प्रक्षेपण(अव्य। प्रोजिसियो - आगे फेंकें) - प्रकाश या दृश्य किरणों (वे किरणें जो स्थानिक वस्तु के किसी भी बिंदु के साथ पर्यवेक्षक की आंख को सशर्त रूप से जोड़ती हैं) का उपयोग करके किसी भी सतह पर किसी वस्तु (स्थानिक वस्तु) की छवि प्राप्त करने की प्रक्रिया, जिसे कहा जाता है प्रक्षेपित करना।

दो ज्ञात प्रक्षेपण विधियाँ हैं: केंद्रीयऔर समानांतर .

केंद्रीयअनुमान प्रत्येक बिंदु के माध्यम से चित्र बनाना शामिल है ( ए, बी, सी,...) चित्रित वस्तु का और एक निश्चित तरीके से चयन किया गया प्रक्षेपण केंद्र (एस) सरल रेखा ( एस.ए., एस.बी., >… — प्रक्षेपण किरण).

चित्र 1.1 - केंद्रीय प्रक्षेपण

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें (चित्र 1.1):

एस- प्रक्षेपण केंद्र (पर्यवेक्षक की आंख);

π 1 – प्रक्षेपण तल;

ए, बी, सी

एस.ए., एस.बी.- सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित करना (किरणों को प्रक्षेपित करना)।

टिप्पणी: बाईं माउस बटन का उपयोग करके आप क्षैतिज तल में एक बिंदु को स्थानांतरित कर सकते हैं; जब आप बाईं माउस बटन के साथ किसी बिंदु पर क्लिक करते हैं, तो गति की दिशा बदल जाएगी और आप इसे लंबवत रूप से स्थानांतरित कर सकते हैं।

केंद्रीय प्रक्षेपण बिंदु प्रक्षेपण के केंद्र और प्रक्षेपण तल के साथ प्रक्षेपण वस्तु (बिंदु) से गुजरने वाली प्रक्षेपण रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु को कहा जाता है।

संपत्ति 1. अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु एक एकल प्रक्षेपण से मेल खाता है, लेकिन प्रक्षेपण तल पर प्रत्येक बिंदु प्रक्षेपण रेखा पर स्थित अंतरिक्ष में कई बिंदुओं से मेल खाता है।

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

चित्र 1.1 में: बिंदु ए 1 - प्रक्षेपण तल π 1 पर बिंदु ए का केंद्रीय प्रक्षेपण। लेकिन प्रक्षेपण रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण समान हो सकता है। चलिए प्रोजेक्टिंग लाइन पर चलते हैं एस.ए.बिंदु साथ. एक बिंदु का केंद्रीय प्रक्षेपण साथ(साथ 1) प्रक्षेपण तल पर π 1 बिंदु के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है ए(ए 1):

1. साथ∈ एस.ए.;
2. अनुसूचित जाति।∩ π 1 = सी 1 →सी 1 ≡ ए 1 .

निष्कर्ष यह है कि किसी बिंदु के प्रक्षेपण से कोई भी अंतरिक्ष में उसकी स्थिति का स्पष्ट रूप से आकलन नहीं कर सकता है।

इस अनिश्चितता को ख़त्म करने के लिए, यानी. एक चित्र बनाओ प्रतिवर्ती, हम एक और प्रक्षेपण विमान (π 2) और एक अन्य प्रक्षेपण केंद्र ( एस 2) (चित्र 1.2)।

चित्र 1.2 - पहली और दूसरी संपत्तियों का चित्रण

आइए बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें एप्रक्षेपण तल पर π 2. अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं में से केवल एक बिंदु एइसके अनुमान हैं ए 1 से समतल π 1 और ए 2 बटा π 2 एक साथ। प्रक्षेपित किरणों पर स्थित अन्य सभी बिंदुओं पर बिंदु के प्रक्षेपण से कम से कम एक भिन्न प्रक्षेपण होगा ए(उदाहरण के लिए, डॉट में).

संपत्ति 2. एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है।

आइए इस संपत्ति को साबित करें।

आइए बिंदुओं को जोड़ें एऔर मेंएक दूसरे को (चित्र 1.2)। हमें खंड मिलता है अब, एक सीधी रेखा को परिभाषित करना। त्रिभुज Δ सबσ द्वारा निरूपित तल को परिभाषित करता है। यह ज्ञात है कि दो तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं: σ∩π 1 = ए 1 में 1 कहाँ ए 1 में 1 - एक खंड द्वारा परिभाषित सीधी रेखा का केंद्रीय प्रक्षेपण अब.

केंद्रीय प्रक्षेपण विधि आंख द्वारा छवि धारणा का एक मॉडल है, जिसका उपयोग मुख्य रूप से निर्माण स्थलों, अंदरूनी हिस्सों के साथ-साथ फिल्म प्रौद्योगिकी और प्रकाशिकी में परिप्रेक्ष्य छवियां बनाने में किया जाता है। केंद्रीय प्रक्षेपण विधि इंजीनियर के सामने आने वाले मुख्य कार्य को हल नहीं करती है - किसी वस्तु के आकार, आकार और विभिन्न तत्वों के आकार के अनुपात को सटीक रूप से प्रतिबिंबित करना।

1.2. समानांतर प्रक्षेपण

आइए समानांतर प्रक्षेपण विधि पर विचार करें। आइए हम तीन प्रतिबंध लगाएं जो हमें, छवि की स्पष्टता की कीमत पर, व्यवहार में उपयोग के लिए अधिक सुविधाजनक चित्र प्राप्त करने की अनुमति देंगे:

1. आइए प्रक्षेपण के दोनों केंद्रों को अनंत तक हटा दें। इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि प्रत्येक केंद्र से प्रक्षेपित किरणें समानांतर हो जाएं, और परिणामस्वरूप, किसी भी सीधी रेखा खंड की वास्तविक लंबाई और उसके प्रक्षेपण की लंबाई का अनुपात केवल इस खंड के प्रक्षेपण के झुकाव के कोण पर निर्भर करेगा। समतल और प्रक्षेपणों के केंद्र की स्थिति पर निर्भर नहीं होते;
2. आइए हम प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष प्रक्षेपण की दिशा तय करें;
3. आइए प्रक्षेपण विमानों को एक-दूसरे के लंबवत रखें, जिससे प्रक्षेपण विमानों पर छवि से अंतरिक्ष में वास्तविक वस्तु तक जाना आसान हो जाएगा।

इस प्रकार, केंद्रीय प्रक्षेपण विधि पर ये प्रतिबंध लगाने के बाद, हम इसके विशेष मामले पर आए - समानांतर प्रक्षेपण विधि(चित्र 1.3)। प्रक्षेपण, जिसमें वस्तु के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली प्रक्षेपण किरणें चयनित प्रक्षेपण दिशा के समानांतर होती हैं पी, बुलाया समानांतर .

चित्र 1.3 - समानांतर प्रक्षेपण विधि

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

आर- प्रक्षेपण की दिशा;

π 1 – क्षैतिज प्रक्षेपण तल;

ए,बी– प्रक्षेपण वस्तुएं – अंक;

ए 1 और में 1-बिंदुओं का अनुमान एऔर मेंप्रक्षेपण तल पर π 1.

एक बिंदु का समानांतर प्रक्षेपण प्रक्षेपण की दी गई दिशा के समानांतर प्रक्षेपित रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है आर, प्रक्षेपण विमान π 1 के साथ।

आइए बिंदुओं के माध्यम से जानें एऔर मेंकिसी दी गई प्रक्षेपण दिशा के समानांतर किरणों को प्रक्षेपित करना आर. प्रक्षेपित किरण एक बिंदु से होकर गुजरी एप्रक्षेपण तल π 1 को बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगा ए 1 . इसी प्रकार, एक प्रक्षेपित किरण एक बिंदु से होकर गुजरी मेंप्रक्षेपण तल को बिंदु पर काटता है में 1 . बिंदुओं को कनेक्ट करना ए 1 और में 1 , हमें एक खंड मिलता है ए 1 में 1 - समतल π 1 पर खंड एबी का प्रक्षेपण।

1.3. ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण. स्पंज विधि

यदि प्रक्षेपण दिशा आरप्रक्षेपण तल पी 1 के लंबवत, तो प्रक्षेपण कहा जाता है आयताकार (चित्र 1.4),या ओर्थोगोनल (ग्रीक ऑर्थोस- सीधा, गोनिया– कोण), यदि आरπ 1 पर लंबवत नहीं है, तो प्रक्षेपण कहा जाता है परोक्ष .

