பொதுவான பலவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது. குறைந்த பொதுவான பல (LCM) - வரையறை, எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பண்புகள். குறைந்த பொதுவான பலனைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான திட்டம்

GCDயின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்போம் (36; 24)

தீர்வு படிகள்

முறை எண் 1

36 - கூட்டு எண்
24 - கூட்டு எண்

36 என்ற எண்ணை விரிவாக்குவோம்

36: 2 = 18
18: 2 = 9 - பகா எண் 2 ஆல் வகுபடும்
9: 3 = 3 - பகா எண் 3 ஆல் வகுபடும்.

எண் 24 ஐ உடைப்போம் பிரதான காரணிகளாக மற்றும் அவற்றை பச்சை நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தவும். பகா எண்களில் இருந்து ஒரு வகுப்பியைத் தேர்ந்தெடுக்கத் தொடங்குகிறோம், சிறிய பகா எண் 2 இல் தொடங்கி, பங்கு எண் பகா எண்ணாக மாறும் வரை

24: 2 = 12 - பகா எண் 2 ஆல் வகுபடும்
12: 2 = 6 - பகா எண் 2 ஆல் வகுபடும்
6: 2 = 3
3 ஒரு பகா எண் என்பதால் வகுத்தலை முடிக்கிறோம்

2) அதை நீல நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தி பொதுவான காரணிகளை எழுதவும்

36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
பொதுவான காரணிகள் (36; 24): 2, 2, 3

3) இப்போது, ​​GCD ஐக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் பொதுவான காரணிகளைப் பெருக்க வேண்டும்

பதில்: ஜிசிடி (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 12

முறை எண் 2

1) எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து வகுத்தல்களையும் கண்டறியவும் (36; 24). இதைச் செய்ய, எண் 36 ஐ 1 முதல் 36 வரை வகுபடுத்திகளாகவும், எண் 24 ஐ 1 முதல் 24 வரை வகுக்கவும் பிரிப்போம். மீதமுள்ள எண் இல்லாமல் வகுக்கப்பட்டால், வகுப்பிகளின் பட்டியலில் வகுப்பியை எழுதுவோம்.

எண் 36 க்கு
36: 1 = 36; 36: 2 = 18; 36: 3 = 12; 36: 4 = 9; 36: 6 = 6; 36: 9 = 4; 36: 12 = 3; 36: 18 = 2; 36: 36 = 1;

24 என்ற எண்ணுக்கு மீதி இல்லாமல் வகுபடும் போது அனைத்து நிகழ்வுகளையும் எழுதுவோம்:
24: 1 = 24; 24: 2 = 12; 24: 3 = 8; 24: 4 = 6; 24: 6 = 4; 24: 8 = 3; 24: 12 = 2; 24: 24 = 1;

2) எண்களின் அனைத்து பொதுவான வகுப்பிகளையும் (36; 24) எழுதுவோம் மற்றும் பச்சை நிறத்தில் மிகப்பெரியதை முன்னிலைப்படுத்துவோம், இது எண்களின் ஜிசிடியின் மிகப்பெரிய பொது வகுப்பாக இருக்கும் (36; 24)

எண்களின் பொதுவான காரணிகள் (36; 24): 1, 2, 3, 4, 6, 12

பதில்: GCD (36 ; 24) = 12

LCM (52; 49) இன் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீர்வு படிகள்

முறை எண் 1

1) எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிடுவோம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு எண்களும் முதன்மையானதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம் (ஒரு எண் முதன்மையாக இருந்தால், அதை முதன்மைக் காரணிகளாகச் சிதைக்க முடியாது, அதுவே ஒரு சிதைவு)

52 - கூட்டு எண்
49 - கூட்டு எண்

52 என்ற எண்ணை விரிவாக்குவோம் பிரதான காரணிகளாக மற்றும் அவற்றை பச்சை நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தவும். பகா எண்களில் இருந்து ஒரு வகுப்பியைத் தேர்ந்தெடுக்கத் தொடங்குகிறோம், சிறிய பகா எண் 2 இல் தொடங்கி, பங்கு எண் பகா எண்ணாக மாறும் வரை

52: 2 = 26 - பகா எண் 2 ஆல் வகுபடும்
26: 2 = 13 - பகா எண் 2 ஆல் வகுபடும்.
13 ஒரு பகா எண் என்பதால் வகுத்தலை முடிக்கிறோம்

49 என்ற எண்ணை விரிவாக்குவோம் பிரதான காரணிகளாக மற்றும் அவற்றை பச்சை நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தவும். பகா எண்களில் இருந்து ஒரு வகுப்பியைத் தேர்ந்தெடுக்கத் தொடங்குகிறோம், சிறிய பகா எண் 2 இல் தொடங்கி, பங்கு எண் பகா எண்ணாக மாறும் வரை

49: 7 = 7 - பகா எண் 7 ஆல் வகுபடும்.
7 ஒரு பகா எண் என்பதால் வகுத்தலை முடிக்கிறோம்

2) முதலில், மிகப்பெரிய எண்ணின் காரணிகளை எழுதவும், பின்னர் சிறிய எண். விடுபட்ட காரணிகளைக் கண்டுபிடிப்போம், பெரிய எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படாத காரணிகளை சிறிய எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் நீல நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தவும்.

