Nájdite súradnice vektora ah, čo je výška poľa. Ako nájsť súradnice vektora. Vzorec na určenie súradníc vektora pre dvojrozmerné úlohy

Konečne sa mi dostala do rúk rozsiahla a dlho očakávaná téma analytická geometria. Najprv niečo o tejto časti vyššej matematiky... Určite ste si teraz spomenuli na kurz školskej geometrie s početnými teorémami, ich dôkazmi, kresbami atď. Čo skrývať, pre značnú časť študentov nemilovaný a často nejasný predmet. Analytická geometria sa napodiv môže zdať zaujímavejšia a prístupnejšia. Čo znamená prídavné meno „analytický“? Okamžite prídu na um dva vyrazené matematické obraty: „grafická metóda riešenia“ a „analytická metóda riešenia“. Grafická metóda, je samozrejme spojená s konštrukciou grafov, nákresov. Analytický rovnaký metóda zahŕňa riešenie problémov prevažne prostredníctvom algebraických operácií. V tomto ohľade je algoritmus na riešenie takmer všetkých problémov analytickej geometrie jednoduchý a transparentný, často stačí presne použiť potrebné vzorce - a odpoveď je pripravená! Nie, samozrejme, bez nákresov sa to vôbec nezaobíde, okrem toho sa ich pre lepšie pochopenie materiálu pokúsim priniesť nad rámec potreby.

Otvorený kurz hodín geometrie si nenárokuje na teoretickú úplnosť, je zameraný na riešenie praktických problémov. Do svojich prednášok zaradím len to, čo je z môjho pohľadu dôležité z praktického hľadiska. Ak potrebujete úplnejšiu referenciu o ktorejkoľvek podsekcii, odporúčam nasledujúcu celkom dostupnú literatúru:

1) Vec, ktorú, bez vtipu, pozná niekoľko generácií: Školská učebnica geometrie, autori - L.S. Atanasyan and Company. Tento vešiak školskej šatne vydržal už 20 (!) reedícií, čo, samozrejme, nie je limit.

2) Geometria v 2 zväzkoch. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Toto je literatúra pre vyššie vzdelanie, ktorú budete potrebovať prvý zväzok. Zriedkavo sa vyskytujúce úlohy môžu vypadnúť z môjho zorného poľa a tutoriál bude neoceniteľnou pomocou.

Obe knihy sú na stiahnutie zadarmo online. Okrem toho môžete využiť môj archív s hotovými riešeniami, ktoré nájdete na stránke Stiahnite si príklady z vyššej matematiky.

Z nástrojov opäť ponúkam vlastný vývoj - softvérový balík na analytickú geometriu, čo výrazne zjednoduší život a ušetrí veľa času.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná základné geometrické pojmy a útvary: bod, čiara, rovina, trojuholník, rovnobežník, kváder, kocka atď. Je vhodné zapamätať si niektoré vety, aspoň Pytagorovu vetu, ahoj opakovače)

A teraz postupne zvážime: koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice. Ďalej odporúčam prečítať najdôležitejší článok Bodový súčin vektorov, ako aj Vektorový a zmiešaný súčin vektorov. Miestna úloha nebude zbytočná - Rozdelenie segmentu v tomto ohľade. Na základe vyššie uvedených informácií môžete rovnica priamky v rovine s najjednoduchšie príklady riešení, čo umožní naučiť sa riešiť problémy v geometrii. Nasledujúce články sú tiež užitočné: Rovnica roviny v priestore, Rovnice priamky v priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ostatné úseky analytickej geometrie. Prirodzene, štandardné úlohy sa budú brať do úvahy.

Koncept vektora. voľný vektor

Najprv si zopakujme školskú definíciu vektora. Vektor volal riadený segment, pre ktorý je uvedený jeho začiatok a koniec:

V tomto prípade je začiatok segmentu bod , koniec segmentu bod . Samotný vektor je označený . Smer je nevyhnutné, ak preusporiadate šípku na druhý koniec segmentu, získate vektor, a to už je úplne iný vektor. Je vhodné stotožniť pojem vektor s pohybom fyzického tela: musíte priznať, že vstup do dverí ústavu alebo odchod z dverí ústavu sú úplne iné veci.

Je vhodné uvažovať jednotlivé body roviny, priestoru ako tzv nulový vektor. Takýto vektor má rovnaký koniec a začiatok.

!!! Poznámka: Tu a nižšie môžete predpokladať, že vektory ležia v rovnakej rovine alebo môžete predpokladať, že sú umiestnené v priestore - podstata prezentovaného materiálu platí pre rovinu aj priestor.

Označenia: Mnohí hneď upozorňovali na palicu bez šípu v označení a povedali, že na vrch dali aj šíp! Presne tak, šípkou môžete napísať: , ale prípustné a záznam, ktorý použijem neskôr. prečo? Zrejme sa takýto zvyk vyvinul z praktických úvah, moje strieľačky na škole a univerzite sa ukázali byť príliš rôznorodé a strapaté. Vo vzdelávacej literatúre sa niekedy vôbec neobťažujú klinovým písmom, ale zvýraznia písmená tučným písmom: , čím naznačujú, že ide o vektor.

To bol štýl a teraz o spôsoboch písania vektorov:

1) Vektory je možné písať dvoma veľkými latinskými písmenami:
a tak ďalej. Kým prvé písmeno Nevyhnutne označuje začiatočný bod vektora a druhé písmeno označuje koncový bod vektora.

2) Vektory sa tiež píšu malými latinskými písmenami:
Najmä náš vektor môže byť pre stručnosť preznačený malým latinským písmenom .

Dĺžka alebo modul nenulový vektor sa nazýva dĺžka segmentu. Dĺžka nulového vektora je nula. Logicky.

Dĺžka vektora je označená znamienkom modulo: ,

Ako zistiť dĺžku vektora, sa naučíme (alebo zopakujeme, pre niekoho ako) o niečo neskôr.

