Celé číslo. Celé čísla a racionálne čísla. Reálne čísla. Celé kladné čísla. Celé záporné čísla

Aby ste mohli vykonávať akúkoľvek prácu efektívne, potrebujete nástroje na kopanie, potrebujete lopatu alebo bager; myslieť si, že potrebuješ slová. Čísla sú nástroje, ktoré umožňujú pracovať s veličinami.

Zdá sa, že všetci vieme, čo je číslo: 1, 2, 3... Ale povedzme si o číslach ako o nástrojoch.

Zoberme si tri predmety: jablko, balón, Zem (obr. 1). Čo majú spoločné? Tvar sú všetky gule.

Ryža. 1. Napríklad ilustrácia

Vezmite tri ďalšie položky (obr. 2). Čo majú spoločné? Farba - všetky sú modré.

Ryža. 2. Napríklad ilustrácia

Vezmime si teraz tri sady: tri autá, tri jablká, tri ceruzky (obr. 3). Čo majú spoločné? Číslo je tri.

Ryža. 3. Napríklad ilustrácia

Na každé auto môžeme dať jablko, do každého jablka zapichnúť ceruzku (obr. 4). Spoločnou vlastnosťou týchto množín je počet prvkov.

Ryža. 4. Porovnanie množín

Prirodzených čísel na riešenie úloh je však málo, preto sa zaviedli aj záporné, racionálne, iracionálne atď.. Matematika (najmä tá jej časť, ktorá sa študuje v škole) je akýmsi mechanizmom na spracovanie znakov.

Vezmime si napríklad dve kôpky tyčiniek, jednu so sedemnástimi kusmi a druhú s dvadsiatimi piatimi (obr. 5). Ako zistiť, koľko tyčiniek je v oboch hromadách?

Ryža. 5. Napríklad ilustrácia

Ak neexistuje žiadny mechanizmus, potom to nie je jasné: môžete dať palice iba na jednu hromadu a spočítať ich.

Ale ak je počet tyčiniek napísaný v nám známej desiatkovej sústave (a), potom môžeme použiť mechanizmy na sčítanie. Môžeme napríklad sčítať čísla v stĺpci (obr. 6): .

Ryža. 6. Stohovanie

Tiež nebudeme môcť sčítať čísla napísané takto: tristosedemdesiatštyri plus štyristoosemdesiatpäť. Ale ak zapíšete čísla v desiatkovej sústave, potom na sčítanie existuje algoritmus - sčítanie v stĺpci (obr. 7):.

Ryža. 7. Stohovanie

Ak existuje auto, potom stojí za to vybudovať hladkú cestu, spolu sú efektívne. Podobne: ak existuje lietadlo, potom je potrebné letisko. To znamená, že samotný mechanizmus a okolitá infraštruktúra sú prepojené - jednotlivo sú oveľa menej efektívne.

V tomto prípade existuje nástroj - čísla zapísané v pozičnom systéme a pre ne bola vynájdená infraštruktúra: algoritmy na vykonávanie rôznych akcií, napríklad pridávanie do stĺpca.

Čísla zapísané v desiatkovej pozičnej sústave nahradili iné (rímske a pod.) práve preto, že na prácu s nimi boli vynájdené efektívne a jednoduché algoritmy.

Pozrime sa bližšie na desiatkovú pozičnú sústavu. Základom sú dve hlavné myšlienky (vďaka ktorým dostal svoje meno).

1. Desatinné: počítame do skupín, a to do desiatok.

2. polohovosť: Príspevok číslice k číslu závisí od jej polohy. Napríklad, , : čísla sú rôzne, hoci pozostávajú z rovnakých číslic.

Tieto dva nápady pomohli vytvoriť systém, ktorý sa dá ľahko vykonávať a zapisovať čísla, pretože máme obmedzenú množinu znakov (v tomto prípade čísel) na zapísanie nekonečného počtu čísel.

Zdôraznite dôležitosť technológií na takomto príklade. Predpokladajme, že potrebujete presunúť ťažký náklad. Ak používate manuálnu prácu, všetko bude závisieť od toho, ako silný človek nesie záťaž: jeden sa vyrovná, druhý nie.

Vynález techniky (napríklad auto, ktoré unesie tento náklad) vyrovnáva možnosti ľudí: za volant si môže sadnúť krehké dievča alebo vzpierač, no obaja si s úlohou premiestniť náklad poradia. rovnako efektívne. To znamená, že technológiu môže naučiť ktokoľvek, nielen špecialista.

Sčítanie a násobenie v stĺpci je tiež technológia. Práca s číslami zapísanými v rímskej číselnej sústave je náročná úloha, zvládli ju len špeciálne vyškolení ľudia. Každý žiak štvrtého ročníka môže sčítať a násobiť čísla v desiatkovej sústave.

Ako sme už povedali, ľudia si vymysleli rôzne čísla a všetky sú potrebné. Ďalším (po prirodzenom) dôležitým vynálezom sú záporné čísla. S pomocou záporných čísel je počítanie jednoduchšie. Ako sa to stalo?

Ak odčítame menšie od väčšieho, potom nie sú potrebné záporné čísla: je jasné, že väčšie číslo obsahuje menšie. Ukázalo sa však, že stojí za to zaviesť záporné čísla ako samostatný objekt. Nedá sa to vidieť, dotknúť sa, ale je to užitočné.

Zvážte tento príklad: Výpočty môžete robiť v inom poradí: potom nie je problém, máme dostatok prirodzených čísel.

