Zostrojíme interpolačný polynóm vo forme

kde sú najviac polynómy stupňa p, ktoré majú túto vlastnosť:

V tomto prípade je to polynóm (4.9) v každom uzle x j, j \u003d 0,1, ... n, sa rovná zodpovedajúcej hodnote funkcie y j, t.j. je interpolácia.

Zostrojme také polynómy. Pretože pre x \u003d x 0, x 1, ... x i -1, x i + 1, ... x n, môžeme faktorizovať nasledovne

kde c je konštanta. Z podmienky to dostaneme

Interpolačný polynóm (4.1) napísaný vo forme

sa nazýva Lagrangeov interpolačný polynóm.

Približná hodnota funkcie v bode x *vypočítané pomocou Lagrangeovho polynómu bude mať zvyškovú chybu (4,8). Ak sú hodnoty funkcie y i na interpolačných uzloch x i sú nastavené približne s rovnakou absolútnou chybou, potom sa namiesto presnej hodnoty vypočíta približná hodnota a

kde je výpočtová absolútna chyba Lagrangeovho interpolačného polynómu. Na záver máme nasledujúci odhad celkovej chyby približnej hodnoty.

Formu budú mať najmä Lagrangeove polynómy prvého a druhého stupňa

a ich celkové chyby v bode x *

Existujú aj iné formy zápisu toho istého interpolačného polynómu (4.1), napríklad Newtonov interpolačný vzorec s oddelenými rozdielmi, ktoré sa uvažujú nižšie, a jeho varianty. Pre presný výpočet hodnoty Pn (x *)získané rôznymi interpolačnými vzorcami konštruovanými z rovnakých uzlov sa zhodujú. Prítomnosť výpočtovej chyby vedie k rozdielu v hodnotách získaných z týchto vzorcov. Zápis polynómu do Lagrangeovej formy vedie spravidla k menšej výpočtovej chybe.

Použitie vzorcov na odhad chýb vznikajúcich pri interpolácii závisí od formulácie problému. Napríklad, ak je známy počet uzlov a funkcia je špecifikovaná s dostatočne veľkým počtom správnych znamienok, potom je problém výpočtu f (x *) s najvyššou možnou presnosťou. Ak je naopak počet správnych znamienok malý a počet uzlov veľký, potom je problém výpočtu f (x *) s presnosťou, ktorú umožňuje tabuľková hodnota funkcie, a táto úloha môže vyžadovať zriedenie aj zhutnenie tabuľky.

§4.3. Oddelené rozdiely a ich vlastnosti.

Koncept rozdeleného rozdielu je zovšeobecnený derivačný koncept. Nech v bodoch x 0, x 1, ... x n sú hodnoty funkcií f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Oddelené rozdiely prvého rádu sú určené rovnosťou

oddelené rozdiely druhého rádu - rovnosti,

a oddelené rozdiely k-tý poriadok je určený nasledujúcim rekurzívnym vzorcom:

Rozdelené rozdiely sa zvyčajne umiestňujú do tabuľky, ako je táto:

x i	f (x i)	Rozdelené rozdiely
Objednávam	II rozkaz	III	Objednávka IV
x 0	y 0
		f
x 1	y 1		f
		f		f
x 2	y 2		f		f
		f		f
x 3	y 3		f
		f
x 4	y 4

Zvážte nasledujúce vlastnosti oddelených rozdielov.

1. Oddelené rozdiely všetkých objednávok sú lineárne kombinácie hodnôt f (x i), t.j. platí tento vzorec:

Dokážme platnosť tohto vzorca indukciou v poradí rozdielov. Pre rozdiely prvého rádu

Vzorec (4.12) je platný. Predpokladajme, že teraz je platná pre všetky rozdiely v objednávke.