To bola základná informácia o vektore, známa všetkým školákom. V analytickej geometrii tzv voľný vektor.

Ak je to celkom jednoduché - vektor je možné nakresliť z ľubovoľného bodu:

Takéto vektory sme zvykli nazývať rovnocenné (definícia rovnakých vektorov bude uvedená nižšie), ale z čisto matematického hľadiska ide o ROVNAKÝ VEKTOR resp. voľný vektor. Prečo zadarmo? Pretože v priebehu riešenia problémov môžete „pripojiť“ jeden alebo druhý „školský“ vektor k AKÝKOĽVEK bodu roviny alebo priestoru, ktorý potrebujete. Toto je veľmi cool nehnuteľnosť! Predstavte si nasmerovaný segment ľubovoľnej dĺžky a smeru – môže byť „klonovaný“ nekonečne veľakrát a v akomkoľvek bode priestoru, v skutočnosti existuje VŠADE. Existuje také študentské príslovie: Každý lektor v f ** u vo vektore. Koniec koncov, nie je to len vtipný rým, všetko je takmer správne - môže sa tam pripojiť aj riadený segment. Ale neponáhľajte sa radovať, študenti sami trpia častejšie =)

takže, voľný vektor- Toto kopa identické smerové segmenty. Školská definícia vektora uvedená na začiatku odseku: „Smerovaný segment sa nazýva vektor ...“, znamená špecifické smerovaný segment prevzatý z danej množiny, ktorý je pripevnený k určitému bodu v rovine alebo priestore.

Treba poznamenať, že z hľadiska fyziky je koncept voľného vektora vo všeobecnosti nesprávny a záleží na bode aplikácie. Skutočne, priamy úder rovnakej sily do nosa alebo do čela stačí na to, aby som rozvinul môj hlúpy príklad, má rôzne následky. však nie zadarmo vektory sa nachadzaju aj v priebehu vyshmatu (tam nechoďte :)).

Akcie s vektormi. Kolinearita vektorov

V kurze školskej geometrie sa zvažuje množstvo akcií a pravidiel s vektormi: sčítanie podľa pravidla trojuholníka, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo o rozdiele vektorov, násobenie vektora číslom, skalárny súčin vektorov atď. Ako základ zopakujeme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pre riešenie problémov analytickej geometrie.

Pravidlo sčítania vektorov podľa pravidla trojuholníkov

Zvážte dva ľubovoľné nenulové vektory a:

Je potrebné nájsť súčet týchto vektorov. Vzhľadom k tomu, že všetky vektory sú považované za voľné, odkladáme vektor z koniec vektor:

Súčet vektorov je vektor . Pre lepšie pochopenie pravidla je vhodné dať mu fyzikálny význam: nech nejaké telo urobí cestu pozdĺž vektora a potom pozdĺž vektora . Potom súčet vektorov je vektorom výslednej dráhy začínajúcej v mieste štartu a končiacej v mieste príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre súčet ľubovoľného počtu vektorov. Ako sa hovorí, telo môže ísť svojou cestou silne cik-cak, alebo možno na autopilota - pozdĺž výsledného súčtového vektora.

Mimochodom, ak je vektor odložený z začať vector , potom dostaneme ekvivalent paralelogramové pravidlo pridávanie vektorov.

Najprv o kolinearite vektorov. Tieto dva vektory sa nazývajú kolineárne ak ležia na rovnakej čiare alebo na rovnobežných čiarach. Zhruba povedané, hovoríme o paralelných vektoroch. Ale vo vzťahu k nim sa vždy používa prívlastok „kolineárny“.

Predstavte si dva kolineárne vektory. Ak sú šípky týchto vektorov nasmerované rovnakým smerom, potom sa takéto vektory nazývajú spolusmerný. Ak šípky vyzerajú v rôznych smeroch, potom budú vektory opačne smerované.

Označenia: kolinearita vektorov sa zapisuje obvyklou ikonou rovnobežnosti: , pričom je možné detailovať: (vektory sú smerované spolu) alebo (vektory smerujú opačne).

práca nenulového vektora číslom je vektor, ktorého dĺžka sa rovná , a vektory a sú nasmerované na a opačne na .

Pravidlo pre násobenie vektora číslom je ľahšie pochopiteľné s obrázkom:

Rozumieme podrobnejšie:

1) Smer. Ak je násobiteľ záporný, potom vektor mení smer k opaku.

2) Dĺžka. Ak je faktor obsiahnutý v alebo , potom dĺžka vektora klesá. Dĺžka vektora je teda dvakrát menšia ako dĺžka vektora . Ak je modulo multiplikátor väčší ako jedna, potom dĺžka vektora zvyšuje na čas.

3) Vezmite prosím na vedomie všetky vektory sú kolineárne, zatiaľ čo jeden vektor je vyjadrený prostredníctvom iného, ​​napríklad . Platí to aj naopak: ak jeden vektor môže byť vyjadrený v termínoch iného, ​​potom sú takéto vektory nevyhnutne kolineárne. Takto: ak vynásobíme vektor číslom, dostaneme kolineárny(v porovnaní s originálom) vektor.

4) Vektory sú kosmerné. Vektory a sú tiež kosmerné. Ktorýkoľvek vektor z prvej skupiny je nasmerovaný opačne ako ktorýkoľvek vektor z druhej skupiny.

Aké vektory sú rovnaké?

Dva vektory sú rovnaké, ak sú kosmerné a majú rovnakú dĺžku. Všimnite si, že spoločný smer znamená, že vektory sú kolineárne. Definícia bude nepresná (nadbytočná), ak poviete: "Dva vektory sú si rovné, ak sú kolineárne, spolu nasmerované a majú rovnakú dĺžku."

Z hľadiska konceptu voľného vektora sú rovnaké vektory tým istým vektorom, o ktorom sme už hovorili v predchádzajúcom odseku.

