Hodina informatiky je určená pre žiakov 10. ročníka všeobecnovzdelávacej školy, ktorej učebný plán obsahuje časť „Algebra logiky“. Táto téma je pre žiakov veľmi náročná, preto som ich ako pedagóg chcel zaujať štúdiom logických zákonov, zjednodušovaním logických výrazov a so záujmom pristupovať k riešeniu logických úloh. V bežnej forme je vyučovanie na túto tému únavné a problematické a niektoré definície nie sú deťom vždy jasné. V súvislosti s poskytovaním informačného priestoru som mal možnosť uverejňovať svoje lekcie v „learning“ shell. Študenti, ktorí sa doň zapíšu, môžu tento kurz navštevovať vo svojom voľnom čase a znovu si prečítať, čo im na hodine nebolo jasné. Niektorí žiaci, ktorí majú vymeškané hodiny pre chorobu, si vymeškanú tému dopĺňajú doma alebo v škole a sú vždy pripravení na ďalšiu hodinu. Táto forma vyučovania mnohým deťom veľmi vyhovovala a tie zákony, ktoré boli pre ne nepochopiteľné, sa dnes učia počítačovou formou oveľa jednoduchšie a rýchlejšie. Ponúkam jednu z týchto hodín informatiky, ktorá prebieha integrovane s IKT.

Plán lekcie

1. Vysvetlenie nového materiálu pomocou počítača – 25 minút.
2. Základné pojmy a definície uverejnené v časti „učenie“ - 10 minút.
3. Materiál pre zvedavcov – 5 minút.
4. Domáca úloha - 5 minút.

1. Vysvetlenie nového materiálu

Zákony formálnej logiky

Najjednoduchšie a najnutnejšie skutočné súvislosti medzi myšlienkami sú vyjadrené v základných zákonoch formálnej logiky. Sú to zákony identity, neprotirečenia, vylúčeného stredného, ​​dostatočného dôvodu.

Tieto zákony sú základné, pretože v logike zohrávajú obzvlášť dôležitú úlohu a sú najvšeobecnejšie. Umožňujú vám zjednodušiť logické výrazy a vytvoriť závery a dôkazy. Prvé tri z vyššie uvedených zákonov identifikoval a sformuloval Aristoteles a zákon dostatočného rozumu - G. Leibniz.

Zákon identity: v procese určitého uvažovania musí byť každý pojem a úsudok identický sám so sebou.

Zákon neprotirečenia: je nemožné, aby jedno a to isté oko bolo a nebolo v tom istom ohľade inherentné v tom istom ohľade súčasne. To znamená, že nie je možné súčasne niečo potvrdiť a poprieť.

Zákon vylúčeného stredu: z dvoch protichodných výrokov je jeden pravdivý, druhý nepravdivý a tretí nie je daný.

Zákon dostatočného dôvodu: Každá skutočná myšlienka musí byť dostatočne odôvodnená.

Posledný zákon hovorí, že dôkaz niečoho predpokladá podloženie presne a len pravdivých myšlienok. Falošné myšlienky sa nedajú dokázať. Jedno dobré latinské príslovie hovorí: „Mýliť sa je bežné pre každého človeka, ale trvať na chybe je bežné len pre blázna. Pre tento zákon neexistuje žiadny vzorec, keďže má iba hmotnoprávne povahu. Ako argumenty na potvrdenie pravdivej myšlienky možno použiť pravdivé úsudky, faktický materiál, štatistické údaje, vedecké zákony, axiómy, overené vety.

Zákony výrokovej algebry

Výroková algebra (algebra logiky) je časť matematickej logiky, ktorá študuje logické operácie s výrokmi a pravidlá pre transformáciu zložitých výrokov.

Pri riešení mnohých logických problémov je často potrebné zjednodušiť vzorce získané formalizáciou ich podmienok. Zjednodušenie vzorcov vo výrokovej algebre sa uskutočňuje na základe ekvivalentných transformácií založených na základných logických zákonoch.

Zákony výrokovej algebry (algebra logiky) sú tautológie.

Niekedy sa tieto zákony nazývajú teorémy.

Vo výrokovej algebre sú logické zákony vyjadrené vo forme rovnosti ekvivalentných vzorcov. Medzi zákonmi vynikajú tie, ktoré obsahujú jednu premennú.

Prvé štyri nižšie uvedené zákony sú základnými zákonmi výrokovej algebry.

Zákon identity:

Každý pojem a úsudok je identický sám so sebou.

Zákon identity znamená, že v procese uvažovania nemožno nahradiť jednu myšlienku druhou, jeden pojem druhým. Ak dôjde k porušeniu tohto zákona, sú možné logické chyby.

Napríklad zdôvodnenie Správne hovoria, že jazyk vás zavedie do Kyjeva, ale včera som si kúpil údený jazyk, čo znamená, že teraz môžem bezpečne ísť do Kyjeva je nesprávne, pretože prvé a druhé slovo „jazyk“ znamená rôzne pojmy.

V uvažovaní: Pohyb je večný. Chôdza do školy je pohyb. Chodenie do školy je preto navždy slovo „pohyb“ sa používa v dvoch rôznych významoch (prvý - vo filozofickom zmysle - ako atribút hmoty, druhý - v každodennom zmysle - ako pohyb v priestore), čo vedie k nesprávnemu záveru.

Zákon neprotirečenia:

Výrok a jeho negácia nemôžu byť pravdivé súčasne. To znamená, že ak vyhlásenie A- je pravda, potom jej negácia nie A musí byť nepravdivé (a naopak). Potom bude ich práca vždy falošná.

Práve táto rovnosť sa často používa pri zjednodušovaní zložitých logických výrazov.

