Výskumná práca z matematiky na základnej škole

Stručný abstrakt z výskumného príspevku
Každý študent vie, ako vynásobiť viacciferné čísla v stĺpci. Autor v tomto príspevku upozorňuje na existenciu alternatívnych metód násobenia, ktoré majú k dispozícii žiaci základných škôl a ktoré môžu z „nudných“ výpočtov urobiť zábavnú hru.
Práca skúma šesť netradičných spôsobov znásobenia viac číslic použitých v rôznych historických obdobiach: ruský roľník, mriežka, malý hrad, čínsky, japonský, podľa tabuľky V. Okoneshnikova.
Projekt je zameraný na rozvoj kognitívneho záujmu o študovaný predmet, prehĺbenie vedomostí z oblasti matematiky.
Obsah
Úvod 3
Kapitola 1. Alternatívne metódy množenia 4
1.1. Trochu z histórie 4
1.2. Metóda násobenia ruského roľníka 4
1.3. Násobenie metódou „Malý hrad“ 5
1.4. Násobenie čísel metódou „žiarlivosti“ alebo „mriežkovaného násobenia“ 5
1.5. Čínska metóda násobenia 5
1.6. Japonský spôsob znásobovania 6
1.7. Okoneshnikovov stôl 6
1.8 Násobenie stĺpcom. 7
Kapitola 2. Praktická časť 7
2.1. Sedliacka cesta 7
2.2. Malý hrad 7
2.3. Násobenie čísel metódou „žiarlivosti“ alebo „mriežkovaného násobenia“ 7
2.4. Čínsky spôsob 8
2.5. Japonský spôsob 8
2.6. Okoneshnikovov stôl 8
2.7. Dotazník 8
Záver 9
Dodatok 10

„Téma matematiky je taká vážna, že je užitočné dávať si pozor na príležitosti, ktoré ju majú trochu pobaviť.“
B. Pascal
Úvod
Je nemožné, aby sa človek v každodennom živote zaobišiel bez výpočtov. Preto nás na hodinách matematiky v prvom rade učia robiť akcie na počtoch, teda počítať. Násobíme, delíme, sčítame a odčítame obvyklými spôsobmi, ktoré sa vyučujú v škole. Vyvstala otázka: existujú nejaké ďalšie alternatívne spôsoby výpočtu? Chcel som ich študovať podrobnejšie. Pri hľadaní odpovede na tieto otázky bola uskutočnená táto štúdia.
Účel výskumu: identifikácia nekonvenčných multiplikačných metód na štúdium možnosti ich aplikácie.
V súlade so stanoveným cieľom sme formulovali tieto úlohy:
- Nájdite čo najviac neobvyklých metód násobenia.
- Naučte sa ich aplikovať.
- Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie alebo najľahšie, ako ponúka škola, a použite ich pri počítaní.
- Skontrolujte v praxi vynásobenie viacciferných čísel.
- Vykonať dotazníkový prieskum medzi študentmi 4. ročníka
Predmet štúdia: rôzne neštandardné algoritmy na násobenie viacciferných čísel
Téma výskumu: matematické pôsobenie „násobenie“
Hypotéza: Ak existujú štandardné spôsoby násobenia viacčíselných čísel, môžu existovať alternatívne spôsoby.
Relevantnosť: šírenie poznatkov o alternatívnych metódach množenia.
Praktický význam... V priebehu práce bolo vyriešených veľa príkladov a bol vytvorený album, ktorý obsahoval príklady s rôznymi algoritmami na násobenie viacciferných čísel niekoľkými alternatívnymi spôsobmi. To môže spolužiakov zaujímať, aby si rozšírili svoje matematické obzory, a bude to slúžiť ako začiatok nových experimentov.

