कागज से चतुष्फलक कैसे बनाएं? चतुष्फलक। चेकर्ड पेपर पर टेट्राहेड्रोन टेट्राहेड्रोन में अनुभागों के निर्माण पर समस्याएं
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टेट्राहेड्रोन, टेट्राहेड्रोन सूत्र
चतुर्पाश्वीय(प्राचीन यूनानी τετρά-εδρον - चतुर्पाश्वीय, प्राचीन ग्रीक से। τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - "चार" + प्राचीन ग्रीक। ἕδρα - "सीट, आधार") सबसे सरल बहुफलक है, जिसके फलक चार त्रिभुज हैं। एक चतुष्फलक में 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं। एक चतुष्फलक जिसके सभी फलक समबाहु त्रिभुज हों, नियमित कहलाता है। एक नियमित टेट्राहेड्रोन पाँच नियमित पॉलीहेड्रा में से एक है।
- 1 चतुष्फलक के गुण
- टेट्राहेड्रोन के 2 प्रकार
- 3 चतुष्फलक का आयतन
- सूक्ष्म जगत में 4 टेट्राहेड्रा
- जीवित प्रकृति में 5 टेट्राहेड्रा
- प्रौद्योगिकी में 6 टेट्राहेड्रोन
- 7 नोट्स
- 8 यह भी देखें
चतुष्फलक के गुण
- टेट्राहेड्रोन के प्रतिच्छेदी किनारों के जोड़े से गुजरने वाले समानांतर विमान टेट्राहेड्रोन के चारों ओर वर्णित समानांतर चतुर्भुज को परिभाषित करते हैं।
- चतुष्फलक के दो प्रतिच्छेदी किनारों के मध्य से गुजरने वाला एक तल इसे आयतन में बराबर दो भागों में विभाजित करता है।: 216-217
चतुष्फलक के प्रकार
नियमित टेट्राहेड्रॉन के अलावा, निम्नलिखित विशेष प्रकार के टेट्राहेड्रा को प्रतिष्ठित किया जाता है।
- एक समबाहु चतुष्फलक जिसके सभी फलक समान त्रिभुज होते हैं।
- एक ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोन जिसमें शीर्षों से विपरीत फलकों तक उतरने वाली सभी ऊंचाइयां एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
- एक आयताकार चतुष्फलक जिसमें किसी एक शीर्ष से सटे सभी किनारे एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
- फ़्रेम टेट्राहेड्रोन एक टेट्राहेड्रोन है जो निम्नलिखित में से किसी भी शर्त को पूरा करता है:
- एक गोला है जो सभी किनारों को छू रहा है,
- क्रॉसिंग किनारों की लंबाई का योग बराबर है,
- विपरीत किनारों पर द्विफलकीय कोणों का योग बराबर होता है,
- चेहरों पर अंकित वृत्त जोड़े में स्पर्श करते हैं,
- चतुष्फलक के विकास से उत्पन्न सभी चतुर्भुजों का वर्णन किया गया है,
- उनमें अंकित वृत्तों के केंद्रों से फलकों पर उठाए गए लंब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
- एक समानुपाती चतुष्फलक जिसकी द्विऊंचाई बराबर होती है।
- एक अकेंद्रित चतुष्फलक जिसमें चतुष्फलक के शीर्षों को विपरीत फलकों पर अंकित वृत्तों के केंद्रों से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चतुष्फलक का आयतन
एक चतुष्फलक का आयतन (चिह्न को ध्यान में रखते हुए), जिसके शीर्ष बिंदुओं पर स्थित हैं, बराबर है:
या, किसी चेहरे का क्षेत्रफल कहां है, और क्या इस चेहरे पर ऊंचाई गिराई गई है।
किनारों की लंबाई के माध्यम से, टेट्राहेड्रोन का आयतन केली-मेंजर निर्धारक का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:
सूक्ष्म जगत में टेट्राहेड्रा
- एक नियमित टेट्राहेड्रोन परमाणु ऑर्बिटल्स के sp3 संकरण द्वारा बनता है (उनकी धुरी एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्षों की ओर निर्देशित होती है, और केंद्रीय परमाणु का नाभिक एक नियमित टेट्राहेड्रोन के वर्णित क्षेत्र के केंद्र में स्थित होता है), इसलिए इसमें कई अणु होते हैं केंद्रीय परमाणु का ऐसा संकरण होने पर इस बहुफलक का आभास होता है
- CH4 मीथेन अणु
- अमोनियम आयन NH4+
- सल्फेट आयन SO42-, फॉस्फेट आयन PO43-, परक्लोरेट आयन Clo4- और कई अन्य आयन
- डायमंड सी एक टेट्राहेड्रोन है जिसका किनारा 2.5220 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
