वृत्ताकार गति के मूल सूत्र. एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति। कोणीय वेग की अवधारणा

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ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

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1. एक वृत्त में एकसमान गति

2. घूर्णी गति की कोणीय गति.

3. परिभ्रमण काल.

4. घूर्णन गति.

5. रैखिक गति और कोणीय गति के बीच संबंध.

6.केन्द्रीय त्वरण।

7. एक वृत्त में समान रूप से वैकल्पिक गति।

8. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय त्वरण।

9.स्पर्शरेखा त्वरण.

10. वृत्त में एकसमान त्वरित गति का नियम।

11. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।

1.एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति- वह गति जिसमें एक भौतिक बिंदु समान समय अंतराल में एक वृत्ताकार चाप के समान खंडों से गुजरता है, अर्थात। बिंदु एक वृत्त में स्थिर निरपेक्ष गति से गति करता है। इस मामले में, गति बिंदु द्वारा तय किए गए वृत्त के चाप और गति के समय के अनुपात के बराबर है, अर्थात।

और इसे एक वृत्त में गति की रैखिक गति कहा जाता है।

वक्ररेखीय गति की तरह, वेग वेक्टर को गति की दिशा में वृत्त की स्पर्शरेखीय दिशा में निर्देशित किया जाता है (चित्र 25)।

2. एकसमान वृत्ताकार गति में कोणीय वेग- त्रिज्या घूर्णन कोण का घूर्णन समय से अनुपात:

एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय वेग स्थिर रहता है। एसआई प्रणाली में, कोणीय वेग को (रेड/एस) में मापा जाता है। एक रेडियन - एक रेड त्रिज्या के बराबर लंबाई वाले वृत्त के चाप को अंतरित करने वाला केंद्रीय कोण है। एक पूर्ण कोण में रेडियन होते हैं, अर्थात। प्रति क्रांति त्रिज्या रेडियन के कोण से घूमती है।

3. परिभ्रमण काल- समय अंतराल टी जिसके दौरान एक भौतिक बिंदु एक पूर्ण क्रांति करता है। एसआई प्रणाली में, अवधि को सेकंड में मापा जाता है।

4. घूर्णन आवृत्ति- एक सेकंड में किए गए चक्करों की संख्या। SI प्रणाली में, आवृत्ति हर्ट्ज़ (1Hz = 1) में मापी जाती है। एक हर्ट्ज़ वह आवृत्ति है जिस पर एक क्रांति एक सेकंड में पूरी होती है। इसकी कल्पना करना आसान है

यदि समय t के दौरान एक बिंदु एक वृत्त के चारों ओर n चक्कर लगाता है।

घूर्णन की अवधि और आवृत्ति को जानकर, कोणीय वेग की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

5 रैखिक गति और कोणीय गति के बीच संबंध. एक वृत्त के चाप की लंबाई केंद्रीय कोण के बराबर होती है, जिसे रेडियन में व्यक्त किया जाता है, जो चाप को अंतरित करने वाले वृत्त की त्रिज्या है। अब हम रैखिक गति को फॉर्म में लिखते हैं

सूत्रों का उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है: या कोणीय वेग को अक्सर चक्रीय आवृत्ति कहा जाता है, और आवृत्ति को रैखिक आवृत्ति कहा जाता है।

6. केन्द्राभिमुख त्वरण. एक वृत्त के चारों ओर एक समान गति में, वेग मॉड्यूल अपरिवर्तित रहता है, लेकिन इसकी दिशा लगातार बदलती रहती है (चित्र 26)। इसका मतलब यह है कि एक वृत्त में समान रूप से घूम रहा कोई पिंड त्वरण का अनुभव करता है, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और इसे सेंट्रिपेटल त्वरण कहा जाता है।

मान लीजिए कि एक समयावधि में एक वृत्त के चाप के बराबर दूरी तय की जाती है। आइए वेक्टर को अपने समानांतर छोड़ते हुए घुमाएं, ताकि इसकी शुरुआत बिंदु बी पर वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाए। गति में परिवर्तन का मापांक बराबर है, और सेंट्रिपेटल त्वरण का मापांक बराबर है

चित्र 26 में, त्रिभुज AOB और DVS समद्विबाहु हैं और शीर्ष O और B पर बने कोण बराबर हैं, जैसे परस्पर लंबवत भुजाओं AO और OB वाले कोण समान हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज AOB और DVS समरूप हैं। इसलिए, यदि, अर्थात्, समय अंतराल मनमाने ढंग से छोटे मान लेता है, तो चाप को लगभग जीवा एबी के बराबर माना जा सकता है, अर्थात। . इसलिए, हम लिख सकते हैं कि वीडी =, ओए = आर को ध्यान में रखते हुए हम अंतिम समानता के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं, हम आगे एक सर्कल में समान गति में सेंट्रिपेटल त्वरण के मापांक के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:। यह ध्यान में रखते हुए कि हमें दो अक्सर उपयोग किए जाने वाले सूत्र मिलते हैं:

