வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். செயல்பாட்டு முறையைப் பயன்படுத்தி வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது? வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள்

ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பல அமைப்புகள், அறியப்படாத செயல்பாட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படலாம். உதாரணங்களுடன் செய்முறையை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.1.அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு. 1) வேறுபடுத்துதல் டிமுதல் சமன்பாடு மற்றும் மாற்றுவதற்கு இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் , நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்

விளைந்த சமன்பாட்டைப் பொறுத்து வேறுபடுத்துகிறோம் மீண்டும்

1) நாங்கள் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குகிறோம்

கணினியின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து மாறிகளை வெளிப்படுத்துகிறோம் மற்றும் மூலம்
:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவோம் மற்றும் அமைப்பின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில்

எனவே, செயல்பாட்டைக் கண்டறிய
நிலையான குணகங்களுடன் மூன்றாவது வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெற்றது

.

2) நிலையான முறையைப் பயன்படுத்தி கடைசி சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கிறோம்: நாங்கள் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்
, அதன் வேர்களைக் கண்டறியவும்
மற்றும் வேர்களில் ஒன்றின் பெருக்கத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, அதிவேகங்களின் நேரியல் கலவையின் வடிவத்தில் ஒரு பொதுவான தீர்வை உருவாக்கவும்:

3) அடுத்து மீதமுள்ள இரண்டு செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும்
மற்றும்
, விளைந்த செயல்பாட்டை இருமுறை வேறுபடுத்துகிறோம்

கணினியின் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே இணைப்புகளை (3.1) பயன்படுத்தி, மீதமுள்ள தெரியாதவற்றை மீட்டெடுக்கிறோம்

.

பதில். ,
,.

ஒன்றைத் தவிர அனைத்து அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளும் ஒரே வேறுபாட்டுடன் கூட மூன்றாம் வரிசை அமைப்பிலிருந்து விலக்கப்பட்டதாக மாறிவிடும். இந்த வழக்கில், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை அசல் அமைப்பில் அறியப்படாத செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை விட குறைவாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.2.அமைப்பை ஒருங்கிணைக்கவும்

(3.2)

தீர்வு. 1) வேறுபடுத்துதல் முதல் சமன்பாடு, நாம் காண்கிறோம்

மாறிகள் தவிர்த்து மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து

நாம் இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டைப் பொறுத்து இருப்போம்

(3.3)

2) அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (3.2) நம்மிடம் உள்ளது

(3.4)

கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டில் (3.2) காணப்படும் வெளிப்பாடுகள் (3.3) மற்றும் (3.4) ஆகியவற்றை மாற்றுதல் மற்றும் , செயல்பாட்டைத் தீர்மானிக்க முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

இந்த ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டை நிலையான முதல்-வரிசை குணகங்களுடன் ஒருங்கிணைத்து, நாம் காண்கிறோம்
(3.4) ஐப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம்

பதில்.
,,
.

பணி 3.1. ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளை ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்குக் குறைப்பதன் மூலம் அவற்றைத் தீர்க்கவும்.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2 தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறிவதன் மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது

நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பிற்கான பொதுவான தீர்வு, அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாகக் காணலாம். நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட அமைப்புகளின் விஷயத்தில், அடிப்படை தீர்வுகளைக் கண்டறிய நேரியல் இயற்கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3.3.அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

(3.5)

தீர்வு. 1) கணினியை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்

. (3.6)

2) ஒரு திசையன் வடிவத்தில் அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வை நாங்கள் தேடுவோம்
. செயல்பாடுகளை மாற்றுதல்
(3.6) மற்றும் குறைக்கிறது , நாங்கள் பெறுகிறோம்

, (3.7)

அதுதான் எண் மேட்ரிக்ஸின் ஐஜென் மதிப்பாக இருக்க வேண்டும்
, மற்றும் திசையன் தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டர்.

3) நேரியல் இயற்கணிதத்தின் போக்கில் இருந்து, அமைப்பு (3.7) அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அது அற்பமான தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது என்று அறியப்படுகிறது.

,

அது . இங்கிருந்து நாம் eigenvalues ​​கண்டுபிடிக்கிறோம்
.

4) தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டறியவும். முதல் மதிப்பை (3.7) ஆக மாற்றுகிறது
, முதல் ஈஜென்வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான அமைப்பைப் பெறுகிறோம்

இங்கிருந்து நாம் அறியாதவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பெறுகிறோம்
. நாம் ஒரு அற்பமான தீர்வைத் தேர்ந்தெடுத்தால் போதும். நம்புவது
, பிறகு
, அதாவது திசையன் eigenof eigenvalue ஆகும்
, மற்றும் செயல்பாடு திசையன்
வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் அடிப்படை தீர்வு (3.5). இதேபோல், இரண்டாவது மூலத்தை மாற்றும் போது
(3.7) இல் இரண்டாவது ஈஜென்வெக்டருக்கான மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு உள்ளது
. அதன் கூறுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பை எங்கிருந்து பெறுவது?
. எனவே, எங்களிடம் இரண்டாவது அடிப்படை தீர்வு உள்ளது

.

5) அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (3.5) பெறப்பட்ட இரண்டு அடிப்படை தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாக கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது

அல்லது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில்

.

பதில்.

.

பணி 3.2. தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டறிவதன் மூலம் அமைப்புகளைத் தீர்க்கவும்.

இந்த வகை அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் இயல்பான அமைப்பு (SNDU). வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் இயல்பான அமைப்பிற்கு, வேறுபாடு சமன்பாட்டைப் போலவே, இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் பற்றிய ஒரு தேற்றத்தை நாம் உருவாக்கலாம்.

தேற்றம். செயல்பாடுகள் ஒரு திறந்த தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்ச்சியாக இருந்தால், அதனுடன் தொடர்புடைய பகுதி வழித்தோன்றல்களும் தொடர்ந்து இயங்கினால், கணினி (1) ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் (2)

மற்றும் ஆரம்ப நிலைகளின் முன்னிலையில் (3)

இந்த தீர்வு மட்டுமே இருக்கும்.

இந்த அமைப்பை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்:

நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

வரையறை. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் , இது அனைத்து அறியப்படாத செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் தொடர்பாக நேரியல் என்றால்.

(5)

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொதுவான பார்வை

ஆரம்ப நிபந்தனை கொடுக்கப்பட்டால்: , (7)

திசையன் செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் குணகங்களும் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாக இருந்தால் தீர்வு தனிப்பட்டதாக இருக்கும்.

ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரை அறிமுகப்படுத்துவோம், பின்னர் (6) இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

ஆபரேட்டர் சமன்பாடு (8) எனப்படும் ஒரேவிதமான மற்றும் வடிவம் உள்ளது:

ஆபரேட்டர் நேரியல் என்பதால், பின்வரும் பண்புகள் அதற்கு திருப்தி அளிக்கின்றன:

தீர்க்கும் சமன்பாடு (9).

விளைவு.நேரியல் கலவை, தீர்வு (9).

