Téma lekcie: Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie. Teraz dostaneme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie Základné derivačné vzorce

Snímka 8

Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké

Sú čiary rovnobežné?

Snímka 9

Nech je daný graf funkcie y=f(x). Vyberie sa na ňom bod M(a;f(a)), v tomto bode sa ku grafu funkcie nakreslí dotyčnica (predpokladáme, že existuje). Nájdite sklon dotyčnice.

Snímka 10

Geometrický význam derivácie

Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f (x) v bode, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom vyjadruje sklon dotyčnice.

Snímka 11

Derivácia v bode sa rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v tomto bode. Tie. Navyše, ak: .

Snímka 12

Odvodenie tangentovej rovnice

Nech je priamka daná rovnicou: rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Snímka 13

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu:

ku grafu funkcie v bode

Snímka 14

ku grafu funkcie v bode

Snímka 15

Algoritmus na nájdenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x).

Označme úsečku dotyčného bodu písmenom x=a. Poďme počítať. Poďme nájsť a. Nájdené čísla a dosadíme do vzorca

Snímka 16

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode.

Snímka 17

Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou.

Snímka 18

Snímka 19

Samostatná práca

Snímka 20

Čísla z učebnice

Č. 29.3 (a,c) Č. 29.12 (b,d) Č. 29.18 Č. 29.23 (a)

Snímka 21

Odpovedz na otázku:

Aká je dotyčnica ku grafu funkcie v bode? Aký je geometrický význam derivácie? Formulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice?

Snímka 22

Domáca úloha

Č. 29.3 (b,d) Č. 29.12 (a,c) Č. 29.19 Č. 29.23 (b)

Snímka 23

Literatúra

Algebra a začiatky matematickej analýzy: Učebnica. Pre 10-11 ročníkov. pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009. Algebra a začiatky matematickej analýzy: Zošit úloh, Pre 10-11 ročníkov. pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009. Algebra a začiatky analýzy. Samostatná a testovacia práca pre ročníky 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010 Jednotná štátna skúška 2010. Matematika. Problém B8. Pracovný zošit / Editovali A.L. Semenov a I.V. Yashchenko - M.: Vydavateľstvo MTsNMO, 2010

Zobraziť všetky snímky

Plán vyučovacej hodiny pre 10. ročník

"Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie"

Typ lekcie: Lekcia úvodnej prezentácie nových poznatkov a formovania počiatočných predmetových zručností, zvládnutie predmetových zručností.

Didaktická úloha hodiny: Zabezpečenie povedomia a asimilácie pojmov, pravidiel, algoritmov; formovanie zručností pri uplatňovaní teoretických princípov v kontexte riešenia výchovných problémov.

Ciele lekcie: odstúpiť rovnica dotyčnice ku grafu funkcie, naučte sa zostaviť rovnicu dotyčnice pre danú funkciu v danom bode.

Plánované výsledky:

ZUNs.Študenti musia

poznať: rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode x 0 ;

vedieť: zostaviť rovnicu pre dotyčnicu ku grafu danej funkcie v danom bode.

rozvíjanie schopnosti zostaviť rovnicu pre dotyčnicu ku grafu danej funkcie v danom bode.

Vybavenie: doska, počítač, projektor, plátno, učebnice, žiacke zošity, písacie potreby.

Učiteľ: Nesterova Svetlana Yurievna

1 snímka. "Dotyčnica ku grafu funkcie"

Ústna práca zameraná na prípravu študentov na vnímanie novej témy (opakovanie prebranej látky)

10.01 – 10.03

Predné

Ústna práca

Aby sme dôkladne porozumeli téme dnešnej hodiny, musíme si zapamätať, čo sme predtým študovali.

Odpovedaj na nasledujúce otázky.

2 snímka.

Graf ktorej funkcie je priamka?(lineárne)

Ktorá rovnica definuje lineárnu funkciu?(y = k x + b )

Aké je meno čísla pred "X »? ( priamy svah)

Iným spôsobom, rovnicay = k x + b nazývaná rovnica priamky s uhlovým koeficientom.

3 snímka.

Aký je sklon čiary?(tangens uhla sklonu priamky, ktorú tvorí táto priamka s kladným smerom osi Ox).

Formulujte definíciu dotyčnice:(priamka prechádzajúca bodom (x O ; f (X O )), s ktorého segmentom graf prakticky splýva diferencovateľné v bode x O funkcie f pre hodnoty x blízke x O ).

4 snímka.

Ak v bode x o existuje derivát , To existuje dotyčnica (nezvisle) ku grafu funkcie v bod X o .

5 snímka.