इसलिए, एक वृत्त के चारों ओर एकसमान गति में, अभिकेन्द्रीय त्वरण परिमाण में स्थिर होता है।

यह समझना आसान है कि सीमा में , कोण . इसका मतलब यह है कि ICE त्रिकोण के DS के आधार पर कोण मान की ओर प्रवृत्त होते हैं, और गति परिवर्तन वेक्टर गति वेक्टर के लंबवत हो जाता है, अर्थात। वृत्त के केंद्र की ओर रेडियल रूप से निर्देशित।

7. समान रूप से बारी-बारी से गोलाकार गति- वृत्ताकार गति जिसमें कोणीय वेग समान समय अंतराल पर समान मात्रा में बदलता है।

8. एकसमान वृत्तीय गति में कोणीय त्वरण- कोणीय वेग में परिवर्तन का उस समय अंतराल से अनुपात जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ, अर्थात।

जहां कोणीय वेग का प्रारंभिक मूल्य, एसआई प्रणाली में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण का अंतिम मूल्य मापा जाता है। अंतिम समानता से हमें कोणीय वेग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त होते हैं

और अगर ।

इन समानताओं के दोनों पक्षों को गुणा करना और इसे ध्यान में रखना, स्पर्शरेखीय त्वरण है, यानी। वृत्त के स्पर्शरेखीय रूप से निर्देशित त्वरण से, हमें रैखिक गति की गणना के लिए सूत्र प्राप्त होते हैं:

और अगर ।

9. स्पर्शरेखीय त्वरणसंख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में गति में परिवर्तन के बराबर और वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित। यदि >0, >0, तो गति समान रूप से त्वरित होती है। अगर<0 и <0 – движение.

10. वृत्त में समान रूप से त्वरित गति का नियम. समान रूप से त्वरित गति से समय में एक वृत्त के चारों ओर यात्रा किए गए पथ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

प्रतिस्थापित करने पर, और घटाने पर, हम एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति का नियम प्राप्त करते हैं:

या अगर।

यदि गति समान रूप से धीमी है, अर्थात<0, то

11.समान रूप से त्वरित वृत्तीय गति में कुल त्वरण. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में, समय के साथ अभिकेन्द्रीय त्वरण बढ़ता है, क्योंकि स्पर्शरेखीय त्वरण के कारण रैखिक गति बढ़ जाती है। अक्सर, अभिकेंद्रीय त्वरण को सामान्य कहा जाता है और इसे इस रूप में दर्शाया जाता है। चूँकि किसी दिए गए क्षण में कुल त्वरण पाइथागोरस प्रमेय (चित्र 27) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत कोणीय वेग. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में औसत रैखिक गति के बराबर होती है। यहां प्रतिस्थापित करने पर और तथा घटाने पर हमें प्राप्त होता है

तो अगर।

12. एक वृत्त में समान रूप से त्वरित गति में कोणीय वेग, कोणीय त्वरण और घूर्णन कोण के बीच संबंध स्थापित करने वाले सूत्र।

मात्राओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

और घटाने पर हमें प्राप्त होता है

व्याख्यान-4. गतिशीलता.

1. गतिशीलता

2. निकायों की परस्पर क्रिया।

3. जड़ता. जड़ता का सिद्धांत.

4. न्यूटन का प्रथम नियम.

5. निःशुल्क सामग्री बिंदु.

6. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली।

7. गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली।

8. गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत.

9. गैलीलियन परिवर्तन।

11. बलों का जोड़.

13. पदार्थों का घनत्व.

14. द्रव्यमान का केंद्र.

15. न्यूटन का दूसरा नियम.

16. बल की इकाई.

17. न्यूटन का तीसरा नियम

1. गतिकीयांत्रिकी की एक शाखा है जो इस गति में परिवर्तन का कारण बनने वाली ताकतों के आधार पर यांत्रिक गति का अध्ययन करती है।

2.निकायों की परस्पर क्रिया. पिंड एक विशेष प्रकार के पदार्थ जिसे भौतिक क्षेत्र कहा जाता है, के माध्यम से सीधे संपर्क में और दूरी पर दोनों तरह से बातचीत कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सभी पिंड एक-दूसरे के प्रति आकर्षित होते हैं और यह आकर्षण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के माध्यम से होता है, और आकर्षण की शक्तियों को गुरुत्वाकर्षण कहा जाता है।

विद्युत आवेश वाले पिंड विद्युत क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत धाराएँ एक चुंबकीय क्षेत्र के माध्यम से परस्पर क्रिया करती हैं। इन बलों को विद्युत चुम्बकीय कहा जाता है।

प्राथमिक कण परमाणु क्षेत्रों के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं और इन बलों को परमाणु कहा जाता है।

3.जड़ता. चौथी शताब्दी में. ईसा पूर्व इ। यूनानी दार्शनिक अरस्तू ने तर्क दिया कि किसी पिंड की गति का कारण दूसरे पिंड या पिंडों से कार्य करने वाला बल है। उसी समय, अरस्तू की गति के अनुसार, एक स्थिर बल शरीर को एक स्थिर गति प्रदान करता है और, बल की कार्रवाई की समाप्ति के साथ, गति समाप्त हो जाती है।

