இருபடி சமன்பாடுகள். பாகுபாடு காட்டுபவர். தீர்வு, எடுத்துக்காட்டுகள்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555ல் உள்ள பொருள்.
"மிகவும் இல்லை..." என்று வலுவாக இருப்பவர்களுக்கு
மேலும் "மிக அதிகம்..." என்று இருப்பவர்களுக்கு)

இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள்

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அது பார்க்க எப்படி இருக்கிறது? கால அளவில் இருபடி சமன்பாடுமுக்கிய வார்த்தை ஆகும் "சதுரம்".சமன்பாட்டில் என்று அர்த்தம் அவசியம்ஒரு x சதுரம் இருக்க வேண்டும். கூடுதலாக, சமன்பாட்டில் இருக்கலாம் (அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்!) வெறும் x (முதல் நிலைக்கு) மற்றும் ஒரு எண் (இலவச உறுப்பினர்).மேலும் இரண்டுக்கு மேல் பட்டத்தில் x கள் இருக்கக்கூடாது.

கணித அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

இங்கே a, b மற்றும் c- சில எண்கள். பி மற்றும் சி- முற்றிலும் ஏதேனும், ஆனால் ஏ- பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை. உதாரணத்திற்கு:

இங்கே ஏ =1; பி = 3; c = -4

இங்கே ஏ =2; பி = -0,5; c = 2,2

இங்கே ஏ =-3; பி = 6; c = -18

சரி, உங்களுக்கு யோசனை புரிகிறது...

இந்த இருபடி சமன்பாடுகளில், இடதுபுறத்தில், உள்ளது முழு தொகுப்புஉறுப்பினர்கள். x குணகத்துடன் சதுரம் ஏ,குணகம் கொண்ட முதல் சக்திக்கு x பிமற்றும் இலவச உறுப்பினர்

இத்தகைய இருபடி சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழுமை.

மற்றும் என்றால் பி= 0, நமக்கு என்ன கிடைக்கும்? எங்களிடம் உள்ளது எக்ஸ் முதல் பட்டத்தில் மறைந்துவிடும்.பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் இது நிகழ்கிறது.) இது மாறிவிடும், எடுத்துக்காட்டாக:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

மற்றும் பல. மற்றும் இரண்டு குணகங்கள் என்றால் பிமற்றும் cபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் அது இன்னும் எளிமையானது:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

அத்தகைய சமன்பாடுகள், ஏதாவது காணவில்லை என்றால், அவை அழைக்கப்படுகின்றன முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.இது மிகவும் தர்க்கரீதியானது.) அனைத்து சமன்பாடுகளிலும் x ஸ்கொயர் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

மூலம் ஏன் ஏபூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாதா? நீங்கள் பதிலாக பதிலாக ஏபூஜ்ஜியம்.) சதுரத்தில் உள்ள X மறைந்துவிடும்! சமன்பாடு நேராக மாறும். அது வித்தியாசமாக செய்யப்படுகிறது ...

இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகள் அவ்வளவுதான். முழுமையானது மற்றும் முழுமையற்றது.

இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு.

இருபடி சமன்பாடுகள் தீர்க்க எளிதானது. சூத்திரங்கள் மற்றும் தெளிவான எளிய விதிகளின்படி. முதல் கட்டத்தில், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவது அவசியம், அதாவது. பார்வைக்கு:

இந்த வடிவத்தில் சமன்பாடு ஏற்கனவே உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் முதல் கட்டத்தை செய்ய வேண்டியதில்லை.) முக்கிய விஷயம் அனைத்து குணகங்களையும் சரியாக தீர்மானிக்க வேண்டும், ஏ, பிமற்றும் c.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பாரபட்சமான. ஆனால் அவரைப் பற்றி கீழே. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, x ஐ கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் a, b மற்றும் c மட்டுமே. அந்த. இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்கள். மதிப்புகளை கவனமாக மாற்றவும் a, b மற்றும் cஇந்த சூத்திரத்தில் மற்றும் எண்ணிக்கை. மாற்று உன் அடையாளங்களுடன்! உதாரணமாக, சமன்பாட்டில்:

ஏ =1; பி = 3; c= -4. இங்கே நாம் எழுதுகிறோம்:

உதாரணம் கிட்டத்தட்ட தீர்க்கப்பட்டது:

இதுதான் பதில்.

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. நீங்கள் என்ன நினைக்கிறீர்கள், நீங்கள் தவறாக செல்ல முடியாது? சரி, ஆம், எப்படி...

மிகவும் பொதுவான தவறுகள் மதிப்புகளின் அறிகுறிகளுடன் குழப்பம் a, b மற்றும் c. அல்லது மாறாக, அவற்றின் அறிகுறிகளுடன் அல்ல (எங்கே குழப்பமடைய வேண்டும்?), ஆனால் எதிர்மறை மதிப்புகளை வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம். இங்கே, குறிப்பிட்ட எண்களைக் கொண்ட சூத்திரத்தின் விரிவான பதிவு சேமிக்கப்படுகிறது. கணக்கீடுகளில் சிக்கல்கள் இருந்தால், அதனால் அதை செய்!

பின்வரும் உதாரணத்தை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இங்கே அ = -6; பி = -5; c = -1

முதல் முறையாக பதில்கள் கிடைப்பது அரிது என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

சரி, சோம்பேறியாக இருக்காதே. கூடுதல் வரியை எழுத 30 வினாடிகள் ஆகும். மற்றும் பிழைகளின் எண்ணிக்கை கூர்மையாக குறையும். எனவே அனைத்து அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் அறிகுறிகளுடன் விரிவாக எழுதுகிறோம்:

மிகவும் கவனமாக வண்ணம் தீட்டுவது நம்பமுடியாத அளவிற்கு கடினமாகத் தெரிகிறது. ஆனால் அது மட்டும் தெரிகிறது. முயற்சி செய்து பாருங்கள். சரி, அல்லது தேர்வு செய்யவும். எது சிறந்தது, விரைவானது அல்லது சரியானது? மேலும், நான் உங்களை மகிழ்ச்சியடையச் செய்வேன். சிறிது நேரம் கழித்து, எல்லாவற்றையும் மிகவும் கவனமாக வண்ணம் தீட்ட வேண்டிய அவசியமில்லை. அது சரியாக மாறும். குறிப்பாக நீங்கள் நடைமுறை நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தினால், அவை கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. மைனஸ்கள் கொண்ட இந்த தீய உதாரணம் எளிதாகவும் பிழைகள் இல்லாமல் தீர்க்கப்படும்!

ஆனால், பெரும்பாலும், இருபடி சமன்பாடுகள் சற்று வித்தியாசமாக இருக்கும். உதாரணமாக, இது போன்றது:

உங்களுக்கு தெரியுமா?) ஆம்! இது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு.

அவை பொதுவான சூத்திரத்தால் தீர்க்கப்படலாம். இங்கே சமமானதை நீங்கள் சரியாகக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் a, b மற்றும் c.

உணர்ந்ததா? முதல் உதாரணத்தில் a = 1; b = -4;ஏ c? அது இல்லவே இல்லை! சரி, ஆம், அது சரி. கணிதத்தில், இதன் பொருள் c = 0 ! அவ்வளவுதான். சூத்திரத்தில் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றவும் c,மற்றும் எல்லாம் எங்களுக்கு வேலை செய்யும். இதேபோல் இரண்டாவது உதாரணத்துடன். இங்கே நம்மிடம் இல்லாத பூஜ்யம் மட்டுமே உடன், ஏ பி !

ஆனால் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை மிக எளிதாக தீர்க்க முடியும். எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல். முதல் முழுமையற்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இடது பக்கம் என்ன செய்யலாம்? நீங்கள் X ஐ அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே எடுக்கலாம்! அதை வெளியே எடுப்போம்.

இதிலிருந்து என்ன? மற்றும் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்றால், மற்றும் காரணிகளில் ஏதேனும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே! நம்பவில்லையா? சரி, இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற எண்களைக் கொண்டு வாருங்கள், பெருக்கினால், பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்!
வேலை செய்ய வில்லை? ஏதோ...
எனவே, நாம் நம்பிக்கையுடன் எழுதலாம்: x 1 = 0, x 2 = 4.

அனைத்து. இவை நமது சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும். இரண்டும் பொருந்தும். அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றும்போது, ​​0 = 0 என்ற சரியான அடையாளத்தைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்கிறபடி, தீர்வு பொதுவான சூத்திரத்தை விட மிகவும் எளிமையானது. நான் கவனிக்கிறேன், எந்த எக்ஸ் முதலில் இருக்கும், மற்றும் இரண்டாவது - இது முற்றிலும் அலட்சியமானது. வரிசையாக எழுதுவது எளிது x 1- எது குறைவாக இருந்தாலும் x 2- அது அதிகம்.