Ak f ’ ( X 0 ) neexistuje, potom dotyčnica je buď

neexistuje (ako funkcia y = |x|),

alebo vertikálne (ako graf y = 3 √x).

6 snímka.

Pripomeňme si, aká môže byť relatívna poloha dotyčnice s osou x?

Priame zvyšovanie => sklonk >0, tg> 0 => ostrý uhol.

Priama čiara // os OX => sklonk=0, tg= 0 => uhol = 0 0

Klesajúca čiara => sklonk <0, tg < 0 =>Tupý uhol.

Snímka 7

Geometrický význam derivácie:

Sklon dotyčnice sa rovná hodnote derivácie funkcie v bode, kde je dotyčnica nakreslená k = f `( X o ).

Dobre, dobre, opakovanie skončilo.

Téma lekcie. Stanovenie cieľa lekcie

10.03-10.05

Diskusia, rozhovor

Dokončite nasledujúcu úlohu:

Daná funkcia y = x 3 . Napíšte dotyčnicová rovnica ku grafu tejto funkcie v bode x 0 = 1.

PROBLÉM? Áno. Ako to vyriešiť? Aké sú vaše možnosti? Kde môžete nájsť pomoc s týmto problémom? V akých zdrojoch? Je však problém riešiteľný? Čo si myslíte, čo bude témou našej hodiny?

Téma dnešnej lekcie"Tečná rovnica" .

Teraz formulujte ciele našej lekcie (DETI):

1. Odvoďte rovnice pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bodeX O .

2. Naučte sa písať tangensovú rovnicu pre danú funkciu.

Otvoríme zošity, zapíšeme si číslo, „triednu prácu“ a tému hodiny na okraje.

Primárne vnímanie a asimilácia nového teoretického vzdelávacieho materiálu

10.06- 10.12

Predné

Hľadanie a výskum

8 snímka.

Poďme vyriešiť tento praktický problém. Napíšem na tabuľu - ty sa pozri a uvažuj so mnou.

Daná funkcia y = x 3 . Je potrebné zapísať rovnicu dotyčnice ku grafu tejto funkcie v bode x 0 = 1.

Uvažujme: rovnica priamky s uhlovým koeficientom má tvar:y = k x + b .

Aby sme to mohli napísať, musíme poznať významk A b .

nájdeme k (z geometrického významu derivátu):

k = f `( X o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, t.j. k = 3 .

Naša rovnica má tvar: y= 3x + b .

Pamätajte: ak čiara prechádza daným bodom, potom pri dosadení súradníc tohto bodu do rovnice čiary by sa mala dosiahnuť správna rovnosť. To znamená, že musíme nájsť ordinátu bodu – hodnotu funkcie v bode x 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Dotykový bod má súradnice (1; 1).

Nájdené hodnoty dosadíme do rovnice priamky, dostaneme:

1 = 3 . 1+ b ; Prostriedky b = - 2 .

Nájdené hodnoty dosadímek = 3 A b = - 2 do rovnice priamky:y = 3x - 2.

Problém je vyriešený.

Snímka 9

Teraz vyriešme rovnaký problém vo všeobecnej forme.

Daná funkcia y = f ( X ), je potrebné zapísať rovnicu dotyčnice ku grafu tejto funkcie v bode x 0 .

Uvažujeme podľa rovnakej schémy: rovnica priamky s uhlovým koeficientom má tvar:y = k x + b .

Z geometrického významu derivátu: k = f `( X o )=> y = f `( X o ) * x + b .

Hodnota funkcie v bode x 0 áno f ( X o ), to znamená, že dotyčnica prechádza bodom so súradnicami( X 0 ; f ( X o ))=> f ( X o )= f `( X o ) * X o + b .

Vyjadrime sa z tohto záznamu b : b = f ( X o ) - f `( X o ) * X o .

Dosadíme všetky výrazy do rovnice priamky:

y = f `( X o ) * x + b = f `( X o ) * x + f ( X o ) - f `( X o ) * X o = f `( X o ) * ( X - X o )+ f ( X o ).

POROVNAŤ S UČEBNICOU (s. 131)

V texte učebnice nájdite záznam pre tangentovú rovnicu a porovnajte ho s tým, čo sme dostali.

Nahrávka je mierne odlišná (čím?), ale je správna.

Dotykovú rovnicu je zvyčajné písať v nasledujúcom tvare:

y = f ( X o ) + f `( X o )( X - X o )

Napíšte si tento vzorec do zošita a zvýraznite ho – musíte ho poznať!

Snímka 9

Teraz vytvoríme algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice. Všetky „rady“ sú v našom vzorci.