Niekedy je tento zákon formulovaný takto: dve protichodné tvrdenia nemôžu byť súčasne pravdivé. Príklady nedodržania zákona o neprotirečení:

1. Na Marse je život a na Marse nie je život.

2. Olya vyštudovala strednú školu a je v X. ročníku.

Zákon vylúčeného stredu:

Zároveň môže byť výrok pravdivý alebo nepravdivý, neexistuje žiadna tretia možnosť. Pravda buď A, alebo nie A. Príklady implementácie zákona vylúčeného stredu:

1. Číslo 12345 je buď párne alebo nepárne, tretia možnosť neexistuje.

2. Spoločnosť hospodári so stratou alebo ziskom.

3. Táto kvapalina môže alebo nemusí byť kyselina.

Zákon vylúčeného stredu nie je zákonom uznávaným všetkými logikmi ako univerzálny zákon logiky. Tento zákon platí tam, kde sa kognícia zaoberá rigidnou situáciou: „buď – alebo“, „pravda-nepravda“. Ak sa vyskytne neistota (napríklad pri uvažovaní o budúcnosti), zákon vylúčeného stredu sa často nedá uplatniť.

Zvážte nasledujúce vyhlásenie: Táto veta je nepravdivá. Nemôže to byť pravda, pretože tvrdí, že je to nepravda. Ale ani to nemôže byť nepravdivé, lebo potom by to bola pravda. Toto vyhlásenie nie je ani pravdivé, ani nepravdivé, a preto porušuje zákon vylúčeného stredu.

Paradox(grécky paradoxos - neočakávaný, zvláštny) v tomto príklade vzniká v dôsledku skutočnosti, že veta odkazuje na seba. Ďalším známym paradoxom je kadernícky problém: V jednom meste strihá holič vlasy všetkých obyvateľov, okrem tých, ktorí si strihajú vlasy sami. Kto strihá holičovi vlasy? V logike nie je možné pre svoju formálnosť získať formu takéhoto tvrdenia odkazujúceho na seba. To opäť potvrdzuje myšlienku, že pomocou algebry logiky nie je možné vyjadriť všetky možné myšlienky a argumenty. Ukážme si, ako možno na základe definície výrokovej ekvivalencie získať zvyšné zákony výrokovej algebry.

Napríklad určme, čo je ekvivalentné (ekvivalentné) A(dvakrát nie A, teda negácia negácie A). Aby sme to dosiahli, zostavme pravdivostnú tabuľku:

Podľa definície ekvivalencie musíme nájsť stĺpec, ktorého hodnoty sa zhodujú s hodnotami stĺpca A. Toto bude stĺpec A.

Takto môžeme formulovať zákon dvojitéhonegatíva:

Ak negujete výrok dvakrát, výsledkom je pôvodný výrok. Napríklad vyhlásenie A= Matroskin- kat je ekvivalentné s vyhlásením A = Nie je pravda, že Matroskin nie je mačka.

Podobným spôsobom možno odvodiť a overiť nasledujúce zákony:

Vlastnosti konštánt:

Zákony idempotencie:

Bez ohľadu na to, koľkokrát opakujeme: TV je zapnutá alebo TV je zapnutá alebo TV je zapnutá... význam výroku sa nezmení. Podobné z opakovania Vonku je teplo, vonku je teplo... O jeden stupeň teplejšie nebude.

Zákony komutácie:

A v B = B v A

A a B = B a A

Operandy A A IN V operáciách možno zamieňať disjunkciu a konjunkciu.

Zákony asociativity:

Av(BvC) = (AvB) vC;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ak výraz používa iba operáciu disjunkcie alebo iba operáciu spojky, potom môžete zátvorky zanedbať alebo ich ľubovoľne usporiadať.

Distribučné zákony:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributívnosť disjunkcie
vo vzťahu ku konjunkcii)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(distributívnosť konjunkcie
ohľadom disjunkcie)

Distributívny zákon konjunkcie vo vzťahu k disjunkcii je podobný distributívnemu zákonu v algebre, ale distributívny zákon disjunkcie vo vzťahu k konjunkcii nemá analógiu, platí len v logike. Preto je potrebné to dokázať. Dôkaz sa najpohodlnejšie vykonáva pomocou pravdivostnej tabuľky:

Zákony absorpcie:

Av (A & B) = A

A & (A v B) = A

Dokážte zákony absorpcie sami.

De Morganove zákony:

Verbálne formulácie De Morganových zákonov:

Mnemotechnické pravidlo: na ľavej strane identity stojí operácia negácie nad celým výpisom. Na pravej strane sa to akoby zlomilo a nad každým z jednoduchých výrokov stojí negácia, no zároveň sa mení operácia: disjunkcia na konjunkciu a naopak.

Príklady implementácie De Morganovho zákona:

1) Vyhlásenie Nie je pravda, že viem arabsky alebo čínsky identické s vyhlásením Neviem po arabsky a neviem po čínsky.

2) Vyhlásenie Nie je pravda, že som sa poučil a dostal z toho D. identické s vyhlásením Buď som sa nepoučil, alebo som z toho nedostal D.

Nahradenie operácií implikácie a ekvivalencie

Operácie implikácie a ekvivalencie niekedy nepatria medzi logické operácie konkrétneho počítača alebo prekladača z programovacieho jazyka. Na vyriešenie mnohých problémov sú však tieto operácie nevyhnutné. Existujú pravidlá na nahradenie týchto operácií postupnosťami operácií negácie, disjunkcie a konjunkcie.

Takže vymeňte operáciu dôsledky možné podľa nasledujúceho pravidla:

Ak chcete nahradiť operáciu rovnocennosť existujú dve pravidlá:

Je ľahké overiť platnosť týchto vzorcov zostrojením pravdivostných tabuliek pre pravú a ľavú stranu oboch identít.