இரண்டாவது சமன்பாட்டை எளிதாக தீர்க்க முடியும். நாம் 9 ஐ வலது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

9 இலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்க இது உள்ளது, அவ்வளவுதான். பெறு:

மேலும் இரண்டு வேர்கள் . x 1 = -3, x 2 = 3.

அனைத்து முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன. Xஐ அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து வெளியே எடுப்பதன் மூலம் அல்லது எண்ணை வலப்புறமாக மாற்றுவதன் மூலம், அதைத் தொடர்ந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதன் மூலம்.
இந்த முறைகளை குழப்புவது மிகவும் கடினம். ஏனென்றால் முதல் வழக்கில் நீங்கள் X இலிருந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க வேண்டும், இது எப்படியாவது புரிந்துகொள்ள முடியாதது, இரண்டாவது வழக்கில் அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்க எதுவும் இல்லை ...

பாகுபாடு காட்டுபவர். பாகுபாடு சூத்திரம்.

மந்திர வார்த்தை பாரபட்சமான ! ஒரு அரிதான உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர் இந்த வார்த்தையைக் கேட்கவில்லை! "பாகுபாடு காட்டுபவர் மூலம் முடிவு செய்யுங்கள்" என்ற சொற்றொடர் உறுதியளிக்கிறது மற்றும் உறுதியளிக்கிறது. ஏனென்றால் பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் தந்திரங்களுக்காக காத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை! இது எளிமையானது மற்றும் சிக்கலற்றது.) தீர்வுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் ஏதேனும்இருபடி சமன்பாடுகள்:

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பாகுபாடு பொதுவாக கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது டி. பாகுபாடு சூத்திரம்:

D = b 2 - 4ac

இந்த வெளிப்பாட்டின் சிறப்பு என்ன? இது ஏன் ஒரு சிறப்புப் பெயருக்கு தகுதியானது? என்ன பாகுபாட்டின் அர்த்தம்?அனைத்து பிறகு -பி,அல்லது 2aஇந்த சூத்திரத்தில் அவர்கள் குறிப்பாக பெயரிடவில்லை ... கடிதங்கள் மற்றும் கடிதங்கள்.

விஷயம் இதுதான். இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அது சாத்தியமாகும் மூன்று வழக்குகள் மட்டுமே.

1. பாகுபாடு காட்டுபவர் நேர்மறை.இதன் பொருள் நீங்கள் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கலாம். வேர் நன்றாக அல்லது மோசமாக பிரித்தெடுக்கப்பட்டதா என்பது மற்றொரு கேள்வி. கொள்கையளவில் என்ன பிரித்தெடுக்கப்பட்டது என்பது முக்கியம். உங்கள் இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு வெவ்வேறு தீர்வுகள்.

2. பாகுபாடு பூஜ்ஜியம்.பின்னர் உங்களுக்கு ஒரு தீர்வு உள்ளது. எண்களில் பூஜ்ஜியத்தைக் கூட்டுவது அல்லது கழிப்பது எதையும் மாற்றாது. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், இது ஒற்றை வேர் அல்ல, ஆனால் இரண்டு ஒத்த. ஆனால், எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பில், பேசுவது வழக்கம் ஒரு தீர்வு.

3. பாகுபாடு எதிர்மறையானது.எதிர்மறை எண் வர்க்க மூலத்தை எடுக்காது. சரி, சரி. இதன் பொருள் தீர்வுகள் இல்லை.

உண்மையைச் சொல்வதென்றால், இருபடி சமன்பாடுகளின் எளிய தீர்வுடன், ஒரு பாகுபாடு என்ற கருத்து உண்மையில் தேவையில்லை. சூத்திரத்தில் உள்ள குணகங்களின் மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம், மேலும் நாங்கள் கருதுகிறோம். அங்கே எல்லாம் தானாகவே மாறிவிடும், இரண்டு வேர்கள், மற்றும் ஒன்று, மற்றும் ஒன்று இல்லை. இருப்பினும், மிகவும் சிக்கலான பணிகளை தீர்க்கும் போது, ​​அறிவு இல்லாமல் பொருள் மற்றும் பாகுபாடு சூத்திரம்போதாது. குறிப்பாக - அளவுருக்கள் கொண்ட சமன்பாடுகளில். இத்தகைய சமன்பாடுகள் GIA மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான ஏரோபாட்டிக்ஸ் ஆகும்!)

அதனால், இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பதுநீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கும் பாகுபாடு மூலம். அல்லது கற்றது, அதுவும் மோசமாக இல்லை.) சரியாக அடையாளம் காண்பது எப்படி என்பது உங்களுக்குத் தெரியும் a, b மற்றும் c. இது எப்படி எனஉனக்கு தெரியுமா கவனத்துடன்அவற்றை ரூட் சூத்திரத்தில் மாற்றவும் கவனத்துடன்முடிவை எண்ணுங்கள். இங்கே முக்கிய வார்த்தை என்பது உங்களுக்கு புரிந்ததா - கவனத்துடன்?

பிழைகளின் எண்ணிக்கையை வியத்தகு முறையில் குறைக்கும் நடைமுறை நுட்பங்களை இப்போது கவனியுங்கள். கவனக்குறைவினால் ஏற்படுபவையே... எதற்காக அது வேதனையாகவும், அவமானமாகவும் இருக்கிறது.

முதல் வரவேற்பு . ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதற்கு முன் சோம்பேறியாக இருக்காதீர்கள். இதன் பொருள் என்ன?
ஏதேனும் மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, நீங்கள் பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

வேர்களின் சூத்திரத்தை எழுத அவசரப்பட வேண்டாம்! நீங்கள் நிச்சயமாக முரண்பாடுகளை கலப்பீர்கள் a, b மற்றும் c.உதாரணத்தை சரியாக உருவாக்குங்கள். முதலில், x ஸ்கொயர், பின்னர் ஒரு சதுரம் இல்லாமல், பின்னர் ஒரு இலவச உறுப்பினர். இது போன்ற:

மீண்டும், அவசரப்பட வேண்டாம்! x ஸ்கொயர்க்கு முன் உள்ள மைனஸ் உங்களை மிகவும் வருத்தப்படுத்தலாம். அதை மறப்பது சுலபம்... மைனஸிலிருந்து விடுபடுங்கள். எப்படி? ஆம், முந்தைய தலைப்பில் கற்பித்தபடி! முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்க வேண்டும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை பாதுகாப்பாக எழுதலாம், பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு உதாரணத்தை முடிக்கலாம். நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள். நீங்கள் வேர்கள் 2 மற்றும் -1 உடன் முடிக்க வேண்டும்.

இரண்டாவது வரவேற்பு. உங்கள் வேர்களை சரிபார்க்கவும்! வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி. கவலைப்படாதே, நான் எல்லாவற்றையும் விளக்குகிறேன்! சரிபார்க்கிறது கடைசி விஷயம்சமன்பாடு. அந்த. இதன் மூலம் வேர்களின் சூத்திரத்தை எழுதினோம். (இந்த எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல) குணகம் என்றால் a = 1, வேர்களை எளிதாக சரிபார்க்கவும். அவற்றைப் பெருக்கினாலே போதும். நீங்கள் ஒரு இலவச காலத்தைப் பெற வேண்டும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் -2. கவனம் செலுத்துங்கள், 2 அல்ல, ஆனால் -2! இலவச உறுப்பினர் உங்கள் அடையாளத்துடன் . அது வேலை செய்யவில்லை என்றால், அவர்கள் ஏற்கனவே எங்காவது குழப்பமடைந்துள்ளனர் என்று அர்த்தம். பிழையைத் தேடுங்கள்.

அது வேலை செய்தால், நீங்கள் வேர்களை மடிக்க வேண்டும். கடைசி மற்றும் இறுதி சோதனை. விகிதமாக இருக்க வேண்டும் பிஉடன் எதிர் அடையாளம். எங்கள் விஷயத்தில் -1+2 = +1. ஒரு குணகம் பி x க்கு முன் இருக்கும் -1க்கு சமம். எனவே, எல்லாம் சரியானது!
x ஸ்கொயர் தூய்மையான, குணகத்துடன் இருக்கும் உதாரணங்களுக்கு மட்டுமே இது மிகவும் எளிமையானது என்பது பரிதாபம் a = 1.ஆனால் குறைந்தபட்சம் அத்தகைய சமன்பாடுகளை சரிபார்க்கவும்! குறைவான தவறுகள் இருக்கும்.

மூன்றாவது வரவேற்பு . உங்கள் சமன்பாட்டில் பின்ன குணகங்கள் இருந்தால், பின்னங்களை அகற்றவும்! "சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது? அடையாள உருமாற்றங்கள்" பாடத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி சமன்பாட்டை பொதுவான வகுப்பினால் பெருக்கவும். பின்னங்கள், பிழைகள், சில காரணங்களால், ஏறும் போது பணிபுரியும் போது ...

மூலம், நான் எளிமைப்படுத்த minuses ஒரு கொத்து ஒரு தீய உதாரணம் உறுதியளித்தார். தயவு செய்து! இதோ அவன்.

