Fermatova posledná veta: Wilesov a Perelmanov dôkaz, vzorce, pravidlá výpočtu a úplný dôkaz vety. Veľká Fermatova veta Veta bola preukázaná v roku 1994

Keďže málokto pozná matematické myslenie, porozprávam o najväčšom vedeckom objave – o elementárnom dôkaze Fermatovej poslednej vety – v tom najzrozumiteľnejšom, školskom jazyku.

Dôkaz bol nájdený pre konkrétny prípad (pre prvočíslo n>2), na ktorý (a prípad n=4) možno všetky prípady so zloženým n ľahko zredukovať.

Musíme teda dokázať, že rovnica A^n=C^n-B^n nemá riešenie v celých číslach. (Znak ^ tu znamená stupeň.)

Dôkaz sa vykonáva v číselnej sústave s jednoduchým základom n. V tomto prípade sa v každej tabuľke násobenia posledné číslice neopakujú. V bežnej, desiatkovej sústave je situácia iná. Napríklad pri vynásobení čísla 2 číslom 1 aj číslom 6 sa oba produkty – 2 a 12 – končia rovnakými číslami (2). A napríklad v sedemdesiatkovej sústave pre číslo 2 sú všetky posledné číslice odlišné: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, s množinou posledných číslic 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.

Vďaka tejto vlastnosti je pre každé číslo A, ktoré nekončí nulou (a pri Fermatovej rovnosti posledná číslica čísel A, dobre alebo B, po vydelení rovnosti spoločným deliteľom čísel A, B, C nerovná sa nule), môžete zvoliť faktor g tak, že číslo Ag bude mať ľubovoľne dlhú koncovku, napríklad 000...001. Práve takýmto číslom g vynásobíme všetky základné čísla A, B, C vo Fermatovej rovnosti. Zároveň spravíme jedinú koncovku dostatočne dlhú, konkrétne o dve číslice dlhšiu ako je počet (k) núl na konci čísla U=A+B-C.

Číslo U sa nerovná nule - inak C \u003d A + B a A ^ n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.

To je vlastne celá príprava Fermatovej rovnosti na stručnú a záverečnú štúdiu. Jediné, čo ešte musíme urobiť: prepíšeme pravú stranu Fermatovej rovnosti - C ^ n-B ^ n - pomocou školského expanzného vzorca: C ^ n-B ^ n \u003d (C-B) P alebo aP. A keďže ďalej budeme operovať (násobiť a sčítať) len s číslicami (k + 2)-ciferných koncov čísel A, B, C, tak ich hlavové časti môžeme ignorovať a jednoducho ich zahodiť (ponechať len jeden fakt v pamäti: ľavá strana Fermatovej rovnosti je MOC).

Jediná ďalšia vec, ktorá stojí za zmienku, sú posledné číslice čísel a a P. Vo Fermatovej pôvodnej rovnosti končí číslo P číslom 1. Vyplýva to zo vzorca Fermatovej malej vety, ktorú možno nájsť v referenčných knihách. A po vynásobení Fermatovej rovnosti číslom g ^ n sa číslo P vynásobí číslom g mocninou n-1, čo podľa Fermatovej malej vety tiež končí číslom 1. Takže v novom Fermatovi ekvivalentnej rovnosti, číslo P končí na 1. A ak A končí na 1, potom aj A^n končí na 1, a preto aj číslo a končí na 1.

Máme teda východiskovú situáciu: posledné číslice A", a", P" čísel A, a, P končia číslom 1.

No a potom sa začne sladká a fascinujúca operácia, nazývaná prednostne „mlyn“: ak vezmeme do úvahy nasledujúce číslice a „“, a „““ atď., čísla a, výlučne „ľahko“ vypočítame, že sú tiež rovná nule! Do úvodzoviek som dal „ľahké", pretože ľudstvo 350 rokov nevedelo nájsť kľúč k tomuto „ľahkému"! A kľúč sa naozaj ukázal byť nečakane a hlúpo primitívny: číslo P musí byť reprezentované ako P \u003d q ^ (n-1) + Qn ^(k + 2) Nestojí za to venovať pozornosť druhému členu v tomto súčte - koniec koncov, v ďalšom dôkaze sme zahodili všetky čísla po (k + 2) th v číslach (a to drasticky zjednodušuje analýzu)! Takže po vyradení čísel častí hlavy dostane Fermatova rovnosť tvar: ...1=aq^(n-1), kde a a q nie sú čísla, ale iba koncovky čísel a a q! (Nezavádzam nový zápis, pretože to sťažuje čítanie.)

Ostáva posledná filozofická otázka: prečo môže byť číslo P reprezentované ako P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Odpoveď je jednoduchá: pretože akékoľvek celé číslo P s 1 na konci môže byť reprezentované v tejto forme a TOTOŽNE. (Môžete si to predstaviť mnohými inými spôsobmi, ale my to nepotrebujeme.) V skutočnosti pre P=1 je odpoveď zrejmá: P=1^(n-1). Pre P=hn+1 je číslo q=(nh)n+1, ktoré sa dá ľahko overiť riešením rovnice [(nh)n+1]^(n-1)==hn+1 dvojhodnotou koncovky. A tak ďalej (ale nepotrebujeme ďalšie výpočty, keďže nám stačí reprezentácia čísel v tvare P=1+Qn^t).

Uf-f-f-f! Nuž, filozofia skončila, môžete prejsť k výpočtom na úrovni druhej triedy, pokiaľ si ešte raz nespomeniete na Newtonov binomický vzorec.

Predstavme si teda číslo a"" (v čísle a=a""n+1) a použime ho na výpočet čísla q"" (v čísle q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), alebo...01=(a""n+1)[(nq"")n+ 1 ], odkiaľ q""=a"".

A teraz môže byť pravá strana Fermatovej rovnosti prepísaná ako:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), kde nás hodnota čísla D nezaujíma.

A teraz prichádzame k rozhodujúcemu záveru. Číslo a "" n + 1 je dvojciferná koncovka čísla A, a PRETO podľa jednoduchej lemy jednoznačne určuje TRETÚ číslicu stupňa A ^ n. A navyše z rozšírenia Newtonovho binomu
(a "" n + 1) ^ n, vzhľadom na to, že každý člen expanzie (okrem prvého, ktorý už počasie nemôže zmeniť!) je spojený JEDNODUCHÝM faktorom n (základ čísla!), je jasné, že táto tretia číslica sa rovná "". Ale vynásobením Fermatovej rovnosti g ^ n sme zmenili k + 1 číslicu pred poslednou 1 v čísle A na 0. A teda "" \u003d 0 !!!

Takto sme dokončili cyklus: zavedením a"" sme zistili, že q""=a"", a nakoniec a""=0!

Zostáva však povedať, že po vykonaní úplne podobných výpočtov a následných k číslic dostaneme výslednú rovnosť: (k + 2)-ciferné zakončenie čísla a, alebo CB, - rovnako ako čísla A, je rovná 1. Potom sa však (k+2)-tá číslica C-A-B rovná nule, pričom NIE JE rovná nule!!!

Tu je v skutočnosti všetok dôkaz. Aby ste to pochopili, nepotrebujete mať vyššie vzdelanie a navyše byť profesionálnym matematikom. Profesionáli však mlčia...

Čitateľný text úplného dôkazu sa nachádza tu:

Recenzie

Ahoj Viktor. Páčil sa mi tvoj životopis. „Nenechaj zomrieť pred smrťou“ znie samozrejme skvele. Zo stretnutia v Próze s Fermatovou vetou, ak mám byť úprimný, som bol ohromený! Patrí sem? Existujú vedecké, populárno-vedecké a čajové stránky. Inak ďakujem za literárnu prácu.
S pozdravom Anya.

Milá Anya, aj napriek dosť prísnej cenzúre vám Próza umožňuje písať O VŠETKOM. Pri Fermatovej vete je situácia nasledovná: veľké matematické fóra sa k fermatistom správajú šikmo, hrubo a celkovo sa k nim správajú najlepšie, ako vedia. Na malých ruských, anglických a francúzskych fórach som však predložil poslednú verziu dôkazu. Nikto zatiaľ nepredložil žiadne protiargumenty a som si istý, že ani nikto nepredloží (dôkaz bol veľmi pozorne skontrolovaný). V sobotu zverejním filozofickú poznámku o vete.
V próze nie sú takmer žiadni hulváti, a ak sa s nimi nebudete zdržiavať, čoskoro z nich vypadne.
Takmer všetky moje práce sú prezentované v próze, preto som sem umiestnil aj dôkaz.
Vidíme sa neskôr,

1

Ivliev Yu.A.

Článok je venovaný popisu zásadnej matematickej chyby, ktorá vznikla v procese dokazovania Fermatovej poslednej vety na konci 20. storočia. Zistená chyba nielenže skresľuje skutočný význam vety, ale bráni aj rozvoju nového axiomatického prístupu k štúdiu mocniny čísel a prirodzeného radu čísel.

V roku 1995 vyšiel článok, ktorý bol svojou veľkosťou podobný knihe a informoval o dôkaze slávnej Fermatovej veľkej (poslednej) vety (WTF) (históriu vety a pokusy o jej dokázanie pozri napr. ). Po tejto udalosti sa objavilo mnoho vedeckých článkov a populárno-náučných kníh, ktoré propagovali tento dôkaz, ale žiadna z týchto prác v ňom neodhalila zásadnú matematickú chybu, ktorá sa vkradla ani nie vinou autora, ale kvôli nejakému zvláštnemu optimizmu, ktorý zachvátil matematici mysle, ktorí sa zaoberali týmto problémom a súvisiacimi otázkami. Psychologické aspekty tohto javu boli skúmané v. Poskytuje tiež podrobnú analýzu prehliadnutia, ku ktorému došlo, ktoré nie je zvláštneho charakteru, ale je výsledkom nesprávneho pochopenia vlastností mocnín celých čísel. Ako je uvedené v , Fermatov problém je zakorenený v novom axiomatickom prístupe k štúdiu týchto vlastností, ktorý ešte nebol aplikovaný v modernej vede. V ceste mu však stál chybný dôkaz, ktorý teoretikom čísel poskytol falošné usmernenia a viedol výskumníkov Fermatovho problému od jeho priameho a adekvátneho riešenia. Táto práca je venovaná odstráneniu tejto prekážky.