- फ्लोराइट CaF2, टेट्राहेड्रोन जिसका किनारा 3, 8626 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
- स्पैलेराइट, ZnS, टेट्राहेड्रोन जिसका किनारा 3.823 एंगस्ट्रॉम के बराबर है
- जटिल आयन -, 2-, 2-, 2+
- सिलिकेट्स जिनकी संरचनाएं सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रोन 4- पर आधारित हैं
प्रकृति में चतुष्फलक
अखरोट चतुष्फलककुछ फल, उनमें से चार एक तरफ, एक टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित हैं जो नियमित के करीब है। यह डिज़ाइन इस तथ्य के कारण है कि एक दूसरे को छूने वाली चार समान गेंदों के केंद्र एक नियमित टेट्राहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित होते हैं। इसलिए, गेंद जैसे फल एक समान सापेक्ष व्यवस्था बनाते हैं। उदाहरण के लिए, अखरोट को इस प्रकार व्यवस्थित किया जा सकता है।
प्रौद्योगिकी में टेट्राहेड्रोन
- टेट्राहेड्रोन एक कठोर, सांख्यिकीय रूप से निश्चित संरचना बनाता है। छड़ों से बने टेट्राहेड्रोन का उपयोग अक्सर बिल्डिंग स्पैन, फर्श, बीम, ट्रस, पुल आदि की स्थानिक भार-वहन संरचनाओं के आधार के रूप में किया जाता है। छड़ें केवल अनुदैर्ध्य भार का अनुभव करती हैं।
- आयताकार चतुष्फलक का उपयोग प्रकाशिकी में किया जाता है। यदि समकोण फलकों को परावर्तक यौगिक से लेपित किया जाता है, या कुल आंतरिक परावर्तन का प्रभाव पैदा करने के लिए संपूर्ण टेट्राहेड्रोन अत्यधिक अपवर्तक सामग्री से बना होता है, तो समकोण शीर्ष के विपरीत फलक पर निर्देशित प्रकाश परावर्तित होगा। उसी दिशा से जिस दिशा से आया था... इस संपत्ति का उपयोग कोने परावर्तक और परावर्तक बनाने के लिए किया जाता है।
- चतुर्धातुक ट्रिगर ग्राफ़ एक चतुष्फलक है।
टिप्पणियाँ
- ड्वॉर्त्स्की का प्राचीन ग्रीक-रूसी शब्दकोश "τετρά-εδρον"
- सेलिवानोव डी.एफ. ज्यामितीय निकाय // ब्रोकहॉस और एफ्रॉन का विश्वकोश शब्दकोश: 86 खंड (82 खंड और 4 अतिरिक्त)। - सेंट पीटर्सबर्ग, 1890-1907।
- गुस्यात्निकोव पी.बी., रेज्निचेंको एस.वी. उदाहरणों और समस्याओं में वेक्टर बीजगणित। - एम.: हायर स्कूल, 1985. - 232 पी।
- वी. ई. मैटिज़ेन आइसोहेड्रल और फ्रेम टेट्राहेड्रोन "क्वांट" नंबर 7, 1983
- http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view ट्रिगर
यह सभी देखें
- सिम्प्लेक्स - एन-डायमेंशनल टेट्राहेड्रोन
| बहुकोणीय आकृति | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| सही (प्लेटोनिक ठोस) |
|||||||||
| सही गैर-उत्तल |
तारकीय डोडेकाहेड्रोन तारकीय आईकोसिडाहेड्रोन तारकीय इकोसाहेड्रोन तारकीय बहुफलक तारकीय अष्टफलक | ||||||||
| उत्तल |
|
||||||||
| सूत्र, प्रमेय, सिद्धांतों |
उत्तल पॉलीहेड्रा पर अलेक्जेंड्रोव का प्रमेय, ब्लेकर का प्रमेय, पॉलीहेड्रा पर कॉची का प्रमेय, पॉलीहेड्रा पर लिंडेलोफ का प्रमेय, पॉलीहेड्रा पर मिन्कोव्स्की का प्रमेय, पॉलीहेड्रा पर सबितोव का प्रमेय, पॉलीहेड्रा पर यूलर का प्रमेय, श्लाफली का सूत्र |
||||||||
| अन्य |
ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन समबाहु चतुष्फलक आयताकार समांतर चतुर्भुज पॉलीहेड्रॉन समूह डोडेकाहेड्रोन ठोस कोण इकाई घन लचीला पॉलीहेड्रॉन विकास श्लाफली प्रतीक जॉनसन पॉलीहेड्रॉन बहुआयामी (एन-आयामी टेट्राहेड्रोन टेसेरैक्ट पेंटरैक्ट हेक्सरैक्ट हेप्टरैक्ट ऑक्टेरैक्ट एंटेरैक्ट डेकरैक्ट हाइपरक्यूब) लकड़ी की छत |
||||||||
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टेट्राहेड्रोन के बारे में जानकारी
नियमित चतुष्फलक. चार समबाहु त्रिभुजों से बना है। इसका प्रत्येक शीर्ष तीन त्रिभुजों का शीर्ष है। इसलिए, प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180 है? चावल। 1.
