Pre dve roviny sú možné nasledujúce vzájomné polohy: sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

Zo stereometrie je známe, že dve roviny sú rovnobežné, ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami inej roviny. Tento stav sa nazýva rovnobežnosť rovín.

Ak sú dve roviny rovnobežné, potom pretínajú niektorú tretiu rovinu pozdĺž rovnobežných čiar. Na základe toho v rovnobežných rovinách R a Q ich stopy sú rovnobežné priamky (obr. 50).

V prípade, že dve roviny R a Q rovnobežná os X, ich vodorovné a čelné stopy s ľubovoľnou vzájomnou polohou rovín budú rovnobežné s osou x, teda vzájomne rovnobežné. V dôsledku toho je za takýchto podmienok rovnobežnosť stôp dostatočným ukazovateľom charakterizujúcim rovnobežnosť samotných rovín. Pre rovnobežnosť takýchto rovín sa musíte uistiť o rovnobežnosti a ich profilových stopách P w a Q w. Lietadlá R a Q na obrázku 51 sú rovnobežné a na obrázku 52 nie sú rovnobežné, napriek tomu P v || Q v, a P h у || Q h.

V prípade, že sú roviny rovnobežné, horizontály jednej roviny sú rovnobežné s horizontálami druhej. V tomto prípade by frontály jednej roviny mali byť rovnobežné s frontálmi druhej, pretože tieto roviny majú rovnobežné dráhy s rovnakým názvom.

Aby ste vytvorili dve roviny, ktoré sa navzájom pretínajú, musíte nájsť priamku, pozdĺž ktorej sa dve roviny pretínajú. Na zostrojenie tejto priamky stačí nájsť dva body, ktoré k nej patria.

Niekedy, keď je rovina definovaná stopami, je ľahké nájsť tieto body pomocou grafu a bez dodatočnej konštrukcie. Tu je známy smer definovanej priamky a jej konštrukcia je založená na použití jedného bodu na diagrame.

Rovno rovnobežne s rovinou

Môže existovať niekoľko polôh priamky vzhľadom na určitú rovinu.

Zvážte znamienko rovnobežnosti priamky a roviny. Priamka je rovnobežná s rovinou, keď je rovnobežná s akoukoľvek priamkou v tejto rovine. Obrázok 53 znázorňuje priamku AB rovnobežne s rovinou R pretože je rovnobežná s priamkou MN ktorý leží v tejto rovine.

Keď je čiara rovnobežná s rovinou R, v tejto rovine, cez ktorýkoľvek z jej bodov, môžete nakresliť priamku rovnobežnú s touto priamkou. Napríklad na obrázku 53 priamka AB rovnobežne s rovinou R... Ak cez bod M patriace lietadlu R, nakreslite rovnú čiaru NM paralelný AB, potom bude ležať v lietadle R... Na rovnakom obrázku priamka CD nie sú rovnobežné s rovinou R pretože rovno KL ktorý je paralelný CD a prechádza cez bod TO na povrchu R, neleží v tejto rovine.

Čiara pretínajúca rovinu

Na nájdenie priesečníka priamky a roviny je potrebné zostrojiť priesečníky dvoch rovín. Uvažujme priamku I a rovinu P (obr. 54).

Zvážte konštrukciu priesečníka rovín.

Cez nejakú priamku I je potrebné nakresliť pomocnú rovinu Q(projekcia). Čiara II je definovaná ako priesečník rovín R a Q... Bod K, ktorý je potrebné vybudovať, sa nachádza v priesečníku čiar I a II. V tomto bode priamka I pretína rovinu R.

Pri tejto konštrukcii je hlavným bodom riešenia nakreslenie pomocnej roviny Q prechádzajúcej cez túto čiaru. Môžete nakresliť všeobecnú pomocnú rovinu. Je však jednoduchšie zobraziť projekčnú rovinu na diagrame pomocou tejto priamky ako nakresliť rovinu vo všeobecnej polohe. V tomto prípade môže byť projekčná rovina nakreslená cez akúkoľvek priamku. Na základe toho sa zvolí pomocná rovina ako projekcia.

Aspoň 1, teda aspoň 1 prvok je nenulový. Nech sa 1 a 2 pretínajú, majú spoločnú čiaru, majú spoločný systém, nie sú rovnobežné, ale preto, že sú kompatibilné, to znamená. Nech sú 1 a 2 rovnobežné:,. Ak karteziánsky súradnicový systém, potom - normálne vektory. Kosínus uhla medzi dvoma vektormi:

Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre kolmosť dvoch rovín:

20. Rôzne spôsoby definovania priamky v priestore. Rovné a rovinné. 2 rovné čiary v priestore. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Komentujte. Priamka v priestore nemôže byť definovaná jednou rovnicou. To si vyžaduje systém dvoch alebo viacerých rovníc. Prvou príležitosťou na zostavenie rovníc priamky v priestore je znázorniť túto priamku ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín daných rovnicami. Aix + B1y + C1z + D1= 0 a A2x + B2y + C2z + D2= 0, kde koeficienty A1, B1, C1 a A2, B2, C2 nie proporcionálne: Aix + B1y + C1z + D1=0; A2x + B2y + C2z + D2= 0 Pri riešení mnohých úloh je však vhodnejšie použiť iné rovnice priamky, ktoré explicitne obsahujú niektoré jej geometrické charakteristiky. М 0 (x 0, y 0, z 0) rovnobežne s vektorom a = (l, m, n) Definícia. Akýkoľvek nenulový vektor rovnobežný s danou priamkou sa nazýva jeho smerový vektor.Na akýkoľvek bod M (x, y, z) ležiaci na danej priamke, vektor M 0 M = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) je kolineárny so smerovým vektorom a . Rovnosti sa teda uskutočňujú:

volal kanonické rovnice priamo v priestore. Najmä ak chcete získať rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body: M1 (x 1, y 1, z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), smerový vektor takejto priamky možno považovať za vektor M 1 M 2 = {x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a rovnice (8.11) majú tvar:

- rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body... Ak vezmeme každý z rovnakých zlomkov v rovniciach pre nejaký parameter t, môžete získať tzv parametrické rovnice priamky:

Aby bolo možné prejsť od rovníc ku kanonickým alebo parametrickým rovniciam priamky, je potrebné nájsť smerový vektor tejto priamky a súradnice ľubovoľného bodu, ktorý k nej patrí. Smerový vektor priamky je ortogonálny k normálam oboch rovín, preto je kolineárny s ich vektorovým súčinom. Preto ako smerový vektor môžete zvoliť [ n 1 n 2 ] alebo ľubovoľný vektor s proporcionálnymi súradnicami. Ak chcete nájsť bod ležiaci na danej priamke, môžete ľubovoľne nastaviť jednu z jeho súradníc a ďalšie dve nájsť z rovníc, pričom ich vyberiete tak, aby sa determinant ich koeficientov nerovnal nule.

Uhol medzi rovnými čiarami. Uhol medzi priamkou a rovinou. Uhol medzi priamkami v priestore sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak sú teda dve priame čiary dané kanonickými rovnicami tvaru

A kosínus uhla medzi nimi možno nájsť podľa vzorca:

Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť priamych čiar sú tiež redukované na zodpovedajúce podmienky pre ich smerové vektory:

- stav paralelizmu,

- podmienka kolmosti čiary... Uhol φ medzi priamkou daný kanonickými rovnicami

A to rovinou definovanou všeobecnou rovnicou Ax + By + Cz + D= 0, možno považovať za doplnkový k uhlu ψ medzi smerovým vektorom priamky a normálou k rovine. Potom

Podmienka rovnobežnosti priamky a roviny je v tomto prípade podmienkou kolmosti vektorov n a a : Al + Bm + Cn= 0 a podmienka kolmosti priamky a roviny- podmienka paralelnosti týchto vektorov: A/l = B/m = C/n.

21. kanonická rovnica elipsy. Vlastnosti. nazýva sa priamka, ktorá je v nejakom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme určená kanonickou rovnicou x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 za predpokladu, že a≥b> 0. Z rovnice vyplýva, že pre všetky body elipsy │x│≤ a a │у│≤ b. Elipsa teda leží v obdĺžniku so stranami 2a a 2b. Priesečníky elipsy s osami kanonického súradnicového systému, ktoré majú súradnice (a, 0), (-a, 0), (0, b) a (0, -b), sa nazývajú vrcholy elipsa. Čísla a a b sa nazývajú hlavné a vedľajšie poloosi. C1. Osi kanonického súradnicového systému sú osami symetrie elipsy a počiatok kanonického systému je jej stredom symetrie. Vzhľad elipsy možno najľahšie opísať porovnaním s kružnicou s polomerom a so stredom v stred elipsy: x 2 + y 2 = a 2. Pre každé x také, že I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Kanonická rovnica hyperboly. Vlastnosti. Hyperbolu sme nazvali priamkou, ktorá je v určitom karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme určená kanonickou rovnicou x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1. Z tejto rovnice je vidieť, že pre všetky body hyperboly platí │ x│≥a, tj všetky body hyperboly ležia mimo zvislého pásu šírky 2a. Súradnicová os kanonického súradnicového systému pretína hyperbolu v bodoch so súradnicami (a, 0) a (-a, 0), ktoré sa nazývajú vrcholy hyperboly. Zvislá os nepretína hyperbolu. Hyperbola sa teda skladá z dvoch nesúvislých častí. Nazývajú sa jej ratolesti. Čísla a a b sa nazývajú skutočné a imaginárne poloosi hyperboly C1. Pre hyperbolu sú osi kanonického súradnicového systému osami symetrie a počiatkom kanonického systému je stred symetrie. Na štúdium tvaru hyperboly nájdeme jej priesečník s ľubovoľnou priamkou prechádzajúcou pôvodu. Rovnicu priamky berieme v tvare y = kx, keďže už vieme, že priamka x = 0 hyperbolu nepretína. Úsečky bodov priesečníkov nájdeme z rovnice x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 = 1. Ak teda b 2 - a 2 k 2> 0, potom x = ± ab / √b 2 - a 2 k 2. To vám umožňuje určiť súradnice priesečníkov (ab / u, abk / u) a (-ab / u, -abk / u), kde u = (b 2 - a 2 až 2) je označená 1/2 .

Priame čiary s rovnicami y = bx / a a y = -bx / a v kanonickom súradnicovom systéme sa nazývajú asymptoty hyperboly. C2. Súčin vzdialeností od bodu hyperboly k asymptotám je konštantný a rovná sa a 2 b 2 / (a ​​2 + b 2). C3. Ak sa bod pohybuje pozdĺž hyperboly tak, že jeho úsečka v absolútnej hodnote narastá donekonečna, potom má vzdialenosť od bodu k jednej z asymptot tendenciu k nule. Zaveďme číslo c, nastavenie c 2 = a 2 + b 2 a c> 0. Body F 1 u F 2 so súradnicami (c, 0) a (-c, 0) v kanonickom súradnicovom systéme sa nazývajú ohniská hyperbola. Pomer e = c / a, ako v prípade elipsy, sa nazýva excentricita. Hyperbola má e> 1. C4. Vzdialenosti ľubovoľného bodu M (x, y) na hyperbole ku každému ohnisku závisia od jeho úsečky x: r 1 = │F 1 M│ = │a-ex│, r 2 = │F 2 M│ = │a + ex│. C5. Aby bod M ležal na hyperbole, je potrebné a postačujúce, aby sa rozdiel jeho vzdialeností k ohniskám v absolútnej hodnote rovnal skutočnej osi hyperboly 2a. Smerové čiary hyperboly sú priame čiary definované v kanonickom súradnicovom systéme rovnicami x = a /, x = -a /. C6. Aby bod ležal na hyperbole, je potrebné a postačujúce, aby pomer jeho vzdialenosti od ohniska k vzdialenosti k zodpovedajúcej priamke bol rovný excentricite. Rovnica dotyčnice k hyperbole v bode M 0 (x 0, y 0), ktorý na nej leží, má tvar: xx 0 / a 2 - yy 0 / b 2 = 1. C7. Dotyčnica k hyperbole v bode M 0 (x 0, y 0) je osou uhla medzi úsečkami spájajúcimi tento bod s ohniskami.