1. Anatómia chyby pri dokazovaní WTF

V procese veľmi dlhého a únavného uvažovania bol pôvodný Fermatov výrok preformulovaný v zmysle súladu medzi diofantínskou rovnicou p-tého stupňa a eliptickými krivkami 3. rádu (pozri vety 0,4 a 0,5 v ). Takéto porovnanie prinútilo autorov de facto kolektívneho dôkazu oznámiť, že ich metóda a zdôvodnenie vedú ku konečnému riešeniu Fermatovho problému (pripomeňme, že WTF až do 90. rokov nedisponovalo uznávanými dôkazmi pre prípad ľubovoľných celočíselných mocnín celých čísel). minulé storočie). Účelom tejto úvahy je zistiť matematickú nesprávnosť vyššie uvedeného porovnania a ako výsledok analýzy nájsť zásadnú chybu v dôkaze uvedenom v .

a) Kde a čo je zlé?

Poďme si teda prejsť text, kde sa na str.448 hovorí, že po „duchaplnom nápade“ G. Freya (G. Freya) sa otvorila možnosť dokázať WTF. V roku 1984 navrhol G. Frey a

K.Ribet neskôr dokázal, že predpokladaná eliptická krivka predstavujúca hypotetické celočíselné riešenie Fermatovej rovnice,

y2 = x(x + u p) (x - v p) (1)

nemôže byť modulárny. A.Wiles a R.Taylor však dokázali, že každá semistabilná eliptická krivka definovaná nad poľom racionálnych čísel je modulárna. To viedlo k záveru o nemožnosti celočíselných riešení Fermatovej rovnice a následne k platnosti Fermatovho tvrdenia, ktoré sa v zápise A. Wilesa zapísalo ako veta 0,5: nech je rovnosť

u p+ v p+ w p = 0 (2)

kde ty v, w- racionálne čísla, celočíselný exponent p ≥ 3; potom (2) je splnené len vtedy, ak uvw = 0 .

Teraz by sme sa zrejme mali vrátiť a kriticky zvážiť, prečo bola krivka (1) a priori vnímaná ako eliptická a aký je jej skutočný vzťah s Fermatovou rovnicou. Predvídajúc túto otázku sa A. Wiles odvoláva na prácu Y. Hellegouarcha, v ktorej našiel spôsob, ako spojiť Fermatovu rovnicu (pravdepodobne vyriešenú v celých číslach) s hypotetickou krivkou 3. rádu. Na rozdiel od G. Freya I. Allegouches neprepojil svoju krivku s modulárnymi formami, ale jeho metóda získania rovnice (1) bola použitá na ďalší pokrok v dôkaze A. Wilesa.

Pozrime sa bližšie na prácu. Autor svoje úvahy vedie z hľadiska projektívnej geometrie. Zjednodušením niektorých jeho zápisov a ich uvedením do súladu s , zistíme, že Abelovská krivka

Y2 = X(X - βp)(X + γ p) (3)

porovnáva sa diofantínová rovnica

X p+ r p+ z p = 0 (4)

kde X, y, z sú neznáme celé čísla, p je celočíselný exponent z (2) a riešenia diofantínskej rovnice (4) α p , β p , γ p sa používajú na zápis Abelovej krivky (3).

Teraz, aby sme sa uistili, že ide o eliptickú krivku 3. rádu, je potrebné zvážiť premenné X a Y v (3) v euklidovskej rovine. Používame na to známe pravidlo aritmetiky eliptických kriviek: ak na kubickej algebraickej krivke sú dva racionálne body a priamka prechádzajúca týmito bodmi pretína túto krivku ešte v jednom bode, potom je aj druhý racionálny bod. Hypotetická rovnica (4) formálne predstavuje zákon sčítania bodov na priamke. Ak urobíme zmenu premenných X p = A, r p=B, z p = C a nasmerujte takto získanú priamku pozdĺž osi X v (3), potom bude pretínať krivku 3. stupňa v troch bodoch: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), čo sa odráža v zápise Abelovej krivky (3) a v podobnom zápise (1). Je však krivka (3) alebo (1) skutočne eliptická? Očividne nie, pretože segmenty euklidovskej priamky sa pri pridávaní bodov na ňu berú na nelineárnej stupnici.

Ak sa vrátime k lineárnym súradnicovým systémom euklidovského priestoru, namiesto (1) a (3) získame vzorce, ktoré sa veľmi líšia od vzorcov pre eliptické krivky. Napríklad (1) môže mať nasledujúci tvar:

η 2p = ξ p (ξ p + u p) (ξ p - v p) (5)

kde ξ p = x, η p = y, a odvolanie sa na (1) v tomto prípade na odvodenie WTF sa zdá byť nezákonné. Napriek tomu, že (1) spĺňa niektoré kritériá triedy eliptických kriviek, nespĺňa najdôležitejšie kritérium, ktorým je rovnica 3. stupňa v lineárnom súradnicovom systéme.

b) Klasifikácia chýb

Takže sa ešte raz vrátime na začiatok úvahy a sledujeme, ako sa robí záver o pravdivosti WTF. Po prvé, predpokladá sa, že existuje riešenie Fermatovej rovnice v kladných celých číslach. Po druhé, toto riešenie je ľubovoľne vložené do algebraického tvaru známeho tvaru (rovinná krivka 3. stupňa) za predpokladu, že takto získané eliptické krivky existujú (druhý neoverený predpoklad). Po tretie, keďže sa inými metódami dokáže, že vytvorená betónová krivka je nemodulárna, znamená to, že neexistuje. Z toho vyplýva záver: neexistuje celočíselné riešenie Fermatovej rovnice, a preto je WTF pravdivá.

V týchto argumentoch je jeden slabý článok, ktorý sa po podrobnej kontrole ukáže ako omyl. K tejto chybe dochádza v druhej fáze procesu dokazovania, keď sa predpokladá, že hypotetické riešenie Fermatovej rovnice je zároveň riešením algebraickej rovnice tretieho stupňa opisujúcej eliptickú krivku známeho tvaru. Samotný takýto predpoklad by bol opodstatnený, ak by naznačená krivka bola skutočne eliptická. Ako je však zrejmé z bodu 1a), táto krivka je prezentovaná v nelineárnych súradniciach, čo ju robí „iluzórnou“, t.j. v skutočnosti neexistujúce v lineárnom topologickom priestore.

Teraz musíme zistenú chybu jasne klasifikovať. Spočíva v tom, že to, čo je potrebné dokázať, sa uvádza ako argument dôkazu. V klasickej logike je táto chyba známa ako „začarovaný kruh“. V tomto prípade sa celočíselné riešenie Fermatovej rovnice porovná (zrejme, pravdepodobne jednoznačne) s fiktívnou, neexistujúcou eliptickou krivkou, a potom všetok pátos ďalšieho uvažovania dokazuje, že špecifická eliptická krivka tohto tvaru, získaná z hypotetických riešení Fermatovej rovnice, neexistuje.

Ako sa stalo, že sa takáto elementárna chyba minula v serióznej matematickej práci? Pravdepodobne sa to stalo v dôsledku skutočnosti, že „iluzórne“ geometrické útvary tohto typu neboli predtým študované v matematike. Veď koho by mohol zaujímať napríklad fiktívny kruh získaný z Fermatovej rovnice zmenou premenných x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Jej rovnica C 2 = A 2 + B 2 totiž nemá celočíselné riešenia pre celé číslo x, y, z an ≥ 3 . V nelineárnych súradnicových osiach X a Y by takýto kruh bol opísaný rovnicou, ktorá vyzerá veľmi podobne ako štandardný tvar:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

kde A a B už nie sú premenné, ale konkrétne čísla určené vyššie uvedenou substitúciou. Ale ak čísla A a B dostanú svoj pôvodný tvar, ktorý spočíva v ich mocninom charaktere, potom heterogenita zápisu vo faktoroch na pravej strane rovnice okamžite upúta pozornosť. Toto znamenie pomáha rozlíšiť ilúziu od reality a prejsť z nelineárnych na lineárne súradnice. Na druhej strane, ak čísla považujeme za operátory pri ich porovnávaní s premennými, ako napríklad v (1), potom obe musia byť homogénne veličiny, t.j. musí mať rovnaký stupeň.

Takéto chápanie mocnín čísel ako operátorov zároveň umožňuje vidieť, že porovnanie Fermatovej rovnice s iluzórnou eliptickou krivkou nie je jednoznačné. Vezmite si napríklad jeden z faktorov na pravej strane (5) a rozšírte ho na p lineárnych faktorov zavedením komplexného čísla r takého, že r p = 1 (pozri napríklad):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Potom možno formu (5) znázorniť ako rozklad na prvočiniteľa komplexných čísel podľa typu algebraickej identity (6), avšak jedinečnosť takéhoto rozkladu vo všeobecnom prípade je otázna, čo kedysi ukázal Kummer. .