Znalosť pravidiel nahrádzania operácií implikácie a ekvivalencie pomáha napríklad správne zostrojiť negáciu implikácie.

Zvážte nasledujúci príklad.

Nech je uvedené vyhlásenie:

E = Nie je pravda, že ak vyhrám súťaž, dostanem cenu.

Nechaj A= Vyhrám súťaž

B = dostanem cenu.

Preto E = vyhrám súťaž, ale nedostanem cenu.

Nasledujúce pravidlá sú tiež zaujímavé:

Ich platnosť sa dá dokázať aj pomocou pravdivostných tabuliek.

Zaujímavý je ich prejav v prirodzenom jazyku.

Napríklad fráza

Ak Macko Pú jedol med, je sýty

identické s frázou

Ak Macko Pú nie je sýty, potom nezje med.

Cvičenie: vymyslite príklady fráz na základe týchto pravidiel.

2. Základné pojmy a definície v prílohe 1

3. Materiál pre zvedavcov v prílohe 2

4. Domáce úlohy

1) Naučte sa zákony logiky pomocou kurzu „Algebra logiky“, ktorý sa nachádza v informačnom priestore (www.learning.9151394.ru).

2) Skontrolujte dôkaz De Morganových zákonov na PC vytvorením pravdivostnej tabuľky.

Aplikácie

1. Základné pojmy a definície (príloha 1).
2. Materiál pre zvedavcov (príloha 2).

1.3.1. VYHLÁSENIE
1.3.2. LOGICKÉ OPERÁCIE
1.3.3. KONŠTRUKCIA PRAVDIVÝCH TABULÍK PRE LOGICKÉ VÝRAZY
1.3.4. VLASTNOSTI LOGICKÝCH OPERÁCIÍ
1.3.5. RIEŠENIE LOGICKÝCH PROBLÉMOV
1.3.6. LOGICKÉ PRVKY

1. Prečítajte si prezentačné materiály k odstavcu obsiahnutému v elektronickej prílohe učebnice. Dopĺňa prezentácia informácie obsiahnuté v texte odseku?

2. Vysvetlite, prečo nasledujúce vety nie sú výrokmi.
1) Akú farbu má tento dom?
2) Číslo X nepresahuje jednu.
3) 4X+3.
4) Pozrite sa von oknom.
5) Pite paradajkovú šťavu!
6) Táto téma je nudná.
7) Ricky Martin je najobľúbenejší spevák.
8) Boli ste v divadle?

3. Uveďte jeden príklad pravdivých a nepravdivých tvrdení z biológie, geografie, informatiky, histórie, matematiky, literatúry.

4. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite jednoduché tvrdenia a každé z nich označte písmenom; zapíšte si každý zložený výrok pomocou písmen a znakov logických operácií.
1) Číslo 376 je párne a trojmiestne.
2) V zime sa deti chodia korčuľovať alebo lyžovať.
3) Nový rok oslávime na dači alebo na Červenom námestí.
4) Nie je pravda, že Slnko sa pohybuje okolo Zeme.
5) Zem má tvar gule, ktorá sa z vesmíru javí ako modrá.
6) Stredoškoláci na hodine matematiky odpovedali na otázky učiteľa a písali aj samostatnú prácu.

5. Zostrojte negácie nasledujúcich tvrdení.

6. Nech A = „Anya má rada hodiny matematiky“ a B = „Anya má rada hodiny chémie.“ Vyjadrite nasledujúce vzorce v bežnom jazyku:

7. Určitý segment internetu pozostáva z 1000 stránok. Vyhľadávací server automaticky zostavil tabuľku kľúčových slov pre stránky v tomto segmente. Tu je jeho fragment:

920; 80.

8. Zostavte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce logické výrazy:

9. Poskytnite dôkaz o logických zákonoch, o ktorých sa hovorí v odseku, pomocou pravdivostných tabuliek.

10. V desiatkovej číselnej sústave sú uvedené tri čísla: A=23, B=19, C=26. Preveďte A, B a C do dvojkovej číselnej sústavy a vykonajte bitové logické operácie (A v B) a C. Odpoveď uveďte v desiatkovej číselnej sústave.

11. Nájdite význam výrazov:

12. Nájdite hodnotu logického výrazu (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Nech A = „Prvé písmeno mena je samohláska“, B = „Štvrté písmeno mena je spoluhláska.“ Nájdite hodnotu logického výrazu A v B pre nasledujúce názvy:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTON 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Prípad Johna, Browna a Smitha sa skúma. Je známe, že jeden z nich poklad našiel a ukryl. Počas vyšetrovania každý z podozrivých urobil dve vyhlásenia:
Smith: „Neurobil som to. Brown to urobil."
John: Brown nie je vinný. Smith to urobil."
Brown: „Neurobil som to. John to neurobil."
Súd zistil, že jeden z nich dvakrát klamal, druhý dvakrát povedal pravdu, tretí raz klamal a raz povedal pravdu. Ktorý podozrivý by mal byť oslobodený?
Odpoveď: Smith a John.

15. Alyosha, Borya a Grisha našli v zemi starodávnu nádobu. Pri skúmaní úžasného nálezu každý urobil dva predpoklady:
1) Alyosha: „Toto je grécke plavidlo a bolo vyrobené v 5. storočí.“
2) Borya: „Toto je fénické plavidlo a bolo vyrobené v 3. storočí.“
3) Grisha: "Toto plavidlo nie je grécke a bolo vyrobené v 4. storočí."
Učiteľ dejepisu povedal deťom, že každý z nich mal pravdu len v jednom z dvoch predpokladov. Kde a v ktorom storočí bola nádoba vyrobená?
Odpoveď: Fenická nádoba, vyrobená v 5. storočí.