Nájdite hodnotu funkcie v bodeX O

Vypočítajte deriváciu funkcie

Nájdite hodnotu derivácie funkcie v bodeX O

Výsledné čísla dosaďte do vzorca

r = f ( X o ) + f `( X o )( X – X o )

Zredukujte rovnicu na štandardný tvar

Precvičovanie základných zručností

10.12-10.14

Predné

Písomné + spoločná diskusia

Ako tento vzorec funguje? Pozrime sa na príklad. Zapíšte si príklad do zošita.

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (X) = x 3 – 2 x 2 + 1 v bode s osou 2.

Odvodenie rovnice realizujeme písaním na tabuľu a do zošitov.

Odpoveď: y = 4x – 7.

Práca so zdrojom informácií

10.14-10.15

Individuálne

Čítanie textu, diskusia

Pozrite si učebnicu na str. 131, príklad 2. Prečítajte si odsek 3. O čom je tento príklad? (môžete vytvoriť rovnicu pre danú funkciu vo všeobecnom tvare a potom nájsť tangentovú rovnicu pre akúkoľvek hodnotu x 0 a môžete tiež nájsť priesečník dotyčnice k štandardnej parabole s osou Ox

Dynamická pauza

10.15-10.16

Oddych

Chvíľka oddychu.

Slide – cvičenie pre telo, cvičenie pre oči.

Aplikácia teoretických princípov v podmienkach vykonávania cvičení a riešenia úloh

10.16- 10.30

Čelné, individuálne

Napísané (doska + zápisník)

No a teraz poďme k praktickej práci, ktorej účelom je rozvíjať zručnosť skladania tangentnej rovnice.

Na tabuľu zapíšte čísla 255(a,b), 256(a,b).rezerva 257 (a, b),* .

* – úloha nasledujúceho stupňa náročnosti pre najpripravenejších žiakov: Na parabole y = 3x 2 - 4x + 6 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica k nej // priamka y = 2x + 4 a napíšte rovnicu dotyčnice k parabole v tomto bode.

Študenti sú pozvaní pracovať na tabuli (jeden po druhom).

Odpovede:

№255

a) y = - 3x – 6, y = - 3x + 6 b) y = 2x, y = - 2x +4

№256

a) y = 3, y = - 3x + 3π b) y = 2x + 1 – π/ 2, y = 4x + √3 - 4 π/ 3

№257 (rezerva)

a) x = 1, y = 1, v t. (1; 1) dotyčnica // Ox

b) x = - 2, y = - 24, v t. (-2; -24) dotyčnica // Oh

Zadanie *odpovede:

A (1; 5), rovnica dotyčnice y = 2x + 3.

Nezávislé využitie zručností

10.30-10.35

Skupinové, individuálne, nezávislé

Písomné (zošit), diskusia o práci vo dvojiciach

Čo sme teda urobili? Kto rozumel materiálu? Kto má nejaké otázky? Vykonáme sebamonitorovanie nášho chápania témy lekcie.

Budete pracovať vo dvojiciach – na stoloch máte kartičky s úlohami. Pozorne si prečítajte úlohu, na dokončenie práce máte 4-5 minút.

Zadanie: Napíšte rovnicu dotyčnice k danej funkciif(X) v bode s danou úsečkou.

ja: f( X) = x 2 – 2х – 8, v bode s osou -1. Odpoveď: y = -4x – 9.

II: f( X) = 2x 2 – 4x + 12, na úsečke 2. Odpoveď: y = 4x + 4.

III: f( X) = 3x 2 – x – 9, v bode s osou 1. Odpoveď: y = 5x –12.

IV: f( X) = 4x 2 + 2x + 3, v bode s osou -0,5. Odpoveď: y = -2x + 2.

Kontrola dokončenia samostatnej práce

10.35-10.37

Frontálny, skupinový

Realizácia sebakontroly podľa vzoru, diskusia

Odpovede na tabuli (otočené). Študenti vedú sebakontrolu.

Kto dostal rovnaké odpovede?

Kto nemal rovnaké odpovede?

kde si urobil chybu?

Otázky pre študentov na upevnenie geometrického významu derivácie:

Pomenujte čiary, ktoré pretínajú os Ox v ostrom uhle.

Pomenujte rovné čiary, ktoré // sú osi Ox.

Pomenujte priame čiary, ktoré zvierajú uhol s osou Ox, ktorej dotyčnica je záporné číslo.

Odraz činnosti

10.37-10.39

Predné

Konverzácia

Zhrnutie lekcie.

Aký PROBLÉMobjavil sa pred nami počas hodiny? (potrebovali sme napísať tangentovú rovnicu, ale nevedeli sme, ako to urobiť)

Aké ciele sme si stanovili pre túto lekciu? (odvodiť tangentovú rovnicu, naučiť sa zostaviť tangentovú rovnicu pre danú funkciu v danom bode)

Dosiahli ste cieľ lekcie?