16वीं सदी में इतालवी भौतिक विज्ञानी गैलीलियो गैलीली ने झुके हुए तल पर लुढ़कने वाले पिंडों और गिरते हुए पिंडों के साथ प्रयोग करते हुए दिखाया कि एक निरंतर बल (इस मामले में, एक पिंड का वजन) शरीर को त्वरण प्रदान करता है।

तो, प्रयोगों के आधार पर, गैलीलियो ने दिखाया कि बल ही पिंडों के त्वरण का कारण है। आइये गैलीलियो का तर्क प्रस्तुत करते हैं। एक बहुत चिकनी गेंद को एक चिकने क्षैतिज तल पर लुढ़कने दीजिए। यदि गेंद के साथ कोई हस्तक्षेप नहीं करता है, तो यह इच्छानुसार लंबे समय तक लुढ़क सकती है। यदि गेंद के रास्ते पर रेत की पतली परत डाल दी जाए तो गेंद जल्दी ही रुक जाएगी, क्योंकि यह रेत के घर्षण बल से प्रभावित था।

तो गैलीलियो जड़ता के सिद्धांत के सूत्रीकरण के लिए आए, जिसके अनुसार एक भौतिक शरीर आराम की स्थिति या एकसमान सीधी गति बनाए रखता है यदि उस पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है। पदार्थ के इस गुण को अक्सर जड़त्व कहा जाता है, और बाहरी प्रभावों के बिना किसी पिंड की गति को जड़त्व द्वारा गति कहा जाता है।

4. न्यूटन का पहला नियम. 1687 में, गैलीलियो के जड़त्व के सिद्धांत के आधार पर, न्यूटन ने गतिशीलता का पहला नियम तैयार किया - न्यूटन का पहला नियम:

एक भौतिक बिंदु (पिंड) आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति में होता है यदि अन्य पिंड उस पर कार्य नहीं करते हैं, या अन्य पिंडों से कार्य करने वाली शक्तियां संतुलित होती हैं, अर्थात। मुआवजा दिया।

5.निःशुल्क सामग्री बिंदु- एक भौतिक बिंदु जो अन्य निकायों से प्रभावित नहीं होता है। कभी-कभी वे कहते हैं - एक पृथक भौतिक बिंदु।

6. जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईआरएस)- एक संदर्भ प्रणाली जिसके सापेक्ष एक अलग सामग्री बिंदु सीधा और समान रूप से चलता है, या आराम पर है।

कोई भी संदर्भ प्रणाली जो आईएसओ के सापेक्ष समान रूप से और सीधी रेखा में चलती है, जड़त्वीय है,

आइए हम न्यूटन के पहले नियम का एक और सूत्रीकरण दें: ऐसी संदर्भ प्रणालियाँ हैं जिनके सापेक्ष एक मुक्त सामग्री बिंदु सीधा और समान रूप से चलता है, या आराम पर है। ऐसी संदर्भ प्रणालियों को जड़त्वीय कहा जाता है। न्यूटन के पहले नियम को अक्सर जड़त्व का नियम कहा जाता है।

न्यूटन के पहले नियम को निम्नलिखित सूत्रीकरण भी दिया जा सकता है: प्रत्येक भौतिक पिंड अपनी गति में परिवर्तन का विरोध करता है। पदार्थ के इस गुण को जड़त्व कहते हैं।

हम शहरी परिवहन में हर दिन इस कानून की अभिव्यक्तियों का सामना करते हैं। जब बस अचानक गति पकड़ लेती है तो हम सीट के पीछे दब जाते हैं। जब बस धीमी होती है तो हमारा शरीर बस की दिशा में फिसल जाता है।

7. गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली -एक संदर्भ प्रणाली जो आईएसओ के सापेक्ष असमान रूप से चलती है।

एक पिंड जो आईएसओ के सापेक्ष आराम या एकसमान रैखिक गति की स्थिति में है। यह एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष असमान रूप से चलता है।

कोई भी घूर्णनशील संदर्भ प्रणाली एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली है, क्योंकि इस प्रणाली में शरीर अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है।

प्रकृति या प्रौद्योगिकी में ऐसा कोई निकाय नहीं है जो आईएसओ के रूप में काम कर सके। उदाहरण के लिए, पृथ्वी अपनी धुरी पर घूमती है और इसकी सतह पर कोई भी पिंड अभिकेन्द्रीय त्वरण का अनुभव करता है। हालाँकि, काफी कम समय के लिए, पृथ्वी की सतह से जुड़ी संदर्भ प्रणाली को, कुछ अनुमान के अनुसार, आईएसओ माना जा सकता है।

8.गैलीलियो का सापेक्षता का सिद्धांत.आईएसओ आप जितना चाहें उतना नमक हो सकता है। इसलिए, सवाल उठता है: एक ही यांत्रिक घटना अलग-अलग आईएसओ में कैसी दिखती है? क्या यांत्रिक घटनाओं का उपयोग करके, आईएसओ की गति का पता लगाना संभव है जिसमें उन्हें देखा जाता है।