16. Zistite, aký signál by mal byť na výstupe elektronického obvodu pre každú možnú množinu signálov na vstupoch. Vytvorte tabuľku, ako obvod funguje. Aký logický výraz opisuje obvod?

Konštrukcia pravdivostných tabuliek pre logické výrazy

Vyšetrenie základné logické operácie.

53. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok nájdených pomocou nich pre určitý segment internetu.

Žiadosť	Nájdené stránky (v tisícoch)
ČOKOLÁDA | ZEPHIR	15 000
ČOKOLÁDA A ZEPHIR	8 000
ZEPHIR	12 000

Koľko stránok (v tisícoch) sa nájde pre dopyt ČOKOLÁDA? Vyriešte problém pomocou Eulerových kruhov:

54. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok nájdených pomocou nich pre určitý segment internetu.

Žiadosť	Nájdené stránky (v tisícoch)
BISON & TOUR	5 000
BISON	18 000
TOUR	12 000

Koľko stránok (v tisícoch) sa nájde pre dopyt ZUBR | TOUR?Vyriešte problém pomocou Eulerových kruhov:

55. Tabuľka zobrazuje dopyty a počet stránok nájdených pomocou nich pre určitý segment internetu.

Žiadosť	Nájdené stránky (v tisícoch)
FUTBAL | HOKEJ	20 000
FUTBAL	14 000
HOKEJ	16 000

Koľko stránok (v tisícoch) sa nájde pre dopyt FUTBAL & HOKEJ? Vyriešte problém pomocou Eulerových kruhov:

Úlohy.

1. Vysvetlite, prečo nasledujúce vety nie sú výrokmi.

1) Akú farbu má tento dom?

2) Číslo X nepresahuje jednu.

4) Pozrite sa von oknom.

5) Pite paradajkovú šťavu!

6) Táto téma je nudná.

7) Ricky Martin je najobľúbenejší spevák.

8) Boli ste v divadle?

3. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite jednoduché tvrdenia a každé z nich označte písmenom; zapíšte si každý zložený výrok pomocou písmen a znakov logických operácií.

1) Číslo 376 je párne a trojmiestne.

2) V zime sa deti chodia korčuľovať alebo lyžovať.

3) Nový rok oslávime na dači alebo na Červenom námestí.

4) Nie je pravda, že Slnko sa pohybuje okolo Zeme.

5) Zem má tvar gule, ktorá sa z vesmíru javí ako modrá.

6) Stredoškoláci na hodine matematiky odpovedali na otázky učiteľa a písali aj samostatnú prácu.

4. Zostrojte negácie nasledujúcich tvrdení.

1)Dnes sa v divadle hrá opera „Eugene Onegin“.

2) Každý poľovník chce vedieť, kde bažant sedí.

3) Číslo 1 je prvočíslo.

4) Prirodzené čísla končiace na O nie sú prvočísla.

5) Nie je pravda, že číslo 3 nie je deliteľom čísla 198.

6) Kolya vyriešil všetky úlohy testu.

7) Na každej škole sa niektorí žiaci zaujímajú o šport.

8) Niektoré cicavce nežijú na súši.

5. Nech A = " Anya má rada hodiny matematiky", a B = " Ale nieMám rád hodiny chémie." Vyjadrite nasledujúce vzorce v bežnom jazyku:

6. Zvážte elektrické obvody zobrazené na obrázku:

Zobrazujú paralelné a sériové zapojenie spínačov, ktoré poznáte z vášho kurzu fyziky. V prvom prípade musia byť oba spínače zapnuté, aby sa svetlo rozsvietilo. V druhom prípade stačí, aby bol jeden zo spínačov zapnutý. Skúste sami nakresliť analógiu medzi prvkami elektrických obvodov a objektmi a operáciami logickej algebry:

Elektrická schéma	Algebra logiky
Prepínač
Zapnúť
Vypnúť
Sériové zapojenie spínačov
Paralelné zapojenie spínačov

7. Určitý segment internetu pozostáva z 1000 stránok. Vyhľadávací server automaticky zostavil tabuľku kľúčových slov pre stránky v tomto segmente. Tu je jeho fragment:

Kľúčové slovo	Počet stránok, pre ktoré je toto slovo kľúčovým slovom
sumca	250
mečovky	200
guppy	500

NA ZNAMENIE sumec a guppies Pre vašu požiadavku sa nenašlo 0 stránok sumec a mečúň- 20 miest a na požiadanie mečíky a gupky- 10 miest.Koľko stránok sa nájde na požiadanie? sumec | mečíky | guppy?
Pre koľko stránok v posudzovanom segmente je vyhlásenie nepravdivé?„Sumec – kľúčové slovo stránky ALEBO meče –kľúčové slovo stránky ALEBO guppy – kľúčové slovo stránky“?
8. Zostavte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce logické výrazy:

9. Dokážte logiku diskutovanú v odseku zákony pomocou pravdivostných tabuliek.

Dané tri čísla v desiatkovej číselnej sústave: A = 23, B = 19, C = 26. Preveďte A, B a C do dvojkovej číselnej sústavy a vykonajte bitové logické operácie (A v B) & C. Odpoveď uveďte v desiatkový číselný systém.
11. Nájdite význam výrazov:
1) (1 v 1) v (1 v 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1);
6) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1);
7) ((0 & 0) v 0) & (1 v 1);
8) (Av 1) v (B v 0);
9) ((1 & A) v (B & 0)) v 1;
10) 1 v A & 0.
12. Nájdite hodnotu boolovského výrazu

Pre špecifikované hodnoty čísla X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Vzorce a zákony logiky

Počas úvodnej lekcie na základy matematickej logiky, oboznámili sme sa so základnými pojmami tohto odvetvia matematiky a teraz dostáva téma prirodzené pokračovanie. Okrem nového teoretického, či skôr ani nie teoretického - ale všeobecného vzdelávacieho materiálu nás čakajú aj praktické úlohy, a preto ak ste na túto stránku prišli z vyhľadávača a/alebo sa v materiáli slabo orientujete, tak prosím nasledujte vyššie uvedený odkaz a začnite od predchádzajúceho článku. Okrem toho na cvičenie budeme potrebovať 5 pravdivostné tabuľky logické operácie ktoré ja vysoko odporucany prepísať rukou.

