உடல்கள் மற்றும் புரட்சியின் மேற்பரப்புகளின் பாலிஹெட்ரா. பாலிஹெட்ரா மற்றும் சுழற்சி உடல்கள். தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

எந்த வடிவியல் உடலும் ஒரு ஷெல், அதாவது, ஒரு வெளிப்புற மேற்பரப்பு மற்றும் அதை நிரப்பும் சில பொருள் (படம் 42) ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வடிவியல் உடலும் அதன் சொந்த வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இது கலவை, அமைப்பு மற்றும் அளவு ஆகியவற்றில் வேறுபடுகிறது.

வடிவியல் உடலின் வடிவத்தின் கலவையானது அதை உருவாக்கும் மேற்பரப்புகளின் பெட்டிகளின் பட்டியல் (அட்டவணை 4). இவ்வாறு, ஒரு செவ்வக parallelepiped வடிவம் ஆறு பெட்டிகள், பரப்புகளில் (முகங்கள்) கொண்டுள்ளது: அவற்றில் இரண்டு parallelepiped தளங்கள், மற்றும் மீதமுள்ள நான்கு பெட்டிகள் ஒரு மூடிய குவிந்த உடைந்த மேற்பரப்பு உருவாக்க, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு என்று.

படம் 42. வடிவியல் உடல்: 1 - ஷெல்; 2 - உடல் ஷெல் உருவாக்கும் மேற்பரப்புகளின் பெட்டிகள்

படிவ அமைப்பு வடிவியல் உடல் - ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய மேற்பரப்பு பெட்டிகளின் உறவு மற்றும் இருப்பிடத்தைக் காட்டும் வடிவத்தின் ஒரு பண்பு (படம் 44 ஐப் பார்க்கவும்).

இந்த குணாதிசயங்கள் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை மற்றும் ஒரு வடிவியல் உடல் மற்றும் வேறு எந்த பொருளின் வடிவத்தையும் அதிக அளவில் தீர்மானிக்கின்றன.

அவற்றின் வடிவத்தின் அடிப்படையில், எளிய வடிவியல் உடல்கள் பாலிஹெட்ரா மற்றும் சுழற்சி உடல்களாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

விமானம் ஒரு மேற்பரப்பின் சிறப்பு வழக்கு.

பாலிஹெட்ரா - வடிவியல் உடல்கள், இதன் ஷெல் விமானங்களின் பெட்டிகளால் உருவாகிறது (படம் 43, a).

முகங்கள் என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பை (ஷெல்) உருவாக்கும் விமானங்களின் பிரிவுகளாகும்; விளிம்புகள் - முகங்கள் வெட்டும் நேரான பிரிவுகள்; முனைகள் விலா எலும்புகளின் முனைகளாகும்.

புரட்சியின் உடல்கள் - வடிவியல் உடல்கள் (படம் 43, b), இதன் ஷெல் புரட்சியின் மேற்பரப்பு (உதாரணமாக, ஒரு பந்து) அல்லது புரட்சியின் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியையும் ஒரு (இரண்டு) விமானங்களின் ஒரு பகுதியையும் கொண்டுள்ளது (எடுத்துக்காட்டாக, a கூம்பு, சிலிண்டர், முதலியன).

அரிசி. 43. பாலிஹெட்ரா (அ) மற்றும் புரட்சியின் உடல்கள் (பி): 1 - ஒரு வடிவியல் உடலின் ஷெல்;
2 - விமானங்களின் பெட்டிகள்; 3 - சுழற்சி மேற்பரப்புகளின் பெட்டிகள்

4. எளிய வடிவியல் உடல்களின் கலவை

வடிவத்தின் அமைப்பு வடிவியல் உடலின் தோற்றத்தை பாதிக்கிறது. நேராக மற்றும் சாய்ந்த சிலிண்டர்களின் (படம் 44) உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இதைக் கருத்தில் கொள்வோம், அவற்றின் தளங்களின் பெட்டிகள் ஒருவருக்கொருவர் வித்தியாசமாக அமைந்துள்ளன.

அரிசி. 44. சிலிண்டர்களின் வடிவத்தில் கட்டமைப்பு வேறுபாடுகள்

அரிசி. 45. சிலிண்டர்களின் வடிவத்தில் மாற்றங்கள்

அரிசி. 46. ​​பல்வேறு வடிவங்களின் நாற்கர பிரமிடுகள்

படம் 45 இல் உள்ள சிலிண்டர்களின் படங்களை ஒப்பிடுகையில், தளங்களில் ஒன்றின் நிலையை மாற்றுவது வடிவியல் உடலின் வடிவத்தில் மாற்றத்திற்கு வழிவகுக்கிறது என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

உயரம், அகலம், நீளம், அடிப்படை விட்டம், அச்சு சாய்வு கோணம் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் தொடர்புடைய தளங்களின் நிலை ஆகியவற்றை மாற்றுவது வடிவியல் உடல்களின் வடிவத்தை கணிசமாக பாதிக்கிறது. உதாரணமாக, பல்வேறு வடிவங்களின் நாற்கர பிரமிடுகளைக் கவனியுங்கள் (படம் 46).

அரிசி. 47. வடிவியல் உடல்கள்

தமிழாக்கம்

1 தலைப்பு 1 பாலிஹெட்கள் மற்றும் சுழற்சியின் உடல்கள் விரிவுரை வடிவியல் உருவம். உள் புள்ளிகள் (படத்தில் ஒரு அக்கம் உள்ளது), எல்லைப் புள்ளிகள் (எந்த சுற்றுப்புறமும் உருவம் மற்றும் நிரப்பு இரண்டையும் வெட்டுகிறது), உருவத்தின் எல்லை. உட்புறம், உருவத்தின் மூடல். சட்டரீதியாக மூடப்பட்ட உருவம்: = வடிவியல் உடல் (கட்டுப்பட்ட, நியதியாக மூடப்பட்ட, இணைக்கப்பட்ட). உடல் மேற்பரப்பு பாலிஹெட்ரான். முனைகள், விளிம்புகள், முகங்கள். குவிந்த பாலிஹெட்ரா. குவிந்த பாலிஹெட்ரானுக்கான யூலரின் சூத்திரம். வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (பிளாட்டோனிக் திடப்பொருட்கள்). R+ இல் உள்ள உருவங்களின் தொகுப்பைக் குறிக்கும் செயல்பாடாக வடிவியல் உடலின் பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்ட பாலிஹெட்ரா தொகுதி. மாறுபாட்டின் கோட்பாடுகள் (ஒத்தமான உருவங்களின் தொகுதிகள் சமம்), மோனோடோனிசிட்டி, சேர்க்கை, இயல்பாக்கம் (ஒரு யூனிட் கனசதுரத்தின் அளவு) ப்ரிஸம். ஒரு நேரான மற்றும் சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு (செங்குத்தாகப் பகுதியைப் பயன்படுத்துவது உட்பட) பிரமிட் மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு. வழக்கமான பிரமிடு, வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான். பல்வேறு "நல்ல" நிகழ்வுகளில் பிரமிட்டின் உயரத்தின் அடிப்படை. ஒரு பிரமிடு மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு: V yc. = 1 3 h S 1 + S 2 + p S 1 S 2. சுழற்சியின் விரிவுரை உடல்கள். சிலிண்டர். நேரான வட்ட உருளை. ஒரு சிலிண்டர் கூம்பின் மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு. நேராக வட்ட வடிவ கூம்பு. கூம்பு பிரிவுகள். விரக்தி. ஒரு கூம்பு மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு கோளம் மற்றும் கோளம். பந்தின் அளவு. ஒரு கோளத்தின் பகுதி ("வண்ண முறை"). பந்து பிரிவு, கோள அடுக்கு, கோளத் துறை. 1

2 விரிவுரை குவிந்த பாலிஹெட்ரல் கோணம். முக்கோண கோணம். ஒரு பாலிஹெட்ரல் கோணத்தின் உச்சியில் சமமான முக்கோண கோணங்களைக் கொண்ட முக்கோண பிரமிடுகளின் தொகுதிகள் பற்றிய தேற்றம் (முக்கோண சமத்துவமின்மை< +), их сумма (она меньше 360 ; раздавим угол каблуком на плоскость) Теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла. Пусть, плоские углы, а A, B, C двугранные (двугранный угол A «между» и). 1-я теорема косинусов. cos = cos cos + sin sin cos A. cos cos cos Следствие. cos A =. sin sin Теорема трех косинусов (еще одно следствие). Если две грани трехгранного угла перпендикулярны, то есть если A = 90, то cos = cos cos. 2-я теорема косинусов. cos A = cos B cos C+sin B sin C cos. Теорема синусов. sin sin A = sin sin B = sin sin C. Практика 1 1. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра. 2. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар. 3. Внутри куба расположены два равных касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найдите радиусы шаров, если ребро куба равно 1. 2

3 4. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கம் 2, மற்றும் பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம் 1/2 ஆகும். பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்களுக்கு இடையில் உள்ள இருமுனைக் கோணத்தைக் கண்டறியவும். 5. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் 2 க்கு சமம். பிரமிட்டின் கன அளவையும், பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் சுற்றப்பட்ட கோளங்களின் ஆரங்களையும் கண்டறியவும். 6. ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும், அதன் அடிப்பகுதியில் 3, 4, 5 பக்கங்களைக் கொண்ட முக்கோணம் உள்ளது, மேலும் அடிவாரத்தில் உள்ள இருமுனைக் கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்களுக்கு இடையே உள்ள இருமுனைக் கோணத்தைக் கண்டறியவும், அதில் பொறிக்கப்பட்ட பந்தின் ஆரம் அடித்தளத்தின் மூன்று மடங்கு சிறிய பக்கங்கள் என்று தெரிந்தால். பயிற்சி 2 8. ஒரு முக்கோண பிரமிடில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு பந்தின் ஆரம் கண்டுபிடிக்கவும், அதன் ஐந்து விளிம்புகள் 2 க்கு சமம், ஒரு விளிம்பு சமம் கனசதுரத்தின் விளிம்பு 1 க்கு சமம். முக்கோண பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும். மூன்று அருகிலுள்ள முகங்களின் மையங்களிலும், இந்த முகங்களுக்குச் சொந்தமில்லாத கனசதுரத்தின் உச்சியிலும் அமைந்துள்ளன. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 parallelepiped. D, C 1 மற்றும் A 1 B 1 இன் நடுப்புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானம் மூலைவிட்ட D 1 B ஐ எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கிறது? 11. SABCD பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ABCD, AB = 3 என்ற செவ்வகம் உள்ளது. பிரமிட்டின் உயரம் 4 மற்றும் நடு கி.பி வழியாக செல்கிறது. பிரமிட்டில் ஒரு பந்து பொறிக்கப்படலாம் என்று தெரிந்தால் AD ஐக் கண்டறியவும். 12. கனசதுரத்தின் எந்த முகத்தின் மையத்தையும் எதிர் முகத்தின் செங்குத்துகளில் ஒன்றோடு இணைக்கும் கனசதுரத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ள குறுகிய பாதையின் நீளம் என்ன? (கனசதுரத்தின் விளிம்பு 1.) 3