इन प्रश्नों का उत्तर गैलीलियो द्वारा खोजे गए शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा दिया गया है।

शास्त्रीय यांत्रिकी के सापेक्षता के सिद्धांत का अर्थ कथन है: सभी यांत्रिक घटनाएँ संदर्भ के सभी जड़त्वीय ढाँचों में बिल्कुल उसी तरह आगे बढ़ती हैं।

इस सिद्धांत को इस प्रकार तैयार किया जा सकता है: शास्त्रीय यांत्रिकी के सभी नियम समान गणितीय सूत्रों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, कोई भी यांत्रिक प्रयोग हमें आईएसओ की गति का पता लगाने में मदद नहीं करेगा। इसका मतलब यह है कि आईएसओ मूवमेंट का पता लगाने की कोशिश करना व्यर्थ है।

ट्रेनों में यात्रा करते समय हमें सापेक्षता के सिद्धांत की अभिव्यक्ति का सामना करना पड़ा। जिस समय हमारी ट्रेन स्टेशन पर खड़ी होती है और बगल की पटरी पर खड़ी ट्रेन धीरे-धीरे चलने लगती है तो पहले क्षणों में हमें ऐसा लगता है कि हमारी ट्रेन चल रही है। लेकिन इसका उल्टा भी होता है, जब हमारी ट्रेन सुचारू रूप से गति पकड़ लेती है तो हमें ऐसा लगता है कि पड़ोसी ट्रेन चल पड़ी है।

उपरोक्त उदाहरण में, सापेक्षता का सिद्धांत छोटे समय के अंतराल पर स्वयं प्रकट होता है। जैसे-जैसे गति बढ़ती है, हमें झटके और कार के हिलने का एहसास होने लगता है, यानी हमारा संदर्भ तंत्र जड़त्वहीन हो जाता है।

इसलिए, ISO गतिविधि का पता लगाने का प्रयास करना व्यर्थ है। नतीजतन, यह बिल्कुल उदासीन है कि कौन सा आईएसओ स्थिर माना जाता है और कौन सा गतिशील है।

9. गैलीलियन परिवर्तन. दो आईएसओ को एक दूसरे के सापेक्ष गति से चलने दें। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, हम मान सकते हैं कि ISO K स्थिर है, और ISO अपेक्षाकृत गति से चलता है। सरलता के लिए, हम मानते हैं कि सिस्टम के संबंधित समन्वय अक्ष समानांतर हैं, और अक्ष और संपाती हैं। मान लीजिए कि सिस्टम शुरुआत के क्षण में मेल खाता है और आंदोलन अक्षों के साथ होता है और, यानी। (चित्र.28)

11. बलों का जोड़. यदि किसी कण पर दो बल लगाए जाते हैं, तो परिणामी बल उनके सदिश बल के बराबर होता है, अर्थात। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण सदिशों पर बने होते हैं और (चित्र 29)।

किसी दिए गए बल को दो बल घटकों में विघटित करते समय भी यही नियम लागू होता है। ऐसा करने के लिए, किसी दिए गए बल के वेक्टर पर एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण किया जाता है, जैसे कि एक विकर्ण पर, जिसके किनारे किसी दिए गए कण पर लागू बलों के घटकों की दिशा से मेल खाते हैं।

यदि कण पर कई बल लगाए जाते हैं, तो परिणामी बल सभी बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है:

12.वज़न. अनुभव से पता चला है कि बल के मापांक और त्वरण के मापांक का अनुपात, जो यह बल शरीर को प्रदान करता है, किसी दिए गए शरीर के लिए एक स्थिर मान है और इसे शरीर का द्रव्यमान कहा जाता है:

अंतिम समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि पिंड का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, उसकी गति को बदलने के लिए उतना ही अधिक बल लगाना होगा। नतीजतन, किसी पिंड का द्रव्यमान जितना अधिक होगा, वह उतना ही अधिक निष्क्रिय होगा, अर्थात। द्रव्यमान पिंडों की जड़ता का माप है। इस प्रकार निर्धारित द्रव्यमान को जड़त्व द्रव्यमान कहते हैं।

एसआई प्रणाली में द्रव्यमान को किलोग्राम (किग्रा) में मापा जाता है। एक किलोग्राम एक तापमान पर लिए गए एक घन डेसीमीटर के आयतन में आसुत जल का द्रव्यमान है

13. पदार्थ का घनत्व- एक इकाई आयतन में निहित किसी पदार्थ का द्रव्यमान या उसके आयतन से शरीर के द्रव्यमान का अनुपात

SI प्रणाली में घनत्व () में मापा जाता है। किसी पिंड के घनत्व और उसके आयतन को जानकर, आप सूत्र का उपयोग करके उसके द्रव्यमान की गणना कर सकते हैं। किसी पिंड के घनत्व और द्रव्यमान को जानकर उसके आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