NEpamätajte si to, NEVYtlačte si to, ale radšej to znova pochopte a prepíšte na papier vlastnou rukou - tak, aby boli pred vašimi očami:

– tabuľka NIE;
– tabuľka I;
– tabuľka OR;
– implikačná tabuľka;
– tabuľka ekvivalencie.

Je to veľmi dôležité. V zásade by bolo vhodné ich očíslovať „Tabuľka 1“, „Tabuľka 2“ atď., ale opakovane som zdôraznil chybu tohto prístupu - ako sa hovorí, v jednom zdroji bude tabuľka prvá av inom - sto a prvá. Preto budeme používať „prirodzené“ názvy. Pokračujme:

V skutočnosti ste už oboznámení s konceptom logického vzorca. Dám vám štandard, ale celkom vtipný definícia: vzorce výrokové algebry sa nazývajú:

1) akékoľvek základné (jednoduché) vyhlásenia;

2) ak a sú vzorce, potom vzorce sú tiež vyjadrením formy
.

Neexistujú žiadne iné vzorce.

Vzorec je najmä akákoľvek logická operácia, ako napríklad logické násobenie. Venujte pozornosť druhému bodu - umožňuje rekurzívne spôsob, ako „vytvoriť“ ľubovoľne dlhý vzorec. Pretože - vzorce, potom - tiež vzorec; keďže a sú vzorce, teda – aj vzorec a pod. Akékoľvek elementárne vyhlásenie (opäť podľa definície) môžu byť zahrnuté do vzorca viac ako raz.

Vzorec nie je napríklad zápis - a tu je zjavná analógia s „algebraickým odpadom“, z ktorého nie je jasné, či je potrebné čísla sčítať alebo násobiť.

Logický vzorec si možno predstaviť ako logická funkcia. Napíšme rovnakú spojku vo funkčnom tvare:

Elementárne výroky v tomto prípade zohrávajú aj úlohu argumentov (nezávislých premenných), ktoré v klasickej logike môžu nadobúdať 2 významy: pravda alebo klamať. Nižšie pre pohodlie niekedy zavolám jednoduché vyhlásenia premenných.

Ako už bolo oznámené, volá sa tabuľka popisujúca logický vzorec (funkciu), pravdivostná tabuľka. Prosím - známy obrázok:

Princíp tvorby pravdivostnej tabuľky je nasledovný: „na vstupe“ musíte uviesť zoznam všetky možné kombinácie pravdy a lži, ktoré môžu mať elementárne tvrdenia (argumenty). V tomto prípade vzorec obsahuje dva výroky a je ľahké zistiť, že existujú štyri takéto kombinácie. „Na výstupe“ dostaneme zodpovedajúce logické hodnoty celého vzorca (funkcie).

Je potrebné povedať, že „výstup“ sa tu ukázal ako „v jednom kroku“, ale vo všeobecnosti je logický vzorec zložitejší. A v takýchto „ťažkých prípadoch“ musíte vyhovieť poradie vykonávania logických operácií:

– najprv sa vykoná negácia;
– po druhé – konjunkcia;
– potom – disjunkcia;
– potom implikácia;
– a nakoniec, rovnocennosť má najnižšiu prioritu.

Napríklad záznam znamená, že najprv musíte vykonať logické násobenie a potom logické sčítanie: . Rovnako ako v „obyčajnej“ algebre – „najskôr vynásobíme a potom sčítame“.

Poradie akcií je možné zmeniť obvyklým spôsobom - pomocou zátvoriek:
– tu sa v prvom rade vykoná disjunkcia a až potom „silnejšia“ operácia.

Asi každý chápe, ale pre každý prípad, hasič: a to dve rôzne vzorce! (formálne aj vecne)

Vytvorme pravdivostnú tabuľku pre vzorec. Tento vzorec obsahuje dva základné výroky a „na vstupe“ musíme uviesť všetky možné kombinácie jednotiek a núl. Aby sme sa vyhli nejasnostiam a nezrovnalostiam, dohodneme sa na uvedení kombinácií presne v tomto poradí (ktoré vlastne používam de facto od úplného začiatku):

Vzorec obsahuje dve logické operácie a podľa ich priority musíte najprv vykonať negácia Vyhlásenia. No, poďme poprieť stĺpec „pe“ – zmeníme jednotky na nuly a nuly na jednotky:

V druhom kroku sa pozrieme na stĺpce a aplikujeme na ne ALEBO operácia. Keď sa pozriem trochu dopredu, poviem, že disjunkcia je komutatívna (a sú to isté), a preto je možné stĺpce analyzovať v obvyklom poradí - zľava doprava. Pri vykonávaní logického sčítania je vhodné použiť nasledujúce aplikované uvažovanie: "Ak sú dve nuly, dáme nulu, ak je aspoň jedna jedna, dáme jednu.":

Pravdivostná tabuľka bola zostavená. Teraz si spomeňme na starú dobrú implikáciu:

...opatrne, pozorne... pri pohľade na celkové stĺpce.... Vo výrokovej algebre sa takéto vzorce nazývajú ekvivalent alebo identické:

(tri vodorovné čiary sú ikonou identity)

V 1. časti lekcie som sľúbil, že implikáciu vyjadrím prostredníctvom základných logických operácií a splnenie sľubu na seba nenechalo dlho čakať! Tí, ktorí si želajú, môžu do implikácie vložiť zmysluplný význam (napríklad „Ak prší, vonku je vlhko“) a nezávisle analyzovať ekvivalentné vyhlásenie.