4 13. எஸ் மற்றும் பி என்பது டெட்ராஹெட்ரான் ஏபிசிடியின் இரண்டு அருகிலுள்ள முகங்களின் பகுதிகள், a என்பது அவற்றின் பொதுவான விளிம்பின் நீளம், இந்த முகங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் அளவு. ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை V = சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி 2SP பாவத்தைக் கணக்கிட முடியும் என்பதை நிரூபிக்கவும். 3a பயிற்சி SABCD பிரமிட்டின் அடிப்படையானது இணையான ABCD ஆகும். ஒரு புள்ளி M ஆனது விளிம்பில் SA இல் எடுக்கப்பட்டது, அதனால் SM = 2AM. M மற்றும் SB மற்றும் SD விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக ஒரு விமானம் வரையப்படுகிறது. இந்த விமானம் பிரமிட்டின் அளவை எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கிறது? 15. ஒரு கனசதுரத்தின் கன அளவு அதன் மூன்று அருகிலுள்ள முகங்களின் மையங்கள் வழியாக செல்லும் விமானத்தால் எந்த விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகிறது? பயிற்சி இரண்டு பந்துகளின் ஆரங்கள் 2 மற்றும் 5 ஆகும். ஒரு விமானம் அவற்றின் ஒரே பொதுவான புள்ளியின் வழியாக வரையப்படுகிறது, இதன் குறுக்குவெட்டு பகுதி சிறிய பந்தின் 0.4 ஆகும். பெரிய கோளத்தின் இந்த விமானத்தின் குறுக்கு வெட்டு பகுதியைக் கண்டறியவும். 17. சிலிண்டரின் மேல் தளத்தின் மையத்திலிருந்து சிலிண்டரின் கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கான தூரம் சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் சமமாக இருக்கும் மற்றும் 6 க்கு சமமாக இருக்கும். மேல் மையத்தில் இருந்து தூரத்தைக் கண்டறியவும் கீழ் தளத்தின் நாண்க்கு அடித்தளம் வளைவைக் குறைக்கிறது கூம்பின் உயரம் h ஆகும். இந்த கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் வளர்ச்சி 120 இன் மைய கோணம் கொண்ட ஒரு துறையாகும். கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள். 19. துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் அளவை தீர்மானிக்கவும், l க்கு சமமான ஜெனராட்ரிக்ஸ், r ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்து சுற்றளவு. 4

5 20. ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு பந்தைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கீழ் தளத்தின் பரப்பளவு மேல் தளத்தின் பரப்பளவை விட ஒரு மடங்கு அதிகமாகும். ஒரு கோளத்தின் அளவை விட துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவு எத்தனை மடங்கு அதிகம்? 21. கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R க்கு சமம், மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளம் மற்றும் அச்சுப் பகுதியின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். கூம்பின் அளவை தீர்மானிக்கவும். 22. கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் R க்கு சமம். இந்த கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் வளர்ச்சி 90 இன் மையக் கோணம் கொண்ட ஒரு துறையாகும். கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுங்கள். 23. ஒரு கூம்பின் உச்சியின் வழியாக வரையப்பட்ட ஒரு விமானம், இந்த தளத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளம் கொண்ட ஒரு நாண் மூலம் அடித்தளத்தை வெட்டுகிறது. கூம்பின் விளைவாக வரும் பகுதிகளின் தொகுதிகளின் விகிதத்தை தீர்மானிக்கவும். 24. ஒரு கூம்பில் ஒரு பந்து பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கூம்பின் மொத்த பரப்பளவு மற்றும் ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பு பகுதியின் விகிதம் அவற்றின் தொகுதிகளின் விகிதத்திற்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும். பயிற்சி ஒரு கூம்பின் உயரத்திற்கும் அதைச் சுற்றியுள்ள கோளத்தின் ஆரத்திற்கும் உள்ள விகிதம் q க்கு சமம். இந்த உடல்களின் தொகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும். q இன் எந்த மதிப்புகளுக்கு பிரச்சனைக்கு தீர்வு இல்லை? 26. பந்தை 8 பகுதிகளாகப் பிரித்து, பந்தின் மையத்தின் வழியாக மூன்று ஜோடி செங்குத்தாக விமானங்கள் வரையப்படுகின்றன. இந்த பாகங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு சிறிய பந்து உள்ளது. ஒரு சிறிய பந்தின் அளவிற்கும் அசல் பந்தின் அளவிற்கும் உள்ள விகிதத்தைக் கண்டறியவும். 27. முந்தைய பிரச்சனையின் நிலைமைகளில், பொறிக்கப்பட்ட பந்துகளின் மையங்கள் சில பாலிஹெட்ரானின் முனைகளாக இருக்கட்டும். இந்த பாலிஹெட்ரான் மற்றும் அசல் பந்தின் தொகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும். 28. கூம்பின் அச்சுப் பகுதியின் உச்சியில் உள்ள கோணம் 150. ஒரு பகுதி கூம்பின் உச்சி வழியாக வரையப்படுகிறது, இது நேராக 5 ஆகும்.

6 கோண முக்கோணம். பிரிவு விமானத்திற்கும் கூம்பின் தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தைக் கண்டறியவும். 29. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் விட்டம் இரட்டிப்பாக்கப்பட்டது, அதே நேரத்தில் அதன் உயரம் பாதியாக குறைக்கப்பட்டது. சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு மற்றும் அளவு எவ்வாறு மாறியது? 30. R அடி ஆரம் கொண்ட உயரமுள்ள கூம்பில், அதிகபட்ச பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கொண்ட சிலிண்டரைப் பதித்து இந்தப் பகுதியைக் கண்டறியவும். 31. கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் மூன்று ஒத்த பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் விளைவாக வரும் இருபத்தி நான்கு பிரிவு புள்ளிகளும் ஒரே கோளத்தைச் சேர்ந்தவை என்பதை நிரூபிக்கவும். கனசதுரத்தின் விளிம்பின் நீளம் a மற்றும் b பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு காகித செவ்வகத்திலிருந்து, சிலிண்டரின் பக்க மேற்பரப்பை ஒட்டினால், இந்த கோளத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும். அத்தகைய பக்க மேற்பரப்பைக் கொண்ட சிலிண்டர் மிகப்பெரிய அளவைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் எந்த பக்கங்களை ஒன்றாக ஒட்ட வேண்டும்? பயிற்சி சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் 1 மற்றும் சிலிண்டரின் உயரம் p 2. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் இரண்டு செங்குத்துகள் உருளையின் ஒரு தளத்தின் எல்லையில் அமைந்துள்ளன, மேலும் ஒரு முனை மற்றொன்றின் எல்லையில் அமைந்துள்ளது. அடித்தளம். சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கத்தைக் கண்டறியவும். 34. * SABC பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ABC முக்கோணம் உள்ளது, இதில் AB = AC = 2, BAC = 30. எட்ஜ் SA ஆனது ABC க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. ஒரு கூம்பு உள்ளது, அதன் உச்சி புள்ளி A உடன் ஒத்துப்போகிறது, அதன் அடிப்பகுதி SBC முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும். 35. * ABC வழக்கமான முக்கோணம், BA மற்றும் CA இல் 3, M மற்றும் K புள்ளிகளுடன் BM = CK = 1. MK கோடு சுற்றி ABC முக்கோணத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும். 6

7 36. ஒரு கூம்பின் உயரம் அதன் அடிப்பகுதியின் விட்டத்திற்கு சமம். ஒரு கனசதுரம் ஒரு கூம்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் நான்கு செங்குத்துகள் கூம்பின் அடிப்பகுதியிலும், நான்கு அதன் பக்க மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ளன. ஒரு கன சதுரம் மற்றும் கூம்பு தொகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும். 37. மூலைவிட்டத்தைச் சுற்றி 1 மற்றும் 2 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட உடலின் அளவைக் கண்டறியவும். 38. கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் முனைகள் சிலிண்டரின் தளங்களின் மையங்களுடன் ஒத்துப்போகின்றன, மேலும் கனசதுரத்தின் மீதமுள்ள முனைகள் உருளையின் பக்க மேற்பரப்பில் இருக்கும். ஒரு சிலிண்டர் மற்றும் ஒரு கனசதுரத்தின் தொகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும். திசைகள், தீர்வுகள், பதில்கள் 34. K மற்றும் H ஆகிய புள்ளிகள் கூம்பின் அடிப்பகுதியின் தொடுநிலைப் புள்ளிகளாக இருக்கட்டும் (அதன் மையத்தை O என்ற எழுத்தாலும், அதன் ஆரத்தை r என்ற எழுத்தாலும் குறிக்கவும்) SBC முகத்தின் பக்கங்களிலும், பிறகு நம்மிடம் உள்ள மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றம் AK? எஸ்பி, ஏஎச்? கி.மு. SA நிபந்தனையின்படி SAB முக்கோணம் வலது கோணத்தில் இருப்பதைக் கவனியுங்கள். (ஏபிசி). AK = a, AH = b, AS = h என்றும் குறிப்போம். நிபந்தனையின்படி, செங்குத்து A இலிருந்து வரையப்பட்ட பிரமிட்டின் உயரம் SBC முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்தில் விழுகிறது, எனவே AOK மற்றும் AOH ஆகிய வலது முக்கோணங்கள் சமமாக இருக்கும், எங்கிருந்து a = b. முக்கோண p ABC இலிருந்து, கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, BC = 2 2 p 3 என்பதை எளிதாகக் காணலாம், அதன் பிறகு, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, p AHB முக்கோணத்திலிருந்து (H என்பது BC யின் நடுப்பகுதி என்பதைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம்) ஒரு பெறுகிறோம் = b = 2 + p 3. ஆனால் a என்பது உயரம் செங்கோண முக்கோண SAB இன் நீளம், இது செங்கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து கைவிடப்பட்டது, எனவே இது இந்த முக்கோணத்தின் கால்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம் - 7