52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
49 = 7 ∙ 7

3) இப்போது, ​​LCM ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீல நிறத்தில் முன்னிலைப்படுத்தப்பட்ட, காணாமல் போன காரணிகளுடன் பெரிய எண்ணின் காரணிகளைப் பெருக்க வேண்டும்.

LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548

முறை எண் 2

1) எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து மடங்குகளையும் கண்டறியவும் (52; 49). இதைச் செய்ய, 1 முதல் 49 வரையிலான எண்களால் 52 என்ற எண்ணையும், 1 முதல் 52 வரையிலான எண்களால் 49 எண்ணையும் மாறி மாறிப் பெருக்குவோம்.

அனைத்து மடங்குகளையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்பச்சை நிறத்தில் 52:

52 ∙ 1 = 52 ; 52 ∙ 2 = 104 ; 52 ∙ 3 = 156 ; 52 ∙ 4 = 208 ;
52 ∙ 5 = 260 ; 52 ∙ 6 = 312 ; 52 ∙ 7 = 364 ; 52 ∙ 8 = 416 ;
52 ∙ 9 = 468 ; 52 ∙ 10 = 520 ; 52 ∙ 11 = 572 ; 52 ∙ 12 = 624 ;
52 ∙ 13 = 676 ; 52 ∙ 14 = 728 ; 52 ∙ 15 = 780 ; 52 ∙ 16 = 832 ;
52 ∙ 17 = 884 ; 52 ∙ 18 = 936 ; 52 ∙ 19 = 988 ; 52 ∙ 20 = 1040 ;
52 ∙ 21 = 1092 ; 52 ∙ 22 = 1144 ; 52 ∙ 23 = 1196 ; 52 ∙ 24 = 1248 ;
52 ∙ 25 = 1300 ; 52 ∙ 26 = 1352 ; 52 ∙ 27 = 1404 ; 52 ∙ 28 = 1456 ;
52 ∙ 29 = 1508 ; 52 ∙ 30 = 1560 ; 52 ∙ 31 = 1612 ; 52 ∙ 32 = 1664 ;
52 ∙ 33 = 1716 ; 52 ∙ 34 = 1768 ; 52 ∙ 35 = 1820 ; 52 ∙ 36 = 1872 ;
52 ∙ 37 = 1924 ; 52 ∙ 38 = 1976 ; 52 ∙ 39 = 2028 ; 52 ∙ 40 = 2080 ;
52 ∙ 41 = 2132 ; 52 ∙ 42 = 2184 ; 52 ∙ 43 = 2236 ; 52 ∙ 44 = 2288 ;
52 ∙ 45 = 2340 ; 52 ∙ 46 = 2392 ; 52 ∙ 47 = 2444 ; 52 ∙ 48 = 2496 ;
52 ∙ 49 = 2548 ;

அனைத்து மடங்குகளையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்பச்சை நிறத்தில் 49:

49 ∙ 1 = 49 ; 49 ∙ 2 = 98 ; 49 ∙ 3 = 147 ; 49 ∙ 4 = 196 ;
49 ∙ 5 = 245 ; 49 ∙ 6 = 294 ; 49 ∙ 7 = 343 ; 49 ∙ 8 = 392 ;
49 ∙ 9 = 441 ; 49 ∙ 10 = 490 ; 49 ∙ 11 = 539 ; 49 ∙ 12 = 588 ;
49 ∙ 13 = 637 ; 49 ∙ 14 = 686 ; 49 ∙ 15 = 735 ; 49 ∙ 16 = 784 ;
49 ∙ 17 = 833 ; 49 ∙ 18 = 882 ; 49 ∙ 19 = 931 ; 49 ∙ 20 = 980 ;
49 ∙ 21 = 1029 ; 49 ∙ 22 = 1078 ; 49 ∙ 23 = 1127 ; 49 ∙ 24 = 1176 ;
49 ∙ 25 = 1225 ; 49 ∙ 26 = 1274 ; 49 ∙ 27 = 1323 ; 49 ∙ 28 = 1372 ;
49 ∙ 29 = 1421 ; 49 ∙ 30 = 1470 ; 49 ∙ 31 = 1519 ; 49 ∙ 32 = 1568 ;
49 ∙ 33 = 1617 ; 49 ∙ 34 = 1666 ; 49 ∙ 35 = 1715 ; 49 ∙ 36 = 1764 ;
49 ∙ 37 = 1813 ; 49 ∙ 38 = 1862 ; 49 ∙ 39 = 1911 ; 49 ∙ 40 = 1960 ;
49 ∙ 41 = 2009 ; 49 ∙ 42 = 2058 ; 49 ∙ 43 = 2107 ; 49 ∙ 44 = 2156 ;
49 ∙ 45 = 2205 ; 49 ∙ 46 = 2254 ; 49 ∙ 47 = 2303 ; 49 ∙ 48 = 2352 ;
49 ∙ 49 = 2401 ; 49 ∙ 50 = 2450 ; 49 ∙ 51 = 2499 ; 49 ∙ 52 = 2548 ;

