எச்சங்களை தீர்மானிப்பதற்கான முறைகள். எடையுள்ள எஞ்சிய முறை. களக் கோட்பாடு சிக்கல்கள்

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். அறிமுகம் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படுகிறது: எங்கே - அறியப்படாத அளவுருக்கள் - முழு வரிசையைச் சேர்ந்த நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகள் (3) பிழைச் செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் (எஞ்சியவை): (4) இந்த விஷயத்தில், நாம் அதைக் கருதுவோம்: - எடை செயல்பாடுகள் (5)

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். சேகரிப்பு முறை. எடுத்துக்காட்டு இடைவெளியில் பின்வரும் இரண்டாவது-வரிசை சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: எல்லை நிபந்தனைகளுடன்: எதற்கும் எல்லை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில் தோராயமான செயல்பாட்டை எடுத்துக்கொள்வோம்: (6) (7) (8) சரியான தீர்வுக்கு (சரிபார்க்கவும் ): நாங்கள் கூட்டல் புள்ளிகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். Collocation method and lower squares method, தெரியாதவர்களின் எண்ணிக்கையை விட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாகும் போது, ​​collocation முறையை நீட்டிப்போம். இந்த வழக்கில், அறியப்படாத அளவுருக்கள் ரூட் சராசரி சதுர அர்த்தத்தில் குறைக்கப்படுவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. புள்ளிகளில் மதிப்பிடப்படுகிறது (), மற்றும் செயல்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதலாம்: (16), நாம் பெறும் வது சமன்பாட்டிற்கு: (15) (16) (17)

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். எடுத்துக்காட்டு இடைவெளியில் பின்வரும் இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: எல்லை நிபந்தனைகளுடன்: மற்றும் எதற்கும் எல்லை நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில் தோராயமான செயல்பாடு: சரியான தீர்வுக்கு (சரிபார்ப்பு): மூன்று புள்ளிகளில் முரண்பாட்டைக் கணக்கிடவும்:

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். கணங்களின் முறை, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு: முழுமையான வரிசையிலிருந்து நேரியல் சார்பற்ற செயல்பாடுகளின் எந்த தொகுப்பையும் எடை செயல்பாடுகளாகப் பயன்படுத்தலாம், எடுத்துக்காட்டாக: உயர் வரிசை எஞ்சிய தருணங்கள் மறைந்து போவதை இது உறுதி செய்கிறது: (18) (17) (19)

என்ஐடிக்கான யுனெஸ்கோ தலைவர் ரெயின் டி.எஸ். எடுத்துக்காட்டு இடைவெளியில் பின்வரும் இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்: எல்லை நிபந்தனைகளுடன்: மற்றும் எதற்கும் எல்லை நிபந்தனைகளை திருப்திப்படுத்தும் வெளிப்பாட்டின் வடிவத்தில் தோராயமான செயல்பாடு: சரியான தீர்வு (சரிபார்ப்பு): பிழைச் செயல்பாடு ஆர்த்தோகனாலைஸ் செய்யப்பட்டது மற்றும்:

ஒரு முறையை ஒப்பீட்டளவில் விரிவாகப் படித்த பிறகு, முழு வகுப்புகளிலும் மற்ற முறைகளை வழங்குகிறோம். மிகவும் பொதுவான வகுப்பு எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகள் ஆகும். விரும்பிய செயல்பாட்டை ஒரு செயல்பாட்டுத் தொடரின் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் என்ற அனுமானத்திலிருந்து அவை தொடர்கின்றன, எடுத்துக்காட்டாக இது:

அவர்கள் வழக்கமாக f 0 செயல்பாட்டைத் தேர்ந்தெடுக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், இதனால் அது ஆரம்ப மற்றும் எல்லை நிலைமைகளை முடிந்தவரை துல்லியமாக பூர்த்தி செய்கிறது. தோராயமான (சோதனை) செயல்பாடுகள் f j அறியப்பட்டதாக கருதப்படுகிறது. கணிதவியலாளர்கள் அத்தகைய செயல்பாடுகளுக்கு பல தேவைகளை கொண்டு வந்துள்ளனர், ஆனால் அவற்றை நாங்கள் இங்கு விவாதிக்க மாட்டோம். பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இந்தத் தேவைகளைப் பூர்த்தி செய்கின்றன என்ற உண்மையுடன் நம்மைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம். குறிப்பிட்ட முறைகளை விவரிக்கும் போது இதே போன்ற செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகள் பரிசீலிக்கப்படும்.