Potom podľa (4.11) a (4.12) pre rozdiely v poradí k \u003d n + 1 máme

Podmienky obsahujúce f (x 0) a f (x n +1), mať požadovaný formulár. Zvážte pojmy obsahujúce f (x i), i \u003d 1, 2, ..., n... Existujú dva také výrazy - z prvého a druhého súčtu:

tie. vzorec (4.12) platí pre objednávkový rozdiel k \u003d n + 1, dôkaz je kompletný.

2. Delený rozdiel je symetrickou funkciou jeho argumentov x 0, x 1, ... x n (to znamená, že sa nemení pre žiadnu permutáciu):

Táto vlastnosť vyplýva priamo z rovnosti (4.12).

3. Jednoduchý rozdiel rozdielu f a derivát f (n) (x) dáva nasledujúcu vetu.

Nech uzly x 0, x 1, ... x n patria do segmentu a funkcie f (x) má v tomto segmente spojitú deriváciu poriadku p... Potom je tu bod xÎ, čo

Najskôr dokážme platnosť vzťahu

Podľa (4.12) je výraz v hranatých zátvorkách

f.

Pre zvyšok porovnanie (4.14) s výrazom (4.7) R n (x) \u003d f (x) -L n (x) získame (4.13), je dokázaná veta.

Z tejto vety vyplýva jednoduchý dôsledok. Pre polynóm p-th stupeň

f (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 + ... a n

derivát objednávky pzjavne existuje

a vzťah (4.13) dáva pre delený rozdiel hodnotu

Takže každý polynóm stupňa p oddelené rozdiely v poradí p sa rovnajú konštantnej hodnote - koeficientu na najvyššom stupni polynómu. Samostatné rozdiely vyšších objednávok
(viac p) sa samozrejme rovnajú nule. Tento záver je však platný, iba ak pre oddelené rozdiely neexistuje výpočtová chyba.

§4.4. Interpolácia Newtonovho polynómu s oddelenými rozdielmi

Lagrangeov interpolačný polynóm píšeme v tejto podobe:

kde L 0 (x) \u003d f (x 0) \u003d y 0a L k (x) - Lagrangeov interpolačný polynóm stupňa kpostavené uzlami x 0, x 1, ..., x k... Potom existuje polynóm stupňa kktorých korene sú body x 0, x 1, ..., x k -1... Preto to možno faktorizovať

kde A k je konštanta.

V súlade s (4.14) získavame

Pri porovnaní (4.16) a (4.17) získame, že (4.15) má tiež formu

ktorý sa nazýva Newtonov interpolačný polynóm s oddelenými rozdielmi.

Tento typ zápisu interpolačného polynómu je popisnejší (pridanie jedného uzla zodpovedá vzhľadu jedného výrazu) a umožňuje lepšie vysledovať analógiu skonštruovaných konštrukcií so základnými konštrukciami matematickej analýzy.

Zvyšková chyba Newtonovho interpolačného polynómu je vyjadrená vzorcom (4.8), ale s prihliadnutím na (4.13) ju možno zapísať aj v inej podobe

tie. zvyšková chyba sa dá odhadnúť modulom prvého odmietnutého člena v polynóme N n (x *).

Výpočtová chyba N n (x *) budú určené chybami oddelených rozdielov. Interpolačné uzly najbližšie k interpolovanej hodnote x *, bude mať väčší vplyv na interpolačný polynóm, ktorý leží ďalej - menej. Preto je vhodné, ak je to možné, pre x 0 a x 1 vziať prichádzať do x * interpolačné uzly a najskôr na týchto uzloch vykonajte lineárnu interpoláciu. Potom postupne priťahujte ďalšie uzly tak, aby boli vzhľadom na čo najviac symetrické x *až ďalší termín v absolútnej hodnote je menší ako absolútna chyba deleného rozdielu v ňom zahrnutého.