2) எண்களின் அனைத்து பொதுவான மடங்குகளையும் (52; 49) எழுதி, பச்சை நிறத்தில் சிறியதை முன்னிலைப்படுத்துவோம், இது எண்களின் சிறிய பொதுவான பெருக்கமாக இருக்கும் (52; 49).

எண்களின் பொதுவான மடங்குகள் (52; 49): 2548

பதில்: LCM (52; 49) = 2548

பள்ளி மாணவர்களுக்கு கணிதத்தில் நிறைய பணிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றில், பின்வரும் சூத்திரத்தில் பெரும்பாலும் சிக்கல்கள் உள்ளன: இரண்டு அர்த்தங்கள் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தை எவ்வாறு கண்டறிவது? பெறப்பட்ட திறன்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களுடன் வேலை செய்யப் பயன்படுவதால், அத்தகைய பணிகளைச் செய்வது அவசியம். இந்த கட்டுரையில் LOC மற்றும் அடிப்படை கருத்துகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் பார்ப்போம்.

அடிப்படை கருத்துக்கள்

LCM ஐ எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கான பதிலைக் கண்டுபிடிப்பதற்கு முன், நீங்கள் பல என்ற சொல்லை வரையறுக்க வேண்டும். பெரும்பாலும், இந்த கருத்தின் உருவாக்கம் இப்படித்தான் ஒலிக்கிறது: ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் பெருக்கல் என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகும், இது மீதம் இல்லாமல் A ஆல் வகுபடும். எனவே, 4 க்கு, மடங்குகள் 8, 12, 16, 20, மற்றும் பல, தேவையான வரம்புக்கு.

இந்த வழக்கில், ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கான வகுப்பிகளின் எண்ணிக்கை மட்டுப்படுத்தப்படலாம், ஆனால் பல மடங்குகள் எண்ணற்றவை. இயற்கை மதிப்புகளுக்கும் அதே மதிப்பு உள்ளது. இது ஒரு குறிகாட்டியாகும், இது மீதமுள்ளவை இல்லாமல் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. சில குறிகாட்டிகளுக்கான மிகச்சிறிய மதிப்பின் கருத்தை புரிந்து கொண்ட பிறகு, அதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று செல்லலாம்.

என்ஓசியைக் கண்டறிதல்

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அடுக்குகளின் குறைந்தபட்ச பெருக்கல் என்பது அனைத்து குறிப்பிட்ட எண்களாலும் வகுக்கக்கூடிய சிறிய இயற்கை எண்ணாகும்.

அத்தகைய மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க பல வழிகள் உள்ளன, பின்வரும் முறைகளைக் கவனியுங்கள்:

1. எண்கள் சிறியதாக இருந்தால், அதன் மூலம் வகுக்கக்கூடிய அனைத்தையும் ஒரு வரியில் எழுதுங்கள். அவர்களிடையே பொதுவான ஒன்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கும் வரை இதைச் செய்யுங்கள். எழுத்தில், அவை K என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 4 மற்றும் 3க்கு, சிறிய மடங்கு 12 ஆகும்.
2. இவை பெரியதாக இருந்தால் அல்லது 3 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகளின் பெருக்கத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், எண்களை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதை உள்ளடக்கிய மற்றொரு நுட்பத்தை நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும். முதலில், பட்டியலிடப்பட்ட மிகப் பெரியதை இடுங்கள், பின்னர் மற்றவை. அவை ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த பெருக்கிகளின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டுள்ளன. உதாரணமாக, 20 (2*2*5) மற்றும் 50 (5*5*2) ஆகியவற்றை சிதைப்போம். சிறியவற்றுக்கு, காரணிகளை அடிக்கோடிட்டு, பெரியவற்றில் சேர்க்கவும். முடிவு 100 ஆக இருக்கும், இது மேலே உள்ள எண்களின் மிகக் குறைவான பொதுவான பெருக்கமாக இருக்கும்.
3. 3 எண்களைக் கண்டறியும் போது (16, 24 மற்றும் 36) கொள்கைகள் மற்ற இரண்டிற்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அவை ஒவ்வொன்றையும் விரிவாக்குவோம்: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. 16 என்ற எண்ணின் விரிவாக்கத்தில் இருந்து இரண்டு இரண்டுகள் மட்டுமே மிகப்பெரிய விரிவாக்கத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை. அவற்றைச் சேர்த்து 144 ஐப் பெறுகிறோம், இது முன்னர் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண் மதிப்புகளுக்கு மிகச்சிறிய முடிவாகும்.