23. Kanonická rovnica paraboly. Vlastnosti. nazvali sme priamku, ktorá je v nejakom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme určená kanonickou rovnicou y 2 = 2px, za predpokladu p> ​​0. Z rovnice vyplýva, že pre všetky body paraboly x≥0. Parabola prechádza počiatkom kanonického súradnicového systému. Tento bod sa nazýva vrchol paraboly. Ohniskom paraboly je bod F so súradnicami (p / 2, 0) v kanonickom súradnicovom systéme. Smernica paraboly je priamka s rovnicou x = -p / 2 v kanonickom súradnicovom systéme. C1. Vzdialenosť od bodu M (x, y) ležiaceho na parabole po ohnisko je r = x + p / 2. C2. Aby bod M ležal na parabole, je potrebné a postačujúce, aby bol rovnako vzdialený od ohniska a od smerovej čiary, tejto paraboly. Parabole sa pripisuje excentricita e = 1. Na základe tejto dohody platí vzorec r / d = e pre elipsu, pre hyperbolu a pre parabolu. Odvoďme rovnicu dotyčnice k parabole v bode М 0 (x 0, y 0), ktorý na nej leží, má tvar yy 0 = p (x + x 0). C3 Dotyčnica k parabole v bode Mo je osou uhla susediaceho s uhlom medzi úsečkou, ktorá spája Mo s ohniskom, a lúčom vychádzajúcim z tohto bodu v smere osi paraboly.

24. Algebraické čiary. Ak chcete nastaviť algebraické čiary na rovine, potom nejaké algebraické ur-ty tvaru F (x, y) = 0 a nejaký afinný súradnicový systém kruhu v rovine, potom tie a len tie M (x, y), ktorých súradnice Spĺňajú rovnicu sa považujú za ležiace na danej rovnici Podobne sú nastavené rovnice pre plochu v priestore Zostavte algebraickú rovnicu tvaru F (x, y, z) = 0 (z) s 3 premennými a nejakým súradnicovým systémom OXYZ len tie body F (x, y, z ) = 0 (z) sú rovnicou roviny. V tomto prípade sa domnievame, že dva ur-y určujú rovnakú čiaru alebo plochu atď., keď jeden z týchto ur-ie získame od druhého vynásobením nejakým číselným faktorom lambda 0.

25. Pojem algebraickej plochy.Štúdium ľubovoľných množín bodov je úplne obrovský problém.Def.algebraická plocha je množina bodov, ktoré v niektorom karteziánskom súradnicovom systéme môžu byť dané rovnicou v tvare + ... + = 0, kde všetky exponenty sú nezáporné celé čísla. Najväčší zo súčtov (samozrejme tu máme na mysli najväčší zo súčtov skutočne zahrnutých do rovnice, tj predpokladá sa, že po znížení podobných členov bude existovať aspoň jeden člen s nenulovým koeficientom ktorá má taký súčet exponentov.) + +, ...., + + sa nazýva stupeň rovnice , ako aj rád algebraickej plochy. Táto definícia znamená najmä, že guľa, rovnica ktorých v karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme má tvar (+ (+ (=, je algebraická plocha druhého rádu. Veta. Algebraická plocha rádu p v ľubovoľnej karteziánskej súradnicovej sústave môže byť daná rovnicou tvaru +). … + = 0 poradia str.

26. Valcové plochy 2. rádu. Nech je daná rovina nejaká priamka 2. rádu a zväzok rovnobežných priamok d takých, že pre každé d, ktoré nie je rovnobežné s, potom množina φ všetkých bodov priestoru patriacich tým priamkam zväzku, ktoré pretínajú priamku γ, je nazývané smery a čiary pretínajúce sa φ sú generátory. Odvoďme rovnicu valcovej plochy vzhľadom na afinný súradnicový systém. Nech nejaké K leží v rovine P, ktorej rovnica F (x, y) = 0, v smere a (a 1 a 2 a 3) d je rovnobežná s a. Bod M (x, y, z) leží na nejakom generátore a N (x'y'o) je priesečník tohto generátora s rovinou P. Vektor MN bude kolineárny s ta, preto MN = ta x'= x + a1 t; y'= y + a2t; 0 = z + a 3 t teda t = -z / a 3, potom x '= x- (a 1 z) / a 3; y '= y- (a 2 z) / a 3 F (x'y') = 0 F (x- (a 1 z) / a 3; y- (a 2 z) / a 3. Teraz je to jasné že rovnica F (x, y) = 0 je rovnica valca s generátormi rovnobežnými s osou Oy a F (y, z) = 0 s generátormi rovnobežnými s osou Ox. 0 a 2 = 0 a 3 ≠ 0 F (x, y) = 0, teda koľko čiar druhého rádu, toľko valcov Plochy: 1. Eliptický valec x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 2. Hyperbolický valec x 2 / a 2 -y 2 / b 2 = 1 3. Parabolický valec y 2 = 2πx 4. Dvojica pretínajúcich sa rovín x 2 / a 2 -y 2 / b 2 = 0 5. Dvojica rovnobežných rovín x 2 / a 2 = 1