Vektorové súradnice v rovine a vo vesmíre

Prvým bodom je zvážiť vektory v rovine. Nakreslite kartézsky pravouhlý súradnicový systém a odložte ho od začiatku slobodný vektory a:

Vektory a ortogonálne. Ortogonálny = kolmý. Odporúčam pomaly si zvykať na pojmy: namiesto rovnobežnosti a kolmosti používame slová resp kolinearita A ortogonality.

Označenie: ortogonalita vektorov sa zapisuje obvyklým kolmým znamienkom, napríklad: .

Uvažované vektory sú tzv súradnicové vektory alebo orts. Tieto vektory sa tvoria základ na povrchu. Čo je základ, je myslím mnohým intuitívne jasné, podrobnejšie informácie nájdete v článku Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ.Jednoducho povedané, základ a pôvod súradníc definujú celý systém - to je akýsi základ, na ktorom vrie plnohodnotný a bohatý geometrický život.

Niekedy sa konštruovaný základ tzv ortonormálny základ roviny: "orto" - pretože súradnicové vektory sú ortogonálne, prídavné meno "normalizovaný" znamená jednotku, t.j. dĺžky základných vektorov sú rovné jednej.

Označenie: základ sa zvyčajne píše v zátvorke, vnútri ktorej v prísnom poradí základné vektory sú uvedené, napríklad: . Súradnicové vektory je zakázané vymeniť miesta.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta vyjadrené ako:
, Kde - čísla, ktoré sú tzv vektorové súradnice v tomto základe. Ale samotný výraz volal vektorový rozkladzáklad .

Podávaná večera:

Začnime prvým písmenom abecedy: . Výkres jasne ukazuje, že pri rozklade vektora z hľadiska základu sa používajú práve uvažované:
1) pravidlo násobenia vektora číslom: a ;
2) sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka: .

Teraz mentálne odložte vektor z akéhokoľvek iného bodu v rovine. Je celkom zrejmé, že jeho korupcia ho „neúnavne prenasleduje“. Tu je, sloboda vektora - vektor "nesie všetko so sebou." Táto vlastnosť samozrejme platí pre akýkoľvek vektor. Sranda je, že samotné základné (voľné) vektory nemusia byť vyčlenené z počiatku, jeden môže byť nakreslený napríklad vľavo dole a druhý vpravo hore a na tomto sa nič nezmení! Je pravda, že to nemusíte robiť, pretože učiteľ tiež ukáže originalitu a na neočakávanom mieste vám nakreslí „priechod“.

Vektory , presne ilustrujú pravidlo pre násobenie vektora číslom, vektor je smerovaný spolu so základným vektorom , vektor smeruje opačne k základnému vektoru . Pre tieto vektory sa jedna zo súradníc rovná nule, dá sa dôsledne zapísať takto:


A základné vektory, mimochodom, sú takéto: (v skutočnosti sú vyjadrené cez seba).

A nakoniec: , . Mimochodom, čo je to vektorové odčítanie a prečo som vám nepovedal o pravidle odčítania? Niekde v lineárnej algebre, už si nepamätám kde, som poznamenal, že odčítanie je špeciálny prípad sčítania. Takže expanzie vektorov "de" a "e" sú pokojne napísané ako súčet: . Podľa nákresu uvidíte, ako dobre v týchto situáciách funguje staré dobré sčítanie vektorov podľa pravidla trojuholníka.

Uvažovaný rozklad formy niekedy nazývaný vektorový rozklad v systéme ort(t. j. v sústave jednotkových vektorov). Toto však nie je jediný spôsob, ako napísať vektor, bežná je nasledujúca možnosť:

Alebo so znamienkom rovná sa:

Samotné vektory bázy sú zapísané takto: a

To znamená, že súradnice vektora sú uvedené v zátvorkách. V praktických úlohách sa využívajú všetky tri možnosti záznamu.

Pochyboval som, či mám hovoriť, ale aj tak poviem: vektorové súradnice nie je možné preusporiadať. Prísne na prvom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru, striktne na druhom mieste zapíšte si súradnicu, ktorá zodpovedá jednotkovému vektoru. Vskutku, a sú dva rôzne vektory.

Zistili sme súradnice v lietadle. Teraz zvážte vektory v trojrozmernom priestore, všetko je tu takmer rovnaké! Pridá sa už len jedna súradnica. Je ťažké vykonávať trojrozmerné kresby, takže sa obmedzím na jeden vektor, ktorý pre jednoduchosť odložím od pôvodu:

akýkoľvek 3D priestorový vektor jediná cesta expandovať na ortonormálnom základe:
, kde sú súradnice vektora (čísla) v danom základe.

Príklad z obrázku: . Pozrime sa, ako tu fungujú pravidlá vektorovej akcie. Najprv vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) a (purpurová šípka). Po druhé, tu je príklad sčítania niekoľkých, v tomto prípade troch, vektorov: . Vektor súčtu začína v počiatočnom bode odchodu (začiatok vektora ) a končí v konečnom bode príchodu (koniec vektora ).

Všetky vektory trojrozmerného priestoru sú, samozrejme, tiež voľné, skúste mentálne odložiť vektor z akéhokoľvek iného bodu a pochopíte, že jeho expanzia „zostáva s ním“.

Podobne ako v prípade lietadla, okrem písania verzie so zátvorkami sú široko používané: buď .

Ak pri rozklade chýba jeden (alebo dva) súradnicové vektory, namiesto nich sa vložia nuly. Príklady:
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si ;
vektor (starostlivo ) – zapíšte si .

Bázové vektory sú zapísané takto:

Tu sú snáď všetky minimálne teoretické znalosti potrebné na riešenie problémov analytickej geometrie. Možno je tam príliš veľa pojmov a definícií, preto odporúčam figurínom, aby si tieto informácie znova prečítali a porozumeli im. A pre každého čitateľa bude užitočné z času na čas odkázať na základnú lekciu, aby si materiál lepšie osvojil. Kolinearita, ortogonalita, ortonormálna báza, vektorová dekompozícia – tieto a ďalšie pojmy budú často používané v nasledujúcom texte. Poznamenávam, že materiály stránky nestačia na absolvovanie teoretického testu, kolokvia o geometrii, pretože všetky vety (okrem bez dôkazov) starostlivo kódujem - na úkor vedeckého štýlu prezentácie, ale plus pre vaše pochopenie predmetu. Pre podrobné teoretické informácie vás žiadam, aby ste sa poklonili profesorovi Atanasyanovi.

