Príklady riešení ľubovoľných trojných integrálov.
Fyzikálne aplikácie trojného integrálu

V 2. časti hodiny vypracujeme techniku ​​riešenia ľubovoľných trojných integrálov , ktorej integrand funkcia troch premenných vo všeobecnom prípade sa líši od konštanty a spojitej v oblasti; a tiež sa zoznámiť s fyzikálnymi aplikáciami trojného integrálu

Novým návštevníkom odporúčam začať 1. časťou, kde sme prebrali základné pojmy a problém nájsť objem telesa pomocou trojného integrálu. Navrhujem vám ostatným si to trochu zopakovať. derivácie funkcií troch premenných, pretože v príkladoch tohto článku budeme používať inverznú operáciu - čiastočná integrácia funkcie

Okrem toho je tu ešte jeden dôležitý bod: ak sa necítite dobre, potom je lepšie odložiť čítanie tejto stránky, ak je to možné. A nejde len o to, že náročnosť výpočtov sa teraz zvýši – väčšina trojných integrálov nemá spoľahlivé metódy manuálneho overovania, preto je krajne nežiaduce začať ich riešiť v unavenom stave. Pre nízky tón sa odporúča vyriešiť niečo jednoduchšie alebo len relaxovať (som trpezlivý, počkám =)), aby som inokedy s čerstvou hlavou mohol pokračovať v lámaní trojných integrálov:

Príklad 13

Vypočítajte trojný integrál

V praxi je telo tiež označené písmenom , ale to nie je veľmi dobrá možnosť, pretože „ve“ je „vyhradené“ na označenie objemu.

Hneď vám poviem, čo NEROBIŤ. Nie je potrebné používať vlastnosti linearity a reprezentujú integrál vo forme . Hoci ak naozaj chcete, môžete. Na záver je tu malé plus – nahrávka bude síce dlhá, no menej neprehľadná. Tento prístup však stále nie je štandardný.

V algoritme riešenia bude málo noviniek. Najprv musíte pochopiť oblasť integrácie. Projekcia tela do roviny je bolestne známy trojuholník:

Telo je obmedzené zhora lietadlo, ktorý prechádza počiatkom. Mimochodom, najprv musíte určite skontrolujte(mentálne alebo v koncepte), či táto rovina „odreže“ časť trojuholníka. Na to nájdeme jej priesečník so súradnicovou rovinou, t.j. Riešime najjednoduchší systém: - Nie, tento rovno (nie na výkrese)„prechádza“ a projekcia tela do roviny skutočne predstavuje trojuholník.

Priestorové kreslenie tu tiež nie je zložité:

V skutočnosti to bolo možné obmedziť len na toto, keďže projekcia je veľmi jednoduchá. ...No, alebo len projekčná kresba, keďže telo je tiež jednoduché =) Nekresliť však vôbec nič, pripomínam, je zlá voľba.

No, samozrejme, nemôžem si pomôcť, ale potešiť vás záverečnou úlohou:

Príklad 19

Nájdite ťažisko homogénneho telesa ohraničeného plochami, . Nakreslite výkresy tohto telesa a jeho projekciu do roviny.

Riešenie: požadované teleso je obmedzené súradnicovými rovinami a rovinou, čo je vhodné pre následnú konštrukciu prítomný v segmentoch: . Vyberme si „a“ ako jednotku mierky a urobme trojrozmerný výkres:

Výkres už má hotové ťažisko, zatiaľ ho však nepoznáme.

Projekcia telesa do roviny je zrejmá, ale napriek tomu vám dovoľte pripomenúť, ako ju nájsť analyticky - koniec koncov, takéto jednoduché prípady sa nestávajú vždy. Ak chcete nájsť čiaru, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, musíte vyriešiť systém:

Dosadíme hodnotu do 1. rovnice: a dostaneme rovnicu „plochý“ rovný:

Súradnice ťažiska telesa vypočítame pomocou vzorcov
, kde je objem telesa.