Niekedy je však potrebné vykonať akcie postupne. Ak nám dôjdu peniaze na účte, dostaneme pôžičku. Majme ruble a utrácali sme na rozhovory. Na účte nie je dostatok rubľov, je vhodné si to zapísať so znamienkom mínus, pretože ak ich vrátime, účet bude mať:. Táto myšlienka je základom vynálezu takého nástroja, ako sú záporné čísla.

V živote často pracujeme s pojmami, ktorých sa nemožno dotknúť: radosť, priateľstvo atď. To nám však nebráni v ich pochopení a analýze. Môžeme povedať, že sú to len vymyslené veci. V skutočnosti sú, ale pomáhajú ľuďom niečo robiť. Tiež auto vynašiel človek, ale pomáha nám pohybovať sa. Aj čísla vymýšľa človek, ale pomáhajú riešiť problémy.

Zoberme si taký predmet ako hodiny (obr. 8). Ak odtiaľ vytiahnete časť, nie je jasné, čo to je a prečo je to potrebné. Bez hodiniek táto časť neexistuje. Takže záporné číslo v matematike existuje.

Ryža. 8. Hodiny

Učitelia sa často snažia naznačiť, čo je záporné číslo. Uvádzajú príklad zápornej teploty (obr. 9).

Ryža. 9. Negatívna teplota

Ale toto je len meno, označenie a nie samotné číslo. Bolo možné zaviesť inú stupnicu, kde by rovnaká teplota bola napríklad kladná. Najmä záporné teploty na stupnici Celzia v Kelvinovej stupnici sú vyjadrené ako kladné čísla: .

To znamená, že v prírode neexistuje žiadne negatívne množstvo. Čísla však neslúžia len na vyjadrenie veličín. Pripomeňte si základné funkcie čísla.

Hovorili sme teda o prirodzených a celých číslach. Číslo je šikovná pomôcka, ktorá sa dá použiť na riešenie rôznych problémov. Samozrejme, pre tých, ktorí pracujú v matematike, čísla sú objekty. Pokiaľ ide o tých, ktorí vyrábajú kliešte, sú to tiež predmety, nie nástroje. Čísla budeme považovať za nástroj, ktorý nám umožňuje myslieť a pracovať s veličinami.

Informácie v tomto článku tvoria všeobecnú predstavu celé čísla. Najprv je uvedená definícia celých čísel a uvedené príklady. Ďalej sa zvažujú celé čísla na číselnej osi, z ktorých je jasné, ktoré čísla sa nazývajú kladné celé čísla a ktoré záporné celé čísla. Potom sa ukáže, ako sú zmeny v množstvách opísané pomocou celých čísel a záporné celé čísla sa považujú za dlh.

Navigácia na stránke.

Celé čísla - definícia a príklady

Definícia.

Celé čísla sú prirodzené čísla, číslo nula, ako aj čísla opačné k prirodzeným.

Definícia celých čísel hovorí, že ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3, …, číslo 0 a tiež ktorékoľvek z čísel −1, −2, −3, … je celé číslo. Teraz môžeme ľahko priniesť celočíselné príklady. Napríklad číslo 38 je celé číslo, číslo 70040 je tiež celé číslo, nula je celé číslo (pripomeňme, že nula NIE JE prirodzené číslo, nula je celé číslo), čísla −999 , −1 , −8 934 832 sú tiež príklady celých čísel.

Všetky celé čísla je vhodné reprezentovať ako postupnosť celých čísel, ktorá má nasledujúci tvar: 0, ±1, ±2, ±3, … Postupnosť celých čísel možno zapísať aj takto: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Z definície celých čísel vyplýva, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel. Preto je každé prirodzené číslo celé číslo, ale nie každé celé číslo je prirodzené číslo.

Celé čísla na súradnicovej čiare

Definícia.

Celé kladné čísla sú celé čísla väčšie ako nula.

Definícia.

Celé záporné čísla sú celé čísla menšie ako nula.

Celé kladné a záporné čísla možno určiť aj podľa ich polohy na súradnicovej čiare. Na vodorovnej súradnicovej čiare ležia body, ktorých súradnice sú kladné celé čísla, napravo od začiatku. Body so zápornými celočíselnými súradnicami sú zase umiestnené vľavo od bodu O.

Je jasné, že množina všetkých kladných celých čísel je množina prirodzených čísel. Na druhej strane, množina všetkých záporných celých čísel je množina všetkých čísel opačných k prirodzeným číslam.

Samostatne upozorňujeme na skutočnosť, že akékoľvek prirodzené číslo môžeme pokojne nazvať celým číslom a žiadne celé číslo NEMÁME nazvať prirodzeným číslom. Prirodzeným môžeme nazvať iba akékoľvek kladné celé číslo, keďže záporné celé čísla a nula nie sú prirodzené.

Celé číslo nezáporné a celé číslo nezáporné

Uveďme definície nezáporných celých čísel a nezáporných celých čísel.

Definícia.

Volajú sa všetky kladné celé čísla spolu s nulou celé nezáporné čísla.

Definícia.

Celé nekladné čísla sú všetky záporné celé čísla spolu s číslom 0 .

Inými slovami, nezáporné celé číslo je celé číslo, ktoré je väčšie alebo rovné nule, a nezáporné celé číslo je celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné nule.

Príkladmi nezáporných celých čísel sú čísla -511, -10 030, 0, -2 a ako príklady nezáporných celých čísel uveďme čísla 45, 506, 0, 900 321.

Najčastejšie sa kvôli stručnosti používajú výrazy „nekladné celé čísla“ a „nezáporné celé čísla“. Napríklad namiesto frázy „číslo a je celé číslo a a je väčšie ako nula alebo sa rovná nule“ môžete povedať „a je nezáporné celé číslo“.

Popis meniacich sa hodnôt pomocou celých čísel

Je čas porozprávať sa o tom, na čo slúžia celé čísla.