குணகங்கள் a j முன்கூட்டியே அறியப்படவில்லை, மேலும் அவை அசல் சமன்பாட்டிலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு எல்லையற்ற தொடரிலிருந்து, குறிப்பிட்ட வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான சொற்கள் மட்டுமே எடுக்கப்படுகின்றன.

தீர்க்கப்பட வேண்டிய சமன்பாட்டில், அனைத்து சொற்களும் இடது பக்கமாக மீண்டும் எழுதப்பட்டு, வலது பக்கத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மட்டுமே விட்டுவிடும். இதனால், சமன்பாடு வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது

இந்த சமன்பாட்டில் தோராயமான தீர்வு (முன்-தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகையாக எழுதப்பட்டது) மாற்றப்பட்டால், அது ஒரே மாதிரியாக திருப்தி அடையாது. எனவே, நாம் எழுதலாம்

R இன் மதிப்பு எச்சம் என அழைக்கப்படுகிறது. பொதுவாக, எச்சம் என்பது x, y, z மற்றும் t ஆகியவற்றின் செயல்பாடாகும். முழு கணக்கீட்டு டொமைன் முழுவதும் முரண்பாடு சிறியதாக இருக்கும் ஒரு j போன்ற குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் வருகிறது. இந்த முறைகளில் "சிறியது" என்ற கருத்து, சில எடையிடும் செயல்பாடுகளால் பெருக்கப்படும் எச்சத்தின் கணக்கீட்டு டொமைனில் உள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். அது

வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான எடை செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிட்டு, அறியப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிவதற்கான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். பல்வேறு சோதனை தோராயமான (சோதனை) மற்றும் பல்வேறு வெயிட்டிங் செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம், எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகள் எனப்படும் முழு வகை முறைகளையும் எளிதாகப் பெறுகிறோம்.

இந்த வகுப்பிலிருந்து எளிய முறைகளின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே.

சுபரியா முறை.கணக்கீட்டு டொமைன் பல துணை டொமைன்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது D m அவை ஒன்றையொன்று ஒன்றுடன் ஒன்று சேர்க்கலாம். எடை செயல்பாடு வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது

ஒவ்வொரு துணை டொமைனிலும் உள்ள எச்சத்தின் ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதை இது உறுதி செய்கிறது. இந்த முறை பல முறைகளுக்கு அடிப்படையாக செயல்பட்டது (அவற்றில் ஒன்று கீழே விவாதிக்கப்படும்).

இருப்பிட முறை. Dirac டெல்டா செயல்பாடு எடை செயல்பாடுகளாக பயன்படுத்தப்படுகிறது

எங்கே x=(x,y,z). Dirac செயல்பாடு ஒரு தந்திரமான செயல்பாடு என்பதை நினைவூட்டுகிறேன், இது தோற்றம் தவிர எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். ஆனால் தொடக்கத்தில் அது அறிவியலுக்குத் தெரியாத ஒரு மதிப்பைப் பெறுகிறது, அதாவது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் கொண்ட பிராந்தியத்தின் மீதான எந்தவொரு ஒருங்கிணைப்பும் ஒற்றுமைக்கு சமம். எளிமையாகச் சொல்வதென்றால்: குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை அமைக்கிறோம் (இந்த அணுகுமுறையில் பெரும்பாலும் முனைகள் என்று அழைக்கப்படுகிறது). இந்த புள்ளிகளில் அசல் சமன்பாடு திருப்தி அடையும். இந்த புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கான அணுகுமுறைகள் மற்றும் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முனைகளுடன் துல்லியத்தை அதிகரிக்க சோதனைச் செயல்பாடுகள் உள்ளன. ஆனால் அவற்றைப் பற்றி இங்கு விவாதிக்க மாட்டோம்.