प्रस्तुति "पॉलीहेड्रॉन 2" से चित्र 4"नियमित बहुफलक" विषय पर ज्यामिति पाठों के लिएआयाम: 445 x 487 पिक्सेल, प्रारूप: jpg. ज्यामिति पाठ के लिए एक निःशुल्क छवि डाउनलोड करने के लिए, छवि पर राइट-क्लिक करें और "छवि को इस रूप में सहेजें..." पर क्लिक करें। पाठ में चित्र प्रदर्शित करने के लिए, आप संपूर्ण प्रस्तुति "पॉलीहेड्रॉन 2.पीपीटी" को ज़िप संग्रह में सभी चित्रों के साथ निःशुल्क डाउनलोड कर सकते हैं। संग्रह का आकार 197 KB है.
प्रस्तुतिकरण डाउनलोड करेंनियमित बहुफलक
"पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण" - यूक्लिड का प्रमाण। प्रमेय का प्रमाण. बीजगणितीय प्रमाण. ज्यामितीय प्रमाण. पाइथागोरस प्रमेय का अर्थ. चित्र में दिखाए गए वर्ग पर विचार करें। और अब पाइथागोरस प्रमेय सत्य है, जैसा कि उसके सुदूर युग में था। प्रमेय का कथन. पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है।
"नियमित बहुफलक" - नियमित अष्टफलक। नियमित डोडेकाहेड्रोन। सोडियम एंटीमनी सल्फेट के क्रिस्टल का आकार टेट्राहेड्रोन जैसा होता है। पॉलीहेड्रा के नाम. टेबल नमक (NaCl) क्रिस्टल घन के आकार के होते हैं। नियमित इकोसाहेड्रोन बीस समबाहु त्रिभुजों से बना होता है। एक नियमित चतुष्फलक चार समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।
"ज्यामिति का इतिहास" - छठी शताब्दी ईसा पूर्व। ज्यामिति में कई सूत्र, आंकड़े, प्रमेय, समस्याएं और सिद्धांत शामिल हैं। मध्य युग। थेल्स ने समुद्र में जहाज़ की दूरी निर्धारित करने के लिए एक विधि प्रस्तावित की। प्राचीन मिस्र। कुल मिलाकर, यूक्लिड का कार्य राजसी है। थेल्स ने मिस्र के चेओप्स पिरामिड की ऊंचाई की गणना छाया की लंबाई से की। ल्युबाचेव्स्की की ज्यामिति में, एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है; इसमें कोई समान आकृतियाँ नहीं होती हैं।
"सदिशों के बीच का कोण" - गाइड लाइनों D1B और CB1 पर विचार करें। रेखाओं ВD और CD1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। सदिशों के बीच के कोण की कोज्या. आइए सदिश DD1 और MN के निर्देशांक ज्ञात करें। वैक्टर का डॉट उत्पाद। आप बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करते हैं? सदिशों के बीच का कोण. सीधी रेखाओं और समतलों के बीच के कोणों की गणना। दिशा सदिश सीधा है.
"लोबचेव्स्की की ज्यामिति" - चित्र में, अक्षर समानांतर (सीधे खड़े) हैं या नहीं? क्या गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति ही एकमात्र सही है? रीमैनियन ज्यामिति को इसका नाम बी. रीमैन के नाम पर मिला, जिन्होंने 1854 में इसकी नींव रखी थी। विज्ञान कभी भी स्थिर नहीं रहेगा। क्या चित्र में एक सर्पिल या अनेक वृत्त दिखाई दे रहे हैं?
"समद्विबाहु त्रिभुज" - पक्ष। बीडी - माध्यिका। ऊंचाई। आधार। समद्विबाहु त्रिकोण। आधार से खींचे गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई माध्यिका और समद्विभाजक होती है। AB और BC पार्श्व भुजाएँ हैं। समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं। बीडी - ऊंचाई. वीडी - द्विभाजक। वह त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, समबाहु कहलाता है।
कुल 15 प्रस्तुतियाँ हैं
चतुष्फलक सबसे सरल बहुभुज आकृति है। इसमें चार फलक हैं, जिनमें से प्रत्येक एक समबाहु त्रिभुज है, प्रत्येक पक्ष केवल एक फलक द्वारा दूसरे से जुड़ा हुआ है। इस त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृति के गुणों का अध्ययन करते समय, स्पष्टता के लिए, कागज से टेट्राहेड्रोन मॉडल बनाना सबसे अच्छा है।
कागज से टेट्राहेड्रोन को कैसे गोंदें?