Nech je dané hmotné teleso, ktoré je priestorovou oblasťou P vyplnenou hmotou. Je potrebné nájsť hmotnosť m tohto telesa za predpokladu, že v každom bode P € P je známa hustota rozloženia hmoty. Rozdeľme plochu P na neprekrývajúce sa kubické (t. j. objemové) časti s objemami, resp. V každej z čiastkových oblastí ft* zvolíme ľubovoľný bod P*. Predpokladajme približne, že v rámci parciálnej oblasti ft* je hustota konštantná a rovná sa /*(P*). Potom hmotnosť Atk tejto časti telesa bude vyjadrená približnou rovnosťou Atpk a hmotnosť celého telesa bude približne rovná Trojitý integrál Vlastnosti trojných integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojného integrálu v cylindrické a sférické súradnice Nech d je najväčší z priemerov čiastkových oblastí Ak pri d -* 0 má súčet (1) konečnú hranicu, ktorá nezávisí ani od spôsobu rozdelenia domény ft na čiastkové subdomény, ani od výber bodov P* ∈ ft*, potom sa táto limita berie ako hmotnosť daného telesa m. Nech je obmedzená funkcia definovaná v uzavretej kubickej oblasti ft ft na n nepretínajúcich sa kockových častí a ich objemy sú označené resp. . V každej čiastkovej podoblasti P* ľubovoľne vyberieme bod Pk(xk, yk, zk) a zostavíme integrálny súčet, nech d je najväčší z priemerov čiastkových oblastí Definícia. Ak pre d 0 majú integrálne súčty a limitu, ktorá nezávisí ani od spôsobu rozdelenia domény A na čiastkové subdomény Π*, ani od výberu bodov Pk ∈ Π*, potom sa táto limita nazýva triadický integrál funkcia f(x) y, z) nad doménou Q a je označená symbolom Veta 6. Ak je funkcia f(x, y, z) spojitá v uzavretej kockovej oblasti Π, potom je integrovateľná do tejto oblasti. Vlastnosti trojných integrálov Vlastnosti trojných integrálov sú podobné vlastnostiam dvojných integrálov, vymenujme tie hlavné. Nech sú funkcie integrovateľné v kockovej oblasti L. 1. Linearita. V tomto prípade sa funkcia nazýva integrovateľná v oblasti Q. Takže podľa definície máme Vráťme sa k problému výpočtu hmotnosti telesa, všimneme si, že limita (2) je trojný integrál funkcie p(P) nad doménou P. To znamená, Tu dx dy dz - objemový prvok dv v pravouhlých súradniciach. kde a a (3 sú ľubovoľné reálne konštanty všade v oblasti P, potom 3. Ak /(P) = 1 v oblasti P, potom n, kde V je objem oblasti Q. Ak funkcia /(P) je spojitý v uzavretej kubickej doméne ft a M a m sú jeho najväčšie a najmenšie hodnoty vo ft, potom kde V je objem plochy ft. 5. Aditívnosť. Ak je doména ft rozdelená do kockových domén bez spoločných vnútorných bodov a f(P) je integrovateľná do domény ft, potom je f(P) integrovateľná na každej z domén ft| a ft2, pričom 6. Veta o strednej hodnote. Veta 7 (o strednej hodnote). Ak je funkcia f(P) spojitá v uzavretej kockovej doméne ft, potom existuje tona Pc € ft, takže platí vzorec: kde V je objem domény ft (pripomeňme, že doména je spojená množina) . § 7. Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Tak ako pri výpočte dvojitých integrálov, ide o výpočet opakovaných integrálov. Predpokladajme, že funkcia je spojitá v nejakej doméne ft. 1. prípad. Oblasť ft je pravouhlý rovnobežnosten premietnutý do roviny yOz do obdĺžnika i2; Potom dostaneme: Nahradením dvojitého integrálu opakovaným integrálom nakoniec dostaneme V prípade, že oblasť P je pravouhlý rovnobežnosten, zredukovali sme výpočet trojného integrálu na sekvenčný výpočet troch obyčajných integrálov. Vzorec (2) je možné prepísať do tvaru, kde obdĺžnik je kolmý priemet rovnobežnostenu P na rovinu xOy. 2. prípad. Uvažujme teraz oblasť Q takú, že plocha 5, ktorá ju ohraničuje, pretína ľubovoľnú priamku rovnobežnú s osou Oz najviac v dvoch bodoch alebo pozdĺž celého segmentu (obr. 22). Nech z = tpi(x,y) je rovnica ohraničujúcej oblasti P z povrchu 5 zdola a nech ohraničujúca oblasť P povrchu S2 zhora má rovnicu z = y). Nech sú obe plochy S\ a S2 premietnuté do rovnakej oblasti roviny xOy. Označme ho D a krivku ohraničujúcu L. Zvyšok hranice 5 telesa Q leží na valcovej ploche s generátormi rovnobežnými s osou Oz as krivkou L ako vodidlom. Potom, analogicky so vzorcom (3), dostaneme Ak oblasť D roviny xOy je krivočiary lichobežník ohraničený dvoma krivkami, potom dvojitý integrál vo vzorci (4) možno redukovať na opakovaný a nakoniec dostaneme Tento vzorec je zovšeobecnením vzorca (2). Obr-23 Príklad. Vypočítajte objem štvorstenu ohraničeného rovinami Priemet štvorstenu do roviny xOy je trojuholník tvorený priamkami tak, že x sa mení od 0 do 6 a pre pevné x (0 ^ x ^ 6) sa y mení od 0 až 3 - | (obr. 23). Ak sú x aj y pevné, potom sa bod môže pohybovať vertikálne z roviny do roviny a mení sa v rozsahu od 0 do 6 - x - 2y. Pomocou vzorca dostaneme §8. Výpočet trojného integrálu v cylindrických a guľových súradniciach Otázka zmeny premenných v trojnom integráli je riešená rovnako ako v prípade dvojitého integrálu. Nech je funkcia /(x, y, z) spojitá v uzavretej kockovej doméne ft a nech sú funkcie spojité spolu s ich parciálnymi deriváciami prvého rádu v uzavretej kockovej doméne ft*. Predpokladajme, že funkcie (1) vytvárajú vzájomnú korešpondenciu medzi všetkými bodmi rj, () oblasti ft* na jednej strane a všetkými bodmi (zh, y, z) oblasti ft, na ostatný. Potom platí vzorec na zmenu premenných v trojnom integráli: kde je jakobián systému funkcií (1). V praxi pri výpočte trojných integrálov často využívajú nahradenie pravouhlých súradníc valcovými a sférickými súradnicami. 8.1. Trojný integrál vo valcových súradniciach Vo valcovom súradnicovom systéme je poloha bodu P v priestore určená tromi číslami p, kde p a (p sú polárne súradnice priemetu P1 bodu P do roviny xOy a z je aplikácia bodu P (obr. 24.) Čísla sa nazývajú valcové súradnice body R. Je zrejmé, že v systéme valcových súradníc sú súradnicové plochy trojný integrál Vlastnosti trojných integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojný integrál vo valcových a sférických súradniciach je opísaný ako: kruhový valec, ktorého os sa zhoduje s osou Oz, polrovina susediaca s osou Oz a rovina rovnobežná s rovinou xOy. Cylindrické súradnice súvisia s nasledujúce karteziánske vzorce (pozri obr. 24) Pre systém (3), ktorý mapuje oblasť ft na oblasť, máme tiež vzorec (2) na prechod z trojitého integrálu v pravouhlých súradniciach k integrálu v cylindrických súradniciach. tvar (4) Výraz sa nazýva objemový prvok vo valcových súradniciach. Tento výraz pre objemový prvok možno získať aj z geometrických úvah. Rozdeľme oblasť P na elementárne podoblasti súradnicovými plochami a vypočítajme objemy výsledných krivočiarych hranolov (obr. 25). Je vidieť, že Odmietnutím nekonečne malého množstva vyššieho rádu získame To nám umožňuje zobrať nasledujúcu veličinu ako objemový prvok vo valcových súradniciach Príklad 1. Nájdite objem telesa ohraničeného plochami 4 Vo valcových súradniciach, dané plochy bude mať rovnice (pozri vzorce (3)). Tieto plochy sa pretínajú pozdĺž priamky r, ktorá je opísaná sústavou rovníc (valec), (rovina), obr. 26 a jej priemetom sústavy do roviny xOy Potrebný objem sa teda vypočíta podľa vzorca (4), v ktoré. Trojný integrál v sférických súradniciach V sférickom súradnicovom systéme je poloha bodu P(x, y, z) v priestore určená tromi číslami, kde r je vzdialenosť od začiatku k bodu, uhol medzi osou Ox. a priemet vektora polomeru OR bodu P na rovinu xOy a c je uhol medzi osou Oz a vektorom polomeru OR bodu P, meraný od osi Oz (obr. 27). To je jasné. Súradnicové plochy v tomto súradnicovom systéme: r = const - gule so stredom v počiatku; ip = konštantné polroviny vychádzajúce z osi Oz; в = const - kruhové kužele s osou Oz. Ryža. 27 Z obrázku je zrejmé, že sférické a karteziánske súradnice súvisia nasledujúcimi vzťahmi: Vypočítajme jakobián funkcií (5). Máme Následne vzorec (2) má tiež tvar Objemový prvok v sférických súradniciach - Výraz pre objemový prvok možno získať aj z geometrických úvah. Uvažujme elementárnu oblasť v priestore ohraničenú guľami polomerov r a r + dr, kužeľmi b a b + d$ a polrovinami.Približne túto oblasť môžeme považovať za pravouhlý rovnobežnosten s rozmermi. Potom Trojný integrál Vlastnosti trojných integrálov Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach Výpočet trojného integrálu vo valcových a guľových súradniciach Príklad 2. Nájdite objem konvexného telesa Q vyrezaného z kužeľa sústrednými guľami -4 Prejdeme na sférický súradnicový systém Z prvých dvoch rovníc je zrejmé, že. Z tretej rovnice nájdeme limity zmeneného uhla 9: odkiaľ