27. Kanonické plochy druhého rádu. Plocha, na ktorej sa nachádza bod Mo, ktorý má tú vlastnosť, že spolu s každým bodom Mo ≠ M obsahuje priamku (Mo M), sa takáto plocha nazýva kanonická alebo kužeľová. M o je vrchol kužeľa a priame čiary sú jeho generátormi. Funkcia F (x, y, z) = 0 sa nazýva homogénna, ak F (tx, ty, tz) = φ (t) F (x, y, z), kde φ (t) je funkciou t. Veta. Ak je F (x, y, z) homogénna funkcia, potom plocha definovaná touto rovnicou je kanonická plocha s vrcholom v počiatku. Docentom sa stal doc. Nech je daný afinný súradnicový systém a z neho je daná kanonická rovnica so stredom F (x, y, z) = 0. Uvažujme rovnicu s vrcholom v bode O M (x, y, z) = 0, potom ľubovoľný bod OM z F bude mať na kanonickej ploche tvar M 1 (tx, ty, tz). M o M (x, y, z), keďže vyhovuje povrchu, potom F (tx, ty, tz) = 0 je homogénna funkcia φ (t) F (x, y, z) = 0, teda povrch je kanonický. Krivky 2. rádu sú rezy v konečnej ploche rovín x 2 + y 2 -z 2 = 0 / Keď sú kanonické plochy prerezané rovinami, získame v reze tieto priamky: a) rovina prechádzajúca cez a. bod alebo pár zlúčených priamok a pár pretínajúcich sa priamok. B) rovina neprechádza vrcholom kužeľa, preto v reze získame buď elipsu, alebo hyperbolu, alebo parabolu.

28. Povrchy revolúcie. Nech je daný karteziánsky rámec v 3-rozmernom priestore. Rovina P prechádza cez Oz, γ je dané v rovine Ozy a uhol xOy = φ γ má tvar u = f (z). Vezmite bod M z γ vzhľadom na rám Oxyz. γ - kružnica opísaná γМ vo všetkých bodoch М od γ sa nazýva zobrazenie. Úsek rotačnej plochy roviny prechádzajúcej osou rotácie sa nazýva poludník. Úsek rotačnej plochy roviny kolmej na os rotácie sa nazýva rovnobežná. Rovnica rotačnej plochy x 2 + y 2 = f 2 (z) je rovnica rotačnej plochy. 1) Ak uhol φ = 0, potom γ leží v rovine xOz, x 2 + y 2 = f 2 (z) 2) γ leží v rovine xOy a jeho rovnica y = g (x), potom y 2 + z 2 = g 2 (x) 3) γ leží v rovine yOz a jej rovnica je z = h (y), potom z 2 + x 2 = h 2 (y)

29. Elipsoidy. Povrch, ktorý sa získa otáčaním elipsy okolo jej osí symetrie. Smerovaním vektora e 3 najprv pozdĺž vedľajšej osi elipsy a potom pozdĺž hlavnej osi dostaneme ur-tu elipsu v nasledujúcich tvaroch:. Na základe ur-tého vzorca budú zodpovedajúce rotačné plochy = 1 (a> c). Povrchy s takýmito ur-s sa nazývajú stlačené (a) a vtiahnuté (b) rotačné elipsoidy.

Každý bod М (x, y, z) na stlačenom rotačnom elipsoide bude posunutý do roviny y = 0 tak, aby sa vzdialenosť od bodu k tejto rovine zmenšila v konštante pre všetky body pomer λ.<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. Hyperboloidy.Jednovrstvový hyperboloid revolúcie Je rotačná plocha hyperboly okolo osi, ktorá ju nepretína? Vzorcom dostaneme rovnicu tohto povrchu (obr. 48). V dôsledku stlačenia jednovrstvového rotačného hyperboloidu do roviny y = 0 dostaneme jednovrstvový hyperboloid s ur-em. Zaujímavým sv-v jednolistovom hyperboloide je prítomnosť priamočiarych generátorov v ňom. Takzvané priamky, všetky body ležiace na povrchu. Cez každý bod jednopohlavného hyperboloidu prechádzajú dva priamočiare generátory, ktorých ur-th možno získať nasledovne. Ur-e (8) možno prepísať ako. Uvažujme priamku s ur-ys μ = λ, λ = μ (9), kde λ a μ sú nejaké čísla (λ 2 + μ 2 ≠ 0). Súradnice každého bodu priamky spĺňajú obe ur-diery, a teda ur-th (8), ktorý sa získa násobením po členoch. Preto nech sú λ a μ akékoľvek, priamka s ur-s (9) leží na jednovrstvovom hyperboloide. Systém (9) teda definuje rodinu priamočiarych generátorov. Ak spolu s hyperbolou otáčame jej asymptoty, potom opisujú priamy kruhový kužeľ, nazývaný asymptotický kužeľ rotačného hyperboloidu. Keď je rotačný hyperboloid stlačený, jeho asymptotický kužeľ sa stlačí do asymptotického kužeľa všeobecného jednovrstvového hyperboloidu.

Dvojlistový hyperboloid. Dvojvrstvový rotačný hyperboloid je plocha získaná rotáciou hyperboly okolo osi, ktorá ju pretína. Podľa vzorca získame ur-e rotačného hyperboloidu s dvoma listami, v dôsledku stlačenia tohto povrchu do roviny y = 0 sa získa povrch s ur-e (12). Plocha, ktorá má v niektorom karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme ur-e tvaru (12), sa nazýva dvojvrstvový hyperboloid (obr. 49). Dve vetvy hyperboly tu zodpovedajú dvom nespojeným častiam ("dutinám") povrchu. Asymptotický kužeľ dvojlistového hyperboloidu je definovaný rovnakým spôsobom ako pri jednolistovom hyperboloide.