தீர்வுகள் (9) கொடுக்கப்பட்டு அவை நேரியல் சார்பற்றதாக இருந்தால், படிவத்தின் அனைத்து நேரியல் சேர்க்கைகளும்: (10) அனைத்தும் என்ற நிபந்தனையின் கீழ் மட்டுமே. இதன் பொருள், தீர்மானிப்பான் தீர்வுகளைக் கொண்டது (10):

. இந்த தீர்மானிப்பான் அழைக்கப்படுகிறது வ்ரோன்ஸ்கியின் தீர்மானிப்பான் திசையன்களின் அமைப்புக்கு.

தேற்றம். முழு இடைவெளியிலும் பூஜ்யம்.

ஆதாரம்: அவை தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், அமைப்பு (9) நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது இருப்பு மற்றும் தனித்துவக் கோட்பாடுகள், எனவே, ஆரம்ப நிலை அமைப்பின் தனித்துவமான தீர்வை தீர்மானிக்கிறது (9). ஒரு புள்ளியில் உள்ள வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம், எனவே, அற்பமான ஒரு அமைப்பு உள்ளது, அதற்காக பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது: மற்றொரு புள்ளிக்கான தொடர்புடைய நேரியல் கலவையானது வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும், மேலும் ஒரே மாதிரியான ஆரம்ப நிலைகளை பூர்த்தி செய்கிறது, எனவே, அற்பமான தீர்வுடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது நேரியல் சார்ந்தது மற்றும் வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

வரையறை. அமைப்பின் தீர்வுகளின் தொகுப்பு (9) என்று அழைக்கப்படுகிறது தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு வ்ரோன்ஸ்கி நிர்ணயிப்பான் எந்த நேரத்திலும் மறைந்துவிடவில்லை என்றால்.

வரையறை. ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு (9) ஆரம்ப நிலைகள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டால் - தீர்வுகளின் அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது சாதாரண அடிப்படை முடிவு அமைப்பு .

கருத்து.ஒரு அடிப்படை அமைப்பு அல்லது ஒரு சாதாரண அடிப்படை அமைப்பு என்றால், நேரியல் கலவையானது பொதுவான தீர்வு (9).

தேற்றம் 2. ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் (9) நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையானது அதே இடைவெளியில் பொதுவான தீர்வாக (9) இருக்கும்.

ஆதாரம்: குணகங்கள் தொடர்ந்து இயங்குவதால், அமைப்பு இருப்பு மற்றும் தனித்துவ தேற்றத்தின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கிறது. எனவே, தேற்றத்தை நிரூபிக்க, மாறிலிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சில ஆரம்ப நிலையை (7) பூர்த்தி செய்ய முடியும் என்பதைக் காட்ட போதுமானது. அந்த. திசையன் சமன்பாடு மூலம் திருப்திப்படுத்த முடியும்:. (9)க்கான பொதுவான தீர்வாக இருப்பதால், கணினி ஒப்பீட்டளவில் தீர்க்கக்கூடியது, மேலும் அனைத்தும் நேரியல் சார்பற்றவை. நாம் அதை தனித்துவமாக வரையறுக்கிறோம், மேலும் நாம் நேர்கோட்டில் சுதந்திரமாக இருப்பதால், பிறகு.

தேற்றம் 3. இது அமைப்பு (8) க்கு ஒரு தீர்வு என்றால், அமைப்பு (9) க்கு ஒரு தீர்வு, பின்னர் + (8) க்கும் ஒரு தீர்வு இருக்கும்.

ஆதாரம்: நேரியல் ஆபரேட்டரின் பண்புகளின்படி: 

தேற்றம் 4. பொதுவான தீர்வு (8) குணகங்கள் மற்றும் வலது பக்கங்கள் இந்த இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான ஒரு இடைவெளியில் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (9) மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் குறிப்பிட்ட தீர்வு (8) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். )

ஆதாரம்: இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் குறித்த தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக இருப்பதால், அது தன்னிச்சையாக கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப மதிப்பை (7) பூர்த்தி செய்யும் என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். . (11)

அமைப்புக்கு (11) இன் மதிப்புகளை எப்போதும் தீர்மானிக்க முடியும். இது ஒரு அடிப்படை முடிவெடுக்கும் அமைப்பாக செய்யப்படலாம்.

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கல்

சிக்கலை உருவாக்குதல்.முதல் வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு என்பதை நினைவில் கொள்க

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

வேறுபட்ட செயல்பாடு y(t) என அழைக்கப்படுகிறது, இது சமன்பாட்டிற்கு (5.1) மாற்றியமைக்கப்படும் போது, ​​அதை அடையாளமாக மாற்றுகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் வரைபடம் ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் செயல்முறை பொதுவாக இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வழித்தோன்றல் y" இன் வடிவியல் அர்த்தத்தின் அடிப்படையில், சமன்பாடு (5.1) ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் (t, y) t, y என்ற மாறிகளின் விமானத்தில் உள்ள கோணத்தின் தொடுகோட்டின் மதிப்பை f(t, y) குறிப்பிடுகிறது. இந்த புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கரைசலின் வரைபடத்திற்கு தொடுவானின் சாய்வு (0t அச்சுக்கு) புள்ளி (t,y) ஒரு குறிப்பிட்ட வெக்டரைப் பயன்படுத்தி, தொடுகின் திசையை குறிப்பிடுகிறோம், மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது f(t,y ), பின்னர் நீங்கள் திசை புலம் என்று அழைக்கப்படுவீர்கள் (படம் 5.2, a) எனவே, வடிவியல் ரீதியாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் பணியானது, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கொடுக்கப்பட்ட தொடு திசையைக் கொண்டிருக்கும் ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளைக் கண்டறிவதாகும் (படம். 5.2, b) வரிசையாக, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேர்ந்தெடுக்க (5.1) , ஆரம்ப நிலையை அமைக்கவும்

y(t 0)=y 0 (5.2)

இங்கே t 0 என்பது t வாதத்தின் சில நிலையான மதிப்பு, மற்றும் 0 ஆரம்ப மதிப்பு எனப்படும் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. ஆரம்ப நிலையைப் பயன்படுத்துவதற்கான வடிவியல் விளக்கம், ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்திலிருந்து ஒரு நிலையான புள்ளியின் வழியாக செல்லும் வளைவைத் தேர்ந்தெடுப்பதாகும் (t 0, y 0).

ஆரம்ப நிலையை (5.2) திருப்திப்படுத்தும் வகையீட்டுச் சமன்பாட்டிற்கு (5.1) t>t 0 க்கு y(t) தீர்வைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல் Cauchy சிக்கல் எனப்படும். சில சந்தர்ப்பங்களில், அனைத்து t>t 0 க்கும் தீர்வு நடத்தை ஆர்வமாக உள்ளது. இருப்பினும், பெரும்பாலும் அவை வரையறுக்கப்பட்ட பிரிவில் தீர்வைத் தீர்மானிப்பதில் மட்டுப்படுத்தப்பட்டவை.