कागज से एक साधारण चतुष्फलक बनाने के लिए हमें आवश्यकता होगी:
- कागज ही (मोटा, आप कार्डबोर्ड का उपयोग कर सकते हैं);
- चांदा;
- शासक;
- कैंची;
- गोंद;
- पेपर टेट्राहेड्रोन, आरेख।
प्रगति
- यदि कागज बहुत मोटा है, तो आपको एक कठोर वस्तु का उपयोग करना चाहिए, उदाहरण के लिए, सिलवटों के साथ एक शासक का किनारा;
- बहु-रंगीन टेट्राहेड्रोन प्राप्त करने के लिए, आप किनारों को पेंट कर सकते हैं या रंगीन कागज की शीट पर स्कैन कर सकते हैं।
बिना चिपकाए कागज से चतुष्फलक कैसे बनाएं?
हम आपके ध्यान में एक मास्टर क्लास प्रस्तुत करते हैं जो आपको बताती है कि ओरिगेमी तकनीक का उपयोग करके 6 पेपर टेट्राहेड्रोन को एक मॉड्यूल में कैसे इकट्ठा किया जाए।
हमें ज़रूरत होगी:
- विभिन्न रंगों में कागज की 5 जोड़ी चौकोर शीट;
- कैंची।
प्रगति
- हम कागज की प्रत्येक शीट को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं, इसे काटते हैं और स्ट्रिप्स प्राप्त करते हैं, जिसका पहलू अनुपात 1 से 3 है। परिणामस्वरूप, हमें 30 स्ट्रिप्स मिलती हैं, जिनसे हम मॉड्यूल को मोड़ेंगे।
- पट्टी को अपने सामने नीचे की ओर क्षैतिज रूप से फैलाकर रखें। हम इसे आधा मोड़ते हैं, खोलते हैं और किनारे के मध्य की ओर मोड़ते हैं।
- सबसे दाहिने किनारे पर, कोने को इस तरह मोड़ें कि एक तीर बन जाए, इसे किनारे से 2-3 सेमी ऊपर ले जाएं।
- हम बाएं कोने को उसी तरह मोड़ते हैं (कागज 3 से टेट्राहेड्रोन कैसे बनाया जाए इसका फोटो)।
- हम पिछले ऑपरेशन के परिणामस्वरूप बने छोटे त्रिकोण के ऊपरी दाएं कोने को मोड़ते हैं। इस तरह, मुड़े हुए किनारे की भुजाएँ एक ही कोण पर होंगी।
- परिणामी तह को खोल दें।
- हम बाएं कोने को खोलते हैं और, मौजूदा तह रेखाओं का अनुसरण करते हुए, कोने को अंदर की ओर मोड़ते हैं जैसा कि फोटो में दिखाया गया है।
- दाएं कोने में, ऊपरी किनारे को नीचे की ओर झुकाएं ताकि यह ऑपरेशन नंबर 3 के दौरान बनी तह के साथ प्रतिच्छेद करे।
- हम ऑपरेशन नंबर 3 के परिणामस्वरूप बनी तह का उपयोग करके बाहरी किनारे को फिर से दाईं ओर मोड़ते हैं।
- हम पट्टी के दूसरे छोर से पिछले ऑपरेशन को दोहराते हैं, लेकिन ताकि छोटी तहें पट्टी के समानांतर छोर पर हों।
- हम परिणामी पट्टी को लंबाई में आधा मोड़ते हैं और इसे अनायास खुलने देते हैं। सटीक उद्घाटन कोण बाद में, मॉडल की अंतिम असेंबली के दौरान स्पष्ट हो जाएगा। तत्व तैयार है, अब हम इसी तरह 29 और बनाते हैं।
- हम लिंक को पलट देते हैं ताकि असेंबली के दौरान इसका बाहरी हिस्सा दिखाई दे। हम छोटे भीतरी कोने से बनी जेब में जीभ डालकर दोनों कड़ियों को जोड़ते हैं।
- जुड़े हुए लिंक को 60⁰ का कोण बनाना चाहिए, जिस पर अन्य लिंक जुड़ेंगे (पेपर 13 से टेट्राहेड्रोन कैसे बनाएं इसका फोटो)।
- हम तीसरे लिंक को दूसरे से जोड़ते हैं, और दूसरे को पहले से जोड़ते हैं। यह आकृति का अंत निकलता है, जिसके शीर्ष पर इसके तीनों लिंक जुड़े हुए हैं।
- इसी तरह तीन और लिंक जोड़ें. पहला चतुष्फलक तैयार है.