குறைந்த சதுர முறை.முறையானது மதிப்பைக் குறைப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது

ஆனால் எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகளின் வகுப்பையும் சேர்ந்தது என்பதைக் காட்டுவது கடினம் அல்ல. அதற்கான எடை செயல்பாடுகள் வடிவத்தின் செயல்பாடுகள்

வல்லுநர்கள் அல்லாதவர்களிடையே இந்த வகுப்பிலிருந்து இது மிகவும் பிரபலமான முறையாக இருக்கலாம், ஆனால் இது நிபுணர்களிடையே மிகவும் பிரபலமானது.

கேலர்கின் முறை.இந்த முறையில், தோராயமான (சோதனை) செயல்பாடுகள் எடை செயல்பாடுகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. அது

ஒரு தொடர்ச்சியான (கட்டத்தை விட) செயல்பாட்டின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க விரும்பும் சந்தர்ப்பங்களில் இந்த முறை பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

L இன் நீளமுள்ள கான்டிலீவர் கற்றையின் சிதைவைக் கணக்கிடுவதற்கு இந்த முறைகளின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். மையக் கோட்டிலிருந்து விலகலை சமன்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கலாம்.

எல்லை நிலைமைகள் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன

படிவத்தில் தீர்வு காண்போம்

பின்னர் முரண்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்

அறியப்படாத குணகங்கள் a மற்றும் b கண்டுபிடிக்க, நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்க வேண்டும். விவாதிக்கப்பட்ட அனைத்து முறைகளையும் பயன்படுத்தி இதைச் செய்வோம்.

இருப்பிட முறை. பீமின் முனைகளில் இரண்டு புள்ளிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். அவற்றில் உள்ள முரண்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்

நாம் பெறுகிறோம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, collocation முறை செயல்படுத்த மிகவும் எளிதானது, ஆனால் மற்ற முறைகளை விட துல்லியம் குறைவாக உள்ளது.

சுபரியா முறை. பீமின் முழு நீளத்தையும் இரண்டு துணைப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம். அவை ஒவ்வொன்றிலும், எச்சத்தின் ஒருங்கிணைப்பை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்.

கேலர்கின் முறை. சோதனை செயல்பாடுகளால் பெருக்கப்படும் எச்சத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

குறைந்த சதுர முறை.

குறைந்த சதுரங்கள் முறைக்கு மிகப்பெரிய கணக்கீட்டு முயற்சி தேவைப்படுகிறது, ஆனால் துல்லியத்தில் குறிப்பிடத்தக்க ஆதாயத்தை வழங்காது. எனவே, நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் இது அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

50. வெளிப்படையான மற்றும் மறைமுகமான வேறுபாடு திட்டங்கள். எடையுள்ள குடியிருப்பாளர்கள் முறை. பப்னோவ்-கேலர்கின் முறை.

வேறுபாடு திட்டம்- இது இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பாகும், இது வேறுபட்ட சமன்பாடு மற்றும் கூடுதல் நிபந்தனைகள் (உதாரணமாக, எல்லை நிலைமைகள் மற்றும்/அல்லது ஆரம்ப விநியோகம்) கொண்ட சில வேறுபட்ட சிக்கலுடன் தொடர்புடையது. இவ்வாறு, வேறுபாடு திட்டங்கள் ஒரு மாறுபட்ட சிக்கலைக் குறைக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இது ஒரு தொடர்ச்சியான தன்மையைக் கொண்டுள்ளது, ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அமைப்புக்கு, அதன் எண்ணியல் தீர்வு கணினிகளில் அடிப்படையில் சாத்தியமாகும். இயற்கணித சமன்பாடுகள் வேறுபட்ட சமன்பாட்டுடன் கடிதப் பரிமாற்றத்தில் வைக்கப்படும் வேறுபாடு முறையைப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகின்றன, இது வேறுபட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பிற எண் முறைகளிலிருந்து வேறுபாடு திட்டங்களின் கோட்பாட்டை வேறுபடுத்துகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, கேலர்கின் முறை போன்ற திட்ட முறைகள்).