अहाता आ 1 में 1 मेंसमतल γ को परिभाषित करता है, जिसे प्रक्षेपण कहा जाता है क्योंकि यह समतल π 1 (γ⊥π 1) के लंबवत है। निम्नलिखित में हम केवल आयताकार प्रक्षेपण का उपयोग करेंगे।

चित्र 1.4 - ओर्थोगोनल प्रक्षेपण चित्र 1.5 - मोंज, गैसपार्ड (1746-1818)

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन के संस्थापक को फ्रांसीसी वैज्ञानिक गैसपार्ड मोन्गे (चित्र 1.5) माना जाता है।

मोंगे से पहले, बिल्डरों, कलाकारों और वैज्ञानिकों को प्रक्षेपण विधियों के बारे में काफी महत्वपूर्ण जानकारी थी, और फिर भी, केवल गैसपार्ड मोंगे एक विज्ञान के रूप में वर्णनात्मक ज्यामिति के निर्माता हैं।

गैसपार्ड मोंगे का जन्म 9 मई, 1746 को पूर्वी फ्रांस के छोटे से शहर ब्यून (बरगंडी) में एक स्थानीय व्यापारी के परिवार में हुआ था। वह पाँच बच्चों में सबसे बड़े थे, जिनके लिए उनके पिता ने, परिवार की कम उत्पत्ति और सापेक्ष गरीबी के बावजूद, निम्न वर्ग के लोगों के लिए उस समय उपलब्ध सर्वोत्तम शिक्षा प्रदान करने का प्रयास किया। उनका दूसरा बेटा, लुईस, गणित और खगोल विज्ञान का प्रोफेसर बन गया, सबसे छोटा, जीन, गणित, हाइड्रोग्राफी और नेविगेशन का प्रोफेसर भी बन गया। गैसपार्ड मोंगे ने अपनी प्रारंभिक शिक्षा ऑरेटोरियन ऑर्डर के सिटी स्कूल में प्राप्त की। 1762 में सर्वश्रेष्ठ छात्र के रूप में स्नातक होने के बाद, उन्होंने ल्योन के कॉलेज में प्रवेश लिया, जो ऑरेटोरियन का भी था। जल्द ही गैसपार्ड को वहां भौतिकी पढ़ाने का काम सौंपा गया। 1764 की गर्मियों में, मोन्गे ने अपने गृहनगर ब्यून के लिए एक उल्लेखनीय सटीक योजना तैयार की। कोणों को मापने और रेखाएँ खींचने के लिए आवश्यक विधियों और उपकरणों का आविष्कार स्वयं संकलक द्वारा किया गया था।

ल्योन में अध्ययन के दौरान, उन्हें आदेश में शामिल होने और एक कॉलेज शिक्षक के रूप में बने रहने का प्रस्ताव मिला, हालांकि, इसके बजाय, गणित, ड्राइंग और ड्राइंग में महान क्षमताएं दिखाने के बाद, वह मेज़िएरेस स्कूल ऑफ मिलिट्री इंजीनियर्स में प्रवेश करने में कामयाब रहे, लेकिन (के कारण) उनकी उत्पत्ति) केवल एक सहायक गैर-कमीशन अधिकारी के रूप में। अधिकारी विभाग और बिना वेतन के। हालाँकि, सटीक विज्ञान में सफलता और किलेबंदी की महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक का मूल समाधान (दुश्मन तोपखाने के स्थान के आधार पर किलेबंदी की नियुक्ति) ने उन्हें 1769 में गणित में सहायक (सहायक शिक्षक) बनने की अनुमति दी, और फिर भौतिकी, और 1800 लीवर प्रति वर्ष के अच्छे वेतन के साथ।

1770 में, 24 साल की उम्र में, मोन्गे ने एक साथ दो विभागों - गणित और भौतिकी - में प्रोफेसर का पद संभाला और इसके अलावा, पत्थर काटने की कक्षाएं भी सिखाईं। वास्तुकला और किलेबंदी के संबंध में दिए गए रेखाचित्रों के अनुसार पत्थरों को सटीक रूप से काटने के काम से शुरू करते हुए, मोन्गे उन तरीकों के निर्माण के लिए आए, जिन्हें उन्होंने बाद में एक नए विज्ञान - वर्णनात्मक ज्यामिति में सामान्यीकृत किया, जिसके निर्माता उन्हें सही मायने में माना जाता है। किलेबंदी के निर्माण में सैन्य उद्देश्यों के लिए वर्णनात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करने की संभावना पर विचार करते हुए, मेज़िएरेस स्कूल के नेतृत्व ने 1799 तक खुले प्रकाशन की अनुमति नहीं दी; पुस्तक शीर्षक के तहत प्रकाशित की गई थी वर्णनात्मक रेखागणित (ज्यामिति वर्णनात्मक) (इन व्याख्यानों की एक शॉर्टहैंड रिकॉर्डिंग 1795 में की गई थी)। इस विज्ञान पर व्याख्यान देने और इसमें उल्लिखित अभ्यास करने का दृष्टिकोण आज तक जीवित है। मोंगे का एक और महत्वपूर्ण कार्य है ज्यामिति में विश्लेषण का अनुप्रयोग (ज्यामिति का विश्लेषण करने का अनुप्रयोग, 1795) - विश्लेषणात्मक ज्यामिति की एक पाठ्यपुस्तक है, जिसमें विभेदक संबंधों पर विशेष जोर दिया गया है।

1780 में उन्हें पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज का सदस्य चुना गया और 1794 में वे इकोले पॉलिटेक्निक के निदेशक बने। आठ महीने तक उन्होंने नेपोलियन की सरकार में नौसेना के मंत्री के रूप में कार्य किया, गणतंत्र के बारूद और तोप कारखानों के प्रभारी थे, और मिस्र (1798-1801) के अभियान पर नेपोलियन के साथ थे। नेपोलियन ने उन्हें गिनती की उपाधि दी तथा कई अन्य सम्मानों से सम्मानित किया।

वस्तुओं को चित्रित करने की मोंज विधि में दो मुख्य बिंदु शामिल हैं:

1. अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय वस्तु की स्थिति, इस उदाहरण में एक बिंदु ए, दो परस्पर लंबवत तलों π 1 और π 2 के सापेक्ष माना जाता है(चित्र 1.6)।

वे परंपरागत रूप से अंतरिक्ष को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। डॉट एप्रथम चतुर्थांश में स्थित है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली मोंज अनुमानों के आधार के रूप में कार्य करती है। मोंगे ने प्रक्षेपण अक्षों की अवधारणा को प्रक्षेपण विमानों (समन्वय अक्षों) के प्रतिच्छेदन की रेखा से बदल दिया और समन्वय अक्षों के चारों ओर घुमाकर समन्वय विमानों को एक में संयोजित करने का प्रस्ताव रखा।

चित्र 1.6 - बिंदु प्रक्षेपण के निर्माण के लिए मॉडल

π 1 - क्षैतिज (पहला) प्रक्षेपण तल

π 2 - ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण तल

π 1 ∩π 2 - प्रक्षेपण अक्ष (π 2 /π 1 को निरूपित करें)

आइए बिंदु प्रक्षेपण का एक उदाहरण देखें एदो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 पर।

चलिए मुद्दे से हटते हैं एसमतल π 1 और π 2 पर लंब (प्रक्षेपित किरणें) और उनके आधारों को चिह्नित करें, अर्थात, प्रक्षेपण तलों के साथ इन लंबवत (प्रक्षेपित किरणें) के प्रतिच्छेदन बिंदु। ए 1 - बिंदु का क्षैतिज (प्रथम) प्रक्षेपण ए;ए 2 - बिंदु का ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण ए;आ 1 और आ 2 - सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित करना। तीर प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 पर प्रक्षेपण की दिशा दिखाते हैं। ऐसी प्रणाली आपको प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 के सापेक्ष एक बिंदु की स्थिति को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है:

आ 1 ⊥π 1

ए 2 ए 0 ⊥π 2 /π 1 आ 1 = ए 2 ए 0 - बिंदु A से समतल π 1 तक की दूरी

आ 2 ⊥π 2

ए 1 ए 0 ⊥π 2 /π 1 आ 2 = ए 1 ए 0 - बिंदु ए से विमान π 2 तक की दूरी

2. आइए प्रक्षेपण अक्ष π 2 /π 1 के चारों ओर प्रक्षेपण विमानों को एक विमान में संरेखित करें(π 1 के साथ π 2), लेकिन ताकि छवियां एक-दूसरे को ओवरलैप न करें, (α दिशा में, चित्र 1.6), हमें एक छवि प्राप्त होती है जिसे एक आयताकार चित्र कहा जाता है (चित्र 1.7):

चित्र 1.7 - ऑर्थोगोनल ड्राइंग

आयताकार या ऑर्थोगोनल कहा जाता है स्पंज आरेख .

