைந்தால்: 1 அலகு. = 1 செமீ (இரண்டு நோட்புக் செல்கள்), அதன் விளைவாக வரும் பதிலை, பிரிவின் நீளத்தை நேரடியாக அளவிடுவதன் மூலம் வழக்கமான ஆட்சியாளருடன் சரிபார்க்கலாம்.

ஆம், தீர்வு குறுகியது, ஆனால் அதில் இன்னும் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகள் உள்ளன, அதை நான் தெளிவுபடுத்த விரும்புகிறேன்:

முதலில், பதிலில் நாம் பரிமாணத்தை வைக்கிறோம்: "அலகுகள்". அது என்ன, மில்லிமீட்டர்கள், சென்டிமீட்டர்கள், மீட்டர்கள் அல்லது கிலோமீட்டர்கள் என்று நிபந்தனை கூறவில்லை. எனவே, கணித ரீதியாக சரியான தீர்வு என்பது பொதுவான உருவாக்கம் ஆகும்: "அலகுகள்" - "அலகுகள்" என்று சுருக்கமாக.

இரண்டாவதாக, பள்ளிப் பொருளை மீண்டும் செய்வோம், இது கருதப்படும் பணிக்கு மட்டுமல்ல:

கவனம் செலுத்த முக்கியமான நுட்பம் – வேரின் கீழ் இருந்து பெருக்கியை நீக்குகிறது. கணக்கீடுகளின் விளைவாக, எங்களிடம் ஒரு முடிவு உள்ளது மற்றும் நல்ல கணித பாணி மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்றுவதை உள்ளடக்கியது (முடிந்தால்). இன்னும் விரிவாக, செயல்முறை இதுபோல் தெரிகிறது: . நிச்சயமாக, பதிலை அப்படியே விட்டுவிடுவது தவறல்ல - ஆனால் அது நிச்சயமாக ஒரு குறையாகவும், ஆசிரியர் தரப்பிலிருந்து ஒரு பாரமான வாதமாகவும் இருக்கும்.

பிற பொதுவான வழக்குகள் இங்கே:

பெரும்பாலும் ரூட் ஒரு பெரிய எண்ணிக்கையை உருவாக்குகிறது, எடுத்துக்காட்டாக . இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் என்ன செய்வது? கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி, எண் 4: ஆல் வகுபடுமா என்பதைச் சரிபார்க்கிறோம். ஆம், இது முற்றிலும் பிரிக்கப்பட்டது, இவ்வாறு: . அல்லது எண்ணை மீண்டும் 4 ஆல் வகுக்கலாமா? . இதனால்: . எண்ணின் கடைசி இலக்கம் ஒற்றைப்படை, எனவே மூன்றாவது முறையாக 4 ஆல் வகுத்தால் வேலை செய்யாது. ஒன்பதால் வகுக்க முயற்சிப்போம்: . அதன் விளைவாக:
தயார்.

முடிவுரை:ரூட்டின் கீழ் ஒட்டுமொத்தமாக பிரித்தெடுக்க முடியாத எண்ணைப் பெற்றால், மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணியை அகற்ற முயற்சிக்கிறோம் - ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி எண் 4, 9, 16, 25, 36, 49, முதலியன

பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​வேர்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன; ஆசிரியரின் கருத்துகளின் அடிப்படையில் உங்கள் தீர்வுகளை இறுதி செய்வதில் குறைந்த தரம் மற்றும் தேவையற்ற சிக்கல்களைத் தவிர்ப்பதற்காக எப்போதும் மூலத்தின் கீழ் இருந்து காரணிகளைப் பிரித்தெடுக்க முயற்சிக்கவும்.

சதுர வேர்கள் மற்றும் பிற சக்திகளை மீண்டும் செய்வோம்:

பொது வடிவத்தில் அதிகாரங்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகள் பள்ளி இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகத்தில் காணப்படுகின்றன, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து எல்லாம் அல்லது கிட்டத்தட்ட எல்லாமே ஏற்கனவே தெளிவாக உள்ளன என்று நான் நினைக்கிறேன்.

விண்வெளியில் ஒரு பகுதியுடன் சுயாதீன தீர்வுக்கான பணி:

எடுத்துக்காட்டு 4

புள்ளிகள் மற்றும் வழங்கப்படும். பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

திசையன் நீளத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு விமான திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது.

விண்வெளி திசையன் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது .

வரையறை

அளவுகோல் அளவு- ஒரு எண்ணால் வகைப்படுத்தக்கூடிய அளவு. உதாரணமாக, நீளம், பரப்பளவு, நிறை, வெப்பநிலை போன்றவை.