வேறுபாடு திட்டத்தின் தீர்வு வேறுபட்ட சிக்கலின் தோராயமான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முறையான வரையறை இயற்கணித சமன்பாடுகளின் வகைக்கு குறிப்பிடத்தக்க கட்டுப்பாடுகளை விதிக்கவில்லை என்றாலும், நடைமுறையில் அது வேறுபட்ட சிக்கலுடன் தொடர்புடைய திட்டங்களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது. வேற்றுமைத் திட்டங்களின் கோட்பாட்டில் முக்கியமான கருத்துக்கள் ஒன்றிணைதல், தோராயம், நிலைப்புத்தன்மை மற்றும் பழமைவாதத்தின் கருத்துக்கள் ஆகும்.

வெளிப்படையான திட்டங்கள்

வெளிப்படையான திட்டங்கள் பல அண்டை தரவு புள்ளிகள் மூலம் முடிவின் மதிப்பைக் கணக்கிடுகின்றன. வேறுபாட்டிற்கான வெளிப்படையான திட்டத்தின் எடுத்துக்காட்டு: (2வது வரிசை தோராயம்). வெளிப்படையான திட்டங்கள் பெரும்பாலும் நிலையற்றதாக மாறிவிடும்.

இங்கே வி * - தோராயமான தீர்வு,
எஃப்- எல்லை நிலைமைகளை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடு,
என் m - சோதனை செயல்பாடுகள், இது பிராந்தியத்தின் எல்லையில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்,
ஏ m - வித்தியாசமான ஆபரேட்டரின் சிறந்த திருப்தி நிலையில் இருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட வேண்டிய அறியப்படாத குணகங்கள்,
எம்- சோதனை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை.

நாம் மாற்றினால் வி* அசல் வேறுபாடு ஆபரேட்டருக்குள், பிராந்தியத்தின் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெவ்வேறு மதிப்புகளை எடுக்கும் ஒரு முரண்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

ஆர் = எல்வி * +P

இங்கே டபிள்யூ n- சில எடையிடும் செயல்பாடுகள், எடையிடப்பட்ட எச்சங்கள் முறையின் வெவ்வேறு மாறுபாடுகள் வேறுபடும் தேர்வைப் பொறுத்து,

எஸ்- ஒரு தீர்வு தேடப்படும் இடத்தின் பகுதி.

டெல்டா செயல்பாடுகளை எடைச் செயல்பாடுகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​துண்டாக மாறிவரும் செயல்பாடுகளுக்கு, பாயிண்ட்வைஸ் கோலோகேஷன் முறை எனப்படும் ஒரு முறையைக் கொண்டிருப்போம் - துணை டொமைன்கள் மூலம் collocation முறை, ஆனால் மிகவும் பொதுவானது Galerkin முறை, இதில் சோதனை செயல்பாடுகள் எடை செயல்பாடுகளாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. என். இந்த வழக்கில், சோதனை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை எடை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால், சில ஒருங்கிணைப்புகளை விரிவுபடுத்திய பிறகு, குணகங்களுக்கான இயற்கணித சமன்பாடுகளின் மூடிய அமைப்பை அடைகிறோம். ஏ.

KA + Q = 0

மேட்ரிக்ஸ் K மற்றும் திசையன் Q இன் குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் இடத்தில்:

குணகங்களைக் கண்டறிந்த பிறகு ஏஅவற்றை (1) க்கு மாற்றியமைத்தால், அசல் சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வைப் பெறுகிறோம்.

