Guľa, lopta, segment a sektor. Sférické vzorce a vlastnosti

Definícia.

Guľa (povrch gule) je súhrn všetkých bodov v trojrozmernom priestore, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od jedného bodu, tzv stred gule (O).

Guľu možno opísať ako trojrozmerný útvar, ktorý je tvorený otáčaním kruhu okolo jeho priemeru o 180 ° alebo polkruhu okolo jeho priemeru o 360 °.

Definícia.

Ples je súhrn všetkých bodov v trojrozmernom priestore, ktorých vzdialenosť nepresahuje určitú vzdialenosť k bodu zvanému stred lopty (O) (množina všetkých bodov trojrozmerného priestoru ohraničených guľou).

Guľu môžeme označiť ako trojrozmernú figúru, ktorá sa vytvorí otočením kruhu okolo jeho priemeru o 180 ° alebo polkruhu okolo jeho priemeru o 360 °.

Definícia. Polomer gule (gule) (R) je vzdialenosť od stredu gule (gule) O do ktoréhokoľvek bodu gule (povrchu gule).

Definícia. Priemer gule (gule) (D) je úsečka spájajúca dva body gule (povrch gule) a prechádzajúca jej stredom.

Vzorec. Objem lopty:

V \u003d	4	π R3 \u003d	1	π D 3
	3		6

Vzorec. Povrch gule cez polomer alebo priemer:

S \u003d 4π R 2 \u003d π D 2

Sférická rovnica

1. Rovnica gule s polomerom R a stredom na začiatku karteziánskeho súradnicového systému:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d R2

2. Rovnica gule s polomerom R a stredom v bode so súradnicami (x 0, y 0, z 0) v karteziánskom súradnicovom systéme:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 \u003d R2

Definícia. Diametrálne opačné body sú ľubovoľné dva body na povrchu gule (gule), ktoré sú spojené priemerom.

Základné vlastnosti gule a lopty

1. Všetky body gule sú rovnako vzdialené od stredu.

2. Akákoľvek časť gule rovinou je kruh.

3. Akákoľvek časť gule rovinou je kruh.

4. Guľa má najväčší objem zo všetkých priestorových útvarov s rovnakou povrchovou plochou.

5. Prostredníctvom ľubovoľných dvoch diametrálne protiľahlých bodov môžete nakresliť sadu veľkých kruhov pre guľu alebo kruhov pre loptu.

6. Prostredníctvom ľubovoľných dvoch bodov, okrem diametrálne odlišných bodov, môžete nakresliť iba jeden veľký kruh pre guľu alebo veľký kruh pre loptu.

7. Akékoľvek dva veľké kruhy tej istej lopty sa pretínajú v priamke prechádzajúcej stredom lopty a kruhy sa pretínajú v dvoch diametrálne opačných bodoch.

8. Ak je vzdialenosť medzi stredmi ľubovoľných dvoch guľôčok menšia ako súčet ich polomerov a väčšia ako modul rozdielu medzi ich polomermi, potom tieto guľky pretínajú saa v priesečnej rovine sa vytvorí kruh.

Sekans, akord, sekansová rovina gule a ich vlastnosti

Definícia. Sekané gule je priamka, ktorá pretína guľu v dvoch bodoch. Priesečníky sa nazývajú piercingové body povrch alebo vstupné a výstupné body na povrchu.

Definícia. Akord gule (gule) je úsečka spájajúca dva body gule (povrch gule).

Definícia. Rovina rezu je rovina, ktorá pretína guľu.

Definícia. Diametrálna rovina je sečanová rovina prechádzajúca stredom gule alebo gule, sechenme vytvára resp veľký kruh a veľký kruh... Veľký kruh a veľký kruh majú stred, ktorý sa zhoduje so stredom gule (gule).

Akýkoľvek akord prechádzajúci stredom gule (gule) je priemer.

Akord je segment secantovej čiary.

Vzdialenosť d od stredu gule k sekans je vždy menšia ako polomer gule:

d< R

Vzdialenosť m medzi rovinou rezu a stredom gule je vždy menšia ako polomer R:

m< R

Miesto rezu roviny rezu na guli bude vždy malý kruh, a na lopte bude oddiel malý kruh... Malý kruh a malý kruh majú svoje stredy, ktoré sa nezhodujú so stredom gule (gule). Polomer r takejto kružnice nájdete podľa vzorca:

r \u003d √R 2 - m 2,

Kde R je polomer gule (gule), m je vzdialenosť od stredu gule k secantovej rovine.

Definícia. Pologuľa (pologuľa) - to je polovica gule (gule), ktorá sa vytvorí, keď je prerezaná diametrálnou rovinou.

Tečná rovina, dotyčná rovina ku guli a ich vlastnosti

Definícia. Sférická tangenta je priamka, ktorá sa dotýka gule iba v jednom bode.