4.3 Interpolácia funkcie Lagrangeovými polynómami

Zvážte iný prístup k aproximácii funkcie pomocou polynómov. Nech je funkcia y \u003d f (x) definovaná na intervale a sú známe hodnoty tejto funkcie v nejakej sústave uzlov x i Î, i \u003d 0, 1, ..., n. Napríklad tieto hodnoty sa získavajú experimentálne pri pozorovaní určitej hodnoty v určitých bodoch alebo v určitých časoch x 0, x 1, ..., x n. Označme tieto hodnoty takto: y i \u003d f (x i), i \u003d 0, 1,…, n. Je potrebné nájsť polynóm P (x) stupňa m,

P (x) \u003d a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a m x m, (4.5)

ktoré by na uzloch x i, i \u003d 0, 1, ..., n malo rovnaké hodnoty ako pôvodná funkcia y \u003d f (x), t.j.

P (x i) \u003d y i, i \u003d 0, 1, ..., n. (4,6)

Polynom (4.5) vyhovujúca podmienka (4.6) sa nazýva interpolačný polynóm.

Inými slovami, úlohou je skonštruovať funkciu y \u003d P (x), ktorej graf prechádza danými bodmi (x i, y i), i \u003d 0, 1, ..., n (obr. 4.1).

Kombináciou (4.5) a (4.6) dostaneme:

a 0 + a 1 x i + a 2 x + ... + a m x \u003d y i, i \u003d 0, 1, ..., n. (4,7)

V požadovanom polynóme P (x) sú neznáme m +1 koeficienty a 0, a 1, a 2,…, a m. Preto systém (4.7) možno považovať za systém n +1 rovníc s neznámimi m +1. Je známe, že pre existenciu jedinečného riešenia takéhoto systému je potrebné splniť podmienku: m \u003d n. Systém (4.7) teda možno prepísať v rozšírenej podobe:

a 0 + a 1 x 0 + a 2 x + ... + a n x \u003d y 0

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x + ... + a n x \u003d y 1

a 0 + a 1 x 2 + a 2 x + ... + a n x \u003d y 2 (4,8)

a 0 + a 1 x n + a 2 x + ... + a n x \u003d y n

Otázku existencie a jedinečnosti interpolačného polynómu rieši táto veta:

Veta 4.1. Existuje jedinečný interpolačný polynóm stupňa n vyhovujúci podmienkam (4.6).

Existujú rôzne formy záznamy interpolačného polynómu. Rozšírená notácia je Lagrangeov polynóm

L n (x) \u003d = . (4.9)

Najmä pre lineárnu a kvadratickú Lagrangeovu interpoláciu získame nasledujúce interpolačné polynómy:

L 1 (x) \u003d y 0+ y 1,

L 2 (x) \u003d y 0 + y 1 + y 2 .

Príklad 4.3.

Vytvorme Lagrangeov interpolačný polynóm pomocou nasledujúcich údajov:

	0	2	3	5
	1	3	2	5

Stupeň Lagrangeovho polynómu pre n +1 uzlov je n. Pre náš príklad je Lagrangeov polynóm tretieho stupňa. Podľa (4,9)

L 3 (x) \u003d 1 +3 + 2 + 5 \u003d 1 + x - x 2 + x 3.

Príklad 4.4.

Zvážte príklad použitia Lagrangeovho interpolačného polynómu na výpočet hodnoty danej funkcie v prechodnom bode. Tento problém nastáva napríklad vtedy, keď sú zadané tabuľkové hodnoty funkcie s veľkým krokom a je potrebné vytvoriť tabuľku hodnôt s malým krokom.

Nasledujúce údaje sú známe pre funkciu y \u003d sinx.

	0	p / 6	p / 3	p / 2
	0	½		1

Vypočítajte y (0,25).

Nájdite Lagrangeov polynóm tretieho stupňa:

L 3 (x) \u003d 0 + +

+ 1.

Pre x \u003d 0,25 dostaneme y (0,25) \u003d hriech 0,25 “0,249.

Chyba interpolácie. Nech je Lagrangeov interpolačný polynóm zostrojený pre známu funkciu f (x). Je potrebné zistiť, ako blízko je tento polynóm funkcii v iných bodoch segmentu ako v uzloch. Chyba interpolácie je | f (x) - P n (x) |. Odhad chyby je možné získať na základe nasledujúcej vety.