எடையிடப்பட்ட எச்சங்கள் முறையின் தீமைகள் வெளிப்படையானவை: முழு டொமைனிலும் ஒரே நேரத்தில் தீர்வு தேடப்படுவதால், ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய துல்லியத்தை உறுதிப்படுத்த சோதனை மற்றும் எடை செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்க வேண்டும், ஆனால் இது குணகங்களைக் கணக்கிடுவதில் சிரமங்களை உருவாக்குகிறது. கே ijமற்றும் கே நான், குறிப்பாக விமானம் மற்றும் வால்யூமெட்ரிக் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​வளைவு எல்லைகளைக் கொண்ட பகுதிகளில் இரட்டை மற்றும் மூன்று ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவது அவசியம். எனவே, வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை (FEM) கண்டுபிடிக்கப்படும் வரை இந்த முறை நடைமுறையில் பயன்படுத்தப்படவில்லை.

புலக் கோட்பாட்டின் சிக்கல்கள்

வரையறுக்கப்பட்ட உறுப்பு முறை என்பது ஒரு எண் முறை மற்றும் ஒரு பொருளை (கட்டமைப்பு அல்லது அதன் பகுதி) துணை டொமைன்களின் (உறுப்புகள்) மாற்றுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, ஒவ்வொன்றிற்கும் வெப்ப பரிமாற்ற சிக்கலுக்கு தோராயமான தீர்வு காணப்படுகிறது. இதன் பொருள் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இந்த குறிப்பிட்ட தனிமத்தின் எல்லை பரப்புகளில் வெப்ப பரிமாற்ற செயல்முறைகளை வகைப்படுத்தும் வேறுபட்ட போக்குவரத்து சமன்பாடு மற்றும் எல்லை நிலைமைகளை எழுதுவது அவசியம், பின்னர் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது மற்றொரு வடிவத்தில் தீர்வு பெற வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட விதியின்படி "உறுப்பு" தீர்வுகளை இணைப்பது ஒட்டுமொத்த பொருளின் சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வை வழங்குகிறது. இந்த அத்தியாயம் FEM இன் அடிப்படைக் கருத்தை அறிமுகப்படுத்தும்.

2.1 எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகள்

வேறுபட்ட தோராயமான தீர்வுக்கான ஒரு பெரிய குழு முறைகள்

சமன்பாடுகள் தொடர்பான கணித சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது

எடையுள்ள எச்சத்தின் ஒருங்கிணைந்த பிரதிநிதித்துவம். இந்த முறைகளின் குழு அழைக்கப்படுகிறது எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகள் .

ஒரு வித்தியாசமான சமன்பாடு மற்றும் அதற்கு ஒரு எல்லை நிபந்தனை இருக்கட்டும்:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

இங்கே எல்- வேறுபட்ட ஆபரேட்டர்; எக்ஸ் நான்- இடஞ்சார்ந்த ஒருங்கிணைப்புகள்; விமற்றும் எஸ்- ஆய்வுப் பகுதியின் அளவு மற்றும் வெளிப்புற எல்லை; u 0 - சரியான தீர்வு.

சில செயல்பாடுகள் இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் uசமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகவும் உள்ளது, மேலும் இது செயல்பாடுகளின் தொகுப்பால் தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம்
:

, (2.1.3)

குணகங்கள் போது - அறியப்படாத அளவுகள் சில கணித நடைமுறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும்.

மீதமுள்ள முறைகளில், இந்த செயல்முறை இரண்டு தொடர்ச்சியான நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது. முதல் கட்டத்தில், தோராயமான தீர்வை (2.1.3) சமன்பாட்டில் (2.1.1) மாற்றுவதன் மூலம், செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம்.
பிழை, அல்லது எஞ்சிய, இது வகைப்படுத்துகிறது வேறுபாடு அளவு
இருந்து துல்லியமானதுதீர்வுகள் :

இதன் விளைவாக தற்போதைய ஆயங்களைக் கொண்ட ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு உள்ளது மற்றும் எம்இன்னும் அறியப்படாத குணகங்கள் .

