மாற்று முறை மூலம் சமன்பாடுகளை தீர்ப்பது பள்ளி அறிவு. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது. கூட்டல் மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

வழக்கமாக கணினியின் சமன்பாடுகள் ஒரு நெடுவரிசையில் ஒன்றின் கீழே மற்றொன்று எழுதப்பட்டு சுருள் பிரேஸுடன் இணைக்கப்படும்

இந்த வகை சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, எங்கே a, b, c- எண்கள், மற்றும் x, y- மாறிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, ​​சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு செல்லுபடியாகும் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்

1) சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் மாறியை வெளிப்படுத்தவும். உதாரணமாக, வெளிப்படுத்தலாம் ஒய்முதல் சமன்பாட்டில், நாம் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்:

2) அதற்கு பதிலாக கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றவும் ஒய்வெளிப்பாடு 3x-7:

3) இதன் விளைவாக வரும் இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

4) விளைந்த தீர்வை கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது: ஒரு ஜோடி எண்கள் x=1, y=-4. பதில்: (1; -4) , அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதப்பட்ட, முதல் நிலையில் மதிப்பு எக்ஸ், இரண்டாவது - ஒய்.

கூட்டல் மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்போம் கூட்டல் முறை.

1) மாறிகளில் ஒன்றின் குணகங்கள் எதிர்மாறாக மாறும் வகையில் கணினியை மாற்றவும். கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை "3" ஆல் பெருக்குவோம்.

2) கணினி காலத்தின் சமன்பாடுகளை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்க்கவும். கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டை (ஏதேனும்) மாற்றங்கள் இல்லாமல் மீண்டும் எழுதுகிறோம்.

3) விளைந்த தீர்வை கணினியின் முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை வரைகலை முறையில் தீர்ப்பது

இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வரைகலை தீர்வு சமன்பாடுகளின் வரைபடங்களின் பொதுவான புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியும்.

நேரியல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடு. ஒரு விமானத்தில் இரண்டு கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டலாம், இணையாக இருக்கலாம் அல்லது ஒத்துப்போகலாம். அதன்படி, சமன்பாடுகளின் அமைப்பு: அ) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும்; b) தீர்வுகள் இல்லை; c) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.

2) சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி (சமன்பாடுகள் நேரியல் என்றால்) ஆகும்.

அமைப்பின் கிராஃபிக் தீர்வு

புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தும் முறை

மாறிகளை மாற்றுவது அசல் சமன்பாட்டை விட எளிமையான சமன்பாடுகளை தீர்க்க வழிவகுக்கும்.

அமைப்பின் தீர்வைக் கவனியுங்கள்

பிறகு, மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்

ஆரம்ப மாறிகளுக்கு செல்லலாம்

சிறப்பு வழக்குகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்காமல், தொடர்புடைய மாறிகளின் குணகங்களிலிருந்து அதன் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம்.

பல்வேறு செயல்முறைகளின் கணித மாதிரியாக்கத்திற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் பொருளாதாரத் துறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, உற்பத்தி மேலாண்மை மற்றும் திட்டமிடல், தளவாட வழிகள் (போக்குவரத்து சிக்கல்) அல்லது உபகரணங்களை வைப்பது போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, இயற்பியல், வேதியியல் மற்றும் உயிரியலிலும், மக்கள் தொகை அளவைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது பல மாறிகள் கொண்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகள் ஆகும், இதற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். அனைத்து சமன்பாடுகளும் உண்மையான சமத்துவங்களாக மாறும் அல்லது வரிசை இல்லை என்பதை நிரூபிக்கும் எண்களின் அத்தகைய வரிசை.

நேரியல் சமன்பாடு

ax+by=c வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் நேரியல் எனப்படும். பெயர்கள் x, y என்பது அறியப்படாதவை, அதன் மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டும், b, a என்பது மாறிகளின் குணகங்கள், c என்பது சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.
ஒரு சமன்பாட்டை சதி செய்வதன் மூலம் அதைத் தீர்ப்பது ஒரு நேர் கோடு போல் இருக்கும், அதன் அனைத்து புள்ளிகளும் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கான தீர்வுகள்.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் வகைகள்

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகள் X மற்றும் Y ஆகிய இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளாகக் கருதப்படுகின்றன.