सीधा ए 2 ए 1 कहा जाता है प्रक्षेपण संचार लाइन , जो बिंदु के विपरीत प्रक्षेपणों को जोड़ता है ( ए 2 - ललाट और ए 1 - क्षैतिज) हमेशा प्रक्षेपण अक्ष (समन्वय अक्ष) के लंबवत होता है ए 2 ए 1 ⊥π 2 /π 1 . आरेख पर, घुंघराले कोष्ठक द्वारा दर्शाए गए खंड दर्शाते हैं:

• ए 0 ए 1-बिंदु से दूरी एसमतल π 2, निर्देशांक y A के अनुरूप;
• ए 0 ए 2-बिंदु से दूरी एसमतल π 1 तक, जो z निर्देशांक A के संगत है।

1.4. एक बिंदु का आयताकार प्रक्षेपण. ऑर्थोग्राफ़िक ड्राइंग गुण

1. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण प्रक्षेपण कनेक्शन की एक ही रेखा पर, प्रक्षेपण के अक्ष के लंबवत स्थित होते हैं।

2. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण विशिष्ट रूप से प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अंतरिक्ष में इसकी स्थिति निर्धारित करते हैं।

आइए अंतिम कथन की वैधता को सत्यापित करें, जिसके लिए हम विमान π 1 को उसकी मूल स्थिति में घुमाते हैं (जब π 1 ⊥π 2)। एक बिंदु बनाने के लिए एबिंदुओं से आवश्यक ए 1 और एप्रक्षेपित किरणों को पुनर्स्थापित करने के लिए 2, और वास्तव में - क्रमशः समतल π 1 और π 2 के लंबवत। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतरिक्ष में वांछित बिंदु को निश्चित करता है ए. एक बिंदु के ओर्थोगोनल रेखाचित्र पर विचार करें ए(चित्र 1.8)।

चित्र 1.8 - एक बिंदु का आरेख बनाना

आइए π 1 और π 2 के लंबवत प्रक्षेपण π 3 के एक तीसरे (प्रोफ़ाइल) विमान का परिचय दें (अनुमान π 2 /π 3 के अक्ष द्वारा निर्दिष्ट)।

किसी बिंदु के प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण से प्रक्षेपण के ऊर्ध्वाधर अक्ष तक की दूरी ए‘ 0 ए 3 आपको एक बिंदु से दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है एप्रक्षेपणों के ललाट तल तक π 2। यह ज्ञात है कि अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति तीन संख्याओं (निर्देशांक) का उपयोग करके कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के सापेक्ष तय की जा सकती है। ए(एक्सए; वाईए; जेडए) या इसके दो ऑर्थोगोनल अनुमानों का उपयोग करके प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष ( ए 1 =(एक्सए; वाईए); ए 2 =(एक्सए; जेडए))। एक ऑर्थोगोनल ड्राइंग में, एक बिंदु के दो प्रक्षेपणों का उपयोग करके, आप इसके तीन निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं और, इसके विपरीत, एक बिंदु के तीन निर्देशांक का उपयोग करके, इसके प्रक्षेपण का निर्माण कर सकते हैं (चित्रा 1.9, ए और बी)।

चित्र 1.9 - किसी बिंदु के निर्देशांकों का उपयोग करके उसका आरेख बनाना

आरेख पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के स्थान से, कोई अंतरिक्ष में उसके स्थान का अंदाजा लगा सकता है:

• ए — ए 1 निर्देशांक अक्ष के नीचे स्थित है एक्स, और सामने वाला - ए 2-अक्ष के ऊपर एक्स, तो हम कह सकते हैं कि बात एप्रथम चतुर्थांश से संबंधित है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण है ए — ए 1 निर्देशांक अक्ष के ऊपर स्थित है एक्स, और सामने वाला - ए 2-अक्ष के नीचे एक्स, फिर बिंदु एतीसरे चतुर्थांश से संबंधित है;
• ए — ए 1 और ए 2 अक्ष के ऊपर स्थित हैं एक्स, फिर बिंदु एद्वितीय चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु के क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण हैं ए — ए 1 और ए 2 अक्ष के नीचे स्थित हैं एक्स, फिर बिंदु एचतुर्थ चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण स्वयं बिंदु के साथ मेल खाता है, तो इसका मतलब है कि बिंदु प्रक्षेपण विमान से संबंधित है;
• प्रक्षेपण तल या प्रक्षेपण अक्ष (समन्वय अक्ष) से ​​संबंधित एक बिंदु को कहा जाता है निजी बिंदु.

यह निर्धारित करने के लिए कि कोई बिंदु अंतरिक्ष के किस चतुर्थांश में स्थित है, बिंदु के निर्देशांक का चिह्न निर्धारित करना पर्याप्त है।

बिंदु स्थिति और समन्वय चिह्नों के चतुर्थांश की निर्भरताएँ

	एक्स	वाई	जेड
मैं	+	+	+
द्वितीय	+	—	+
तृतीय	+	—	—
चतुर्थ	+	+	—

व्यायाम

निर्देशांक के साथ एक बिंदु के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण करें ए(60, 20, 40) और निर्धारित करें कि बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है।

समस्या का समाधान: अक्ष के अनुदिश बैलसमन्वय मान को अलग रखें एक्स ए =60, फिर अक्ष पर इस बिंदु से होकर बैलप्रक्षेपण कनेक्शन लाइन को लंबवत पुनर्स्थापित करें बैल, जिसके साथ निर्देशांक मान ऊपर की ओर प्लॉट किया गया है जेड ए =40, और नीचे - समन्वय मूल्य वाई ए =20(चित्र 1.10)। सभी निर्देशांक सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु पहले चतुर्थांश में स्थित है।

चित्र 1.10 - समस्या का समाधान

1.5. स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1. आरेख का उपयोग करके, प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करें (चित्र 1.11)।

चित्र 1.11

2. बिंदुओं के लुप्त ओर्थोगोनल अनुमानों को पूरा करें ए, में, साथप्रक्षेपण तल पर π 1, π 2, π 3 (चित्र 1.12)।

चित्र 1.12

3. बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करें:

• इ, सममित बिंदु एप्रक्षेपण तल के सापेक्ष π 1 ;
• एफ, सममित बिंदु मेंप्रक्षेपण तल के सापेक्ष π 2 ;
• जी, सममित बिंदु साथप्रक्षेपण अक्ष के सापेक्ष π 2 /π 1 ;
• एच, सममित बिंदु डीदूसरे और चौथे चतुर्थांश के समद्विभाजक तल के सापेक्ष।

4. बिंदु के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण करें को, दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और प्रक्षेपण तलों से π 1 गुणा 40 मिमी, π 2 गुणा 15 मिमी से दूर है।

आइए दो विमानों पर बिंदुओं के प्रक्षेपण पर विचार करें, जिसके लिए हम दो लंबवत विमान लेते हैं (चित्र 4), जिन्हें हम क्षैतिज ललाट और विमान कहेंगे। इन तलों की प्रतिच्छेदन रेखा को प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है। हम समतल प्रक्षेपण का उपयोग करके एक बिंदु A को विचारित समतल पर प्रक्षेपित करते हैं। ऐसा करने के लिए, किसी दिए गए बिंदु से लंबवत एए और ए को विचार किए गए विमानों पर कम करना आवश्यक है।

क्षैतिज तल पर प्रक्षेपण कहलाता है क्षैतिज प्रक्षेपणअंक ए, और प्रक्षेपण ए?ललाट तल पर कहा जाता है ललाट प्रक्षेपण.

प्रक्षेपित किए जाने वाले बिंदुओं को आमतौर पर बड़े अक्षरों का उपयोग करके वर्णनात्मक ज्यामिति में दर्शाया जाता है ए, बी, सी. बिंदुओं के क्षैतिज प्रक्षेपण को इंगित करने के लिए छोटे अक्षरों का उपयोग किया जाता है ए, बी, सी... फ्रंटल प्रोजेक्शन को शीर्ष पर एक स्ट्रोक के साथ छोटे अक्षरों में दर्शाया गया है ए?, बी?, सी?…

बिंदुओं को रोमन अंक I, II,... द्वारा और उनके अनुमानों के लिए - अरबी अंकों 1, 2... और 1?, 2?... द्वारा भी निर्दिष्ट किया जाता है।

क्षैतिज तल को 90° घुमाकर, आप एक चित्र प्राप्त कर सकते हैं जिसमें दोनों तल एक ही तल में हैं (चित्र 5)। इस चित्र को कहा जाता है एक बिंदु का आरेख.