2. Závery

Z predchádzajúcej analýzy vyplýva, že takzvaná aritmetika eliptických kriviek nie je schopná osvetliť, kde hľadať dôkaz WTF. Po práci sa Fermatov výrok, mimochodom, braný ako epigraf k tomuto článku, začal vnímať ako historický vtip alebo vtip. V skutočnosti sa však ukazuje, že to nebol Fermat, kto žartoval, ale odborníci, ktorí sa zišli na matematickom sympóziu v Oberwolfachu v Nemecku v roku 1984, na ktorom G. Frey vyslovil svoj vtipný nápad. Dôsledky takéhoto neopatrného tvrdenia priviedli matematiku ako celok na pokraj straty dôvery verejnosti, čo je podrobne opísané v a čo nevyhnutne vyvoláva otázku zodpovednosti vedeckých inštitúcií voči spoločnosti pred vedou. Zobrazenie Fermatovej rovnice na Freyovu krivku (1) je „zámkom“ celého Wilesovho dôkazu vzhľadom na Fermatovu vetu, a ak neexistuje zhoda medzi Fermatovou krivkou a modulárnymi eliptickými krivkami, potom neexistuje ani dôkaz.

V poslednej dobe sa na internete objavili rôzne správy o tom, že niektorí významní matematici konečne prišli na Wilesov dôkaz Fermatovej vety a dali mu ospravedlnenie v podobe „minimálneho“ prepočtu celých bodov v euklidovskom priestore. Žiadna inovácia však nemôže zrušiť klasické výsledky, ktoré už ľudstvo získalo v matematike, najmä skutočnosť, že hoci sa akékoľvek radové číslo zhoduje so svojím kvantitatívnym náprotivkom, nemôže ho nahradiť v operáciách vzájomného porovnávania čísel, a preto s nevyhnutne nasleduje záver, že Freyova krivka (1) nie je spočiatku eliptická, t.j. nie je podľa definície.

BIBLIOGRAFIA:

1. Ivliev Yu.A. Rekonštrukcia pôvodného dôkazu Fermatovej poslednej vety - United Scientific Journal (časť "Matematika"). Apríl 2006 č. 7 (167) s. 3-9, pozri tiež Pratsi z luhanskej pobočky Medzinárodnej akadémie informatizácie. Ministerstvo školstva a vedy Ukrajiny. Shidnoukrainian National University pomenovaná po. V. Dahl. 2006 č. 2 (13) s.19-25.
2. Ivliev Yu.A. Najväčší vedecký podvod 20. storočia: „dôkaz“ poslednej Fermatovej vety – Prírodné a technické vedy (časť „História a metodológia matematiky“). August 2007 č. 4 (30) s. 34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Posledná Fermatova veta. Genetický úvod do algebraickej teórie čísel. Za. z angličtiny. vyd. B.F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
4. Hellegouarch Y. Body d'ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s.253-263.
5. Wiles A. Modulárne eliptické krivky a Fermatova posledná veta - Annals of Mathematics. Máj 1995 v.141 Druhá séria č. 3 str.443-551.

Bibliografický odkaz

Ivliev Yu.A. WILESOV MYLNÝ DÔKAZ VEĽKEJ FERMATOVEJ VETY // Základný výskum. - 2008. - č. 3. - S. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (dátum prístupu: 03.03.2020). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom "Academy of Natural History"

Takže Fermatova posledná veta (často nazývaná posledná Fermatova veta), ktorú v roku 1637 sformuloval geniálny francúzsky matematik Pierre Fermat, je vo svojej podstate veľmi jednoduchá a zrozumiteľná pre každého so stredoškolským vzdelaním. Hovorí, že vzorec a na mocninu n + b na mocninu n \u003d c na mocninu n nemá prirodzené (teda nezlomkové) riešenia pre n> 2. Všetko sa zdá byť jednoduché a jasné , no najlepší matematici a obyčajní amatéri bojovali o hľadanie riešenia viac ako tri a pol storočia.

Prečo je taká slávna? Teraz poďme zistiť...



Existuje málo dokázaných, nedokázaných a predsa nedokázaných viet? Ide o to, že Fermatova posledná veta je najväčším kontrastom medzi jednoduchosťou formulácie a zložitosťou dôkazu. Fermatova posledná veta je neskutočne ťažká úloha a predsa jej formuláciu porozumie každý s 5. ročníkom strednej školy, no dôkaz ani zďaleka nie každý profesionálny matematik. Ani vo fyzike, ani v chémii, ani v biológii, ani v tej istej matematike neexistuje jediný problém, ktorý by bol formulovaný tak jednoducho, no zostal by tak dlho nevyriešený. 2. Z čoho pozostáva?

Začnime pytagorovými nohavicami Znenie je naozaj jednoduché – na prvý pohľad. Ako vieme z detstva, "pythagorejské nohavice sú si rovné zo všetkých strán." Problém vyzerá tak jednoducho, pretože bol založený na matematickom tvrdení, ktoré každý pozná – Pytagorovej vete: v akomkoľvek pravouhlom trojuholníku sa štvorec postavený na prepone rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.

V 5. storočí pred Kr. Pytagoras založil pytagorejské bratstvo. Pythagorejci okrem iného študovali celočíselné trojice spĺňajúce rovnicu x²+y²=z². Dokázali, že pytagorejských trojíc je nekonečne veľa a získali všeobecné vzorce na ich nájdenie. Asi sa snažili hľadať trojky a vyššie stupne. Presvedčení, že to nefunguje, Pythagorejci zanechali svoje márne pokusy. Členovia bratstva boli viac filozofi a estéti ako matematici.


To znamená, že je ľahké vybrať množinu čísel, ktoré dokonale spĺňajú rovnosť x² + y² = z²

Počnúc 3, 4, 5 - žiak základnej školy skutočne chápe, že 9 + 16 = 25.

Alebo 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Skvelé.

No a tak ďalej. Čo ak vezmeme podobnú rovnicu x³+y³=z³? Možno existujú aj také čísla?




A tak ďalej (obr. 1).

No, ukázalo sa, že nie. Tu začína trik. Jednoduchosť je zjavná, pretože je ťažké dokázať nie prítomnosť niečoho, ale naopak neprítomnosť. Keď je potrebné dokázať, že existuje riešenie, človek môže a mal by jednoducho predložiť toto riešenie.

Absenciu je ťažšie dokázať: niekto napríklad hovorí: taká a taká rovnica nemá riešenia. Dať ho do mláky? jednoduché: bam - a tu to je, riešenie! (uveďte riešenie). A je to, súper je porazený. Ako dokázať absenciu?

Povedať: „Nenašiel som také riešenia“? Alebo si možno zle hľadal? A čo ak sú, len veľmi veľké, no také, že ani supervýkonný počítač ešte nemá dostatok sily? Toto je ťažké.

Vo vizuálnej forme to možno znázorniť takto: ak vezmeme dva štvorce vhodnej veľkosti a rozložíme ich na jednotkové štvorce, potom z tohto zväzku jednotkových štvorcov získame tretí štvorec (obr. 2):


A urobme to isté s tretím rozmerom (obr. 3) – nefunguje to. Nie je dostatok kociek alebo zostávajú ďalšie:





Ale matematik 17. storočia, Francúz Pierre de Fermat, nadšene študoval všeobecnú rovnicu x n+yn=zn . A nakoniec dospel k záveru: pre n>2 celočíselné riešenia neexistujú. Fermatov dôkaz je nenávratne stratený. Rukopisy sú v plameňoch! Zostáva len jeho poznámka v Diophantusovej aritmetike: "Našiel som skutočne úžasný dôkaz tohto návrhu, ale okraje sú príliš úzke na to, aby sa to dalo."

Veta bez dôkazu sa v skutočnosti nazýva hypotéza. Ale Fermat má povesť, že sa nikdy nemýli. Ak aj nezanechal dôkaz o žiadnom vyhlásení, následne sa to potvrdilo. Okrem toho Fermat dokázal svoju tézu pre n=4. Takže hypotéza francúzskeho matematika vošla do histórie ako Fermatova posledná veta.

Po Fermatovi pracovali veľké mysle ako Leonhard Euler na nájdení dôkazu (v roku 1770 navrhol riešenie pre n = 3),

Adrien Legendre a Johann Dirichlet (títo vedci spoločne našli dôkaz pre n = 5 v roku 1825), Gabriel Lame (ktorý našiel dôkaz pre n = 7) a mnohí ďalší. V polovici 80. rokov minulého storočia už bolo jasné, že vedecký svet je na ceste ku konečnému riešeniu Fermatovej poslednej vety, ale až v roku 1993 matematici videli a uverili, že tristoročná sága o nájdení dôkazu Posledná Fermatova veta bola takmer u konca.

Je ľahké ukázať, že stačí dokázať Fermatovu vetu len pre prvočíslo n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Pre kompozit n zostáva dôkaz platný. Ale prvočísel je nekonečne veľa...

V roku 1825, pomocou metódy Sophie Germain, matematičky Dirichlet a Legendre nezávisle dokázali vetu pre n=5. V roku 1839 Francúz Gabriel Lame ukázal pravdivosť vety pre n=7 pomocou rovnakej metódy. Postupne sa veta dokázala takmer pre všetkých n menej ako sto.


Napokon, nemecký matematik Ernst Kummer v brilantnej štúdii ukázal, že matematické metódy 19. storočia nedokážu vetu vo všeobecnej forme dokázať. Cena Francúzskej akadémie vied, založená v roku 1847 za dôkaz Fermatovej vety, zostala nepridelená.

V roku 1907 sa bohatý nemecký priemyselník Paul Wolfskel rozhodol vziať si život kvôli neopätovanej láske. Ako správny Nemec stanovil dátum a čas samovraždy: presne o polnoci. Posledný deň urobil závet a napísal listy priateľom a príbuzným. Obchod skončil pred polnocou. Musím povedať, že Paul sa zaujímal o matematiku. Keďže nemal čo robiť, odišiel do knižnice a začal čítať Kummerov slávny článok. Zrazu sa mu zdalo, že Kummer urobil chybu vo svojich úvahách. Wolfskehl s ceruzkou v ruke začal analyzovať túto časť článku. Prešla polnoc, prišlo ráno. Medzera v dôkaze bola vyplnená. A samotný dôvod samovraždy teraz vyzeral úplne smiešne. Pavol roztrhal listy na rozlúčku a prepísal závet.