இரண்டு, மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மதிப்புகளுக்கு மிகச்சிறிய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பொதுவான நுட்பம் என்ன என்பதை இப்போது நாம் அறிவோம். இருப்பினும், தனிப்பட்ட முறைகளும் உள்ளன, முந்தையவை உதவவில்லை என்றால் NOC ஐத் தேட உதவுகிறது.

ஜிசிடி மற்றும் என்ஓசியை எப்படி கண்டுபிடிப்பது.

தனிப்பட்ட கண்டுபிடிப்பு முறைகள்

எந்தவொரு கணிதப் பிரிவையும் போலவே, குறிப்பிட்ட சூழ்நிலைகளில் உதவும் LCM ஐக் கண்டறியும் சிறப்பு நிகழ்வுகள் உள்ளன:

• எண்களில் ஒன்று மீதி இல்லாமல் மற்றவற்றால் வகுபடுமானால், இந்த எண்களின் மிகக் குறைந்த மடங்கு அதற்குச் சமமாக இருக்கும் (60 மற்றும் 15ன் LCM 15 ஆகும்);
• ஒப்பீட்டளவில் பகா எண்களுக்கு பொதுவான பிரதான காரணிகள் இல்லை. அவற்றின் மிகச்சிறிய மதிப்பு இந்த எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம். எனவே, 7 மற்றும் 8 எண்களுக்கு அது 56 ஆக இருக்கும்;
• சிறப்பு இலக்கியங்களில் படிக்கக்கூடிய சிறப்பு உட்பட பிற நிகழ்வுகளுக்கும் இதே விதி செயல்படுகிறது. தனிப்பட்ட கட்டுரைகள் மற்றும் வேட்பாளர் ஆய்வுக் கட்டுரைகளின் தலைப்பாக இருக்கும் கூட்டு எண்களின் சிதைவு நிகழ்வுகளும் இதில் இருக்க வேண்டும்.

நிலையான எடுத்துக்காட்டுகளை விட சிறப்பு வழக்குகள் குறைவாகவே காணப்படுகின்றன. ஆனால் அவர்களுக்கு நன்றி, சிக்கலான பல்வேறு அளவுகளின் பின்னங்களுடன் வேலை செய்ய நீங்கள் கற்றுக்கொள்ளலாம். இது பின்னங்களுக்கு குறிப்பாக உண்மை, அங்கு சமமில்லாத பிரிவுகள் உள்ளன.

சில உதாரணங்கள்

குறைந்தபட்சம் பலவற்றைக் கண்டறியும் கொள்கையைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

1. LOC (35; 40) ஐக் கண்டறியவும். முதலில் 35 = 5*7, பிறகு 40 = 5*8 என்று சிதைக்கிறோம். சிறிய எண்ணுடன் 8ஐச் சேர்த்து LOC 280ஐப் பெறவும்.
2. NOC (45; 54). அவை ஒவ்வொன்றையும் நாம் சிதைக்கிறோம்: 45 = 3 * 3 * 5 மற்றும் 54 = 3 * 3 * 6. 6-ஐ 45-ல் சேர்க்கிறோம். 270க்கு சமமான LCM கிடைக்கும்.
3. சரி, கடைசி உதாரணம். 5 மற்றும் 4 உள்ளன. அவற்றில் முதன்மை மடங்குகள் எதுவும் இல்லை, எனவே இந்த வழக்கில் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கல் அவற்றின் தயாரிப்பு ஆகும், இது 20 க்கு சமம்.

எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு நன்றி, NOC எவ்வாறு அமைந்துள்ளது, நுணுக்கங்கள் என்ன, அத்தகைய கையாளுதல்களின் பொருள் என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம்.