Definícia. Dotyková rovina ku guli je rovina, ktorá je v kontakte so sférou iba v jednom bode.

Dotyčnica (rovina) je vždy kolmá na polomer gule nakreslený k bodu dotyku

Vzdialenosť od stredu gule k dotyčnici (rovine) sa rovná polomeru gule.

Definícia. Loptový segment je časť gule, ktorá je od guľky odrezaná reznou rovinou. Jadro segmentu nazval kruh, ktorý sa sformoval na úseku. Výška segmentu h je dĺžka kolmice nakreslenej od stredu základne segmentu k povrchu segmentu.

Vzorec. Vonkajšia plocha segmentu gule s výškou h polomerom gule R:

S \u003d 2π Rh

Poznámka... Toto je časť hodiny s problémami s geometriou (stereometrická časť, problémy s guľami). Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je - napíš o tom na fóre... V úlohách sa namiesto symbolu „druhá odmocnina“ používa funkcia sqrt (), v ktorej je sqrt symbolom druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách. Pre jednoduché radikálne výrazy znak"√".

Úloha

Do gule je vpísaný kužeľ, ktorého priamka je rovná l a uhol na vrchole axiálneho rezu je 60 stupňov. Nájdite oblasť gule.

Rozhodnutie.
Plochu gule nájdeme podľa vzorca:

Pretože je vo sfére vpísaný kužeľ, nakreslíme rez vrcholom kužeľa, ktorým bude rovnoramenný trojuholník. Pretože uhol na vrchole axiálneho rezu je 60 stupňov, trojuholník je rovnostranný (súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov, takže zostávajúce uhly sú (180-60) / 2 \u003d 60, to znamená všetky uhly sú rovnaké).

Odkiaľ sa polomer gule rovná polomeru kruhu opísaného okolo rovnostranného trojuholníka. Strana trojuholníka sa rovná l podmienkou. Tj

Teda oblasť gule

S \u003d 4π (√3 / 3 l) 2
S \u003d 4 / 3πl 2

Odpoveď: plocha gule je 4 / 3πl 2.

Úloha

Nádoba je vo forme pologule (pologule). Obvod základne je 46 cm, na 1 meter štvorcový sa spotrebuje 300 gramov farby. Koľko farby je potrebné na natretie nádoby?

Rozhodnutie.
Plocha povrchu obrázku bude polovica plochy gule a plocha prierezu gule.
Pretože poznáme obvod základne, nájdeme jej polomer:
L \u003d 2πR
Odkiaľ
R \u003d L / 2π
R \u003d 46 / 2π
R \u003d 23 / π

Odkiaľ je základná plocha
S \u003d πR2
S \u003d π (23 / π) 2
S \u003d 529 / π

Plochu gule nájdeme podľa vzorca:
S \u003d 4πr 2

Podľa toho oblasť pologule
S \u003d 4πr 2/2
S \u003d 2π (23 / π) 2
S \u003d 1058 / π

Celková plocha obrázku je:
529 / π + 1058 / π \u003d 1587 / π

Teraz poďme vypočítať spotrebu farby (vezmime do úvahy, že spotreba je uvedená na meter štvorcový a vypočítaná hodnota je v centimetroch štvorcových, to znamená 10 000 štvorcových centimetrov v jednom metri)
1587 / π * 300/10 000 \u003d 47,61 / π gramov ≈ 15,15 g

Úloha

Rozhodnutie. Riešenie.