Veta 4.2. Nech je funkcia f (x) diferencovateľná n +1 krát na intervale obsahujúcom interpolačné uzly x i Î, i \u003d 0, 1,…, n. Potom pre chybu interpolácie v bode x Î platí nasledujúci odhad:

| f (x) - L n (x) | £ | w n + 1 (x) |, (4,10)

M n + 1 \u003d | f (n + 1) (x) |,

w n + 1 (x) \u003d (x - x 0) (x - x 1)…. (x - x n).

Pre maximálnu chybu interpolácie v celom segmente platí nasledujúci odhad:

| f (x) - L n (x) | £ | w n (x) | (4,11)

Príklad 4.5.

Odhadnime chybu v aproximácii funkcie f (x) \u003d v bode x \u003d 116 a na celom intervale, kde a \u003d 100, b \u003d 144, pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu L 2 (x) druhého stupňa, zostrojeného s uzlami x 0 \u003d 100, x 2 \u003d 144.

Nájdite prvý, druhý a tretí derivát funkcie f (x):

f "(x) \u003d x - 1/2, f" (x) \u003d - x –3/2, f "" "(x) \u003d x –5/2.

M 3 \u003d | f "" "(x) | \u003d 100 –5/2 \u003d 10 –5.

V súlade s (4.9) získame odhad chyby v bode x \u003d 116.

Nechajte na segment funkcia y \u003d f (x) je zasadený do tabuľky, t.j. (x i, y i), (i \u003d 0,1, .., n), Kde y i \u003d f (x i). Táto funkcia sa nazýva „ pletivo».

Formulácia problému: nájsť algebraický polynóm (polynóm):

stupeň nie vyšší n také, že

L n (x i) \u003d y i,o i \u003d0,1, .., n,(5.6)

tie. mať na daných uzloch x i, (i=0,1,..,n) rovnaké hodnoty ako funkcia mriežky o=f (x).

Samotný polynóm L n (x) zavolal interpolačný polynóm, a úloha je polynomiálna interpolácia .

Nájdite polynóm L n (x) - to znamená nájdite jeho koeficienty a 0 , a 1 , ..., A n. Na to existuje n +1 podmienka (5.6), ktoré sú zapísané ako systém lineárnych algebraických rovníc pre neznáme a ja,(i=0, 1,…,n):

kde x ja a r ja ( i=0,1,…,n) - tabuľkové hodnoty argumentu a funkcie.

Z kurzu algebry je známe, že determinant tohto systému, nazývaný Vandermondeov determinant:

nenulová a preto má systém (5.7) jediné rozhodnutie.

Po určení koeficientov a 0 , a 1 ,…, Č , riešiaci systém (5.7), získame tzv lagrangeov interpolačný polynóm pre funkciu f (x):

(5.8)

ktoré možno napísať ako:

Je dokázané, že dané nJe možné vykresliť hodnoty funkcie +1 jediný Lagrangeov interpolačný polynóm(5.8).

V praxi sú to Lagrangeove interpolačné polynómy prvého ( n \u003d1) a druhý ( n \u003d2) stupňov.

Kedy n \u003d1 informácia o interpolovanej funkcii y \u003d f (x) je stanovená v dvoch bodoch: (X 0 , r 0 ) a (x 1 , r 1 ), a Lagrangeov polynóm má tvar

Pre n \u003d2 je Lagrangeov polynóm zostavený z trojbodovej tabuľky

Rozhodnutie: Pôvodné údaje dosadíme do vzorca (5.8). Stupeň získaného Lagrangeovho polynómu nie je vyšší ako tretí, pretože funkcia je špecifikovaná štyrmi hodnotami:

Pomocou Lagrangeovho interpolačného polynómu môžete nájsť hodnotu funkcie v ktoromkoľvek medziľahlom bode, napríklad pre x=4:

= 43

Lagrangeove interpolačné polynómypoužívaný v metóda konečných prvkov, široko používaný pri riešení stavebných problémov.