Postup výpočtu trojného integrálu je podobný zodpovedajúcej operácii pre dvojitý integrál. Aby sme to opísali, zavedieme koncept pravidelnej trojrozmernej oblasti:

Definícia 9.1. Trojrozmerná oblasť V ohraničená uzavretým povrchom S sa nazýva regulárna, ak:

1. akákoľvek priamka rovnobežná s osou Oz a vedená cez vnútorný bod oblasti pretína S v dvoch bodoch;
2. celá oblasť V je premietnutá do roviny Oxy do pravidelnej dvojrozmernej oblasti D;
3. akákoľvek časť oblasti V, odrezaná od nej rovinou rovnobežnou s niektorou zo súradnicových rovín, má vlastnosti 1) a 2).

Uvažujme pravidelnú oblasť V, ohraničenú pod a nad plochami z=χ(x,y) a z=ψ(x,y) a premietnutú na rovinu Oxy do regulárnej oblasti D, vnútri ktorej sa x mení od a až b, ohraničené krivkami y=φ1(x) a y=φ2(x) (obr. 1). Definujme spojitú funkciu f(x, y, z) v oblasti V.

Definícia 9.2. Nazvime trojný integrál funkcie f(x, y, z) nad oblasťou V vyjadrením tvaru:

Trojný integrál má rovnaké vlastnosti ako dvojitý integrál. Uvádzame ich bez dôkazu, keďže sa dokazujú podobne ako v prípade dvojitého integrálu.

Výpočet trojného integrálu.

Veta 9.1. Trojitý integrál funkcie f(x,y,z) v regulárnej oblasti V sa rovná trojitému integrálu v tej istej oblasti:

. (9.3)

Dôkaz.

Rozdeľme oblasť V rovinami rovnobežnými so súradnicovými rovinami na n pravidelných oblastí. Potom z vlastnosti 1 vyplýva, že

kde je trojný integrál funkcie f(x,y,z) nad oblasťou.

Pomocou vzorca (9.2) je možné predchádzajúcu rovnosť prepísať ako:

Z podmienky spojitosti funkcie f(x,y,z) vyplýva, že limita integrálneho súčtu na pravej strane tejto rovnosti existuje a rovná sa trojnému integrálu. Potom prejdením na limit v , získame:

Q.E.D.

Komentujte.

Podobne ako v prípade dvojitého integrálu sa dá dokázať, že zmena poradia integrácie nemení hodnotu trojného integrálu.

Príklad. Vypočítajme integrál, kde V je trojuholníková pyramída s vrcholmi v bodoch (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1). Jeho priemet na rovinu Oxy je trojuholník s vrcholmi (0, 0), (1, 0) a (0, 1). Oblasť je ohraničená zdola rovinou z = 0 a zhora rovinou x + y + z = 1. Prejdime k trojnásobnému integrálu:

Faktory, ktoré nezávisia od integračnej premennej, možno odobrať zo znamienka príslušného integrálu:

Krivočiare súradnicové systémy v trojrozmernom priestore.

1. Cylindrický súradnicový systém.

Valcové súradnice bodu P(ρ,φ,z) sú polárne súradnice ρ, φ priemetu tohto bodu do roviny Oxy a aplikácie tohto bodu z (obr. 2).

Vzorce na prechod z cylindrických na karteziánske súradnice môžu byť špecifikované takto:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Sférický súradnicový systém.

V guľových súradniciach je poloha bodu v priestore určená lineárnou súradnicou ρ - vzdialenosť od bodu k začiatku kartézskeho súradnicového systému (alebo pólu guľového systému), φ - polárny uhol medzi kladnými súradnicami. poloosi Ox a priemetu bodu do roviny Oxy a θ - uhol medzi kladnou poloosou osi Oz a segmentom OP (obr. 3). V čom

Nastavíme vzorce pre prechod z guľových do karteziánskych súradníc:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jakobián a jeho geometrický význam.