Čoskoro zomrel prirodzenou smrťou. Dediči boli poriadne prekvapení: 100 000 mariek (viac ako 1 000 000 súčasných libier šterlingov) bolo prevedených na účet Kráľovskej vedeckej spoločnosti v Göttingene, ktorá v tom istom roku vyhlásila súťaž o Wolfskelovu cenu. 100 000 mariek sa spoliehalo na dokazovanie Fermatovej vety. Za vyvrátenie vety sa nemal zaplatiť ani fenig...

Väčšina profesionálnych matematikov považovala hľadanie dôkazu Fermatovej poslednej vety za stratený prípad a rezolútne odmietli strácať čas takýmto zbytočným cvičením. Ale amatéri frčia do slávy. Niekoľko týždňov po oznámení zasiahla univerzitu v Göttingene lavína „dôkazov“. Profesor E. M. Landau, ktorého povinnosťou bolo analyzovať zaslané dôkazy, rozdal svojim študentom karty:


Vážení. . . . . . . .

Ďakujem za rukopis, ktorý ste poslali s dôkazom Fermatovej poslednej vety. Prvá chyba je na strane ... v riadku ... . Kvôli nej celý dôkaz stráca platnosť.
Profesor E. M. Landau











V roku 1963 Paul Cohen, vychádzajúc z Gödelových zistení, dokázal neriešiteľnosť jedného z dvadsiatich troch Hilbertových problémov, hypotézy kontinua. Čo ak je neriešiteľná aj Fermatova posledná veta?! Skutoční fanatici Veľkej vety ale vôbec nesklamali. Nástup počítačov nečakane poskytol matematikom novú metódu dokazovania. Po druhej svetovej vojne skupiny programátorov a matematikov dokázali Fermatovu poslednú vetu pre všetky hodnoty n do 500, potom do 1 000 a neskôr do 10 000.

V 80. rokoch Samuel Wagstaff zvýšil limit na 25 000 a v 90. rokoch matematici tvrdili, že Fermatova posledná veta platí pre všetky hodnoty n až do 4 miliónov. Ale ak sa od nekonečna odpočíta čo i len bilión biliónov, nezmenší sa. Matematikov nepresvedčí štatistika. Dokázať Veľkú vetu znamenalo dokázať ju pre VŠETKÝCH n ísť do nekonečna.




V roku 1954 dvaja mladí japonskí priatelia matematiky začali študovať modulárne formy. Tieto formuláre generujú série čísel, z ktorých každé - svoje vlastné série. Taniyama náhodou porovnal tieto série so sériami generovanými eliptickými rovnicami. Zhodovali sa! Ale modulárne formy sú geometrické objekty, zatiaľ čo eliptické rovnice sú algebraické. Medzi takými rozdielnymi objektmi sa nikdy nenašlo spojenie.

Po starostlivom testovaní však priatelia predložili hypotézu: každá eliptická rovnica má dvojča - modulárnu formu a naopak. Práve táto hypotéza sa stala základom celého trendu v matematike, ale kým sa nepreukázala hypotéza Taniyama-Shimura, celá budova sa mohla každú chvíľu zrútiť.

V roku 1984 Gerhard Frey ukázal, že riešenie Fermatovej rovnice, ak existuje, môže byť zahrnuté do nejakej eliptickej rovnice. O dva roky neskôr profesor Ken Ribet dokázal, že táto hypotetická rovnica nemôže mať v modulárnom svete obdobu. Odteraz bola Fermatova posledná veta neoddeliteľne spojená s domnienkou Taniyama-Shimura. Po preukázaní, že každá eliptická krivka je modulárna, sme dospeli k záveru, že neexistuje žiadna eliptická rovnica s riešením Fermatovej rovnice a Fermatova posledná veta by bola okamžite dokázaná. Ale tridsať rokov nebolo možné dokázať dohad Taniyama-Shimura a nádeje na úspech boli čoraz menej.

V roku 1963, keď mal len desať rokov, bol Andrew Wiles už fascinovaný matematikou. Keď sa dozvedel o Veľkej vete, uvedomil si, že sa od nej nemôže odchýliť. Ako školák, študent, postgraduálny študent sa na túto úlohu pripravoval.

Keď sa Wiles dozvedel o zisteniach Kena Ribeta, vrhol sa na dokazovanie hypotézy Taniyama-Shimura. Rozhodol sa pracovať v úplnej izolácii a utajení. "Pochopil som, že všetko, čo má niečo spoločné s Fermatovou poslednou vetou, je príliš zaujímavé... Príliš veľa divákov úmyselne zasahuje do dosiahnutia cieľa." Sedem rokov tvrdej práce sa vyplatilo, Wiles konečne dokončil dôkaz dohadu Taniyama-Shimura.

V roku 1993 anglický matematik Andrew Wiles predstavil svetu svoj dôkaz Fermatovej poslednej vety (Wiles čítal svoju senzačnú správu na konferencii v Inštitúte Sira Isaaca Newtona v Cambridge.), práca na ktorej trvala viac ako sedem rokov.







Zatiaľ čo humbuk v tlači pokračoval, začala sa seriózna práca na overovaní dôkazov. Každý dôkaz musí byť dôkladne preskúmaný predtým, ako sa dôkaz môže považovať za prísny a presný. Wiles strávil hektické leto čakaním na spätnú väzbu recenzentov a dúfal, že si získa ich súhlas. Koncom augusta našli znalci nedostatočne odôvodnený rozsudok.

Ukázalo sa, že toto rozhodnutie obsahuje hrubú chybu, hoci vo všeobecnosti je to pravda. Wiles sa nevzdal, zavolal si na pomoc známeho špecialistu na teóriu čísel Richarda Taylora a už v roku 1994 zverejnili opravený a doplnený dôkaz vety. Najúžasnejšie je, že táto práca zabrala až 130 (!) strán v matematickom časopise Annals of Mathematics. Ale ani tam sa príbeh neskončil - posledná bodka bola urobená až v nasledujúcom roku 1995, keď bola zverejnená konečná a z matematického hľadiska „ideálna“ verzia dôkazu.

„...pol minúty po začiatku slávnostnej večere pri príležitosti jej narodenín som dal Nadii rukopis úplného dôkazu“ (Andrew Wales). Už som spomínal, že matematici sú zvláštni ľudia?






Tentoraz o dôkaze nebolo pochýb. Dva články boli podrobené najdôkladnejšej analýze av máji 1995 boli uverejnené v Annals of Mathematics.

Od toho momentu prešlo veľa času, no v spoločnosti stále panuje názor o neriešiteľnosti Fermatovej poslednej vety. Ale aj tí, ktorí vedia o nájdenom dôkaze, pokračujú v práci týmto smerom – málokto je spokojný s tým, že Veľká veta vyžaduje riešenie na 130 stranách!

Preto sa teraz sily toľkých matematikov (väčšinou amatérov, nie profesionálnych vedcov) vrhajú na hľadanie jednoduchého a výstižného dôkazu, ale táto cesta s najväčšou pravdepodobnosťou nikam nepovedie ...

Je nepravdepodobné, že by v živote našej redakcie prešiel aspoň jeden rok bez toho, aby nedostala dobrý tucet dôkazov Fermatovej vety. Teraz, po „víťazstve“ nad ním, prúdenie ustúpilo, ale nevyschlo.

Samozrejme, aby sme ho nevysušili úplne, uverejňujeme tento článok. A nie na svoju obranu - vraj preto sme mlčali, sami sme ešte nedozreli na diskusiu o tak zložitých problémoch.

Ale ak sa vám článok naozaj zdá komplikovaný, pozrite sa hneď na jeho koniec. Budete musieť cítiť, že vášne sa dočasne upokojili, veda sa neskončila a čoskoro budú do redakcie zaslané nové dôkazy nových teorémov.

Zdá sa, že 20. storočie nebolo márne. Po prvé, ľudia na chvíľu vytvorili druhé Slnko odpálením vodíkovej bomby. Potom kráčali po Mesiaci a nakoniec dokázali povestnú Fermatovu vetu. Z týchto troch zázrakov sú prvé dva na perách každého, pretože mali obrovské sociálne dôsledky. Naopak, tretí zázrak vyzerá ako ďalšia vedecká hračka – na rovnakej úrovni ako teória relativity, kvantová mechanika a Gödelova veta o neúplnosti aritmetiky. Relativita a kvantá však priviedli fyzikov k vodíkovej bombe a výskum matematikov zaplnil náš svet počítačmi. Bude tento reťazec zázrakov pokračovať aj v 21. storočí? Dá sa vystopovať súvislosť medzi ďalšími vedeckými hračkami a revolúciami v našom každodennom živote? Umožňuje nám toto spojenie robiť úspešné predpovede? Skúsme to pochopiť na príklade Fermatovej vety.

Na začiatok si všimnime, že sa narodila oveľa neskôr, ako bol jej prirodzený termín. Prvým špeciálnym prípadom Fermatovej vety je napokon Pytagorova rovnica X 2 + Y 2 = Z 2 , ktorá dáva do súvislosti dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Po dokázaní tohto vzorca pred dvadsiatimi piatimi storočiami si Pytagoras okamžite položil otázku: Je v prírode veľa trojuholníkov, v ktorých majú nohy aj prepona celé číslo? Zdá sa, že Egypťania poznali iba jeden takýto trojuholník - so stranami (3, 4, 5). Nie je však ťažké nájsť ďalšie možnosti: napríklad (5, 12, 13) , (7, 24, 25) alebo (8, 15, 17) . Vo všetkých týchto prípadoch má dĺžka prepony tvar (A 2 + B 2), kde A a B sú prvočísla rôznej parity. V tomto prípade sa dĺžky nôh rovnajú (A 2 - B 2) a 2AB.