திசையன்இயக்கிய பிரிவு $\overline(A B)$ எனப்படும்; புள்ளி $A$ ஆரம்பம், புள்ளி $B$ என்பது திசையன் முடிவு (படம் 1).

ஒரு திசையன் இரண்டு பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகிறது - அதன் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவு: $\overline(A B)$ அல்லது ஒரு சிறிய எழுத்து: $\overline(a)$.

வரையறை

ஒரு திசையனின் தொடக்கமும் முடிவும் இணைந்தால், அத்தகைய திசையன் அழைக்கப்படுகிறது பூஜ்யம். பெரும்பாலும், பூஜ்ஜிய திசையன் $\overline(0)$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோலினியர், அவர்கள் ஒரே வரியில் அல்லது இணையான கோடுகளில் (படம் 2) பொய் இருந்தால்.

வரையறை

$\overline(a)$ மற்றும் $\overline(b)$ என்ற இரண்டு கோலினியர் வெக்டர்கள் அழைக்கப்படுகின்றன இணைந்து இயக்கினார், அவற்றின் திசைகள் ஒத்துப்போனால்: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). $\overline(a)$ மற்றும் $\overline(b)$ என்ற இரண்டு கோலினியர் வெக்டர்கள் அழைக்கப்படுகின்றன எதிர்மாறாக இயக்கப்பட்டது, அவற்றின் திசைகள் எதிர்மாறாக இருந்தால்: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

வரையறை

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன கோப்ளனார், அவர்கள் ஒரே விமானத்திற்கு இணையாக இருந்தால் அல்லது அதே விமானத்தில் பொய் (படம் 4).

இரண்டு திசையன்கள் எப்போதும் கோப்லனர்.

வரையறை

நீளம் (தொகுதி)திசையன் $\overline(A B)$ என்பது அதன் தொடக்கத்திற்கும் முடிவுக்கும் இடையே உள்ள தூரம்: $|\overline(A B)|$

இணைப்பில் திசையன் நீளம் பற்றிய விரிவான கோட்பாடு.

பூஜ்ஜிய வெக்டரின் நீளம் பூஜ்ஜியமாகும்.

வரையறை

நீளம் ஒன்றுக்கு சமமான திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது அலகு திசையன்அல்லது ortom.

திசையன்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன சமமான, அவர்கள் ஒன்று அல்லது இணையான கோடுகளில் பொய் இருந்தால்; அவற்றின் திசைகள் ஒத்துப்போகின்றன மற்றும் அவற்றின் நீளம் சமமாக இருக்கும்.

கட்டுரையின் தலைப்புக்குச் செல்வதற்கு முன், அடிப்படைக் கருத்துக்களை நினைவுபடுத்துவோம்.

வரையறை 1

திசையன்- ஒரு நேர் கோடு பிரிவு எண் மதிப்பு மற்றும் திசையால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு திசையன் மேல் அம்புக்குறியுடன் ஒரு சிறிய லத்தீன் எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. குறிப்பிட்ட எல்லைப் புள்ளிகள் இருந்தால், திசையன் பதவியானது இரண்டு பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களைப் போலவும் (திசையன் எல்லைகளைக் குறிக்கும்) மேல் அம்புக்குறியுடன் இருக்கும்.

வரையறை 2

பூஜ்ஜிய திசையன்- விமானத்தின் எந்தப் புள்ளியும், மேலே அம்புக்குறியுடன் பூஜ்ஜியமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

வரையறை 3

திசையன் நீளம்- வெக்டரை உருவாக்கும் பிரிவின் நீளத்தை நிர்ணயிக்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான அல்லது அதற்கு அதிகமான மதிப்பு.

வரையறை 4

கோலினியர் திசையன்கள்- ஒரு வரியில் அல்லது இணையான கோடுகளில் பொய். இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யாத திசையன்கள் கோலினியர் அல்லாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 5

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு →மற்றும் b →. அவற்றில் கூடுதல் செயல்பாட்டைச் செய்ய, தன்னிச்சையான வரையறுக்கப்படாத புள்ளியிலிருந்து ஒரு திசையன் வரைய வேண்டும். A B →, வெக்டருக்கு சமம் ஒரு →; வரையறுக்கப்படாத புள்ளியிலிருந்து - திசையன் பி சி →, வெக்டருக்கு சமம் b →. வரையறுக்கப்படாத புள்ளிகள் மற்றும் C ஐ இணைப்பதன் மூலம், நாம் ஒரு பகுதியைப் பெறுகிறோம் (வெக்டார்) ஏ சி →, இது அசல் தரவின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். இல்லையெனில், விவரிக்கப்பட்ட திசையன் கூட்டல் திட்டம் அழைக்கப்படுகிறது முக்கோண விதி.

