காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஆண்டிடெரிவேடிவ் மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, அவற்றின் பண்புகள். அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்கள்

ஆண்டிடெரிவேடிவ் வரையறை.

இடைவெளியில் (a; b) f(x) செயல்பாட்டின் எதிர்ப்பொருள் F(x) என்பது, கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இருந்து எந்த xக்கும் சமத்துவம் இருக்கும்.

C மாறிலியின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால், சமத்துவம் உண்மை . எனவே, f(x) சார்பு ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி Cக்கு, F(x)+C என்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் இந்த ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் தன்னிச்சையான மாறிலி மதிப்பால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வரையறை.

எஃப்(x) செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றல்களின் முழு தொகுப்பும் இந்தச் செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது. .

வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைந்த, மற்றும் f(x) – ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு. ஒருங்கிணைப்பானது f(x) செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது.

அறியப்படாத செயல்பாட்டை அதன் வேறுபாட்டின் மூலம் கண்டுபிடிக்கும் செயல் அழைக்கப்படுகிறது நிச்சயமற்றஒருங்கிணைப்பு, ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பின் விளைவாக ஒரு செயல்பாடு F(x) அல்ல, ஆனால் அதன் எதிர்வழிவகைகளான F(x)+C.

வழித்தோன்றலின் பண்புகளின் அடிப்படையில், ஒருவர் வடிவமைத்து நிரூபிக்க முடியும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்(எதிர் வழித்தோன்றலின் பண்புகள்).

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது பண்புகளின் இடைநிலை சமத்துவங்கள் தெளிவுபடுத்துவதற்காக கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது பண்புகளை நிரூபிக்க, சமத்துவங்களின் வலது பக்கங்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவது போதுமானது:

இந்த வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைப்புகளுக்குச் சமம், இது முதல் சொத்தின் காரணமாக ஒரு சான்றாகும். இது கடைசி மாற்றங்களிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எனவே, ஒருங்கிணைப்பின் சிக்கல் வேறுபாட்டின் சிக்கலின் தலைகீழ் ஆகும், மேலும் இந்த சிக்கல்களுக்கு இடையே மிக நெருக்கமான தொடர்பு உள்ளது:

• முதல் சொத்து ஒருங்கிணைப்பை சரிபார்க்க அனுமதிக்கிறது. நிகழ்த்தப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பின் சரியான தன்மையைச் சரிபார்க்க, பெறப்பட்ட முடிவின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவது போதுமானது. வேறுபாட்டின் விளைவாக பெறப்பட்ட செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமாக மாறினால், ஒருங்கிணைப்பு சரியாக மேற்கொள்ளப்பட்டது என்று அர்த்தம்;
• காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் இரண்டாவது பண்பு, ஒரு செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வேறுபாட்டிலிருந்து அதன் ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் நேரடி கணக்கீடு இந்த சொத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

x = 1 இல் ஒன்றிற்கு சமமான மதிப்பாக இருக்கும் செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

வித்தியாசக் கணிப்பிலிருந்து நாம் அதை அறிவோம் (அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையைப் பாருங்கள்). இதனால், . இரண்டாவது சொத்து மூலம் . அதாவது, நம்மிடம் பல ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்கள் உள்ளன. x = 1க்கு மதிப்பு கிடைக்கும். நிபந்தனையின் படி, இந்த மதிப்பு ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே, C = 1. விரும்பிய ஆன்டிடெரிவேடிவ் வடிவம் எடுக்கும்.

உதாரணமாக.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும் மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் முடிவைச் சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு.

முக்கோணவியலில் இருந்து இரட்டை கோண சைன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் , அதனால் தான்

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து.வேறுபாடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மூலம் அதன் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாடு கண்டறியப்படும் செயல் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, F(x) = x 10 என்றால், F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

ஒருங்கிணைப்பு -இது வேறுபாட்டிற்கு எதிரானது. ஒரு செயல்பாட்டின் கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டின் மீது ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடு தானே காணப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, F" (x) = 7x 6 என்றால், F (x) == x 7, (x 7)" = 7x 6.

வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு F(x), xЄ]a; b[ என அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைஇடைவேளையில் f (x) செயல்பாட்டிற்கு ]а; b[, என்றால் F" (x) = f (x) ஒவ்வொரு xЄ]a; b[.

எனவே, f(x) = 1/cos 3 x செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது F(x)= tan x சார்பு ஆகும், ஏனெனில் (tg x)"= 1/cos 2 x.

அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு f(x) இடைவெளியில் ]а; b[ என அழைக்கப்படுகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஇந்த இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டிலிருந்து f (x)dx = F(x) + C என்று எழுதவும். இங்கே f(x)dx என்பது ஒருங்கிணைப்பு;

F(x)-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு; ஒருங்கிணைப்பின் x-மாறி: C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி.

எடுத்துக்காட்டாக, 5x 4 dx = x 5 + C, என்பதால் (x 3 + C)" = 5x 4.

கொடுப்போம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள். 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, தன்னிச்சையான மாறிலியில் சேர்க்கப்பட்ட இந்தச் சார்புக்கு சமம், அதாவது.

3. நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

af(x)dx = a f(x)dx

4. சார்புகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்கள்

(அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்).

6.

எடுத்துக்காட்டு 1.கண்டுபிடி

தீர்வு. மாற்றீடு 2 - 3x 2 = t பிறகு -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. அடுத்து, நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.கண்டுபிடி

தீர்வு. 10x = t போடுவோம்; பின்னர் 10dx = dt, எங்கிருந்து dx=(1/10)dt.

3.

எனவே, sinl0xdxஐக் கண்டறியும் போது, ​​நீங்கள் sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, k=10 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

பின்னர் sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள் மற்றும் பயிற்சிகள்

1. ஒருங்கிணைப்பு எனப்படும் செயல் என்ன?

2. f(x) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எனப்படும் செயல்பாடு என்ன?

3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கவும்.

4. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுங்கள்.

5. ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

6. அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்களை (அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்) எழுதவும்.

7. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்: a) b) c)

இதில் a என்பது கீழ் வரம்பு, b என்பது மேல் வரம்பு, F (x) என்பது f (x) செயல்பாட்டின் சில எதிர்விளைவு ஆகும்.

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறையை ஒருவர் பார்க்கலாம்: 1) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் எஃப் (x) ஆண்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றைக் கண்டறியவும்; 2) x = a மற்றும் x = b க்கான F (x) இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்; 3) F (b) - F (a) வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு

தீர்வு. பின்னம் மற்றும் எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு சக்தியின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

2. ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியைப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்:

3. நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

4. செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை அனைத்து சொற்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

2) t மாறிக்கான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிப்போம். x=1க்கு tn =1 3 +2=3, x=2க்கு tb =2 3 +2=10 கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு

தீர்வு. 1) cos x=t போடவும்; பின்னர் – sinxdx =dt மற்றும்

sinxdx = -dt. 2) t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0 என்ற மாறிக்கான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிப்போம்.

3) t மற்றும் dt ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பை வெளிப்படுத்தி புதிய வரம்புகளுக்கு நகர்த்தும்போது, ​​நாங்கள் பெறுகிறோம்

ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 5.பரவளைய y = x 2, நேர் கோடுகள் x = - 1, x = 2 மற்றும் அப்சிஸ்ஸா அச்சு (படம் 47) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (1), நாங்கள் பெறுகிறோம்

அந்த. S=3 சதுர. அலகுகள்

ABCD உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 48), தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது y = f 1 (x) மற்றும் y f 2 = (x), இதில் x Є[a, b], வரி பிரிவுகள் x = a மற்றும் x = b, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

		ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டு aAB இன் Oy அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு, தொடர்ச்சியான வளைவு x=f(y), இங்கு Oy அச்சின் Є [a, b], பிரிவு [a, b], கோடு பிரிவுகள் y = a மற்றும் y = b (படம் 53), சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது ஒரு புள்ளியால் எடுக்கப்பட்ட பாதை. ஒரு புள்ளி நேர்கோட்டில் நகரும் மற்றும் அதன் வேகம் v=f(t) நேரம் t இன் அறியப்பட்ட செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் புள்ளியால் பயணிக்கும் பாதை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. சுய பரிசோதனை கேள்விகள் 1. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையை கொடுங்கள். 2. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுங்கள். 3. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள் என்ன? 4. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்க சூத்திரங்களை எழுதுங்கள். 5. ஒரு புரட்சியின் அளவைக் கண்டறிய என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? 6. உடல் பயணிக்கும் தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். 7. மாறி விசையால் செய்யப்படும் வேலையைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதவும். 8. ஒரு தட்டில் திரவ அழுத்தத்தின் சக்தியைக் கணக்கிட என்ன சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

அதன் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டிலிருந்து மீட்டெடுக்கக்கூடிய ஒரு செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகை.

வரையறை.செயல்பாடு F(x)அழைக்கப்பட்டது எதிர் வழிவகைசெயல்பாட்டிற்கு

f(x)சில இடைவெளியில், இந்த இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இருந்தால்

F"(x) = f(x)

அல்லது, அதுவும்,

dF(x) = f(x)dx

உதாரணத்திற்கு, F(x) = sin xஎன்பதற்கான ஒரு எதிர்ப்பொருள் ஆகும் f(x) = cos xமுழு எண் வரிசையில் ஓஎக்ஸ், ஏனெனில்

(sin x)" = cos x

செயல்பாடு என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் உள்ளது f(எக்ஸ்) அன்று [ அ; பி], பின்னர் செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே சிஎந்த உண்மையான எண்ணும் இதற்கு எதிர் வழித்தோன்றலாகும் f(எக்ஸ்) எந்த மதிப்பிலும் சி. உண்மையில் ( எஃப்(எக்ஸ்) + சி)" = எஃப்"(எக்ஸ்) + சி" = f(எக்ஸ்).

உதாரணமாக.

வரையறை.என்றால் F(x)செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்று f(x)அன்று [ அ; பி], பின்னர் வெளிப்பாடு F(x) + C, எங்கே சிஎனப்படும் தன்னிச்சையான மாறிலி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாட்டில் இருந்து f(x)மற்றும் ʃ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்)dx(படிக்க: indefinite integral of f(x)அன்று dx) அதனால்,

ʃ f (எக்ஸ் ) dx = F (எக்ஸ் ) +சி ,

எங்கே f(x)ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, f(x)dx- ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு, எக்ஸ்ஒருங்கிணைப்பின் மாறி, மற்றும் ʃ என்பது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் மற்றும் அதன் வடிவியல் பண்புகள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு:

1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

உண்மையில், F"(எக்ஸ்) = f(எக்ஸ்) மற்றும் ʃ f(எக்ஸ்)dx = F(எக்ஸ்)+சி. பிறகு

2. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

உண்மையில்,

3. வழித்தோன்றலின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது செயல்பாட்டிற்குச் சமம் மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலி:

உண்மையில், F"(எக்ஸ்) = f(எக்ஸ்) பிறகு,

4. வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிக்கு சமம்:

உண்மையில், . பிறகு,

5. நிலையான பெருக்கி கே(கே≠ 0) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்:

6. ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, இந்தச் சார்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

வரைபடத்தை ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைப்போம் ஒருங்கிணைந்த வளைவின் F(x).. வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவின் வரைபடம் F(x) + Cஒருங்கிணைந்த வளைவின் இணையான பரிமாற்றத்தால் பெறப்பட்டது F(x)அச்சில் OY.

உதாரணமாக.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்கள்

1. நேரடி (அட்டவணை) ஒருங்கிணைப்பு.

நேரடி (அட்டவணை) ஒருங்கிணைப்பு என்பது தொடக்கக் கணிதத்தின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அட்டவணை வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைப்பதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

2. வேறுபாட்டின் கீழ் கொண்டு வரும் முறை.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

உதாரணமாக4 .