Uvažujme o všeobecnom prípade zmeny premenných v dvojitom integráli. Nech je daná oblasť D v rovine Oxy, ohraničená priamkou L. Predpokladajme, že x a y sú jednohodnotové a spojito diferencovateľné funkcie nových premenných u a v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9,6)

Uvažujme pravouhlý súradnicový systém Ouv, ktorého bod P΄(u, v) zodpovedá bodu P(x, y) z oblasti D. Všetky takéto body tvoria oblasť D΄ v rovine Ouv, ohraničenú o. čiara L΄. Môžeme povedať, že vzorce (9.6) stanovujú vzájomnú zhodu medzi bodmi oblastí D a D΄. V tomto prípade sú priamky u = const a

v = const v rovine Ouv bude zodpovedať niektorým čiaram v rovine Oxy.

Uvažujme pravouhlú oblasť ΔS΄ v rovine Ouv, ohraničenú priamkami u = const, u+Δu = const, v = const av+Δv = const. Bude zodpovedať zakrivenej ploche ΔS v rovine Oxy (obr. 4). Oblasti posudzovaných oblastí budú tiež označené ΔS΄ a ΔS. V tomto prípade ΔS΄ = Δu Δv. Nájdite oblasť ΔS. Označme vrcholy tohto krivočiareho štvoruholníka P1, P2, P3, P4, kde

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Nahradme malé prírastky Δu a Δv zodpovedajúcimi diferenciálmi. Potom

V tomto prípade možno štvoruholník P1 P2 P3 P4 považovať za rovnobežník a jeho plochu možno určiť pomocou vzorca z analytickej geometrie:

(9.7)

Definícia 9.3. Determinant sa nazýva funkčný determinant alebo jakobián funkcií φ(x, y) a ψ(x, y).

Prejdením k limitu v rovnosti (9.7) dostaneme geometrický význam jakobiánu:

to znamená, že modul jakobiánu je limitom pomeru plôch nekonečne malých plôch ΔS a ΔS΄.

Komentujte. Podobným spôsobom môžeme definovať pojem jakobiánu a jeho geometrický význam pre n-rozmerný priestor: ak x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2,…, un), potom

(9.8)

V tomto prípade modul jakobiánu udáva limit pre pomer „objemov“ malých oblastí priestorov x1, x2,..., xn a u1, u2,..., un.

Zmena premenných vo viacnásobných integráloch.

Preštudujme si všeobecný prípad zmeny premenných na príklade dvojitého integrálu.

Nech je daná spojitá funkcia z = f(x,y) v oblasti D, ktorej každá hodnota zodpovedá rovnakej hodnote funkcie z = F(u, v) v oblasti D΄, kde

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9,9)

Zvážte integrálny súčet

kde integrálny súčet napravo preberá doménu D΄. Prejdením k limitu v , získame vzorec na transformáciu súradníc v dvojitom integráli.

Stiahnite si z Depositfiles

Trojný integrál.

Kontrolné otázky.

Trojný integrál, jeho vlastnosti.

Zmena premenných v trojnom integráli. Výpočet trojného integrálu vo valcových súradniciach.

Výpočet trojného integrálu v sférických súradniciach.

Nechajte funkciu u= f(x, y,z) vymedzené v obmedzenom uzavretom regióne V priestor R 3. Rozdelíme oblasť V náhodne na n elementárne uzavreté oblasti V 1 , … ,V n, ktoré majú objemy  V 1 , …,  V n resp. Označme d– najväčší z priemerov plôch V 1 , … ,V n. V každej oblasti V k vyberte ľubovoľný bod P k (X k , r k ,z k) a make up integrálny súčet funkcie f(X, r,z)

S =

Definícia.Trojný integrál z funkcie f(X, r,z) podľa regiónu V nazývaná limita integrálneho súčtu
, ak existuje.

teda

(1)

Komentujte. Kumulatívna suma S závisí od toho, ako je oblasť rozdelená V a výber bodov P k (k=1, …, n). Ak však existuje hranica, potom nezávisí od spôsobu rozdelenia kraja V a výber bodov P k. Ak porovnáte definície dvojitých a trojitých integrálov, je ľahké v nich vidieť úplnú analógiu.

Postačujúca podmienka pre existenciu trojného integrálu. Trojný integrál (13) existuje, ak funkcia f(X, r,z) obmedzené v V a je nepretržitý v V, s výnimkou konečného počtu po častiach hladkých plôch umiestnených v V.

Niektoré vlastnosti trojného integrálu.

1) Ak S je teda číselná konštanta

3) Aditívnosť na ploche. Ak oblasť V rozdelené do oblastí V 1 A V 2, potom

4) Objem tela V rovná sa

(2 )

Výpočet trojného integrálu v karteziánskych súradniciach.

Nechaj D projekcia tela V do lietadla xOy, povrchy z=φ 1 (X,r),z=φ 2 (X, r) obmedziť telo V nižšie a vyššie. Znamená to, že

V = {(X, r, z): (X, r)D , φ 1 (X,r)≤ z ≤ φ 2 (X,r)}.

Nazvime také telo z- valcový. Trojný integrál (1) nad z- valcové telo V sa vypočíta prechodom na iterovaný integrál pozostávajúci z dvojitého a určitého integrálu:

(3 )

V tomto iterovanom integráli sa najprv vyhodnotí vnútorný určitý integrál nad premennou z, kde X, r sa považujú za trvalé. Potom sa vypočíta dvojitý integrál výslednej funkcie na ploche D.

Ak V X- valcové resp y- valcové telo, potom sú nasledujúce vzorce správne:

V prvom vzorci D  projekcia tela V do súradnicovej roviny yOz, a v druhom - do lietadla xOz

Príklady. 1) Vypočítajte objem telesa V, obmedzené povrchmi z = 0, X 2 + r 2 = 4, z = X 2 + r 2 .

Riešenie. Vypočítajme objem pomocou trojného integrálu podľa vzorca (2)

Prejdime k opakovanému integrálu pomocou vzorca (3).