Poďme formulovať všeobecná definícia: volajú sa dva vzorce ekvivalentný (identický), ak majú rovnaké hodnoty pre akúkoľvek množinu hodnôt obsiahnutú v týchto vzorcoch premenných (základné vyhlásenia). Tiež sa to hovorí "vzorce sú ekvivalentné, ak sa ich pravdivostné tabuľky zhodujú", ale toto slovné spojenie sa mi veľmi nepáči.

Cvičenie 1

Vytvorte pravdivostnú tabuľku pre vzorec a uistite sa, že identita, ktorú poznáte, je správna.

Zopakujme si poradie riešenia problému ešte raz:

1) Keďže vzorec obsahuje dve premenné, budú existovať celkom 4 možné sady núl a jednotiek. Zapisujeme ich v poradí uvedenom vyššie.

2) Implikácie sú „slabšie“ ako spojky, ale sú umiestnené v zátvorkách. Vyplníme stĺpec a je vhodné použiť nasledujúce aplikované zdôvodnenie: "ak nula nasleduje po jednotke, potom dáme nulu, vo všetkých ostatných prípadoch - jedna". Ďalej vyplníme stĺpec pre implikáciu a zároveň, pozor!– stĺpce by sa mali analyzovať „sprava doľava“!

3) A v záverečnej fáze vyplňte posledný stĺpec. A tu je vhodné uvažovať takto: „ak sú v stĺpcoch dve jednotky, dáme jednu, vo všetkých ostatných prípadoch – nulu“.

A nakoniec skontrolujeme pravdivostnú tabuľku rovnocennosť .

Základné ekvivalencie výrokovej algebry

Práve sme sa stretli s dvomi z nich, ale záležitosť sa, samozrejme, neobmedzuje len na nich. Existuje pomerne veľa identít a uvediem tie najdôležitejšie a najznámejšie z nich:

Komutivita konjunkcie a komutivita disjunkcie

Komutatívnosť- toto je zameniteľnosť:

Pravidlá známe z 1. ročníka: „Produkt (súčet) sa nemení preskupením faktorov (sčítaním)“. Ale napriek zjavnej elementárnej povahe tejto vlastnosti nie je vždy pravdivá; najmä je nekomutatívna násobenie matice (vo všeobecnosti ich nemožno zmeniť), A vektorový súčin vektorov– antikomutatívny (zmena usporiadania vektorov znamená zmenu znamienka).

A okrem toho tu chcem opäť zdôrazniť formalizmus matematickej logiky. Takže napríklad frázy "Študent zložil skúšku a pil" A „Študent vypil a zložil skúšku“ z obsahového hľadiska odlišné, no z hľadiska formálnej pravdivosti nerozoznateľné. ...Takýchto študentov pozná každý z nás a z etických dôvodov nebudeme uvádzať konkrétne mená =)

Asociativita logického násobenia a sčítania

Alebo, ak „v školskom štýle“ – koordinačná vlastnosť:

Distribučné vlastnosti

Upozorňujeme, že v druhom prípade bude nesprávne hovoriť o „otváraní zátvoriek“; v určitom zmysle je to „fikcia“ - koniec koncov, môžu byť úplne odstránené: , pretože násobenie je silnejšia operácia.

A opäť, tieto zdanlivo „banálne“ vlastnosti nie sú splnené vo všetkých algebraických systémoch a navyše vyžadujú dôkaz (o čom si čoskoro povieme). Mimochodom, druhý distributívny zákon neplatí ani v našej „obyčajnej“ algebre. A v skutočnosti:

Zákon idempotencie

Čo robiť, latinčina...

Len nejaká zásada zdravej psychiky: „Ja a ja som ja“, „ja alebo ja som tiež ja“ =)

A tu je niekoľko podobných identít:

...hmm, trochu som sa zasekol... takže zajtra sa možno zobudím s doktorátom =)

Zákon dvojitej negácie

Tu sa navrhuje príklad s ruským jazykom - každý dobre vie, že dve častice „nie“ znamenajú „áno“. A aby sa posilnila emocionálna konotácia odmietnutia, často sa používajú tri „nie“:
– aj s malým dôkazom to fungovalo!

Zákony absorpcie

-"Bol tam chlapec?" =)

V správnej identite môžu byť zátvorky vynechané.

De Morganove zákony

Predpokladajme, že prísny učiteľ (ktorého meno tiež poznáte :)) dáva skúšku, ak - Študent odpovedal na 1. otázku A – Študent odpovedal na 2. otázku. Potom vyhlásenie, ktoré hovorí, že Študent nie zložil skúšku, bude ekvivalentné tvrdeniu – Študent nie odpovedal na 1. otázku alebo k 2. otázke.

Ako je uvedené vyššie, ekvivalencie podliehajú dôkazu, ktorý sa zvyčajne vykonáva pomocou pravdivostných tabuliek. V skutočnosti sme už dokázali ekvivalencie vyjadrujúce implikáciu a ekvivalenciu a teraz je čas upevniť techniku ​​riešenia tohto problému.