வடிவியல் ரீதியாக, திசையன் கூட்டல் இதுபோல் தெரிகிறது:

கோலினியர் அல்லாத திசையன்களுக்கு:

கோலினியர் (இணை-திசை அல்லது எதிர்) திசையன்களுக்கு:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டத்தை ஒரு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொண்டால், 2 க்கும் அதிகமான தொகையில் திசையன்களைச் சேர்க்கும் செயல்பாட்டைச் செய்வதற்கான வாய்ப்பைப் பெறுகிறோம்: ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த திசையனையும் சேர்த்து.

வரையறை 6

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு → , b → , c →, d → . விமானத்தில் தன்னிச்சையான புள்ளி A இலிருந்து திசையன்க்கு சமமான ஒரு பகுதியை (வெக்டார்) திட்டமிடுவது அவசியம். ஒரு →; பின்னர் விளைந்த திசையன் முடிவில் இருந்து திசையன் சமமான திசையன் நீக்கப்பட்டது b →; பின்னர், அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி அடுத்தடுத்த திசையன்கள் அமைக்கப்படுகின்றன. கடைசியாக ஒத்திவைக்கப்பட்ட வெக்டரின் முடிவு புள்ளி B புள்ளியாக இருக்கும், அதன் விளைவாக வரும் பிரிவு (திசையன்) A B →- அனைத்து ஆரம்ப தரவுகளின் கூட்டுத்தொகை. பல திசையன்களைச் சேர்ப்பதற்கான விவரிக்கப்பட்ட திட்டம் அழைக்கப்படுகிறது பலகோண விதி .

வடிவியல் ரீதியாக இது போல் தெரிகிறது:

வரையறை 7

ஒரு தனி செயல் திட்டம் திசையன் கழித்தல்இல்லை, ஏனெனில் அடிப்படையில் ஒரு திசையன் வேறுபாடு ஒரு →மற்றும் b →திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் ஒரு →மற்றும் - b → .

வரையறை 8

திசையனை ஒரு குறிப்பிட்ட எண் k ஆல் பெருக்கும் செயலைச் செய்ய, பின்வரும் விதிகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும்:
- k > 1 எனில், இந்த எண் திசையன் k முறை நீட்டப்படுவதற்கு வழிவகுக்கும்;
- 0 என்றால்< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 கே முறை;
- என்றால் கே< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- k = 1 எனில், திசையன் அப்படியே இருக்கும்;
- காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜிய திசையன் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான எண்ணாக இருந்தால், பெருக்கத்தின் விளைவாக பூஜ்ஜிய திசையன் இருக்கும்.

ஆரம்ப தரவு:
1) திசையன் ஒரு →மற்றும் எண் k = 2;
2) திசையன் b →மற்றும் எண் k = - 1 3 .

வடிவியல் ரீதியாக, மேலே உள்ள விதிகளின்படி பெருக்கத்தின் முடிவு இப்படி இருக்கும்:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட திசையன்களின் செயல்பாடுகள் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றில் சில வெளிப்படையானவை, மற்றவை வடிவியல் ரீதியாக நியாயப்படுத்தப்படலாம்.

உள்ளீடு: திசையன்கள் ஒரு → , b → , c →மற்றும் தன்னிச்சையான உண்மையான எண்கள் λ மற்றும் μ.

கம்யூட்டிவிட்டி மற்றும் அசோசியேட்டிவிட்டியின் பண்புகள் எந்த வரிசையிலும் திசையன்களைச் சேர்க்க முடியும்.

செயல்பாடுகளின் பட்டியலிடப்பட்ட பண்புகள் வழக்கமான எண்களைப் போலவே திசையன்-எண் வெளிப்பாடுகளின் தேவையான மாற்றங்களைச் செய்ய உங்களை அனுமதிக்கின்றன. இதை ஒரு உதாரணத்துடன் பார்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

பணி:வெளிப்பாடு a → - 2 · (b → + 3 · a →)
தீர்வு
- இரண்டாவது விநியோக சொத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- பெருக்கத்தின் துணைப் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம், வெளிப்பாடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- பரிமாற்றத் தன்மையைப் பயன்படுத்தி, விதிமுறைகளை மாற்றுகிறோம்: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- பின்னர் முதல் விநியோக சொத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → ஒரு குறுகிய குறியீடு தீர்வு இப்படி இருக்கும்: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
பதில்: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்