Hlavným účelom celých čísel je, že s ich pomocou je vhodné opísať zmenu počtu ľubovoľných položiek. Vyrovnajme sa s tým na príkladoch.

Predpokladajme, že na sklade je určité množstvo dielov. Ak sa na sklad privezie napríklad o 400 dielov viac, tak sa počet dielov na sklade zvýši a číslo 400 vyjadruje túto zmenu množstva v kladnom smere (v smere nárastu). Ak sa zo skladu odoberie napríklad 100 dielov, počet dielov na sklade sa zníži a číslo 100 bude vyjadrovať zmenu množstva v zápornom smere (v smere poklesu). Diely nebudú privezené do skladu a diely nebudú odvezené zo skladu, vtedy môžeme hovoriť o nemennosti počtu dielov (čiže môžeme hovoriť o nulovej zmene množstva).

V uvedených príkladoch možno zmenu v počte častí opísať pomocou celých čísel 400, -100 a 0. Kladné celé číslo 400 označuje pozitívnu zmenu množstva (zvýšenie). Záporné celé číslo −100 vyjadruje negatívnu zmenu množstva (pokles). Celé číslo 0 znamená, že množstvo sa nezmenilo.

Pohodlie používania celých čísel v porovnaní s používaním prirodzených čísel spočíva v tom, že nie je potrebné výslovne uvádzať, či sa množstvo zvyšuje alebo znižuje - celé číslo určuje zmenu kvantitatívne a znamienko celého čísla označuje smer zmeny.

Aj celé čísla môžu vyjadrovať nielen zmenu množstva, ale aj zmenu nejakej hodnoty. Poďme sa s tým vyrovnať na príklade zmeny teploty.

Zvýšenie teploty napríklad o 4 stupne je vyjadrené ako kladné celé číslo 4 . Pokles teploty napríklad o 12 stupňov možno opísať záporným celým číslom −12. A invariantnosť teploty je jej zmena určená celým číslom 0.

Samostatne je potrebné povedať o interpretácii záporných celých čísel ako výšky dlhu. Napríklad, ak máme 3 jablká, potom kladné celé číslo 3 predstavuje počet jabĺk, ktoré vlastníme. Na druhej strane, ak niekomu musíme dať 5 jabĺk a nemáme ich k dispozícii, tak túto situáciu možno opísať pomocou celého záporného čísla −5. V tomto prípade „vlastníme“ −5 jabĺk, znamienko mínus označuje dlh a číslo 5 dlh kvantifikuje.

Chápanie záporného celého čísla ako dlhu umožňuje napríklad ospravedlniť pravidlo pre sčítanie záporných celých čísel. Vezmime si príklad. Ak niekto dlhuje 2 jablká jednej osobe a jedno jablko druhej, potom je celkový dlh 2+1=3 jablká, čiže −2+(−1)=−3 .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.

V tomto článku budeme definovať množinu celých čísel, zvážime, ktoré celé čísla sa nazývajú kladné a ktoré záporné. Ukážeme si tiež, ako sa celé čísla používajú na opis zmeny niektorých veličín. Začnime s definíciou a príkladmi celých čísel.

Celé čísla. Definícia, príklady

Najprv si pripomeňme prirodzené čísla ℕ. Už samotný názov napovedá, že ide o čísla, ktoré sa prirodzene používajú na počítanie už od nepamäti. Aby sme pokryli pojem celých čísel, musíme rozšíriť definíciu prirodzených čísel.

Definícia 1. Celé čísla

Celé čísla sú prirodzené čísla, ich protiklady a číslo nula.

Množina celých čísel je označená písmenom ℤ .

Množina prirodzených čísel ℕ je podmnožinou celých čísel ℤ. Každé prirodzené číslo je celé číslo, ale nie každé celé číslo je prirodzené číslo.

Z definície vyplýva, že ktorékoľvek z čísel 1 , 2 , 3 je celé číslo. . , číslo 0 , ako aj čísla - 1 , - 2 , - 3 , . .

Podľa toho uvádzame príklady. Čísla 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 sú celé čísla.

Nechajte čiaru súradníc nakresliť vodorovne a nasmerovať ju doprava. Poďme sa na to pozrieť, aby sme si vizualizovali umiestnenie celých čísel na priamke.

Referenčný bod na súradnicovej čiare zodpovedá číslu 0 a body ležiace na oboch stranách nuly zodpovedajú kladným a záporným celým číslam. Každý bod zodpovedá jednému celému číslu.

Akýkoľvek bod na priamke, ktorého súradnica je celé číslo, sa dá dosiahnuť vyčlenením určitého počtu segmentov jednotiek z počiatku.

Kladné a záporné celé čísla

Zo všetkých celých čísel je logické rozlišovať medzi kladnými a zápornými celými číslami. Uveďme ich definície.

Definícia 2. Kladné celé čísla

Kladné celé čísla sú celé čísla so znamienkom plus.

Napríklad číslo 7 je celé číslo so znamienkom plus, teda kladné celé číslo. Na súradnicovej čiare sa toto číslo nachádza napravo od referenčného bodu, pre ktorý sa používa číslo 0. Ďalšie príklady kladných celých čísel: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definícia 3. Záporné celé čísla

Záporné celé čísla sú celé čísla so znamienkom mínus.

Príklady záporných celých čísel: - 528 , - 2568 , - 1 .

Číslo 0 oddeľuje kladné a záporné celé čísla a samo o sebe nie je ani kladné, ani záporné.

Každé číslo, ktoré je opakom kladného celého čísla, je podľa definície záporné celé číslo. Platí to aj naopak. Prevrátená hodnota akéhokoľvek záporného celého čísla je kladné celé číslo.

