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2.4 ग्रेड 5-6 में गणितीय अवधारणाओं के निर्माण की विशेषताएं 28

परिचय

अध्याय 1
गणितीय अवधारणाओं के अध्ययन के लिए तरीकों के मूल सिद्धांत

1.1 गणितीय अवधारणाएँ, उनकी सामग्री और दायरा, अवधारणाओं का वर्गीकरण

एक अवधारणा किसी वस्तु के आवश्यक और गैर-आवश्यक गुणों के समग्र सेट के बारे में सोचने का एक रूप है।

गणितीय अवधारणाओं की अपनी विशेषताएं होती हैं: वे अक्सर विज्ञान की ज़रूरतों से उत्पन्न होती हैं और वास्तविक दुनिया में उनका कोई एनालॉग नहीं होता है; उनके पास अमूर्तता का उच्च स्तर है। इस वजह से, छात्रों को अध्ययन की जा रही अवधारणा का उद्भव दिखाना वांछनीय है (या तो अभ्यास की जरूरतों से या विज्ञान की जरूरतों से)।

प्रत्येक अवधारणा की विशेषता मात्रा और सामग्री होती है। सामग्री - अवधारणा की कई आवश्यक विशेषताएं. आयतन - वस्तुओं का एक समूह जिस पर यह अवधारणा लागू होती है। आइए किसी अवधारणा की मात्रा और सामग्री के बीच संबंध पर विचार करें। यदि सामग्री वास्तविकता से मेल खाती है और इसमें विरोधाभासी विशेषताएं शामिल नहीं हैं, तो वॉल्यूम एक खाली सेट नहीं है, जो अवधारणा को पेश करते समय छात्रों को दिखाना महत्वपूर्ण है। सामग्री पूरी तरह से मात्रा निर्धारित करती है और इसके विपरीत। इसका मतलब यह है कि एक में बदलाव से दूसरे में भी बदलाव आता है: यदि सामग्री बढ़ती है, तो मात्रा कम हो जाती है।

किसी अवधारणा की सामग्री की पहचान उसकी परिभाषा से की जाती है, और वर्गीकरण के माध्यम से उसके दायरे का पता चलता है। वर्गीकरण एक समुच्चय को उपसमुच्चय में विभाजित करना है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:

o एक मानदंड के अनुसार कार्यान्वित किया जाना चाहिए;

o कक्षाएं असंयुक्त होनी चाहिए;

o सभी वर्गों के संघ को संपूर्ण समुच्चय देना चाहिए;

o वर्गीकरण निरंतर होना चाहिए (वर्गीकरण के अधीन अवधारणा के संबंध में कक्षाएं निकटतम प्रजाति अवधारणाएं होनी चाहिए)।

निम्नलिखित प्रकार के वर्गीकरण प्रतिष्ठित हैं:

1. संशोधित विशेषता के अनुसार। वर्गीकृत की जाने वाली वस्तुओं में कई विशेषताएं हो सकती हैं, इसलिए उन्हें विभिन्न तरीकों से वर्गीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण। "त्रिकोण" की अवधारणा.

2. द्विभाजित। किसी अवधारणा के दायरे को दो विशिष्ट अवधारणाओं में विभाजित करना, जिनमें से एक में कोई विशेषता होती है और दूसरे में नहीं।

उदाहरण .

आइए वर्गीकरण प्रशिक्षण के उद्देश्यों पर प्रकाश डालें:

1) तार्किक सोच का विकास;

2) प्रजातियों के अंतर का अध्ययन करने से हमें सामान्य अवधारणा का स्पष्ट विचार मिलता है।

1.2 गणितीय अवधारणाओं की परिभाषा, प्राथमिक अवधारणाएँ जो विवरण की व्याख्या करती हैं

वस्तु को परिभाषित करें - इसके आवश्यक गुणों में से ऐसे और इतने सारे गुणों का चयन करना कि उनमें से प्रत्येक आवश्यक हो, और सभी मिलकर इस वस्तु को दूसरों से अलग करने के लिए पर्याप्त हों। इस क्रिया का परिणाम परिभाषा में दर्ज किया गया है।

परिभाषा एक ऐसा सूत्रीकरण जो एक नई अवधारणा को उसी क्षेत्र की पहले से ज्ञात अवधारणाओं में बदल देता है, उस पर विचार किया जाता है। ऐसी कमी अनिश्चित काल तक जारी नहीं रह सकती, ऐसा विज्ञान ने किया है प्राथमिक अवधारणाएँ , जिन्हें स्पष्ट रूप से नहीं, बल्कि अप्रत्यक्ष रूप से (स्वयंसिद्धों के माध्यम से) परिभाषित किया गया है। प्राथमिक अवधारणाओं की सूची अस्पष्ट है; विज्ञान की तुलना में, स्कूली पाठ्यक्रम में कई प्राथमिक अवधारणाएँ हैं। प्राथमिक अवधारणाओं के स्पष्टीकरण और परिचय की मुख्य तकनीक वंशावली का संकलन है।

स्कूली पाठ्यक्रम में, अवधारणाओं को एक सख्त परिभाषा देना हमेशा उचित नहीं होता है। कभी-कभी यह सही विचार बनाने के लिए पर्याप्त होता है। इसका प्रयोग करके यह हासिल किया जाता है बेल्ट पोषण विवरण - छात्रों के लिए सुलभ वाक्य जो उनमें एक दृश्य छवि उत्पन्न करते हैं और उन्हें अवधारणा को समझने में मदद करते हैं। यहां नई अवधारणा को पहले से अध्ययन की गई अवधारणाओं तक सीमित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। आत्मसातीकरण को इस स्तर पर लाया जाना चाहिए कि भविष्य में छात्र विवरण याद किए बिना ही इस अवधारणा से संबंधित वस्तु को पहचान सके।

1.3 अवधारणाओं को परिभाषित करने के तरीके

द्वारा तार्किक संरचना परिभाषाओं को संयोजक (आवश्यक लक्षण संयोजन "और" से जुड़े होते हैं) और वियोजक (आवश्यक लक्षण संयोजन "या" से जुड़े होते हैं) में विभाजित किया गया है।

परिभाषा में दर्ज आवश्यक विशेषताओं की पहचान और उनके बीच दर्ज कनेक्शन को कहा जाता है परिभाषा का तार्किक और गणितीय विश्लेषण .

परिभाषाओं का विभाजन वर्णनात्मक और रचनात्मक में किया गया है।

वर्णनात्मक - वर्णनात्मक या अप्रत्यक्ष परिभाषाएँ, आमतौर पर इस रूप में: "किसी वस्तु को कहा जाता है... यदि उसमें है..."। ऐसी परिभाषाओं से किसी दी गई वस्तु के अस्तित्व का तथ्य सामने नहीं आता है, इसलिए ऐसी सभी अवधारणाओं के लिए अस्तित्व के प्रमाण की आवश्यकता होती है। उनमें से, अवधारणाओं को परिभाषित करने की निम्नलिखित विधियाँ प्रतिष्ठित हैं:

· के माध्यम से निकटतम परिवारऔर प्रजाति का अंतर. (एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी दो आसन्न भुजाएँ बराबर होती हैं। सामान्य अवधारणा एक समांतर चतुर्भुज है, जिससे परिभाषित अवधारणा एक विशिष्ट अंतर से भिन्न होती है)।

· परिभाषाएँ-समझौते- परिभाषाएँ जिनमें अवधारणाओं के गुणों को समानता या असमानताओं का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

· स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ.स्वयं विज्ञान में, गणित का उपयोग अक्सर किया जाता है, लेकिन स्कूली पाठ्यक्रमों में सहज रूप से स्पष्ट अवधारणाओं के लिए इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। (किसी आकृति का क्षेत्रफल एक मात्रा है जिसका संख्यात्मक मान शर्तों को पूरा करता है: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2, F 1 एफ 2 = एस(एफ )=एस(एफ 1)+एस(एफ 2); एस(ई)=1.)