F1(x, y) = 0 மற்றும் F2(x, y) = 0, இதில் F1,2 செயல்பாடுகள் மற்றும் (x, y) செயல்பாடு மாறிகள்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும் - இதன் பொருள் (x, y) மதிப்புகளைக் கண்டறிதல், அதில் கணினி உண்மையான சமத்துவமாக மாறும் அல்லது x மற்றும் y இன் பொருத்தமான மதிப்புகள் இல்லை என்பதை நிறுவுதல்.

ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளாக எழுதப்பட்ட ஒரு ஜோடி மதிப்புகள் (x, y), நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

அமைப்புகளுக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு இருந்தால் அல்லது தீர்வு இல்லை என்றால், அவை சமமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகள் என்பது வலது புறம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அமைப்புகள். சம அடையாளத்திற்குப் பிறகு வலது பகுதி ஒரு மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால் அல்லது ஒரு செயல்பாட்டால் வெளிப்படுத்தப்பட்டால், அத்தகைய அமைப்பு பன்முகத்தன்மை கொண்டது.

மாறிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம், மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைப் பற்றி நாம் பேச வேண்டும்.

அமைப்புகளை எதிர்கொள்ளும் போது, ​​சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையானது அறியப்படாதவர்களின் எண்ணிக்கையுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும் என்று பள்ளி மாணவர்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் இது அவ்வாறு இல்லை. கணினியில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மாறிகள் சார்ந்தது அல்ல; விரும்பிய அளவுக்கு அவற்றில் பல இருக்கலாம்.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய மற்றும் சிக்கலான முறைகள்

அத்தகைய அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான பகுப்பாய்வு முறை எதுவும் இல்லை; அனைத்து முறைகளும் எண் தீர்வுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. பள்ளிக் கணிதப் பாடமானது வரிசைமாற்றம், இயற்கணிதக் கூட்டல், மாற்றீடு, அத்துடன் வரைகலை மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் முறைகள், காசியன் முறையின் தீர்வு போன்ற முறைகளை விரிவாக விவரிக்கிறது.

தீர்வு முறைகளை கற்பிக்கும் போது முக்கிய பணி, கணினியை எவ்வாறு சரியாக பகுப்பாய்வு செய்வது மற்றும் ஒவ்வொரு உதாரணத்திற்கும் உகந்த தீர்வு வழிமுறையை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைக் கற்பிப்பதாகும். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், ஒவ்வொரு முறைக்கும் விதிகள் மற்றும் செயல்களின் அமைப்பை மனப்பாடம் செய்வது அல்ல, ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான கொள்கைகளைப் புரிந்துகொள்வது.

7 ஆம் வகுப்பு பொதுக் கல்வி பாடத்திட்டத்தில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது மிகவும் எளிமையானது மற்றும் மிக விரிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளது. எந்த கணித பாடப்புத்தகத்திலும், இந்த பகுதி போதுமான கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. காஸ் மற்றும் க்ரேமர் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது உயர்கல்வியின் முதல் ஆண்டுகளில் இன்னும் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது.

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு அமைப்புகள்

மாற்று முறையின் செயல்கள் ஒரு மாறியின் மதிப்பை இரண்டாவது அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன. வெளிப்பாடு மீதமுள்ள சமன்பாட்டில் மாற்றப்படுகிறது, பின்னர் அது ஒரு மாறியுடன் ஒரு வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது. கணினியில் தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து செயல் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி வகுப்பு 7 இன் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்திற்கு ஒரு தீர்வைக் கொடுப்போம்:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, x மாறி F(X) = 7 + Y மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது. இதன் விளைவாக X க்கு பதிலாக கணினியின் 2 வது சமன்பாட்டில் மாற்றப்பட்டது, 2 வது சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி Y ஐப் பெற உதவியது. . இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்ப்பது எளிதானது மற்றும் Y மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. கடைசி படி பெறப்பட்ட மதிப்புகளைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.