8 SA AB nuzu. எனவே, a = = p SB h = p 3 = 2(2 + p 3) ஐக் காண்கிறோம். 2h p h = p2 + p 3, மீதமுள்ளவை கடினமாக இல்லை. பிரமிடு BAC இன் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு 1 க்கு சமம் (இரண்டு பக்கங்களின் பாதிப் பலன் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் என எளிதாகக் காணலாம்), பிரமிட்டின் உயரத்தை இப்போது கண்டுபிடித்துள்ளோம். பதில்: 2 3 (2 + ப 3). 35. முதலில் படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அனைத்து அளவுகளையும் கண்டுபிடிப்போம். BM = 1 என்பதால், மஞ்சள் முக்கோணத்திலிருந்து கூம்பு வடிவ “துளை”யின் ஆழத்தைக் காண்கிறோம்: x = 2 1. பச்சை முக்கோணம் வெளிப்படையாக சமபக்கமானது, எனவே H = BM = 1. மேலும், h = 1 2 BC H = = = 1 2. மஞ்சள் முக்கோணத்திலிருந்து r = 3 p 2. முக்கோணம் MKA என்பது பக்க 2 உடன் வழக்கமானது, R என்பது அதன் உயரத்தின் நீளம், எனவே R = 2p 3 2 = p 3. தேவையான அளவு 2(V 1 V 2 + V 3), இங்கு V 1 தொகுதி உருளை அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் H, V 2 என்பது அடிப்படை ஆரம் r மற்றும் உயரம் x கொண்ட கூம்பு வடிவ “துளையின்” தொகுதி, V 3 என்பது அடிப்படை ஆரங்களுடன் துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவு. R மற்றும் r மற்றும் உயரம் h. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தரவைப் பயன்படுத்தி, நாம் கண்டுபிடிப்போம்: V 1 = 4 3, V 2 = 1 8, V 3 = 7 8. பதில்: 3. பயிற்சி * துண்டிக்கப்பட்ட கூம்புக்குள் ஒரு கோளத்தைப் பொருத்துவதற்கு அடித்தளங்களையும் ஒவ்வொரு ஜெனரட்ரிக்ஸையும் தொடுவதை நிரூபிக்கவும். கூம்பு, கூம்பின் உயரத்தின் நீளம் கூம்பின் மேல் மற்றும் கீழ் தளங்களின் விட்டம் இடையே உள்ள வடிவியல் சராசரியாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. 8

9 40. மூன்று பந்துகள் ஜோடிகளாகத் தொட்டு, ஒரு விமானம் இந்த பந்துகளை A, B மற்றும் C புள்ளிகளில் தொடுகிறது. ABC முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் a, b மற்றும் c க்கு சமமாக இருந்தால், இந்த பந்துகளின் ஆரங்களைக் கண்டறியவும். திசைகள், தீர்வுகள், பதில்கள் 39. இந்தப் பிரச்சனை பிளானிமெட்ரிக் என்பது தெளிவாகிறது. தேவையான முறையில் கோளத்தை கூம்பில் பதிக்கட்டும்; படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். மஞ்சள் முக்கோணத்திலிருந்து, பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, நம்மிடம் உள்ளது: h 2 + (R r) 2 = (R + r) 2, எங்கிருந்து h 2 = 4Rr, அதாவது h = p (2R)(2r), இது நிரூபிக்க வேண்டியிருந்தது. இப்போது அறிக்கையை எதிர் திசையில் நிரூபிப்போம்: இந்த உறவு மற்றும் பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து ட்ரேப்சாய்டின் பக்கத்தின் நீளம் R + r க்கு சமம், அதாவது ட்ரேப்சாய்டின் தளங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக உள்ளது, எனவே, ட்ரேப்சாய்டில் ஒரு வட்டத்தை பொறிக்க முடியும். 9

60 2.2. சோதனைகள் 161. வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கங்கள் 6 மற்றும் 4 ஆகவும், அடிவாரத்தில் உள்ள இருமுனைக் கோணம் 0 ஆகவும் இருந்தால், வழக்கமான முக்கோண துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 1) 10; 2)

சுயாதீன வேலை "சிலிண்டர்") 3a மற்றும் 2a க்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகம் முதலில் ஒரு பக்கத்தைச் சுற்றி, பின்னர் மற்றொன்றைச் சுற்றி சுழலும். மொத்த மேற்பரப்புகள் மற்றும் பகுதிகளின் பகுதிகளின் விகிதத்தை கணக்கிடுங்கள்

வடிவவியலில் சோதனைப் பணியின் அமைப்பு 11 ஆம் வகுப்பு / 2013 / வேலையில் 10 பணிகள் உள்ளன. இயக்க நேரம் 120 நிமிடங்கள். பகுதி 1. சிக்கல்கள் 1-7 அடிப்படை அளவிலான சிக்கலான (ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி B) குறுகிய தீர்வுடன்

தரம் 11. "வட்ட உடல்கள்" என்ற தலைப்பில் வழக்கமான கணக்கீடு. விருப்பம் 16 1. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு அச்சுப் பிரிவின் பகுதியுடன் தொடர்புடையது π அச்சுப் பிரிவின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும். 2. பந்தின் மேற்பரப்பில்

அவர்களுக்கு. ஸ்மிர்னோவா, வி.ஏ. ஸ்மிர்னோவ் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு (ஜியோமெட்ரி) தயாராகிறது.

பிரமிடுகள். 11.1.5. ஒரு நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சதுரமாகும். பக்க விளிம்புகளில் ஒன்று அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, மற்ற இரண்டு 60 கோணத்தில் அடித்தளத்தில் சாய்ந்திருக்கும். மொத்த மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்

தலைப்பு 1. ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம், ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானம் வரை 78. புள்ளிகள் P மற்றும் Q ஆகியவை ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 கனசதுரத்தின் A 1 B 1 மற்றும் BC விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளாகும். கனசதுரத்தின் விளிம்பை a க்கு சமமாகக் கருதி, கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

தரம் 11. "வட்ட உடல்கள்" என்ற தலைப்பில் வழக்கமான கணக்கீடு. விருப்பம் 1 1. சிலிண்டரின் அச்சுப் பிரிவின் மூலைவிட்டமானது a க்கு சமம். சிலிண்டரின் அச்சுப் பகுதி ஒரு சதுரம் என்று தெரிந்தால் அதன் கன அளவைக் கண்டறியவும். 2. செவ்வக வடிவில்

பணி 8 ஸ்டீரியோமெட்ரி. கன சதுரம் 1. கனசதுரத்தின் பரப்பளவு 18. அதன் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும். 2. கனசதுரத்தின் கன அளவு 8. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். 3. ஒரு கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் 1 ஆல் அதிகரிக்கப்பட்டால், அதன் பரப்பளவு

கனசதுரம் 1. கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டம் சமம். அதன் அளவைக் கண்டறியவும். 2. ஒரு கனசதுரத்தின் அனைத்து விளிம்புகளும் 5 மடங்கு அதிகரித்தால் அதன் கன அளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்? செவ்வக இணைக் குழாய் 1. செவ்வக இணைக் குழாய்களின் இரண்டு விளிம்புகள்,

பணி B11 (2013) இன் அனைத்து முன்மாதிரிகள் (25541) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் (அனைத்து இருமுனை கோணங்களும் சரியான கோணங்கள்). (25561) காட்டப்பட்டுள்ள பாலிஹெட்ரானின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்

தரம் 11. "ப்ரிஸம்" என்ற தலைப்பில் வழக்கமான கணக்கீடு. விருப்பம் 16 1. சாய்ந்த பட்டகத்தின் அடிப்பகுதி a மற்றும் b பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செவ்வகமாகும். இரண்டு அருகிலுள்ள பக்க முகங்கள் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன மற்றும் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன். அளவைக் கண்டறியவும்

Q8 வங்கியில் இருந்து அனைத்து சிக்கல்களும் சமமான பகுதிகள் 27143. ஒரு உச்சியில் இருந்து வெளிவரும் செவ்வக இணைக் குழாய்களின் இரண்டு விளிம்புகள் 2, 4 க்கு சமம். இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டமானது 6. மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்

17826051 விருப்பம் 2. சமபக்க முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதிக்கு எதிரே உள்ள உச்சியில் உள்ள கோணம் சமம்

1 25541 பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் (அனைத்து இருமுனை கோணங்களும் சரியான கோணங்கள்). பணிகளின் முன்மாதிரிகள் B10 2014 2 25561 மேற்பரப்பைக் கண்டுபிடி 8 25681 மேற்பரப்பைக் கண்டறி 3 25581 பகுதியைக் கண்டறி

1. டாஸ்க் B13 இன் முன்மாதிரி (27054) ஒரு உச்சியில் இருந்து வரும் எண்கள் 3 மற்றும் 4. இந்த இணையான மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 94. அதே உச்சியில் இருந்து வரும் மூன்றாவது விளிம்பைக் கண்டறியவும். பணிகளின் அனைத்து முன்மாதிரிகள் B13

ஜியோமெட்ரி தேர்வு வகுப்பு பகுதி I ஆயங்கள் மற்றும் திசையன்கள் ஒரு சமன்பாட்டை எழுதவும். ஒரு விமானம் கடந்து செல்கிறது

மூன்று பக்க விலா எலும்புகள் மற்றும் ஒரு கோணத்தில் α அடிப்படை விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும். அடித்தளத்தின் பக்கமானது α க்கு சமம். இதன் விளைவாக வரும் குறுக்குவெட்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும். 17. ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸத்தில், அடிப்பகுதி 144 செமீ² மற்றும் உயரம்

பணி 17 இடைவெளியில் கோணங்கள் மற்றும் தூரங்கள் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். 1. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ABCDயின் விளிம்பின் நீளம் 1. DM மற்றும் CL கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும், M என்பது BCயின் விளிம்பின் நடுப்புள்ளி, L என்பது நடுப்புள்ளி

தரம் 11. "ப்ரிஸம்" என்ற தலைப்பில் வழக்கமான கணக்கீடு. விருப்பம் 1 1. சாய்ந்த ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி a பக்கத்துடன் ஒரு வழக்கமான முக்கோணமாகும், பக்க விளிம்பின் நீளம் b க்கு சமம், பக்க விளிம்புகளில் ஒன்று அருகில் உள்ளது

ஸ்டீரியோமெட்ரியின் கோட்பாடுகள் 1. 2. 3. 4. 5. கோட்பாடுகளிலிருந்து தொடர்புகள் 1. 2. அறிக்கை எப்போதும் உண்மையா? 1. ஏதேனும் 3 புள்ளிகள் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன. 1 2. எந்த 4 புள்ளிகளும் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன. 3. எந்த 3 புள்ளிகளும் பொய் சொல்லாது