· परिभाषाओं के माध्यम से अमूर्तन.वे किसी अवधारणा की ऐसी परिभाषा का सहारा लेते हैं जब किसी अन्य को लागू करना कठिन या असंभव होता है (उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या)।

· परिभाषा-निषेध- एक परिभाषा जो किसी संपत्ति की उपस्थिति को नहीं, बल्कि उसकी अनुपस्थिति को ठीक करती है (उदाहरण के लिए, समानांतर रेखाएं)।

रचनात्मक (या आनुवंशिक) ऐसी परिभाषाएँ हैं जो एक नई वस्तु प्राप्त करने की विधि का संकेत देती हैं (उदाहरण के लिए, एक गोला अपने व्यास के चारों ओर अर्धवृत्त घुमाकर प्राप्त की गई सतह है)। ऐसी परिभाषाओं के बीच कभी-कभी भेद किया जाता है पुनरावर्ती- किसी वर्ग के एक निश्चित मूल तत्व और एक नियम को इंगित करने वाली परिभाषाएँ जिसके द्वारा उसी वर्ग की नई वस्तुएँ प्राप्त की जा सकती हैं (उदाहरण के लिए, प्रगति की परिभाषा)।

1.4 अवधारणा को परिभाषित करने के लिए पद्धतिगत आवश्यकताएँ

· वैज्ञानिक आवश्यकता.

· अभिगम्यता की आवश्यकता.

· अनुरूपता की आवश्यकता (परिभाषित अवधारणा का आयतन परिभाषित अवधारणा के आयतन के बराबर होना चाहिए)। इस आवश्यकता का उल्लंघन या तो बहुत व्यापक या बहुत संकीर्ण परिभाषा की ओर ले जाता है।

· परिभाषा में कोई दुष्चक्र नहीं होना चाहिए.

· परिभाषाएँ स्पष्ट, सटीक होनी चाहिए और उनमें रूपक अभिव्यक्तियाँ नहीं होनी चाहिए।

· न्यूनतम जरूरत।

1.5 स्कूली गणित पाठ्यक्रम में अवधारणाओं का परिचय

अवधारणाएँ बनाते समय, दो बुनियादी तार्किक तकनीकों में महारत हासिल करने के लिए छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करना आवश्यक है: एक अवधारणा को शामिल करना और इस तथ्य से परिणाम प्राप्त करना कि कोई वस्तु एक अवधारणा से संबंधित है।

कार्रवाई अवधारणा को सम्मिलित करना निम्नलिखित संरचना है:

1) परिभाषा में दर्ज सभी संपत्तियों का चयन करना।

2) उनके बीच तार्किक संबंध स्थापित करना।

3) यह जांचना कि क्या किसी ऑब्जेक्ट ने गुणों और उनके कनेक्शन का चयन किया है।

4) इस बारे में निष्कर्ष प्राप्त करना कि क्या कोई वस्तु अवधारणा के दायरे से संबंधित है।

परिणाम निकालना - यह किसी दी गई अवधारणा से संबंधित वस्तु की आवश्यक विशेषताओं का चयन है।

कार्यप्रणाली में तीन तरीके हैं अवधारणाओं का परिचय देना :

1) ठोस रूप से आगमनात्मक:

o अवधारणा के दायरे से संबंधित और संबंधित नहीं, दोनों प्रकार की विभिन्न वस्तुओं पर विचार।

o वस्तुओं की तुलना के आधार पर किसी अवधारणा की आवश्यक विशेषताओं की पहचान।

o पद का परिचय, परिभाषा का निरूपण।

2) सार-निगमनात्मक:

o शिक्षक द्वारा परिभाषा का परिचय।

o विशेष एवं व्यक्तिगत मामलों पर विचार।

o किसी वस्तु को एक अवधारणा के अंतर्गत समाहित करने और प्राथमिक परिणाम प्राप्त करने की क्षमता का निर्माण।

किसी अवधारणा को पहले तरीके से प्रस्तुत करते समय, छात्र परिचय के उद्देश्यों को बेहतर ढंग से समझते हैं, परिभाषाएँ बनाना सीखते हैं और उसमें प्रत्येक शब्द के महत्व को समझते हैं। किसी अवधारणा को दूसरे तरीके से पेश करने पर काफी समय की बचत होती है, जो महत्वहीन भी नहीं है।

3) संयुक्त . अधिक उन्नत कैलकुलस अवधारणाओं के लिए उपयोग किया जाता है। विशिष्ट उदाहरणों की एक छोटी संख्या के आधार पर, अवधारणा की एक परिभाषा दी गई है। फिर, उन समस्याओं को हल करके जिनमें महत्वहीन विशेषताएँ भिन्न होती हैं, और इस अवधारणा की विशिष्ट उदाहरणों से तुलना करके, अवधारणा का निर्माण जारी रहता है।

1.6 स्कूल में किसी अवधारणा को सीखने के मुख्य चरण

साहित्य में, स्कूल में अवधारणाओं को सीखने के तीन मुख्य चरण हैं:

1. कब अवधारणा का परिचय ऊपर वर्णित तीन विधियों में से एक का उपयोग किया जाता है। इस चरण के दौरान, आपको निम्नलिखित पर विचार करने की आवश्यकता है:

· सबसे पहले, इस अवधारणा को पेश करने के लिए प्रेरणा प्रदान करना आवश्यक है।

· किसी अवधारणा को सम्मिलित करने के लिए कार्यों की एक प्रणाली का निर्माण करते समय, अवधारणा का सबसे पूर्ण दायरा सुनिश्चित करें।

· यह दिखाना महत्वपूर्ण है कि किसी अवधारणा का दायरा कोई खाली सेट नहीं है।

· अवधारणा की सामग्री को प्रकट करें, आवश्यक विशेषताओं पर काम करें, गैर-आवश्यक सुविधाओं को उजागर करें।

· परिभाषा जानने के अलावा, यह वांछनीय है कि छात्रों को अवधारणा की दृश्य समझ हो।

· शब्दावली और प्रतीकवाद में महारत हासिल करना.

इस चरण का परिणाम एक परिभाषा का निर्माण है, जिसे आत्मसात करना अगले चरण की सामग्री है। किसी अवधारणा की परिभाषा में महारत हासिल करने का अर्थ है अवधारणा से संबंधित वस्तुओं को पहचानने, अवधारणा से संबंधित वस्तु के परिणामों को निकालने, अवधारणा के दायरे से संबंधित वस्तुओं का निर्माण करने की क्रियाओं में महारत हासिल करना।

2. मंच पर परिभाषा में महारत हासिल करना परिभाषा को याद करने पर काम जारी है। इसे निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

· परिभाषाओं को एक नोटबुक में लिखना.

· आवश्यक गुणों का उच्चारण करना, रेखांकित करना या किसी प्रकार का क्रमांकन करना।

· अनुरूपता के नियमों को पूरा करने के लिए प्रतिउदाहरणों का उपयोग।

· परिभाषा में लुप्त शब्दों का चयन, अतिरिक्त शब्द ढूँढना।

· उदाहरण और प्रतिउदाहरण देना सीखना.

· परिभाषा को सबसे सरल, लेकिन काफी विशिष्ट स्थितियों में लागू करना सीखना, क्योंकि समस्याओं को हल करने के बाहर परिभाषा को बार-बार दोहराना अप्रभावी है।

· विभिन्न परिभाषाओं की संभावना बताएं, उनकी तुल्यता साबित करें, लेकिन याद रखने के लिए केवल एक को चुनें।

· परिभाषा बनाना सीखें, इसके लिए वंशावली के संकलन का उपयोग करें, तार्किक संरचना की व्याख्या करें; परिभाषा के निर्माण के लिए नियमों का परिचय दें।

· तुलना और विरोधाभास में अवधारणाओं के समान जोड़े दीजिए।

इस प्रकार, इस स्तर पर परिभाषा में प्रयुक्त अवधारणा की प्रत्येक आवश्यक संपत्ति अध्ययन का एक विशेष उद्देश्य बन जाती है।

3.अगला चरण - समेकन . एक अवधारणा को गठित माना जा सकता है यदि छात्र विशेषताओं को छांटने के बिना समस्या में इसे तुरंत पहचान लेते हैं, अर्थात, अवधारणा को समाहित करने की प्रक्रिया को कम कर दिया जाता है। इसे निम्नलिखित तरीकों से हासिल किया जा सकता है:

· अधिक जटिल स्थितियों में परिभाषा का अनुप्रयोग.

