Zvážte krivočiary integrál

zobratej pozdĺž nejakej rovinnej krivky L spájajúcej body M a N. Budeme predpokladať, že funkcie majú spojité parciálne derivácie v uvažovanej oblasti D. Zistime, za akých podmienok zapísaný krivočiary integrál nezávisí od tvaru krivky L , ale závisí len od polohy počiatočných a konečných bodov M a N.

Uvažujme dve ľubovoľné krivky MPN a MQN, ležiace v uvažovanej oblasti D a spájajúce body M a N (obr. 351). Nechaj

Potom na základe vlastností 1 a 2 krivočiarych integrálov (§ 1) máme

t.j. linkový integrál cez uzavretú slučku

V poslednom vzorci je priamkový integrál prevzatý cez uzavretý obrys L zložený z kriviek. Tento obrys L možno samozrejme považovať za ľubovoľný.

Teda z podmienky, že pre ľubovoľné dva body M a N úsečka integrálu nezávisí od tvaru krivky, ktorá ich spája, ale závisí len od polohy týchto bodov, vyplýva, že úsečka integrálu pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu je rovnaká. na nulu.

Platí aj opačný záver: ak sa krivočiary integrál na akomkoľvek uzavretom obryse rovná nule, potom tento krivočiary integrál nezávisí od tvaru krivky spájajúcej dva body, ale závisí iba od polohy týchto bodov. V skutočnosti rovnosť (2) znamená rovnosť (1).

V príklade 4 § 2 krivočiary integrál nezávisí od cesty integrácie; v príklade 3 krivočiary integrál závisí od cesty integrácie, pretože v tomto príklade sa integrál nad uzavretým obrysom nerovná nule, ale dáva oblasť ohraničená príslušným obrysom; v príkladoch 1 a 2 priamkové integrály závisia aj od cesty integrácie.

Prirodzene vyvstáva otázka: aké podmienky musia funkcie spĺňať, aby sa krivočiary integrál pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu rovnal nule. Odpoveď na túto otázku poskytuje nasledujúca veta:

Veta. Nech sú funkcie spolu s ich parciálnymi deriváciami spojité vo všetkých bodoch nejakej oblasti D. Potom, aby sa krivočiary integrál cez akýkoľvek uzavretý obrys L ležiaci v oblasti D rovnal nule, t.j.

je to nevyhnutné a postačujúce, aby bola rovnosť naplnená

vo všetkých horúčavách regiónu

Dôkaz. Uvažujme ľubovoľný uzavretý obrys L v doméne D a napíšme preň Greenov vzorec:

Ak je splnená podmienka (3), potom sa dvojitý integrál naľavo rovná nule, a preto

Tým je dokázaná dostatočnosť podmienky (3).

Dokážme teraz nevyhnutnosť tejto podmienky, t. j. dokážeme, že ak je splnená rovnosť (2) pre akúkoľvek uzavretú krivku L v oblasti D, tak v každom bode tejto oblasti je splnená aj podmienka (3).

Predpokladajme naopak, že je splnená rovnosť (2), t.j.

a podmienka (3) nie je splnená, t.j.

aspoň v jednom bode. Nech máme napríklad v určitom bode nerovnosť

Keďže ľavá strana nerovnosti obsahuje spojitú funkciu, bude kladná a väčšia ako určité číslo vo všetkých bodoch nejakej dostatočne malej domény D obsahujúcej bod . Zoberme si dvojitý integrál cez túto oblasť rozdielu. Bude to mať pozitívny význam. naozaj,

Ale podľa Greenovho vzorca sa ľavá strana poslednej nerovnosti rovná krivočiaremu integrálu pozdĺž hranice oblasti, ktorý sa rovná nule. V dôsledku toho posledná nerovnosť odporuje podmienke (2), a preto je predpoklad, že sa líši od nuly aspoň v jednom bode, nesprávny. Odtiaľ

z toho vyplýva

vo všetkých bodoch v tejto oblasti

Veta je teda úplne dokázaná.

V § 9 písm. XIII bolo dokázané, že splnenie podmienky je ekvivalentné tomu, že výraz je celkovým diferenciálom nejakej funkcie, t.j.