சாதாரண அமைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்பு

ஒரு சாதாரண DE அமைப்பை ஒருங்கிணைப்பதற்கான முக்கிய முறைகளில் ஒன்று, கணினியை ஒரு உயர் வரிசை DE ஆகக் குறைக்கும் முறையாகும். (தலைகீழ் சிக்கல் - ரிமோட் கண்ட்ரோலில் இருந்து கணினிக்கு மாறுதல் - ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மேலே கருதப்பட்டது.) இந்த முறையின் நுட்பம் பின்வரும் கருத்தாய்வுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

ஒரு சாதாரண அமைப்பு (6.1) கொடுக்கப்பட வேண்டும். எந்த சமன்பாட்டையும் வேறுபடுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக முதல் ஒன்று, x ஐப் பொறுத்து:

இந்த சமத்துவத்தில் வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளை மாற்றுகிறது அமைப்பிலிருந்து (6.1), நாங்கள் பெறுகிறோம்

அல்லது, சுருக்கமாக,

விளைந்த சமத்துவத்தை மீண்டும் வேறுபடுத்தி, வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளை மாற்றுதல் அமைப்பிலிருந்து (6.1), நாங்கள் பெறுகிறோம்

இந்த செயல்முறையைத் தொடர்கிறது (வேறுபடுத்துதல் - மாற்று - பெறுதல்), நாங்கள் காண்கிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளை ஒரு அமைப்பில் சேகரிப்போம்:

அமைப்பின் முதல் (n-1) சமன்பாடுகளிலிருந்து (6.3) y 2, y 3, ..., y n செயல்பாடுகளை x, y 1 சார்பு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களான y" 1, y" 1, ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துகிறோம். .., y 1 (n -1) . நாங்கள் பெறுகிறோம்:

y 2, y 3,..., y n இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை கணினியின் கடைசி சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம் (6.3). விரும்பிய செயல்பாட்டைப் பொறுத்து ஒரு n வது வரிசை DE ஐப் பெறுவோம். அதன் பொதுவான தீர்வு இருக்கட்டும்

அதை (n-1) முறை வேறுபடுத்தி, வழித்தோன்றல்களின் மதிப்புகளை மாற்றவும் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் (6.4), y 2, y 3,..., y n செயல்பாடுகளைக் காண்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.1. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: முதல் சமன்பாட்டை வேறுபடுத்துவோம்: y"=4y"-3z. 9z. சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குவோம்:

கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து y மற்றும் y மூலம் z ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம்":

கடைசி அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் z மதிப்பை மாற்றுகிறோம்:

y.

சமன்பாடுகள் z செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும். y இன் மதிப்புகளை y மற்றும் y மூலம் z வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றுகிறோம்" (சூத்திரம் (6.5)). நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எனவே, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது

கருத்து. சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (6.1) ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகளின் முறையால் தீர்க்கப்படலாம். முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், எண்கணித செயல்பாடுகள் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் சமன்பாடுகள் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகள் என்று அழைக்கப்படுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதாவது, புதிய அறியப்படாத செயல்பாட்டைப் பொறுத்து எளிதில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்.

இந்த முறையின் நுட்பத்தை பின்வரும் உதாரணத்துடன் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.2. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்:

தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளின் சொல்லை காலத்தின்படி சேர்ப்போம்: x"+y"=x+y+2, அல்லது (x+y)"=(x+y)+2. x+y=zஐக் குறிப்போம். பிறகு நம்மிடம் உள்ளது z"=z+2 . இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

என்று அழைக்கப்பட்டதைப் பெற்றோம் அமைப்பின் முதல் ஒருங்கிணைப்பு. அதிலிருந்து நீங்கள் தேடப்பட்ட செயல்பாடுகளில் ஒன்றை மற்றொன்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தலாம், இதன் மூலம் தேடப்படும் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை ஒன்றால் குறைக்கலாம். உதாரணத்திற்கு, பின்னர் கணினியின் முதல் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்

அதிலிருந்து x ஐக் கண்டுபிடித்த பிறகு (உதாரணமாக, x=uv ஐப் பயன்படுத்தி), y ஐயும் கண்டுபிடிப்போம்.

கருத்து.இந்த அமைப்பு மற்றொரு ஒருங்கிணைந்த கலவையை உருவாக்க "அனுமதிக்கிறது": x - y = p ஐ வைத்து, எங்களிடம் உள்ளது:, அல்லது கணினியின் இரண்டு முதல் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கொண்டிருப்பது, அதாவது. மற்றும் (முதல் ஒருங்கிணைப்புகளை கூட்டி கழிப்பதன் மூலம்) கண்டுபிடிக்க எளிதானது

நேரியல் ஆபரேட்டர், பண்புகள். திசையன்களின் நேரியல் சார்பு மற்றும் சுதந்திரம். எல்டிஇ அமைப்பிற்கான வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான்.

நேரியல் வேறுபாடு ஆபரேட்டர் மற்றும் அதன் பண்புகள்.இடைவெளியில் உள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ( அ , பி ) குறைவாக இல்லை n வழித்தோன்றல்கள், ஒரு நேரியல் இடத்தை உருவாக்குகிறது. ஆபரேட்டரைக் கவனியுங்கள் எல் n (ஒய் ), இது செயல்பாட்டைக் காட்டுகிறது ஒய் (எக்ஸ் ), வழித்தோன்றல்கள் கொண்ட, ஒரு செயல்பாடு கொண்டதாக கே - n வழித்தோன்றல்கள்:

ஒரு ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்துதல் எல் n (ஒய் ) ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டை (20) பின்வருமாறு எழுதலாம்:

எல் n (ஒய் ) = f (எக்ஸ் );

ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு (21) வடிவம் பெறுகிறது

எல் n (ஒய் ) = 0);

தேற்றம் 14.5.2. வேறுபட்ட ஆபரேட்டர் எல் n (ஒய் ) ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டர். ஆவணம்வழித்தோன்றல்களின் பண்புகளிலிருந்து நேரடியாகப் பின்தொடர்கிறது: 1. என்றால் சி = const, பின்னர் 2. எங்கள் மேலும் செயல்கள்: முதலில் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் (25) பொதுவான தீர்வு எவ்வாறு செயல்படுகிறது, பின்னர் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு (24), பின்னர் இந்த சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறியவும். நேரியல் சார்பு மற்றும் ஒரு இடைவெளியில் செயல்பாடுகளின் சுதந்திரம் பற்றிய கருத்துகளுடன் தொடங்குவோம் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் அமைப்புகளின் கோட்பாட்டில் மிக முக்கியமான பொருளை வரையறுக்கலாம் - வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான்.