மைனஸ்களில் குழப்பமடையாமல் இருக்க, சமன்பாட்டை -1 ஆல் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான்! முடிவெடுப்பது வேடிக்கையானது!

எனவே தலைப்பை மீண்டும் பார்ப்போம்.

நடைமுறை குறிப்புகள்:

1. தீர்க்கும் முன், இருபடி சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம், அதை உருவாக்குகிறோம் சரி.

2. சதுரத்தில் x க்கு முன்னால் எதிர்மறை குணகம் இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் -1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

3. குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், முழு சமன்பாட்டையும் தொடர்புடைய காரணியால் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்.

4. x ஸ்கொயர் தூயதாக இருந்தால், அதற்கான குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வை எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம். செய்!

இப்போது நீங்கள் முடிவு செய்யலாம்.)

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

பதில்கள் (குழப்பத்தில்):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - எந்த எண்

x 1 = -3
x 2 = 3

தீர்வுகள் இல்லை

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

எல்லாம் பொருந்துமா? நன்று! இருபடி சமன்பாடுகள் உங்கள் தலைவலி அல்ல. முதல் மூன்று மாறியது, ஆனால் மீதமுள்ளவை இல்லை? அப்போது பிரச்சனை இருபடி சமன்பாடுகளில் இல்லை. சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களில் சிக்கல் உள்ளது. இணைப்பைப் பாருங்கள், பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

சரியாக வேலை செய்யவில்லையா? அல்லது அது வேலை செய்யவில்லையா? பின்னர் பிரிவு 555 உங்களுக்கு உதவும்.அங்கு, இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் அனைத்தும் எலும்புகளால் வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன. காட்டும் முக்கியதீர்வு பிழைகள். நிச்சயமாக, பல்வேறு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்களின் பயன்பாடும் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. நிறைய உதவுகிறது!

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றல் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

Kopyevskaya கிராமப்புற மேல்நிலைப் பள்ளி

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான 10 வழிகள்

தலைவர்: பாட்ரிகீவா கலினா அனடோலியேவ்னா,

கணித ஆசிரியர்

s.Kopyevo, 2007

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எவ்வாறு தொகுத்து தீர்த்தார்

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.4 அல்-குவாரிஸ்மியில் இருபடி சமன்பாடுகள்

1.5 ஐரோப்பா XIII - XVII நூற்றாண்டுகளில் இருபடிச் சமன்பாடுகள்

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

முடிவுரை

இலக்கியம்

1. இருபடி சமன்பாடுகளின் வளர்ச்சியின் வரலாறு

1.1 பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகள்

பண்டைய காலங்களில் முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாம் நிலை சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், இராணுவ இயல்புடைய நிலம் மற்றும் பூமியின் பகுதிகளைக் கண்டறிதல் மற்றும் வானியல் மற்றும் வளர்ச்சி தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. கணிதம் தானே. இருபடி சமன்பாடுகள் கிமு 2000 ஐ தீர்க்க முடிந்தது. இ. பாபிலோனியர்கள்.

நவீன இயற்கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அவற்றின் கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் முழுமையற்றவற்றைத் தவிர, எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம்:

எக்ஸ் 2 + எக்ஸ் = ¾; எக்ஸ் 2 - எக்ஸ் = 14,5

இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் கூறப்பட்டுள்ளது, முக்கியமாக நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தனர் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் கூறப்பட்ட தீர்வுகளில் சிக்கல்களை மட்டுமே தருகின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை.

பாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் உயர் மட்ட வளர்ச்சி இருந்தபோதிலும், கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் இல்லை.

1.2 இருபடி சமன்பாடுகளை டையோபாண்டஸ் எவ்வாறு தொகுத்து தீர்த்தார்.

Diophantus இன் எண்கணிதமானது இயற்கணிதத்தின் முறையான வெளிப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் இது ஒரு முறையான தொடர் சிக்கல்களைக் கொண்டுள்ளது, விளக்கங்களுடன் மற்றும் பல்வேறு அளவுகளின் சமன்பாடுகளை வரைவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாடுகளை தொகுக்கும்போது, ​​தீர்வை எளிமையாக்க, தெரியாதவர்களைத் திறமையாக டியோபாண்டஸ் தேர்ந்தெடுக்கிறார்.

இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, அவரது பணிகளில் ஒன்றாகும்.

பணி 11."இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடி, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 20 மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்பு 96"

Diophantus பின்வருமாறு வாதிடுகிறார்: பிரச்சனையின் நிபந்தனையிலிருந்து, விரும்பிய எண்கள் சமமாக இல்லை, ஏனெனில் அவை சமமாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு 96 ஆக இருக்காது, ஆனால் 100 ஆக இருக்கும். எனவே, அவற்றில் ஒன்று அவற்றின் பாதிக்கு மேல் இருக்கும். தொகை, அதாவது. 10+x, மற்றொன்று சிறியது, அதாவது. 10கள். அவர்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு 2x.

எனவே சமன்பாடு:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

இங்கிருந்து x = 2. விரும்பிய எண்களில் ஒன்று 12 , மற்றவை 8 . தீர்வு x = -2கிரேக்க கணிதம் நேர்மறை எண்களை மட்டுமே அறிந்திருந்ததால், டையோபாண்டஸ் இல்லை.

தெரியாத எண்களில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுத்து இந்த சிக்கலைத் தீர்த்தால், சமன்பாட்டின் தீர்வுக்கு வருவோம்.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

விரும்பிய எண்களின் அரை-வேறுபாட்டை அறியாததாகத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் டியோபாண்டஸ் தீர்வை எளிதாக்குகிறார் என்பது தெளிவாகிறது; முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை (1) தீர்க்கும் சிக்கலைக் குறைக்க அவர் நிர்வகிக்கிறார்.

1.3 இந்தியாவில் இருபடி சமன்பாடுகள்

இந்திய கணிதவியலாளரும் வானவியலாளருமான ஆர்யபட்டாவால் 499 இல் தொகுக்கப்பட்ட "ஆர்யப்பட்டம்" என்ற வானியல் பாதையில் இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான சிக்கல்கள் ஏற்கனவே காணப்படுகின்றன. மற்றொரு இந்திய விஞ்ஞானியான பிரம்மகுப்தா (7 ஆம் நூற்றாண்டு), ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொது விதியை கோடிட்டுக் காட்டினார்:

ஆ 2+பிx = c, a > 0. (1)

சமன்பாட்டில் (1), குணகங்கள், தவிர ஏ, எதிர்மறையாகவும் இருக்கலாம். பிரம்மகுப்தரின் ஆட்சி அடிப்படையில் நம்முடைய ஆட்சியுடன் ஒத்துப்போகிறது.

பண்டைய இந்தியாவில், கடினமான பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் பொதுப் போட்டிகள் பொதுவாக இருந்தன. பழைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்றில், இதுபோன்ற போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறப்பட்டுள்ளது: "சூரியன் தனது பிரகாசத்தால் நட்சத்திரங்களை மிஞ்சுவது போல, ஒரு கற்றறிந்த நபர் பொதுக் கூட்டங்களில் மற்றொருவரின் மகிமையை மிஞ்சுவார், இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிந்து தீர்க்கிறார்." பணிகள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவில் அணிந்திருந்தன.

XII நூற்றாண்டின் புகழ்பெற்ற இந்திய கணிதவியலாளரின் பிரச்சனைகளில் ஒன்று இங்கே. பாஸ்கரா.

பணி 13.

"ஒரு வேகமான குரங்குகள் மற்றும் கொடிகளில் பன்னிரண்டு ...

சக்தி சாப்பிட்டு, வேடிக்கை பார்த்தேன். அவர்கள் குதிக்க ஆரம்பித்தார்கள், தொங்கினார்கள் ...

அவற்றில் எட்டு பகுதி ஒரு சதுரத்தில் எத்தனை குரங்குகள் இருந்தன,

புல்வெளியில் வேடிக்கை. நீங்கள் சொல்லுங்கள், இந்த மந்தையில்?

பாஸ்கராவின் தீர்வு, இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வேர்களின் இரு மதிப்பைப் பற்றி அவர் அறிந்திருப்பதைக் குறிக்கிறது (படம் 3).

சிக்கல் 13 உடன் தொடர்புடைய சமன்பாடு:

(எக்ஸ்/8) 2 + 12 = எக்ஸ்

பாஸ்கரா என்ற போர்வையில் எழுதுகிறார்:

x 2 - 64x = -768

மேலும், இந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை ஒரு சதுரமாக முடிக்க, அவர் இரு பக்கங்களிலும் சேர்க்கிறார் 32 2 , பெறுவது:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 அல்-கோரெஸ்மியில் இருபடி சமன்பாடுகள்

அல்-கோரெஸ்மியின் இயற்கணிதக் கட்டுரை நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாட்டைக் கொடுக்கிறது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்:

1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 + c =பிஎக்ஸ்.