முன்மாதிரிகள் B9 (மொத்தம் 167) 1 பரப்பளவைக் கண்டறிக 6 மேற்பரப்பைக் கண்டறிக

1. பணி 12 இன் முன்மாதிரி (27064) ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் விவரிக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும். அனைத்து பணி முன்மாதிரிகள் 12

1 25541 பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் (பணிகளின் அனைத்து முன்மாதிரிகள் 9 2015 8 25681 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 2 25561 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 9 25701 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 3 25581

முன்மாதிரி பணிகளின் வடிவத்தில் "கணிதம்" என்ற ஒழுக்கத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு 2017 திட்டத்தின் படி ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு வடிவத்தில் கட்டுப்பாட்டுத் தேர்வு. பதில் - குறுகிய பதில்களை பதிவு செய்வதற்கான படிவத்தில் ஒரு வரி. முழுப்பெயர்: தேதி: பணி 6 1. ஐசோசெல்ஸில்

1. பணி B13 இன் முன்மாதிரி (27064) ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் சுற்றப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும். அனைத்து பணி முன்மாதிரிகள்

1 25541 பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் (பணிகளின் அனைத்து முன்மாதிரிகள் 8 2016 2 25561 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 8 25681 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 3 25581 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 9 25701

1 25541 பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் (பணிகளின் அனைத்து முன்மாதிரிகள் 8 2016 2 25561 மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் 8 25681 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும் 3 25581 மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் 4 25601

சிக்கல்கள் B11 245354 ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி வளைக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்படை ஆரம் 2. ப்ரிசத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 48. உருளையின் உயரத்தைக் கண்டறியவும் 245358 சுற்றளவு

பிளானிமெட்ரியின் அடிப்படை வரையறைகள், கோட்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்கள். பதவிகள்: ABC முக்கோணம் செங்குத்து A, B, C. a = BC, b = AC, c = AB அதன் பக்கங்கள், முறையே, இடைநிலை, இருசமவெட்டி, உயரம் பக்கத்திற்கு வரையப்பட்டது

வடிவியல் வகுப்பிற்கான கல்விப் பொருளின் கருப்பொருள் திட்டமிடல். பாடம் பொருள் தலைப்பு. மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5 பாலிஹெட்ரா டைஹெட்ரல் கோணம் ட்ரைஹெட்ரல் மற்றும் பாலிஹெட்ரல் கோணங்கள்

பணிகள் 1. வார்த்தைகள் (சொற்றொடர்கள்) மூலம் வெற்றிடங்களை நிரப்பவும், இதனால் அறிக்கை உண்மை G-11 ஆகும். 1.1 ஒரு திசையன் அதன் முடிவு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது, மற்றும் அதன் தொடக்கமானது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, கொடுக்கப்பட்டவை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சோதனை 448 செங்குத்து கோணங்கள் 1. கோணங்கள் செங்குத்தாக இல்லை என்றால், அவை சமமாக இல்லை. 2. சம கோணங்கள் மைய சமச்சீராக இருந்தால் மட்டுமே செங்குத்து கோணங்களாகும். 3. கோணங்கள் சமமாக இருந்தால் மற்றும் அவற்றின் தொழிற்சங்கம் இருந்தால்

பணி B13 ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2014 பணி பதில் 1 ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் விவரிக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும். 4 செவ்வக இணை குழாய்

ஜியோமெட்ரி வழிமுறைகளில் குறுகிய பதில் பணிகள். பிரச்சனைக்கு விடைகான். ஒரு சுருக்கமான பதில் கொடுங்கள். 1. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அபோதெம் 4 செ.மீ. மற்றும் அடித்தளத்தின் பக்கம் 8 செ.மீ. பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

தொகுதி 0 “விண்வெளியில் கார்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் திசையன்கள். பாலிஹெட்ரா. சுழற்சி உடல்கள்." விண்வெளியில் உள்ள கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திசையன்கள் பாலிஹெட்ரா. 3. புரட்சியின் உடல்கள். 4. பாலிஹெட்ராவின் தொகுதிகள் 5. தொகுதிகள்

கணித ஒலிம்பியாட்ஸ் பிளானிமெட்ரி முக்கோணங்களின் 2வது கட்டத்திற்குத் தயாரிப்பதற்கான சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள்

2012 கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு 184 சிக்கல்களின் முன்மாதிரிகள் B11 கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பணிகளின் திறந்த வங்கி http://mathege.ru அலெக்சாண்டர் மற்றும் நடாலியா க்ருடிட்ஸ்கிக் www.matematikalegko.ru 01/01/2012 ஏ.எஸ். க்ருடிட்ஸ்கிக் மற்றும் என்.எஸ்.

உதவி B9 பாலிஹெட்ரா ஒரு பாலிஹெட்ரான் என்பது ஒரு உடல் ஆகும், அதன் மேற்பரப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான தட்டையான பலகோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. ப்ரிஸம் ஒரு ப்ரிஸம் என்பது இரண்டு தட்டையான பலகோணங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும்,

விருப்பம் I 1) ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டின் தளங்கள் 43 மற்றும் 73. ட்ரேப்சாய்டின் கடுமையான கோணத்தின் கோசைன் 7 5. பக்கத்தைக் கண்டறியவும். 2) வட்டத்தின் விட்டத்தால் எழுதப்பட்ட கோணம் என்ன? உங்கள் பதிலை டிகிரிகளில் கொடுங்கள்.

1. பணி B9 இன் முன்மாதிரி (245359) அனைத்து முன்மாதிரிகள் B5 2013 செங்குத்துகள் மற்றும் செவ்வக இணைக் குழாய்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தின் சதுரத்தைக் கண்டறியவும். 2. முன்மாதிரி பணி B9 (245360) தூரத்தைக் கண்டறியவும்

ஸ்டீரியோமெட்ரியில் கோணங்கள் மற்றும் தூரங்களைக் கண்டறிவதற்கான மூன்று சைன்களின் தேற்றம் மற்றும் பிற ஆக்கபூர்வமான முறைகள் (கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் சி சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் நோக்கில்) கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் குழு C இன் சிக்கல்களில், ஒரு நிலையான தொகுப்பு உள்ளது.

தலைப்பு: சுழற்சியின் உடல்கள். உருவங்களின் சேர்க்கை. ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வுக்கான தயாரிப்பு (பணி 8; 14) பணி 8. 1. 2000 செ.மீ 3 தண்ணீர் ஒரு உருளை பாத்திரத்தில் ஊற்றப்பட்டது. திரவ நிலை 12 செ.மீ., பகுதி முழுவதுமாக தண்ணீரில் மூழ்கியது.

வி.ஏ. ஸ்மிர்னோவ் 1. உருவங்களின் அங்கீகாரம் 1. எந்த பாலிஹெட்ரான் கன சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது? 2. ஒரு கனசதுரத்தில் எத்தனை செங்குத்துகள், விளிம்புகள், முகங்கள் உள்ளன? 3. சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் ஒரு கனசதுரத்தை வரையவும். 4. எந்த பாலிஹெட்ரான் ஒரு இணையான குழாய் என்று அழைக்கப்படுகிறது?

பணி 8, 4. ஸ்டீரியோமெட்ரி அடிப்படை வரையறைகள் ஸ்டீரியோமெட்ரி தேற்றத்தின் கோட்பாடுகள். ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று புள்ளிகள் வழியாக, ஒரு விமானம் கடந்து செல்கிறது, ஒன்று மட்டுமே. தேற்றம். இரண்டு புள்ளிகள் நேர்கோட்டில் இருந்தால்

I. V. யாகோவ்லேவ் கணிதப் பொருட்கள் MathUs.ru பயிற்சிச் சிக்கல்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம் 1. பக்கத்துடன் ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தைக் கண்டறியவும். அ. கோணம் 60 கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸ் சமமாக இருக்கும். கால்களைக் கண்டுபிடி.

KGA POU "PKLTT" மெத்தடாலஜிகல் டெவலப்மென்ட் என்ற தலைப்பில் "சுழற்சியின் உடல்கள்" கணிதம், பாடநெறி 1 முழுநேர மாணவர்களுக்கான டோகர்ஸ்காயா எம்.எஸ். 014 G.LE S O Z A V O D S K விளக்கக் குறிப்பு இந்த கல்வி மற்றும் வழிமுறை

சோதனை சோதனை வேலை 1 (20 நிமிடங்களுக்கு) தொடங்குதல் 1. A (5; 1; 3), B (2; 2; 4) எனில், திசையன் AB இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும். 2. கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் b (3; 1; 2) மற்றும் c 2b c (1; 4; 3). கண்டுபிடி. 3. அமைப்பை வரையவும்

சோதனை 250. பிரிவு. நீளம் ஒரு பிரிவின் நீளம் 1 என்றால் அது: 1. பக்க 2 கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரம்; 2. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கம், அதில் மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் 1 மற்றும் 2 க்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும் கோணம்

இடைநிலை (முழுமையான) பொதுக் கல்வி M.I. பாஷ்மகோவ் கணிதம் 11 ஆம் வகுப்பு சிக்கல்களின் தொகுப்பு 3 வது பதிப்பு UDC 372.851 (075.3) BBK 22.1ya721 B336 Bashmakov M. I. B336 கணிதம். தரம் 11. சிக்கல்களின் தொகுப்பு: சராசரி (முழுமையானது)

பணிகளின் முன்மாதிரிகள் 132017 1 25541 மேற்பரப்பைக் கண்டுபிடி 8 25681 பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும் (படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள அனைத்து பாலிஹெட்ரான்களும் (அனைத்து 2 25561 மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்

1. பணி B13 இன் முன்மாதிரி (27064) ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் சுற்றப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும். 2. பணி B13 இன் முன்மாதிரி

வடிவியல் குறுகிய பதில் பணிகள் ஒதுக்கீடு. பிரச்சனைக்கு விடைகான். ஒரு சுருக்கமான பதில் கொடுங்கள். 1. புள்ளியிலிருந்து தோற்றம் வரை உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும். 2. புள்ளியிலிருந்து தோற்றம் வரை உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும். 3. எதில்

69 "ஒருங்கிணைந்த சிக்கல்கள்" என்ற தலைப்பில் சோதனை 1. ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 2 க்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும். 32 128 0 2.

"ஜியோமெட்ரி" என்ற பயிற்சிப் பாடத்தின் வேலைத் திட்டம், 0- வகுப்புகள் "ஜியோமெட்ரி" என்ற பயிற்சிப் பாடத்தின் வேலைத் திட்டம், 0-கிரேடுகள் பொதுக் கல்வியின் மாநிலத் தரத்தின் கூட்டாட்சி கூறுகளுக்கு ஏற்ப தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.