· तार्किक संबंधों में एक नई अवधारणा का समावेश, अन्य अवधारणाओं के साथ संबंध (उदाहरण के लिए, वंशावली, वर्गीकरण की तुलना)।

· यह दिखाने की सलाह दी जाती है कि परिभाषा अपने लिए नहीं दी गई है, बल्कि इसलिए कि यह समस्याओं को हल करते समय और एक नया सिद्धांत बनाते समय "काम" करे।

अध्याय दो
ग्रेड 5-6 में गणित पढ़ाने की मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक विशेषताएं

2.1 संज्ञानात्मक गतिविधि की विशेषताएं

धारणा। कक्षा 5-6 के स्कूली बच्चे में धारणा विकास का पर्याप्त स्तर होता है। उसके पास उच्च स्तर की दृश्य तीक्ष्णता, श्रवण और किसी वस्तु के आकार और रंग के प्रति अभिविन्यास है।

सीखने की प्रक्रिया छात्र की धारणा पर नई माँगें पैदा करती है। शैक्षिक जानकारी को समझने की प्रक्रिया में छात्रों की गतिविधियों की यादृच्छिकता और सार्थकता आवश्यक है। सबसे पहले, बच्चा स्वयं वस्तु से आकर्षित होता है और सबसे पहले, उसके बाहरी उज्ज्वल संकेतों से। लेकिन बच्चे पहले से ही किसी वस्तु की सभी विशेषताओं पर ध्यान केंद्रित करने और ध्यान से विचार करने में सक्षम हैं, इसमें मुख्य, आवश्यक चीजों पर प्रकाश डालते हैं। यह विशेषता शैक्षिक गतिविधियों की प्रक्रिया में ही प्रकट होती है। वे आकृतियों के समूहों का विश्लेषण कर सकते हैं, वस्तुओं को विभिन्न विशेषताओं के अनुसार व्यवस्थित कर सकते हैं, और इन आकृतियों के एक या दो गुणों के अनुसार आकृतियों को वर्गीकृत कर सकते हैं।

इस उम्र के स्कूली बच्चे अवलोकन को एक विशेष गतिविधि के रूप में शुरू करते हैं और अवलोकन को एक चरित्र विशेषता के रूप में विकसित करते हैं।

अवधारणा निर्माण की प्रक्रिया एक क्रमिक प्रक्रिया है, जिसके पहले चरण में किसी वस्तु की संवेदी धारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

याद। कक्षा 5-6 का स्कूली बच्चा अपनी स्वैच्छिक याददाश्त को नियंत्रित करने में सक्षम है। याद रखने (याद रखने) की क्षमता धीरे-धीरे लेकिन धीरे-धीरे बढ़ती है।

इस उम्र में, स्मृति को पुनर्गठित किया जाता है, यांत्रिक संस्मरण के प्रभुत्व से अर्थपूर्ण संस्मरण की ओर बढ़ते हुए। उसी समय, सिमेंटिक मेमोरी का पुनर्निर्माण किया जाता है। यह एक अप्रत्यक्ष चरित्र प्राप्त करता है, और सोच आवश्यक रूप से शामिल होती है। इसलिए, छात्रों को सही ढंग से तर्क करना सिखाना आवश्यक है ताकि याद रखने की प्रक्रिया प्रस्तावित सामग्री की समझ पर आधारित हो।

स्वरूप के साथ-साथ स्मरण की विषय-वस्तु भी बदल जाती है। अमूर्त सामग्री को याद रखना अधिक सुलभ हो जाता है।

ध्यान। ज्ञान, क्षमताओं, कौशल में महारत हासिल करने की प्रक्रिया के लिए छात्रों के निरंतर और प्रभावी आत्म-नियंत्रण की आवश्यकता होती है, जो केवल तभी संभव है जब पर्याप्त उच्च स्तर का स्वैच्छिक ध्यान बनता है।

कक्षा 5-6 का स्कूली बच्चा अपना ध्यान प्रबंधित करने में काफी सक्षम होता है। वह उन गतिविधियों पर अच्छा ध्यान केंद्रित करता है जो उसके लिए सार्थक हैं। इसलिए, गणित सीखने में विद्यार्थी की रुचि बनाए रखना आवश्यक है। इस मामले में, सहायक साधनों (वस्तुओं, चित्रों, तालिकाओं) पर भरोसा करने की सलाह दी जाती है।

स्कूल में पाठ के दौरान ध्यान को शिक्षक के सहयोग की आवश्यकता होती है।

कल्पना। सीखने की गतिविधियों की प्रक्रिया में, छात्र को बहुत सारी वर्णनात्मक जानकारी प्राप्त होती है। इसके लिए उसे लगातार छवियों को फिर से बनाने की आवश्यकता होती है, जिसके बिना शैक्षिक सामग्री को समझना और आत्मसात करना असंभव है, अर्थात। उनकी शिक्षा की शुरुआत से ही, कक्षा 5-6 के छात्रों की पुन: सृजनात्मक कल्पना को उद्देश्यपूर्ण गतिविधियों में शामिल किया जाता है जो उनके मानसिक विकास में योगदान करते हैं।

जैसे-जैसे एक बच्चे में अपनी मानसिक गतिविधि को नियंत्रित करने की क्षमता विकसित होती है, कल्पना एक तेजी से नियंत्रित प्रक्रिया बन जाती है।

कक्षा 5-6 के स्कूली बच्चों के लिए कल्पना एक स्वतंत्र आंतरिक गतिविधि में बदल सकती है। वे अपने दिमाग में गणितीय संकेतों के साथ मानसिक समस्याओं को हल कर सकते हैं, भाषा के अर्थों और अर्थों के साथ काम कर सकते हैं, दो उच्च मानसिक कार्यों को जोड़ सकते हैं: कल्पना और सोच।

उपरोक्त सभी विशेषताएँ रचनात्मक कल्पना की प्रक्रिया के विकास का आधार बनाती हैं, जिसमें छात्रों का विशेष ज्ञान महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह ज्ञान छात्र के जीवन की आगामी आयु अवधि में रचनात्मक कल्पना के विकास का आधार बनता है।

सोच। सैद्धांतिक सोच और हमारे आस-पास की दुनिया में अधिकतम संख्या में अर्थ संबंधी संबंध स्थापित करने की क्षमता तेजी से महत्वपूर्ण होने लगी है। छात्र मनोवैज्ञानिक रूप से वस्तुनिष्ठ दुनिया, आलंकारिक और संकेत प्रणालियों की वास्तविकता में डूबा हुआ है। स्कूल में पढ़ाई गई सामग्री उसके लिए अपनी परिकल्पनाओं के निर्माण और परीक्षण के लिए एक शर्त बन जाती है।

कक्षा 5-6 में विद्यार्थी औपचारिक सोच विकसित करता है। इस उम्र का एक स्कूली बच्चा खुद को किसी विशिष्ट स्थिति से जोड़े बिना पहले से ही तर्क कर सकता है।

वैज्ञानिकों ने कक्षा 5-6 के स्कूली बच्चों की मानसिक क्षमताओं के प्रश्न का अध्ययन किया। शोध के परिणामस्वरूप, यह पता चला कि बच्चे की मानसिक क्षमताएं पहले की सोच से अधिक व्यापक हैं, और जब उपयुक्त परिस्थितियाँ बनाई जाती हैं, अर्थात। प्रशिक्षण के एक विशेष पद्धतिगत संगठन के साथ, ग्रेड 5-6 का छात्र अमूर्त गणितीय सामग्री सीख सकता है।