2) "சதுரங்கள் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 = s.

3) "வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. ஆ = கள்.

4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்கு சமம்", அதாவது. கோடாரி 2 + c =பிஎக்ஸ்.

5) "சதுரங்களும் வேர்களும் எண்ணுக்கு சமம்", அதாவது. ஆ 2+bx= எஸ்.

6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்", அதாவது.bx+ c \u003d கோடாரி 2.

எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-க்வாரிஸ்மிக்கு, இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் விதிமுறைகளும் கூட்டல்களாகும், கழித்தல் அல்ல. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகபாலா முறைகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை ஆசிரியர் கோடிட்டுக் காட்டுகிறார். அவருடைய முடிவுகள், நிச்சயமாக, நம்முடைய முடிவுகளுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சி என்ற உண்மையை குறிப்பிட தேவையில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது கவனிக்க வேண்டும்.

அல்-கோரெஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டுக்கு முந்தைய அனைத்து கணிதவியலாளர்களைப் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஏனெனில் இது குறிப்பிட்ட நடைமுறை சிக்கல்களில் முக்கியமில்லை. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, ​​அல்-கோரெஸ்மி தீர்க்கும் விதிகளை அமைக்கிறார், பின்னர் குறிப்பிட்ட எண் உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி வடிவியல் சான்றுகள்.

பணி 14."சதுரம் மற்றும் எண் 21 ஆகியவை 10 வேர்களுக்கு சமம். மூலத்தைக் கண்டுபிடி" (x 2 + 21 = 10x சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கருதி).

ஆசிரியரின் தீர்வு இது போன்றது: வேர்களின் எண்ணிக்கையை பாதியாகப் பிரித்து, 5 ஐப் பெருக்கி, 5 ஐப் பெருக்கி, தயாரிப்பிலிருந்து 21 ஐக் கழித்து, 4 மீதமுள்ளது. 4 இன் மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், உங்களுக்கு 2 கிடைக்கும். 5 இலிருந்து 2 ஐக் கழிக்கவும், நீங்கள் 3 ஐப் பெறுங்கள், இது விரும்பிய ரூட்டாக இருக்கும். அல்லது 2ல் இருந்து 5ஐ கூட்டினால் 7 கிடைக்கும், இதுவும் ஒரு ரூட் தான்.

Treatise al - Khorezmi என்பது நமக்கு வந்த முதல் புத்தகம், இதில் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு முறையாகக் கூறப்பட்டு அவற்றின் தீர்வுக்கான சூத்திரங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

ஐரோப்பாவில் 1.5 இருபடி சமன்பாடுகள்XIII - XVIIநூற்றாண்டுகள்

ஐரோப்பாவில் அல்-கோரெஸ்மியின் மாதிரியில் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள் முதன்முதலில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்டோ ஃபிபோனச்சியால் 1202 இல் எழுதப்பட்ட "புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" இல் அமைக்கப்பட்டன. இஸ்லாம் மற்றும் பண்டைய கிரீஸ் ஆகிய இரு நாடுகளான கணிதத்தின் செல்வாக்கை பிரதிபலிக்கும் இந்த மிகப்பெரிய வேலை, முழுமை மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் தெளிவு ஆகியவற்றால் வேறுபடுகிறது. ஆசிரியர் சுயாதீனமாக சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான சில புதிய இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்கினார் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் அறிமுகத்தை அணுகிய ஐரோப்பாவில் முதன்மையானவர். அவரது புத்தகம் இத்தாலியில் மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவைப் பரப்புவதற்கு பங்களித்தது. "புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" இலிருந்து பல பணிகள் 16 - 17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களிலும் சென்றன. மற்றும் பகுதி XVIII.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி ஒற்றை நியமன வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டது:

x 2+bx= உடன்,

குணகங்களின் அறிகுறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து சேர்க்கைகளுக்கும் பி, உடன்ஐரோப்பாவில் 1544 இல் M. ஸ்டீஃபல் மட்டுமே உருவாக்கினார்.

வியட்டா ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் பொதுவான வழித்தோன்றலைக் கொண்டுள்ளது, ஆனால் வியட்டா நேர்மறை வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி ஆகியோர் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானவர்கள். நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை வேர்களைத் தவிர, கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். XVII நூற்றாண்டில் மட்டுமே. ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன் மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகளின் பணிக்கு நன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழி நவீன தோற்றத்தைப் பெறுகிறது.

1.6 வியட்டா தேற்றம் பற்றி

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கும் அதன் வேர்களுக்கும் இடையிலான உறவை வெளிப்படுத்தும் தேற்றம், வியட்டா என்ற பெயரைத் தாங்கி, 1591 ஆம் ஆண்டில் முதன்முறையாக அவரால் பின்வருமாறு உருவாக்கப்பட்டது: “என்றால் பி + டிமூலம் பெருக்கப்படுகிறது ஏ - ஏ 2 , சமம் BD, அந்த ஏசமம் INமற்றும் சமமானது டி».

வியட்டாவைப் புரிந்து கொள்ள, ஒருவர் அதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும் ஏ, எந்த உயிரெழுத்தையும் போலவே, அவருக்குத் தெரியாத (எங்கள் எக்ஸ்), உயிரெழுத்துக்கள் IN,டி- தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்கள். நவீன இயற்கணிதத்தின் மொழியில், மேலே உள்ள வியட்டாவின் உருவாக்கம்: என்றால்

(a +பி)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +பி)x + aபி = 0,

x 1 = a, x 2 =பி.

குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட பொதுவான சூத்திரங்கள் மூலம் சமன்பாடுகளின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையிலான உறவை வெளிப்படுத்தி, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறைகளில் வியட் சீரான தன்மையை நிறுவினார். இருப்பினும், வியட்டாவின் குறியீடு அதன் நவீன வடிவத்திலிருந்து இன்னும் வெகு தொலைவில் உள்ளது. அவர் எதிர்மறை எண்களை அடையாளம் காணவில்லை, எனவே, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அனைத்து வேர்களும் நேர்மறையாக இருக்கும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே அவர் கருதினார்.

2. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

இருபடிச் சமன்பாடுகள் இயற்கணிதத்தின் கம்பீரமான கட்டிடம் தங்கியிருக்கும் அடித்தளமாகும். முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் இருபடிச் சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பள்ளி (8 ஆம் வகுப்பு) முதல் பட்டப்படிப்பு வரை இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாம் அனைவரும் அறிவோம்.

கணிதத்தில் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஒரு சிறப்பு இடத்தைப் பெறுகிறது. இந்த செயல்முறையானது கோட்பாட்டைப் படிக்கும் பல மணிநேரங்களுக்கு முன்னதாகவே உள்ளது, இதன் போது மாணவர் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, அவற்றின் வடிவத்தை தீர்மானிப்பது மற்றும் திறனை முழு தன்னியக்கத்திற்கு கொண்டு வருவது எப்படி என்பதை கற்றுக்கொள்கிறார். இருப்பினும், வேர்களைத் தேடுவது எப்போதும் அர்த்தமல்ல, ஏனெனில் அவை வெறுமனே இல்லாமல் இருக்கலாம். வேர்களைக் கண்டறிய சிறப்பு முறைகள் உள்ளன. இந்த கட்டுரையில், முக்கிய செயல்பாடுகள், அவற்றின் வரையறையின் களங்கள் மற்றும் அவற்றின் வேர்கள் இல்லாத நிகழ்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

எந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை?

சமன்பாடு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் உண்மையான வாதங்கள் x இல்லாவிட்டால் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. நிபுணத்துவம் இல்லாதவர்களுக்கு, பெரும்பாலான கணிதக் கோட்பாடுகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் போலவே இந்த சூத்திரமும் மிகவும் தெளிவற்றதாகவும் சுருக்கமாகவும் தெரிகிறது, ஆனால் இது கோட்பாட்டில் உள்ளது. நடைமுறையில், எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. எடுத்துக்காட்டாக: சமன்பாடு 0 * x = -53 க்கு தீர்வு இல்லை, ஏனெனில் அத்தகைய எண் x இல்லை, பூஜ்ஜியத்துடன் கூடிய பலன் பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர வேறு ஒன்றைக் கொடுக்கும்.

இப்போது நாம் மிகவும் அடிப்படை வகை சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்.