Ale v tomto prípade vektor

existuje gradient funkcie, ktorej gradient sa rovná vektoru, sa nazýva potenciál tohto vektora. Ukážme, že v tomto prípade krivočiary integrál

Pre akúkoľvek krivku L spájajúcu body M a N sa (M) rovná rozdielu medzi hodnotami funkcie a v týchto bodoch:

Dôkaz. Ak je úplný diferenciál funkcie, potom krivkový integrál bude mať tvar

Na výpočet tohto integrálu napíšeme parametrické rovnice krivky L spájajúcej body M a

integrál sa zredukuje na nasledujúci určitý integrál:

Výraz v zátvorkách je funkciou, ktorá je úplnou deriváciou funkcie Preto

Ako vidíme, priamkový integrál celkového diferenciálu nezávisí od tvaru krivky, pozdĺž ktorej sa integrácia vykonáva.

Podobné tvrdenie platí pre krivočiary integrál nad priestorovou krivkou (pozri § 7 nižšie).

Komentujte. Niekedy je potrebné zvážiť krivočiare integrály pozdĺž oblúkovej dĺžky L nejakej funkcie

6. Vzorec pre priemernú hodnotu pre určitý integrál.

7. Integrálna s variabilnou hornou hranicou. Jeho kontinuita a diferencovateľnosť.

8. Newton-Leibnizov vzorec pre určitý integrál.

9. Výpočet určitého integrálu po častiach a zmena premennej.

10. Aplikácia určitého integrálu (plocha rovinného útvaru, dĺžka oblúka krivky, objem rotačného telesa).

11. Pojem číselného radu a jeho súčet. Cauchyho kritérium pre sériovú konvergenciu. Nevyhnutná podmienka pre konvergenciu.

12. Delambertove a Cauchyho testy na konvergenciu radov s nezápornými členmi.

13. Integrálny Cauchyho test na konvergenciu číselného radu.

14. Striedavý číselný rad. Absolútna a podmienená konvergencia. Striedajúce sa riadky. Leibnizov znak.

15. Funkčný rad. Súčet série. Určenie rovnomernej konvergencie radu. Cauchyho kritérium pre rovnomernú konvergenciu funkčného radu.

16. Weierstrassov test rovnomernej konvergencie.

18. Mocninný rad. Abelova veta.

19. Polomer konvergencie mocninných radov. Cauchyho-Hadamardov vzorec pre polomer konvergencie mocninového radu.

21. Funkcie mnohých premenných. Koncept n-rozmerného euklidovského priestoru. Množina bodov v euklidovskom priestore. Postupnosť bodov a jej limit. Definícia funkcie viacerých premenných.

22. Limita funkcie viacerých premenných. Kontinuita funkcie. Parciálne deriváty.

23. Definícia diferencovateľnej funkcie viacerých premenných a jej diferenciál. Deriváty a diferenciály vyšších rádov.

24. Taylorov vzorec pre funkciu viacerých premenných. Extrém funkcie viacerých premenných. Nevyhnutná podmienka pre extrém. Dostatočný stav pre extrém.

25. Dvojný integrál a jeho vlastnosti. Redukcia dvojitého integrálu na opakovaný.

27. Zmena premenných v trojnom integráli. Cylindrické a sférické súradnice.

28. Výpočet plochy hladkého povrchu, daný parametricky a explicitne.

29. Definícia krivočiarych integrálov prvého a druhého druhu, ich základné vlastnosti a výpočet.

30. Greenov vzorec. Podmienky nezávislosti krivočiareho integrálu od cesty integrácie.

31. Plošné integrály prvého a druhého druhu, ich základné vlastnosti a výpočet.

32. Gaussova-Ostrogradského veta, jej záznam v súradnicovej a vektorovej (invariantnej) forme.

33. Stokesov vzorec, jeho záznam v súradnicovom a vektorovom (invariantnom) tvare.

34. Skalárne a vektorové polia. Gradient, divergencia, rotor. Potenciálne a solenoidové polia.

35. Hamiltonov operátor. (nábla) jeho aplikácia (príklady).

36. Základné pojmy súvisiace s obyčajnými diferenciálnymi rovnicami (ODR) prvého rádu: všeobecné a partikulárne riešenia, všeobecný integrál, integrálna krivka. Cauchyho problém, jeho geometrický význam.