- तैयार आकृति के कोने बिल्कुल एक जैसे नहीं हो सकते हैं, इसलिए अधिक सटीक फिट के लिए, बाद के सभी टेट्राहेड्रोन के अलग-अलग कोनों को खुला छोड़ दिया जाना चाहिए।
- टेट्राहेड्रोन को एक दूसरे से जोड़ा जाना चाहिए ताकि एक का कोना दूसरे के छेद से होकर गुजरे।
- तीन चतुष्फलक एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।
- चार परस्पर जुड़े हुए चतुष्फलक।
- पांच टेट्राहेड्रोन का मॉड्यूल तैयार है।
यदि आपने चतुष्फलक में महारत हासिल कर ली है, तो आप इसे जारी रख सकते हैं और बना सकते हैं
अनुभाग: अंक शास्त्र
पाठ की तैयारी और संचालन की योजना:
I. प्रारंभिक चरण:
- त्रिकोणीय पिरामिड के ज्ञात गुणों की पुनरावृत्ति।
- चतुष्फलक की संभावित विशेषताओं, जिन पर पहले विचार नहीं किया गया था, के बारे में परिकल्पनाएँ प्रस्तावित करना।
- इन परिकल्पनाओं पर शोध करने के लिए समूहों का गठन।
- प्रत्येक समूह के लिए कार्यों का वितरण (इच्छाओं को ध्यान में रखते हुए)।
- कार्य पूर्ण करने हेतु उत्तरदायित्वों का वितरण।
द्वितीय. मुख्य मंच:
- परिकल्पना समाधान.
- शिक्षक के साथ परामर्श.
- कार्य का पंजीकरण.
तृतीय. अंतिम चरण:
- परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव.
पाठ मकसद:
- छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्यीकृत और व्यवस्थित करना; इस विषय पर अतिरिक्त सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें; गैर-मानक समस्याओं को हल करते समय ज्ञान को लागू करना, उनमें सरल घटकों को देखना सिखाएं;
- अतिरिक्त साहित्य के साथ काम करने के लिए छात्रों की क्षमता विकसित करना, विश्लेषण करने, सामान्यीकरण करने, जो पढ़ा है उसमें मुख्य चीज़ खोजने और कुछ नया साबित करने की क्षमता में सुधार करना; छात्रों के संचार कौशल का विकास करना;
- ग्राफ़िक संस्कृति विकसित करें.
प्रारंभिक चरण (1 पाठ):
- विद्यार्थी संदेश "महान पिरामिडों का रहस्य।"
- पिरामिडों की विविधता के बारे में शिक्षक द्वारा परिचयात्मक भाषण।
- प्रश्नों की चर्चा:
- अनियमित त्रिकोणीय पिरामिडों को किस मापदंड से जोड़ा जा सकता है?
- त्रिभुज के लंबकेंद्र से हमारा क्या तात्पर्य है, और चतुष्फलक का लंबकेंद्र किसे कहा जा सकता है?
- क्या आयताकार चतुष्फलक में लंबकेन्द्र होता है?
- किस टेट्राहेड्रोन को आइसोहेड्रल कहा जाता है? इसमें क्या गुण हो सकते हैं?
- विभिन्न टेट्राहेड्रा पर विचार करने और उनके गुणों पर चर्चा करने के परिणामस्वरूप, अवधारणाओं को स्पष्ट किया जाता है और एक निश्चित संरचना सामने आती है:
- आइए एक नियमित चतुष्फलक के गुणों पर विचार करें। (परिशिष्ट)
गुण 1-4 स्लाइड 1 का उपयोग करके मौखिक रूप से सिद्ध किए जाते हैं।
संपत्ति 1: सभी किनारे बराबर हैं।
गुण 2: सभी समतल कोण 60° के बराबर होते हैं।
संपत्ति 3: चतुष्फलक के किन्हीं तीन शीर्षों पर समतल कोणों का योग 180° के बराबर होता है।
संपत्ति 4: यदि चतुष्फलक नियमित है, तो इसका कोई भी शीर्ष विपरीत फलक के लंबकेंद्र में प्रक्षेपित होता है।
दिया गया:
एबीसीडी - नियमित चतुष्फलक
एएच - ऊँचाई
सिद्ध करना:
एच - ऑर्थोसेंटर
सबूत:
1) बिंदु H किसी भी बिंदु A, B, C के साथ संपाती हो सकता है। मान लीजिए H ? B, H ? C
2) एएच + (एबीसी) => एएच + बीएच, एएच + सीएच, एएच + डीएच,
3) एबीएच, बीसीएच, एडीएच पर विचार करें
एडी - सामान्य => एबीएच, बीसीएच, एडीएच => बीएच =सीएच = डीएच
एबी = एसी = एडी टी. एच - एबीसी का लंबकेंद्र है
क्यू.ई.डी.
- पहले पाठ में, गुण 5-9 को उन परिकल्पनाओं के रूप में तैयार किया गया है जिनके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।
प्रत्येक समूह को अपना स्वयं का होमवर्क प्राप्त होता है:
किसी एक गुण को सिद्ध करें।
एक प्रेजेंटेशन के साथ तर्क तैयार करें.