1 I சுருக்கம் 1 பாடத்திட்டத்தின் படி ஒழுக்கத்தின் பெயர் பள்ளிக் கணித பாடத்தில் ஸ்டீரியோமெட்ரிக் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பங்கள் மற்றும் முறைகள் ஒழுக்கத்தின் நோக்கம் மற்றும் நோக்கங்கள் ஒழுக்கத்தில் தேர்ச்சி பெறுவதன் நோக்கம்:

ஏ.வி. போகோரெலோவ் “ஜியோமெட்ரி. 0 வகுப்புகள்" அடிப்படை நிலை (வாரத்திற்கு .5 மணிநேரம்) உருப்படி எண்கள் பொருளின் உள்ளடக்கம் மணிநேர எண்ணிக்கை மாணவர் செயல்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளின் பண்புகள் (கல்வி நடவடிக்கைகளின் மட்டத்தில்). கோட்பாடுகள்

08. ஸ்டீரியோமெட்ரி பகுதி 1. FIPI (www.fipi.ru) + பிற ஆதாரங்கள் (*) I) Parallelepiped 1. செவ்வக இணையான ABCDA1B1C1D1 இல் AB=6, BC=5, AA1=4 என்று அறியப்படுகிறது. செங்குத்துகளைக் கொண்ட பாலிஹெட்ரானின் அளவைக் கண்டறியவும்

ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பில் C2 வகை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது 1. ஒரு செவ்வக இணைக்குழாயில், விளிம்புகளின் நீளம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. M விளிம்பில் ஒரு புள்ளியாக இருந்தால் பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறிந்து, அதன் பரப்பளவு என்பதைக் கவனியுங்கள். வலது முக்கோணம் கிடக்கிறது

சோதனை கேள்விகள் கேள்விகள் 8 புள்ளிகள் A (; ;), B (; 4; 0) மற்றும் விமானம் α, சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட x 4 y z 48 = 0. (). கோடு AB மற்றும் விமானம் α இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும். (). விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்,

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் C b) பிரிவைச் சேர்ந்த வேர்களைக் குறிக்கவும். a) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் b) பிரிவைச் சேர்ந்த சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்பிடவும் a) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். b) இந்தச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்பிடவும்

உடல்களின் சேர்க்கைகள் 1. ஒரு சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் விவரிக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஆரம் மற்றும் உயரம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும். இணையான பைப்பின் அளவைக் கண்டறியவும். 2. ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் ஒரு சிலிண்டர், ஆரம் பற்றி விவரிக்கப்பட்டுள்ளது

வடிவியல் குறுகிய பதில் பணிகள் ஒதுக்கீடு. பிரச்சனைக்கு விடைகான். ஒரு சுருக்கமான பதில் கொடுங்கள். 1. புள்ளி A(1; 2; 3) இலிருந்து தோற்றத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும். 2. புள்ளி B(1; 1; 1) இலிருந்து தொடக்கத்திற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும்

9வது தொழில்நுட்ப வகுப்பிற்கான வடிவவியலில் உள்ள தேர்வுச் சிக்கல்கள் மற்றும் கேள்விகள் (1 gr.) அடிப்படைச் சிக்கல்கள் (3க்கு) 1. ABCDயின் இணையான வரைபடத்தில், A மற்றும் D கோணங்களின் இருபிரிவுகள் BCஐ மூன்று சம பிரிவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. கண்டுபிடி

ரோஸ்டோவ் ஸ்டேட் யுனிவர்சிட்டி 7 ஸ்டீரியோமெட்ரியில் உள்ள சிக்கல்கள், இயற்பியல் பீடத்திற்கு விண்ணப்பிப்பவர்களுக்கான வழிமுறை வழிமுறைகள் ரோஸ்டோவ்-ஆன்-டான் 00 ரஷ்ய மாநில பல்கலைக்கழக முறையியல் ஆணையத்தின் கல்வி பீடத்தின் முடிவின் மூலம் வெளியிடப்பட்டது

பணி B9 (2013) இன் அனைத்து முன்மாதிரிகளும் (245359) செங்குத்துகள் மற்றும் செவ்வக இணையான குழாய்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தின் சதுரத்தைக் கண்டறியவும். (245360) செவ்வக இணைக் குழாய்களின் செங்குத்துகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்,

1. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில், அடிப்பகுதியின் இடைநிலைகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன. முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 3, பிரமிட்டின் அளவு 1. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும். 2. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில், அடித்தளத்தின் இடைநிலை

கணிதத்தில் ஐ.வி. யாகோவ்லேவ் பொருட்கள் MathUs.ru பித்தகோரியன் தேற்றம், வடிவவியலின் மிக முக்கியமான தேற்றமான பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பெற நாங்கள் தயாராக இருக்கிறோம். பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பல வடிவியல் கணக்கீடுகள் செய்யப்படுகின்றன.

சிக்கலின் பொருள் நிபந்தனைகள் ஸ்டீரியோமெட்ரி பி 10 1. கனசதுரத்தின் கன அளவு 8. அதன் பரப்பளவைக் கண்டறியவும். பதில்: 24 தீர்வு 2. ஒரு கனசதுரத்தின் விளிம்பு மூன்று மடங்காக இருந்தால் அதன் பரப்பளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்?

வட்டங்கள் தொடுகோடுகள் மற்றும் செகண்டுகள், வட்டங்களின் பரஸ்பர ஏற்பாடு ஒரு வட்டம் என்பது ஒரு புள்ளியில் இருந்து சமமான புள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடம் ஆகும், இது வட்டத்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பணிகளின் சேகரிப்பு சி பிரமிட் பதில் ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு SABCD இன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 08 க்கு சமம், மேலும் இந்த பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு சமமாக இருக்கும். கடந்து செல்லும் குறுக்கு வெட்டு பகுதியைக் கண்டறியவும்

சிலிண்டர் அழைக்கப்படுகிறது ப்ரிஸம் பற்றி விவரிக்கப்பட்டது , சிலிண்டரின் தளங்களின் வட்டங்கள் ப்ரிஸத்தின் தளங்களைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டால், மற்றும் ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் சிலிண்டரின் ஜெனரேட்டர்கள். ப்ரிஸம் அதன்படி அழைக்கப்படுகிறது பொறிக்கப்பட்டுள்ளது ஒரு சிலிண்டரில்.

தேற்றம். ஒரு சிலிண்டர் ஒரு ப்ரிஸத்தைச் சுற்றி விவரிக்கப்படுவதற்கு, ப்ரிஸம் நேராக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது மற்றும் அதன் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டம் விவரிக்கப்படலாம்.

சிலிண்டர் அழைக்கப்படுகிறது ஒரு ப்ரிஸத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது , அதன் தளங்களின் வட்டங்கள் ப்ரிஸத்தின் தளங்களில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்களைத் தொடும்.

தேற்றம். ஒரு சிலிண்டர் ஒரு ப்ரிஸத்தில் பொறிக்கப்படுவதற்கு, ப்ரிஸம் நேராக இருக்க வேண்டியது அவசியம் மற்றும் போதுமானது மற்றும் அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டம் பொறிக்கப்படலாம்.

கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது பிரமிடுக்கு அருகில் விவரிக்கப்பட்டது , கூம்பின் அடிப்பகுதியின் வட்டம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்டால், மற்றும் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் கூம்பின் ஜெனரேட்டர்கள். அதன்படி பிரமிடு அழைக்கப்படுகிறது பொறிக்கப்பட்டுள்ளது ஒரு கூம்புக்குள்.

தேற்றம். பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கூம்பு விவரிக்கப்படுவதற்கு, பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது , அதன் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்களைத் தொடும். அதன்படி பிரமிடு அழைக்கப்படுகிறது விவரித்தார் கூம்புக்கு அருகில்.

தேற்றம். ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்படுவதற்கு, பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு வட்டம் பொறிக்கப்படுவது அவசியம் மற்றும் போதுமானது, மேலும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி இந்த வட்டத்தின் மையத்தில் ஆர்த்தோகனலாக திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு பந்து ஒரு வலது ப்ரிஸத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்பகுதி ஒரு காலுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். அமற்றும் அதன் எதிரே உள்ள கடுமையான கோணம் α . ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 12.48). பந்து நேரான ப்ரிஸத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது ப்ரிஸத்தின் உயரம் பந்தின் விட்டத்திற்கு சமம், மேலும் ஒரு வட்டம் அடித்தளத்தின் முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் ஆரம் பந்தின் ஆரத்திற்கு சமம் . ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் ஏபிசி, இதில் கால் உள்ளது கி.மு. = அ, அதற்கு எதிரே Р BAC = α . காலைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ.சி.மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் ஏபி:

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசிசமமானது:

ஒரு முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் கணக்கிடுவோம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம்

நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்பு சமமாக இருக்கும் அ.அருகிலுள்ள பக்கவாட்டு முகங்களால் உருவாக்கப்பட்ட இருமுனை கோணம் சமமாக இருக்கும் β . இந்த பிரமிடு சுற்றியிருக்கும் கோளத்தின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.வரைவோம் (படம் 12.49): ஏ பி சி டி- சதுரம், அதனால்- பிரமிட்டின் உயரம், ஆர் ஏ.இ.சி. = பி- இருமுனை கோணம்.

பிரமிட்டின் மூலைவிட்ட பகுதியைக் கவனியுங்கள் - ஒரு முக்கோணம் எஸ்.பி.டி(எஸ்.பி. = எஸ்டி) கொடுக்கப்பட்ட பிரமிட்டைச் சுற்றியிருக்கும் கோளத்தின் ஆரம் ஒரு முக்கோணத்தைச் சுற்றிய வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். எஸ்.பி.டி. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் கண்டுபிடிப்போம்

முக்கோணங்களின் ஒற்றுமையிலிருந்து (ஆர் SOB = Ð எஸ்சிஓ= 90°, ஆர் பிஎஸ்ஓ = Ð ஓ.எஸ்.இ.) பக்கங்களின் விகிதாசாரத்தைப் பின்பற்றுகிறது: எஸ்.பி./அதனால் = பி.ஓ./ஓ.இ..

ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து இருந்து கண்டுபிடிப்போம் JSC = INஎனவே,

வட்டத்தின் ஆரம் கணக்கிடவும்:

நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்து துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது ஆர். கூம்பின் ஜெனராட்ரிக்ஸ் ஒரு கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்துள்ளது அ. துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.கூம்பின் அச்சுப் பகுதியைக் கவனியுங்கள் (படம் 12.50).

பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: ஆர் 1 - கூம்பின் கீழ் அடித்தளத்தின் ஆரம், ஆர் 2 - மேல் தளத்தின் ஆரம். இந்த துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் உயரம் அதில் பொறிக்கப்பட்ட பந்தின் விட்டம் 2 க்கு சமமாக இருக்கும் ஆர். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் ஏபிசி: Ð பி= 90°, ஆர் ஏ = அ, கி.மு. = 2ஆர். காலைக் கண்டுபிடிப்போம் பி.ஏ.மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸ் ஏ.சி.: பி.ஏ. = கி.மு.× ctg அ, ஒரு பந்து துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளதால், இந்த கூம்பின் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் அதன் தளங்களின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

அதை கவனி

அமைப்பைத் தீர்த்து வைத்தது நாம் கண்டுபிடிப்போம்

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம் (12.8).

நாங்கள் பதிலைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4. ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்துக்கு ஆர்ஒரு கூம்பு பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது φ . கூம்பின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ஒரு கூம்பின் மொத்த பரப்பளவைக் கணக்கிட, நீங்கள் அடித்தளத்தின் ஆரம் மற்றும் கூம்பின் ஜெனரேட்ரிக்ஸை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இந்த கூம்பின் அச்சுப் பகுதியைக் கவனியுங்கள் - ஒரு ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணம் எஸ்.ஏ.பி: எஸ்.ஏ. = எஸ்.பி.- உருவாக்கும், எஸ்டி- உயரம், டி.பி.- கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் (படம் 12.51).

பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின்படி ஆர் எஸ்.ஏ.டி. = φ எனவே, முக்கோணம் ஏஓஎஸ்- ஐசோசெல்ஸ் ( ஏ.ஓ. = OS = ஆர்), எனவே உச்சியில் இந்த முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணம் பற்றிசமம்: ஆர் ஏஓடி = Ð SAO + Ð ASO = ப – 2ஜே.

ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஏஓடி (Ð டி= 90°, ஏ.ஓ. = ஆர், Ð ஏஓடி = ப – 2ஜே) வெளிப்படுத்துவோம் கி.பி:

ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஏ.எஸ்.டி. (Ð டி= 90°, கி.பி = ஆர்பாவம் 2 ஜே) வெளிப்படுத்துவோம் எஸ்.ஏ.:

கூம்பின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் காணப்படும் வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

இதனால்,

எடுத்துக்காட்டு 5. ஒரு சிலிண்டர் வலது இணையான பைப்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அளவு மீ parallelepiped அளவை விட மடங்கு குறைவாக. parallelepiped பக்கவாட்டு விளிம்புகளில் இருமுனை கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.கொடுக்கப்பட்ட parallelepiped இன் பக்கவாட்டு விளிம்புகளில் உள்ள இருமுனைக் கோணங்கள் அதன் அடிவாரத்தில் இருக்கும் இணையான வரைபடத்தின் கோணங்களாகும். ஒரு சிலிண்டர் ஒரு இணையான பைப்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதாவது ஒரு வட்டம் அடித்தளத்தின் இணையான வரைபடத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு வட்டம் ஒரு நாற்கரத்தில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும். எனவே, ஒரு இணையான பைப்பின் அடிப்பகுதி ஒரு ரோம்பஸ் ஆகும். ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 12.52).

விரும்பிய கோணத்தைக் குறிப்போம் அ. ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஏபிசி (Ð சி= 90°, ஆர் ஏ = அ) ரோம்பஸின் பக்கத்தைக் கண்டறியவும் ஏபிமற்றும் அதன் உயரம் கி.மு.:

சிலிண்டரின் உயரம் மற்றும் இணையான குழாய்கள் சமமாக இருப்பதால், சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு இருக்கும் மீஇணை குழாய்களின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவை விட மடங்கு குறைவு. சமத்துவத்தை எழுதுவோம்: அதிலிருந்து வெளிப்படுத்தவும் மேலும்

இணைக் குழாய்களின் பக்கவாட்டு விளிம்புகளில் உள்ள இருமுனைக் கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்:

மற்றும்

பணிகள்

நான் நிலை

1.1. ஒரு கூம்பு ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் ஒரு தொகுதியுடன் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

1.2. ஒரு கூம்புக்குள், அதன் ஜெனராட்ரிக்ஸ் ஒரு கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்தில் சாய்ந்துள்ளது அ, ஒரு பிரமிடு பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி 3 செமீ மற்றும் 4 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகும். என்றால் பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறியவும்

1.3. சிலிண்டரைச் சுற்றி ஒரு வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்படை சுற்றளவு 12 செமீ மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதி 48 செமீ 2 ஆகும். சிலிண்டரின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

1.4. ஒரு வழக்கமான அறுகோண ப்ரிஸம் ஒரு சமபக்க உருளையில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அச்சுப் பகுதியின் மூலைவிட்டமானது சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள்.

1.5. ஒரு வழக்கமான முக்கோண துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டைச் சுற்றி துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு விவரிக்கப்படுகிறது. மேல் தளத்தின் ஆரம் கூம்பின் கீழ் தளத்தின் ஆரத்தை விட 2 மடங்கு குறைவாக உள்ளது, உயரம் 4 செ.மீ., மற்றும் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் 5 செ.மீ. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

1.6. ஒரு பந்து ஒரு கனசதுரத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கனசதுரத்தைச் சுற்றி ஒரு பந்து விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த கோளங்களின் தொகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும்.

1.7. ஒரு உருளை ஒரு கோளத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு 16 பசெமீ 2, அதன் அச்சுப் பிரிவின் மூலைவிட்டத்தின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு 3. கோளத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

1.8. ஒரு கூம்பில் ஒரு பந்து பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் பரப்பளவை விட 2 மடங்கு அதிகம். கூம்பின் ஜெனராட்ரிக்ஸ் 8 செ.மீ ஆக இருந்தால் பந்தின் ஆரம் கண்டுபிடிக்கவும்.

1.9. 1 செமீ விட்டம் கொண்ட நான்கு சம உலோகப் பந்துகள் 2.5 செமீ விட்டம் கொண்ட உருளை பீக்கரில் இறக்கப்பட்டு, ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிற்கு தண்ணீர் நிரப்பப்படும்.

1.10. கோள அடுக்கு மற்றும் சிலிண்டரின் தளங்கள் ஒன்றிணைகின்றன. அவற்றின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புகளுக்கு இடையில் மூடப்பட்ட உடலின் அளவு 36 ஆகும் பசெமீ 3. கோள அடுக்கின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

நிலை II

2.1. ஒரு சமபக்க முக்கோணம் அதன் பக்கம் சமமாக இருக்கும் ஏ, அதன் உயரத்திற்கு இணையாக வெளிப்புற அச்சில் சுழல்கிறது மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் சுழற்சியின் உடலின் மேற்பரப்பைக் கண்டறியவும்.

2.2. ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு ஒரு நாற்கர துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அடிப்பகுதி ஒரு பக்கத்துடன் கூடிய ரோம்பஸ் ஆகும். ஏமற்றும் கோணம் அ. பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு பரப்பளவு எஸ், பக்க முகங்கள் ஒரு கோணத்தில் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு சாய்ந்திருக்கும் பி. துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவைக் கண்டறியவும்.

2.3. வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தில், பக்க விளிம்பு அடித்தளத்தின் பக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ப்ரிஸத்தைச் சுற்றி ஒரு கோளம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் கோளத்தைச் சுற்றி ஒரு கூம்பு விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. கூம்பின் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் சமம் எல்மற்றும் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது அ. ப்ரிஸத்தின் அளவைக் கண்டறியவும்.

2.4. ஒரு பிரமிட்டில், அதன் பக்கவாட்டு முகங்கள் அனைத்தும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருக்கும், அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு இணையான ஒரு விமானம் பொறிக்கப்பட்ட பந்தின் மையத்தின் வழியாக வரையப்படுகிறது. இந்த விமானம் மூலம் பிரமிட்டின் குறுக்கு வெட்டு பகுதியின் விகிதம் அடித்தளத்தின் பகுதிக்கு சமம் கே. பக்க முகத்திற்கும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2.5. ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்துக்கு ஆர்பொதுவான அடித்தளத்துடன் இரண்டு கூம்புகள் பொறிக்கப்பட்டுள்ளன. கூம்புகளின் முனைகள் பந்தின் விட்டத்தின் எதிர் முனைகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன. சிறிய கூம்பு கொண்ட கோளப் பிரிவில் அதன் அச்சுப் பிரிவில் ஒரு வில் உள்ளது அ. இந்த கூம்புகளில் பொறிக்கப்பட்ட பந்துகளின் மையங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

2.6. பந்து வழக்கமான நாற்கர ப்ரிஸத்தின் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளையும் அதன் தளங்களையும் தொடுகிறது. ப்ரிஸத்திற்கு வெளியே அமைந்துள்ள கோளத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ப்ரிஸத்தின் மொத்த பரப்பளவுக்கு விகிதத்தைக் கண்டறியவும்.

2.7. ஒரு சமபக்க உருளை ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் அதன் ஜெனரேட்ஸில் ஒன்று பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் மூலைவிட்டத்தில் அமைந்துள்ளது, மேலும் அடித்தளத்தின் வட்டம் பிரமிட்டின் இரண்டு பக்கவாட்டு முகங்களைத் தொடும். பிரமிட்டின் பக்க விளிம்பு சமமாக இருந்தால் சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் கண்டுபிடிக்கவும் பி, மற்றும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு அதன் சாய்வின் கோணம் சமமாக இருக்கும் அ.

2.8. ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பு 8 செ.மீ நீளமானது.ஒரு உருளை மேற்பரப்பு அதன் விளிம்புகளில் ஒன்றின் வழியாகவும் அதன் அனைத்து செங்குத்துகள் வழியாகவும் செல்கிறது. சிலிண்டரின் அடிப்பகுதியின் ஆரத்தைக் கண்டறியவும்.

2.9. முக்கோண பிரமிட் விளிம்புகள் உச்சியில் இருந்து நீட்டிக்கப்படுகின்றன எஸ், ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக மற்றும் சமம் அ, பிமற்றும் c. ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்ட கனசதுரத்தின் அளவைக் கண்டறியவும், அதன் உச்சிகளில் ஒன்று உச்சியுடன் ஒத்துப்போகிறது. எஸ்பிரமிடுகள்.