Pythagoras, ktorý si všimol tieto vzťahy, ľahko dokázal, že akákoľvek trojica čísel (X \u003d A 2 - B 2, Y \u003d 2AB, Z \u003d A 2 + B 2) je riešením rovnice X 2 + Y 2 \u003d Z 2 a nastaví obdĺžnik so vzájomne jednoduchými dĺžkami strán. Je tiež vidieť, že počet rôznych trojíc tohto druhu je nekonečný. Ale majú všetky riešenia Pytagorovej rovnice tento tvar? Pytagoras nebol schopný dokázať ani vyvrátiť takúto hypotézu a prenechal tento problém potomkom bez toho, aby naň upozornil. Kto chce poukázať na svoje zlyhania? Zdá sa, že potom bol problém integrálnych pravouhlých trojuholníkov sedem storočí v zabudnutí - kým sa v Alexandrii neobjavil nový matematický génius menom Diophantus.

Vieme o ňom málo, ale je jasné, že nebol nič ako Pytagoras. Cítil sa ako kráľ v geometrii a dokonca aj mimo nej – či už v hudbe, astronómii alebo politike. Prvé aritmetické spojenie medzi dĺžkami strán harmonickej harfy, prvý model vesmíru zo sústredných sfér nesúcich planéty a hviezdy so Zemou v strede a napokon prvá republika vedcov v talianskom meste Crotone - to sú osobné úspechy Pytagora. Čomu by sa mohol postaviť proti takýmto úspechom Diophantus – skromný výskumník veľkého Múzea, ktoré už dávno prestalo byť pýchou mestského davu?

Len jedna vec: lepšie pochopenie starovekého sveta čísel, ktorých zákony Pytagoras, Euklides a Archimedes sotva stihli pocítiť. Všimnite si, že Diophantus ešte nezvládol pozičný systém písania veľkých čísel, ale vedel, čo sú záporné čísla, a pravdepodobne strávil veľa hodín premýšľaním o tom, prečo je súčin dvoch záporných čísel kladný. Svet celých čísel bol prvýkrát odhalený Diophantusovi ako špeciálny vesmír, odlišný od sveta hviezd, segmentov alebo mnohostenov. Hlavným zamestnaním vedcov v tomto svete je riešenie rovníc, skutočný majster nájde všetky možné riešenia a dokáže, že iné riešenia neexistujú. Toto urobil Diophantus s kvadratickou Pytagorovou rovnicou a potom si pomyslel: má aspoň jedno riešenie podobnú kubickú rovnicu X 3 + Y 3 = Z 3 ?

Diophantus nenašiel takéto riešenie, neúspešný bol aj jeho pokus dokázať, že riešenia neexistujú. Preto, keď Diophantus zostavil výsledky svojej práce v knihe „Aritmetika“ (bola to prvá učebnica teórie čísel na svete), podrobne analyzoval Pytagorovu rovnicu, ale nenaznačil ani slovo o možných zovšeobecneniach tejto rovnice. Ale mohol: koniec koncov to bol Diophantus, kto prvý navrhol označenie mocniny celých čísel! Ale bohužiaľ: koncept „zošitu úloh“ bol helénskej vede a pedagogike cudzí a zverejňovanie zoznamov nevyriešených problémov sa považovalo za neslušné zamestnanie (iba Sokrates konal inak). Ak nemôžete vyriešiť problém - mlčte! Diophantus sa odmlčal a toto mlčanie sa ťahalo štrnásť storočí – až do nástupu New Age, kedy sa oživil záujem o proces ľudského myslenia.

Kto na prelome 16.-17. storočia o ničom nefantazíroval! Neúnavný kalkulátor Kepler sa snažil uhádnuť súvislosť medzi vzdialenosťami od Slnka k planétam. Pytagoras zlyhal. Keplerov úspech prišiel potom, čo sa naučil integrovať polynómy a iné jednoduché funkcie. Naopak, snílek Descartes nemal rád dlhé výpočty, ale bol to on, kto prvýkrát predstavil všetky body roviny alebo priestoru ako súbory čísel. Tento odvážny model redukuje akýkoľvek geometrický problém o číslach na nejaký algebraický problém o rovniciach - a naopak. Napríklad celočíselné riešenia Pytagorovej rovnice zodpovedajú celočíselným bodom na povrchu kužeľa. Povrch zodpovedajúci kubickej rovnici X 3 + Y 3 = Z 3 vyzerá komplikovanejšie, jeho geometrické vlastnosti Pierrovi Fermatovi nič nenaznačovali a musel si raziť nové cesty divočinou celých čísel.

V roku 1636 sa Diophantova kniha, práve preložená do latinčiny z gréckeho originálu, dostala do rúk mladého právnika z Toulouse, ktorý náhodou prežil v nejakom byzantskom archíve a priviezol do Talianska jeden z rímskych utečencov v čase tureckej skaziť. Pri čítaní elegantnej diskusie o Pytagorovej rovnici si Fermat pomyslel: je možné nájsť také riešenie, ktoré pozostáva z troch štvorcových čísel? Nie sú malé čísla tohto druhu: je ľahké to overiť výpočtom. A čo veľké rozhodnutia? Bez počítača by Fermat nemohol uskutočniť numerický experiment. Všimol si však, že pre každé „veľké“ riešenie rovnice X 4 + Y 4 = Z 4 možno zostrojiť menšie riešenie. Súčet štvrtých mocnín dvoch celých čísel sa teda nikdy nerovná rovnakej mocnine tretieho čísla! A čo súčet dvoch kociek?

Inšpirovaný úspechom pre stupeň 4, Fermat sa pokúsil upraviť "spôsob zostupu" pre stupeň 3 - a uspel. Ukázalo sa, že z tých jednotlivých kociek, na ktoré sa rozpadla veľká kocka s celočíselnou dĺžkou hrany, sa nedali poskladať dve malé kocky. Víťazný Fermat urobil na okraj Diofantovej knihy krátku poznámku a poslal do Paríža list s podrobnou správou o svojom objave. No odpovede sa nedočkal – aj keď matematici z hlavného mesta zvyčajne rýchlo zareagovali na ďalší úspech ich osamelého kolegu-súpera v Toulouse. O čo tu ide?

Jednoducho: v polovici 17. storočia aritmetika vyšla z módy. Veľké úspechy talianskych algebraistov 16. storočia (keď sa riešili polynomické rovnice 3. a 4. stupňa) sa nestali začiatkom všeobecnej vedeckej revolúcie, pretože neumožňovali riešiť nové svetlé problémy v susedných oblastiach vedy. Ak by teda Kepler dokázal uhádnuť obežné dráhy planét pomocou čistej aritmetiky... Ale bohužiaľ, toto si vyžadovalo matematickú analýzu. To znamená, že sa musí rozvíjať – až po úplný triumf matematických metód v prírodných vedách! Analýza však vyrastá z geometrie, zatiaľ čo aritmetika zostáva oblasťou hry pre nečinných právnikov a iných milovníkov večnej vedy o číslach a číslach.

Takže Fermatove aritmetické úspechy sa ukázali ako predčasné a zostali nedocenené. Nerozrušilo ho to: pre slávu matematika sa mu po prvýkrát odhalili fakty diferenciálneho počtu, analytickej geometrie a teórie pravdepodobnosti. Všetky tieto objavy Fermata okamžite vstúpili do zlatého fondu novej európskej vedy, zatiaľ čo teória čísel ustúpila do pozadia na ďalších sto rokov – až kým ju neoživil Euler.

Tento „kráľ matematikov“ 18. storočia bol šampiónom vo všetkých aplikáciách analýzy, ale nezanedbával ani aritmetiku, pretože nové metódy analýzy viedli k neočakávaným skutočnostiam o číslach. Kto by si myslel, že nekonečný súčet inverzných štvorcov (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+…) sa rovná π 2 /6? Kto z Helénov mohol predvídať, že podobné série umožnia dokázať iracionalitu čísla π?

Takéto úspechy prinútili Eulera, aby si pozorne znovu prečítal zachované Fermatove rukopisy (našťastie sa ich synovi veľkého Francúza podarilo zverejniť). Je pravda, že dôkaz „veľkej vety“ pre stupeň 3 sa nezachoval, ale Euler ho ľahko obnovil poukázaním na „metódu zostupu“ a okamžite sa pokúsil preniesť túto metódu na ďalší hlavný stupeň - 5.

To tam nebolo! V Eulerovom uvažovaní sa objavili komplexné čísla, ktoré si Fermat stihol nevšimnúť (to je zvyčajná partia objaviteľov). Ale faktorizácia komplexných celých čísel je chúlostivá záležitosť. Ani Euler tomu celkom nerozumel a odložil „Fermatov problém“ v zhone dokončiť svoje hlavné dielo – učebnicu „Základy analýzy“, ktorá mala pomôcť každému talentovanému mladému mužovi postaviť sa na roveň Leibnizovi a Euler. Vydanie učebnice bolo dokončené v Petrohrade v roku 1770. Ale Euler sa nevrátil k Fermatovej vete, pretože si bol istý, že všetko, čoho sa dotkli jeho ruky a myseľ, nezabudne nová vedecká mládež.

A tak sa aj stalo: Eulerovým nástupcom v teórii čísel sa stal Francúz Adrien Legendre. Koncom 18. storočia dokončil dôkaz Fermatovej vety pre stupeň 5 – a hoci neuspel pre veľké prvočísla, zostavil ďalšiu učebnicu teórie čísel. Nech jej mladí čitatelia predčia autora tak, ako čitatelia Matematických princípov prírodnej filozofie predčili veľkého Newtona! Legendre sa nevyrovnal Newtonovi ani Eulerovi, no medzi jeho čitateľmi boli dvaja géniovia: Carl Gauss a Evariste Galois.