द्वितीय. मुख्य मंच (एक सप्ताह के भीतर):
- परिकल्पना समाधान.
- शिक्षक के साथ परामर्श.
- कार्य का पंजीकरण.
तृतीय. अंतिम चरण (1-2 पाठ):
प्रस्तुतियों का उपयोग करके एक परिकल्पना प्रस्तुत करना और उसका बचाव करना।
अंतिम पाठ के लिए सामग्री तैयार करते समय, छात्र ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु की ख़ासियत के बारे में निष्कर्ष पर पहुंचते हैं; हम इसे "अद्भुत" बिंदु कहने के लिए सहमत हैं।
संपत्ति 5: परिचालित और खुदे हुए गोले के केंद्र मेल खाते हैं।
दिया गया:
डीएबीसी - नियमित चतुष्फलक
ओ 1 - वर्णित गोले का केंद्र
O - अंकित गोले का केंद्र
एन - चेहरे एबीसी के साथ अंकित गोले का संपर्क बिंदु
सिद्ध करें: O 1 = O
सबूत:
मान लीजिए OA = OB =OD = OC - परिचालित वृत्त की त्रिज्या
आइए ON + (ABC) को हटा दें
AON = CON - आयताकार, पैर और कर्ण के अनुदिश => AN = CN
आइए OM + (BCD) को हटा दें
COM DOM - आयताकार, पैर और कर्ण के साथ => CM = DM
बिंदु 1 से CON COM => ON =OM
ON + (ABC) => ON,OM - अंकित वृत्त की त्रिज्या।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक नियमित चतुष्फलक के लिए, एक गोले के साथ इसकी पारस्परिक स्थिति की संभावना होती है - एक निश्चित गोले को उसके सभी किनारों से छूना। ऐसे गोले को कभी-कभी "अर्ध-अंकित" भी कहा जाता है।
संपत्ति 6: विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले और इन किनारों के लंबवत खंड आधे-अंकित गोले की त्रिज्या हैं।
दिया गया:
एबीसीडी - नियमित चतुष्फलक;
एएल=बीएल, एके=सीके, एएस=डीएस,
बीपी=सीपी, बीएम=डीएम, सीएन=डीएन।
सिद्ध करना:
एलओ = ओके = ओएस = ओएम = ऑन = ओपी
सबूत।
टेट्राहेड्रोन एबीसीडी - सही => एओ = बीओ = सीओ =डीओ
त्रिभुज AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD पर विचार करें।
AO=BO=>?AOB - समद्विबाहु =>
OL - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO=CO=>?AOC– समद्विबाहु =>
ठीक है - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
CO=DO=>?COD– समद्विबाहु =>
ON- माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– समद्विबाहु => BOD= BOC= AOD
ॐ - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO=DO=>?AOD– समद्विबाहु =>
ओएस - माध्यिका, ऊंचाई, समद्विभाजक
BO=CO=>?BOC– समद्विबाहु =>
ओपी - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
एओ=बीओ=सीओ=डीओ
एबी=एसी=एडी=बीसी=बीडी=सीडी
3) ओएल, ओके, ओएन, ओएम, ओएस, ओपी - ओएल, ओके, ओएन, ओएम, ओएस, ओपी त्रिज्या के बराबर ऊंचाई
समद्विबाहु त्रिभुज गोले
परिणाम:
एक अर्ध-अंकित गोला एक नियमित चतुष्फलक में खींचा जा सकता है।
संपत्ति 7:यदि चतुष्फलक नियमित है, तो चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे परस्पर लंबवत होते हैं।
दिया गया:
डीएबीसी - नियमित टेट्राहेड्रोन;
एच - ऑर्थोसेंटर
सिद्ध करना:
सबूत:
डीएबीसी - नियमित चतुष्फलक =>?एडीबी - समबाहु
(एडीबी) (ईडीसी) = ईडी
ईडी - ऊंचाई एडीबी => ईडी +एबी,
एबी + सीई ,=> एबी+ (ईडीसी) => एबी + सीडी।
अन्य किनारों की लम्बवतता इसी प्रकार सिद्ध होती है।
संपत्ति 8: समरूपता के छह तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु O पर, चार सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, जो चेहरों के चारों ओर परिचालित वृत्तों के केंद्रों के माध्यम से खींची जाती हैं, जो चेहरों के तल के लंबवत होती हैं, और बिंदु O परिचालित गोले का केंद्र है।
दिया गया:
एबीसीडी - नियमित चतुष्फलक
सिद्ध करना:
ओ - वर्णित क्षेत्र का केंद्र;
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं;