Kapitola 1. Alternatívne metódy množenia

1.1. Trochu histórie
Metódy výpočtu, ktoré teraz používame, neboli vždy také jednoduché a pohodlné. Za starých čias používali ťažkopádnejšie a pomalšie metódy. A ak by sa moderný školák mohol vrátiť o päťsto rokov späť, ohromil by všetkých rýchlosťou a presnosťou svojich výpočtov. Chýry o ňom by sa šírili po okolitých školách a kláštoroch, zatienili by slávu najšikovnejších sčítačov tej doby a ľudia by sa zo všetkých strán prichádzali učiť od nového veľkého pána.
Akcie rozmnožovania a delenia boli za starých čias obzvlášť ťažké.
V knihe V. Bellustina „Ako sa ľudia postupne dostali k skutočnej aritmetike“ je uvedených 27 metód násobenia a autor poznamenáva: „je celkom možné, že stále existujú metódy ukryté v medzipamätiach knižných depozitárov, roztrúsených v mnohých , hlavne rukopisné zbierky. “ A všetky tieto metódy násobenia medzi sebou súperili a učili sa veľmi ťažko.
Zvážme najzaujímavejšie a najjednoduchšie spôsoby množenia.
1.2. Ruský sedliacky spôsob množenia
V Rusku pred 2 - 3 storočiami bola medzi roľníkmi niektorých provincií rozšírená metóda, ktorá si nevyžadovala znalosť celej multiplikačnej tabuľky. Potrebné bolo vedieť iba znásobiť a vydeliť 2. Táto metóda sa volala sedliacka.
Aby sa vynásobili dve čísla, napísali sa vedľa seba a potom sa ľavé číslo vydelilo 2 a pravé číslo sa vynásobilo 2. Výsledky zapíšte do stĺpca, až kým nebude vľavo číslica 1. Zvyšok sa zahodí. Prečiarknite tie čiary, v ktorých sú vľavo párne čísla. Sčítajte zostávajúce čísla v pravom stĺpci.
1.3. Násobenie metódou „Malý hrad“
Taliansky matematik Luca Pacioli vo svojom pojednaní Suma znalostí v aritmetike, vzťahoch a proporcionalite (1494) uvádza osem rôznych metód násobenia. Prvý z nich sa volá „Malý hrad“.
Výhodou metódy násobenia „Malý hrad“ je, že číslice najvýznamnejších číslic sa určujú od samého začiatku, čo je dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu.
Číslice horného čísla, počnúc najvýznamnejšou číslicou, sa striedavo vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s pridaním požadovaného počtu núl. Výsledky sa potom spočítajú.
1.4. Násobenie čísel metódou „žiarlivosti“ alebo „mriežkovaného násobenia“
Druhý spôsob, ako sa Luca Pacioli nazýva „žiarlivosť“ alebo „násobenie mriežky“.
Najskôr sa nakreslí obdĺžnik, rozdelený na štvorce. Potom sú štvorcové bunky rozdelené diagonálne a „… obrázok vyzerá ako mriežka-žalúzia,“ píše Pacioli. „Takéto okenice boli zavesené na oknách benátskych domov, čo sťažovalo okoloidúcim z ulice videnie dám a mníšok sediacich pri oknách.“
Po vynásobení každej číslice prvého faktora každou číslicou druhej sa produkty zapíšu do zodpovedajúcich buniek, pričom desiatky sa umiestnia nad uhlopriečku a jednotky pod ňu. Čísla diela sa získajú sčítaním čísel v šikmých pruhoch. Výsledky pridania sú zaznamenané pod tabuľkou a vpravo od nej.
1.5. Čínsky spôsob množenia
Teraz si predstavme metódu násobenia, ktorá je na internete veľmi diskutovaná a ktorá sa volá čínština. Pri vynásobení čísel sa uvažuje s priesečníkmi priamok, ktoré zodpovedajú počtu číslic každej číslice oboch faktorov.
1.6. Japonský spôsob množenia
Japonský spôsob násobenia je grafický spôsob využívajúci kruhy a čiary. Nemenej vtipné a zaujímavé ako čínske. Aj niečo také ako on.
1.7. Okoneshnikovov stôl
Vasilij Okoneshnikov, PhD. Z filozofie, ktorý je tiež vynálezcom nového systému počítania v ústach, verí, že študenti sa budú môcť naučiť ústne pridávať a množiť milióny, miliardy alebo dokonca sextilióny kvadriliónmi. Podľa samotného vedca je v tomto ohľade najvýhodnejší deväťnásobný systém - všetky údaje sú jednoducho umiestnené v deviatich bunkách umiestnených ako tlačidlá na kalkulačke.
Podľa vedca je predtým, ako sa stane výpočtovým „počítačom“, potrebné zapamätať si tabuľku, ktorú vytvoril.
Tabuľka je rozdelená na 9 častí. Sú umiestnené podľa princípu mini kalkulačky: v ľavom dolnom rohu „1“, v pravom hornom rohu „9“. Každá časť je multiplikačnou tabuľkou pre čísla od 1 do 9 (podľa rovnakého systému „tlačidiel“). Aby sme ľubovoľné číslo vynásobili, napríklad číslom 8, nájdeme veľký štvorec zodpovedajúci číslu 8 a z tohto štvorca vypíšeme čísla zodpovedajúce čísliciam viacciferného faktora. Výsledné čísla pridávame osobitne: prvá číslica zostáva nezmenená a všetky ostatné sú sčítané v pároch. Výsledné číslo bude výsledkom násobenia.
Ak výsledkom sčítania dvoch číslic bude číslo presahujúce deväť, potom sa jej prvá číslica pridá k predchádzajúcej číslici výsledku a druhá sa napíše na „správne“ miesto.
Nová technika bola testovaná na niekoľkých ruských školách a univerzitách. Ministerstvo školstva Ruskej federácie povolilo vydať novú násobilku v zošitoch v škatuli spolu s obvyklou Pytagorejskou tabuľkou - zatiaľ len pre oboznámenie.
1.8. Násobenie stĺpcov.
Nie veľa ľudí vie, že Adam Riese by sa mal považovať za autora nášho obvyklého spôsobu vynásobenia viacciferného čísla viacciferným číslom (príloha 7). Tento algoritmus sa považuje za najpohodlnejší.
Kapitola 2. Praktická časť
Zvládnutím vyššie uvedených metód násobenia bolo vyriešených veľa príkladov, album bolo navrhnuté so vzorkami rôznych výpočtových algoritmov. (Žiadosť). Uvažujme algoritmus výpočtu na príkladoch.
2.1. Sedliacky spôsob
Násobte 47 krát 35 (dodatok 1),
-píšte čísla na jeden riadok, nakreslite medzi nimi zvislú čiaru;
-ľavé číslo sa vydelí 2, pravé číslo sa vynásobí 2 (ak sa počas delenia objaví zvyšok, potom zvyšok zahodíme);
-delenie končí, keď sa jeden objaví vľavo;
- prečiarknite tie čiary, v ktorých sú vľavo párne čísla;
- pridajú sa čísla zostávajúce vpravo - to je výsledok.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Výkon. Metóda je pohodlná, pretože stačí poznať tabuľku iba o 2. Pri práci s veľkým počtom je to však veľmi ťažkopádne. Pohodlné na prácu s dvojcifernými číslami.
2.2. Malý hrad
(Dodatok 2). Výkon. Metóda je veľmi podobná našej modernej „kolóne“. Okrem toho sa okamžite určia počty najvýznamnejších číslic. To je dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu.
2.3. Násobenie čísel metódou „žiarlivosti“ alebo „mriežkovaného násobenia“
Vynásobme napríklad čísla 6827 a 345 (príloha 3):
1. Nakreslite štvorcovú mriežku a napíšte jeden z faktorov nad stĺpce a druhý na výšku.
2. Počet jednotlivých riadkov vynásobte číslami každého stĺpca. Postupne vynásobte 3 číslom 6, číslom 8, číslom 2 a číslom 7 atď.
4. Sčítajte čísla podľa diagonálnych pruhov. Ak súčet jednej uhlopriečky obsahuje desiatky, potom ich pripočítame k nasledujúcej uhlopriečke.
Z výsledkov sčítania číslic pozdĺž uhlopriečok je zostavené číslo 2355315, ktoré je súčinom čísel 6827 a 345, teda 6827 ∙ 345 \u003d 2355315.
Výkon. Metóda „násobenia mriežky“ nie je o nič horšia ako všeobecne akceptovaná. Je to ešte jednoduchšie, pretože čísla sa do buniek tabuľky zadávajú priamo z tabuľky násobenia bez súčasného sčítania, ktoré je prítomné v štandardnej metóde.
2.4. Čínsky spôsob
Predpokladajme, že musíte vynásobiť číslo 12 číslom 321 (príloha 4). Na list papiera striedavo kreslite čiary, ktorých počet je určený z tohto príkladu.
Nakreslite prvé číslo - 12. Za týmto účelom nakreslite zhora nadol, zľava doprava:
jedna zelená tyčinka (1)
a dve oranžové (2).
Druhé číslo - 321, nakreslíme zdola nahor, zľava doprava:
tri modré tyčinky (3);
dve červené (2);
jeden orgován (1).
Teraz jednoduchou ceruzkou oddeľte priesečníky a začnite ich počítať. Pohybujeme sa sprava doľava (v smere hodinových ručičiek): 2, 5, 8, 3.
Výsledok si prečítajte zľava doprava - 3852
Výkon. Zaujímavý spôsob, ale nakresliť 9 priamych čiar pri vynásobení číslom 9 je nejako dlhé a nezaujímavé a potom spočítať priesečníky. Bez zručnosti je ťažké pochopiť rozdelenie čísla na číslice. Všeobecne sa bez multiplikačnej tabuľky nezaobídete!
2.5. Japonský spôsob
Vynásobte 12 krát 34 (príloha 5). Pretože druhý faktor je dvojciferné číslo a prvá číslica prvého faktora je 1, zostrojíme dva jednoduché kruhy na hornom riadku a dva binárne kruhy na spodnom riadku, pretože druhá číslica prvého faktora je 2 .
Pretože prvá číslica druhého faktora je 3 a druhá je 4, rozdelíme kruhy prvého stĺpca na tri časti a druhý stĺpec na štyri časti.
Počet častí, na ktoré boli kruhy rozdelené, je odpoveďou, teda 12 x 34 \u003d 408.
Výkon. Metóda je veľmi podobná čínskej grafike. Iba priame čiary sú nahradené kruhmi. Je ľahšie určiť číslice čísla, ale kreslenie kruhov je menej pohodlné.
2.6. Okoneshnikovov stôl
Vyžaduje sa násobenie 15647 x 5. Okamžite si zapamätajte veľké „tlačidlo“ 5 (je v strede) a na ňom mentálne nájdeme malé tlačidlá 1, 5, 6, 4, 7 (sú tiež umiestnené, ako na kalkulačka). Zodpovedajú číslam 05, 25, 30, 20, 35. Výsledné čísla pridáme: výsledné čísla pridáme: prvá číslica 0 (zostáva nezmenená), mentálne pridáme 5 s 2, dostaneme 7 - toto je druhá číslica výsledku, pridaj 5 s 3 dostaneme tretiu číslicu - 8, 0 + 2 \u003d 2, 0 + 3 \u003d 3 a zostane posledná číslica súčinu - 5. Výsledok je 78 235.
Výkon. Metóda je veľmi pohodlná, ale musíte si zapamätať alebo mať vždy po ruke stôl.
2.7. Anketa študentov
Uskutočnil sa prieskum medzi štvrtákmi. Zúčastnilo sa 26 ľudí (príloha 8). Na základe dotazníka sa zistilo, že všetci respondenti sú schopní množiť sa tradičným spôsobom. Ale väčšina chlapov nevie o netradičných metódach množenia. A sú takí, ktorí ich chcú spoznať.
Po úvodnom prieskume sa konala mimoškolská hodina „Násobenie s nadšením“, kde sa deti oboznámili s alternatívnymi algoritmami násobenia. Potom sa uskutočnil prieskum s cieľom určiť metódy, ktoré sa im páčili najviac. Nesporným vodcom bola najmodernejšia metóda Vasilija Okoneshnikova. (Príloha 9)
Záver
Keď som sa naučil počítať všetkými prezentovanými spôsobmi, domnievam sa, že najpohodlnejšou metódou množenia je metóda „Malý zámok“ - koniec koncov, je taká podobná našej súčasnej!
Zo všetkých neobvyklých metód počítania, ktoré som našiel, sa javila japonská metóda zaujímavejšia. Najjednoduchšou metódou sa mi zdala metóda „zdvojnásobenia a zdvojnásobenia“, ktorú používajú ruskí roľníci. Používam ho pri vynásobení nie príliš veľkých čísel. Je veľmi výhodné ho používať pri vynásobení dvojciferných čísel.
Dosiahol som tak cieľ svojho výskumu - študoval som a naučil sa aplikovať nekonvenčné metódy znásobovania multidigitálnych čísel. Moja hypotéza sa potvrdila - zvládol som šesť alternatívnych metód a zistil som, že to nie sú všetky možné algoritmy.
Netradičné metódy násobenia, ktoré som študoval, sú veľmi zaujímavé a majú právo na existenciu. A v niektorých prípadoch sa používajú ešte jednoduchšie. Verím, že o existencii týchto metód môžete hovoriť v škole, doma a prekvapiť svojich priateľov a známych.
Zatiaľ sme študovali a analyzovali iba už známe metódy násobenia. Ale ktovie, možno v budúcnosti budeme sami schopní objaviť nové spôsoby množenia. Tiež sa tam nechcem zastaviť a pokračovať v štúdiu nekonvenčných metód násobenia.
Zoznam informačných zdrojov
1. Odkazy
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Zábavná matematika. - M.: AST - TLAČ, 1999. - 368 s.
1.2. Bellustina V. Ako sa ľudia postupne dopracovali k skutočnej aritmetike. - LKI, 2012.-208 s.
1.3. Depman I. Príbehy o matematike. - Leningrad.: Education, 1954. - 140 s.
1.4. Likum A. Všetko o všetkom. T. 2. - M.: Filologická spoločnosť „Slovo“, 1993. - 512 s.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K .. Staré zábavné problémy. - M.: Veda. Hlavné vydanie fyzikálnej a matematickej literatúry, 1985. - 160 s.
1.6. Perelman Ya.I. Zábavná aritmetika. - M.: Rusanova, 1994 - 205s.
1.7. Perelman Ya.I. Rýchle počítanie. Tridsať jednoduchých techník slovného počítania. Ľ.: Lenizdat, 1941 - 12 s.
1.8. A.P. Savin Matematické miniatúry. Zábavná matematika pre deti. - M.: Detská literatúra, 1998 - 175 s.
1.9. Encyklopédia pre deti. Matematika. - M.: Avanta +, 2003. - 688 s.
1.10. Poznám svet: Detská encyklopédia: Matematika / komp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: OOO „Vydavateľstvo AST“, 2000. - 480 s.
2. Ostatné zdroje informácií
Internetové zdroje:
2.1. A.A. Korneev Fenomén ruského množenia. História. [Elektronický zdroj]

Indický spôsob množenia

Najcennejší príspevok do pokladnice matematických poznatkov bol v Indii. Hinduisti navrhli spôsob, akým sme zvykli písať čísla pomocou desiatich znakov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Základ tejto metódy spočíva v myšlienke, že rovnaký počet znamená jednotky, desiatky, stovky alebo tisíce, v závislosti od toho, kde toto číslo zaberá. Obsadené miesto, ak nie sú k dispozícii žiadne číslice, je určené nulami priradenými k čísliciam.

Hinduisti mysleli veľmi dobre. Vymysleli veľmi jednoduchý spôsob množenia. Vykonali násobenie, počnúc najvýznamnejšou kategóriou, a kúsok po kúsku zapisovali neúplné diela tesne nad násobiteľku. V tomto prípade bola okamžite viditeľná najvýznamnejšia číslica kompletného produktu a navyše bolo vylúčené vynechanie ktorejkoľvek číslice. Znamenie násobenia ešte nebolo známe, preto nechali medzi faktormi malú vzdialenosť. Napríklad ich vynásobme 537 číslom 6:

Násobenie metódou „LITTLE CASTLE“

Na prvom stupni školy sa teraz vyučuje násobenie čísel. Ale v stredoveku len veľmi málo ľudí ovládalo umenie násobenia. Vzácny aristokrat sa mohol pochváliť znalosťou násobilky, aj keď vyštudoval európsku univerzitu.