Teraz prejdime k praktickej časti:

Najjednoduchšie problémy analytickej geometrie.
Akcie s vektormi v súradniciach

Úlohy, ktoré sa budú posudzovať, je veľmi žiaduce naučiť sa ich riešiť úplne automaticky a vzorce zapamätať si, naschvál si to ani nepamätaj, zapamätajú si to sami =) Je to veľmi dôležité, keďže ostatné úlohy analytickej geometrie sú založené na najjednoduchších elementárnych príkladoch a bude otravné tráviť čas navyše jedením pešiakov. Na košeli si nemusíte zapínať vrchné gombíky, veľa vecí poznáte zo školy.

Prezentácia materiálu bude mať paralelný priebeh – pre rovinu aj pre vesmír. Z toho dôvodu, že všetky vzorce ... uvidíte sami.

Ako nájsť vektor daný dvoma bodmi?

Ak sú zadané dva body roviny a, potom má vektor tieto súradnice:

Ak sú dané dva body v priestore a, potom má vektor tieto súradnice:

teda zo súradníc konca vektora musíte odpočítať príslušné súradnice vektorový štart.

Cvičenie: Pre rovnaké body si zapíšte vzorce na nájdenie súradníc vektora. Vzorce na konci lekcie.

Príklad 1

Vzhľadom na dva body v rovine a . Nájdite vektorové súradnice

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

Alternatívne je možné použiť nasledujúci zápis:

Estéti sa rozhodnú takto:

Osobne som zvyknutý na prvú verziu platne.

odpoveď:

Podľa podmienky nebolo potrebné zostaviť výkres (čo je typické pre problémy analytickej geometrie), ale aby som vysvetlil niektoré body figurínom, nebudem príliš lenivý:

Treba pochopiť rozdiel medzi bodovými súradnicami a vektorovými súradnicami:

Súradnice bodu sú obvyklé súradnice v pravouhlom súradnicovom systéme. Myslím, že každý vie, ako zakresliť body na súradnicovej rovine, od 5. do 6. ročníka. Každý bod má v rovine prísne miesto a nemožno ho nikam posunúť.

Súradnice rovnakého vektora je jeho rozšírenie vzhľadom na základ , v tomto prípade . Akýkoľvek vektor je voľný, takže ak je to žiaduce alebo potrebné, môžeme ho ľahko odložiť z iného bodu v rovine. Zaujímavé je, že pre vektory nemôžete vôbec postaviť osi, pravouhlý súradnicový systém, potrebujete iba základňu, v tomto prípade ortonormálnu základňu roviny.

Záznamy súradníc bodov a vektorových súradníc sa zdajú byť podobné: , a zmysel súradníc absolútne rôzne a mali by ste si byť dobre vedomí tohto rozdielu. Tento rozdiel samozrejme platí aj pre priestor.

Dámy a páni, plníme si ruky:

Príklad 2

a) Dané body a . Nájdite vektory a .
b) Prideľujú sa body A . Nájdite vektory a .
c) Dané body a . Nájdite vektory a .
d) Prideľujú sa body. Nájdite vektory .

Možno dosť. Toto sú príklady na samostatné rozhodnutie, snažte sa ich nezanedbávať, oplatí sa to ;-). Výkresy sa nevyžadujú. Riešenia a odpovede na konci hodiny.

Čo je dôležité pri riešení úloh analytickej geometrie? Je dôležité byť VEĽMI OPATRNÝ, aby ste sa vyhli majstrovskej chybe „dva plus dva sa rovná nule“. Vopred sa ospravedlňujem ak som sa pomýlil =)

Ako zistiť dĺžku segmentu?

Dĺžka, ako už bolo uvedené, je označená znamienkom modulu.

Ak sú zadané dva body roviny a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Ak sú zadané dva body v priestore a, dĺžka segmentu sa môže vypočítať podľa vzorca

Poznámka: Vzorce zostanú správne, ak sa vymenia zodpovedajúce súradnice: a , ale prvá možnosť je štandardnejšia

Príklad 3

Riešenie: podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Pre prehľadnosť urobím nákres

Segment čiary - nie je to vektor, a nemôžete ho nikam posunúť, samozrejme. Okrem toho, ak dokončíte výkres v mierke: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dve tetradové bunky), potom je možné odpoveď skontrolovať pomocou bežného pravítka priamym meraním dĺžky segmentu.

Áno, riešenie je krátke, ale je v ňom niekoľko dôležitých bodov, ktoré by som rád objasnil:

Najprv v odpovedi nastavíme rozmer: „jednotky“. Podmienka nehovorí, ČO to je, milimetre, centimetre, metre alebo kilometre. Preto bude všeobecná formulácia matematicky kompetentným riešením: „jednotky“ - skrátene „jednotky“.

Po druhé, zopakujme si školský materiál, ktorý je užitočný nielen pre uvažovaný problém:

dávaj pozor na dôležitý technický trik – vyberanie multiplikátora spod koreňa. Ako výsledok výpočtov sme dostali výsledok a dobrý matematický štýl zahŕňa vybratie násobiteľa spod koreňa (ak je to možné). Proces vyzerá podrobnejšie takto: . Samozrejme, že ponechanie odpovede vo formulári nebude chybou - ale určite je to chyba a vážny argument na hnidopišstvo zo strany učiteľa.

Tu sú ďalšie bežné prípady:

Často sa pod koreňom získa dostatočne veľký počet napr. Ako byť v takýchto prípadoch? Na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné 4:. Áno, úplne rozdeliť, takto: . Alebo možno číslo možno opäť vydeliť 4? . Takto: . Posledná číslica čísla je nepárna, takže delenie 4 tretíkrát zjavne nie je možné. Skús deliť deviatimi: . Ako výsledok:
Pripravený.