Nechaj D- kruh X 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (X , r ) = 0, φ 2 (X , r )= X 2 + y 2. Potom pomocou vzorca (3) dostaneme

Pre výpočet tohto integrálu prejdime k polárnym súradniciam. Zároveň kruh D premení na súpravu

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Telo V obmedzené na povrchy z=y , z= –y , x= 0 , x= 2, y= 1. Vypočítajte

Lietadlá z = y , z = –y obmedziť telo resp. zdola a zhora, roviny x= 0 , x= 2 obmedzujú telo zozadu a spredu, respektíve a roviny y= 1 obmedzuje doprava. V –z- valcové teleso, jeho priemet D do lietadla xOy je obdĺžnik OABC. Položme φ 1 (X , r ) = –y

Trojné integrály. Výpočet objemu tela.
Trojný integrál vo valcových súradniciach

Mŕtvy ležal tri dni v dekanáte oblečený v Pytagorasových nohaviciach,
V rukách Fichtenholtza držal zväzok, ktorý ho priviedol z tohto sveta,
K nohám bol priviazaný trojitý integrál a mŕtvola bola zabalená do matrice,
A namiesto modlitby si nejaký drzý človek prečítal Bernoulliho vetu.

Trojné integrály sú niečo, čoho sa nemusíte báť =) Pretože ak čítate tento text, potom s najväčšou pravdepodobnosťou dobre rozumiete teória a prax „obyčajných“ integrálov, a dvojité integrály. A kde je dvojka, tam je trojka:

A naozaj, čoho sa báť? Integrál je menej, integrál je viac....

Pozrime sa na záznam:

– ikona trojitého integrálu;
– integrand funkcia troch premenných;
– súčin diferenciálov.
- oblasť integrácie.

Zamerajme sa najmä na oblasti integrácie. Ak v dvojitý integrál to reprezentuje plochá postava, potom tu - priestorové telo, ktorá, ako je známe, je limitovaná množinou povrchy. Okrem vyššie uvedeného teda musíte navigovať základné plochy priestoru a vedieť robiť jednoduché trojrozmerné kresby.

Niektorí sú v depresii, chápem... Bohužiaľ, tento článok nemôže mať názov „trojité integrály pre figuríny“ a je niekoľko vecí, ktoré potrebujete vedieť/byť schopný urobiť. Ale to je v poriadku - všetok materiál je prezentovaný vo veľmi dostupnej forme a dá sa zvládnuť v čo najkratšom čase!

Čo znamená vypočítať trojný integrál a čo je párny?

Na výpočet priemeru trojného integrálu nájsť ČÍSLO:

V najjednoduchšom prípade, kedy trojný integrál sa číselne rovná objemu telesa. A skutočne, podľa všeobecný význam integrácie, produkt je rovnaký nekonečne malý objem elementárnej „tehly“ tela. A trojný integrál je spravodlivý zjednocuje všetky tieto nekonečne malé častice po celej ploche, výsledkom čoho je integrálna (celková) hodnota objemu telesa: .

Okrem toho je dôležitý aj trojný integrál fyzické aplikácie. Ale o tom viac neskôr - v 2. časti lekcie, venovanej výpočty ľubovoľných trojných integrálov, pre ktorú je funkcia vo všeobecnom prípade odlišná od konštanty a je spojitá v oblasti. V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať problémom hľadania objemu, ktorý sa podľa môjho subjektívneho hodnotenia vyskytuje 6-7 krát častejšie.

Ako vyriešiť trojný integrál?

Odpoveď logicky vyplýva z predchádzajúceho odseku. Potreba určiť poradie prechodu tela a prejdite na iterované integrály. Potom sa vysporiadajte s tromi jednotlivými integrálmi postupne.

Ako vidíte, celá kuchyňa veľmi, veľmi pripomína dvojité integrály, s tým rozdielom, že teraz sme pridali ďalší rozmer (zhruba povedané výšku). A pravdepodobne mnohí z vás už uhádli, ako sa riešia trojné integrály.

Rozptýlime všetky zostávajúce pochybnosti:

Príklad 1

Zapíšte si do stĺpca na papieri:

A odpovedzte na nasledujúce otázky. Viete, ktoré povrchy definujú tieto rovnice? Rozumiete neformálnemu významu týchto rovníc? Viete si predstaviť, ako sa tieto povrchy nachádzajú vo vesmíre?

Ak sa prikláňate k všeobecnej odpovedi „skôr nie ako áno“, určite si lekciu prepracujte, inak sa ďalej neposuniete!

Riešenie: používame vzorec.

S cieľom zistiť poradie prechodu tela a prejdite na iterované integrály musíte (všetko dômyselné je jednoduché) pochopiť, o aký druh tela ide. A v mnohých prípadoch k takémuto pochopeniu výrazne prispievajú kresby.

Podľa stavu je telo obmedzené niekoľkými povrchmi. Kde začať stavať? Navrhujem nasledovný postup:

Najprv sa poďme znázorniť paralelný ortogonálny premietanie telesa do súradnicovej roviny. Prvýkrát som povedal, ako sa volá táto projekcia, lol =)

Keďže projekcia sa vykonáva pozdĺž osi, potom je v prvom rade vhodné zaoberať sa povrchy, ktoré sú rovnobežné s touto osou. Pripomínam, že rovnice takýchto plôch neobsahujú písmeno "z". V posudzovanom probléme sú tri z nich:

– rovnica určuje súradnicovú rovinu, ktorá prechádza osou;
– rovnica určuje súradnicovú rovinu, ktorá prechádza osou;
– sady rovníc lietadlo „plochá“ priamka rovnobežne s osou.

S najväčšou pravdepodobnosťou je požadovaná projekcia nasledujúci trojuholník:

Možno nie každý úplne pochopil, o čom hovoríme. Predstavte si, že z obrazovky monitora vychádza os a trčí priamo do koreňa vášho nosa ( tie. ukázalo sa, že sa pozeráte na 3-rozmerný výkres zhora). Sledované priestorové teleso sa nachádza v nekonečnom trojstennom „chodbe“ a jeho projekcia do roviny s najväčšou pravdepodobnosťou predstavuje tieňovaný trojuholník.