Známe sú aj ďalšie interpolačné vzorce, napríklad newtonov interpolačný vzorecpoužíva sa na interpoláciu v prípade ekvidištančných uzlov alebo interpolačného polynómu Hermita.

Spline interpolácia... Pri použití veľkého počtu interpolačných uzlov sa používa špeciálna technika - po častiach polynomiálna interpoláciakeď je funkcia interpolovaná polynómom stupňa t medzi susednými uzlami mriežky.

Stredná kvadratická aproximácia funkcií

Formulácia problému

Stredná kvadratická aproximácia functions je odlišný prístup k získaniu analytických výrazov na aproximáciu funkcií. Charakteristickým znakom takýchto problémov je skutočnosť, že počiatočné údaje na zostavenie určitých pravidelností zjavne sú približný znak.

Tieto údaje sa získavajú ako výsledok nejakého experimentu alebo ako výsledok nejakého výpočtového procesu. Preto tieto údaje obsahujú experimentálne chyby (chyby meracieho zariadenia a podmienok, náhodné chyby atď.) Alebo chyby zaokrúhlenia.

Povedzme, že sa vyšetruje nejaký jav alebo proces. AT všeobecný pohľad predmet výskumu môže byť predstavený kybernetickým systémom („čierna skrinka“) zobrazeným na obrázku.

Variabilné x Je nezávislá riadená premenná (vstupný parameter).

Variabilné Y Je reakcia (odozva) výskumného objektu na vplyv vstupného parametra. Toto je závislá premenná.

Predpokladajme, že pri spracovaní výsledkov tohto experimentu sa zistila určitá funkčná závislosť y \u003d f (x)medzi nezávislou premennou x a závislá premenná o. Táto závislosť je prezentovaná vo forme tabuľky. 5,1 hodnôt x i, y i (i=1,2, ..., N) získané počas experimentu.

Tabuľka 5.1

x i	x 1	x 2	…	x n
y i	r 1	r 2	…	y n

Ak je výraz analytickej funkcie y \u003d f (x)je neznáme alebo veľmi ťažké, potom nastane problém nájsť funkciu y \u003dj (X),ktorých hodnoty na x \u003d x i, možno trochu inak z experimentálnych údajov y i, (i=1,..,n). Skúmaná závislosť sa teda aproximuje funkciou y \u003dj (X) na segmente [ x 1 , x n]:

f (x) @j (X). (5.9)

Aproximačná funkcia y \u003dj (X) zavolal empirický vzorec (EF)alebo regresná rovnica (RR).

Empirické vzorce nepredstierajú, že sú prírodnými zákonmi, ale sú iba hypotézami, ktoré viac či menej adekvátne popisujú experimentálne údaje. Ich význam je však veľmi veľký. V histórii vedy sa vyskytujú prípady, keď získaný úspešný empirický vzorec viedol k veľkým vedeckým objavom.

Empirický vzorec je adekvátne, ak je to možné na účely opísania predmetu s dostatočnou presnosťou opísať.

Na čo je táto závislosť?

Ak sa nájde aproximácia (5.9), je možné:

Vytvorte predpoveď správania sa skúmaného objektu mimo segment ( extrapolácia );

Vyberte si optimálne smer vývoja skúmaného procesu.

Regresná rovnica môže mať inú formu a inú úroveň zložitosti v závislosti od charakteristík študovaného objektu a požadovanej presnosti znázornenia.

Geometrickyproblém zostrojenia regresnej rovnice spočíva v nakreslení krivky Ľ: y \u003dj (X) « čo najbližšie»Susedí so systémom experimentálnych bodov M i (x i, y i), i \u003d1,2, .., ndaná tabuľka. 5.1 (obrázok 5.2).