Počas tisícročí vývoja matematiky bolo vynájdených mnoho spôsobov, ako množiť čísla. Taliansky matematik Luca Pacioli vo svojom pojednaní The Sum of Knowledge in Arithmetic, Relations and Proportionality (1494) uvádza osem rôznych metód násobenia. Prvý z nich sa volá „Malý hrad“ a druhý je nemenej romantickým názvom „Žiarlivosť alebo mriežkovaná multiplikácia“.

Výhodou metódy násobenia „Malý hrad“ je, že číslice najvýznamnejších číslic sa určujú od samého začiatku, čo je dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu.

Číslice horného čísla, počnúc najvýznamnejšou číslicou, sa striedavo vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s pridaním požadovaného počtu núl. Výsledky sa potom spočítajú.

Mestská vzdelávacia inštitúcia

Staromaksimkinskaya základná stredná škola

Okresná vedecká a praktická konferencia o matematike

„Vstúpiť do vedy“

Výskumná práca

„Neštandardné algoritmy počítania alebo rýchle počítanie bez kalkulačky“

Vedúci :,

učiteľ matematiky

s. Čl. Maksimkino, 2010

Úvod ………………………………………………………………… .. …………… .3

Kapitola 1. História účtu

1.2. Zázrak - počítadlá ………………………………………………………………… ... 9

Kapitola 2. Staré spôsoby množenia

2.1. Ruský sedliacky spôsob množenia… .. ……………. ………………. …… .. „mriežkovaná“ metóda ………………. …… .. ……………………… …… ……. ……… ..13

2.3. Indický spôsob množenia ………………………………………………… .15

2.4. Egyptský spôsob množenia ………………………………………………… .16

2.5. Násobenie na prstoch …………………………………………………………… ..17

Kapitola 3. Orálne počítanie - gymnastika mysle

3.1. Násobenie a delenie 4 …………… .. ………………………. ………………… .19

3.2. Násobenie a delenie 5 …………………………………… ... ………………… .19

3.3. Násobenie do 25 …………………………………………………………………… 19

3.4. Násobenie o 1,5 ……………………………………………………………… ... 20

3.5. Násobenie 9 ………. ………………………………………………………… .20

3.6. Násobenie 11 ……………………………………………… .. …………….… .20

3.7. Vynásobením trojciferného čísla 101 …………………………………………… 21

3.7. Zarovnajte číslo končiace na 5 ……………………… 21

3.8. Zarovnajte číslo na 50 ………………. ……………………… 22

3.9. Hry ……………………………………………………………………………… .22

Záver ………………………………………………………………………….… 24.

Zoznam použitej literatúry ………………………………………………… ... 25

Úvod

Viete si predstaviť svet bez čísel? Bez čísel neurobíte nákup, nebudete vedieť čas a nebudete vytočiť telefónne číslo. A čo vesmírne lode, lasery a všetky ďalšie technické výdobytky?! Boli by jednoducho nemožné, nebyť vedy o číslach.

V matematike dominujú dva prvky - čísla a číslice s ich nekonečnou rozmanitosťou vlastností a vzťahov. V našej práci sa uprednostňuje prvok čísel a akcie s nimi.

Teraz, v štádiu rýchleho rozvoja informatiky a výpočtovej techniky, sa moderní školáci nechcú trápiť s mentálnou aritmetikou. Preto sme zvážili je dôležité preukázať nielen to, že samotný proces vykonania akcie môže byť zaujímavý, ale aj to, že keď si človek osvojí techniky rýchleho počítania, dokáže argumentovať počítačom.

Objektštúdie počítajú algoritmy.

Predmet výskum uprednostňuje proces výpočtu.

Cieľ:študovať neštandardné výpočtové techniky a experimentálne zistiť dôvod odmietnutia používania týchto metód pri výučbe matematiky pre moderných školákov.

Úlohy:

Odhaľte históriu účtu a fenomén „počítadiel zázrakov“;

Popíšte staré metódy násobenia a experimentálne identifikujte ťažkosti pri ich používaní;

Zvážte niektoré z techník orálneho násobenia a na konkrétnych príkladoch ukážte výhody ich použitia.

Hypotéza:za starých čias hovorili: „Násobenie je moja muka.“ To znamená, že kedysi bolo ťažké a ťažké sa množiť. Je naša moderná metóda násobenia jednoduchá?

Pri práci na správe som použili nasledujúce metódy :

Ø vyhľadávanie metóda využívajúca vedeckú a vzdelávaciu literatúru, ako aj vyhľadávanie potrebných informácií na internete;

Ø praktické metóda vykonávania výpočtov pomocou neštandardných algoritmov počítania;

Ø analýza údaje získané počas štúdie.

Relevantnosť Táto téma spočíva v tom, že použitie neštandardných techník pri formovaní výpočtových schopností zvyšuje záujem študentov o matematiku a prispieva k rozvoju matematických schopností.

Jednoduchý úkon násobenia skrýva tajomstvá dejín matematiky. Zaujali ma slová „násobenie mriežkou“, „šachovou metódou“, ktoré som náhodou počul. Chcel som poznať tieto a ďalšie metódy násobenia, porovnať ich s našou dnešnou činnosťou násobenia.

Aby sa zistilo, či moderní školáci vedia aj iné spôsoby vykonávania aritmetických operácií, okrem násobenia stĺpcom a delenia „rohom“ a chceli by sa naučiť nové spôsoby, uskutočnil sa ústny prieskum. Dotazovaných bolo 20 študentov 5. - 7. ročníka. Tento prieskum ukázal, že moderní školáci nepoznajú iné spôsoby vykonávania akcií, pretože sa zriedka obracajú na materiál mimo školských osnov.

Výsledky prieskumu:

(Schémy znázorňujú percento študentov, ktorí odpovedali kladne).

1) Je potrebné byť schopný robiť pre moderného človeka aritmetické operácie s prirodzenými číslami?

2) a) Viete, ako znásobiť, pridať,

b) Poznáte ďalšie spôsoby vykonávania aritmetických operácií?

3) chceli by ste vedieť?

Kapitola 1. História účtu

1.1. Ako vznikli čísla

Ľudia sa naučili počítať predmety v starej dobe kamennej - paleolite, pred desiatkami tisíc rokov. Ako sa to stalo? Ľudia spočiatku iba vizuálne porovnávali rôzne množstvá rovnakých objektov. Mohli určiť, ktorá z dvoch kôp mala viac ovocia, ktoré stádo viac jeleňov atď. Ak jeden kmeň vymenil ulovené ryby za kamenné nože vyrobené ľuďmi druhého kmeňa, nebolo potrebné počítať, koľko rýb bolo prinesených a koľko nožov. K výmene medzi kmeňmi stačilo priložiť k každej rybe nôž.

Aby ste boli úspešní v poľnohospodárstve, potrebujete aritmetické znalosti. Bez počítania dní bolo ťažké určiť, kedy majú polia zasiať, kedy treba začať polievať, kedy čakať potomkov od zvierat. Museli ste vedieť, koľko oviec bolo v stáde, koľko vriec s obilím bolo vložených do maštalí.
A pred viac ako osemtisíc rokmi začali starí pastieri vyrábať hrnčeky z hliny - pre každú ovcu jeden. Aby zistil, či za deň zmizla aspoň jedna ovca, odložil pastier hrnček zakaždým, keď do ohrady vstúpilo iné zviera. A až potom, čo sa ubezpečil, že ovce vrátili toľko, koľko bolo kruhov, si pokojne išiel ľahnúť. Ale v jeho stáde neboli iba ovce - pásol kravy, kozy a somáre. Z hliny preto museli zmiznúť ďalšie figúrky. A poľnohospodári pomocou hlinených figúrok viedli záznamy o pozberanej úrode, v ktorej si všimli, koľko vriec s obilím sa vložilo do stodoly, koľko džbánov oleja bolo vytlačených z olív, koľko kusov plátna bolo utkaných. Ak ovca porodila potomka, pastier pridal do kruhov nové a ak niektoré z oviec išli na mäso, bolo treba niekoľko kruhov odstrániť. Takže zatiaľ čo nevedeli, ako počítať, starí ľudia sa zaoberali aritmetikou.

Potom sa v ľudskom jazyku objavili číslice a ľudia boli schopní pomenovať počet predmetov, zvierat, dní. Spravidla bolo takýchto čísel málo. Napríklad kmeň rieky Murray v Austrálii mal dve jednoduché číslice: Enea (1) a Petcheval (2). Ďalšie čísla vyjadrili zloženými číslicami: 3 \u003d „petcheval-ea“, 4 „petcheval-petcheval“ atď. Iný austrálsky kmeň Kamiloroi mal jednoduché číslice mal (1), bulan (2), guliba (3). A tu sa ďalšie čísla získali pridaním menej: 4 \u003d "bulan - bulan", 5 \u003d "bulan - guliba", 6 \u003d "guliba - guliba" atď.

Pre mnoho ľudí meno čísla záviselo od počítaných predmetov. Ak obyvatelia Fidžijských ostrovov počítali člny, potom sa číslo 10 nazývalo „bolo“; ak počítali kokosové orechy, číslo 10 sa volalo „karo“. To isté robili aj Nivchovia žijúci na Sachalíne a na brehoch Amuru. Aj v minulom storočí volali to isté číslo rôznymi slovami, ak počítali ľudí, ryby, člny, siete, hviezdy, palice.

Stále používame rôzne neurčité čísla s významom „veľa“: „dav“, „stádo“, „stádo“, „halda“, „parta“ a ďalšie.

S rozvojom výrobnej a obchodnej výmeny ľudia začali lepšie chápať, čo majú spoločné tri člny a tri sekery, desať šípov a desať orechov. Kmene často vymieňali predmet za predmet; napríklad vymenili 5 jedlých koreňov za 5 rýb. Ukázalo sa, že 5 je rovnaká pre korene aj pre ryby; preto sa dá nazvať jedným slovom.

Podobné metódy počítania používali aj iné národy. Takto vzniklo číslovanie na základe počtu päť, desiatok, dvadsať.

Doteraz sme hovorili o orálnom počítaní. Ako boli zaznamenané čísla? Najskôr, ešte pred príchodom písania, používali zárezy na paličkách, zárezy na kostiach, uzly na lanách. Vlčia kosť nájdená v Dolných Vestoniciach (Československo) mala 55 rezov vykonaných pred 25 000 rokmi.