தீர்வு:

உதாரணமாக5 .

தீர்வு:

உதாரணமாக6 .

தீர்வு:

உதாரணமாக7 .

தீர்வு:

உதாரணமாக8 .

தீர்வு:

உதாரணமாக9 .

தீர்வு:

உதாரணமாக10 .

தீர்வு:

3. வேறுபாட்டுடன் இணைக்கும் இரண்டாவது முறை.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

4. மாறி மாற்று (மாற்று) முறை.

உதாரணமாக.

தீர்வு:

5. பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறை.

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் எடுக்கப்படுகின்றன:

1 வகை

, சூத்திரம் பொருந்தும் n- ஒருமுறை, மீதமுள்ளவை dv.

2 வகை.

, சூத்திரம் ஒரு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரணமாக1 .

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

உதாரணமாக4 .

தீர்வு:

பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு.

பகுத்தறிவு பின்னம் என்பது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதமாகும் - டிகிரி மீ மற்றும் - டிகிரி n,

பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1. என்றால், முழு பகுதியையும் அகற்ற, கோணப் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

2. வகுப்பில் ஒரு சதுர முக்கோணமும் இருந்தால், சரியான சதுரத்துடன் சேர்க்கும் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

3. ஒரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னத்தை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கும் போது காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை.

எந்தவொரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னமும், அங்கு, எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்:

எங்கே A, B, C, D, E, F, M, N,...‒ நிச்சயமற்ற குணகங்கள்.

நிச்சயமற்ற குணகங்களைக் கண்டறிய, வலது புறம் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும். வகுத்தல் வலது புறத்தில் உள்ள பின்னத்தின் வகுப்பினருடன் ஒத்துப்போவதால், அவற்றை நிராகரிக்கலாம் மற்றும் எண்களை சமப்படுத்தலாம். பின்னர், அதே டிகிரிகளில் குணகங்களை சமன் செய்தல் எக்ஸ் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில், நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் n- தெரியவில்லை. இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, தேவையான குணகங்களைக் காண்கிறோம் ஏ, பி, சி, டிமற்றும் பல. எனவே, சரியான பகுத்தறிவுப் பகுதியை எளிய பின்னங்களாக சிதைப்போம்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி சாத்தியமான விருப்பங்களைப் பார்ப்போம்:

1. வகுத்தல் காரணிகள் நேரியல் மற்றும் வேறுபட்டதாக இருந்தால்:

2. வகுத்தல் காரணிகளில் குறுகிய காரணிகள் இருந்தால்:

3. வகுப்பின் காரணிகளில் ஒரு சதுர முக்கோணம் இருந்தால் அதை காரணியாக்க முடியாது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தை எளிமையானவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கவும். ஒருங்கிணைக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

பின்னங்களின் பிரிவுகள் சமமாக இருப்பதால், எண்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 2.

உதாரணமாக3 .

பாடம் 2. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை ஒருங்கிணைப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள்.

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டை அறிந்தால், நீங்கள் செயல்பாட்டைக் கண்டறியலாம் (செயல்பாட்டை மீட்டமைக்கவும்). இந்த செயல், வேறுபாட்டின் தலைகீழ், ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு தொடர்பாக பின்வரும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது
, இதன் வழித்தோன்றல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு சமம், அதாவது.

இந்த செயல்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஏனெனில் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும்
.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு அதன் எனப்படும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது:

, எங்கே

ஒருங்கிணைப்பு, செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
- ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.வடிவியல் ரீதியாக, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை இணையாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு விமானத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பமாகும்.
ஆர்டினேட் அச்சில் (படம் 3).