வ்ரோன்ஸ்கியின் தீர்மானிப்பான். செயல்பாட்டு அமைப்பின் நேரியல் சார்பு மற்றும் சுதந்திரம்.டெஃப் 14.5.3.1.செயல்பாட்டு அமைப்பு ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சார்ந்ததுஇடைவெளியில் ( அ , பி ), ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத நிலையான குணகங்களின் தொகுப்பு இருந்தால், இந்த செயல்பாடுகளின் நேரியல் கலவையானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ( அ , பி ): க்கான சமத்துவம் என்றால், செயல்பாடுகளின் அமைப்பு மட்டுமே சாத்தியமாகும் ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) என்று அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் சார்பற்றஇடைவெளியில் ( அ , பி ) வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்பாடுகள் ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) நேரியல் சார்ந்ததுஇடைவெளியில் ( அ , பி ), பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் ( அ , பி ) அவற்றின் அற்பமான நேரியல் கலவை. செயல்பாடுகள் ஒய் 1 (எக்ஸ் ),ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) நேரியல் சார்பற்றஇடைவெளியில் ( அ , பி ), அவற்றின் அற்பமான நேரியல் சேர்க்கை மட்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் ( அ , பி ) எடுத்துக்காட்டுகள்: 1. செயல்பாடுகள் 1, எக்ஸ் , எக்ஸ் 2 , எக்ஸ் 3 எந்த இடைவெளியிலும் நேரியல் சார்புடையவை ( அ , பி ) அவர்களின் நேரியல் கலவை - பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - இல் இருக்க முடியாது ( அ , பி )மூன்று வேர்களுக்கு மேல், எனவே சமத்துவம் = 0 என்பது எப்போது மட்டுமே சாத்தியமாகும். உதாரணம் 1, அமைப்பு 1க்கு எளிதாகப் பொதுமைப்படுத்தப்படும், எக்ஸ் , எக்ஸ் 2 , எக்ஸ் 3 , …, எக்ஸ் n . அவற்றின் நேரியல் கலவை - பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை - இல் இருக்க முடியாது ( அ , பி ) மேலும் n வேர்கள். 3. செயல்பாடுகள் எந்த இடைவெளியிலும் நேரியல் சார்புடையவை ( அ , பி ), என்றால் . உண்மையில், எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவம் என்றால் ஒரு புள்ளியில் நடைபெறுகிறது .4. செயல்பாட்டு அமைப்பு எண்கள் என்றால் நேரியல் சார்பற்றது கே நான் (நான் = 1, 2, …, n ) ஜோடியாக வேறுபட்டது, ஆனால் இந்த உண்மையின் நேரடி ஆதாரம் மிகவும் சிக்கலானது. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் காட்டுவது போல், சில சந்தர்ப்பங்களில் நேரியல் சார்பு அல்லது செயல்பாடுகளின் சுதந்திரம் எளிமையாக நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் இந்த ஆதாரம் மிகவும் சிக்கலானது. எனவே, செயல்பாடுகளின் நேரியல் சார்பு பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கும் ஒரு எளிய உலகளாவிய கருவி தேவை. அத்தகைய கருவி - வ்ரோன்ஸ்கியின் தீர்மானிப்பான்.

டெஃப் 14.5.3.2. வ்ரோன்ஸ்கியின் தீர்மானிப்பான் (வ்ரோன்ஸ்கியன்)அமைப்புகள் n - 1 முறை வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடுகள் ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது

.

14.5.3.3. ஒரு நேரியல் சார்ந்த சார்பு அமைப்பின் வ்ரோன்ஸ்கியன் பற்றிய தேற்றம். செயல்பாடுகளின் அமைப்பு என்றால் ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) நேரியல் சார்ந்ததுஇடைவெளியில் ( அ , பி ), பின்னர் இந்த அமைப்பின் வ்ரோன்ஸ்கியன் இந்த இடைவெளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ஆவணம். செயல்பாடுகள் என்றால் ஒய் 1 (எக்ஸ் ), ஒய் 2 (எக்ஸ் ), …, ஒய் n (எக்ஸ் ) இடைவெளியை நேரியல் சார்ந்தது ( அ , பி ), பின்னர் எண்கள் உள்ளன, அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியம் அல்லாதது

மூலம் வேறுபடுத்துவோம் எக்ஸ் சமத்துவம் (27) n - 1 முறை மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்கவும் இந்த அமைப்பைப் பொறுத்து இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான நேரியல் அமைப்பாகக் கருதுவோம். இந்த அமைப்பின் தீர்மானிப்பான் வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் (26). இந்த அமைப்பு ஒரு அற்பமான தீர்வு உள்ளது, எனவே, ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதன் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். அதனால், டபிள்யூ (எக்ஸ் ) = 0 மணிக்கு, அதாவது ( மணிக்கு அ , பி ).

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் (SODE) அமைப்பின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம்

நிலையான குணகங்களுடன் $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\வலது. $,

இங்கு $y_(1)\இடது(x\வலது),\; y_(2)\இடது(x\வலது),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- $x$ சார்பற்ற மாறியின் தேவையான செயல்பாடுகள், குணகங்கள் $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில் கொடுக்கப்பட்ட உண்மையான எண்களைக் குறிக்கிறோம்:

1. தேவையான செயல்பாடுகளின் அணி $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. வழித்தோன்றல் தீர்வுகளின் அணி $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. SODE குணகம் மேட்ரிக்ஸ் $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

இப்போது, ​​மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் விதியின் அடிப்படையில், இந்த SODE ஐ அணி சமன்பாடு $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$ வடிவத்தில் எழுதலாம்.

நிலையான குணகங்களுடன் SODE ஐ தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறை

சில எண்களின் அணி $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \ end(array)\right)$.

SODEக்கான தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தில் காணப்படுகிறது: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. அணி வடிவத்தில்: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

இப்போது இந்த SODE இன் மேட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு படிவத்தை கொடுக்கலாம்:

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

$\alpha $, $A$ அணியைப் பயன்படுத்தி ஒரு இணையான திசையன் $k\cdot \alpha $ ஆக மாற்றப்பட்டதை கடைசி சமத்துவம் காட்டுகிறது. இதன் பொருள் $\alpha $ என்பது $A$ என்ற மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டராகும், இது $k$ ஐஜென்மதிப்புடன் தொடர்புடையது.

$\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) சமன்பாட்டிலிருந்து $k$ எண்ணைத் தீர்மானிக்கலாம். \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

இந்த சமன்பாடு பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பண்புச் சமன்பாட்டின் எல்லா வேர்களும் $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ வேறுபட்டதாக இருக்கட்டும். ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) அமைப்பிலிருந்து $k_(i) $ ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ மதிப்புகளின் அணி $\left (\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i) என வரையறுக்கலாம் \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

இந்த மேட்ரிக்ஸில் உள்ள மதிப்புகளில் ஒன்று தோராயமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

இறுதியாக, மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் இந்த அமைப்புக்கான தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ இடது(\தொடங்கு(வரிசை)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) & (\alpha _(2)^ (\ldots ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \ முடிவு(வரிசை)\வலது)$,

இதில் $C_(i) $ தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

பணி

DE அமைப்பைத் தீர்க்கவும் $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy__) ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\வலது. $.

சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் எழுதுகிறோம்: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில், இந்த SODE பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, அதாவது $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள்: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left $k_(1) =1$க்கு 1\ வலது)) ) \ end(array)\right)$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ விட்டு (வரிசை)\வலது)=0,\]

அதாவது $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$ ஐ வைத்து, $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$ ஐப் பெறுகிறோம்.

$\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left 2\ வலது)) ) \ end(array)\right)$ க்கு $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ விட்டு (வரிசை)\வலது)=0, \]

அதாவது $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) )) =0$.

$\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$ ஐ வைத்து, $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$ ஐப் பெறுகிறோம்.

SODEக்கான தீர்வை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் பெறுகிறோம்:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \ end(array)\ right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

வழக்கமான வடிவத்தில், SODEக்கான தீர்வு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \ end(array )\right.$.