Konštrukcia regresnej rovnice (empirická funkcia) pozostáva z 2 etáp:

1. voľba všeobecného pohľaduregresné rovnice,

2. definovanie jeho parametrov.

Úspešný výberregresná rovnica do značnej miery závisí od skúseností experimentátora skúmajúceho proces alebo jav.

Ako regresná rovnica sa často vyberá polynóm (polynóm):

Druhá úloha, hľadanie parametrovregresné rovnice sa riešia bežnými metódami, napríklad najmenšie štvorce (OLS), ktorý sa široko používa pri štúdiu akýchkoľvek vzorov založených na pozorovaní alebo experimentoch.

Vývoj tejto metódy je spojený s menami slávnych matematikov minulosti - K. Gaussa a A. Legendra.

Metóda najmenších štvorcov

Predpokladajme, že výsledky experimentu sú prezentované vo forme tabuľky. 5.1. A regresná rovnica sa píše v tvare (5.11), t.j. záleží na ( m+1) parameter

Tieto parametre určujú umiestnenie grafu regresnej rovnice vzhľadom na experimentálne body M i (x i, y i), i \u003d1,2, .., n (Obrázok 5.2).

Tieto parametre však nie sú určené jednoznačne. Je potrebné zvoliť parametre tak, aby sa graf regresnej rovnice nachádzal „ čo najbližšie»Do systému týchto experimentálnych bodov.

Poďme predstaviť koncept odchýlky hodnoty regresnej rovnice (5.11) z hodnoty tabuľky y ipre x i : , i \u003d1,2, .., n.

Zvážte súčet druhých mocnín odchýlok, ktorézáleží na( m+1) parameter

Podľa OLS najlepšie koeficienty a i(i=0,1,..,m) sú tie, ktoré sú minimalizované súčet druhých mocnín odchýlok, t.j. funkcia.

Použitím nevyhnutné podmienky pre extrém funkcie niekoľko premenných, dostaneme tzv normálny systém na stanovenie neznámych koeficientov :

Pre aproximačnú funkciu (5.11) je systém (5.14) systém lineárnych algebraických rovníc pre neznáme .

Sú možné prípady:

1. Ak, potom existuje nekonečne veľa polynómov (5.11) minimalizujúcich funkciu (5.13).

2. Ak m \u003d n–1, potom existuje iba jeden polynóm (5.11) minimalizujúci funkciu (5.13).

Menej m, tým je empirický vzorec jednoduchší, ale nie vždy je lepší. Je potrebné pripomenúť, že výsledný empirický vzorec by mal byť adekvátne skúmaný objekt.

INTERPOLÁCIA

Pri štúdiu prírodných javov pomocou matematického prístroja sa využívajú rôzne funkcie.

Funkcie je možné zadať rôznymi spôsobmi. Najjednoduchším z nich je priradenie analytického výrazu, ktorý umožňuje vypočítať hodnotu funkcie pomocou akýchkoľvek platných hodnôt argumentov. V praxi sú takéto prípady veľmi zriedkavé.

Funkcie sú často definované v nekonečných riadkoch. Výpočet hodnôt funkcie pomocou nekonečného radu je dosť ťažkopádna operácia, ktorá si vyžaduje konvergenciu a dostatočný počet výrazov v rade.

Funkcia môže byť vyjadrená neurčitým integrálom alebo diferenciálnou rovnicou.

Vo všetkých prípadoch, keď je nemožné presne vypočítať hodnoty funkcie, alebo je výpočet príliš ťažkopádny, uchýlia sa ku kompilácii tabuliek funkcií, ak k tejto funkcii dôjde pri rôznych problémoch. Dostávame sa teda k tabuľkovému nastaveniu funkcie, teda takej, kedy je funkcia
daná tabuľkou jeho hodnôt pre dané hodnoty argumentov , i \u003d 1,2, ... n:

Zavolajú sa hodnoty tabuľky funkcií a argumentov uzly tabuľky.