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

பண்பு 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

சொத்து 2. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

பண்பு 3. ஒரு செயல்பாட்டின் வேற்றுமையின் ஒருங்கிணைப்பானது, இந்தச் சார்பு மற்றும் கான்ஸ்ட்க்கு சமம்:

சொத்து 4. ஒருங்கிணைப்பின் நேர்கோட்டுத்தன்மை.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

	ஒருங்கிணைந்த
சக்தி
குறிக்கும்
முக்கோணவியல்
தலைகீழ் முக்கோணவியல்

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறைசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கிய ஒரு முறையாகும்:

.

ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால் இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது
விட தீர்க்க எளிதானது
. ஒரு விதியாக, இந்த முறை படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை தீர்க்கிறது
, எங்கே
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும்:
,
,
, , ,
,
.

சில செயல்பாடுகளை கருத்தில் கொள்வோம்
, இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
, அரிசி. 4. 5 செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்.

1. புள்ளிகளுடன் இடைவெளியை தன்னிச்சையான முறையில் பிரிப்போம் பாகங்கள். குறிப்போம்
, மற்றும் இந்த பகுதி பிரிவுகளின் நீளங்களில் மிகப்பெரியது குறிக்கப்படும் , நசுக்கும் ரேங்க் என்று சொல்வோம்.

2. ஒவ்வொரு பகுதி சதியிலும்
ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் மற்றும் அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
.

3. ஒரு படைப்பை உருவாக்குவோம்

4. ஒரு தொகையை உருவாக்குவோம்
. இந்தத் தொகை ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகை அல்லது ரீமான் தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

5. நசுக்குவதைக் குறைப்பதன் மூலம் (நசுக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம்) மற்றும் அதே நேரத்தில் நசுக்கும் தரத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு வழிநடத்துகிறது (
) அதாவது (நசுக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம், அனைத்து பகுதி பிரிவுகளின் நீளமும் குறைந்து பூஜ்ஜியமாக இருப்பதை உறுதிசெய்கிறோம்.
), ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரிசையின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

இந்த வரம்பு இருந்தால் மற்றும் பிரிவு மற்றும் புள்ளிகளின் தேர்வு முறை சார்ந்து இல்லை என்றால், அது அழைக்கப்படுகிறது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், இடைவெளியில் நேர்மறையாகவும் இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். வளைந்த ட்ரேப்சாய்டைக் கருதுங்கள் ஏ பி சி டி(படம் 4). ஒட்டுமொத்த தொகை
தளங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையை நமக்குத் தருகிறது
மற்றும் உயரங்கள்
. இது ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் ஏ பி சி டி , அதாவது

,

மேலும், இந்த சமத்துவம் மிகவும் துல்லியமாகவும், நுணுக்கமாகவும் நசுக்கப்படும் மற்றும் வரம்பில் இருக்கும் n→+∞ மற்றும் λ → 0 நாம் பெறுவோம்:

.

இது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

சொத்து 1. சம வரம்புகள் கொண்ட ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சொத்து 2. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் மாற்றப்படும் போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்கள் எதிரெதிர் ஒன்றுக்கு அடையாளம்.

சொத்து 3. ஒருங்கிணைப்பின் நேர்கோட்டுத்தன்மை.

சொத்து 4. எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், செயல்பாடு என்றால்
ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது
,
,
(படம் 5), பின்னர்:

தேற்றம்.ஒரு சார்பு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இந்தச் செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது, இந்தச் செயல்பாட்டின் எந்த ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.

(நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்) .

இந்த சூத்திரம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிவதைக் குறைக்கிறது. வேறுபாடு
ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான முக்கிய வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: மாறிகளின் மாற்றம் (மாற்று) மற்றும் பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் மாற்று (மாறி மாற்றம்) -நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

மற்றும்
;

கருத்து.மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடும்போது, ​​அசல் வாதத்திற்குத் திரும்ப வேண்டிய அவசியமில்லை.

2. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு கீழே வருகிறது:

.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உடற்பயிற்சி 1.நேரடி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்தைத் தாண்டி ஒரு நிலையான காரணியை எடுத்துக்கொள்கிறோம். பின்னர், அடிப்படை கணித மாற்றங்களைச் செய்து, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டை சக்தி வடிவத்திற்கு குறைக்கிறோம்:

.