लम्बवत रेखाओं के माध्यम से आहऔर हुंह?आइए एक समतल बनाएं (चित्र 4)। परिणामी विमान ललाट और क्षैतिज विमानों के लंबवत है क्योंकि इसमें इन विमानों के लंबवत शामिल हैं। इसलिए, यह तल समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है। परिणामी सीधी रेखा क्षैतिज तल को एक सीधी रेखा में काटती है आह x, और ललाट तल - एक सीधी रेखा में ए?एएक्स। सीधे आह और ए?ए x समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के लंबवत हैं। वह है आहाहा?एक आयत है.

क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण विमानों को जोड़ते समय एऔर ए?विमानों के प्रतिच्छेदन अक्ष के समान लंबवत पर स्थित होगा, क्योंकि जब क्षैतिज विमान घूमता है, तो खंडों की लंबवतता आहएक्स और ए?ए x टूटा नहीं जाएगा.

वह हमें प्रक्षेपण आरेख पर मिलता है एऔर ए?बात में दम है एहमेशा समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के एक ही लंबवत् पर स्थित हों।

दो प्रक्षेपण ए और ए?एक निश्चित बिंदु A स्पष्ट रूप से अंतरिक्ष में अपनी स्थिति निर्धारित कर सकता है (चित्र 4)। इसकी पुष्टि इस तथ्य से होती है कि प्रक्षेपण ए से क्षैतिज तल पर लंबवत बनाते समय, यह बिंदु ए से होकर गुजरेगा। उसी तरह, प्रक्षेपण से लंबवत ए?ललाट तल पर बिंदु से होकर गुजरेगा ए, यानी बिंदु एएक साथ दो विशिष्ट सीधी रेखाओं पर है। बिंदु A उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, अर्थात यह निश्चित है।

एक आयत पर विचार करें एएएएक्स ए?(चित्र 5), जिसके लिए निम्नलिखित कथन सत्य हैं:

1) बिंदु दूरी एललाट तल से समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष से इसके क्षैतिज प्रक्षेपण a की दूरी के बराबर है, अर्थात।

हुंह? = आहएक्स;

2) बिंदु दूरी एप्रक्षेपण के क्षैतिज तल से इसके ललाट प्रक्षेपण की दूरी के बराबर है ए?समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष से, अर्थात्।

आह = ए?एएक्स।

दूसरे शब्दों में, आरेख पर बिंदु के बिना भी, केवल इसके दो प्रक्षेपणों का उपयोग करके, आप यह पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक प्रक्षेपण तल से कोई दिया गया बिंदु कितनी दूरी पर स्थित है।

दो प्रक्षेपण तलों का प्रतिच्छेदन अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करता है, जिन्हें कहा जाता है तिमाहियों में(चित्र 6)।

विमानों के प्रतिच्छेदन की धुरी क्षैतिज विमान को दो तिमाहियों में विभाजित करती है - सामने और पीछे, और ललाट तल - ऊपरी और निचले तिमाहियों में। ललाट तल के ऊपरी भाग और क्षैतिज तल के पूर्वकाल भाग को प्रथम तिमाही की सीमाएँ माना जाता है।

आरेख प्राप्त करते समय, क्षैतिज तल घूमता है और ललाट तल के साथ संरेखित होता है (चित्र 7)। इस स्थिति में, क्षैतिज तल का अगला भाग ललाट तल के निचले भाग के साथ मेल खाएगा, और क्षैतिज तल का पिछला भाग ललाट तल के शीर्ष भाग के साथ मेल खाएगा।

चित्र 8-11 अंतरिक्ष के विभिन्न भागों में स्थित बिंदु ए, बी, सी, डी दिखाते हैं। बिंदु A पहले तिमाही में स्थित है, बिंदु B दूसरे में है, बिंदु C तीसरे में है और बिंदु D चौथे में है।

जब बिंदु उनमें से पहली या चौथी तिमाही में स्थित हों क्षैतिज प्रक्षेपणक्षैतिज तल के सामने वाले भाग पर हैं, और आरेख पर वे तलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के नीचे स्थित होंगे। जब कोई बिंदु दूसरी या तीसरी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका क्षैतिज प्रक्षेपण क्षैतिज विमान के पीछे स्थित होगा, और आरेख पर यह विमानों के चौराहे के अक्ष के ऊपर स्थित होगा।

ललाट प्रक्षेपणजो बिंदु पहली या दूसरी तिमाही में स्थित हैं, वे ललाट तल के ऊपरी भाग पर स्थित होंगे, और आरेख पर वे विमानों के प्रतिच्छेदन अक्ष के ऊपर स्थित होंगे। जब कोई बिंदु तीसरी या चौथी तिमाही में स्थित होता है, तो इसका ललाट प्रक्षेपण विमानों के चौराहे के अक्ष के नीचे होता है।

अक्सर, वास्तविक निर्माणों में, आकृति को अंतरिक्ष की पहली तिमाही में रखा जाता है।

कुछ विशेष मामलों में, बिंदु ( इ) क्षैतिज तल पर स्थित हो सकता है (चित्र 12)। इस मामले में, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण ई और बिंदु स्वयं मेल खाएगा। ऐसे बिंदु का ललाट प्रक्षेपण समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष पर स्थित होगा।

मामले में जब बात कोललाट तल पर स्थित है (चित्र 13), इसका क्षैतिज प्रक्षेपण कतलों और ललाट के प्रतिच्छेदन अक्ष पर स्थित है क?इस बिंदु का वास्तविक स्थान दिखाता है।

ऐसे बिंदुओं के लिए, एक संकेत यह है कि यह प्रक्षेपण विमानों में से एक पर स्थित है, इसका एक प्रक्षेपण विमानों के चौराहे के अक्ष पर है।

यदि कोई बिंदु प्रक्षेपण तलों के प्रतिच्छेदन अक्ष पर स्थित है, तो यह और इसके दोनों प्रक्षेपण संपाती होते हैं।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित नहीं होता है, तो उसे कहा जाता है सामान्य स्थिति का बिंदु. निम्नलिखित में, यदि कोई विशेष अंक नहीं हैं, तो प्रश्नाधीन बिंदु सामान्य स्थिति में एक बिंदु है।

2. प्रक्षेपण अक्ष का अभाव

यह समझाने के लिए कि प्रक्षेपण तल (चित्र 4) के लंबवत मॉडल पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कैसे प्राप्त किया जाए, एक लम्बे आयत के आकार में मोटे कागज का एक टुकड़ा लेना आवश्यक है। इसे प्रक्षेपणों के बीच झुकने की जरूरत है। तह रेखा समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष का प्रतिनिधित्व करेगी। यदि इसके बाद कागज के मुड़े हुए टुकड़े को फिर से सीधा किया जाए तो हमें चित्र में दिखाए गए जैसा ही एक आरेख प्राप्त होगा।

दो प्रक्षेपण विमानों को ड्राइंग विमान के साथ जोड़कर, गुना रेखा को नहीं दिखाना संभव है, यानी, आरेख पर विमानों के चौराहे की धुरी को नहीं खींचना संभव है।

आरेख पर आलेख बनाते समय, आपको हमेशा प्रक्षेपण रखना चाहिए एऔर ए?एक ऊर्ध्वाधर रेखा पर बिंदु A (चित्र 14), जो समतलों के प्रतिच्छेदन अक्ष के लंबवत है। इसलिए, भले ही विमानों के चौराहे की धुरी की स्थिति अनिश्चित रहती है, लेकिन इसकी दिशा निर्धारित की जाती है, विमानों के चौराहे की धुरी केवल सीधी रेखा के लंबवत आरेख पर स्थित हो सकती है हुह?.

यदि किसी बिंदु के आरेख पर कोई प्रक्षेपण अक्ष नहीं है, जैसा कि पहले चित्र 14 ए में है, तो आप अंतरिक्ष में इस बिंदु की स्थिति की कल्पना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सीधी रेखा पर कहीं भी लंबवत खींचें हुह?प्रक्षेपण अक्ष, जैसा कि दूसरे चित्र में है (चित्र 14) और इस अक्ष के अनुदिश चित्र को मोड़ें। यदि हम बिंदुओं पर लंबों को पुनर्स्थापित करते हैं एऔर ए?इससे पहले कि वे प्रतिच्छेद करें, आप एक अंक प्राप्त कर सकते हैं ए. प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति बदलते समय, प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदु की विभिन्न स्थितियाँ प्राप्त होती हैं, लेकिन प्रक्षेपण अक्ष की स्थिति की अनिश्चितता अंतरिक्ष में कई बिंदुओं या आकृतियों की सापेक्ष स्थिति को प्रभावित नहीं करती है।

3. तीन प्रक्षेपण तलों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

आइए अनुमानों के प्रोफ़ाइल तल पर विचार करें। दो लंबवत तलों पर प्रक्षेपण आमतौर पर किसी आकृति की स्थिति निर्धारित करते हैं और उसके वास्तविक आकार और आकार का पता लगाना संभव बनाते हैं। लेकिन कई बार ऐसा भी होता है जब दो अनुमान पर्याप्त नहीं होते। फिर तीसरे प्रक्षेपण के निर्माण का उपयोग किया जाता है।

तीसरा प्रक्षेपण तल इस प्रकार खींचा गया है कि यह एक साथ दोनों प्रक्षेपण तलों के लंबवत हो (चित्र 15)। आमतौर पर तीसरे तल को कहा जाता है प्रोफ़ाइल.