जैसा कि ऊपर से देखा जा सकता है, मानसिक प्रक्रियाओं की विशेषता आयु-संबंधी विशेषताएं हैं, जिनका ज्ञान और विचार छात्रों के सफल शिक्षण और मानसिक विकास के आयोजन के लिए आवश्यक हैं।

2.2 अवधारणा निर्माण के मनोवैज्ञानिक पहलू

2.3 ग्रेड 5-6 में गणित पढ़ाने की कुछ शैक्षणिक विशेषताएं

स्कूली शिक्षा की आधुनिक अवधारणा का अग्रणी विचार मानवीकरण का विचार है, जो छात्र को उसकी रुचियों और क्षमताओं के साथ सीखने की प्रक्रिया के केंद्र में रखता है, जिसके लिए उसके व्यक्तित्व की विशेषताओं पर विचार करने की आवश्यकता होती है। गणितीय शिक्षा की मुख्य दिशाएँ सामान्य सांस्कृतिक ध्वनि को मजबूत करना और एक बढ़ते हुए व्यक्ति के व्यक्तित्व के निर्माण के लिए इसके महत्व को बढ़ाना है। 5वीं-6वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में अंतर्निहित मुख्य विचार सामग्री का एक सामान्य सांस्कृतिक अभिविन्यास है, सामग्री पर गणित का उपयोग करने वाले छात्रों का बौद्धिक विकास जो 10-12 वर्ष के बच्चों की रुचियों और क्षमताओं को पूरा करता है।

ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम स्कूली बच्चों की गणितीय शिक्षा और विकास का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। इस स्तर पर, मूल रूप से, तर्कसंगत संख्याओं के एक सेट पर भरोसा करना सीखना समाप्त हो जाता है, एक चर की अवधारणा बनती है और पहला ज्ञान रैखिक समीकरणों को हल करने की तकनीकों के बारे में दिया जाता है, शब्द समस्याओं को हल करना सीखना जारी रहता है, ज्यामितीय निर्माण के कौशल और मापन में सुधार और संवर्धन किया जाता है। तर्क करने की क्षमता विकसित करने, सरल प्रमाण बनाने और किए गए कार्यों के लिए औचित्य प्रदान करने पर गंभीरता से ध्यान दिया जाता है। साथ ही, स्टीरियोमेट्री, भौतिकी, रसायन विज्ञान और अन्य संबंधित विषयों में व्यवस्थित पाठ्यक्रमों के अध्ययन की नींव रखी जाती है।

ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम सभी स्कूली गणित का एक जैविक हिस्सा है। इसलिए, इसके निर्माण के लिए मुख्य आवश्यकता एकल वैचारिक आधार पर सामग्री की संरचना है, जो एक ओर, प्राथमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने में लागू किए गए विचारों की निरंतरता और विकास है, और दूसरी ओर, हाई स्कूल में गणित के बाद के अध्ययन में कार्य करता है।

प्राथमिक गणित पाठ्यक्रम की सभी सामग्री और पद्धतिगत रेखाओं का विकास जारी है: संख्यात्मक, बीजगणितीय, कार्यात्मक, ज्यामितीय, तार्किक, डेटा विश्लेषण। इन्हें संख्यात्मक, बीजगणितीय, ज्यामितीय सामग्री पर लागू किया जाता है।

हाल ही में, ज्यामिति के अध्ययन में महत्वपूर्ण रूप से संशोधन किया गया है। अध्ययन का उद्देश्य ज्यामिति ग्रेड 5-6 में भाषा और गणित के माध्यम से हमारे आसपास की दुनिया का ज्ञान होता है। निर्माण और माप की सहायता से, छात्र विभिन्न ज्यामितीय पैटर्न की पहचान करते हैं, जिन्हें वे एक प्रस्ताव, एक परिकल्पना के रूप में तैयार करते हैं। ज्यामिति के प्रदर्शनात्मक पहलू को एक समस्याग्रस्त दृष्टिकोण से माना जाता है - छात्रों को यह विचार दिया जाता है कि कई ज्यामितीय तथ्यों को प्रयोगात्मक रूप से खोजा जा सकता है, लेकिन ये तथ्य गणितीय सत्य तभी बनते हैं जब वे गणित में स्वीकृत साधनों द्वारा स्थापित किए जाते हैं।

इस प्रकार, इस पाठ्यक्रम में ज्यामितीय सामग्री को दृश्य-गतिविधि ज्यामिति के रूप में वर्णित किया जा सकता है। प्रशिक्षण को बौद्धिक और व्यावहारिक गतिविधि की एक प्रक्रिया के रूप में आयोजित किया जाता है जिसका उद्देश्य स्थानिक अवधारणाओं, दृश्य कौशल विकसित करना, ज्यामितीय क्षितिज का विस्तार करना है, जिसके दौरान ज्यामितीय आंकड़ों के सबसे महत्वपूर्ण गुण अनुभव और सामान्य ज्ञान के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं।

ग्रेड 5-6 के लिए पाठ्यक्रम में काफी नई सामग्री पंक्ति है " डेटा विश्लेषण ", जो तीन क्षेत्रों को जोड़ता है: गणितीय सांख्यिकी के तत्व, कॉम्बिनेटरिक्स, संभाव्यता सिद्धांत। इस सामग्री का परिचय जीवन द्वारा ही तय किया गया था। इसके अध्ययन का उद्देश्य स्कूली बच्चों में सामान्य संभाव्य अंतर्ज्ञान और डेटा के मूल्यांकन के विशिष्ट तरीके दोनों विकसित करना है। इस लिंक में मुख्य कार्य एक उपयुक्त शब्दावली का निर्माण करना, जानकारी एकत्र करने, प्रस्तुत करने और विश्लेषण करने की सबसे सरल तकनीक सिखाना, संभावित विकल्पों की गणना करके संयुक्त समस्याओं को हल करना सीखना, यादृच्छिक घटनाओं की आवृत्ति और संभावना के बारे में प्रारंभिक विचार बनाना है।

हालाँकि, यह पंक्ति ग्रेड 5-6 के लिए सभी आधुनिक स्कूल पाठ्यपुस्तकों में मौजूद नहीं है। पाठ्यपुस्तकों में यह पंक्ति विशेष विस्तार से तथा स्पष्ट रूप से प्रस्तुत की गयी है।

बीजगणितीय ग्रेड 5-6 के लिए गणित पाठ्यक्रम में शामिल सामग्री हाई स्कूल में बीजगणित के व्यवस्थित अध्ययन का आधार है। इस बीजगणितीय सामग्री के अध्ययन की निम्नलिखित विशेषताओं पर ध्यान दिया जा सकता है:

1. बीजगणितीय सामग्री का अध्ययन छात्रों की आयु विशेषताओं और क्षमताओं को ध्यान में रखते हुए वैज्ञानिक आधार पर किया जाता है।

व्याख्यान 7. गणितीय अवधारणाएँ

1. प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में अध्ययन की गई अवधारणाओं के समूह। गणितीय अवधारणाओं की विशेषताएं.

2. अवधारणा का दायरा और सामग्री।

3. अवधारणाओं के बीच संबंध.

4. अवधारणाओं के साथ संचालन: अवधारणा का सामान्यीकरण, सीमा, परिभाषा और विभाजन।

5. जीनस और विशिष्ट अंतर के माध्यम से अवधारणाओं की परिभाषा तैयार करते समय आवश्यक नियम।

6. प्रासंगिक एवं दिखावटी परिभाषाएँ। विवरण, तुलना.

प्रारंभिक गणित पाठ्यक्रम में अध्ययन की गई अवधारणाओं के समूह। गणितीय अवधारणाओं की विशेषताएं.