14.सेंटर ऑफ मास- किसी पिंड का एक बिंदु जिसमें यह गुण होता है कि यदि किसी बल की कार्रवाई की दिशा इस बिंदु से होकर गुजरती है तो शरीर अनुवादात्मक रूप से गति करता है। यदि क्रिया की दिशा द्रव्यमान के केंद्र से होकर नहीं गुजरती है, तो पिंड अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर एक साथ घूमते हुए चलता है

15. न्यूटन का दूसरा नियम. आईएसओ में, किसी पिंड पर कार्य करने वाले बलों का योग पिंड के द्रव्यमान और इस बल द्वारा उस पर लगाए गए त्वरण के उत्पाद के बराबर होता है।

16.बल की इकाई. एसआई प्रणाली में बल को न्यूटन में मापा जाता है। एक न्यूटन (एन) एक बल है, जो एक किलोग्राम वजन वाले शरीर पर कार्य करके उसे त्वरण प्रदान करता है। इसीलिए ।

17. न्यूटन का तीसरा नियम. वे बल जिनके साथ दो पिंड एक दूसरे पर कार्य करते हैं, परिमाण में समान, दिशा में विपरीत और इन पिंडों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा के साथ कार्य करते हैं।

किसी वस्तु का एक वृत्त में स्थिर निरपेक्ष गति से घूमना- यह एक गति है जिसमें एक पिंड समय के किसी भी समान अंतराल पर समान चाप का वर्णन करता है।

वृत्त पर पिंड की स्थिति निर्धारित की जाती है त्रिज्या सदिश\(~\vec r\) वृत्त के केंद्र से खींचा गया है। त्रिज्या सदिश का मापांक वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है आर(चित्र .1)।

समय के दौरान Δ टीशरीर एक बिंदु से गति कर रहा है एबिल्कुल में, जीवा के बराबर विस्थापन \(~\Delta \vec r\) बनाता है अब, और चाप की लंबाई के बराबर पथ यात्रा करता है एल.

त्रिज्या वेक्टर एक कोण Δ से घूमता है φ . कोण को रेडियन में व्यक्त किया जाता है।

एक प्रक्षेप पथ (वृत्त) के साथ किसी पिंड की गति की गति \(~\vec \upsilon\) प्रक्षेप पथ के स्पर्शरेखा द्वारा निर्देशित होती है। यह कहा जाता है रैखिक गति. रैखिक वेग का मापांक वृत्ताकार चाप की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है एलसमय अंतराल के लिए Δ टीजिसके लिए यह आर्क पूरा हो गया है:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

एक अदिश भौतिक राशि, संख्यात्मक रूप से त्रिज्या वेक्टर के घूर्णन के कोण और उस समय की अवधि के अनुपात के बराबर होती है जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ था, कहलाती है कोणीय वेग:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

कोणीय वेग की एसआई इकाई रेडियन प्रति सेकंड (रेड/एस) है।

एक वृत्त में एक समान गति के साथ, कोणीय वेग और रैखिक वेग मॉड्यूल स्थिर मात्राएँ हैं: ω = स्थिरांक; υ = स्थिरांक.

पिंड की स्थिति निर्धारित की जा सकती है यदि त्रिज्या वेक्टर \(~\vec r\) और कोण का मापांक φ , जिसे यह अक्ष के साथ बनाता है बैल(कोणीय निर्देशांक). यदि समय के आरंभिक क्षण में टी 0 = 0 कोणीय निर्देशांक है φ 0 , और समय पर टीयह बराबर है φ , फिर घूर्णन का कोण Δ φ समय के लिए त्रिज्या वेक्टर \(~\Delta t = t - t_0 = t\) \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\) के बराबर है। फिर अंतिम सूत्र से हम प्राप्त कर सकते हैं एक वृत्त के अनुदिश किसी भौतिक बिंदु की गति का गतिज समीकरण:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

यह आपको किसी भी समय शरीर की स्थिति निर्धारित करने की अनुमति देता है टी. यह मानते हुए कि \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), हमें प्राप्त होता है\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \दाहिना तीर\]

\(~\upsilon = \omega R\) - रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध का सूत्र।

समय अंतराल Τ जिसके दौरान शरीर एक पूर्ण क्रांति करता है उसे कहते हैं घूर्णन अवधि:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

कहाँ एन- समय के दौरान शरीर द्वारा किए गए चक्करों की संख्या टी.

समय के दौरान Δ टी = Τ शरीर \(~l = 2 \pi R\) पथ पर यात्रा करता है। इस तरह,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

परिमाण ν , अवधि का व्युत्क्रम, यह दर्शाता है कि एक पिंड प्रति इकाई समय में कितने चक्कर लगाता है, कहलाता है घूमने की रफ़्तार:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

इस तरह,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \\omega = 2 \pi \nu .\)

साहित्य

अक्सेनोविच एल.ए. माध्यमिक विद्यालय में भौतिकी: सिद्धांत। कार्य. टेस्ट: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा प्रदान करने वाले संस्थानों के लिए भत्ता। पर्यावरण, शिक्षा / एल. ए. अक्सेनोविच, एन. एन. राकिना, के. एस. फ़ारिनो; ईडी। के.एस. फ़ारिनो. - एमएन.: अदुकात्सिया आई व्याखावन्ने, 2004. - पी. 18-19।