ऐसे निर्माणों में क्षैतिज और ललाट तलों की सामान्य सीधी रेखा कहलाती है एक्सिस एक्स , क्षैतिज और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य सीधी रेखा - एक्सिस पर , और ललाट और प्रोफ़ाइल विमानों की सामान्य सीधी रेखा है एक्सिस जेड . डॉट के बारे में, जो तीनों तलों से संबंधित है, मूल बिंदु कहलाता है।

चित्र 15ए बिंदु दिखाता है एऔर इसके तीन प्रक्षेपण। प्रोफ़ाइल विमान पर प्रक्षेपण ( ए??) कहा जाता है प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणऔर निरूपित करें ए??.

बिंदु A का आरेख प्राप्त करने के लिए, जिसमें तीन प्रक्षेपण शामिल हैं ए, ए, ए, y-अक्ष (चित्र 15बी) के साथ सभी विमानों द्वारा गठित ट्राइहेड्रॉन को काटना और इन सभी विमानों को ललाट प्रक्षेपण के विमान के साथ जोड़ना आवश्यक है। क्षैतिज तल को अक्ष के चारों ओर घूमना चाहिए एक्स, और प्रोफ़ाइल विमान अक्ष के बारे में है जेडचित्र 15 में तीर द्वारा इंगित दिशा में।

चित्र 16 अनुमानों की स्थिति दर्शाता है हुह हुह?और ए??अंक ए, ड्राइंग प्लेन के साथ सभी तीन विमानों को मिलाकर प्राप्त किया गया।

कट के परिणामस्वरूप, y-अक्ष आरेख पर दो अलग-अलग स्थानों पर दिखाई देता है। क्षैतिज तल पर (चित्र 16) यह एक ऊर्ध्वाधर स्थिति (अक्ष के लंबवत) लेता है एक्स), और प्रोफ़ाइल तल पर - क्षैतिज (अक्ष के लंबवत जेड).

चित्र 16 में तीन प्रक्षेपण हैं हुह हुह?और ए??बिंदु A की आरेख पर कड़ाई से परिभाषित स्थिति है और वे स्पष्ट शर्तों के अधीन हैं:

एऔर ए?हमेशा अक्ष के लंबवत एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित होना चाहिए एक्स;

ए?और ए??हमेशा अक्ष के लंबवत एक ही क्षैतिज सीधी रेखा पर स्थित होना चाहिए जेड;

3) जब एक क्षैतिज प्रक्षेपण और एक क्षैतिज सीधी रेखा के माध्यम से, और एक प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण के माध्यम से किया जाता है ए??- एक ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा, निर्मित सीधी रेखाएं आवश्यक रूप से प्रक्षेपण अक्षों के बीच के कोण के द्विभाजक पर प्रतिच्छेद करेंगी, क्योंकि आकृति ओएपर ए 0 एएन - वर्ग.

किसी बिंदु के तीन प्रक्षेपण बनाते समय, आपको यह जांचना होगा कि प्रत्येक बिंदु के लिए सभी तीन शर्तें पूरी होती हैं या नहीं।

4. बिंदु निर्देशांक

अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को उसके कहे जाने वाले तीन अंकों का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है COORDINATES. प्रत्येक निर्देशांक किसी प्रक्षेपण तल से एक बिंदु की दूरी से मेल खाता है।

निर्धारित बिंदु दूरी एप्रोफ़ाइल विमान का समन्वय है एक्स, जिसमें एक्स = हुह हुह(चित्र 15), ललाट तल की दूरी निर्देशांक y है, और y = हुह हुह, और क्षैतिज तल की दूरी निर्देशांक है जेड, जिसमें जेड = आ.

चित्र 15 में, बिंदु A एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की चौड़ाई घेरता है, और इस समांतर चतुर्भुज की माप इस बिंदु के निर्देशांक के अनुरूप होती है, अर्थात, प्रत्येक निर्देशांक को चित्र 15 में चार बार दर्शाया गया है, अर्थात:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

जेड = एए = ओए जेड = ए एक्स ए? = ए वाई ए?.

आरेख (चित्र 16) में, x और z निर्देशांक तीन बार दिखाई देते हैं:

x = a z a?= Oa x = a y a,

जेड = ए एक्स ए? = ओए जेड = ए वाई ए?.

सभी खंड जो समन्वय के अनुरूप हैं एक्स(या जेड), एक दूसरे के समानांतर हैं। कोआर्डिनेट परलंबवत स्थित अक्ष द्वारा दो बार दर्शाया गया:

y = Oa y = a x a

और दो बार - क्षैतिज रूप से स्थित:

y = Oa y = a z a?.

यह अंतर इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि y-अक्ष आरेख पर दो अलग-अलग स्थितियों में मौजूद है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्रत्येक प्रक्षेपण की स्थिति आरेख पर केवल दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात्:

1) क्षैतिज - निर्देशांक एक्सऔर पर,

2) ललाट - निर्देशांक एक्सऔर जेड,

3) प्रोफ़ाइल - निर्देशांक परऔर जेड.

निर्देशांक का उपयोग करना एक्स, वाईऔर जेड, आप आरेख पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण बना सकते हैं।

यदि बिंदु A निर्देशांक द्वारा दिया गया है, तो उनकी रिकॉर्डिंग को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: A ( एक्स; य; जेड).

बिंदु प्रक्षेपण का निर्माण करते समय एनिम्नलिखित शर्तों की जाँच की जानी चाहिए:

1) क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण एऔर ए? एक्स एक्स;

2) ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ए?और ए?अक्ष के समान लंबवत् पर स्थित होना चाहिए जेड, क्योंकि उनके पास एक सामान्य समन्वय है जेड;

3) क्षैतिज प्रक्षेपण और अक्ष से भी हटा दिया गया एक्स, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की तरह एधुरी से दूर जेड, अनुमानों के बाद से आह? और एह? एक सामान्य समन्वय रखें पर.

यदि कोई बिंदु किसी प्रक्षेपण तल में स्थित है, तो उसका एक निर्देशांक शून्य के बराबर है।

जब कोई बिंदु प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित होता है, तो उसके दो निर्देशांक शून्य के बराबर होते हैं।

यदि कोई बिंदु मूल बिंदु पर स्थित है, तो उसके तीनों निर्देशांक शून्य हैं।

कई हिस्सों की छवियां बनाने के लिए, आपको अलग-अलग बिंदुओं के अनुमान ढूंढने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए भाग का शीर्ष दृश्य बनाना कठिन है। 139, बिंदु ए, बी, सी, डी, ई, एफ, आदि के क्षैतिज प्रक्षेपण के निर्माण के बिना।

किसी वस्तु की सतह पर दिए गए एक-एक बिंदु के प्रक्षेपण को खोजने की समस्या को निम्नानुसार हल किया जाता है। सबसे पहले, उस सतह के प्रक्षेपण पाए जाते हैं जिस पर बिंदु स्थित है। फिर, प्रक्षेपण के लिए एक कनेक्शन रेखा खींचकर, जहां सतह को एक रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, बिंदु का दूसरा प्रक्षेपण पाया जाता है। तीसरा प्रक्षेपण संचार लाइनों के चौराहे पर स्थित है।

आइए एक उदाहरण देखें.

भाग के तीन प्रक्षेपण दिए गए हैं (चित्र 140, ए)। दृश्य सतह पर स्थित बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण a दिया गया है। हमें इस बिंदु के शेष अनुमानों को खोजने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आपको एक सहायक सीधी रेखा खींचनी होगी। यदि दो दृश्य दिए गए हैं, तो चित्र में सहायक रेखा का स्थान मनमाने ढंग से, शीर्ष दृश्य के दाईं ओर चुना जाता है, ताकि बाईं ओर का दृश्य मुख्य दृश्य से आवश्यक दूरी पर हो (चित्र 141)।

यदि तीन दृश्य पहले ही बनाए जा चुके हैं (चित्र 142, ए), तो सहायक लाइन का स्थान मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है; आपको वह बिंदु ढूंढना होगा जहां से होकर यह गुजरेगा। ऐसा करने के लिए, समरूपता अक्ष के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपणों को तब तक जारी रखना पर्याप्त है जब तक कि वे परस्पर प्रतिच्छेद न करें और परिणामी बिंदु k (चित्र 142, बी) के माध्यम से 45° के कोण पर एक सीधी रेखा खंड खींचें, जो होगा सहायक सीधी रेखा.