NOC ஐக் கண்டுபிடிப்பது ஆரம்பத்தில் தோன்றுவதை விட மிகவும் எளிதானது. இதைச் செய்ய, எளிய விரிவாக்கம் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் எளிய மதிப்புகளின் பெருக்கல் இரண்டும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. கணிதத்தின் இந்தப் பகுதியுடன் பணிபுரியும் திறன், கணிதத் தலைப்புகளைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வுக்கு உதவுகிறது, குறிப்பாக சிக்கலான பல்வேறு அளவுகளின் பின்னங்கள்.

வெவ்வேறு முறைகளைப் பயன்படுத்தி அவ்வப்போது எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க மறக்காதீர்கள்; இது உங்கள் தருக்க கருவியை உருவாக்குகிறது மற்றும் பல சொற்களை நினைவில் வைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. அத்தகைய அதிவேகத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிக, மீதமுள்ள கணிதப் பிரிவுகளில் நீங்கள் சிறப்பாகச் செயல்பட முடியும். கணிதம் கற்றதில் மகிழ்ச்சி!

காணொளி

குறைவான பொதுவான பல வகைகளை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவும் நினைவில் கொள்ளவும் இந்த வீடியோ உதவும்.

பொதுவான மடங்குகள்

எளிமையாகச் சொன்னால், கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு எண்களாலும் வகுபடும் எந்த முழு எண் பொதுவான பலகொடுக்கப்பட்ட முழு எண்கள்.

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட முழு எண்களின் பொதுவான பெருக்கத்தை நீங்கள் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

இரண்டு எண்களின் பொதுப் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: $2$ மற்றும் $5$.

தீர்வு.

வரையறையின்படி, $2$ மற்றும் $5$ இன் பொதுவான மடங்கு $10$ ஆகும், ஏனெனில் இது $2$ மற்றும் $5$ என்ற எண்ணின் பெருக்கமாகும்:

$2$ மற்றும் $5$ எண்களின் பொதுவான பெருக்கல்கள் $–10, 20, –20, 30, –30$ போன்ற எண்களாக இருக்கும், ஏனெனில் அவை அனைத்தும் $2$ மற்றும் $5$ என எண்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன.

குறிப்பு 1

பூஜ்ஜியம் என்பது பூஜ்ஜியம் அல்லாத முழு எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் ஆகும்.

வகுபடுதலின் பண்புகளின்படி, ஒரு குறிப்பிட்ட எண் பல எண்களின் பொதுப் பெருக்கமாக இருந்தால், குறிக்கு எதிரே உள்ள எண்ணும் கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் பொதுவான பெருக்கமாக இருக்கும். கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட உதாரணத்திலிருந்து இதைக் காணலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்களுக்கு, அவற்றின் பொதுவான பெருக்கத்தை நீங்கள் எப்போதும் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

$111$ மற்றும் $55$ ஆகியவற்றின் பொதுவான பெருக்கத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட எண்களை பெருக்குவோம்: $111\div 55=6105$. $6105$ என்ற எண்ணானது $111$ மற்றும் $55$ என்ற எண்ணால் வகுபடுமா என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

எனவே, $6105$ என்பது $111$ மற்றும் $55$ ஆகியவற்றின் பொதுவான பெருக்கல் ஆகும்.

பதில்: $111$ மற்றும் $55$ இன் பொதுவான மடங்கு $6105$ ஆகும்.

ஆனால், முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து நாம் ஏற்கனவே பார்த்தது போல், இந்த பொதுவான பல ஒன்று அல்ல. மற்ற பொதுவான மடங்குகள் $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$ போன்றவையாக இருக்கும். எனவே, நாங்கள் பின்வரும் முடிவுக்கு வந்தோம்:

குறிப்பு 2

எந்தவொரு முழு எண்களும் எண்ணற்ற பொதுவான மடங்குகளைக் கொண்டிருக்கும்.

நடைமுறையில், அவை நேர்மறை முழு எண் (இயற்கை) எண்களின் பொதுவான மடங்குகளைக் கண்டறிவதில் மட்டுப்படுத்தப்பட்டுள்ளன, ஏனெனில் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பெருக்கல்களின் தொகுப்பும் அதன் எதிர்மமும் ஒத்துப்போகின்றன.

குறைந்த பொதுவான பலவற்றை தீர்மானித்தல்

கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் அனைத்து மடங்குகளிலும், மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்கு (LCM) பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வரையறை 2

கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்களின் குறைந்தபட்ச நேர்மறை பொது மடங்கு மீச்சிறு பொதுஇந்த எண்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 3

$4$ மற்றும் $7$ எண்களின் LCMஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

ஏனெனில் இந்த எண்களுக்கு பொதுவான வகுப்பிகள் இல்லை, பிறகு $LCM(4,7)=28$.

பதில்: $NOK (4,7)=28$.