Koľkí z vás môžu s istotou povedať, že ste sa naučili písať tangentovú rovnicu?

Kto má ešte otázky? Určite sa tejto téme budeme naďalej venovať a dúfam, že vaše problémy budú na 100% vyriešené!

Domáca úloha

10.39-10.40

Napíšte si domácu úlohu – č. 255 (vg), 256 (vg), 257 (vg),*, vzorec!!!

Vyhľadajte si v učebnici domáce úlohy.

№№ 255(vg), 256(vg) - pokračovanie triednej práce na rozvíjaní zručnosti písania tangentovej rovnice.

* – úloha ďalšej úrovne obtiažnosti pre tých, ktorí sa chcú otestovať:

Na parabole y = x 2 + 5x – 16 nájdite bod, v ktorom je dotyčnica // priamky 5x+y+4 =0.

Dakujem za radu. Lekcia sa skončila.

Video lekcia „Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie“ demonštruje vzdelávací materiál na zvládnutie témy. Počas video lekcie je popísaný teoretický materiál potrebný na formulovanie konceptu rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode, algoritmus na nájdenie takejto dotyčnice a príklady riešenia problémov pomocou študovaného teoretického materiálu. .

Videonávod využíva metódy, ktoré zlepšujú prehľadnosť materiálu. Prezentácia obsahuje kresby, diagramy, dôležité hlasové komentáre, animáciu, zvýrazňovanie a ďalšie nástroje.

Video lekcia začína prezentáciou témy lekcie a obrázkom dotyčnice ku grafu nejakej funkcie y=f(x) v bode M(a;f(a)). Je známe, že uhlový koeficient dotyčnice vynesený do grafu v danom bode sa rovná derivácii funkcie f΄(a) v tomto bode. Aj z kurzu algebry poznáme rovnicu priamky y=kx+m. Schematicky je uvedené riešenie problému nájdenia dotyčnicovej rovnice v bode, ktoré sa redukuje na nájdenie koeficientov k, m. Keď poznáme súradnice bodu prislúchajúceho grafu funkcie, môžeme nájsť m dosadením hodnoty súradnice do rovnice dotyčnice f(a)=ka+m. Z toho zistíme m=f(a)-ka. Keď teda poznáme hodnotu derivácie v danom bode a súradnice bodu, môžeme rovnicu dotyčnice reprezentovať týmto spôsobom y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Nasleduje príklad zostavenia tangentovej rovnice podľa diagramu. Vzhľadom na funkciu y=x 2, x=-2. Ak vezmeme a=-2, nájdeme hodnotu funkcie v danom bode f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Určíme deriváciu funkcie f΄(x)=2x. V tomto bode sa derivácia rovná f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Na zostavenie rovnice boli nájdené všetky koeficienty a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, takže rovnica dotyčnice je y=4+(-4)(x+2). Zjednodušením rovnice dostaneme y = -4-4x.

Nasledujúci príklad navrhuje zostrojiť rovnicu pre dotyčnicu v počiatku ku grafu funkcie y=tgx. V danom bode a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Takže rovnica dotyčnice vyzerá ako y=x.

Ako zovšeobecnenie, proces skladania rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v určitom bode je formalizovaný vo forme algoritmu pozostávajúceho zo 4 krokov:

• Zadajte označenie a pre úsečku dotykového bodu;
• f(a) sa vypočíta;
• Určí sa f΄(x) a vypočíta sa f΄(a). Nájdené hodnoty a, f(a), f΄(a) sa dosadia do rovnice tangenty y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Príklad 1 uvažuje o zostavení tangentovej rovnice ku grafu funkcie y=1/x v bode x=1. Na vyriešenie problému používame algoritmus. Pre danú funkciu v bode a=1 je hodnota funkcie f(a)=-1. Derivácia funkcie f΄(x)=1/x 2. V bode a=1 je derivácia f΄(a)= f΄(1)=1. Pomocou získaných údajov sa zostaví tangentová rovnica y=-1+(x-1), alebo y=x-2.

V príklade 2 je potrebné nájsť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y=x 3 +3x 2 -2x-2. Hlavnou podmienkou je rovnobežnosť dotyčnice a priamky y=-2x+1. Najprv nájdeme uhlový koeficient dotyčnice, ktorý sa rovná uhlovému koeficientu priamky y=-2x+1. Pretože f΄(a)=-2 pre danú priamku, potom k=-2 pre požadovanú dotyčnicu. Nájdeme deriváciu funkcie (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Keď vieme, že f΄(a)=-2, nájdeme súradnice bodu 3a 2 +6a-2=-2. Po vyriešení rovnice dostaneme 1 = 0 a 2 = -2. Pomocou nájdených súradníc môžete nájsť rovnicu dotyčnice pomocou dobre známeho algoritmu. Hodnotu funkcie nájdeme v bodoch f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Hodnota derivácie v bode f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Dosadením nájdených hodnôt do rovnice dotyčnice získame pre prvý bod a 1 =0 y=-2x-2 a pre druhý bod a 2 =-2 rovnicu dotyčnice y=-2x-22.