परिचयात्मक गणित पाठ्यक्रम में सिखाई गई अवधारणाएँ आमतौर पर चार समूहों में प्रस्तुत की जाती हैं। पहलासंख्याओं और उन पर संक्रियाओं से संबंधित अवधारणाएँ शामिल हैं: संख्या, जोड़, योग, इससे बड़ा, आदि। क्षण मेंबीजगणितीय अवधारणाएँ शामिल हैं: अभिव्यक्ति, समानता, समीकरण, आदि। तीसराज्यामितीय अवधारणाएँ बनाएँ: सीधी रेखा, खंड, त्रिभुज, आदि। चौथीसमूह का निर्माण मात्राओं और उनके माप से संबंधित अवधारणाओं से होता है।

विभिन्न अवधारणाओं की इतनी प्रचुरता का अध्ययन कैसे करें?

सबसे पहले, आपको एक तार्किक श्रेणी के रूप में अवधारणा और गणितीय अवधारणाओं की विशेषताओं का एक विचार होना चाहिए।

अवधारणाओं के तर्क मेंपर विचार कर रहे हैं विचार के एक रूप के रूप में, वस्तुओं को प्रतिबिंबित करना(वस्तुएँ या घटनाएँ) उनके आवश्यक और सामान्य गुणों में. संकल्पना का भाषाई स्वरूप है शब्दया शब्दों का समूह.

किसी वस्तु के बारे में एक अवधारणा बनाएं- इसका मतलब है इसे इसके समान अन्य वस्तुओं से अलग करने में सक्षम होना।

गणितीय अवधारणाओं में कई विशेषताएं होती हैं. मुख्य बात यह है कि जिन गणितीय वस्तुओं के बारे में अवधारणा तैयार करना आवश्यक है, वे वास्तविकता में मौजूद नहीं हैं। गणितीय वस्तुएँ मानव मस्तिष्क द्वारा निर्मित होती हैं। ये आदर्श वस्तुएं हैं जो वास्तविक वस्तुओं या घटनाओं को प्रतिबिंबित करती हैं। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में वे वस्तुओं के आकार और आकार का अध्ययन उनके अन्य गुणों: रंग, द्रव्यमान, कठोरता, आदि को ध्यान में रखे बिना करते हैं। वे इस सब से विचलित हैं, अमूर्त हैं। इसलिए, ज्यामिति में, "वस्तु" शब्द के बजाय "ज्यामितीय आकृति" कहा जाता है।

अमूर्तन का परिणाम "संख्या" और "परिमाण" जैसी गणितीय अवधारणाएँ हैं।

बिल्कुल भी गणितीय वस्तुएँ केवल मानव सोच में मौजूद हैंऔर उन संकेतों और प्रतीकों में जो गणितीय भाषा बनाते हैं।

जो कहा गया है, उसमें हम यह जोड़ सकते हैं, स्थानिक रूपों और मात्रात्मक संबंधों का अध्ययनभौतिक संसार, गणित न केवल विभिन्न का उपयोग करता है अमूर्त तकनीक, लेकिन अमूर्तन स्वयं एक बहु-चरणीय प्रक्रिया के रूप में कार्य करता है। गणित में, वे न केवल उन अवधारणाओं पर विचार करते हैं जो वास्तविक वस्तुओं के अध्ययन के दौरान प्रकट हुईं, बल्कि उन अवधारणाओं पर भी विचार करती हैं जो पूर्व के आधार पर उत्पन्न हुईं। उदाहरण के लिए, पत्राचार के रूप में किसी फ़ंक्शन की सामान्य अवधारणा विशिष्ट कार्यों की अवधारणाओं का सामान्यीकरण है, अर्थात। अमूर्त से एक अमूर्तन.

गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में अवधारणाओं के अध्ययन के सामान्य दृष्टिकोण में महारत हासिल करने के लिए, शिक्षक को अवधारणा के दायरे और सामग्री, अवधारणाओं के बीच संबंधों और अवधारणाओं की परिभाषाओं के प्रकार के बारे में ज्ञान की आवश्यकता होती है।

2. अवधारणा का दायरा और सामग्री

प्रत्येक गणितीय वस्तु में कुछ गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की चार भुजाएँ, चार समकोण और समान विकर्ण होते हैं। आप इसके अन्य गुण निर्दिष्ट कर सकते हैं.

के बीच वस्तु गुणअंतर महत्वपूर्णऔर तुच्छ.

संपत्ति पर विचार किया गया महत्वपूर्णकिसी वस्तु के लिए, यदि वह इस वस्तु में अंतर्निहित है और इसके बिना उसका अस्तित्व नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए, एक वर्ग के लिए ऊपर वर्णित सभी गुण आवश्यक हैं। वर्ग ABCD के लिए गुण "भुजा AD क्षैतिज है" आवश्यक नहीं है। यदि वर्ग को घुमाया जाए, तो भुजा AD अलग ढंग से स्थित होगी (चित्र 26)। इसलिए, यह समझने के लिए कि कोई दी गई गणितीय वस्तु क्या है, आपको इसके आवश्यक गुणों को जानना होगा।

जब लोग गणितीय अवधारणा के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब आमतौर पर एक शब्द (एक शब्द या शब्दों का समूह) द्वारा दर्शाई गई वस्तुओं का एक समूह होता है। तो, एक वर्ग की बात करते हुए, हमारा मतलब उन सभी ज्यामितीय आकृतियों से है जो वर्ग हैं। ऐसा माना जाता है कि सभी वर्गों का समुच्चय "वर्ग" अवधारणा का दायरा बनाता है।

किसी भी अवधारणा की विशेषता शब्द, मात्रा और सामग्री से होती है।

अवधारणा का दायरा ए - यह उन सभी वस्तुओं का समूह है जिन्हें किसी दिए गए शब्द (शब्द) द्वारा बुलाया जा सकता है

उदाहरण। आइए हम "आयत" अवधारणा की मात्रा और सामग्री पर प्रकाश डालें।

अवधारणा का दायराविभिन्न आयतों का एक समूह है, और इसमें सामग्रीइसमें आयतों के ऐसे गुण शामिल हैं जैसे "चार समकोण हों", "समान सम्मुख भुजाएँ हों", "समान विकर्ण हों", आदि।

किसी अवधारणा के दायरे और उसकी सामग्री के बीच एक संबंध होता है: यदि किसी अवधारणा का आयतन बढ़ता है, तो उसकी सामग्री घट जाती है, और इसके विपरीत।इसलिए, उदाहरण के लिए, अवधारणा "वर्ग" का दायरा "आयत" अवधारणा के दायरे का हिस्सा है, और अवधारणा "वर्ग" की सामग्री में अवधारणा "आयत" ("सभी पक्ष) की सामग्री की तुलना में अधिक गुण शामिल हैं बराबर हैं", "विकर्ण परस्पर लंबवत हैं", आदि)।

किसी भी अवधारणा को अन्य अवधारणाओं के साथ उसके संबंध को समझे बिना नहीं सीखा जा सकता।इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि किन रिश्तों में अवधारणाएँ पाई जा सकती हैं और इन संबंधों को स्थापित करने में सक्षम होना चाहिए।

गणितीय अवधारणाओं का अध्ययन करने की विधियाँ

1. अवधारणा का सार. अवधारणा की सामग्री और दायरा.

2. गणितीय अवधारणाओं की परिभाषा.