Je možné uviesť iné formulácie definícií záporných a kladných celých čísel pomocou ich porovnania s nulou.

Definícia 4. Kladné celé čísla

Kladné celé čísla sú celé čísla väčšie ako nula.

Definícia 5. Záporné celé čísla

Záporné celé čísla sú celé čísla, ktoré sú menšie ako nula.

V súlade s tým kladné čísla ležia napravo od začiatku na súradnicovej čiare a záporné celé čísla ležia naľavo od nuly.

Predtým sme povedali, že prirodzené čísla sú podmnožinou celých čísel. Ujasnime si tento bod. Množina prirodzených čísel sú kladné celé čísla. Na druhej strane, množina záporných celých čísel je množina čísel opačných k prirodzeným.

Dôležité!

Akékoľvek prirodzené číslo možno nazvať celým číslom, ale akékoľvek celé číslo nemožno nazvať prirodzeným číslom. Pri odpovedi na otázku, či sú záporné čísla prirodzené, treba smelo povedať – nie, nie sú.

Nekladné a nezáporné celé čísla

Dajme si definície.

Definícia 6. Nezáporné celé čísla

Nezáporné celé čísla sú kladné celé čísla a číslo nula.

Definícia 7. Nekladné celé čísla

Nekladné celé čísla sú záporné celé čísla a číslo nula.

Ako vidíte, číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Príklady nezáporných celých čísel: 52 , 128 , 0 .

Príklady nekladných celých čísel: - 52 , - 128 , 0 .

Nezáporné číslo je číslo väčšie alebo rovné nule. Nekladné celé číslo je teda číslo menšie alebo rovné nule.

Pre stručnosť sa používajú výrazy „nekladné číslo“ a „nezáporné číslo“. Napríklad namiesto toho, aby ste povedali, že číslo a je celé číslo väčšie alebo rovné nule, môžete povedať: a je nezáporné celé číslo.

Používanie celých čísel pri popisovaní zmien hodnôt

Na čo sa používajú celé čísla? Po prvé, s ich pomocou je vhodné opísať a určiť zmenu počtu akýchkoľvek objektov. Vezmime si príklad.

Nech je v sklade uložený určitý počet kľukových hriadeľov. Ak sa do skladu privezie ďalších 500 kľukových hriadeľov, ich počet sa zvýši. Číslo 500 práve vyjadruje zmenu (zvýšenie) počtu dielov. Ak sa potom zo skladu odoberie 200 dielov, potom toto číslo bude charakterizovať aj zmenu počtu kľukových hriadeľov. Tentoraz v smere redukcie.

Ak sa zo skladu nič neodoberie a nič neprinesie, potom číslo 0 bude označovať nemennosť počtu dielov.

Zrejmé pohodlie používania celých čísel na rozdiel od prirodzených čísel spočíva v tom, že ich znamienko jasne označuje smer zmeny veľkosti (zvýšenie alebo zníženie).

Pokles teploty o 30 stupňov možno charakterizovať záporným číslom - 30 a zvýšenie o 2 stupne - kladným celým číslom 2.

Tu je ďalší príklad použitia celých čísel. Tentokrát si predstavme, že máme niekomu darovať 5 mincí. Potom môžeme povedať, že máme - 5 mincí. Číslo 5 popisuje výšku dlhu a znamienko mínus znamená, že musíme vrátiť mince.

Ak dlhujeme 2 mince jednej osobe a 3 inej osobe, celkový dlh (5 mincí) možno vypočítať pomocou pravidla sčítania záporných čísel:

2 + (- 3) = - 5

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

1) Okamžite delím, pretože obe čísla sú 100% deliteľné:

2) Delím zvyšnými veľkými číslami (číslami), keďže sú delené bezo zvyšku (zároveň nebudem rozkladať - je to už spoločný deliteľ):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Odídem sám a začnem zvažovať čísla a. Obe čísla sú presne deliteľné (končia párnymi číslicami (v tomto prípade uvádzame ako, ale možno ich deliť)):

4) Pracujeme s číslami a. Majú spoločných deliteľov? Je to také jednoduché ako v predchádzajúcich krokoch a nedá sa povedať, takže ich rozložíme na jednoduché faktory:

5) Ako vidíme, mali sme pravdu: a nemáme spoločných deliteľov, a teraz sa musíme množiť.
GCD

Úloha číslo 2. Nájdite GCD čísel 345 a 324

Nemôžem tu rýchlo nájsť aspoň jedného spoločného deliteľa, takže sa rozložím na hlavné faktory (čo najmenej):

Presne tak, GCD, a pôvodne som nekontroloval kritérium deliteľnosti a možno by som nemusel robiť toľko akcií.

Ale skontroloval si, však?

Ako vidíte, je to celkom jednoduché.

Najmenší spoločný násobok (LCM) – šetrí čas, pomáha riešiť problémy mimo rámčeka

Povedzme, že máte dve čísla – a. Aké je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné bez stopy(t.j. úplne)? Ťažko si to predstaviť? Tu je vizuálna stopa pre vás:

Pamätáte si, čo to písmeno znamená? Presne tak, len celé čísla. Aké je teda najmenšie číslo, ktoré vyhovuje x? :

V tomto prípade.

Z tohto jednoduchého príkladu vyplýva niekoľko pravidiel.

Pravidlá pre rýchle nájdenie NOC

Pravidlo 1. Ak je jedno z dvoch prirodzených čísel deliteľné iným číslom, potom väčšie z týchto dvoch čísel je ich najmenším spoločným násobkom.

Nájdite nasledujúce čísla:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Samozrejme, že ste sa s touto úlohou ľahko vyrovnali a dostali ste odpovede - a.