Príklad 3 popisuje zloženie rovnice dotyčnice na jej vykreslenie v bode (0;3) ku grafu funkcie y=√x. Riešenie sa robí pomocou dobre známeho algoritmu. Dotykový bod má súradnice x=a, kde a>0. Hodnota funkcie v bode f(a)=√x. Derivácia funkcie f΄(х)=1/2√х, teda v danom bode f΄(а)=1/2√а. Dosadením všetkých získaných hodnôt do tangentovej rovnice dostaneme y = √a + (x-a)/2√a. Transformáciou rovnice dostaneme y=x/2√а+√а/2. Keď vieme, že dotyčnica prechádza bodom (0;3), zistíme hodnotu a. Nájdeme a od 3=√a/2. Preto √a=6, a=36. Nájdeme rovnicu dotyčnice y=x/12+3. Na obrázku je znázornený graf uvažovanej funkcie a zostrojená požadovaná dotyčnica.

Žiakom pripomenieme približné rovnosti Δy=≈f΄(x)Δxa f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ak vezmeme x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dostaneme f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), teda f(x)≈f(a)+ f΄( a) (x-a).

V príklade 4 je potrebné nájsť približnú hodnotu výrazu 2,003 6. Keďže je potrebné nájsť hodnotu funkcie f(x)=x 6 v bode x=2,003, môžeme použiť známy vzorec, pričom f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivát v bode f΄(2)=192. Preto 2,003 6 ≈65-192·0,003. Po vypočítaní výrazu dostaneme 2,003 6 ≈64,576.

Video lekcia „Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie“ sa odporúča použiť na tradičnej hodine matematiky v škole. Učiteľovi, ktorý vyučuje na diaľku, video materiál pomôže vysvetliť tému jasnejšie. Video možno odporučiť študentom, aby si ho zopakovali samostatne, ak je to potrebné na prehĺbenie pochopenia predmetu.

DEKODOVANIE TEXTU:

Vieme, že ak bod M (a; f(a)) (em so súradnicami a a ef z a) patrí do grafu funkcie y = f (x) a ak je v tomto bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom sa uhlový koeficient dotyčnice rovná f"(a) (eff prvočíslo od a).

Nech je daná funkcia y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je tiež známe, že f´(a) existuje. Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu danej funkcie v danom bode. Táto rovnica, podobne ako rovnica ktorejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná so zvislou osou, má tvar y = kx+m (y sa rovná ka x plus em), takže úlohou je nájsť hodnoty koeficienty k a m ​​(ka a em)

Uhlový koeficient k= f"(a). Na výpočet hodnoty m využijeme fakt, že požadovaná priamka prechádza bodom M(a; f (a)). To znamená, že ak dosadíme súradnice bodu M do rovnice priamky získame správnu rovnosť : f(a) = ka+m, odkiaľ zistíme, že m = f(a) - ka.

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov ki a m do rovnice priamky:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

r= f(a)+ f"(a) (X- a). ( y sa rovná ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené x mínus a).

Získali sme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode x=a.

Ak povedzme y = x 2 a x = -2 (t.j. a = -2), potom f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, čo znamená f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (potom ef a sa rovná štyrom, ef prvočísla x sa rovná dvom x, čo znamená ef prvočíslo od a rovná sa mínus štyri)

Dosadením nájdených hodnôt a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 do rovnice dostaneme: y = 4+(-4)(x+2), teda y = -4x -4.

(E sa rovná mínus štyri x mínus štyri)

Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = tanx (y sa rovná dotyčnici x) v počiatku. Máme: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)=, čo znamená f"(0) = l. Dosadením nájdených hodnôt a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do rovnice dostaneme: y=x.

Zhrňme naše kroky pri hľadaní rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode x pomocou algoritmu.

ALGORITHM NA VYTVORENIE ROVNICE PRE TANGENTU KU GRAFU FUNKCIE y = f(x):

1) Označte úsečku dotykového bodu písmenom a.

2) Vypočítajte f(a).

3) Nájdite f´(x) a vypočítajte f´(a).

4) Dosaďte do vzorca nájdené čísla a, f(a), f´(a). r= f(a)+ f"(a) (X- a).