3. गणितीय अवधारणाओं का वर्गीकरण।

4. नई गणितीय अवधारणाओं को प्रस्तुत करने की पद्धति।

कोई भी विज्ञान अवधारणाओं की एक प्रणाली है, इसलिए गणित में, अन्य शैक्षणिक विषयों की तरह, अवधारणाओं को पढ़ाने पर काफी ध्यान दिया जाता है। यह अवधारणा सैद्धांतिक सोच के रूपों को संदर्भित करती है, जो अनुभूति का एक तर्कसंगत चरण है।

1. अवधारणा का सार. अवधारणा की सामग्री और दायरा.अवधारणाओं की मदद से, हम चीजों की सामान्य, आवश्यक विशेषताओं और वस्तुनिष्ठ वास्तविकता की घटनाओं को व्यक्त करते हैं।

धारणामानव चेतना में वास्तविकता का प्रत्यक्ष संवेदी प्रतिबिंब कहा जाता है।

जमा करनाहमारी चेतना में अंकित किसी वस्तु या घटना की छवि है जिसे वर्तमान में हम नहीं देख पाते हैं।

मनुष्य की इन्द्रियों पर वस्तु का प्रभाव समाप्त होते ही धारणा लुप्त हो जाती है। जो बाकी है वह शो है. उदाहरण के लिए, हम एक घन दिखाते हैं और फिर उसे हटा देते हैं। हम अलग-अलग घनों, अलग-अलग रंगों आदि को जानते हैं, लेकिन सामान्य और आवश्यक को संरक्षित करते हुए हम इससे अमूर्त होते हैं।

अवधारणाव्यक्तिगत धारणाओं और विचारों की व्यक्तिगत विशेषताओं और विशेषताओं से सार और बहुत बड़ी संख्या में सजातीय वस्तुओं और घटनाओं की धारणाओं और विचारों के सामान्यीकरण का परिणाम है, उदाहरण के लिए: संख्या, पिरामिड, वृत्त, सीधी रेखा। अवधारणाएँ विश्लेषण और संश्लेषण, अमूर्तन और सामान्यीकरण जैसी तार्किक तकनीकों के माध्यम से बनती हैं। अवधारणाहम किसी वस्तु के बारे में उस विचार को कहेंगे जो उसकी आवश्यक विशेषताओं पर प्रकाश डालता है।

महत्वपूर्ण विशेषताएंअवधारणाएँ ऐसी विशेषताएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक आवश्यक है, और सभी मिलकर किसी दिए गए प्रकार की वस्तुओं को अन्य वस्तुओं (उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज) से अलग करने के लिए पर्याप्त हैं।

प्रत्येक अवधारणा में, उसकी सामग्री और मात्रा भिन्न होती है।

अवधारणा का दायरावस्तुओं का वह संग्रह है जिस पर यह अवधारणा लागू होती है।

उदाहरण के लिए, "व्यक्ति" की अवधारणा। सामग्री: एक जीवित प्राणी, उत्पादन के उपकरण बनाता है, अमूर्त सोच की क्षमता रखता है। आयतन: सभी लोग.

"टेट्राहेड्रोन" की अवधारणा। सामग्री: चार त्रिकोण आकार के चेहरों से घिरा एक बहुफलक। आयतन: सभी टेट्राहेड्रा का सेट।

किसी अवधारणा के आयतन और सामग्री के बीच एक संबंध होता है: अवधारणा की सामग्री जितनी अधिक होगी, उसका आयतन उतना ही छोटा होगा। किसी अवधारणा की सामग्री को कम करने से उसके दायरे का विस्तार होता है। इस ऑपरेशन को कहा जाता है सामान्यकरणअवधारणाएँ। उदाहरण के लिए, यदि "समबाहु त्रिभुज" की अवधारणा की सामग्री से संपत्ति "सभी पक्षों की समानता" को हटा दिया जाता है, तो नई सामग्री को संतुष्ट करने वाले त्रिकोणों का सेट "व्यापक" हो जाएगा - इसमें समबाहु त्रिकोणों का सेट शामिल होगा उपसमुच्चय। किसी अवधारणा की सामग्री का विस्तार करने से उसका दायरा कम हो जाता है और इसे कहा जाता है परिसीमन(विशेषज्ञता) अवधारणाएँ। इस तरह के ऑपरेशन का एक उदाहरण पहचान परिवर्तन की अवधारणा से भिन्नों में कमी की अवधारणा में संक्रमण है।

यदि एक अवधारणा के दायरे को दूसरी अवधारणा के दायरे के हिस्से के रूप में शामिल किया जाता है, तो पहली अवधारणा कहलाती है प्रजातियाँ, और दूसरा - पैतृक.

जीनस और प्रजाति की अवधारणाएँ हैं रिश्तेदारचरित्र। उदाहरण के लिए, "प्रिज्म" की अवधारणा "सीधे प्रिज्म" की अवधारणा के संबंध में सामान्य है, लेकिन "पॉलीहेड्रॉन" की अवधारणा के संबंध में एक विशिष्ट अवधारणा है।

यूलर वृत्त.

2. गणितीय अवधारणाओं की परिभाषा.अवधारणा की सामग्री एक परिभाषा का उपयोग करके प्रकट की जाती है।

परिभाषा(परिभाषा) अवधारणाओं– यह एक तार्किक ऑपरेशन है जिसकी सहायता से किसी अवधारणा की मुख्य सामग्री या किसी शब्द का अर्थ प्रकट किया जाता है।

अवधारणा को परिभाषित करें- इसका अर्थ है इस अवधारणा में प्रदर्शित वस्तुओं की आवश्यक विशेषताओं को सूचीबद्ध करना।

विशेषताओं को सूचीबद्ध करने का कार्य कठिन हो सकता है, लेकिन यदि हम पहले से स्थापित अवधारणाओं पर भरोसा करते हैं तो यह सरल हो जाता है। यह अवधारणा किसी शब्द या वाक्यांश का उपयोग करके भाषण में तय की जाती है जिसे कहा जाता है नामया अवधिअवधारणाएँ। गणित में, किसी अवधारणा को अक्सर न केवल नाम से, बल्कि नाम से भी दर्शाया जाता है प्रतीक. उदाहरण के लिए, अन्य.

इस प्रकार, परिभाषा पहले उस जीनस को इंगित करती है जिसमें परिभाषित की जा रही अवधारणा को एक प्रजाति के रूप में शामिल किया गया है, और फिर उन विशेषताओं को इंगित करती है जो इस प्रजाति को निकटतम जीनस की अन्य प्रजातियों से अलग करती हैं। किसी अवधारणा को परिभाषित करने की इस विधि को कहा जाता है निकटतम जीनस और प्रजाति अंतर के माध्यम से एक अवधारणा की परिभाषा.

संकल्पना = वंश + प्रजाति अंतर।

परिभाषाओं के प्रकार

मुखर अंतर्निहित

जीनस और प्रजाति के माध्यम से

मतभेद सिद्ध वर्णनात्मक

(सिस्टम द्वारा वर्णित

मुखरपरिभाषाएँ उन्हें कहा जाता है जिनमें परिभाषित किए जा रहे शब्द का अर्थ पूरी तरह से परिभाषित शब्दों के अर्थ के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, यानी स्पष्ट परिभाषाओं में परिभाषित की जाने वाली अवधारणा की आवश्यक विशेषताओं का प्रत्यक्ष संकेत होता है। निकटतम जीनस और प्रजाति अंतर के माध्यम से निर्धारण स्पष्ट लोगों को संदर्भित करता है।

में अंतर्निहितपरिभाषाओं में, परिभाषित किए जा रहे शब्द का अर्थ परिभाषित करने वाले शब्दों द्वारा पूरी तरह से व्यक्त नहीं किया जाता है। अंतर्निहित परिभाषा का एक उदाहरण स्वयंसिद्ध प्रणाली का उपयोग करके प्रारंभिक अवधारणाओं की परिभाषा है। ऐसी परिभाषाएँ कहलाती हैं सिद्ध. स्वयंसिद्ध परिभाषाओं के उदाहरण एक समूह, एक वलय और एक क्षेत्र आदि की परिभाषाएँ हैं (हिल्बर्ट, वेइल के स्वयंसिद्ध, प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्रणाली)।