37. Integrácia ód prvého rádu so separovateľnými a homogénnymi premennými.

38. Integrácia lineárnych ód prvého rádu a Bernoulliho rovníc.

39. Integrácia ód prvého rádu v polárnych diferenciáloch. Integračný faktor.

40. Diferenciálne rovnice prvého rádu neriešené vzhľadom na deriváciu. Metóda zadávania parametrov.

41. Rovnica n-tého rádu s konštantnými koeficientmi. Charakteristická rovnica. Základná sústava riešení (fsr) homogénnej rovnice, všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice.

42. Systém lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu. Fsr homogénneho systému. Všeobecné riešenie homogénneho systému.

30. Greenov vzorec. Podmienky nezávislosti krivočiareho integrálu od cesty integrácie.

Greenov vzorec: Ak C je uzavretá hranica definičného oboru D a funkcie P(x,y) a Q(x,y) spolu s ich parciálnymi deriváciami prvého rádu sú spojité v uzavretej oblasti D (vrátane hranice C ), potom platí Greenov vzorec: a obtok okolo obrysu C sa vyberie tak, že oblasť D zostane vľavo.

Z prednášok: Nech sú dané funkcie P(x,y) a Q(x,y), ktoré sú spojité v oblasti D spolu s parciálnymi deriváciami prvého rádu. Integrál cez hranicu (L), celý obsiahnutý v oblasti D a obsahujúci všetky body v oblasti D: . Kladný smer obrysu je, keď je obmedzená časť obrysu vľavo.

Podmienka nezávislosti krivočiareho integrálu 2. druhu od integračnej dráhy. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou toho, že krivočiary integrál prvého druhu spájajúci body M1 a M2 nezávisí od dráhy integrácie, ale závisí len od začiatočného a koncového bodu, je rovnosť:.

.

31. Plošné integrály prvého a druhého druhu, ich základné vlastnosti a výpočet.

– špecifikácia povrchu.

Premietnime S na rovinu xy a získame oblasť D. Oblasť D s mriežkou čiar rozdelíme na časti nazývané Di. Z každého bodu každej priamky nakreslíme priamky rovnobežné so z, potom sa S rozdelí na Si. Urobme integrálny súčet: . Nasmerujme maximálny priemer Di na nulu:, dostaneme:

Toto je povrchový integrál prvého druhu

Takto sa vypočíta plošný integrál prvého druhu.

Definícia v skratke. Ak existuje konečná limita integrálneho súčtu, nezávisle od spôsobu rozdelenia S na elementárne úseky Si a výberu bodov, potom sa nazýva plošný integrál prvého druhu.

Pri prechode z premenných x a y na u a v:

P plošný integrál má všetky vlastnosti obyčajného integrálu. Pozri otázky vyššie.

Definícia plošného integrálu druhého druhu, jeho základné vlastnosti a výpočet. Spojenie s integrálom prvého druhu.

Nech je daná plocha S ohraničená priamkou L (obr. 3.10). Zoberme si nejaký obrys L na ploche S, ktorý nemá spoločné body s hranicou L. V bode M obrysu L môžeme obnoviť dve normály na plochu S. Zvoľme si jeden z týchto smerov. Nakreslíme bod M pozdĺž obrysu L so zvoleným normálovým smerom.

Ak sa bod M vráti do svojej pôvodnej polohy s rovnakým smerom normály (a nie opačným), potom sa plocha S nazýva obojstranná. Budeme brať do úvahy iba obojstranné povrchy. Obojstranný povrch je akýkoľvek hladký povrch s rovnicou .

Nech S je obojstranná otvorená plocha ohraničená priamkou L, ktorá nemá žiadne vlastné priesečníky. Vyberme si určitú stranu povrchu. Kladný smer prechodu vrstevnice L budeme nazývať taký smer, v ktorom pri pohybe po zvolenej strane plochy samotná plocha zostáva vľavo. Obojstranná plocha s kladným smerom na prechádzanie obrysov na nej vytvorených týmto spôsobom sa nazýva orientovaná plocha.