सबूत।
सीजी + बीडी, क्योंकि बीसीडी - समबाहु => GO + BD (तीन GO + BD लंबों के प्रमेय द्वारा)
बीजी = जीडी, क्योंकि एजी - माध्यिका एबीडी
एबीडी (एबीडी)=> ? बीओडी - समद्विबाहु => बीओ=डीओ
ईडी + एबी, क्योंकि ABD - समबाहु => OE + AD (तीन लंबों के प्रमेय द्वारा)
बीई = एई, क्योंकि DE - माध्यिका?ABD
एबीडी (ABD) =>?एओबी – समद्विबाहु =>बीओ=एओ
(एओबी) (एबीडी) = एबी
ON + (ABC) OF + AC (तीन के प्रमेय द्वारा
बीएफ + एसी, क्योंकि एबीसी - समबाहु लंब)
एएफ = एफसी, क्योंकि बीएफ - माध्यिका?एबीसी
एबीसी (एबीसी) => एओसी - समद्विबाहु => एओ = सीओ
(एओसी) ?(एबीसी) = एसी
बीओ = एओ =>एओ = बीओ = सीओ = डीओ - गोले की त्रिज्या,
एओ = सीओ टेट्राहेड्रोन एबीसीडी के पास वर्णित है
(एबीआर) (एसीजी) = एओ
(बीसीटी) (एबीआर) = बीओ
(एसीजी) (बीसीटी) = सीओ
(एडीएच) (सीईडी) = डीओ
एबी + (एबीआर)(एबीआर)(बीसीटी)(एसीजी)(एडीएच)(सीईडी) (बीडीएफ)
इस तरह:
बिंदु O परिबद्ध गोले का केंद्र है,
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
संपत्ति 9: चतुष्फलक के शीर्षों से होकर लंबकेंद्रों तक जाने वाले लंबों के बीच का अधिक कोण 109°28" है
दिया गया:
एबीसीडी - नियमित चतुष्फलक;
ओ - परिचालित गोले का केंद्र;
सिद्ध करना:
सबूत:
1)एएस - ऊंचाई
एएसबी = 90 ओ ओएसबी आयताकार
2) (नियमित चतुष्फलक की संपत्ति के अनुसार)
3)एओ=बीओ - परिचालित गोले की त्रिज्या
4) 
70°32"
6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC
निष्कर्ष।
(शिक्षक और छात्र पाठ का सारांश प्रस्तुत करते हैं। छात्रों में से एक रासायनिक तत्वों की संरचनात्मक इकाई के रूप में टेट्राहेड्रा के बारे में एक संक्षिप्त रिपोर्ट के साथ बोलता है।)
एक नियमित टेट्राहेड्रोन के गुणों और उसके "अद्भुत" बिंदु का अध्ययन किया जाता है।
यह पाया गया कि केवल ऐसे टेट्राहेड्रोन का आकार, जिसमें उपरोक्त सभी गुण हों, साथ ही एक "आदर्श" बिंदु हो, सिलिकेट और हाइड्रोकार्बन के अणुओं द्वारा आकार दिया जा सकता है। या अणुओं में कई नियमित टेट्राहेड्रा शामिल हो सकते हैं। वर्तमान में टेट्राहेड्रोन को न केवल प्राचीन सभ्यता और गणित के प्रतिनिधि के रूप में जाना जाता है, बल्कि पदार्थों की संरचना के आधार के रूप में भी जाना जाता है।
सिलिकेट नमक जैसे पदार्थ होते हैं जिनमें सिलिकॉन और ऑक्सीजन के यौगिक होते हैं। उनका नाम लैटिन शब्द "सिलेक्स" - "फ्लिंट" से आया है। सिलिकेट अणुओं का आधार टेट्राहेड्रोन के रूप में परमाणु रेडिकल हैं।
सिलिकेट रेत, मिट्टी, ईंट, कांच, सीमेंट, मीनाकारी, तालक, एस्बेस्टस, पन्ना और पुखराज हैं।
सिलिकेट्स पृथ्वी की पपड़ी का 75% से अधिक (और क्वार्ट्ज के साथ लगभग 87%) और 95% से अधिक आग्नेय चट्टानों का निर्माण करते हैं।
सिलिकेट्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक सामान्य ऑक्सीजन परमाणु के माध्यम से दो या दो से अधिक सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रा के पारस्परिक संयोजन (पॉलीमराइजेशन) की क्षमता है।
संतृप्त हाइड्रोकार्बन का आणविक आकार समान होता है, लेकिन, सिलिकेट के विपरीत, उनमें कार्बन और हाइड्रोजन होते हैं। अणुओं का सामान्य सूत्र
हाइड्रोकार्बन में प्राकृतिक गैस शामिल है।
हम आयताकार और आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रा के गुणों पर विचार करेंगे।
साहित्य।
- पोटापोव वी.एम., तातारिंचिक एस.एन. "कार्बनिक रसायन विज्ञान", मॉस्को 1976
- बाबरिन वी.पी. "महान पिरामिडों का रहस्य", सेंट पीटर्सबर्ग, 2000।
- शैरगिन आई.एफ. "ज्यामिति में समस्याएं", मॉस्को, 1984।
- बड़ा विश्वकोश शब्दकोश.