यदि समरूपता की कोई धुरी नहीं है, तो सीधे खंडों के रूप में प्रक्षेपित किसी भी चेहरे के क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण तब तक जारी रहते हैं जब तक कि वे बिंदु k 1 (छवि 142, बी) पर प्रतिच्छेद न करें।

एक सहायक रेखा खींचने के बाद, वे बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण करना शुरू करते हैं (चित्र 140, बी देखें)।

बिंदु A का ललाट a" और प्रोफ़ाइल a" प्रक्षेपण उस सतह के संगत प्रक्षेपणों पर स्थित होना चाहिए जिससे बिंदु A संबंधित है। ये प्रक्षेपण पाए जाते हैं। चित्र में. 140, बी उन्हें रंग में हाइलाइट किया गया है। तीरों द्वारा दर्शाए अनुसार संचार रेखाएँ बनाएँ। सतही प्रक्षेपणों के साथ संचार लाइनों के प्रतिच्छेदन पर, वांछित प्रक्षेपण ए" और ए" स्थित हैं।

बिंदु बी, सी, डी के प्रक्षेपण का निर्माण चित्र में दिखाया गया है। 140, तीरों के साथ संचार लाइनों में। दिए गए बिंदु प्रक्षेपण रंगीन हैं। कनेक्शन रेखाएँ उस प्रक्षेपण पर खींची जाती हैं जिस पर सतह को एक रेखा के रूप में दर्शाया जाता है, न कि एक आकृति के रूप में। इसलिए, पहले बिंदु C से ललाट प्रक्षेपण ढूंढें। बिंदु C से प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण संचार लाइनों के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि किसी प्रक्षेपण पर सतह को एक रेखा द्वारा दर्शाया नहीं गया है, तो बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्माण के लिए एक सहायक विमान का उपयोग किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक शंकु की सतह पर स्थित बिंदु A का ललाट प्रक्षेपण d दिया गया है (चित्र 143, a)। आधार के समानांतर बिंदु के माध्यम से एक सहायक विमान खींचा जाता है, जो शंकु को एक वृत्त में काटेगा; इसका ललाट प्रक्षेपण एक सीधा खंड है, और इसका क्षैतिज प्रक्षेपण इस खंड की लंबाई के बराबर व्यास वाला एक वृत्त है (चित्र 143, बी)। बिंदु a से इस वृत्त के लिए एक कनेक्शन रेखा खींचने पर, बिंदु A का एक क्षैतिज प्रक्षेपण प्राप्त होता है।

बिंदु A का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण a" संचार लाइनों के चौराहे पर सामान्य तरीके से पाया जाता है।

उसी तकनीक का उपयोग करके, आप किसी बिंदु के प्रक्षेपण को पा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पिरामिड या गेंद की सतह पर। जब एक पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा जाता है और एक दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है, तो आधार के समान एक आकृति बनती है। इस आकृति के प्रक्षेपण पर किसी दिए गए बिंदु के प्रक्षेपण निहित हैं।

प्रश्नों के उत्तर दें

1. सहायक सीधी रेखा किस कोण पर खींची जाती है?

2. यदि सामने और ऊपर का दृश्य दिया गया है, लेकिन आपको बाईं ओर एक दृश्य बनाने की आवश्यकता है, तो आप सहायक सीधी रेखा कहाँ खींचेंगे?

3. यदि सहायक लाइन तीन प्रकार की हो तो उसका स्थान कैसे निर्धारित करें?

4. यदि किसी वस्तु की सतहों में से एक को एक रेखा द्वारा दर्शाया जाता है, तो किसी दिए गए बिंदु के आधार पर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के निर्माण की विधि क्या है?

5. किन ज्यामितीय निकायों के लिए और किन मामलों में उनकी सतह पर दिए गए किसी बिंदु के प्रक्षेपण एक सहायक विमान का उपयोग करके पाए जाते हैं?

§20 के लिए असाइनमेंट

व्यायाम 68

अपनी कार्यपुस्तिका में लिखें कि दृश्यों पर संख्याओं द्वारा दर्शाए गए बिंदुओं के कौन से अनुमान शिक्षक द्वारा आपको बताए गए उदाहरण में अक्षरों द्वारा दृश्य छवि पर दर्शाए गए बिंदुओं के अनुरूप हैं (चित्र 144, ए-डी)।

व्यायाम 69

चित्र में. 145, ए-बी अक्षर कुछ शीर्षों के केवल एक प्रक्षेपण को दर्शाते हैं। आपके शिक्षक द्वारा आपको दिए गए उदाहरण में, इन शीर्षों के शेष प्रक्षेपण खोजें और उन्हें अक्षरों से लेबल करें। उदाहरणों में से एक में, वस्तु के किनारों पर निर्दिष्ट बिंदुओं के लुप्त प्रक्षेपण का निर्माण करें (चित्र 145, डी और ई)। किनारों के प्रक्षेपणों को रंग में हाइलाइट करें जिन पर बिंदु स्थित हैं। कार्य को पारदर्शी कागज पर पूरा करें, इसे पाठ्यपुस्तक पृष्ठ पर रखें। चित्र 145 को दोबारा बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।

व्यायाम 70

वस्तु की दृश्य सतहों पर एक प्रक्षेपण द्वारा परिभाषित बिंदुओं के लुप्त प्रक्षेपण का पता लगाएं (चित्र 146)। उन्हें अक्षरों से लेबल करें. बिंदुओं के दिए गए प्रक्षेपणों को रंग में हाइलाइट करें। एक दृश्य छवि आपको समस्या को हल करने में मदद करेगी। कार्य को किसी कार्यपुस्तिका में या किसी पाठ्यपुस्तक पृष्ठ पर रखकर पारदर्शी कागज पर पूरा किया जा सकता है। बाद वाले मामले में, आकृति को दोबारा बनाएं। 146 आवश्यक नहीं है.

व्यायाम 71

आपके शिक्षक द्वारा आपको दिए गए उदाहरण में, तीन दृश्यों को फिर से बनाएं (चित्र 147)। वस्तु की दृश्य सतहों पर निर्दिष्ट बिंदुओं के लुप्त प्रक्षेपण का निर्माण करें। बिंदुओं के दिए गए प्रक्षेपणों को रंग में हाइलाइट करें। बिंदुओं के सभी अनुमानों को अक्षरों से लेबल करें। बिंदुओं का प्रक्षेपण बनाने के लिए, एक सहायक सीधी रेखा का उपयोग करें। एक तकनीकी ड्राइंग पूरी करें और उस पर निर्दिष्ट बिंदु अंकित करें।

जैसा कि ज्ञात है, पॉलीहेड्रा की सतहें समतल आकृतियों द्वारा सीमित होती हैं। नतीजतन, कम से कम एक प्रक्षेपण द्वारा पॉलीहेड्रॉन की सतह पर परिभाषित बिंदु, सामान्य स्थिति में, परिभाषित बिंदु होते हैं। यही बात अन्य ज्यामितीय निकायों की सतहों पर भी लागू होती है: सिलेंडर, शंकु, गेंद और टोरस, घुमावदार सतहों से घिरे हुए।

आइए हम शरीर की सतह पर स्थित दृश्य बिंदुओं को वृत्तों के रूप में, अदृश्य बिंदुओं को काले घेरे (बिंदु) के रूप में चित्रित करने के लिए सहमत हों; दृश्यमान रेखाओं को ठोस रेखाओं के रूप में और अदृश्य रेखाओं को धराशायी रेखाओं के रूप में दर्शाया जाएगा।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म की सतह पर स्थित बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण A 1 दिया गया है (चित्र 162, a)।

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जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रिज्म के सामने और पीछे के आधार प्रक्षेपण पी 2 के ललाट तल के समानांतर हैं और बिना विरूपण के उस पर प्रक्षेपित होते हैं, प्रिज्म का निचला पक्ष प्रक्षेपण के क्षैतिज तल पी के समानांतर है 1 और विरूपण के बिना भी प्रक्षेपित किया जाता है। प्रिज्म के पार्श्व किनारे सामने की ओर सीधी रेखाएं प्रक्षेपित कर रहे हैं, इसलिए उन्हें प्रक्षेपण पी 2 के ललाट तल पर बिंदुओं के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रक्षेपण ए 1 के बाद से। एक प्रकाश वृत्त द्वारा दर्शाया गया है, तो बिंदु A दिखाई देता है और इसलिए, प्रिज्म के दाहिनी ओर स्थित है। यह चेहरा एक सामने-प्रक्षेपित विमान है, और A2 बिंदु का ललाट प्रक्षेपण एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाए गए विमान के ललाट प्रक्षेपण के साथ मेल खाना चाहिए।