Keď sa objavilo písanie, zjavili sa aj čísla na písanie čísel. Čísla spočiatku pripomínali zárezy na paličkách: v Egypte a Babylone, v Etrúrii a Datoch, v Indii a Číne sa malé počty písali palicami alebo pomlčkami. Napríklad číslo 5 bolo napísané piatimi palicami. Indiáni Asteka a Maya používali namiesto paličiek bodky. Potom existovali špeciálne znaky pre niektoré čísla, napríklad 5 a 10.

V tom čase nebolo takmer všetko číslovanie pozičné, ale podobné rímskemu číslovaniu. Iba jedno babylonské sexageimálne číslovanie bolo pozičné. Ale ani v ňom dlho nebola nula, rovnako ako čiarka oddeľujúca celú časť od zlomkovej. Rovnaké číslo preto mohlo znamenať 1, 60 alebo 3600. Význam čísla bolo treba uhádnuť podľa významu úlohy.

Niekoľko storočí pred novou érou bol vynájdený nový spôsob písania čísel, pri ktorom písmená obyčajnej abecedy slúžili ako čísla. Prvých 9 písmen označovalo desiatky 10, 20, ..., 90 a ďalších 9 písmen označovalo stovky. Toto abecedné číslovanie sa používalo až do 17. storočia. Na rozlíšenie „skutočných“ písmen od čísel bola nad písmenami-číslami umiestnená pomlčka (v Rusku sa táto pomlčka nazývala „titlo“).

Pri všetkých týchto číslovaniach bolo veľmi ťažké vykonať aritmetické operácie. Preto vynález v 6. storočí. Indovia s desatinným pozičným číslovaním sú oprávnene považovaní za jeden z najväčších úspechov ľudstva. Indické číslovanie a indické číslice boli v Európe známe od Arabov a zvyčajne sa im hovorí arabčina.

Pri dlhšom písaní zlomkov bola celá časť napísaná v novom desatinnom číslovaní a zlomok - v šestnástke. Ale na začiatku 15. storočia. Samarkandský matematik a astronóm al - Kashi začal vo svojich výpočtoch používať desatinné zlomky.

Čísla, s ktorými pracujeme, sú kladné a záporné čísla. Ukázalo sa však, že to nie sú všetky čísla, ktoré sa používajú v matematike a iných vedách. A môžete sa o nich dozvedieť bez čakania na strednú školu, ale oveľa skôr, keď študujete históriu vzniku čísel v matematike.

1.2 „Zázrak - pulty“

Rozumie všetkému na prvý pohľad a okamžite sformuluje záver, ku ktorému bežný človek, možno, dospeje dlhou a bolestivou meditáciou. Absorbuje knihy neuveriteľnou rýchlosťou a na prvom mieste v jeho užšom výbere bestsellerov je učebnica zábavnej matematiky. V okamihu riešenia najťažších a neobvyklých úloh mu v očiach horel oheň inšpirácie. Žiadosti o návštevu obchodu alebo umývanie riadu sú ignorované alebo sa stretávajú s veľkou nespokojnosťou. Najlepšou odmenou je návšteva prednáškovej sály a najcennejším darčekom je kniha. Je čo najpraktickejší a vo svojich činoch sa v zásade riadi rozumom a logikou. K ľuďom vo svojom okolí sa správa chladne a pred kolieskovými korčuľami bude mať radšej šachovú hru s počítačom. Ako dieťa si uvedomuje svoje vlastné nedostatky po rokoch, vyznačuje sa zvýšenou emocionálnou stabilitou a prispôsobivosťou vonkajším okolnostiam.

Tento portrét nebol v žiadnom prípade namaľovaný analytikom CIA.
Podľa psychológov teda ľudská kalkulačka vyzerá ako jedinec s jedinečnými matematickými schopnosťami, ktoré mu umožňujú bez mihnutia oka robiť najkomplexnejšie výpočty v jeho mysli.

Za hranicou vedomia stojí zázrak - účtovníci, ktorí sú schopní bez kalkulačky vykonávať nepredstaviteľne zložité aritmetické operácie, majú jedinečné pamäťové vlastnosti, ktoré ich odlišujú od ostatných ľudí. Je pravidlom, že okrem obrovských radov vzorcov a výpočtov majú títo ľudia (vedci ich nazývajú mnemotechnikou - z gréckeho slova mnemonika, čo znamená „umenie memorovania“) vo svojej hlave zoznamy adries nielen priateľov, ale aj náhodných známych, ako aj mnohých organizácií, kde kedysi museli byť.

V laboratóriu Výskumného ústavu psychotechnológie, kde sa rozhodli fenomén preskúmať, uskutočnili takýto experiment. Pozvali jedinečného človeka - zamestnanca Ústredného štátneho archívu v Petrohrade, ktorému boli ponúknuté rôzne slová a čísla na zapamätanie. Musel ich opakovať. Len za pár minút dokázal opraviť až sedemdesiat prvkov v pamäti. Desiatky slov a čísel sa Alexandrovi doslova „naložili“ do pamäti. Keď počet prvkov presiahol dvesto, rozhodli sme sa otestovať jeho schopnosti. Na prekvapenie účastníkov experimentu megapamäť nepriniesla jediné zlyhanie. Pohybujúc perami na chvíľu začal s úžasnou presnosťou reprodukovať celú sériu prvkov, akoby čítal.

Ďalším, napríklad, jedným vedcom - výskumníkom bol experiment s mademoiselle Osakou. Subjekt bol požiadaný, aby získal druhú mocninu 97, aby získal desiatu mocninu tohto čísla. Urobila to okamžite.

Aron Chikashvili žije v oblasti Van v západnom Gruzínsku. Vo svojej mysli rýchlo a presne vykonáva zložité výpočty. Priatelia sa akosi rozhodli vyskúšať schopnosti „zázračného pultu“. Úloha bola ťažká: koľko slov a listov povie hlásateľ pri komentovaní druhej polovice futbalového zápasu „Spartak“ (Moskva) - „Dynamo“ (Tbilisi). Súčasne bol zapnutý magnetofón. Odpoveď prišla, akonáhle rečník povedal posledné slovo: 17427 písmen, 1835 slov. Kontrola trvala… .5 hodín. Odpoveď sa ukázala ako správna.

Hovorí sa, že Gaussov otec zvykol svojim zamestnancom platiť na konci týždňa, keď im pripočítaval mzdy za každý deň za prácu nadčas. Jedného dňa potom, čo Gauss otec dokončil výpočty, dieťa, ktoré malo tri roky, sledovalo otcove operácie a zvolalo: „Oci, počet nie je správny! To by mala byť suma. ““ Výpočty sa opakovali a boli prekvapení, že sa dieťa uistilo o správnom množstve.

Je zaujímavé, že mnoho „počítadiel zázrakov“ vôbec netuší, ako sa počítajú. "Počítame, to je všetko!" A ako si myslíme, Boh ho pozná. ““ Niektorí „počítadlá“ boli úplne nevzdelaní ľudia. Angličan Buxton, „virtuózny pult“, sa nikdy nenaučil čítať; Americký „čierny pult“ Thomas Fuller zomrel negramotný vo veku 80 rokov.

Súťaže sa konali v Ústave kybernetiky Ukrajinskej akadémie vied. Súťaže sa zúčastnili mladý „proti fenomén“ Igor Shelushkov a počítač „Mir“. Stroj urobil niekoľko zložitých matematických operácií za niekoľko sekúnd. Víťazom v tejto súťaži sa stal Igor Shelushkov.

Väčšina z týchto ľudí má vynikajúce spomienky a darčeky. Ale niektorí z nich vôbec nemajú matematiku. Poznajú tajomstvo! A toto tajomstvo spočíva v tom, že si rýchlo osvojili techniky rýchleho počítania, zapamätali si niekoľko špeciálnych vzorcov. Ale belgický zamestnanec, ktorý za 30 sekúnd podľa ním navrhnutého viacmiestneho čísla získaného samostatným vynásobením určitého čísla 47-krát, zavolá na toto číslo (extrahuje koreň 47.

stupňa z viacciferného čísla), dosiahla na svojom konte taký obrovský úspech ako výsledok dlhoročného školenia.

Mnoho „počítadiel javov“ teda používa špeciálne techniky rýchleho počítania a špeciálne vzorce. To znamená, že môžeme tiež použiť niektoré z týchto techník.

KapitolaII ... Staré spôsoby množenia.

2.1. Ruský sedliacky spôsob množenia.

V Rusku pred 2 - 3 storočiami bola medzi roľníkmi niektorých provincií rozšírená metóda, ktorá si nevyžadovala znalosť celej multiplikačnej tabuľky. Bolo len potrebné vedieť sa množiť a deliť číslom 2. Táto metóda sa volala roľník (existuje názor, že pochádza z egyptského jazyka).

Príklad: vynásobte 47 krát 35,

Napíšme čísla na jeden riadok, nakreslíme medzi ne zvislú čiaru;

Ľavé číslo sa vydelí 2, pravé číslo sa vynásobí 2 (ak sa počas delenia objaví zvyšok, potom zvyšok zahodíme);

Rozdelenie končí, keď sa jeden objaví vľavo;

Prečiarknite tie čiary, v ktorých sú vľavo párne čísla;

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Mriežková metóda.

jeden). V Bagdade žil a pracoval významný arabský matematik a astronóm Abu Moussa al - Khorezmi. "Al - Khorezmi" doslovne znamená "z Khorezmu", to znamená, že sa narodil v meste Khorezm (dnes súčasť Uzbekistanu). Vedec pracoval v Dome múdrosti, kde bola knižnica a observatórium, pôsobili tu takmer všetci významní arabskí vedci.

O živote a diele Muhammada al - Chorezmiho je veľmi málo informácií. Zachovali sa iba dve jeho diela - o algebre a aritmetike. Posledná z týchto kníh poskytuje štyri pravidlá pre aritmetické operácie, rovnaké ako tie, ktoré sa používajú dnes.

2). V jeho „Kniha indických účtov“ vedec opísal metódu vynájdenú v starovekej Indii a neskôr ju zavolal „Mriežková metóda“ (on je „žiarlivosť“). Táto metóda je ešte jednoduchšia ako tá, ktorá sa používa dnes.