Všimnite si, že v pravidle hovoríme o DVOCH číslach, ak je čísel viac, tak pravidlo nefunguje.

Napríklad LCM (7;14;21) sa nerovná 21, pretože ho nemožno deliť bez zvyšku.

Pravidlo 2. Ak sú dve (alebo viac ako dve) čísla rovnaké, potom najmenší spoločný násobok sa rovná ich súčinu.

Nájsť NOC pre nasledujúce čísla:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Počítal si? Tu sú odpovede - , ; .

Ako viete, nie je vždy také ľahké vziať a vyzdvihnúť to isté x, takže pre trochu zložitejšie čísla existuje nasledujúci algoritmus:

Zacvičíme si?

Nájdite najmenší spoločný násobok - LCM (345; 234)

Rozoberme každé číslo:

Prečo som len napísal?

Pamätajte na znaky deliteľnosti: deliteľné (posledná číslica je párna) a súčet číslic je deliteľný číslom.

Podľa toho môžeme okamžite deliť, písať to ako.

Teraz napíšeme najdlhšiu expanziu v riadku - druhú:

Pridajme k tomu čísla z prvého rozšírenia, ktoré nie sú v tom, čo sme napísali:

Poznámka: vypísali sme všetko okrem, keďže to už máme.

Teraz musíme vynásobiť všetky tieto čísla!

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) sami

Aké odpovede ste dostali?

Tu je to, čo sa mi stalo:

Ako dlho ti trvalo nájsť NOC? Môj čas je 2 minúty, naozaj viem jeden trik, ktorú navrhujem otvoriť hneď teraz!

Ak ste veľmi pozorní, tak ste si pravdepodobne všimli, že pre dané čísla sme už pátrali GCD a z tohto príkladu by ste mohli vziať faktorizáciu týchto čísel, čím by ste si zjednodušili úlohu, ale to zďaleka nie je všetko.

Pozrite sa na obrázok, možno vás napadnú iné myšlienky:

dobre? Poradím vám: skúste sa množiť NOC A GCD medzi sebou a napíšte si všetky faktory, ktoré budú pri násobení. Zvládli ste to? Mali by ste skončiť s reťazou takto:

Pozrite sa na to bližšie: porovnajte faktory s tým, ako a ako sa rozkladajú.

Aký záver z toho môžete vyvodiť? Správny! Ak hodnoty vynásobíme NOC A GCD medzi sebou, potom dostaneme súčin týchto čísel.

Podľa toho mať čísla a význam GCD(alebo NOC), môžeme nájsť NOC(alebo GCD) nasledujúcim spôsobom:

1. Nájdite súčin čísel:

2. Výsledný produkt vydelíme našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je všetko.

Napíšme pravidlo vo všeobecnej forme:

Pokúsiť sa nájsť GCD ak je známe, že:

Zvládli ste to? .

Záporné čísla – „falošné čísla“ a ich rozpoznanie ľudstvom.

Ako ste už pochopili, ide o čísla opačné ako prirodzené čísla, to znamená:

Zdalo by sa, že sú také výnimočné?

Faktom však je, že záporné čísla si „vybojovali“ svoje právoplatné miesto v matematike až do 19. storočia (do toho momentu sa viedli veľké spory o tom, či existujú alebo nie).

Samotné záporné číslo vzniklo kvôli takej operácii s prirodzenými číslami, ako je "odčítanie".

Skutočne, odpočítajte od - to je záporné číslo. Preto sa často nazýva množina záporných čísel „rozšírením množiny prirodzených čísel“.

Záporné čísla ľudia dlho nepoznali.

Takže staroveký Egypt, Babylon a staroveké Grécko - svetlá svojej doby, neuznávali záporné čísla av prípade získania záporných koreňov v rovnici (napríklad ako my), boli korene odmietnuté ako nemožné.

Po prvýkrát dostali záporné čísla právo na existenciu v Číne a potom v 7. storočí v Indii.

Čo si myslíte o tomto priznaní?

Je to tak, záporné čísla začali označovať dlhy (inak - manko).

Verilo sa, že záporné čísla sú dočasnou hodnotou, ktorá sa v dôsledku toho zmení na kladnú (to znamená, že peniaze sa stále vrátia veriteľovi). Indický matematik Brahmagupta však už vtedy považoval záporné čísla za rovnocenné s kladnými.

V Európe sa užitočnosť záporných čísel, ako aj to, že môžu označovať dlh, objavila oveľa neskôr, teda o tisícročie.

Prvá zmienka sa objavila v roku 1202 v „Knihe počítadla“ od Leonarda z Pisy (hneď hovorím, že autor knihy nemá nič spoločné so šikmou vežou v Pise, ale Fibonacciho čísla sú jeho dielom prezývka Leonarda z Pisy je Fibonacci)).

Takže v XVII storočí tomu Pascal veril.

Ako to podľa vás zdôvodnil?

To je pravda, "nič nemôže byť menej ako NIČ".

Ozvenou tých čias zostáva skutočnosť, že záporné číslo a operácia odčítania sú označené rovnakým symbolom - mínus "-". A pravda: . Je číslo " " kladné, od ktorého sa odčítava, alebo záporné číslo, ku ktorému sa pridáva? ... Niečo zo série, "čo je skôr: sliepka alebo vajce?" Tu je taký druh tejto matematickej filozofie.

Záporné čísla im zabezpečili právo na existenciu s príchodom analytickej geometrie, inými slovami, keď matematici zaviedli niečo ako skutočnú os.

Od tohto momentu prišla rovnosť. Stále však bolo viac otázok ako odpovedí, napr.

pomer

Tento pomer sa nazýva Arnov paradox. Premýšľajte o tom, čo je na tom pochybné?