जेनेटिककिसी वस्तु की परिभाषा उसके निर्माण, गठन, उत्पत्ति की विधि को इंगित करके कही जाती है। उदाहरण के लिए, "एक छोटा शंकु एक पिंड है जो समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के लंबवत पक्ष के चारों ओर एक आयताकार समलम्ब के घूमने से उत्पन्न होता है।" या "रैखिक डायहेड्रल कोण" की अवधारणा की परिभाषा।

में अधिष्ठापन का(आवर्ती) परिभाषा, एक वस्तु को एक प्राकृतिक संख्या के एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है ..gif" width='56' ऊंचाई='21'> और। उदाहरण के लिए, गणित में प्रेरण द्वारा, एक प्राकृतिक संख्या की परिभाषा पेश की जाती है।

दिखावटीपरिभाषाएँ और वर्णनात्मकमॉडलों का उपयोग करके वस्तुओं का वर्णन करें, विशेष मामलों पर विचार करें, व्यक्तिगत आवश्यक गुणों को उजागर करें, प्रत्यक्ष प्रदर्शन, वस्तुओं के प्रदर्शन के माध्यम से पेश करें। अक्सर प्राथमिक ग्रेड में और आंशिक रूप से ग्रेड 5-6 में उपयोग किया जाता है। शिक्षक, बोर्ड पर त्रिभुजों का चित्रण करते हुए, छात्रों को त्रिभुज की अवधारणा से परिचित कराते हैं। हाई स्कूल में, मौखिक परिभाषाएँ प्रमुख होती हैं।

तार्किक रूप से सही परिभाषा देने के लिए, किसी को अवलोकन करना चाहिए परिभाषा नियम:

1. परिभाषा होनी चाहिए सदृश, अर्थात्, परिभाषित और परिभाषित अवधारणाएँ मात्रा में समान होनी चाहिए। आनुपातिकता की जांच करने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि परिभाषित की जा रही अवधारणा परिभाषित अवधारणा की विशेषताओं को संतुष्ट करती है और इसके विपरीत।

उदाहरण के लिए, परिभाषा दी गई है: "एक समांतर चतुर्भुज एक बहुभुज है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।" आइए इसकी जाँच करें: "प्रत्येक बहुभुज जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं, एक समांतर चतुर्भुज है" - यह गलत है। या: "समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करतीं" (गलत, ये प्रतिच्छेदी रेखाएँ भी हो सकती हैं)।

2. परिभाषा में " शामिल नहीं होना चाहिए ख़राब घेरा" इसका मतलब यह है कि किसी परिभाषा का निर्माण इस तरह से करना असंभव है कि परिभाषित करने वाली अवधारणा वह हो जो स्वयं परिभाषित की जा रही अवधारणा से परिभाषित हो।

उदाहरण के लिए, "एक समकोण वह कोण होता है जिसमें . होता है, और एक डिग्री समकोण का 1/90 होता है।" कभी-कभी "दुष्चक्र" एक टॉटोलॉजी (समान के माध्यम से) का रूप ले लेता है - एक ऐसे शब्द का उपयोग जिसका अर्थ समान होता है।

3. यदि संभव हो तो परिभाषा नकारात्मक नहीं होना चाहिए. परिभाषा में विषय की आवश्यक विशेषताओं का उल्लेख होना चाहिए, न कि यह कि विषय क्या नहीं है।

उदाहरण के लिए, "एक समचतुर्भुज एक त्रिभुज नहीं है," "एक दीर्घवृत्त एक वृत्त नहीं है।" गणित में, कुछ मामलों में नकारात्मक परिभाषाएँ स्वीकार्य हैं, उदाहरण के लिए, "किसी भी गैर-बीजगणितीय फ़ंक्शन को ट्रान्सेंडैंटल फ़ंक्शन कहा जाता है।"

4. परिभाषा होनी चाहिए स्पष्टऔर स्पष्ट, अस्पष्ट या रूपांतरित अभिव्यक्तियों की अनुमति नहीं देना।

उदाहरण के लिए, "अंकगणित गणित की रानी है" एक आलंकारिक तुलना है, परिभाषा नहीं; कथन "आलस्य सभी बुराइयों की जननी है" शिक्षाप्रद है, लेकिन आलस्य की अवधारणा को परिभाषित नहीं करता है।

3. गणितीय अवधारणाओं का वर्गीकरण।वर्गीकरण के माध्यम से किसी अवधारणा के दायरे का पता चलता है। वर्गीकरणएक निश्चित समूह का वर्गों में एक व्यवस्थित वितरण है, जो एक प्रकार की वस्तुओं की समानता और अन्य प्रकार की वस्तुओं से उनके अंतर के आधार पर अनुक्रमिक विभाजन के परिणामस्वरूप होता है।

डिवीजन ऑपरेशन एक तार्किक ऑपरेशन है जो किसी वस्तु के संभावित प्रकारों को उजागर करके किसी अवधारणा के दायरे को प्रकट करता है। उदाहरण के लिए, एक शैक्षणिक विश्वविद्यालय के सभी छात्रों को उन लोगों में विभाजित किया जा सकता है जो स्कूल में काम करने का इरादा रखते हैं और जो नहीं जाना चाहते हैं। विभाजन का आधार वह गुण है जिसके अनुसार प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जाता है। हमारे उदाहरण में, आधार संपत्ति है: "स्कूल में काम करने का इरादा रखना।"

वर्गीकरण करते समय, आधार का चुनाव महत्वपूर्ण है: अलग-अलग कारण अलग-अलग वर्गीकरण देते हैं। वर्गीकरण आवश्यक गुणों (प्राकृतिक) और गैर-आवश्यक (सहायक) के अनुसार किया जा सकता है। प्राकृतिक वर्गीकरण से, यह जानकर कि कोई तत्व किस समूह का है, हम उसके गुणों का आकलन कर सकते हैं।

विभाजन दो प्रकार के:

1. किसी विशेषता के संशोधन द्वारा विभाजन एक ऐसा विभाजन है जिसमें संपत्ति - विभाजन का आधार - चयनित प्रकार की वस्तुओं में अलग-अलग डिग्री तक निहित होती है

2. द्विभाजित विभाजन वह विभाजन है जिसमें किसी निश्चित गुण की उपस्थिति या अनुपस्थिति के अनुसार किसी अवधारणा को दो प्रकारों में विभाजित किया जाता है।

विभाजन संचालन निम्नलिखित नियमों का पालन करता है:

1. विभाजन आनुपातिक होना चाहिए, अर्थात, चयनित वर्गों के मिलन से मूल सेट बनना चाहिए (विशिष्ट अवधारणाओं की मात्रा का योग सामान्य अवधारणा की मात्रा के बराबर है)।

2. विभाजन केवल एक आधार का उपयोग करके किया जाना चाहिए।

3. कक्षाओं का चौराहा खाली होना चाहिए।

4. विभाजन निरंतर होना चाहिए.

4. नई गणितीय अवधारणाओं को प्रस्तुत करने की पद्धति।गणित पढ़ाने की पद्धति में अवधारणाओं को प्रस्तुत करने की दो विधियाँ हैं: ठोस-प्रेरकऔर अमूर्त-निगमनात्मक(शर्तें एक रूसी पद्धतिविज्ञानी द्वारा पेश की गई थीं)।

अनुप्रयोग आरेख ठोस-प्रेरकतरीका।

1. उदाहरणों की समीक्षा और विश्लेषण किया जाता है (विश्लेषण, तुलना, अमूर्तता, सामान्यीकरण,...)।

2. अवधारणा की सामान्य विशेषताएं जो इसे दर्शाती हैं, स्पष्ट की गई हैं।

3. एक परिभाषा तैयार की गई है.