	Aby sme objasnili riešenie, komentujeme každý z vyššie uvedených vzorcov Použijeme vzorec na nájdenie povrchu gule a zapíšeme ju pre prvú guľu za predpokladu, že je jej polomer R 1 Plochu druhej gule napíšeme pomocou úplne rovnakého vzorca za predpokladu, že je jej polomer R 2 Nájdeme pomer ich plôch vydelením prvého výrazu druhým. Zredukujme výsledný zlomok. Je ľahké vidieť, že pomer plôch dvoch guľôčok sa rovná pomeru štvorcov ich polomerov. Podľa podmienky problému je tento pomer rovný m / n Zo získanej rovnosti nájdeme pomer polomerov gulí extrakciou druhej odmocniny. Získanú rovnosť si pamätáme Použijeme vzorec na zistenie objemu gule a zapíšeme ju pre prvú guľu s polomerom R 1 Píšeme objem druhej gule pomocou rovnakého vzorca, pričom dosadíme polomer R 2	Pre vysvetlenie rozhodnutia sa vyjadrím k pokožke z uvedených vzorcov Rýchlo, pomocou vzorca, znalosti povrchu tašky a zapísanie pre prvý, po prenesení polomeru rivny R 1 Plochu povrchu druhého môžete zapísať, pre ďalšiu pomoc, presne rovnakými vzorcami po prenose polomeru R 2 Je známe, že sp_vv_dnoshennya їkh oblasti, šírenie potu na strane druhej. Rýchlo otrimanie drіb. Nie je dôležité vidieť, ale priestor dvoch kultúr nie je dôležitý, ale priestor dvoch plodín je veľký. Podľa mysle manažéra spiwdnoshennya rivne m / n Vieme, ako si poradiť s vysielačkami vo vreci s druhou odmocninou. Otriman parita zapam "yataєmo Rýchlo, podľa vzorca, znalosti o „Omu kuli a napíšte“ pre prvý kuli s polomerom R 1 O „Om other kul“ je možné zapísať pomocou tohto receptu samotného a odoslať ho do rádia R 2
	8. Rozdelte objemy prvej a druhej gule do seba 9. Znížte výslednú frakciu. Všimnite si, že pomer objemu dvoch guľôčok sa rovná pomeru kociek ich polomerov. Zoberme do úvahy výraz, ktorý sme získali skôr vo vzorci 4, a dosadme ho. Pretože druhá odmocnina je číslo na 1/2 mocniny, transformujeme výraz 10. Otvoríme zátvorky a zapíšeme výsledný pomer ako podiel. Odpoveď prijatá.	8. Rozdilimo o „Umi prvý a ďalší kuli jeden na jedného 9. Rýchlo drib, scho viyshov. Výsledkom diskusie o „Ja som dve kultúry, prvá polovica počtu kociek v týchto rádiách. 10. Otvorenie luku a odpísanie pomeru pomeru. Výzva otriman.

Plocha zakrivenej plochy, ktorú nemožno otočiť na rovinu, sa počíta takto. Rozbite povrch na kúsky, ktoré sa už od plochých líšia. Potom sa nájdu oblasti týchto kúskov, akoby boli ploché (napríklad ich nahradením výstupkami v rovine, od ktorej sa povrch mierne odchyľuje). Súčet ich plôch poskytne približnú plochu. To sa deje v praxi: povrchová plocha kupoly sa získa ako súčet plôch kusov plechu, ktoré ju zakrývajú (obr. 17.5). Stále

najlepšie to vidno na príklade zemského povrchu. Je zakrivený - zhruba guľovitý. Ale oblasti, ktoré sú malé v porovnaní s celou Zemou, sa merajú ako ploché.

Vypočítajte rovinu gule a popíšte polyedrický povrch v jej blízkosti. Jeho hrany budú zhruba predstavovať kúsky gule a jej plocha poskytuje približnú plochu samotnej gule. Jeho ďalší výpočet je založený na nasledujúcej lemme.

Lemma. Objem mnohostena P ohraničeného okolo gule s polomerom R a jeho povrchová plocha sú dané vzťahom

Poznámka: Oblasť mnohouholníka Q ohraničeného okolo kruhu s polomerom a jeho obvodom súvisí s podobným pomerom (obr. 17.6):

Popíšme okolo sféry nejaký mnohosten P. Nechajme to tváre. P rozdelíme na pyramídy so spoločným vrcholom v strede O a s plochami v základniach (obr. 17.7).

Každá takáto plocha leží v dotykovej rovine gule, a preto je kolmá na polomer gule v bode dotyčnosti. Tento polomer je teda výškou pyramídy. Preto bude jeho objem:

kde je plocha tváre Súčet týchto plôch dáva povrchovú plochu mnohostena P a súčet objemov pyramíd dáva jeho objem Preto

Veta (o ploche gule). Plocha gule s polomerom R je vyjadrená vzorcom:

Nech je daná guľa s polomerom R. Vezmite na nej body, ktoré neležia na jednej pologuli, a nakreslite cez ne dotykové roviny ku guli. Tieto roviny ohraničia mnohosten okolo gule. Nech je objem mnohostena - plocha jeho povrchu, V - objem gule ohraničenej uvažovanou guľou a S - jeho plocha.

Ľudia veľmi často potrebujú poznať presnú veľkosť objektu. Vo výrobe, konštrukcii, modelovaní a omnoho viac je presnosť jedným z hlavných pravidiel. Ideálne postavy sú v prírode veľmi bežné. Jedným z týchto telies je guľa. V stereometrii je pojem „lopta“ definovaný takto: guľa je lokus bodov v rovnakej vzdialenosti od jediného - stredu gule. Vzdialenosť, v ktorej sa nachádzajú všetky tieto body, je konštantná a nazýva sa polomer. Polomer je hlavným parametrom a je veľmi dôležité vedieť vypočítať jeho hodnotu. Existuje mnoho spôsobov, ako vykonať túto operáciu, praktickú aj teoretickú. Vo väčšine z nich sa objavuje koncept čísla „Pi“, ktorý je potrebné pochopiť. Pi je neustále iracionálne transcendentné číslo. To znamená, že jeho desatinný zápis je nekonečný. Samotná konštanta je určená pomerom obvodu kruhu k jeho polomeru. Odpradávna vedci vypočítali hodnotu tohto čísla, v súčasnosti je známych viac ako miliarda desatinných miest. V praxi a najmä v tomto článku budete potrebovať nie príliš presnú hodnotu tejto konštanty. A hoci prvých desať číslic vyzerá ako 3,3, na zistenie polomeru gule sa použije zaokrúhlená hodnota 3,4.