Vynásobme 25 a 63.

Nakreslíme tabuľku, v ktorej sú dve bunky na dĺžku a dve na šírku, zapíšeme si jedno číslo na dĺžku a ďalšie na šírku. Do buniek napíšeme výsledok vynásobenia týchto čísel, na ich priesečníku oddelíme desiatky a jedničky uhlopriečkou. Výsledné čísla pridáme diagonálne a výsledok je možné čítať pozdĺž šípky (dole a doprava).

Zvažovali sme jednoduchý príklad, avšak túto metódu je možné použiť na násobenie akýchkoľvek viacciferných čísel.

Uvažujme ešte jeden príklad: vynásobme 987 a 12:

Nakreslite obdĺžnik 3 x 2 (podľa počtu desatinných miest pre každý multiplikátor);

Potom štvorcové bunky rozdelíme diagonálne;

Do hornej časti tabuľky napíšte číslo 987;

Naľavo od tabuľky je číslo 12 (pozri obrázok);

Teraz do každého štvorca napíšeme súčin čísel - faktory umiestnené v jednom riadku a v rovnakom stĺpci s týmto štvorcom, desiatky nad uhlopriečkou, jednotky dole;

Po vyplnení všetkých trojuholníkov sa čísla v nich pridajú pozdĺž každej uhlopriečky;

Výsledok napíšeme vpravo a dole do tabuľky (pozri obrázok);

987 ∙ 12=11844

Tento algoritmus na znásobenie dvoch prirodzených čísel bol bežný v stredoveku na východe a v Taliansku.

Zaznamenali sme nepríjemnosť tejto metódy v namáhavosti prípravy obdĺžnikovej tabuľky, aj keď samotný proces výpočtu je zaujímavý a vyplnenie tabuľky pripomína hru.

2.3 Indická metóda násobenia

Niektorí skúsení učitelia v minulom storočí sa domnievali, že táto metóda by mala nahradiť všeobecne akceptovanú metódu násobenia v našej škole.

Američanom sa to tak páčilo, že to dokonca nazvali „Americká cesta“. Používali ho však obyvatelia Indie už v 6. storočí. n. a je správnejšie nazvať ho „indickou cestou“. Vynásobte ľubovoľné dve dvojciferné čísla, povedzme 23 číslom 12. Okamžite napíšem, čo sa stane.

Uvidíte: odpoveď bola prijatá veľmi rýchlo. Ako sa to však získava?

Prvý krok: x23 hovorím: „2 x 3 \u003d 6“

Druhý krok: x23 hovorím: „2 x 2 + 1 x 3 \u003d 7“

Tretí krok: x23 hovorím: „1 x 2 \u003d 2“.

12 Píšem 2 naľavo od čísla 7

276 dostaneme 276.

S touto metódou sme sa oboznámili na veľmi jednoduchom príklade bez prekročenia výboja. Náš výskum však ukázal, že sa dá použiť aj pri vynásobení čísel prechodom cez číslicu, ako aj pri vynásobení viacciferných čísel. Tu je niekoľko príkladov:

x528 x24 x15 x18 x317

123 30 13 19 12

V Rusku bola táto metóda známa ako metóda násobenia krížikovým stehom.

V tomto „kríži“ spočíva nepríjemnosť množenia, je ľahké sa zmiasť, navyše je ťažké pamätať na všetky medziprodukty, ktorých výsledky je potom potrebné pripočítať.

2.4. Egyptský spôsob množenia

Označenia čísel, ktoré sa používali v staroveku, boli viac-menej vhodné na zaznamenanie výsledku počítania. Ale bolo veľmi ťažké vykonať aritmetické operácie s ich pomocou, najmä pokiaľ ide o multiplikačnú akciu (try, multiplikácia: ξφß * τδ). Egypťania našli východisko z tejto situácie, preto bola metóda nazvaná egyptský. Násobenie nahradili ľubovoľným číslom zdvojnásobením, teda pridaním čísla k sebe.

Príklad: 34 ∙ 5 \u003d 34 ∙ (1 + 4) \u003d 34 ∙ (1 + 2 ∙ 2) \u003d 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.

Pretože 5 \u003d 4 + 1, potom aby sme dostali odpoveď, zostávalo pridať čísla v pravom stĺpci k číslam 4 a 1, t. J. 136 + 34 \u003d 170.

2.5. Násobenie na prstoch

Starí Egypťania boli veľmi nábožní a verili, že duša zosnulého v posmrtnom živote bola podrobená testu počítania prstov. To už hovorí o dôležitosti, ktorú starí ľudia pripisovali tejto metóde uskutočňovania násobenia prirodzených čísel (dostala meno počítanie prstov).

Na prstoch sa vynásobili jednociferné čísla od 6 do 9. K tomu sa na jednej strane natiahlo toľko prstov, koľko prvý faktor prekročil číslo 5, a na druhom to isté urobili pre druhý faktor . Zvyšok prstov bol ohnutý. Potom vzali toľko desiatok, koľko majú natiahnuté prsty na oboch rukách, a k tomuto číslu pridali súčin ohnutých prstov na prvej a druhej ruke.

Príklad: 8 ∙ 9 \u003d 72

Neskôr sa počet prstov vylepšil - naučili sa ukazovať prstami čísla až do 10 000.

Pohyb prstov

A je tu ešte jeden spôsob, ako pomôcť pamäti: pomocou prstov si zapamätajte násobilku o 9. Položením obidvoch rúk vedľa seba na stôl očíslováme prsty oboch rúk v tomto poradí: prvý prst na vľavo bude 1, druhá za ním bude 2, potom 3, 4 ... až po desiaty prst, čo znamená 10. Ak potrebujete vynásobiť ktorékoľvek z prvých deviatich čísel číslom 9, potom bez toho, aby ste pohli rukami od tabuľky musíte zdvihnúť ten prst, ktorého číslo znamená číslo, ktorým sa vynásobí deväť; potom počet prstov ležiacich naľavo od zdvihnutého prsta určuje počet desiatok a počet prstov ležiacich napravo od zdvihnutého prsta označuje počet jednotiek výsledného produktu.

Príklad. Predpokladajme, že musíte nájsť produkt 4x9.

S oboma rukami na stole zdvihnite štvrtý prst a rátajte zľava doprava. Potom sú tri prsty (desiatky) pred zdvihnutým prstom a 6 prstov (jedny) za zdvihnutým prstom. Súčet 4 x 9 je teda 36.

Ďalší príklad:

Predpokladajme, že chcete vynásobiť 3 * 9.

Zľava doprava nájdite tretí prst, ten bude narovnaný o 2 prsty, budú to znamenať 2 tucty.

Napravo od ohnutého prsta sa narovná 7 prstov, čo znamená 7 jednotiek. K 27 pridajte 2 desiatky a 7 jednotiek.

Samotné prsty ukazovali toto číslo.

// // /////

Staré metódy násobenia, o ktorých sme uvažovali, ukazujú, že algoritmus používaný v škole na násobenie prirodzených čísel nie je jediný a nebol vždy známy.

Je však dostatočne rýchly a najpohodlnejší.

Kapitola 3. Orálne počítanie - gymnastika mysle

3.1. Násobenie a delenie číslom 4.

Ak chcete číslo vynásobiť číslom 4, dvakrát ho zdvojnásobíte.

Napríklad,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Ak chcete číslo rozdeliť na 4, vydeľte ho dvakrát o 2.

Napríklad,

124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31

2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662

3.2. Násobenie a delenie číslom 5.

Ak chcete číslo vynásobiť číslom 5, musíte ho vynásobiť číslom 10/2, to znamená, vynásobiť číslom 10 a vydeliť číslom 2.

Napríklad,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740

Ak chcete číslo vydeliť číslom 5, musíte ho vynásobiť 0,2, to znamená, že v dvojnásobnom pôvodnom čísle oddeľte poslednú číslicu čiarkou.

Napríklad,

345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Násobenie o 25.

Ak chcete číslo vynásobiť číslom 25, musíte ho vynásobiť číslom 100/4, to znamená, vynásobiť číslom 100 a vydeliť číslom 4.

Napríklad,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700

3.4. Násobenie o 1,5.

Ak chcete číslo vynásobiť číslom 1,5, musíte k pôvodnému číslu pridať polovicu.

Napríklad,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Násobenie o 9.

Na vynásobenie čísla číslom 9 sa mu priradí 0 a pôvodné číslo sa odčíta. Napríklad,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Násobenie o 11.

1 spôsob... Na vynásobenie čísla číslom 11 sa mu priradí 0 a pridá sa pôvodné číslo. Napríklad:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

Metóda 2. Ak chcete číslo vynásobiť číslom 11, urobte to takto: zapíšte si číslo, ktoré chcete vynásobiť číslom 11, a medzi číslice pôvodného čísla vložte súčet týchto číslic. Ak je súčet dvojciferným číslom, potom sa k prvej číslici pôvodného čísla pripočíta 1. Napríklad:

45 * 11 = * 11 = 967

Táto metóda je vhodná iba na vynásobenie dvojciferných čísel.

3.7. Vynásobte trojciferné číslo číslom 101.

Napríklad 125 * 101 \u003d 12625

(prvý faktor zväčšíme o počet jeho stotín a napravo mu priradíme posledné dve číslice prvého faktora)

125 + 1 = 126 12625

Deti sa túto techniku \u200b\u200bľahko naučia, keď si výpočet zapisujú do stĺpca.

x x125 101 + 125 125 _ 12625

x x348 101 +348 348 _ 35148

Ďalší príklad: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

3.8. Zarovnajte číslo končiace na 5.

Ak chcete zarovnať číslo na koniec číslice 5 (napríklad 65), vynásobte počet jeho desiatok (6) počtom desiatok zvýšených o 1 (o 6 + 1 \u003d 7) a výslednému číslu priraďte 25. číslo

(6 * 7 \u003d 42 odpoveď: 4225)

Napríklad:

3.8. Zarovnajte číslo na 50.

Ak chcete štvorčekovať číslo blízke 50, ale väčšie ako 50, postupujte takto:

1) odčítajte od tohto čísla 25;

2) pridajte k výsledku dvoma číslicami druhú mocninu prebytku tohto čísla nad 50.