31. Paraboloidy.Eliptický paraboloid. Otočením paraboly x 2 = 2pz okolo jej osi symetrie dostaneme plochu s ur-em x 2 + y 2 = 2pz. Hovorí sa tomu paraboloid revolúcie. Stlačenie do roviny y = 0 premení rotačný paraboloid na plochu, ktorej ur-e sa zmenší do tvaru 2z (14). Povrch, ktorý má takéto ur-e v niektorom pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme, sa nazýva eliptický paraboloid. Hyperbolický paraboloid. Analogicky s ur-em (14) môžeme písať ur-e Plocha, ktorá má takéto ur-e v niektorom kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme, sa nazýva hyperbolický paraboloid. Z kanonickej rovnice z = x 2 / a 2 - y 2 / b 2 hyperbolického paraboloidu vyplýva, že roviny Oxz a Oyz sú rovinami symetrie. Os Oz sa nazýva os hyperbolického paraboloidu .. Priamky z = h priesečníka hyperbolického paraboloidu s rovinami z = h sú pre h> 0 hyperboly x 2 / a * 2 - y 2 / b * 2 = 1 s poloosami a * = a√h , b * = b√h a pre h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Komplexné čísla. Algebraický tvar komplexného čísla. Komplexné číslo je vyjadrením tvaru z = x + iy, kde x a y sú reálne čísla, i je imaginárna jednotka. Číslo x sa nazýva reálna časť čísla z a označuje sa Re (z) a číslo y sa nazýva imaginárna časť čísla z a označuje sa Im (z). Čísla z = x + iy a z = x - iy sa nazývajú konjugované. Dve komplexné čísla z 1 = x 1 + iy 1 a z 2 = x 2 + iy 2 sa nazývajú rovnaké, ak sa ich reálna a imaginárna časť rovnajú. Konkrétne i2 = -1. Aritmetické operácie na množine komplexných čísel sú definované nasledovne. 1. Sčítanie: zi+z2 = xi + x2 + i (yi + y2); 2. Odčítanie: zi-z2 = xi-x2 + i (yi-y2); 3. Násobenie: z 1 z 2 = (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); Delenie: z 1 / z 2 = ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2. Na prezentáciu do.ch. sú body súradnicovej roviny Oxy. Rovina sa nazýva komplexná, ak každá k.ch. z = x + iy je priradený bod roviny z (x, y) a táto zhoda je jedna k jednej. Osi Ox a Oy, na ktorých sa nachádzajú reálne čísla z = x + 0i = x a čisto imaginárne čísla z = 0 + iy = iy, sa nazývajú reálne a imaginárne osi.

33. Goniometrický tvar komplexného čísla. Moivreov vzorec. Ak je skutočný X a imaginárne rčasti komplexného čísla vyjadrené prostredníctvom modulu r = | z| a argument j (x = r cosj, y = r sinj), potom ľubovoľné komplexné číslo z, okrem nuly, je možné zapísať trigonometrická forma z = r (cosj + isinj). Vlastnosti trigonometrickej formy: 1) prvý faktor je nezáporné číslo, r³0; 2) sú napísané kosínus a sínus toho istého argumentu; 3) imaginárna jednotka sa vynásobí sinj. Môže byť tiež užitočné orientačné zápis komplexných čísel, úzko súvisiaci s trigonometriou prostredníctvom Eulerovho vzorca: z = re i j. Kde e i j je expanzia exponentu pre prípad komplexného exponentu. Vzorec na zvýšenie komplexného čísla v goniometrickom tvare na mocninu. Vzorec Moivre má tvar: z = n = r n (cosnj + isin nj), kde r je modul a j je argument komplexného čísla.

34. Operácie nad polynómami. Euklidov algoritmus. Celkový pohľad na rovnicu n-tého stupňa: a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n -1 x + a n = 0 (1). Stanoví sa súbor koeficientov. (a 0, a 1, ..., a n -1, a n) sú ľubovoľné komplexné čísla. Uvažujme ľavú stranu (1): a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n -1 x + a n - polynómy n-tého stupňa. Dva polynómy f (x) a g (x) sa budú považovať za rovnaké alebo zhodné, ak sú koeficienty v rovnakých stupňoch rovnaké. Akýkoľvek polynóm je určený súborom koeficientov.

Definujme operácie sčítania a násobenia nad polynómami: f (x) = a 0 + a 1 x +… + a n x n; g (x) = b 0 + b 1 x +... + b s x s n3s; f (x) + g (x) = c 0 + c 1 x + ... + c n x n -1 + c n; c i = a i + b i, ak i = 0,1 ... n; i > s b i = 0; f (x) * g (x) = d0 + d1 x + ... + d n + s x n + s; ; d° = ao b°; d1 = a0b1 + a0b1; d2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0. Stupeň súčinu polynómov sa rovná súčtu a operácie majú tieto vlastnosti: 1) a k + b k = b k + a k; 2) (ak + b k) + c k = ak + (b k + c k); 3). Polynóm f (x) sa nazýva inverzný (x), ak f (x) * (x) = 1. Operácia delenia nie je možná v množine polynómov. V euklidovskom priestore pre polynóm existuje algoritmus delenia so zvyškom. f (x) a g (x) existuje r (x) a q (x) sú jednoznačne definované. ; ; f (x) = g (x);; ... Stupeň pravej strany stupňa £ g (x), a stupeň ľavej strany odtiaľto - dostali sme sa do rozporu. Prvú časť vety dokážeme:. Poďme sa množiť g (x) polynómom tak, že vedúce koeficienty sa vynásobia.