2.10. ஒரு பந்து துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அளவு கூம்பின் தொகுதிக்கு சமம். கூம்பின் கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கு ஜெனராட்ரிக்ஸின் சாய்வின் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

நிலை III

3.1. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்பு சமமாக இருக்கும் பிமற்றும் அடித்தளத்தின் விமானத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது α . ஒரு சமபக்க உருளை ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் அதன் கீழ் தளம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் விமானத்தில் உள்ளது. சிலிண்டரின் உயரத்தைக் கண்டறியவும்.

3.2. கூம்பின் உச்சியை மையமாகக் கொண்ட ஒரு கோளம் அதன் அடிப்பகுதியைத் தொட்டு, கூம்பின் மேற்பரப்பை சம பகுதிகளைக் கொண்ட இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது. கூம்பின் அச்சுப் பிரிவின் உச்சியில் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

3.3. விளிம்பு சமமாக இருக்கும் கனசதுரத்திற்குள் அ, ஒரு கூம்பு அச்சுப் பிரிவில் உள்ள ஜெனரேட்ரைஸ்களுக்கு இடையே ஒரு கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது α . கனசதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தில் அதன் உயரம் இருந்தால், ஜெனராட்ரிக்ஸின் நீளம் மற்றும் கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

3.4. பந்து ஒரே உச்சியைக் கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தின் மூன்று முகங்களைத் தொட்டு, முதல் எதிரே உள்ள கனசதுரத்தின் உச்சி வழியாக செல்கிறது. கனசதுரத்தின் விளிம்பு சமமாக இருந்தால் பந்தின் ஆரம் கண்டுபிடிக்கவும் அ.

3.5. சிலிண்டர் ஒரு அரைக்கோளத்துடன் மேலே முடிக்கப்படுகிறது. உடல் அளவு 45 π . அரைக்கோளத்தின் எந்த ஆரத்தில் உடலின் மொத்த பரப்பளவு சிறியதாக இருக்கும்?

3.6. அடிப்படை ஆரம் கொண்ட கூம்புக்குள் ஆர்மற்றும் உயரம் எச்சிலிண்டர் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. சிலிண்டரின் அளவு அதிகமாக இருக்கும் நேரியல் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும்.

3.7. ஆரம் கொண்ட ஒரு பந்தில் பொறிக்கப்பட்ட வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் மிகப்பெரிய அளவைக் கண்டறியவும் ஆர்.

3.8. ஒரு சிலிண்டர் ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, இதனால் அதன் மேல் தளத்தின் வட்டம் பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களையும் தொடும், மேலும் கீழ் அடித்தளம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் விமானத்தில் உள்ளது. உருளையின் கன அளவு அதிகமாக இருப்பதற்கு பிரமிட்டின் உயரத்தின் எந்தப் பகுதி சிலிண்டரின் உயரமாக இருக்க வேண்டும்?

"வடிவியலில் பாலிஹெட்ரா" - முதலாவது உயர் வரிசையின் புள்ளிவிவரங்களிலிருந்து கீழ் வரிசையின் புள்ளிவிவரங்களுக்கு இட்டுச் சென்றது. ஒரு பாலிஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான பலகோணங்களைக் கொண்டுள்ளது (முகங்கள்). ஒரு செவ்வக இணைக் குழாய் அதன் அனைத்து முகங்களும் செவ்வகங்களாக இருக்கும். "கொள்கைகள்" புத்தக XI இல், மற்றவற்றுடன், பின்வரும் உள்ளடக்கத்தின் கோட்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன. சமமான உயரங்கள் மற்றும் சமமான தளங்களைக் கொண்ட இணையான குழாய்கள் சம அளவில் இருக்கும்.

"பாலிஹெட்ராவின் கட்டுமானம்" - டோடெகாஹெட்ரானில் 12 முகங்கள், 20 செங்குத்துகள் மற்றும் 30 விளிம்புகள் உள்ளன. பிளேட்டோ ஏதென்ஸில் பிறந்தார். வழக்கமான பாலிஹெட்ராவில் ஐந்து வகைகள் உள்ளன. ஒரு கனசதுரத்தைச் சுற்றி விவரிக்கப்பட்ட டோடெகாஹெட்ரானின் கட்டுமானம். ஒரு கனசதுரத்தைப் பயன்படுத்தி கட்டுமானம். வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் சமச்சீர் கூறுகள். ஒரு கனசதுரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஐகோசஹெட்ரானின் கட்டுமானம். வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் கட்டுமானம்.

"சுழற்சியின் உடல்கள்" - சுழற்சியின் உடல்கள். எந்த பலகோணத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் மற்றும் எந்த அச்சில் இந்த வடிவியல் உடலைப் பெற முடியும்? 6 செ.மீ., 8 செ.மீ. மற்றும் 4 செ.மீ உயரம் கொண்ட ஒரு ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட வடிவியல் உடலின் அளவைக் கணக்கிடவா? சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அச்சில் இந்த முக்கோணத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் என்ன வடிவியல் உடல் பெறப்படும்?

"அரை-வழக்கமான பாலிஹெட்ரா" - டெட்ராஹெட்ரான். ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்களின் நான்காவது குழு: நீங்கள் தவறான பதிலை அளித்துள்ளீர்கள். துண்டிக்கப்பட்ட எண்முகம். துண்டிக்கப்பட்ட டெட்ராஹெட்ரான். சரி. நினைவில் கொள்வோம். பயிற்சி. ஆர்க்கிமிடியன் திடப்பொருட்களின் ஐந்தாவது குழு ஒரு பாலிஹெட்ரானைக் கொண்டுள்ளது: ரோம்பிகோசிடோடெகாஹெட்ரான். கட்டுப்பாட்டு பொத்தான்கள். அரை சரி. ஸ்னப் கன சதுரம். பாலிஹெட்ரா. போலி-ரோம்போகுபூக்டாஹெட்ரான்.

"வழக்கமான பாலிஹெட்ரா" - "ஆட்டோமார்பிசம்" மற்றும் "சமச்சீர்" ஆகிய கருத்துக்களுக்கு இடையே தெளிவான வேறுபாட்டை நாங்கள் செய்கிறோம். மறைக்கப்பட்ட சமச்சீர்நிலைகளுக்கு எதிரான போராட்டம் Coxeter முன்னுதாரணத்தை செயல்படுத்துவதற்கான வழியாகும். ஹரோல்ட் ஸ்காட் மெக்டொனால்ட் ("டொனால்ட்") காக்செட்டர் (1907-2003). சிறிய விண்மீன் டூடெகாஹெட்ரான். அனைத்து ஆட்டோமார்பிஸங்களும் வடிவியல் BTG மாதிரியின் மறைக்கப்பட்ட சமச்சீர்நிலைகளாகின்றன.

"வழக்கமான பாலிஹெட்ரா" - ஒரு கனசதுரத்தின் ஒவ்வொரு உச்சியும் மூன்று சதுரங்களின் உச்சியாகும். ஒவ்வொரு உச்சியிலும் டோடெகாஹெட்ரானின் விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 324?. 9 ஐகோசஹெட்ரானின் ஒவ்வொரு முனையும் ஐந்து முக்கோணங்களின் உச்சியாகும். பூமியின் ஐகோசஹெட்ரான்-டோடெகாஹெட்ரான் அமைப்பு. ஒவ்வொரு உச்சியிலும் கனசதுரத்தின் விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 270?. வழக்கமான பாலிஹெட்ரா மற்றும் இயற்கை.

ஒரு பாலிஹெட்ரான் என்பது அனைத்து பக்கங்களிலும் விமானங்களால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு உடல்.பாலிஹெட்ரானின் கூறுகள்: முகங்கள், விளிம்புகள், செங்குத்துகள். பாலிஹெட்ரானின் அனைத்து விளிம்புகளின் தொகுப்பு அதன் கண்ணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பாலிஹெட்ரான் அதன் அனைத்து முகங்களின் விமானத்தின் ஒரு பக்கத்தில் இருந்தால் குவிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது; மேலும், அதன் முகங்கள் குவிந்த பலகோணங்கள். குவிந்த பாலிஹெட்ராவிற்கு, லியோன்ஹார்ட் யூலர் ஒரு சூத்திரத்தை முன்மொழிந்தார்:

Г+В-Р=2, இங்கு Г என்பது முகங்களின் எண்ணிக்கை; பி - செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை; பி - விலா எலும்புகளின் எண்ணிக்கை.

பல குவிந்த பாலிஹெட்ராக்களில், வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (பிளாட்டோனிக் திடப்பொருள்கள்), பிரமிடுகள் மற்றும் ப்ரிஸம் ஆகியவை மிகவும் சுவாரஸ்யமானவை. பாலிஹெட்ரான் அதன் அனைத்து முகங்களும் சமமான வழக்கமான பலகோணங்களாக இருந்தால் அது வழக்கமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இவை அடங்கும் (படம் 26): a - டெட்ராஹெட்ரான்; b - ஹெக்ஸாஹெட்ரான் (க்யூப்); c - ஆக்டோஹெட்ரான்; g - dodecahedron; d - ஐகோசஹெட்ரான்.

ஏ பி சி டி இ)

அரிசி. 26

வழக்கமான பாலிஹெட்ராவின் அளவுருக்கள் (படம் 26)

	சரி பாலிஹெட்ரான் (பிளாட்டோவின் உடல்)	எண்	அருகில் உள்ள கோணம் விலா எலும்புகள், டிகிரி.
	முகங்கள்	சிகரங்கள்	விலா எலும்புகள்	பக்கங்களிலும் ஒவ்வொரு முகமும்	ஒவ்வொரு உச்சியிலும் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை
டெட்ராஹெட்ரான்	4	4	6	3	60	3
ஹெக்ஸாஹெட்ரான் (கனசதுரம்)	6	8	12	4	90	3
எண்முகம்	8	6	12	3	60	4
பன்னிருமுகி	12	20	30	5	72	3
ஐகோசஹெட்ரான்	20	12	30	3	60	5

க்யூப் மற்றும் ஆக்டாஹெட்ரானின் முகங்கள் மற்றும் செங்குத்துகளின் எண்ணிக்கை முறையே 6.8 மற்றும் 8.6 என்று அட்டவணை காட்டுகிறது. இது அவைகளை ஒன்றுக்கொன்று விளம்பர முடிவில்லாமல் (படம் 27) பொறிக்க (விவரிக்க) அனுமதிக்கிறது.