அடிப்படை கருத்துக்கள் மற்றும் வரையறைகள் ஒரு புள்ளியின் இயக்கவியலின் எளிமையான சிக்கல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு வழிவகுக்கிறது: பொருள் புள்ளியில் செயல்படும் சக்திகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன; இயக்க விதியைக் கண்டறியவும், அதாவது x = x(t), y = y(t), z = z(t) செயல்பாடுகளைக் கண்டறியவும், இது ஒரு நகரும் புள்ளியின் ஆயங்களைச் சார்ந்திருப்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பு, பொதுவாக, வடிவம் கொண்டது இங்கே x, y, z ஆகியவை நகரும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள், t என்பது நேரம், f, g, h ஆகியவை அவற்றின் வாதங்களின் அறியப்பட்ட செயல்பாடுகள். வகை (1) அமைப்பு நியமனம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வாதம் t இன் m அறியப்படாத செயல்பாடுகளுடன் m வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொதுவான வழக்கிற்குத் திரும்பினால், உயர் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்ட படிவத்தின் அமைப்பை நாம் நியமனம் என்று அழைக்கிறோம். விரும்பிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து தீர்க்கப்பட்ட முதல்-வரிசை சமன்பாடுகளின் அமைப்பு இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாம் புதிய துணை செயல்பாடுகளை எடுத்துக் கொண்டால், பொது நியமன அமைப்பு (2) சமன்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு சமமான சாதாரண அமைப்பால் மாற்றப்படலாம். எனவே, சாதாரண அமைப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வது போதுமானது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சமன்பாடு என்பது நியமன அமைப்பின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ^ = y ஐ வைத்து, அசல் சமன்பாட்டின் மூலம் நாம் பெறுவோம், இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு சாதாரண சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய முறை நீக்கும் முறை ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகளின் முறைமைகளின் நேர்கோட்டு வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் மேவரிக்ஸ் அடிப்படை. மாறிலிகள் நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான மேட்ரிக்ஸ் முறை. வரையறை 1. வாதத்தை மாற்றும் இடைவெளியில் (a, b) இயல்பான அமைப்புக்கான தீர்வு (3) என்பது t ஐப் பொறுத்து முறைமையின் (3) சமன்பாடுகளை அடையாளங்களாக மாற்றும் இடைவெளியில் வேறுபடக்கூடிய n செயல்பாடுகளின் எந்த அமைப்பும் ஆகும். இடைவெளியில் (a, b) அமைப்பு (3) க்கான Cauchy சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: t = முதல் தேற்றம் 1 வரை (தீர்வின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம்) ஆரம்ப நிலைகளை பூர்த்தி செய்யும் அமைப்பின் தீர்வை (4) கண்டறிக எதன் பணிகள்) ஒரு சாதாரண வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை அமைப்போம் மற்றும் செயல்பாடுகளை சில (n + 1) இல் வரையறுக்கலாம்- பரிமாண டொமைன் D மாறிகள் t, X\, x2, ..., xn. வாதங்களின் தொகுப்பில் ft செயல்பாடுகள் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் X\, x2, ..., xn மாறிகளைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கும் அக்கம் பக்கமாக அடி இருந்தால், t மாற்றத்தின் - A0 க்கு ஒரு இடைவெளி இருக்கும். , ஆரம்ப நிலைகளை திருப்திப்படுத்தும் இயல்பான அமைப்பின் (3) தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது வரையறை 2. தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் டன் சார்ந்து n செயல்பாடுகளின் அமைப்பு சாதாரண அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (3) சில பிராந்தியங்களில் Π Cauchy பிரச்சனையின் இருப்பு மற்றும் தனித்துவம் 1) ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளுக்கு, செயல்பாடுகளின் அமைப்பு (6) சமன்பாடுகளை (3) அடையாளங்களாக மாற்றுகிறது, 2) Π டொமைனில், செயல்பாடுகள் (6) எந்த Cauchy பிரச்சனையையும் தீர்க்கும். மாறிலிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளில் பொதுவானவற்றிலிருந்து பெறப்பட்ட தீர்வுகள் குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, இரண்டு சமன்பாடுகளின் இயல்பான அமைப்புக்கு வருவோம், t> X\, x2 ஆகிய மதிப்புகளின் அமைப்பை முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியின் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகளாகக் கருதுவோம். கணினியின் தீர்வு (7), இது t - to இல் மதிப்புகளை எடுக்கும், புள்ளியின் வழியாக ஒரு குறிப்பிட்ட வரியை விண்வெளியில் வரையறுக்கிறது) - இந்த வரி சாதாரண அமைப்பின் ஒருங்கிணைந்த வளைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது (7). சிஸ்டம் (7)க்கான கோஷி சிக்கல் பின்வரும் வடிவியல் உருவாக்கத்தைப் பெறுகிறது: t> X\, x2 மாறிகள் இடத்தில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி Mo(to, x1, x2) (படம் 1) வழியாகச் செல்லும் ஒருங்கிணைந்த வளைவைக் கண்டறியவும். தேற்றம் 1 அத்தகைய வளைவின் இருப்பையும் தனித்துவத்தையும் நிறுவுகிறது. இயல்பான அமைப்பு (7) மற்றும் அதன் தீர்வுக்கு பின்வரும் விளக்கத்தையும் கொடுக்கலாம்: t என்ற சார்பற்ற மாறியை ஒரு அளவுருவாகவும், அமைப்பின் தீர்வை x\Ox2 விமானத்தில் உள்ள வளைவின் அளவுரு சமன்பாடுகளாகவும் கருதுவோம். X\X2 மாறிகளின் இந்த விமானம் கட்ட விமானம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. கட்டத் தளத்தில், தீர்வு (கணினியின் 0 (7), t = t0 ஆரம்ப மதிப்புகள் x°(, x2, புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் வளைவு AB மூலம் சித்தரிக்கப்படுகிறது) இந்த வளைவின் பாதை என்று அழைக்கப்படுகிறது. அமைப்பு (கட்டப் பாதை) அமைப்பின் பாதை (7) என்பது கட்டத் தளத்தின் மீதான ப்ராஜெக்ஷன் ஒருங்கிணைந்த வளைவு ஆகும். ஒருங்கிணைந்த வளைவிலிருந்து, கட்டப் பாதை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஆனால் நேர்மாறாக அல்ல. § 2. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான முறைகள் 2.1. நீக்கும் முறை ஒருங்கிணைக்கும் முறைகளில் ஒன்று நீக்கும் முறை ஆகும். நியதி அமைப்பின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு n வது வரிசையின் ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இது மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படுகிறது, பின்வரும் சாதாரண அமைப்புடன் புதிய செயல்பாட்டு சமன்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறது n சமன்பாடுகளின்: n வது வரிசையின் இந்த ஒரு சமன்பாட்டை நாம் சாதாரண அமைப்பு (1) க்கு சமமானதாக மாற்றுகிறோம். பொதுவாக, முதல் வரிசையின் n சமன்பாடுகளின் ஒரு சாதாரண அமைப்பு ஒரு சமன்பாட்டிற்கு சமம் என்று நாம் உரையாடலைக் கூறலாம். வரிசை p. இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான நீக்குதல் முறையின் அடிப்படையாகும். இது இப்படி செய்யப்பட்டுள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் இயல்பான அமைப்பைக் கொள்வோம். தயாரிப்பை வலது பக்கத்தில் மாற்றியுள்ளோம் அல்லது சுருக்கமாக, சமன்பாடு (3) மீண்டும் t ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தப்படுகிறது. கணக்கு அமைப்பு (2) ஐ எடுத்துக் கொண்டால், இந்த செயல்முறையை நாங்கள் பெறுகிறோம் அல்லது தொடர்கிறோம், தீர்மானிப்பதாகக் கருதுகிறோம் (செயல்பாடுகளின் அமைப்பின் ஜேகோபியன் என்பது