Po k kroky.

; ; má nižší stupeň q (x). Polynóm q (x) - kvocient z f (x), a r (x) -zvyšok divízie. Ak f (x) a g (x) majte teda reálne koeficienty q (x) a r (x)- sú tiež platné.

35 Deliteľ mnohočlenov. GCD. Nech sú dané dva nenulové polynómy f (x) a j (x) s komplexnými koeficientmi. Ak je zvyšok nula, potom f (x) sa považuje za deliteľné j (x), ak j (x) je deliteľom f (x). C-va polynómu j (x): 1) Polynóm j (x) bude deliteľom f (x), ak Y (x) existuje a f (x) = j (x) * Y (x) (1). j (x) -deliteľ, Y (x) -častica. Nech Y (x) spĺňa (1), potom z predchádzajúcej vety Y (x) je kvocient a zvyšok je 0. Ak je splnená (1), potom j (x) je deliteľ, teda j (x)<= степени f(x). Základné vlastnosti deliteľnosti polynómu: jeden); 2 f (x) a g (x) sú deliteľné j (x), potom sú deliteľné j (x); 3) ak; 4) ak f 1 (x) .. f k (x): j (x) ® f 1 g 1 +... + f k g k: j (x); 5) ľubovoľný polynóm je deliteľný ľubovoľným polynómom nultého stupňa f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + a n c; 6) ak f (x): j (x), potom f (x): cj (x); 7) Polynóm cf (x) a iba oni budú deliteľmi polynómu j (x), majúci rovnaký stupeň ako f (x); 8) f (x): g (x) a g (x): f (x), potom g (x) = cf (x); 9) Akýkoľvek deliteľ jedného z f (x) a cf (x) s¹0 bude deliteľom druhého. Definícia: Najväčší spoločný deliteľ (GCD). Polynóm j (x) sa bude nazývať gcd f (x) a g (x), ak delí každý z nich. Polynómy nultého stupňa sú vždy gcd a sú medzi prvočíslami. Gcd nenulových polynómov f (x) a g (x) sa nazýva d (x), čo je explicitné. spoločný deliteľ a je deliteľný ktorýmkoľvek iným deliteľom a spoločným z týchto mnohočlenov. Gcd f (x) a g (x) = (f (x): g (x)). Algoritmus na nájdenie GCD: Nech je stupeň g (x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x) + rk (x)

r k-1 (x) = r2 (x) + q k (x) r k (x) -NOD. Poďme to dokázať. r k (x) deliteľ r k -1 (x) ®na deliteľovi r k -2 (x) ... ®na deliteľovi g (x) ®na deliteľovi f (x). g (x) g 1 (x) je deliteľné rk (x) ® f (x) - g (x) g 1 (x) je deliteľné rk (x) ® r 1 (x) je deliteľné rk (x ) ® r 2 (x) je deliteľné rk (x) ®… qk (x): rk (x) je deliteľné rk (x).

Pre dve roviny sú možné nasledujúce vzájomné polohy: sú rovnobežné alebo sa pretínajú v priamke.

Zo stereometrie je známe, že dve roviny sú rovnobežné, ak sú dve pretínajúce sa priamky jednej roviny rovnobežné s dvomi pretínajúcimi sa priamkami inej roviny. Tento stav sa nazýva rovnobežnosť rovín.

Ak sú dve roviny rovnobežné, potom pretínajú niektorú tretiu rovinu pozdĺž rovnobežných čiar. Na základe toho v rovnobežných rovinách R a Q ich stopy sú rovnobežné priamky (obr. 50).

V prípade, že dve roviny R a Q rovnobežná os X, ich vodorovné a čelné stopy s ľubovoľnou vzájomnou polohou rovín budú rovnobežné s osou x, teda vzájomne rovnobežné. V dôsledku toho je za takýchto podmienok rovnobežnosť stôp dostatočným ukazovateľom charakterizujúcim rovnobežnosť samotných rovín. Pre rovnobežnosť takýchto rovín sa musíte uistiť o rovnobežnosti a ich profilových stopách P w a Q w. Lietadlá R a Q na obrázku 51 sú rovnobežné a na obrázku 52 nie sú rovnobežné, napriek tomu P v || Q v, a P h у || Q h.

V prípade, že sú roviny rovnobežné, horizontály jednej roviny sú rovnobežné s horizontálami druhej. V tomto prípade by frontály jednej roviny mali byť rovnobežné s frontálmi druhej, pretože tieto roviny majú rovnobežné dráhy s rovnakým názvom.

Aby ste vytvorili dve roviny, ktoré sa navzájom pretínajú, musíte nájsť priamku, pozdĺž ktorej sa dve roviny pretínajú. Na zostrojenie tejto priamky stačí nájsť dva body, ktoré k nej patria.

Niekedy, keď je rovina definovaná stopami, je ľahké nájsť tieto body pomocou grafu a bez dodatočnej konštrukcie. Tu je známy smer definovanej priamky a jej konštrukcia je založená na použití jedného bodu na diagrame.

Koniec práce -

Táto téma patrí do sekcie:

Deskriptívna geometria. Poznámky k prednáške prednáška. O projekciách

Prednáška informácie o projekciách pojem projekcie čítanie výkresu .. centrálna projekcia .. predstavu o centrálnej projekcii možno získať skúmaním obrazu, ktorý poskytuje ľudské oko ..

Ak potrebujete ďalší materiál na túto tému alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej základni prác:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

Tweetujte

Všetky témy v tejto sekcii:

Pojem projekcie
Deskriptívna geometria sa nazýva veda, ktorá je teoretickým základom kreslenia. V tejto vede sa študujú metódy obrazu na rovine rôznych telies a ich prvkov.