பணி 2.மாறி முறையின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. மாறி மாறி மாற்றுவோம்
, பிறகு . அசல் ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் எடுக்கும்:

எனவே, ஒரு அட்டவணை வடிவத்தின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றுள்ளோம்: ஒரு சக்தி செயல்பாடு. சக்தி செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, இறுதி பதிலைப் பெறுகிறோம்:

பணி 3.பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: பொருள் ... அடிப்படைகருத்து ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்- கருத்து நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்த ... நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்த அடிப்படை பண்புகள் நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்தஅட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும் முக்கிய நிச்சயமற்ற ...

கல்வித் துறை "உயர் கணிதம்" சுழற்சியின் வேலைத் திட்டம்

வேலை நிரல்

... அடிப்படைசட்டங்கள்... ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்ஒரு மாறி ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாடுகள். நிச்சயமற்றது ஒருங்கிணைந்தமற்றும் அவரது பண்புகள் ... ஒருங்கிணைந்தமற்றும் அவரது வடிவியல் பொருள். ஒருங்கிணைந்த... ஒருங்கிணைப்புகள். நிச்சயமற்றது ஒருங்கிணைந்தமற்றும் ... மற்றும் நடைமுறை வகுப்புகள்". பெட்ருஷ்கோ ஐ.எம்., ...

ஒருமைப்பாடு என்பது வேறுபட்ட கால்குலஸின் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும். ஒருங்கிணைப்புகள் இரட்டை, மூன்று, முதலியன இருக்கலாம். வடிவியல் உடல்களின் மேற்பரப்பு மற்றும் அளவைக் கண்டறிய, பல்வேறு வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் கொண்டது: \(∫f (x)\, dx\) மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் உள்ளது: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரைபடத்தால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானத்தின் பகுதி:

ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள் வேறுபாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். இந்த காரணத்திற்காக, ஆண்டிடெரிவேடிவ், செயல்பாடு, டெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

\(F (x) = x^2\) சார்பு என்பது \(f (x) = 2x\) செயல்பாட்டின் எதிர்ப்பொருள் ஆகும். செயல்பாடுகள் \(f (x) = x^2+2\) மற்றும் \(f (x) = x^2+7\) ஆகியவையும் \(f (x) = 2x\) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ஆகும். \(2\) மற்றும் \(7-\) ஆகியவை மாறிலிகள், அதன் வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே நாம் விரும்பும் அளவுக்கு அவற்றை மாற்றலாம், ஆன்டிடெரிவேடிவ் மதிப்பு மாறாது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை எழுத, \(∫\) குறியைப் பயன்படுத்தவும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு\(f (x) = 2x\) செயல்பாட்டின் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். ஒருங்கிணைப்பு செயல்பாடுகள் வேறுபாட்டின் தலைகீழ் ஆகும். \(∫2x = x^2+C\) , இங்கு \(C\) என்பது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி ஆகும், அதாவது, \(x^2\) என்ற வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டால், நமக்கு \(2x\) , மற்றும் இது \ (∫2x\) . எளிதானது, இல்லையா? உங்களுக்கு புரியவில்லை என்றால், நீங்கள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை மீண்டும் செய்ய வேண்டும். இப்போது நாம் சூத்திரத்தைப் பெறலாம், இதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவோம்: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​≠ -1\). நாம் 1 ஐக் கழித்தோம், இப்போது 1 ஐச் சேர்க்கிறோம், n ஆனது 0 க்கு சமமாக இருக்க முடியாது. மற்ற அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கான மற்ற ஒருங்கிணைப்பு விதிகளும் உள்ளன, அவை கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:

ஒரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைத் தீர்ப்பது என்பது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் தலைகீழ் செயல்முறையாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு ஒருங்கிணைந்ததாக இருக்கும், மேலும் இறுதியில் "+ C" ஐச் சேர்க்க மறக்காதீர்கள்.