Chcel by som upriamiť osobitnú pozornosť na skutočnosť, že zatiaľ čo sme sa vyjadrili len predpoklad projekcie a vety „s najväčšou pravdepodobnosťou“ a „s najväčšou pravdepodobnosťou“ neboli náhodné. Faktom je, že ešte nie sú analyzované všetky povrchy a môže sa stať, že jeden z nich „odsekne“ časť trojuholníka. Ako jasný príklad to naznačuje guľa so stredom v počiatku s polomerom menším ako jedna, napríklad guľa – jeho priemet do roviny (kruh ) nebude úplne „pokrývať“ zatienenú oblasť a konečná projekcia tela nebude vôbec trojuholníková (kruh „odreže“ svoje ostré rohy).

V druhej fáze zistíme, ako je telo obmedzené zhora a zdola a vykonáme priestorovú kresbu. Vráťme sa k vyhláseniu problému a pozrime sa, ktoré povrchy zostávajú. Rovnica určuje samotnú súradnicovú rovinu a rovnica - parabolický valec, Nachádza vyššie rovinou a prechádzajúc osou. Projekcia tela je teda skutočne trojuholníkom.

Mimochodom, našiel som to tu nadbytok podmienky - nebolo potrebné zahrnúť rovnicu roviny, pretože povrch, ktorý sa dotýka osi x, už uzatvára teleso. Je zaujímavé poznamenať, že v tomto prípade by sme nemohli okamžite nakresliť projekciu - trojuholník by sa „nakreslil“ až po analýze rovnice.

Pozorne si znázornime fragment parabolického valca:

Po dokončení výkresov s poradie chôdze okolo telažiaden problém!

Najprv určíme poradie prechodu projekcie (zároveň je OVEĽA POHODLNEJŠIE orientovať sa pomocou dvojrozmernej kresby). Hotovo PRESNE TO ISTÉ, Ako v dvojité integrály! Myslite na laserové ukazovátko a skenovanie rovnej oblasti. Vyberme si „tradičnú“ metódu 1. bypassu:

Ďalej vyzdvihneme magickú lampu, pozrieme sa na trojrozmerný výkres a striktne zdola nahor Pacienta osvetlíme. Lúče vstupujú do tela rovinou a vystupujú cez povrch. Poradie prechodu tela je teda:

Prejdime k opakovaným integrálom:

1) Mali by ste začať s integrálom „zeta“. Používame Newtonov-Leibnizov vzorec:

Výsledok dosadíme do „herného“ integrálu:

Čo sa stalo? Riešenie sa v podstate zredukovalo na dvojitý integrál a presne na vzorec objem valcového lúča! To, čo nasleduje, je známe:

2)

Venujte pozornosť racionálnej technike riešenia 3. integrálu.

Odpoveď:

Výpočty je možné vždy zapísať „v jednom riadku“:


Pri tejto metóde však buďte opatrní – zvýšenie rýchlosti je spojené so stratou kvality a čím je príklad zložitejší, tým väčšia je šanca, že urobíte chybu.

Odpovedzme si na dôležitú otázku:

Je potrebné robiť výkresy, ak si podmienky úlohy nevyžadujú ich realizáciu?

Môžete ísť štyrmi spôsobmi:

1) Nakreslite projekciu a samotné telo. Toto je najvýhodnejšia možnosť - ak máte možnosť dokončiť dve slušné kresby, nebuďte leniví, urobte obe kresby. Odporúčam to ako prvé.

2) Nakreslite iba telo. Vhodné, keď má telo jednoduchú a zreteľnú projekciu. Takže napríklad v rozloženom príklade by stačil trojrozmerný výkres. Je tu však aj mínus - je nepohodlné určovať poradie prechádzania projekciou z 3D obrazu a túto metódu by som odporučil len ľuďom s dobrou úrovňou zaškolenia.

3) Nakreslite iba projekciu. To tiež nie je zlé, ale potom sú potrebné ďalšie písomné pripomienky, čo obmedzuje oblasť z rôznych strán. Bohužiaľ, tretia možnosť je často nútená - keď je telo príliš veľké alebo jeho konštrukcia je plná iných ťažkostí. A zvážime aj takéto príklady.

4) Zaobídete sa úplne bez kresieb. V tomto prípade si musíte telo predstaviť mentálne a písomne ​​komentovať jeho tvar/umiestnenie. Vhodné pre veľmi jednoduché telesá alebo úlohy, kde je vykonávanie oboch výkresov náročné. Stále je však lepšie urobiť aspoň schematický nákres, pretože „nahé“ riešenie môže byť odmietnuté.

Na nezávislú prácu je určený nasledujúci orgán:

Príklad 2

Pomocou trojného integrálu vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami

V tomto prípade je oblasť integrácie špecifikovaná predovšetkým nerovnosťami, a to je ešte lepšie - súbor nerovností definuje 1. oktant vrátane súradnicových rovín a nerovnosť – polovičný priestor, obsahujúci pôvod (kontrola)+ samotné lietadlo. „Vertikálna“ rovina pretína paraboloid pozdĺž paraboly a je vhodné tento rez zostrojiť na výkrese. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť ďalší referenčný bod, najjednoduchším spôsobom je vrchol paraboly (berieme do úvahy hodnoty a vypočítajte zodpovedajúci „zet“).

Pokračujme v zahrievaní:

Príklad 3

Pomocou trojného integrálu vypočítajte objem telesa ohraničeného vyznačenými plochami. Vykonajte výkres.

Riešenie: Formulácia „vykonať kresbu“ nám dáva určitú slobodu, ale s najväčšou pravdepodobnosťou implikuje vykonanie priestorovej kresby. Neuškodí však ani projekcia, najmä preto, že to tu nie je najjednoduchšie.