Záver: ak pod odmocninou dostaneme úplne neextrahovateľné číslo, tak sa pokúsime vybrať faktor spod odmocniny - na kalkulačke skontrolujeme, či je číslo deliteľné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atď.

Pri riešení rôznych problémov sa často nachádzajú korene, vždy sa snažte vytiahnuť faktory spod koreňa, aby ste sa vyhli nižšiemu skóre a zbytočným problémom s finalizáciou riešení podľa poznámky učiteľa.

Zopakujme súčasne kvadratúru odmocnín a ostatných mocnín:

Pravidlá pre úkony so stupňami vo všeobecnej forme možno nájsť v školskej učebnici algebry, ale myslím si, že všetko alebo takmer všetko je už jasné z uvedených príkladov.

Úloha pre nezávislé riešenie so segmentom v priestore:

Príklad 4

Dané body a . Nájdite dĺžku segmentu.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako zistiť dĺžku vektora?

Ak je daný rovinný vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca.

Ak je daný priestorový vektor, potom sa jeho dĺžka vypočíta podľa vzorca .

Nájdenie súradníc vektora je pomerne bežnou podmienkou mnohých problémov v matematike. Schopnosť nájsť súradnice vektora vám pomôže v iných, zložitejších problémoch s podobnou tematikou. V tomto článku zvážime vzorec na nájdenie súradníc vektora a niekoľko úloh.

Hľadanie súradníc vektora v rovine

čo je lietadlo? Rovina je dvojrozmerný priestor, priestor s dvoma rozmermi (rozmer x a rozmer y). Napríklad papier je plochý. Povrch stola je rovný. Akýkoľvek nevolumetrický obrazec (štvorec, trojuholník, lichobežník) je tiež rovina. Ak je teda v podmienke úlohy potrebné nájsť súradnice vektora, ktorý leží v rovine, okamžite si vybavíme x a y. Súradnice takéhoto vektora nájdete nasledovne: AB súradnice vektora = (xB - xA; yB - xA). Zo vzorca je zrejmé, že súradnice začiatočného bodu sa musia odpočítať od súradníc koncového bodu.

Príklad:

• CD vektor má súradnice začiatku (5; 6) a konca (7; 8).
• Nájdite súradnice samotného vektora.
• Pomocou vyššie uvedeného vzorca dostaneme nasledujúci výraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Súradnice CD vektora teda = (2; 2).
• Súradnica x sa teda rovná dvom, súradnica y sa tiež rovná dvom.

Hľadanie súradníc vektora v priestore

čo je priestor? Priestor je už trojrozmerná dimenzia, kde sú dané 3 súradnice: x, y, z. Ak potrebujete nájsť vektor, ktorý leží v priestore, vzorec sa prakticky nemení. Pridá sa iba jedna súradnica. Ak chcete nájsť vektor, musíte odpočítať počiatočné súradnice od koncových súradníc. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Príklad:

• Vektor DF má počiatočné (2; 3; 1) a konečné (1; 5; 2).
• Aplikovaním vyššie uvedeného vzorca dostaneme: Súradnice vektora DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Pamätajte, že hodnota súradníc môže byť záporná, s tým nie je problém.

Ako nájsť vektorové súradnice online?

Ak z nejakého dôvodu nechcete zisťovať súradnice sami, môžete použiť online kalkulačku. Najprv vyberte rozmer vektora. Rozmer vektora je zodpovedný za jeho rozmery. Rozmer 3 znamená, že vektor je v priestore, rozmer 2 znamená, že je v rovine. Ďalej vložte súradnice bodov do príslušných políčok a program sám určí súradnice vektora. Všetko je veľmi jednoduché.

Kliknutím na tlačidlo sa stránka automaticky posunie nadol a poskytne vám správnu odpoveď spolu s krokmi riešenia.

Odporúča sa dobre preštudovať túto tému, pretože pojem vektor sa nachádza nielen v matematike, ale aj vo fyzike. Aj študenti Fakulty informačných technológií študujú tému vektorov, ale na komplexnejšej úrovni.

Analytická geometria

		týždeň	Známka za modul v bodoch
		ovládanie modulu
			Maximálne		Minimum
1. semester
DZ №1, časť 1
DZ №1, časť 2
Modulo ovládanie č.1
body za odmenu
Modulo ovládanie č.2
body za odmenu

Kontrolné činnosti a načasovanie ich implementácie Modul 1

1. DZ č.1 časť 1 "Vektorová algebra" Termín vydania 2 týždne, termín - 7 týždňov

2. DZ č.1 časť 2 "Čiarovky a roviny"

Dodacia lehota 1 týždeň, dodacia lehota - 9 týždňov

3. Modulo riadenie č. 1 (RK č. 1) "Vektorová algebra, čiary a roviny." Termín - 10 týždňov

1. DZ č.2 „Krivky a plochy 2. objednávka „Termín vystavenia 6 týždňov, dodacia lehota – 13 týždňov

5. Test „Krivky a povrchy 2. poradie. Termín - 14 týždňov

6. Modulo riadenie č. 2 (RK č. 2) "Matice a sústavy lineárnych algebraických rovníc"

Termín - 16 týždňov

Typické úlohy používané pri vytváraní aktuálnych možností riadenia

1. Domáca úloha číslo 1. "Vektorová algebra a analytická geometria"

Dané: body A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2),			A(1;2;0); čísla 30,				b1; rohu
1. Nájdite dĺžku vektora |		n | , Ak			p aq,	n bp q	a p, q sú jednotky

vektory, ktorých uhol je rovnaký.

2. Nájdite súradnice bodu M deliaceho vektor AB vzhľadom na a :1 .

3. Skontrolujte, či je to možné na vektoroch AB a AD zostrojia rovnobežník. Ak áno, nájdite dĺžky strán rovnobežníka.

4. Nájdite uhly medzi uhlopriečkami rovnobežníka ABCD.

5. Nájdite oblasť rovnobežníka ABCD.

6. Uistite sa, že vektory AB , AD , AA 1 môžete postaviť rovnobežnosten. Nájdite objem tohto rovnobežnostena a dĺžku jeho výšky.