Vysvetlenie: 58 - 25 \u003d 33, 82 \u003d 64, 582 \u003d 3364.

Vysvetlenie: 67 - 25 \u003d 42, 67 - 50 \u003d 17, 172 \u003d 289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Ak chcete zarovnať číslo na 50, ale menej ako 50, urobte to takto:

1) odčítajte od tohto čísla 25;

2) pripočítajte druhú mocninu nedostatku daného čísla k výsledku dvoma číslicami.

Vysvetlenie: 48 - 25 \u003d 23, 50 - 48 \u003d 2, 22 \u003d 4, 482 \u003d 2304.

Vysvetlenie: 37 - 25 \u003d 12, \u003d 13, 132 \u003d 169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

3.9. Hry

Uhádnutie výsledného čísla.

1. Vymysli číslo. Pridajte k tomu 11; vynásobte výslednú sumu 2; od tejto práce odpočítajte 20; Vynásobte výsledný rozdiel 5 a odčítajte od nového produktu 10-násobok vami zamýšľaného čísla.

Myslím, že máš 10. Správne?

2. Pomysli na číslo. Ráno. Odčítajte od prijatých 1. Prijaté vynásobte 5. K prijatým pripočítajte 20. Vydeľte prijaté 15. Odpočítajte počaté od prijatých.

Získate 1.

3. Pomysli na číslo. Vynásobte ho 6. Odčítajte 3. Vynásobte 2. Sčítajte 26. Odčítajte dvakrát to, čo ste zamýšľali. Vydeľte 10. Odpočítajte svoj plán.

Získate 2.

4. Pomysli na číslo. Znásobte to. Odčítajte 2. Vynásobte 5. Sčítajte 5. Vydeľte 5. Sčítajte 1. Vydeľte podľa plánu. Získate 3.

5. Myslite na číslo, zdvojnásobte ho. Pridajte 3. Vynásobte 4. Odčítajte 12. Rozdeľte podľa plánu.

Získate 8.

Hádanie zamýšľaných čísel.

Pozvite svojich priateľov, aby premýšľali o akýchkoľvek číslach. Nech si každý pridá 5 k zamýšľanému počtu.

Výsledný súčet nech sa vynásobí 3.

Nech odpočíta 7 od práce.

Nech mu od výsledku odpočíta ďalších 8.

Každý vám dá konečný výsledkový list. Pri pohľade na kúsok papiera okamžite každému poviete, aké číslo má na mysli.

(Ak chcete uhádnuť plánované číslo, vydelte výsledok napísaný na kúsku papiera alebo hovorený ústne číslom 3)

Záver

Vstúpili sme do nového tisícročia! Veľké objavy a úspechy ľudstva. Veľa vieme, veľa dokážeme. Zdá sa, že je niečo nadprirodzené, že pomocou čísel a vzorcov možno vypočítať let vesmírnej lode, „ekonomickú situáciu“ v krajine, počasie pre „zajtra“ a melodicky opísať zvuk nôt. Poznáme výrok starogréckeho matematika, filozofa, ktorý žil v 4. storočí pred naším letopočtom - Pytagorasa - „Všetko je číslo!“

Podľa filozofického pohľadu tohto vedca a jeho nasledovníkov čísla riadia nielen mieru a váhu, ale aj všetky javy, ktoré sa vyskytujú v prírode, a sú podstatou harmónie, ktorá vládne vo svete, duši vesmíru.

Popísaním starodávnych metód výpočtu a moderných metód rýchleho počítania sme sa pokúsili ukázať, že tak v minulosti, ako aj v budúcnosti sa človek nezaobíde bez matematiky, vedy vytvorenej ľudskou mysľou.

Štúdium starodávnych metód násobenia ukázalo, že táto aritmetická operácia bola zložitá a zložitá kvôli rozmanitosti metód a ich ťažkopádnej implementácii.

Moderný spôsob množenia je jednoduchý a prístupný každému.

Po zoznámení sa s vedeckou literatúrou objavili rýchlejšie a spoľahlivejšie metódy množenia. Preto je štúdium pôsobenia násobenia nádejnou témou.

Je možné, že prvýkrát mnohí nebudú schopní rýchlo alebo rýchlo vykonať tieto alebo iné výpočty. Nechajte spočiatku zlyhať techniku \u200b\u200buvedenú v práci. Žiaden problém. Potrebujete neustále výpočtové školenie. Z hodiny na hodinu, z roka na rok. Pomôže vám to získať užitočné zručnosti počítania v ústach.

Zoznam použitej literatúry

1. Wangqiang: Učebnica pre 5. ročník. - Samara: vydavateľstvo

„Fedorov“, 1999.

2., Ahadov svet čísel: Študentská kniha, - M. Enlightenment, 1986.

3. „Od hry k poznaniu“, M., „Osvietenie“ 1982.

4. Svechnikov, postavy, úlohy M., Osvietenstvo, 1977.

5. http: // matsievsky. ***** / sys-schi / file15.htm

6. http: // ***** / mod / 1/6506 / hystória. html

MBOU „Stredná škola s. Volnoe "Kharabalinsky okres Astrachanská oblasť

Projekt na:

« Znásobili sa neobvyklé spôsobya ja»

Práce vykonali:

žiaci 5. ročníka :

Tulesheva Amina,

Sultanov Samat,

Kuyanguzova Rasita.

R projektový manažér:

učiteľ matematiky

T.V. Fateeva

Volnoe 201 6 rok .

„Všetko je číslo“ Pytagoras

Úvod

V 21. storočí je nemožné predstaviť si život človeka, ktorý nevykonáva výpočty: jedná sa o obchodníkov, účtovníkov a bežných školákov.

Štúdium takmer každého predmetu v škole si vyžaduje dobré vedomosti z matematiky, bez ktorých by ste tieto predmety nezvládli. V matematike dominujú dva prvky - čísla a číslice s ich nekonečnou rozmanitosťou vlastností a akcií s nimi.

Chceli sme vedieť viac o histórii matematických operácií. Keď sa teraz výpočtová technológia rýchlo rozvíja, mnohým sa nechce trápiť s počítaním v ich hlavách. Preto sme sa rozhodli ukázať nielen to, že samotný proces vykonávania akcií môže byť zaujímavý, ale aj to, že keď si dobre osvojíte techniky rýchleho počítania, môžete argumentovať pomocou počítača.

Relevantnosť tejto témy spočíva v tom, že použitie neštandardných techník pri formovaní výpočtových schopností zvyšuje záujem študentov o matematiku a prispieva k rozvoju matematických schopností.

Cieľ:

Aosvojiť si niektoré neštandardné techniky násobenia a ukázať, že ich aplikácia robí proces výpočtu racionálnym a zaujímavým a na výpočet ktorých stačí ústne počítanie alebo použitie ceruzky, pera a papiera.

Hypotéza:

Eak naši predkovia vedeli, ako sa množit starodávnymi spôsobmi, potom ak sa to moderný školák po štúdiu literatúry o tomto probléme dokáže naučiť alebo sú potrebné nejaké nadprirodzené schopnosti.

Úlohy:

1. Nájdite neobvyklé spôsoby množenia.

2. Naučte sa ich aplikovať.

3. Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie alebo najľahšie, aké sú ponúkané v škole, a použite ich pri počítaní.

4. Naučte spolužiakov hlásiť sa novée spôsoboms násobenie.

Predmet štúdia: násobenie matematickej akcie

Predmet štúdia: spôsoby množenia

Výskumné metódy:

Metóda vyhľadávania pomocou vedeckej a vzdelávacej literatúry, internet;

Metóda výskumu pri určovaní metód násobenia;

Praktická metóda riešenia príkladov;

- - prieskum respondentov o ich znalostiach neštandardných metód násobenia.

Historický odkaz

Existujú ľudia s mimoriadnymi schopnosťami, ktorí dokážu konkurovať počítačom v rýchlosti ústnych výpočtov. Volajú sa „zázračné počítače“. A takých ľudí je veľa.

Hovorí sa, že Gaussov otec, vyplácajúci svojim zamestnancom koncom týždňa, pripočítal mzdu k mzdám za každý deň za prácu nadčas. Jedného dňa potom, čo Gauss otec dokončil výpočty, dieťa, ktoré malo 3 roky, sledovalo otcove operácie a zvolalo: „Tati, výpočet nie je správny! To by mala byť suma! “ Výpočty sa opakovali a s prekvapením zistili, že chlapec označil správnu sumu.

V Rusku na začiatku 20. storočia svojimi schopnosťami zažiaril „kúzelník výpočtov“ Roman Semenovich Levitan, známy pod pseudonymom Arrago. Unikátne schopnosti chlapca sa začali objavovať už v útlom veku. Za pár sekúnd naštvorcoval a kockoval desaťciferné čísla a vyťažil korene rôzneho stupňa. Zdalo sa, že to všetko robí s mimoriadnou ľahkosťou. Táto ľahkosť však klamala a vyžadovala si veľa práce s mozgom.

V roku 2007 Mark Vishnya, ktorý mal vtedy 2,5 roka, urobil svojimi intelektuálnymi schopnosťami dojem na celú krajinu. Mladý účastník šou „Minúta slávy“ ľahko spočítal vo svojej mysli multidigitálne čísla pred svojimi rodičmi a porotou, ktorá pri výpočte použila kalkulačky. Už vo svojich dvoch rokoch ovládal tabuľku kosínusov a sínusov, ako aj niektoré logaritmy.

V Ústave kybernetiky Ukrajinskej akadémie vied sa konali počítačové a ľudské súťaže. Do súťaže sa zapojili mladý kontrarenomén Igor Shelushkov a ZVM Mir. Stroj vykonal za pár sekúnd mnoho zložitých operácií, ale víťazom sa stal Igor Shelushkov.

Na univerzite v Sydney v Indii sa tiež konali súťaže ľudí a strojov. Shakuntala Devi tiež predstihla počítač.

Väčšina z týchto ľudí má vynikajúce spomienky a darčeky. Ale niektoré z nich nemajú žiadne špeciálne schopnosti pre matematiku. Poznajú tajomstvo! A toto tajomstvo je, že zvládli techniky rýchleho počítania, zapamätali si niekoľko špeciálnych vzorcov. To znamená, že aj my môžeme pomocou týchto metód rýchlo a presne počítať.