K takejto vysokej koncentrácii géniov prispela Francúzska revolúcia, ktorá vyhlásila štátny kult Rozumu. Potom sa každý talentovaný vedec cítil ako Kolumbus alebo Alexander Veľký, schopný objaviť alebo dobyť nový svet. Mnohým sa to podarilo, preto sa v 19. storočí stal hlavným motorom evolúcie ľudstva vedecko-technický pokrok a všetci rozumní vládcovia (počnúc Napoleonom) si to uvedomovali.

Gauss bol povahovo blízky Kolumbovi. No on (podobne ako Newton) nevedel zaujať predstavivosť panovníkov či študentov krásnymi rečami, a preto svoje ambície obmedzil na sféru vedeckých konceptov. Tu si mohol robiť, čo chcel. Napríklad starodávny problém trisekcie uhla z nejakého dôvodu nemožno vyriešiť pomocou kompasu a pravítka. Pomocou komplexných čísel znázorňujúcich body roviny Gauss prekladá tento problém do jazyka algebry – a získava všeobecnú teóriu uskutočniteľnosti určitých geometrických konštrukcií. Tak sa zároveň objavil rigorózny dôkaz o nemožnosti zostrojiť pravidelný 7- či 9-uholník kružidlom a pravítkom a taký spôsob zostrojenia pravidelného 17-uholníka, aký urobili najmúdrejší geometri Hellasu. nesnívať o.

Samozrejme, takýto úspech nie je darovaný nadarmo: treba vymýšľať nové koncepty, ktoré odrážajú podstatu veci. Newton predstavil tri takéto koncepty: tok (derivát), plynulý (integrálny) a mocninový rad. Stačili na vytvorenie matematickej analýzy a prvého vedeckého modelu fyzikálneho sveta vrátane mechaniky a astronómie. Gauss tiež predstavil tri nové koncepty: vektorový priestor, pole a kruh. Vyrástla z nich nová algebra, ktorá podradila grécku aritmetiku a Newtonom vytvorenú teóriu číselných funkcií. Zostávalo podriadiť Aristotelom vytvorenú logiku algebre: potom by bolo možné pomocou výpočtov dokázať odvoditeľnosť či neodvoditeľnosť akýchkoľvek vedeckých tvrdení z tohto súboru axióm! Odvodzuje sa napríklad Fermatova veta z axióm aritmetiky alebo Euklidov postulát rovnobežných priamok pochádza z iných axióm planimetrie?

Gauss nestihol zrealizovať tento odvážny sen – hoci postúpil ďaleko a uhádol možnosť existencie exotických (nekomutatívnych) algebier. Len odvážnemu Rusovi Nikolajovi Lobačevskému sa podarilo postaviť prvú neeuklidovskú geometriu a prvá nekomutatívna algebra (Teória skupín) sa podarila Francúzovi Evaristovi Galoisovi. A až oveľa neskôr ako po Gaussovej smrti – v roku 1872 – mladý Nemec Felix Klein uhádol, že rozmanitosť možných geometrií sa dá spojiť s množstvom možných algebier. Jednoducho povedané, každá geometria je definovaná svojou grupou symetrie – zatiaľ čo všeobecná algebra študuje všetky možné grupy a ich vlastnosti.

Ale takéto pochopenie geometrie a algebry prišlo oveľa neskôr a útok na Fermatovu vetu sa obnovil počas Gaussovho života. Sám opomenul Fermatovu vetu z princípu: nie je vecou kráľa riešiť jednotlivé problémy, ktoré sa nehodia do svetlej vedeckej teórie! Ale študenti Gaussa, vyzbrojení jeho novou algebrou a klasickou analýzou Newtona a Eulera, uvažovali inak. Najprv Peter Dirichlet dokázal Fermatovu vetu pre stupeň 7 pomocou kruhu komplexných celých čísel generovaných koreňmi tohto stupňa jednoty. Potom Ernst Kummer rozšíril Dirichletovu metódu na VŠETKY prvostupňové stupne (!) - zdalo sa mu to v zhone a triumfoval. Čoskoro však prišlo vytriezvenie: dôkaz prebehne bezchybne iba vtedy, ak je každý prvok prsteňa jedinečne rozložený na hlavné faktory! V prípade obyčajných celých čísel bola táto skutočnosť známa už Euklidovi, ale iba Gauss podal jej prísny dôkaz. Ale čo celé komplexné čísla?

Podľa „princípu najväčšieho nešťastia“ môže a MAL by dôjsť k nejednoznačnej faktorizácii! Len čo sa Kummer naučil vypočítať mieru nejednoznačnosti metódami matematickej analýzy, objavil tento špinavý trik v kruhu pre stupeň 23. Gauss nemal čas dozvedieť sa o tejto verzii exotickej komutatívnej algebry, ale Gaussovi študenti pestovali nový krásna teória ideálov namiesto iného špinavého triku. Pravda, pri riešení Fermatovho problému to veľmi nepomohlo: jasnejšia sa stala len jeho prirodzená zložitosť.

Počas celého 19. storočia si táto starodávna modla od svojich obdivovateľov vyžadovala čoraz viac obetí v podobe nových zložitých teórií. Nie je prekvapujúce, že začiatkom 20. storočia veriaci znechutili a vzbúrili sa a odmietli svoju bývalú modlu. Slovo „fermatista“ sa medzi profesionálnymi matematikmi stalo pejoratívnym pojmom. A hoci za úplný dôkaz Fermatovej vety bola udelená značná cena, jej žiadatelia boli väčšinou sebavedomí ignoranti. Najsilnejší matematici tej doby – Poincaré a Hilbert – sa tejto téme vzdorovito vyhýbali.

V roku 1900 Hilbert nezaradil Fermatovu vetu do zoznamu dvadsiatich troch hlavných problémov, ktorým čelila matematika dvadsiateho storočia. Pravda, do ich série zaradil všeobecný problém riešiteľnosti diofantínskych rovníc. Nápoveda bola jasná: nasledujte príklad Gaussa a Galoisa a vytvorte všeobecné teórie nových matematických objektov! Potom jedného pekného (ale nie vopred predvídateľného) dňa stará trieska sama vypadne.

Takto pôsobil veľký romantik Henri Poincaré. Zanedbávajúc mnohé „večné“ problémy, celý život študoval SYMETRIE určitých predmetov matematiky alebo fyziky: buď funkcie komplexnej premennej, alebo trajektórie pohybu nebeských telies, alebo algebraické krivky alebo hladké variety (to sú viacrozmerné zovšeobecnenia zakrivených linky). Motív jeho konania bol jednoduchý: ak majú dva rôzne predmety podobnú symetriu, znamená to, že medzi nimi existuje vnútorný vzťah, ktorý ešte nie sme schopní pochopiť! Napríklad každá z dvojrozmerných geometrií (Euklidova, Lobačevského alebo Riemannovho) má svoju vlastnú skupinu symetrie, ktorá pôsobí v rovine. Ale body roviny sú komplexné čísla: týmto spôsobom sa pôsobenie akejkoľvek geometrickej skupiny prenáša do obrovského sveta komplexných funkcií. Je možné a potrebné študovať najsymetrickejšiu z týchto funkcií: AUTOMORPHOUS (ktoré podliehajú Euklidovskej skupine) a MODULARNE (ktoré podliehajú Lobačevského skupine)!

V rovine sú aj eliptické krivky. Nemajú nič spoločné s elipsou, ale sú dané rovnicami v tvare Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX, a preto sa pretínajú s ľubovoľnou priamkou v troch bodoch. Táto skutočnosť nám umožňuje zaviesť násobenie medzi body eliptickej krivky – premeniť ju na grupu. Algebraická štruktúra tejto skupiny odráža geometrické vlastnosti krivky; možno je jednoznačne určená jej skupinou? Táto otázka stojí za preštudovanie, pretože pre niektoré krivky sa skupina, ktorá nás zaujíma, ukazuje ako modulárna, to znamená, že súvisí s Lobachevského geometriou ...

Takto uvažoval Poincaré, zvádzajúc matematickú mládež Európy, no na začiatku 20. storočia tieto pokušenia neviedli k jasným vetám ani hypotézam. S Hilbertovou výzvou to dopadlo inak: študovať všeobecné riešenia diofantínskych rovníc s celočíselnými koeficientmi! V roku 1922 mladý Američan Lewis Mordell spojil množinu riešení takejto rovnice (ide o vektorový priestor určitej dimenzie) s geometrickým rodom komplexnej krivky, ktorá je daná touto rovnicou. Mordell dospel k záveru, že ak je stupeň rovnice dostatočne veľký (viac ako dva), potom je rozmer priestoru riešenia vyjadrený v zmysle rodu krivky, a preto je tento rozmer KONEČNÝ. Naopak – s mocninou 2 má Pytagorova rovnica NEKONEČNE DIMENZIONÁLNU rodinu riešení!

Mordell samozrejme videl súvislosť svojej hypotézy s Fermatovou vetou. Ak sa zistí, že pre každý stupeň n > 2 je priestor celých riešení Fermatovej rovnice konečnorozmerný, pomôže to dokázať, že takéto riešenia vôbec neexistujú! Mordell však nevidel spôsob, ako svoju hypotézu dokázať – a hoci žil dlhý život, nečakal na premenu tejto hypotézy na Faltingsovu vetu. Stalo sa tak v roku 1983, v úplne inej dobe, po veľkých úspechoch algebraickej topológie variet.