Prejdime ku konštrukcii plošného integrálu druhého druhu. Zoberme si obojstrannú plochu S v priestore, pozostávajúcu z konečného počtu kusov, z ktorých každý je daný rovnicou tvaru alebo je to valcová plocha s generátormi rovnobežnými s osou Oz.

Nech R(x,y,z) je funkcia definovaná a spojitá na ploche S. Pomocou siete priamok rozdelíme S ľubovoľne na n „elementárnych“ úsekov ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, ktoré nemajú spoločné vnútorné body. Na každom úseku ΔSi ľubovoľne vyberieme bod Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Nech (ΔSi)xy je plocha priemetu rezu ΔSi na súradnicovú rovinu Oxy, braná so znamienkom „+“, ak je kolmica na plochu S v bode Mi(xi,yi,zi) ( i=1,...,n) tvorí s osou Oz ostrý uhol a so znamienkom „–“, ak je tento uhol tupý. Zostavme integrálny súčet pre funkciu R(x,y,z) nad plochou S v premenných x,y: . Nech λ je najväčší z priemerov ΔSi (i = 1, ..., n).

Ak existuje konečná limita, ktorá nezávisí od spôsobu rozdelenia plochy S na „elementárne“ úseky ΔSi a od výberu bodov, potom sa nazýva plošný integrál nad vybranou stranou plochy S funkcie R. (x,y,z) pozdĺž súradníc x, y (alebo plošného integrálu druhého druhu) a označuje sa .

Podobne môžete zostrojiť integrály povrchu nad súradnicami x, z alebo y, z pozdĺž zodpovedajúcej strany povrchu, t.j. A .

Ak všetky tieto integrály existujú, potom môžeme zaviesť „všeobecný“ integrál nad zvolenou stranou plochy: .

Plošný integrál druhého druhu má obvyklé vlastnosti integrálu. Poznamenávame len, že akýkoľvek plošný integrál druhého druhu zmení znamienko, keď sa zmení strana plochy.

Vzťah medzi plošnými integrálmi prvého a druhého druhu.

Nech je plocha S daná rovnicou: z = f(x,y) a f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) sú spojité funkcie v uzavretom doména τ (priemety plochy S do roviny súradníc Oxy), a funkcia R(x,y,z) je spojitá na ploche S. Normála na plochu S, ktorá má smerové kosíny cos α, cos β, cos γ, sa vyberie na hornú stranu plochy S. Potom .

Pre všeobecný prípad máme:

=

"

Uvažujme krivočiary integrál 2. druhu, kde L– krivka spájajúca body M A N. Nechajte funkcie P(x, y) A Q(x, y) majú v nejakej doméne spojité parciálne deriváty D, ktorá obsahuje celú krivku L. Určme podmienky, za ktorých uvažovaný krivočiary integrál nezávisí od tvaru krivky L, ale len na umiestnenie bodov M A N.

Nakreslíme dve ľubovoľné krivky MPN A MQN, ležiace v areáli D a spojovacích bodov M A N(obr. 1).

M N Ryža. 1. P

Predpokladajme, že áno

Potom kde L– uzavretý obrys tvorený krivkami MPN A N.Q.M.(preto ho možno považovať za ľubovoľný). Podmienka nezávislosti krivočiareho integrálu 2. druhu od integračnej dráhy je teda ekvivalentná podmienke, že takýto integrál na akomkoľvek uzavretom obryse je rovný nule.

Veta 1. Nech na všetkých miestach nejakého regiónu D funkcie sú nepretržité P(x, y) A Q(x, y) a ich parciálne deriváty a . Potom, aby sa akýkoľvek uzavretý obrys L, ležiace v areáli D, podmienka bola splnená

Je potrebné a postačujúce, aby = vo všetkých bodoch regiónu D.

Dôkaz .

1) Dostatok: nech je podmienka = splnená. Zvážte ľubovoľnú uzavretú slučku L v oblasti D, obmedzenie oblasti S a napíšte preň Greenov vzorec:

Dokázala sa teda dostatočnosť.