7. Nájdite vektorové súradnice AH , nasmerovaný pozdĺž výšky rovnobežnostena ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , vedeného z bodu A k základnej rovine A 1 B 1 C 1 D 1 ,

súradnice bodu H a súradnice jednotkového vektora sa zhodujú v smere s vektorom AH .

8. Nájdite rozklad vektora AH vektormi AB, AD, AA1.

9. Nájdite projekciu vektora AH na vektor AA1.

10. Napíšte rovnice rovín: a) P prechádzajúcich bodmi A, B, D;

b) P1 prechádzajúci bodom A a čiarou A1 B1 ;

c) P2 prechádzajúci bodom A1 rovnobežne s rovinou P; d) P3 obsahujúci línie AD a AA1;

e) P4 prechádzajúci bodmi A a C1 kolmo na rovinu P.

11. Nájdite vzdialenosť medzi priamkami, na ktorých ležia hrany AB a CC 1; napíš kanonické a parametrické rovnice spoločnej kolmice na ne.

12. Nájdite bod A 2, symetrický k bodu A1 vzhľadom na rovinu podstavy

13. Nájdite uhol medzi priamkou, na ktorej leží uhlopriečka A 1C a základná rovina ABCD.

14. Nájdite ostrý uhol medzi rovinami ABC 1D (rovina P) a ABB1A1 (rovina P1).

2. Domáca úloha #2. "Krivky a plochy druhého rádu"

V úlohách 1–2 je daná rovnica priamky druhého rádu zredukovaná na kanonickú formu a krivka je zostrojená v súradnicovom systéme OXY.

IN úloha 3 pomocou uvedených údajov nájdite rovnicu krivky v súradnicovom systéme OXY. Na úlohy 1-3 označujú:

1) kanonický tvar rovnice priamky;

2) paralelná translačná transformácia vedúca ku kanonickej forme;

3) v prípade elipsy: poloosi, excentricita, stred, vrcholy, ohniská, vzdialenosti od bodu C k ohniskám; v prípade hyperboly: poloosi, excentricita, stred, vrcholy, ohniská, vzdialenosti od bodu C k ohniskám, asymptotné rovnice; v prípade paraboly: parameter, vrchol, ohnisko, rovnica smerovej čiary, vzdialenosti od bodu C po ohnisko a smerová čiara;

4) pre bod C skontrolujte vlastnosť charakterizujúcu daný typ kriviek ako ťažisko bodov.

IN V úlohe 4 uveďte transformáciu paralelného posunu, ktorá redukuje danú rovnicu povrchu na kanonickú formu, kanonickú formu rovnice povrchu a typ povrchu. Zostrojte povrch v kanonickom súradnicovom systéme OXYZ.

	5x 2y2 20x 2y4, C (0;1				2) 5x24y220x8y64, C (12;14).
		5) ;
	Parabola je symetrická vzhľadom na priamku y 1 0, má ohnisko							; 1 ,
	pretína os OX v bode C				; 0 a jeho vetvy ležia v polrovine	x 0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulo riadenie č. 1 „Vektorová algebra. Analytická geometria"

1. Pravá a ľavá trojica vektorov. Definícia krížového súčinu vektorov. Formulovať vlastnosti vektorového súčinu vektorov. Odvoďte vzorec na výpočet krížového súčinu dvoch vektorov daného ich súradnicami na ortonormálnom základe.

vektory

a m n ,

m n ,

1, m, n

Možno,

vektorový rozklad

c 3 i

12j6k

vektory

3 j 2 k a b 2 i 3 j 4 k.

Napíšte rovnicu pre rovinu

prechádzajúcimi bodmi M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3,1 a

kolmo na rovinu

6x 5y 4z 1 0. Zostavte kanonické rovnice

priamka prechádzajúca bodom M 0 0, 2,1 a kolmá na nájdenú rovinu.

Test "Krivky a povrchy druhého rádu"

1. Definícia elipsy ako ťažiska bodov. Odvodenie kanonickej rovnice elipsy v pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme. Hlavné parametre krivky.

2. Povrchová rovnica x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 viesť ku kánon.

myseľ. Urobte výkres v kanonickom súradnicovom systéme. Zadajte názov tohto povrchu.

3. Napíšte rovnicu pre rovnoosú hyperbolu, ak je známy jej stred O 1 1, 1 a jedno z jej ohnísk F 1 3, 1. Urobte si kresbu.

Modulo ovládanie č. 2 „Krivky a plochy druhého rádu. Matice a sústavy lineárnych algebraických rovníc»

1. Homogénne sústavy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Formy písania homogénneho SLAE. Dôkaz kritéria pre existenciu nenulových riešení homogénneho SLAE.

2. Vyriešte maticovú rovnicu AX B ,

Vykonajte kontrolu.

3. a) Vyriešte SLAE. b) Nájdite normálnu fundamentálnu sústavu riešení zodpovedajúcej homogénnej sústavy, partikulárne riešenie nehomogénnej sústavy; napíšte cez ne všeobecné riešenie tohto nehomogénneho systému:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Otázky na prípravu na kontroly modulu, testy, testy a skúšky

1. Geometrické vektory. Voľné vektory. Definícia kolineárnych a koplanárnych vektorov. Lineárne operácie s vektormi a ich vlastnosti.

2. Definícia lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorov. Dôkazy pre podmienky lineárnej závislosti 2 a 3 vektory.

3. Definícia bázy v priestoroch vektorov V1, V2, V3. Dôkaz vety o existencii a jedinečnosti expanzie vektora z hľadiska bázy. Lineárne operácie na vektoroch dané ich súradnicami v základe.