इस पाठ में हम वक्ररेखीय गति, अर्थात् एक वृत्त में किसी पिंड की एकसमान गति, को देखेंगे। हम सीखेंगे कि जब कोई पिंड एक वृत्त में घूमता है तो रैखिक गति, अभिकेन्द्रीय त्वरण क्या होता है। हम उन मात्राओं का भी परिचय देंगे जो घूर्णी गति (रोटेशन अवधि, घूर्णन आवृत्ति, कोणीय वेग) को चिह्नित करती हैं, और इन मात्राओं को एक दूसरे से जोड़ते हैं।

एकसमान वृत्तीय गति से हमारा तात्पर्य यह है कि वस्तु किसी भी समान समयावधि में एक ही कोण से घूमती है (चित्र 6 देखें)।

चावल। 6. एक वृत्त में एकसमान गति

अर्थात्, तात्कालिक गति का मॉड्यूल नहीं बदलता है:

इस गति को कहा जाता है रेखीय.

हालाँकि वेग का परिमाण नहीं बदलता है, वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है। आइए बिंदुओं पर वेग सदिशों पर विचार करें एऔर बी(चित्र 7 देखें)। वे अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित हैं, इसलिए वे समान नहीं हैं। यदि हम बिंदु पर गति से घटा दें बीबिंदु पर गति ए, हमें वेक्टर मिलता है।

चावल। 7. वेग सदिश

गति में परिवर्तन () और उस समय का अनुपात जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ () त्वरण है।

इसलिए, किसी भी वक्रीय गति को त्वरित किया जाता है.

यदि हम चित्र 7 में प्राप्त वेग त्रिभुज पर विचार करें, तो बिंदुओं की बहुत करीबी व्यवस्था के साथ एऔर बीएक दूसरे से, वेग सदिशों के बीच का कोण (α) शून्य के करीब होगा:

यह भी ज्ञात है कि यह त्रिभुज समद्विबाहु है, इसलिए वेग मॉड्यूल समान (समान गति) हैं:

इसलिए, इस त्रिभुज के आधार पर दोनों कोण अनिश्चित काल तक करीब हैं:

इसका मतलब यह है कि त्वरण, जो वेक्टर के अनुदिश निर्देशित है, वास्तव में स्पर्शरेखा के लंबवत है। यह ज्ञात है कि किसी वृत्त में स्पर्शरेखा के लंबवत रेखा एक त्रिज्या होती है त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर त्रिज्या के अनुदिश निर्देशित होता है। इस त्वरण को अभिकेन्द्रीय त्वरण कहते हैं।

चित्र 8 पहले चर्चा किए गए वेग त्रिभुज और एक समद्विबाहु त्रिभुज (दो भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं) को दर्शाता है। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनमें परस्पर लंबवत रेखाओं (त्रिज्या और वेक्टर स्पर्शरेखा के लंबवत हैं) द्वारा निर्मित समान कोण हैं।

चावल। 8. अभिकेन्द्रीय त्वरण के सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए चित्रण

रेखा खंड अबचाल है(). हम एक वृत्त में एकसमान गति पर विचार कर रहे हैं, इसलिए:

आइए हम परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें अबत्रिभुज समरूपता सूत्र में:

"रैखिक गति", "त्वरण", "समन्वय" की अवधारणाएं घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ गति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इसलिए, घूर्णी गति की विशेषता वाली मात्राओं का परिचय देना आवश्यक है।

1. घूर्णन अवधि (टी ) एक पूर्ण क्रांति का समय कहा जाता है। सेकंड में एसआई इकाइयों में मापा गया।

अवधियों के उदाहरण: पृथ्वी अपनी धुरी पर 24 घंटे () में और सूर्य के चारों ओर 1 वर्ष () में घूमती है।

अवधि की गणना का सूत्र:

कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या।

2. घूर्णन आवृत्ति (एन ) - एक पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में किए गए चक्करों की संख्या। पारस्परिक सेकंड में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।

आवृत्ति ज्ञात करने का सूत्र:

कुल घूर्णन समय कहाँ है; - क्रांतियों की संख्या

आवृत्ति और अवधि व्युत्क्रमानुपाती मात्राएँ हैं:

3. कोणीय वेग () उस कोण में परिवर्तन के अनुपात को कॉल करें जिसके माध्यम से शरीर घूम गया और उस समय के दौरान जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ। सेकंड से विभाजित रेडियन में एसआई इकाइयों में मापा जाता है।

कोणीय वेग ज्ञात करने का सूत्र:

कोण में परिवर्तन कहां है; - वह समय जिसके दौरान कोण के माध्यम से मोड़ हुआ।

कभी-कभी कारों के संबंध में गणित और भौतिकी के प्रश्न सामने आते हैं। विशेष रूप से, ऐसा एक मुद्दा कोणीय वेग है। यह तंत्र के संचालन और कॉर्नरिंग दोनों से संबंधित है। आइए जानें कि यह मान कैसे निर्धारित किया जाए, इसे कैसे मापा जाता है, और यहां किन सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है।

कोणीय वेग कैसे निर्धारित करें: यह मात्रा क्या है?