Metódy výpočtu, ktoré teraz používame, neboli vždy také jednoduché a pohodlné. Za starých čias používali ťažkopádnejšie a pomalšie metódy. A ak by školák 21. storočia mohol cestovať o päť storočí dozadu, ohromil by našich predkov rýchlosťou a presnosťou svojich výpočtov. Chýry o ňom by sa šírili po okolitých školách a kláštoroch, zatienili by slávu najšikovnejších sčítačov tej doby a ľudia by sa zo všetkých strán prichádzali učiť od nového veľkého pána.

Akcie rozmnožovania a delenia boli za starých čias obzvlášť náročné. V tom čase neexistovala žiadna prakticky vyvinutá technika pre každú akciu.

Naopak, súčasne sa používalo takmer tucet rôznych metód rozmnožovania a delenia - metódy navzájom sú zložitejšie, na čo si človek priemerných schopností nedokázal spomenúť. Každý učiteľ počítania dodržiaval svoju obľúbenú techniku, každý „majster divízie“ (boli tu takí špecialisti) chválil svoj vlastný spôsob, ako to robiť.

V knihe V. Bellustina „Ako sa ľudia postupne dostali k skutočnej aritmetike“ je uvedených 27 metód násobenia a autor poznamenáva: „je dosť možné, že v skrýšach knižných depozitárov, roztrúsených v mnohých, je viac metód skrytých , hlavne rukopisné zbierky. “

A všetky tieto metódy množenia - „šach alebo orgán“, „ohýbanie“, „kríž“, „mriežka“, „zozadu“, „diamant“ a ďalšie medzi sebou súperili a boli absorbované s veľkými ťažkosťami.

Pozrime sa na najzaujímavejšie a najjednoduchšie spôsoby množenia.

Staroruský spôsob množenia na prstoch

Toto je jedna z najbežnejších metód, ktorú ruskí obchodníci úspešne používajú už mnoho storočí.

Princíp tejto metódy: násobenie na prstoch jednociferných čísel od 6 do 9. Prsty tu slúžili ako pomocné výpočtové zariadenie.

K tomu na jednej strane natiahli toľko prstov, koľko prvý faktor prekročil číslo 5, a na druhú urobili to isté pre druhý faktor. Zvyšok prstov bol ohnutý. Potom sa zobral počet (celkom) predĺžených prstov a vynásobil sa 10, potom sa vynásobili čísla ukazujúce, koľko prstov bolo ohnutých na rukách, a výsledky sa sčítali.

Napríklad vynásobte 7 x 8. V tomto príklade budú ohnuté 2 a 3 prsty. Ak spočítate počet ohnutých prstov (2 + 3 \u003d 5) a vynásobíte počet nerozbitých prstov (2 3 \u003d 6), získate počet desiatok a jednotiek požadovaného produktu 56. Týmto spôsobom môžete vypočítať súčin akýchkoľvek jednomiestnych čísel vyšších ako 5.

Násobenie pre číslo 9 sa veľmi ľahko reprodukuje „na prstoch“

Rahviezdatieprsty na oboch rukách a dlane otočte od seba. Mentálne postupne priraďte prstom čísla od 1 do 10, počnúc malíčkom ľavej ruky a končiace malíčkom pravej ruky. Povedzme, že chceme vynásobiť 9 číslom 6. Ohnite prst s číslom rovným číslu, ktorým vynásobíme deviatku. V našom príklade musíte ohnúť prst číslo 6. Počet prstov naľavo od zvinutého prsta nám v odpovedi ukazuje počet desiatok, počet prstov napravo je počet tých. Vľavo máme 5 neohnutých prstov, vpravo - 4 prsty. Takže 9 6 \u003d 54.

Násobenie o 9 pomocou buniek notebooku

Vezmite si napríklad 10 buniek do zošita. Preškrtnite 8. políčko. Vľavo je 7 buniek, vpravo 2 bunky. Preto 9 8 \u003d 72. Všetko je veľmi jednoduché!

7 2

Metóda násobenia „Malý hrad“

Výhodou metódy násobenia „Malý hrad“ je, že číslice najvýznamnejších číslic sa určujú od samého začiatku, čo je dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu.Číslice horného čísla, počnúc najvýznamnejšou číslicou, sa striedavo vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s pridaním požadovaného počtu núl. Výsledky sa potom spočítajú.

„Mriežka násobenie “

Najskôr sa nakreslí obdĺžnik, rozdelí sa na štvorce a rozmery strán obdĺžnika zodpovedajú počtu desatinných miest pre multiplikátor a multiplikátor.

Potom sú štvorcové bunky diagonálne rozdelené a „... obrázok vyzerá ako mriežka - žalúzia. Takéto okenice boli zavesené na oknách benátskych domov ... “

„Ruský sedliacky spôsob“

V Rusku bola medzi roľníkmi rozšírená metóda, ktorá si nevyžadovala znalosť celej multiplikačnej tabuľky. Tu potrebujete iba schopnosť vynásobiť a vydeliť čísla dvoma.

Na jeden riadok napíšme jedno číslo vľavo a druhé vpravo. Ľavé číslo sa vydelí 2 a pravé číslo sa vynásobí 2 a výsledky sa zapíšu do stĺpca.

Ak sa počas delenia objaví zvyšok, je zlikvidovaný. Násobenie a delenie o 2 pokračuje, kým 1 nezostane vľavo.

Potom prečiarkneme tie čiary zo stĺpca, v ktorom sú vľavo párne čísla. Teraz spočítajte zostávajúce čísla v pravom stĺpci.

Táto metóda násobenia je oveľa jednoduchšia ako metódy násobenia uvedené vyššie. Ale je tiež veľmi objemný.

„Násobenie krížikom“

Starí Gréci a hinduisti v starých časoch nazývali metódu krížového násobenia „metódou blesku“ alebo „násobenie krížom“.

24 a 32

2 4

3 2

4x2 \u003d 8 - posledná číslica výsledku;

2x2 \u003d 4; 4x3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6 - predposledná postava výsledku, pamätáme si jednotku;

2x3 \u003d 6 a dokonca aj číslo, ktoré máme na pamäti, máme 7 - toto je prvý údaj o výsledku.

Získame všetky čísla produktu: 7,6,8. Odpoveď:768.

Indický spôsob množenia

546 7

5 7=35 35

350+ 4 7=378 378

3780 + 6 7=3822 3822

546 7= 3822

Základ tejto metódy spočíva v myšlienke, že rovnaký počet znamená jednotky, desiatky, stovky alebo tisíce, v závislosti od toho, kde toto číslo zaberá. Obsadené miesto, ak nie sú k dispozícii žiadne číslice, je určené nulami priradenými k čísliciam.

Maťzačneme násobenie najvýznamnejším bitom a neúplné produkty zapisujeme hneď po násobení, kúsok po kúsku. V takom prípade je najvýznamnejšia časť kompletného produktu okamžite viditeľná a navyše je vylúčené vynechanie akejkoľvek číslice. Násobenie nebolo ešte známe, takže medzi faktormi zostávala malá vzdialenosť

Čínsky (výkresový) spôsob násobenia

Príklad č: 12 × 321 = 3852
Nakresliteprvé číslo zhora nadol, zľava doprava: jedna zelená tyčinka (1 ); dve oranžové tyčinky (2 ). 12 nakreslil
Nakreslitedruhé číslo zdola nahor, zľava doprava: tri modré tyčinky (3 ); dve červené (2 ); jeden orgován (1 ). 321 nakreslil

Teraz prejdeme kresbou jednoduchou ceruzkou, rozdelíme priesečníky číselných tyčí na časti a začneme body počítať. Pohyb sprava doľava (v smere hodinových ručičiek):2 , 5 , 8 , 3 . Číslo výsledku budeme „zbierať“ zľava doprava (proti smeru hodinových ručičiek) prijaté3852

Príklad č: 24 × 34 = 816
V tomto príklade sú niektoré nuansy ;-) Pri počítaní bodov v prvej časti sa ukázalo16 ... Posielame unit-add k bodom druhej časti (20 + 1 )…

Príklad č: 215 × 741 = 159315

Počas prác na projekte sme robili prieskum. Študenti odpovedali na nasledujúce otázky.

1. Je nevyhnutné, aby moderný človek počítal?

Áno Nie

2. Poznáte okrem dlhého násobenia aj iné spôsoby množenia?

Áno Nie

3. Používate ich?

Áno Nie

4. Chceli by ste vedieť ďalšie spôsoby množenia?

No nie

Vyspovedali sme študentov v ročníkoch 5 - 10.

Tento prieskum ukázal, že moderní školáci nepoznajú iné metódy vykonávania akcií, pretože sa zriedka obracajú na materiál mimo učebných osnov.

Výkon:

V dejinách matematiky je veľa zaujímavých udalostí a objavov, bohužiaľ nie všetky tieto informácie sa k nám, moderným študentom, dostanú.

Touto prácou sme chceli túto medzeru aspoň trochu vyplniť a sprostredkovať našim rovesníkom informácie o starodávnych metódach množenia.

V priebehu robotov sme sa dozvedeli o pôvode multiplikačnej akcie. Za starých čias nebolo ľahké zvládnuť túto činnosť, vtedy, tak ako teraz, neexistovala v praxi jediná metóda. Naopak, súčasne sa používalo takmer tucet rôznych metód násobenia - metódy navzájom sú zložitejšie, pevnejšie, na čo si človek priemerných schopností nedokázal spomenúť. Každý učiteľ počítania dodržiaval svoju obľúbenú techniku, každý „majster“ (boli tu takí špecialisti) chválil svoj vlastný spôsob, ako to robiť. Dokonca sa pripúšťalo, že na zvládnutie umenia rýchleho a bezchybného násobenia viacciferných čísel je potrebný špeciálny prirodzený talent, výnimočné schopnosti; táto múdrosť nie je k dispozícii bežným ľuďom.

Našou prácou sme dokázali, že naša hypotéza je správna, na to, aby ste mohli používať staré metódy násobenia, nepotrebujete mať nadprirodzené schopnosti. A tiež sme sa naučili, ako vyberať materiál, spracovávať ho, to znamená zvýrazňovať hlavnú vec a systematizovať ho.