4. Definícia skalárneho súčinu vektorov, jeho súvislosť s ortogonálnym premietaním vektora na os. Vlastnosti skalárneho súčinu, ich dôkaz. Odvodenie vzorca na výpočet skalárneho súčinu vektorov na ortonormálnom základe.

5. Definícia ortonormálneho základu. Vzťah medzi súradnicami vektora v ortonormálnej báze a jeho ortogonálnymi projekciami na vektory tejto bázy. Odvodenie vzorcov na výpočet dĺžky vektora, jeho smerových kosínusov, uhla medzi dvoma vektormi v ortonormálnej báze.

6. Pravá a ľavá trojica vektorov. Definícia krížového súčinu vektorov, jeho mechanický a geometrický význam. Vlastnosti krížových produktov (bez doc-va). Odvodenie vzorca na výpočet krížového súčinu na ortonormálnom základe.

7. Definícia zmiešaného súčinu vektorov. Objem rovnobežnostena a objem pyramídy, postavené na nekoplanárnych vektoroch. Podmienka komparatívnosti pre tri vektory. Vlastnosti zmiešaného produktu. Odvodenie vzorca na výpočet zmiešaného produktu na ortonormálnom základe.

8. Definícia pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Riešenie najjednoduchších úloh analytickej geometrie.

9. Rôzne typy rovníc priamky v rovine: vektorová, parametrická, kanonická. Smerový vektor je rovný.

10. Odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

11. Dôkaz vety, že v pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme v rovine rovnica prvého stupňa definuje priamku. Definícia normálového vektora priamky.

12. Rovnica s koeficientom sklonu, rovnica priamky „v segmentoch“. Geometrický význam parametrov zahrnutých v rovniciach. Uhol medzi dvoma čiarami. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok dané ich všeobecnými alebo kanonickými rovnicami.

13. Odvodenie vzorca pre vzdialenosť od bodu k priamke v rovine.

14. Dôkaz vety, že v pravouhlom kartézskom súradnicovom systéme v priestore rovnica prvého stupňa definuje rovinu. Všeobecná rovnica roviny. Definícia normálového vektora roviny. Odvodenie rovnice roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi. Rovnica roviny „v segmentoch“.

15. Uhol medzi rovinami. Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch rovín.

16. Odvodenie vzorca pre vzdialenosť od bodu k rovine.

17. Všeobecné rovnice priamky v priestore. Odvodenie vektorových, kanonických a parametrických rovníc priamky v priestore.

18. Uhol medzi dvoma priamkami v priestore, podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Podmienky, aby dve čiary patrili do tej istej roviny.

19. Uhol medzi priamkou a rovinou, podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamky a roviny. Podmienka príslušnosti k priamke danej roviny.

20. Problém nájdenia vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa alebo rovnobežnými čiarami.

21. Definícia elipsy ako ťažiska bodov. Odvodenie kanonickej rovnice elipsy.

22. Definícia hyperboly ako ťažiska bodov. Odvodenie kanonickej rovnice hyperboly.

23. Definícia paraboly ako ťažiska bodov. Odvodenie rovnice kanonickej paraboly.

24. Definícia valcovej plochy. Kanonické rovnice valcových plôch 2. poradie.

25. Koncept rotačného povrchu. Kanonické rovnice plôch tvorené rotáciou elipsy, hyperboly a paraboly.

26. Kanonické rovnice elipsoidu a kužeľa. Skúmanie tvaru týchto plôch rezovou metódou.

27. Kanonické rovnice hyperboloidov. Skúmanie tvaru hyperboloidov metódou rezov.

28. Kanonické rovnice paraboloidov. Skúmanie tvaru paraboloidov metódou rezov.

29. Pojem matice. Typy matríc. Maticová rovnosť. Lineárne operácie s maticami a ich vlastnosti. Maticová transpozícia.

30. Maticové násobenie. Vlastnosti operácie násobenia matíc.

31. Definícia inverznej matice. Dôkaz jedinečnosti inverznej matice. Dôkaz inverznej maticovej vety pre súčin dvoch invertibilných matíc.

32. Kritérium existencie inverznej matice. Pojem asociovanej matice, jej spojenie s inverznou maticou.

33. Odvodenie Cramerových vzorcov na riešenie sústavy lineárnych rovníc s nedegenerovanou štvorcovou maticou.

34. Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť riadkov (stĺpcov) matice. Dôkaz kritéria pre lineárnu závislosť riadkov (stĺpcov).

35. Definícia matice minor. Základné moll. Základná vedľajšia veta (bez doqua). Dôkaz jeho následku pre štvorcové matice.

36. Metóda fringingových maloletých na zistenie hodnosti matice.

37. Elementárne transformácie riadkov (stĺpcov) matice. Hľadanie inverznej matice metódou elementárnych transformácií.

38. Veta o klasifikácii matice pri elementárnych transformáciách. Zistenie hodnosti matice metódou elementárnych transformácií.

39. Systémy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Rôzne formy písania SLAE. Kĺbové a nekĺbové SLAE. Dôkaz Kronecker-Kapeliho kritéria kompatibility SLAE.

40. Homogénne systémy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Vlastnosti ich riešení.

41. Definícia základného systému riešení (FSR) homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Veta o štruktúre všeobecného riešenia homogénnej SLAE. Výstavba FSR.

42. Nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Dôkaz vety o štruktúre všeobecného riešenia nehomogénneho SLAE.