भौतिक और गणितीय दृष्टिकोण से, इस मात्रा को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: ये डेटा हैं जो दिखाते हैं कि एक निश्चित बिंदु वृत्त के केंद्र के चारों ओर कितनी तेजी से घूमता है जिसके साथ वह चलता है।

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यह विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक प्रतीत होने वाला मूल्य कार चलाते समय काफी व्यावहारिक महत्व रखता है। यहां कुछ उदाहरण दिए जा रहे हैं:

• मुड़ते समय पहियों के घूमने की गति को सही ढंग से सहसंबंधित करना आवश्यक है। प्रक्षेप पथ के आंतरिक भाग के साथ चलने वाले कार के पहिये की कोणीय गति बाहरी की तुलना में कम होनी चाहिए।
• आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि कार में क्रैंकशाफ्ट कितनी तेजी से घूमता है।
• अंत में, मोड़ से गुजरते समय कार में भी गति मापदंडों का एक निश्चित मूल्य होता है - और व्यवहार में, राजमार्ग पर कार की स्थिरता और पलटने की संभावना उन पर निर्भर करती है।

किसी बिंदु को किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त के चारों ओर घूमने में लगने वाले समय का सूत्र

कोणीय वेग की गणना करने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

ω = ∆φ /∆t

• ω ("ओमेगा" पढ़ें) वास्तविक गणना मूल्य है।
• ∆φ ("डेल्टा फाई" पढ़ें) - घूर्णन कोण, माप के पहले और आखिरी क्षण में एक बिंदु की कोणीय स्थिति के बीच का अंतर।
• ΔT
  ("डेल्टा ते" पढ़ें) - वह समय जिसके दौरान यह बदलाव हुआ। अधिक सटीक रूप से, "डेल्टा" के बाद से, इसका मतलब उस समय के मानों के बीच का अंतर है जब माप शुरू किया गया था और जब यह पूरा हो गया था।

कोणीय वेग के लिए उपरोक्त सूत्र केवल सामान्य मामलों में लागू होता है। जहां हम समान रूप से घूमने वाली वस्तुओं या किसी भाग की सतह पर एक बिंदु की गति, त्रिज्या और घूर्णन के समय के बीच संबंध के बारे में बात कर रहे हैं, वहां अन्य संबंधों और विधियों का उपयोग करना आवश्यक है। विशेष रूप से, यहाँ एक घूर्णन आवृत्ति सूत्र की आवश्यकता होगी।

कोणीय वेग को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है। सिद्धांत रूप में, रेड/एस (रेडियन प्रति सेकंड) या डिग्री प्रति सेकंड अक्सर उपयोग किया जाता है। हालाँकि, व्यवहार में इस मान का कोई मतलब नहीं है और इसका उपयोग केवल डिज़ाइन कार्य में ही किया जा सकता है। व्यवहार में, इसे प्रति सेकंड क्रांतियों में अधिक मापा जाता है (या मिनट, अगर हम धीमी प्रक्रियाओं के बारे में बात कर रहे हैं)। इस संबंध में, यह घूर्णी गति के करीब है।

घूर्णन कोण और क्रांति की अवधि

घूर्णन कोण की तुलना में अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला घूर्णन दर है, जो मापता है कि एक वस्तु किसी निश्चित समयावधि में कितने चक्कर लगाती है। तथ्य यह है कि गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला रेडियन एक वृत्त में कोण होता है जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है। तदनुसार, एक पूरे वृत्त में 2 π रेडियन होते हैं। संख्या π अपरिमेय है, और इसे दशमलव या साधारण भिन्न तक नहीं घटाया जा सकता है। इसलिए, यदि एकसमान घूर्णन होता है, तो इसे आवृत्ति में गिनना आसान होता है। इसे आरपीएम - प्रति मिनट क्रांतियों में मापा जाता है।

यदि मामला समय की लंबी अवधि का नहीं, बल्कि केवल उस अवधि का है, जिसके दौरान एक क्रांति होती है, तो यहां संचलन अवधि की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। यह दर्शाता है कि एक गोलाकार गति कितनी तेजी से की जाती है। यहां माप की इकाई दूसरी होगी.

कोणीय वेग और घूर्णन आवृत्ति या घूर्णन अवधि के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिखाया गया है:

ω = 2 π / टी = 2 π *एफ,

• ω - रेड/एस में कोणीय वेग;
• टी - परिसंचरण अवधि;
• एफ - रोटेशन आवृत्ति।

आप आयामों को एक प्रारूप (मिनट या सेकंड में) में परिवर्तित करना भूले बिना, अनुपात के नियम का उपयोग करके इन तीन मात्राओं में से कोई भी दूसरे से प्राप्त कर सकते हैं।

विशिष्ट मामलों में कोणीय वेग क्या है?