Držíme sa predtým osvedčenej taktiky - najprv sa budeme zaoberať povrchy, ktoré sú rovnobežné s osou aplikácie. Rovnice takýchto povrchov explicitne neobsahujú premennú „z“:

– rovnica určuje súradnicovú rovinu prechádzajúcu osou ( ktorá je v rovine určená „eponymnou“ rovnicou);
– sady rovníc lietadlo, prechádzajúci cez „eponymný“ „plochá“ priamka rovnobežne s osou.

Požadované teleso je obmedzené rovinou pod a parabolický valec vyššie:

Vytvorme poradie prechodu tela, zatiaľ čo limity integrácie „X“ a „Y“, pripomínam, je pohodlnejšie zistiť pomocou dvojrozmerného výkresu:

Takto:

1)

Pri integrácii cez „y“ sa „x“ považuje za konštantu, preto je vhodné okamžite odobrať konštantu zo znamienka integrálu.

3)

Odpoveď:

Áno, skoro som zabudol, vo väčšine prípadov je málo užitočné (a dokonca škodlivé) kontrolovať výsledok získaný pomocou trojrozmerného výkresu, pretože s vysokou pravdepodobnosťou objemová ilúzia, o ktorej som hovoril na hodine Objem rotačného telesa. Takže pri vyhodnotení zvažovanej časti problému sa mi osobne zdalo, že má oveľa viac ako 4 „kocky“.

Nasledujúci príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Pomocou trojného integrálu vypočítajte objem telesa ohraničeného vyznačenými plochami. Nakreslite toto teleso a jeho priemet na rovinu.

Približný príklad úlohy na konci hodiny.

Nie je nezvyčajné, keď je realizácia trojrozmerného výkresu náročná:

Príklad 5

Pomocou trojného integrálu nájdite objem telesa daný jeho ohraničujúcimi plochami

Riešenie: projekcia tu nie je zložitá, ale treba myslieť na poradie jej prechádzania. Ak zvolíte 1. metódu, potom bude potrebné číslo rozdeliť na 2 časti, čo vážne ohrozuje výpočet súčtu dva trojné integrály. V tomto smere vyzerá 2. cesta oveľa sľubnejšie. Vyjadrime a znázornime projekciu tohto telesa na výkrese:

Ospravedlňujem sa za kvalitu niektorých obrázkov, vystrihol som ich priamo z vlastných rukopisov.

Vyberáme výhodnejšie poradie prechodu figúrkou:

Teraz je to na tele. Zospodu je obmedzený rovinou, zhora - rovinou, ktorá prechádza cez ordinátovú os. A všetko by bolo v poriadku, ale posledná rovina je príliš strmá a vybudovanie oblasti nie je také jednoduché. Voľba je tu nezávideniahodná: buď šperky fungujú v malom meradle (keďže telo je dosť tenké), alebo kresba vysoká asi 20 centimetrov (a dokonca, ak sa hodí).

Existuje však aj tretia, pôvodná ruská metóda riešenia problému - skórovať =) A namiesto trojrozmernej kresby si vystačte so slovným popisom: „Toto telo je obmedzené valcami a rovinu zboku, rovinu zdola a rovinu zhora.“

"Vertikálne" limity integrácie sú samozrejme:

Vypočítajme objem tela, pričom nezabúdajme, že projekciu sme obišli menej bežným spôsobom:

1)

Odpoveď:

Ako ste si všimli, orgány navrhnuté v problémoch, ktoré nie sú drahšie ako sto dolárov, sú často obmedzené lietadlom pod ním. Nie je to však pravidlo, preto treba byť vždy v strehu – môžete naraziť na úlohu, kde sa telo nachádza a pod plochý Ak teda napríklad v analyzovanom probléme namiesto toho uvažujeme s rovinou, skúmané teleso bude symetricky mapované do spodného polpriestoru a bude ohraničené rovinou zdola a rovinou zhora!

Je ľahké vidieť, že dostanete rovnaký výsledok:

(pamätajte, že telo treba obchádzať striktne zdola nahor!)

Okrem toho sa „obľúbená“ rovina nemusí vôbec použiť, najjednoduchší príklad: guľa umiestnená nad rovinou - pri výpočte jej objemu nebude rovnica vôbec potrebná.

Všetky tieto prípady zvážime, ale zatiaľ je tu pre vás podobná úloha, ktorú musíte vyriešiť sami:

Príklad 6

Pomocou trojného integrálu nájdite objem telesa ohraničeného plochami

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Prejdime k druhému odseku s rovnako populárnymi materiálmi:

Trojný integrál vo valcových súradniciach

Cylindrické súradnice sú v podstate polárne súradnice vo vesmíre.
Vo valcovom súradnicovom systéme je poloha bodu v priestore určená polárnymi súradnicami bodu - priemetom bodu do roviny a aplikáciou samotného bodu.

Prechod z trojrozmerného karteziánskeho systému na cylindrický súradnicový systém sa uskutočňuje podľa nasledujúcich vzorcov:

Vo vzťahu k našej téme vyzerá transformácia takto:

A teda v zjednodušenom prípade, ktorý uvažujeme v tomto článku:

Hlavnou vecou je nezabudnúť na dodatočný multiplikátor „er“ a správne ho umiestniť polárne limity integrácie pri prechádzaní projekciou:

Príklad 7

Riešenie: držíme sa rovnakého postupu: v prvom rade uvažujeme rovnice, v ktorých chýba premenná „ze“. Je tu len jeden. Projekcia valcový povrch do roviny predstavuje „eponymný“ kruh .

Lietadlá obmedzujú požadované teleso zdola a zhora („vystrihnú“ ho z valca) a premietnu ho do kruhu:

Ďalej nasleduje trojrozmerný výkres. Hlavný problém spočíva v konštrukcii roviny, ktorá pretína valec pod „šikmým“ uhlom, čo vedie k elipsa. Ujasnime si túto časť analyticky: aby sme to urobili, prepíšeme rovnicu roviny do funkčného tvaru a vypočítajte hodnoty funkcie („výška“) v zrejmých bodoch, ktoré ležia na hranici projekcie:

Nájdené body označíme na výkrese a starostlivo (nie ako ja =)) spojte ich čiarou:

Projekcia telesa na rovinu je kruh, a to je silný argument v prospech prechodu do valcového súradnicového systému:

Nájdite rovnice povrchov vo valcových súradniciach:

Teraz musíte zistiť poradie prechodu cez telo.