Poincaré vytvoril túto vedu akoby náhodou: chcel vedieť, čo sú to trojrozmerné variety. Riemann predsa prišiel na štruktúru všetkých uzavretých plôch a dostal veľmi jednoduchú odpoveď! Ak takáto odpoveď neexistuje v trojrozmernom alebo viacrozmernom prípade, potom musíte prísť so systémom algebraických invariantov variety, ktorý určuje jej geometrickú štruktúru. Najlepšie je, ak sú takéto invarianty prvkami niektorých skupín – komutatívne alebo nekomutatívne.

Aj keď sa to môže zdať zvláštne, tento odvážny plán Poincarého sa podaril: uskutočnil sa v rokoch 1950 až 1970 vďaka úsiliu mnohých geometrov a algebraistov. Do roku 1950 sa v tichosti hromadili rôzne metódy na klasifikáciu variet a po tomto dátume sa zdalo, že sa nahromadilo kritické množstvo ľudí a nápadov a nastala explózia, porovnateľná s vynálezom matematickej analýzy v 17. storočí. Ale analytická revolúcia trvala storočie a pol a pokryla tvorivé biografie štyroch generácií matematikov - od Newtona a Leibniza po Fouriera a Cauchyho. Naopak, topologická revolúcia 20. storočia bola do dvadsiatich rokov vďaka veľkému počtu jej účastníkov. Zároveň sa objavila veľká generácia sebavedomých mladých matematikov, ktorí zrazu zostali bez práce vo svojej historickej domovine.

V sedemdesiatych rokoch sa vrhli do priľahlých odborov matematiky a teoretickej fyziky. Mnohí si vytvorili vlastné vedecké školy na desiatkach univerzít v Európe a Amerike. Medzi týmito centrami stále koluje veľa študentov rôzneho veku a národností, s rôznymi schopnosťami a sklonmi a každý sa chce presláviť nejakým objavom. Práve v tomto pandémoniu sa nakoniec podarilo dokázať Mordellovu domnienku a Fermatovu vetu.

Prvá lastovička, netušiaca o svojom osude, však vyrástla v Japonsku v hladných a nezamestnaných povojnových rokoch. Lastovička sa volala Yutaka Taniyama. V roku 1955 mal tento hrdina 28 rokov a rozhodol sa (spolu s priateľmi Gorom Shimurom a Takauji Tamagawa) oživiť matematický výskum v Japonsku. kde začať? Samozrejme, s prekonanou izoláciou od zahraničných kolegov! V roku 1955 teda traja mladí Japonci usporiadali v Tokiu prvú medzinárodnú konferenciu o algebre a teórii čísel. Zrejme to bolo jednoduchšie urobiť v Japonsku prevychovaných Američanmi ako v Rusku zmrazenom Stalinom...

Medzi čestnými hosťami boli dvaja hrdinovia z Francúzska: Andre Weil a Jean-Pierre Serre. Tu mali Japonci veľké šťastie: Weyl bol uznávaným šéfom francúzskych algebraistov a členom Bourbakiho skupiny a mladý Serre zohral podobnú úlohu medzi topológmi. V búrlivých diskusiách s nimi pukali hlavy japonskej mládeže, roztápali sa im mozgy, no nakoniec sa vykryštalizovali také nápady a plány, ktoré sa v inom prostredí len ťažko mohli zrodiť.

Jedného dňa Taniyama oslovil Weila s otázkou o eliptických krivkách a modulárnych funkciách. Francúz spočiatku ničomu nerozumel: Taniyama nebol majstrom angličtiny. Potom sa vyjasnila podstata veci, ale Taniyama nedokázal dať svojim nádejam presnú formuláciu. Jediné, čo Weil mohol mladému Japoncovi odpovedať, bolo, že ak bude mať veľké šťastie v oblasti inšpirácie, potom z jeho nejasných hypotéz vyrastie niečo rozumné. Ale zatiaľ čo nádej na to je slabá!

Weil si zjavne nevšimol nebeský oheň v Taniyamovom pohľade. A bol oheň: zdá sa, že na chvíľu sa do Japoncov preniesla neodbytná myšlienka zosnulého Poincarého! Taniyama dospel k presvedčeniu, že každá eliptická krivka je generovaná modulárnymi funkciami – presnejšie povedané, je „uniformizovaná modulárnou formou“. Bohužiaľ, toto presné znenie sa zrodilo oveľa neskôr - v rozhovoroch Taniyamu s jeho priateľom Shimurom. A potom Taniyama v záchvate depresie spáchal samovraždu... Jeho hypotéza zostala bez majiteľa: nebolo jasné, ako ju dokázať, ani kde ju otestovať, a preto ju dlho nikto nebral vážne. Prvá odozva prišla až o tridsať rokov neskôr – takmer ako za Fermatovej éry!

Ľady sa prelomili v roku 1983, keď dvadsaťsedemročný Nemec Gerd Faltings celému svetu oznámil: Mordellova domnienka bola dokázaná! Matematici boli na pozore, ale Faltings bol skutočný Nemec: v jeho dlhom a komplikovanom dôkaze neboli žiadne medzery. Len prišiel čas, nahromadili sa fakty a pojmy – a teraz sa jednému talentovanému algebraistovi, opierajúcemu sa o výsledky desiatich ďalších algebraistov, podarilo vyriešiť problém, ktorý na majstra čakal šesťdesiat rokov. V matematike 20. storočia to nie je nezvyčajné. Stojí za to pripomenúť problém sekulárneho kontinua v teórii množín, Burnsideove dve domnienky v teórii grúp alebo Poincarého domnienky v topológii. Nakoniec, v teórii čísel, nadišiel čas na zber starých plodín... Ktorý vrchol bude ďalším zo série dobytých matematikov? Zrúti sa Eulerov problém, Riemannova hypotéza alebo Fermatova veta? Je to dobré!

A teraz, dva roky po odhalení Faltingsa, sa v Nemecku objavil ďalší inšpirovaný matematik. Volal sa Gerhard Frey a tvrdil niečo zvláštne: že Fermatova veta je ODVODENÁ z Taniyamovej domnienky! Freyov štýl vyjadrovania myšlienok, žiaľ, viac pripomínal nešťastného Taniyamu ako jeho jasného krajana Faltingsa. V Nemecku Freyovi nikto nerozumel a odišiel do zámoria - do honosného mesta Princeton, kde si po Einsteinovi zvykli na nie takých návštevníkov. Niet divu, že si tam hniezdo urobil Barry Mazur, všestranný topológ, jeden z hrdinov nedávneho útoku na hladké rozvody. A vedľa Mazura vyrástol študent – ​​Ken Ribet, rovnako skúsený v spletitosti topológie a algebry, no stále sa nijako neoslavuje.

Keď prvýkrát počul Freyove prejavy, Ribet usúdil, že ide o nezmysel a takmer sci-fi (pravdepodobne Weil reagoval na Taniyamove odhalenia rovnakým spôsobom). Ribet však na túto „fantáziu“ nedokázal zabudnúť a občas sa k nej mentálne vracal. O šesť mesiacov neskôr Ribet veril, že vo Freyových fantáziách je niečo rozumné a o rok neskôr sa rozhodol, že on sám dokáže Freyovu zvláštnu hypotézu takmer dokázať. Niektoré „diery“ však zostali a Ribet sa rozhodol vyspovedať svojho šéfa Mazura. Pozorne počúval študenta a pokojne odpovedal: „Áno, urobili ste všetko! Tu musíte použiť transformáciu Ф, tu - použite Lemmy B a K a všetko bude mať dokonalú formu! Ribet teda urobil skok z temnoty do nesmrteľnosti pomocou katapultu v osobe Freya a Mazura. Spravodlivo, všetky z nich – spolu s neskorým Taniyamom – by sa mali považovať za dôkazy Fermatovej poslednej vety.

Ale tu je problém: svoje tvrdenie odvodili z hypotézy Taniyama, ktorá sama osebe nebola dokázaná! Čo ak je neverná? Matematici už dávno vedia, že „čokoľvek vyplýva z klamstva“, ak je Taniyamov odhad nesprávny, potom je Ribetova bezchybná úvaha bezcenná! Naliehavo potrebujeme dokázať (alebo vyvrátiť) Taniyamovu domnienku - inak niekto ako Faltings dokáže Fermatovu vetu iným spôsobom. Stane sa hrdinom!

Je nepravdepodobné, že sa niekedy dozvieme, koľko mladých či skúsených algebraistov skočilo na Fermatovu vetu po úspechu Faltingsa alebo po víťazstve Ribeta v roku 1986. Všetci sa snažili pracovať v tajnosti, aby sa v prípade neúspechu nezaradili medzi komunitu „dummy“-fermatistov. Je známe, že najúspešnejší zo všetkých - Andrew Wiles z Cambridge - pocítil chuť víťazstva až začiatkom roku 1993. To Wilesa ani tak nepotešilo, ako skôr vystrašilo: čo ak jeho dôkaz o Taniyamovej domnienke ukázal chybu alebo medzeru? Potom jeho vedecká povesť zanikla! Dôkaz si musíte pozorne zapísať (bude to však veľa desiatok strán!) A odložiť na šesť mesiacov alebo rok, aby ste si ho neskôr mohli chladnokrvne a pedantne prečítať... Ale čo ak niekto zverejní svoj dôkaz počas tejto doby? Ach problémy...

Napriek tomu Wiles prišiel s dvojitým spôsobom, ako rýchlo otestovať svoj dôkaz. Najprv musíte dôverovať jednému zo svojich spoľahlivých priateľov a kolegov a povedať mu celý priebeh uvažovania. Zvonku sú všetky chyby viditeľnejšie! Po druhé, je potrebné prečítať si špeciálny kurz na túto tému pre šikovných študentov a absolventov: týmto šikovným ľuďom neunikne ani jedna lektorská chyba! Len im do poslednej chvíle nehovorte konečný cieľ kurzu – inak sa o tom dozvie celý svet! A samozrejme, musíte hľadať také publikum mimo Cambridge - je to lepšie ani nie v Anglicku, ale v Amerike ... Čo môže byť lepšie ako vzdialený Princeton?