இரண்டாவது கட்டத்தில், எஞ்சிய செயல்பாடு (2.1.4) மீது தேவைகள் விதிக்கப்படுகின்றன, அவை எஞ்சியவை (கூட்டு முறை) அல்லது எடையுள்ள எஞ்சியவை (குறைந்த சதுர முறை மற்றும் கேலர்கின் முறை) குறைக்கின்றன.

கூட்டல் முறையில், வேறுபட்ட சமன்பாடு சில தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட (தன்னிச்சையாக) புள்ளிகளில் மட்டுமே திருப்தி அடைகிறது என்று நம்பப்படுகிறது - collocation புள்ளிகள், அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்படாத குணகங்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமம். . இவற்றில் எம்புள்ளிகள், முரண்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், இது கணினிக்கு வழிவகுக்கிறது எம்இயற்கணித சமன்பாடுகள் எம்குணகங்கள் :

. (2.1.5)

எடையுள்ள எஞ்சிய முறைகளில், எடையிடப்பட்ட எச்சம் முதலில் சில எடையிடும் செயல்பாடுகளால் பெருக்கப்படுகிறது. , பின்னர் அதை சராசரியாக குறைக்கவும்:

. (2.1.6)

குறைந்த சதுரங்கள் முறையில் - Rayleigh-Ritz முறை - பிழையானது எடை செயல்பாடாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, அதாவது.
, மற்றும் இந்த வழியில் பெறப்பட்ட மதிப்பு (செயல்பாட்டு) குறைவாக இருக்க வேண்டும்:

. (2.1.7)

இதைச் செய்ய, பின்வரும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:

, (2.1.8)

அறியப்படாத குணகங்களுக்கான இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது.

கேலர்கின் முறையில், செயல்பாடுகள் எடை செயல்பாடுகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன
, அழைக்கப்பட்டது அடிப்படை, மற்றும் அவை தேவை ஆர்த்தோகனாலிட்டிக்கு எச்சம் :

. (2.1.9)

என்றால் ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டர், பின்னர் அமைப்பு (2.1.9) குணகங்களுக்கான இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு செல்கிறது .

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி Galerkin முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம். இடைவெளியில் ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது
:

எல்லை நிபந்தனைகளுடன்:
,
.

தோராயமான செயல்பாட்டை பின்வரும் வடிவத்தில் எடுத்துக் கொள்வோம்:

எதற்கும் திருப்திகரமான எல்லை நிபந்தனைகள் (2.1.2). . முதல் கட்டத்தில் நாம் முரண்பாட்டைக் காண்கிறோம்:

இரண்டாவது கட்டத்தின் செயல்முறையைச் செய்வோம்:

,
.

ஒருங்கிணைப்பு இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கும்:

,

அதன் தீர்வு பின்வரும் மதிப்புகளாக இருக்கும் :
;
. தோராயமான தீர்வு வடிவம் கொண்டது:

சரியான தீர்வுடன் பல்வேறு முறைகளால் பெறப்பட்ட தோராயமான முடிவுகளின் ஒப்பீடு அட்டவணை 1 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

அட்டவணை 1

அட்டவணை 1 இலிருந்து அனைத்து முறைகளிலும் ஒரே மாதிரியான தோராயமான செயல்பாடுகளுடன், சரியான தீர்வுக்கான சிறந்த தோராயமானது கேலர்கின் முறையால் வழங்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. கூடுதலாக, Rayleigh-Ritz முறையைப் பயன்படுத்தும் போது எந்த செயல்பாட்டுத் தேவையும் இல்லாதவை உட்பட, நேரியல் அல்லாத சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கு இந்த முறை பொருந்தும்.