Poďme sa spolu rozprávať " " viac ako " ", však? Podľa logiky by teda ľavá strana podielu mala byť väčšia ako pravá strana, ale sú rovnaké... Tu je paradox.

V dôsledku toho sa matematici zhodli na tom, že Karl Gauss (áno, áno, to je ten, kto zvažoval súčet (alebo) čísel) v roku 1831 s tým skoncoval.

Povedal, že záporné čísla majú rovnaké práva ako kladné a to, že sa nevzťahujú na všetko, nič neznamená, keďže na veľa vecí neplatia ani zlomky (nestáva sa, že by kopáč vykopal jamu, nemôžete si kúpiť lístok do kina a pod.).

Matematici sa upokojili až v 19. storočí, keď teóriu záporných čísel vytvorili William Hamilton a Hermann Grassmann.

Takto sú kontroverzné, tieto záporné čísla.

Vznik „prázdnoty“ alebo biografia nuly.

V matematike špeciálne číslo.

Na prvý pohľad to nie je nič: sčítať, odčítať - nič sa nezmení, ale stačí to pripísať vpravo k "", a výsledné číslo bude mnohonásobne väčšie ako pôvodné.

Vynásobením nulou všetko zmeníme na nič, ale nemôžeme deliť „ničím“. Jedným slovom magické číslo)

História nuly je dlhá a komplikovaná.

Stopa nuly sa nachádza v spisoch Číňanov v roku 2000 nášho letopočtu. a ešte skôr s Maymi. Prvé použitie symbolu nuly, ako je to dnes, bolo zaznamenané medzi gréckymi astronómami.

Existuje mnoho verzií, prečo bolo zvolené takéto označenie „nič“.

Niektorí historici sa prikláňajú k názoru, že ide o omikrón, t.j. Prvé písmeno gréckeho slova pre nič je ouden. Podľa inej verzie slovo „obol“ (minca takmer žiadnej hodnoty) dalo život symbolu nuly.

Nula (alebo nula) ako matematický symbol sa prvýkrát objavuje u Indov(všimnite si, že sa tam začali „vyvíjať“ záporné čísla).

Prvý spoľahlivý dôkaz o písaní nuly pochádza z roku 876 a „“ je súčasťou čísla.

Aj nula prišla do Európy oneskorene – až v roku 1600 a rovnako ako záporné čísla čelila odporu (čo narobíte, sú to Európania).

"Nula bola často nenávidená, dlho sa jej bála a dokonca bola zakázaná"— píše americký matematik Charles Seif.

Takže turecký sultán Abdul-Hamid II na konci 19. storočia. nariadil svojim cenzorom, aby vymazali vzorec vody H2O zo všetkých učebníc chémie, pričom písmeno „O“ považovali za nulu a nechceli, aby jeho iniciály boli očierňované blízkosťou opovrhnutiahodnej nuly.

Na internete nájdete vetu: „Nula je najmocnejšia sila vo vesmíre, dokáže čokoľvek! Nula vytvára v matematike poriadok a vnáša do nej aj chaos. Úplne správna pointa :)

Zhrnutie sekcie a základné vzorce

Sada celých čísel pozostáva z 3 častí:

• prirodzené čísla (podrobnejšie ich zvážime nižšie);
• čísla opačné k prirodzeným;
• nula - " "

Označuje sa množina celých čísel písmeno Z.

1. Prirodzené čísla

Prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame na počítanie predmetov.

Množina prirodzených čísel je označená písmeno N.

Pri operáciách s celými číslami budete potrebovať schopnosť nájsť GCD a LCM.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD)

Na nájdenie NOD potrebujete:

1. Rozložte čísla na prvočiniteľa (na čísla, ktoré sa nedajú rozdeliť ničím iným ako samým sebou alebo napr. atď.).
2. Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou oboch čísel.
3. Vynásobte ich.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Na nájdenie NOC potrebujete:

1. Faktorizujte čísla na prvočísla (veľmi dobre to už viete).
2. Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel (je lepšie vziať najdlhší reťazec).
3. Pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel.
4. Nájdite súčin výsledných faktorov.

2. Záporné čísla

Toto sú čísla, ktoré sú opačné ako prirodzené čísla, to znamená:

Teraz chcem od teba počuť...

Dúfam, že ste ocenili super užitočné „triky“ tejto časti a pochopili, ako vám pomôžu pri skúške.

A čo je dôležitejšie, v živote. Nehovorím o tom, ale verte, že toto je. Schopnosť počítať rýchlo a bez chýb zachraňuje v mnohých životných situáciách.

Teraz si na rade ty!

Napíšte, budete pri výpočtoch používať metódy zoskupovania, kritériá deliteľnosti, GCD a LCM?

Možno ste ich už použili? kde a ako?

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov, ako sa vám článok páči.

A veľa šťastia pri skúškach!

číslo- najdôležitejší matematický pojem, ktorý sa v priebehu storočí menil.

Prvé predstavy o čísle vznikli pri počítaní ľudí, zvierat, ovocia, rôznych produktov atď. Výsledkom sú prirodzené čísla: 1, 2, 3, 4, ...

Historicky prvým rozšírením pojmu číslo je pridanie zlomkových čísel k prirodzenému číslu.

Strela nazývaná časť (podiel) jednotky alebo niekoľko jej rovnakých častí.

Určené: , kde m,n- celé čísla;

Zlomky s menovateľom 10 n, Kde n je celé číslo, nazývajú sa desiatkový: .

Medzi desatinnými zlomkami zaujíma osobitné miesto periodické zlomky: - čistý periodický zlomok, - zmiešaný periodický zlomok.