आइए उपरोक्त सूत्रों के आधार पर गणना का एक उदाहरण दें। मान लीजिए हमारे पास एक कार है। 100 किमी/घंटा की गति से गाड़ी चलाते समय, इसका पहिया, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, प्रति मिनट औसतन 600 चक्कर लगाता है (एफ = 600 आरपीएम)। आइए कोणीय वेग की गणना करें।

चूँकि दशमलव अंशों में π को सटीक रूप से व्यक्त करना असंभव है, परिणाम लगभग 62.83 रेड/सेकेंड होगा।

कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

व्यवहार में, अक्सर न केवल उस गति की जांच करना आवश्यक होता है जिसके साथ घूर्णन बिंदु की कोणीय स्थिति बदलती है, बल्कि रैखिक गति के संबंध में इसकी गति भी होती है। उपरोक्त उदाहरण में, गणना एक पहिये के लिए की गई थी - लेकिन पहिया सड़क के साथ चलता है और या तो कार की गति के प्रभाव में घूमता है, या स्वयं उसे यह गति प्रदान करता है। इसका मतलब यह है कि पहिये की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर, कोणीय बिंदु के अलावा, एक रैखिक गति भी होगी।

इसकी गणना करने का सबसे आसान तरीका त्रिज्या है। चूँकि गति समय (जो क्रांति की अवधि होगी) और तय की गई दूरी (जो परिधि होगी) पर निर्भर करती है, तो, उपरोक्त सूत्रों को ध्यान में रखते हुए, कोणीय और रैखिक गति निम्नानुसार संबंधित होगी:

• वी - रैखिक गति;
• आर - त्रिज्या.

सूत्र से यह स्पष्ट है कि त्रिज्या जितनी बड़ी होगी, इस गति का मान उतना ही अधिक होगा। पहिये के संबंध में, चलने की बाहरी सतह पर बिंदु उच्चतम गति (आर अधिकतम है) के साथ चलेगा, लेकिन हब के बिल्कुल केंद्र में रैखिक गति शून्य होगी।

त्वरण, क्षण और द्रव्यमान के साथ उनका संबंध

उपरोक्त मूल्यों के अलावा, रोटेशन से जुड़े कई अन्य मुद्दे भी हैं। एक कार में अलग-अलग वजन के कितने घूमने वाले हिस्से होते हैं, इस पर विचार करते हुए उनके व्यावहारिक महत्व को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है।

यहां तक ​​कि रोटेशन भी महत्वपूर्ण है. लेकिन एक भी हिस्सा ऐसा नहीं है जो हर समय समान रूप से घूमता हो। क्रैंकशाफ्ट से लेकर पहिए तक, किसी भी घूमने वाले घटक के चक्करों की संख्या हमेशा अंततः बढ़ती है और फिर गिरती है। और वह मान जो दर्शाता है कि क्रांतियाँ कितनी बढ़ी हैं, कोणीय त्वरण कहलाता है। चूँकि यह कोणीय वेग का व्युत्पन्न है, इसे रेडियन प्रति सेकंड वर्ग में मापा जाता है (जैसे रैखिक त्वरण - मीटर प्रति सेकंड वर्ग में)।

गति और समय में इसके परिवर्तन से एक और पहलू जुड़ा है - कोणीय गति। यदि इस बिंदु तक हम केवल गति की विशुद्ध गणितीय विशेषताओं पर ही विचार कर सकते हैं, तो यहां हमें इस तथ्य को ध्यान में रखना होगा कि प्रत्येक भाग में एक द्रव्यमान होता है जो अपनी धुरी के चारों ओर वितरित होता है। यह बिंदु की प्रारंभिक स्थिति के अनुपात से निर्धारित होता है, गति की दिशा - और संवेग, यानी द्रव्यमान और गति के उत्पाद को ध्यान में रखते हुए। घूर्णन के दौरान उत्पन्न होने वाले आवेग के क्षण को जानकर, यह निर्धारित करना संभव है कि जब यह दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करता है तो प्रत्येक भाग पर कितना भार पड़ेगा

आवेग संचरण के एक उदाहरण के रूप में काज

उपरोक्त सभी डेटा को कैसे लागू किया जाता है इसका एक विशिष्ट उदाहरण निरंतर वेग जोड़ (सीवी जोड़) है। इस हिस्से का उपयोग मुख्य रूप से फ्रंट-व्हील ड्राइव कारों पर किया जाता है, जहां मोड़ते समय न केवल पहियों के घूमने की अलग-अलग दर सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण होता है, बल्कि उन्हें नियंत्रित करना और इंजन से आवेग को उन तक स्थानांतरित करना भी महत्वपूर्ण होता है।

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इस इकाई का डिज़ाइन सटीक रूप से इस उद्देश्य से है:

• एक दूसरे से तुलना करें कि पहिये कितनी तेजी से घूमते हैं;
• मोड़ते समय घुमाव सुनिश्चित करना;
• रियर सस्पेंशन की स्वतंत्रता की गारंटी दें।

परिणामस्वरूप, सीवी जोड़ के संचालन में ऊपर दिए गए सभी सूत्रों को ध्यान में रखा जाता है।