Dokážme totožnosť. Keďže obsahuje jeden príkaz, na vstupe sú len dve možnosti: jedna alebo nula. Ďalej priradíme jeden stĺpec a aplikujeme na ne pravidlo I:

Výsledkom je, že výstupom je vzorec, ktorého pravdivosť sa zhoduje s pravdivosťou tvrdenia. Ekvivalencia bola preukázaná.

Áno, tento dôkaz je primitívny (a niektorí povedia „hlúpy“), no typický učiteľ matematiky z neho vytrasie dušu. Preto by sa ani s takýmito jednoduchými vecami nemalo zaobchádzať s pohŕdaním.

Teraz si overme napríklad platnosť de Morganovho zákona.

Najprv vytvorte pravdivostnú tabuľku pre ľavú stranu. Keďže je disjunkcia v zátvorkách, vykonáme ju najskôr, potom stĺpec negujeme:

Ďalej vytvorte pravdivostnú tabuľku pre pravú stranu. Aj tu je všetko transparentné - najskôr vykonáme „silnejšie“ negácie a potom ich aplikujeme na stĺpce pravidlo I:

Výsledky sa zhodovali, takže identita bola preukázaná.

Vo formulári môže byť znázornená akákoľvek rovnocennosť identické so skutočným vzorcom. Znamená to, že PRE AKÚKOĽVEK počiatočnú sadu núl a jednotiek„Výstup“ je striktne jeden. A existuje na to veľmi jednoduché vysvetlenie: keďže sa pravdivostné tabuľky zhodujú, potom sú, samozrejme, ekvivalentné. Prepojme napríklad ľavú a pravú stranu práve preukázanej de Morganovej identity ekvivalenciou:

Alebo kompaktnejšie:

Úloha 2

Dokážte nasledujúce ekvivalencie:

b)

Krátke riešenie na konci hodiny. Nebuďme leniví! Snažte sa nielen vytvárať pravdivostné tabuľky, ale aj jasne formulovať závery. Ako som nedávno poznamenal, zanedbávanie jednoduchých vecí môže byť veľmi, veľmi drahé!

Pokračujeme v oboznamovaní sa so zákonmi logiky!

Áno, je to tak – už s nimi usilovne pracujeme:

Pravda pri , volal identické so skutočným vzorcom alebo zákon logiky.

Vzhľadom na predtým odôvodnený prechod od ekvivalencie k identicky pravdivému vzorcu, všetky vyššie uvedené identity predstavujú zákony logiky.

Vzorec, ktorý má hodnotu Klamať pri akýkoľvek súbor hodnôt premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté, volal rovnako nepravdivý vzorec alebo rozpor.

Typický príklad protirečenia od starých Grékov:
- žiadne tvrdenie nemôže byť pravdivé a zároveň nepravdivé.

Dôkaz je triviálny:

„Výstup“ obsahuje iba nuly, preto je vzorec skutočne taký identický nepravdivý.

Akýkoľvek rozpor je však aj zákon logiky, najmä:

Nie je možné obsiahnuť takú rozsiahlu tému v jednom jedinom článku, a preto sa obmedzím len na niekoľko ďalších zákonov:

Zákon vylúčeného stredu

– v klasickej logike je akékoľvek tvrdenie pravdivé alebo nepravdivé a neexistuje žiadna tretia možnosť. „Byť či nebyť“ – to je otázka.

Urobte si znamenie pravdy a presvedčte sa, že je rovnako pravdivé vzorec.

Zákon protikladu

O tomto zákone sa aktívne diskutovalo, keď sme diskutovali o podstate nevyhnutná podmienka, pamätáme si: "Ak je vonku vlhko, keď prší, potom z toho vyplýva, že ak je vonku sucho, tak určite nepršalo.".

Z tohto zákona tiež vyplýva, že ak je spravodlivé rovno teorém, potom výrok, ktorý sa niekedy nazýva opak teorém.

Ak pravda obrátene veta, potom na základe zákona o kontrapozícii platí aj veta, opak naopak:

A opäť sa vráťme k našim zmysluplným príkladom: k výrokom – číslo je deliteľné 4, – číslo je deliteľné 2 fér rovno A opak teorémy, ale nepravdivé obrátene A opak naopak teorémy. Pre „dospelú“ formuláciu Pytagorovej vety sú všetky 4 „smery“ pravdivé.

Zákon sylogizmu

Tiež klasika žánru: "Všetky duby sú stromy, všetky stromy sú rastliny, preto sú všetky duby rastliny.".

No a tu by som opäť rád poznamenal formalizmus matematickej logiky: ak si náš prísny Učiteľ myslí, že istý Študent je dub, tak z formálneho hľadiska je tento Študent určite rastlina =) ... hoci, ak premýšľajte o tom, potom možno aj z neformálneho hľadiska =)

Vytvorme pravdivostnú tabuľku pre vzorec. V súlade s prioritou logických operácií dodržiavame nasledujúci algoritmus:

1) vykonávame dôsledky a . Vo všeobecnosti môžete okamžite vykonať 3. implikáciu, ale je to pohodlnejšie (a prijateľné!) prísť na to trochu neskôr;

2) platí pre stĺpce pravidlo I;

3) teraz vykonáme;

4) a v poslednom kroku aplikujeme implikáciu na stĺpce A .

Neváhajte a ovládajte proces ukazovákom a prostredníkom :))


Z posledného stĺpca si myslím, že je všetko jasné bez komentára:
, čo bolo potrebné dokázať.

Úloha 3

Zistite, či je nasledujúci vzorec zákonom logiky:

Krátke riešenie na konci hodiny. Aha, a skoro by som zabudol – dohodnime sa, že pôvodné množiny núl a jednotiek uvedieme presne v rovnakom poradí ako pri dokazovaní zákona sylogizmu. Samozrejme, riadky sa dajú preusporiadať, ale to bude veľmi ťažké porovnávať s mojím riešením.