Ďalšie rozširovanie pojmu číslo je spôsobené už rozvojom samotnej matematiky (algebry). Descartes v 17. storočí predstaví koncept záporné číslo.

Volajú sa celé čísla (kladné a záporné), zlomkové (kladné a záporné) a nula racionálne čísla. Akékoľvek racionálne číslo možno zapísať ako konečný a periodický zlomok.

Na štúdium neustále sa meniacich premenných sa ukázalo, že je potrebné rozšíriť pojem čísla - zavedenie reálnych (reálnych) čísel - pridaním iracionálnych čísel k racionálnym číslam: iracionálne čísla sú nekonečné desatinné neperiodické zlomky.

Iracionálne čísla sa objavili pri meraní nesúmerateľných segmentov (strana a uhlopriečka štvorca), v algebre - pri extrakcii koreňov je príkladom transcendentálneho, iracionálneho čísla π, e .

čísla prirodzené(1, 2, 3,...), celý(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionálny(reprezentovaný ako zlomok) a iracionálny(nie je možné zobraziť ako zlomok ) tvoria súpravu skutočný (skutočný)čísla.

Samostatne v matematike sa rozlišujú komplexné čísla.

Komplexné čísla vznikajú v súvislosti s problémom riešenia štvorcov pre prípad D< 0 (здесь D je diskriminant kvadratickej rovnice). Tieto čísla dlho nenašli fyzické využitie, a preto sa im hovorilo „imaginárne“ čísla. Teraz sa však veľmi široko používajú v rôznych oblastiach fyziky a technológie: elektrotechnika, hydro- a aerodynamika, teória pružnosti atď.

Komplexné čísla sa píšu ako: z= a+ bi. Tu a A b – reálne čísla, A i – pomyselná jednotka.e. i 2 = -1. číslo a volal úsečka, a b-ordinát komplexné číslo a+ bi. Dve komplexné čísla a+ bi A a-bi volal konjugovať komplexné čísla.

Vlastnosti:

1. Reálne číslo A možno zapísať aj ako komplexné číslo: a+ 0i alebo a - 0i. Napríklad 5 + 0 i a 5-0 i znamená to isté číslo 5.

2. Komplexné číslo 0 + bi volal čisto imaginárne číslo. Nahrávanie bi znamená to isté ako 0 + bi.

3. Dve komplexné čísla a+ bi A c+ di sa považujú za rovnaké, ak a= c A b= d. V opačnom prípade sa komplexné čísla nerovnajú.

Akcie:

Doplnenie. Súčet komplexných čísel a+ bi A c+ di sa nazýva komplexné číslo ( a+ c) + (b+ d)i. teda pri sčítaní komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty pridávajú oddelene.

Odčítanie. Rozdiel medzi dvoma komplexnými číslami a+ bi(znížené) a c+ di(odčítané) sa nazýva komplexné číslo ( a-c) + (b-d)i. teda pri odčítaní dvoch komplexných čísel sa ich úsečky a ordináty odčítajú oddelene.

Násobenie. Súčin komplexných čísel a+ bi A c+ di sa nazýva komplexné číslo.

(ac-bd) + (inzerát+ bc)i. Táto definícia vychádza z dvoch požiadaviek:

1) čísla a+ bi A c+ di musí sa násobiť ako algebraické binomy,

2) číslo i má hlavnú vlastnosť: i 2 = –1.

PRÍKLAD ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . teda prácadvoch konjugovaných komplexných čísel sa rovná kladnému reálnemu číslu.

divízie. Rozdeľte komplexné číslo a+ bi(deliteľné) na iného c+ di (delič) - znamená nájsť tretie číslo e+ fi(chat), ktorý po vynásobení deliteľom c+ di výsledkom čoho je dividenda a+ bi. Ak deliteľ nie je nula, delenie je vždy možné.

PRÍKLAD Nájsť (8+ i) : (2 – 3i) .

Riešenie. Prepíšme tento pomer ako zlomok:

Vynásobte jeho čitateľa a menovateľa 2 + 3 i a vykonaním všetkých transformácií dostaneme:

Úloha 1: Sčítajte, odčítajte, násobte a delte z 1 do z 2

Extrahovanie druhej odmocniny: Vyriešte rovnicu X 2 = -a. Na vyriešenie tejto rovnice sme nútení používať čísla nového typu - imaginárne čísla . teda imaginárny číslo sa volá ktorého druhá mocnina je záporné číslo. Podľa tejto definície imaginárnych čísel môžeme definovať a imaginárny jednotka:

Potom pre rovnicu X 2 = - 25 dostaneme dve imaginárny koreň:

Úloha 2: Vyriešte rovnicu:

1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa A znamená číslo -3, bodka B je číslo 2 a O-nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na to zvolíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné číslo a+ bi bude reprezentovaný bodkou P s osou xA a ordinovaťb. Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina .

modul komplexné číslo sa nazýva dĺžka vektora OP, zobrazujúce komplexné číslo na súradnici ( obsiahly) lietadlo. Modul komplexného čísla a+ bi označené | a+ bi| alebo) písmeno r a rovná sa:

Konjugované komplexné čísla majú rovnaký modul.

Pravidlá pre kreslenie výkresu sú takmer rovnaké ako pre výkres v karteziánskom súradnicovom systéme Pozdĺž osí je potrebné nastaviť rozmer, pozn.

e
jednotka pozdĺž reálnej osi; Rez

imaginárna jednotka pozdĺž imaginárnej osi. im z

Úloha 3. Zostrojte nasledujúce komplexné čísla v komplexnej rovine: , , , , , , ,

1. Čísla sú presné a približné.Čísla, s ktorými sa v praxi stretávame, sú dvojakého druhu. Niektoré uvádzajú skutočnú hodnotu množstva, iné len približné. Prvý sa nazýva presný, druhý - približný. Najčastejšie je vhodné namiesto presného čísla použiť približné číslo, najmä preto, že v mnohých prípadoch sa presné číslo vôbec nedá nájsť.