Rozdiel medzi dvoma susednými hodnotami argumentu sa volá krokový stôl
... Ak sa tento rozdiel zmení, potom sa tabuľka nazýva tabuľka s premenlivým stupňom, ak sa rozdiel nezmení, potom ide o tabuľku s konštantným krokom. Neustálym krokom sa snažia zostavovať tabuľky. Krok vo všeobecnosti nemôže byť veľmi malý, inak sa veľkosť tabuľky výrazne zväčšuje.

Tabuľka je zvyčajne umiestnená tak, aby sa argument (napríklad čas) zvyšoval.

Pri riešení problémov prírodných vied sa spravidla musí riešiť prípady, keď sú potrebné funkčné hodnoty nielen pre tabuľkové hodnoty argumentu (uzly). Napríklad sa napríklad často vyžaduje, aby sme poznali súradnice Slnka vo vzťahu k Zemi, ale takmer vždy nie v čase 0 h svetového času, ako je uvedené v astronomickej ročenke, ale v určitých medzičasoch.

Preto má nasledujúca úloha veľký praktický význam: daná tabuľková funkcia; je potrebné nájsť spôsob, ako približne určiť hodnoty funkcie pre ľubovoľné hodnoty argumentu, ktoré sa nezhodujú s uzlami tabuľky.

E ak je hodnota argumentu zadaná v rozsahu tabuľkových hodnôt argumentu, potom sa zadaná úloha nazýva úloha interpolácia; ak je hodnota argumentu zadaná mimo tabuľkového priestoru, potom sa povie extrapolácie.

Interpolácia tabuľkovou funkciou sa redukuje na aproximáciu tabuľkovej funkcie ďalšou, ľahko vypočítateľnou funkciou. Na interpoláciu sa používa výraz pre túto ľahko vypočítateľnú funkciu: nahradí sa do neho zadaná hodnota argumentu a vykonajú sa výpočty.

Vytvorenie aproximácie tabuľkovej funkcie je nedefinovaná úloha a vyžaduje ďalšie konvencie.

Najskôr je potrebné dohodnúť sa na triede funkcií použitých na aproximáciu. Je zrejmé, že je žiaduce vedieť ľahko vypočítať funkciu pre danú hodnotu argumentu. Táto podmienka je splnená algebraické polynómy, ktoré sa najčastejšie používajú na aproximáciu.

Ak je tabuľková funkcia periodická a je potrebná aproximácia v oblasti pokrývajúcej celé obdobie, potom použite trigonometrické polynómy... Ak je potrebné periodickú funkciu priblížiť iba na malú časť periódy, potom sa zvyčajne používajú algebraické polynómy.

Po druhé, je potrebné požadovať, aby bola aproximácia čo najlepšia. Čo znamená „najlepší“? V praxi sa používajú rôzne kritériá najlepšej aproximácie. Zoberieme si toto: aproximačný polynóm, ktorý by mal presne reprezentovať uzly tabuľky. To znamená, že interpolačný polynóm musí prechádzať cez všetky body (uzly) tabuľkovej funkcie v grafe. Z tohto dôvodu sa volá interpolácia so zadanou podmienkou bodová interpolácia.

E ak sa ktorákoľvek hodnota mení úmerne s časom, potom je rozdiel v hodnotách v pravidelných intervaloch konštantný. V takom prípade môžete použiť najjednoduchšiu lineárnu interpoláciu.

Ak sa za 24 hodín hodnota X rovnomerne zmení o , potom sa jeho hodnota pre okamih t hodín, ktoré uplynuli po okamihu t 0, rovná

.

Ale to sa takmer nikdy nestane, rozdiel medzi susednými hodnotami v tabuľke sa zmení a niekedy zložito. Lineárna interpolácia sa dá tolerovať, ak sa nevyžaduje vysoká presnosť. Pokiaľ je ale potrebné získať hodnotu tabuľkovej funkcie s rovnakou presnosťou ako v uzloch, potom je podľa prijatých konvencií potrebné zostrojiť interpolačný polynóm.