பரிசீலனையில் உள்ள மதிப்புகளுக்கு பூஜ்ஜியமல்ல, பின்னர் அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டால் ஆன சமன்பாடுகளின் அமைப்பு ( 2) மற்றும் அறியப்படாத சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகளில் தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டில் காணப்படும் வெளிப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும். (2), பின்னர் X\(t) சார்பு சமன்பாட்டிற்கு (5) தீர்வாக இருக்கும். மாறாக, சமன்பாட்டிற்கு (5) தீர்வு இருக்கட்டும். இந்த தீர்வை t ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தி, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை அறியப்பட்ட செயல்பாடுகளாகக் கணக்கிட்டு மாற்றுகிறோம். அனுமானத்தின் மூலம், இந்த அமைப்பை t இன் செயல்பாடாக xn ஐப் பொறுத்து தீர்க்க முடியும். இந்த வழியில் கட்டமைக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் அமைப்பு வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாக அமைகிறது என்பதைக் காட்டலாம் (2). உதாரணமாக. கணினியை ஒருங்கிணைக்க இது தேவைப்படுகிறது.கணினியின் முதல் சமன்பாட்டை வேறுபடுத்தி, இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, ஒரு அறியப்படாத செயல்பாட்டுடன் நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டை எங்கிருந்து பெறுகிறோம். அதன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது. அமைப்பின் முதல் சமன்பாட்டின் மூலம், செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளான x(t), y(t), C இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் எளிதாகச் சரிபார்க்க முடியும். மற்றும் C2 கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது. அமைப்பின் ஒருங்கிணைந்த வளைவுகள் (6) ஒரு பொதுவான அச்சு x = y = 0 உடன் ஒரு படியுடன் கூடிய ஹெலிகல் கோடுகளாக இருப்பதைக் காணக்கூடிய வடிவத்தில் செயல்பாடுகளை குறிப்பிடலாம், இது ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு (படம் 3) ) சூத்திரங்கள் (7) இல் உள்ள அளவுருவை நீக்கி, நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதனால் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் கட்டப் பாதைகள் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் ஒரு மையத்துடன் வட்டங்களாக இருக்கும் - ஒரு விமானத்தின் மீது ஹெலிகல் கோடுகளின் கணிப்புகள். A = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​கட்டப் பாதையைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு புள்ளி, அமைப்பின் ஓய்வு புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. " இதன் மூலம் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்த முடியாது என்று மாறிவிடும், பின்னர் அசல் அமைப்புக்கு சமமான n வது வரிசை சமன்பாட்டைப் பெற மாட்டோம். இதோ ஒரு எளிய உதாரணம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பை x\ அல்லது x2 க்கு சமமான இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டால் மாற்ற முடியாது. இந்த அமைப்பு ஒரு ஜோடி 1 வது வரிசை சமன்பாடுகளால் ஆனது, ஒவ்வொன்றும் தனித்தனியாக ஒருங்கிணைக்கப்பட்டு, ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகளின் முறையை வழங்குகிறது. ஒரு ஒருங்கிணைந்த சேர்க்கை என்பது சமன்பாடுகளின் (8) விளைவு ஆகும், ஆனால் ஏற்கனவே எளிதில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும். உதாரணமாக. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு முறைகளை ஒருங்கிணைக்கவும். ஒரு ஒருங்கிணைந்த சேர்க்கையைக் கண்டுபிடி: கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து கால அளவைக் கழித்தால், இரண்டாவது ஒருங்கிணைந்த கலவையைப் பெறுகிறோம்: இரண்டு வரையறுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளைக் கண்டோம், அதில் இருந்து கணினியின் பொதுவான தீர்வு எளிதில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: ஒரு ஒருங்கிணைந்த கலவை அதை சாத்தியமாக்குகிறது. சுயாதீன மாறி t மற்றும் அறியப்படாத செயல்பாடுகளை இணைக்கும் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெற. அத்தகைய வரையறுக்கப்பட்ட சமன்பாடு அமைப்பின் முதல் ஒருங்கிணைப்பு (8) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில்: வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் முதல் ஒருங்கிணைப்பு (8) என்பது வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாகும், இது ஒரே மாதிரியான நிலையானது அல்ல, ஆனால் இந்த அமைப்பின் எந்தவொரு ஒருங்கிணைந்த வளைவிலும் நிலையான மதிப்பைப் பராமரிக்கிறது. அமைப்பின் n முதல் ஒருங்கிணைப்புகள் (8) கண்டறியப்பட்டு அவை அனைத்தும் சுயாதீனமாக இருந்தால், அதாவது, செயல்பாடுகளின் அமைப்பின் ஜகோபியன் பூஜ்ஜியமாக இல்லை: அறியப்படாத செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு நேரியல் எனப்படும். சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. சாதாரண வடிவத்தில் எழுதப்பட்ட முதல் வரிசையின் n நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, வடிவம் அல்லது மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில், தேற்றம் 2. அனைத்து செயல்பாடுகளும் ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், ஒவ்வொரு புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தில்., xn) , அங்கு), இருப்பு தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் திருப்திகரமாக உள்ளன மற்றும் கௌசியா பிரச்சனைக்கான தீர்வின் தனித்துவம், எனவே, அத்தகைய ஒவ்வொரு புள்ளியின் வழியாகவும் ஒரு தனித்துவமான ஒருங்கிணைந்த வளைவு அமைப்பு (1) கடந்து செல்கிறது. உண்மையில், இந்த வழக்கில், அமைப்பு (1) இன் வலது பக்கங்கள் t)x\,x2) வாதங்களின் தொகுப்பைப் பொறுத்து தொடர்ச்சியாக இருக்கும்... , xn மற்றும் அவற்றின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் வரம்பிற்குட்பட்டவை, ஏனெனில் இவை டெரிவேடிவ்கள் இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான குணகங்களுக்கு சமம். நாம் ஒரு நேரியல் ஆபரேட்டரை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். பின்னர் கணினி (2) வடிவத்தில் எழுதப்படும் அணி F இடைவெளியில் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (a, 6), பின்னர் அமைப்பு (2) நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரே மாதிரியான மற்றும் வடிவம் கொண்டது நேரியல் அமைப்புகளின் தீர்வுகளின் பண்புகளை நிறுவும் சில கோட்பாடுகளை முன்வைப்போம். தேற்றம் 3. X(t) என்பது நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பிற்கான தீர்வாக இருந்தால், c ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியாக இருந்தால், அது அதே அமைப்புக்கான தீர்வாகும். தேற்றம் 4. ஒரே மாதிரியான நேரியல் முறை சமன்பாடுகளுக்கு இரண்டு தீர்வுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒரே அமைப்புக்கான தீர்வாகும். விளைவு. ஒரு நேரியல் கலவை, தன்னிச்சையான நிலையான குணகங்கள் c உடன், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வுகள் அதே அமைப்புக்கு ஒரு தீர்வாகும். தேற்றம் 5. X(t) என்பது நேரியல் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புக்கான தீர்வாக இருந்தால் - தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான தீர்வாக இருந்தால், கூட்டுத்தொகை ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்கும்.