Príklad 1. Vytvorte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie y = - in

bod x = 1.

Riešenie. Použime algoritmus, berúc do úvahy to v tomto príklade

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Dosaďte do vzorca nájdené tri čísla: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Dostaneme: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Odpoveď: y = x-2.

Príklad 2. Vzhľadom na funkciu y = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2. Zapíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x), rovnobežne s priamkou y = -2x +1.

Použitím algoritmu na zostavenie tangentovej rovnice berieme do úvahy, že v tomto príklade f(x) = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2, ale úsečka dotykového bodu tu nie je uvedená.

Začnime takto uvažovať. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y = -2x+1. A rovnobežné čiary majú rovnaké uhlové koeficienty. To znamená, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná uhlovému koeficientu danej priamky: k dotyčnica. = -2. Hok cas. = f"(a). Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f ´(a) = -2.

Poďme nájsť deriváciu funkcie y=f(X):

f"(X)= (x 3 + 3x 2-2x-2)' = 3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a2+6a-2.

Z rovnice f"(a) = -2, t.j. 3a 2 + 6a-2=-2 nájdeme a 1 =0, a 2 =-2. To znamená, že existujú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 0, druhá v bode s osou -2.

Teraz môžete postupovať podľa algoritmu.

1) ai = 0 a 2 = -2.

2) f(a1)= 0 3 +3·02-2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2)3+3·(-2)2-2·(-2)-2=6;

3) f"(a1) = f"(a2) = -2.

4) Dosadením hodnôt a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 do vzorca dostaneme:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Nahradením hodnôt a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 do vzorca dostaneme:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odpoveď: y=-2x-2, y=-2x+2.

Príklad 3. Z bodu (0; 3) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie y = . Riešenie. Použime algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade f(x) = . Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotykového bodu nie je explicitne uvedená. Napriek tomu postupujeme podľa algoritmu.

1) Nech x = a je úsečka bodu dotyku; je jasné, že >0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) Dosadenie hodnôt a, f(a) = , f"(a) = do vzorca

y=f (a) +f "(a) (x-a), dostaneme:

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 3). Nahradením hodnôt x = 0, y = 3 do rovnice dostaneme: 3 = a potom =6, a =36.

Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku dotyčnicového bodu. Dosadením hodnoty a =36 do rovnice dostaneme: y=+3

Na obr. Obrázok 1 znázorňuje geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: zostrojí sa graf funkcie y =, nakreslí sa priamka y = +3.

Odpoveď: y = +3.

Vieme, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v bode x, platí približná rovnosť: Δyf´(x)Δx (delta y sa približne rovná prvočíslu eff x vynásobenému delta x)

alebo, podrobnejšie, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff z x plus delta x mínus ef z x sa približne rovná eff prvočíslo z x x delta x).

Pre pohodlie ďalšej diskusie zmeňme zápis:

namiesto x napíšeme A,

namiesto x+Δx budeme písať x

Namiesto Δx budeme písať x-a.

Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

f(x)-f(a)f'(a)(x-a)

f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (eff z x sa približne rovná ef z plus ef prvočíslo z a, vynásobené rozdielom medzi x a a).

Príklad 4. Nájdite približnú hodnotu číselného výrazu 2,003 6.

Riešenie. Hovoríme o nájdení hodnoty funkcie y = x 6 v bode x = 2,003. Použime vzorec f(x)f(a)+f´(a)(x-a), berúc do úvahy, že v tomto príklade f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 26 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5, a teda f"(a) = f"(2) = 625 =192.

V dôsledku toho dostaneme:

2,003 6 64+192· 0,003, t.j. 2,0036 = 64,576.

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme:

2,003 6 = 64,5781643...

Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.

Trieda: 10

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vyučovacie metódy: vizuálne, čiastočne vyhľadávacie.

Účel lekcie.

1. Zaviesť pojem dotyčnica do grafu funkcie v bode, zistiť, aký je geometrický význam derivácie, odvodiť rovnicu dotyčnice a naučiť ju nájsť pre konkrétne funkcie.
2. Rozvíjať logické myslenie a matematickú reč.
3. Kultivujte vôľu a vytrvalosť, aby ste dosiahli konečné výsledky.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, počítač.

Plán lekcie

I. Organizačný moment

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Komunikujte tému lekcie a ciele.

II. Aktualizácia vedomostí.

(Zapamätajte si so študentmi geometrickú definíciu dotyčnice ku grafu funkcie. Uveďte príklady, ktoré ukazujú, že toto tvrdenie nie je úplné.)

Pripomeňme si, čo je tangenta?