மாற்றீடு மூலம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தைத் தீர்ப்பது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. சமன்பாடுகள் சிக்கலானதாக இருக்கலாம் மற்றும் இரண்டாவது தெரியாதவற்றின் அடிப்படையில் மாறியை வெளிப்படுத்துவது மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். கணினியில் 3 க்கும் மேற்பட்ட தெரியாதவை இருந்தால், மாற்றீடு மூலம் தீர்ப்பதும் பொருத்தமற்றது.

நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் உதாரணத்தின் தீர்வு:

இயற்கணிதக் கூட்டலைப் பயன்படுத்தி தீர்வு

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி கணினிகளுக்கான தீர்வுகளைத் தேடும் போது, ​​சமன்பாடுகள் காலத்தால் சேர்க்கப்படுகின்றன மற்றும் பல்வேறு எண்களால் பெருக்கப்படுகின்றன. கணித செயல்பாடுகளின் இறுதி இலக்கு ஒரு மாறியில் உள்ள சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு பயிற்சி மற்றும் கவனிப்பு தேவை. 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகள் இருக்கும்போது கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது எளிதானது அல்ல. சமன்பாடுகள் பின்னங்கள் மற்றும் தசமங்களைக் கொண்டிருக்கும் போது இயற்கணிதக் கூட்டல் பயன்படுத்த வசதியானது.

தீர்வு அல்காரிதம்:

1. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கவும். எண்கணித செயல்பாட்டின் விளைவாக, மாறியின் குணகங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக மாற வேண்டும்.
2. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடு காலத்தைச் சேர்த்து, தெரியாதவற்றில் ஒன்றைக் கண்டறியவும்.
3. மீதமுள்ள மாறியைக் கண்டறிய, பெறப்பட்ட மதிப்பை கணினியின் 2 வது சமன்பாட்டில் மாற்றவும்.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வுக்கான முறை

இரண்டு சமன்பாடுகளுக்கு மேல் இல்லாத ஒரு தீர்வை கணினிக்கு தேவைப்பட்டால், ஒரு புதிய மாறி அறிமுகப்படுத்தப்படலாம்; தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கு மேல் இருக்கக்கூடாது.

ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சமன்பாடுகளில் ஒன்றை எளிமைப்படுத்த இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட அறியப்படாதவற்றுக்கு புதிய சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு அசல் மாறியைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.

ஒரு புதிய மாறி t ஐ அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், கணினியின் 1 வது சமன்பாட்டை ஒரு நிலையான இருபடி முக்கோணத்திற்கு குறைக்க முடியும் என்பதை எடுத்துக்காட்டு காட்டுகிறது. பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் நீங்கள் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்க்கலாம்.

நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறிவது அவசியம்: D = b2 - 4*a*c, D என்பது விரும்பிய பாகுபாடு, b, a, c ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிகள். கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், a=1, b=16, c=39, எனவே D=100. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன: t = -b±√D / 2*a, பாரபட்சமானது பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், ஒரு தீர்வு உள்ளது: x = -b / 2*a.

விளைந்த அமைப்புகளுக்கான தீர்வு கூட்டல் முறையால் கண்டறியப்படுகிறது.

அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான காட்சி முறை

3 சமன்பாடு அமைப்புகளுக்கு ஏற்றது. கணினியில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு சமன்பாட்டின் வரைபடங்களையும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் உருவாக்குவது இந்த முறை ஆகும். வளைவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வாக இருக்கும்.

வரைகலை முறை பல நுணுக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு காட்சி வழியில் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ஒவ்வொரு வரிக்கும் இரண்டு புள்ளிகள் கட்டப்பட்டுள்ளன, மாறி x இன் மதிப்புகள் தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன: 0 மற்றும் 3. x இன் மதிப்புகளின் அடிப்படையில், y க்கான மதிப்புகள் கண்டறியப்பட்டன: 3 மற்றும் 0. ஆய (0, 3) மற்றும் (3, 0) புள்ளிகள் வரைபடத்தில் குறிக்கப்பட்டு ஒரு வரியால் இணைக்கப்பட்டன.

இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கான படிகள் மீண்டும் செய்யப்பட வேண்டும். கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி அமைப்பின் தீர்வு.

0.5x-y+2=0 மற்றும் 0.5x-y-1=0: பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுக்கு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வரைகலை தீர்வைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், கணினிக்கு தீர்வு இல்லை, ஏனெனில் வரைபடங்கள் இணையானவை மற்றும் அவற்றின் முழு நீளத்துடன் குறுக்கிடவில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள் 2 மற்றும் 3 இல் உள்ள அமைப்புகள் ஒத்தவை, ஆனால் கட்டமைக்கப்படும் போது அவற்றின் தீர்வுகள் வேறுபட்டவை என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு அமைப்புக்கு தீர்வு இருக்கிறதா இல்லையா என்று எப்போதும் கூற முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்; ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவது எப்போதும் அவசியம்.

அணி மற்றும் அதன் வகைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை சுருக்கமாக எழுத மெட்ரிஸ்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மேட்ரிக்ஸ் என்பது எண்களால் நிரப்பப்பட்ட ஒரு சிறப்பு அட்டவணை. n*m இல் n - வரிசைகள் மற்றும் m - நெடுவரிசைகள் உள்ளன.

நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்போது ஒரு அணி சதுரமாகும். மேட்ரிக்ஸ்-வெக்டார் என்பது எண்ணற்ற எண்ணிக்கையிலான வரிசைகளைக் கொண்ட ஒரு நெடுவரிசையின் அணி. மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று மற்றும் பிற பூஜ்ஜிய உறுப்புகளுடன் கூடிய அணி அடையாளம் எனப்படும்.

ஒரு தலைகீழ் அணி என்பது ஒரு அணியாகும், இதன் மூலம் பெருக்கப்படும் போது அசல் ஒரு யூனிட் மேட்ரிக்ஸாக மாறும்; அத்தகைய அணி அசல் சதுரத்திற்கு மட்டுமே உள்ளது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பை மேட்ரிக்ஸாக மாற்றுவதற்கான விதிகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பொறுத்தவரை, சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மற்றும் இலவச விதிமுறைகள் அணி எண்களாக எழுதப்படுகின்றன; ஒரு சமன்பாடு என்பது மேட்ரிக்ஸின் ஒரு வரிசையாகும்.

வரிசையின் குறைந்தபட்சம் ஒரு உறுப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், அணி வரிசை பூஜ்ஜியமற்றது என்று கூறப்படுகிறது. எனவே, ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாறிகளின் எண்ணிக்கை வேறுபட்டால், காணாமல் போன தெரியாத இடத்திற்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை உள்ளிடுவது அவசியம்.

மேட்ரிக்ஸ் நெடுவரிசைகள் கண்டிப்பாக மாறிகளுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் x மாறியின் குணகங்களை ஒரு நெடுவரிசையில் மட்டுமே எழுத முடியும், எடுத்துக்காட்டாக முதல், தெரியாத y இன் குணகம் - இரண்டாவது.

மேட்ரிக்ஸைப் பெருக்கும் போது, ​​மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் ஒரு எண்ணால் வரிசையாக பெருக்கப்படுகின்றன.

தலைகீழ் மேட்ரிக்ஸைக் கண்டறிவதற்கான விருப்பங்கள்

தலைகீழ் அணியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: K -1 = 1 / |K|, K -1 என்பது தலைகீழ் அணி, மற்றும் |K| மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் ஆகும். |கே| பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, பின்னர் கணினிக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது.

இரண்டு-இரண்டு அணிக்கு தீர்மானிப்பான் எளிதில் கணக்கிடப்படுகிறது; நீங்கள் மூலைவிட்ட கூறுகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்க வேண்டும். "மூன்று மூன்று" விருப்பத்திற்கு, ஒரு சூத்திரம் உள்ளது |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது ஒவ்வொரு வரிசையிலிருந்தும் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பை எடுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ளலாம், இதனால் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் உறுப்புகளின் வரிசைகள் வேலையில் மீண்டும் மீண்டும் வராது.

மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

ஒரு தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையானது, அதிக எண்ணிக்கையிலான மாறிகள் மற்றும் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளைத் தீர்க்கும்போது சிக்கலான உள்ளீடுகளைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டில், ஒரு nm என்பது சமன்பாடுகளின் குணகங்கள், அணி என்பது ஒரு திசையன் x n என்பது மாறிகள், மற்றும் b n என்பது இலவச சொற்கள்.

காஸியன் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வு அமைப்புகள்

உயர் கணிதத்தில், காஸியன் முறையானது க்ரேமர் முறையுடன் சேர்ந்து ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, மேலும் அமைப்புகளுக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் செயல்முறை காஸ்-க்ரேமர் தீர்வு முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த முறைகள் அதிக எண்ணிக்கையிலான நேரியல் சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளின் மாறிகளைக் கண்டறியப் பயன்படுகின்றன.

காஸ் முறையானது மாற்று மற்றும் இயற்கணிதக் கூட்டல் மூலம் தீர்வுகளை மிகவும் ஒத்திருக்கிறது, ஆனால் மிகவும் முறையானது. பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், காஸியன் முறையின் தீர்வு 3 மற்றும் 4 சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது. முறையின் நோக்கம் கணினியை தலைகீழ் ட்ரெப்சாய்டு வடிவத்திற்குக் குறைப்பதாகும். இயற்கணித மாற்றங்கள் மற்றும் மாற்றீடுகள் மூலம், ஒரு மாறியின் மதிப்பு அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றில் காணப்படுகிறது. இரண்டாவது சமன்பாடு 2 அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும், அதே சமயம் 3 மற்றும் 4 முறையே 3 மற்றும் 4 மாறிகள் உள்ளன.

கணினியை விவரிக்கப்பட்ட படிவத்திற்கு கொண்டு வந்த பிறகு, மேலும் தீர்வு கணினியின் சமன்பாடுகளில் அறியப்பட்ட மாறிகளின் வரிசை மாற்றத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

வகுப்பு 7 க்கான பள்ளி பாடப்புத்தகங்களில், காஸ் முறையின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடியும், படி (3) இல் இரண்டு சமன்பாடுகள் பெறப்பட்டன: 3x 3 -2x 4 =11 மற்றும் 3x 3 +2x 4 =7. சமன்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தீர்ப்பது, x n என்ற மாறிகளில் ஒன்றைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும்.

உரையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தேற்றம் 5, அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்று சமமான ஒன்றால் மாற்றப்பட்டால், அதன் விளைவாக வரும் அமைப்பும் அசல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்கும் என்று கூறுகிறது.

காசியன் முறை நடுத்தரப் பள்ளி மாணவர்களுக்குப் புரிந்துகொள்வது கடினம், ஆனால் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் வகுப்புகளில் மேம்பட்ட கற்றல் திட்டங்களில் சேர்ந்த குழந்தைகளின் புத்திசாலித்தனத்தை வளர்ப்பதற்கான மிகவும் சுவாரஸ்யமான வழிகளில் இதுவும் ஒன்றாகும்.

பதிவு செய்வதற்கான எளிமைக்காக, கணக்கீடுகள் பொதுவாக பின்வருமாறு செய்யப்படுகின்றன:

சமன்பாடுகள் மற்றும் இலவச சொற்களின் குணகங்கள் மேட்ரிக்ஸின் வடிவத்தில் எழுதப்படுகின்றன, அங்கு மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு வரிசையும் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் ஒன்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை வலமிருந்து பிரிக்கிறது. ரோமானிய எண்கள் அமைப்பில் உள்ள சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன.

முதலில், வேலை செய்ய வேண்டிய மேட்ரிக்ஸை எழுதுங்கள், பின்னர் அனைத்து செயல்களும் ஒரு வரிசையுடன் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக வரும் அணி "அம்பு" அடையாளத்திற்குப் பிறகு எழுதப்படுகிறது மற்றும் முடிவை அடையும் வரை தேவையான இயற்கணித செயல்பாடுகள் தொடரும்.