GCD வழியாக என்ஓசியைக் கண்டறிதல்

ஏனெனில் LCM மற்றும் GCD இடையே ஒரு இணைப்பு உள்ளது, அதன் உதவியுடன் நீங்கள் கணக்கிடலாம் இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களின் LCM:

குறிப்பு 3

எடுத்துக்காட்டு 4

$232$ மற்றும் $84$ எண்களின் LCMஐக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

GCD மூலம் LCM ஐக் கண்டறிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி $232$ மற்றும் $84$ எண்களின் GCDஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

அந்த. $GCD(232, 84)=4$.

$LCC (232, 84)$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

பதில்: $NOK (232.84)=$4872.

எடுத்துக்காட்டு 5

கணக்கிடு $LCD(23, 46)$.

தீர்வு.

ஏனெனில் $46$ என்பது $23$ஆல் வகுபடும், பிறகு $gcd (23, 46)=23$. LOC ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

பதில்: $NOK (23.46)=$46.

இவ்வாறு, ஒருவர் வடிவமைக்க முடியும் ஆட்சி:

குறிப்பு 4

10 இன் 10 பெருக்கல்களால் வகுபடும் எண்களை நாம் அழைக்கிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, 30 அல்லது 50 என்பது 10 இன் பெருக்கல்கள். 28 என்பது 14 இன் பெருக்கல். 10 மற்றும் 14 இரண்டாலும் வகுபடும் எண்கள் இயற்கையாகவே 10 மற்றும் 14 இன் பொதுப் பெருக்கல்கள் எனப்படும்.

நாம் விரும்பும் பல பொதுவான மடங்குகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 140, 280, முதலியன.

ஒரு இயல்பான கேள்வி: மிகச் சிறிய பொதுப் பெருக்கத்தை, குறைந்த பொதுப் பெருக்கத்தை எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது?

10 மற்றும் 14 க்கு காணப்படும் பெருக்கல்களில், இதுவரை சிறியது 140 ஆகும். ஆனால் இது மிகவும் குறைவான பொதுவான பெருக்கமா?

நமது எண்களைக் கணக்கிடுவோம்:

10 மற்றும் 14 ஆல் வகுபடும் எண்ணை உருவாக்குவோம். 10 ஆல் வகுபட, உங்களிடம் 2 மற்றும் 5 காரணிகள் இருக்க வேண்டும். 14 ஆல் வகுபட, உங்களிடம் 2 மற்றும் 7 காரணிகள் இருக்க வேண்டும். ஆனால் 2 ஏற்கனவே உள்ளது, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது எல்லாம் 7 ஐச் சேர்ப்பதுதான். இதன் விளைவாக வரும் எண் 70 என்பது 10 மற்றும் 14 இன் பொதுப் பெருக்கல் ஆகும். இருப்பினும், இதை விட சிறிய எண்ணை உருவாக்க முடியாது, அதனால் அதுவும் ஒரு பொதுவான பெருக்கமாகும்.

எனவே இதுதான் மீச்சிறு பொது. இதற்கு NOC என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

182 மற்றும் 70 எண்களுக்கு GCD மற்றும் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

நீங்களே கணக்கிடுங்கள்:

3.

நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்:

GCD மற்றும் LCM என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, காரணியாக்கம் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. ஆனால், அது என்ன என்பதை நாம் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டால், ஒவ்வொரு முறையும் அதைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை.

உதாரணத்திற்கு:

இரண்டு எண்களுக்கு, ஒன்று மற்றொன்றால் வகுபடும் போது, ​​சிறியது அவற்றின் GCD மற்றும் பெரியது LCM என்பதை நீங்கள் எளிதாகச் சரிபார்க்கலாம். இது ஏன் என்று நீங்களே விளக்க முயற்சிக்கவும்.

ஒரு அப்பாவின் படி நீளம் 70 செ.மீ., ஒரு சிறிய மகளின் படி நீளம் 15 செ.மீ. அதே குறியில் கால்களை வைத்து நடக்கத் தொடங்குவார்கள். அவர்களின் கால்கள் மீண்டும் சமமாக இருக்கும் முன் அவர்கள் எவ்வளவு தூரம் நடப்பார்கள்?

அப்பாவும் மகளும் நகரத் தொடங்குகிறார்கள். முதலில், கால்கள் ஒரே குறியில் இருக்கும். சில படிகள் நடந்த பிறகு, அவர்களின் கால்கள் அதே நிலைக்குத் திரும்பின. இதன் பொருள் அப்பா மற்றும் மகள் இருவரும் இந்த அடையாளத்தை எட்டுவதற்கு முழு எண்ணிக்கையிலான படிகளைப் பெற்றுள்ளனர். இதன் பொருள் அவளுக்கான தூரத்தை தந்தை மற்றும் மகள் இருவரின் படி நீளத்தால் வகுக்க வேண்டும்.