2) Nevyhnutnosť: predpokladajme, že podmienka je splnená v každom bode regiónu D, ale v tejto oblasti je aspoň jeden bod, v ktorom - ≠ 0. Nech napr. P(x 0, y 0)- > 0. Keďže ľavá strana nerovnosti obsahuje spojitú funkciu, bude kladná a väčšia ako nejaké δ > 0 v nejakej malej oblasti D' obsahujúci bod R. teda

Odtiaľ pomocou Greenovho vzorca získame to , kde L'- obrys ohraničujúci plochu D'. Tento výsledok je v rozpore s podmienkou. Preto = vo všetkých bodoch regiónu D, čo bolo potrebné dokázať.

Poznámka 1 . Podobne pre trojrozmerný priestor možno preukázať, že nevyhnutné a postačujúce podmienky pre nezávislosť krivočiareho integrálu

z integračnej cesty sú:

Poznámka 2. Ak sú splnené podmienky (28/1,18), vyjadrenie Pdx + Qdy + Rdz je celkový diferenciál nejakej funkcie A. To nám umožňuje zredukovať výpočet krivočiareho integrálu na určenie rozdielu medzi hodnotami A na konečných a východiskových bodoch integračného obrysu, od r

V tomto prípade funkcia A možno nájsť pomocou vzorca

Kde ( x 0, y 0, z 0)– bod z oblasti D,a C– ľubovoľná konštanta. V skutočnosti je ľahké overiť, že parciálne derivácie funkcie A, dané vzorcom (28/1,19), sú rovnaké P, Q A R.

Ostrogradsky-Green vzorec

Tento vzorec vytvára spojenie medzi krivočiarym integrálom cez uzavretý obrys C a dvojitým integrálom cez oblasť obmedzenú týmto obrysom.

Definícia 1. Oblasť D sa nazýva jednoduchá oblasť, ak ju možno rozdeliť na konečný počet oblastí prvého typu a nezávisle od toho na konečný počet oblastí druhého typu.

Veta 1. Nech sú funkcie P(x,y) a Q(x,y) definované v jednoduchej oblasti a sú spojité spolu s ich parciálnymi deriváciami a

Potom vzorec platí

kde C je uzavretý obrys oblasti D.

Toto je Ostrogradsky-Green vzorec.

Podmienky nezávislosti krivočiareho integrálu od cesty integrácie

Definícia 1. Uzavretá kvadratická oblasť D sa nazýva jednoducho spojená, ak akákoľvek uzavretá krivka l D môže byť plynule deformovaná do bodu tak, že všetky body tejto krivky by patrili do oblasti D (oblasť bez „dier“ - D 1) , ak takáto deformácia nie je možná, potom sa oblasť nazýva viacnásobne spojená (s „dierami“ - D 2).

Definícia 2. Ak hodnota krivkového integrálu pozdĺž krivky AB nezávisí od typu krivky spájajúcej body A a B, potom sa tento krivkový integrál považuje za nezávislý od cesty integrácie:

Veta 1. Nech sú spojité funkcie P(x,y) a Q(x,y) definované v uzavretej jednoducho súvislej oblasti D spolu s ich parciálnymi deriváciami. Potom sú nasledujúce 4 podmienky ekvivalentné:

1) krivočiary integrál nad uzavretou slučkou

kde C je akákoľvek uzavretá slučka v D;

2) krivočiary integrál nad uzavretou slučkou nezávisí od cesty integrácie v oblasti D, t.j.

3) diferenciálny tvar P(x,y)dx + Q(x,y)dy je celkový diferenciál nejakej funkcie F v oblasti D, t.j. existuje funkcia F taká, že (x,y) D je rovnosť drží

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) pre všetky body (x,y) D bude splnená nasledujúca podmienka:

Dokážme to pomocou diagramu.

Dokážme, že z.

Nech je daný 1), t.j. = 0 podľa vlastnosti 2 §1, čo = 0 (podľa vlastnosti 1 §1) .

Dokážme, že z.

Je dané, že kr.int. nezávisí od cesty integrácie, ale iba od voľby začiatku a konca cesty

Zvážte funkciu

Ukážme, že diferenciálny tvar P(x,y)dx + Q(x,y)dy je úplný diferenciál funkcie F(x,y), t.j. , Čo

Nastavme súkromný rast

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(podľa vlastnosti 3 § 1, BB* Oy) = = P (c,y)x (podľa vety o strednej hodnote, c -const), kde x

(kvôli kontinuite funkcie P). Získali sme vzorec (5). Vzorec (6) sa získa podobne.