1. நேரியல் சமன்பாடு

சமன்பாடு அதன் வலது மற்றும் இடது பகுதிகள் நேரியல் சார்புகளாக வழங்கப்பட்டால் நேரியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது: ax + b = cx + d அல்லது பொதுவான வடிவத்தில் kx + b = 0. இதில் a, b, c, d ஆகியவை அறியப்பட்ட எண்கள் மற்றும் x என்பது ஒரு அறியப்படாத மதிப்பு. எந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை? நேரியல் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

அடிப்படையில், நேரியல் சமன்பாடுகள் எண்ணியல் பகுதியை ஒரு பகுதிக்கும், x இன் உள்ளடக்கங்களை மற்றொரு பகுதிக்கும் மாற்றுவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன. இது mx \u003d n வடிவத்தின் சமன்பாட்டை மாற்றுகிறது, இங்கு m மற்றும் n எண்கள், மற்றும் x என்பது தெரியாதது. x ஐ கண்டுபிடிக்க, இரண்டு பகுதிகளையும் m ஆல் வகுத்தால் போதும். பிறகு x = n/m. அடிப்படையில், நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது, ஆனால் எண்ணற்ற பல வேர்கள் அல்லது எதுவும் இல்லாத சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. m = 0 மற்றும் n = 0 போது, ​​சமன்பாடு 0 * x = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். முற்றிலும் எந்த எண்ணும் அத்தகைய சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக இருக்கும்.

ஆனால் எந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை?

m = 0 மற்றும் n = 0 க்கு, சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து வேர்கள் இல்லை. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - இந்த சமன்பாடுகளுக்கு வேர்கள் இல்லை.

2. இருபடிச் சமன்பாடு

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ஒரு \u003d 0 க்கு கோடாரி 2 + bx + c \u003d 0 வடிவத்தின் சமன்பாடாகும். மிகவும் பொதுவானது பாரபட்சம் மூலம் தீர்வு. இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்: D \u003d b 2 - 4 * a * c. அடுத்து, இரண்டு வேர்கள் உள்ளன x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 க்கு, சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, D = 0 க்கு, அது ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் எந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை? ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் கவனிப்பதற்கான எளிதான வழி ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் உள்ளது, இது ஒரு பரவளையமாகும். a > 0 க்கு, கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன, a க்கு< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

பாகுபாட்டைக் கணக்கிடாமல் வேர்களின் எண்ணிக்கையையும் நீங்கள் பார்வைக்குத் தீர்மானிக்கலாம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் பரவளையத்தின் மேற்புறத்தைக் கண்டுபிடித்து கிளைகள் எந்த திசையில் இயக்கப்படுகின்றன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டும். x 0 \u003d -b / 2a என்ற சூத்திரத்தின் மூலம் உச்சியின் x-ஒருங்கிணைப்பை நீங்கள் தீர்மானிக்கலாம். இந்த வழக்கில், x0 மதிப்பை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் உச்சியின் y-ஒருங்கிணைப்பு கண்டறியப்படுகிறது.

இருபடிச் சமன்பாடு x 2 - 8x + 72 = 0 க்கு வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் இது எதிர்மறையான பாகுபாடு D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. இதன் பொருள், பரவளையமானது x- அச்சைத் தொடாது மற்றும் செயல்பாடு ஒருபோதும் மதிப்பை 0 எடுக்காது, எனவே சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

3. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் முக்கோணவியல் வட்டத்தில் கருதப்படுகின்றன, ஆனால் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலும் குறிப்பிடப்படலாம். இந்தக் கட்டுரையில், நாம் இரண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளையும் அவற்றின் சமன்பாடுகளையும் பார்ப்போம்: sinx மற்றும் cosx. இந்தச் சார்புகள் 1 ஆரம் கொண்ட முக்கோணவியல் வட்டத்தை உருவாக்குவதால், |sinx| மற்றும் |cosx| 1 ஐ விட அதிகமாக இருக்க முடியாது. எனவே எந்த sinx சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை? கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள sinx செயல்பாட்டு வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள்.

செயல்பாடு சமச்சீராக இருப்பதையும், 2pi மீண்டும் நிகழும் காலத்தைக் கொண்டிருப்பதையும் காண்கிறோம். இதன் அடிப்படையில், இந்த செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பு 1 ஆகவும், குறைந்தபட்சம் -1 ஆகவும் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, cosx = 5 என்ற வெளிப்பாடுக்கு வேர்கள் இருக்காது, ஏனெனில் இது முழுமையான மதிப்பில் ஒன்றை விட அதிகமாக உள்ளது.

இது முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் எளிய உதாரணம். உண்மையில், அவர்களின் தீர்வு பல பக்கங்களை எடுக்கலாம், அதன் முடிவில் நீங்கள் தவறான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளீர்கள் என்பதை உணர்ந்து, மீண்டும் தொடங்க வேண்டும். சில நேரங்களில், வேர்களின் சரியான கண்டுபிடிப்புடன் கூட, ODZ இல் உள்ள கட்டுப்பாடுகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள நீங்கள் மறந்துவிடலாம், இதன் காரணமாக பதிலில் கூடுதல் ரூட் அல்லது இடைவெளி தோன்றும், மேலும் முழு பதிலும் தவறான ஒன்றாக மாறும். எனவே, அனைத்து கட்டுப்பாடுகளையும் கண்டிப்பாக பின்பற்றவும், ஏனென்றால் எல்லா வேர்களும் பணியின் நோக்கத்தில் பொருந்தாது.

4. சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பது சுருள் அல்லது சதுர அடைப்புக்குறிகளுடன் இணைந்த சமன்பாடுகளின் தொகுப்பாகும். சுருள் பிரேஸ்கள் அனைத்து சமன்பாடுகளின் கூட்டு செயல்பாட்டைக் குறிக்கின்றன. அதாவது, குறைந்தபட்சம் சமன்பாடுகளில் ஒன்றுக்கு வேர்கள் இல்லை அல்லது மற்றொன்று முரண்பட்டால், முழு அமைப்புக்கும் தீர்வு இல்லை. சதுர அடைப்புக்குறிகள் "அல்லது" என்ற வார்த்தையைக் குறிக்கின்றன. இதன் பொருள் அமைப்பின் சமன்பாடுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருந்தால், முழு அமைப்புக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது.

கணினி c இன் பதில் தனிப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அனைத்து வேர்களின் மொத்தமாகும். மற்றும் சுருள் பிரேஸ்கள் கொண்ட அமைப்புகள் பொதுவான வேர்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளன. சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் முற்றிலும் மாறுபட்ட செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியிருக்கும், எனவே இந்த சிக்கலானது எந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை உடனடியாகச் சொல்ல அனுமதிக்காது.

சிக்கல் புத்தகங்கள் மற்றும் பாடப்புத்தகங்களில், பல்வேறு வகையான சமன்பாடுகள் உள்ளன: வேர்களைக் கொண்டவை மற்றும் அவை இல்லாதவை. முதலில், நீங்கள் வேர்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியாவிட்டால், அவை இல்லை என்று நினைக்க வேண்டாம். ஒருவேளை நீங்கள் எங்காவது தவறு செய்திருக்கலாம், உங்கள் முடிவை கவனமாக இருமுறை சரிபார்த்தால் போதும்.

மிக அடிப்படையான சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வகைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம். எந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்பதை இப்போது நீங்கள் சொல்லலாம். பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இதைச் செய்வது கடினம் அல்ல. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வெற்றியை அடைய, கவனமும் செறிவும் மட்டுமே தேவை. மேலும் பயிற்சி செய்யுங்கள், இது பொருளை மிகவும் சிறப்பாகவும் வேகமாகவும் செல்ல உதவும்.

எனவே, சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்றால்:

• நேரியல் சமன்பாட்டில் mx = n, மதிப்பு m = 0 மற்றும் n = 0;
• இருபடிச் சமன்பாட்டில் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விடக் குறைவாக இருந்தால்;
• வடிவத்தின் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டில் cosx = m / sinx = n, என்றால் |m| > 0, |n| > 0;
• சுருள் அடைப்புக்குறிகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகளின் அமைப்பில், குறைந்தபட்சம் ஒரு சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை என்றால், மற்றும் சதுர அடைப்புக்குறிகளுடன், அனைத்து சமன்பாடுகளுக்கும் வேர்கள் இல்லை என்றால்.

நாங்கள் தலைப்பை தொடர்ந்து படிக்கிறோம் சமன்பாடுகளின் தீர்வு". நாம் ஏற்கனவே நேரியல் சமன்பாடுகளுடன் பழகியுள்ளோம், இப்போது நாம் தெரிந்துகொள்ளப் போகிறோம் இருபடி சமன்பாடுகள்.

முதலில், இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன, அது எவ்வாறு பொதுவான வடிவத்தில் எழுதப்படுகிறது என்பதைப் பற்றி விவாதிப்போம் மற்றும் தொடர்புடைய வரையறைகளை வழங்குவோம். அதன் பிறகு, எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை விரிவாக ஆராய்வோம். அடுத்து, முழுமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குச் செல்வோம், வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுங்கள், மேலும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இறுதியாக, வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கிடையேயான இணைப்புகளை நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

இருபடிச் சமன்பாடு என்றால் என்ன? அவற்றின் வகைகள்

முதலில் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன என்பதை தெளிவாக புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறை மற்றும் அது தொடர்பான வரையறைகளுடன் இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றி பேசத் தொடங்குவது தர்க்கரீதியானது. அதன் பிறகு, இருபடி சமன்பாடுகளின் முக்கிய வகைகளை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ளலாம்: குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத, அத்துடன் முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள்

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும் a x 2 +b x+c=0, x என்பது ஒரு மாறி, a , b மற்றும் c ஆகியவை சில எண்கள் மற்றும் a பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது.