அதாவது, நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

அதாவது, இது 210 cm = 2 m 10 cm இல் நடக்கும்.

தந்தை 3 படிகள் எடுப்பார், மகள் 14 (படம் 1) எடுப்பார் என்பதை புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல.

அரிசி. 1. பிரச்சனைக்கான விளக்கம்

பிரச்சனை 1

VKontakte நெட்வொர்க்கில் பெட்யாவுக்கு 100 நண்பர்கள் உள்ளனர், வான்யாவுக்கு 200 பேர் உள்ளனர். பெட்யாவும் வான்யாவும் 30 பரஸ்பர நண்பர்கள் இருந்தால், எத்தனை நண்பர்கள் உள்ளனர்?

பதில் 300 தவறானது, ஏனெனில் அவர்களுக்கு பரஸ்பர நண்பர்கள் இருக்கலாம்.

இந்த சிக்கலை இப்படி தீர்க்கலாம். சுற்றிலும் உள்ள பெட்டியாவின் அனைத்து நண்பர்களின் தொகுப்பை சித்தரிப்போம். வான்யாவின் பல நண்பர்களை மற்றொரு பெரிய வட்டத்தில் சித்தரிப்போம்.

இந்த வட்டங்கள் ஒரு பொதுவான பகுதியைக் கொண்டுள்ளன. அங்கே பரஸ்பர நண்பர்கள் இருக்கிறார்கள். இந்த பொதுவான பகுதி இரண்டு தொகுப்புகளின் "குறுக்குவெட்டு" என்று அழைக்கப்படுகிறது. அதாவது, பரஸ்பர நண்பர்களின் தொகுப்பு என்பது அனைவரின் நண்பர்களின் தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்.

அரிசி. 2. பல நண்பர்களின் வட்டங்கள்

30 பரஸ்பர நண்பர்கள் இருந்தால், இடதுபுறத்தில் 70 பேர் பெட்டினாவின் நண்பர்கள் மற்றும் 170 பேர் வனினாவின் நண்பர்கள் (படம் 2 ஐப் பார்க்கவும்).

மொத்தம் எவ்வளவு?

இரண்டு வட்டங்களைக் கொண்ட பெரிய தொகுப்பு இரண்டு தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உண்மையில், VK தானே எங்களுக்கு இரண்டு செட்களின் குறுக்குவெட்டு சிக்கலை தீர்க்கிறது; நீங்கள் மற்றொரு நபரின் பக்கத்தைப் பார்வையிடும்போது அது உடனடியாக பல பரஸ்பர நண்பர்களைக் குறிக்கிறது.

இரண்டு எண்களின் GCD மற்றும் LCM இன் நிலைமை மிகவும் ஒத்ததாக உள்ளது.

பிரச்சனை 2

இரண்டு எண்களைக் கவனியுங்கள்: 126 மற்றும் 132.

அவற்றின் பிரதான காரணிகளை வட்டங்களில் சித்தரிக்கிறோம் (படம் 3 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 3. பிரதான காரணிகளைக் கொண்ட வட்டங்கள்

தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டு அவற்றின் பொதுவான வகுப்பிகள். GCD அவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

இரண்டு தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் நமக்கு LCM ஐ வழங்குகிறது.

நூல் பட்டியல்

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. கணிதம் 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. கணிதம் 6ம் வகுப்பு. - உடற்பயிற்சி கூடம். 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. கணித பாடப்புத்தகத்தின் பக்கங்களுக்குப் பின்னால். - எம்.: கல்வி, 1989.

4. ருருகின் ஏ.என்., சாய்கோவ்ஸ்கி ஐ.வி. 5-6 வகுப்புகளுக்கான கணித பாடத்திற்கான பணிகள். - எம்.: ZSh MEPhI, 2011.

5. ருருகின் ஏ.என்., சோச்சிலோவ் எஸ்.வி., சாய்கோவ்ஸ்கி கே.ஜி. கணிதம் 5-6. MEPhI கடிதப் பள்ளியில் 6 ஆம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கான கையேடு. - எம்.: ZSh MEPhI, 2011.

6. ஷெவ்ரின் எல்.என்., கெயின் ஏ.ஜி., கோரியாகோவ் ஐ.ஓ., வோல்கோவ் எம்.வி. கணிதம்: மேல்நிலைப் பள்ளியின் 5-6 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்-உரையாடுபவர். - எம்.: கல்வி, கணித ஆசிரியர் நூலகம், 1989.