Wiles tam išiel na jar 1993. Jeho trpezlivý priateľ Niklas Katz po vypočutí dlhej Wilesovej správy v nej našiel množstvo medzier, no všetky sa dali ľahko opraviť. Postgraduálni študenti z Princetonu však čoskoro utiekli z Wilesovho špeciálneho kurzu, pretože nechceli nasledovať rozmarné myšlienky lektora, ktorý ich vedie nikto nevie kam. Po takejto (nie zvlášť hlbokej) recenzii svojho diela sa Wiles rozhodol, že je čas odhaliť svetu veľký zázrak.

V júni 1993 sa v Cambridge konala ďalšia konferencia venovaná „teórii Iwasawa“ – populárnej sekcii teórie čísel. Wiles sa rozhodol povedať svoj dôkaz o Taniyamovej domnienke bez toho, aby oznámil hlavný výsledok až do úplného konca. Reportáž pokračovala dlho, no úspešne, postupne sa začali hrnúť novinári, ktorí niečo tušili. Nakoniec udrel hrom: Fermatova veta je dokázaná! Všeobecnú radosť nezatienili žiadne pochybnosti: všetko sa zdá byť jasné... Ale o dva mesiace neskôr si Katz po prečítaní posledného textu Wilesa všimol ďalšiu medzeru. Istý prechod v uvažovaní sa opieral o „Eulerov systém“ – ale to, čo Wiles vybudoval, taký systém nebol!

Wiles skontroloval úzke hrdlo a uvedomil si, že sa tu mýlil. Ešte horšie: nie je jasné, ako nahradiť chybnú úvahu! Nasledovali najtemnejšie mesiace Wilesovho života. Predtým voľne syntetizoval bezprecedentný dôkaz z materiálu, ktorý mal po ruke. Teraz ho viaže úzka a jasná úloha – bez istoty, že má riešenie a že ho v dohľadnej dobe dokáže nájsť. Nedávno Frey neodolal rovnakému boju - a teraz bolo jeho meno zakryté menom šťastného Ribeta, hoci sa Freyov odhad ukázal ako správny. A čo sa stane s MOJIM hádam a MOJIM menom?

Táto tvrdá práca trvala presne jeden rok. V septembri 1994 bol Wiles pripravený priznať porážku a prenechať hypotézu Taniyama šťastnejším nástupcom. Po takomto rozhodnutí začal pomaly znovu čítať svoj dôkaz - od začiatku do konca, počúval rytmus uvažovania, znovu prežíval potešenie z úspešných objavov. Po dosiahnutí „prekliateho“ miesta však Wiles v duchu nepočul falošnú poznámku. Bol priebeh jeho uvažovania stále bezchybný a chyba vznikla len pri SLOVENSOM opise mentálneho obrazu? Ak tu nie je „Eulerov systém“, čo sa tu skrýva?

Zrazu ma napadla jednoduchá myšlienka: „Eulerov systém“ nefunguje tam, kde je použiteľná teória Iwasawa. Prečo túto teóriu neaplikovať priamo – našťastie je blízka a známa aj samotnému Wilesovi? A prečo neskúsil tento prístup od úplného začiatku, ale nechal sa unášať cudzou víziou problému? Wiles si už na tieto detaily nepamätal - a stalo sa to zbytočné. Vykonal potrebné úvahy v rámci teórie Iwasawa a všetko sa ukázalo za pol hodiny! Tak sa – s oneskorením jedného roka – uzavrela posledná medzera v dôkaze Taniyamovej domnienky. Finálny text dostal na milosť skupina recenzentov najslávnejšieho matematického časopisu, o rok neskôr vyhlásili, že teraz nie sú žiadne chyby. V roku 1995 teda posledná Fermatova domnienka zomrela vo veku tristošesťdesiat rokov a zmenila sa na osvedčenú vetu, ktorá sa nevyhnutne dostane do učebníc teórie čísel.

Keď zhrnieme tristoročné rozruch okolo Fermatovej vety, musíme vyvodiť zvláštny záver: tento hrdinský epos sa nemohol stať! Pytagorova veta totiž vyjadruje jednoduché a dôležité spojenie medzi vizuálnymi prírodnými objektmi – dĺžkami segmentov. To isté sa však nedá povedať o Fermatovej vete. Vyzerá to skôr ako kultúrna nadstavba na vedeckom substráte – ako dosiahnutie severného pólu Zeme alebo let na Mesiac. Pripomeňme si, že oba tieto výkony spievali spisovatelia dávno predtým, ako boli dosiahnuté - v dávnych dobách, po objavení sa Euklidových „Elementov“, ale pred objavením sa Diophantusovej „Aritmetiky“. Takže potom tu bola verejná potreba intelektuálnych vykorisťovaní tohto druhu – aspoň imaginárneho! Predtým mali Heléni dosť Homérových básní, tak ako sto rokov pred Fermatom mali Francúzi dosť náboženských vášní. Potom však náboženské vášne opadli – a vedľa nich stála veda.

V Rusku sa takéto procesy začali pred stopäťdesiatimi rokmi, keď Turgenev postavil Jevgenija Bazarova na roveň Jevgenija Onegina. Je pravda, že spisovateľ Turgenev zle pochopil motívy konania vedca Bazarova a neodvážil sa ich spievať, ale čoskoro to urobili vedec Ivan Sechenov a osvietený novinár Jules Verne. Spontánna vedecká a technologická revolúcia potrebuje kultúrnu škrupinu, aby prenikla do mysle väčšiny ľudí, a tu prichádza najskôr sci-fi a až potom populárno-vedecká literatúra (vrátane časopisu „Knowledge is Power“).

Konkrétna vedecká téma zároveň nie je pre širokú verejnosť vôbec dôležitá a nie je veľmi dôležitá ani pre hrdinov-interpretov. Keď Amundsen počul o dosiahnutí severného pólu Pearym a Cookom, okamžite zmenil cieľ svojej už pripravenej expedície - a čoskoro dosiahol južný pól pred Scottom o mesiac. Neskôr úspešný oboplávanie Zeme Jurijom Gagarinom prinútil prezidenta Kennedyho zmeniť bývalý cieľ amerického vesmírneho programu na drahší, ale oveľa pôsobivejší: pristátie ľudí na Mesiaci.

Už skôr bystrý Hilbert odpovedal na naivnú otázku študentov: „Riešenie akého vedeckého problému by bolo teraz najužitočnejšie“? - odpovedal vtipom: "Chyťte muchu na odvrátenej strane Mesiaca!" Na zmätenú otázku: "Prečo je to potrebné?" - nasleduje jasná odpoveď: „TOTO nikto nepotrebuje! Myslite však na vedecké metódy a technické prostriedky, ktoré budeme musieť vyvinúť, aby sme takýto problém vyriešili – a koľko ďalších krásnych problémov popri tom vyriešime!

Presne to sa stalo s Fermatovou vetou. Euler to mohol prehliadnuť.

V tomto prípade by sa modlou matematikov stal nejaký iný problém – možno aj z teórie čísel. Napríklad problém Eratosthenes: existuje konečná alebo nekonečná množina dvojčiat (napríklad 11 a 13, 17 a 19 atď.)? Alebo Eulerov problém: je každé párne číslo súčtom dvoch prvočísel? Alebo: existuje algebraický vzťah medzi číslami π a e? Tieto tri problémy ešte neboli vyriešené, hoci v 20. storočí sa matematici priblížili k pochopeniu ich podstaty. Ale toto storočie prinieslo aj vznik mnohých nových, nemenej zaujímavých problémov, najmä na priesečníku matematiky s fyzikou a inými odvetviami prírodných vied.

V roku 1900 Hilbert vybral jeden z nich: vytvoriť úplný systém axióm matematickej fyziky! O sto rokov neskôr nie je tento problém ani zďaleka vyriešený, už len preto, že arzenál matematických fyzikálnych prostriedkov neustále rastie a nie všetky majú rigorózne opodstatnenie. Ale po roku 1970 sa teoretická fyzika rozdelila na dve vetvy. Jeden (klasický) už od čias Newtona modeluje a predpovedá STABILNÉ procesy, druhý (novorodenecký) sa snaží formalizovať interakciu NESTABNÝCH procesov a spôsobov ich riadenia. Je jasné, že tieto dve odvetvia fyziky musia byť axiomatizované oddelene.

Prvým z nich sa zrejme bude zaoberať o dvadsať či päťdesiat rokov...

A čo chýba druhej vetve fyziky – tej, ktorá má na starosti všetky druhy evolúcie (vrátane cudzokrajných fraktálov a podivných atraktorov, ekológie biocenóz a Gumilyovovej teórie vášne)? Toto pravdepodobne čoskoro nepochopíme. Ale uctievanie vedcov k novej modle sa už stalo masovým fenoménom. Pravdepodobne sa tu rozvinie epos, porovnateľný s trojstoročným životopisom Fermatovej vety. Na priesečníku rôznych vied sa teda rodia nové idoly - podobné náboženským, ale zložitejšie a dynamickejšie ...

Človek zrejme nemôže zostať človekom bez toho, aby z času na čas nezvrhol staré idoly a nevytváral nové – v bolestiach i s radosťou! Pierre Fermat mal to šťastie, že bol v osudnej chvíli blízko horúceho miesta zrodu nového idolu – a podarilo sa mu zanechať na novorodencovi odtlačok svojej osobnosti. Takýto osud možno závidieť a nie je hriechom ho napodobňovať.

Sergej Smirnov
"Poznanie je moc"