உண்மையில், நிபந்தனையின்படி, ஆபரேட்டரின் சேர்க்கை பண்பைப் பயன்படுத்துதல், நாம் பெறுகிறோம் இதன் அர்த்தம், கூட்டுத்தொகையானது சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பிற்கான தீர்வாகும். மணிக்கு மற்றும் குறைந்தபட்சம் ஒரு எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத நிலையான எண்கள் இருந்தால், ஒரு இடைவெளியில் நேரியல் சார்ந்து இருக்கும் என்று கூறப்படும் திசையன்கள். அடையாளம் (5) மட்டுமே செல்லுபடியாகும் என்றால், திசையன்கள் (a, b) இல் நேரியல் சார்புடையதாகக் கூறப்படுகிறது. ஒரு திசையன் அடையாளம் (5) n அடையாளங்களுக்குச் சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க: . தீர்மானிப்பான் திசையன்களின் அமைப்பின் வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை. நாம் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பைக் கொண்டிருப்போம், அங்கு தனிமங்களைக் கொண்ட ஒரு அணி, ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கான n தீர்வுகளின் அமைப்பு (6), இடைவெளியில் நேரியல் சார்பற்றது, இது அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது. தேற்றம் 6. ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு ஒரு இடைவெளியில் அடிப்படையான தீர்வுகளின் அமைப்பின் Wronski தீர்மானிப்பான் W(t) குணகங்களுடன் a-ij(t) இடைவெளியில் தொடர்கிறது a b இடைவெளியின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் (a , 6). தேற்றம் 7 (ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பில்). ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் புலத்தில் உள்ள பொதுவான தீர்வு, அமைப்பின் n தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையாகும் (6) இடைவெளியில் நேரியல் சார்பு: தன்னிச்சையான மாறிலி எண்கள்). உதாரணமாக. வ்ரோன்ஸ்கி தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியமாக இல்லாததால், அமைப்பு சரிபார்க்க எளிதானது, ஆஷ் தீர்வுகள் நேர்கோட்டில் சுயாதீனமானவை: “கணினியின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் அல்லது தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.) 3.1 அடிப்படை அணி ஒரு சதுர அணி, அதன் நெடுவரிசைகள் கணினியின் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் (6), இந்த அமைப்பின் அடிப்படை அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. அடிப்படை அணி அணி சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. X(t) என்பது அமைப்பின் அடிப்படை அணி (6), பின்னர் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் - தன்னிச்சையான கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு நிலையான நெடுவரிசை அணி, எங்களிடம் உள்ளதால், மேட்ரிக்ஸ் காச்சி மேட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் உதவியுடன், கணினிக்கான தீர்வு (6) முடியும் பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகிறது: தேற்றம் 8 (வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புக்கான பொதுவான தீர்வின் கட்டமைப்பின் மீது) ஒரு இடைவெளி மற்றும் வலது பக்கங்களில் தொடர்ச்சியான குணகங்களைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் துறையில் பொதுவான தீர்வு fi (t) என்பது தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் சில குறிப்பிட்ட தீர்வு X(t) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: 3.2. மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (6) தெரிந்தால், ஒரு ஒத்திசைவற்ற அமைப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறையால் (லேக்-ராங் முறை) காணலாம். ஒரே மாதிரியான அமைப்புக்கு ஒரு பொதுவான தீர்வு இருக்கட்டும் (6), பின்னர் dXk மற்றும் தீர்வுகள் நேரியல் சார்புடையவை. t இன் அறியப்படாத செயல்பாடுகள் இருக்கும் ஒத்திசைவற்ற அமைப்புக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுவோம். வேறுபடுத்துவது நமக்குப் பதிலீடு செய்தல், அன்றிலிருந்து, வரையறைக்கு நாம் ஒரு அமைப்பைப் பெறுகிறோம் அல்லது விரிவுபடுத்தப்பட்ட வடிவத்தில், சிஸ்டம் (10) என்பது 4(0 >ஐப் பொறுத்து) ஒரு நேரியல் இயற்கணித அமைப்பாகும். தீர்வுகளின் அமைப்பு, இந்த தீர்மானியானது இடைவெளியில் எல்லா இடங்களிலும் பூஜ்ஜியமாக இருக்காது, இதனால் கணினி) ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அங்கு MO தொடர் செயல்பாடுகள் அறியப்படுகின்றன. கடைசி உறவுகளை ஒருங்கிணைத்து, இந்த மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், கணினிக்கு (2) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் காண்கிறோம்: (இங்கே சின்னம் §4 செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் ஒரு நேர்கோட்டைக் கவனியுங்கள். அனைத்து குணகங்களும் நிலையானதாக இருக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு, பொதுவாக, அத்தகைய அமைப்பு ஒரு உயர் வரிசையின் ஒரு சமன்பாட்டிற்குக் குறைப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த சமன்பாடு நிலையான குணகங்களுடன் நேர்கோட்டில் இருக்கும். மாறிலி குணகங்கள் என்பது லாப்லேஸ் உருமாற்ற முறை.வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளை நிலையான குணகங்களுடன் ஒருங்கிணைக்கும் முறையையும் நாங்கள் பரிசீலிப்போம் இது பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது: ஆய்லரின் முறை மாறிலிகள் இருக்கும் கணினிக்கான தீர்வைத் தேடுவோம். x* இல் படிவம் (2) அமைப்பில் (1), e* மூலம் ரத்துசெய்தல் மற்றும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் சமத்துவத்தின் ஒரு பகுதிக்கு மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், இந்த அமைப்புக்கு (3) n அறியப்படாத n உடனான நேரியல் ஒரே மாதிரியான இயற்கணித சமன்பாடுகள் மற்றும் ஒரு அற்பமான தீர்வு இருந்தது. ; அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது: சமன்பாடு (4) பண்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதன் இடது பக்கத்தில் n டிகிரி A ஐப் பொறுத்தமட்டில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உள்ளது. இந்தச் சமன்பாட்டிலிருந்து A இன் மதிப்புகளை நாம் தீர்மானிக்கிறோம், எந்த அமைப்புக்கு (3) அற்பமான தீர்வுகள் உள்ளன. வேறுபட்டவை, பின்னர் அவற்றை கணினியில் (3) மாற்றுவதன் மூலம், இந்த அமைப்பின் தொடர்புடைய அற்பமான தீர்வுகளைக் காண்கிறோம், எனவே, அசல் அமைப்புக்கு n தீர்வுகளைக் காண்கிறோம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (1) வடிவத்தில் இரண்டாவது குறியீட்டு தீர்வின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மற்றும் முதலாவது அறியப்படாத செயல்பாட்டின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. இந்த வழியில் கட்டமைக்கப்பட்ட நேரியல் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் n பகுதி தீர்வுகள் (1) இந்த அமைப்பிற்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை சரிபார்க்கலாம். இதன் விளைவாக, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (1) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது - தன்னிச்சையான மாறிலிகள். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு பல வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்போது நாங்கள் வழக்கைக் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம். M 01.02 ஐ நிர்ணயிப்பதற்கான ஒரு குணாதிசய சமன்பாடு அமைப்பு (3) வடிவில் ஒரு தீர்வைத் தேடுகிறோம்: மாற்றீடு எங்கிருந்து கிடைக்கிறது எனவே, இந்த அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு: இந்த அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு: வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் நீக்கும் முறை ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகளின் முறை நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் அடிப்படை அணி மாறுபாடு மாறிலிகளின் முறைகள் மாறுபாடு மாறிலிகளின் முறைமைகள் நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் மேட்ரிக்ஸ் முறை ஒரே மாதிரியான அமைப்பை ஒருங்கிணைப்பதற்கான மேட்ரிக்ஸ் முறையையும் முன்வைப்போம் (1). நிலையான உண்மையான கூறுகள் a, j உடன் ஒரு அணியாக அமைப்பு (1) ஐ எழுதுவோம். நேரியல் இயற்கணிதத்திலிருந்து சில கருத்துக்களை நினைவு கூர்வோம். வெக்டார் g ФО ஆனது அணி A இன் ஈஜென்வெக்டார் எனப்படும், எண் A ஆனது eigenvector g உடன் தொடர்புடைய அணி A இன் ஈஜென் மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது I அடையாள அணியாக இருக்கும் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். மேட்ரிக்ஸ் A இன் அனைத்து ஈஜென் மதிப்புகளும் A„ வேறுபட்டவை என்று நாம் கருதுவோம். இந்த வழக்கில், ஈஜென்வெக்டர்கள் நேரியல் சார்பற்றவை மற்றும் ஒரு n x n அணி T உள்ளது, இது அணி A ஐ மூலைவிட்ட வடிவத்திற்கு குறைக்கிறது, அதாவது, T அணியின் நெடுவரிசைகள் ஈஜென்வெக்டர்களின் ஆயத்தொலைவுகளாக இருக்கும். பின்வரும் கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துவோம். B(ξ) ஒரு n × n-மேட்ரிக்ஸாக இருக்கட்டும், உறுப்புகள் 6,;(0 இதில் t என்ற வாதத்தின் செயல்பாடுகள் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அணி B(f) ஆனது Π இல் அதன் அனைத்து உறுப்புகள் 6,j எனில் தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. (f) Q இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். இந்த மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் Q இல் வேறுபட்டால், A அணி B(*) ஆனது Π இல் வேறுபடுவதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ^p-matrix B(*) இன் வழித்தோன்றல் a மேட்ரிக்ஸ் B(*) இன் உறுப்புகளின் வழித்தோன்றல்களான அணி, B நெடுவரிசை வெக்டராக இருக்கட்டும்.மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தின் விதிகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், நேரடி சரிபார்ப்பின் மூலம் சூத்திரத்தின் செல்லுபடியை நாம் உறுதியாக நம்புகிறோம், குறிப்பாக B என்றால் ஒரு நிலையான அணி, பின்னர் ^ ஒரு பூஜ்ய அணி என்பதால் தேற்றம் 9. மேட்ரிக்ஸ் A இன் ஈஜென் மதிப்புகள் வேறுபட்டால், அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு (7) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது - மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள்-நெடுவரிசைகள் தன்னிச்சையான மாறிலி எண்கள். ஒரு புதிய தெரியாத நெடுவரிசை வெக்டரை அறிமுகம் செய்வோம், இதில் T என்பது மேட்ரிக்ஸ் Aஐ மூலைவிட்ட வடிவத்திற்கு குறைக்கும் ஒரு அணியாகும், மாற்றினால், இடதுபுறத்தில் உள்ள கடைசி உறவின் இருபக்கங்களையும் T 1 ஆல் பெருக்கிக் கணக்கில் கொண்டு கணினியைப் பெறுகிறோம். அந்த T 1 AT = А, நாம் கணினியை வந்தடைகிறோம் n சுயாதீன சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெற்றுள்ளோம், அதை எளிதாக ஒருங்கிணைக்க முடியும்: (12) இங்கே தன்னிச்சையான மாறிலி எண்கள் உள்ளன. அலகு n-பரிமாண நெடுவரிசை திசையன்களை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், தீர்வை வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம், ஏனெனில் அணி T இன் நெடுவரிசைகள் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள், அணி A இன் ஈஜென்வெக்டர். எனவே, (13) ஐ (11) க்கு மாற்றுகிறோம் சூத்திரத்தைப் பெறவும் (10): எனவே, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அணி A அமைப்பு (7) வெவ்வேறு ஈஜென் மதிப்புகளைக் கொண்டிருந்தால், இந்த அமைப்பின் பொதுவான தீர்வைப் பெற: 1) இயற்கணித சமன்பாட்டின் வேர்களாக அணியின் ஈஜென் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் 2) அனைத்து ஈஜென்வெக்டர்களையும் கண்டறியவும் 3) வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை (7) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் (10 ). எடுத்துக்காட்டு 2. சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் முறையைத் தீர்க்கவும் 4 கணினியின் மேட்ரிக்ஸ் ஏ படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது 1) பண்புச் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும் பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்கள். 2) A = 4 க்கு ஈஜென்வெக்டர்களைக் கண்டுபிடி, அதில் இருந்து = 0|2 என்ற அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதனால் A = 1 க்கு I 3 ஐக் காண்கிறோம்) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (10), வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் சிக்கலானதாகவும் இருக்கலாம். அனுமானத்தின் மூலம், அமைப்பின் (7) குணகங்கள் உண்மையானவை என்பதால், பண்புச் சமன்பாடு உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, சிக்கலான மூலமான A உடன், இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும் \*, A க்கு சிக்கலான இணைப்பாகும். g என்பது A இன் ஈஜென் மதிப்புக்கு ஒத்த ஒரு ஈஜென்வெக்டராக இருந்தால், A* என்பதும் ஒரு eigenvalue என்பதைக் காட்டுவது எளிது. eigenvector g* உடன் ஒத்துள்ளது, g உடன் சிக்கலான இணைவு. சிக்கலான A க்கு, அமைப்பு (7) taioKe தீர்வு சிக்கலானதாக இருக்கும். இந்த தீர்வின் உண்மையான பகுதியும் கற்பனையான பகுதியும் அமைப்புக்கான தீர்வுகள் (7). Eigenvalue A* ஒரு ஜோடி உண்மையான தீர்வுகளுடன் ஒத்திருக்கும். Eigenvalue A இன் அதே ஜோடி. எனவே, சிக்கலான இணை மதிப்புகளின் ஜோடி A, A* வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (7)க்கான உண்மையான தீர்வுகளின் ஜோடிக்கு ஒத்திருக்கிறது. உண்மையான ஈஜென் மதிப்புகள், சிக்கலான ஈஜென் மதிப்புகள் இருக்கட்டும். கணினியின் (7) எந்த உண்மையான தீர்வும் c, தன்னிச்சையான மாறிலிகளாக இருக்கும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டு 3. கணினியை தீர்க்கவும் -4 சிஸ்டம் மேட்ரிக்ஸ் 1) அமைப்பின் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு அதன் வேர்கள் மேட்ரிக்ஸின் ஈஜென்வெக்டர்கள் 3) தன்னிச்சையான சிக்கலான மாறிலிகள் இருக்கும் அமைப்பின் தீர்வு. அமைப்பின் உண்மையான தீர்வுகளைக் காண்போம். யூலரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, கணினியின் எந்தவொரு உண்மையான தீர்வும் தன்னிச்சையான உண்மையான எண்களின் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. பயிற்சிகள் நீக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளை ஒருங்கிணைக்கவும்: ஒருங்கிணைந்த சேர்க்கைகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளை ஒருங்கிணைக்கவும்: மேட்ரிக்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி அமைப்புகளை ஒருங்கிணைக்கவும்: பதில்கள்