இருபடி சமன்பாடுகள் பெரும்பாலும் இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன என்று இப்போதே சொல்லலாம். இருபடி சமன்பாடு என்பது இதற்குக் காரணம் இயற்கணித சமன்பாடுஇரண்டாம் பட்டம்.

ஒலித்த வரையறை இருபடி சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை கொடுக்க அனுமதிக்கிறது. எனவே 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, முதலியன. இருபடி சமன்பாடுகளாகும்.

வரையறை.

எண்கள் a, b மற்றும் c என்று அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் a x 2 +b x + c=0, மற்றும் a குணகம் முதல், அல்லது மூத்த, அல்லது x 2 இல் குணகம் என அழைக்கப்படுகிறது, b என்பது இரண்டாவது குணகம் அல்லது x இல் குணகம், மற்றும் c ஒரு இலவச உறுப்பினர்.

எடுத்துக்காட்டாக, 5 x 2 -2 x−3=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம், இங்கு முன்னணி குணகம் 5, இரண்டாவது குணகம் −2, மற்றும் இலவச சொல் −3. இப்போது கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில், குணகங்கள் b மற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையாக இருக்கும்போது, ​​5 x 2 -2 x−3=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் குறுகிய வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, 5 x 2 +(− அல்ல. 2 )x+(−3)=0 .

குணகங்கள் a மற்றும் / அல்லது b 1 அல்லது −1 க்கு சமமாக இருக்கும்போது, ​​​​அவை பொதுவாக இருபடி சமன்பாட்டின் குறிப்பில் வெளிப்படையாக இருக்காது, இது போன்ற குறியீட்டின் தனித்தன்மையின் காரணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டில் y 2 -y+3=0, முன்னணி குணகம் ஒன்று, மற்றும் y இல் உள்ள குணகம் −1 ஆகும்.

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முன்னணி குணகத்தின் மதிப்பைப் பொறுத்து, குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள் வேறுபடுகின்றன. அதற்கான வரையறைகளை வழங்குவோம்.

வரையறை.

முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு. இல்லையெனில், இருபடி சமன்பாடு ஆகும் குறைக்கப்படாத.

இந்த வரையறையின்படி, இருபடிச் சமன்பாடுகள் x 2 -3 x+1=0 , x 2 -x−2/3=0, முதலியன. - குறைக்கப்பட்டது, அவை ஒவ்வொன்றிலும் முதல் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். மற்றும் 5 x 2 -x−1=0 , போன்றவை. - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள், அவற்றின் முன்னணி குணகங்கள் 1 இலிருந்து வேறுபட்டவை.

குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து, அதன் இரு பகுதிகளையும் முன்னணி குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம், நீங்கள் குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செல்லலாம். இந்த செயல் ஒரு சமமான மாற்றமாகும், அதாவது, இந்த வழியில் பெறப்பட்ட குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு அசல் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, அல்லது அதைப் போலவே, வேர்கள் இல்லை.

குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு மாறுவது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

3 x 2 +12 x−7=0 சமன்பாட்டிலிருந்து, தொடர்புடைய குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லவும்.

தீர்வு.

அசல் சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் முன்னணி குணகம் 3 ஆல் பிரித்தால் போதும், அது பூஜ்ஜியமற்றது, எனவே இந்த செயலை செய்யலாம். எங்களிடம் உள்ளது (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , இது (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , மற்றும் பல (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , எங்கிருந்து . எனவே நாம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெற்றோம், இது அசல் ஒன்றிற்கு சமமானதாகும்.

பதில்:

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறையில் a≠0 என்ற நிபந்தனை உள்ளது. a x 2 +b x+c=0 சமன்பாடு சரியாக சதுரமாக இருக்க இந்த நிபந்தனை அவசியம், ஏனெனில் a=0 உடன் அது உண்மையில் b x+c=0 வடிவத்தின் நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்.

பி மற்றும் சி குணகங்களைப் பொறுத்தவரை, அவை தனித்தனியாகவும் ஒன்றாகவும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x+c=0 அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்றது, b , c குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.

அதன் திருப்பத்தில்

வரையறை.

முழு இருபடி சமன்பாடுஅனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

இந்த பெயர்கள் தற்செயலாக வழங்கப்படவில்லை. இது பின்வரும் விவாதத்தில் இருந்து தெளிவாகும்.

குணகம் b பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +0 x+c=0 வடிவத்தை எடுக்கும், மேலும் அது a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமம். c=0 , அதாவது, இருபடிச் சமன்பாடு x 2 +b x+0=0 வடிவத்தைக் கொண்டிருந்தால், அதை x 2 +b x=0 என மீண்டும் எழுதலாம். மேலும் b=0 மற்றும் c=0 உடன் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 =0 கிடைக்கும். இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகள் முழு இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறியுடன் ஒரு சொல், அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. எனவே அவற்றின் பெயர் - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +x+1=0 மற்றும் −2 x 2 -5 x+0,2=0 ஆகியவை முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள், மேலும் x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 -5 x=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

உள்ளது என்று முந்தைய பத்தியின் தகவலிலிருந்து இது பின்வருமாறு மூன்று வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்:

• a x 2 =0 , குணகங்கள் b=0 மற்றும் c=0 அதை ஒத்திருக்கும்;
• a x 2 +c=0 போது b=0 ;
• மற்றும் a x 2 +b x=0 போது c=0 .

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை வரிசையாக பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

ஒரு x 2 \u003d 0

குணகங்கள் b மற்றும் c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம், அதாவது a x 2 =0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளுடன். சமன்பாடு a·x 2 =0 என்பது x 2 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது மூலத்திலிருந்து அதன் இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுத்தால் பெறப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, x 2 \u003d 0 சமன்பாட்டின் ரூட் பூஜ்ஜியம், 0 2 \u003d 0. இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேர்கள் இல்லை, இது விளக்கப்பட்டது, உண்மையில், பூஜ்ஜியமற்ற எண் p க்கு, சமத்துவமின்மை p 2 >0 நடைபெறுகிறது, இது p≠0 க்கு, சமத்துவம் p 2 =0 அடையப்படாது என்பதைக் குறிக்கிறது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு a x 2 \u003d 0 ஒற்றை ரூட் x \u003d 0 உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வை −4·x 2 =0 தருகிறோம். இது சமன்பாட்டிற்கு சமம் x 2 \u003d 0, அதன் ஒரே ரூட் x \u003d 0, எனவே, அசல் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட் பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த வழக்கில் ஒரு குறுகிய தீர்வு பின்வருமாறு வழங்கப்படலாம்:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0

a x 2 +c=0

இப்போது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைக் கவனியுங்கள், இதில் குணகம் b பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் c≠0, அதாவது, a x 2 +c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகள். சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு எதிர் குறியுடன் ஒரு சொல்லை மாற்றுவதும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் வகுப்பதும் சமமான சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம். எனவே, ஒரு x 2 +c=0 முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் சமமான மாற்றங்களை மேற்கொள்ளலாம்:

• c ஐ வலது பக்கம் நகர்த்தவும், இது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 =-c,
• மற்றும் அதன் இரு பகுதிகளையும் a ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அதன் வேர்களைப் பற்றிய முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது. a மற்றும் c இன் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம் (உதாரணமாக, a=1 மற்றும் c=2 என்றால் ) அல்லது நேர்மறை, (உதாரணமாக, a=−2 மற்றும் c=6 எனில் , பின்னர் ), இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, ஏனெனில் நிபந்தனையின்படி c≠0 . நாங்கள் தனித்தனியாக வழக்குகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம் மற்றும் .

என்றால், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மில்லாத எண் என்பதிலிருந்து இந்த அறிக்கை பின்பற்றப்படுகிறது. இதிலிருந்து எப்பொழுது , பிறகு எந்த எண்ணுக்கும் p சமத்துவம் உண்மையாக இருக்க முடியாது.

என்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் நிலைமை வேறுபட்டது. இந்த விஷயத்தில், நாம் நினைவு கூர்ந்தால், சமன்பாட்டின் வேர் உடனடியாகத் தெளிவாகிறது, அது எண், என்பதால். எண் சமன்பாட்டின் மூலமும் கூட என்று யூகிக்க எளிதானது , உண்மையில், . இந்த சமன்பாட்டில் வேறு எந்த வேர்களும் இல்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முரண்பாட்டால் காட்டப்படலாம். செய்வோம்.