ஒரு பெரிய குழு அரை-வழக்கமான பாலிஹெட்ரா (ஆர்க்கிமீடியன் திடப்பொருட்கள்) என்று அழைக்கப்படுவதைக் கொண்டுள்ளது. இவை குவிந்த பாலிஹெட்ரா ஆகும், அதன் முகங்கள் பல்வேறு வகையான வழக்கமான பலகோணங்களாகும். ஆர்க்கிமிடீஸின் திடப்பொருள்கள் துண்டிக்கப்பட்ட பிளாட்டோனிக் திடப்பொருள்கள். அவற்றில் சிலவற்றின் தோற்றம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 28, மற்றும் கீழே அவற்றின் அளவுருக்கள் அட்டவணையில் உள்ளன.

ஏ பி சி டி)

அரிசி. 27 படம். 28

செமிரெகுலர் பாலிஹெட்ராவின் அளவுருக்கள் (படம் 28)

ஒரு பாலிஹெட்ரான் விண்வெளியில் ஒரு பொது நிலையை ஆக்கிரமிக்கலாம் அல்லது அதன் கூறுகள் இணையாக மற்றும்/அல்லது திட்டத் தளங்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்கலாம். முதல் வழக்கில் ஒரு பாலிஹெட்ரானை உருவாக்குவதற்கான ஆரம்ப தரவு செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள், இரண்டாவது - அதன் பரிமாணங்கள். ஒரு பாலிஹெட்ரானின் கணிப்புகளை உருவாக்குவது அதன் கண்ணியின் கணிப்புகளை உருவாக்குகிறது. பாலிஹெட்ரானின் முன்கணிப்பின் வெளிப்புற வெளிப்புறமானது உடலின் விளிம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ப்ரிஸம்

─ ஒரு குவிந்த பாலிஹெட்ரான் அதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் இணையாக இருக்கும். கீழ் மற்றும் மேல் முகங்கள் ─ பக்க விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கும் சம பலகோணங்கள் ப்ரிஸத்தின் தளங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு ப்ரிஸம் அதன் அடிப்பகுதி வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் வழக்கமானது என்றும், அதன் பக்க விளிம்புகள் அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால் வலது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில் ப்ரிஸம் சாய்ந்திருக்கும். நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்கள் செவ்வகங்களாகவும், சாய்ந்தவை இணையான வரைபடங்களாகவும் இருக்கும். நேரான ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு திட்டப் பொருட்களுக்கு சொந்தமானது மற்றும் பக்கவாட்டு விளிம்புகளுக்கு செங்குத்தாக ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்தில் பலகோணமாக சிதைகிறது. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் கணிப்புகள் அதன் சிதைந்த திட்டத்துடன் ஒத்துப்போகின்றன.

வழக்கமான பிரச்சனை 3(படம் 29) : பரிமாணங்களுடன் ஒரு நேரான ப்ரிஸத்தின் சிக்கலான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்: l - அடித்தளத்தின் பக்கம் (ப்ரிஸத்தின் நீளம்); b- அடிப்பகுதியின் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் உயரம் (ப்ரிஸத்தின் அகலம்); h என்பது ப்ரிஸத்தின் உயரம். திட்ட விமானங்களுடன் தொடர்புடைய விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் நிலையைத் தீர்மானிக்கவும். ABB'A' மற்றும் ACC'A' முகங்களில், முறையே புள்ளி M மற்றும் நேர்கோடு n இன் முன் கணிப்புகளை அமைத்து, அவற்றின் விடுபட்ட கணிப்புகளை உருவாக்கவும்.

1. பாலிஹெட்ரானை ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேன்களின் அமைப்பில் மனரீதியாக நிலைநிறுத்தவும், அதன் அடிப்பகுதி D ABC║P 1; அதன் விளிம்பு AC║P 3 (படம் 29, a).

2. அடிப்படை விமானங்களை மனரீதியாக அறிமுகப்படுத்துங்கள்: S║P 1 மற்றும் அடித்தளத்துடன் (D ABC) ஒத்துப்போகிறது; D║P 2 மற்றும் பின்புற விளிம்பு ACC'A' உடன் ஒத்துப்போகிறது. நாங்கள் அடிப்படை வரிகளை S 2, S 3, D 1, D 3 (படம் 29, b) உருவாக்குகிறோம்.

3. அடிப்படைக் கோடுகள் D 1, D 3 (படம் 29, c) ஐப் பயன்படுத்தி, கிடைமட்ட, பின்னர் முன் மற்றும் இறுதியாக, ப்ரிஸத்தின் சுயவிவரக் கணிப்புகளை உருவாக்குகிறோம்.

விலா எலும்புகள்: AB, BC ─ கிடைமட்ட; ஏசி ─ சுயவிவர-திட்டமிடல்; AS, SC, SB ─ கிடைமட்டமாக முன்னிறுத்துதல். விளிம்புகள்: ABC A"B'C' ─ கிடைமட்ட நிலைகள்; ABB'A', BCC'B' ─ கிடைமட்டமாகத் திட்டமிடுதல்; ACC"A' ─முன் நிலை..

5. ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு முகங்களில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளின் கிடைமட்ட கணிப்புகளின் கட்டுமானம் திட்டமிடப்பட்ட பொருளின் கூட்டுச் சொத்தைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: ப்ரிஸத்தின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ள புள்ளிகள் மற்றும் கோடுகளின் அனைத்து கணிப்புகளும் அதன் சிதைந்த (கிடைமட்ட) உடன் ஒத்துப்போகின்றன. கணிப்பு. D 1 இலிருந்து கிடைமட்டத் திட்டத்தில் அளவிடப்படும் D 3 இலிருந்து அவற்றின் ஆழத்தின் (Y M) இணைப்பின் கிடைமட்டக் கோடுகளுடன் வரைவதன் மூலம் புள்ளிகளின் சுயவிவரக் கணிப்புகளை (உதாரணமாக M) உருவாக்குகிறோம் (பக். 8, 17 ஐயும் பார்க்கவும்). நேர் கோட்டில் n நாம் புள்ளிகள் 1, 2 ஐ அமைத்து, இந்த புள்ளிகளை ப்ரிஸத்தின் மேற்பரப்பில் கட்டமைக்கிறோம், அதேபோன்று புள்ளி M. போட்டியிடும் புள்ளிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி தெரிவுநிலையை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். "கட்அவுட்டுடன் கூடிய ப்ரிஸம்" என்ற பணியை முடிக்க, பார்க்கவும்.

ஒரு பி சி)

அரிசி. 29

பிரமிட்

ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் முகங்களில் ஒன்று பலகோணம் (பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி), இது பக்கவாட்டு முகங்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிக்கிறது, மீதமுள்ள முகங்கள் (பக்கங்கள்) பொதுவான உச்சியுடன் கூடிய முக்கோணங்களாகும், இது பிரமிட்டின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரமிட்டின் மேற்பகுதியை அடித்தளத்தின் முனைகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பிரமிட்டின் உச்சியில் இருந்து அதன் தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக விழுந்தது பிரமிட்டின் உயரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடிப்படையானது வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் ஒரு பிரமிடு வழக்கமானதாகவும், உச்சியானது அடித்தளத்தின் மையத்தில் இருந்தால் நேராகவும் இருக்கும். வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு விளிம்புகள் சமமாக இருக்கும், மேலும் பக்கவாட்டு முகங்கள் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களாகும். வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் உயரம் அபோதெம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அதன் அடிப்பகுதிக்கு வெளியே திட்டமிடப்பட்டிருந்தால், பிரமிடு சாய்ந்திருக்கும்.

வழக்கமான பிரச்சனை 4(படம் 30-32) : பரிமாணங்களுடன் நேராக வழக்கமான பிரமிட்டின் சிக்கலான வரைபடத்தை உருவாக்கவும்: l - அடித்தளத்தின் பக்க (நீளம்); b- அடிப்படை முக்கோணத்தின் உயரம் (அகலம்); h என்பது பிரமிட்டின் உயரம். திட்ட விமானங்களுடன் தொடர்புடைய விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் நிலையைத் தீர்மானிக்கவும். ASB மற்றும் ASC முகங்களுக்குச் சொந்தமான M மற்றும் N புள்ளிகளின் முன் மற்றும் கிடைமட்ட கணிப்புகளை முறையே அமைத்து, அவற்றின் விடுபட்ட கணிப்புகளை உருவாக்கவும்.

1. பாலிஹெட்ரானை ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேன்களின் அமைப்பில் மனரீதியாக நிலைநிறுத்தவும், அதன் அடிப்படை D ABC║P 1 ஆகவும், அதன் விளிம்பு AC║P 3 ஆகவும் இருக்கும் (படம் 31).

2. அடிப்படை விமானங்களை மனரீதியாக அறிமுகப்படுத்துங்கள்: S║P 1 மற்றும் அடித்தளத்துடன் (D ABC) ஒத்துப்போகிறது;

D║P 2 மற்றும் விளிம்பு AC உடன் ஒத்துப்போகிறது. நாங்கள் அடிப்படை வரிகளை S 2, S 3, D 1, D 3 (படம் 32) உருவாக்குகிறோம்.

3. நாங்கள் கிடைமட்டமாகவும், பின்னர் முன்பக்கமாகவும், இறுதியாக,

பிரமிட்டின் சுயவிவரத் திட்டம் (படம் 32 ஐப் பார்க்கவும்).

4. பிரமிட்டின் சிக்கலான வரைபடத்தில் விளிம்புகள் மற்றும் முகங்களின் நிலையை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம், நேர் கோடுகள் மற்றும் விமானங்களின் நிலையின் ஆரம்ப தரவு மற்றும் வகைப்படுத்திகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறோம் (ப. 11,14).

விலா எலும்புகள்: AB, BC ─ கிடைமட்ட; ஏசி ─ சுயவிவர-திட்டமிடல்; AS, SC ─ பொது நிலை; SB ─ சுயவிவர நிலை. முகங்கள்: ASB, BSC ─ பொது நிலை; ஏபிசி ─கிடைமட்ட நிலை; ASC ─ சுயவிவர-திட்டமிடல்.

5. பிரமிட்டின் முகத்தில் இருக்கும் புள்ளிகளின் விடுபட்ட கணிப்புகளை "ஒரு விமானத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளிகள்" பண்புக்கூறைப் பயன்படுத்தி உருவாக்குகிறோம். கிடைமட்ட கோடுகள் அல்லது தன்னிச்சையான கோடுகளை துணைக் கோடுகளாகப் பயன்படுத்துகிறோம். கிடைமட்டத் திட்டத்தில் அளவிடப்படும் புள்ளிகளின் ஆழங்களை (Y அச்சின் திசையில்) கிடைமட்ட இணைப்புக் கோடுகளுடன் வரைவதன் மூலம் புள்ளிகளின் சுயவிவரக் கணிப்புகளை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் (பக். 8, 17 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 30 படம். 31 படம். 32