- "स्कूल संदर्भ पुस्तक", मॉस्को, 2001।
पाठ का पाठ प्रतिलेख:
शुभ दोपहर हम इस विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं: "रेखाओं और तलों की समानता।"
मुझे लगता है कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि आज हम पॉलीहेड्रा के बारे में बात करेंगे - बहुभुजों से बने ज्यामितीय निकायों की सतहें।
अर्थात् चतुष्फलक के बारे में।
हम योजना के अनुसार पॉलीहेड्रा का अध्ययन करेंगे:
1. चतुष्फलक की परिभाषा
2. चतुष्फलक के तत्व
3. चतुष्फलक का विकास
4. एक विमान पर छवि
1. त्रिभुज ABC की रचना कीजिए
2. बिंदु D इस त्रिभुज के तल में नहीं है
3. बिंदु D को खंडों के साथ त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ें। हमें त्रिभुज DAB, DBC और DCA प्राप्त होते हैं।
परिभाषा: चार त्रिभुजों ABC, DAB, DBC और DCA से बनी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है।
पदनाम: डीएबीसी.
चतुष्फलक के तत्व
वे त्रिभुज जो चतुष्फलक बनाते हैं, फलक कहलाते हैं, उनकी भुजाएँ किनारे होती हैं, और उनके शीर्ष चतुष्फलक के शीर्ष कहलाते हैं।
चतुष्फलक के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं?
एक चतुष्फलक के चार फलक, छह किनारे और चार शीर्ष होते हैं
चतुष्फलक के दो किनारे जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं।
चित्र में, किनारे AD और BC, BD और AC, CD और AB विपरीत हैं।
कभी-कभी चतुष्फलक के एक फलक को अलग कर दिया जाता है और उसे उसका आधार कहा जाता है, और अन्य तीन को पार्श्व फलक कहा जाता है।
चतुष्फलक का विकास.
कागज से चतुष्फलक बनाने के लिए आपको निम्नलिखित विकास की आवश्यकता होगी:
इसे मोटे कागज पर स्थानांतरित करने, काटने, बिंदीदार रेखाओं के साथ मोड़ने और चिपकाने की जरूरत है।
एक समतल पर एक चतुष्फलक को दर्शाया गया है
विकर्णों के साथ उत्तल या गैर-उत्तल चतुर्भुज के रूप में। इस मामले में, अदृश्य किनारों को धराशायी रेखाओं से दर्शाया गया है।
पहली तस्वीर में, AC एक अदृश्य किनारा है,
दूसरे पर - ईके, एलके और केएफ।
आइए कई विशिष्ट चतुष्फलकीय समस्याओं का समाधान करें:
5 सेमी के किनारे वाले एक नियमित टेट्राहेड्रोन का विकास क्षेत्र ज्ञात करें।
समाधान। आइए चतुष्फलक के विकास का चित्र बनाएं
(एक टेट्राहेड्रोन स्कैन स्क्रीन पर दिखाई देता है)
इस चतुष्फलक में चार समबाहु त्रिभुज होते हैं, इसलिए एक नियमित चतुष्फलक का विकास क्षेत्र चतुष्फलक की कुल सतह के क्षेत्रफल या चार नियमित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हम सूत्र का उपयोग करके एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
तब हमें चतुष्फलक का क्षेत्रफल इसके बराबर प्राप्त होता है:
आइए सूत्र में किनारे की लंबाई a = 5 सेमी रखें,
यह पता चला है
उत्तर: नियमित चतुष्फलक का विकास क्षेत्र
बिंदु M, N और K से गुजरने वाले समतल के साथ टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें।
a) वास्तव में, आइए हम बिंदु M और N (चेहरे ADC से संबंधित), बिंदु M और K (चेहरे ADB से संबंधित), बिंदु N और K (चेहरे DBC से संबंधित) को जोड़ते हैं। टेट्राहेड्रोन का क्रॉस सेक्शन त्रिकोण एमकेएन है।
बी) बिंदु एम और के (एडीबी के किनारों से संबंधित), बिंदु के और एन (डीसीबी के किनारों से संबंधित) को कनेक्ट करें, फिर एमके और एबी को तब तक जारी रखें जब तक वे प्रतिच्छेद न करें और बिंदु पी को रखें। लाइन पीएन और बिंदु टी एक ही विमान एबीसी में स्थित हैं और अब हम प्रत्येक फलक के साथ सीधी रेखा एमके का प्रतिच्छेदन बना सकते हैं। परिणाम एक चतुर्भुज एमकेएनटी है, जो वांछित खंड है।
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