இதன் விளைவாக ஒரு மேட்ரிக்ஸாக இருக்க வேண்டும், அதில் மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று 1 க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், மற்ற அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது, அணி அலகு வடிவத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் இருபுறமும் எண்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகளைச் செய்ய நாம் மறந்துவிடக் கூடாது.

இந்த ரெக்கார்டிங் முறை குறைவான சிக்கலானது மற்றும் பல தெரியாதவற்றை பட்டியலிடுவதன் மூலம் உங்களை திசைதிருப்பாமல் இருக்க அனுமதிக்கிறது.

எந்தவொரு தீர்வு முறையின் இலவச பயன்பாட்டிற்கும் கவனிப்பு மற்றும் சில அனுபவம் தேவைப்படும். எல்லா முறைகளும் பயன்படுத்தப்படும் இயல்புடையவை அல்ல. தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான சில முறைகள் மனித செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மிகவும் விரும்பத்தக்கவை, மற்றவை கல்வி நோக்கங்களுக்காக உள்ளன.

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், மின்னஞ்சல் முகவரி போன்ற பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம்.

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள், தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகளுடன் உங்களைத் தொடர்புகொள்ள அனுமதிக்கிறது.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் உள்ள அரசாங்க அதிகாரிகளிடமிருந்து பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன மட்டத்தில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.

இந்த வழக்கில், கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து y இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்துவதும், முதல் சமன்பாட்டில் x க்கு பதிலாக விளைவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுவதும் வசதியானது:

முதல் சமன்பாடு y ஒரு மாறி கொண்ட சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்ப்போம்:

5(7-3y)-2y = -16

இதன் விளைவாக வரும் y மதிப்பை xக்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

பதில்: (-2; 3).

இந்த அமைப்பில், முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x இன் அடிப்படையில் y ஐ வெளிப்படுத்துவது மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் y க்கு பதிலாக விளைவான வெளிப்பாட்டை மாற்றுவது எளிது:

இரண்டாவது சமன்பாடு ஒரு மாறி x கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்ப்போம்:

3x-4(-1.5-3.5x)=23

y க்கான வெளிப்பாட்டில், x க்கு பதிலாக, நாம் x=1 ஐ மாற்றி, y ஐக் காண்கிறோம்:

பதில்: (1; -5).

இங்கே இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x இன் அடிப்படையில் y ஐ வெளிப்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது (4, -9 அல்லது 3 ஆல் வகுப்பதை விட 10 ஆல் வகுப்பது எளிது):

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

4x-9(1.6-0.3x)= -1

4x-14.4+2.7x= -1

x=2 ஐ மாற்றவும் மற்றும் y ஐக் கண்டறியவும்:

பதில்: (2; 1).

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், இந்த அமைப்பு எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும். முதல் சமன்பாட்டின் இருபுறமும் குறைந்த பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கப்படலாம், இரண்டாவது சமன்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்த சொற்களை முன்வைக்கிறோம்:

இரண்டு மாறிகள் கொண்ட நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றோம். இப்போது மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து a மூலம் b ஐ வெளிப்படுத்துவது வசதியானது:

அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

3(21.5 + 2.5b) – 7b = 63

ஒரு மதிப்பைக் கண்டறிய இது உள்ளது:

வடிவமைப்பு விதிகளின்படி, அகரவரிசையில் அரைப்புள்ளியால் பிரிக்கப்பட்ட அடைப்புக்குறிக்குள் பதிலை எழுதுகிறோம்.

பதில்: (14; -3).

ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தும் போது, ​​அதை ஒரு குறிப்பிட்ட குணகத்துடன் விட்டுவிடுவது சில நேரங்களில் மிகவும் வசதியானது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு இரண்டு வகையான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1. மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி கணினியைத் தீர்ப்பது.
2. கணினி சமன்பாடுகளின் கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) மூலம் கணினியைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதற்காக மாற்று முறை மூலம்நீங்கள் ஒரு எளிய வழிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டும்:
1. எக்ஸ்பிரஸ். எந்த சமன்பாட்டிலிருந்தும் நாம் ஒரு மாறியை வெளிப்படுத்துகிறோம்.
2. மாற்று. வெளிப்படுத்தப்பட்ட மாறிக்கு பதிலாக மற்றொரு சமன்பாட்டில் விளைந்த மதிப்பை மாற்றுகிறோம்.
3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

தீர்க்க கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறை மூலம் அமைப்புவேண்டும்:
1. ஒரே மாதிரியான குணகங்களை உருவாக்கும் ஒரு மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
2. சமன்பாடுகளைச் சேர்க்கிறோம் அல்லது கழிக்கிறோம், இதன் விளைவாக ஒரு மாறியுடன் ஒரு சமன்பாடு உருவாகிறது.
3. இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்கிறோம்.

அமைப்புக்கான தீர்வு செயல்பாட்டு வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளின் தீர்வை விரிவாகக் கருதுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:

மாற்று முறையில் தீர்வு காண்போம்

மாற்று முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

2x+5y=1 (1 சமன்பாடு)
x-10y=3 (2வது சமன்பாடு)

1. எக்ஸ்பிரஸ்
இரண்டாவது சமன்பாட்டில் 1 இன் குணகம் கொண்ட மாறி x இருப்பதைக் காணலாம், அதாவது இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ வெளிப்படுத்துவது எளிதானது.
x=3+10y

2. அதை வெளிப்படுத்திய பிறகு, x மாறிக்கு பதிலாக முதல் சமன்பாட்டில் 3+10y ஐ மாற்றுவோம்.
2(3+10y)+5y=1

3. இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை ஒரு மாறி மூலம் தீர்க்கவும்.
2(3+10y)+5y=1 (அடைப்புக்குறிகளைத் திற)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

சமன்பாடு அமைப்பின் தீர்வு வரைபடங்களின் வெட்டுப்புள்ளிகள் ஆகும், எனவே நாம் x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், ஏனெனில் வெட்டுப்புள்ளி x மற்றும் y ஐக் கொண்டுள்ளது. x ஐக் கண்டுபிடிப்போம், அதை வெளிப்படுத்திய முதல் புள்ளியில் y ஐ மாற்றுவோம்.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

முதலில் x என்ற மாறியை எழுதும்போது புள்ளிகளையும், இரண்டாவது இடத்தில் y என்ற மாறியையும் எழுதுவது வழக்கம்.
பதில்: (1; -0.2)

எடுத்துக்காட்டு #2:

கால-படி-கால கூட்டல் (கழித்தல்) முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்.

கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

3x-2y=1 (1 சமன்பாடு)
2x-3y=-10 (2வது சமன்பாடு)

1. நாம் ஒரு மாறியை தேர்வு செய்கிறோம், x ஐ தேர்வு செய்கிறோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். முதல் சமன்பாட்டில், மாறி x ஆனது 3 இன் குணகத்தைக் கொண்டுள்ளது, இரண்டாவது - 2. குணகங்களை ஒரே மாதிரியாக மாற்ற வேண்டும், இதற்காக சமன்பாடுகளைப் பெருக்க அல்லது எந்த எண்ணாலும் வகுக்க உரிமை உண்டு. முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் பெருக்கி, இரண்டாவது 3 ஆல் பெருக்கி மொத்த குணகம் 6 ஐப் பெறுகிறோம்.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. x மாறியிலிருந்து விடுபட முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிக்கவும். நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x ஐக் கண்டுபிடி. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட y ஐ ஏதேனும் சமன்பாடுகளில் மாற்றுகிறோம், முதல் சமன்பாட்டில் கூறுவோம்.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

வெட்டுப்புள்ளி x=4.6 ஆக இருக்கும்; y=6.4
பதில்: (4.6; 6.4)

தேர்வுகளுக்கு இலவசமாகத் தயாராக விரும்புகிறீர்களா? ஆன்லைன் ஆசிரியர் இலவசமாக. கிண்டல் இல்லை.