Konverzia logických vzorcov

Okrem ich „logického“ účelu sa ekvivalencie široko používajú na transformáciu a zjednodušenie vzorcov. Zhruba povedané, jedna časť identity môže byť vymenená za inú. Ak teda napríklad v logickom vzorci narazíte na fragment, potom podľa zákona idempotencie namiesto neho môžete (a mali by ste) napísať jednoducho . Ak vidíte, potom podľa zákona absorpcie zjednodušte zápis na. A tak ďalej.

Okrem toho je tu ešte jedna dôležitá vec: identity platia nielen pre elementárne výroky, ale aj pre ľubovoľné vzorce. Napríklad:

, kde – akýkoľvek (tak zložité, ako chcete) vzorce.

Transformujme napríklad komplexnú implikáciu (prvá identita):

Ďalej na zátvorku aplikujeme „komplexný“ de Morganov zákon a vzhľadom na prioritu operácií je to zákon, kde :

Zátvorky je možné odstrániť, pretože vnútri je „silnejšia“ spojka:

No, s komutativitou je vo všeobecnosti všetko jednoduché - ani netreba nič označovať... niečo o zákone sylogizmu sa mi vrylo do duše :))

Zákon teda môže byť prepísaný do zložitejšej podoby:

Povedzte nahlas logickú reťaz „s dubom, stromom, rastlinou“ a pochopíte, že podstatný význam zákona sa zmenou usporiadania dôsledkov vôbec nezmenil. Až na to, že formulácia sa stala originálnejšou.

Ako cvičenie si zjednodušíme vzorec.

kde začať? V prvom rade pochopte poradie akcií: tu sa negácia aplikuje na celú zátvorku, ktorá je k výroku „upevnená“ „trochu slabšou“ spojkou. V podstate máme pred sebou logický súčin dvoch faktorov: . Zo zostávajúcich dvoch operácií má implikácia najnižšiu prioritu, a preto má celý vzorec nasledujúcu štruktúru: .

Prvým krokom (krokmi) je zvyčajne zbaviť sa ekvivalencie a implikácie (ak sú) a zredukovať vzorec na tri základné logické operácie. Čo môžem povedať... Logické.

(1) Používame identitu . A v našom prípade.

Potom zvyčajne nasleduje „účtovanie“ so zátvorkami. Najprv celé riešenie, potom komentáre. Aby som sa vyhol „maslu a maslu“, použijem „bežné“ symboly rovnosti:

(2) Na vonkajšie zátvorky aplikujeme De Morganov zákon, kde .

§ 1.3. Prvky logiky algebry

Prvky algebry logiky. Otázky a úlohy

1. Prečítajte si prezentačné materiály k odstavcu obsiahnutému v elektronickej prílohe učebnice. Dopĺňa prezentácia informácie obsiahnuté v texte odseku?

2. Vysvetlite, prečo nasledujúce vety nie sú výrokmi.

1) Akú farbu má tento dom?
2) Číslo X nepresahuje jednu.
3) 4x + 3.
4) Pozrite sa von oknom.
5) Pite paradajkovú šťavu!
6) Táto téma je nudná.
7) Ricky Martin je najobľúbenejší spevák.
8) Boli ste v divadle?

3. Uveďte jeden príklad pravdivých a nepravdivých tvrdení z biológie, geografie, informatiky, histórie, matematiky, literatúry.

4. V nasledujúcich tvrdeniach zvýraznite jednoduché tvrdenia a každé z nich označte písmenom; zapíšte si každý zložený výrok pomocou písmen a znakov logických operácií.

1) Číslo 376 je párne a trojmiestne.
2) V zime sa deti chodia korčuľovať alebo lyžovať.
3) Nový rok oslávime na dači alebo na Červenom námestí.
4) Nie je pravda, že Slnko sa pohybuje okolo Zeme.
5) Zem má tvar gule, ktorá sa z vesmíru javí ako modrá.
6) Stredoškoláci na hodine matematiky odpovedali na otázky učiteľa a písali aj samostatnú prácu.

5. Zostrojte negácie nasledujúcich tvrdení.

1) Dnes sa v divadle hrá opera „Eugene Onegin“.
2) Každý poľovník chce vedieť, kde bažant sedí.
3) Číslo 1 je prvočíslo.
4) Prirodzené čísla končiace na 0 nie sú prvočísla.
5) Nie je pravda, že číslo 3 nie je deliteľom čísla 198.
6) Kolya vyriešil všetky úlohy testu.
7) Na každej škole sa niektorí žiaci zaujímajú o šport.
8) Niektoré cicavce nežijú na súši.

6. Nech A = “Anya má rada hodiny matematiky” a B = „Anya má rada hodiny chémie“. Vyjadrite nasledujúce vzorce v bežnom jazyku:

7. Určitý segment internetu pozostáva z 1000 stránok. Vyhľadávací server automaticky zostavil tabuľku kľúčových slov pre stránky v tomto segmente. Tu je jeho fragment:

NA ZNAMENIE sumec a guppies Pre vašu požiadavku sa nenašlo 0 stránok sumec a mečúň- 20 miest a na požiadanie mečíky a gupky- 10 miest.

Koľko stránok sa nájde na požiadanie? sumec | mečíky | guppy?

Pre koľko stránok v posudzovanom segmente je vyhlásenie nepravdivé? "Sumec je kľúčové slovo stránky ALEBO meče je kľúčové slovo stránky ALEBO guppies je kľúčové slovo stránky"?

8. Zostavte pravdivostné tabuľky pre nasledujúce logické výrazy:

9. Vykonajte dôkaz o logických zákonitostiach uvedených v odseku pomocou pravdivostných tabuliek.