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் கொள்கைகள் 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் ஐசக் நியூட்டன் மற்றும் காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் ஆகியோரால் சுயாதீனமாக உருவாக்கப்பட்டன. பெர்ன்ஹார்ட் ரீமான், ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு கடுமையான கணித வரையறையை அளித்தார். ஒருங்கிணைப்புகளை தீர்மானிக்கும் திறன் கொண்ட முதல் ஆவணப்படுத்தப்பட்ட முறையான முறையானது பண்டைய கிரேக்க வானியலாளர் யூடோக்ஸஸின் கால்குலஸ் முறை ஆகும், அவர் பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளை எண்ணற்ற அறியப்பட்ட பகுதிகள் மற்றும் தொகுதிகளாக உடைப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்க முயன்றார். இந்த முறை கிமு 3 ஆம் நூற்றாண்டில் ஆர்க்கிமிடீஸால் மேலும் உருவாக்கப்பட்டு பயன்படுத்தப்பட்டது. இ. மற்றும் பரவளையங்களின் பகுதிகளை கணக்கிடவும், ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவை தோராயமாக கணக்கிடவும் பயன்படுத்தப்பட்டது.

கி.பி 3 ஆம் நூற்றாண்டில் சீனாவில் லியு ஹுய் என்பவரால் இதேபோன்ற முறை சுயாதீனமாக உருவாக்கப்பட்டது, அவர் ஒரு வட்டத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய அதைப் பயன்படுத்தினார். இந்த முறை பின்னர் 5 ஆம் நூற்றாண்டில் சீன தந்தை மற்றும் மகன் கணிதவியலாளர்களான ZU Chongzhi மற்றும் ZU Geng ஆகியோரால் ஒரு கோளத்தின் அளவைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்பட்டது.

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் அடுத்த குறிப்பிடத்தக்க முன்னேற்றங்கள் 17 ஆம் நூற்றாண்டு வரை தோன்றவில்லை. இந்த நேரத்தில், கவாலிரி மற்றும் ஃபெர்மாட் ஆகியோரின் பணி நவீன கால்குலஸின் அடித்தளத்தை அமைக்கத் தொடங்கியது.

குறிப்பாக, ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றம் மிகவும் பரந்த அளவிலான சிக்கல்களைத் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. நியூட்டனும் லீப்னிஸும் உருவாக்கிய சிக்கலான கணிதக் கட்டமைப்பும் சமமாக முக்கியமானது. இந்த ஒருங்கிணைப்புகளின் அமைப்பு நேரடியாக லீப்னிஸின் பணியிலிருந்து எடுக்கப்பட்டு நவீன ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸாக மாறியது.கணிதம் வரம்புகளைப் பயன்படுத்தி ரீமானால் மாற்றப்பட்டது. பின்னர், மிகவும் பொதுவான செயல்பாடுகள் கருதப்பட்டன, குறிப்பாக ஃபோரியர் பகுப்பாய்வின் சூழலில், ரீமானின் வரையறை பொருந்தாது. அளவீட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் (உண்மையான பகுப்பாய்வின் ஒரு துணைப் புலம்) லெபெஸ்கு ஒருங்கிணைந்த மற்றொரு வரையறையை உருவாக்கினார்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புக்கான நவீன குறியீடு 1675 இல் காட்ஃப்ரைட் லீப்னிஸால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

கணிதத்தின் பல பகுதிகளில் ஒருங்கிணைப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில், ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பிற்குள் சில சீரற்ற மாறிகளின் நிகழ்தகவைத் தீர்மானிக்க ஒருங்கிணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வளைந்த எல்லையைக் கொண்ட இரு பரிமாணப் பகுதியின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும், வளைந்த எல்லையைக் கொண்ட முப்பரிமாணப் பொருளின் அளவைக் கணக்கிடவும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

இயற்பியலில், இயக்கவியல் போன்ற துறைகளில், இடப்பெயர்ச்சி, நேரம் மற்றும் வேகத்தைக் கண்டறிய ஒருங்கிணைப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.