சமன்பாட்டின் வெறும் குரல் மூலங்களை x 1 மற்றும் −x 1 எனக் குறிப்பிடுவோம். சமன்பாடு x 1 மற்றும் −x 1 ஆகியவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட மற்றொரு ரூட் x 2 ஐக் கொண்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். சமன்பாட்டின் x க்கு பதிலாக அதன் வேர்களை மாற்றுவது சமன்பாட்டை உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. x 1 மற்றும் −x 1 க்கு நம்மிடம் உள்ளது, x 2 க்கு நம்மிடம் உள்ளது. எண் சமத்துவங்களின் பண்புகள் சரியான எண் சமத்துவங்களின் கால-படி-கால கழிப்பிடத்தை செய்ய அனுமதிக்கின்றன, எனவே சமத்துவங்களின் தொடர்புடைய பகுதிகளின் கழித்தல் x 1 2 - x 2 2 =0 ஐ அளிக்கிறது. எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் பண்புகள், விளைவான சமத்துவத்தை (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 என மீண்டும் எழுத அனுமதிக்கிறது. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் என்பதை நாம் அறிவோம், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. எனவே, x 1 -x 2 =0 மற்றும்/அல்லது x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 மற்றும்/அல்லது x 2 = −x 1 என்று பெறப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பின்பற்றுகிறது. x 2 சமன்பாட்டின் வேர் x 1 மற்றும் −x 1 இலிருந்து வேறுபட்டது என்று ஆரம்பத்தில் சொன்னதால், நாம் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம். சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை இது நிரூபிக்கிறது.

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவலை சுருக்கமாகக் கூறுவோம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு a x 2 +c=0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானது, இது

• வேர்கள் இல்லை என்றால்,
• இரண்டு வேர்கள் மற்றும் என்றால் .

a·x 2 +c=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 உடன் ஆரம்பிக்கலாம். சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை மாற்றிய பின், அது 9·x 2 =−7 வடிவத்தை எடுக்கும். விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 9 ஆல் வகுத்தால், நாம் வருகிறோம். எதிர்மறை எண் வலது பக்கத்தில் பெறப்பட்டதால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை, எனவே, அசல் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 +7=0 க்கு வேர்கள் இல்லை.

இன்னும் ஒரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை −x 2 +9=0 தீர்ப்போம். ஒன்பதை வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுகிறோம்: -x 2 \u003d -9. இப்போது இரண்டு பகுதிகளையும் −1 ஆல் வகுத்தால், x 2 =9 கிடைக்கும். வலது பக்கத்தில் நேர்மறை எண் உள்ளது, அதில் இருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் அல்லது . நாம் இறுதிப் பதிலை எழுதிய பிறகு: முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு -x 2 +9=0 x=3 அல்லது x=−3 என்ற இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

a x 2 +b x=0

c=0 க்கான முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கடைசி வகையின் தீர்வைக் கையாள இது உள்ளது. a x 2 +b x=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள் உங்களைத் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது காரணியாக்கல் முறை. வெளிப்படையாக, நாம் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் அமைந்துள்ளது, இதற்கு அடைப்புக்குறிக்குள் x என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். இது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து x·(a·x+b)=0 வடிவத்தின் சமமான சமன்பாட்டிற்குச் செல்ல அனுமதிக்கிறது. மேலும் இந்த சமன்பாடு x=0 மற்றும் a x+b=0 ஆகிய இரண்டு சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குச் சமமானது, இதில் கடைசியானது நேரியல் மற்றும் x=-b/a வேர் கொண்டது.

எனவே, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு a x 2 +b x=0 x=0 மற்றும் x=−b/a ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தின் தீர்வை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

நாம் அடைப்புக்குறிக்குள் x ஐ எடுக்கிறோம், இது சமன்பாட்டை அளிக்கிறது. இது x=0 மற்றும் இரண்டு சமன்பாடுகளுக்குச் சமம். இதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்: , மற்றும் கலப்பு எண்ணை ஒரு சாதாரண பின்னத்தால் வகுத்த பிறகு, கண்டுபிடிப்போம். எனவே, அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x=0 மற்றும் .

தேவையான பயிற்சியைப் பெற்ற பிறகு, அத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை சுருக்கமாக எழுதலாம்:

பதில்:

x=0, .

பாகுபாடு, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது. எழுதுவோம் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரம்: , எங்கே D=b 2 −4 a c- என்று அழைக்கப்படும் இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு. குறியீடானது அடிப்படையில் அதைக் குறிக்கிறது.

மூல சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிவதில் அது எவ்வாறு பயன்படுத்தப்படுகிறது என்பதை அறிவது பயனுள்ளது. இதை சமாளிக்கலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

இருபடி சமன்பாட்டை a·x 2 +b·x+c=0 தீர்க்க வேண்டும். சில சமமான மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• இந்த சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுக்க முடியும், இதன் விளைவாக நாம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
• இப்போது முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்அதன் இடது பக்கத்தில்: . அதன் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்.
• இந்த கட்டத்தில், கடைசி இரண்டு சொற்களை எதிர் அடையாளத்துடன் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுவது சாத்தியமாகும், எங்களிடம் உள்ளது .
• மேலும் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: .

இதன் விளைவாக, நாம் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம், இது அசல் இருபடி சமன்பாடு a·x 2 +b·x+c=0 க்கு சமமானது.

நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யும் போது முந்தைய பத்திகளில் இதே போன்ற சமன்பாடுகளை ஏற்கனவே தீர்த்துள்ளோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து பின்வரும் முடிவுகளை எடுக்க இது அனுமதிக்கிறது:

• என்றால், சமன்பாட்டில் உண்மையான தீர்வுகள் இல்லை;
• என்றால், சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது, எனவே, அதன் ஒரே வேர் தெரியும்;
• என்றால் , பிறகு அல்லது , இது அதே அல்லது , அதாவது சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாடு, வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது. இதையொட்டி, இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் எண்களின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் வகுத்தல் 4 a 2 எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும், அதாவது வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் b 2 −4 a c . இந்த வெளிப்பாடு b 2 -4 a c என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடுமற்றும் கடிதத்துடன் குறிக்கப்பட்டது டி. இங்கிருந்து, பாகுபாடு காண்பவரின் சாராம்சம் தெளிவாக உள்ளது - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தால், இருபடி சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கிறதா என்று முடிவு செய்யப்படுகிறது, அப்படியானால், அவற்றின் எண் என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

நாங்கள் சமன்பாட்டிற்குத் திரும்புகிறோம், பாரபட்சமான குறிப்பைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுகிறோம்: . மற்றும் நாங்கள் முடிக்கிறோம்:

• டி என்றால்<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 எனில், இந்தச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• இறுதியாக, D>0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அல்லது , வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம் அல்லது , மற்றும் பின்னங்களை விரிவுபடுத்திக் குறைத்த பிறகு, நாம் பெறுவோம்.

எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பெற்றோம், அவை , பாகுபாடு D என்பது D=b 2 −4 a c சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படும்.

அவர்களின் உதவியுடன், நேர்மறை பாகுபாடுடன், இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது, ​​இரண்டு சூத்திரங்களும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரே தீர்வுக்கு ஒத்த ஒரே மூல மதிப்பைக் கொடுக்கும். எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிக்கும்போது, ​​எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதை எதிர்கொள்கிறோம், இது பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் எல்லைக்கு அப்பால் நம்மை அழைத்துச் செல்கிறது. எதிர்மறையான பாகுபாட்டுடன், இருபடிச் சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை, ஆனால் ஒரு ஜோடி உள்ளது சிக்கலான இணைப்புவேர்கள், நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணலாம்.

மூல சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

நடைமுறையில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​நீங்கள் உடனடியாக ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், அதன் மூலம் அவற்றின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடலாம். ஆனால் இது சிக்கலான வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது பற்றியது.

இருப்பினும், ஒரு பள்ளி இயற்கணிதம் பாடத்திட்டத்தில், நாம் பொதுவாக சிக்கலானது பற்றி அல்ல, ஆனால் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைப் பற்றி பேசுகிறோம். இந்த வழக்கில், இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு முதலில் பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டறிவது நல்லது, அது எதிர்மறையானது அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள் (இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்), அதன் பிறகு வேர்களின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்.

மேலே உள்ள தர்க்கம் நம்மை எழுத அனுமதிக்கிறது இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை. இருபடி சமன்பாட்டை a x 2 + b x + c \u003d 0 தீர்க்க, உங்களுக்கு இது தேவை:

• பாரபட்சமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி D=b 2 −4 a c அதன் மதிப்பைக் கணக்கிடவும்;
• பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்யுங்கள்;
• D=0 என்றால் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்;
• பாகுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால், மூல சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம், அது அதே மதிப்பைக் கொடுக்கும் என்பதை மட்டும் இங்கே கவனிக்கிறோம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நீங்கள் செல்லலாம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

நேர்மறை, எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்ஜிய பாகுபாடு கொண்ட மூன்று இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளைக் கவனியுங்கள். அவற்றின் தீர்வைக் கையாள்வதன் மூலம், ஒப்புமை மூலம் வேறு எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். ஆரம்பிக்கலாம்.