Ak teda povedia, že v triede je 29 žiakov, tak číslo 29 je presné. Ak hovoria, že vzdialenosť z Moskvy do Kyjeva je 960 km, potom je tu číslo 960 približné, pretože na jednej strane naše meracie prístroje nie sú absolútne presné, na druhej strane samotné mestá majú určitý rozsah.

Výsledkom operácií s približnými číslami je tiež približné číslo. Vykonaním niektorých operácií s presnými číslami (delenie, extrahovanie odmocniny) môžete získať aj približné čísla.

Teória približných výpočtov umožňuje:

1) poznať stupeň presnosti údajov, posúdiť stupeň presnosti výsledkov;

2) získavať údaje s primeraným stupňom presnosti, dostatočným na zabezpečenie požadovanej presnosti výsledku;

3) racionalizovať proces výpočtu a oslobodiť ho od výpočtov, ktoré neovplyvnia presnosť výsledku.

2. Zaokrúhľovanie. Jedným zo zdrojov približných čísel je zaokrúhľovanie. Približné aj presné čísla zaokrúhlite.

Zaokrúhlenie daného čísla na niektorú z jeho číslic je jeho nahradením novým číslom, ktoré sa z daného čísla získa vyradením všetkých jeho číslic zapísaných napravo od číslice tejto číslice alebo ich nahradením nulami. Tieto nuly sú zvyčajne podčiarknuté alebo písané menšie. Aby sa zabezpečila čo najväčšia blízkosť zaokrúhleného čísla k zaokrúhlenému, mali by sa použiť nasledujúce pravidlá: ak chcete zaokrúhliť číslo na jednu z určitej číslice, musíte zahodiť všetky číslice za číslicou tejto číslice a nahradiť ich s nulami v celom čísle. Toto zohľadňuje nasledovné:

1) ak je prvá (ľavá) z vyradených číslic menšia ako 5, posledná zostávajúca číslica sa nezmení (zaokrúhli sa nadol);

2) ak je prvá vyradená číslica väčšia ako 5 alebo rovná 5, posledná zostávajúca číslica sa zvýši o jednu (zaokrúhlenie nahor).

Ukážme si to na príkladoch. Zaokrúhliť nahor:

a) až na desatiny 12,34;

b) do stotín 3,2465; 1038,785;

c) do tisícin z 3,4335.

d) do 12 375 tis. 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolútne a relatívne chyby. Rozdiel medzi presným číslom a jeho približnou hodnotou sa nazýva absolútna chyba približného čísla. Ak sa napríklad presné číslo 1,214 zaokrúhli na desatiny, dostaneme približné číslo 1,2. V tomto prípade je absolútna chyba približného čísla 1,2 1,214 - 1,2, t.j. 0,014.

Ale vo väčšine prípadov je presná hodnota uvažovaného množstva neznáma, ale iba približná. Potom nie je známa ani absolútna chyba. V týchto prípadoch uveďte limit, ktorý neprekračuje. Toto číslo sa nazýva hraničná absolútna chyba. Hovorí sa, že presná hodnota čísla sa rovná jeho približnej hodnote s chybou menšou ako je hraničná chyba. Napríklad číslo 23,71 je približná hodnota čísla 23,7125 s presnosťou 0,01, keďže absolútna chyba aproximácie je 0,0025 a menšia ako 0,01. Tu sa hraničná absolútna chyba rovná 0,01 *.

Hraničná absolútna chyba približného čísla A označené symbolom Δ a. Nahrávanie

X≈a(±Δ a)

treba chápať takto: presná hodnota množstva X je medzi tým A– Δ a A A+ Δ A, ktoré sa nazývajú dolná a horná hranica. X a označujú NG X VG X.

Napríklad ak X≈ 2,3 (±0,1), potom 2,2<X< 2,4.

Naopak, ak 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absolútna alebo hraničná absolútna chyba necharakterizuje kvalitu merania. Rovnakú absolútnu chybu možno považovať za významnú a nevýznamnú v závislosti od čísla, ktoré vyjadruje nameranú hodnotu. Napríklad, ak meriame vzdialenosť medzi dvoma mestami s presnosťou na jeden kilometer, potom takáto presnosť na túto zmenu úplne postačuje, pričom zároveň pri meraní vzdialenosti medzi dvoma domami na tej istej ulici bude takáto presnosť neprijateľné. Preto presnosť približnej hodnoty veličiny závisí nielen od veľkosti absolútnej chyby, ale aj od hodnoty meranej veličiny. Preto je mierou presnosti relatívna chyba.

Relatívna chyba je pomer absolútnej chyby k hodnote približného čísla. Pomer hraničnej absolútnej chyby k približnému číslu sa nazýva hraničná relatívna chyba; označ to takto: Relatívne a hraničné relatívne chyby sa zvyčajne vyjadrujú v percentách. Napríklad, ak merania ukazujú, že vzdialenosť X medzi dvoma bodmi je viac ako 12,3 km, ale menej ako 12,7 km, potom sa aritmetický priemer týchto dvoch čísel berie ako približná hodnota, t.j. ich polovičný súčet, potom sa hraničná absolútna chyba rovná polovičnému rozdielu týchto čísel. V tomto prípade X≈ 12,5 (±0,2). Tu je hraničná absolútna chyba 0,2 km a hraničná relatívna