एक स्थिर सीधी रेखा k 123 खींचते हुए, हम बिंदु A का तीसरा प्रक्षेपण A 3 पाते हैं। जब प्रक्षेपण के प्रोफ़ाइल विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो बिंदु A अदृश्य हो जाएगा, इसलिए बिंदु A 3 को एक काले घेरे के रूप में दर्शाया गया है। ललाट प्रक्षेपण बी 2 द्वारा बिंदु निर्दिष्ट करना अनिश्चित है, क्योंकि यह प्रिज्म के सामने के आधार से बिंदु बी की दूरी निर्धारित नहीं करता है।

आइए प्रिज्म और बिंदु ए का एक सममितीय प्रक्षेपण बनाएं (चित्र 162, बी)। प्रिज्म के सामने के आधार से निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है। हम जटिल ड्राइंग से लिए गए आयामों के अनुसार एक आधार त्रिकोण बनाते हैं; y" अक्ष के साथ हम प्रिज्म किनारे के आकार को प्लॉट करते हैं। हम एक दोहरी पतली रेखा के साथ दोनों चित्रों में उल्लिखित एक समन्वयित टूटी हुई रेखा का उपयोग करके बिंदु A की एक्सोनोमेट्रिक छवि A" का निर्माण करते हैं।

मान लीजिए कि दो मुख्य प्रक्षेपणों द्वारा परिभाषित एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की सतह पर स्थित एक बिंदु C का ललाट प्रक्षेपण C 2 दिया गया है (चित्र 163, a)। बिंदु C के तीन प्रक्षेपण बनाना आवश्यक है।

ललाट प्रक्षेपण से यह देखा जा सकता है कि पिरामिड का शीर्ष पिरामिड के वर्गाकार आधार से ऊंचा है। इस स्थिति के तहत, प्रक्षेपण पी 1 के क्षैतिज तल पर प्रक्षेपित होने पर सभी चार पार्श्व फलक दिखाई देंगे। जब P2 प्रक्षेपणों को ललाट तल पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो केवल पिरामिड का अग्र भाग दिखाई देगा। चूंकि प्रक्षेपण सी 2 को चित्र में एक प्रकाश वृत्त के रूप में दिखाया गया है, बिंदु सी दिखाई देता है और पिरामिड के सामने के चेहरे से संबंधित है। एक क्षैतिज प्रक्षेपण सी 1 का निर्माण करने के लिए, हम बिंदु सी 2 के माध्यम से एक सहायक सीधी रेखा डी 2 ई 2 खींचते हैं, जो पिरामिड के आधार की रेखा के समानांतर है। हम इसका क्षैतिज प्रक्षेपण D 1 E 1 और उस पर बिंदु C 1 पाते हैं। यदि पिरामिड का तीसरा प्रक्षेपण है, तो हम बिंदु C 1 का क्षैतिज प्रक्षेपण अधिक सरलता से पाते हैं: प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण C 3 प्राप्त करने के बाद, हम दो प्रक्षेपणों का उपयोग करते हैं क्षैतिज और क्षैतिज-ऊर्ध्वाधर संचार लाइनों का उपयोग करके तीसरा निर्माण करें। निर्माण की प्रगति को तीरों द्वारा चित्र में दर्शाया गया है।

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आइए पिरामिड और बिंदु C का एक द्विमितीय प्रक्षेपण बनाएं (चित्र 163, बी)। हम पिरामिड का आधार बनाते हैं; ऐसा करने के लिए, आर अक्ष पर लिए गए बिंदु O" के माध्यम से हम x" और y" अक्ष खींचते हैं; x-अक्ष के अनुदिश हम आधार के वास्तविक आयामों को आलेखित करते हैं, और y-अक्ष के अनुदिश हम आधे आयामों को आलेखित करते हैं। प्राप्त बिंदुओं के माध्यम से हम x" और y" अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं। Z" अक्ष के साथ हम पिरामिड की ऊंचाई को प्लॉट करते हैं; किनारों की दृश्यता को ध्यान में रखते हुए, हम परिणामी बिंदु को आधार के बिंदुओं से जोड़ते हैं। बिंदु C का निर्माण करने के लिए, हम चित्र में उल्लिखित एक समन्वयित टूटी हुई रेखा का उपयोग करते हैं एक दोहरी पतली रेखा के साथ। समाधान की सटीकता की जांच करने के लिए, हम पाए गए बिंदु C से एक सीधी रेखा D "E", समानांतर x-अक्ष" खींचते हैं। इसकी लंबाई सीधी रेखा डी 2 ई 2 (या डी 1 ई 1) की लंबाई के बराबर होनी चाहिए।

मौखिक रूप	ग्राफ़िक रूप
1. X, Y, Z अक्षों पर बिंदु A के संगत निर्देशांक आलेखित करें। हमें बिंदु A x, A y, A z प्राप्त होते हैं।
2. क्षैतिज प्रक्षेपण ए 1, एक्स और वाई अक्षों के समानांतर खींचे गए बिंदुओं ए एक्स और ए वाई से संचार लाइनों के चौराहे पर स्थित है।
3. फ्रंटल प्रोजेक्शन ए 2, एक्स और जेड अक्षों के समानांतर खींचे गए बिंदु ए एक्स और ए जेड से संचार लाइनों के चौराहे पर स्थित है।
4. प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण A 3, Z और Y अक्षों के समानांतर खींचे गए बिंदु A z और A y से संचार लाइनों के चौराहे पर स्थित है।

3.2. प्रक्षेपण तलों के सापेक्ष बिंदु की स्थिति

प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति उसके निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है। एक्स निर्देशांक पी 3 विमान (पी 2 या पी 1 पर प्रक्षेपण) से एक बिंदु की दूरी निर्धारित करता है, वाई समन्वय पी 2 विमान (पी 3 या पी 1 पर प्रक्षेपण) से दूरी निर्धारित करता है, जेड समन्वय निर्धारित करता है पी 1 विमान से दूरी (पी 3 या पी 2 पर प्रक्षेपण)। इन निर्देशांकों के मान के आधार पर, एक बिंदु प्रक्षेपण विमानों के संबंध में अंतरिक्ष में एक सामान्य और एक विशेष स्थिति दोनों पर कब्जा कर सकता है (चित्र 3.1)।

चावल। 3.1. बिंदु वर्गीकरण

टीअंकसामान्यप्रावधानों. एक सामान्य बिंदु के निर्देशांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं ( एक्स≠0, य≠0, जेड≠0 ), और निर्देशांक के चिह्न के आधार पर, बिंदु आठ अष्टकों में से एक में स्थित हो सकता है (तालिका 2.1)।

चित्र में. 3.2 सामान्य स्थिति में बिंदुओं के चित्र प्रदान करता है। उनकी छवियों का विश्लेषण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि वे अंतरिक्ष के निम्नलिखित अष्टक में स्थित हैं: A(+X;+Y; +Z(  Ioctant;B(+X;+Y;-Z(  IVoctant;C(-X;+Y; +Z(  वोक्टेंट;डी(+एक्स;+वाई; +जेड(  द्वितीयअष्टक.

विशेष स्थिति के बिंदु. किसी विशेष स्थिति के बिंदु पर एक निर्देशांक शून्य के बराबर होता है, इसलिए बिंदु का प्रक्षेपण संबंधित प्रक्षेपण क्षेत्र पर होता है, अन्य दो - प्रक्षेपण अक्षों पर। चित्र में. 3.3 ऐसे बिंदु हैं बिंदु A, B, C, D, G.A  पी 3, फिर बिंदु एक्स ए = 0; में  पी 3, फिर बिंदु एक्स बी = 0; साथ  П 2, फिर बिंदुY C =0;D  पी 1, फिर बिंदु जेड डी = 0।

एक बिंदु एक साथ दो प्रक्षेपण विमानों से संबंधित हो सकता है यदि यह इन विमानों के चौराहे की रेखा - प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित है। ऐसे बिंदुओं के लिए, केवल इस अक्ष पर निर्देशांक शून्य नहीं है। चित्र में. 3.3 ऐसा बिंदु बिंदु G(G) है  OZ, फिर बिंदु X G =0,Y G =0).