"Dotyčnica je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s danou krivkou." (Snímka č. 2)

Diskusia o správnosti tejto definície. (Žiaci po diskusii dospejú k záveru, že táto definícia je nesprávna.) Aby sme jasne dokázali ich záver, uvádzame nasledujúci príklad.

Pozrime sa na príklad. (Snímka č. 3)

Nech je daná parabola a dve priamky , ktorý má jeden spoločný bod M (1;1) s danou parabolou. Diskutuje sa o tom, prečo prvá priamka nie je dotyčnicou tejto paraboly (obr. 1), ale druhá je (obr. 2).

V tejto lekcii musíme vy a ja zistiť, čo je dotyčnica ku grafu funkcie v bode, ako vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu?

Zvážte hlavné úlohy pri zostavovaní tangentovej rovnice.

K tomu si pripomeňte všeobecný tvar rovnice priamky, podmienky rovnobežnosti priamok, definíciu derivácie a pravidlá diferenciácie. (Snímka č. 4)

III. Prípravné práce na učenie sa nového materiálu.

1. Formulujte definíciu derivátu. (Snímka č. 5)
2. Doplňte tabuľku ľubovoľných elementárnych funkcií. (Snímka č. 6)
3. Pamätajte na pravidlá rozlišovania. (Snímka č. 7)
4. Ktoré z nasledujúcich riadkov sú rovnobežné a prečo? (Pozri jasne) (Snímka č. 8)

IV Štúdium nového materiálu.

Na nastavenie rovnice priamky na rovine nám stačí poznať uhlový koeficient a súradnice jedného bodu.

Nech je daný graf funkcie. Vyberie sa na ňom bod, v tomto bode sa nakreslí dotyčnica ku grafu funkcie (predpokladáme, že existuje). Nájdite sklon dotyčnice.

Dajme argumentu prírastok a uvažujme na grafe (obr. 3) bod P s osou. Uhlový koeficient sečnice MP, t.j. tangenta uhla medzi sečnicou a osou x sa vypočíta podľa vzorca.

Ak teraz máme tendenciu k nule, potom sa bod P začne po krivke približovať k bodu M. Dotyčnicu sme pri tomto priblížení charakterizovali ako hraničnú polohu sečny. To znamená, že je prirodzené predpokladať, že uhlový koeficient dotyčnice sa vypočíta pomocou vzorca.

Preto, .

Ak do grafu funkcie y = f (x) v bode x = a môžete nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou pri, potom vyjadruje sklon dotyčnice. (Snímka číslo 10)

Alebo inak. Derivát v bode x = a rovný sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v tomto bode.

Toto je geometrický význam derivácie. (Snímka č. 11)

Navyše, ak:

Poďme zistiť všeobecný tvar tangentovej rovnice.

Nech je čiara daná rovnicou . My to vieme . Na výpočet m využijeme fakt, že priamka prechádza bodom. Zapojme to do rovnice. Dostávame, t.j. . Nájdené hodnoty dosadíme k A m do rovnice priamky:

Pozrime sa na príklady:

Vytvorme rovnicu pre dotyčnicu:

(Snímka č. 14)

Pri riešení týchto príkladov sme použili veľmi jednoduchý algoritmus, ktorý je nasledovný: (Snímka č. 15)

Pozrime sa na typické úlohy a ich riešenia.

č.1 Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode.

(Snímka č. 16)

Riešenie. Použime algoritmus, berúc do úvahy, že v tomto príklade .

2)

3) ;

4) Dosaďte nájdené čísla ,, do vzorca.

č.2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou. (Snímka č. 17)

Riešenie. Ujasnime si formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Použime algoritmus na zostavenie dotyčnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade .

Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou. Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. To znamená, že uhlový koeficient dotyčnice sa musí rovnať uhlovému koeficientu danej priamky: .Ale . Preto: ; ., t.j.

V. Riešenie problémov.

1. Riešenie úloh pomocou hotových výkresov (Snímka č. 18 a Snímka č. 19)

2. Riešenie úloh z učebnice: č. 29.3 (a, c), č. 29.12 (b, d), č. 29.18, č. 29.23 (a) (Snímka č. 20)

VI. Zhrnutie.

1. Odpovedzte na otázky:

• Aká je dotyčnica ku grafu funkcie v bode?
• Aký je geometrický význam derivácie?
• Formulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice?