Paralelná projekcia
Paralelná projekcia je typ projekcie, ktorý využíva paralelne premietané lúče. Pri konštrukcii paralelných projekcií je potrebné nastaviť na

Bodové projekcie do dvoch premietacích rovín
Uvažujme premietnutie bodov do dvoch rovín, pre ktoré zoberieme dve na seba kolmé roviny (obr. 4), ktoré budeme nazývať horizontálne frontálne a roviny. Priesečník dátovej roviny

Nedostatok projekčnej osi
Na objasnenie príjmu projekcií bodu na model kolmo na rovinu premietania (obr. 4) je potrebné vziať kus hrubého papiera vo forme podlhovastého obdĺžnika. Treba to ohnúť medzi pr

Bodové projekcie do troch projekčných rovín
Zvážte rovinu profilu výčnelkov. Projekcie na dve na seba kolmé roviny väčšinou určujú polohu postavy a umožňujú zistiť jej skutočnú veľkosť a tvar. Ale sú chvíle, kedy

Súradnice bodu
Polohu bodu v priestore možno určiť pomocou troch čísel nazývaných jeho súradnice. Každá súradnica zodpovedá vzdialenosti bodu od nejakej roviny pr

Lineárne projekcie
Na definovanie priamky sú potrebné dva body. Bod je určený dvoma priemetmi na vodorovnú a čelnú rovinu, to znamená, že priamka je určená pomocou priemetov jej dvoch bodov na vodorovnú rovinu.

Stopy po priamke
Stopa priamky je bod jej priesečníka s určitou rovinou alebo plochou (obr. 20). Vodorovná stopa priamky je bod H

Rôzne priame polohy
Priamka sa vo všeobecnej polohe nazýva priamka, ak nie je rovnobežná a nie je kolmá na žiadnu rovinu premietania. Priemetne priamej čiary vo všeobecnej polohe tiež nie sú rovnobežné a nie sú kolmé.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar
Sú možné tri prípady usporiadania priamok v priestore: 1) priamky sa pretínajú, to znamená, že majú spoločný bod; 2) priamky sú rovnobežné, to znamená, že nemajú spoločný bod, ale ležia v rovnakej rovine

Kolmé priame čiary
Zvážte vetu: ak je jedna strana pravého uhla rovnobežná s rovinou premietania (alebo v nej leží), potom sa pravý uhol premietne do tejto roviny bez skreslenia. Dajme dôkaz pre

Určenie polohy roviny
Pre ľubovoľne umiestnenú premietaciu rovinu jej bodov sú vyplnené všetky tri premietacie roviny. Preto nemá zmysel hovoriť o priemete celej roviny ako celku, je potrebné brať do úvahy iba projekcie

Stopy lietadla
Stopa roviny P je priamka jej priesečníka s danou rovinou alebo plochou (obr. 36). Priamka priesečníka roviny P s vodorovnou rovinou sa nazýva

Horizontály a čelá roviny
Medzi čiarami, ktoré ležia v určitej rovine, môžeme rozlíšiť dve triedy čiar, ktoré zohrávajú dôležitú úlohu pri riešení všetkých druhov problémov. Toto sú priame čiary, ktoré sa nazývajú obrysy.

Kreslenie rovinných stôp
Uvažujme konštrukciu stôp roviny P, ktorá je daná dvojicou pretínajúcich sa priamok I a II (obr. 45). Ak je priamka na rovine P, potom jej stopy ležia na stopách rovnakého mena

Rôzne rovinné polohy
Rovina vo všeobecnej polohe je rovina, ktorá nie je rovnobežná ani kolmá na žiadnu projekčnú rovinu. Stopy takejto roviny tiež nie sú rovnobežné a nie sú kolmé.

Rovno rovnobežne s rovinou
Môže existovať niekoľko polôh priamky vzhľadom na určitú rovinu. 1. Priamka leží v určitej rovine. 2. Priamka je rovnobežná s nejakou rovinou. 3. Priama križovatka

Čiara pretínajúca rovinu
Na nájdenie priesečníka priamky a roviny je potrebné zostrojiť priesečníky dvoch rovín. Uvažujme priamku I a rovinu P (obr. 54).

Hranol a pyramída
Uvažujme rovný hranol, ktorý stojí na vodorovnej rovine (obr. 56). Babička z jej strany

Valec a kužeľ
Valec je útvar, ktorého povrch sa získa otáčaním priamky m okolo osi i umiestnenej v rovnakej rovine s touto priamkou. V prípade, že priamka m

Lopta, torus a prsteň
Keď je niektorá os rotácie I priemerom kruhu, potom sa získa guľová plocha (obr. 66).

Čiary používané pri kreslení
Pri kreslení sa používajú tri hlavné typy čiar (plná, prerušovaná a čiarkovaná) rôznej hrúbky (obr. 76).

Umiestnenie pohľadov (projekcie)
Pri kreslení sa používa šesť typov, ktoré sú znázornené na obrázku 85. Obrázok znázorňuje priemet písmena „L“.

Odchýlka od vyššie uvedených pravidiel pre usporiadanie druhov
V niektorých prípadoch sú povolené odchýlky od pravidiel konštrukcie projekcií. Medzi týmito prípadmi možno rozlíšiť: čiastočné pohľady a pohľady umiestnené bez prepojenia projekcie s inými pohľadmi.