3. இணையதளம் “பள்ளி உதவியாளர்” ()

வீட்டு பாடம்

1. மூன்று சுற்றுலா படகு பயணங்கள் துறைமுக நகரத்தில் தொடங்குகின்றன, அதில் முதலாவது 15 நாட்கள் நீடிக்கும், இரண்டாவது - 20 மற்றும் மூன்றாவது - 12 நாட்கள். துறைமுகத்திற்குத் திரும்பிய கப்பல்கள் அதே நாளில் மீண்டும் புறப்பட்டன. இன்று, மூன்று வழித்தடங்களிலும் கப்பல்கள் துறைமுகத்தை விட்டு வெளியேறின. முதன்முறையாக எத்தனை நாட்களில் அவர்கள் மீண்டும் ஒன்றாகப் படகில் செல்வார்கள்? ஒவ்வொரு கப்பலும் எத்தனை பயணங்கள் செய்யும்?

2. எண்களின் LCM ஐக் கண்டறியவும்:

3. குறைந்த பொதுவான பெருக்கத்தின் பிரதான காரணிகளைக் கண்டறியவும்:

மற்றும் என்றால்: , , .

பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். பையனின் படி 75 செ.மீ., பெண்ணின் படி 60 செ.மீ. அவர்கள் இருவரும் ஒரு முழு எண் படிகளை எடுக்கும் மிகச்சிறிய தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

தீர்வு.தோழர்களே செல்லும் முழு பாதையும் 60 மற்றும் 70 ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், ஏனெனில் அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் ஒரு முழு எண் படிகளை எடுக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பதில் 75 மற்றும் 60 இரண்டின் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும்.

முதலில், 75 என்ற எண்ணின் அனைத்து மடங்குகளையும் எழுதுவோம்.

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

இப்போது 60 இன் பெருக்கல்களாக இருக்கும் எண்களை எழுதுவோம்.

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

இப்போது இரண்டு வரிசைகளிலும் உள்ள எண்களைக் காண்கிறோம்.

• எண்களின் பொதுவான மடங்குகள் 300, 600, முதலியனவாக இருக்கும்.

அவற்றில் மிகச்சிறியது எண் 300. இந்த வழக்கில், இது 75 மற்றும் 60 எண்களின் மிகக் குறைந்த பொது மடங்கு என அழைக்கப்படும்.

பிரச்சனையின் நிலைக்குத் திரும்புகையில், தோழர்கள் ஒரு முழு எண் படிகளை எடுக்கும் சிறிய தூரம் 300 செ.மீ., பையன் இந்த பாதையை 4 படிகளில் மூடுவார், மேலும் பெண் 5 படிகள் எடுக்க வேண்டும்.

குறைந்த பொதுவான பலவற்றை தீர்மானித்தல்

• a மற்றும் b ஆகிய இரண்டு இயல் எண்களின் மிகக் குறைந்த பொதுப் பெருக்கல் என்பது a மற்றும் b இரண்டின் பெருக்கமான சிறிய இயற்கை எண்ணாகும்.

இரண்டு எண்களின் குறைவான பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிய, இந்த எண்களின் அனைத்து மடங்குகளையும் ஒரு வரிசையில் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை.

நீங்கள் பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

குறைந்த பொதுவான பலவை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

முதலில் இந்த எண்களை பிரதான காரணிகளாகக் கணக்கிட வேண்டும்.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

இப்போது முதல் எண்ணின் (2,2,3,5) விரிவாக்கத்தில் உள்ள அனைத்து காரணிகளையும் எழுதி, இரண்டாவது எண்ணின் (5) விரிவாக்கத்திலிருந்து விடுபட்ட அனைத்து காரணிகளையும் சேர்ப்போம்.

இதன் விளைவாக, பகா எண்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம்: 2,2,3,5,5. இந்த எண்களின் பெருக்கல் இந்த எண்களுக்கு மிகவும் குறைவான பொதுவான காரணியாக இருக்கும். 2*2*3*5*5 = 300.

குறைந்த பொதுவான பலனைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான திட்டம்

• 1. எண்களை பிரதான காரணிகளாகப் பிரிக்கவும்.
• 2. அவற்றில் ஒன்றின் ஒரு பகுதியாக இருக்கும் பிரதான காரணிகளை எழுதுங்கள்.
• 3. இந்த காரணிகளுடன் மற்றவற்றின் விரிவாக்கத்தில் உள்ள அனைத்தையும் சேர்க்கவும், ஆனால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒன்றில் இல்லை.
• 4. அனைத்து எழுதப்பட்ட காரணிகளின் விளைபொருளைக் கண்டறியவும்.

இந்த முறை உலகளாவியது. எந்தவொரு இயற்கை எண்களின் குறைந்தபட்ச பொதுவான பெருக்கத்தைக் கண்டறிய இதைப் பயன்படுத்தலாம்.