Keď sme sa naučili počítať všetkými prezentovanými spôsobmi, prišli sme k záveru: že najjednoduchšie spôsoby sú tie, ktoré sa učíme v škole, alebo sme si na ne možno len zvykli.

Moderný spôsob množenia je jednoduchý a prístupný každému.

Myslíme si však, že náš spôsob násobenia v stĺpci nie je dokonalý a môžeme prísť s ešte rýchlejšími a spoľahlivejšími spôsobmi.

Je možné, že prvýkrát mnohí nebudú schopní rýchlo, na cestách, vykonať tieto alebo iné výpočty.

Žiaden problém. Potrebujete neustále výpočtové školenie. Pomôže vám to získať užitočné slovné počítanie!

Zoznam referencií

1. Glazer, GI Dejiny matematiky v škole ⁄ GI Glazer ⁄ Dejiny matematiky v škole: sprievodca pre učiteľov ⁄ editoval VN Molodshiy. - M.: Education, 1964. - S. 376.

Perelman Ya. I. Zábavná aritmetika: hádanky a kuriozity vo svete čísel. - M.: Rusanov Publishing House, 1994. - S. 142.

Encyklopédia pre deti. T. 11. Matematika / Kapitola. vyd. M. Aksenova. - M.: Avata +, 2003. - S. 130.

Časopis „Mathematics“ №15 2011

Internetové zdroje.

Účel práce: Preskúmať a ukázať neobvyklé spôsoby množenia Ciele: Nájsť neobvyklé spôsoby množenia. Naučte sa ich aplikovať. Vyberte si pre seba tie najzaujímavejšie alebo najľahšie, než aké ponúka škola, a použite ich pri počítaní. Naučte spolužiakov používať nový spôsob násobenia

Metódy: metóda vyhľadávania pomocou vedeckej a vzdelávacej literatúry, ako aj vyhľadávanie potrebných informácií na internete; praktická metóda na vykonávanie výpočtov pomocou neštandardných algoritmov počítania; analýza údajov získaných počas výskumu Dôležitosť tejto témy spočíva v tom, že použitie neštandardných techník pri formovaní výpočtových schopností zvyšuje záujem študentov o matematiku a prispieva k rozvoju matematických schopností.

Na hodinách matematiky sme sa naučili neobvyklý spôsob množenia pomocou stĺpca. Páčilo sa nám to a rozhodli sme sa nájsť ďalšie spôsoby znásobenia prirodzených čísel. Spýtali sme sa spolužiakov, či poznajú iné spôsoby počítania? Každý hovoril iba o metódach, ktoré sa vyučujú v škole. Ukázalo sa, že všetci naši priatelia nevedia nič o iných metódach. V histórii matematiky existuje asi 30 metód násobenia, ktoré sa líšia schémou písania alebo priebehom samotného výpočtu. Metóda násobenia stĺpcov, ktorú sa učíme v škole, je jedna cesta. Je to však najefektívnejší spôsob? Pozrime sa! Úvod

Toto je jedna z najbežnejších metód, ktorú ruskí obchodníci úspešne používajú už mnoho storočí. Princíp tejto metódy: násobenie na prstoch jednociferných čísel od 6 do 9. Prsty tu slúžili ako pomocné výpočtové zariadenie. K tomu na jednej strane natiahli toľko prstov, koľko prvý faktor prekročil číslo 5, a na druhú urobili to isté pre druhý faktor. Zvyšok prstov bol ohnutý. Potom sa zobral počet (celkom) predĺžených prstov a vynásobil sa 10, potom sa vynásobili čísla ukazujúce, koľko prstov bolo ohnutých na rukách, a výsledky sa sčítali. Napríklad vynásobte 7 x 8. V tomto príklade budú ohnuté 2 a 3 prsty. Ak spočítate počet ohnutých prstov (2 + 3 \u003d 5) a vynásobíte počet nerozbitých prstov (23 \u003d 6), získate desiatky a jednotky požadovaného produktu, respektíve 56. Takže môžete vypočítať produkt jednociferných čísel vyšších ako 5.

Násobenie pre číslo 9 sa dá „na prstoch“ veľmi ľahko reprodukovať. Roztiahnite prsty na oboch rukách a otočte ruky dlaňami od seba. Mentálne si priraďte k prstom čísla od 1 do 10, počnúc malíčkom ľavej ruky a končiacim malíčkom pravej ruky. Povedzme, že chceme vynásobiť 9 číslom 6. Ohnite prst s číslom rovným číslu, ktorým vynásobíme deviatku. V našom príklade musíte ohnúť prst číslo 6. Počet prstov naľavo od zvinutého prsta nám v odpovedi ukazuje počet desiatok, počet prstov napravo je počet tých. Vľavo máme 5 neohnutých prstov, vpravo - 4 prsty. Takže 9 6 \u003d 54.

Metóda násobenia „Malý hrad“ Výhodou metódy násobenia „Malý hrad“ je, že najvýznamnejšie číslice sa určujú od samého začiatku, čo je dôležité, ak potrebujete rýchlo odhadnúť hodnotu. Číslice horného čísla, počnúc najvýznamnejšou číslicou, sa striedavo vynásobia dolným číslom a zapíšu sa do stĺpca s pridaním požadovaného počtu núl. Výsledky sa potom spočítajú.

„Žiarlivosť“ alebo „násobenie mriežky“ Najskôr sa nakreslí obdĺžnik, ktorý sa rozdelí na štvorce a rozmery strán obdĺžnika zodpovedajú počtu desatinných miest v multiplikátore a multiplikátore. Potom sa štvorcové bunky rozdelia diagonálne, a „... získa sa obrázok, ktorý vyzerá ako mriežkové okenice, - píše Pacioli. „Takéto okenice boli zavesené na oknách benátskych domov ...“

Mriežkové násobenie \u003d +1 +2

Roľnícky spôsob Toto je spôsob veľkých ruských roľníkov. Jeho podstata spočíva v tom, že znásobenie ľubovoľného počtu sa zníži na sériu postupných rozdelení jedného čísla na polovicu, zatiaľ čo ďalšie číslo sa zdvojnásobí ………. 32 74 …… … ……… .8 296 ……… .4 592 ……… ……… 1 3732 \u003d 1184

Sedliacky spôsob (nepárne čísla) 47 x \u003d 1645

Krok 1. prvé číslo 15: Nakreslite prvé číslo - jedným riadkom. Druhé číslo nakreslíme piatimi čiarami. Krok 2. druhé číslo 23: Prvé číslo nakreslite dvoma riadkami. Druhé číslo nakreslíme tromi čiarami. Krok 3. Spočítajte počet bodov v skupinách. Krok 4. Výsledok - 345. Vynásobte dve dvojciferné čísla: 15 * 23

Indická metóda násobenia (krížová) 24 a X 3 2 1) 4x2 \u003d 8 - posledná číslica výsledku; 2) 2x2 \u003d 4; 4x3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6- predposledný údaj o výsledku, pamätáme si jednotku; 3) 2x3 \u003d 6 a dokonca aj číslo, ktoré máme na pamäti, máme 7 - toto je prvý údaj o výsledku. Získame všetky čísla produktu: 7,6,8. Odpoveď: 768.

Indický spôsob násobenia \u003d \u003d \u003d \u003d 3822 Základom tejto metódy je myšlienka, že rovnaký počet znamená jednotky, desiatky, stovky alebo tisíce, podľa toho, kde toto číslo zaberá. Obsadené miesto, ak nie sú k dispozícii žiadne číslice, je určené nulami priradenými k čísliciam. začneme násobenie s najvýznamnejším bitom a neúplné produkty zapisujeme kúsok za multiplikátorom. V takom prípade je najvýznamnejšia časť kompletného produktu okamžite viditeľná a navyše je vylúčené vynechanie akejkoľvek číslice. Násobenie nebolo ešte známe, takže medzi faktormi zostávala malá vzdialenosť

Referenčné číslo Vynásobte 18 * 19 20 (referenčné číslo) * 2 1 (18-1) * 20 \u003d Odpoveď: 342 Krátka notácia: 18 * 19 \u003d 20 * 17 + 2 \u003d 342

Nový spôsob násobenia X \u003d, 5 + 2, 5 + 3, 0 + 2, 0 + 3, 5

Záver: Keď sme sa naučili počítať všetkými prezentovanými spôsobmi, prišli sme k záveru: že najjednoduchšie metódy sú tie, ktoré študujeme v škole, alebo sme si na ne možno len zvykli. Zo všetkých uvažovaných neobvyklých metód počítania je metóda grafické násobenie sa zdalo zaujímavejšie. Ukázali sme ho spolužiakom a tiež sa im veľmi páčil. Najjednoduchšou sa javila metóda „zdvojnásobenia a zdvojnásobenia“, ktorú používali ruskí roľníci. Po práci s literatúrou a materiálmi na internete sme si uvedomili, že sme uvažovali o veľmi malom počte metód násobenia, čo znamená, že pred nami je veľa zaujímavých vecí.

Záver Popísaním starodávnych metód výpočtu a moderných metód rýchleho počítania sme sa pokúsili ukázať, že tak v minulosti, ako aj v budúcnosti sa nemožno zaobísť bez matematiky, vedy vytvorenej ľudskou mysľou. násobenie ukázalo, že táto aritmetická operácia bola zložitá a zložitá kvôli rôznorodosti metód a ich ťažkopádnej implementácii. Moderná metóda násobenia je jednoduchá a prístupná každému. Myslíme si však, že náš spôsob množenia v stĺpci nie je dokonalý a môžeme prísť s ešte rýchlejšími a spoľahlivejšími spôsobmi. Je možné, že prvýkrát mnohí nebudú schopní rýchlo, na cestách, vykonať tieto alebo iné výpočty. To nevadí. Potrebujete neustále výpočtové školenie. Pomôže vám to získať užitočné slovné počítanie!

Použité materiály: html Encyklopédia pre deti. "Matematika". - M.: Avanta +, - 688 s. Encyklopédia „Spoznávam svet. Matematika". - M.: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Rýchle počítanie. Tridsať jednoduchých techník slovného počítania. L., s.