Dokážme, že z.

Vzorec je daný

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Je zrejmé, že = P(x,y). Potom

Podľa podmienok vety sú pravé strany rovnosti (7) a (8) spojité funkcie, potom podľa vety o rovnosti zmiešaných derivácií budú rovnaké aj ľavé strany, t. že

Dokážme, že zo 41.

Vyberme si ľubovoľný uzavretý obrys z oblasti D, ktorý ohraničuje oblasť D 1 .

Funkcie P a Q spĺňajú Ostrogradského-Greenove podmienky:

Na základe rovnosti (4) sa na ľavej strane (9) integrál rovná 0, čo znamená, že pravá strana rovnosti sa tiež rovná

Poznámka 1. Veta 1 môže byť formulovaná vo forme troch nezávislých viet

Veta 1*. Aby jednoducho spojená kvadratická doména D mala zakrivenú int. nezáviselo od cesty integrácie tak, aby bola splnená podmienka (.1), t.j.

Veta 2*. Aby jednoducho spojená kvadratická doména D mala zakrivenú int. nezáviselo od cesty integrácie, takže podmienka (3) je splnená:

diferenciálny tvar P(x,y)dx + Q(x,y)dy je celkový diferenciál niektorej funkcie F v oblasti D.

Veta 3*. Aby jednoducho spojená kvadratická doména D mala zakrivenú int. nezáviselo od cesty integrácie, takže podmienka (4) je splnená:

Poznámka 2. Vo vete 2* môže byť doména D tiež násobne spojená.