2. Aké boli ťažkosti počas hodiny, ktoré časti hodiny sa vám páčili najviac?

3. Označovanie.

VII. Komentáre k domácim úlohám

Č. 29.3 (b,d), č. 29.12 (a,c), č. 29.19, č. 29.23 (b) (Snímka č. 22)

Literatúra. (Snímka 23)

1. Algebra a začiatky matematickej analýzy: Učebnica. Pre 10-11 ročníkov. pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra a začiatky matematickej analýzy: Kniha úloh, Pre 10-11 ročníkov. pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009.
3. Algebra a začiatky analýzy. Samostatná a testovacia práca pre ročníky 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
4. Jednotná štátna skúška 2010. Matematika. Problém B8. Pracovný zošit / Editoval A.L. Semenov a I.V. Yashchenko - M.: Vydavateľstvo MTsNMO, 2010.

Sekcie: Matematika

Ciele.

• Zovšeobecniť a systematizovať pravidlá diferenciácie;
• Zopakujte algoritmus na zostavenie dotyčnice ku grafu funkcie, schému na štúdium funkcie;
• Riešenie problémov pomocou najväčších a najmenších hodnôt funkcie.

Vybavenie. Plagát „Derivácia. Pravidlá pre výpočet derivátov. Aplikácie derivátu."

Počas vyučovania

Pomocou kariet si študenti prezerajú teoretický materiál.

1. Definujte deriváciu funkcie v bode. Čo sa nazýva diferenciácia? Ktorá funkcia sa nazýva diferencovateľná v bode?

(Derivácia funkcie f v bode x je číslo, ku ktorému pomer smeruje

Funkcia, ktorá má deriváciu v bode x 0, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Nájdenie derivácie f sa nazýva diferenciácia.)

2. Formulujte pravidlá hľadania derivácie.

(1. Derivácia súčtu (u + v)"=u"+v";
2. O konštantnom faktore (Cu)"=Cu";
3. Derivát produktu (uv)"=u"v+uv";
4. Derivácia zlomku (u/v)"=(u"v-uv")/v 2;
5. Derivácia mocninovej funkcie (x n)"=nx n+1.)

3. Aké sú deriváty nasledujúcich funkcií:

4. Ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie?

(Musíme to dôsledne reprezentovať vo forme elementárnych funkcií a deriváciu vziať podľa známych pravidiel).

5. Aké sú deriváty nasledujúcich funkcií:

6. Aký je geometrický význam derivácie?

(Existencia derivácie v bode je ekvivalentná existencii nevertikálnej dotyčnice v bode (x 0 ,f(x 0)) funkčného grafu a sklon tejto dotyčnice je rovný f "( x 0)).

7. Aký tvar má rovnica dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x 0 ,f(x 0))?

(Rovnica dotyčnice má tvar y=f(x 0)+f"(x 0)(x-x 0))

8. Sformulujte algoritmus na zostavenie grafu funkcie pomocou derivácie.

(1. Nájdite OOF.
2. Skontrolujte paritu.
3. Skontrolujte periodicitu.
4. Nájdite priesečníky grafu so súradnicovými osami.
5. Nájdite deriváciu funkcie a jej kritické body.
6. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.
7. Na základe výsledkov výskumu zostavte tabuľku.
8. Vytvorte graf funkcie.)

9. Formulujte vety, pomocou ktorých je možné zostrojiť graf funkcie.

(1. Znak zvyšovania (klesania).
2. Nevyhnutný znak extrému.
3. Znamienko maxima (minimum).)

10. Aké vzorce existujú na približné výpočty funkcií?

Samostatná práca.

Úroveň A (tri možnosti), úroveň B (jedna možnosť).

Úroveň A.

Možnosť 1.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 rovnobežne s priamkou y=5-24x.

2. Uveďte číslo 18 ako súčet troch kladných členov tak, aby jeden člen bol dvakrát väčší ako druhý a súčin všetkých troch členov bol najväčší.

4. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie f(x)=(x-1) e x+1.

Možnosť 2.

1. Pod akým uhlom k osi x je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) = 0.x 2 + x-1.5 naklonená v bode s x 0 = - 2? Napíšte rovnicu pre túto dotyčnicu a nakreslite obrázok pre túto úlohu.

2. Ako vo V. 1.

3. Nájdite deriváciu funkcie:

Úroveň B.

1. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x) = e-5x;
b) f(x) = log3 (2x2-3x+1).

2. Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode s os x 0, ak f(x)=e -x, x 0 = 1.

3. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie f(x)=x·e 2x.

Zhrnutie lekcie.

Práca sa skontroluje, udelí sa známka za teóriu a prax.

Domáca úloha sa dáva individuálne:

a) opakujúce sa derivácie goniometrických funkcií;
b) intervalová metóda;
c) mechanický význam derivátu.

2. A: č. 138, č. 142, B: č. 137 (a, b), č. 140 (a).

3. Vezmite deriváciu funkcií:

a) f(x)=x4-3x2-7;
b) f(x)=4x3-6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).

4. Pomenujte schému na štúdium funkcie.