Prvý spôsob je vhodný, ak máte skutočné sférické telo, napríklad loptičku na stolný tenis. Ako vypočítať jeho polomer? K tomu stačí použiť posuvné meradlo, a to umiestniť guľôčku do roztoku kompasu, čím sa získa hodnota jeho priemeru. To sa rovná štyridsať milimetrov, ak sa vezme štandardný model. Teraz zostáva len rozdeliť priemer na polovicu a získa sa presná hodnota polomeru, konkrétne 20 mm. V takýchto prípadoch bude vzorec vyzerať ako R \u003d D / 2, (kde R je polomer a D je priemer gule). Človek však musí často pracovať s abstraktnými telesami a v praxi je nemožné vypočítať ich priemer. V takom prípade, aby ste našli polomer, potrebujete poznať hodnotu nejakej inej veličiny, napríklad objemu alebo povrchovej plochy. Je dôležité zvážiť každý z týchto príkladov osobitne, pretože riešenie sa bude výrazne líšiť. Poskytne ľahký spôsob, ako zistiť polomer gule, vzorec je pripojený sám.

Nech sa dá guľa, ktorej povrch (S) je 10 centimetrov štvorcových. Nájdite jeho polomer. Na začiatok si zapamätajte všeobecný vzorec na výpočet povrchu gule, a to: S \u003d 4 * Pi * (R ^ 2). Teraz sa musíte krok za krokom zbaviť hodnoty R z cudzích faktorov a stupňov: R ^ 2 \u003d S / (4 * Pi), preto R sa bude rovnať druhej odmocnine S / 4 * Pi. Teraz máte všetko, čo potrebujete na vyriešenie pôvodného problému, mali by ste nahradiť známe S do vzorca: R \u003d 10 / (4 * Pi). Ďalej potrebujete pomoc kalkulačky: Pi * 4 \u003d 4 * 3,4 \u003d 2,6. Potom sa vykoná operácia delenia: 10 / 2,6 \u003d 0,3. Druhá odmocnina tejto hodnoty je 0,2, pričom zaokrúhlením tejto hodnoty na desatiny získate 0,9. Nezabudnite tiež na dodržanie rozmerov, plocha bola uvedená v centimetroch štvorcových, čo znamená, že odpoveď bude v bežných centimetroch. Odpoveď: guľa má polomer 0,9 cm. Pre všetky takéto problémy bude všeobecný vzorec vyzerať takto: R \u003d √ (S / (4 * Pi)), kde R je polomer a S je povrchová plocha.

Ďalší príklad. Daná je guľa s objemom 48 litrov. Vypočítajte jeho polomer. Pri riešení tohto problému by sa malo uchýliť k vzorcu pre objem gule. V \u003d 4/3 * Pi * R ^ 3. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade by ste mali vyjadriť polomer v čistej forme: R ^ 3 \u003d (V * 3/4) / Pi. Po extrakcii kubického koreňa získate R \u003d sqrt ((V * 3/4) / Pi). Zápis „sqrt“ znamená kockový koreň. Teraz stojí za to nahradiť objem vo vzorci a vykonať výpočty: R \u003d sqrt ((48 * 3/4) / Pi) \u003d sqrt (36 / Pi) \u003d sqrt (1,8) \u003d 2,4. V tomto prípade je potrebné venovať osobitnú pozornosť rozmeru, pretože objem je uvedený v litroch a je potrebné odpovedať, pokiaľ ide o dĺžku.

Je potrebné poznamenať, že 1 liter sa rovná jednému kubickému decimetru, preto sa odpoveď prijíma v decimetroch. Odpoveď: 2,5 decimetra alebo 2,5 centimetra. Pre všetky takéto problémy je možné polomer vypočítať pomocou vzorca R \u003d sqrt ((V * 3/4) / Pi), kde R je polomer, sqrt je kubický koreň a V je objem guľôčky. V praxi je možné polomer gule vypočítať pomocou vody a kadičky bez toho, aby bolo možné vypočítať priemer, ale zistiť objem gule. Za týmto účelom nalejte 100 ml vody do kadičky, úplne do nej vložte guľku, zafixujte novú hodnotu. Odčítajte od neho 100 ml - to bude objem gule. Potom postupujte obdobne ako pri poslednej úlohe.