உதாரணமாக.

x 2 +2 x−6=0 சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

இந்த வழக்கில், இருபடி சமன்பாட்டின் பின்வரும் குணகங்கள் உள்ளன: a=1 , b=2 மற்றும் c=−6 . அல்காரிதத்தின் படி, நீங்கள் முதலில் பாகுபாட்டைக் கணக்கிட வேண்டும், இதற்காக நாங்கள் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட a, b மற்றும் c ஐ பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுகிறோம், எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 -4 a c=2 2 −4 1 (-6)=4+24=28. 28>0, அதாவது, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, இருபடி சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. வேர்களின் சூத்திரத்தின் மூலம் அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம், நாம் பெறுகிறோம், இங்கே செய்வதன் மூலம் பெறப்பட்ட வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தலாம். வேரின் அடையாளத்தை காரணியாக்குதல்பின்னம் குறைப்பு:

பதில்:

அடுத்த பொதுவான உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்.

உதாரணமாக.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் -4 x 2 +28 x−49=0 .

தீர்வு.

பாகுபாட்டைக் கண்டறிவதன் மூலம் தொடங்குகிறோம்: D=28 2 −4 (−4) (-49)=784−784=0. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாடு ஒற்றை மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது, அதை நாம் , அதாவது,

பதில்:

x=3.5

எதிர்மறை பாகுபாடு கொண்ட இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக.

5 y 2 +6 y+2=0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் இங்கே உள்ளன: a=5 , b=6 மற்றும் c=2 . இந்த மதிப்புகளை பாரபட்சமான சூத்திரத்தில் மாற்றுவது, எங்களிடம் உள்ளது D=b 2 -4 a c=6 2 -4 5 2=36−40=−4. பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே, இந்த இருபடி சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

நீங்கள் சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிட வேண்டும் என்றால், இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் செயல்படுகிறோம் சிக்கலான எண்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்:

பதில்:

உண்மையான வேர்கள் இல்லை, சிக்கலான வேர்கள்: .

மீண்டும், இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், பள்ளி பொதுவாக உடனடியாக பதிலை எழுதுகிறது, அதில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பதைக் குறிக்கின்றன, மேலும் அவை சிக்கலான வேர்களைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், D=b 2 -4 a c ஆனது, x இல் இரட்டைக் குணகத்துடன் (அல்லது 2 n போலத் தோற்றமளிக்கும் குணகத்துடன்) இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் மிகச் சிறிய சூத்திரத்தைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. , எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது 14 ln5=2 7 ln5 ). அவளை வெளியே அழைத்துச் செல்வோம்.

a x 2 +2 n x + c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம் D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), பின்னர் நாம் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

n 2 −a c என்ற வெளிப்பாட்டை D 1 ஆகக் குறிக்கவும் (சில நேரங்களில் அது D" எனக் குறிக்கப்படும்) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் கருதப்படும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் பெறுகிறது. , D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 , அல்லது D 1 =D/4 என்று பார்ப்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் நான்காவது பகுதியாகும். D 1 இன் அடையாளம் D யின் அறிகுறியே என்பது தெளிவாகிறது. அதாவது, D 1 என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகும்.

எனவே, இரண்டாவது குணகம் 2 n உடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவை

• D 1 =n 2 -a·c கணக்கிடுக;
• டி 1 என்றால்<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கணக்கிடவும்;
• D 1 >0 எனில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த பத்தியில் பெறப்பட்ட ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உதாரணத்தின் தீர்வைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணமாக.

இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 -6 x−32=0 தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகம் 2·(−3) என குறிப்பிடப்படலாம். அதாவது, அசல் இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , இங்கே a=5 , n=−3 மற்றும் c=−32 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதலாம் மற்றும் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடலாம். பாகுபாடு: D 1 =n 2 -a c=(-3) 2 −5 (-32)=9+160=169. அதன் மதிப்பு நேர்மறையாக இருப்பதால், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்புடைய ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் காண்கிறோம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் இந்த விஷயத்தில், அதிக கணக்கீட்டு வேலைகள் செய்யப்பட வேண்டும்.

பதில்:

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்துதல்

சில நேரங்களில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கு முன், "இந்த சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்த முடியுமா" என்ற கேள்வியைக் கேட்பது வலிக்காது? கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் 1100 x 2 -400 x−600=0 ஐ விட இருபடி சமன்பாடு 11 x 2 -4 x -6=0 ஐ தீர்க்க எளிதாக இருக்கும் என்பதை ஒப்புக்கொள்கிறேன்.

வழக்கமாக, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்துவது அதன் இரு பக்கங்களையும் சில எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் அல்லது வகுப்பதன் மூலம் அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முந்தைய பத்தியில், 1100 x 2 -400 x -600=0 சமன்பாட்டின் எளிமைப்படுத்தலை, இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அடைய முடிந்தது.

இதேபோன்ற மாற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, அவற்றின் குணகங்கள் இல்லை. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளும் பொதுவாக அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளால் வகுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 -42 x+48=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகள்: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் 6 ஆல் வகுத்தால், சமமான இருபடி சமன்பாடு 2 x 2 -7 x+8=0 க்கு வருகிறோம்.

மற்றும் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் பெருக்குவது பொதுவாக பின்ன குணகங்களை அகற்றுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பெருக்கல் அதன் குணகங்களின் வகுப்பில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளும் LCM(6, 3, 1)=6 ஆல் பெருக்கப்பட்டால், அது x 2 +4 x−18=0 என்ற எளிய வடிவத்தை எடுக்கும்.

இந்த பத்தியின் முடிவில், இரு பகுதிகளையும் −1 ஆல் பெருக்குவதற்கு (அல்லது வகுத்தல்) ஒத்த அனைத்து சொற்களின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் இருபடி சமன்பாட்டின் முன்னணி குணகத்தில் எப்போதும் கழித்தல் அகற்றப்படுவதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, பொதுவாக இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து −2·x 2 -3·x+7=0 தீர்வு 2·x 2 +3·x−7=0 க்குச் செல்க.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் சமன்பாட்டின் வேர்களை வெளிப்படுத்துகிறது. வேர்களின் சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் மற்ற உறவுகளைப் பெறலாம்.

படிவத்தின் வியட்டா தேற்றத்திலிருந்து மிகவும் நன்கு அறியப்பட்ட மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் மற்றும் . குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், மேலும் வேர்களின் பெருக்கமானது இலவசச் சொல்லாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 −7 x+22=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தால், அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7/3 என்றும், வேர்களின் பெருக்கல் 22/3 என்றும் உடனடியாகக் கூறலாம்.

ஏற்கனவே எழுதப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் நீங்கள் பல பிற உறவுகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையை அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்: .

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 கலங்களுக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; எட். எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம். : கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. மதியம் 2 மணிக்கு பகுதி 1. கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மோர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

”, அதாவது, முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில், நாம் ஆராய்வோம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்னமற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன

முக்கியமான!

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாதது எந்த அளவிற்கு உயர்ந்தது என்பதை தீர்மானிக்கிறது.

தெரியாதது நிற்கும் அதிகபட்ச அளவு "2" என்றால், உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

முக்கியமான! இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" மற்றும் "c" - கொடுக்கப்பட்ட எண்கள்.

• "a" - முதல் அல்லது மூத்த குணகம்;
• "b" - இரண்டாவது குணகம்;
• "c" ஒரு இலவச உறுப்பினர்.

"a", "b" மற்றும் "c" ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, உங்கள் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்பதை பயிற்சி செய்வோம்.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

சமன்பாடு	முரண்பாடுகள்
a=5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளைப் போலன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க ஒரு சிறப்பு சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

• இருபடி சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும். அதாவது, வலது பக்கத்தில் "0" மட்டுமே இருக்க வேண்டும்;
• வேர்களுக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" என்ற சமன்பாடு ஏற்கனவே "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது மேலும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை "a", "b" மற்றும் "c" வரையறுப்போம்.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

அதன் உதவியுடன், எந்த இருபடி சமன்பாடும் தீர்க்கப்படுகிறது.

"x 1; 2 \u003d" சூத்திரத்தில் மூல வெளிப்பாடு அடிக்கடி மாற்றப்படும்
"டி" எழுத்துக்கு "b 2 - 4ac" மற்றும் பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து "பாகுபாடு என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

x 2 + 9 + x = 7x

இந்த வடிவத்தில், "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை தீர்மானிப்பது மிகவும் கடினம். முதலில் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
பதில்: x = 3

இருபடி சமன்பாடுகளில் வேர்கள் இல்லாத நேரங்கள் உள்ளன. மூலத்தின் கீழ் உள்ள சூத்திரத்தில் எதிர்மறை எண் தோன்றும்போது இந்த நிலை ஏற்படுகிறது.