Lagrangeov interpolačný polynóm

Predpokladajme, že máte dvojstĺpcovú tabuľku
,
,
... Je potrebné nájsť polynóm najnižšieho stupňa, ktorý nadobúda hodnoty pre každý argument :
, to znamená, že sa zhoduje s hodnotami tabuľkovej funkcie v uzloch. Približne budeme predpokladať, že pre každú hodnotu argumentu t
,
... Táto približná rovnosť sa nazýva interpolačný vzorec. Musíte teda nájsť interpolačný vzorec a potom odhadnúť jeho chybu.

Nájdeme v prvom rade polynóm (polynóm), ktorý nadobúda hodnotu 1 v jednom uzlovom bode a 0 vo všetkých ostatných. Zjavne nekomplikovaná funkcia

,

kde prvočíslo na znaku produktu znamená
, je požadovaný polynóm stupňa n-1.

Všimnite si, že polynóm stupňa nanajvýš n-1 možno jednoznačne nakresliť cez n bodov, napríklad cez 2 body môžete jedinečne nakresliť priamku (krivka 1. rádu), cez 3 body - parabola (krivka 2. rádu) atď. ...

Je ľahké to skontrolovať
sa rovná 1 ak
; a 0 kedy
... Poďme sa množiť
na výsledný polynóm
nadobúda význam v j-tom uzlovom bode a rovná sa nule vo všetkých ostatných uzloch. Súčet takýchto polynómov bude mať teda hodnoty pre argument :

,

Poznámka: j je poradové číslo medziľahlého polynómu
v súčte, ktorý vytvára Lagrangeov polynóm, i je počet ľubovoľných uzlov v tabuľke.

Všeobecne

Toto je požadovaný polynóm stupňa n-1 prechádzajúci cez všetkých n uzlov tabuľky
:
,
.

Lagrangeov interpolačný polynóm bol prvýkrát publikovaný v roku 1795.

Zdôrazňujeme, že ak je daných n uzlových bodov, potom je jedinečne (v rámci zaokrúhlených chýb) stanovený zodpovedajúci polynóm stupňa n-1 prechádzajúci týmito bodmi, bez ohľadu na spôsob konštrukcie a notačný systém. Ak sa používajú rôzne kotviace body, potom sa polynómy môžu samozrejme líšiť, ale rovnaké kotviace body by mali viesť k rovnakým polynómom (v rámci zaokrúhľovacích chýb).

Vyžadovaním toho, aby polynóm získal hodnoty pre každý argument , skonštruovali sme Lagrangeov polynóm. Ak požadujeme, aby polynóm vzal nielen hodnoty tabuľkovej funkcie v uzloch, ale aj prvá derivácia polynómu sa rovnala prvej derivácii tabuľkovej funkcie v uzloch, potom zostrojíme Hermitov polynóm.

Príklad... Daný stôl

n \u003d 2. Podľa
;

Podľa
;
.

... Nahradenie čísel

.

Toto je interpolačný polynóm 1. rádu - rovná čiara.

Pre t \u003d 2, L \u003d 4,5.

Príklad... Daný stôl

Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm a nájdite hodnotu L (2).

n \u003d 3. Podľa;

Podľa

.

Toto je interpolačný polynóm 2. rádu - parabola.

Pre t \u003d 2, L \u003d 7,33.

Tento obrázok ukazuje graf Lagrangeovho polynómu zostaveného v 5 uzloch - polynóm 4. rádu.

Tento obrázok ukazuje graf Lagrangeovho polynómu zostaveného v 8 uzloch - polynóm 7. rádu.

Z obrázkov je zrejmé, že hodnoty tabuľkovej funkcie medzi uzlami podľa Lagrangeovho polynómu sú neuspokojivé. Lagrangeov polynóm je navyše pre praktické použitie nevhodný. V praxi je zvyčajne známa požadovaná presnosť výsledku a je možné zvoliť rôzne použité uzly.