Najprv sa pozrime na projekciu. Ako určiť poradie jeho prechodu? PRESNE TAK AKO S výpočet dvojitých integrálov v polárnych súradniciach. Tu je to elementárne:

Zrejmé sú aj „vertikálne“ limity integrácie – do tela vstupujeme cez rovinu a vystupujeme cez rovinu:

Prejdime k opakovaným integrálom:

V tomto prípade okamžite vložíme súčiniteľ „er“ do „nášho“ integrálu.

Ako obvykle, metla sa ľahšie láme pozdĺž vetvičiek:

1)

Výsledok vložíme do nasledujúceho integrálu:

A tu nezabúdame, že „phi“ sa považuje za konštantu. Ale toto je zatiaľ:

Odpoveď:

Podobnú úlohu, ktorú musíte vyriešiť sami:

Príklad 8

Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami pomocou trojného integrálu. Nakreslite výkresy tohto telesa a jeho projekciu do roviny.

Približná ukážka finálneho návrhu na konci hodiny.

Upozorňujeme, že v podmienkach problémov sa nehovorí ani slovo o prechode na cylindrický súradnicový systém a neznalý človek bude zápasiť s ťažkými integrálmi v karteziánskych súradniciach. ...Alebo možno nebude - napokon, existuje aj tretí, originálny ruský spôsob riešenia problémov =)

Ešte to len začína! ...v dobrom slova zmysle =)

Príklad 9

Pomocou trojného integrálu nájdite objem telesa ohraničeného plochami

Skromné ​​a vkusné.

Riešenie: toto telo je obmedzené kužeľový povrch A eliptický paraboloid. Čitatelia, ktorí si pozorne prečítali materiály článku Základné plochy priestoru, už som si predstavil, ako telo vyzerá, ale v praxi sa často vyskytujú zložitejšie prípady, preto vykonám podrobné analytické zdôvodnenie.

Najprv nájdeme čiary, pozdĺž ktorých sa plochy pretínajú. Poďme zostaviť a vyriešiť nasledujúci systém:

Od prvej rovnice odčítame druhý člen po člene:

Výsledkom sú dva korene:

Nájdenú hodnotu dosadíme do ľubovoľnej rovnice systému:
, z čoho vyplýva, že
Koreň teda zodpovedá jedinému bodu – počiatku. Prirodzene, pretože vrcholy uvažovaných plôch sa zhodujú.

Teraz nahraďme druhý koreň – tiež do ľubovoľnej rovnice systému:

Aký je geometrický význam získaného výsledku? „Vo výške“ (v rovine) sa paraboloid a kužeľ pretínajú kruh– polomer jednotky so stredom v bode .

V tomto prípade „miska“ paraboloidu obsahuje „lievik“ kužeľa, preto formovanie Kužeľová plocha by mala byť nakreslená bodkovanou čiarou (okrem segmentu tvoriacej čiary najvzdialenejšieho od nás, ktorý je viditeľný z tohto uhla):

Priemet telesa na rovinu je kruh so stredom v počiatku polomeru 1, ktorý som sa kvôli očividnosti tejto skutočnosti ani neobťažoval zobraziť (poskytujeme však písomný komentár!). Mimochodom, v dvoch predošlých problémoch by sa dala bodovať aj projekčná kresba, nebyť stavu.

Pri prechode na cylindrické súradnice pomocou štandardných vzorcov je nerovnosť zapísaná v najjednoduchšej forme a nie sú žiadne problémy s poradím prechodu projekcie:

Nájdite rovnice povrchov vo valcovom súradnicovom systéme:

Keďže úloha uvažuje s hornou časťou kužeľa, vyjadríme z rovnice:

„Skenujeme telo“ zdola nahor. Lúče svetla do nej vstupujú cez eliptický paraboloid a vystupujú cez kužeľovú plochu. Takže „vertikálne“ poradie prechodu cez telo je:

Zvyšok je otázkou techniky:

Odpoveď:

Nie je nezvyčajné, že teleso nie je definované svojimi obmedzujúcimi plochami, ale mnohými nerovnosťami:

Príklad 10

Geometrický význam priestorových nerovností som dostatočne podrobne vysvetlil v tom istom referenčnom článku - Základné plochy priestoru a ich konštrukcia.

Hoci táto úloha obsahuje parameter, umožňuje vykonať presný výkres, ktorý odráža základný vzhľad tela. Premýšľajte o tom, ako stavať. Krátke riešenie a odpoveď je na konci lekcie.

...no, ešte pár úloh? Rozmýšľal som, že lekciu dokončím, ale mám pocit, že chceš viac =)

Príklad 11

Pomocou trojného integrálu vypočítajte objem daného telesa:
, kde je ľubovoľné kladné číslo.

Riešenie: nerovnosť definuje guľu so stredom na začiatku polomeru a nerovnosť – „vnútro“ kruhového valca s osou symetrie polomeru . Požadované teleso je teda ohraničené kruhovým valcom na boku a guľovými segmentmi symetrickými vzhľadom na rovinu v hornej a dolnej časti.

Berúc to ako základnú jednotku merania, nakreslíme:

Presnejšie by sa to malo volať kresba, keďže proporcie pozdĺž osi som veľmi nedodržal. Aby sme však boli spravodliví, podmienka nevyžadovala kreslenie vôbec nič a takáto ilustrácia sa ukázala ako úplne postačujúca.

Upozorňujeme, že tu nie je potrebné zisťovať výšku, v ktorej valec vyrezáva „čiapky“ z gule - ak vezmete do rúk kompas a použijete ho na označenie kruhu so stredom na začiatku polomeru 2 cm, potom sa priesečníky s valcom objavia samé.