Kontrolná udalosť	Počet úloh	Body za úlohu
DZ №1, časť 1
Získané body
Kontrolná udalosť	Počet úloh	Body za úlohu
DZ №1, časť 2
Získané body

Kontrolná udalosť				Počet úloh			Body za úlohu
Modulo ovládanie č.1				1 teória a 3 problémy			teória - 0; 3; 6
							úlohy - 0; 1; 2
			Získané body
Kontrolná udalosť				Počet úloh			Body za úlohu
	Získané body
Kontrolná udalosť				Počet úloh			Body za úlohu
				1 teória a 3 problémy			teória - 0; 3; 6
							úlohy - 0; 1; 2
			Získané body
						01 teória a 3 problémy			teória - 0; 3; 6
		úlohy - 0; 1; 2
			Získané body

Pravidlá bodovania denníka

1. Body za DZ. Body za DZ sa stanovujú nasledujúci týždeň po dátume splatnosti podľa príslušnej tabuľky. Študent má právo odovzdať jednotlivé zadania na overenie pred termínom uzávierky a opraviť chyby, ktoré vyučujúci poznamenal, pričom dostane potrebné rady. Ak študent do termínu odovzdania DZ uvedie riešenie úlohy na správnu možnosť, tak za túto úlohu dostane maximálny počet bodov. Po termíne odovzdania DZ môže študent, ktorý nedosiahol minimálny počet bodov za DZ, pokračovať v práci na zadaní. Zároveň je študentovi v prípade úspešnej práce udelený minimálny počet bodov za DZ.

2. Body pre CR. Ak študent nedosiahne načas minimálny počet bodov za CR, tak v priebehu semestra môže túto prácu prepísať dvakrát. S pozitívnym výsledkom (súbor bodov nie menší ako stanovené minimum) dostane študent minimálne skóre za KR.

3. Body za "modulo control". Ako „modulo control“ je navrhnutá písomná práca pozostávajúca z teoretickej a praktickej časti. Každá časť riadiaceho modulu sa vyhodnocuje samostatne. Žiak, ktorý v niektorej z častí kontroly získal známku nie nižšiu ako minimálnu, sa považuje za úspešného v tejto časti a je v budúcnosti oslobodený od jej vykonávania. Podľa uváženia učiteľa je možné uskutočniť pohovor k teoretickej časti zadania. Ak študent nezíska za každú časť práce minimum, tak počas semestra má za každú časť dva pokusy na nápravu. S pozitívnym

Výsledkom je, že (súbor bodov nie je nižší ako stanovené minimum), študent dostane minimálne skóre za „kontrolu modulu“.

4. Známka za modul. Ak študent absolvoval všetky aktuálne kontrolné aktivity modulu (dosiahol aspoň stanovený minimálny počet bodov),

potom je hodnotenie za modul súčtom bodov za všetky kontrolné činnosti modulu (v tomto prípade študent automaticky dosiahne aspoň minimálnu hranicu). Výsledné body za modul sa zapisujú do denníka po ukončení všetkých kontrolných činností.

5. Celkové skóre. Súčet bodov za dva moduly.

6. Hodnotenie. Záverečná certifikácia (skúška, diferencovaný test, test) sa vykonáva na základe výsledkov práce v semestri po tom, čo študent absolvoval plánované množstvo študijnej práce a získal hodnotenie za každý modul, ktoré nie je nižšie ako stanovené minimum. Maximálny počet bodov za všetky moduly vrátane bodov za usilovnosť je 100, minimum je 60. Súčet bodov za všetky moduly tvorí bodové hodnotenie disciplíny za semester. Žiak, ktorý absolvoval všetky kontrolné opatrenia, získa v disciplíne za semester výslednú známku podľa stupnice:

		známka zo skúšky,	Posúdenie na ofset
		diferencované umiestnenia
		uspokojivo
		nevyhovujúce

Môžete si zvýšiť svoje hodnotenie a následne aj známku zo skúšky na záverečnej skúške (písomná práca na materiáli disciplíny ako celku sa vykonáva počas skúšky), maximálny počet bodov je 30, minimum -16. Tieto body sa sčítajú s bodmi získanými za všetky moduly v disciplíne. Zároveň, aby študent získal známku na skúške „dobrý“, musí získať najmenej 21 bodov, na „výborný“ ─ najmenej 26 bodov. Pre špecializácie, kde je kredit zabezpečený disciplínou, sa rating nezvyšuje. Študenti, ktorí majú na začiatku skúškového obdobia hodnotenie v rozsahu 0-59, získajú potrebné minimum na získanie kladnej známky z disciplíny, pričom opakujú kontrolné podujatia, ktoré neboli predtým započítané v samostatných moduloch. Zároveň študenti, ktorí na to nemajú opodstatnený dôvod, môžu nakoniec (do konca skúškového obdobia) dostať známku nie vyššiu ako „uspokojivý“.

Na osi x a y sú tzv súradnice vektor. Súradnice vektora sú zvyčajne uvedené vo formulári (x, y) a samotný vektor ako: = (x, y).

Vzorec na určenie súradníc vektora pre dvojrozmerné úlohy.

V prípade dvojrozmernej úlohy vektor so známym súradnice bodu A(x 1; y 1) A B(X 2 ; r 2 ) možno vypočítať:

\u003d (x 2 – x 1; y 2 - y 1).

Vzorec na určenie súradníc vektora pre priestorové úlohy.

V prípade priestorového problému vektor so známym súradnice bodu A (x 1; y 1;z 1 ) a B (X 2 ; r 2 ; z 2 ) možno vypočítať pomocou vzorca:

= (X 2 - X 1 ; r 2 - r 1 ; z 2 - z 1 ).

Súradnice poskytujú komplexný popis vektora, keďže zo súradníc je možné zostrojiť samotný vektor. Vďaka znalosti súradníc je ľahké vypočítať a vektorová dĺžka. (Vlastnosť 3 nižšie).

Vlastnosti vektorových súradníc.

1. Akékoľvek rovnaké vektory v jedinom súradnicovom systéme majú rovnaké súradnice.

2. Súradnice kolineárne vektory proporcionálne. Za predpokladu, že žiadny z vektorov nie je rovný nule.

3. Druhá mocnina dĺžky ľubovoľného vektora sa rovná súčtu jeho štvorcov súradnice.

4.Pri operácii vektorové násobenia na Reálne číslo každá z jeho súradníc je vynásobená týmto číslom.

5. Počas operácie sčítania vektorov vypočítame súčet zodpovedajúcich vektorové súradnice.

6. Skalárny súčin dvoch vektorov sa rovná súčtu súčinov ich príslušných súradníc.