4. परिभाषा को उदाहरण और प्रतिउदाहरण देकर पुष्ट किया जाता है।

अनुप्रयोग आरेख अमूर्त-निगमनात्मकतरीका।

अवधारणा की परिभाषा तैयार की गई है। उदाहरण एवं प्रतिउदाहरण दिये गये हैं। विभिन्न अभ्यासों को निष्पादित करके अवधारणा को सुदृढ़ किया जाता है।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण का परिचय, कार्तीय निर्देशांक की अवधारणा, आदि।

अवधारणाएँ बनाते समय, मनोवैज्ञानिक और शैक्षणिक विज्ञान की सिफारिशों को लागू करने की सलाह दी जाती है, उदाहरण के लिए, मानसिक क्रियाओं के क्रमिक गठन का सिद्धांत।

प्रथम चरण। वे प्रस्तुत अवधारणा के उद्देश्य की व्याख्या करते हैं और अभिविन्यास प्रदान करते हैं।

चरण 2। छात्र चित्र के आधार पर परिभाषा बनाते हैं।

चरण 3. छात्र किसी चित्र पर भरोसा किए बिना ज़ोर से (बाहरी) भाषण का उपयोग करके एक परिभाषा बनाते हैं।

चरण 4. परिभाषा का उच्चारण स्वयं को बाह्य वाणी के रूप में किया जाता है।

चरण 5. परिभाषा आंतरिक वाणी के रूप में बोली जाती है।

अवधारणाओं का अध्ययन करते समय, गैर-आवश्यक विशेषताओं (भिन्नता के सिद्धांतों) को अलग करना आवश्यक है - यह बोर्ड पर चित्रों और रेखाचित्रों की एक विविध व्यवस्था है, उदाहरण के लिए, एक त्रिकोण, इसकी ऊंचाई, एक रेखा पर लंबवत, आदि। न केवल किसी रेखा की क्षैतिज स्थिति, त्रिभुज का आधार, आदि)

परिभाषा की तार्किक संरचना का विश्लेषण करके परिभाषाओं को समझने में मदद मिलती है। इस प्रयोजन के लिए, अवधारणा पहचान एल्गोरिदम, गणितीय श्रुतलेख और परीक्षण संकलित किए जाते हैं।

दिखावटी परिभाषाएँ वे परिभाषाएँ हैं जो इस शब्द द्वारा निर्दिष्ट वस्तुओं को प्रदर्शित करके, प्रदर्शित करके एक अवधारणा का परिचय देती हैं।

गणित, अन्य विज्ञानों के विपरीत, हमारे आसपास की दुनिया का एक विशेष दृष्टिकोण से अध्ययन करता है। कोई भी गणितीय वस्तु वस्तुओं और घटनाओं से मात्रात्मक और स्थानिक गुणों और संबंधों को अलग करने का परिणाम है। वह। गणितीय वस्तुएँ वास्तव में अस्तित्व में नहीं हैं। ये आदर्श अवधारणाएँ हैं; ये केवल मानव विचारों और उन संकेतों और प्रतीकों में मौजूद हैं जो गणितीय भाषा बनाते हैं। इसके अलावा, गणितीय अवधारणाओं के निर्माण में, अमूर्तता के अलावा, उन्हें उन गुणों का श्रेय दिया जाता है जो किसी वास्तविक वस्तु में नहीं होते हैं।

बुनियादी गणितीय अवधारणाएँ: बिंदु, रेखा, तल, संख्या, संख्या, परिमाण, अंकगणितीय संक्रिया।

किसी भी गणितीय अवधारणा की विशेषता एक पद, आयतन और सामग्री से होती है।

पद एक शब्द या शब्दों का समूह है जो एक निश्चित समूह के तत्वों को नाम देता है। किसी अवधारणा का दायरा एक ही शब्द द्वारा निरूपित सभी वस्तुओं की संख्या है। वस्तुओं के आवश्यक और गैर-आवश्यक गुण होते हैं। एक संपत्ति तब आवश्यक होगी जब वह किसी वस्तु में अंतर्निहित हो, और इसके बिना वस्तु का अस्तित्व नहीं हो सकता। गैर आवश्यक - जिसके अभाव से आवश्यक वस्तुओं पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

ए-समानांतर चतुर्भुज की अवधारणा; सी-आयत की अवधारणा; √vs√a in के लिए एक सामान्य; ए के लिए सी-प्रजाति; चतुर्भुज की सी-अवधारणा। √а с√с

एक ही अवधारणा, उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज, एक आयत की अवधारणा के लिए सामान्य हो सकती है या एक चतुर्भुज की अवधारणा के लिए विशिष्ट हो सकती है।

समद्विबाहु त्रिभुज की अवधारणा. और एक समकोण त्रिभुज. वे जीनस-प्रजाति संबंधों में नहीं हैं। भाग और संपूर्ण की अवधारणाओं के बीच संबंध हैं।

उदाहरण के लिए, एक किरण एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है, एक खंड एक सीधी रेखा का एक हिस्सा है, एक चाप एक वृत्त का एक हिस्सा है।

यदि अवधारणाएं जीनस-विशिष्ट संबंधों में हैं, तो अवधारणा की मात्रा और इसकी सामग्री के बीच निम्नलिखित संबंध मौजूद है: मात्रा जितनी अधिक होगी, इसकी सामग्री उतनी ही कम होगी और इसके विपरीत।

अवधारणाओं की परिभाषा एक तार्किक संचालन है जो अवधारणा की सामग्री को प्रकट करती है। यह उन आवश्यक गुणों को इंगित करता है जो इसकी पहचान के लिए पर्याप्त हैं। परिभाषाएँ स्पष्ट और अंतर्निहित (अप्रत्यक्ष) में विभाजित हैं। स्पष्ट परिभाषाएँ समानता का रूप लेती हैं, दो अवधारणाओं का संयोग।

उदाहरण: एक समांतर चतुर्भुज कहलाता है। एक चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर हों। और वहाँ है; ए-समानांतर चतुर्भुज (संकल्पना को परिभाषित करना; बी-चतुर्भुज, जिसकी भुजाएं जोड़ीदार समानांतर हैं (परिभाषित अवधारणा; ए=आर+वी)

परिभाषित अवधारणा = सामान्य अवधारणा + विशिष्ट अंतर

जाति-विशेष: कोण समद्विभाजक कहलाता है। एक किरण एक कोण के शीर्ष से निकलती है और कोण को आधे / आर-सामान्य अवधारणा में विभाजित करती है: किरण; वी-प्रजाति अवधारणा: एक कोण के शीर्ष से उभरना और कोण को आधे में विभाजित करना। प्राथमिक विद्यालय में, जीनस और प्रजाति भेद के माध्यम से स्पष्ट परिभाषा का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। उदाहरण: सम संख्या, आयत, वर्ग, गुणन की परिभाषा।

स्पष्ट परिभाषाओं की एक और संरचना हो सकती है: ए) आनुवंशिक परिभाषाएँ। त्रिभुज एक आकृति है जिसमें 3 बिंदु होते हैं जो एक ही रेखा पर नहीं होते हैं, और उन्हें क्रम से जोड़ने वाले 3 खंड होते हैं। एक सामान्य अवधारणा और निर्माण की विधि।

बी) आवर्ती (पुनरावर्ती-वापसी) एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जो किसी दिए गए अनुक्रम (अंतर) के लिए निरंतर संख्या डी में जोड़ा जाता है।

प्राथमिक विद्यालय में, अंतर्निहित परिभाषाएँ प्रबल होती हैं। अंतर्निहित परिभाषाएँ प्रासंगिक या दिखावटी हो सकती हैं। प्रासंगिक परिभाषाएँ - इन परिभाषाओं में, नई अवधारणाओं की सामग्री को संदर्भ के माध्यम से प्रकट किया जाता है, एक विशिष्ट स्थिति का विश्लेषण किया जाता है जो प्रस्तुत अवधारणा के अर्थ का वर्णन करता है। उदाहरण: 2+x=5

2. प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को निम्नलिखित कार्य प्रदान किए जाते हैं:

1) इनमें से कौन सी आकृति बेजोड़ है? अपना जवाब समझाएं।