3.3. अंतरिक्ष में बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति

आइए अंतरिक्ष में उनकी स्थिति निर्धारित करने वाले निर्देशांक के अनुपात के आधार पर बिंदुओं की सापेक्ष व्यवस्था के लिए तीन विकल्पों पर विचार करें।

चित्र में. 3.4 बिंदु A और B के अलग-अलग निर्देशांक हैं।

उनकी सापेक्ष स्थिति का अनुमान प्रक्षेपण विमानों से उनकी दूरी से लगाया जा सकता है: Y A >Y B, तो बिंदु A, विमान P 2 से आगे और बिंदु B की तुलना में पर्यवेक्षक के करीब स्थित है; Z A >Z B, तो बिंदु A, समतल P 1 से दूर और बिंदु B की तुलना में प्रेक्षक के अधिक निकट स्थित है; एक्स ए

चित्र में. 3.5 बिंदु ए, बी, सी, डी दिखाता है, जिसके लिए एक निर्देशांक समान है, और अन्य दो अलग हैं।

उनकी सापेक्ष स्थिति का आकलन प्रक्षेपण विमानों से उनकी दूरी के आधार पर निम्नानुसार किया जा सकता है:

Y A =Y B =Y D, तो बिंदु A, B और D समतल P 2 से समान दूरी पर हैं, और उनके क्षैतिज और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण क्रमशः सीधी रेखाओं [A 1 B 1 ]llОХ और [A 3 B 3 ] पर स्थित हैं। llOZ. ऐसे बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति P2 के समानांतर एक समतल है;

Z A =Z B =Z C, तो बिंदु A, B और C समतल P 1 से समान दूरी पर हैं, और उनके ललाट और प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण क्रमशः सीधी रेखाओं [A 2 B 2 ]llОХ और [A 3 C 3 ] पर स्थित हैं। llOY. ऐसे बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति P 1 के समानांतर एक समतल है;

X A =X C =X D, तो बिंदु A, C और D समतल P 3 से समान दूरी पर हैं और उनके क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण क्रमशः सीधी रेखाओं [A 1 C 1 ]llOY और [A 2 D 2 ]llOZ पर स्थित हैं। . ऐसे बिंदुओं की ज्यामितीय स्थिति P3 के समानांतर एक समतल है।

3. यदि बिंदुओं के समान नाम के दो निर्देशांक समान हों, तो उन्हें कहा जाता है प्रतिस्पर्धा. प्रतिस्पर्धी बिंदु एक ही प्रक्षेपण रेखा पर स्थित हैं। चित्र में. 3.3 ऐसे बिंदुओं के तीन जोड़े हैं जिनके लिए: X A = X D ; वाई ए = वाई डी ; जेड डी > जेड ए; एक्स ए = एक्स सी ; जेड ए = जेड सी ; वाई सी > वाई ए ; वाई ए = वाई बी ; जेड ए = जेड बी ; एक्स बी > एक्स ए।

क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित होने वाली रेखा AD पर स्थित क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धी बिंदु A और D हैं, सामने से प्रक्षेपित होने वाली रेखा AC पर स्थित सामने से प्रतिस्पर्धी बिंदु A और C हैं, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपित होने वाली रेखा AB पर स्थित प्रोफ़ाइल प्रतिस्पर्धी बिंदु A और B हैं।

विषय पर निष्कर्ष

1. एक बिंदु एक रैखिक ज्यामितीय छवि है, जो वर्णनात्मक ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति उसके निर्देशांकों द्वारा निर्धारित की जा सकती है। एक बिंदु के तीन प्रक्षेपणों में से प्रत्येक को दो निर्देशांकों की विशेषता होती है, उनके नाम उन अक्षों के नामों के अनुरूप होते हैं जो संबंधित प्रक्षेपण विमान बनाते हैं: क्षैतिज - ए 1 (एक्सए; वाईए); ललाट - ए 2 (एक्सए; जेडए); प्रोफाइल - ए 3 (वाईए; जेडए)। अनुमानों के बीच निर्देशांक का अनुवाद संचार लाइनों का उपयोग करके किया जाता है। दो प्रक्षेपणों का उपयोग करके, आप या तो निर्देशांक का उपयोग करके या ग्राफिक रूप से एक बिंदु के प्रक्षेपण का निर्माण कर सकते हैं।

3. प्रक्षेपण तलों के संबंध में एक बिंदु अंतरिक्ष में सामान्य और विशेष दोनों स्थितियों पर कब्जा कर सकता है।

4. सामान्य स्थिति में एक बिंदु वह बिंदु होता है जो प्रक्षेपण विमानों में से किसी से संबंधित नहीं होता है, यानी, प्रक्षेपण विमानों के बीच की जगह में स्थित होता है। एक सामान्य बिंदु के निर्देशांक शून्य (x≠0,y≠0,z≠0) के बराबर नहीं होते हैं।

5. विशेष स्थिति वाला बिंदु एक या दो प्रक्षेपण तलों से संबंधित बिंदु होता है। विशेष स्थिति के बिंदु पर निर्देशांक में से एक शून्य के बराबर है, इसलिए बिंदु का प्रक्षेपण प्रक्षेपण विमान के संबंधित क्षेत्र पर स्थित है, अन्य दो - प्रक्षेपण अक्षों पर।

6. प्रतिस्पर्धी बिंदु - ऐसे बिंदु जिनके समान नाम के निर्देशांक मेल खाते हैं। क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धी बिंदु, सामने से प्रतिस्पर्धी बिंदु, प्रोफ़ाइल प्रतिस्पर्धी बिंदु हैं।

कीवर्ड

बिंदु निर्देशांक

सामान्य बात

निजी बिंदु

प्रतिस्पर्धी अंक

समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक गतिविधि के तरीके

- अंतरिक्ष में तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में दिए गए निर्देशांक के अनुसार एक बिंदु का निर्माण;

- एक जटिल ड्राइंग पर तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में दिए गए निर्देशांक के अनुसार एक बिंदु का निर्माण।

स्व-परीक्षण प्रश्न

1. बिंदु प्रक्षेपण के निर्देशांक के साथ तीन प्रक्षेपण विमानों पी 1 पी 2 पी 3 की प्रणाली में एक जटिल ड्राइंग पर निर्देशांक के स्थान के बीच संबंध कैसे स्थापित किया जाता है?

2. कौन से निर्देशांक क्षैतिज, ललाट, प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण विमानों पर बिंदुओं की दूरी निर्धारित करते हैं?

3. यदि बिंदु प्रक्षेपण पी 3 के प्रोफाइल विमान के लंबवत दिशा में चलता है तो बिंदु के कौन से निर्देशांक और प्रक्षेपण बदल जाएंगे?

4. यदि बिंदु OZ अक्ष के समानांतर दिशा में चलता है तो बिंदु के कौन से निर्देशांक और प्रक्षेपण बदल जाएंगे?

5. कौन से निर्देशांक किसी बिंदु के क्षैतिज (ललाट, प्रोफ़ाइल) प्रक्षेपण को निर्धारित करते हैं?

7. किस मामले में एक बिंदु का प्रक्षेपण अंतरिक्ष में बिंदु के साथ मेल खाता है और इस बिंदु के अन्य दो प्रक्षेपण कहाँ स्थित हैं?

8. क्या एक बिंदु एक साथ तीन प्रक्षेपण विमानों से संबंधित हो सकता है और किस स्थिति में?

9. उन बिंदुओं के नाम क्या हैं जिनके समान नाम के प्रक्षेपण मेल खाते हैं?

10. यदि उनके ललाट प्रक्षेपण मेल खाते हैं तो आप यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि दो बिंदुओं में से कौन सा पर्यवेक्षक के करीब है?

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. प्रक्षेपण तल पी 1, पी 2 के सापेक्ष बिंदु ए, बी, सी, डी का दृश्य प्रतिनिधित्व दें। बिंदुओं को उनके प्रक्षेपणों द्वारा परिभाषित किया गया है (चित्र 3.6)।

2. एक दृश्य छवि और एक जटिल ड्राइंग पर उनके निर्देशांक के अनुसार बिंदु ए और बी के प्रक्षेपण का निर्माण करें: ए (13.5; 20), बी (6.5; -20)। बिंदु C का एक प्रक्षेपण बनाएं, जो प्रक्षेपण P 2 के ललाट तल के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित है।

3. एक दृश्य छवि और एक जटिल ड्राइंग पर उनके निर्देशांक के अनुसार बिंदु ए, बी, सी के प्रक्षेपण का निर्माण करें: ए (-20; 0; 0), बी (-30; -20; 10), सी (-10, –15, 0 ). बिंदु D का निर्माण करें, जो OX अक्ष के सापेक्ष बिंदु C के सममित रूप से स्थित है।

एक सामान्य समस्या को हल करने का एक उदाहरण

कार्य 1।बिंदु A, B, C, D, E, F के X, Y, Z निर्देशांक दिए गए हैं (सारणी 3.3)