Definícia. Oblasť G trojrozmerného priestoru sa nazýva povrchne jednoducho spojená. ak môže byť uzavretý obrys ležiaci v tejto oblasti pretiahnutý plochou, ktorá leží úplne v oblasti G. Napríklad vnútro gule alebo celý trojrozmerný priestor sú povrchovo jednoducho spojené oblasti; Vnútro torusu alebo trojrozmerný priestor, v ktorom je vylúčená čiara, nie sú povrchne jednoducho spojené oblasti. Nech je dané spojité vektorové pole v povrchovo jednoducho spojenej oblasti G. Potom platí nasledujúca veta. Veta 9. Aby krivočiary integrál v obore vektora a nezávisel od dráhy integrácie, ale závisel len od počiatočného a koncového bodu dráhy (A a B), je potrebné a postačujúce, aby cirkulácia vektora a pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L nachádzajúceho sa v oblasti G bola rovná nule. 4 Nevyhnutnosť. Predpokladajme, že t-egral nezávisí od cesty integrácie. Ukážme, že potom pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L sa rovná nule. Uvažujme ľubovoľný uzavretý obrys L v poli vektora a a zoberme na ňom ľubovoľné body A a B (obr. 35). Podľa podmienky máme rôzne cesty spájajúce body A a B, z ktorých je presne zvolený uzavretý obrys L. Dostatok. Nech pre akúkoľvek uzavretú kontúru L. Ukážme, že v tomto prípade integrál nezávisí od integračnej dráhy. Zoberme dva body A a B v poli vektora a, spojíme ich ľubovoľnými priamkami L1 a L2 a ukážeme, že Pre jednoduchosť sa obmedzíme na prípad, keď sa priamky L1 a L2 nepretínajú. V tomto prípade spojenie tvorí jednoduchý uzavretý obrys L (obr. 36). Podľa stavu a podľa vlastnosti aditívnosti. Nezávislosť krivočiareho integrálu od dráhy integrácie Potenciálne pole Výpočet krivočiareho integrálu v poli potenciálov Výpočet potenciálu v karteziánskych súradniciach Preto tu nasleduje platnosť rovnosti (2). Veta 9 vyjadruje potrebné a postačujúce podmienky pre nezávislosť krivočiareho integrálu od tvaru dráhy, tieto podmienky sa však ťažko overujú. Uveďme efektívnejšie kritérium. Veta 10. Aby bol krivočiary integrál nezávislý na integračnej dráhe L, je potrebné a postačujúce, aby vektorové pole bolo irotačné Tu sa predpokladá, že súradnice vektora a(M) majú spojité parciálne derivácie prvého rádu a definičný obor vektora a(M) M) sú povrchovo jednoducho spojené. Komentujte. Na základe vety 9 je nezávislosť krivočiareho integrálu od integračnej dráhy ekvivalentná nulovej rovnosti cirkulácie vektora a pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu. Túto okolnosť používame pri dôkaze vety. Nevyhnutnosť. Nech je krivočiary integrál nezávislý od tvaru dráhy, alebo, čo je rovnaké, nech je obeh vektora a pozdĺž ľubovoľného uzavretého obrysu L rovný nule. Potom, to znamená, že v každom bode poľa je priemet vektora rot a do ľubovoľného smeru rovný nule. To znamená, že samotný vektor rot a je vo všetkých bodoch poľa rovný nule. Dostatočnosť podmienky (3) vyplýva zo Stokesovho vzorca, pretože ak rot a = 0, potom sa cirkulácia vektora pozdĺž akéhokoľvek uzavretého obrysu L rovná nule: Rotor plochého poľa je rovný, čo nám umožňuje formulovať nasledujúca veta pre ploché pole. Veta 11. Aby bol krivočiary integrál v jednoducho spojenom rovinnom poli nezávislý od tvaru priamky L, je potrebné a postačujúce, aby vzťah platil identicky v celej uvažovanej oblasti. Ak definičný obor nie je jednoducho spojený, potom splnenie podmienky vo všeobecnosti nezabezpečuje nezávislosť krivočiareho integrálu od tvaru priamky. Príklad. Nech Uvažujme integrál Je jasné, že integrand v bode 0(0,0) nedáva zmysel. Preto tento bod vylúčme. Vo zvyšku roviny (už to nebude jednoducho spojená oblasť!) sú súradnice vektora a spojité, majú spojité parciálne derivácie a Uvažujme integrál (6) pozdĺž uzavretej krivky L - kružnice s polomerom R s stred v počiatku súradníc: Potom rozdiel v obehu od nuly ukazuje, že integrál (6) závisí od tvaru integračnej dráhy. §10. Definícia potenciálneho poľa. Pole vektora a(M) sa nazýva potenciál, ak existuje skalárna funkcia u(M) taká, že v tomto prípade sa funkcia u(M) nazýva potenciál poľa; jeho rovné plochy sa nazývajú ekvipotenciálne plochy. potom vzťah (1) je ekvivalentný nasledujúcim trom skalárnym rovnostiam: Všimnite si, že potenciál poľa je určený do konštantného člena: ak je teda konštantné číslo. Príklad 1. Pole polomerového vektora r je potenciálne, keďže si pripomíname, že potenciál poľa polomerového vektora je teda. Príklad 2. Vektorové pole je potenciálne. Nech je funkcia taká, že sa nájde. Potom a odkiaľ to znamená - potenciál poľa. Veta 12. Aby bol vektor a potenciálny, je