Počet projekcií definujúcich toto teleso
Poloha telies v priestore, tvar a veľkosť sú zvyčajne určené malým počtom vhodne zvolených bodov. Ak dávate pozor na projekciu tela

Otočenie bodu okolo osi kolmej na rovinu premietania
Obrázok 91 znázorňuje os rotácie I, ktorá je kolmá na vodorovnú rovinu, a bod A ľubovoľne umiestnený v priestore. Pri rotácii okolo osi I je tento bod popísaný

Určenie prirodzenej veľkosti úsečky rotáciou
Segment rovnobežný s niektorou premietacou rovinou sa naň premieta bez skreslenia. Ak otočíte segment tak, aby bol rovnobežný s jednou z projekčných rovín, môžete definovať

Konštrukciu výstupkov rezu je možné vykonať dvoma spôsobmi.
1. Môžete nájsť body stretnutia hrán mnohostenu s rovinou rezu a potom spojiť priemetne nájdených bodov. V dôsledku toho sa získajú projekcie požadovaného polygónu. V tomto prípade,

Pyramída
Obrázok 98 zobrazuje priesečník povrchu pyramídy rovinou čelnej projekcie P. Obrázok 98b zobrazuje čelný priemet a bodu stretnutia rebra KS s rovinou

Šikmé rezy
Šikmé rezy sa chápu ako súbor úloh na zostavenie prirodzených typov rezov uvažovaného telesa pomocou premietnutej roviny. Ak chcete urobiť šikmú časť, je potrebné ju rozrezať

Hyperbola ako rez plochy kužeľa čelnou rovinou
Nech je potrebné zostrojiť prierez plochy kužeľa stojaceho na vodorovnej rovine s rovinou P, ktorá je rovnobežná s rovinou V. Obrázok 103 znázorňuje čelnú

Rez povrchu valca
Existujú nasledujúce prípady delenia povrchu rovného kruhového valca rovinou: 1) kruh, ak je rovina rezu P kolmá na os valca a je rovnobežná so základňami

Rez povrchu kužeľa
Vo všeobecnom prípade zahŕňa kruhová kužeľová plocha dve úplne identické dutiny, ktoré majú spoločný vrchol (obr. 107c). Generátory jednej dutiny sú pokračovaním

Časť povrchu lopty
Akákoľvek časť povrchu gule rovinou je kružnica, ktorá sa premieta bez skreslenia iba vtedy, ak je rovina rezu rovnobežná s rovinou premietania. Vo všeobecnom prípade by sme

Šikmé rezy
Nech je potrebné zostrojiť prirodzený pohľad na rez rovinou prednej priemety tela. Obrázok 110a uvažuje teleso ohraničené tromi valcovými povrchmi (1, 3 a 6), povrch

Pyramída
Ak chcete nájsť stopy priamky na povrchu nejakého geometrického telesa, musíte kresliť cez priamu pomocnú rovinu a potom nájsť časť povrchu tela s touto rovinou. Hľadanie bude

Valcová špirála
Vytvorenie špirály. Zoberme si na ňom obrázok 113a, bod M sa pohybuje rovnomerne po určitej kružnici, ktorá je rezom kruhového valca rovinou P. Tu táto rovina

Dve telesá revolúcie
Metóda kreslenia konštrukčných rovín sa používa na zostrojenie priesečníka plôch dvoch rotačných telies. Podstata tejto metódy je nasledovná. Nakreslí sa pomocná rovina

Prierezy
Existuje niekoľko definícií a pravidiel, ktoré sa vzťahujú na sekcie. Úsek je plochý obrazec, ktorý niekto získal ako výsledok priesečníka daného telesa

Rezy
Definície a pravidlá, ktoré platia pre strihy. Rez je taký podmienený obraz objektu, keď sa jeho časť nachádza medzi okom pozorovateľa a sečnou rovinou.

Čiastočné prerezanie alebo roztrhnutie
Rez sa nazýva úplný, ak je zobrazený objekt úplne vyrezaný, ostatné rezy sa nazývajú čiastočné alebo výrezy. Obrázok 120 zobrazuje úplné rezy v ľavom a pôdorysnom pohľade. Účes

Vzájomné usporiadanie rovín v priestore

Pri vzájomnom usporiadaní dvoch rovín v priestore je možný jeden z dvoch vzájomne sa vylučujúcich prípadov.

1. Dve roviny majú spoločný bod. Potom podľa axiómy priesečníka dvoch rovín majú spoločnú priamku. Axióma R5 hovorí: ak majú dve roviny spoločný bod, potom priesečník týchto rovín je ich spoločná priamka. Z tejto axiómy vyplýva, že v rovinách Takéto roviny sa nazývajú pretínajúce sa.

Tieto dve roviny nemajú spoločný bod.

3. Dve roviny sa zhodujú

3. Vektory v rovine a v priestore

Vektor je smerová úsečka. Jeho dĺžka je dĺžka segmentu. Dané dva body M1 (x1, y1, z1) a M2 (x2, y2, z2), potom vektor

Ak sú dané dva vektory a potom,

1. Dĺžky vektorov

2. Súčet vektorov:

3. Súčet dvoch vektorov a a b je uhlopriečka rovnobežníka postaveného na týchto vektoroch, vychádzajúceho zo spoločného bodu ich aplikácie (pravidlo rovnobežníka); alebo vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom posledného - podľa pravidla trojuholníka. Súčet troch vektorov a, b, c sa nazýva uhlopriečka kvádra postaveného na týchto vektoroch (pravidlo rovnobežnostenu).

Zvážte:

• 1. Počiatok je v bode A;
• 2. Strana kocky je jednotkový segment.
• 3. Os ОХ smeruje pozdĺž hrany AB, ОY - pozdĺž hrany AD a os OZ - pozdĺž hrany AA1.

Pre spodnú rovinu kocky

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zvládnutie skúšky z matematiky na 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie základnej skúšky z matematiky. Ak chcete spraviť skúšku na 90-100 bodov, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka teória, ktorú potrebujete. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Demontoval všetky príslušné úlohy časti 1 z Banky úloh FIPI. Kurz plne spĺňa požiadavky skúšky-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoduchá a priamočiara.

Stovky úloh na skúšku. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvíjanie priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, stupne a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.