potrebné a postačujúce, aby bol irotačný, teda aby bol jeho rotor vo všetkých bodoch poľa rovný nule. V tomto prípade predpokladáme spojitosť všetkých parciálnych derivácií súradníc vektora a a povrchovú jednoduchosť oblasti, v ktorej je vektor a daný. Nevyhnutnosť. Nevyhnutnosť podmienky (2) je stanovená priamym výpočtom: ak je pole potenciálne, to znamená z dôvodu nezávislosti zmiešaných derivátov od rádu diferenciácie. Primeranosť. Nech je vektorové pole irotačné (2). Aby sme dokázali potenciál tohto poľa, zostrojme jeho potenciál u(M). Z podmienky (2) vyplýva, že krivočiary integrál nezávisí od tvaru priamky L, ale závisí len od jej začiatočného a koncového bodu. Počiatočný bod fixujeme a koncový bod Mu, z) sa zmení. Potom integrál (3) bude funkciou bodu. Označme túto funkciu u(M) a dokážme, že v nasledujúcom budeme písať integrál (3) označujúci len začiatočný a koncový bod integračnej cesty Rovnosť je ekvivalentná trom skalárnym rovnostiam Nezávislosť krivočiareho integrálu od integračná dráha Potenciálne pole Výpočet krivočiareho integrálu v potenciálovom poli Výpočet potenciálu v karteziánskych súradniciach Dokážme prvú z nich, druhá a tretia rovnosť sú dokázané podobným spôsobom. Definíciou parciálnej derivácie máme Uvažujme bod blízko bodu Keďže funkcia u(M) je určená vzťahom (4), v ktorom krivočiary integrál nezávisí od integračnej cesty, zvolíme integračnú cestu tak, ako je naznačená. na obr. 37. Odtiaľto sa odoberie posledný integrál z mólového segmentu priamky MM) rovnobežnej s osou Ox. Na tomto segmente môžeme vziať súradnicu x ako parameter: Aplikovaním vety o strednej hodnote na integrál na pravej strane (6) dostaneme, kde je medzi nimi uzavretá hodnota £. Zo vzorca (7) vyplýva, že Odvtedy v dôsledku spojitosti funkcie dostaneme Podobne je dokázané, že Dôsledok. Vektorové pole je potenciálne vtedy a len vtedy, ak integrál zakrivenej čiary v ňom nezávisí od dráhy. Výpočet krivočiareho integrálu v potenciálnom poli Veta 13. Integrál v potenciálovom poli a(M) sa rovná rozdielu medzi hodnotami poľa potenciálu a (M) v konečnom a počiatočnom bode integračnej dráhy Predtým bolo dokázané, že funkcia je potenciál poľa. V potenciálnom poli krivočiary intefál nezávisí od intefálneho puga. Preto výberom dráhy bodu M\ k bodu M2 tak, aby prechádzala bodom Afo (obr. 38), získame alebo zmenou orientácie dráhy v prvom integráli vpravo, Keďže potenciál poľa je určený až do konštantného člena, potom akýkoľvek potenciál uvažovaných polí možno zapísať v tvare, kde c je konštanta. Substitúciou u-c vo vzorci (10) získame požadovaný vzorec pre ľubovoľný potenciál v(M). Príklad 3. V príklade 1 sa ukázalo, že potenciál poľa polomerového vektora r je funkciou, kde je vzdialenosť od bodu k počiatku. Výpočet potenciálu v karteziánskych súradniciach Nech je dané potenciálne pole. Predtým sa ukázalo, že funkciu potenciálu "(M) možno nájsť pomocou vzorca Integrál (11) najpohodlnejšie sa vypočíta takto: fixujte počiatočný bod a pripojte to pri dostatočne blízkom aktuálnom bode M(x, y ,z) prerušovaná čiara, ktorej spojnice sú rovnobežné so súradnicovými osami, . V tomto prípade sa na každom prepojení lomenej čiary mení iba jedna súradnica, čo umožňuje výrazne zjednodušiť výpočty. V skutočnosti na segmente M0M\ máme: Na segmente. Ryža. 39. Na segmente. V dôsledku toho sa potenciál rovná tomu, kde sú súradnice aktuálneho bodu na segmentoch prerušovanej čiary, pozdĺž ktorých sa vykonáva integrácia. Príklad 4. Dokážte, že vektorové pole k je potenciálne a nájdite jeho potenciál. 4 Skontrolujeme, či je pole vektora a(Af) potenciálne. S touto hodnotou vypočítame poľný rotor. Máme potenciál poľa. Potenciál tohto poľa nájdeme pomocou vzorca (12). Vezmime počiatok súradníc O ako začiatočný bod A/o (zvyčajne sa to robí, ak je pole a(M) definované v počiatku súradníc). Potom dostaneme So, kde c je ľubovoľná konštanta. Potenciál tohto odboru možno nájsť aj inak. Podľa definície je potenciál u(x, y, z) skalárna funkcia, pre ktorú gradu = a. Táto vektorová rovnosť je ekvivalentom troch skalárnych rovníc: Integráciou (13) vzhľadom na x dostaneme, kde je ľubovoľná diferencovateľná funkcia og y a z. Derivujme vzhľadom na y: Nezávislosť krivočiareho integrálu od dráhy integrácia Pole potenciálu Výpočet krivočiareho integrálu v poli potenciálu Výpočet potenciálu v karteziánskych súradniciach Integráciou (17) pre y nájdeme nejakú funkciu z. Dosadením (18) do (16) dostaneme. Derivovaním poslednej rovnosti č a pri zohľadnení vzťahu (15) dostaneme rovnicu pre kde